MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE … · L’un des objectifs des mathématiques est de définir des fonctions qui permettent de modéliser des situations à partir d’un

MATHÉMATIQUES

DE LA TECHNOLOGIE

AU COLLÈGE

Chapitre 1

Manuel de l’élève

L’un des objectifs des mathématiques est de définir des fonctions quipermettent de modéliser des situations à partir d’un ensemble de données.Lorsqu’un modèle est représentatif d’une situation, tu peux l’utiliser pouranalyser cette situation et définir des comportements passés et à venir.Il est parfois nécessaire de modéliser une situation en considérant plusieurséquations. Cet ensemble d’équations est appelé système d’équations.Dans les cours précédents, tu as étudié les fonctions affines et les fonctionsdu second degré. Ce chapitre te permettra d’étudier les systèmes d’équationsconstitués de fonctions affines et de fonctions du second degré.

Attentes : Analyser des situations modélisées par des fonctions du premierdegré et du second degré tirées de diverses applications. Résoudre,en situation, un système comportant des équations du premier degré etdu second degré, et interpréter l’ensemble-solution. Manipuler desexpressions avec aisance.

1 Les systèmes d’équations

Le succès d’une entreprise dépend beaucoup

de l’étude des équations représentant les

coûts de production et les revenus des ventes.

L’intersection de ces équations fournit

de l’information sur les pertes ou les profits

possibles.

2 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

La mise en situation

Le calcul des profits

Lorsqu’il vend ses peintures, un artiste établit les équations ci-dessous décrivantles revenus de ses ventes, R(n), en milliers de dollars, ainsi que les coûts deproduction, C(n), en milliers de dollars, en fonction du nombre, n, de dizainesde peintures vendues.

R(n) � � n2 � 3n

C(n) � n2 � 2n � 6

a) Lorsque les revenus sont égaux aux coûts, combien de peintures le peintrea-t-il vendues?

b) Dans quel intervalle ses revenus sont-ils supérieurs à ses coûts ?

c) Détermine le nombre de peintures que l’artiste doit vendre s’il veut maximiserses profits.

L’artiste a acquis une certaine renommée, et ses peintures se vendent maintenantplus cher. La nouvelle fonction représentant ses revenus est définie par l’équation

R(n) � � n2 � 4n

Détermine le nombre de peintures que l’artiste doit maintenant vendre s’il veuttoujours maximiser ses profits.

Dans ce chapitre, tu apprendras à modéliser des situations à l’aide de fonctionsdu premier et du second degré, et à comparer ces équations afin de tirer desconclusions.

12

14

38

En 1920, le premiergroupe d’artistesmodernes du Canadafut formé. Les œuvresdu Groupe des Sept ontmontré au monde labeauté des paysagescanadiens. Ces peintresont fortement influencél’art au Canada. Leurtravail se retrouve surdes timbres, des affiches,des tasses ou des t-shirts.Pour en savoir plus surle Groupe des Sept,consulte les signetsInternet sur le sitewww.beaucheminediteur.com/mathtechno.

PRÉPARE-TOI 3

Prépare-toi

Dans ce chapitre, tu travailleras avec des modèles, des équations et des systèmesd’équations de fonctions affines et du second degré. Les exercices qui suiventt’aideront à te préparer.

1. Développe et simplifie les expressions suivantes.

a) 3(2x � 5x2 � 2) b) 3x(2x � 3) � 5x(4x � 7)

c) (x � 2)(x � 6) d) (x � 2)(3x � 4)

e) �4(x � 7)2 f) (2x � 3y)(3x � 4y)

g) 5(3 � 2x)(5 � 7x) h) �2(3x � 1)(x � 1)2

2. Résous les équations suivantes.

a) 5x � 6 � 16

b) 4c � 7 � 2c � 3

c) 4(2x � 3) � 8 � �3(2 � x)

d) �

3. Si f(x) � �2x4 � 3x2 � 2x � 7, calcule

a) f(2) b) f(�1) c) f �1—2� d) f(�0,25)

4. Isole la variable indiquée.

a) A � stv � 2, t b) B � c2 � 4, c c) 2 � , y

5. Calcule.

a) � 2 b) � c) 3 � d) �2 �

6. Récris les équations ci-dessous sous la forme générale Ax � By � C � 0et détermine les valeurs de A, de B et de C.

a) y � 3x � 2

b) 2y � 3 �

c) � � 1

7. Écris une équation représentant chacun des énoncés suivants.

a) Le produit d’un nombre par son carré égale 216.

b) La somme de deux nombres dont la différence est 6 égale 15.

c) Le triple d’un nombre est égal à son carré.

8. Vérifie si les coordonnées ci-dessous satisfont aux équations.

a) y � 2x � 1, (3, 5)

b) y � 2x2 � 3x � 1, (0, 2)

c) 4y � 3x � 2 � 0, (�1, �1,25)

d) y � �3x2 � 2x � 5, (�2, 1)

2x3

4y5

x�3

49

23

148

37

13

25

13

x2 � 2y3

x � 32

2x � 13

9. Estime les valeurs suivantes.

a) b)

Les coordonnées à l’origine Les coordonnées à l’origine et le sommet

10. Récris les équations ci-dessous sous la forme y � mx � b et détermineles valeurs de m et de b.

a) 6x � 2y � 4 � 0 b) �3y � 6 � x c) 5x � 3y � 1 � 0

4 62–2–4–2

2

4

–14

–16

–18

–20

–12

–10

–8

–6

–4

y

x0

1 2 3 4 5–2 –1 6

4

8

12

16

–4

–8

y

x0


APERÇU

Une fonction affine est une fonction polynôme du premier degré. Commec’est la forme la plus simple des fonctions polynômes, il est essentiel de bienla comprendre avant d’explorer les fonctions polynômes de degré plus élevé.

Tu as déjà exploré les fonctions affines dans d’autres cours de mathématiques.

Cette section te permettra de revoir les caractéristiques des fonctions affinesafin d’établir une base solide pour l’étude des systèmes d’équations et desfonctions polynômes plus complexes.

Cette section te permettra aussi d’approfondir tes connaissances sur les fonctionsaffines afin de faciliter la modélisation mathématique et la résolution de problèmessemblables à celui présenté dans la situation. L’application des fonctions affinessera explorée plus en détail dans la section 1.2.

Déterminer les caractéristiques des fonctions affines dans différentesreprésentations.

1.1 Les caractéristiques

des fonctions affines

1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 5

Situation

Le transport par autobus

Gabrielle se rend au centre-villechaque jour pour suivre ses cours.

Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte 2,35 $. Si elle prévoit prendre l’autobus deux foispar jour, combien son transport lui coûtera-t-il pour l’année?

Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cettesituation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle.

De plus, ce modèle permet d’analyser la situation et de répondre àdes questions semblables aux suivantes.

S’il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabriellepour l’année?

Si Gabrielle épargne 650 $ durant l’été afin de payer son transport,pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l’autobus?

Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera 2 $.Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l’autobus?

ÉTUDIE LE CONCEPT

Qu’est-ce qu’une fonction affine?

Avant de pouvoir modéliser et analyser des problèmes à l’aide des fonctionsaffines, tu dois bien comprendre ce qu’est une fonction affine. Dans l’étudedes mathématiques, on définit soigneusement chaque terme.

Voyons d’abord ce qu’est une fonction.

Une fonction est une relation particulière.

Alors, qu’est-ce qu’une relation?

• Relation

Une relation est un lien. Dans la vie, il existe diverses relations : la relation entre une mère et son enfant,

la relation entre les élèves et leur enseignant ou leur enseignante, la relationentre le directeur d’une entreprise et ses employés, etc.

En mathématiques, on définit une relation comme un ensemble de couples(x, y). C’est un lien entre deux variables, plus spécifiquement, entre x (abscisse)et y (ordonnée).

Ce lien peut être représenté par :

1) une représentation graphique2) une équation3) un tableau de valeurs4) un ensemble de couples (x, y)

Le domaine de définition d’une relation est l’ensemble de toutes les premièrescomposantes (x) des couples (x, y).

L’image d’une relation est l’ensemble de toutes les deuxièmes composantes (y)des couples (x, y).

Exemple : Soit la relation f � {(�3, 2), (�1, 0), (0, 3), (2, 2), (3, 4)}.Le domaine de f � {�3, �1, 0, 2, 3}.L’image de f � {0, 2, 3, 4}.

• Fonction

Une fonction est une relation dans laquelle à chaque élément du domainecorrespond un seul élément de l’image. En d’autres mots, à chaque valeurde x correspond une seule valeur de y.

Le test de la droite verticale

Si une droite verticale quelconque coupe le graphique en un seul point,la relation est une fonction.

Si une droite verticale coupe le graphique en plus d’un point, la relation n’estpas une fonction.


En examinant le graphique d’une relation, on peut faire le test de la droiteverticale afin de déterminer s’il s’agit d’une fonction.

Fonction Relation

La droite verticale coupe La droite verticale coupe lele graphique en un seul point ; graphique en deux points ; la relation est une fonction. la relation n’est pas une fonction.

Regardons les ensembles de coordonnées.

f � {(�1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6), (4, 8)} g � {(�3, �1), (�2, 0), (�1, 1), (0, 2), (�1, 3)}

Fonction Relation

La relation g n’est pas une fonction, puisque la coordonnée x � �1 est associéeà deux coordonnées de y, soit 1 et 3.

• Fonction affine

Sachant ce que représente une fonction, on peut définir une fonction affine.

Une fonction affine présente les caractéristiques suivantes.

– Équation

L’équation d’une fonction affine doit pouvoir prendre la forme suivante :

– Graphique

Une fonction affine représente une droite non verticale.

Une droite verticale ne représente pas une fonction.

y � mx � b, où

m représente la pente,b représente l’ordonnée à l’origine, et(x, y) représente un point sur la droite.

x ∈ R et y ∈ R: Le domaine et l’imaged’une fonction affine correspondent àl’ensemble des nombres réels si m � 0.

Exemple : L’équation y � 2x � 3 représenteune fonction affine dont la pente est 2 et dontl’ordonnée à l’origine est �3.

y

x

y

x


– Tableau de valeurs et ensemble de couples

Un tableau de valeurs ou un ensemble de couples représente une fonctionaffine lorsque les premières différences entre les valeurs de y sont constantespour des valeurs de x à intervalles réguliers.

Exemple : Le tableau de valeurs ci-contrereprésente une fonction affine,puisque les premières différencessont constantes. La valeur obtenuepar les premières différences,soit �3, représente la pente dela droite.

De plus, l’ordonnée à l’origine correspond à l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des y. Algébriquement, c’est la valeur de y lorsque x � 0.

D’après le tableau de valeurs, l’ordonnée à l’origine est 7.

Il est à noter que, si l’intervalle régulier des valeurs de x n’est pas 1, pourdéterminer la pente de la droite, il faut diviser la constante obtenue par lespremières différences des valeurs de y par la différence entre les valeurs de x.

Exemple : Considérons le tableau de valeurs suivant.

La pente de la droite est m � � � �3.

Connaissant la pente, m, et l’ordonnée à l’origine, b, tu peux déduireque l’équation de la fonction affine qui correspond au tableau de valeursci-dessus est y � �3x � 7.

Tu peux vérifier l’équation obtenue en remplaçant les coordonnéesdu tableau de valeurs dans l’équation. Prends les points (0, 7) et (4, �5).

Vérifie le point (0, 7).

M.G. � y M.D. � �3x �7 Remplace x et y

� 7 � �3(0) � 7 par les valeurs

� 7 correspondantes.

62


x y

0 7

1 4

2 1

3 �2

4 �5

5 �8

6 �11

4 � 7 � �3

1 � 4 � �3

�2 � 1 � �3

�5 � (�2) � �3

�8 � (�5) � �3

�11 � (�8) � �3

x y

0 7

2 1

4 �5

6 �11

1 � 7 � �6

�5 � 1 � �6

�11 � (�5) � �6

2 � 0 � 2

4 � 2 � 2

6 � 4 � 2

M.G. � M.D. La solution est vérifiée.

Vérifie le point (4,�5).

M.G. � y M.D. � �3x � 7 Remplace x et y

� �5 � �3(4) � 7 par les valeurs

� �12 � 7 correspondantes.

� �5

M.G. � M.D. La solution est vérifiée.

Tu peux procéder de la même façon avec les autres points du tableaude valeurs afin de vérifier l’équation.

L’abscisse à l’origine correspond à la valeur de l’abscisse du point où ladroite coupe l’axe des x. Algébriquement, c’est la valeur de x lorsque y � 0.

D’après l’équation y � �3x � 7, tu peux déterminer l’abscisse à l’origineen remplaçant y par 0.

Donc, y � �3x � 7, où y � 0 Remplace y par 0.

0 � �3x � 7 Isole x.

�7 � �3x

� x

� x

L’abscisse à l’origine est donc .

Pour trouver les coordonnées à l’origine, il faut trouver l’abscisseà l’origine et l’ordonnée à l’origine.

Pour déterminer la pente d’une droite, il faut déterminer la valeur de mdans l’équation de la forme y � mx � b.

Si l’équation de la droite n’est pas connue, tu peux déterminer la pented’une droite (fonction affine) à partir de deux points sur la droite enappliquant la formule suivante.

Vérifie cette formule en considérant la droite définie par l’équation y � �3x � 7.

73

73

�7�3


Si l’on connaît deux points sur la droite,soit P1(x1, y1) et P2(x2, y2), la formule pourdéterminer la pente est :

m �

m �y2 � y1x2 � x1

�y�x

Prends encore une fois les points (0, 7) et (4, �5) dans le tableau de valeurs.

Donc,

m � , où P1(0, 7) et P2(4, �5)

m � Remplace les variables connues.

m � Calcule.

m � � Simplifie.

m � �3

La pente est bien �3.

En considérant le graphique d’une fonction affine, si tu connais deux pointssur la droite, tu peux déterminer la pente de la droite en appliquant la formulede la pente ou en calculant le quotient du déplacement vertical, �y, et du

déplacement horizontal, �x. Donc, .

De plus, lorsque l’ordonnée à l’origine est égale à 0, la valeur de y varieen fonction de x. La pente de la droite représente donc une variation directe.Lorsque l’ordonnée à l’origine n’est pas égale à 0, la valeur de y variepartiellement en fonction de x. La pente de la droite représente donc unevariation partielle.

Exemple 1 Déterminer l’équation d’une droite d’après son graphique

Le graphique ci-dessous représente une fonction affine. Détermine l’équationde cette droite.

Solution

Tu sais que l’équation de la droite peut s’écrire sous la forme y � mx � b.Il s’agit donc de déterminer la pente, m, et l’ordonnée à l’origine, b.

2 4 86–4 –2

2

4

–4

–2

y

x0

�y�x

124

�5 � 74 � 0

y2 � y1x2 � x1

�y�x


Pour déterminer la pente, considère les deux points P1(0, �2) et P2(4, 1) afin decalculer le quotient du déplacement vertical, �y, et du déplacement horizontal,�x. Pour se rendre du point P1 au point P2, il faut se déplacer de trois unités versle haut et de quatre unités vers la droite. Donc, ∆y � 3, ∆x � 4 et la pente

est égale à m � � .

Vérifie le résultat en appliquant la formule m � .

Soit les points P1(0, �2) et P2(4, 1).

Donc, m � Calcule.

m � Calcule.

m �

La pente m est égale à .

L’ordonnée à l’origine est la valeur de y lorsque x � 0. Sur le graphique, c’estle point où la droite coupe l’axe des y. Puisque la droite coupe l’axe des y à �2,tu peux conclure que l’ordonnée à l’origine, b, est égale à �2.

En remplaçant m par et b par �2 dans l’équation générale y � mx � b,

tu obtiens l’équation de la droite y � x � 2.

Exemple 2 Déterminer l’équation d’une droite qui passe par deux points

Détermine l’équation de la droite qui passe par les points P1(2, �2) et P2(�1, 7).

Solution

Tu sais que l’équation de la droite peut s’écrire sous la forme y � mx � b.Il s’agit donc de déterminer la pente, m, et l’ordonnée à l’origine, b.

Puisque tu connais deux points sur la droite, tu peux déterminer la pente enappliquant la formule suivante :

m �

m � Remplace les variables par les

valeurs correspondantes.

m � Calcule.

m � Simplifie.

m � �3

La pente est donc égale à �3.

9�3

7 � (�2)�1 � 2

y2 � y1x2 � x1

�y�x

34

34

34

34

1 � 24

1 � (�2)4 � 0

y2 � y1x2 � x1

34

�y�x


En remplaçant m par �3 dans l’équation, tu obtiens y � �3x � b.

Il faut maintenant déterminer l’ordonnée à l’origine, b. Tu ne sais pas où la droitecoupe l’axe des y, car les points P1 et P2 n’ont pas de coordonnées où x � 0.Alors, tu ne connais pas la valeur de b. Toutefois, il est possible de déterminercette valeur en utilisant l’équation y � �3x � b et les coordonnées de l’un desdeux points donnés.

Prends le premier point, soit P1(2, �2) et remplace x et y par leur valeur dansl’équation y � �3x � b.

y � �3x � b Remplace les variables connues.

�2 � �3(2) � b Calcule.

�2 � �6 � b Isole b.

�2 � 6 � b Simplifie.

4 � b

L’ordonnée à l’origine est donc 4.

L’équation de la droite qui passe par les points P1(2, �2) et P2(�1, 7) est y � �3x � 4.

1.1 Exercices (série 1)

1. Une famille de droites est un ensemble de droites ayant une caractéristiquecommune. À l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent, représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous etdécris une ressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique quidécrit cette famille de droites ?

a) y � 2x � 1 b) y � �3x � 1 c) y � x � 1 d) y � � x � 1

2. À l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent,représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous et décris uneressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique qui décritcette famille de droites ?

a) y � 2x � 3 b) y � 2x � 1 c) y � 2x � 3 d) y � 2x � 1

3. Détermine si les équations ci-dessous représentent une fonction affine.Justifie ta réponse.

a) 3 � y � 2x b) 3x � 4y � 1 � 0 c) 2y � 3x2 � 4

53

12

A


4. Détermine le domaine et l’image des relations suivantes.

a)

b) g � {(�3, �1), (�2, �2), (�1, �3), (0, �4)}

c) y � 2x � 3 � 0

5. Indique si les relations ci-dessous représentent une fonction (F),une fonction affine (FA) ou simplement une relation (R).

a) y � 2x � 3 � 0

b) h � {(�2, 3), (�1, 2), (0, �4), (1, �2), (2, 4), (3, �1)}

c) d)

6. Détermine l’équation de la droite qui passe par les points donnés.

a) A(�4, �5) et B(2, �2) b) M(2, 2) et N(4, �6)

c) J(0, �3) et K(9, 0) d) S� , � et T� , �


1. En utilisant les premières différences, détermine l’équation de la fonctionaffine pour chacun des tableaux de valeurs suivants.

a) b) c)

2. Représente graphiquement la fonction affine à l’aide des coordonnées àl’origine. Vérifie ton résultat à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent. a) 3x � y � �6 b) 2y � 6x � 18 c) y � �2x � 3 d) 0,8x � 0,2y � 1

A

38

34

12

14

y

x

B


x y

4 �3

6 �3

8 �3

10 �3

x y

0 6

1 3

2 0

3 �3

x y

4 6,5

5 8

6 9,5

x y

0 1

2 9

4 17

x y

2 �0,5

3 0,25

4 1

3. Détermine la pente, l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine pourchacune des fonctions affines suivantes.

a) y � 2x � 5 b) y � x c) 5 � 3x � 6y � 2

d)

e)

4. Reproduis le graphique ci-dessous dans ton cahier et relie les points afinde former un parallélogramme. Détermine l’équation représentant chaquecôté du parallélogramme.

