Mathematiques Generales 2 GTR 1

REPUBLIQUE DU BENIN

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE POLYTECHNIQUE INTERNATIONALE DU BENIN

SECTEUR : INDUSTRIEL

Diplôme : DUT 1 – GTR et GEII 1

Année d’étude : 1e année (Second semestre)

Notes de Cours :

MATHEMATIQUES GENERALES 2

Professeur : Joël M. ZINSALO

Année Académique : 2012 - 2013

Mathématiques générales 2

MODULE : MATHEMATIQUES GENERALES 2

Formation : DUT / GTR – GEII

Année d’étude : 1ere année (Second semestre)

CONTENU DU MODULE

Chapitre 1 : Matrices : Définitions, types et opérations

Chapitre 2 : Déterminants et inversion d’une matrice carrée

Chapitre 3 : Systèmes linéaires et matrices

Chapitre 4 : Fonctions à plusieurs variables

Chapitre 5 : Intégrales doubles et triples

Chapitre 6 : Intégrales curvilignes et intégrales de surface

Chapitre 7 : Suites et séries numériques

Mode d’évaluation

C’est le mode d’évaluation en vigueur à l’Université Polytechnique

Internationale du Bénin : un contrôle continu et un examen terminal.

Par Joël M. ZINSALO Page 2


CHAPITRE 1 :

1. Définitions

On appelle matrice un tableau A dont les éléments appartiennent à un

ensemble donné R ou C en général. Toute matrice est formée d’un certain

nombre n de lignes et d’un certain nombre p de colonnes.

Soient n et p deux entiers non nuls. On appelle matrice à n lignes et à p

colonnes d’éléments réels ou complexes tout tableau de la forme :

A=[a11a12⋯ a1 j⋯ a1p

a21a22⋯ a2 j⋯ a2 p

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1a i2⋯ aij⋯ a ip

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1an2⋯ anj⋯ anp

] ou A=(a11a12⋯ a1 j⋯ a1 p

a21 a22⋯ a2 j⋯ a2p


⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1an2⋯ anj⋯ anp

)Dans cette écriture, chacun des éléments de A est repéré par un indice double

situant, respectivement, la ligne et la colonne où se trouve cet élément. Ainsi

a21 est l’élément de A situé sur la 2e ligne et la 1ere colonne.

La matrice A est aussi notée :

A=(aij )1≤ i≤ n1≤ j≤ p

.

La notation a ij désigne l’élément se trouvant à l’intersection de la ieme ligne et de

la j eme colonne.

a ij s’appelle aussi terme général de la matrice A et les a ij sont appelés les

coefficients de la matrice A .

La matrice à n lignes et à p colonnes est une matrice dite matrice de format

(n , p ) ou tout simplement matrice (n , p ) ou matrice de taille n× p .

L’ensemble des matrices (n , p ) d’éléments de K où K =RouCest noté M n , p (K ).


MATRICES : DEFINITIONS – TYPES ET

OPERATIONS


Exemples de matrices : Soit la matrice suivante

A=(5 86−2 01 94 17 )

A est à 2 lignes et à 5 colonnes.

A est une matrice de format (2,5 ) ou une matrice de taille 2×5.

Une matrice n’a pas de valeur numérique. Elle est simplement utilisée pour

simplifier l’écriture d’une certaine quantité d’informations et permet une

manipulation facile du point de vue mathématique.

2. Types de matrices

Une matrice ne contenant qu’une seule ligne n=1 est appelée matrice ligne

ou vecteur ligne.

Exemple :

A=(56 4 2−1 )

Une matrice ne contenant qu’une seule colonne p=1 est appelée matrice

colonne ou vecteur colonne.

Exemple :

A=( 5−23 )

Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle et

est notée o.

Exemple :

A=[0 00 00 0]

Une matrice ayant même nombre de lignes que de colonnes (n=p ) est

appelée matrice carrée d’ordre n. C’est une matrice de format (n ,n ) ou

(n×n ) ou simplement matrice carrée d’ordre n. Les éléments a ii de cette

matrice sont appelés éléments diagonaux.

Exemple : La matrice A suivante est une matrice carrée d’ordre 3.



A=[ 2713 941 05 ]ou A=(

2713 94105 )

L’ensemble des matrices carrées d’ordre n d’éléments de K où K =RouC

est noté M n (K ).

Nous donnons à présent les définitions de certaines matrices carrées

particulières.

Matrice diagonale : C’est une matrice carrée dont les seuls

éléments non nuls sont ceux de la diagonale principale.

Exemple :

A=(2000 90005)

On peut la noter A=Diag (2,9,5 ).

Matrice identité : On appelle matrice identité d’ordre n et on note

I n la matrice carrée, diagonale, de taille n, dont tous les éléments

diagonaux sont égaux à 1.

Exemple :

I 3=(10001000 1)

Matrice scalaire : On appelle matrice scalaire d’ordre n toute

matrice carrée α I n où α est réel ou complexe et de la forme :

[α ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ α ]

Matrice triangulaire :

Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessous de la

diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire

supérieure.

Exemple :



A=(2910 750 03)

Une matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la

diagonale principale sont nuls est appelée matrice triangulaire

inférieure.

Exemple :

A=(2 005 701 93)

Une matrice carrée est dite matrice triangulaire si elle est

triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure. De cette

définition, on retient que la matrice diagonale est à la fois

triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

3. Transposée d’une matrice

On appelle transposée d’une matrice A de taille n× p la matrice notée A❑t

(onnote aussi A 'ou At ou~A ) de taille p×n dont les éléments de la ieme colonne

correspondent à ceux de la ieme ligne de A et dont les éléments de la j eme ligne

sont ceux de la j eme colonne de A. Autrement dit, la transposée d’une matrice A

est la matrice A❑t obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

Exemple :

On considère la matrice suivante :

A=(27 1539 47105 6 )

La transposée de cette matrice est :

A❑t =(

2 317 9 01 4 557 6

).Théorème

Si A et B sont deux matrices de M n , p (K ), on a :



( A+B )= A❑t

❑t + B❑

t

( λ ∙ A )=λ ∙ A❑t

❑t

( A❑t )❑

t=A .

Si A∈M n , p (K ) et B∈M p ,q (K ), on a :

( A ∙B )= B❑t

❑t ∙ A❑

t .

4. Matrice symétrique et matrice antisymétrique

Une matrice carrée A est dite symétrique si et seulement si A❑t =A. C’est une

matrice dont la disposition des éléments est symétrique par rapport à la

diagonale principale.

Une matrice A est dite antisymétrique si et seulement si A❑t =−A.

Exemple

A=[ 0 0 10 0 3−1 −3 0]; A❑

t =[0 0 −10 0 −31 3 0 ]

A❑t =−A, donc A est antisymétrique.

On remarque que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont

tous nuls.

5. Opérations sur les matrices

5.1. Egalité de deux matrices

Deux matrices de même format (n , p ) sont dites égales si et seulement si leurs

éléments correspondants sont égaux.

5.2. Addition de deux matrices

L’addition de deux matrices de même taille s’effectue élément par élément.

L’addition de deux matrices n’est possible que si ces matrices ont le même

format (même nombre de lignes et de colonnes).



Si A=(aij ) et B=(bij ) sont deux matrices de même format (n , p ), on appelle somme

des matrices A et B notée C=A+B la matrice de format (n , p ) de terme général

c ij=a ij+b ij .

Donc :

A+B= (aij+bij ) .

Exemple :

(1 2 −32 1 −20 −12 √5 )+(

3 1,2 00 1 00 1 0)=(

4 3,5 −32 2 −20 −11 √5 )

5.3. Produit d’une matrice par un scalaire

On appelle produit d’une matrice A=(aij ) par un scalaire λ, la matrice notée λA

dont les éléments sont respectivement les produits par λ des éléments a ij de A .

Donc :

λA=(λ aij ) .

Exemple :

2(4 3,5 −32 2 −20 −11 √5 )=(

8 7 64 4 −40 −22 2√5)

5.4. Produit matriciel

5.4.1. Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

On considère les matrices A et B suivantes :

A=[a1a2a3⋯an ] et B=[b1

b2

b3

⋮bn

] .On a :



A ∙B=a1 ∙b1+a2 ∙b2+⋯+an ∙ bn=scalaire

5.4.2. Produit d’une matrice (n , p ) par une matrice colonne

Il est possible d’effectuer le produit d’une matrice A par un vecteur colonne u si

le nombre de colonnes de A est égal à la dimension de u . Ainsi, si A est de

format (n , p ), son produit par u n’est possible que si u est de dimension p. Le

résultat est alors un vecteur v=A ∙u de dimension n .

Soient :

A=(a11a12⋯ a1 j⋯ a1p

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1ai2⋯ aij⋯ aip

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an1an2⋯ anj⋯ anp

)et X=(x1

x2

⋮x j

⋮x p

)On définit le produit AX par :

(a11a12⋯ a1 j⋯ a1p


⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an1an2⋯ anj⋯ anp)×(

x1

x2

⋮x j

⋮xp

)=(∑j=1

p

a1 j x j

⋮

∑j=1

p

aij x j

⋮

∑j=1

p

anj x j

)Exercice :

Soient A, B, C, D et E les matrices suivantes :

A=( 2123−2 0); B=( 1

−14 );C=(

31 264 154 1); D=(

212323122); E=(

231)

Calculer A ∙B, C ∙ E et C+D.

Résolution



Calcul de A ∙B: Remarquons d’abord que ce produit a un sens puisque la

dimension de B est égale au nombre de colonnes de A.

A ∙B=( 2123−20)×( 1

−14 )=( 2×1+1× (−1 )+2×4

3×1+(−2 )× (−1 )+0×4)=(95)Calcul de C ∙ E

C ∙ E=(3 126 415 41)×(

231)=(

3×2+1×3+2×16×2+4×3+1×15×2+4×3+1×1)=(

112523)

Calcul de C+D

C+D=(3 126 415 41)+(

212323122)=(

3+21+12+26+3 4+21+35+1 4+21+2)=(

5 249 646 63 )

5.4.3. Produit d’une matrice A de type (n , p ) par une matrice B de

type ( p ,q )

Le produit de deux matrices A et B n’est possible que si le nombre de colonnes

de A est égal au nombre de lignes de B.

