MATHEMATIQUES - Eléments d'Algèbrenotesdecours.drivehq.com/courspdf/MatAlgebre.pdf2.4. Les nombres réels Ainsi, il existe donc des nombres décimaux non périodiques, c'est-à-dire

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE

—————————————————————— Cours de

MATHEMATIQUES

- Eléments d'Algèbre -

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H. Schyns

Juin 2011

Eléments d'algèbre Sommaire

H. Schyns S.1

Sommaire

1. INTRODUCTION

1.1. Objet et structure du document 1.2. Définition 1.3. Un peu d'histoire

2. LES ENSEMBLES DE NOMBRES

2.1. Les entiers naturels 2.2. Les entiers positifs et négatifs 2.3. Les nombres fractionnaires 2.4. Les nombres réels 2.5. Les nombres imaginaires ou complexes 2.6. Et au-delà…

3. OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES

3.1. Symbolisme 3.2. Addition 3.3. Utilisation de l’addition 3.4. Multiplication 3.5. Utilisation de la multiplication 3.6. Soustraction 3.7. Utilisation de la soustraction 3.8. Division

4. DISTRIBUTION

4.1. Définition et principe 4.2. Produits remarquables

4.2.1. Carré d'une somme 4.2.2. Carré d'une différence 4.2.3. Produit somme différence

4.3. Tableau résumé

5. FACTORISATION

5.1. Définition et principe 5.2. Produits de sommes 5.3. Produits remarquables

5.3.1. Forme a2 + 2ab + b2 5.3.2. Forme a2 - 2ab + b2 5.3.3. Différence de deux carrés

Eléments d'algèbre Sommaire

H. Schyns S.2

6. PETITS PROBLÈMES ET DÉMONSTRATIONS

6.1. Le carré d'un nombre pair est toujours un nombre pair 6.2. Le carré d'un nombre impair est un nombre impair 6.3. La somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3 6.4. La somme de 4 entiers consécutifs n'est pas un multiple de 4 6.5. La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel

7. EXERCICES

7.1. Exercice 1 7.2. Exercice 2 7.3. Exercice 3 7.4. Exercice 4 7.5. Exercice 5 7.6. Exercice 6

8. SOURCES

Eléments d'algèbre 1 - Introduction

H. Schyns 1.1

1. Introduction

1.1. Objet et structure du document

Dans ce document, nous commencerons par donner une définition de l'algèbre et par replacer son importance et son évolution dans un contexte historique.

Nous ferons ensuite quelques rappels sur les différents ensembles de nombres : entiers naturels positifs (ℕ), entiers positifs et négatifs (ℤ), rationnels (ℚ), réels (ℝ) et complexes (ℂ).

Le chapitre suivant est un rappel des opérations arithmétiques de base et de leurs propriétés : addition, multiplication, soustraction, division. Les propriétés sont définies selon leur formalisation algébrique afin de familiariser le lecteur avec le concept de généralisation.

Nous passons ensuite à la distributivité de la multiplication sur l'addition, des cas simples au cas de plus en plus complexes pour terminer par l'établissement des "formules" des produits remarquables.

Le chapitre suivant décrit le processus de factorisation, qui est exactement la démarche inverse de la distribution.

Enfin, nos proposons la démonstration de quelques propriétés arithmétiques surprenantes.

Une série d'exercices est proposée à la fin du document.

Avant d'aborder ce chapitre, nous conseillons au lecteur de bien maîtriser les thèmes suivants :

- Arithmétique générale - Nombre premiers, PGCD, PPCM - Fractions et opérations sur les fractions - Exposants

1.2. Définition

Officiellement, l'algèbre est définie comme "la partie des mathématiques qui a pour but d'étudier les structures indépendamment de la notion de limite".

Il faut bien reconnaître que cette définition assez obscure, ne nous aide pas beaucoup. En fait, il semble assez difficile de donner une bonne définition de l'algèbre (1).

Une approche consiste à définir l'algèbre par son objectif : résoudre d'une manière générale les questions relatives aux nombres, au moyen des relations que l'on peut établir entre les quantités connues et les inconnues qui entrent dans le problème à traiter.

A cet effet, on emploie des symboles (lettres de l'alphabet) pour désigner les grandeurs sur lesquelles on doit raisonner, et on représente par des caractères

1 Dictionnaire Imago Mundi (http://www.cosmovisions.com/algebre.htm) repris dans les sources

Eléments d'algèbre 1 - Introduction

H. Schyns 1.2

particuliers (+ - · /), appelés signes algébriques, les opérations à faire sur ces grandeurs.

Grâce à ces techniques, l'algèbre permet de traduire les problèmes en termes mathématiques, ce qui facilite les raisonnements et augmente leur portée.

1.3. Un peu d'histoire

Au IIIe siècle, Diophante d'Alexandrie (1), qui fut le premier à introduire le concept d'inconnue en tant que nombre, est considéré comme "le père" de l'algèbre.

Le mot "algèbre" n'est apparu que beaucoup plus tard. Il provient de l'arabe "al-jabr". C'est un des premiers mots du titre d'un ouvrage de Al-Khawarizmi, mathématicien d'origine persane qui vécut à Bagdad au IXe siècle (2), dont le nom est aussi à l'origine du terme "algorithme". Cet ouvrage expliquait comment résoudre des problèmes (des équations) par une méthode de "réunion (des morceaux)" ou de "reconstruction" (arabe : al-jabr).

A la fin du XIIe siècle, après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci (3) découvre l'usage du zéro dans l'écriture des nombres (chiffres arabes) et le système décimal. Il découvre également l'algèbre et entreprend de répertorier de façon systématique des méthodes de résolution d'équations en classant celles-ci.

A cette époque les équations sont encore souvent exprimées de manière textuelle. A partir du XVe - XVIe siècle (renaissance) le symbolisme des opérations et la codification des constantes et des inconnues s'introduisent progressivement : John Widmann introduit les signes plus (+) et moins (-) en 1489 ; François Viète (4) a l'idée de noter les inconnues numériques à l'aide de lettres ; tandis que Robert Recorde (5) invente le signe égal (=).