5. Voici les équations de deux fonctions affines.

A : y � 4x � 4 B: y � 2x � 8

a) Représente graphiquement chaque fonction sur le même plan cartésien.

b) En supposant qu’on trace les deux droites simultanément de gaucheà droite, laquelle des deux fonctions coupera la droite y � 16 la première?Laquelle coupera la droite y � 24 la première? Explique tes résultats.Vérifie tes résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent.

4 5 6 72 31

6

1

0–1

2

3

4

5

y

x

B

1 2 3–3 –1–2

–12

–8

–4

4

8

12

16y

x

0

1 2 3–2 –1

8

4

12

16

20

–8

–4

y

x0


1.2 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 15

APERÇU

Plusieurs situations ou phénomènes peuvent être modélisés par une fonction affine.Il est important de bien comprendre les fonctions affines afin de pouvoir les

utiliser pour modéliser des problèmes et les résoudre. Dans la section 1.1, tu asexploré les caractéristiques des fonctions affines. Tu vas apprendre maintenantà les appliquer dans diverses situations.

Revenons à la situation de la section 1.1, Le transport par autobus.

Gabrielle se rend au centre-ville chaque jour pour suivre ses cours.

Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte 2,35 $. Si elle prévoitprendre l’autobus deux fois par jour, combien son transport lui coûtera-t-ilpour l’année?

Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cettesituation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle.

De plus, ce modèle permet d’analyser la situation et de répondre auxquestions semblables suivantes.

S’il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pourl’année?

Si Gabrielle épargne 650 $ durant l’été afin de payer son transport, pendantcombien de jours pourra-t-elle prendre l’autobus?

Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera 2 $. Pendantcombien de jours de plus pourra-t-elle prendre l’autobus?

Avant de modéliser cette situation par une fonction affine, il est nécessaire derépondre aux questions suivantes :

Comment peut-on représenter cette situation par une équation de la forme y � mx � b?

Identifie la variable dépendante (y) et la variable indépendante (x).

Quelle est la valeur de m et de b dans cette situation?

Rappel : m représente la pente et b, l’ordonnée à l’origine.

Il faut déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et les variables x et y afinde pouvoir modéliser algébriquement la situation.

Après avoir établi l’équation en fonction de la situation, on peut l’utiliser pourrésoudre divers problèmes.

Dans cette section, tu vas approfondir tes connaissances sur les fonctions affinesen explorant leurs applications.

Interpréter les caractéristiques d’une fonction affine dans une application.

1.2 Les applications

des fonctions affines

ÉTUDIE LE CONCEPT

Une fonction affine comme modèlemathématique

Pour concevoir un modèle mathématique représentant le problème des frais detransport, tu dois :

• définir les variables ;

Une fonction affine comprend toujours deux variables, soit x et y, où x estla variable indépendante et y, la variable dépendante.

On dit que y est en fonction de x.

Il faut donc identifier la variable indépendante et la variable dépendantedans la situation.

Puisque le coût dépend du nombre d’allers simples, on peut dire quele coût représente la variable dépendante et que le nombre d’allers simplesreprésente la variable indépendante.

Soit n : le nombre d’allers simples C(n) : le coût total du transport, en dollars.Tu peux donc remplacer x par n et y par C(n) dans l’équation y � mx � b.

Tu obtiens l’équation C(n) � mn � b.

Tu dois maintenant déterminer m et b dans la situation.

Pour déterminer la valeur de m, considère le changement dans le coût lorsquele nombre d’allers simples augmente. Regarde le tableau de valeurs suivant.

Puisque chaque aller simple coûte 2,35 $, le coût augmente de ce montantpour chaque aller supplémentaire. Donc, 2,35 $ représente la pente de lafonction affine.

Dans une fonction affine, la pente est appelée taux de variation (�y / �x).

Le taux de variation est la pente représentée de façon unitaire, c’est-à-direque �x � 1. Il faut aussi écrire les unités de mesure correspondantes.Dans ce cas, le taux de variation est de 2,35 $/aller simple.

Tu obtiens donc l’équation C(n) � 2,35n � b.

L’ordonnée à l’origine, b, représente la valeur de y lorsque x � 0 ou, dansce cas, la valeur de C(n) lorsque n � 0 ; donc, C(0). Évidemment, si Gabriellene prend jamais l’autobus, le coût sera de 0 $. Donc, l’ordonnée à l’origineest zéro et le taux de variation représente une variation directe.


n 1 2 3 4 5

C(n) 2,35 4,70 7,05 9,40 11,75

• écrire le modèle mathématique obtenu ;

Ce modèle algébrique est une fonction affine.

• utiliser le modèle mathématique dans la résolution de problèmes ettirer des conclusions.

Tu peux maintenant utiliser le modèle pour répondre aux questions de lasituation.

Première questionS’il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabriellepour l’année?

Solution

Puisqu’elle prendra l’autobus deux fois par jour, on peut dire qu’en 144 jours,elle fera 288 allers et retours. Il faut donc déterminer C(288).

C(288) � 2,35(288) Calcule.

C(288) � 676,80

Le transport de Gabrielle coûtera donc 676,80 $.

Deuxième questionSi Gabrielle épargne 650 $ durant l’été afin de payer son transport, pendantcombien de jours pourra-t-elle prendre l’autobus?

Solution

On veut déterminer n lorsque C(n) � 650.

Donc,650 � 2,35n Isole n.

� n Calcule.

276,6 � n

Gabrielle pourrait donc s’offrir environ 276 allers et retours. Cela signifiequ’elle peut payer l’autobus pendant 138 jours (276 � 2 � 138). Elle n’a pasassez d’argent pour les 144 jours de classe.

Troisième questionSi Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera 2 $. Pendantcombien de jours de plus pourra-t-elle prendre l’autobus?

Solution

Puisque chaque aller simple coûte 2 $ plutôt que 2,35 $, le taux de variationsera de 2 $. Donc m � 2 et l’équation devient C(n) � 2n.

Donc, 650 � 2n

� n

325 � n

6502

6502,35

C(n) � 2,35n


Gabrielle pourrait donc s’offrir environ 325 allers et retours. Cela signifiequ’elle peut payer l’autobus pendant 162,5 jours (325 � 2 � 162,5).

Gabrielle gagne 24,5 jours (162,5 � 138 � 24,5) avec le tarif étudiant.Elle a assez d’argent pour les 144 jours de classe.

Exemple 1 Modéliser une situation par une fonction affine afin de résoudre un problème

Aaron présente au comité organisateur les coûts pour le bal de fin d’études.Le comité doit payer 350 $ pour la location de la salle et 15,75 $ par personnepour le repas. Au cours de l’année, les élèves ont amassé 2 140 $ pour leur bal.Le comité espère pouvoir payer le repas des élèves et de leurs invités. Combiende personnes pourraient aller au bal gratuitement?

Solution

Puisque le coût dépend du nombre de personnes qui iront au bal, tu peuxconclure que le coût est la variable dépendante et que le nombre de personnesest la variable indépendante.

Soit n : le nombre de personnes qui iront au bal

C(n) : le coût de la salle et du repas, en dollars

Puisque le coût augmente de 15,75 $ par personne, tu peux dire que le tauxde variation est de 15,75 $/personne. Donc, m � 15,75.

Même si personne ne va au bal, le comité devra tout de même payer 350 $pour la location de la salle. Donc, C(0) � 350. Alors, l’ordonnée à l’origine,b, est 350.

Le modèle algébrique de cette situation est donc :

C(n) � 15,75n � 350

Tu veux savoir combien de personnes peuvent aller au bal gratuitement sile comité a 2 140 $.

La modélisation algébrique par une fonction affine

y � mx � b

y : variable dépendantex : variable indépendante

m : taux de variation, penteb : valeur de y lorsque x � 0, ordonnée à l’origine


Tu veux déterminer n lorsque C(n) � 2 140 $.

2 140 � 15,75n � 350 Soustrais 350 de chaque membre.

2 140 � 350 � 15,75n Calcule.

1 790 � 15,75n Isole n.

� n Calcule.

113,65 � n

Environ 113 personnes pourraient aller au bal gratuitement.

Exemple 2 Modéliser deux situations afin de les comparer

Une station de ski offre deux possibilités d’abonnement. Dans le premier cas,il y a des frais de base de 125 $ et un coût de 10 $ pour chaque journée de ski.Dans le second cas, il y a des frais de base de 200 $ et un coût de 5 $ pourchaque journée de ski. Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier10 fois durant la saison? Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptesskier 20 fois durant la saison?

Solution

Puisque le coût dépend du nombre de journées de ski, tu peux conclure quele coût est la variable dépendante et que le nombre de journées de ski est lavariable indépendante.

Soit n : le nombre de journées de ski durant la saison

C(n) : le coût total de l’abonnement, en dollars

Dans le cas du premier abonnement, disons l’offre A, la pente est 10, puisque letaux de variation est de 10 $/jour, et l’ordonnée à l’origine est 125, le prix de basede l’abonnement.

Dans le cas du second abonnement, disons l’offre B, la pente est 5, puisque letaux de variation est de 5 $/jour, et l’ordonnée à l’origine est 200, le prix de basede l’abonnement.

Tu obtiens donc les deux fonctions suivantes :

Coût de l’abonnement A : Coût de l’abonnement B :C(n) � 10n � 125 C(n) � 5n � 200

Quel est le coût de 10 journées de ski selon l’abonnement choisi,c’est-à-dire C(10)?


C(10) � 10(10) � 125 C(10) � 5(10) � 200 Calcule.

C(10) � 100 � 125 C(10) � 50 � 200 Calcule.

C(10) � 225 C(10) � 250

Si tu comptes skier 10 fois durant la saison, l’offre A est plus avantageuse.

1 79015,75


Quel est le coût de 20 journées de ski selon l’abonnement choisi, c’est-à-dire C(20)?


C(20) � 10(20) � 125 C(20) � 5(20) � 200 Calcule.

C(20) � 200 � 125 C(20) � 100 � 200 Calcule.

C(20) � 325 C(20) � 300

Si tu comptes skier 20 fois durant la saison, l’offre B est plus avantageuse.


1. Michelle a remarqué que son vélomoteur dont le réservoir contient 6 Ld’essence consomme 0,55 L d’essence par heure. Écris un modèlemathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent lesvariables.

2. Pour avoir accès à Internet, Fiona paie des frais de base mensuels de 20 $et 0,60 $ par heure d’utilisation.a) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce

que représentent les variables.b) Si la facture de Fiona s’élevait à 62 $ pour le mois de mars, pendant

combien d’heures a-t-elle utilisé Internet ?

3. Le graphique ci-dessous montre la hauteur H(t), en mètres, d’un parachutisteen fonction du temps t, en secondes, de sa descente.

a) À quelle hauteur le parachutiste commence-t-il sa descente?Que représente cette valeur sur le graphique?

b) Combien de temps prend-il pour descendre? Que représentecette valeur sur le graphique?

c) À quelle vitesse descend-il? Que représente cette valeur sur le graphique?d) Détermine l’équation de cette fonction affine et explique ton

raisonnement.

50 100 150 200

H(t)

t

200

400

600

800

0

Hau

teu

r (m

)

Temps (s)

A


4. Soit n, le nombre de cartouches d’encre achetées pour une imprimante et C(n),le prix, en dollars, de l’imprimante et de n cartouches. Avec 5 cartouches, leprix total est de 550 $ et avec 8 cartouches, le prix est de 730 $.a) Quel est le coût de chaque cartouche?b) Quel est le coût de l’imprimante?

c) Écris l’équation représentant cette situation.

d) Si l’on a dépensé 1 090 $, combien de cartouches a-t-on achetées?

5. L’équation M � 5n � 45 représente la masse M, en grammes, d’une boîtede biscuits en fonction du nombre de biscuits, n, dans la boîte.

a) Représente graphiquement cette fonction affine.

b) Quelle est la masse de la boîte vide?

c) Quelle est la masse d’un biscuit ?

d) Si la masse totale d’une boîte pleine de biscuits est de 425 g, combiende biscuits y a-t-il dans la boîte ?

6. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes.

a) y � 100x b) y � 500 � 20x


1. Un groupe d’élèves se rend au musée en autobus. L’équation 900 � 3C � 19,5n � 0 représente la relation entre le coût total du voyage,C, en dollars, et le nombre d’élèves, n. Le coût total inclut la location del’autobus et les entrées au musée.

a) Représente graphiquement le coût total du voyage en fonction dunombre d’élèves.

b) Quel est le coût de location de l’autobus?

c) Combien coûte une entrée au musée?

2. Une piscine contient 70 000 L d’eau. Pour l’hiver, on vide les de l’eau

qu’elle contient. On utilise une pompe pour aspirer l’eau, et il faut 50 heures.

a) À quelle vitesse la piscine se vide-t-elle ?

b) À l’aide d’une équation, décris la quantité d’eau dans la piscine enfonction du temps.

c) Représente graphiquement cette relation.

d) Si une seconde pompe, identique à la première, est ajoutée dans lapiscine dès le début, quels seront les effets de cette modification surton graphique? Explique ton raisonnement.

34

A

B


3. Deux entreprises de télécommunications t’offrent un plan pour tes appelsinterurbains. L’entreprise Piac piac exige des frais de base mensuels de 15 $plus 0,08 $ par minute pour chaque appel interurbain. L’entreprise Jasetteexige des frais de base mensuels de 10 $ plus 0,12 $ par minute pour chaqueappel interurbain.

a) Décris la relation du plan de chacune des entreprises à l’aide d’équations.

b) Représente graphiquement chaque relation dans le même plancartésien à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent.

c) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 70 minutespar mois, quel plan est le plus avantageux ?

d) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 170 minutespar mois, quel plan est le plus avantageux ?

e) À l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logicieléquivalent, détermine le point d’intersection et décris ce qu’ilreprésente.

4. Un photographe exige 422,75 $ pour un album de photos de mariage etun salaire horaire de 36,85 $.

a) Écris une équation modélisant cette situation et décris ce que représententles variables.

b) Si tu as un budget de 700 $ pour tes photos de mariage, environ combiende temps, au maximum, le photographe passera-t-il à tes noces?

c) Si tu veux que le photographe prenne des photos pendant tout lemariage, soit de 15 heures à minuit, combien coûteront tes photos?

5. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes.

a) y � 10x � 30 b) y � 100 � 0,25x

6. Simon est vendeur dans un magasin de meubles. Il reçoit un salaire de baseplus une commission sur ses ventes. Une semaine, ses ventes s’élevaientà 5 800 $, et il a reçu une paye de 632 $. Une autre semaine, ses ventess’élevaient à 3 900 $, et il a reçu une paye de 556 $.

a) Quel taux de commission verse-t-on à Simon? Exprime ta réponsesous forme de pourcentage.

b) Quel est son salaire de base hebdomadaire?

c) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ceque représentent les variables.

d) Combien gagnera-t-il dans une semaine si ses ventes s’élèvent à 4 362 $?

B


1.3 LA RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 23

APERÇU

Plusieurs problèmes sont modélisés par plus d’une équation. Il faut alors fairel’étude d’un système d’équations.

Un système d’équations est un ensemble d’équations qui modélisentune situation. Dans cette section, il s’agira plus précisément d’un ensemblede droites. L’une des principales caractéristiques d’un système d’équations estle point d’intersection. L’analyse du point d’intersection fournit une foulede renseignements sur la situation et permet de tirer des conclusions.

Dans cette section, tu vas explorer les différents types de systèmes d’équationsainsi que les méthodes utilisées pour déterminer le point d’intersection d’unensemble de droites.

La réponse à cette question sera analysée dans la section 1.4 lorsque tu étudierasles applications des systèmes d’équations du premier degré. Tu pourras ensuiterésoudre des problèmes modélisés par des systèmes d’équations.

ÉTUDIE LE CONCEPT

La classification des systèmes d’équations du premier degré

1. Le système compatible dépendant

On appelle système compatible dépendant un système d’équations dontl’une des équations découle de l’autre. On dit que les droites sont confondues(superposées). Le système a donc une infinité de solutions (plusieurs pointsd’intersection).

Résoudre des systèmes comportant des intersections de graphiques defonctions du premier degré.

1.3 La résolution d’un système

d’équations du premier degré

Situation

La rentabilité d’une entreprise

Jacqueline vend des hot-dogs durant l’été afin de payer ses études.

Elle paie 100 $ pour la location du stand et chaque hot-dog lui coûte 0,75 $.

Jacqueline vend ses hot-dogs 2,50 $ chacun.

Combien de hot-dogs doit-elle vendre pour faire un profit ?


On peut déterminer si deux droites sont confondues à partir d’un graphiquesi elles sont représentées dans un même plan cartésien, ou si elles sont dans deuxplans et que leurs points sont identiques.

On peut reconnaître des droites confondues à partir de leurs équations enles comparant de la façon suivante.

2. Le système incompatible

On appelle système incompatible un système dont les deux droites ne secroisent jamais. On dit que les droites sont parallèles et distinctes. Le systèmen’a donc aucune solution (aucun point d’intersection).

On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir d’un graphique.Elles ne se croisent pas, car leurs pentes sont identiques et leurs ordonnées àl’origine sont différentes.

On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir de leurséquations exprimées sous la forme y � mx � b, puisque leurs pentes, m, etleurs ordonnées à l’origine, b, sont facilement identifiables. Les pentes sontidentiques et les ordonnées à l’origine sont différentes.

Les droites confondues

Deux droites sont confondues si les coefficients d’une équation sont unmultiple des coefficients de l’autre équation. Soit D1, une première droite,et D2, une seconde droite. Leurs équations seraient :

D1 D2y � mx � b ny � n(mx � b) ou,

ny � mnx � nbn ∈ R.

Si les deux équations sont exprimées sous la forme y � mx � b, leur pente, m,et leur ordonnée à l’origine, b, sont identiques.

D1 D2y � m1x � b1 y � m2x � b2 ou,

m1 � m2 et b1 � b2.

Exemple : Les droites y � 3x � 2 et 2y � 6x � 4 sont confondues, car laseconde équation peut être exprimée par 2y � 2(3x � 2), qui estun multiple de la première.

–2 1 –2 3–1–2–3

5

10

15

–10

–5

y

x0

y = 3x + 2

2y = 6x + 4


3. Le système compatible indépendant

On appelle système compatible indépendant un système dont les deux droitesse croisent. On dit que les droites sont sécantes ou concourantes. Le systèmea alors une solution (un point d’intersection).

On peut déterminer si des droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu’ellesse croisent en un point.

Droites perpendiculaires

Deux droites sécantes sont aussi perpendiculaires si elles se croisent à un anglede 90°. Elles ont alors un point d’intersection.

Les droites parallèles et distinctes

Si y � m1x � b1 est l’équation de la première droite et que y � m2x � b2 estl’équation de la seconde droite, les deux droites sont parallèles et distinctessi les pentes sont identiques et que les ordonnées à l’origine sont différentes,c’est-à-dire si

m1 � m2 et que b1 � b2.

Exemple : Les droites définies par les équationsy � 3x � 2 et y � 3x � 2 sontparallèles et distinctes, parce queleurs pentes sont identiques, 3 � 3,et que leurs ordonnées à l’originesont différentes, 2 � �2. 2 4–4 –2

5

10

–10

–5

y

x0

y = 3x + 2

y = 3x – 2

Les droites sécantes (ou concourantes)

Deux droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu’elles ne sont ni confonduesni parallèles et distinctes. Donc :

m1 � m2.

Les ordonnées à l’origine peuvent être identiques.

Exemple : Les droites définies par les équations y � 5x � 10 et y � �4x � 20sont sécantes.

1 2 3 4 5–3 –2 –1

10

20

30

40

–30

–20

–10

y

x0

y = 5x – 10

y = –4x + 20

Il est parfois difficile de justifier que deux droites sont perpendiculairessimplement en regardant le graphique. L’angle formé par les deux droites peutne pas avoir l’air d’un angle de 90° si les axes ne sont pas sectionnés de façonidentique.