Le résultat est alors une matrice C ayant autant de lignes que A et autant de

colonnes que B.

Ainsi si A est de format (n , p ) et B de format ( p ,q ) (p est alors le nombre

commun de colonnes de A et de lignes de B) alors C=A ∙B est de taille (n ,q ) . Si

A=(aij ) et B=(bij ) alors le produit C=AB est une matrice dont le terme de la ieme

ligne, j eme colonne est :

c ij=∑k=1

p

a ikbkj

On peut considérer que B est la juxtaposition de ses q matrices colonnes et

effectuer le produit de A par chacune de ses colonnes.

La juxtaposition des q colonnes ainsi obtenues donne une matrice de format

(n ,q ) .



Exemple :

(1 23 4 )(−5 1

7 0)=( 9 113 3)

(1 23 4 )(5 7

6 8)=(14 2339 53)

(0 11 0)(1 2

3 4 )=(3 41 2)≠ (2 1

4 3)=(1 23 4)(0 1

1 0)

(3 126 415 41)×(

2 313 234 24)=(

3×2+1×3+2×4 3×3+1×2+2×23×1+1×3+2×46×2+4×3+1×4 6×3+4×2+1×2 6×1+4×3+1×45×2+4×3+1×4 5×3+4 ×2+1×2 5×1+4×3+1×4 )

¿(171514282822262521)

Si A est une matrice de format (2,2 ) et B de format (2,3 ) alors le produit AB existe

mais BA n’existe pas.

De façon générale si deux matrices A et B sont données et les produits AB et

BA existent, on n’a pas souvent AB=BA .

La multiplication matricielle n’est pas commutative.

Propriétés

Sous réserve de compatibilité de formats, on a :

A (BC )=( AB )C

A (B+C )=AB+AC

( A+B )C=AC+BC

λ ( AB )=( λA )B=A ( λB )



Si I n et I p sont les matrices unités d’ordre n et p et A une matrice de

format (n , p ), on a :

I n A=Aet A I p=A .

Exemple :

A=(1 00 0)et B=(0 0

1 0)alors AB=0et BA=B .

Cet exemple montre également que :

si AB=0 on n’a pas nécessairement A=0 ou B=0 , donc si AB=AC on n’a

pas toujours B=C .

si A=(a ) est une matrice (1,1 ), L une matrice ligne et C une matrice

colonne, on a : CA=aC et AL=aL .

Théorème

Pour une matrice carrée M on définit le carré de M par M 2=M ∙M .

On définit de même, le cube de M … puis, plus généralement, la

puissance ne de M, notée M n, comme étant le produit de M par elle-même

n fois.

Une matrice M est dite idempotente si elle est égale à son carré c'est-à-

dire :

M 2=M .

Dans ce cas, on a :

M n=M pour tout entier n≥2.

Une matrice M est nilpotente si l’une de ses puissances est la matrice

nulle :

∃r ≥1 ,M r=0.

6. Trace d’une matrice

Trace d’une matrice



On appelle trace d’une matrice carrée A le scalaire noté tr (A ) égal à la somme

des éléments diagonaux de A. Ainsi pour une matrice A=(aij )1≤i≤n1≤ j≤n

on a par

définition :

tr ( A )=∑i=1

n

a ii .

Propriétés :

Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n. On démontre et nous

admettons :

tr ( A+B )=tr ( A )+tr (B)

tr ( λA )= λtr (A ) pour tout λ réel oucomplexe

tr ( AB )=tr (BA ) .

Exercice

Soient les matrices A, B, C, D, E et F et le vecteur u définis par :

A=(13

13

23

−23

43

23

23

−13

13); B=(1 6

2 51 3);C=(2 3 1

1 5 2);D=(a bc d); E=( 1 2

−1 −2);

u=(152)1. Effectuer, lorsque cela est possible, les produits deux à deux des

matrices suivantes.

2. Calculer A2 .

3. En déduire la valeur de A2 ∙u .



CHAPITRE 2

1. Déterminants d’une matrice carrée

1.1. Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2

Soit la matrice carrée d’ordre 2 suivante :

A=[abc d ]Le déterminant de la matrice A est notée dét (A) et vaut :


DETERMINANT ET INVERSE D’UNE MATRICE

CARREE


dét (A )=|abcd|=ad−bc .

On calcule le déterminant en effectuant le produit des éléments situés sur la

diagonale principale auquel on retranche le produit des éléments de la

diagonale secondaire.

Interprétation géométrique :

Considérons les vecteurs u=(a ,b ) et v=(c ,d ) de R2 dont les coordonnées sont les

réels des première et seconde colonnes de A, respectivement. Le déterminant

ad−bc représente alors l’aire algébrique du parallélogramme engendré par u et

v .

Exercice :

Calculer l’aire S du parallélogramme engendré par u=(2,1 ) et v=(1,2 ). L’aire à

calculer vaut :

S=|2112|=4−1=3et≤résultat étant positif , cela entraîneque la base ( u , v )est directe .

Corollaire : La famille de vecteurs (u , v ) est liée si seulement si détB (u , v )=0 avec

B la base B=( i , j ) .

(u , v ) est une base si détB (u , v )≠0.

THEOREME

détB est alterné pour tout u∈E, E un espace vectoriel si et seulement si

détB (u ,u )=0.

détB est antisymétrique si et seulement si :

∀ (u , v )∈E2 , détB (v ,u )=−détB (u , v )

détB (B )=1

Soit B' une autre base de E



∀ (u , v )∈E2 , détB' (u , v )=détB' (B ) ∙ détB (u , v )

1.2. Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3

Considérons la matrice carrée d’ordre 3 donnée par :

A=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Le déterminant de A est noté dét (A) et vaut :

dét (A )=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a21 a22

a31 a32|

¿a11|a22 a23

a32 a33|−a21|a12 a13

a32 a33|+a31|a12 a13

a22 a23|

1.3. Déterminant d’ordre n

Nous commençons d’abord par définir les notions de mineurs, de cofacteurs et

de comatrice.

1.3.1. Mineur d’un élément

Si dans un déterminant D d’ordre n on supprime la ligne et la colonne qui

contiennent un élément donné a ij, on obtient un déterminant d’ordre n−1

appelé le mineur de a ij .

Exemple :

Soit le déterminant :

D=| 12 35 0 4

7−2 1|Par Joël M. ZINSALO Page 16


Dans D, le mineur de l’élément 4 est le déterminant la ligne et la colonne de 4

et on obtient

| 1 27−2|=−2−74=−16.

1.3.2. Comatrice et matrice adjointe d’une matrice carrée

En désignant par ∆ ij le mineur de l’élément a ij, on appelle cofacteur de

l’élément a ijle nombre c ij défini par :

c ij=(−1 )i+ j∆ij

Exemple :

a23=4 alors c23=(−1 )2+3×∆23=(−1 )2+3

×| 127−2|=−16.

On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs d’une matrice A et on note

com(A) la matrice carrée de même taille que A dont les éléments sont les

cofacteurs de A.

On appelle matrice adjointe de A et notée adj(A) la transposée de la

comatrice de A. On a donc :

adj (A )= Com (A)❑t .

Exemple

Soit

A=(213 4)

c11=(−1 )1+1×4=4 ;c12=(−1 )1+2×3=−3 ;c21=(−1 )2+1×1=−1 ;c22=(−1 )2+2×2=2

La comatrice de A est :

com (A )=(4−3−12)

et la matrice adjointe de A est :



adj (A )=(4−1−3 2) .

Considérons une matrice carrée M d’ordre n. Pour toute ligne (respectivement

colonne) de M, le déterminant de M est égal à la somme des produits de

chacun des éléments de cette ligne (respectivement colonne) par son

cofacteur. Ainsi,

dét (M )=(−1 )i+1∆i1ai1+⋯+(−1 )i+n∆¿a¿=c i1ai1+⋯+c¿a¿

dét (M )=(−1 )1+ j∆1 ja1 j+⋯+ (−1 )n+ j∆nj anj=c1 ja1 j+⋯+cnjanj

Ce calcul est le développement du déterminant suivant cette ligne

(respectivement colonne).

Exemple :

Soit

M=(5 1 −23 2 12 3 −2)

Déterminons la comatrice de M notée com(M).

a11=5 ;∆11=| 213−2|=−7 ;c11=(−1 )1+1

×∆11=(−1 )1+1× (−7 )=−7

a12=1 ; ∆12=| 312−2|=−8 ;c12=(−1 )1+2

×∆12=(−1 )1+2× (−8 )=8

a13=−2; ∆13=|3 22 3|=5 ;c13=(−1 )1+3

×∆13=(−1 )1+3× (5 )=5

a21=3; ∆21=|1−23−2|=4 ;c21=(−1 )2+1

×∆21=(−1 )2+1× (4 )=−4

a22=2; ∆22=|5−22−2|=−6 ; c22= (−1 )2+2

×∆22= (−1 )2+2× (−6 )=−6

a23=1; ∆23=|5 12 3|=13 ;c23=(−1 )2+3

×∆23=(−1 )2+3× (13 )=−13



a31=2; ∆31=|1−221 |=5 ;c31=(−1 )3+1

×∆31=(−1 )3+1× (5 )=5

a32=3; ∆32=|5−231 |=11; c32=(−1 )3+2

×∆32=(−1 )3+2× (11)=−11

a33=−2; ∆33=|5 13 2|=7 ;c33=(−1 )3+3

×∆33=(−1 )3+3× (7 )=7

d’où la comatrice de M est :

com (M )=(c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33)=(−7 8 5−4 −6 −135 −11 7 )

La matrice adjointe de M est la transposée de la comatrice de M et on a :

adj (M )= Com(M )❑t =(−7 −4 5

8 −6 −115 −13 7 )

Développons le déterminant suivant la première ligne et suivant la 2e colonne.

Suivant la première ligne on a :

dét (M )=c11a11+c12a12+c13a13=(−7 )×5+8×1+5× (−2 )=−37

Suivant la deuxième colonne par exemple on a :

dét (M )=c12a12+c22 a22+c32a32=8×1+ (−6 )×2+(−11 )×3=−37

1.4. Déterminant d’une matrice triangulaire

Le déterminant d’une matrice triangulaire A est le produit des éléments de sa

diagonale principale, c'est-à-dire :

dét A triangulaire=∏i=1

n

a ii

Exemple :



B=(24 3 60 12 100 4 200 0 3

)Le déterminant de cette matrice triangulaire supérieure est :

dét (B )=2×1×4×3=24.

