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Université Paul Sabatier, Toulouse Année 2012-2013

Mathématiques du deuxième semestre deuxième année

Licence Sciences, Technologies, Santé :

Mention MathématiquesCode APOGE ’ED4MATD(E)M’

Année 2012-2013(Responsable de cette édition : Claude A. Roche )

Table des matières

1 Convergence des suites (Rappels) 41.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Séries numériques 132.1 Définition et convergence de séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Les restes d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.4 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.5 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Étude de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Comparaison de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.5 Comparaison d’une série et d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.6 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.7 Convergence commutative d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Étude de la semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Convergence simple par la règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Produit de Cauchy de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1 Définition générale du produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 La somme du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Séries doubles, produits infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Suites et séries de fonctions 263.1 Convergence de suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2 Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Le critère de Cauchy uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Convergence simple et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Le critère de Cauchy uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.3 Convergence uniformément absolue et convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.4 Règle d’Abel uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.5 Propriétés des sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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TABLE DES MATIÈRES 3

4 Séries entières 354.1 Définition et convergence de séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Étude de la fonction somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 La fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Quelques développements standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5.1 Développement de ln(1 + x) à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.2 Développement de (1 + x)α à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Séries de Fourier 425.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Appendice :Intégrales 516.1 Rappels sur l’intégration usuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Définition et convergence d’intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.4 Intégrales généralisées de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 Étude de la convergence et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.3 Convergence absolue par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.4 Quelques intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3.5 Convergence simple par la règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Ce polycopié se veut un guide de cours et un support pour trouver facilement quelques développements de détailsqui n’auront pas trouvé place dans le cours.

Il est le résultat d’une évolution suivant les programmes et gouts de l’équipe pédagogique. Á son origine il a été écritpar François DeThélin, transformé par Nguyen Tien Zung et Alexis Muranov. Cette édition est sous la responsabilitéde Claude Roche.

La bibliographie utile est nombreuse. Surtout en exercices avec solutions détaillées.Je veux mentionner :E. Azulay, M. Messeri et M. Serfati. Exercices de Mathématiques, Vol 3. Sedes, Paris 1972.Pour un bon cours :Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, coll. ń Méthodes ż, Paris, 1968 (1re édition), broché, 22 cm (ISSN

0588-2303)Gérard Boudaud, Mathématiques pour la physique. Diderot, Paris 1996 (ISBN 2-84134-077-5)E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux, Cours de Mathématiques spéciales. Vol.. Masson, Paris 1993.Jean-Marc Monier, Cours de Mathématiques. Vol. 2. Dunaud, Paris 1994.

Chapitre 1

Convergence des suites (Rappels)

1.1 Définitions

On rappelle que si E est un ensemble, une suite d’éléments de E est la donnée d’une application N → E : i 7→ xi

où, en général, on n’utilise pas la notation x : N → E qui donnerait pour le i-ème terme de la suite la notation x(i)quand la pratique veut que l’on note xi. En général les suites ont pour nom x, ou (xn)n∈N, ou (xn)

∞

n=0, ou (xn)n etxn est dit son terme général. Par exemple : (sinn)n est un nom correct pour une suite de nombres réels, on auraitpu l’appeler u, posant un = sinn. Une autre : (in)n est le nom d’une suite de nombres complexes de module 1. Leparamètre n est vu comme un temps discret, ordonné, et le mot suite est en général réservé à un ensemble de donnéesindexé par un temps discret. On ne représente jamais le graphe d’une suite, mais on marque les divers points qu’elleatteint dans la représentation graphique de E , quitte à noter l’indice qui lui correspond. Cette modélisation de lanotion de suite par une application peut servir pour départager des litiges. Par exemple, il est très important de nepas confondre une valeur a qui est valeur de la suite pour un nombre fini, ou infini de n.

Signalons que l’on peut définir l’ensemble de valeurs d’une suite (xi)i comme l’image de cette application :V al((xi)i) = y ∈ E | ∃i ∈ N, y = xi. Les points de l’ensemble des valeurs, peuvent être ’atteints’ pour plusieursindices différents.

Nous noterons K la donnée du corps des réels R ou celui des nombres complexes C. Et l’on essayera, par lesnotations, de laisser entrevoir des concepts et des preuves qui sont identiques dans des contextes plus généraux. Ainsi,par exemple, la distance entre deux nombres réels a, b ∈ R sera notée d(a, b) = |a−b| et l’on utilisera la même notationpour la distance entre deux nombres complexes. Si le disque ouvert de rayon ρ > 0, et centre a est noté Dρ(a), ledisque fermé sera noté Dρ(a), et l’on gardera la même notation pour sa trace sur R lorsque l’on travaille avec desnombres réels seulement. Ce sont des intervalles.

Par moments, en notant | · | la norme euclidienne de Rp, on utilisera exactement la même notation. Mais peux de

vecteurs apparaitrons dans ce texte, et souvent les suites seront numériques, c’est-à-dire à valeurs dans E = K.Il est facile (exercice) de démontrer que si E est un K-espace vectoriel, l’ensemble des suites de vecteurs de E est

un K-espace vectoriel, avec l’addition et multiplication par un scalaire définie par (xn)n + λ(yn)n = (cn)n avec, pourchaque n, cn := xn + λyn.

Dans le cas où E = K, l’on peut définir la multiplication des suites : (xn)n.(yn)n = (cn)n avec, pour chaquen, cn := xnyn.

Définition 1.1.1 Une suite de nombres réels ou complexes (xn)n est dite bornée, s’il existe un nombre réel, K tel que|xn| ≤ K pour tout indice n; ( V al((xi)i) ⊂ DK(0) ).