Il faut donc utiliser la méthode suivante afin de vérifier si elles sont vraimentperpendiculaires. Il faut déterminer les pentes des deux droites et les comparer.

On peut comparer la pente, m, de deux droites lorsque leur équation estexprimée sous la forme y � mx � b.

Il est possible d’avoir des systèmes de trois droites ou plus. Il y a plusieursrelations possibles entre les droites d’un système à trois équations ou plus.Voici quelques exemples :

Un point d’intersection Trois points d’intersection

3 4 51–1–2–3–4 2

1

2

3

4

5

6

–3

–4

–5

–2

–1

y

x0

y = 3x + 1

y = –x + 4y = –0,25x + 2

3 4 51 2

1

2

3

4

5

6

7

8

–3

–2

–1

y

x0

y = 2x – 2

y = 6x – 14

y = –x + 7


Les droites perpendiculaires

Si m1 est la pente de la première droite et que m2 est la pente de la secondedroite, alors les deux droites sont perpendiculaires si

m1 � m2 � �1.

Les pentes sont des nombres inverses et elles sont de signe contraire.

Exemple : Les droites définies par les équations y � 3x � 2 et y � � x � 4

sont perpendiculaires, car 3 � � � � � �1.

1 2 3 4 6–4 –3 –2 –1 5–5

1

2

3

4

5

6

7

–2

–1

y

x0

y = 3x + 2

y = (– )x + 413

33

13

13

Deux points d’intersection Aucun point d’intersection

Les méthodes de résolution d’un système d’équations présentées danscette section se limitent aux systèmes à deux équations. Elles sont applicablesà des systèmes de trois équations ou plus si ceux-ci n’ont qu’un seul pointd’intersection. Sinon, il faut considérer les droites en groupes de deux.

La résolution des systèmes d’équations linéaires

Pour résoudre un système d’équations, il faut déterminer le point d’intersectionde deux droites. Les droites doivent donc être perpendiculaires ou sécantes.

1. La méthode graphique

On peut déterminer le point d’intersection de deux droites en examinant legraphique de ces deux droites dans un même plan cartésien. Parfois, on peutseulement estimer le résultat parce que la réponse précise n’est pas évidente.Regardons le graphique suivant.

On peut estimer que le point d’intersection est (3 , 6).

Pour déterminer le point d’intersection de façon précise, il faut utiliser l’unedes méthodes algébriques suivantes.

2. La méthode de substitution

Soit le système d’équations suivant :

➀ y � 2x � �4➁ y � 4x � 20 � 0

13

1 2 3 4 5–3 –2 –1

10

20

30

40

–30

–20

–10

y

x0

y = 5x – 10

y = –4x + 20

5 10

5

15

10

y

x0

y = x + 3

y = x + 6

y = x – 2

1 2 3 4

5

10y

x0

y = 4x – 2

y = 4x + 3

y = –2x + 8


Étapes :i. Isoler une variable dans l’une des équations.

Isolons y dans la première équation.

➀ y � 2x � 4 ③

ii. Substituer cette variable dans l’autre équation. On remplace y par 2x � 4 dans l’équation ➁.

➁ → 2x � 4 � 4x � 20 � 0

iii. Isoler la variable dans l’équation. Isoler x.

➁ → 2x � 4x � 4 � 20➁ → 6x � 24

➁ → x � Simplifie.

➁ → x � 4

iv. Substituer x � 4 dans l’équation ③ et isoler y.

③ → y � 2x � 4③ → y � 2(4) � 4③ → y � 8 � 4③ → y � 4

Le point d’intersection des droites définies par les équations y � 2x � �4 et y � 4x � 20 � 0 est (4, 4).

Il est préférable d’utiliser la méthode de substitution lorsqu’on peutfacilement isoler une variable dans l’une des équations.

3. La méthode de comparaison


➀ y � 2x � �4➁ y � 4x � 20 � 0

Étapes :i. Isoler la même variable dans les deux équations. Isolons y

dans les deux équations. On isole y pour éviter les fractions.En isolant x, il y aurait des fractions dans les équations ③et ④.

➀ → y � 2x � 4 ③➁ → y � �4x � 20 ④

ii. Comparer les deux variables isolées. Dans les deuxéquations, la valeur de y est la même au point d’intersection.On peut donc dire que les deux équations équivalentes sontaussi égales.

⑤ → 2x � 4 � �4x � 20

246


iii. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans ⑤.

⑤ → 2x � 4 � �4x � 20⑤ → 2x � 4x � 20 � 4⑤ → 6x � 24

⑤ → x � Simplifie.

⑤ → x � 4

iv. Substituer x par 4 dans l’équation ③ et isoler y.

③ → y � 2x � 4 ③ → y � 2(4) � 4③ → y � 8 � 4③ → y � 4


Il est préférable d’utiliser la méthode de comparaison lorsqu’on peut facile-ment isoler la même variable dans les deux équations.

4. La méthode d’élimination


➀ y � 2x � �4➁ y � 4x � 20 � 0

Étapes :

i. Au besoin, récrire les équations sous la forme Ax � By � �C.

➀ → �2x � y � �4 ③➁ → 4x � y � 20 ④

ii. Multiplier par une valeur l’une des équations ou lesdeux afin d’obtenir le même coefficient numérique ou descoefficients numériques opposés pour l’une des variables.

Comme le coefficient numérique pour la variable y est 1dans les deux équations, cette étape n’est pas nécessairedans ce cas-ci.

iii. Additionner ou soustraire les équations afin d’éliminerl’une des deux variables.

Il faut soustraire les équations : ③ � ④.

③ → �2x � y � �4�④ →�(4x � y � 20)

⑤ → �6x � 0y � �24

246


iv. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans l’équation ⑤.

⑤ → �6x � 0y � �24⑤ → �6x � �24

⑤ → x � Simplifie.

⑤ → x � 4

v. Substituer x � 4 dans l’équation ➀ et isoler y.

➀ y � 2x � �4➀ → y � 2(4) � �4➀ → y � 8 � �4➀ → y � 8 � 4➀ → y � 4


Il est préférable d’utiliser la méthode d’élimination lorsqu’on ne peut pasfacilement isoler une variable dans les équations.

Pour vérifier les résultats, il suffit de vérifier si le point d’intersection satisfaitaux deux équations du système.

Donc, le point (4, 4) devrait satisfaire aux deux équations, y � 2x � �4 et y � 4x � 20 � 0.

Vérification :

Pour l’équation y � 2x � �4 Pour l’équation y � 4x � 20 � 0

M.G. � y � 2x M.D. � �4 M.G � y � 4x � 20 M.D. � 0� 4 � 2(4) � 4 � 4(4) � 20 � 4 � 8 � 4 � 16 � 20� �4 � 20 � 20

� 0M.G. � M.D. M.G. � M.D.La solution est vérifiée. La solution est vérifiée.

Tu peux aussi vérifier ces coordonnées à l’aide d’une calculatrice à affichagegraphique ou d’un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d’inscrireles équations sous la forme y � mx � b en utilisant la touche o, puis dereprésenter le graphique à l’aide de la touche s (le cas échéant, n’oubliepas d’ajuster la fenêtre à l’aide de la touche e). Enfin, pour déterminerles coordonnées du point d’intersection, utilise la touche i (2e fonction etr) et choisis l’option . Tu n’as plus qu’à suivre les instructions.

Il est à noter que le point d’intersection est souvent appelé l’ensemble-solution d’un système d’équations.

�24�6


Exemple 1 Déterminer le point d’intersection de deux droitespar la méthode de comparaison

Reprenons l’exemple qui a été présenté pour illustrer la méthode graphique.Tu as vu qu’il n’est pas toujours possible de déterminer le point d’intersection defaçon précise par la méthode graphique. Il faut alors utiliser une méthode algébrique.

Solution

Tu peux utiliser la méthode de comparaison pour résoudre ce système, puisquela variable y est déjà isolée dans chaque équation.

Soit le système d’équations

➀ y � 5x � 10➁ y � �4x � 20

i. Isole la même variable dans les deux équations. (C’est déjà fait.)

ii. Compare les équations de la variable isolée.

③ → 5x � 10 � �4x � 20

iii. Isole la variable x de l’équation ③.

③ → 5x � 10 � �4x � 20③ → 5x � 4x � 20 � 10③ → 9x � 30

③ → x � Simplifie.

③ → x �

iv. Substitue x � dans l’équation ➁.

➁ y � �4x � 20

➁ → y � �4� � � 20

➁ → y � � � 20

➁ → y � � �

➁ → y �

Le point d’intersection des droites définies par les équations y � 5x � 10 et

y � �4x � 20 est donc � , �.

Tu peux vérifier ces coordonnées à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d’inscrire les équationssous la forme y � mx � b en utilisant la touche o, puis de représenter legraphique à l’aide de la touche s (le cas échéant, n’oublie pas d’ajusterla fenêtre à l’aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnéesdu point d’intersection, utilise la touche i (2e fonction et r) et choisisl’option . Tu n’as plus qu’à suivre les instructions.

203

103

203

603

403

403

103

103

103

309


1 2 3 4 5–3 –2 –1

10

20

30

40

–30

–20

–10

y

x0

y = 5x – 10

y = –4x + 20

Exemple 2 Identifier le système d’équations afin de prédirecombien de solutions sont admises

Détermine le type de chacun des systèmes d’équations ci-dessous et le nombrede solutions qu’il admet sans résoudre le système.

a) ➀ y � 3x � 2 b) ➀ 2y � 6x � 4 � 0 c) ➀ x � y �

➁ 3y � �9x � 12 ➁ y � � x � 6 ➁ x � y �

Solution

Pour mieux analyser les pentes et les ordonnées à l’origine, écris les équationssous la forme y � mx � b.

a) ➀ → y � �3x � 2

➁ → y � � x � → y � �3x � 4

Puisque les pentes sont égales et que les ordonnées à l’origine sont différentes,tu peux conclure que les droites sont parallèles et distinctes. Le systèmed’équations est donc incompatible et n’a aucune solution.

b) ➀ → 2y � 6x � 4 → y � x � → y � 3x � 2

➁ y � � x � 6

Comme le produit des pentes est égal à �1, � � 3 � �1, tu peux conclure

que les droites sont perpendiculaires. Le système d’équations est donc compatibleindépendant et il a une seule solution.

c) Afin de simplifier les équations, tu peux supprimer les fractions en multipliantchaque terme par un nombre divisible par chaque dénominateur dans l’équation.

➀ x � y � Puisque 8 est divisible par 4 et par 2, multiplie chaque terme par 8.

➀ → (8)� �x � (8)� �y � (8)� � Simplifie.

➀ → (2)(3)x � (2)(1)y � (4)(1) Calcule.

➀ → 6x � 2y � 4

➁ x � y � Puisque 6 est divisible par 2, 6 et 3, multiplie chaque terme par 6.

➁ → (6)� �x � (6)� �y � (6)� � Simplifie.

➁ → (3)(1)x � (1)(1)y � (2)(1) Calcule.

➁ → 3x � y � 2 Fais passer le y de l’autre côté

afin de mieux comparer

l’équation ➁ avec l’équation ➀.

➁ → 3x � y � 2

Puisque 2 � ➁ � ➀, tu peux conclure que les droites sont confondues. Le systèmed’équations est donc compatible dépendant et il a une infinité de solutions.

13

16

12

13

16

12

12

14

34

12

14

34

13

13

42

62

123

93

13

16

12

13

12

14

34


Tu peux vérifier ces résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d’inscrire les équationssous la forme y � mx � b en utilisant la touche o, puis de représenter legraphique à l’aide de la touche s (le cas échéant, n’oublie pas d’ajusterla fenêtre, à l’aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnéesdu point d’intersection, utilise la touche i (2e fonction et r) et choisisl’option . Tu n’as plus qu’à suivre les instructions.


1. Utilise la méthode graphique afin de déterminer l’ensemble-solution,s’il existe, de chacun des systèmes d’équations ci-dessous. Vérifietes réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent.

a) x � y � 3 � 0 b) y � � � c) y � 2x � 7 � 0

�3y � 2x � �1 y � �x � 3y � 4x � 11

d) y � 2x � 16 e) y � 3x � 0 f) 0,5x � 0,3y � 0,2

y � x � 3 �2y � 8x 5x � 3y � 2 � 0

2. Utilise la méthode de substitution afin de déterminer l’ensemble-solution,s’il existe, de chacun des systèmes d’équations ci-dessous. Vérifie tesréponses.

a) x � y � 3 b) y � 4x � 5 c) 3x � 4y � 2x � 3

2x � 3y � �4 2x � y � 1 � 3 � y � 2x � 21 � 0

d) 0,4x � 0,2y � 1 � 0 e) 3(x � 1) � 2(y � 1) f) y � 2x � 3

y � x � 1 x � y � 0 �5y � 10x � 15 � 0

3. Utilise la méthode de comparaison afin de déterminer le point d’intersectiondes deux droites, s’il existe, dans chacun des systèmes d’équations ci-dessous.Vérifie tes réponses.

a) 2(x � 3) � y � 8 b) 3x � 3y � 30 c) x � y � 4

2x � y � �2 y � 4 � x y � 5 � 2(x � 1)

d) x � y � 2 � 0 e) 4(x � y) � 8 f) y � x � 3

0,5x � 0,5y � 1 2(x � 1) � y � 1 2(x � y) � 8

12

14

15

12

14

12

32

12

34

x2

14

A


4. Utilise la méthode d’élimination afin de résoudre, si c’est possible,les systèmes d’équations ci-dessous. Vérifie tes réponses.

a) x � 2y � 2 b) 4x � 6y � 12 � 0 c) 3x � y � 7

3x � y � 8 �2x � 3y � 4 9x � 3y � 1

d) 0,25x � 0,75y � 1 e) y � 3x � 1 � 0 f) y � 3 � 6x

x � y � 3 2y � 6x � 8 y � 2 � 4x � 0

5. Utilise la méthode de ton choix afin de résoudre les systèmes d’équationsci-dessous, si c’est possible. Vérifie tes réponses à l’aide d’une calculatriceà affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) 10x � 2y � 22 � 0 b) 3y � 2x � 3 c) 15x � 3y � 6 � 0

6 � 2y � 4x y � 3 � 9x 10x � 2y � 4

d) 4x � 6y � 20 e) x � y � f) 0,2x � 0,3y � �0,4

x � y � 4 � 8 3y � 4x � 6 � � � �1

6. Sans résoudre le système, prouve algébriquement que les droites suivantessont confondues.

3x � 4y � 2 � 09x � 12y � 6 � 0


1. Détermine si les droites sont parallèles, perpendiculaires, confonduesou sécantes. Explique ton raisonnement.

a) y � x � 1 � 0 b) 3x � 6y � 9 c) 3(x � y � 1) � 2

2y � 2x � 4 �x � 2y � 3 � 0 9x � 6 � 3y

d) x � y � 1 � 0 e) 0,1x � 0,2y � 0,3 f) 3(2x � 1) � 3y

x � y � � x � y � � 0 �2(x�1) ��(y�1)

2. Résous les systèmes d’équations ci-dessous par la méthode la plusappropriée. Vérifie tes réponses.

a) 2(x � 1) � 3y � y � 14 b) 2x � 3y � 1 � x � y

�4(y � 3) � x � � 47 (x � 3) � 4y

3. Alice reçoit un message secret indiquant qu’il y a un trésor caché àl’intersection des deux droites suivantes :

� � 4 et �3(x � 6) � x � yy2

x3

23

12

14

14

32

34

12

12

13

A

12

y3

x4

12

14

13

B

23


Elle trouve un autre message secret indiquant qu’il y a un trésor caché auxcoordonnées (4, 6).

Est-ce le même trésor ou y a-t-il deux trésors? Explique ton raisonnement.

4. Résous chacun des systèmes d’équations ci-dessous. Si les droites sontsécantes, vérifie ta solution.

a) x � 2 � 2y � 1 b) 3x � 9 � 4y c) 2x � 3 � 4y

2x � 3y � 3 4x � 37 � 3y �(�x � 2y) �

d) x � y � 2 e) y � 3x � 1 � 0 f) x � y � 1

4x � y � 12 � 0 0 � � x � 4 � y x � 5y � 3

5. Représente graphiquement les systèmes d’équations ci-dessous à l’aided’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent etdétermine, si c’est possible, les coordonnées du point d’intersection desdeux droites. Ensuite, résous algébriquement, à deux décimales près,chacun des systèmes d’équations afin de vérifier l’ensemble-solution.

a) 3x � 4y � 12 b) y � 2x � 1 � �5

2x � 5y � 6 5y � 10x � 15

c) 3x � 9 � 4y d) 0,2x � 0,3y � 0,4

7x � 2y � 2 x � y � 1 � 0

e) (x � 9) � (y � 8) f) 3x � 2y � 3 � x � y � 1

�4x � 3y � 12 � 0 4y � 8x � 2

14

13

14

12

13

32

15

13

14

23

23

B


APERÇU

Dans la section 1.3, tu as appris à résoudre des systèmes d’équations dupremier degré. Tu vas maintenant apprendre à les interpréter dans des situations.Tu verras que l’ensemble-solution ou le point d’intersection d’un systèmed’équations fournit une foule de renseignements sur la situation.

Reprenons la situation de la section 1.3, La rentabilité d’une entreprise.

Jacqueline vend des hot-dogs durant l’été afin de payer ses études.

Elle paie 100 $ pour la location du stand et chaque hot-dog lui coûte 0,75 $.

Jacqueline vend ses hot-dogs 2,50 $ chacun.


On peut modéliser cette situation à l’aide d’un système d’équations.

Que représenteront les deux équations du système?

Que représentera l’intersection des deux droites?

Dans cette section, tu vas apprendre à modéliser une situation à l’aide d’unsystème d’équations afin de résoudre un problème. De plus, tu vas approfondirtes connaissances sur les systèmes d’équations en explorant leurs applications.

ÉTUDIE LE CONCEPT

La modélisation d’une situation à l’aide d’un système d’équations et l’analysede l’ensemble-solution

Pour modéliser une situation, il faut d’abord établir les deux fonctions affinesdu système. Dans la section 1.2, tu as appris à créer un modèle mathématiqueà l’aide d’une fonction affine. Tu dois maintenant mettre ces connaissances enapplication afin de déterminer les équations des deux droites du systèmed’équations. Tu pourras ensuite résoudre le système d’équations et obtenir desrenseignements sur la situation.

Interpréter, dans le cadre d’applications, la solution d’un système comportantdes équations du premier degré.


1.4 Les applications des systèmes

d’équations du premier degré

Considérons la situation de la section 1.3, La rentabilité d’une entreprise.Pour déterminer combien de hot-dogs Jacqueline doit vendre pour faire un profit,

il faut considérer les deux équations qui représentent le calcul du profit. Pour calculer un profit, il faut considérer les dépenses et les revenus. Il faut

donc définir une équation pour représenter les dépenses et une pour représenterles revenus. Ces deux équations constitueront le système d’équations.

Pour modéliser les deux fonctions affines, tu dois :

• définir les variables ;

Soitn : le nombre de hot-dogs vendus

D(n) : les dépenses de Jacqueline, en dollarsR(n) : les revenus de Jacqueline, en dollars

• écrire le modèle mathématique obtenu ;

Jacqueline doit payer 100 $ pour la location du stand et 0,75 $ pour chaquehot-dog. L’équation représentant ses dépenses est donc D(n) � 0,75n � 100.

Jacqueline reçoit 2,50 $ par hot-dog vendu. L’équation représentant sesrevenus est donc R(n) � 2,5n.

Par conséquent, le système d’équations représentant cette situation est :

• utiliser le modèle mathématique pour résoudre le problème ;

Il faut résoudre le système d’équations afin d’analyser le problème.Tu peux utiliser l’une des quatre méthodes présentées dans la section 1.3.

