Mathématiques Financières Mme BENOMAR[Fsjes-tanger.com]

7/23/2019 Mathmatiques Financires Mme BENOMAR[Fsjes-tanger.com]

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Semestre : 4Module : Mthodes Quantitatives IIIElment : Mathmatiques FinanciresEnseignant : Mme BENOMAR

Elments du cours

Intrts simples, prcompte, escompte et compte courant

Intrts composs

Annuits

Amortissements des emprunts indivis


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Professeur MmeBENOMAR MathmatiquesFinancires

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TABLE DES MATIRES

TABLE DES MATIRES.......................................................................................................................... .2Chapitre 1 : INTRTS SIMPLES, PRECOMPTE, ESCOMPTE ET COMPTE COURANT ..............3

I- Notion dintrt :................................................................................................................................3

II- Intrts simples : ............................................................................................................................31- Dfinition de lintrt simple :.......................................................................................................32- Calcul de lintrt simple :.............................................................................................................33- Valeur dfinitive ou valeur acquise : .............................................................................................44- Taux moyen de plusieurs placements : ..........................................................................................4

a- Dfinition : ................................................................................................................................55- Escompte : .....................................................................................................................................5

a- Calcul descompte : ................................................................................................................5b- Pratique descompte:..............................................................................................................6c- Taux relatifs lopration descompte :...............................................................................7

Taux rel descompte :.......................................................................................................7Taux de revient :..................................................................................................................7

d- quivalence de deux effets : .................................................................................................7e- quivalence de plusieurs effets : chance commune : ..................................................8f- Cas particulier de lchance commune : lchance moyenne : ...................................9

Chapitre 2 : INTRTS COMPOSS ...................................................................................................... .10I- Temps de placement est un nombre entier de priodes : .................................................................10II- Temps de placement est un nombre fractionnaire de priodes :..................................................10

1- Solution rationnelle :....................................................................................................................102- Solution commerciale : ................................................................................................................11

III- Taux proportionnels et taux quivalents :....................................................................................11

1- Taux proportionnels :...................................................................................................................112- Taux quivalents :........................................................................................................................11IV- Calculs sur la formule fondamentale des intrts composs : .....................................................12

1- Calcul du taux : ............................................................................................................................122- Calcul du temps : .........................................................................................................................12

V- Valeur actuelle intrts composs :...........................................................................................13Chapitre 3 : ANNUITS ............................................................................................................................ .14

I- Dfinition :.......................................................................................................................................14II- Annuits constantes en fin de priode : .......................................................................................14III- Valeur actuelle dune suite dannuit constante de fin de priode : ............................................16

Chapitre 4 : AMORTISSEMENTS DES EMPRUNTS INDIVIS ..............................................................21

1- Dfinition :...................................................................................................................................212- Amortissement par annuits constantes :.....................................................................................21a- Construction du tableau damortissement et proprits : ...............................................21


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Souvent lintrt est calcul en fonction du nombre du jour de placement. Lanne est prise pour360 jours et les mois sont compts pour leur nombre de jours exact.

C j t.

36.000C m t

.1.200

* Si la dure est en jours : I (36.000 = 100 360 jours).

* Si la dure est en mois : I (1.200 = 100 12 mois).

Exemple :

Chapitre 1 : INTRTS SIMPLES, PRECOMPTE, ESCOMPTE ETCOMPTE COURANT

I- Notio n din trt :

Lintrt est le loyer de largent. Il peut tre une dpense ou un revenu.- Il sagit dune dpense pour lemprunteur, lintrt correspond la rmunration du capitalprt ;- Il sagit dun revenu pour le prteur, lintrt est le revenu tir du capital prt.Lintrt est variable selon la loi de loffre et de la demande, du montant du prt, de la dure etdu taux dintrt.

II- In trts s im p les :

1- Dfinition de lintrt simple :

Dans le cas de lintrt simple, le capital reste invariable pendant toute la dure du prt,lemprunteur doit verser la fin de chaque priode lintrt d.