Aux siècles suivants, l'algèbre sera d'une utilisation particulièrement féconde entre les mains des grands noms des mathématiques tels que Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss…

1 Diophante d'Alexandrie (env. 200/214 - env. 284/298), mathématicien grec 2 Al-Khawarizmi (783-850), mathématicien, géographe, astrologue et astronome musulman perse (Bagdad) 3 Leonardo de Pise, dit Fibonacci (v. 1175 - v. 1250), mathématicien italien, voyageur, commerçant. Il eut

une grande influence sur la diffusion du système décimal et sur l'évolution des techniques comptables. 4 François Viète (1540 - 1603) mathématicien français et astronome. Il est aussi l'un des premiers

cryptologues passés maîtres dans l'art de casser les codes. 5 Robert Recorde (1510 - 1558), mathématicien et physicien gallois.

Eléments d'algèbre 2 - Les ensembles de nombres

H. Schyns 2.1

2. Les ensembles de nombres

2.1. Les entiers naturels

Au début de la civilisation, quand les Hommes se sont mis à compter, ils ont commencé par dénombrer leurs possessions : le nombre de têtes de bétail, de membres de la famille, etc. Ils ont rapidement découvert la suite des nombres entiers positifs : 1, 2, 3,…

Quelques millénaires plus tard, les mathématiciens ont formalisé cette découverte dans la théorie des ensembles (1). Les entiers positifs, y compris zéro, ont été baptisés entiers naturels positifs et regroupés dans un ensemble appelé ℕ (fig. 2.1).

Beaucoup de choses sont possibles dans ℕ : on peut toujours additionner deux ou plusieurs nombres entiers naturels (p.ex.: 5 et 12) et le résultat est aussi toujours un entier naturel (5+12=17) ; de même, si on multiplie deux ou plusieurs entiers naturels (p.ex.: 6 et 9), le résultat est aussi toujours un entier naturel (6·9=54). On dit alors que :

L'addition et la multiplication dans ℕ sont internes et partout définies

fig. 2.1 Les ensembles de nombres

Les problèmes commencent quand on veut faire une soustraction. Elle est possible dans ℕ dans certains cas (p.ex.: 12-7=5) mais pas dans d'autres (p.ex. 7-12=?).

2.2. Les entiers positifs et négatifs

Pour résoudre le problème de la soustraction, les mathématiciens découvrent les nombres entiers négatifs (2). Les entiers naturels positifs et les entiers négatifs sont regroupés dans un ensemble appelé ℤ.

Dans ℤ, l'addition, la soustraction, la multiplication sont internes et partout définies.

1 Georg Cantor (1845 - 1918) est considéré comme le père fondateur de la théorie des ensembles. 2 Une invention est la construction, par le génie humain, de quelque chose qui n'existait pas auparavant

(p.ex. invention du transistor). A l'inverse, une découverte est quelque chose qui existait déjà mais dont on ignorait l'existance (p.ex. découverte de l'Amérique). Du point de vue philosophique, les mathématiciens n'inventent rien ; il font toujours des découvertes.


H. Schyns 2.2

Tout n'est pourtant pas réglé car, s'il est possible de multiplier deux entiers, la division, elle pose encore des problèmes. Elle est possible dans ℤ dans certains cas (p.ex.: 8/4=2) mais pas dans d'autres (p.ex. 3/5=?).

2.3. Les nombres fractionnaires

Pour résoudre le problème de la division, les mathématiciens introduisent alors les nombres rationnels (1) c'est-à-dire les fractions (positives ou négatives) et leurs équivalents : les nombres décimaux périodiques (2). On ajoute une couche aux ensembles précédents : les entiers positifs et négatifs et les rationnels sont regroupés dans un ensemble appelé ℚ.

Dans ℚ, l'addition, la soustraction, la multiplication sont internes et partout définies. La division est interne et "presque partout" définie (3)

Dans ℚ, on peut élever un nombre au carré (p.ex. 22=4) mais il n'est pas toujours possible d'extraire une racine carrée (√4=2 mais √2=?).

Pythagore et ses disciples avaient déjà découvert avec angoisse que la racine carrée de 2 (√2) ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction entière. Idem pour le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre (π).

2.4. Les nombres réels

Ainsi, il existe donc des nombres décimaux non périodiques, c'est-à-dire des nombres qui comptent un nombre infini de décimales sans pour autant contenir une période qui revient sans cesse (4).

En faisant ce constat, les mathématiciens découvrent les nombres irrationnels plus souvent appelés nombres réels (quoi qu'ils n'aient ni plus ni moins de "réalité" que les autres nombres). Et hop! On ajoute encore une couche aux ensembles précédents : tous les nombres, depuis les entiers naturels positifs jusqu'au réels sont regroupés dans l'ensemble baptisé ℝ.

Dans ℝ, l'addition, la soustraction, la multiplication sont internes et partout définies. La division est interne et "presque partout" définie. L'extraction de racine nème des nombres positifs est interne et partout définie, etc.

On peut vraiment faire beaucoup de choses avec les nombres réels et, dans la vie de tous les jours, il n'est nul besoin d'aller plus loin. Toutefois, les mathématiciens notent que malgré tout l'arsenal de nombres qui est à leur disposition, il reste une chose impossible : extraire la racine carrée d'un nombre négatif !

Nous savons que

√4 = 2 ou -2 car 22 = 4 et (-2)2 = 4

mais que vaut √(-4) ? 1 "Rationnel" vient du latin "ratio" qui signifie "raison". Les Anciens utilisaient le terme "raison" pour exprimer

le rapport entre deux nombres. 2 1/7 = 0.142857142857142857… la suite de décimales 142857 revient sans cesse et constitue un période. 3 "Presque partout" car la division par zéro n'est pas possible. 4 Par exemple, le nombre 0,1234567891011121314… formé par la suite des entiers naturels est un nombre

décimal non périodique.


H. Schyns 2.3

2.5. Les nombres imaginaires ou complexes

Cette fois, le problème est résolu avec audace par Girolamo Cardano (1) en disant qu'il existe un nombre imaginaire appelé i tel que

i2 = -1 ou encore √(-1) = i

Dès lors

√(-4) = √(-1·4) = √(i2·4) = √(i2)·√4 = i·2 ou 2i

Les mathématiciens découvrent ainsi les nombres complexes qu'ils regroupent dans un ensemble noté ℂ. Alors que tous les nombres réels peuvent être représentés par un point placé sur une droite graduée, les nombres complexes, eux peuvent être représentés par un point placé dans un plan. Ce sont en quelque sorte des nombres à deux dimensions.