Les méthodes algébriques (comparaison, substitution ou élimination) fournironttoujours une réponse précise pour l’ensemble-solution du système.

Avant de résoudre le système, remplace D(n) et R(n) par la variable y, puisqueces valeurs représentent y dans le plan cartésien. Les dépenses et les revenusreprésentent la variable dépendante. De plus, tu peux remplacer n par la variable x,puisque le nombre de ventes représente la variable indépendante.

Tu obtiens alors le système suivant :

Utilise la méthode de comparaison pour résoudre le système, puisque la variabley est isolée dans chacune des équations.

① y � 0,75x � 100② y � 2,5x

D(n) � 0,75n � 100R(n) � 2,5n

1.4 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 37

Donc, 0,75x � 100 � 2,5x Isole x.

0,75x � 2,5x � �100 Simplifie.

�1,75x � �100

x � Calcule.

x � 57,1

Remplace x par 57,1 dans l’équation ➁ afin de calculer y.

② → y � 2,5(57,1)

y � 142,8

Vérification :

Équation ① M.G. � y M.D. � 0,75x � 100

� 142,8 � 0,75(57,1) � 100

� 142,8

M.G. � M.D.

La solution est vérifiée.

Équation ② M.G. � y M.D. � 2,5x

� 142,8 � 2,5(57,1)

� 142,8

M.G. � M.D.


L’ensemble-solution du système d’équations est donc le point d’intersection(57,1, 142,8). Qu’est-ce que cela signifie ?

En remplaçant D(n) et R(n) par la variable y, on a établi que y � y, c’est-à-direque D(n) � R(n). Autrement dit, les dépenses sont égales aux revenus. Donc,le point d’intersection des deux droites représente le nombre, n, de hot-dogsque Jacqueline doit vendre pour que ses dépenses soient égales à ses revenus.Si elle vend environ 57 hot-dogs, ses dépenses et ses revenus seront d’environ 143 $.

Compare ses revenus à ses dépenses si elle vend moins de 57 hot-dogs, ousi elle en vend plus de 57.

Regardons le graphique de ce système d’équations.

D’après le graphique, on constate que, si Jacqueline vend moins de 57 hot-dogs,ses dépenses seront plus élevées que ses revenus. Elle subira donc une perte.En revanche, si elle vend plus de 57 hot-dogs, ses revenus excéderont sesdépenses, et Jacqueline fera un profit.

20 40 60

50

100

150

200S(n)

n0

D(n) = 0,75n + 100

Nombre de hot-dogs vendus

Som

me

d’a

rgen

t,en

do

llars

, des

dép

ense

set

des

rev

enu

s

R(n) = 2,5n

Revenus et dépenses des ventes de hot-dogsen fonction du nombre de hot-dogs vendus

�100�1,75


• tirer une conclusion.

Tu peux maintenant répondre à la question suivante :


Pour faire un profit, Jacqueline doit vendre plus de 57 hot-dogs.

En général, le point d’intersection (a, b) représente un point de changement,c’est-à-dire que, si x < a, la première situation est favorable, alors que si x > a,c’est l’autre situation qui est favorable. Si x � a, les deux situations se valent.Ce point de changement porte le nom de seuil de rentabilité. Il est souventutilisé en économie pour déterminer le moment où une entreprise réussira àsurvivre ou, au contraire, s’effondrera si les dépenses sont trop élevées oules revenus trop faibles.

Exemple 1 Modéliser une situation par un système d’équationsafin de résoudre un problème

Le problème présenté ci-dessous a été étudié dans la section 1.2.

Une station de ski offre deux possibilités d’abonnement. Dans le premier cas,il y a des frais de base de 125 $ et un coût de 10 $ pour chaque journée de ski.Dans le second cas, il y a des frais de base de 200 $ et un coût de 5 $ pourchaque journée de ski. Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier10 fois durant la saison? Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptesskier 20 fois durant la saison?

Après avoir étudié les systèmes d’équations, tu peux analyser ce problème etrépondre à la question suivante :

Combien de journées de ski faut-il pour que les deux abonnements coûtent lemême prix?

Que peux-tu conclure d’après ce résultat ?

Solution

Soit

n : le nombre de journées de ski durant la saisonC(n) : le coût total de l’abonnement, en dollars

Dans le cas du premier abonnement, disons l’offre A, la pente est 10, puisquele taux de variation est de 10 $/jour, et l’ordonnée à l’origine est 125, le prix debase de l’abonnement.

Dans le cas du second abonnement, disons l’offre B, la pente est 5, puisque letaux de variation est de 5 $/jour, et l’ordonnée à l’origine est 200, le prix de basede l’abonnement.

Tu obtiens donc les deux équations suivantes :



Il n’est pas nécessaire de toujours remplacer la variable dépendante par y etla variable indépendante par x. Tu seras peut-être plus à l’aise en utilisant cesvariables, mais tu peux aussi appliquer les méthodes de résolution d’un systèmed’équations ayant des variables autres que x et y.

La situation présentée dans cet exemple peut être modélisée par le systèmed’équations suivant :

① C(n) � 10n � 125② C(n) � 5n � 200

Puisque la variable C(n) est isolée dans les deux équations, il serait préférablede résoudre ce système par la méthode de comparaison.

Donc, 10n � 125 � 5n � 200 Isole n.

10n � 5n � 200 � 125 Simplifie.

5n � 75 Divise chaque membre

de l’équation par 5.

n � Calcule.

n � 15

Remplace n par 15 dans ➀.

① → C(15) � 10(15)� 125① → C(15) � 275

L’ensemble-solution du système d’équations est donc (15, 275).

Cela signifie que, si tu fais du ski 15 fois, les deux abonnements coûterontle même prix, soit 275 $.

Regardons le graphique de ce problème.

D’après le graphique, il est évident que le point d’intersection des deux droitesreprésente le nombre de jours pour lequel le prix des deux abonnementsest le même.

De plus, on peut dire que ce point représente un point de changement dans lecoût des abonnements, c’est-à-dire que si tu comptes skier moins de 15 fois,l’offre A est plus avantageuse, mais si tu comptes skier plus de 15 fois, l’offre Best plus avantageuse.

105 15 2520 30

100

200

300

400

500C(n)

n0

Carte A

Nombre de journées de ski durant la saison

Co

ûts

des

car

tes,

en d

olla

rs

Carte B

Coût de deux cartes saisonnières pourune pente de ski en fonction du nombre de visites

755


Exemple 2 Interpréter un système d’équations

Le système d’équations ci-dessous décrit la quantité d’eau, Q(t), en litres, quireste dans deux réservoirs en fonction du temps, t, en minutes, au cours duquelils se vident à l’aide d’une pompe.

① Q(t) � 4 000 � 30,3t Réservoir A

② Q(t) � 5 500 � 50,4t Réservoir B

Compare ces deux réservoirs. Que représentent l’ordonnée à l’origine, la penteet le point d’intersection des deux droites ?

Solution

Tu peux faire quelques observations d’après les équations du système.

Tu sais que le réservoir A contient initialement 4 000 L d’eau, puisque Q(0) � 4 000.

De même, le réservoir B contient initialement 5 500 L d’eau, puisque Q(0) � 5 500.

Le réservoir A se vide à une vitesse de 30,3 L par minute, tandis que leréservoir B se vide à une vitesse de 50,4 L par minute.

Il est peut-être plus facile d’analyser la situation en regardant un graphique.

Voici le graphique de cette situation :

D’après le graphique, il faut environ 130 minutes pour vider le réservoir A etenviron 110 minutes pour vider le réservoir B.

Pour déterminer le temps exact qu’il faut pour vider chaque réservoir, il fautcalculer algébriquement l’abscisse à l’origine de chaque fonction.

Détermine la valeur de t pour laquelle Q(t) � 0.

50 100 150

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000Q(t)

t0

Réservoir A

Temps en minutes

Qu

anti

té d

’eau

, en

litr

es

dan

s le

s ré

serv

oir

s

Réservoir B

Quantité d’eau dans deux réservoirsen fonction du temps


Quantité d’eau dans le réservoir A : Quantité d’eau dans le réservoir B :Q(t) � 4 000 � 30,3t Q(t) � 5 500 � 50,4t

0 � 4 000 � 30,3t 0 � 5 500 � 50,4t

30,3t � 4 000 50,4t � 5 500

t � t �

t � 132,013 t � 109,127

Le réservoir A se vide donc en 132,013 minutes, soit 2,2 heures ou 2 heures et12 minutes.

Le réservoir B se vide donc en 109,127 minutes, soit 1,82 heure ou 1 heure et49 minutes.

Le réservoir B contient initialement plus d’eau que le réservoir A. Cependant,comme l’eau du réservoir B s’écoule plus rapidement, il faut moins de tempspour le vider complètement. On peut donc conclure que la pompe qui aspirel’eau du réservoir B fonctionne à une plus grande capacité que celledu réservoir A. Cela est évident selon les pentes des équations.

Que représente le point d’intersection de ces deux droites ?

Le point d’intersection représente le moment où la quantité d’eau est la mêmedans les deux réservoirs.

D’après le graphique, on peut estimer que le point d’intersection se situe autourde (75, 1 750).

Pour déterminer la valeur exacte du point d’intersection, il faut résoudrealgébriquement le système d’équations.

Puisque la variable Q(t) est isolée dans les deux équations, il est préférabled’utiliser la méthode de comparaison.

Donc, 4 000 � 30,3t � 5 500 � 50,4t Isole t.

�30,3t � 50,4t � 5 500 � 4 000 Simplifie.

20,1t � 1 500 Divise chaque membre

de l’équation par 20,1.

t � Calcule.

t � 74,627

Remplace t par 74,627 dans l’équation ②.

② → Q(74,627) � 5 500 � 50,4(74,627) Calcule.

② → Q(74,627) � 1 738,799

L’ensemble-solution du système d’équations est donc (74,627, 1 738,799), ce quicorrespond à l’estimation du graphique.

Cela signifie qu’après 74,627 minutes, soit environ 1 heure et 15 minutes,les deux réservoirs ont la même quantité d’eau, c’est-à-dire environ 1 739 L.De plus, avant 74,627 minutes, le réservoir B contient plus d’eau, et après74,627 minutes, c’est le réservoir A qui en contient le plus.

1 50020,1

5 50050,4

4 00030,3



1. Détermine deux nombres dont la somme est 56 et tels que l’un est égal autriple de l’autre, moins 8.

2. Mia et Donald travaillent dans un magasin d’appareils électroménagers.Mia reçoit un salaire de base de 250 $ par semaine plus une commission de6% sur ses ventes hebdomadaires. Donald reçoit un salaire de base de 300 $par semaine plus une commission de 5% sur ses ventes hebdomadaires.À combien leurs ventes se chiffrent-elles s’ils reçoivent la même paye àla fin de la semaine? À combien cette paye s’élève-t-elle?

3. Jacob et sa grand-mère passent la journée dans un parc d’attractions.Le prix d’entrée est de 6,25 $ pour Jacob et de 3,75 $ pour sa grand-mère.Un billet pour un manège coûte 0,75 $ pour Jacob et 1,25 $ pour sagrand-mère. S’ils ont chacun un chèque-cadeau de la même valeur, combiende billets au maximum chacun pourra-t-il s’acheter avec ce chèque-cadeauet quel est le montant de ce chèque?

4. Le graphique ci-dessous représente deux investissements à intérêt simpleen fonction du temps. L’intérêt simple signifie que l’intérêt est calculé uneseule fois, au moment de l’investissement, et s’ajoute au capital à intervallesfixes. Si on te fait choisir l’un des deux investissements, lequel te semblele plus avantageux? Explique ta réponse.

5. Considère la situation présentée dans la question 4 et analyse les équationsdécrivant la somme, S(t), en dollars, des investissements en fonction dutemps, t, en années :

① S(t) � 2 000 � 70t

② S(t) � 1 500 � 84t

Que peux-tu dire de plus à propos de cette situation?

2010 30 5040 60

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000S(t)

t0

Investissement A

Temps en années

Val

eur

des

inve

stis

sem

ents

,en

do

llars

Investissement B

Croissance de deux investissementsen fonction du temps

B

A



1. Détermine les dimensions d’un rectangle dont le périmètre est de 36 m etdont la largeur est égale à la moitié de la longueur.

2. Suzanne fabrique des bracelets. Elle décide de les vendre dans une expositionde produits d’artisanat. Elle doit payer 125 $ pour louer un stand pour la finde semaine. Si la fabrication d’un bracelet lui coûte 2,25 $ et qu’elle le vend8 $, combien de bracelets doit-elle vendre pour faire un profit ?

3. Décris une situation pouvant être modélisée par le graphique du systèmed’équations ci-dessous. Explique ce que représente le point d’intersectiondans ta situation.

4. Le graphique ci-dessous représente la quantité d’essence dans le réservoir dedeux voitures en fonction de la distance parcourue. Que peux-tu dire au sujetdes deux voitures? Quelle est la quantité initiale d’essence dans les réservoirs?Quel est le taux de variation de l’essence dans chacune des voitures? Quelleest la distance parcourue par chacune des voitures ? (Indice : Reporte-toià l’exemple 2 de cette section pour t’aider à interpréter la situation.)

5. Considère la situation présentée dans la question 4 et analyse les équationsdécrivant la quantité d’essence, Q(d), en litres, en fonction de la distance, d,en kilomètres, parcourue :

① Q(d) � 42 � 0,07d

② Q(d) � 55 � 0,11d

Que peux-tu dire de plus à propos de la situation?

400200 600 800

20

40

60Q(d)

d0

Voiture A

Distance parcourue en kilomètres

Qu

anti

té d

’ess

ence

,en

litr

es, d

ans

leré

serv

oir

de

la v

oit

ure

Voiture B

Quantité d’essence dans le réservoir de deux voitures selon la distance parcourue

B

402010 30 50 7060 10080 90

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

1 600

0

A


1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 45

1.5 Les caractéristiques des fonctions

du second degré

APERÇU

Dans les sections 1.1 à 1.4, tu as vu comment diverses situations peuvent êtremodélisées par une fonction affine. Les fonctions affines sont des fonctionsdu premier degré puisque la valeur de l’exposant le plus élevé dans l’équationest égale à 1. Les fonctions du premier degré sont des fonctions linéaires.

Toutefois, certaines relations ne sont pas des fonctions linéaires et doiventêtre représentées par une courbe. Ces fonctions sont d’un degré supérieur à 1,puisque la valeur de l’exposant le plus élevé dans leur équation est égale àau moins 2.

Dans cette section, tu vas revoir les caractéristiques des fonctions du seconddegré. Ces fonctions non linéaires permettent de modéliser des situations quisont représentées par une courbe, plus précisément par une parabole.

Cette section te permettra d’approfondir tes connaissances sur les fonctionsdu second degré afin de faciliter la modélisation mathématique et la résolutionde problèmes semblables à celui présenté dans la situation précédente. La solutionde ce problème sera explorée davantage dans la section 1.6 lorsque tu étudierasles applications des fonctions du second degré.

Déterminer les caractéristiques des fonctions du second degré sousdifférentes représentations.

Situation

Lancer un caillou

On lance un caillou dans les airs à partir d’un pont qui se trouve à 15 m au-dessus de l’eau. Le caillou effectuant un déplacement ascendant et descendant,la hauteur qu’il atteint au-dessus de l’eau se définit en fonction dutemps écoulé depuis qu’il a été lancé. Au temps t, exprimé en secondes,la hauteur du caillou au-dessus de l’eau, en mètres, peut être représentéepar la fonction définie par l’équation h(t) � �4,9t2 � 12t � 15.

À quel moment le caillou atteint-il sa hauteur maximale? Quelle est lahauteur maximale?

Combien de temps s’écoule avant que le caillou pénètre dans l’eau?

ÉTUDIE LE CONCEPT

Les caractéristiques d’une fonction du second degré

Avant de pouvoir modéliser et analyser des problèmes à l’aide des fonctions dusecond degré, tu dois bien comprendre ces fonctions.

Comment identifier une fonction du second degré

• Équation

On peut reconnaître une fonction du second degré, puisque la valeur del’exposant le plus élevé dans l’équation est égale à 2.

• Graphique

Le graphique d’une fonction du second degré a la forme d’une parabole.

Lorsque la parabole est ouverte vers le haut, le sommet représente unpoint minimal et, lorsqu’elle est ouverte vers le bas, le sommet représenteun point maximal.

Le sommet est aussi le point où la parabole passe de décroissanteà croissante si la parabole est ouverte vers le haut ou de croissante àdécroissante si la parabole est ouverte vers le bas.

Les valeurs des abscisses à l’origine (valeurs de x où la parabole coupel’axe des x) s’appellent les zéros de la fonction.

• Tableau de valeurs

Rappel : Les premières différences du tableau de valeurs d’une fonctionaffine sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers.

Les secondes différences du tableau de valeurs d’une fonction du seconddegré sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers.

y

x

sommet

Voici la forme générale d’une fonction du second degré :

y � ax2 � bx � c, a � 0

Exemple : L’équation y � 2x2 � 3x � 4 est une fonction du second degré.


Le tableau de valeurs ci-dessous représente les données de la fonction y � 2x2 � 3x � 4.

Il est à noter que la constante de la seconde différence divisée par deuxreprésente a, le coefficient du terme au carré de l’équation y � ax2 � bx � c.Dans l’exemple ci-dessus, 4 � 2 � 2, le coefficient de x2.

Comment déterminer les zéros d’une parabole

Il existe trois possibilités de zéros ou d’abscisses à l’origine pour une parabole.

1. 2. 3.

Deux zéros complexes Deux zéros réels Deux zéros réelsdistincts identiques

On peut identifier le nombre de zéros réels dans une fonction du second degréen regardant son graphique. Toutefois, il sera parfois difficile de déterminer laou les valeurs exactes des zéros réels, car le graphique ne fournit pas toujoursdes valeurs précises.

Une méthode algébrique fournira toujours des valeurs exactes. Voici troisméthodes algébriques pour déterminer les zéros d’une fonction du second degré.

Méthode 1 : la factorisation

Factoriser signifie mettre en facteurs. Des facteurs sont des polynômes écritssous forme de produit. La factorisation consiste donc à convertir une équationsous la forme d’un produit de facteurs.

Pour simplifier la tâche de la factorisation d’un trinôme, on vérifie d’abordsi les termes ont un plus grand facteur commun (pgfc). Si tel est le cas, on metce facteur commun en évidence et on factorise le trinôme dans les parenthèses.

Exemple : Pour factoriser l’expression 2x2 � 4x � 6, on met en évidence lepgfc, 2. On obtient alors 2(x2 � 2x � 3). On factorise ensuite le trinôme dansles parenthèses.

y

x

y

x

y

x


x y Premières différences Secondes différences

�3 5

�2 �2 �2 � 5 � �7

�1 �5 �5 � (�2) � �3 �3 � (�7) � 4

0 �4 �4 � (�5) � 1 1 � (�3) � 4

1 1 1 � (�4) � 5 5 � 1 � 4

2 10 10 � 1 � 9 9 � 5 � 4

3 23 23 � 10 � 13 13 � 9 � 4

A) Trinôme de la forme y � ax2 � bx � c, où a � 1.

Considérons l’équation y � x2 � 6x � 8.

Étapes :

1. Factoriser le trinôme

L’équation y � x2 � bx � c devient une équation de la forme y � (x � �)(x � �), où � � � � c et � � � � b.

Donc, y � x2 � 6x � 8 devient y � (x � 4)(x � 2), car 4 � 2 � 8 et 4 � 2 � 6.

2. Pour déterminer ces zéros, posons y � 0.

0 � (x � 4)(x � 2)

On peut déterminer les valeurs de x, puisqu’on sait que, si le produit dedeux facteurs est 0, l’un des deux facteurs doit être égal à 0.