2- Calcul de lintrt simple :

Soit : C : capital plac.t : taux dintrt.n : priode de placement en anne.I : intrt rapport par le capital (C).

Alors lintrt est donn par :

I = C n t .100

Exemple :

Calculons lintrt produit par un capital de 35.850 dirhams plac pendant 3 ans un taux gal 11%.

On sait que : C = 35.850 dirhamst = 11%n = 3 ans

I = ?Donc : I =

35.850 3 11

10011.830,5 dirhams.


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100 50 9

Va = 15.0001 36.000

Va = 15.187,5

4- Taux moyen de plusieurs placements :

Soient trois capitaux C1, C2, C3 placs des taux respectifs t1, t2, t3 pendant les dures j1, j2, j3.* Lintrt global procur par les trois placements est le suivant :

1- Quel est lintrt produit intrt simple par un placement dune somme dargent de 12.500dirhams au taux de 10,5% pendant 96 jours.2- Quel est lintrt produit par un placement de 15.500 dirhams au taux de 9,5% pendant 7mois.3- Soit un capital de 30.000 dirhams plac intrt simple du 17 mars au 27 juillet de la mmeanne au taux annuel de 12,5%. Calculer lintrt produit par ce placement.

Solution :

1- I12.500 96 10,5

36.000350 dirhams.

2- Si la dure sexprime dune date une autre, alors on calcule le nombre de jours qu on arellement en compte le dernier jour et on nglige le premier.

I15.500 7 9,5

1.200858,96 dirhams.

3- I30.000 12,5 132

36.0001.375 dirhams.

3- Valeur dfinitive ou valeur acquise :

La valeur acquise du capital aprs n priodes de placement est la somme du capital et desintrts gagns. Si nous dsignons par (Va) la valeur acquise alors :

Va = C + I.

Va = C+

C n t.

100

Va =

C1

n t

100 Cette relation est juste si la dure est exprime en annes.

Exemple :

Calculer lintrt et la valeur acquise dun placement intrt simple de 15.000 dirhamspendant 50 jours un taux de 9% lanne.Solution :

I =15.000 9 50

36.000187,5 dirhams

Va = 15.000 + 187,5 = 15.187,5 dirhams.

Ou encore, Va = C1n t


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G

.

C j t+

C j t+

C j t.IG = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

36.000 36.000 36.000C j t C j t C j t

IG = 1 1 1 2 2 2 3 3 336.000

a- Dfinition :

Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique not tm , qui appliqu lensemble de ces trois placements donne le mme intrt global.

C1 j1 tm +C2 j2 tm +

C3 j3 tm = I .36.000 36.000 36.000

C1 j1 tm C2 j2 tm C3 j3 tm

36.000=

C1 j1 t1 C2 j2 t2 C3 j3 t3

36.000tm(C1 j1 + C2 j2 + C3 j3) = (C1 j1 t1) + (C2 j2 t2) + (C3 j3

t3).

C j t C j t C j t . tm =1

1 1

C1 j12 2 2

C2 j23 3 3

C3 j3

n

Ck jk tkEn gnral : tm = k 1 n

Ck jkk 1

Exemple :

Calculer le taux moyen des placements suivants :* 2.000 dirhams placs pendant 30 jours 7%.* 7.000 dirhams placs pendant 60 jours 10%.* 10.000 dirhams placs pendant 50 jours 9%.

Solution :(2.000 30 7) (7.000 60 10) (10.000 50 9)

tm = .(2.000

tm = 9,3%.

5- Escompte :

30) (7.000 60) (10.000 50)

a- Calcul descompte :

Soit V la valeur nominale de leffet, valeur inscrite sur leffet et payable chance.Soit N la dure qui spare la date de ngociation (le jour de la remise de leffet lescompte) et lchance de leffet.Soit t le taux descompte.Donc, lescompte commercial scrit comme suit :

e

V N t

.

36.000La valeur actuelle de leffet a scrit comme suit :


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1.399,32 dirhams.

a = Ve.

Il sagit de calculer aujourdhui la contre partie dune somme payable dans le future.

