Mathematiques en economie-gestion

OPENBOOKLICENCE / BACHELOR

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lOPENBOOKLes fondamentaux

en économie, gestion, management

à livre ouvert

mathématiquesen économie-gestion

Publics

■ Licences Économie, Économie et gestion, Gestion, AES, MIASHS

■ Bachelors des écoles de management

■ Classes préparatoires économiques et commerciales

Comment utiliser les fonctions usuelles les plus simples ? Comment étudier l’évolution d’un capital à l'aide d'une suite numérique ? Dans quels cas est-il pertinent d’utiliser les fonctions puissance, logarithme et exponentielle ? À quoi sert le calcul intégral ? Quelle est l’utilité de l’algèbre linéaire en économie ? Comment maximiser le profit lorsqu'il dépend de plusieurs variables ?

Alliant théorie et pratique, ce manuel met l’accent sur l’acquisition des méthodes et des compétences indispensables à tout étudiant pour réussir sa licence ou son bachelor. Il propose :

• des situations concrètes pour introduire les concepts ; • un cours visuel et illustré par de nombreux exemples pour acquérir les connaissances fondamentales en analyse et en algèbre ;

• des applications à l’économie et à la gestion pour traduire la théorie en pratique et montrer comment utiliser les outils mathématiques ;

• des éclairages sur les grands auteurs de la discipline ; • des exercices progressifs et variés et leurs corrigés détaillés pour s’évaluer et s’entraîner.

Des approfondissements et une partie des corrigés sont disponibles sur www.dunod.com.

Stéphane ROSSIGNOL est docteur en mathématiques et professeur des universités en sciences économiques à l'université Paris 8 Saint-Denis où il dirige le laboratoire d'économie, le LED.

Quelques belles formules utiles en économie-gestion

Dans la même collection,découvrez :

mathématiquesen économie-gestion

STÉPHANE ROSSIGNOL

OPENBOOKLICENCE / BACHELOR

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en économie, gestion, management

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RESSOURCES

NUMÉRIQUES6279582ISBN 978-2-10-070954-0

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“rossignol_70954” (Col. : Science Sup 17x24) — 2015/5/4 — 13:54 — page iii — #2

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SommaireAvant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

Chapitre 1 Fonctions d’une variable réelle : les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Chapitre 2 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Chapitre 3 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chapitre 4 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Chapitre 5 Fonctions puissance, logarithme et exponentielle . . . . . . . . . 112

Chapitre 6 Étude locale et globale des fonctions d’une variable réelle 134

Chapitre 7 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Chapitre 8 Introduction à l’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Chapitre 9 Matrices, déterminants et systèmes d’équations linéaires . 214

Chapitre 10 Diagonalisation, matrices symétriques et applications . . . . 266

Chapitre 11 Introduction aux fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . 294

Chapitre 12 Optimisation de fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . 330

CORRIGÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

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Avant-proposPourquoi faut-il étudier les mathématiques en licence d’économie-gestion et en bachelor ? Les nouveaux bacheliers sont souvent surpris de devoirétudier autant les mathématiques en licence d’économie-gestion et en bachelor. Tou-tefois ils doivent se rendre compte rapidement que celles-ci sont très utiles car :

– les données économiques sont très souvent quantitatives ;

– pour raisonner rigoureusement, la formalisation mathématique et la modélisationsont souvent nécessaires.

En physique comme en économie, la modélisation consiste à représenter de façon sim-plifiée la réalité pour pouvoir en analyser précisément et rigoureusement un aspect. Ontraduit en termes mathématiques les hypothèses que l’on fait sur les questions écono-miques étudiées, puis on en tire logiquement et mathématiquement les conséquences,qu’on retraduit ensuite en termes économiques. Dans ses Principes mathématiques dela théorie des richesses (1838), Cournot est un précurseur de la modélisation mathé-matique en économie. Celle-ci sera de plus en plus développée à partir de la révolutionmarginaliste (1870).

Remarquons que les variables économiques dépendent les unes des autres, c’est pour-quoi il est particulièrement utile de connaître la théorie mathématique des fonctionsd’une ou plusieurs variables réelles. Les agents économiques ont un comportementd’optimisation : la firme cherche à maximiser son profit, le consommateur veut maxi-miser son bien-être ou son utilité, etc. Ceci rend nécessaire l’étude de l’optimisa-tion mathématique, c’est-à-dire la recherche des maxima et des minima des fonctionsd’une ou plusieurs variables.

Que trouve-t-on dans ce manuel ? Le manuel commence par sept chapitresconsacrés à l’analyse des fonctions d’une variable. Les trois chapitres suivants ex-posent les bases de l’algèbre linéaire. Les deux derniers chapitres sont dévolus auxfonctions de plusieurs variables (non linéaires).

Plus précisément, le premier chapitre donne les bases des fonctions d’une variableréelle. Le deuxième est consacré à la dérivation. Le troisième donne une introduc-tion aux suites numériques, utiles particulièrement quand on étudie l’évolution dansle temps d’une variable économique. Le quatrième traite des limites et de la continuitédes fonctions d’une variable réelle. Bien que, dans les manuels, les limites sont géné-ralement exposées en détail avant d’aborder la dérivation, nous avons préféré l’ordreinverse, pour des raisons pédagogiques. Nous avons seulement introduit la notion delimite finie en un point au chapitre 2, c’est-à-dire juste ce qui est nécessaire pour com-prendre la définition du nombre dérivé comme limite du taux d’accroissement. Cetordre est celui des programmes de mathématiques au lycée.

Le chapitre 5 présente en détail les fonctions puissances, logarithmes et exponen-tielles, qui permettent de modéliser une croissance (ou décroissance) régulière. Lesixième chapitre donne l’essentiel de ce qu’il faut connaître pour l’étude locale d’unefonction au voisinage d’un point, et l’étude globale sur tout un intervalle, en particu-lier pour la recherche des extrema. Le septième chapitre donne les rudiments de calculintégral.

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Avant-propos

Les chapitres 8, 9 et 10 exposent l’essentiel de l’algèbre linéaire. Après un exempleintroductif, on explique ce qu’est un espace vectoriel, une application linéaire, une ma-trice, un déterminant. On apprend comment résoudre un système d’équations linéaireset comment diagonaliser une matrice.

Le onzième chapitre est une introduction aux fonctions de plusieurs variables. Enfinle dernier chapitre est consacré à l’optimisation des fonctions de plusieurs variables,si importante en économie.

Ce livre ne traite que des mathématiques nécessaires pour la licence d’économie-gestion et le bachelor :

– nous avons écarté les thèmes mathématiques utiles aux économistes et aux gestion-naires, mais d’un niveau trop avancé, comme l’optimisation dynamique, le contrôleoptimal, la programmation linéaire, etc. ;

– nous avons aussi omis les questions mathématiques qui sont abordées courammenten licence de sciences, mais qui sont moins immédiatement utiles en économie et engestion : fonctions trigonométriques, nombres complexes, équations différentielles,etc. ;

– nous ne traitons pas non plus des probabilités et des statistiques car celles-ci fontl’objet d’un autre manuel dans la même collection.

Quelles sont les spécificités de ce manuel ? Chaque chapitre commence par uneintroduction qui explique de la façon la plus simple possible l’intérêt et l’idée généraledes notions vues dans le chapitre. Comme pour tous les ouvrages de la collection« Openbook », chaque chapitre commence par une rubrique « Objectifs » et finit par« Les points clés », pour clarifier toujours davantage le travail et les enjeux. La rubrique« Les grands auteurs » présente un mathématicien important.

La plupart des théorèmes et propositions sont démontrés. Rappelons qu’en mathéma-tique, proposition et théorème sont synonymes : dans les deux cas, il s’agit d’assertionsque l’on démontre rigoureusement. Les démonstrations les plus longues sont dispo-nibles sur le site www.dunod.com.

On s’est efforcé de donner de nombreux exemples, et également de nombreuses ap-plications économiques détaillées et concrètes, pour comprendre l’utilité des notionsmathématiques étudiées.

Plusieurs exercices figurent à la fin de chaque chapitre. Certains sont corrigés en find’ouvrage ; on trouvera la correction des autres sur le site www.dunod.com.

Remerciements. Je tiens à remercier chaleureusement pour leurs relectures et leurscommentaires : Meglena Jeleva, Raphaël Giraud et Chimène Fischler, ainsi que Mor-gane Tanvé, Antoine Auberger et François Lassner. Merci également à Lionel Ragot etaux éditions Dunod pour leur proposition de rédiger ce manuel. Bien entendu, je resteseul responsable des erreurs et insuffisances de ce livre. Enfin, je remercie Élisabethpour ses illustrations.