Dans ℂ, l'addition, la soustraction, la multiplication sont internes et partout définies. La division est interne et "presque partout" définie. Les nombres négatifs admettent une racine paire.

2.6. Et au-delà…

Il y aura encore quelques extensions formidables, tels les nombres hypercomplexes de l'ensemble IH découvert par W. R. Hamilton mais ça, ça commence à être vraiment très exotique, même pour un ingénieur !

En résumé

- ℕ est l'ensemble des entiers naturels positifs (0, 1, 2, 3,…) ; - ℤ contient ℕ et, en plus, les entiers négatifs (…, -3, -2, -1) ; - ℚ contient ℤ et, en plus, toutes les fractions (-1/3, 5/7, 1.333…, 18.25,…) ; - ℝ contient ℚ et, en plus, toutes les racines carrées, cubiques, etc… ainsi que les

nombres "spéciaux" tels que π ; - ℂ contient ℝ et, en plus, toutes les racines paires de n'importe quel nombre

négatif.

1 Mathématicien, philosophe, inventeur et astrologue italien (1501-1576)

Eléments d'algèbre 3 - Opérations algébriques

H. Schyns 3.1

3. Opérations algébriques

3.1. Symbolisme

Une particularité de l’algèbre est que, pour désigner des nombres, on utilise des symboles.

Le plus souvent, ces symboles sont des lettres de l'alphabet latin (a, b, c,… x, y z) ou grec (α, β, γ, π,…). Mais il n’y a aucune obligation et nous pourrions utiliser d’autres symboles plus exotiques (♦,♥,♠,♣), voire des petits dessins.

Ce qui importe d’est de toujours préciser à quel ensemble de nombres ils appartiennent. Deux nombres entiers positifs ou nuls seront, par exemple, désignés par

a, b ∈ ℕ

Ce qui se déchiffre littéralement :

a et b sont deux nombres qui appartiennent à l'ensemble des entiers naturels (1)

Ce qui signifie en clair :

a et b sont deux nombres entiers positifs ou nuls

"ou nuls" car l'ensemble ℕ contient également zéro.

Pour préciser que le choix des nombres est sans importance nous ajouterons le symbole ∀ qui signifie "pour tout" ou "quels que soient"

∀ a, b ∈ ℕ

Cette expression décrit généralement les pièces du puzzle avec lequel nous allons travailler. Il convient ensuite de décrire l'image du puzzle, c'est-à-dire ce que nous voulons faire avec ces pièces. Très souvent, cette deuxième partie commence par le symbole ∃ qui signifie "il existe" ou par ∃! qui signifie "il existe un seul". Par exemple, pour définir l'addition, nous aurons :

∀ a, b ∈ ℕ, ∃! c ∈ ℕ : a + b = c

Ce que nous déchiffrons par :

Quels que soient deux nombres entiers positifs ou nul, il existe toujours un autre nombre entier positif et un seul qui est le résultat de l'addition des deux nombres choisis.

En clair :

Il est toujours possible d'additionner deux entiers positifs ou nuls ; le résultat est unique et est un entier positif ou nul (2).

1 Le symbole ∈ se lit "appartient à" 2 Unique signifie que l'addition des deux mêmes nombres donne toujours le même résultat. Ce n'est pas le

cas de toutes les opérations mathématiques, certaines donnant deux résultats (p.ex.: la racine carrée)


H. Schyns 3.2

3.2. Addition

L'addition de deux nombres quelconques (a, b) est définie par le symbole + (plus).

a + b

a et b sont appelés les termes de l'addition. Un synonyme de "additionner" est "faire la somme".

- L'addition est interne et partout définie dans l'ensemble ℝ des réels :

∀ a, b ∈ ℝ, ∃! c ∈ ℝ : a + b = c

Quels que soient les nombres (réels) que l'on désire additionner, le résultat existe, est unique, et est un nombre réel.

En géométrie, on représente l’addition par la mise bout à bout de deux segments de droite (fig. 3.1)

fig. 3.1 Représentation graphique : a +b = c

- L'addition est commutative (∀ a, b ∈ ℝ)

a + b = b + a

3.2 + 5.7 = 5.7 + 3.2

fig. 3.2 Commutativité : a+b = b+a

On peut permuter les termes d'une addition sans modifier le résultat final.

- L'addition est associative (∀ a, b, c ∈ ℝ)

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

3.2 + 5.7 + 1.3 = (3.2 + 5.7) + 1.3 = 3.2 + (5.7 + 1.3)

On peut choisir d'effectuer d'abord la somme des deux premiers puis d'additionner ce résultat avec le troisième ou d'effectuer d'abord la somme des deux derniers puis d'additionner ce résultat avec le premier.

- L'addition admet un neutre ; ce neutre est zéro (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a + b = a ⇔ b = 0)

a + 0 = a

3.2 + 0 = 3.2

Le neutre est une valeur qui ne modifie par le résultat de l'opération. Dans le cas présent, ajouter zéro au résultat d'une addition ne change pas ce résultat.


H. Schyns 3.3

- Tout élément admet un opposé ; tel que l'addition de cet élément et de son opposé donne le neutre pour l'addition (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a + b = 0 ⇔ b = -a)

a + (-a) = 0

3.2 + (-3.2) = 0

L'opposé d'un nombre est ce nombre changé de signe. Additionner un nombre et son opposé donne zéro. Notons que :

-0 = 0

3.3. Utilisation de l’addition

Puisque nous ne connaissons pas les valeurs numériques attribuées aux symboles, il nous est impossible d’attribuer une valeur numérique au résultat. C’est pourquoi nous devons utiliser un autre symbole :

a + b = c

Il y a cependant quelques cas pour lesquels nous pourrons simplifier l’écriture à défaut de pouvoir lui donner une valeur numérique.

Par exemple, si nous additionnons une valeur à elle-même, nous obtenons deux fois cette valeur :

a + a = 2·a

fig. 3.3 Représentation graphique : a+a = 2a

De même, si nous additionnons plusieurs multiples d’une même valeur, nous obtenons un nouveau multiple :

2·a + 5·a = 7·a

Par contre, si nous additionnons des symboles différents, nous ne pouvons regrouper que les symboles identiques :

a + b + a + b + b = 2·a + 3·b

fig. 3.4 a+b+a+b+b = 2a+3b

Plus généralement :

2·a + b + 5·c + 3·b + 2·a = 4·a + 4·b + 5·c

et on s’arrête là !