Exemple :

Combien le banquier remettra-t-il son clientsil

lui escompte en 29-11-2005 un effet de100.000 dirhams payables au 20-02-2006, en sachant que le taux gal 9%.Solution :

On sait que : eV N t

36.000V = 100.000N = 9t = 83.

Donc, e100.000 9 83

36.0002.075 dirhams.

Donc, a = Ve = 100.0002.075 = 97.925 dirhams.

b- Pratique descompte:

Dans la pratique, la remise dun effet lescompte entrane des frais financiers, en plus delescompte proprement dit. Ces frais comprennent plusieurs commissions.Lensemble de lescompte et des commissions sappelle lagio. Dune manire gnrale, lagiose compose de : lescompte, diverses commissions, la taxe sur la valeur ajoute (TVA).Au Maroc, la TVA est de 7%, elle est applique directement sur lensemble de lagio hors taxeque se compose le plus souvent de : lescompte, commissions dacceptation et de courrier quisont fixes et par bordereau descompte.

* Remarque : Il est noter que la dure relle de lescompte est parfois majore dun ou deplusieurs jours (appels couramment jours de banque).

Exemple :

Soit un effet de commerce de 35.500 dirhams chant le 27 juillet 2005 et escompt le 10 avrilde la mme anne, aux conditions suivantes :- Taux descompte : 13%

- Commission de manipulation : 2 dirhams par effet ;- TVA : 7% ;- Tenir compte dun jour de banque.

Calculer la valeur actuelle de leffet.

Solution :

N = 108 + 1 jour de la banque = 109 jours.V = 35.500 dirhams.

Donc ; e35.500 109 13

36.0001.397,32 dirhams.

+ 2 dirhams. (Commission de manipulation).


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Exemple 1 :

+ 97,96 dirhams. (TVA. 7%)

Agio TTC = 1.497,28 dirhams.

La valeur nette est la somme effectivement mise la disposition du vendeur de leffet decommerce avant son chance.

Valeur nette = Valeur nominale

Agios TTC.Exemple :

Reprenons lexemple de leffet de lopration prcdente :La valeur nette = 35.5001.497,28 = 34.002,72 dirhams.

c- Taux relatifs lopration descompte :

Taux rel descompte :

tAgio 36.000

.rValeur nomin ale Dure relle

Taux de revient :

tAgio 36.000

.eValeur nette Dure relle

Exemple :

Reprenons les lments de lescompte prcdent et calculons les diffrents taux :

tr =1.497,28

35.5001.497,28

36.000

10836.000

14,06%.

Te =34.002,72 108

14,68%.

d- quivalence de deux effets :

- Dfinition : deux effets sont quivalents une date dtermine, si escompts en mme temps,ils ont la mme valeur actuelle. Cette date est la date dquivalence.

V1, V2 = valeurs nominales des deux effets.J1, J2 = Dure descompte en jour.t = Taux descompte.Donc ; V1e1 = V2e2.

V1V1 j1 t

36.000V

V2 j2 t .236.000


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Quelle est lchance de leffet de 21.200 dirhams remplaant les effets E1, E2 et E3 avec untaux descompte de 13%.

quelle date un effet de valeur nominale de 20.000 dirhams chance du 15 avril est-ilquivalent un effet de 20.435,68 dirhams chance du 14 juin de la mme anne. Tauxdescompte est de 12,6%.Solution :

On sait que : V1V1 j1 t

36.000V

V2 j2 t .236.000

Date dquivalence 15 Avril 14 Juin

j

j + 60

Donc, 20.00020.000 j 12,6

36.00020.435,86

20.435,86 j 60 12,6

36.000On trouve, j = 43,985 = 44 jours.Et 44 jours avant le 15 avril = 2 mars de la mme anne.

Exemple 2 :

On dsir remplacer un effet dune valeur nominale de 75.000 dirhams payable dans 60 jourspar un autre effet de valeur nominale de 74.600 dirhams. Quelle sera lchance de cet effet ?En sachant que le taux descompte est de 13%.