À Gabriel.

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Chapitre6U ne entreprise vend depuis longtemps un pro-

duit au prix unitaire P0 = 5. Elle se de-mande ce que deviendrait son profit si elle

augmentait un peu son prix. Cela signifie qu’ellesouhaite connaître le comportement local de la fonc-tion de profit quand le prix P reste proche de 5. Pourcela, on peut approximer la fonction de profit parun polynôme. Ce type d’approximation s’appelle undéveloppement limité. La formule de Taylor-Youngpermet d’obtenir des développements limités.

Imaginons maintenant que vous lancez un nouveauproduit et que vous n’avez aucune idée a priori duprix idéal, celui qui maximiserait votre profit. Vousallez faire une étude globale de la fonction de profit,c’est-à-dire l’étudier pour tous les prix possibles (etnon pas seulement au voisinage d’un point). La déri-vée première et la dérivée seconde de la fonction deprofit vous permettront de trouver des conditions quedoit satisfaire le prix idéal. Ce dernier est particuliè-rement facile à déterminer si la fonction de profit estconcave.

LES GRANDSAUTEURS Brahmagupta (598-668)

Brahmagupta est un mathématicien et astronome indien. Il a longtemps dirigé unobservatoire astronomique. En mathématiques, il comprend comment manipuler lesnombres positifs comme négatifs, et surtout il est le premier à considérer zéro commeun nombre, dans son livre le Brahmasphutasiddhanta.Il trouve les règles des signes : deux nombres de même signe ont leur produit positif ;deux nombres de signes opposés ont leur produit négatif. Il donne la solution géné-rale des équations du second degré. Il résoud des équations linéaires diophantiennes,c’est-à-dire des équations linéaires à coefficients et paramètres entiers. Enfin, il estconnu en géométrie pour sa formule permettant de calculer la surface de quadrila-tères, dite formule de Brahmagupta.


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Étude localeet globaledes fonctionsd’une variable réellePlan

1 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4 Étude d’une fonction d’une variable et tracé de son graphe . . . . . . . . . . . . . 146

5 Fonctions concaves et convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Recherche des extrema d’une fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Objectifs

➔ Analyser le comportement local d’une fonction, à l’aide des formules de Tayloret de développements limités.

➔ Étudier une fonction d’une variable, en particulier en faisant le tableau de varia-tions complet.

➔ Utiliser les principaux critères qui permettent de déterminer les extrema (locauxou globaux) d’une fonction d’une variable.


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Mathématiques en économie-gestion

1 Accroissements finisSi on se promène sur une route rectiligne, et qu’au bout d’un certain temps on est denouveau au point de départ, c’est qu’à un moment donné on a fait demi-tour. C’estl’idée générale du théorème de Rolle : si une fonction varie puis reprend sa valeurinitiale, alors il y a forcément un point c où elle a changé de sens de variation.

Théorème

Théorème de RolleSoit f dérivable sur un intervalle ouvert I de R, et soit a, b dans I, avec a < b.Si f (a) = f (b), alors il existe c ∈]a; b[ tel que f ′(c) = 0.

DémonstrationL’idée intuitive de la démonstration est la suivante. Quand x parcourt [a; b], alors y = f (x)démarre en f (a), puis varie, et revient finalement au point de départ, car f (b) = f (a). Il y adonc nécessairement un point où l’on a rebroussé chemin (c’est-à-dire un point où y = f (x)atteint son maximum ou son minimum). En ce point c la tangente est horizontale, c’est-à-diref ′(c) = 0 ( � figure 6.1).Voici la démonstration précise :

f est dérivable sur [a; b] donc continue sur [a; b]. Elle atteint donc ses bornes sur [a; b](d’après le théorème de Weierstrass, � paragraphe 5.1, chapitre 4), et son image est un inter-valle [m; M]. Deux cas sont à examiner.

– Si f est constante sur [a; b], alors f ′ = 0 sur [a; b], d’où on a bien ce qu’on voulait montrer.

– Si f n’est pas constante sur [a; b], alors m < f (a) = f (b) ou bien M > f (a) = f (b) (oubien les deux à la fois).

Supposons par exemple que M > f (a) = f (b). Alors il existe c ∈]a; b[ tel que M = f (c).

On a f (x) ≤ M pour tout x ∈ [a; b]. On veut en déduire que f ′(c) = 0.

La dérivée à droite est :

f ′d(c) = limh→0+

f (c + h) − f (c)h

≤ 0 car f (c + h) ≤ f (c) et h ≥ 0

La dérivée à gauche est :

f ′g(c) = limh→0−

f (c + h) − f (c)h

≥ 0 car f (c + h) ≤ f (c) et h ≤ 0

Comme f est dérivable en c, la dérivée à droite doit être égale à la dérivée à gauche.

f ′d(c) ≤ 0 et f ′g(c) ≥ 0 et f ′g(c) = f ′d(c) donc f ′g(c) = 0 et f ′d(c) = 0

La dérivée est donc nulle en c.

On déduit facilement du théorème de Rolle un résultat plus général, le théorème desaccroissements finis.

Supposons que je me promène en ligne droite pendant un certain temps. Même si mavitesse varie, il y a forcément un moment c où ma vitesse « instantanée » est égaleà ma vitesse moyenne. C’est l’idée générale du théorème des accroissements finis. Ilpermet de faire le lien entre la dérivée (vitesse instantanée) et le taux d’accroissementsur tout un intervalle (vitesse moyenne), donc entre une notion locale et une notionglobale.

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Chapitre 6 Étude locale et globale des fonctions d’une variable réelle

f(a) = f(b)

Si f est dérivable avec f(a) = f(b), alors il existe un point c compris entre a et b tel que latangente soit horizontale en c.

▲ Figure 6.1 Théorème de Rolle

Théorème

Théorème des accroissements finisOn considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I de R, et a, b dans

I, avec a < b. Alors il existe c ∈]a; b[ tel que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a.

DémonstrationPosons g(x) = f (x) −

( x − ab − a

)( f (b) − f (a)).

La fonction g est dérivable sur I. On a g(a) = f (a) et g(b) = f (b) − ( f (b) − f (a)) = f (a).

Puisque g(a) = g(b), on peut appliquer le théorème de Rolle à la fonction g.

Il existe donc c ∈]a; b[ tel que g′(c) = 0.

On a :

g′(x) = f ′(x) − f (b) − f (a)b − a

Comme g′(c) = 0, on en déduit que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a.

f(a)

f(b)

Si f est dérivable, il existe un point c compris entre a et b tel que la tangente en ce pointsoit parallèle au segment [A; B], où A = (a; f(a)) et B = (b; f(b)).

▲ Figure 6.2 Théorème des accroissements finis

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Un corollaire du théorème des accroissements finis est le théorème portant sur le lienentre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction. Il complète la pro-position 2.17.

Théorème

Signe de la dérivée et sens de variationSi f est une fonction de R dans R, dérivable sur un intervalle ouvert I, alors :f est croissante sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 sur I.f est décroissante sur I si et seulement si f ′ ≤ 0 sur I.f est constante sur I si et seulement si f ′ = 0 sur I.De plus :Si f ′ > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.Si f ′ < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

DémonstrationOn suppose que f est dérivable sur l’intervalle ouvert I.

– Supposons que f ′(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I. Soit x1, x2 ∈ I, avec x1 < x2. D’après le théorèmedes accroissements finis, il existe c ∈]x1; x2[, tel que f (x2) − f (x1) = (x2 − x1) f ′(c).

Comme f ′(c) ≥ 0, on en déduit que f (x2) − f (x1) ≥ 0 dès que x2 > x1, donc f estcroissante.

– Si f ′(x) > 0 pour tout x ∈ I, le même raisonnement permet de dire que f est strictementcroissante.

– On montre de la même façon que si f ′(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I, alors f est décroissante ; etque si f ′(x) < 0 pour tout x ∈ I, alors f est strictement décroissante.

– Réciproque. Supposons f croissante sur I. Soit x0 ∈ I. On a f ′(x0) = limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

.

Pour x > x0, on a f (x) − f (x0) ≥ 0 doncf (x) − f (x0)

x − x0≥ 0.

Pour x < x0, on a f (x) − f (x0) ≤ 0 doncf (x) − f (x0)

x − x0≥ 0.

Pour tout x ∈ I, avec x � x0, on af (x) − f (x0)

x − x0≥ 0 d’où f ′(x0) = lim

x→x0

f (x) − f (x0)x − x0

≥ 0.