Théorème :

Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si tous ses

éléments diagonaux sont non nuls.

1.5. Propriétés

Propriété 1

La valeur d’un déterminant est inchangée si l’on ajoute à une ligne

(respectivement une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes

(respectivement des autres colonnes).

Exemple : Le déterminant de la matrice carrée M suivante :

M=(5 1 −23 2 12 3 −2)

reste inchangé si l’on additionne à la 2e ligne 3 fois la 1e ligne moins la 3e ligne

(L2' =L2+3 L1−L3 ):

dét (M )=|5 1 −23 2 12 3 −2|

L1

L2

L3

=| 5 1 −216 2 −32 3 −2|

L1

L2'

L3

=−37.

Propriété 2

Lorsqu’on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matrice A par un

coefficient λ, alors la valeur de son déterminant est également multipliée par λ .

Les matrices

A1=L1

L2'

L3

(5 1 −26 4 22 3 −2)et A2=(5 1 −6

3 2 32 3 −6)



ont des déterminants égaux, respectivement, au double et au triple de dét (M )

puisque L2'=2 L2 et C3

'=3C3 .

Par contre, si l’on multiplie toute la matrice M par 2, par exemple, cela revient

à multiplier chacune de ses trois lignes (ou de ses trois colonnes) par 2. Le

déterminant est alors multiplié par 2×2×2. Ainsi dét (2M )=8dét (M ) .

Retenons qu’en multipliant toute la matrice M par λ alors la matrice λM de

dimension n (d’ordre n) a pour déterminant :

dét ( λM )=λndét (M ) .

Propriété 3

La valeur du déterminant est multipliée par −1 si l’on permute deux lignes (ou

deux colonnes).

Propriété 4

On a :

dét ( M❑t )=dét (M ) .

Propriété 5

dét (AB )=dét ( A ) ∙ dét (B ) .

2. Inverse d’une matrice carrée

2.1. Définitions et propriétés

Une matrice carrée M d’ordre n est dite inversible s’il existe une matrice carrée

N de même taille, telle que M ∙ N=I n . Dans ce cas N est dite matrice inverse deM .

Une matrice non inversible est dite singulière .



Si M est inversible, son inverse est unique et est notée M−1. La matrice M−1

est également inversible et son inverse est la matrice M .

Théorème

Si A et B sont deux matrices inversibles de même taille n alors le produit A ∙B

est inversible et son inverse est la matrice B−1 ∙ A−1 .

2.2. Condition d’inversibilité d’une matrice

Une matrice carrée M est inversible si et seulement si son déterminant est non

nul. Dans ce cas, son inverse est égale à la transposée de la comatrice de M

divisée par le déterminant de M .

M−1= 1dét (M )

∙ com(M )❑t

Exercice

Déterminer, si elles existent, les inverses des matrices :

M 1=(4−22−1)et M 2=(5 1 −2

3 2 12 3 −2)

On a :

dét (M 1)=|4−22−1|=−4+4=0. La matrice M 1 est donc non inversible (elle est

singulière).

Par rapport à la matrice M 2, son déterminant était calculé et vaut – 37. Elle est

donc inversible.

La comatrice de M 2 est :

com (M 2 )=(−7 8 5−4 −6 −135 −11 7 )



M 2−1= 1

dét (M 2)∙ com(M 2)❑

t = 1−37 (−7 −4 5

8 −6 −115 −13 7 )= 1

37 ( 7 4 −5−8 6 11−5 13 −7)

2.3. Propriété et théorèmes

Propriété

Une famille (e1 , e2 ,⋯ , en ) est une base de Rn si et seulement si :

dét ¿

Théorème :

Si A et B deux matrices carrées inversibles, alors :

A−1 est inversible et ( A−1 )−1=A

A❑t est inversible et ( A❑

t )−1= ( A−1)❑

t

AB est inversible et ( AB )−1=B−1 ∙ A−1 .

CHAPITRE 3


SYSTEMES LINEAIRES ET

MATRICES


1. Définition de systèmes linéaires

On appelle système de n équations linéaires à p inconnues le n−uplet

d’équations :

(S ) :{a11 x1+⋯+a1 j x j+⋯+a1 p x p=b1

a21 x1+⋯+a2 j x j+⋯+a2 p x p=b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai1 x1+⋯+aij x j+⋯+aip xp=bi

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 x1+⋯+anj x j+⋯+anp x p=bn

où les coefficients a ij et b i (1≤i ≤net 1≤ j≤ p) sont des nombres réels ou complexes

et où les inconnues sont x1 ,⋯ , x j ,⋯ , x p .

La ie équation : a i1 x1+⋯+aij x j+⋯+aip x p=bi est notée Li et appelée ie ligne de (S ). On

appelle système homogène un système dont tous les seconds membres sont

nuls (∀ i∈ [1, n ] , bi=0 ) .

Un système n’ayant aucune solution est dit impossible et un système ayant

plusieurs solutions est dit indéterminé.

Nous pouvons regrouper d’une part les inconnues en un vecteur X et les

éléments des seconds membres en un vecteur B . Ces deux vecteurs sont de

dimension n . D’autre part, les coefficients a ij forment la matrice carrée de taille

n du système.

Soit :

X=(x1

x2

⋮x i⋮x p

);B=(b1

b2

⋮bi

⋮bn); A=(

a11⋯ a1 j⋯ a1 p

a21⋯ a2 j⋯ a2p

⋮ ⋮ ⋮ai1⋯ aij⋯ aip

⋮ ⋮ ⋮an1⋯ anj⋯ anp

)Le système (S) est équivalent à :

AX=B .



Résoudre (S) c’est trouver l’ensemble des matrices colonnes X vérifiant AX=B .

A est appelée matrice du système (S ) .

2. Résolution d’un système linéaire de n équations

Soit (S) un système linéaire de n équations et autant d’inconnues. Soit A sa

matrice, X le vecteur inconnu et B le vecteur second membre.

Si A est inversible, alors (S) a une solution unique qui peut s’écrire sous

la forme :

X=A−1 ∙B

Si A n’est pas inversible, alors nous avons l’une des deux situations

suivantes :

(S) admet une infinité de solutions ;

(S) n’admet aucune solution.

3. Méthode du pivot de Gauss (M3) :

a) On échange les lignes de telle sorte que le coefficient en x1, dans la

première ligne soit non nul. C’est notre pivot.

b) On soustrait à la deuxième ligne un multiple de la première ligne de telle

sorte que le coefficient en x1 de la deuxième ligne soit nul.

c) On soustrait à la troisième ligne un multiple de la première ligne de telle

sorte que le coefficient en x1 de la troisième ligne soit nul. On

recommence avec les lignes suivantes.

d) On échange les lignes de 2 à n de telle sorte que le coefficient en x2,

dans la deuxième ligne soit non nul.

e) On soustrait à la troisième ligne un multiple de la deuxième ligne de

telle sorte que le coefficient en x2 de la troisième ligne soit nul. On

recommence avec les lignes suivantes.

f) On continue avec les autres variables, si pour une variable tous les

coefficients sont nuls, on passe à la variable suivante et on regarde cette

variable comme un paramètre. On trouve à la fin un système

triangulaire, il suffit alors de « remonter » :



Exemple : Résoudre { 2 x1+2x2+x3=2¿ x1+2 x2+ x3=1¿ x1−2x2+2 x3=3

{ 2 x1+2x2+x3=2¿ x1+2 x2+ x3=1¿ x1−2x2+2 x3=3

⟺ {2x1+2 x2+x3=2

¿ x2+12x

3

=0

¿−3 x2+32x

3

=2

⟺ {2x1+2 x2+x3=2

¿x2+12x

3

=0

¿3 x3=2

⟺ { x3=23

x2=−13

x1=1

4. Théorème

Soit A une matrice carrée d’ordre n. A est inversible si et seulement si pout

tout Y de M n ,1 (K ) le système AX=Y possède une solution unique.

Exercice :

On donne

A=( 2 1 14 1 0−2 2 1)

A est – elle inversible ? Si oui, calculer A−1 .

En effet, soit

X=(x1

x2

x3)et Y=( y1

y2

y3)

Ax=Y⇔ { 2x1+x2+x3= y1

4 x1+ x2= y2

−2x1+2 x2+x3= y3

L2←L2−2 L1

L3←L3+L1 { 2x1+x2+ x3= y1

−x2−2 x3= y2−2 y1

3 x2+2x3= y1+ y3



L3←L3+3 L2{ 2x1+x2+x3= y1

−x2−2x3= y2−2 y1

−4 x3=−5 y1+3 y2+ y3

donc (S)⇔{ x1=18y1+

18y2−

18y3

x2=−12

y1+12y2+

12y3

x3=54y1−

34y2−

14y3

La solution existe et est unique alors A est inversible et on a :

A−1=(18

18

−18

−12

12

12

54

−34

−14) .

5. Opérations élémentaires sur les lignes d’un système

On appelle opération élémentaire sur un système, le fait d’échanger deux

lignes, de multiplier une ligne par un réel non nul, ou d’ajouter à une ligne le

multiple d’une autre. Il faut faire bien attention à ne faire qu’une opération

élémentaire à la fois.

C’est toute opération de l’un des types suivants :

Li↔L j ( i≠ j ): échange des deux lignes Li et L j .

Li←αLi (α ≠0 ) : multiplication de la ligne Li par le nombre α non nul.

Li←Li+λL j (i≠ j ) : addition d’un multiple de la ligne L j à la ligne Li .

Théorème :



On obtient un système équivalent à (S) en effectuant l’une des opérations

suivantes :

Li↔L j ( i≠ j )

Li←αLi (α ≠0 )

Li←Li+λL j (i≠ j )

Li←αL j+β L j (α ≠0 )

Li←Li+∑j ≠i

λ jL j .

Théorème :

Les systèmes suivants sont équivalents :

{L1

L2

⋮Ln

et {L1

⋮L j

L j+1+λ j+1 L j

⋮Ln+λnL j

6. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une

matrice

Par analogie avec les opérations élémentaires sur les lignes d’un système (S),

on définit les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice carrée A de

type (n , p ) .