Si (a)(b) � 0, alors a � 0 ou b � 0.

Donc, si 0 � (x � 4)(x � 2)

alors x � 4 � 0 ou x � 2 � 0 Isole x.

x � �4 ou x � �2

Les zéros de l’équation y � x2 � 6x � 8 sont �4 et �2.

Vérification :

x � �4 M.G. � y M.D. � x2 � 6x � 8

� 0 � (�4)2 � 6(�4) � 8

� 16 � 24 � 8

� 0

M.G. � M.D.


x � �2 M.G. � y M.D. � x2 � 6x � 8

� 0 � (�2)2 � 6(�2) � 8

� 4 � 12 � 8

� 0

M.G. � M.D.


Tu peux aussi vérifier ces zéros en représentant graphiquement la fonctiondu second degré à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise lafonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l’option zéroet suis les instructions.


B) Trinôme de la forme y � ax2 � bx � c, où a � 1 et a � 0.

Considérons l’équation y � 3x2 � x � 2.

Étapes :

1. Factoriser le trinôme

L’équation y � ax2 � bx � c devient une équation de la forme y � ax2 � �x � �x � c, où � � � � a � c et � � � � b. Puisque (�3) � (2) � (3) � (�2) et �3 � 2 � �1, alors l’équation y � 3x2 � x � 2 devient y � 3x2 � 3x � 2x � 2.

En regroupant les termes en groupes de deux, on peut mettre enévidence le plus grand facteur commun de chaque groupe. Cetteméthode s’appelle la factorisation par regroupement.

y � (3x2 � 3x) � (2x � 2) Regroupe les deux premiers

termes et les deux derniers.

y � 3x(x � 1) � 2(x � 1) Mets en évidence le plus

grand facteur commun de

chaque groupe.

y � (x � 1)(3x � 2) Factorise le binôme commun.

L’équation y � 3x2 � x � 2 devient donc y � (x � 1)(3x � 2).

2. On détermine les zéros en remplaçant y par 0.

0 � (3x � 2)(x � 1)

Donc,

3x � 2 � 0 ou x � 1 � 0 Isole x.

3x � �2 x � 1

x � �

Les zéros de l’équation y � 3x2 � x � 2 sont � et 1.

Vérification :

x � � M.G. � y M.D. � 3x2 � x � 2

� 0 � 3�� 2� �� 2

� 3� � � �

� �

� �

� 0

M.G. � M.D.


129

129

43

129

63

23

49

23

23

23

23

23


x � 1 M.G. � y M.D. � 3x2 � x � 2

� 0 � 3(1)2 � 1 � 2

� 3 � 3

� 0

M.G. � M.D.


Considérons une deuxième équation y � 2x2 � 3x � 1.

Étapes :1. Factoriser le trinôme

L’équation y � ax2 � bx � c devient une équation de la forme y � ax2 � �x � �x � c, où � � � � a � c et � � � � b. Puisque 2 � 1 � 2 � 1 et 2 � 1 � 3, l’équation y � 2x2 � 3x � 1 devient y � 2x2 � 2x � x � 1.

En regroupant les termes par deux, on peut mettre en évidence leplus grand facteur commun de chaque groupe. Cette méthode s’appellela factorisation par regroupement.

y � (2x2 � 2x) � (x � 1) Regroupe les deux premiers

termes et les deux derniers termes.

y � 2x(x � 1) � (x � 1) Mets en évidence le plus grand

facteur commun de chaque groupe.

y � (x � 1)(2x � 1) Factorise le binôme commun.

L’équation y � 2x2 � 3x � 1 devient donc y � (x � 1)(2x � 1).

2. On détermine les zéros en remplaçant y par 0.

0 � (x � 1)(2x � 1)

Donc,

x � 1 � 0 ou 2x � 1 � 0 Isole x.

x � �1 2x � �1

x � �

Les zéros de l’équation y � 2x2 � 3x � 1 sont x � �1 et x � � .

Vérification :

x � � M.G. � y M.D. � 2x2 � 3x � 1

� 0 � 2�� 2� 3�� 1

� 2� � � � 1

� � �

� 0

M.G. � M.D.


22

32

12

32

14

12

12

12

12

12


x � �1 M.G. � y M.D. � 2x2 � 3x � 1

� 0 � 2(�1)2 � 3(�1) � 1

� 2(1) � 3 � 1

� 2 � 3 � 1

� 0

M.G. � M.D.


Tu peux aussi vérifier ces zéros en représentant graphiquement la fonctiondu second degré à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise lafonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l’option zéroet suis les instructions.

Méthode 2 : la complétion du carré

En considérant la forme générale d’une fonction du second degré y � ax2 � bx � c,on complète le carré de la façon suivante afin d’obtenir l’équation sous la formey � a(x � h)2 � k. Dans cette équation, on peut isoler la variable x lorsque y � 0.

Prenons comme exemple l’équation y � 3x2 � 6x � 9 pour démontrer cetteméthode.

Étapes :

1. y � (3x2 � 6x) � 9 Regroupe les deux premiers termes du

trinôme, ax2 � bx � c.

2. y � 3(x2 � 2x) � 9 Mets en évidence le coefficient numérique

du premier terme, a, comme facteur commun.

3. �� 2� (�1)2 � 1 Divise par 2 la valeur du coefficient numérique

du deuxième terme dans les parenthèses et

élève le résultat obtenu au carré.

4. y � 3(x2 � 2x � 1 � 1) � 9 Additionne et soustrais la valeur obtenue à

l’étape 3 dans les parenthèses. En additionnant

et en soustrayant la même valeur, l’équation

ne change pas.

5. y � 3(x2 � 2x � 1) � 3 � 9 Sors le dernier terme, �1, des parenthèses en

le multipliant par 3, puisque 3 multiplie chaque

terme à l’intérieur des parenthèses.

6. y � 3(x2 � 2x � 1) � 6 Regroupe les deux derniers termes.

Le trinôme qui reste dans les parenthèses est un trinôme carré parfait.C’est pourquoi cette méthode s’appelle la complétion du carré. Enfactorisant ce trinôme, on obtient l’équation suivante :

7. y � 3(x � 1)2 � 6

On a maintenant la forme y � a(x � h)2 � k.

22


8. Pour déterminer les zéros, posons y � 0.

0 � 3(x � 1)2 � 6 Isole x.

�6 � 3(x � 1)2

� � (x � 1)2 Simplifie.

�2 � (x � 1)2 Extrait la racine carrée de chaque membre.

� x � 1

1 � x

Puisque le radicande est négatif, la parabole aura deux zéros complexes,c’est-à-dire que son graphique ne coupe pas l’axe des x.

Donc,

1 � x

1 � � x

1 i � x

x � 1 1,414i, où i représente un nombre imaginaire.

Les deux zéros complexes sont 1 � 1,414i et 1 � 1,414i.

Tu peux aussi vérifier que le graphique ne coupe pas l’axe des x enreprésentant graphiquement la fonction du second degré à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

Méthode 3 : la formule du second degré

Alors que la méthode de la factorisation n’est pas toujours possible et que laméthode de complétion du carré peut être très longue pour résoudre certaineséquations, la formule du second degré permet de déterminer les zérosde toute fonction du second degré. De plus, elle permet de vérifier la naturedes zéros avant même de les déterminer.

�2

�2��1

��1 � 2

��2

��2

63


La formule du second degré

Pour toute fonction du second degré de la forme y � ax2 � bx � c, a � 0,on peut déterminer les zéros de la fonction à l’aide de cette formule. Il suffit deremplacer les variables a, b et c par les valeurs correspondantes dans la formule.

Voici la formule du second degré :

x � , a � 0

On peut aussi vérifier la nature des zéros en calculant le radicande ou lediscriminant b2 � 4ac.

Si b2 � 4ac > 0, alors les deux zéros sont réels et distincts et il y aura deuxabscisses à l’origine.

Si b2 � 4ac � 0, alors les deux zéros sont réels et identiques et il y auraune seule abscisse à l’origine.

Si b2 � 4ac < 0, alors les deux zéros sont complexes et il n’y aura aucuneabscisse à l’origine.

�b �b2 � 4ac2a

Considérons l’équation y � 2x2 � 3x � 4 pour démontrer cette méthode.

Étapes :

1. Déterminer les valeurs de a, b et c dans l’équation de la forme y � ax2 � bx � c.

Dans l’équation y � 2x2 � 3x � 4, a � 2, b � 3 et c � �4.

2. Remplacer les variables a, b et c par les valeurs correspondantes dansla formule.

Donc, x � , où a � 2, b � 3 et c � �4.

x � Simplifie.

x � Simplifie.

x � Calcule.

Il est à noter que le discriminant b2 � 4ac � 41 > 0. Donc, les deuxzéros seront réels et distincts.

Alors,

x � et x �

x � 0,851 x � �2,351

Les deux zéros réels et distincts de la fonction y � 2x2 � 3x � 4 sontapproximativement 0,851 et �2,351.

Tu peux vérifier les zéros de cette fonction en les représentantgraphiquement à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise lafonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l’option zéroet suis les instructions.

Il est à noter qu’on demande parfois les valeurs exactes d’une solution.Il ne faut pas déterminer la valeur de la racine carrée. Il s’agit tout simplementde la réduire à sa plus simple expression. Ici, les réponses exactes de la

solution sont et .

Le maximum ou le minimum d’une parabole

On peut identifier les coordonnées du sommet en regardant le graphique d’unefonction du second degré. Toutefois, il est parfois difficile de déterminer lescoordonnées exactes du sommet à partir du graphique, car celui-ci ne fournitpas toujours des valeurs précises.

Une méthode algébrique fournira toujours des valeurs exactes.

Pour déterminer les valeurs exactes du sommet d’une parabole, on appliquela méthode de la complétion du carré.

�3 � �414

�3 � �414

�3 � 6,4034

�3 � 6,4034

�3 �414

�3 �9 � 324

�3 �32 � 4(2)(�4)2(2)

�b �b2 � 4ac2a


En complétant le carré d’une fonction de la forme y � ax2 � bx � c, on obtientune équation de la forme y � a(x � h)2 � k.

Lorsque l’équation de la fonction du second degré est de la forme y � a(x � h)2 � k, on peut définir plusieurs propriétés de la parabole.

Dans l’exemple de la méthode de la complétion du carré, l’équation y � 3x2 � 6x � 9 a été transformée en y � 3(x � 1)2 � 6.

On peut donc conclure que la parabole est ouverte vers le haut, puisque lavaleur de a, 3, est positive, et que, si x � 1, on obtient une valeur minimale de 6pour y. Les coordonnées du sommet sont (1, 6).

Exemple 1 Déterminer l’équation d’une parabole à partir de son graphique

Lorsque certaines coordonnées d’une parabole sont identifiables à partir de songraphique, par exemple les coordonnées du sommet, il est facile de déterminerson équation. Il suffit d’identifier les coordonnées du sommet et un autre pointsitué sur la parabole.

Détermine l’équation sous la forme y � ax2 � bx � c de la parabole représentéedans le graphique suivant.

Solution

D’après le graphique, tu peux déterminer que les coordonnées du sommet sont(�2, �16).

Tu sais donc que h � �2 et que k � �16. De plus, puisque la parabole estorientée vers le haut, tu sais que a > 0 dans l’équation y � a(x � h)2 � k.

1 2 3–4 –3 –2 –1–6 –5–7

5

10

–15

–20

–10

–5

y

x0

L’équation de la fonction du second degré sous la forme

y � a(x � h)2 � k

nous indique que :

• les coordonnées du sommet sont (h, k).

• si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut et y est une valeur minimale,k, lorsque x � h.

• si a < 0, la parabole est ouverte vers le bas et y est une valeur maximale,k, lorsque x � h.


Donc, l’équation y � a(x � h)2 � k devient

y � a[x � (�2)]2 � (�16) Simplifie.

y � a(x � 2)2 � 16

Pour déterminer la valeur de a, choisis un point (x, y) sur la courbe, autre quele sommet, et remplace x et y dans l’équation par les valeurs correspondantes.

Il est évident que l’un des zéros sur la parabole est 2. Le point correspondantest donc (2, 0).

y � a(x � 2)2 � 16 Remplace x par 2 et y par 0.

0 � a(2 � 2)2 � 16 Simplifie.

0 � a(4)2 � 16 Isole a.

16 � 16a

� a

a � 1

Sous la forme y � a(x � h)2 � k, l’équation est donc y � (x � 2)2 � 16.

Pour présenter l’équation sous la forme y � ax2 � bx � c, il suffit de développerl’équation y � (x � 2)2 � 16.

y � (x � 2)2 � 16

y � (x � 2)(x � 2) � 16 Développe par distributivité.

y � x2 � 2x � 2x � 4 � 16 Regroupe les termes semblables.

y � x2 � 4x � 12

Vérification :

Les zéros

Tu peux vérifier cette équation en comparant ses zéros avec celles du graphique.

Détermine les zéros par la méthode de factorisation.

L’équation y � x2 � 4x � 12 est égale à l’équation y � (x � 2)(x � 6), puisque(�2)(6) � �12 et que �2 � 6 � 4. Pour déterminer les zéros, on pose y � 0.

0 � (x � 2)(x � 6)

alors x � 2 � 0 ou x � 6 � 0

x � 2 x � �6

Puisque le graphique coupe l’axe des x en x � 2 et en x � �6, ces zérossont valides.

Les coordonnées du sommet

Tu dois aussi vérifier les coordonnées du sommet.

Les coordonnées du sommet sont (�2, �16).

1616


Donc, y � x2 � 4x � 12

M.G. � y M.D. � x2 � 4x � 12

� �16 � (�2)2 � 4(�2) � 12

� 4 � 8 � 12

� �16

M.G. � M.D.

Les coordonnées du sommet sont valides.

En effet, l’équation de la parabole représentée dans le graphique est y � x2 � 4x � 12.

Exemple 2 Déterminer les zéros d’une fonction du second degrépar la méthode de factorisation

Détermine les zéros de la fonction définie par l’équation y � 9x2 � 12x � 4 parla méthode de factorisation.

Solution

Comme la factorisation d’un trinôme n’est pas toujours possible, tu peux vérifierla nature des zéros afin de déterminer si la factorisation est une bonne méthodede résolution de l’équation. Si les zéros sont complexes, il vaut mieux ne pasrecourir à la factorisation. En outre, même si les zéros sont réels, la factorisationpeut être difficile à appliquer surtout si le discriminant b2 � 4ac n’est pas uncarré parfait.

Vérification de la nature des zéros.

Soit le discriminant b2 � 4ac, où a � 9, b � 12 et c � 4.

Donc, b2 � 4ac � 122 � 4(9)(4)

� 144 � 144

� 0

Les deux zéros sont réels et identiques. La factorisation est facilement applicable.Puisque les deux zéros sont identiques, tu peux conclure que la fonction définiepar l’équation y � 9x2 � 12x � 4 est un trinôme carré parfait.

Pour factoriser l’équation y � 9x2 � 12x � 4, tu dois pouvoir répondre à laquestion suivante.

Quels sont les deux nombres, � et �, qui satisfont aux conditions suivantes :

� � � � 9 � 4 � 36 et � � � � 12?

Ces deux nombres sont 6 et 6.

Puisque a � 9 (a � 1), il faut remplacer le terme du milieu, 12x, par 6x � 6x.

Donc, y � 9x2 � 12x � 4 devient y � 9x2 � 6x � 6x � 4.


Regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes.

y � (9x2 � 6x) � (6x � 4) Mets les pgfc 3x et 2 en évidence.

y � 3x(3x � 2) � 2(3x � 2) Mets le pgfc 3x � 2 en évidence.

y � (3x � 2)(3x � 2)

y � (3x � 2)2

En remplaçant y par 0, tu peux déterminer les zéros de la fonction.

Soit 0 � (3x � 2)2

Donc, 0 � (3x � 2)(3x � 2)

3x � 2 � 0 ou 3x � 2 � 0

3x � �2 3x � �2

x � � x � �

Le seul zéro est � .

Puisque les deux zéros sont identiques, tu peux conclure que la parabole touche

l’axe des x en un seul point. Le point �� , 0� est le sommet de la parabole.

Tu peux aussi vérifier ce seul zéro en représentant graphiquement la fonction dusecond degré à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logicieléquivalent. Pour déterminer la valeur exacte du zéro, utilise la fonction i surla calculatrice à affichage graphique, choisis l’option zéro et suis les instructions.


1. Détermine les zéros des fonctions ci-dessous par la méthode de factorisation.Vérifie tes réponses algébriquement.

a) y � x2 � 2x � 15 b) y � 2x2 � 3x � 2 c) y � 6x2 � x � 2

d) y � x2 � 8x � 12 e) y � 2x2 � 5x � 3 f) y � 3x2 � 17x � 10

2. Détermine les zéros des fonctions ci-dessous par la méthode de lacomplétion du carré. S’il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près.

a) y � x2 � 20x � 96 b) y � x2 � 4x � 1

c) y � �x2 � 26x � 218 d) y � �3x2 � 12x � 15

e) y � 2x2 � 12x � 21 f) y � x2 � 8x � 4

3. Détermine les valeurs exactes et, s’il y a lieu, les valeurs approximativesau centième près, des zéros des fonctions ci-dessous à l’aide de la formuledu second degré.

a) y � 2x2 � 5x � 3 b) y � 4x2 � 4x � 1 c) y � 0,5x2 � 3x � 2

d) y � x2 � 4x � 13 e) y � 2x2 � 6x � 1 f) y � 5x2 � 5x � 2

23

A

23

23

23

23


4. Détermine la nature des zéros des fonctions ci-dessous, puis détermineles zéros en utilisant la méthode de ton choix. S’il y a lieu, arrondis tesréponses au centième près. Vérifie la validité de tes réponses à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) y � 4x2 � 6x � 2,25 b) y � 20x2 � 7x � 3 c) y � x2 � 6x � 10

d) y � 2x2 � 3x � 6 e) y � 9x2 � 24x � 16 f) y � 2x2 � 32

5. Détermine algébriquement les coordonnées du sommet des fonctionsci-dessous et indique s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. Justifie tesréponses. Vérifie tes solutions en représentant graphiquement les fonctionsà l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) y � x2 � 6x � 8 b) y � x2 � 8x � 12 c) y � 2x2 � 4x � 5

d) y � 4x2 � 8x � 3 e) y � �x2 � x � f) y � x2 � 2x � 4

6. Détermine l’équation de chaque parabole ci-dessous sous la forme y � ax2 � bx � c.

a) b)


1. Factorise les fonctions ci-dessous afin de déterminer les zéros. Vérifie tesréponses à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logicieléquivalent.

a) y � 5x2 � 16x � 3 b) y � 3x2 � 3x � 6 c) y � 2x2 � 5x � 3

d) y � 2x2 � 3x � 1 e) y � 10x2 � 22x � 4 f) y � 4x2 � 20x � 25

2. Complète le carré des fonctions ci-dessous afin de déterminer les zéros.S’il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie la validitéde tes réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’unlogiciel équivalent.

a) y � �2x2 � 12x � 10 b) y � 3x2 � 6x � 4

c) y � �x2 � 16x � 19 d) y � 5x2 � 2x � 1

e) y � 4x2 � 4x � 1 f) y � 4x2 � 2x �34

A

0

2

4

6

–8

–2

–4

–6

–10

–12

–14

y

x–4 –2–10 –8 –6

4 51 20

2

4

6

10

8

–8

–2

–4

–6

–10

y

x3

13

59

43

B



3. Utilise la formule du second degré afin de déterminer les zéros des fonctionsci-dessous. S’il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie tesréponses à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logicieléquivalent.

a) y � �4x2 � x � 3 b) y � x2 � 6x � 9

c) y � 2x2 � 2x � 5 d) y � 16x2 � 9

e) y � 0,2x2 � 1,3x � 2,9 f) y � x2 � x � 2

4. Détermine la nature des zéros des fonctions ci-dessous, puis détermineles zéros en utilisant la méthode de ton choix. S’il y a lieu, arrondis tesréponses au centième près. Vérifie la validité de tes réponses à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) y � 9x2 � 12x � 4 b) y � x2 � 3,9x � 1,26

c) y � x2 � 2x � 2 d) y � 8x2 � 10x � 3

e) y � 2x2 � 3 f) y � 5x2 � 20x � 20

5. Détermine algébriquement la valeur maximale ou minimale des fonctionsci-dessous et indique la valeur de x correspondante. Ensuite, détermineles intervalles de croissance et de décroissance pour chacune des fonctions.Vérifie tes réponses à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent.

a) y � x2 � 2x � 7 b) y � �2x2 � 12x � 19

c) y � x2 � 10x � 2 d) y � x2 � 14x � 49

e) y � 3x2 � 2x � 2 f) y � x2 � x � 2

6. Détermine l’équation de chaque parabole ci-dessous sous la forme y � ax2 � bx � c.

a) b)

0

–12

–14

–4

–2

–6

–8

–10

–20

–16

–18

yx

24

0–2

2

4

6

8

10

–4

–6

–8

–10

y

x421–2 3–1

43

13

A

34

116


1.6 Les applications des fonctions

du second degré

APERÇU

Plusieurs phénomènes peuvent être modélisés par une fonction du second degré.Dans la situation de la section 1.5, Lancer un caillou, un caillou monte dans

les airs, redescend graduellement et tombe dans l’eau. Le graphique de la hauteurde ce caillou en fonction du temps prend la forme d’une parabole.