On montre de même que f décroissante sur I entraine f ′(x0) ≤ 0 pour tout x0 ∈ I.

Ceci achève la démonstration du théorème.

2 Formules de TaylorLa formule de Taylor-Lagrange est une généralisation du théorème des accroissementsfinis. Elle permet de démontrer la formule de Taylor-Young qui donne une méthodepour calculer des valeurs approchées de fonctions.

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Théorème

Formule de Taylor-LagrangeOn considère une fonction f qui est n fois dérivable sur un intervalle ouvert Ide R. Soit a, b dans I, avec a < b. Alors il existe c ∈]a; b[ tel que :

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + ... +1

(n − 1)!f (n−1)(a)(b − a)n−1 +

1n!

f (n)(c)(b − a)n

DémonstrationSoit A le réel tel que :

f (b)= f (a) + f ′(a)(b − a)+12!

f ′′(a)(b − a)2 + ... +1

(n − 1)!f (n−1)(a)(b − a)n−1+A(b − a)n

Posons :

ϕ(x) = f (b) −[

f (x) + f ′(x)(b − x) + ... +1

(n − 1)!f (n−1)(x)(b − x)n−1 + A(b − x)n

]La fonction ϕ est dérivable sur I, et :

ϕ(b) = f (b) − f (b) = 0

ϕ(a) = f (b) −[

f (a) + f ′(a)(b − a) + ... +1

(n − 1)!f (n−1)(a)(b − a)n−1 + A(b − a)n

]= 0

On peut donc appliquer le théorème de Rolle à la fonction ϕ :

il existe c ∈]a; b[ tel que ϕ′(c) = 0.

Calculons ϕ′(x) à l’aide la définition de ϕ. On obtient, en utilisant la formule sur la dérivéed’un produit :

ϕ′(x) = − f ′(x) + f ′(x) − f ′′(x)(b − x) + f ′′(x)(b − x) − ...

− 1(n − 1)!

f (n)(x)(b − x)n−1 + nA(b − x)n−1

Tous les termes s’annulent deux à deux, sauf les deux derniers termes, donc :

ϕ′(x) = − 1(n − 1)!

f (n)(x)(b − x)n−1 + nA(b − x)n−1

On a ϕ′(c) = 0, donc A =1n!

f (n)(c).

En remplaçant A par cette valeur dans l’expression donnant f (b) (première équation de cettedémonstration), on obtient :

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +12!

f ′′(a)(b − a)2 + ...

+1

(n − 1)!f (n−1)(a)(b − a)n−1 +

1n!

f (n)(c)(b − a)n

Cette dernière expression est la formule de Taylor-Lagrange.

La formule de Taylor-Lagrange sert essentiellement à démontrer celle de Taylor-Young qui permet de déterminer de façon précise le comportement local d’une fonc-tion. Nous avons besoin d’abord d’une définition supplémentaire.

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Définition 6.1

On dit qu’une fonction f d’un intervalle I de R dans R est de classe Cn si elle estn fois dérivable sur I, et que sa dérivée n − ieme est continue.On dit que f est de classe C∞ si elle est dérivable n fois pour tout n ∈ N∗.

Abordons maintenant la formule de Taylor-Young, qui donne une valeur approchéeprécise d’une fonction au voisinage d’un point. Quand une fonction f est dérivable enun point, on sait déjà que son graphe C f est proche de la tangente en ce point. Quandla fonction est de classe Cn, la formule de Taylor-Young nous apprend que le graphepeut être approximé par la courbe représentative d’un polynôme de degré n. Plus n estgrand, plus la valeur approchée est précise.

Formule

Formule de Taylor-YoungOn suppose qu’il existe α > 0 tel que f est de classe Cn sur ]x0 − α; x0 + α[.Alors il existe une fonction ε définie de ]−α;+α[ dans R, avec lim

h→0ε(h) = 0,

telle que, pour tout h ∈ ]−α;+α[ :

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +12!

f ′′(x0)h2 + ... +1n!

f (n)(x0)hn + hnε(h)

DémonstrationD’après la formule de Taylor-Lagrange, appliquée pour a = x0 et b = x0 + h (pour−α < h < α), il existe ch ∈]x0; x0 + h[ tel que :

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +12!

f ′′(x0)h2 + ... +1

(n − 1)!f (n−1)(x0)hn−1 +

1n!

f (n)(ch)hn

Soit ε(h) la fonction telle que1n!

f (n)(ch)hn =1n!

f (n)(x0)hn + hnε(h).

Pour obtenir la formule de Taylor-Young, il suffit de montrer que ε(h) tend vers 0 quand htend vers 0.

On a :ε(h) =

1n!

[f (n)(ch) − f (n)(x0)

]La fonction f est de classe Cn, ce qui signifie que sa dérivée d’ordre n est continue.

On a ch tend vers x0 quand h tend 0, et f (n) est continue, donc limh→0

f (n)(ch) = f (n)(x0).

Cela implique donc bien que limh→0

ε(h) = 0.

Voici maintenant à titre d’exemples les développements de Taylor-Young de deuxfonctions usuelles au voisinage de 0. Ces développements donnent donc des valeursapprochées précises de ces fonctions à l’aide de fonctions plus simples.

Exemple 6.1

eh = 1 + h +12!

h2 +13!

h3 + ... +1n!

hn + hnε(h), avec limh→0

ε(h) = 0

En effet, en appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction exponentielle en x0 = 0, onobtient :

f (h) = f (0) + f ′(0)h +12!

f ′′(0)h2 + ... +1n!

f (n)(0)hn + hnε(h)

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où f est la fonction exponentielle. Les dérivées successives de f sont égales à f donc :

f (0) = exp(0) = 1 et f ′(0) = exp(0) = 1, ..., etc, f (n)(0) = exp(0) = 1

d’où la formule recherchée.

Exemple 6.2

11 − h

= 1 + h + h2 + h3 + ... + hn + hnε(h), avec limh→0

ε(h) = 0

Il s’agit ici d’appliquer la formule de Taylor-Young en x0 = 0 à la fonction f définie par

f (x) =1

1 − x.

On a : f ′(x) =1

(1 − x)2; puis f ′′(x) =

2(1 − x)3

; puis f (3)(x) =2 × 3

(1 − x)4; ... ; f (n)(x) =

n!(1 − x)n+1

d’où :

f (0) = 1, et f ′(0) = 1 ; et f ′′(0) = 2 ; et f (3)(0) = 3!, etc, f (n)(0) = n!

La formule de Taylor-Young en 0 est :

f (h) = f (0) + f ′(0)h +12!

f ′′(0)h2 + ... +1n!

f (n)(0)hn + hnε(h)

Avec les valeurs des dérivées en 0 on obtient :

f (h) = 1 + h +

[12!× 2h2

]+

[13!× (3!) × h3

]+ ... +

1n!× (n!) × hn + hnε(h)

d’où la formule recherchée.

3 Développements limités3.1 Qu’est-ce qu’un développement limité ?

La formule de Taylor-Young permet de donner une approximation fine d’une fonctionau voisinage d’un point x0 en utilisant les dérivées successives de f . On appelle cetype d’approximations un développement limité.

Définition 6.2

Une fonction f admet un développement limité d’ordre n au voisinage d’unpoint x0 si elle peut être approximée par un polynôme de degré n au voisinagede ce point.

Formulation mathématique :

On dit que f admet un développement limité (en abrégé DL) d’ordre n auvoisinage de x0 si et seulement si il existe α > 0, il existe des constantesréelles a0, a1, ..., an et il existe une fonction ε définie de ] − α;+α[ dans R, aveclimh→0

ε(h) = 0, tels que, pour tout h ∈] − α;+α[ :

f (x0 + h) = a0 + a1h + a2h2 + ... + anhn + hnε(h)

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On peut aussi écrire le développement limité de la façon suivante :

f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + ... + an(x − x0)n + (x − x0)nε(x)

avec ici ε définie de ]x0 − α; x0 + α[ dans R, et limx→x0

ε(x) = 0.

Le terme hnε(h) est le reste du DL. Quand h→ 0, le reste hnε(h) tend vers 0 plus viteque chaque terme de la somme a0 + a1h + a2h2 + ... + anhn. On peut donc dire quepour h proche de 0, on a :

f (x0 + h) � a0 + a1h + a2h2 + ... + anhn

Plus n est grand, plus le développement limité donne une approximation précise de fau voisinage de x0.