Pas question d’additionner toutes les constantes et de regrouper les lettres comme certains étudiants ont parfois tendance à le faire (13abc non !)


H. Schyns 3.4

3.4. Multiplication

Le produit de deux nombres quelconques (a, b) est définie par le symbole · (fois)

a · b

Dans cette notation, la multiplication est explicite. Toutefois, le symbole · peut être sous-entendu. On parle alors de notation implicite.

a · b = ab

a et b sont appelés les facteurs de la multiplication. Un synonyme de "multiplier" est "faire le produit ".

En géométrie, on représente la multiplication par la surface d’un rectangle donc les côtés sont les facteurs (fig. 3.1)

fig. 3.5 Représentation graphique : a·b

- La multiplication est interne et partout définie dans l'ensemble ℝ des réels :

∀ a, b ∈ ℝ, ∃! c ∈ ℝ : a · b = c

Quels que soient les nombres (réels) que l'on désire multiplier, le résultat existe, est unique, et est un nombre réel.

- La multiplication est commutative (∀ a, b ∈ ℝ)

a · b = b · a

3.2 · 5.7 = 5.7 · 3.2

fig. 3.6 Commutativité : a·b = b·a

On peut permuter les facteurs d'une multiplication sans modifier le résultat final.

- La multiplication est associative (∀ a, b, c ∈ ℝ)

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

3.2 · 5.7 · 1.3 = (3.2 · 5.7) · 1.3 = 3.2 · (5.7 · 1.3)

On peut choisir d'effectuer d'abord le produit des deux premiers puis de multiplier ce résultat avec le troisième ou d'effectuer d'abord le produit des deux derniers puis de multiplier ce résultat avec le premier.


H. Schyns 3.5

- La multiplication admet un neutre ; ce neutre est un (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a · b = a ⇔ b = 1)

a · 1 = a

3.2 · 1 = 3.2

Comme pour l'addition, le neutre est une valeur qui ne modifie par le résultat de l'opération. Dans le cas présent, multiplier par un le résultat d'une multiplication ne change pas ce résultat.

- Presque tout élément admet un inverse ; tel que le produit de cet élément et de son inverse donne le neutre (∀ a≠0 ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a · b = 1 ⇔ b = 1/a)

a · (1/a) = 1

3.2 · (1/3.2) = 1

L'inverse d'un nombre est une fraction dans laquelle le nombre est au dénominateur et le numérateur vaut 1. Multiplier un nombre et son inverse donne zéro.

Il est important de se souvenir :

- zéro (0) n'admet par d'inverse ! Il est interdit de diviser par zéro (cf infra). - un (1) est égal à son inverse 1/1 = 1

- règles des signes résumées par

Positif · Positif = Positif (+)(+) è (+) Positif · Négatif = Négatif (+)(-) è (-) Négatif · Positif = Négatif (-)(+) è (-) Négatif · Négatif = Positif (-)(-) è (+)

3.5. Utilisation de la multiplication

Les facteurs impliqués dans des multiplications peuvent toujours être regroupés. Par exemple, nous savons déjà que

( ) ( ) abbaba =⋅=⋅

De même, nous savons déjà que si nous multiplions une valeur par elle-même, nous obtenons le carré de cette valeur, puis le cube, etc. :

2aaa =⋅

3aaaa =⋅⋅

532 aaa =⋅

Lorsque les facteurs impliquent eux-mêmes plusieurs symboles, nous pouvons les regrouper en ajustant les exposants respectifs :

( ) ( ) dcba6cdb3cba2 253323 =⋅

( ) ( ) 32 abx5bx5ax =⋅

Inutile de s'affoler, il suffit de traiter une lettre à la fois sans s'occuper des autres.


H. Schyns 3.6

3.6. Soustraction

La soustraction de deux nombres quelconques (a, b) est définie par le symbole – (moins). a – b

a et b sont appelés les termes de la soustraction. Un synonyme de "soustraire" est "faire la différence".

- La soustraction est interne et partout définie dans l'ensemble ℝ des réels :

∀ a, b ∈ ℝ, ∃! c ∈ ℝ : a – b = c

Quels que soient les nombres (réels) que l'on désire soustraire, le résultat existe, est unique, et est un nombre réel.

- La soustraction n'est pas commutative (∀ a, b ∈ ℝ)

a – b ≠ b – a

3.2 – 5.7 ≠ 5.7 – 3.2

En effet, permuter les termes d'une addition change le signe du résultat final.

a – b = –(b – a)

- La soustraction n'est pas associative (∀ a, b, c ∈ ℝ)

a – b – c = (a – b) – c ≠ a – (b – c)

3.2 – 5.7 – 1.3 = (3.2 – 5.7) – 1.3 ≠ 3.2 – (5.7 – 1.3)

On peut choisir d'effectuer d'abord la différence des deux premiers puis de soustraire le troisième de ce résultat mais on ne peut pas effectuer d'abord la différence des deux derniers puis soustraire ce résultat du premier.

- La soustraction admet un neutre ; ce neutre est zéro (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a - b = a ⇔ b = 0)

a – 0 = a

3.2 – 0 = 3.2

Le neutre est une valeur qui ne modifie par le résultat de l'opération. Dans le cas présent, soustraire zéro au résultat d'une addition ne change pas ce résultat.

- Tout élément admet un opposé pour la soustraction; tel que la soustraction de cet élément et de son opposé donne le neutre (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a – b = 0 ⇔ b = a)

a – a = 0

3.2 – 3.2 = 0

L'opposé d'un nombre pour la soustraction est ce même nombre.

- La soustraction peut toujours être remplacée par l’addition d’un opposé (∀ a, b ∈ ℝ)

a – b = a + (– b)

3.2 – 5.7 = 3.2 + (– 5.7)


H. Schyns 3.7

3.7. Utilisation de la soustraction

Les règles de soustraction sont semblables à celle de l'addition, sans oublier que nous pouvons passer dans les négatifs :

5·a - 2·a = 3·a 2·x - 9·x = -7·x

De même, si nous avons des soustractions qui impliquent des symboles différents, nous ne pouvons regrouper que les symboles identiques :

2·a - b + 5·c + 3·b - 2·a – 9·c = 2·b - 4·c

et on s’arrête là !