Li←αLi : multiplication par α de la ie ligne (α ≠0 )

Li↔L j : échange de la ie et de la j e ligne.

Li←Li+λL j : addition à la ie ligne de la j e ligne multipliée par λ (i ≠ j ) .

On définit de façon analogue les opérations élémentaires sur les colonnes de A

:

C i↔C j;C i←αC i ;Ci←C i+λC j .



Théorème :

On peut remarquer certaines propriétés du déterminant à deux lignes et deux

colonnes, qui seront encore vraies en dimension quelconque :

1. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes.

2. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des lignes.

3. Si l’on échange deux lignes alors le déterminant change juste de signe.

4. Si deux vecteurs colonnes sont colinéaires le déterminant est nul.

Théorème

Le déterminant a les propriétés suivantes :

1. Le déterminant reste inchangé lorsque l’on ajoute à une colonne le

multiple d’une autre colonne.

2. Lorsque l’on échange la place de deux colonnes le déterminant est

multiplié par -1.

Théorème

1. Le déterminant d’une matrice est nulle si et seulement si ses colonnes ne

forment pas une base de Rn.

2. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit

des déterminants des deux matrices.

det (AB)=det (A)det(B)



CHAPITRE 4 :

1. Définitions et exemples

Dans la grande majorité des situations rencontrées en Mathématiques et dans

ses applications, Physique, Biologie, Ingénierie, Economie, etc., les systèmes

dont on étudie le comportement dynamique, dépendent non pas d’une variable

x, souvent le temps t, mais de plusieurs variables, par exemple temps et

espace. Le cas typique est donné par un point du plan (resp. espace) M=(x , y ),

(resp. M=(x , y , z) dont la position par rapport à un système d’axes fixé à

l’avance dépend de deux (resp. trois) paramètres ou coordonnées.

On appelle Rn (n∈N ¿) l’ensemble défini de la façon suivante :

Rn={(x1 , x2 ,…,xn )} , x i∈ Ret i=1 , n .

Pour :

n=2 ,R2={(x1 , x2 )}:on adoncuncouple .

n=3 ,R3={(x1 , x2 , x3 ) }: il s 'agit ici d 'un triplet .

On appelle fonction à plusieurs variables réelles x1 , x2 ,…, xn toute application f

d’une partie D⊂Rn tel que :

f :D⊂Rn⟶R

(x1 , x2 ,…,xn )⟼ f (x1 , x2 ,…,xn)

Exemple 1

f :D⊂R2⟶R

( x , y )⟼ f ( x , y )=x . y


FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES


Cette fonction à deux variables permet de calculer l’aire de la surface d’un

rectangle de longueur xet de largeur y.

Exemple 2

g :R3⟶R

( x , y , z )⟼ f ( x , y , z )=x . y . z

Cette fonction permet de calculer le volume d’un parallélépipède de longueur

x, de largeur y et de hauteur z.

Exemple 3

h :R3⟶R

( x , y , z )⟼h ( x , y , z )=x2 y−2xy+3 yz

2. Domaines de définitions et notion de boucles

2.1. Domaines de définition

On appelle domaine de définition d’une fonction f à deux ou trois variables

(x , y ) ou (x , y , z) l’ensemble défini comme suit :

D={( x , y )∈R2/ f (x , y ) existe}

ou

D={( x , y , z )∈R3/ f ( x , y , z )existe }

Exercice d’application

Considérons les fonctions f et g définies par :

f :D⊂R2⟶R( x , y )⟼ f ( x , y )=ln ( x+ y )

Déterminer le domaine de définition

Résolution

Df={( x , y )∈R2/ x+ y>0}



Soit D la droite d’équation

x+ y=0⟹ y=−x

Df est l’ensemble des points du plan hachuré privé des points de la droite (D).

2.2. Notion de boucles fermées et de boucles ouvertes

Soit Ω (a ,b , c ) et r∈R+¿¿ ¿.

On appelle boucle ouverte de centre Ω et de rayon r l’ensemble noté B(Ω, r)

défini par :

B (Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ (x−a )2+( y−b )2+(z−c)2<r2 }

On appelle boucle fermée l’ensemble :

B(Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ ( x−a )2+( y−b )2+(z−c)2≤r 2}

La sphère ou boule est :

S (Ω ,r )=B (Ω ,r )={x , y , z )∈R3/ ( x−a )2+( y−b )2+( z−c )2=r 2}

Exercice

Soit la fonction g telle que :

g :R3⟶R



( x , y , z )⟼ g ( x , y , z )= 1

√x2+ y2+z2−1

Dg={(x , y , z)∈R3/x2+ y2+z2−1>0 }

soit x2+ y2+z2>1.

Dg est l’extérieur de la boule de centre 0 et de rayon 1.

Le domaine de la fonction g est donc l’extérieur d’une boucle fermée de centre

O(0,0,0) et de rayon r=¿1.

3. Courbes de niveau

3.1. Lignes de niveau

On appelle ligne de niveau d’une fonction f définie sur R

Lf= {( x , y )∈D / f (x , y )=k } , k est une constante réelle.


Déterminer les lignes de niveau de la fonction f définie par f ( x , y )=x2+ y2 .

3.2. Surfaces de niveau

Soit f , une fonction définie sur D⊂R3

Sf={( x , y , z )∈D / f ( x , y , z )=k } , k=¿constante réelle.


Déterminer les surfaces de niveaux de f définie par :

f ( x , y , z )=x2− y2+z2

Sf={( x , y , z )∈R3/ x2− y2+z2=k } ,k=¿constante réelle.

1er cas : k=0

x2− y2+z2=0. Il s’agit d’un cône d’axe (Oy ) de sommet à l’origine.

2e cas : k<0.



Il s’agit d’une famille d’hyperboloïdes à deux nappes.

3e cas : k>0

Il s’agit d’une famille d’hyperboloïdes à une nappe.

4. Limite et continuité d’une fonction à deux ou trois variables

Soit f une fonction définie sur :

D⊂R2ouR3 et soit un point ( x0; y0 )∈R2ou (x0 , y0 , z0 )∈R3 pouvant appartenir

ounonà D . Dire que f ( x , y )ou f ( x , y , z ) tend versunr é el l lorsque (x , y ) tend vers (x0 , y0 ¿ ou

(x , y , z) tend vers (x0 , y0 , z0) signifie que pour tout (x , y ) très proche de (x0 , y0 ¿ ou

pour tout (x , y , z) très proche de (x0 , y0 , z0¿ ,le nombre f (x , y ) ou f (x , y , z) est très

proche du nombre réel l. On note :

lim( x , y )→ (x0, y0)

f (x , y )=l ou limx→x0

y→ y0

f (x , y)=l

lim( x , y , z )→ (x0, y0 , z0)

f (x , y , z)=l ou limx→x0

y→ y0

z→z0

f (x , y , z)=l


Calculer les limites suivantes :

limx→αy→0

sin xyy

; limx→+∞y→a

x2− y2

x2+ y2 oùa∈R¿

Continuité

Soit (x0 , y0 )∈D, on dit que f est continue en(x0 , y0 ) si:

lim( x , y )→ (x0, y0)

f (x , y )=f (x0 , y0 )

Les polynômes à deux variables sont continus en tout point de R2.

Exemple : f ( x , y )=x2+ xy+ y2est continue en tout point de R2 .

5. Les dérivées partielles



On appelle dérivée partielle première de f par rapport à x au point (x0 , y0), la

limite si elle existe du rapport suivant :

limΔ x→0

f (x0+Δ x , y0 )−f (x0 , y0 )Δ x

avec Δ x=x−x0

On la note f x' (x0 , y0 ) ou

∂ f∂ x

(x0 , y0 )et on lit dé rond f sur dé rond x en (x0 , y0 ).

On appelle dérivée partielle première de f par rapport à y au point (x0 , y0), la

limite si elle existe du rapport suivant :

limΔ y→0

f (x0 , Δ y+ y0 )−f (x0 , y0 )Δ y

avec Δ y= y− y0

On la note f y' (x0 , y0), ou

∂ f∂ y

(x0 , y0 )On lit dé rond f sur dé rond y en (x0 , y0 ).

On appelle accroissement de f au point (x1 , y1 ¿ au point (x2 , y2 ¿la quantité

définie par :

Δ f=f (x2 , y2 ¿−f (x1 , y1)


Calculer f x' (0,0 )et f y

' (0,0 ) de la fonction définie par :

f ( x , y )={xy (x2− y2 )

x2+ y2 , ( x , y )≠ (0,0 )

0 , ( x , y )=(0,0)

Remarque : Dans la pratique, pour calculer la dérivée partielle d’une fonction

par rapport à x, on fixe y et on dérive par rapport à x. La dérivée partielle par

rapport à y se fait en fixant x. Mais tout cela est possible si la fonction n’admet

pas de point singulier.

Exemple : f ( x , y )=ln (x2+ y2 )∂ f∂ x= 2 x

x2+ y2



∂ f∂ y= 2 y

x2+ y2

Définitions

Soit f une fonction définie de Rn→R et x0un nombre réel,x0∈ R , f est

partiellement dérivable en (x0 , y0 ) si et seuleument si ses dérivées partielles en

(x0 , y0 )par rapport à chaque variable existent. De plus f est continument

partiellemnt dérivable en (x0 , y0 )si et seulement si chaque dérivée partielle

existe et sont continues en (x0 , y0 )d’où le mot « continument ». On dit aussi que

f est de classe C1 en (x0 , y0 ) . On dit que f est de classe C k sur un domaine E si et

seulement si toutes les dérivées partielles de f jusqu’à l’ordre kexistent et sont

continues sur E.

6. Différentiabilité et différentielle totale d’une fonction

6.1. Différentiabilité d’une fonction

Soit f la fonction de variable (x , y ) définie sur une partie D⊂R2 et (x0 , y0)∈D. On

dit que f est différentiable en (x0 , y0) s’il existe une fonction numérique φ de

variable ( x , y ) définie sur D de limite nulle lorsque (x , y ) tend vers (x0 , y0) et que

la relation suivante est vérifiée :

f ( x , y )=f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y

' (x0 , y0 )+φ(x , y)√ (x−x0 )2+( y− y0 )

2

avec :

lim( x , y )⟶ (x0 , y0)

φ(x , y)=0.