APPLICATION Valeur approchée du profit

Supposons que Π(p) désigne le profit d’une firme qui vend un bien au prix unitaire p. Le prix initial est p0 = 5, etpour ce prix le profit est Π(p0) = 1 000. On voudrait savoir ce que devient le profit si la firme augmente un peu sonprix. La fonction p �→ Π(p) est peut-être très compliquée, mais si on a un DL de cette fonction, on peut calculerdes valeurs approchées du profit. Les valeurs approchées sont d’autant plus précises que l’ordre n du DL est élevé.Supposons par exemple que le DL d’ordre 3 au voisinage de p0 = 5 est :

Π(5 + h) = 1 000 + 300h − 100h2 + 25h3 + h3ε(h)Le profit initial Π(5) = 1 000 correspond à h = 0. Si la firme veut vendre le bien au prix unitaire p = 5 + h, avec hproche de 0, le profit devient :Π(5 + h) � 1 000 + 300h si on fait une approximation d’ordre 1 (avec le DL d’ordre 1).Π(5 + h) � 1 000 + 300h − 100h2 si on fait une approximation d’ordre 2 (avec le DL d’ordre 2), plus précise quecelle d’ordre 1.Π(5+ h) � 1 000+ 300h− 100h2 + 25h3 si on fait une approximation d’ordre 3 (avec le DL d’ordre 3), encore plusprécise.Si la firme souhaite vendre par exemple au prix p = 5,2 (c.-à-d. h = 0,2), on obtient :Π(5,2) � 1 000 + 300 × 0,2 = 1060 (à l’ordre 1)Π(5,2) � 1 000 + 300 × 0,2 − 100 × 0,22 = 1060 − 4 = 1056 (à l’ordre 2)Π(5,2) � 1 000 + 300 × 0,2 − 100 × 0,22 + 25 × 0,23 = 1056 + 0,2 = 1056,2 (à l’ordre 3)On voit donc bien ici que plus l’ordre du DL est grand, plus on obtient une valeur précise de Π(5,2).

3.2 Comment calculer un développementlimité ?

Pour calculer le développement limité d’une fonction, on peut tout simplement utiliserle développement de Taylor-Young de cette fonction, comme énoncé dans la proposi-tion suivante.

Proposition 6.1

Si f est de classe Cn dans un intervalle ]x0 − α; x0 + α[, alors f admet un déve-loppement limité d’ordre n en x0.

DémonstrationIl s’agit du développement de Taylor-Young.

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Exemple 6.1 (suite)On a vu précédemment ( � exemple 6.1, section 2) que la formule de Taylor-Young donne leDL suivant pour la fonction exponentielle au voisinage de 0 :

eh = 1 + h +12!

h2 +13!

h3 + ... +1n!


ε(h) = 0

Exemple 6.2 (suite)De même, on a vu ( � exemple 6.2, section 2) que la formule de Taylor-Young donne le DL

suivant pour la fonction x �→ 11 − x

au voisinage de 0 :

11 − h

= 1 + h +12!

h2 +13!

h3 + ... +1n!


ε(h) = 0

Quand on connaît les DL de deux fonctions f et g, on peut en déduire le DL de leursomme et celui de leur produit, comme le montrent les deux propositions suivantes.

Proposition 6.2

Si f et g ont un développement limité d’ordre n au voisinage de x0, alors la fonc-tion f + g admet aussi un développement limité d’ordre n au voisinage de x0.On l’obtient en additionnant les DL de f et de g.

DémonstrationOn suppose que :

f (x0 + h) = a0 + a1h + a2h2 + ... + anhn + hnε1(h)

et :g(x0 + h) = b0 + b1h + b2h2 + ... + bnhn + hnε2(h)

où :limh→0

ε1(h) = limh→0

ε2(h) = 0

Alors :

f (x0 + h) + g(x0 + h) = (a0 + b0) + (a1 + b1)h + (a2 + b2)h2 + ... + (an + bn)hn + hnε(h),

où ε(h) = ε1(h) + ε2(h)

donc limh→0

ε(h) = limh→0

ε1(h) + ε2(h) = 0.

Exemple 6.3Supposons que :

f (x0 + h) = 1 + 2h − h2 + h2ε1(h)

g(x0 + h) = 2 − 7h + 2h2 + h2ε2(h)

Alors :f (x0 + h) + g(x0 + h) = 3 − 5h + h2 + h2ε(h)

Développements limités usuels. Voici un tableau qui donne les développementslimités les plus courants au voisinage de x0 = 0. On les obtient par la formule deTaylor-Young.

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▼ Tableau 6.1 Développements limités usuels (pour x → 0)

ex = 1 + x +x2

2!+ ... +

xn

n!+ xnε(x)

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3+ ... + (−1)n−1xn + xnε(x)

11 − x

= 1 + x + x2 + ... + xn + xnε(x)

11 + x

= 1 − x + x2 + ... + (−1)nxn + xnε(x)

(1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1)

2x2 + ... +

α(α − 1)...(α − n + 1)n!

xn + xnε(x)

Exemple 6.4Calculons le DL d’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f définie par :

f (x) = exp(x) +1

1 − x

On sait que exp(x) = 1 + x +12

x2 + x2ε1(x), et que1

1 − x= 1 + x + x2 + x2ε2(x)

donc exp(x) +1

1 − x= 2 + 2x +

32

x2 + x2ε(x).

Proposition 6.3

Si f et g ont un développement limité d’ordre n au voisinage de x0, alors la fonc-tion f × g admet aussi un développement limité d’ordre n au voisinage de x0. Onl’obtient en multipliant les DL de f et de g, et en gardant uniquement les termesde degré inférieur ou égal à n.

DémonstrationOn suppose que :

f (x0 + h) = a0 + a1h + a2h2 + ... + anhn + hnε1(h)et :

g(x0 + h) = b0 + b1h + b2h2 + ... + bnhn + hnε2(h)où :

limh→0

ε1(h) = limh→0

ε2(h) = 0

Alors :f (x0 + h) × g(x0 + h) = (a0 + a1h + ... + anhn + hnε1(h)) × (b0 + b1h + ... + bnhn + hnε2(h))On obtient un polynôme en la variable h, de degré 2n, plus des termes de reste contenanthnε1(h) et hnε2(h).

Tous les monômes en h de degré supérieur ou égal à n + 1 peuvent être mis dans le restehnε(h).

Reprenons nos deux exemples précédents, mais au lieu de faire la somme des DL, onfait le produit1.

1 On peut aussi faire un quotient de DL, mais c’est plus délicat.

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Exemple 6.5Supposons que :

f (x0 + h) = 1 + 2h − h2 + h2ε1(h)

g(x0 + h) = 2 − 7h + 2h2 + h2ε2(h)

Alors :

f (x0 + h) × g(x0 + h) =(1 + 2h − h2 + h2ε1(h)

)×

(2 − 7h + 2h2 + h2ε2(h)

)= (2 − 7h + 2h2) + 2h × (2 − 7h) − h2 × 2 + ε(h)

= 2 − 7h + 2h2 + 4h − 14h2 − 2h2 + ε(h)

= 2 − 3h − 14h2 + h2ε(h)

On peut directement mettre les termes de degré supérieur ou égal à 3 et les restes dans leh2ε(h).

Exemple 6.6Calculons le DL d’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f défninie par :

f (x) =1

1 − x× exp(x)

On sait que exp(x) = 1 + x +12

x2 + x2ε1(x), et que1

1 − x= 1 + x + x2 + x2ε2(x).

Donc1

1 − x× exp(x) =

(1 + x + x2 + x2ε2(x)

)×

(1 + x +

12

x2 + x2ε1(x)

)= 1 + x +

12

x2 + (x + x2) + x2 + x2ε(x) = 1 + 2x +52

x2 + x2ε(x).

3.3 Applications des développements limités3.3.1 Calculs de limites

Les développements limités permettent de calculer des limites lorsque l’on est en pré-sence de formes indéterminées.

1. Comment calculer limx→0

−1 +√

1 + xex − 1

? C’est une forme indéterminée car le numé-

rateur tend vers 0, le dénominateur aussi. On fait un DL d’ordre 1 au numérateuret au dénominateur.

−1 +√

1 + xex − 1

=−1 + 1 + x

2 + xε1(x)

1 + x + xε2(x) − 1=

x2 + xε1(x)

x + xε2(x)=

12 + ε1(x)

1 + ε2(x)

Où limx→0

ε1(x) = limx→0

ε2(x) = 0.