Une suite de nombres réels (xn)n est dite croissante si p < q =⇒ xp ≤ xq, elle est strictement croissante sip < q =⇒ xp < xq, elle est décroissante, si (−xn)n est croissante, elle est monotone, si elle est croissante oudécroissante. De plus, elle est majorée s’il existe M ∈ R, xn ≤ M, minorée si −xn est majorée.

Ces concepts n’ont aucun sens pour les suites de nombres complexes.Une suite de nombres réels ou complexes (xn)n est dite convergente s’il existe un nombre ℓ ∈ K qui vérifie :

∀ε > 0 ∃N ∈ N, n ≥ N =⇒ |xn − ℓ| < ε.

Ce nombre, lorsqu’il existe, est dit la limite de la suite. On note ce fait par limn→+∞ xn = ℓ ou par xn → ℓ (carlorsqu’il s’agit de suites, n → +∞ peut être sous entendu, s’il n’y a pas d’autres lettres, paramètres, qui puissent servird’indice pour la suite.)

Une suite de nombres réels ou complexes (yn)n est dite extraite de la suite (xn)n s’il existe une application stric-

tement croissante N → N : k 7→ nk telle que ∀k, yk = xnk.

On remarquera que l’on pourrait considérer une suite ne commençant que pour un indice n0 autre que 0 et la noter(xn)

∞

n=n0, ou (xn)n0

. Son premier terme est xn0, son deuxième xn0+1 et ainsi de suite. Dans ce premier chapitre nous

4

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 5

n’en ferons pas usage de ce cas, puisque il suffit de le considérer comme suite extraite de la suite ’complète’ (xn)n parn 7→ n+ n0. Souvent l’on veut considérer la suite (xn)

∞

n=n0parce qu’il y a un sens naturel, par exemple une formule,

liant n à la valeur de xn et que ce sens n’existe pas pour des valeurs inférieurs à n0. (Par exemple une division par 0.)Les n0 premiers termes de la suite ’complète’ (xn)n devront être alors arbitrairement fixés (et 0 est une valeur souventutile).

Proposition 1.1.1 1. Si une suite converge, sa limite est unique.

2. Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente, et la limite est la même.

3. Toute suite réelle croissante majorée est bornée et convergente. Toute suite réelle décroissante minorée est bornéeet convergente.

4. Si ∀n, xn ≤ yn ≤ zn sont trois suites réelles, (xn)n et (yn)n convergentes, avec ℓ1, ℓ2 ∈ R, limn→+∞ xn = ℓ1,limn→+∞ zn = ℓ2alors si on sait que ℓ1 = ℓ2 on peut en déduire que (yn)n est convergente, et limn→+∞ yn = ℓ1; (Gendarmes,)

5. Par contre, dans les mêmes conditions, si on sait cette fois-ci que, limn→+∞ yn = ℓ3, on peut en déduire queℓ1 ≤ ℓ3 ≤ ℓ2. (Les experts de la Gendarmerie.)

6. Si xn ≤ yn sont des suites réelles, et on a (xn)n croissante, (yn)n décroissante, et yn − xn → 0, alors les deuxsuites convergent vers le même nombre ℓ qui vérifie, xn ≤ ℓ ≤ yn (∀n). (Suites adjacentes.)

7. Donnés I un intervalle, x∗ ∈ I, et f : I → R une fonction continue au point x∗. Si xn ∈ I, xn → x∗ alorsf(xn) → f(x∗).

8. Donnés Ω ⊂ Rp, f : Ω → R

q continue au point P0 = (p1, p2, . . . , pp) intérieur de Ω, alors si l’on a p suites

(x(i)n )n avec x

(i)n −→

n→+∞

pi ( c’est-à-dire, une suite de points convergent vers P0) alors les composantes de

f((x(1)n , x

(2)n , . . . , x

(p)n )) convergent respectivement vers les composantes f(P0). En particulier somme et produit

de suites convergentes est convergent, et les suites de nombres complexes convergent si et seulement si leurscomposantes le font.

Ces affirmations, sauf éventuellement la première, fonctionnent souvent comme critère de convergence, on ne lesdémontrera pas dans ce rappel. Mais l’on introduit la notion de ’suites de Cauchy’ qui fonctionne un peu comme uncritère de convergence, du moins au niveau théorique ; indispensable pour comprendre la convergence des séries, etsouvent très sommairement traité en première année ; nous détaillons.

Définition 1.1.2 Une suite numérique (xn)n, xn ∈ K est dite de Cauchy, si

∀ε > 0 ∃N p ≥ N, q ≥ N =⇒ |xp − xq| < ε.

Une partie U de K est dite complète, si toute suite de Cauchy dont l’ensemble des valeurs est inclus dans U, estconvergente et sa limite est un élément de U.

Nous admettons que la condition ci-dessus est de difficile interprétation. Elle indique que ’la suite est ramassée sur elle-même’. Mais quelques exemples montrent son intérêt. Montrons d’abord, que c’est une sorte de critère de convergence,dont l’avantage est que pour l’exprimer, nous n’avons pas besoin de connaître la valeur de la limite, contrairement àla définition de suite convergente.

Proposition 1.1.2 Une suite convergente est de Cauchy.

Preuve. Soit (xn)n une suite convergente et notons ℓ ∈ K sa limite. Prenons ε > 0, par la définition de convergence, nouspouvons prendre N ∈ N (qui sera, dans la pratique d’autant plus grand que ε est petit), qui vérifie : si n ≥ N, |xn − ℓ| < 1

2ε.

Tentons d’utiliser ce même N dans la condition de Cauchy : soient p, q ∈ N, tels que p ≥ N, q ≥ N. Pour majorer |xp − xq|on utilise l’inégalité triangulaire, ’en passant par’ ℓ,

|xp − xq| = |xp − ℓ+ ℓ− xq| ≤ |xp − ℓ|+ |ℓ− xq| <1

2ε+

1

2ε = ε.