Solution :

On a pour leffet 1 : V1 = 75.000 et j1 = 60 jours.On a pour leffet 2 : V2 = 74.600 et j2 = ?

On sait que V1 V1 j1 t36.000

V V2 j2 t .236.000

75.000

75.000 60 13

36.00074.600

74.600 13 j2 .36.000

Donc, j2 = 45,47 = 46 jours.

e- quivalence de plusieurs effets : chance commune :

Lchance commune est le cas de remplacement de plusieurs effets par un seul effet.

Lchance commune est lchance dun effet unique qui, la date dquivalence, a unevaleur actuelle gale la somme des valeurs actuelles des effets remplacs.

Exemple :

On souhaite remplacer le 15 juin les trois effets ci-dessous par un effet unique.E1 : V1 = 5.000 chance = 20 aotE2 : V2 = 4.000 chance = 15 juilletE3 : V3 = 12.000 chance = 20 septembre.


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V

1

Solution :V j t V j t V j t V j t On sait que :V 1 1

2 2

3 336.000

1

36.000 2 36.000

3 36.000

21.20021.200 5 13 5.000 5.000 66 13 4.000

4.000 13 30 2.00012.000 13 97

36.000 36.000 36.000 36.000

21.200 7,6555 j = 3.956,67 + 4.880,83 +11.579,67.j = 102,257 = 103jours.

Lchance commune se situera le 15/06 + 103 soit le 26/09.

f- Cas particulier de lchance commune : lchance moyenne :

Lchance moyenne de plusieurs effets est un cas particulier de lchance commune. Onlobtient lorsque le nominal de leffet unique est gal la somme des valeurs nominales desdiffrents effets remplacs.

VV j t

V1V1 j1 t

V2

V2 j2 t

V3

V3 j3 t

36.000 36.000 36.000 36.000 On a : V = V1 + V2 + V3.

V V V j t V j t V j t V j t Donc, V V V 1 2 3 1 1

2 2

3 3

1 2 3 36.000 1 36.000

2 36.000

3 36.000

(V1 + V2 + V3) J = (V1 j1) + (V2 j2) + (V3 j3).Donc, lchance moyenne est indpendante du taux descompte.

(V1 + V2 + V3)(DDqui) = V1(D1Dqui) + V2(D2Dqui) + V3(D3Dqui).(V1 + V2 + V3) D = (V1 D1) + (V2 D2) + (V3 D3).Donc, lchance moyenne est indpendante de la date dquivalence.


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Calculer la valeur acquise dun capital de 100.000 dirhams plac pendant une priode de 5 anset 7 mois 8%, capitalisation annuelle.

Solution :

Chapitre 2 : INTRTS COMPOSS

On dit quun capital est plac intrt compos lorsqula fin de la premire priode, lintrtsimple de la premire priode est ajout au capital, on parle alors de capitalisation des intrts.La capitalisation des intrts est gnralement annuelle, mais elle peut tre semestrielle,

trimestrielle ou mensuelle.

I- Temps de placement est un nombre entier de priod es :

En matire dintrt compos, on travaille avec iT

100 pour faciliter la formule.

Priode Capital plac endbut de priode

Intrts pays en fin depriode

Valeur acquise en finde priode.

1 C0 C0 i C0 + (C0 i) = C0(1+i)2 C1 = C0(1+i) C1 i = [C0(1+i)] i. C1+(C1 i) = C0(1+i)

Donc, en gnrale la valeur acquise aprs n priode est :Cn = C0(1 + i)n.

Exemple :

Calculer la valeur acquise dun capital de 100.000 dirhams plac pendant 6 ans 8% lan(capitalisation annuelle).

Solution :

Cn = C0 (1 + i)n.

= 100.000 (1 + 0,08)6

.= 158.687,43 dirhams.C n t

En intrt simple: Va = C0 + 0 .100

6Va = 100.000 (1 +

8) = 148.000 dirhams.

100

I I- Temps de placement est un nombre fract io nn aire de priod es :

Le temps de placement est fractionnaire par exemple 5 ans et 7 mois. On distingue alors deuxsolutions : la solutions rationnelle et la solution commerciale.