Donc :

limx→0

−1 +√

1 + xex − 1

= limx→0

12 + ε1(x)

1 + ε2(x)=

12

2. Calcul de limx→0

ln(1 + x)√x

. C’est aussi une forme indéterminée car ln(1 + x) tend

vers 0, et√

x aussi. On fait un DL d’ordre 1 de ln(1 + x).

ln(1 + x) = x + xε(x) où limx→0

ε(x) = 0

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Donc :ln(1 + x)√

x=

x + xε(x)√x

=√

x +√

xε(x) qui tend vers 0

D’où limx→0

ln(1 + x)√x= 0.

3.3.2 Position d’une courbe par rapport à sa tangenteSi la fonction f admet un DL d’ordre 1 au voisinage de x0, alors elle est dérivableen x0 et le DL d’ordre 1 donne l’équation de la tangente (T ) à son graphe C f en x0.f (x) = a0 + a1(x − x0) + (x − x0)ε(x) donne a0 = f (x0) et a1 = f ′(x0)et la tangente a pour équation y = a0 + a1(x − x0).

Si la fonction f admet un DL d’ordre 2 au voisinage de x0, le terme d’ordre 2 permetde connaître la position de la courbe C f par rapport à la tangente (T ).

f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + (x − x0)2ε(x)

Donc :f (x) − a0 − a1(x − x0)

(x − x0)2= a2 + ε(x) qui tend vers a2 quand x tend vers x0

Pour x proche de x0, on a f (x) − a0 − a1(x − x0) du même signe que a2. Commef (x) − a0 − a1(x − x0) représente l’écart entre la courbe et la tangente, on peut doncdire que la courbe est au-dessus de la tangente si a2 > 0 et en-dessous de la tangentesi a2 < 0.

4 Étude d’une fonctiond’une variable et tracéde son graphe

Dans cette section nous allons voir une méthode qui ne s’applique qu’aux fonctionsd’une seule variable réelle. En effet, quand il n’y a qu’une seule variable, on peut fairele tableau de variations et tracer le graphe de la fonction, ce qui facilite en particulierla détermination des extrema, et donc l’optimisation. Le plan d’étude d’une fonction fà une variable est le suivant.

1. Déterminer le domaine de définition de f , puis le domaine sur lequel il est néces-saire d’étudier f (plus petit que le domaine de définition s’il y a des symétries).

2. Rechercher les intervalles où f est dérivable (ou en tout cas continue). Étudier lesigne de la dérivée là où elle existe.

3. Trouver les limites aux bornes des intervalles d’étude, et aux points de discontinuitééventuels.

4. Dresser le tableau de variations, en indiquant les valeurs de f aux points remar-quables (points x où f ′(x) = 0, ...).

5. Tracer le graphe.

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4.1 Domaine d’étude d’une fonction4.1.1 Déterminer le domaine de définition

On commence par déterminer rigoureusement le domaine de définition D f de la fonc-tion f . Pour les fonctions les plus courantes, il s’agit d’un intervalle ou d’une uniond’intervalles.

Ne fait pas partie du domaine de définition tout point x0 qui donne :

– un zéro au dénominateur d’une fraction. Si f (x) =1

x − 2, alors x0 = 2 n’appartient

pas à D f ;

– le logarithme d’un nombre strictement négatif ou nul. Si f (x) = ln(3− x), alors toutx0 tel que 3 − x0 ≤ 0 est interdit ;

– la racine carrée d’un nombre strictement négatif. Si f (x) =√

9 − x2, alors f estdéfinie seulement pour x tel que 9 − x2 ≥ 0, c’est-à-dire pour x2 ≤ 9, ou encore−3 ≤ x ≤ 3.

Exemple 6.7

Soit f telle que f (x) =12x+√

4 − x + ln(x + 1).

Le premier terme est défini seulement pour x � 0, le deuxième pour x ≤ 4, le troisième pourx > −1, donc le domaine de définition de f est Df =] − 1; 0[∪]0; 4].

4.1.2 Déterminer les symétries éventuellesS’il existe des symétries, il n’est pas nécessaire d’étudier f sur tout son domaine D f .Par exemple, si f est paire ou impaire, il suffit d’étudier f sur R+, puis de faire unesymétrie.

Il y a d’autres symétries possibles.

Par exemple, si f (1 − h) = f (1 + h) pour tout h ∈ R, cela signifie que C f estsymétrique par rapport à la droite verticale d’équation x = 1. Il suffit d’étudier f sur[1;+∞[, puis de faire une symétrie par rapport à cette droite verticale.

Plus généralement, si f (α − h) = f (α + h) pour tout h ∈ R, alors C f est symétriquepar rapport à la droite verticale d’équation x = α. Il suffit d’étudier f sur [α;+∞[,puis de faire une symétrie par rapport à cette droite verticale.

Si f (α − h) = − f (α + h) pour tout h ∈ R, alors C f est symétrique par rapport aupoint (α; 0).

Exemple 6.8

1. f définie par f (x) = 2x5 − 3x3 est impaire. On l’étudie sur R+, puis on fait une symétriepar rapport au point O = (0; 0).

2. f définie par f (x) = 7x8 − 2x2 + 3 est paire. On l’étudie sur R+, puis on fait une symétriepar rapport à l’axe Oy.

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4.2 Dérivabilité et signe de la dérivéeRappelons le lien entre la croissance (ou décroissance) d’une fonction et le signe desa dérivée. On a vu ( � théorème sur le signe de la dérivée et le sens de variation, finde la section 1 de ce chapitre) que si I est un intervalle ouvert :

f ′ ≥ 0 sur I ⇔ f croissante sur If ′ ≤ 0 sur I ⇔ f décroissante sur If ′ = 0 sur I ⇔ f constante sur If ′ > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur If ′ < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I

Il faut dans un premier temps déterminer les intervalles de R où f est dérivable. Puistrouver le signe de la dérivée f ′ sur chacun de ces intervalles. Ceci peut quelquefoisnécessiter de faire l’étude des variations de la fonction f ′ elle-même, et donc de cal-culer la dérivée seconde f ′′. On cherche les points où f ′ = 0 ; en ces points la tangenteest horizontale. Puis on détermine les intervalles où f ′ > 0, et ceux où f ′ < 0. On faitun tableau de variations pour résumer les résultats.

Il est utile de savoir si f ′ est croissante ou décroissante. Si f ′ est croissante, la fonc-tion f est convexe, si f ′ est décroissante, f est concave ( � section 5).

On peut aussi étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente ( � fin de lasection 3).

Exemple 6.9Étude de f définie par f (x) = x.e−x

f est définie et dérivable sur R, car produit de fonctions définies et dérivables sur R.

f ′(x) = e−x − x.e−x = e−x(1 − x)f ′(x) = 0⇔ x = 1f ′(x) > 0⇔ x < 1f ′(x) < 0⇔ x > 1

La fonction f est donc strictement croissante sur ] − ∞; 1[, strictement décroissante sur

]1;+∞[. Elle atteint son maximum en x = 1. En ce point elle vaut f (1) = e−1 =1e

.

La tangente est horizontale en x = 1.

x −∞ 1 +∞f ′(x) + 0 −

1/ef (x) ↗ ↘

Exemple 6.10

Étude de la fonction f définie par f (x) = x +1

x − 2.

f est définie et dérivable sur ] −∞; 2[∪]2;+∞[

f ′(x) = 1 − 1(x − 2)2

f ′(x) = 0⇔ (x − 2)2 = 1, c.-à-d. x − 2 = ±1

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Donc :f ′(x) = 0⇔ x = 1 ou x = 3

Avec :

f (1) = 1 − 1 = 0 et f (3) = 3 + 1 = 4

f ′(x) < 0⇔ (x − 2)2 < 1, c.-à-d. − 1 < (x − 2) < 1

Donc :f ′(x) < 0⇔ 1 < x < 3

Et finalement :f ′(x) > 0⇔ x < 1 ou x > 3

x −∞ 1 2 3 +∞f ′(x) + 0 − − 0 +

0f (x) ↗ ↘ ↘ ↗

4

4.3 Limites et asymptotesPour compléter le tableau de variations, il faut calculer les limites aux bornes du do-maine de définition, et également les limites aux points de discontinuité éventuels. SiD f est l’union de plusieurs intervalles de R, il est nécessaire de calculer les limites auxextrémités de chacun de ces intervalles. Si un de ces intervalles est non borné, il s’agitde calculer la limite de la fonction pour x tendant vers +∞ ou vers −∞. Ces limitespermettent de déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe C f .

Rappelons que si limx→x0

f (x) = ±∞, où x0 ∈ R, alors la droite verticale d’équation

x = x0 est asymptote à la courbe. Ceci est vrai même s’il ne s’agit que d’une limiteà droite (ou à gauche).