Lorsqu’on modélise mathématiquement une telle situation, on peut analyserle problème et tirer des conclusions.

Reprenons la situation de la section 1.5, Lancer un caillou.

On lance un caillou dans les airs à partir d’un pont qui se trouve à 15 mau-dessus de l’eau. Le caillou effectuant un déplacement ascendant et descendant,la hauteur qu’il atteint au-dessus de l’eau se définit en fonction du temps écoulédepuis qu’il a été lancé. Au temps t, exprimé en secondes, la hauteur du caillouau-dessus de l’eau, en mètres, peut être représentée par la fonction définie parl’équation h(t) � �4,9t2 � 12t � 15.

À quel moment le caillou atteint-il sa hauteur maximale? Quelle est lahauteur maximale?

Combien de temps s’écoule avant que le caillou pénètre dans l’eau?

En examinant le graphique de cette équation, détermine le point maximalde la parabole.

Quelle variable représente la hauteur du caillou? Comment peut-on déterminerla hauteur maximale du caillou?

Quelle variable représente le temps écoulé? Cette variable peut-elle prendredes valeurs négatives?

Tu as les outils nécessaires pour répondre à ces questions.

Les connaissances acquises dans la section 1.5 te permettront d’analyser dessituations modélisées par une fonction du second degré.

Dans cette section, tu exploreras les applications des fonctions du second degré.

Interpréter les caractéristiques d’une fonction du second degré dansune situation.

ÉTUDIE LE CONCEPT

Analyser une situation modéliséepar une fonction du second degré

Avant d’explorer la résolution algébrique d’une situation modélisée par unefonction du second degré, examinons les caractéristiques de ces fonctions etvoyons comment elles peuvent être interprétées dans une situation réelle.

Regardons le graphique de la fonction définie par l’équation h(t) � �4,9t2 � 12t � 15 représentant la hauteur h, du caillou, en mètres,en fonction du temps t, en secondes.

La valeur de y au sommet de la parabole représente la hauteur maximaleatteinte par le caillou. La valeur de x à ce point représente le temps nécessairepour que le caillou atteigne cette hauteur maximale.

D’après le graphique, on peut estimer que le caillou atteint une hauteurmaximale d’environ 22,5 mètres après 1,2 seconde.

De plus, le zéro, t � 3,4, représente le temps que prend le caillou avant detomber dans l’eau. À ce moment, la hauteur h(t) � 0 m. Le caillou entre doncdans l’eau après 3,4 secondes. On remarque que l’un des zéros n’est pas visibleparce que le graphique ne se continue pas pour les valeurs négatives de t.La variable t représente le temps et il est illogique de donner une valeur négativeau temps. On ne considère donc pas cet autre zéro dans le contexte du problème.

La valeur de l’ordonnée à l’origine, h(0) � 15, représente la hauteurinitiale, c’est-à-dire la hauteur avant que le caillou soit lancé (t � 0). Le caillouest lancé d’un pont qui se trouve à 15 m au-dessus de l’eau.

Rappel : Il est parfois difficile de déterminer de façon précise certainesdonnées, telles que les coordonnées du sommet et les zéros, à partirdu graphique. Il est alors plus avantageux de détermineralgébriquement les zéros et le sommet.

Dans la section 1.5, tu as appris comment déterminer algébriquement cesvaleurs. Il s’agit maintenant de les appliquer en considérant les variablesutilisées dans la situation et d’interpréter les résultats.

La résolution algébrique

Pour déterminer les coordonnées du sommet et les zéros, on utilisera laméthode de la complétion du carré.

1 2 3 4 6

5

10

15

20

25h(t)

t0

h(t) = –4,9t2 + 12t + 15

Hauteur du caillou en fonction du temps

Temps en secondes

Hau

teu

r en

mèt

res

1.6 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 61

Prenons l’équation h(t) � �4,9t2 � 12t � 15.

h(t) � �4,9t2 � 12t � 15 Regroupe les deux premiers

termes.

h(t) � (�4,9t2 � 12t) � 15 Factorise les deux premiers

termes par la mise en

évidence du coefficient

numérique du premier terme.

h(t) � �4,9(t2 � 2,449t) � 15 Ajoute et soustrais dans les

parenthèses le carré de la

moitié du coefficient de t.

�� 2� 1,499

h(t) � �4,9(t2 � 2,449t � 1,499 � 1,499) � 15 Sors �1,499 des parenthèses

en le multipliant par �4,9.

h(t) � �4,9(t2 � 2,449t � 1,499) � 7,345 � 15 Regroupe les derniers termes.

h(t) � �4,9(t2 � 2,449t � 1,499) � 22,345 Factorise le trinôme carré

parfait afin de le représenter

sous la forme du carré

d’un binôme.

h(t) � �4,9(t � 1,224)2 � 22,345

Pour distinguer rapidement le carré d’un binôme d’un trinôme carré parfaitde la forme x2 � bx � c, divise la valeur de b par 2. Ensuite, écris le carré du

binôme sous la forme (x � )2. Dans le cas du trinôme t2 � 2,449t � 1,499,

b � � � �1,224. Tu obtiens donc (t � 1,224)2.

L’équation est maintenant sous la forme y � a(x � h)2 � k. Tu peux donc tirerdes conclusions d’après le résultat obtenu.

Puisque la valeur de a, �4,9, est négative, la parabole est ouverte vers le bas etle sommet représente un point maximal. Le graphique le montre clairement.

De plus, tu peux conclure que le caillou atteint une hauteur maximale d’environ22,3 mètres après 1,2 seconde. En effet, h(t) prend la valeur maximale de 22,345lorsque t � 1,224, puisque les coordonnées du sommet sont (1,224, 22,345).

Pour déterminer les zéros de la parabole, il suffit de poser h(t) � 0 et d’isoler lavariable t.

Donc, 0 � �4,9(t � 1,224)2 � 22,345 Isole t.

� (t � 1,224)2 Calcule.

4,56 � (t � 1,224)2 Extrait la racine carrée de

chaque membre.

� t � 1,224

1,224 2,135 � t

Donc, t � 1,224 � 2,135 ou t � 1,224 � 2,135

t � 3,359 ou t � � 0,911

�4,56

�22,345�4,9

2,4492

b2

2,4492


Puisque le temps t ne peut pas prendre une valeur négative, le seul zéro quiexiste dans cette situation est t � 3,359. Cette valeur représente le temps où lecaillou est à une hauteur de 0 mètre au-dessus de l’eau. Donc, le caillou entredans l’eau après environ 3,4 secondes.

Exemple 1 Résoudre un problème modélisé par une équation du second degré

L’aire d’un triangle est de 170 cm2. Sa base mesure 3 cm de plus que sa hauteur.Détermine la longueur de sa base.

Solution

Pour calculer l’aire d’un triangle, on utilise la formule A � .

D’après l’information fournie dans la question, on sait que :

A � 170 cm2 et que b � (h � 3) cm.

En substituant ces données dans la formule A � , on obtient

170 � Développe et multiplie

chaque membre par 2.

340 � h2 � 3h Écris l’équation sous la forme

ax2 � bx � c � 0.

0 � h2 � 3h � 340

Il faut maintenant déterminer les valeurs de h qui satisfont à l’équation.Puisque l’équation est égale à 0, les valeurs de h correspondent aux racinesde cette équation.

Essayons donc la méthode de factorisation.

Quels sont les deux nombres, � et �, qui satisfont aux deux conditionssuivantes :

� � � � �340 et � � � � 3?

Ces deux nombres sont 20 et �17.

Donc, 0 � h2 � 3h � 340

0 � (h � 20)(h � 17)

0 � h � 20 ou 0 � h � 17

h � �20 ou h � 17

Puisque la hauteur du triangle ne peut pas avoir une valeur négative, le trianglea donc une hauteur de 17 cm.

La longueur de sa base mesure 17 � 3 � 20 cm.

(h � 3) � h2

b � h2

b � h2


Vérification :

A �

�

� 170 cm2


Exemple 2 Résoudre un problème modélisé par une fonction du second degré

Un ballon de football est botté dans les airs selon la fonction définie parl’équation h(t) � �5t2 � 20t, où h représente la hauteur du ballon, en mètres,en fonction du temps écoulé t, en secondes, depuis qu’il a été botté. Ce ballontouche le sol avant d’être ramassé par un joueur.

a) De quelle hauteur le ballon est-il botté ?

b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon? Combien de tempss’écoule avant que le ballon atteigne cette hauteur maximale?

c) Pendant combien de temps le ballon reste-t-il dans les airs ?

Solution

a) Puisque t représente le temps écoulé depuis le moment où le ballon a étébotté, on peut conclure qu’au moment où il est botté, t � 0. Pour déterminerla hauteur du ballon à ce moment, il faut déterminer h(0).

Soit h(0) � �5(0)2 � 20(0)

� 0

Donc, au temps initial, le ballon a été botté du sol.

b) Les coordonnées du sommet représentent la hauteur maximale du ballonet le temps nécessaire pour atteindre cette hauteur. Pour déterminerles coordonnées du sommet, il faut utiliser la méthode de la complétiondu carré.

Donc, h(t) � �5t2 � 20t Puisqu’il n’y a que deux

termes, mets en évidence

le coefficient numérique

du premier terme.

h(t) � �5(t2 � 4t) Ajoute et soustrais dans les


moitié du coefficient de t.

20 � 172

b � h2


h(t) � �5(t2 � 4t � 4 � 4) Sors le dernier terme des

parenthèses en le multipliant

par �5.

h(t) � �5(t2 � 4t � 4) � 20 Factorise le trinôme carré

parfait.

h(t) � �5(t � 2)2 � 20

Les coordonnées du sommet sont (2, 20) et représentent un point maximal,puisque la valeur de a, �5, est négative.

On peut conclure que le ballon atteint une hauteur maximale de 20 mètresaprès 2 secondes.

c) Il faut déterminer les zéros de l’équation.

Donc, 0 � �5t2 � 20t Factorise l’équation en

mettant en évidence le plus

grand facteur commun.

0 � �5t(t � 4)

Donc, �5t � 0 ou t � 4 � 0 Isole t.

t � 0 ou t � 4

Le temps t � 0 représente le moment où le ballon a été botté, tandis que t � 4représente le temps où le ballon tombe au sol. On peut donc conclure que leballon reste dans les airs pendant 4 secondes.

Exemple 3 Modéliser et résoudre un problème à l’aide d’unefonction du second degré

Détermine le plus petit produit possible de deux nombres dont la différence est 14.Quels sont ces deux nombres?

Solution

Soit x : un des deux nombres

x � 14 : l’autre nombre (puisque leur différence est de 14) et

y : le produit des deux nombres.

On obtient

y � x(x � 14)

y � x2 � 14x

Puisque l’équation est une fonction du second degré, tu sais que la valeurminimale de y se trouve au sommet. Par la méthode de la complétion du carré,tu peux déterminer les coordonnées du sommet et, par conséquent, les valeurscorrespondantes pour x et y.


y � x2 � 14x Ajoute et soustrais le carré de

la moitié du coefficient de x.

y � x2 � 14x � 49 � 49 Regroupe le trinôme carré

parfait.

y � (x2 � 14x � 49) � 49 Factorise le trinôme carré

parfait.

y � (x � 7)2 � 49

Les coordonnées du sommet sont (7, �49) et représentent un point minimal,puisque la valeur de a, 1, est positive.

On peut conclure que le plus petit produit possible de deux nombres dontla différence est de 14 est �49. Ces deux nombres sont 7 et �7 (7 � 14).


1. La somme d’un nombre entier positif et de son carré égale 132. Quel estce nombre?

2. La longueur d’un rectangle mesure 3 m de plus que sa largeur. Si l’airedu rectangle est de 108 m2, quelles sont les dimensions de ce rectangle?

3. On lance une fusée de détresse du haut d’une colline située au bord de l’océan.Sa hauteur au-dessus du niveau de la mer, en mètres, au temps t, exprimé ensecondes, est représentée par la fonction h(t) � �4,9t2 � 16t � 200.

a) Quelle est la hauteur de la fusée au moment du lancement?

b) À quelle hauteur se trouve-t-elle après 7 secondes?

c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée?

d) À quel moment atteint-elle sa hauteur maximale?

e) À quel moment la fusée de détresse touche-t-elle l’eau?

Vérifie tes réponses en représentant graphiquement la fonction à l’aided’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

4. Détermine le plus petit produit de deux nombres dont la différence est 18.Quels sont ces deux nombres?

5. Charlotte veut clôturer une section rectangulaire de sa cour pour cultiver unjardin. Détermine l’aire maximale que peut avoir son jardin si elle disposede 30 m de clôture?

6. Nolan veut encadrer la photo de son amie. La photo mesure 8 cm de largesur 10 cm de long. Si l’aire de la photo incluant le cadre est de 143 cm2,quelle est la largeur du cadre de bois ? Vérifie ta solution.

B

A



1. Le saut d’un dauphin est représenté par la fonction définie par l’équation

d(t) � � t2 � 6t � 12, où d représente la distance du dauphin, en mètres,

de la surface de l’eau, en fonction du temps t, en secondes, depuis le débutde son élan. La variable d prend des valeurs négatives lorsque le dauphin estsous la surface de l’eau et des valeurs positives lorsqu’il est au-dessus de lasurface de l’eau.

a) Détermine la hauteur maximale atteinte par le dauphin et le momentoù cette hauteur est atteinte.

b) Pendant combien de temps le dauphin se trouve-t-il au-dessus de l’eau?

c) À quelle distance de la surface de l’eau le dauphin commence-t-ilson élan?

d) Combien de temps s’est écoulé entre le début de son élan et le momentoù il sort de l’eau?

2. Soit deux nombres naturels dont la différence est 4. Si la somme de leurcarré est égale à 250, quels sont ces deux nombres?

3. Soit deux nombres dont la somme égale 22 et le produit, 112. Quels sontces deux nombres?

4. La trajectoire d’un ballon lancé au basketball est représentée par l’équationh(d) � �0,175d2 � 2,8, où h représente la hauteur du ballon, en mètres, et d,la distance horizontale, en mètres, entre le ballon et la personne qui l’a lancé.

a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par ce ballon?

b) Détermine la distance horizontale entre le ballon et la personne quil’a lancé lorsque le ballon atteint sa hauteur maximale.

c) À quelle hauteur du sol le ballon se trouve-t-il au moment où il est lancé?

d) Supposons que le ballon touche le sol avant d’être attrapé. Détermine ladistance horizontale entre le ballon et la personne qui l’a lancé.


5. L’équation ci-dessous représente la descente d’un oiseau vers la surface del’eau pour attraper un poisson.

d(t) � 4t2 � 12t � 9 (t ≤ 3), où d représente la distance, en mètres, entre l’oiseau et la surface de l’eau, et treprésente le temps écoulé, en secondes,depuis le début de sa descente.

a) Quel est le domaine de la situation ci-dessus?

b) Combien de temps faut-il à l’oiseau pour attraper le poisson s’ill’attrape dès qu’il touche l’eau?

c) À quelle hauteur l’oiseau se trouvait-il lorsqu’il a vu le poisson?

B

12

A


6. Un rapport sur l’environnement indique que les pluies acides modifientles conditions naturelles d’un lac. La population de poissons exprimée encentaines est représentée par la fonction f(t) � 1 200 � 150t � 15t2, où treprésente le nombre d’années écoulées depuis 1990.

a) Quelle était la population de poissons en 1990?

b) À quel moment la population de poissons était-elle à son maximum?Quel était ce maximum?

c) Si aucune mesure n’est prise pour améliorer l’environnement, à quelmoment la population de poissons sera-t-elle nulle ?



La résolution d’un système

d’équations du premier

et du second degré

APERÇU

La plupart des problèmes qui sont modélisés par une fonction du second degrésont des problèmes de distance en fonction du temps. Par exemple, un objetest lancé vers le haut et redescend graduellement vers le sol. De nombreuxproblèmes de calcul différentiel et de physique portent sur le changementde vitesse des objets lancés.

La vitesse d’un objet dont le trajet est représenté par une fonction du seconddegré change selon le temps, alors que la vitesse d’un objet dont le trajet estreprésenté par une fonction du premier degré demeure constante. En comparantces deux types de fonctions, il est possible de tirer des conclusions sur lechangement de vitesse.

Pour comparer une fonction du second degré avec une fonction du premierdegré, il faut former un système d’équations. On peut ensuite déterminergraphiquement ou algébriquement le ou les points d’intersection et tirer desconclusions relativement à la situation modélisée par ce système d’équations.

On peut aussi modéliser une situation par un système d’équations comportantdeux équations du second degré.

Peu importe les équations du système, l’ensemble-solution (ou le ou lespoints d’intersection) fournit des renseignements pertinents sur la situationmodélisée par le système d’équations.

Résoudre des systèmes d’équations du premier et du second degré dontles représentations graphiques comportent des intersections.

1.7 LA RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 69

Situation

Les colis largués

Il est parfois nécessaire d’envoyer des médicaments et de la nourrituredans des pays en voie de développement. On transporte lesmarchandises par avion et on largue les colis attachés à un parachute.

Une fois largué, le colis tombe en chute libre pendant quelquessecondes jusqu’à ce qu’un mécanisme ouvre le parachute. La hauteur, h,du colis, en mètres, au-dessus du sol au temps, t, en secondes, estdéfinie par les équations suivantes.

h(t) � �4,9t2 � 6 000 avant l’ouverture du parachute

et par h(t) � �4t � 5 000 après l’ouverture du parachute

a) Pendant combien de temps le colis reste-t-il en chute libre?

b) À quelle hauteur du sol le colis se trouve-t-il lorsque le parachutes’ouvre?

1.7

Lorsque tu auras appris à résoudre un système d’équations composé de fonctionsdu premier et du second degré, tu pourras répondre à cette question. D’ailleurs,la réponse sera analysée dans la section 1.8 lorsque tu étudieras les applicationsdes systèmes d’équations du premier et du second degré.

ÉTUDIE LE CONCEPT

L’analyse et la résolution d’un systèmed’équations du premier et du second degré

L’analyse des résultats possibles

On sait qu’une fonction du premier degré représente graphiquement une droite etqu’une fonction du second degré représente une parabole. Une droite peut couperla parabole de différentes façons.