1- Solution rationnelle :

Exemple :


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Deux taux sont quivalents lorsquintrt compos, ils aboutissent pour un mme capital lamme valeur acquise pendant la mme dure de placement. De manire gnrale, deuxplacements dfinis respectivement par leurs taux (i1 et i2) et par leurs priodes (P1 et P2). Lesplacements sont effectus taux quivalent silsaboutissent pour un mme capital la mme

valeur acquise.P1 P2C'est--dire : C 1 i C 1 i1 2

5C

57

12

C0 1 i 5C0 1 i

7 i .

12

C C1

i51

7i .

57 0

12 12

C5 712

100000 1 0,085

17

12

0,08 153.789,67.dirhams

Dans ce cas, on considre que la valeur acquise au bout de 5 ans reste place intrt simplependant 7 mois.En gnral, on peut crire la formule suivante :

k p C

p kq

C0 1 i 1

i .q

2- Solution commerciale :

La formule est la suivante : C pk q

C0 1k

pi q .

On gnralise la formule des intrts composs au cas o n n est pas un nombre entier depriodes.

Exemple :

Reprenons lexemple prcdent, mais avec la mthode commerciale.

On sait que : C pk

q

C0 1k

pi q .

Donc : C 75 12 100000 1 0,085

7

12 . 153.679,51 dirhams

III- Taux pr op or tionn els et taux qu ivalen ts :

1- Taux proportionnels :

Exemple :

On a les donnes suivantes : C0 = 100.000 dirhams, plac pendant un an, 9%.

Va = 100.000 (1 + 0,09)1

= 109.000 dirhams.Va = 100.000 (1 + 0,045)2 = 109.202,5 dirhams.

Va = 100.000 (1 + 0,0225)4 = 109.308,33 dirhams.

2- Taux quivalents :


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nDonc, 2 C C 1 i0 0

ia2

2

n

Exemple :

Quel est le taux semestriel quivalent au taux annuel de 9%.

Solution :

On sait que : C 11

C 1 is1

ia

1 is

1is

1 ia

isia

1 1. 0,09 1 1.

is =0,0440307.

IV- Calc ul s su r la fo rm ul e fo nd amen tale des in trts composs :

1- Calcul du taux :

Exemple :

On place 250.000 dirhams au bout de 5 ans, on se retrouve avec une valeur acquise de340.000 dirhams. Trouver le taux de capitalisation annuelle.

Solution :On sait que : Cn C0 1 i

340.000 = 270.000 (1 + i)5.

1 i5

340.000

250.0001

340.000 51 .

i

250.0001340.000 5

1.

i

250.000i = 0,063427 (taux = 6,34% lan).

2- Calcul du temps :

Exemple :

Au bout de combien de temps, une somme double-t-elle par capitalisation semestrielle, avec untaux de 3% le semestre.


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nDonc, 2 C C 1 i0 0

n

Solution :On sait que : Cn C0 1 i

Et puisque : Cn = 2 C0.


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1 i n 2.

log 1 in

log.2

n log . 1i

log .2

nlog .2

23,44977225 semestres .log 1 0,08

n = 11 ans et 6mois + 0,44977225 semestres.n = 11 ans et 6 mois + (0,44977225 180) jours.n = 11 ans et 8 mois et 21 jours.

V- Valeu r ac tu el le in trts composs :

La valeur actuelle est la somme quil faut placer maintenant intrt compos pour obtenir Cn aprs n priode de placement. Cest le processus inverse de la capitalisation qui

sappelle actualisation.C0 = Cn (1 + i)-n.

Exemple :

Quelle somme faut-il placer maintenant intrt compos au taux annuel de 7% pour obtenirdans 4 ans une valeur dfinitive de 75.000 dirhams.

Solution :

On sait que : C0 = Cn (1 + i)-n.

Donc ; C0 = 75.000 (1 + 0,07)-4.C0 = 57.217,14 dirhams.