3.8. Division

Le quotient de deux nombres quelconques (a, b) est défini par le symbole / (divisé) ou par une barre de fraction :

a / b ou ba

La division est toujours explicite, elle est représentée par une fraction.

a est appelé de dividende (ou numérateur) et b est appelé le diviseur (ou dénominateur). Un synonyme de "diviser" est "faire le quotient " ou "faire le rapport".

- La division est interne et partout définie dans l'ensemble ℝ0 des réels :

∀ a ∈ ℝ, b ∈ ℝ0, ∃! c ∈ ℝ : a / b = c

Quels que soient le nombre (réel) que l'on désire diviser par un nombre (réel différent de zéro), le résultat existe, est unique, et est un nombre réel.

- La division n'est pas commutative (∀ a, b ∈ ℝ)

a / b ≠ b / a

3.2 / 5.7 ≠ 5.7 / 3.2

Permuter les facteurs d'une division modifie le résultat final.

- La division est n'est pas associative (∀ a, b, c ∈ ℝ)

a / b / c = (a / b) / c ≠ a / (b / c)

3.2 / 5.7 / 1.3 = (3.2 / 5.7) / 1.3 ≠ 3.2 / (5.7 / 1.3)

On peut choisir d'effectuer d'abord le quotient des deux premiers puis de diviser ce résultat avec le troisième mais on ne peut pas effectuer d'abord le quotient des deux derniers puis diviser le premier par ce résultat (voir le chapitre sur les fractions).

- La division admet un neutre ; ce neutre est un (∀ a ∈ ℝ, ∃! b ∈ ℝ : a / b = a ⇔ b = 1)

a / 1 = a

3.2 / 1 = 3.2


H. Schyns 3.8

Diviser par un le résultat d'une division ne change pas ce résultat.

- Presque toute fraction admet un inverse ; tel que le quotient de cette fraction et de son inverse donne le neutre (∀ a/b ∈ ℝ, ∃! c/d ∈ ℝ : (a/b)/(c/d) = 1 ⇔ c/d = a/b)

(a/b) / (a/b) = 1

L'inverse d'une fraction pour la division est cette même fraction.

- Les règles des signes sont identiques à celles de la multiplication

Positif / Positif = Positif (+)/(+) è (+) Positif / Négatif = Négatif (+)/(-) è (-) Négatif / Positif = Négatif (-)/(+) è (-) Négatif / Négatif = Positif (-)/(-) è (+)

- La division peut toujours être remplacée par la multiplication d’un inverse (∀ a, b ∈ ℝ)

a / b = a · (1 / b)

3.2 / 5.7 = 3.2 · (1/5.7)

Eléments d'algèbre 4 - Distribution

H. Schyns 4.1

4. Distribution

4.1. Définition et principe

La distributivité permet de transformer un produit de sommes en une somme de produits.

Cette définition implique une ou plusieurs additions (ou soustractions) et au moins une multiplication (ou division). De plus, il faut que des parenthèses rendent l'addition prioritaire par rapport à la multiplication. Par exemple :

( )cba +⋅

Nous ne pouvons pas évaluer cette expression numériquement, mais nous pouvons distribuer la multiplication pour trouver une expression équivalente :

� a · ( b + c ) = a·b + a·c �

d'où : ( ) acabcba +=+⋅

Le terme de gauche est un produit de sommes tandis que celui de droite est une somme de produits.

Illustrons cette démarche avec un exemple numérique (1)

4·13

4·(5+8) 52

4·5+4·8 = 20+32

La ligne supérieure évalue la parenthèse avant d'effectuer la multiplication; la ligne inférieure distribue la multiplication sur l'addition. Nous obtenons bien le même résultat dans les deux cas.

La distribution fonctionne aussi bien "par la gauche" que "par la droite" (2) :

( ) ayaxayx +=⋅+

La règle s'applique aussi quand l'expression implique des nombres :

( ) 16x882x +=⋅+

ou quand le même symbole apparaît dans la parenthèse et en dehors

( ) xyxxyx 2 +=⋅+

La distribution peut impliquer des groupes de facteurs sans que le principe soit modifié :

1 N'oublions pas que, dans cette introduction, les symboles (lettres) représentent des nombres. On peut

donc toujours remplacer les lettres par des valeurs numériques pour vérifier si une proposition est vraie. 2 Grâce à la commutativité de la multiplication, vue plus haut.


H. Schyns 4.2

( )bcy2axcab 2 +⋅

ycabcxba

bcy2cabaxcab2322

22

+=

⋅+⋅=

Le truc consiste à se préoccuper d'une seule lettre à la fois dans chaque produit.

Même principe avec des fractions. Ici, on se préoccupe séparément des numérateurs et des dénominateurs :

+⋅

by

3x

ba2

2b

ay2b3ax2

by

ba2

3x

ba2

+=

⋅+⋅=

Rencontrer un produit de deux parenthèses est très fréquent

( ) ( )dcba +⋅+

Dans ce cas, chacun des termes d'une parenthèse se distribue sur tous les termes de l'autre :

� � ( a + b )·( c + d ) = a·c + a·d + b·c + b·d � �

Nous commençons par distribuer [ a ] sur [ c ] et sur [ d ] puis par distribuer [ b ] sur [ c ] et sur [ d ] (on peut évidemment faire l'inverse) :

( ) ( ) bdbcadacdcba +++=+⋅+

Nous pouvons aussi adopter une disposition en tableau pour faciliter les calculs. En en-tête de ligne et de colonne, chaque terme est muni de son signe :

· +c +d +a a·c a·d +b b·c b·d

Lorsque les parenthèses comportent des termes négatifs, il ne faut pas oublier d'appliquer la règle des signes :

( ) ( ) qypyqxpxqpyx −++−=+−⋅−

La disposition en tableau donne :

· +x -y -p -p·x +p·y +q q·x -q·y

Notons que le nombre de termes dans l'expression finale est égal au produit du nombre de termes dans chacune des parenthèses :

( ) ( )444 3444 2143421321

termes4termes2termes2

qypyqxpxqpyx −++−=+−⋅−


H. Schyns 4.3

Il ne faut pas se laisser impressionner par des expressions qui semblent compliquées. Rien ne résiste à un peu d'ordre et de méthode. On traite dans l'ordre :

- les signes - les coefficients numériques (numérateur puis dénominateur) - les expressions littérales (numérateur puis dénominateur) - les simplifications

Par exemple :

+−⋅

−

xby

yax

by2

a2x

xy2

bax2

a2by

y2x

bxby2

byaxy2

ax2bxy

ay2ax

22

22

−++−=

−++−=

4.2. Produits remarquables

Trois formes reviennent tellement souvent qu'on en a déduit trois "formules" qui s'appliquent toujours et qui accélèrent les calculs.