1. Aucun point d’intersection

Il n’y a aucun point commun. La résolution dusystème d’équations donnera donc des nombrescomplexes.

2. Un point d’intersection

Il y a un seul point commun. Il y aura donc uneseule solution. La droite qui coupe une courbeen un seul point s’appelle une tangente.

3. Deux points d’intersection

Il y a deux points communs. Il y aura doncdeux solutions. La droite qui coupe une courbeen deux points s’appelle une sécante.

y

x

y

x

y

x


Il est à noter que deux fonctions du second degré peuvent n’avoir aucun pointd’intersection, un point d’intersection ou deux points d’intersection.

La résolution d’un système d’équations du premier et du second degré


① y � �3x2 � 24x � 23

② y � �3x � 15

A) Résolution graphique

On peut toujours se fier au graphique des équations pour estimer leurspoints d’intersection.

D’après ce graphique, on peut estimer que les points d’intersection sont

environ (1 , 10) et (7 , �8). On peut vérifier l’exactitude de ces valeurs à

l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent,ou par la résolution algébrique.

B) Résolution algébrique

Par la résolution algébrique, on obtient une réponse exacte.

① y � �3x2 � 24x � 23

② y � �3x � 15

Aux points d’intersection, les valeurs de x et de y sont les mêmes pour lesdeux équations.

Puisque la valeur de y est isolée dans les deux équations, on peut utiliserla méthode de comparaison.

�3x2 � 24x � 23 � �3x � 15 Fais passer les termes

du membre de droite

au membre de gauche.

�3x2 � 24x � 3x � 23 � 15 � 0 Regroupe les termes

semblables.

�3x2 � 27x � 38 � 0 Détermine les valeurs de x

qui satisfont à l’équation,

c’est-à-dire les racines de

l’équation.

Les racines de cette équation représentent les valeurs des abscisses auxpoints où la parabole coupe la droite.

13

23

105–20

20

40

–80–100

–60

–40

0

y = – 3x2 + 24x – 23

y = – 3x + 15

y

x


Utilise la formule du second degré pour déterminer les racinesde l’équation.

Pour une équation du second degré de la forme ax2 � bx � c � 0, où a � 0,les racines, x, peuvent être calculées à l’aide de la formule du second degré.

x �

Pour l’équation �3x2 � 27x � 38 � 0, on obtient donc

x � Simplifie.

x � Simplifie.

x � Calcule.

x � Calcule.

Les racines sont

x � ou x �

x � 1,746 ou x � 7,254

Les valeurs de x aux points d’intersection de la parabole et de la droite sontenviron 1,746 et 7,254.

Déterminons les valeurs de y correspondantes en substituant ces valeursde x dans l’une des deux équations du système.

Soit l’équation ② y � �3x � 15.

x � 1,746 ou x � 7,254

y � �3(1,746) � 15 y � �3(7,254) � 15

y � 9,762 y � �6,762

Les points d’intersection de la droite et de la parabole sont (1,746, 9,762) et(7,254, �6,762).

La résolution d’un système de deux équations du second degré se feraitde la même façon.

Exemple 1 Déterminer le point d’intersection d’une tangenteet d’une parabole

Soit la parabole définie par l’équation y � � x2 � x � et sa tangente,

définie par l’équation y � x � .103

83

1289

809

89

�27 � 16,523�6

�27 � 16,523�6

�27 16,523�6

�27 �273�6

�27 �729 � 456�6

�27 �272 � 4(�3)(�38)2(�3)

�b �b2 � 4ac2a


Solution

Le système d’équations devient

① y � � x2 � x �

② y � x �

En comparant ces deux équations, tu obtiens

� x2 � x � � x � Multiplie chaque terme par �9.

8x2 � 80x � 128 � � 24x � 30 Fais passer les termes du

membre de droite


8x2 � 80x � 24x � 128 � 30 � 0 Regroupe les termes

semblables.

8x2 � 56x � 98 � 0

Il faut maintenant déterminer les racines de cette équation à l’aide de la formuledu second degré.

x � Simplifie.

x � Simplifie.

x � Calcule.

x � Calcule.

x � 3,5

Il y a une seule valeur de x, puisque la tangente coupe la parabole en un seulpoint. La valeur de x est de 3,5.

Détermine la valeur de y.

Substitue la valeur de x dans l’une des deux équations du système.

Soit l’équation

② y � x � .

Donc, y � x � Calcule.

y � (3,5) �

y � 6

Le point d’intersection de la parabole et de la tangente est donc (3,5, 6).

103

83

103

83

103

83

5616

56 �016

56 �3 136 � 3 13616

�(�56) �(�56)2 � 4(8)(98)2(8)

103

83

1289

809

89

103

83

1289

809

89


Vérification :

Équation ① Équation ②

M.G. � y M.G. � y

� 6 � 6

M.D. � � x2 � x � M.D. � x �

� � (3,5)2 � (3,5) � � (3,5) �

� � � � � �

� �

� 6 � 6

M.G. � M.D. M.G. � M.D.

La solution est vérifiée. La solution est vérifiée.

Tu peux aussi vérifier ce point d’intersection en représentant graphiquement lesystème à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

Exemple 2 Déterminer l’équation de la tangente qui coupeune parabole en son sommet

Détermine l’équation de la tangente qui coupe la parabole y � x2 � 8x � 10 enson sommet.

Solution

Détermine le sommet de cette parabole par la méthode de la complétiondu carré.

y � x2 � 8x � 10 Regroupe les deux premiers

termes.

y � (x2 � 8x) � 10 Ajoute et soustrais dans les


moitié du coefficient de x.

y � (x2 � 8x � 16 � 16) � 10 Sors le dernier terme des

parenthèses.

y � (x2 � 8x � 16) � 16 � 10 Regroupe les deux derniers

termes.

y � (x2 � 8x � 16) � 6 Factorise le trinôme carré

parfait.

y � (x � 4)2 � 6

Le sommet de cette parabole est au point (4, �6) et représente un point minimal,car la valeur de a, 1, est positive.

183

549

103

283

1289

2809

989

103

83

1289

809

89

103

83

1289

809

89


Les caractéristiques d’une tangente au sommet d’une parabole

1. Une parabole orientée vers le bas 2. Une parabole orientée vers le haut

La pente de la tangente est positive La pente de la tangente est négativejusqu’au sommet. Ensuite, elle est jusqu’au sommet. Ensuite, elle estnégative. positive.

Au sommet, la pente de la tangente Au sommet, la pente de la tangenteest nulle, puisque la tangente est est nulle, puisque la tangente est une droite horizontale. une droite horizontale.

Peu importe la parabole, la pente de la tangente qui coupe la parabole au sommet est toujours nulle.

L’équation de cette tangente est de la forme y � b. Puisque m � 0, l’équationgénérale de la droite y � mx � b devient y � b.

Puisque la valeur de y au sommet est la même pour la tangente, on peut conclureque �6 � b.

L’équation de la tangente au sommet de la parabole y � x2 � 8x � 10 estdonc y � �6.

Tu peux vérifier ce résultat en représentant graphiquement des équations àl’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

Exemple 3 Déterminer le point d’intersection et l’équationd’une tangente d’une parabole à partir de la pente de la tangente

Soit la parabole y � 6x2 � 2x � 30. La pente de la tangente est 8. Déterminel’équation de cette tangente et le point d’intersection.

Solution

Comme la pente de la tangente est 8, tu sais que l’équation de cette droite seray � 8x � b.

y

x

y

x


Pour déterminer la valeur de b, résous le système d’équations suivant :

① y � 8x � b

② y � 6x2 � 2x � 30

Puisque la variable y est isolée dans les deux équations, utilise la méthode de comparaison.

8x � b � 6x2 � 2x � 30 Isole b.

b � 6x2 � 6x � 30

Puisque a dans l’équation de la parabole y � ax2 � bx � c est 6, une valeurpositive, tu peux conclure que la parabole est ouverte vers le haut et le sommetreprésente un point minimal. Tu veux descendre la droite jusqu’à ce qu’ellecoupe la parabole en un seul point. Lorsqu’elle coupe la parabole en un point,tu peux dire qu’elle est tangente à la parabole. Pour descendre la droite, il fautchercher la valeur minimale de b qui satisfait à l’équation ci-dessus. Tu peuxle faire en ayant recours à la méthode de la complétion du carré pour résoudrel’équation ci-dessus.

Donc, b � 6x2 � 6x � 30 Regroupe les deux premiers

termes du membre de droite.

b � (6x2 � 6x) � 30 Mets en évidence le

coefficient numérique

du premier terme, a, comme

facteur commun.

b � 6(x2 � x) � 30 Ajoute et soustrais le carré de

la moitié du coefficient de x.

b � 6(x2 � x � � ) � 30 Sors le dernier terme des


par 6.

b � 6(x2 � x � ) � � 30 Regroupe les derniers termes.

b � 6(x2 � x � ) � Factorise le trinôme carré

parfait.

b � 6(x � )2 �

La valeur minimale de b est � ou �31,5. L’équation de la tangente est

donc y � 8x � 31,5.

De plus, la valeur de b est minimale lorsque x � ou 0,5, soit l’abscisse dupoint d’intersection.

Pour déterminer la valeur de y au point d’intersection, remplace x par 0,5 dansl’une des deux équations du système.

12

632

632

12

632

14

64

14

14

14


Soit l’équation de la parabole,

② y � 6x2 � 2x � 30 Remplace x par 0,5 ou .

y � 6(0,5)2 � 2(0,5) � 30 Calcule.

y � 1,5 � 1 � 30 Calcule.

y � �27,5

Le point d’intersection de la tangente et de la parabole est donc (0,5, �27,5).

Tu peux vérifier ces résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent.


1. Représente graphiquement chaque système d’équations à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent. Estime lespoints d’intersection, puis détermine-les à l’aide de l’outil technologiqueque tu as utilisé.

a) ① y � 0,25x2 � x � 9 b) ① y � 5x2 � 4x � 8

② y � 0,5x � 2 ② y � �6x � 13

c) ① y � 2x2 � x � 9

② y � �4x2 � 5x � 3

2. Détermine algébriquement les points d’intersection de chacun des systèmesd’équations ci-dessous. Ensuite, détermine si la droite est tangente, sécanteou ni l’une ni l’autre. Justifie ta réponse. Vérifie tes résultats à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) ① y � 8x2 � 2x � 5 b) ① y � �x2 � 4x � 6

② y � �4x � 3 ② y � �8x � 42

c) ① y � �x2 � 10x � 21 d) ① y � �x2 � 4x � 11

② y � 4 ② y � �4

e) ① y � x2 � 2x � 3 f) ① y � 4x2 � 8x � 10

② y � �2x � 4 ② y � 3x � 2

3. Détermine algébriquement les points d’intersection des systèmesd’équations ci-dessous. Vérifie tes résultats à l’aide d’une calculatriceà affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) ① y � x2 � 6x � 5 b) ① y � �10x2 � 3x � 1

② y � �3x2 � 2x � 5 ② y � 10x2 � 3x � 1

c) ① y � 1,5x2 � 2x � 1,75 d) ① y � x2 � x � 8

② y � 5,5x � 22,75 ② y � x2 � x � 283

49

185

925

B

A

12



4. Détermine l’équation de la tangente qui coupe chacune des parabolesen son sommet.

a) y � �3x2 � 12x � 6 b) y � 0,5x2 � 4x � 10

5. Soit la parabole y � 2x2 � 3x � 1. Détermine l’équation de la tangentede la parabole et le point d’intersection si la pente de la tangente est �3.Vérifie tes résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique oud’un logiciel équivalent.

6. L’équation d’un cercle de centre (0, 0) est définie par x2 � y2 � r2, où lescoordonnées (x, y) se trouvent sur le cercle et où r est le rayon. Cette équationest une équation du second degré. Détermine les points où la droite définiepar l’équation y � x � 3 coupe le cercle de centre (0, 0) et de rayon 5.


1. Représente graphiquement des systèmes d’équations à l’aide d’unecalculatrice à affichage graphique ou d’un logiciel équivalent. Estime lespoints d’intersection, puis détermine-les à l’aide de l’outil technologiqueque tu as utilisé.

a) ① y � 5x2 � 2x � 3 b) ① y � 6x2 � x � 1

② y � �2x � 17 ② y � 23x � 18

c) ① y � �0,25x2 � 3

② y � x2 � x � 1

2. Détermine algébriquement les points d’intersection de chacun dessystèmes d’équations ci-dessous. Ensuite, détermine si la droite esttangente, sécante ou ni l’une ni l’autre. Justifie ta réponse. Vérifie tesrésultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphique ou d’un logicieléquivalent.

a) ① y � 3,5x2 � 0,5x � 2 b) ① y � �6x2 � 2x � 1

② y � 3x � 9 ② y � �10x � 5

c) ① y � �2x2 � 5x � 2 d) ① y � 3x2 � 6x � 5

② y � 3x � 5 ② y � 12x � 22

3. Détermine algébriquement les points d’intersection des systèmesd’équations ci-dessous. Vérifie tes résultats à l’aide d’une calculatriceà affichage graphique ou d’un logiciel équivalent.

a) ① y � 16x2 � 4 b) ① y � 4x2 � 7x � 2

② y � 48x � 4 ② y � �15x � 6

c) ① y � �4x2 � 4x � 3 d) ① y � 3,25x2 � 0,75x � 3

② y � x2 � 1 ② y � �5x � 3

B

A

4. Détermine l’équation de la tangente qui coupe chacune des paraboles enson sommet.

a) y � �2x2 � 8x � 1 b) y � �0,25x2 � 2x � 30

5. Soit la parabole y � 2x2 � 5x � 1. Détermine l’équation de la tangentede la parabole et le point d’intersection si la pente de la tangente est �1.Vérifie tes résultats à l’aide d’une calculatrice à affichage graphiqueou d’un logiciel équivalent.

6. Détermine si la droite définie par l’équation x � 2y � 5 � 0 est sécante,tangente ou ni l’une ni l’autre au cercle défini par l’équation x2 � y2 � 5.Explique ton raisonnement.


APERÇU

Maintenant que tu sais comment résoudre un système d’équations du premier etdu second degré, tu peux utiliser tes connaissances pour interpréter des systèmes.

Dans la section 1.7, on a présenté la situation suivante :

Il est parfois nécessaire d’envoyer des médicaments et de la nourriture dansdes pays en voie de développement. On transporte les marchandises par avionet on largue les colis attachés à un parachute.

Une fois largué, le colis tombe en chute libre pendant quelques secondesjusqu’à ce qu’un mécanisme ouvre le parachute. La hauteur, h, du colis, en mètres,au-dessus du sol au temps, t, en secondes, est définie par les équations suivantes.

h(t) � �4,9t2 � 6 000 avant l’ouverture du parachute

et par h(t) � �4t � 5 000 après l’ouverture du parachute

a) Pendant combien de temps le colis reste-t-il en chute libre?b) À quelle hauteur du sol le colis se trouve-t-il lorsque le parachute s’ouvre?

Qu’est-ce que ces deux trajets ont en commun?

Quelles sont leurs différences?

Comment peut-on les comparer ?

Dans cette section, tu apprendras à analyser la solution d’un systèmed’équations du premier et du second degré dans des situations.

Les réponses obtenues par la résolution algébrique fournissent desrenseignements précis liés à la situation et te permettent de répondreà des questions semblables à celles posées dans cette situation.

ÉTUDIE LE CONCEPT

La résolution d’un problème modélisépar un système d’équations du premieret du second degré

Il est à noter que les unités de mesure de la hauteur et du temps sont les mêmespour les deux équations. On dit que les variables sont compatibles. Leséquations peuvent donc former un système d’équations. Les deux équationspeuvent être représentées dans le même plan cartésien.

Interpréter, dans des situations, la solution d’un système comportant deséquations du premier et du second degré.


1.8 Les applications des systèmes

d’équations du premier

et du second degré

L’analyse du graphique

Examinons le graphique de ce système afin de comparer les équations.

D’après les équations et le graphique, il est évident que, lorsque le parachutes’ouvre, le colis descend à une vitesse constante de 4 m/s (la pente de la droite),alors qu’en chute libre, sa vitesse change en fonction du temps.

De plus, au temps initial t � 0, le paquet se trouve à 6 000 m du sol puisqu’ilest en chute libre.

En réalité, la droite coupe la parabole à deux endroits, mais puisque la valeurde t au premier point d’intersection est négative et que le temps commence à 0,cette valeur n’est pas valide. Le deuxième point d’intersection se trouve à t égaleenviron 15. On peut donc conclure qu’après environ 15 secondes, le parachutes’ouvre. Il est alors à un peu moins de 5 000 m du sol.

La résolution algébrique

D’après le graphique, les coordonnées des points d’intersection ne sont pastoujours claires. Il est donc essentiel de déterminer algébriquement les pointsd’intersection du système d’équations. Dans la section 1.7, tu as appris commentdéterminer ces valeurs. Il faut résoudre le système d’équations.

Soit le système

① h(t) � �4,9t2 � 6 000

② h(t) � �4t � 5 000

Puisque h(t) prend la même valeur pour les deux équations, on peut dire que :

�4,9t2 � 6 000 � �4t � 5 000 Fais passer les termes

du membre de droite au

membre de gauche.

�4,9t2 � 4t � 6 000 � 5 000 � 0 Simplifie.

�4,9t2 � 4t � 1 000 � 0 Résous à l’aide de la

formule du second degré.

t � Calcule.

t � Calcule.–4 140,057

�9,8

–4 �42 – 4(–4,9)(1 000)2(�4,9)

2015

2 000

0

h(t) = –4t + 5 000

h(t) = –4,9t2 + 6 000

h(t)

t

4 000

6 000

105 25

Hauteur d’un paquet en fonction du temps

Temps en secondes

Hau

teu

r en

mèt

res

1.8 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 81

Donc,

t � ou t �

t � �13,88 ou t � 14,7

Puisqu’on ne peut pas avoir un temps négatif, t � 14,7.

Le paquet reste environ 14,7 secondes en chute libre. C’est à ce moment quele parachute s’ouvre.

Remplace t � 14,7 dans l’équation ① ou ② pour calculer la valeur de h.

② → h(14,7) � �4(14,7) � 5 000

② → h(14,7) � 4 941,2

Le paquet se trouve à une hauteur d’environ 4 941, 2 m du sol lorsque leparachute s’ouvre.

Il est à noter qu’une droite qui coupe une courbe en deux points s’appelle unesécante. Le changement dans une droite demeure constant, alors que dans unecourbe, il varie. On peut dire que la sécante décrit un changement moyen entredeux points sur une courbe. En d’autres mots, elle indique le taux moyen entredeux valeurs. Lorsqu’on parle de vitesse, elle représente la vitesse moyenneentre deux temps.

Une droite qui coupe une courbe en un seul point s’appelle une tangente.Elle indique le taux instantané au moment où elle coupe la courbe. Lorsqu’onparle de vitesse, elle représente la vitesse instantanée à un certain temps.

De plus, une vitesse négative signifie que quelque chose s’approche d’uncertain point alors qu’une vitesse positive signifie que quelque chose s’éloigned’un point.

Dans cet exemple, lorsque le parachute s’ouvre, la vitesse du paquet estde �4 m/s. Cela signifie qu’il s’approche du sol.

Exemple 1 Résoudre un problème modélisé par un systèmed’équations du premier et du second degré

Zacharie lance des miettes de pain au bord d’un lac pour nourrir les oiseaux.Le trajet d’un morceau de pain lancé du pont situé à 4 m au-dessus de la surfacede l’eau est représenté par l’équation d(t) � �4,9t2 � 8t � 4, où d(t) représentela distance du pain, en mètres, au-dessus de la surface de l’eau en fonction dutemps t, en secondes. Dès que le pain est lancé, un oiseau se dirige vers l’eauen suivant le trajet décrit par l’équation d(t) � �t � 7, où d(t) représente ladistance de l’oiseau, en mètres, au-dessus de la surface de l’eau en fonctiondu temps t, en secondes. Que peux-tu dire au sujet des moments où l’oiseau peutattraper le pain?