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mensualits de 2.500 dirhams chacune. Taux est de 7% lan.

Solution :

n

a

1 i 1

.

i1- on sais que : An

Chapitre 3 : ANNUITS

I- Dfi n i ti on :

On appelle annuit, des sommes payables intervalle de temps rgulier. Dans le cas des

annuits, les sommes sont verses chaque anne mme date, la priode retenue est lanne.On peut cependant effectuer des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels, dans cescas on parle de semestrialit, trimestrialit ou mensualit. Le versement dannuit a pour objetsoit de rembourser une dette, soit de constituer un capital (Exemple dun capital retraite ou duncapital ducation ).

II- Annu its cons tan tes en fin de priod e :a a a a

0 1 2 3 n

a 1 i n 1 a 1 i n 2 .......... a.

a1

in 1

1 in 2

........ 1 .

1 1 n

1 1 n

1 n 1 a

ia

ia

i.

1 1 i i in

Donc ; An a1 i 1

. (Formule de capitalisation).i

a tant le montant de lannuit constante ; i tant le taux dintrt ; n tant le nombre dannuit ou de versement ; An tant la valeur acquise au moment de versement de la dernire annuit.

Applications :

1- Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement par une suite de 10 annuitsconstantes de fin de priode de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% lan. Ainsi quelintrt produit.

2- Calculer la valeur de cette mme suite sept mois aprs le dernier versement.

3- Calculer la valeur de cette mme suite un an et neuf mois aprs le dernier versement.4- Quelle somme constante faut-il verser chaque anne la mme date pour constituer en 12versements deux ans aprs le dernier versement un capital de 500.000 dirhams chacune. Tauxest de 7% lan.


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mensualits de 2.500 dirhams chacune. Taux est de 7% lan.

Solution :

n

a

1 i 1

.

i1- on sais que : An

5- Calculer un mois aprs le dernier versement la valeur acquise par une suite de 72


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1 0,08 12 1 1 0,08 2

A10

1 0,08 10 117.500

0,08253.514,84 dirhams.

Le capital vers est : 17.500 10 = 175.000 dirhams.Intrt = Ancapital vers. = 253.514,84175.000 = 78.514,84 dirhams.2- Solution rationnelle :

k p On sais que : Cp k

q

C0 1 i 1

i .q

C A1

i01

7i .

07 10

12 12

C0

712

253.514,841

0,08

7

12265.345,53 dirhams.

- Solution commerciale :

k

p

On sais que : Ck pq

07

C0 1 i q .

C 70

12

A10 1 i 12 .

07

C 70

12

253.514,84 1 0,08 12 265.155,46 dirhams.

3- Solution rationnelle :

k p On sais que : Cp kq

C0 1 i 1

i .

q

C A1

i11

9i .

290.223,79 dirhams.1

9 1012 12

- Solution commerciale :k

p

On sais que : C pk

q

C0 1 i q .

C 91

12

A10 11

9i 12 .

19

C 91

12

253.514,84 1 0,08 12 290.064,75 dirhams.

4- On a 500.000 = A12 (1 + i)2.

12

Avec; A a1 i 1

.12i

2

500.000

a1 i 1

1i

i2 .

a500.000 i

1 i 12 1 1 i 2


18/27


1 0,08 12 1 1 0,08 2

a500.000 0,08

22.588,74 dirhams.


19/27


i112

n

5- on a ; A721 i 72 1

a m .im

Et on a ; ia = 0,07.Il faut donc calculer im .

- Taux proportionnel

i

ia

m 12

0,07

12 0,00583333.- Taux quivalent :

1 im12 1

m

1 im 1,071

1im

1,07121

im

1,0712 1 0,0056414538.

Donc, on sait que ; Cn C0 1 i

A A 1 i 1.72 m- Cas du taux proportionnel :

12 1 0,00583333 1A 2.500 1 0,00583333

1 224.213,86 dirhams. 0,00583333

- Cas du taux quivalent :

12 1 0,0056414538 1A 2.500 1 0,0056414538

1 222.651,49 dirhams. 0,0056414538

Remarque :

Les organismes de capitalisation utilisent les taux quivalents pour remettre le moins possibledargent.