On a bien démontré aisément que la suite vérifie la condition de Cauchy, avec l’astuce d’utiliser un 1

2ε dans la définition de la

limite. ⋄

Ainsi, une manière de démontrer qu’une suite n’est pas convergente, est de démontrer que ce n’est pas une suitede Cauchy.

Exemple 1.1.1 Introduisons les nombres harmoniques Hs = 1 + 12 + 1

3 + · · · + 1s, et étudions la suite des nombres

réels positifs (Hs)s.

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 6

Considérons, p, q ∈ N, et quitte à permuter, on considère q ≥ p, q = p +m, ainsi, on a p,m ∈ N, qui est une donnéeéquivalente.

Puisque, visiblement Hs est croissante en s,

|Hp −Hq| = Hq −Hp = (1 +1

2+

1

3+ · · ·+

1

p+m)− (1 +

1

2+

1

3+ · · ·+

1

p) =

1

p+ 1+

1

p+ 2+ · · ·+

1

p+m.

Il y a m termes, tous plus grands que 1p+m

, mp+m

≤ |Hp −Hq|.

Or, si m > p, mp+m

> 12 . Autrement dit, q > 2p =⇒ 1

2 ≤ |Hp − Hq|. La suite ne peut-être de Cauchy. En effet,

si pour un 0 < ε < 12 on pouvait prendre N tel que pour deux quelconques p, q ≥ N, on avait, |Hp −Hq| < ε ; on

aurait pour p = N,m = p+ 1, (q = 2N + 1), les deux 12 ≤ |Hp −Hq| < ε, ce qui est impossible (car on avait ε < 1

2 ).La suite est strictement croissante, elle n’est pas convergente, c’est donc une suite non bornée. Clairement, Hs →

+∞.

Définition 1.1.3 Soit donnée une suite réelle (xn)n, on notera limn→+∞ xn = +∞ lorsque pour chaque K ∈ R, ilexiste N ∈ N, N ≤ n =⇒ K < xn. On écris aussi xn → +∞.

De même, limn→+∞ xn = −∞ lorsque limn→+∞(−xn) = +∞. On écris aussi xn → −∞.Dans ces deux cas, la suite n’est pas convergente. Elle n’a pas de limite, sinon une limite-infinie.Pour les suites de nombres complexes, (zn)n, zn ∈ C, on pourra dire que “zn va à l’infini” lorsque |zn| → +∞.

(Mais nous n’écrirons pas zn → ∞.)

Lemme 1.1.1 Soit donnée une suite réelle croissante, de deux choses l’une, ou elle est majorée, c’est le cas lorsqu’elleest convergente, ou elle est non majorée et sa limite est +∞.

Si (an)n est une suite réelle décroissante,

(an)n converge ⇐⇒ (an)nest minorée,

an → −∞ ⇐⇒ (an)nest non minorée.

Évidemment, les affirmations pour les suites décroissantes s’obtiennent, en considérant la suite opposée, à partir decelles concernant les suites croissantes.

De plus, l’on sait déjà qu’une suite croissante majorée est convergente. Pour la réciproque, il faut juste se souvenirque dans le cas croissant, la limite est la borne supérieure de l’ensemble de valeurs, qui est donc majoré.

Lorsque la limite est +∞, c’est clair que la suite ne peut être majorée. Enfin, si une suite croissante (an)n n’est pasmajorée, pour chaque K ∈ R, il existe un indice N, tel que K < aN . Mais la croissance donne qu’à partir de celui-ci,c’est aussi vrai pour tous, n ≥ N =⇒ an > K, et la limite est +∞.

1.2 Suites extraites

Considérer des suites extraites d’une suite donnée est un outil puissant pour l’étude de leur comportement. Donnons-en quelques exemples dans cette section et la suivante, obtenant des résultats essentiels.

Soit donnée une suite réelle (an)n. Si elle est majorée , pour chaque k ∈ N l’ensemble an / n ≥ k est non videmajoré et a donc une borne supérieure dans R, notons-là :

ωk = supan / n ≥ k,

et considérons la suite réelle (ωk)k. On a

an / n ≥ k + 1 ⊂ an / n ≥ k =⇒ ωk ≥ ωk+1,

et cette suite est décroissante.De manière similaire l’on introduit, pour une suite minorée (an)n, la suite αk = infan / n ≥ k. C’est une suite

de nombres réels croissante.

Définition 1.2.1 Soit (an)n une suite de nombres réels, on pose limn→+∞an = lim supn→+∞

an = +∞ si (an)n n’est pas

majorée.Si (an)n est majorée, on pose limn→+∞an = lim supn→+∞

an = limn→+∞ ωn.On posera aussi , limn→+∞

an = lim infn→+∞ an = −∞ si (an)n n’est pas minorée.Et si (an)n est minorée, on pose limn→+∞

an = lim infn→+∞ an = limn→+∞ αn.Ce sont les limites supérieures et inférieures de la suite respectivement.

Ainsi, pour toute suite de nombres réels nous avons les éléments de R ∪ −∞,+∞ : limn→+∞an et limn→+∞an. Si

l’on a montré l’existence des limites des suites (αk)k et (ωk)k mentionnées, ce qui est fait dans la proposition suivante.

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 7

Proposition 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle bornée, notant m,M, tels que ∀n,m ≤ an ≤ M.

1. La suite (ωk)k est décroissante minorée par m. On a m ≤ limn→+∞an ≤ M.

2. La suite (αk)k est croissante majorée par M. On a pour tout k, αk ≤ ωk, et

m ≤ αk ≤ limn→+∞an ≤ limn→+∞an ≤ ωk ≤ M.