Solution

L’oiseau peut attraper le pain lorsque son trajet croise celui du pain.

Pour déterminer les valeurs précises des points d’intersection, on peut résoudrece système algébriquement.

�4 � 140,057�9,8

�4 � 140,057�9,8


Soit le système

① d(t) � �4,9t2 � 8t � 4

② d(t) � �t � 7

Tente de résoudre le système d’équations en utilisant la méthode de comparaison.

Aux points d’intersection, les valeurs de d(t) sont les mêmes pour les deuxéquations.

�4,9t2 � 8t � 4 � �t � 7 Fais passer les termes

du membre de droite


�4,9t2 � 8t � 4 � t � 7 � 0 Regroupe les termes

semblables.

�4,9t2 � 9t � 3 � 0

t � , où a � �4,9, b � 9 et c � �3

t �

t � Simplifie.

t �

Donc,

t � ou t �

t � 0,4 ou t � 1,4

Remplace ces valeurs dans l’équation ① ou ② pour calculer la valeur de d.

② → d(0,4) � �(0,4) � 7 et ② → d(1,4) � �(1,4) � 7

② → d(0,4) � 6,6 et ② → d(1,4) � 5,6

Les coordonnées des points d’intersection sont environ (0,4, 6,6) et (1,4, 5,6).L’oiseau peut attraper le pain 0,4 s après qu’il a été lancé, à une hauteur de 6 mau-dessus de la surface de l’eau ou, après 1,4 s, lorsqu’il redescend à une hauteurde 5,6 m au-dessus de l’eau.

Exemple 2 Déterminer le temps total et le temps en fonction d’une vitesse instantanée

À Acapulco, au Mexique, un plongeur saute d’une falaise de 17 m. La fonctiondéfinie par l’équation f(t) � �4,9t2 � 1,5t � 17 représente la hauteur, en mètres,du plongeur au-dessus de l’eau au temps t, en secondes.

a) Quelle est la durée du saut ?

b) À quel moment la vitesse instantanée du plongeur est-elle de 8,3 m/s?

c) À quelle hauteur le plongeur se trouve-t-il lorsque sa vitesse est de 8,3 m/s?

�9 � 4,7�9,8

�9 � 4,7�9,8

�9 �22,2�9,8

�9 �81 � 58,8�9,8

�9 �92 � 4(�4,9)(�3)2(�4,9)

�b �b2 � 4ac2a


Solution

a) Pour déterminer le temps total du saut, c’est-à-dire le moment où leplongeur rejoint la surface de l’eau, il faut déterminer les zéros de l’équation f(t) � �4,9t2 � 1,5t � 17. Utilise la formule du second degré.

Donc, t � où a � �4,9, b � 1,5 et c � 17.

t �

t �

t �

t �

Donc, t � ou t �

t � ou t �

t � �1,716 ou t � 2,022

Puisque la valeur �1,716 ne peut être appliquée au temps, on peut conclureque la durée du saut est d’environ 2,022 secondes.

b) Au début de cette section, on a dit qu’une vitesse négative signifie qu’un objets’approche d’un point. Puisque la distance définie par l’équation du seconddegré dans cet exemple est entre la surface de l’eau et le plongeur et que leplongeur s’approche de la surface de l’eau en fonction du temps, on peutconclure que la vitesse instantanée de 8,3 m/s peut être représentée par �8,3 m/s.

De plus, au début de la section 1.7, on a dit que la pente d’une tangenteà une courbe représente un taux instantané au moment où la tangentecoupe la courbe. Donc, la tangente de la parabole définie par l’équation f(t) � �4,9t2 � 1,5t � 17 lorsque le plongeur descend à une vitesse de8,3 m/s peut être définie par l’équation f(t) � �8,3t � b. Il faut utiliserles mêmes variables dans l’équation de la tangente que celles utiliséesdans l’équation de la parabole.

Il faut donc déterminer la valeur de b. On suit les étapes présentées dansl’exemple 3 de la section 1.7.

Commence par établir le système d’équations suivant.

① f(t) � �4,9t2 � 1,5t � 17

② f(t) � �8,3t � b

Tente de résoudre le système d’équations en utilisant la méthode decomparaison.

Soit �4,9t2 � 1,5t � 17 � �8,3t � b Isole b.

�4,9t2 � 9,8t � 17 � b

�19,815�9,8

16,815�9,8

�1,5 � 18,315�9,8

�1,5 � 18,315�9,8

�1,5 18,315�9,8

�1,5 �335,45�9,8

�1,5 �2,25 � 333,2�9,8

�(1,5) �(1,5)2 � 4(�4,9)(17)2(�4,9)

�b �b2 � 4ac2a


Puisque la variable a, �4,9, est négative, la parabole est orientée vers le bas.Il faut chercher à maximiser b afin que la droite de pente �8,3 soit tangenteà la parabole. En d’autres mots, on veut monter la droite définie par l’équationf(t) � �8,3t � b jusqu’à ce qu’elle touche la parabole en un seul point.Pour y arriver, il faut appliquer la méthode de la complétion du carré.

�4,9t2 � 9,8t � 17 � b Regroupe les deux premiers

termes du membre de gauche.

(�4,9t2 � 9,8t) � 17 � b Mets en évidence le coefficient

numérique du premier terme,

a, comme facteur commun.

�4,9(t2 � 2t) � 17 � b Ajoute et soustrais le carré de

la moitié du coefficient de t.

�4,9(t2 � 2t � 1 � 1) � 17 � b Sors le dernier terme des


par �4,9.

�4,9(t2 � 2t � 1) � 4,9 � 17 � b Factorise le trinôme carré

parfait et regroupe les derniers

termes.

�4,9(t � 1)2 � 21,9 � b

La valeur maximale pour b est 21,9. L’équation de la tangente à la paraboleest donc f(t) � �8,3t � 21,9. Elle coupe la parabole au point dont l’abscisseest 1. On peut donc conclure qu’après une seconde, la vitesse du plongeurest de 8,3 m/s.

c) Pour déterminer la hauteur du plongeur lorsqu’il descend à une vitesse de8,3 m/s, il faut remplacer t par 1 dans l’équation de la parabole, puisquec’est après une seconde que le plongeur descend à cette vitesse.

Donc, f(t) � �4,9t2 � 1,5t � 17 Remplace t par 1.

f(1) � �4,9(1)2 � 1,5(1) � 17 Calcule.

f(1) � �4,9 � 1,5 � 17 Calcule.

f(1) � 13,6

Lorsqu’il descend à une vitesse de 8,3 m/s, le plongeur est à 13,6 mau-dessus de la surface de l’eau.

Tu peux vérifier les résultats de cet exemple à l’aide d’une calculatrice àaffichage graphique ou d’un logiciel équivalent.


1. Tyler et son frère André jouent dans la cour. Tyler fait remarquer à son frèreque sa fusée est plus rapide que son camion téléguidé. Pour vérifier cetteaffirmation, André suggère de tester les deux jouets. Tyler laisse le camionde son frère atteindre une vitesse maximale avant de lancer sa fusée à

A


une vitesse initiale de 55 m/s. Le trajet de chacun des jouets est défini parles équations suivantes :

df (t) � �4,9t2 � 55t, où df est la distance, en mètres, entre la fusée et le sol en fonction du temps t, en secondes.

dc(t) � 5,5t, où dc est la distance parcourue, en mètres, par le camion en fonction du temps t, en secondes.

a) Pendant quelle période de temps la fusée voyage-t-elle à la mêmevitesse moyenne que le camion?

b) Détermine la hauteur maximale atteinte par la fusée.

c) Détermine la distance totale parcourue par la fusée et détermine letemps écoulé depuis son départ jusqu’à ce qu’elle touche le sol.

d) Quelle distance le camion aura-t-il parcourue lorsque la fusée toucherale sol ?

e) Quel jouet voyage le plus rapidement?

Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afinde mieux visualiser le problème.

2. Julie a acheté deux yo-yo. Le mouvement de chacun des yo-yo estreprésenté par les équations suivantes :

Yo-yo A : d(t) � 0,5t2 � t � 1,5

Yo-yo B : d(t) � t2 � 2t � 1,5

où d est la distance, en mètres, entre le yo-yo et le sol en fonction du temps t,en secondes, pour 0 < t < 3.

a) Quel yo-yo se rend le plus près du sol ? Justifie ta réponse.

b) À quel moment les deux yo-yo sont-ils à la même hauteur du sol ?

c) Dans quel intervalle de temps le yo-yo A est-il plus près du sol que leyo-yo B?


3. Une parachutiste saute d’un avion. Avant d’ouvrir son parachute, elle esten chute libre. Sa hauteur h, en mètres, au-dessus du sol en fonction dutemps t, en secondes, est définie par les équations suivantes.

h(t) � �4,9t2 � 4 500 avant qu’elle ouvre son parachute.

h(t) � �3,5t � 3 500 après qu’elle a ouvert son parachute.

a) À quel moment la parachutiste ouvre-t-elle son parachute?

b) À quelle distance du sol se trouve-t-elle lorsqu’elle ouvre sonparachute?


B



1. Le parcours d’une baleine qui monte à la surface de l’océan est représenté

par l’équation d(t) � � t2 � 2t � 3, où d représente la distance entre la

baleine et la surface de l’eau en fonction du temps t, en secondes. Au même

moment, un petit poisson voyage selon l’équation d(t) � � t � 1, où d est

la distance entre le poisson et la surface de l’eau en fonction du temps t,en secondes, pour 0 ≤ t ≤ 8. Les valeurs de d sont négatives parce qu’ellesreprésentent une distance sous la surface de l’eau. Le petit poissonrisque-t-il d’être dévoré par la baleine? Justifie ta réponse.

Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin demieux visualiser le problème.

2. Élise vide l’eau contenue dans une baignoire à remous. La baignoirecontient 1 600 litres d’eau. Il faut deux heures pour la vider entièrement.Le volume d’eau contenu dans la baignoire est représenté par la formule

V(t) � (120 � t)2, où V représente le volume, en litres, au moment t,

exprimé en minutes, dans l’intervalle 0 ≤ t ≤ 120. Pour gagner du temps,Élise décide d’utiliser une pompe. La pompe aspire 20 litres d’eaupar minute.

a) Quelle est l’équation qui décrit le volume d’eau dans la baignoire enfonction du temps qu’il faut pour vider l’eau à l’aide de la pompe?

b) Détermine les points d’intersection des deux équations et expliquece qu’ils représentent.

c) Combien de temps Élise gagne-t-elle en utilisant la pompe?


3. Un caillou tombe du haut d’une falaise de 180 m. La hauteur du cailloupar rapport au sol est représentée par la formule h(t) � �5t2 � 5t � 180,où h représente la hauteur en mètres au moment t, exprimé en secondes, àpartir de l’instant où le caillou a commencé à tomber.

a) À quel moment le caillou tombe-t-il à une vitesse de 40 m/s?

b) Quelle est la hauteur du caillou à ce moment?

c) À quel moment le caillou tombe-t-il dans l’eau?


19

B

13

13

A



Retour sur la mise en situation

Le calcul des profits

Pour répondre aux questions relatives à la vente de peintures, tu peuxutiliser diverses stratégies. Certaines stratégies permettent de faire desprédictions plus précises.

Comme tu l’as vu dans ce chapitre, l’ensemble-solution d’un systèmed’équations fournit des renseignements sur la situation modélisée parle système d’équations.

Les équations du second degré représentant les revenus et les coûts dupeintre en fonction du nombre de peintures vendues forment un systèmed’équations. Ce modèle mathématique permet d’analyser la situation etde tirer des conclusions au sujet des ventes de peintures.

1. Pour mieux visualiser les revenus et les coûts du peintre,représente-les graphiquement.

2. Estime les points d’intersection du graphique et vérifie tonestimation en déterminant algébriquement ces points.

3. Explique ce que représentent ces points d’intersection. Quel conseilpourrais-tu donner à l’artiste en considérant ces deux points et legraphique? Justifie ton raisonnement.

4. Pour calculer les profits, il faut considérer l’équation suivante :P(n) � R(n) � C(n), où P(n) représente les profits, R(n), les revenuset C(n), les coûts du peintre en milliers de dollars, en fonction dunombre n de dizaines de peintures vendues.

5. Remplace les équations représentant R(n) et C(n) dans l’équation duprofit et détermine le profit maximal par la complétion du carré.Tu obtiendras ainsi le profit maximal et le nombre de peintures quele peintre doit vendre pour réaliser ce profit.

6. Répète l’étape 5 avec la deuxième équation du revenu et déterminele nouveau profit ainsi que le nombre de peintures qu’il faut vendrepour le réaliser.

ACTIVITÉ SYNTHÈSE 89

Activité synthèse

Les diagrammes ci-dessous illustrent différents profils de rampes. Imaginequ’une balle descend le long d’une rampe et qu’elle touche le sol au point B.Pour chaque rampe, A et B représentent les mêmes positions relatives.

Profils des rampes

Rampe 1 Rampe 2 Rampe 3

1. Choisis des coordonnées à l’origine pour les points A et B, soit A (0, 2) etB (2, 0), où l’axe des y représente la hauteur de la balle en mètres, et l’axedes x, le temps en secondes. Sur quelle rampe la balle parcourt-elle la plusgrande distance? la plus petite distance? Justifie ton raisonnement.

2. Que peux-tu dire au sujet de la vitesse de la balle sur ces trois rampes?

3. Détermine l’équation de la droite formée par la rampe 2, l’équation de laparabole formée par la rampe 1 si les coordonnées au sommet sont au pointB et l’équation de la parabole formée par la rampe 3 si les coordonnéesau sommet sont au point A. Rappelle-toi qu’il est possible de déterminerl’équation de la parabole par l’équation y � a(x � h)2 � k lorsqu’on connaîtles coordonnées du sommet et un autre point sur la parabole. Sur chacunedes rampes, détermine les coordonnées du point où x représente un quartdu temps de parcours, soit x � 0,25. Détermine la pente de la sécante quicoupe la parabole des rampes 1 et 3 aux points (0, 2) et les coordonnéesdu point à un quart du temps afin de déterminer la vitesse moyenne danscet intervalle de temps. Sur laquelle des trois rampes la balle roule-t-elle leplus rapidement pendant le premier quart de temps? le moins rapidement?Justifie ta réponse.

4. Sur les rampes 1 et 3, détermine les coordonnées du point où x � 1,5et relie ce point au point B (2, 0) par une sécante. Comment cette sécantepeut-elle te fournir l’information nécessaire pour répondre à la questionsuivante : sur laquelle des trois rampes la balle roule-t-elle le plusrapidement pendant le dernier quart de temps? le moins rapidement?Justifie ton raisonnement.

A

B

A

B

A

B

Évaluation de fin de chapitre

LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

VÉRIFIE TES CONNAISSANCES

1. Quelles sont les caractéristiques d’une fonction du premier degré ?

2. Quelles sont les caractéristiques d’une fonction du second degré?

3. Exprime l’équation associée à chacune des droites ci-dessous sous la formey � mx � b.

a) La droite qui passe par les points (�4, �8) et (�2, �10).

b) La droite dont la pente est � et qui passe par le point (0, 6).

c) La droite parallèle à y � 4x � 6 et qui passe par le point (2, 6).

d) La droite perpendiculaire à y � �5x � 3 et qui passe par le point (�1, �2).

4. Janie travaille dans un salon de beauté. Elle reçoit un salaire de base de250 $ par semaine ainsi qu’une commission de 6% sur les traitements offertsà sa clientèle. Établis une équation représentant sa paye hebdomadaire.Décris les variables utilisées dans ton équation.

5. Hayden achète une carte de membre dans un magasin où on loue desvidéocassettes. La carte coûte 15 $ pour l’année. Ensuite, il faut payer 3 $pour chaque location de film plutôt que 4,50 $ sans la carte. Combien devidéocassettes doit-il louer avant que sa carte de membre soit avantageuse?Justifie ton raisonnement.

6. a) Détermine les premières différences de l’équation 2y � 4x � 8 pour �3 ≤ x ≤ 3.

b) Détermine les secondes différences de l’équation y � �4x2 � 4x � 1pour �3 ≤ x ≤ 3.

7. Détermine algébriquement les zéros des fonctions suivantes.

a) y � x2 � 5x � 6 b) y � 3x2 � 9x � 30

c) y � 25x2 � 4 d) y � x2 � 3x � 9

e) y � �0,2x2 � 0,3x � 1 f) y � 13x2 � 6x � 1

8. Détermine algébriquement les coordonnées du sommet et les zéros de laparabole définie par l’équation y � 3x2 � 12x � 2.

14

23


ÉVALUATION DE FIN DE CHAPITRE 91

9. L’altitude d’une fusée miniature en vol peut être représentée par la formuleh(t) � �4,9t2 � 25t � 2, où h représente la hauteur en mètres et t, le tempsen secondes.

a) De quelle hauteur est lancée la fusée?

b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée?

c) À quel moment la fusée atteint-elle sa hauteur maximale?

d) À quel moment touche-t-elle le sol ?

10. Détermine les points d’intersection, s’ils existent, des systèmesd’équations suivants.

a) ① y � 3x � 4 b) ① y � 4x � 3 c) ① y � 3x2 � 4x � 1

② 2x � y � �5 ② 2y � 5 � 8x ② y � 2x � 5 � 0

11. Deux objets, A et B, partent en même temps et se déplacent le long d’unemême droite. Après un temps t, exprimé en secondes, leurs déplacementsexprimés en mètres, à partir de leur position de départ, sont représentésrespectivement par s(t) � �2t2 � 1,5t � 4 et s(t) � �1,75t2 � t � 2,où t ≥ 0. Détermine les coordonnées du point d’intersection de ces deux paraboles et explique ce qu’elles représentent.

12. Résous algébriquement les systèmes suivants :

a)

b)

y = 2x2 + 8x + 3 y = 6x + 7

0

10

20

–10

y

x2-2 -1 1

0

5

10

–5

y

x2-2 -1 1

y = 5x + 3

y = x – 1

Test

1. Compréhension

Détermine les points d’intersection du système d’équations suivant.

① y � 6x2 � x � 1

② y � �x � 23

2. Communication

Soit f(x) � �3(x � 4)2 � 12.

a) Décris le graphique de cette fonction sans le représenter graphiquement.

b) À partir de la description faite en a), représente graphiquement f(x).

3. Mise en application

Un centre d’entraînement physique offre deux possibilités pour l’achatd’une carte de membre. Les frais de base de la carte A sont de 150 $pour l’année plus 3 $ pour chaque séance d’entraînement. Les frais de basede la carte B sont de 250 $ pour l’année plus 2 $ pour chaque séanced’entraînement.

a) Écris une équation représentant le coût annuel de chaque carte. Décrisles variables utilisées.

b) Détermine algébriquement le point d’intersection de ces deuxéquations.

c) Représente graphiquement les deux droites dans le même plancartésien.

d) Explique ce que tu peux déduire au sujet des deux cartes à partir descoordonnées du point d’intersection.

4. Résolution de problème

Paolo veut construire une clôture autour d’un édifice pour permettre auxenfants d’une garderie de jouer à l’extérieur. Le mur de l’édifice consti-tuera un côté du rectangle et les trois autres côtés seront clôturés. Paoloa suffisamment de matériel pour construire 88 mètres de clôture. Quellesseront les dimensions de la clôture si Paolo veut maximiser l’aire de lacour? Quelle est l’aire maximale du terrain?


Documents

MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE … · L’un des objectifs des mathématiques est de définir des fonctions qui permettent de modéliser des situations à partir d’un