III- Valeu r actu elle dune suite dannui tco ns tan te de fi n de priode :

0 1 2 3 nn

1 i n 1A

n

ai

A0 An 1 i .n

A0

a1 i 1

1i

in .

1 1 nA0

ai

i(Formule dactualisation).

Remarque :

- On applique cette formule quant on se situe une priode avant le premier versement.


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Solution :

4

- La situation peut tre celle dun emprunt du montant A0 et remboursable par le versement de n annuits de montant a chacune.

Application :

1- Calculer un an avant le premier versement la valeur actuelle d une suite de 10 annuits

constantes de 17.500 dirhams chacune, taux = 9%l

an.2- Calculer la valeur actuelle de cette mme suite 3 ans avant le premier versement, taux = 9%lan.3- Une dette de 300.000 dirhams est remboursable en 20 trimestrialits constantes, le premierversement dans 3 mois, taux = 9% lan. Calculer le montant de la trimestrialit deremboursement.

Solution :

1 1 n1- On sais que : A0 a

i.

i10

Donc ; A0 17.5001 1 0,09

0,09112.309,0098 dirhams.

2- 3 ans avant le premier versement quivaut calculer la valeur actuelle 2 ans avant A0.A 2 A0 1 i

2 .

A

2

112.309,009 1 0,09 2 94.528,25 dirhams.

3- 1er cas : taux proportionnel :

t tat 40,09

40,0225.

1 1 nDonc ; A0 a

i

i20

300.000

a1 1 0,0225

0,0225

a300.000

0,022518.792,62 dirhams.

1 1 0,0225 20

* 2me cas : taux quivalent :1 it 1 ia .

Donc ; a300.000 0,02177818

18.663,35 dirhams.1 1 0,02177818 20

Exercice 1 :

a- Calculer la valeur lorigine de 72 mensualits de 1.500 dirhams chacune. Taux est de 12%lan.


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Solution :

b- Calculer au mme taux la valeur de ces mensualits 13 mois avant le premier versement.Donner dans chacun des cas deux solutions diffrentes.


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a

a- 1er cas : taux quivalent :1 im

12 1 i 1

1

im

1 ia 12 11

im

1 0,12 12 1 0,009488793.72

Donc ; A0 1.5001 1 0,009488793

0,00948879377.992,36 dirhams.

2me cas : taux proportionnel :

iia

m 12

0,12

120,01.

72

A0 1.5001 1 0,01

0,0176.725,59 dirhams.

b- 1er

cas : taux proportionnel :1A A0 1 i

A

A0

1,12 1 68.504,99 dirhams.

2me cas : taux quivalent :A A0 1,12

1 69.636,03 dirhams.

Exercice 2 :

a- On place respectivement le 15-05-1997 et au 26-06-1997 les sommes de 125.000 dirhams etde 175.000 dirhams intrt simple au 10-09-1997.On se retrouve avec une valeur de 307.012,50 dirhams (capitaux et intrts runis). Trouver le

taux.b- On place 225.700 dirhams intrt compos au taux de 8,5% lan, on se retrouve avec unevaleur acquise de 425.700 dirhams. Calculer la dure du placement.c- On sengage verser 12 annuits de 25.780 dirhams chacune, le taux de capitalisation estde 10,5% lan. Calculer le capital constitu un an et 5 mois aprs le dernier versement (solutionrationnelle).d- Une dette de 357.500 dirhams est remboursable en 12 semestrialits constantes, le premier

tant payable 3 ans aprs la date du contrat. Taux est de 12% lan (utiliser les taux quivalent).Calculer la semestrialit de remboursement.

Solution :

a- C0 = 125.000 C1 = 175.000j0 = 118 j1 = 76.Va = (C0 + I0) + (C1 + I1)

j T j T = C0 1

0 36.000

C1 1

1 .36.000

C0j

0C

1j

1

T


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6.000 Va

C0C1


24/27


6

a1 1 i

i450.000 0,12

a- A0

109.451,57 dirhams .6

1 1 0,12

b- tableau damortissement est le suivent :

C

i

n

5

5 12

TVa C0

C1

9%.