4.2.1. Carré d'une somme

( )2ba + ( ) ( )

22

22

bab2a

bbaaba

baba

++=

+++=

+⋅+=

Un terme, appelé double produit vient s'intercaler entre les deux carrés.

Attention : ne pas faire cette erreur très fréquente chez les étudiants :

( ) 222 baba +=+ FAUX !

Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler que

( ) 12111011 22 =+= (et non 101)

ou bien de visualiser l'aire d'un carré dont les côtés valent [ a+b ] (fig. 4.1).

fig. 4.1 (a+b)2 = a2+2ab+b2


H. Schyns 4.4

L'aire totale ne se limite pas à la somme des deux carrés; il faut aussi compter les deux rectangles.

Notons bien que [ a ] et [ b ] peuvent représenter n'importe quel groupe algébrique. Par exemple :

{ {2

ba

xz3xy2 )( +

22222b

2

ab2a

2

zx9yzx12yx4

xz3xz3xy22xy222

++=

+⋅⋅+=4342144 344 2143421)()()()(

4.2.2. Carré d'une différence

( )2ba − ( ) ( )

22

22

bab2a

bbaaba

baba

+−=

+−−=

−⋅−=

Attention : ne pas faire ces erreurs très fréquentes chez les étudiants :

( ) 222 baba −=− FAUX !

( ) 222 bab2aba −+=− FAUX !

Dans le premier cas, on a oublié le double produit, dans le second, on a mal placé le signe moins.


( ) 811109 22 =−= (et non 99)

ou bien de visualiser l'aire d un carré dont les côtés valent [ a-b ] (fig. 4.2). Le petit carré a été décompté deux fois ; il faut donc le rajouter.

fig. 4.2 (a-b)2 = a2-2ab+b2

Ici aussi [ a ] et [ b ] peuvent représenter n'importe quel groupe algébrique. Par exemple :


H. Schyns 4.5

{ {

2

ba

x3z

y2x )( +

2

2

2

2

2

2

2

2b

2

ab2a

2

x9z

y3z

y4x

x9z

xy6xz2

y4x

x3z

x3z

y2x2

y2x

22

+−=

+−=

+⋅⋅−=4342144 344 2143421

)()()()(

4.2.3. Produit somme différence

( )( )baba −+ 22

22

ba

bbaaba

−=

−+−=


( ) ( ) 99110110119 =+⋅−=⋅

ou bien de visualiser l'aire d'un rectangle dont un côté vaut [ a+b ] et l'autre [ a-b ] (fig. 4.2).

fig. 4.3 (a-b)(a+b) = a2-b2

Ici aussi [ a ] et [ b ] peuvent représenter n'importe quel groupe algébrique. Par exemple :

{ { { {

))((

baba

qp

yx

qp

yx −+

2

2

2

2b

2

a

2

q

p

yx

qp

yx

22

−=

−=321321

)()(

4.3. Tableau résumé

A connaître par cœur et à pouvoir appliquer sans hésiter :

( ) 222 bab2aba ++=+

( ) 222 bab2aba +−=−

( )( ) 22 bababa −=−+

Eléments d'algèbre 5 - Factorisation

H. Schyns 5.1

5. Factorisation

5.1. Définition et principe

La factorisation est l'opération inverse de la distribution. Elle transforme une somme de produits en un produit de sommes.

La technique la plus simple est la mise en évidence. Pour l'appliquer, il faut qu'un facteur au moins soit commun dans les différents produits qui composent l'expression. Par exemple

a·b + a·c

Ici, le facteur [ a ] est commun aux deux produits. Nous pouvons le mettre en évidence en écrivant "a fois parenthèse" puis en regardant ce qui reste dans chacun des deux produits quand le facteur [ a ] est retiré :

a · b + a · c = a · ( b + c ) �

d'où : ( )cbaacab +⋅=+

Le terme de gauche est une somme de produits tandis que celui de droite est un produit de sommes.

Pour vérifier, nous redistribuons le terme de droite, ce qui nous ramène bien au terme de gauche.

On essaie généralement de mettre en évidence :

- tous les facteurs possibles

( )dcaaxadxacxabx ++⋅=++

(ici, tous les termes contiennent [ a ] et [ x ])

- la plus grande puissance possible

)( xyyxyxyx 222332 +⋅=+

(ici, tous les termes contiennent au moins [ x2 ] et [ y2 ])

La factorisation permet de justifier l'addition des expressions littérales lorsqu'elles sont identiques :

xyz1522

54

32xyzxyz

54xyz

32 =

+⋅=+

La factorisation s'applique aussi aux coefficients numériques :

b6a4 +

)(

)(

)(

ba326

b23a4

b3a22

+⋅=

+⋅=

+⋅=


H. Schyns 5.2

Les deux dernières formes peuvent surprendre mais elles sont néanmoins correctes. Ce qui importe est de retrouver l'expression initiale si on développe le résultat, ce qui est bien le cas ici.

La factorisation s'applique sans problème à des expressions apparemment compliquées :

( )bcy2axcabycabcxba 22322 +⋅=+

Le truc consiste à repérer d'abord une à une les lettres communes chaque produit puis à se préoccuper de leur plus grand exposant

Même principe avec des fractions. Ici, on se préoccupe séparément des numérateurs et des dénominateurs :

−⋅=−

by

3x

ba2

b

ay2b3ax2

2

Notons que le nombre de termes dans la parenthèse doit être égal au nombre de termes dans l'expression initiale :

)( 4342144 344 21termes3termes3

dcaaxadxacxabx −+⋅=−+

Ce décompte permet d'éviter une erreur fréquente :

)( 44 344 21444 3444 21termes3

22

termes3

3322 xaaxaxxaxaax ++⋅=++ 1

car

ax = 1·ax

5.2. Produits de sommes

Les facteurs à mettre en évidence ne sont pas toujours évidents. Par exemple

bybxayax +++

Dans cette expression, les facteurs n'apparaissent jamais dans tous les groupes. On remarque cependant qu'ils apparaissent tous deux fois. Nous pouvons essayer de regrouper les termes deux par deux :

)()( yxbyxabybxayax +⋅++⋅=+++

Cette fois, nous voyons que le groupe [ x+y ] est commun aux deux termes. Nous pouvons donc le mettre en évidence :

( ) ( ) ( ) ( )bayxyxbyxa +⋅+=+⋅++⋅

d'où

( ) ( )bayxbybxayax +⋅+=+++

Avec un peu d'entraînement, on arrive vite à repérer ces choses.