3. Si λ ∈ R, λ > 0, limn→+∞(λan) = λlimn→+∞

an; limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an

4. Si λ < 0, limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an; limn→+∞(λan) = λlimn→+∞

an

5. Si (bn)n est une deuxième suite bornée, limn→+∞an + limn→+∞

bn ≤ limn→+∞(an + bn);

6. et limn→+∞(an + bn) ≤ limn→+∞an + limn→+∞bn.

Preuve.1. Puisque pour chaque n, m ≤ an ≤ M,m ≤ ωk ≤ M, et la suite (ωk)k est décroissante bornée, convergente. L’encadre-

ment m ≤ limk→+∞ ωk ≤ M persiste et de plus pour chaque s, m ≤ limk→+∞ ωk ≤ ωs ≤ M .

2. L’argument pour αk, est similaire, avec évidemment αk = infan / n ≥ k ≤= supan / n ≥ k = ωk.

3. Si 0 < λ, nous avons λ infan / n ≥ k = infλan / n ≥ k ainsi que λ supan / n ≥ k = supλan / n ≥ k (exercice).Le résultat est alors évident.

4. Il suffit de l’établir pour λ = −1, et ensuite utiliser l’affirmation précédente. Or pour toute partie bornée non vide A ⊂ R,l’on a (exercice) inf(−A) = − supA, et le résultat s’en suit.

5. Pour établir ce point, on précisera un peu les notations ci-dessus. Notons pour une suite (cn)n, αk(cn) = infcn / n ≥ ket ωk(cn) = supcn / n ≥ k.

Il suffit donc d’établir pour chaque k, αk(an) + αk(bn) ≤ αk(an + bn) et passer à la limite pour conclure.Fixons k, il suffit de prouver que le nombre αk(an) + αk(bn) est un minorant pour l’ensemble am + bm / m ≥ k, pourque ce nombre soit plus petit ou égal que le plus grand de ces minorants : αk(an + bn).

Soit m ≥ k, nous avons αk(an) ≤ am, (α minore) et aussi αk(bn) ≤ bm, et l’on conclus que αk(an) + αk(bn) ≤ am + bm.Le nombre αk(an) + αk(bn) est bien un minorant de l’ensemble am + bm / m ≥ k.

6. Ici on établit de manière similaire (exercice) pour chaque k, ωk(an + bn) ≤ ωk(an) + ωk(bn), et en passant à la limite,on a finit le preuve de la proposition.

⋄

Pour être surs de ne pas écrire ces inégalités à l’envers, il suffit de considérer l’exemple des suites : an = (−1)n etbn = (−1)n+1, Clairement leurs limites inférieures sont toutes deux égales à −1, leurs limites supérieures 1, et commela somme est la suite nulle, elle a limite supérieure et inférieure nulles, −2 < 0 < 2! On a bien

limn→+∞an + limn→+∞

bn ≤ limn→+∞(an + bn) ≤ limn→+∞(an + bn) ≤ limn→+∞an + limn→+∞bn.

Théorème 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle.1– (an)n converge si et seulement si lim inf

n→+∞

an = lim supn→+∞

an et sont finies.

2– Il existe une suite extraite de (an)n qui a pour limite le nombre lim infn→+∞

an

3–Il existe une suite extraite de (an)n qui a pour limite le nombre lim supn→+∞

an

Corollaire 1.2.1 an → ℓ ⇐⇒ lim infn→+∞

an = lim supn→+∞

an = ℓ.

Preuve. Pour le corollaire, supposons donc la suite réelle convergente, vers sa limite ℓ ∈ R, le Théorème 1.2.1 permet de savoirque la suite a une suite extraite convergent vers la limite supérieure, cette limite est donc ℓ parce que les suites extraites d’unesuite convergente, on la même limite (1.1.1). Il en va de même pour la limite inférieure : ℓ = ℓ.

Si ℓ = +∞, la suite n’est pas majorée, lim supn→+∞an = ℓ par définition. Détaillons la preuve de lim infn→+∞ an = +∞.

Si K ∈ R est donné, il existe N ∈ N, ∀n ≥ N, an > K, ainsi αn ≥ αN ≥ K, et l’on a αn → +∞.Lorsque ℓ = −∞, la preuve est similaire (exercice).Réciproquement, clairement αk ≤ ak ≤ ωk pour tout k, et l’on est dans un cas de suites adjacentes.

⋄

Ce Théorème est admis. La preuve qui suit est un complément utile à l’étudiant intéressé, il est rédigé en caractèresplus petits, et fait appel à un développement .

Lemme 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle bornée.1– Pour chaque ǫ > 0, l’ensemble d’indices I+ǫ = n / an ≤ lim inf an − ǫ est fini.2– Pour chaque ǫ > 0, l’ensemble d’indices J−

ǫ = n / an ≥ lim sup an + ǫ est fini.3– Pour chaque ǫ > 0, les ensembles d’indices Iǫ = n / d(an, lim inf an) < ǫ et Jǫ = n / d(an, lim sup an) < ǫ sont, tous

deux, infinis.

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 8

Détaillons la démonstration de ce lemme très important. Pour 1. À contrario, si pour un ǫ0 > 0 on avait que I+ǫ0 est infini,c’est un sous-ensemble de N infini, alors, pour chaque N ∈ N, ∃kN ∈ I+ǫ0 , kN > N. Or akn

≤ lim inf an − ǫ0 entraine queαkN

≤ lim inf an − ǫ. Ainsi l’on a∃ǫ0, ∀N, ∃k > N, |αk − lim inf an| ≥ ǫ0.