Si f est différenciable au point (x0 , y0 ) alors la partie linéaire par rapport à x et y

c'est-à-dire (x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0 ) est appelée la différentielle première

de f au point (x0 , y0 ) et est noté df (x0 , y0 ) et on a :

df (x0 , y0 )=(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0 ) .

En posant x−x0=dx et ( y− y0 )=dy, on a :



df (x0 , y0 )=f x' (x0 , y0 )dx+ f y

' ( x0 , y0 )dy

Théorème 1

Toute fonction différentiable au point (x0 , y0 ) est continue en ce point. Si f est

différentiable, elle est continue et admet des dérivées premières. La réciproque

est vraie si les dérivées premières f x' et f y

' sont continues. Une fonction

différentiable est donc dérivable.

Théorème 2

Soit f une fonction définie sur D⊂R2. Supposons qu’en tout point deD, il existe

des dérivées partielles premières par rapport à x et y. Si les dérivées partielles

premières sont définies et continues sur D alors f est différentiable en tout

point de D. La conséquence imédiate est la suivante. Si f est différentiable en

(x0 , y0 ) alors il existe existe des dérivées partielles en ce point.


Montrer que : f ( x , y )=|xy| est différentiable au point (0,0).

6.2. Différentielle totale d’une fonction

La différentielle totale d’une fonction f de n variables s’effectue par la formule :

df= ∂ f∂ x1

d x1+∂ f∂ x2

d x2+∂ f∂ x3

d x3+⋯⋯⋯+ ∂ f∂ xn

d xn

Considérons par exemple un rectangle de hauteur h et de base b. Son aire est

mesurée par la fonction :

S=bh=f (b ,h ) .

Si la base b varie de db et si la hauteur h varie de dh, calculons la variation

algébrique d’aire dS à l’aide de la différentielle.

dS= ∂ f∂b

db+ ∂ f∂h

dh=hdb+bdh



Exercice

Donner une approximation de la variation de volume d’un cylindre droit de

rayon r=10 cm et de hauteur h=50 cm quand r augmente de 1 cm et h

diminue de 2 cm. Calcul exact de la variation ∆V ?

Calcul approché de la variation ∆V par la différentielle dV ?

Résolution

Le volume du cylindre droit est :

V=π r2h=V (r , h )

Calcul exact de la variation ∆V

Soit V 1 la valeur initiale avec r1=10 cm et h1=50cm

V 1=π r12h1=π ×102×50=15708 cm3

Soit V 2 la valeur finale avec r2= (10+1 ) cm et h2=(50−2 ) cm

V 2=π r22h2=π ×112×48=18246cm3

On a :

∆V=V 2−V 1=18246−15708=2538cm3

Calcul approché de la variation ∆V par la différentielle dV

On a :

dV=∂V∂r

dr+ ∂V∂h

d havec∂V∂r=π (2r )het ∂V

∂h=π r2

Soit :

dV=π (2 r )hdr+π r2dh

d’où

∆V=π (2 r )h∆r+π r2∆h

∆V=π (2×10 )× (1 )+π 102 (−2 )=3148−628=2513cm3



6.3. Différentielle logarithmique

C’est la différentielle du logarithme de la valeur absolue de la fonction. Pour

f (x , y , z) fonction de trois variables, la différentielle logarithmique est :

d [ ln|f (x , y , z)|]=dff=1f [ ∂ f∂ x dx+ ∂ f∂ y dy+ ∂ f

∂ zdz ]

C’est donc le quotient de la différentielle totale par la fonction.

Propriétés

Soient u(x , y , z ) et v (x , y , z ) fonctions différentiables de 3 variables

indépendantes x, y et z.

Produit de fonctions

d [ln [|u ∙ v|]]=d [ ln|u|]+d [ ln|v|]=duu+ dv

v

Quotient de deux fonctions

d [ ln|uv|]=d [ ln|u|]−d [ ln|v|]=duu−dv

v

Evaluation à une puissance r

d [ln|ur|]=d [rln|u|]=rd [ ln|u|]=r duu

Exercice

Calculer la différentielle logarithmique de :

f ( x , y )= x2− y2

x2+ y2

ln|f ( x , y )|=ln|x2− y2

x2+ y2 |=ln|x2− y2|−ln|x2+ y2|

On a :

d [ln|f ( x , y )|]=dff=d [ ln|x2− y2|]−d [ ln|x2+ y2|]=d (x2− y2 )

x2− y2 −d (x2+ y2)x2+ y2

d [ln|f ( x , y )|]=2 xdx−2 ydy

x2− y2−2xdx+2 ydy

x2+ y2

On regroupe les termes relatifs à dx et à dy:

dff=[ 1

x2− y2− 1

x2+ y2 ]2 xdx−[ 1

x2− y2+ 1

x2+ y2 ]2 ydy



¿( 4 x y2

x4− y4 )dx−( 4 x2 yx4− y 4 )dy

Intérêt de la différentielle logarithmique

La différentielle logarithmique df / f d’une fonction de plusieurs variables réalise

une approximation de la variation relative : ∆ f / f de la fonction pour les

variations ∆ x, ∆ y, ∆ z soient suffisamment petits (approximation au premier

ordre).

Exercice

Donner une approximation de la variation relative du volume ∆V /V d’un

parallélépipède rectangle de côtés x=20cm, y=40cm et z=25cm quand x et y

augmentent de 0,2cm et que z diminue de 1cm.

Résolution

Le volume d’un parallélépipède rectangle est donné par la formule :

V ( x , y , z )=x ∙ y ∙ z

Calcul exact de la variation relative

Volume initial : V 1=20×40×25=20 000cm3

Volume final : V 2=20,2×40,2×24=19 489cm3

∆VV=V 2−V 1

V 1

=19489−2000020000

= −51120 000

=−0,0256=−2,56 %

Calcul approché par la différentielle logarithmique

lnV=lnx+lny+lnz⇒ d lnV=d lnx+d lny+d lnz

dVV=dx

x+ dy

y+ dz

zavec dx=dy=+0,2cmet dz=−1cm

dVV=0,2

20+ 0,2

20− 1

25=0,01+0,005−0,04=−0,025=−2,5 %

d’où :

∆VV

≈−2,5 %

6.4. Calcul d’erreur



Soit a le résultat de la mesure de la grandeur A. Si α est la valeur exacte de A,

la différence δa=a−α est appelée erreur absolue de la mesure ; elle résulte de

causes diverses : erreurs systématiques ou accidentelles. L’erreur absolue sur

a n’étant pas connue, on doit se contenter d’en rechercher une limite

supérieure ∆ a appelée incertitude absolue telle que |δa|≤∆a; on a donc

a−∆ a≤α ≤a+∆a ou encore α=a±∆ a .

On se rend mieux compte de l’approximation d’une mesure en comparant

l’erreur à la grandeur mesurée.

On appelle erreur relative le rapport δa /α de l’erreur absolue à la valeur

exacte ; δa e t α n’étant pas connues, on doit, là encore, se contenter d’une

limite supérieure appelée incertitude relative que l’on calculée en remplaçant

δa par ∆ a et en prenant pour α la valeur approchée a.

L’incertitude relative caractérise la précision de la mesure.

Exemple : Pour a=2±0,001m donc ∆ a/a=0,001/2=5. 10−4. La précision est de 5

dix-millième près.

On cherche maintenant à calculer l’erreur sur une grandeur X dépendant de

plusieurs paramètres A, B, C indépendants les uns des autres :

X=f ( A ,B ,C )

On ne connaît en réalité que des valeurs approchées a ,b , c et les incertitudes

absolues ∆ a ,∆b ,∆ c sur ces valeurs ; une valeur approchée de X est donc

x=f (a ,b , c ).

A partir de la différentielle de f en (a ,b , c )

dx=f a' da+ f b

' db+ f c' dc

Soit en valeur absolue

|dx|=|f a' ||da|+|f b'||db|+|f c

' ||dc|

On obtient l’incertitude absolue sur x.



∆ x=|f a' |∆a+|f b' |∆b+|f c'|∆c

Puis l’incertitude relative sur x

∆ x|x|=|f a

'|∆a|x|+|f b

' |∆b|x|+|f c' |∆c

|x|

Exemple : connaissant la formule T=2π √ l / g donnant la période du pendule

simple, on peut calculer l’accélération de la pesanteur

g=γ ( l ,T )=4 π2l /T 2 dont la différentielle est :

dg=∂γ∂ l

dl+ ∂γ∂T

dT=4 π2

T 2 dl−8 π2lT3 dT

D’où l’incertitude absolue

∆ g=4 π2

T 2 (∆ l+2 lT

∆T )et l’incertitude relative

∆ gg=∆ l

l+2

∆TT

Avec l=1m ,∆ l=5.10−4m,T=2 s ,∆T=0.01 s, on obtient :

∆ gg=0.0105=1.05 %et g=π2=9.87 m.s−2

Ce qui donne une incertitude absolue de ∆ g=0.10 et g=9.87±0.1ms−2

Remarque : on trouve assez fréquemment en Physique des fonctions positives

à variables séparables f (a ,b , c )=φ1 (a )φ2 (b )φ3(c).

La fonction logarithmique permet alors de simplifier le calcul de l’intégrale

relative ln f=lnφ1+ lnφ2+ lnφ3 d’où en différentiant

dff=d φ1

φ1

+d φ2

φ2

+d φ3

φ3

Et si φ1, φ2 , φ3>0, alors on a :

∆ ff=∆φ1

φ1

+∆ φ2

φ2

+∆ dφ3

φ3

7. Dérivées d’ordres supérieures et dérivées mixtes



Supposons que f soit définie sur une partie D⊂R2

Admettons que les dérivées partielles premières sont appelées dérivées

partielles seconde. Elles sont de 4 types :

∂2f∂ x2=

∂∂ x ( ∂ f∂ x )= f xx

' '

∂2 f∂ y2=

∂∂ y ( ∂ f∂ y )=f yy

' '

∂2 f∂ x∂ y

= ∂∂x ( ∂ f∂ y )

∂2 f∂ y∂ x

= ∂∂ y ( ∂ f∂ x )

Les deux premières s’appellent dérivées secondes et les deux dernières sont

appelées dérivées secondes mixtes.