H. Schyns 5.3

5.3. Produits remarquables

5.3.1. Forme a2 + 2ab + b2

Certaines formes particulières font intervenir les produits remarquables. Par exemple :

24222 zw9xyzw12yx4 ++

Comme dans le cas précédent, aucun facteur n'apparaît dans tous les termes. Par contre ils apparaissent dans deux termes.

Nous remarquons aussi que le premier et le dernier terme sont des carrés parfaits (les coefficients sont des carrés et les exposants des variables littérales sont pairs).

Comme il y a deux carrés, il pourrait s'agir d'une forme

22 bab2a ++

Voyons cela de plus près

2224

222

zw3zw9

xy2yx4

)(

)(

=

=

Nous obtenons ainsi le [ a ] et le [ b ] du produit remarquable. Nous devons vérifier si le troisième terme correspond bien au double produit :

xyzw12zw3xy22ab2zw3bzw3b

xy2axy2a 222222

22=⋅⋅≡

≡⇒≡

≡⇒≡

)(

)(

ce qui est bien le cas.

Nous pouvons donc factoriser :

222222 xz3xy2zx9yzx12yx4 )( +=++

Voici le résumé de la démarche :

22 yx4 + xyzw12 2 + 24 zw9

2xy2 )( ))(( zw3xy22 2 22 zw3 )(

(a)2 + 2(a)(b) + (b)2

5.3.2. Forme a2 - 2ab + b2

Un autre exemple à factoriser par la même technique :

2

2

2

2

x9z

y3z

y4x +−


H. Schyns 5.4

Nous repérons les deux carrés :

2

2

y4x - y3

z + 2

2

x9z

2

y2x )( ))((

x3z

y2x2

2

x3z )(

(a)2 + 2(a)(b) + (b)2

Nous en extrayons la racine carrée et nous vérifions si le double produit correspond, ce qui est bien le cas après simplification.

Nous pouvons donc écrire :

22

2

2

2

x32

y2x

x9z

y3z

y4x )( −=+−

Cette fois, il y a un signe moins [ - ] car le terme qui représente le double produit est négatif.

5.3.3. Différence de deux carrés

Cette dernière forme assez surprenante permet de factoriser des expressions qui n'ont apparemment rien en commun.

Essayons de factoriser

8462 zb25xa9 −

Cette fois, nous en sommes pour nos frais car les deux termes n'ont rien en commun. Et pourtant… en y regardant de plus près, nous remarquons que les deux termes sont des carrés parfaits

62 xa9 - 84 zb25

( )23ax3 ( )242 zb5 (a)2 - (b)2

Nous sommes donc en face de la troisième forme des produits remarquables

22 bababa −=−⋅+ )()(

Nous avons trouvé les composants du terme de droite et nous pouvons les écrire sous la forme de gauche :

)()( 4234238462 zb5ax3zb5ax3zb25xa9 −⋅+=−

Nous avons ainsi fait apparaître un produit, c'est magique !

En fait, en réfléchissant un peu, nous constatons que la différence de deux nombres quelconque peut toujours se mettre sous la forme d'un produit :

)()( bababa −⋅+=−

Eléments d'algèbre 6 - Petits problèmes et démonstrations

H. Schyns 6.1

6. Petits problèmes et démonstrations

6.1. Le carré d'un nombre pair est toujours un nombre pair

Commençons par quelques exemples numériques afin de bien comprendre de quoi on parle. 2 est pair ⇒ 22 = 4 est pair

6 est pair ⇒ 62 = 36 est pair

14 est pair ⇒ 142 = 196 est pair

Essayons à présent de généraliser pour tous les nombres pairs qui existent. C’est ce qu’on appelle démontrer la proposition.

Si nous prenons un nombre entier n au hasard dans l’ensemble des entiers, il n’est pas forcément un nombre pair :

- Soit n ∈ ℕ, n peut être pair ou impair

Par contre, si nous multiplions ce nombre au hasard par deux, alors le résultat est forcément un nombre pair

- Soit n ∈ ℕ, 2·n est forcément pair, par définition d’un nombre pair.

Elevons ce nombre pair au carré

- Soit n ∈ ℕ, (2·n)2 = 4·n2

Le membre de droite exprime que le carré d’un nombre pair est un multiple de 4, or 4 est un multiple de 2.

- Soit n ∈ ℕ, (2·n)2 = 4·n2 = 2·2·n2 = 2·(2·n2)

Le membre de droite exprime que le carré d’un nombre pair est un multiple de 2, donc un nombre pair.

6.2. Le carré d'un nombre impair est un nombre impair

A nouveau, commençons par quelques exemples numériques afin de bien comprendre de quoi on parle.

3 est impair ⇒ 32 = 9 est impair



Essayons à présent de généraliser pour tous les nombres impairs qui existent.

Nous avons vu que si nous prenons un nombre entier n au hasard dans l’ensemble des entiers, il n’est pas forcément un nombre impair :

- Soit n ∈ ℕ, n peut être pair ou impair

Par contre, nous savons que si nous multiplions ce nombre au hasard par deux, alors le résultat est forcément un nombre pair

- Soit n ∈ ℕ, 2·n est forcément pair, par définition d’un nombre pair.


H. Schyns 6.2

Nous savons aussi que si nous ajoutons 1 à un nombre pair, alors le résultat est forcément un nombre impair

- Soit n ∈ ℕ, 2·n+1 est forcément impair, par définition.

Elevons ce nombre impair au carré

- Soit n ∈ ℕ, (2·n+1)2 = 4·n2 + 4·n +1

Nous pouvons regrouper les deux premiers termes du membre de droite et mettre 4·n en évidence :

- Soit n ∈ ℕ, (2·n+1)2 = 4·n·(n + 1) +1 ⇒ impair

ce qui signifie que le résultat est un multiple de 4 (souligné) auquel on ajoute 1.