Si limx→+∞ f (x) = l ou lim

x→−∞ f (x) = l, où l ∈ R, alors la droite horizontale d’équation

y = l est asymptote à la courbe.

Si limx→+∞

[f (x) − (ax + b)

]= 0 ou lim

x→−∞[f (x) − (ax + b)

]= 0 , alors la droite oblique

d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe. Pour connaître la position de C f

par rapport à cette asymptote, on étudie le signe de f (x) − (ax + b) pour x → +∞(ou pour x → −∞). Si ce signe est positif, la courbe est au-dessus de l’asymptote,s’il est négatif elle est en-dessous.

Exemple 6.9 (suite)On poursuit l’étude de la fonction f définie par f (x) = x.e−x.

Il nous manquait le calcul des limites de f en +∞ et en −∞.

D’après le théorème des croissances comparées ( � paragraphe 3.2, chapitre 5), on a :

limx→−∞ f (x) = lim

x→+∞(−x)ex = −∞Et :

limx→+∞ f (x) = lim

x→−∞(−x)ex = 0

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ce qui implique que f admet pour asymptote la droite d’équation y = 0.

x −∞ 1 +∞f ′(x) + 0 −

1/ef (x) ↗ ↘

−∞ 0

▲ Figure 6.3 Graphe de f (x) = xe−x

Exemple 6.10 (suite)

On poursuit l’étude de la fonction f définie par f (x) = x +1

x − 2.

Il nous manquait le calcul des limites de f en +∞, en −∞, et en x0 = 2.

Il est clair que1

x − 2tend vers 0 quand x tend vers ±∞. D’où :

limx→+∞ f (x) = lim

x→+∞ x = +∞lim

x→−∞ f (x) = limx→−∞ x = −∞

On a limx→±∞ f (x)− x = lim

x→±∞1

x − 2= 0 donc la droite d’équation y = x est asymptote (oblique)

au graphe de f .

De plus,1

x − 2tend vers +∞ quand x→ 2+, et

1x − 2

tend vers −∞ quand x→ 2−. D’où :

limx→2+

f (x) = limx→2+

1x − 2

= +∞

limx→2−

f (x) = limx→2−

1x − 2

= −∞Cela signifie que la droite verticale d’équation x = 2 est asymptote au graphe de f .

On peut alors finir de compléter le tableau de variations.

x −∞ 1 2 3 +∞f ′(x) + 0 − − 0 +

0 +∞ +∞f (x) ↗ ↘ ↘ ↗

−∞ −∞ 4

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▲ Figure 6.4 Graphe de f (x) = x +1

x − 2

5 Fonctions concaves et convexesEn économie, on cherche souvent à maximiser une fonction sur tout un intervalle (parexemple maximiser le profit d’une firme ou l’utilité d’un consommateur), ou bien à mi-nimiser une fonction sur un intervalle (minimiser le coût de production par exemple).On peut facilement trouver le maximum d’une fonction si celle-ci est concave, oubien trouver son minimum si elle est convexe. Nous commençons donc par étudier cesnotions.

5.1 Qu’est-ce qu’une fonction concaveet une fonction convexe ?

On considère une fonction f de I dans R, où I est un intervalle de R.

Définition 6.3

Une fonction f est concave sur un intervalle I si, à chaque fois que l’on joint deuxpoints de la courbe par un segment de droite, ce segment est situé sous la courbe.


On dit que f est concave sur I si :

∀a, b ∈ I, ∀α ∈ [0; 1], on a f (αa + (1 − α)b) ≥ α f (a) + (1 − α) f (b)

Définition 6.4

Une fonction f est convexe sur un intervalle I si, à chaque fois que l’on joint deuxpoints de la courbe par un segment de droite, ce segment est situé au-dessus de lacourbe.


On dit que f est convexe sur I si :

∀a, b ∈ I, ∀α ∈ [0; 1], on a f (αa + (1 − α)b) ≤ α f (a) + (1 − α) f (b)

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f(αa) + (1−α)b)

αa + (1−α)b ba

αf(a) + (1−α)f(b)A

N

M

B

a

αf(a) + (1−α)f(b)

f(αa + (1−α)b)

αa + (1−α)b ba

A

N

M

B

b

Soit A = (a; f(a)) et B = (b; f(b)). Considérons M =(αa + (1 − α)b; f(αa + (1 − α)b)

)et N =

(αa + (1 − α)b;αf(a) + (1 − α)f(b)

).

a Si la fonction f est concave, le point M est au-dessus du point N.

b Si la fonction f est convexe, le point M est en-dessous du point N.

▲ Figure 6.5 Fonction concave et fonction convexe

Proposition 6.4

f est convexe si et seulement si − f est concave.

DémonstrationLa demonstration est évidente en posant g = − f . Le changement de signe change le sens del’inégalité.

Remarquons qu’une fonction définie sur un intervalle I peut très bien n’être ni concaveni convexe.

On parle de concavité stricte (ou de convexité stricte) si l’inégalité est stricte à l’inté-rieur de l’intervalle.

Définition 6.5

On dit que f est strictement concave sur I si :

∀a, b ∈ I, ∀α ∈]0; 1[, on a f (αa + (1 − α)b) > α f (a) + (1 − α) f (b)

On dit que f est strictement convexe sur I si :

∀a, b ∈ I, ∀α ∈]0; 1[, on a f (αa + (1 − α)b) < α f (a) + (1 − α) f (b)

5.2 Lien entre dérivées et concavité(ou convexité)

La proposition suivante montre qu’une fonction concave est une fonction qui montede moins en moins vite (ou qui descend de plus en plus vite). En effet, f ′′ ≤ 0 signifieque f ′ est décroissante.

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De même, une fonction convexe est une fonction qui monte de plus en plus vite (ouqui descend de moins en moins vite). Avoir f ′′ ≥ 0 signifie que f ′ est croissante.

Proposition 6.5

Si f est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I, alors :f est concave sur I ⇔ f ′′(x) ≤ 0, ∀x ∈ If est convexe sur I ⇔ f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

DémonstrationOn fait la démonstration pour concave seulement, car pour convexe il suffit de considérerg = − f .

– Supposons que f ′′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

On voudrait montrer que f (αa + (1 − α)b) ≥ α f (a) + (1 − α) f (b), ∀α ∈ [0; 1], ∀a, b ∈ I.

Pour a, b fixés dans I, on considère la fonction u définie par :

u(α) = f (αa + (1 − α)b) − α f (a) − (1 − α) f (b)

La fonction f est deux fois dérivable, donc u aussi.

u′(α) = (a − b) f ′(αa + (1 − α)b) − f (a) + f (b)

u′′(α) = (a − b)2 f ′′(αa + (1 − α)b) ≤ 0 pour tout α ∈ [0; 1]

On a u(0) = f (b) − f (b) = 0 et u(1) = f (a) − f (a) = 0

On peut appliquer le théorème de Rolle : ∃c ∈]0; 1[ tel que u′(c) = 0.

On a u′′(α) ≤ 0 pour tout α ∈ [0; 1], donc u′ est décroissante. On a donc :

u′(α) ≥ 0 si α ∈ [0; c] et u′(α) ≤ 0 si α ∈ [c; 1].

u est donc croissante sur [0; c] et décroissante sur [c; 1].

Comme u(0) = u(1) = 0, donc u(α) ≥ 0 pour tout α ∈ [0; 1].

On a donc bien f (αa + (1 − α)b) − α f (a) − (1 − α) f (b) ≥ 0, ∀α ∈ [0; 1], ∀a, b ∈ I.

– Réciproque. Supposons pour simplifier que f est de classe C2 sur I, et que f est concavesur I. Montrons que f ′′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

Pour x fixé, soit g(h) = f (x + h) + f (x − h) − 2 f (x). La fonction g est définie au moinsdans un voisinage de 0, car f est définie au moins dans un voisinage du point x (puisquel’intervalle I est ouvert).

On a g(h) = 2[12

f (x + h) +12

f (x − h) − f (x)] ≤ 0 car f est concave.

g′(h) = f ′(x + h) − f ′(x − h)

g′′(h) = f ′′(x + h) + f ′′(x − h)

D’où g(0) = 0 et g′(0) = f ′(x) − f ′(x) = 0 et g′′(0) = 2 f ′′(x)

Le développement de Taylor-Young de g au voisinage de 0 s’écrit donc :

g(h) = g(0) + g′(0)h +12g′′(0)h2 + h2ε(h) = f ′′(x)h2 + h2ε(h)

On a donc1h2g(h) = f ′′(x) + ε(h) où g(h) ≤ 0.