Une fonction de n variables admet n dérivées partielles premières et n2

dérivées partielles secondes.

Exercice : On considère la fonction :

f ( x , y , z )=x y2 z3

Calculer∂ f∂ x

,∂2 f∂ x2 ,

∂2 f∂ x∂ y

,∂3 f

∂ x∂ y2 ,∂3 f

∂ x ∂ y ∂ z,

∂4 f∂ x∂ y3

Énonçons le théorème suivant sur l’égalité des dérivées secondes mixtes :

c’est le théorème de Schwarz.

Théorème de Schwarz

Soit f une fonction définie sur D⊂R2. On suppose que f admet deux dérivées

secondes mixtes.



f xy' ' = ∂2 f

∂ x ∂ yet f yx

' ' = ∂2 f∂ y ∂ x

Ces dérivées secondes mixtes sont égales en tout (x , y ) de D si elles sont

continues en tout point (x , y ) de D.

On a :

∂2 f∂ x∂ y

= ∂2 f∂ y∂ x


Soit f , une fonction définie par :

f ( x , y )={xy x2− y2

x2+ y2 , ( x , y )≠(0,0)

0 si ( x , y )=(0,0)

Calculer les dérivées secondes mixtes par rapport à x et y en (0 ,0)

Différentielle seconde

Soit f la fonction de variables ( x , y ) définie sur une partie D⊂R2 ,on suppose que

f admet des dérivées partielles secondes toutes continues sur D. La

différentielle seconde de D en tout point (x , y ) est :

d2 f ( x , y )=f xx' ' (x , y )d x2+f xy

' ' ( x , y )dxdy+f yy' ' ( x , y )d y2

Pour une fonction à trois variables ( x , y , z ), on a :

d2 f ( x , y , z )=f xx' ' ( x , y , z )d x2+ f xy

' ' ( x , y , z )dxdy+ f xz' ' ( x , y , z )dxdz+ f yz

' ' ( x , y , z )dydz+ f yy' ' ( x , y , z )d y2+ f zz

' ' ( x , y , z)d z2

8. Formule d’approximation

Soit f la fontion définie sur D dans R2, soit (x0 , y0 ¿∈D. On suppose que f est

différentiable au point x0 , y0 ¿. Cela suppose que f admet des dérivées partielles

premières au point (x0 , y0 ¿. Pour des quantités |y− y0| suffisamment petites, on

peut approximer la fonction f suivant le voisinage de (x0 , y0 ¿ .

f ( x , y )≈ f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y' (x0 , y0)

Cette formule est appelée formule d’approximation d’ordre 1 au point (

x0 , y0 ¿ .




En utilisant la formule d’approximation d’ordre 1, calculer la valeur approchée

du nombre suivant :√(1,07)2+(1,96)3

9. Formule de Taylor à l’ordre 2

Théorème : Soit f une fonction définie sur D⊂R2 et (x0 , y0 ¿∈D. On suppose que

f est deux fois continument différentiable dans le voisinage de (x0 , y0 ), c'est-à-

dire f admet des dérivées partielles d’ordre 1 et 2 toutes continues dans le

voisinage de (x0 , y0 ) alors la formule suivante est vérifiée :

f ( x , y )= f (x0 , y0 )+(x−x0 ) f x' (x0 , y0 )+( y− y0 ) f y

' (x0 , y0 )+12 [ (x−x0 )

2 f xx' ' (x0 , y0 )+2 (x−x0 ) ( y− y0 ) f xy

' ' (x0 , y0 )+( y− y0 )2 f yy

' ' (x0, y0 ) ]+R2(x , y )

où R2(x , y) est le reste.

Cette formule est appelée formule de Taylor à l’ordre 2 dans le voisinage

(x0 , y0 ) et R2(x , y) est le reste de la formule de Taylor à l’ordre 2 dans le

voisinage de (x0 , y0 )à l'ordre 2.


On donne f ( x , y )=ln (x2+ y2) et (x0 , y0 ) est égal au couple (1,1). Développer cette

fonction par la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisinage de (1,1). En déduire

l’approximation de cette fonction dans ce voisinage.

Présentons le cas d’une fonction à trois variables :

Théorème

Soit f une fonction de trois variables x1 , x2 et x3 définie par f (x1 , x2 , x3 ) que l’on

suppose suffisamment différentiable. On a alors :

f (x1+h1 , x2+h2, x3+h3 )=f (x1, x2, x3 )+(h1

∂ f (x1 , x2 , x3 )∂ x1

+h2

∂ f (x1, x2, x3 )∂x2

+h3

∂ f (x1 , x2 , x3 )∂ x3

)+ 12 ! (h1

2 ∂2 f ( x1 , x2 , x3 )

∂ x12 +h2

2 ∂2 f (x1, x2, x3 )

∂ x22 +h3

2 ∂2 f (x1 , x2 , x3 )

∂ x32 )+(h1h2

∂2 f (x1 , x2 , x3 )∂ x1∂ x2

+h1h3

∂2 f ( x1 , x2 , x3 )∂ x1∂ x3

+h2h3

∂2 f (x1 , x2, x3 )∂ x2∂x3

)+⋯+(ordres érieurs )En pratique, on utilise principalement le développement de degré 1 qui ne fait

intervenir que les dérivées partielles d’ordre 1.



Exercice

Soit la fonction de deux variables :

1. Développer f au voisinage de (1 ,0).

2. Trouver à l’aide du polynôme de Taylor de degré 2 l’approximation de f en

prenant .

3. Trouver l’ordre de cette approximation en utilisant .

Solution

1. Développement de f au voisinage de (1,0)

En posant , le développement de Taylor permet

d’écrire :

Calculons d’abord f(1,0).

Calculons ensuite les dérivées partielles du premier ordre :

Calculons ensuite les dérivées partielles du second ordre :



Calculons enfin la dérivée mixte :

D’où le développement de suivant :

2. Approximation de f en prenant

Le résultat précédent donne en posant

f (1,1 , 0,1 )≈1+2×0,1+0,1+0,12+0,1×0,1f (1,1 , 0,1 )≈1 ,32

3. Ordre de cette approximation en utilisant .

Donc :

|f (1,1, 0,1 )−P (1,1 , 0,1 )||f (1,05 , 0 ,05 )−P (1 ,05 , 0 ,05 )|

=|1 ,319816758−1 ,32||1 ,154978128−1 ,155|

=183 ,24169⋅10−6

21 ,87227⋅10−6

¿8 ,37≈23



D’où le polynôme de degré 2 est une

approximation d’ordre 3 de au voisinage du point

(1 ,0).

10. Les fonctions implicites

On appelle fonction implicite, toute fonction y dépendant de x et qui vérifie la

relation F ( x , y )=0 où F est une fonction différentiable des variables x et y.

Exemple

F ( x , y )=x2+ y2−2=0

x2+ y2−2=0 ⟹ y2=2−x2

⟹ y=√2−x2 ou y=−√2−x2

Avec x∈ [−√2; √2 ]

Théorème

La dérivée d’une fonction implicite donnée par l’équation y= y (x) donnée par

l’équation ou F est une fonction différentielle des variables x et y peut être

calculé par la formule suivante :

y '=−∂F

∂ x∂F∂ y

A condition que les dérivées supérieures d’ordre implicite peuvent être calculé

en dérivant successivement la formule ci-dessous et en considérant y comme

fonction de x. De même, les dérivées partielles d’une fonction implicite de deux

variables données par l’équation :

F ( x , y , z )=0



Où F est une fonction différentiable des variables x , yetz peuvent être calculé

d’après les formules suivantes :

∂ z∂ x=−∂F

∂ x∂F∂z

et∂ z∂ y=−∂F∂ y∂ F∂ y

àcondition que∂F∂z

et∂F∂ y

soient nonnuls .


cos (x+ y )+ y=0, calculer y ’(x )


Calculer∂ z∂ x

et∂ z∂ y

sachant que z3−3 zxy−a3=0 oùaest une constanteréelle

11. Différentielle totale d’une fonction à plusieurs variables

Soit f , une fonction de variables x , y , z, la dérivée totale de f notée df

df=∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy+ ∂ f∂ z

dz

12. Fonctions composées

Soit f , une fonction définie sur D⊂R2 f : ( x , y )⟼ f ( x , y )

Supposons que (x , y ) soient fonctions des variables u et v appartenant à un

domaine D ' de R2, alors f ( x , y )=f (x (u , v ); y (u , v )). f est appellée fonction

composée. Nous pouvons dériver la fonction composée par rapport à u ou par

rapport à v.

∂ f∂u=∂ f∂ x

∙∂ x∂u+ ∂ f∂ y

∙∂ y∂u

∂ f∂ v=∂ f∂ x

∙∂ x∂v+ ∂ f∂ y

∙∂ y∂v


Soit f ( x , y )=arctan (x+ y ) avec x=u2+v2 et y=√u ∙ v.Dériver f par rapport à u et v



13. Opérateurs des dérivées partielles

13.1.Opérateurs usuels

Soit f une fonction définie sur D⊂R2 ou D⊂R3 . Le plan R2 est rapporté à un

repère cart é sien(O;i , j) et l’espace R3 est rapporté à (O; i , j , k ).

On suppose que f est différentiable en tout point de D.

13.1.1. Gradient

On appelle gradient de f en tout point de D la quantité vectorielle notée :

grad f ( x , y ) ou ∇ f (x , y).

grad f ( x , y )=∂ f∂ x

i+ ∂ f∂ y

j

grad f ( x , y , z )= ∂ f∂ x

i+ ∂ f∂ y

j+ ∂ f∂ z

k

13.1.2. Divergence

On appelle divergence du champ vectoriel V tel

que V=P (x , y , z )i+Q(x , y , z ) j+R (x , y , z) k et on note ¿ V ( x , y , z )la quantité scalaire

définie par :

¿ V ( x , y , z )=∂ P∂x+ ∂Q∂ y+ ∂R∂z

13.1.3. Laplacien

On appelle Laplacien de f (x , y , z), la quantité scalaire noté : ∆ f (x , y , z) ou

∇2 f (x , y , z), définie par :

∆ f ( x , y , z )=∂2 f∂ x2+

∂2 f∂ y2+

∂2 f∂ z2

∆ f=¿(∇ f )



Les fonctions f vérifiant la relation ∆ f=0 sont appelées fonctions

harmoniques. Elles interviennent dans la résolution des ondes et de la

chaleur.