Comme un multiple de 4 est un nombre pair (ci-dessus), le résultat est donc un nombre pair auquel on ajoute 1, donc un nombre impair.

En y regardant de plus près, nous remarquons que [ n ] et [ n+1 ] qui apparaissent dans la dernière expression sont deux nombres successifs. Nous en déduisons que l'un des deux est fatalement un nombre pair. En effet, si [ n ] est pair, le cas est réglé; s'il est impair, alors c'est [ n+1 ] qui est pair et le cas est réglé. Le produit

n·(n + 1) ⇒ pair, donc multiple de 2

Nous pouvons donc dire que le carré d'un nombre impair est non seulement impair mais c'est aussi toujours un multiple de 8 auquel on ajoute 1.

6.3. La somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3

D’abord quelques exemples numériques :

1 + 2 + 3 = 6 = 3·2 ⇒ multiple de 3

5 + 6 + 7 = 18 = 3·6 ⇒ multiple de 3

28 + 29 + 30 = 87 = 3·29 ⇒ multiple de 3 Essayons à présent de généraliser à toute suite de trois nombres

Prenons un nombre entier n au hasard dans l’ensemble des entiers :

- Soit n ∈ ℕ

Si nous ajoutons 1 à un nombre entier, nous obtenons l’entier suivant, si nous ajoutons encore 1 nous obtenons le suivant du suivant, donc :

- Soit n ∈ ℕ n, n+1, n+2 trois nombres successifs

Faisons leur somme

- Soit n ∈ ℕ n + n+1 + n+2 = 3·n + 3

Nous pouvons mettre 3 en évidence

- Soit n ∈ ℕ n + n+1 + n+2 = 3·n + 3 = 3·(n+1)

Le résultat est donc un multiple de 3 puisque c’est 3 fois un nombre entier.


H. Schyns 6.3

6.4. La somme de 4 entiers consécutifs n'est pas un multiple de 4

Nous laissons cette démonstration au lecteur, à titre d'exercice.

Généraliser les affirmations 6.3 et 6.4 et démontrer que l'expression :

La somme de [ k ] entiers successifs est un multiple de [ k ]

n'est vraie que si [ k ] est un nombre impair mais est toujours fausse si [ k ] est un nombre pair ?

6.5. La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel

Il s'agit d'une démonstration un peu particulière nommée démonstration par l'absurde. Elle consiste à essayer de démontrer le contraire de la proportion initiale de manière à prouver que, dans tous les cas, on arrive à un résultat absurde, c'est-à-dire une contradiction.

Admettons un instant que √2 soit un nombre rationnel, c'est à dire une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

Si c'est le cas, alors ∃ a, b ∈ ℕ et premiers entre eux (1) tels que

ba2 =

En élevant les deux membres au carré, nous obtenons

2

2

ba2 =

d'où

22 ab2 =

Le terme de gauche est un multiple de 2, donc un nombre pair, ce qui signifie que le terme de droite est aussi un nombre de pair. Or, nous avons démontré plus haut (point 6.1) que le carré d'un nombre pair est pair et que le carré d'un impair est impair. Dès lors, si [ a2 ] est pair, c'est que [ a ] l'est aussi.

Si [ a ] est pair, alors ∃ k ∈ ℕ tel que

k2a =

Donc, nous pouvons écrire

2

2

2

2

2

2

bk4

b

k2

ba2 ===

)(

ce qui donne

22

2 k22k4b ==

Le terme de droite est un multiple de 2, donc un nombre pair, ce qui signifie que le terme de gauche est aussi un nombre de pair. Or, il s'agit d'un carré. Dès lors, si [ b2 ] est pair, c'est que [ b ] l'est aussi.

1 Si a et b n'étaient pas premiers entre eux, alors on pourrait simplifier la fraction par leur PGCD.


H. Schyns 6.4

Si [ b ] est pair, alors ∃ j ∈ ℕ tel que

j2b =

Or si

k2a = et j2b =

[ a ] et [ b ] ont [ 2 ] comme facteur commun et ne sont donc pas premiers entre eux. Or nous avons dit au départ que [ a ] et [ b ] étaient premiers entre eux… Nous arrivons donc à une contradiction.

Dès lors, la racine carrée de 2 ne peut être un nombre rationnel. C'est donc un nombre réel :

√2 = 1.4142135623730950488016887242097…

Ce qui est amusant, c'est que ce nombre peut néanmoins se mettre sous la forme d'une fraction continue illimitée, ce qui permet de l'approcher par une fraction aussi précise que l'on veut :

...++

++

+=

212

12

12

112

En se limitant à quatre barres de fraction on obtient

29412 ≅ ⇒ 2

8411681

2941 2

≅=

Eléments d'algèbre 7 - Exercices

H. Schyns 7.1

7. Exercices

7.1. Exercice 1

Regrouper les termes des expressions suivantes :

……

7.2. Exercice 2

Développer (distribuer) les expressions suivantes :

……

7.3. Exercice 3

Développer les expressions suivantes en utilisant les produits remarquables :

……

7.4. Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes :

……

7.5. Exercice 5

Factoriser les expressions suivantes en utilisant les produits remarquables :

……

7.6. Exercice 6

Démontrer que quand on permute deux chiffres d'un nombre, la différence entre le nombre initial et le nombre "permuté" est toujours un multiple de 9.

Par exemple :

32 – 23 = 9 51 – 15 = 36 = 4·9 742 – 427 = 315 = 35·9

Eléments d'algèbre 8 - Sources

H. Schyns 8.1

8. Sources

- Elementary and Intermediate Algebra for College Students Allen R. Angel Prentice Hall ISBN : 0-13-013980-7

- Unknown quantity A real and imagined history of algebra John Derbyshire Atlantic books ISBN : 978-1-84354-569-9

- Men of Mathematics Eric Temple Bell Touchstone books ISBN : 0-671-62818-6

- Idées et Méthodes Dictionnaire Serge Jodra Imago Mundi - Encyclopédie gratuite http://www.cosmovisions.com/algebre.htm

- Algèbre et articles connexes Anonyme Wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre

- Diophante, Al-Khawarizmi et autres Anonyme Wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Diophante_d'Alexandrie

Documents

MATHEMATIQUES - Eléments d'Algèbrenotesdecours.drivehq.com/courspdf/MatAlgebre.pdf2.4. Les nombres réels Ainsi, il existe donc des nombres décimaux non périodiques, c'est-à-dire