C0j0 C1j1

36.000

b- Va = C0 (1 + i)n .

Va

C0

1 i n

logVa

0

n.log 1 i n .

V

log a

nC0n = 7,77798835 ans = 7 ans 9 mois et 10 jours.

log 1 i

c- C A12 1n pi1 i

qA12 1 i 1 i

5

12

1 i 12 1= a 1

i

d- (1 + is)2 = 1 + ia

i1

5

12655.251,97 dirhams.

is

1 ia 1

1 1

1 0,12 1n

0,058300524.

A an

0

i

5357.500 A0 1 is12

357.500

a1 1 i

s

is1 is

a357.500 i

s 56.081,78 dirhams.1 is 1 1 is

Exercice 3 :

Un emprunt de 450.000 dirhams est remboursable en 6 annuits constantes. La premire tantpayable dans un an, taux gale 12% lan.a- Calculer lannuit de remboursement.b- tablir le tableau damortissement de lemprunt considr.c- Dterminer le montant de la dette 3 mois aprs le versement de la quatrime annuit (deuxsolutions).


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6

a1 1 i

i450.000 0,12

a- A0

109.451,57 dirhams .6

1 1 0,12

b- tableau damortissement est le suivent :

Solution :


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PriodeCapital en dbut

de priodeIntrt Amortissement Annuit

Capital en finde priode

123

456

450.000394.548,43332.442,66

262.884,21184.978,7497.724,62

45.00047.345,2139.893,12

31.546,1122.197,4511.726,95

55.451,5762.105,7669.558,45

77.905,4787.254,1297.724,62

109.451,57109.451,57109.451,57

109.451,57109.451,57109.451,57

394.548,43332.442,66262.884,21

184.978,7497.924,620,00

c-Aprs 4 annuits, la dette est de 184.978,74 dirhams.* Solution rationnelle :

D 184.978,74 1 0,12 0 13

12

0,12.

184.978,741

1 0,12

4 190.528,10 dirhams.

* Solution commerciale :0

3

D 184.978,74 1 i 121

184.978,74 1 0,12 4


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Chapitre 4 : AMORTISSEMENTS DES EMPRUNTS INDIVIS

1- Dfinition :

Lemprunt indivis se caractrise par le fait que lemprunteur (un particulier ou une entreprise)

sadresse un seul crancier (le nominal C de la dette nest pas divis).Lemprunt indivis soppose lemprunt obligataire pour lequel lemprunteur (dune grandeentreprise ou lEtat) recourt une multitude de cranciers.

2- Amortissement par annuits constantes :

a- Construction du tableau damortissement et proprits :

On calcule dabord lannuit constante a . Pour la premire ligne, on commence par calculerlintrt i1 , par soustraction ai1 , on obtient le premier amortissement que lon dduit ducapital initial (C1 = C M1). On dispose maintenant de la dette au dbut de la deuxime

priode, ce qui permet de construire la deuxime ligne, et ainsi de suite.

Application :

Une personne emprunte 350.000 dirhams auprs dune banque et sengage verser 8 annuitsconstantes, la premire payable un an aprs la date du contrat. Sachant que le taux est de12%, construire le tableau damortissement de lemprunt considr.

PriodeCapital en dbut

de priodeIntrt Amortissement Annuit

Capital en finde priode

12345678

350.000,00321.544,01289.673,29253.978,09213.999,47169.223,41119.074,2362.907,14

42.000,0038.585,2834.760,8030.477,3725.679,9420.306,8114.288,917.548,86

28.455,9931.870,7135.695,2039.978,6244.776,0650.149,1956.167,0962.907,14

70.455,9970.455,9970.455,9970.455,9970.455,9970.455,9970.455,9970.455,99

321.544,01289.673,29253.978,09213.999,47169.223,41119.074,2362.907,14

0

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