13.1.4. Rotationnel

On appelle rotationnel du champ vectoriel V=P (x , y , z )i+Q(x , y , z ) j+R (x , y , z) k la

quantité notée rot V définie par rot V=∇∧V avec ∇ ( ∂∂ x ; ∂∂ y

;∂∂ z ) et V (PQR)

∇∧ V=|i∂∂ x

P

j∂∂ y

Q

k∂∂ z

R|¿( ∂ R∂ y−∂Q

∂ z ) i−( ∂ R∂x −∂ P∂z ) j+( ∂Q∂ x −∂P

∂ y ) krot V=( ∂ R∂ y

−∂Q∂ z )i−( ∂ R∂ x −∂P

∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂P∂ y ) k

Les opérateurs usuels peuvent être écrits dans tous les systèmes de

coordonnées.

Coordonnées cartésiennes

Soit f (x , y , z) et V=P ( x , y , z ) i+Q ( x , y , z ) j+R ( x , y , z ) k

grad f=∂ f∂x

i+ ∂ f∂ y

j+ ∂ f∂ z

k

∆ f= ∂2 f∂ x2+

∂2 f∂ y2+

∂2 f∂ z2


k

i

j


¿ V=∂ P∂ x+ ∂Q∂ y+ ∂R∂ z

rot V=( ∂ R∂ y−∂Q

∂ z )i−( ∂ R∂ x −∂P∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂P

∂ y ) k

Coordonnées cylindriques

Soit f (r , θ , z ) et A=A r(r ,θ , z) er+Aθ(r ,θ , z) eθ+A z(r ,θ , z )e z

grad f=∂ f∂ r

er+1r∂ f∂θ

eθ+∂ f∂ z

ez

∆ f=1r

∂∂ r (r ∂ f∂r )+ 1

r2

∂2 f∂θ2+

∂2 f∂ z2

¿ V=1r

∂ (r A r )∂ r

+ 1r

∂ Aθ

∂θ+∂ A z

∂ z

rot V=( 1r ∂ A z

∂θ−∂ Aθ

∂ z )er−( ∂ A z

∂ r−∂ A r

∂ z ) eθ+1r ( ∂ ( r Aθ )

∂ r−∂ A r

∂θ ) ez

Coordonnées sphériques

Soit f (r , θ ,φ) et A=A r(r ,θ ,φ) er+Aθ(r , θ ,φ) eθ+A z(r , θ ,φ) eφ



grad f=∂ f∂ r

er+1r∂ f∂θ

eθ+1

r sinθ∂ f∂φ

eφ

∆ f=1r∂2 (rf )∂ r2 +

1r2 sinθ

∂∂θ (sinθ ∂ f

∂θ )+ 1r2 sin2θ

∂2 f∂φ2

¿ V=1

r2

∂ (r2 Ar )∂r

+1

rsinθ

∂ ( sinθ Aθ )∂θ

+1

rsinθ∂ Aφ

∂φ

rot V= 1rsinθ ( ∂ ( sinθ Aφ)

∂θ−∂ Aθ

∂φ ) er−1r ( ∂ (r Aφ )

∂r− 1sinθ

∂ A r

∂φ ) eθ+1r ( ∂ (r Aθ )

∂r−∂ A r

∂θ ) eφ

13.2.Propriétés

13.2.1. Linéarité

Le gradient, la divergence, le laplacien et le rotationnel sont des opérateurs

linéaire, on a donc quelque soit le type d’opérateur, on a : T (f +g)

T ( f +g )=T ( f )+T (g )

T ( λf )=λT ( f ) , λ=constante

13.2.2. Composition d’opérateurs

Dans cette rubrique, nous donnons quelques formules importantes :

grad ( f ∙ g )=f ∙ grad (g )+g ∙ grad ( f )

¿ ( f ∙ A )=f ∙÷ ( A )+ A ∙ grad ( f )

rot (U ∙ A )=U ∙ rot ( A )+ (gradU )∧ A

¿ ( rot A )=0

rot ( grad ( f ) )=0

rot ( rot ( A ) )= grad (¿ ( A ) )−Δ A

A∧ ( B∧C )=( A ∙ C ) B−( A ∙ B ) C

grad ( A ∙ B )= A∧ rot B+ B∧ rot A+( B ∙ grad ) A+( A ∙ grad ) B

¿ ( A∧ B )=B ∙ rot A− A ∙ rot B

¿ ( grad f )=∆ f

rot ( A∧ B )=(¿ B ) A−( A ∙ grad ) B−(¿ A ) B+( B ∙ grad ) A

14. Dérivées directionnelles et plans tangents

14.1.Dérivées directionnelles



Soit f une fonction définie sur D⊂R2 ou R3 . Soit l, un vecteur de R2 ou R3. On

appelle dérivée de f suivant la direction du vecteur l et on note ∂ f∂ l

la quantité

scalaire

∂ f∂ l= ∂ f∂ x

cosα+ ∂ f∂ y

sinα

cos α et sinα sont les composantes du vecteur unitaire l

‖l‖ cette relation peut

aussi s’écrire sous la forme :

∂ f∂ l=grad ( f )∙ l

‖l‖∂ f∂ l= ∂ f∂ x

cosα+ ∂ f∂ y

cos β+ ∂ f∂ z

cos γ

avec cos (α ), cos (β ) et cos (γ ) les composantes du vecteur unitaire appelé cosinus

directeur vérifiant la relation :

cos2α+cos2β+cos2 γ=1.

Le gradient d’une fonction indique la direction correspondant à la croissance la

plus rapide de la fonction au point donné.

La dérivée ∂ f∂ l

dirigée vers le gradient, atteint sa plus grande valeur qui

est égale à :

( ∂ f∂ l )pgv=|grad (f )|avec

|grad ( f )|=√( ∂ f∂ x )2+( ∂ f∂ y )2+( ∂ f∂ z )2Exercice d’application

1. Calculer la dérivée de f définie par f ( x , y )=x2− y2 au point M (1 ;1) dans la

direction du vecteur l formant un angle α=60° avec l’axe positif Ox

2. Calculer la dérivée de g définie par g ( x , y , z)=x y2 z3 au point M (3;2 ;1 ) dans

la direction du vecteur MN où N (5 ; 4 ;2)

3. Calculer la dérivée de h définie par : h ( x , y )=ln ( x2+ y2) au point M (3 ;4 )

dans la direction du gradient h.



14.2.Plans tangents à une surface

On appelle plan tangent à une surface en un point M , le plan qui contient

toutes les tangentes aux courbes tracées sur la surface et passant par le point

M . Si la surface est donnée par l’équation F ( x , y , z )=0, alors l’équation du plan

tangent au point M (x0 ; y0; z0) de la surface est de la forme :

( ∂ F∂ x )M (x−x0 )+( ∂ F∂ y )M ( y− y0 )+( ∂ F∂ z )M ( z−z0 )=0


Former l’équation du plan tangent au point (1 ;1 ;1) de surface d’équation:

x2−2 xy+ y2−x+2 y=0.

Planche d’exercices

Exercice 1

1. On considère la fonction f définie par :

f ( x , y )={xy x2− y2

x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )

0 sinon

et g ( x , y )={ g (0,0 )=a

g ( x , y )= x3 y

2 x4+ y 4si ( x , y )≠ (0 ;0 )

a¿Montrer que f est diff é rentiable en(0 ;0).

b¿Montrer que∂2 f

∂ x ∂ y(0 ;0 ) et ∂2 f

∂ y ∂x(0 ;0 ) existent et les comparer .Conclure .

c ¿f est – elle continue sur R2?

d ¿f est – elle de classe C1 sur R2?

e) f est – elle différentiable sur R2?

f ¿ Etudier lacontinuit é deg en (0,0 )a aunnombre r é el.

2. Soit la fonction suivante : h :R3→R

( x , y , z )↦ h (x , y , z )= x+zx2+ y2−z2



a. Déterminer le domaine de définition de h

b. h a-t-elle une limite en (0, 0, 0) ? en (2, 0, -2) ?

3. Déterminer le domaine de définition de la fonction k et représenter une de

ses lignes de niveau :

k ( x , y )=Argch( 1+x1− y )

4. a) La fonction suivante admet – elle une limite en (0,0) ?

f ( x , y )=¿

b) A l’aide de la formule d’approximation d’ordre 1, calculer :

√sin2 1,55+8e0,05.

Exercice 2

1- Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition des

fonctions définies par :

f ( x , y )=ln ( x+ yx− y ); g ( x , y )=√1−( x− y )2

h ( x , y )= 1

√ y−√x; k ( x , y )=ln ( y

x2+ y2−1 )2- Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes :

f ( x , y )=x5−5 y2; g ( x , y )=x2+x+ y2h ( x , y )=x cos y ;

k ( x , y , z )=x2− y2−z2 ; p ( x , y , z )=x+ y+3 z

3- On considère la fonction u définie par :

u ( x , y )=4 y2−2 y+4 x2+x

a. Calculer u(−1 ;−1)

b. Déterminer l’équation de la courbe de niveau u=5

c. Déterminer le lieu des points M (x , y )∈ R2 tels que u ( x , y )≤2

4- Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité des fonctions

suivantes :

u ( x , y )= x2 y

x2+ y2 ;u ( x , y )={ x

4+ y4

x2+ y2 si ( x , y )≠ (0; 0 )

0 sinon

u ( x , y )={sin (x2 y )x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )

0 sinon



Exercice 3

1. On considère la fonction f définie par :

f ( x , y )={xy x2− y2

x2+ y2 si ( x , y )≠ (0 ;0 )

0 sinon

a¿Montrer que f est diff é rentiable en(0 ;0).

b¿Montrer que∂2 f

∂ x ð y(0; 0 ) et ∂2 f

∂ yð x(0 ;0 ) existent et les comparer .

2. Soit g la fonction de classe C2 définie par :

g :R2→R

( x , y )↦ g(x , y)

telle que :

g (0 ;0 )=∂ g∂ x

(0 ;0 )=∂ g∂ y

(0 ;0 )=∂2 g∂x2

(0 ;0 )= ∂2 g∂x ð y

(0 ;0 )= ∂2g∂ y2

(0 ;0 )=0

Montrer que la fonction h définie par :

h ( x , y )=g( x , y )x2+ y2

est continue. Indication : Utiliser la formule de Taylor.