Mais cela veut dire que (αk)k ne peut converger vers lim inf an, ce qui est une contradiction. Elle provient d’avoir supposé qu’ilexistait un ǫ0 > 0 avec I+ǫ0 infini, ces ensembles sont toujours finis.

Pour le point 2 l’argument est similaire, laissé en exercice (utile !).Pour établir le point 3, raisonnons encore par réduction à l’absurde. Supposons que pour ǫ0 > 0 on a Iǫ0 fini, et posons

s = max Iǫ0 qui est un nombre naturel. Pour chaque N ∈ N, considérons k = N + s+ 1, naturel strictement plus grand que Net s, ce n’est donc pas un élément de Iǫ0 : | lim inf an − ak| ≥ ǫ0. En particulier,

αk ≤ ak ≤ lim inf an − ǫ0, |αk − lim inf an| ≥ ǫ0.

Mais ceci empêche que la limite de (αk)k soit lim inf an, ce qui est absurde. Clairement Iǫ doit être toujours infini.La preuve pour Jǫ étant similaire, elle est laissée au lecteur achevant ainsi la preuve de ce lemme.Pour une suite non majorée, on peut introduire J−

ǫ = n / an−ǫ ≥ lim sup an qui est clairement vide, et Jǫ = n / an ≥ 1

ǫ.

Exercice, montrer que Jǫ est alors infini. Traiter aussi le cas des suites non minorées.Le comportement des ensembles d’indices pour lesquels la suite viens ’frapper’ près de lim inf (ou lim sup) nous attire

l’attention sur un concept nouveau et important.

Définition 1.2.2 Un point x est dit valeur d’adhérence de la suite (an)n si pour chaque ǫ > 0, l’ensemble d’indices Iǫ(x) =n ∈ N / d(x, an) < ǫ est infini.

Le troisième point du lemme précédent nous précise que pour les suites bornées, leur limites supérieures et inférieures, sont biendes valeurs d’adhérence de la suite.

La fin de la preuve du théorème 1.2.1 sera corollaire de la proposition suivante.

Proposition 1.2.2 1– Si (ank)k est une suite extraite de (an)n qui converge, sa limite est une valeur d’adhérence de la suite

(an)n.2– Si x est valeur d’adhérence de la suite (an)n, il existe une suite extraite (ank

)k dont la limite est x.

Quand à savoir si l’on doit dire que +∞ est une valeur d’adhérence d’une suite non majorée, on peut du point de vue des suitesextraites, mais il est préférable de s’abstenir et le traiter séparément.

Un corollaire immédiat, qui caractérise les valeurs d’adhérence, est :

Corollaire 1.2.1 Les valeurs d’adhérence (finies) d’une suite sont les mêmes que les limites de ses suites extraites convergentes.

La preuve de la proposition est facile. Pour 1. Soit donnée la suite (ank)k suite extraite de (an)n. et notons ℓ sa limite,

ank−→

k→+∞

ℓ. Soit donné, ǫ > 0, et K ∈ N, tel que ∀k ≥ K, d(ank, ℓ) < ǫ.

L’ensemble d’indices Iǫ(ℓ) contient les indices nk à partir de k = K, ce qui fait un ensemble infini (car k 7→ nk est strictementcroissante, dont injective). Le point ℓ est bien une valeur d’adhérence de la suite (an)n.

Pour deux c’est plus délicat, on construira par récurrence une suite extraite, de la suite donnée (an)n, sachant que x est unede ces valeurs d’adhérence.

Amorçons, anodinement par n0 = 0, et supposons trouvés les 0 < n1 < n2 < · · · < nk−1 tels que pour 1 ≤ i ≤ k −1, d(ani

, x) < 1

i.

Puisque I 1

k

(x) est infini, il contient un indice strictement plus grand que nk−1; on en prend un, et on le note nk. Par

récurrence l’on obtient une suite k 7→ ankavec nk−1 < nk et d(ak, x) <

1

k. C’est clairement une suite extraite de (an)n et c’est

aussi clair qu’elle converge avec x pour limite. La preuve de la proposition et aussi pour le Théorème est achevée.On a laissé au soins du lecteur de prouver que si une suite de nombres réels n’est pas majorée, elle a une suite extraite dont

le limite est +∞. Et si elle n’est pas minorée, elle a une suite extraite de limite −∞.Avec ces nouveaux outils, on en vient à observer que la suite (an)n converge vers ℓ si et seulement si pour chaque voisinage

V de ℓ, l’ensemble des indices n pour lesquels an /∈ V est fini.

1.3 Complétude

Théorème 1.3.1 (Complétude de R.) Toute suite réelle de Cauchy est convergente.Ainsi R est complet, C est complet, tout espace vectoriel normé sur K de dimension finie est completTout fermé de R est complet.

Commençons la démonstration par un petit lemme très général.

Lemme 1.3.1 Toute suite de Cauchy est bornée.

Preuve. Soit (xn)n une suite de Cauchy. Pour ε = 1 > 0 il existe N tel que p, q ≥ N =⇒ d(xp, xq) ≤ 1.Le nombre K = maxd(xN , xs) / s = 0, 1, 2, . . . , N+1 est bien un nombre réel, car il s’agit du maximum d’un nombre fini

de nombres réels.Montrons que toute la suite est dans un rayon de K autour du point xN .

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 9

Soit s un indice quelconque. Si s ≤ N, évidemment d(xN , xs) ≤ K et si s > N, on peut le prendre pour q = s, en prenantp = N, et (par Cauchy) l’on a : d(xs, xN ) < ε = 1.

Toute la suite est dans un rayon K autour d’un même point. La suite est bornée, ce qu’il fallait démontrer. ⋄

Théorème 1.3.2 (Bolzano) Toute suite réelle bornée, admet une suite extraite convergente.