On en déduit que f ′′(x) + ε(h) ≤ 0, où limh→0

ε(h) = 0, donc f ′′(x) ≤ 0.

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Exemple 6.11

1. La fonction f définie pour tout x ∈ R par f (x) = x2 est convexe.

En effet, f ′(x) = 2x et f ′′(x) = 2 ≥ 0 pour tout x ∈ R.

2. La fonction f définie pour tout x ∈ R par f (x) = exp(x) est convexe.

En effet, f ′(x) = exp(x) et f ′′(x) = exp(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R.

3. La fonction f définie pour tout x ∈ R∗+ par f (x) = ln(x) est concave.

En effet, f ′(x) =1x

et f ′′(x) =−1x2≤ 0 pour tout x ∈ R∗+.

APPLICATION Fonction d’utilité concave

En microéconomie, on note U(x) le bien-être (on dit souvent « l’utilité ») d’un agent qui peut consommer laquantité x d’un certain bien. Plus x est grand, plus le bien-être est grand, mais quand x augmente, on considèregénéralement que le bien-être U(x) augmente de moins en moins vite. Une unité supplémentaire du bien augmentedavantage l’utilité si l’agent en a peu que s’il en a déjà beaucoup. Mathématiquement cela revient à dire que lafonction U est croissante concave.Voici quelques exemples de fonctions croissantes concaves fréquemment employées comme fonctions d’utilité enmicroéconomie :

U(x) = ln(x) pour x > 0

U(x) = xλ pour x ≥ 0, avec 0 < λ < 1 (par exemple λ =12

donne U(x) =√

x)

U(x) = − exp(−x)

6 Recherche des extremad’une fonction d’une variable

Pour déterminer les extrema (c’est-à-dire max ou min) d’une fonction d’une variableréelle, on peut utiliser son tableau de variations (� section 4 de ce chapitre). Toute-fois, cette méthode n’est pas généralisable aux fonctions de plusieurs variables et ellenécessite de pouvoir faire le tableau de variations complet. Nous allons étudier danscette section un certain nombre de critères et conditions (nécessaires et/ou suffisantes)pour déterminer les extrema d’une fonction, qui sont assez largement généralisablesaux fonctions de plusieurs variables, comme nous le verrons au chapitre 11.

6.1 Extremum global, extremum localOn considère ici une fonction f définie sur un intervalle I de R, et un point x0 ∈ I.

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Définition 6.6

Extremum globalOn dit que f admet un maximum global sur I en x0 si f (x) ≤ f (x0) pour toutx ∈ I.On dit que f admet un minimum global sur I en x0 si f (x) ≥ f (x0) pour toutx ∈ I.On parle d’extremum global en x0 quand on a un maximum global ou un mini-mum global en x0.On parle d’extremum global strict si l’inégalité est stricte pour tout x � x0.

a Maximum global b Minimum global

▲ Figure 6.6 Extremum global

Rappelons que si I est un intervalle de R, on dit que x0 est un point intérieur à Isi x0 appartient à I mais n’est pas une extrémité de l’intervalle I ( � définition 1.7).Par exemple, si I =]1; 4[, alors tous les points de I sont intérieurs. Si I = [1; 4], alorstous les points de I sont intérieurs sauf x0 = 1 et x0 = 4.

Supposons que f est définie sur un intervalle I, et que x0 est un point intérieur à I. Onva dire que x0 est un extremum local de f si c’est un extremum de f quand on restreintcelle-ci à un petit intervalle centré en x0.

Définition 6.7

Extremum localOn dit que f admet un maximum local en x0 s’il existe ε > 0 tel que f (x) ≤ f (x0)pour tout x ∈ I∩]x0 − ε; x0 + ε[.On dit que f admet un minimum local en x0 s’il existe ε > 0 tel que f (x) ≥ f (x0)pour tout x ∈ I∩]x0 − ε; x0 + ε[.On parle d’extremum local en x0 quand on a un maximum local ou un minimumlocal en x0.On parle d’extremum local strict si l’inégalité est stricte pour tout x � x0.

Il est clair que si x0 est un maximum global, alors c’est aussi un maximum local.La réciproque n’est pas vraie : un maximum local n’est pas forcément un maximumglobal.

Les mêmes remarques sont valables pour un minimum.©D

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a Maximum local b Minimum local

▲ Figure 6.7 Extrémum local

6.2 Conditions du premier ordreOn appelle « condition du premier ordre » pour que x0 soit un extremum de f , toutecondition faisant intervenir la dérivée première de la fonction f .

La proposition suivante signifie que la tangente est horizontale en tout extremum local.

Proposition 6.6

Condition nécessaire du 1er ordreSoit f dérivable sur l’intervalle I, et x0 un point intérieur à I.Si x0 est un extremum local de f , alors f ′(x0) = 0.

DémonstrationSupposons que x0 est un maximum local.

Il existe donc α > 0, tel que pour tout h ∈] − α;α[, f (x0 + h) ≤ f (x0).

Pour h > 0, on af (x0 + h) − f (x0)

h≤ 0, donc la dérivée à droite est négative :

f ′d (x0) = limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

≤ 0

Pour h < 0, on af (x0 + h) − f (x0)

h≥ 0, donc la dérivée à gauche est positive :

f ′g(x0) = limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

≥ 0 car numérateur et dénominateur sont négatifs.

Comme f est dérivable, on a f ′g (x0) = f ′d (x0) = f ′(x0).

La dérivée est à la fois positive et négative, elle est donc nulle : f ′(x0) = 0.

La démonstration est similaire pour un minimum local (en inversant le sens desinégalités).

Proposition 6.7

Soit f dérivable sur l’intervalle I, et x0 un point intérieur à I.– Si f est concave sur I, et si f ′(x0) = 0, alors f admet un maximum global

en x0 (et il est unique si f est strictement concave).

– Si f est convexe sur I, et si f ′(x0) = 0, alors f admet un minimum globalen x0 (et il est unique si f est strictement convexe).

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DémonstrationSupposons pour simplifier que f est deux fois dérivable.

La fonction f est concave donc f ′′ ≤ 0 sur I, d’où f ′ est décroissante sur I.

On a f ′(x0) = 0, donc : f ′(x0) ≥ 0 si x ≤ x0, et f ′(x0) ≤ 0 si x ≥ x0

La fonction f est donc croissante sur x ≤ x0 et décroissante sur x ≥ x0. Elle atteint donc sonmaximum sur I au point x0.

La démonstration est similaire pour f convexe.

6.3 Conditions du deuxième ordreLes conditions du deuxième ordre sont des conditions faisant intervenir la dérivéeseconde de la fonction.

Proposition 6.8

Condition nécessaire du 2e ordreSoit f deux fois dérivable sur l’intervalle I, et x0 un point intérieur à I.Si x0 est un maximum local, alors f ′(x0) = 0 et f ′′(x0) ≤ 0.Si x0 est un minimum local, alors f ′(x0) = 0 et f ′′(x0) ≥ 0.

DémonstrationSi x0 est un maximum local, on sait déjà que f ′(x0) = 0 ( � proposition 6.6).

Supposons pour simplifier que f est de classe C2. Appliquons la formule de Taylor-Young àl’ordre 2.

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +12

f ′′(x0)h2 + h2ε(h)

On a2h2

[f (x0 + h) − f (x0)

]= f ′′(x0) + 2ε(h) et f (x0 + h) − f (x0) ≤ 0 pour h proche de 0.

Donc f ′′(x0) + 2ε(h) ≤ 0.

Comme limh→0

ε(h) = 0, on peut conclure que f ′′(x0) ≤ 0.

La démonstration est similaire pour un minimum local.

Proposition 6.9

Condition suffisante du 2e ordreSoit f deux fois dérivable sur l’intervalle I, et x0 un point intérieur à I.Si f ′(x0) = 0 et f ′′(x0) < 0, alors x0 est un maximum local strict de f .Si f ′(x0) = 0 et f ′′(x0) > 0, alors x0 est un minimum local strict de f .

DémonstrationSupposons que f ′(x0) = 0 et f ′′(x0) < 0. Écrivons la formule de Taylor-Young d’ordre 2 :

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +12

f ′′(x0)h2 + h2ε(h)

Pour h � 0, on a2h2

[f (x0 + h) − f (x0)

]= f ′′(x0) + 2ε(h).

Comme f ′′(x0) < 0 et limh→0

ε(h) = 0, alors pour h proche de 0, on a f ′′(x0) + 2ε(h) < 0.

Donc pour h proche de 0, h � 0, on a f (x0 + h) − f (x0) < 0.