Ceci est un fait difficile et fondamental, mais le travail fait dans la section précédente le rend facile. En effet, il suffitde savoir qu’il existe une suite extraite qui converge vers la limite supérieure de la suite. Ainsi, c’est un corollaire duThéorème 1.2.1.

On achève la démonstration du théorème de complétude à l’aide d’un lemme très général, car une suite de Cauchyest bornée.

Lemme 1.3.2 Une suite de Cauchy admettant une suite extraite convergente est convergente. Sa limite est la même.

Preuve. Soit (xn)n une suite de Cauchy, et supposons, que la suite extraite (xnk)k soit convergente, notons ℓ sa limite. Montrons

que ℓ est la limite de la suite (xn)n.Pour cela, soit 0 < ε et soit, d’après la condition de Cauchy, un N tel que si, p, q ≥ N l’on ait |xp − xq| < ε/2.Par ailleurs, la suite k 7→ xnk

est convergente, de limite ℓ, il existe alors, K tel que si k ≥ K, |xnk− ℓ| < ε/2.

Comme la suite de nombres naturels k 7→ nk est strictement croissante, l’on aura, nk ≥ k. Ainsi, en prenant N ′ = maxN,K,l’on a :

pour chaque n ≥ N ′ ≥ N, nN′ ≥ N ′ qui est plus grand ou égal que N, et que K on en conclut, par la triangulaire :

|xn − ℓ| ≤ |xn − xnN′

|+ |xnN′

− ℓ| <ε

2+

ε

2.

Ce qui prouve que la suite (xn)n converge, et que sa limite est la même que celle de la suite extraite. ⋄

La preuve de la complétude de R est ainsi achevée. La cheville ouvrière est le Théorème de Bolzano, que l’on peutaussi démontrer par dichotomie directement sans lim sup .

Pour le ’rabiot’, il nous faut rappeler qu’une partie U de K est dite ouverte si pour chaque u ∈ U il existe ρ > 0,tel que |x − u| < ρ =⇒ x ∈ U. Puis, qu’une partie est dite fermée dans K, si son complémentaire dans K est unepartie ouverte.

Lemme 1.3.3 Si une suite est convergente et à valeurs dans une partie fermée F de K, sa limite est nécessairementun élément de F.

En effet, si xn → ℓ, si ℓ ∈ K\F, qui est un ouvert, il existe ρ > 0, tel que |x−ℓ| < ρ =⇒ x ∈ K\F. Mais la suite étantconvergente, il existe aussi N tel que |xN − ℓ| < ρ ainsi on se trouve que xN ∈ K\F contrairement à notre hypothèse :tous les éléments de la suite (xn)n sont des éléments de F. Cet absurde provient d’avoir supposé que ℓ n’était pas unélément de F. L’unicité de la limite permet de conclure, que les limites des suites convergentes n’échappent jamais unfermé.

Ainsi, une suite de Cauchy d’un fermé, est convergente (comme suite de K) et puisque sa limite est dans le mêmefermé, c’est une suite convergente du fermé, et ainsi, les fermés de K sont aussi complets.

Les suites de nombres complexes.D’une suite de nombres complexes, on tire deux suites de nombres réels, les parties réelles, et imaginaires respec-

tivement : si zs ∈ C, zs = xs + iys, xs = Re zs, ys = Im zs, avec les symboles standard pour partie réelle et partieimaginaire.

Remarquons pour un nombre complexe quelconque z

max|Re z|, | Im z| ≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|.

(Ceci est un avatar de la relation || · ||∞ ≤ || · || ≤ || · ||1, dans R2 lorsque l’on identifie C à R

2, car le module d’unnombre complexe est bien la norme euclidienne du vecteur formé de sa partie réelle suivie de sa partie imaginaire.)

Lemme 1.3.4 Une suite de nombres complexes est convergente si et seulement si, les suites des parties réelles etimaginaires convergent. La limite est le nombre complexe dont la partie réelle est la limite de la suite des parties réelleset la partie imaginaire est la limite de la suite des parties imaginaires.

Une suite de nombres complexes est de Cauchy, si et seulement si les suites des parties réelles et imaginaires sontchacune des suites de Cauchy.

Si une suite (us)s, us ∈ K converge, la suite (|us|)s converge aussi, et sa limite est le module de la limite de (us)s.

Preuve. Puisque pour chaque nombre complexe ℓ = ℓx+iℓy; ℓx, ℓy ∈ R, nous avons pour une suite complexe zs = xs+iys;xs, ys ∈R,

max|xs − ℓx|, |ys − ℓy| ≤ |zs − ℓ| ≤ |xs − ℓx|+ |ys − ℓy|.

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 10

Si 0 < ε est donné, et la suite (zs)s converge vers ℓ, il existe N, tel que si p ≥ N, |zp − ℓ| < ε. Le premier membre del’inégalité ci-dessus indique qu’à partir de cet N, nous avons, |xp− ℓx| < ε, la suite (xs)s converge et sa limite est ℓx. De manièresimilaire, ys → ℓy, s → +∞.

Réciproquement, si les parties réelles et imaginaires (xs)s et (ys)s convergent, en notant ℓx, ℓy leurs limites, et en formantle nombre complexe ℓ = ℓx + iℓy, nous avons : |zs − ℓ| ≤ |xs − ℓx| + |ys − ℓy| → 0 s → +∞. Ceci montre que la suite (zs)sconverge et que ℓ est sa limite.

Pour l’affirmation sur les suites de Cauchy, on écrira

max|xp − xq|, |yp − yq| ≤ |zp − zq| ≤ |xp − xq|+ |yp − yq|.

La rédaction de cet argument, qui est similaire au précèdent est laissé en exercice.Enfin, si us → ℓ puisque | |us| − |ℓ| | ≤ |us − ℓ|, il est facile, pour chaque ǫ > 0, de prendre un N adéquat, et voir que (|us|)s

converge et que sa limite est |ℓ|.On aurait pu dire directement que la fonction réelle d’une variable complexe z 7→ |z| est continue et conclure. En fait,

la deuxième inégalité triangulaire ci-dessus montre que cette fonction est Lipschitzienne de rapport 1. C’est plus fort que lacontinuité, plus facile à exploiter.

⋄

Ceci achève la preuve de la complétude de C.La situation pour une espace vectoriel normé de dimension finie quelconque est la conséquence de l’affirmation :

‘Toutes les normes d’une evn de dimension finie sont équivalentes’ que l’on admettra. Ensuite, en travaillant sur Rp

avec la norme de votre choix : || · ||1, || · ||2 ou || · ||∞, on procède comme pour C. On n’en dira pas plus.Ce Théorème important étant établi, montrons une situation dans laquelle il se montre particulièrement puissant.

Le cas des suites définies par récurrence. Ce n’est pas un exercice de mathématiques pures, presque tous les algorithmesde résolution numérique d’équations de la physique sont basés sur cette idée.

Définition 1.3.1 Soient E,F des K-espaces vectoriels normés, U ⊂ E, et f : U → F une application. On dira que fest K-Lipschitzienne, s’il existe 0 < K ∈ R tel que

||f(x)− f(y)|| ≤ K||x− y||, x,y ∈ U.

On dira que f est strictement contractante, si E = F, et on peut choisir ce nombre K, vérifiant 0 < K < 1.

L’inégalité triangulaire nous dit que la norme : x 7→ ||x|| est toujours 1-Lipschitzienne.Dans le cas des fonctions réelles, nous savons que le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu’une fonction

dérivable sur un intervalle, dont la valeur absolue de la dérivée est strictement majorée par un nombre K < 1, en toutpoint, vérifie une telle condition de ’strictement contractante’. En effet, si I est un intervalle réel, et f : I → R unefonction dérivable, telle qu’il existe K < 1 tel que ∀ξ ∈ I, |f ′(ξ)| ≤ K; si x, y ∈ I, |f(x) − f(y)| = |f ′(c)| |x − y| pourun c entre x et y, ainsi, avec |f ′(c)| < K, l’on a bien que |f(x)− f(y)| < K|x− y|.

C’est aussi la cas d’une application linéaire f : Rn → R

n lorsque sa matrice M (en bases canoniques) vérifie|||M ||| < 1, car on a (admis)

||MX −MY || = ||M(X − Y )|| ≤ |||M ||| ||X − Y ||.

Un procédé de résolution numérique d’un problème, consistera à fabriquer un espace vectoriel normé, et uneapplication, de sorte que la suite définie par récurrence, à partir d’une amorce assez anodine, nous donne des vecteursapproximants de notre solution, la solution sera un point fixe de notre application.

Proposition 1.3.1 Soit I un intervalle réel, x∗ ∈ I, et f : I → R une fonction strictement contractante. Supposonsque f(I) ⊂ I. Alors, la suite définie par récurrence :

xn+1 = f(xn), x0 = x∗,

est bien définie, elle converge, sa limite ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ.

Preuve. Puisque f(I) ⊂ I et x∗ ∈ I, clairement les éléments xn sont tous bien définis et sont des éléments de l’intervalle I.Cette hypothèse est souvent la plus difficile à vérifier dans la pratique !

Pour la convergence, il suffira de prouver que c’est une suite de Cauchy. Commençons par constater |xp+1 − xp| = |f(xp)−f(xp−1)| ≤ K|xp − xp−1|. Et par récurrence : |xp+1 − xp| ≤ Kp|x1 − x0|.

L’astuce ici est de faire une énorme triangulaire, en passant par tous les indices intermédiaires :

|xp+m − xp| = |xp+m − xp+m−1 + xp+m−1 − xp+m−2 + · · ·+ xp+1 − xp| ≤

≤ |xp+m − xp+m−1|+ |xp+m−1 − xp+m−2|+ · · ·+ |xp+1 − xp| ≤

≤ (Kp+m−1 +Kp+m−2 + · · ·+Kp)|x1 − x0|.

Il vient ensuite, l’identité remarquable (1 +K +K2 + · · ·+Km−1)(1−K) = 1−Km.Elle nous donne Kp+m−1 +Kp+m−2 + · · ·+Kp = Kp 1−Km

1−K.

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 11

Or Kp 1−Km

1−K≤ Kp 1

1−Kcar 0 < K < 1, m ≥ 0. D’où

|xp+m − xp| ≤ Kp 1

1−K|x1 − x0|.

On constate maintenant, que (sachant 0 < K < 1 =⇒ Kp → 0, (p → +∞),) la quantité Kp 1

1−K|x1 − x0| est plus petite

qu’un ε > 0 choisi arbitrairement, dès que p est assez grand ; ainsi, il existe N tel que q ≥ p ≥ N, (m = q − p) |xq − xp| < ε.La suite est de Cauchy, elle converge.

Si ℓ est la limite, |f(ℓ) − ℓ| = |f(ℓ) − f(xp) + xp+1 − ℓ| ≤ |f(ℓ) − f(xp)| + |xp+1 − ℓ| ≤ K|ℓ − xp| + |xp+1 − ℓ|. le derniermembre tend vers 0 avec p. Le nombre positif ou nul |f(ℓ) − ℓ| est majoré par une suite qui tend vers 0, c’est le nombre nul,f(ℓ) = ℓ.

⋄

Ce procédé de construction de suites par récurrence est une source d’exemples de suites dont on a (en général) pasune formule explicitant la valeur de chaque terme en fonction de l’indice.