La fonction f admet donc un maximum local strict en x0.

La démonstration est similaire pour un minimum.

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6.4 Recherche pratique d’un extremum globalNous allons maintenant voir comment on peut déterminer un extremum global d’unefonction définie sur un intervalle, en utilisant les conditions du premier ordre et dusecond ordre que nous venons de voir ( � sections 6.2 et 6.3 de ce chapitre).

6.4.1 Existence d’un extremum globalRemarquons d’abord qu’il n’existe pas toujours d’extremum global. Cherchons à dé-terminer s’il existe un maximum global de f sur un intervalle I (pour un minimumglobal, il suffit de remplacer partout « majorée » par « minorée », et « borne sup » par« borne inf »). Trois cas sont possibles :

a) La fonction f n’est pas majorée sur l’intervalle I. Dans ce cas, f n’a pas demaximum global sur I. Exemple : f (x) = x2 sur I = R+.

b) La fonction f est majorée sur l’intervalle I mais n’atteint pas sa bornesupérieure. Dans ce cas, f n’admet pas non plus de maximum global sur I.

Notons M = sup{ f (x); x ∈ I} la borne supérieure. Celle-ci n’est pas atteinte, ce quisignifie qu’il n’existe aucun réel x0 ∈ I tel que f (x0) = M.

Exemple : f (x) = 2 − 1x

sur I = [1;+∞[. Dans ce cas, M = 2 mais f (x) = 2 − 1x< 2

pour tout x ≥ 1.

c) La fonction f est majorée sur l’intervalle I et atteint sa borne supé-rieure. Dans ce cas, f admet un maximum global sur I.

Exemple : f (x) = 2 − x2 pour I = [−3; 5]. Le maximum global sur I est atteint enx0 = 0. On a M = f (0) = 2.

Si on cherche un minimum global, on a les mêmes trois cas a), b), c).

Sous certaines conditions, on est assuré d’avoir un maximum global et un minimumglobal, comme le montre la proposition suivante.

Proposition 6.10

Supposons que f est une fonction continue de I dans R, où I est un intervallefermé borné de R. Alors f admet un maximum global et un minimum globalsur I.

DémonstrationIl s’agit d’appliquer le théorème de Weierstrass (� section 5.1, chapitre 4).

6.4.2 Comment trouver l’extremum global ?Considérons le problème consistant à trouver le maximum global de f sur un inter-valle I (pour un minimum global, la méthode est la même). On suppose que l’on estdans le cas c) examiné précédemment, c’est-à-dire que f admet un maximum glo-bal M sur I. On cherche les points x de I tels que f (x) = M. On a vu ( � sections 6.2et 6.3 de ce chapitre), que si x0 est un point intérieur de I, avec f dérivable en x0,

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et si x0 est un maximum local, alors f ′(x0) = 0. Les points intérieurs à I tels quef ′(x0) � 0 ne peuvent donc pas être des maxima. On dit que ce ne sont pas des pointscandidats à l’extremum.

Les points candidats à l’extremum sont les suivants :

Type 1 : Les points x qui sont intérieurs à I et tels que f ′(x) = 0.

Type 2 : Les points x qui sont des extrémités de l’intervalle I.

Type 3 : Les points x où f n’est pas dérivable.

Si f est deux fois dérivable et que l’on cherche le maximum global, on peutse restreindre parmi les points candidats de type 1, à ceux tels que f ′′(x) ≤ 0( � proposition 6.8)2.

Une fois que l’on a déterminé les points candidats, on compare la valeur que prendf en chacun de ces points, et on retient uniquement ceux qui donnent à f une valeurmaximale.

APPLICATION Maximisation du profit sur un intervalle fermé borné

Une entreprise cherche à déterminer la quantité produite Q qui maximisera son profit. On suppose qu’elle doitforcément produire entre 100 unités et 1 000 unités. Il s’agit donc de maximiser la fonction de profit Q �→ Π(Q)sur l’intervalle fermé borné I = [100; 1 000]. Supposons que la fonction Π est dérivable sur I, et que sa dérivées’annule uniquement en x0 = 300. Il y a alors trois points candidats : le point x0 = 300, et les extrémités del’intervalle x1 = 100 et x2 = 1 000. Pour trouver le maximum global de Π sur I, on doit simplement comparerΠ(100), Π(300) et Π(1 000).

– Supposons par exemple que Π(100) = 2 000 et Π(300) = 4 000 et Π(1 000) = 3 000. Dans ce cas, le maximumglobal est atteint en 300. Le profit maximum possible est de 4 000 et est atteint si on produit 300 unités.

– Supposons que Π(100) = 2 000 et Π(300) = 4 000 et Π(1 000) = 5 000. Dans ce cas, le maximum global estatteint en 1 000. Le profit maximum possible est de 5 000 et est atteint si on produit 1 000 unités.

2 Pour un minimum, on se restreindrait à ceux tels que f ′′(x) ≥ 0.©D

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Les points clés➔ Le théorème des accroissements finis permet de lier une notion locale, la dérivée,

avec une notion globale, le taux d’accroissement.

➔ Un développement limité d’ordre n est une approximation d’une fonction par unpolynôme de degré n (au voisinage d’un point donné).

➔ La formule de Taylor-Young permet, pour toute fonction de classe Cn, d’obtenirun développement limité d’ordre n.

➔ Quand une fonction est concave, pour obtenir son maximum global il suffit detrouver un point où sa dérivée s’annule (son minimum global si la fonction estconvexe).

➔ Les dérivées première et seconde d’une fonction en un point permettent d’obtenirdes conditions nécessaires et des conditions suffissantes d’extremum local en cepoint.

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ÉVALUATIONVous trouverez les corrigés détaillés de tous les exercices sur la page du livre sur le sitewww.dunod.com

Quiz1 Vrai/FauxDites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.Justifiez vos réponses.

1. Si une fonction f dérivable sur R admet trois racinesdistinctes, alors sa dérivée s’annule au moins deuxfois.

2. La somme de deux DL d’ordre 2 est un DL d’ordre 2.

3. Le produit de deux DL d’ordre 2 est un DL d’ordre 4.

4. Si une fonction continue admet un DL d’ordre 1 aupoint x0, alors elle est dérivable en x0.

5. Si une fonction dérivable en x0 admet un DLd’ordre 2 au point x0, alors on peut en déduire la po-sition de son graphe par rapport à sa tangente en x0.

6. Une fonction est forcément soit concave, soitconvexe.

7. Si f deux fois dérivable sur R est telle que f ′(0) = 0et f ′′(0) > 0, alors f admet un minimum local stricten 0.

8. Si f deux fois dérivable sur R admet un minimumlocal strict en 0, alors on a f ′(0) = 0 et f ′′(0) > 0.

� Corrigés p. 367

Exercices2 Taylor à l’ordre 3À l’aide de la formule de Taylor-Young, calculer un dé-veloppement limité d’ordre 3 au voisinage de 0 de :

1. la fonction f définie par f (x) =√

1 + x.

2. la fonction g définie par g(x) = ln(1 + x).


3 Taylor à l’ordre 2À l’aide de la formule de Taylor-Young, calculer un dé-veloppement limité d’ordre 2 de :

1. La fonction f définie par f (x) =√

1 + x + x2, au voi-sinage de x0 = 0.

2. La fonction g définie par g(x) = ln(2 + 2x + x2), auvoisinage de x0 = 2.

4 Concavité, convexitéLes fonctions suivantes sont-elles concaves sur leur do-maine de définition ? Convexes ? Ni l’un ni l’autre ?

1. f (x) = 7x4 + 8x2

2. g(x) = 7x4 − 8x2

3. h(x) = 2 ln(x) − 4x3pour x > 0


5 Études de fonctions et extrémaÉtudier les fonctions suivantes. Tracer leurs graphes.Déterminer les extréma.

1. f (x) = 3x2e−x

2. g(x) = 2x3 − 4x2 + 5x − 13. h(x) = 2 ln(1 + x2)

6 Tableaux de variations et graphes

1. Étudier la fonction f définie par f (x) =x2 + 7

(x − 3)2.

Faire son tableau de variations complet et tracer songraphe.

2. Même question pour la fonction f définie par :

f (x) =3x2

x − 2

7 Maximisation de l’utilitéUn agent économique cherche à maximiser son utilité.Celle-ci est donnée par U(x) = ln(x)−ex−1, où x désigneson niveau de consommation d’un certain bien.

1. Montrer que U est strictement concave.2. Calculer U′(1).3. En déduire le maximum global de U sur ]0;+∞[.

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Documents

Mathematiques en economie-gestion