1.4 Asymptotique

Pour calculer des limites, comparer des comportements de suites, il est utile de bien connaitre quelques exemples.Le maitre mot du livre de Jean Dieudonné, ’Calcul infinitésimal’ est

Majorer, minorer, calculer.Et recommencer, jusqu’à reconnaitre des termes, dont on sait par ailleurs le comportement.Nous adopterons la notation de Landau pour comparer des quantités. Pour les fonctions :

Définition 1.4.1 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[⊂ R ∪ +∞.

1. On dit que f(x) ∈ O(g(x)) (ou f(x) = O(g(x))) quand x → b− si

∃M > 0 ∃c ∈ [a, b[ tels que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤ M |g(x)| .

2. On dit que f(x) ∈ o(g(x)) (ou f(x) = o(g(x))) quand x → b− si

∀ε > 0 ∃c ∈ [a, b[ tel que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤ ε |g(x)| .

3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x → b− si

|f(x)− g(x)| = o(f(x)) quand x → b−.

Lorsque limx→b− g(x) = 0 et f(x) = o(g(x)) on dira que f est infiniment petit devant g lorsque x → b−. Et sif(x) ∼ g(x) on dira que ce sont des infiniment petits équivalents.

Si limx→b− g(x) = +∞ et f(x) ∼ g(x) on dira que ce sont des infiniment grands équivalents, du même ordre.Définition équivalente :

Définition 1.4.2 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[.

1. On dit que f(x) = O(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au voisinage de b et q estbornée au voisinage de b.

2. On dit que f(x) = o(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au voisinage de b etlimx→b− q(x) = 0.

3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au voisinage de b et limx→b− q(x) =1.

Pour démontrer l’équivalence, on pose

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

0 si g(x) = 0

dans (1) et (2), et

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

1 si g(x) = 0

dans (3).Si f(x) ∼ g(x) quand x → b−, alors au voisinage de b à gauche on a 0 ≤ |g(x)| ≤ 2 |f(x)| et 0 ≤ |f(x)| ≤ 2 |g(x)|,

et donc f(x) = O(g(x)) et g(x) = O(f(x)) quand x → b−. On a aussi f(x) = g(x) + o(g(x)) et g(x) = f(x) + o(f(x)).Des définitions similaires sont utiles pour les limites lorsque x → a+, mais nous ne détaillons pas car pour les suites

nous nous intéressons au cas b− = +∞.Évidemment on adoptera les définitions pour les suites :

CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES (RAPPELS) 12

Définition 1.4.3 (Notation de Landau) Soient (xn)n et (yn)n deux suites numériques

1. On dit que xn = O(yn) quand n → +∞ si

∃M > 0 ∃N tels que ∀n ≥ N |xn| ≤ M |yn| .

2. On dit que (xn)n = o((yn)n) quand n → +∞ si

∀ε > 0 ∃N tel que ∀n ≥ N |xn| ≤ ε |yn| .

3. On dit que xn ∼ yn quand n → +∞ si

|xn − yn| = o(xn) quand n → +∞.

Lemme 1.4.1 Soient f et g deux fonctions définies sur [a,+∞[ a ∈ R. Considérons les suites définies par xn = f(n)et yn = g(n) qui sont définies à partir de n0, premier entier dans [a,+∞[.

1. Si f(x) = O(g(x)) lorsque x → +∞, alors xn = O(yn) lorsque n → +∞.

2. Si f(x) = o(g(x)) lorsque x → +∞, alors xn = o(yn) lorsque n → +∞.

3. Si f(x) ∼ g(x) lorsque x → +∞, alors (xn) ∼ (yn) lorsque n → +∞.

La preuve est immédiate.Pour la suite, on omettra n → +∞ dans le cas des suites. Puis on observera que xn = O(1) veut dire que la suite

est bornée, et que xn = o(1) veut dire que la suite converge vers 0.L’algèbre élémentaire de ces relations, dites asymptotiques, n’est pas difficile à établir, énnonçons celles qui

concernent l’équivalence à l’infini.

Proposition 1.4.1 Soient (xn)n, (yn)n, (zn)n et (tn)n des suites numériques, n → +∞.

1. (xn) ∼ (yn), et (zn)n ∼ (tn)n =⇒ (xnzn)n ∼ (yntn)n;

2. (xn) ∼ (yn), (zn)n ∼ (tn)n et, yn ≥ 0, tn ≥ 0 =⇒ (xnzn)n ∼ (yntn)n;

3. p ∈ N∗, (xn) ∼ (yn)n =⇒ (xn)n ∼ (ypn)n;

4. s’il existe N tel que xn 6= 0, si n ≥ N, (xn)n ∼ (yn)n =⇒ ( 1xn

)n ∼ ( 1yn

)n;

5. s’il existe N tel que xn > 0, si n ≥ N, (xn)n ∼ (yn)n =⇒ (xαn)n ∼ (yn)

αn, pour α ∈ R;

6. (xn)n = o(yn), (yn)∼(zn)n =⇒ (xn)n = o(zn);

7. (xn) ∼ (yn), zk → +∞, zk ∈ N =⇒ (xzk)k ∼ (yzk)k;

8. xn − yn = o(1) ⇐⇒ (exn)n ∼ (eyn)n;

9. xn = o(yn) =⇒ (xn)n ∼ (xn + yn)n;

La source la plus sûre de relations asymptotiques est sans doute le théorème de Taylor. Signalons :

e1

n − 1 ∼ ln(1 +1

n) ∼ sin

1

n∼ sinh

1

n∼ tan

1

n∼ th

1

n∼ arcsin

1

n∼ argsin

1

n∼ arctan

1

n∼

1

n.

(1 +1

n)α − 1 ∼

α

n; 1− cos

1

n∼

1

2n2...etc