Exercice 4

L’espace R3 étant rapporté à sa base canonique ( i , j , k ) les coordonnées d’un

point M de R3 sont notées ( x , y , z ) et on pose r2=x2+ y2+z2. On donne les champs

u1, u2, u3, u4 définis pour tout point M de R3− {(0,0,0 ) } par :

u1 (M )= kr; u2 (M )=z grad ( 1r ); u3 (M )=u1 (M )−u2 (M ) ; u4 (M )=u1 (M )+u2 (M ) .

1. Calculer en fonction de x , y , z et r les composantes de u1, u2, u3 , u4 et u5 .

2. Calculer les divergences des champs u1, u2, u3, u4 .

3. Calculer les composantes des vecteurs rot (u1) et rot (u2).

4. Calculer rot (u1)× rot (u2 ).

5. Vérifier que u4= grad f où f est une fonction de R3 dans R, définie par :

f ( x , y , z )= zr−1.

Exercice 5

Soit le champ vectoriel défini par :



V ( x , y , z )=φ (r ) (x i+ y j+z k )avec r=√x2+ y2+ z2

où φ est une fonction d’une variable différentiable.

1. Calculer ¿ V , rot V .

2. A quelle condition ¿ V=0? En déduire l’expression de φ .

Exercice 6

On considère la fonction f définie de R3 vers R par :

f ( x , y , z )= x y2 z3

1. Calculer df ( x , y , z ) et ∆ f / f .

2. En déduire l’incertitude ∆ z / z en fonction ∆ f / f , ∆ x / x et ∆ y / y.

3. Application : Un cône de révolution a un volume V=1789±2cm3 et pour

rayon r=10±0,05cm. Sachant que du cône est proportionnel à l’aire de sa

base et à sa hauteur et que π=3,14 ±0,01, calculer l’incertitude relative ∆ h/h

sur la mesure de la hauteur du cône. Donner un encadrement de h.

Chapitre 5

1. Les intégrales doubles

1.1. Définition

Soit f une fonction définie et continue sur un domaine plan D.

On appelle intégrale double de f de variables x et y dans le domaine D, le réel

défini par :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy .

L’intégrale double est donc l’intégrale d’une fonction de deux variables. Elle

nous permettra, entre autres, de calculer l'aire d'un domaine d'intégration,

ainsi que le volume d'un solide limité par les graphes de fonctions de deux

variables.


Intégrales double et triple


1.2. Propriétés essentielles des intégrales doubles

On a :

∬D

❑

f ( x , y )±g (x , y )¿ dxdy=¿∬D

❑

f ( x , y )dxdy ±∬D

❑

g ( x , y )dxdy

∬D

❑

cf ( x , y )dxdy=c∬D

❑

f ( x , y )dxdy avec c=cte r é elle

Si le domaine d’intégration D est partagé en deux domaines D1et D2, alors :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∬D 1

❑

f ( x , y )dxdy+∬D 2

❑

f ( x , y )dxdy

Soit la fonction f : D→R est intégrable sur D et f ≥0 alors :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy ≥0

Si f ≤ g et elles sont toutes intégrales sur D alors :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy ≤∬D

❑

g ( x , y )dxdy

Si f est définie sur D⊂R2→R et f est intégrable sur D alors on a :

|∬D

❑

f ( x , y )dxdy|≤∬D

❑

f ( x , y )dxdy

Si D1 ϲ D2et f : D2→R et f est intégrable surD2 avec f ≥0 alors

∬D1

❑

f ( x , y )dxdy ≤∬D 2

❑

f ( x , y )dxdy

Inégalité de CAUCHY-SCHAUVRZ pour les intégrales doubles

Soit f et g deux fonctions définies sur D ϲ R2 et intégrable sur D, alors f . g , f 2et g2

sont intégrables sur D et

(∬D

❑

fg)2

≤(∬D

❑

f 2)∙(∬D

❑

g2)Par Joël M. ZINSALO Page 59


1.3. Règles de calcul des intégrales doubles

On distingue trois types fondamentaux de domaine d’intégration.

1erCas :

Le domaine d’intégration D est tel que

D = {(x , y)∈R2/a≤x ≤b et c ≤ y ≤d} dans ce cas on a :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∫a

b

(∫c

d

f (x , y )dy)dx=∫c

d

(∫a

b

f ( x , y )dx )dyLe domaine D peut aussi s’écrire : D= [a ,b ]× [c ,d ] .


Calculer

I=∬D

❑

(x¿¿3¿ y+3 x y2)dxdy sur D={ (x , y )∈ R2/0≤x ≤2et 2≤ x≤3}¿¿

et J= ∬[0,1 ]× [0,1 ]

❑

( x+ y )dxdy .

I=∫0

2

(∫2

3

(x3 y+3 x y2 )dy )dx¿∫

0

2

( 12 x3 y2+ x y3)dx¿∫

0

2

( 52 x3+19 x)dx¿ [ 52 .

14x4+ 19

2x2]

0

2

¿¿

I= 48



J= ∬[0,1 ]× [ 0,1]

❑

( x+ y )dxdy=∫0

1

( y+12 )dy=1.

En conclusion le calcul d’une intégrale double est ramenée au calcul de deux

intégrales simples.

CAS PARTICULIER

Il peut arriver que f (x , y ) soit sous la forme f ( x , y )=g ( x ) . h ( y ) . Dans ce cas, on a

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=(∫a

b

g ( x )dx)×(∫c

d

h ( y )dy)Exercice d’application

Soit :

D= (x , y )∈ R2/0≤x ≤4et 1≤ y ≤e }et f ( x , y )=x2lny

Calculer donc∬D

❑

f ( x , y )dxdy .

I=(∫0

4

x2dx )×(∫1

e

ln y dy )¿ [ x3

3 ]04

×∫1

e

ln y dy

J=∫1

e

ln ydy

u' ( y )=1 ;u ( y )= y ;v ( y )=lny alors v ' ( y )= 1yJ= y lny−∫

1

2

y .1ydy

I=[ 43

3−0] . [e . ln e−e− (1 ln 1−1 ) ]

I=643∗1

I=643

2emeCAS :

Le domaine d’intégration est défini de la façon suivante :



D= {( x , y )∈R2/ a≤ x≤bet φ1 ( x )≤ y ≤φ2 ( x ) }

où φ1et φ2 sont des fonctions continues sur [a ,b ]. Alors on a :

∬D

❑

( x , y )dxdy=∫a

b (∫φ2(x)

φ1(x)

f ( x , y )dy)dx :

c’est le théorème de Fubini.

Onad’ abord calculé ∫φ2( x)

φ1( x)

f ( x , y )dy où x est considéré constant .

Exercice d’application :

I=∬D

❑

f ( x , y )dxdy où f ( x , y )=2x− y

D= {( x , y )∈R2/1≤x ≤2et x≤ y≤ x2 }

D=∫1

2 (∫x

x2

(2 x− y )dy)dx=∫1

2 ([2 xy−12y2]

x

x2

)dx=∫1

2

(2x3−12x4−2 x2+ 1

2x2)dx

¿ [24 x4−15×

12x3−3

2×

13x3]

1

2

¿ 910

.

3emeCas :

Il peut arriver que φ1et φ2 soient continues sur l’intervalle [c ,d ] et D se présente

comme suit

D= {( x , y )∈R2/φ1 ( y )≤ x≥φ2 ( y ) et c ≤ y ≤d }Alors on utilise le théorème de Fubini :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∫c

d

(∫φ1

φ2

f (x , y )dx)dyDans ce cas ,oncalcule d 'abord∫

φ1

φ2

f (x , y )dx où yest considéré constant .


Soit D= {f ( x , y )∈R2/x ≥1 , y ≥1et x+ y ≤3}


O


Calculer

I=∬D

❑1

( x+ y )3dxdy

On a donc :

D= {f ( x , y )∈R2/1≤ x≤3− y et 1≤ y≤2}

I=∫1

2

([ −13−1

×1

( x+ y )3−1 ]1

3− y

)dy¿∫

1

2

([−12

×1

( x+ y )2 ]13− y

)dy¿−1

2∫

1

2

( 1(3− y+ y )2

− 1(1+ y )2 )dy

¿−12∫

1

2

( 19− 1(1+ y )2 )dy

I=−12

×[ 19 y+ 11+ y ]1

2

= 136

I= 136

On peut aussi dire que :

D= {f ( x , y )∈R2/1≤ y≤3−xet 1≤ x≤2}



Par suite, on a :

I=∫1

2

([ −13−1

×1

( x+ y )3−1 ]1

3−x

)dx¿∫

1

2

([−12

×1

( x+ y )2 ]13− x

)dx¿−1

2∫

1

2

( 1( x+3−x )2

− 1( x+1 )2 )dx

¿−12∫

1

2

( 19− 1( x+1 )2)dx

I=−12

×[ 19 x+ 1x+1 ]1

2

= 136

I= 136

Exercice

D= {( x , y )∈R2/ x≥0 ; y ≥0et x+ y ≤1}Calculer

I=∬D

❑

f ( x , y )dxdy avec f ( x , y )=x2+ y2

On a :0≤ x≤1∨ y ≥0et x+ y≤1 ;0≤ y et y≤1−x

On a donc :

{ 0≤ x≤10≤ y ≤1−x


1

y

1 xO

D


Alors

I=∫0

1

(∫0

1−x

(x2+ y2 )dy)dxI=∫

0

1

([ x2 y+13y3]

0

1− x)dxI=∫

0

1

( x2 (1−x )+ 13(1−x )3)dx

I=[ x3

3−x4

4−

112

(1−x )4 ]0

1

I=16

1.4. Interprétation géométrique de l’intégrale double

Soit f une fonction de variables x et y. définie et continue dans une certaine

région du plan xOy .

Soit z=f (x , y ) définie et continue dans une certaine région du plan xOy .

Considérons dans cette région un domaine D limité par une courbe fermée (C ) .

La fonction z=f (x , y ) est représentée par une surface Σ et le cylindre droit de

génératrices parallèles à (Oz ) et qui a pour base la courbe (C ) rencontre cette

surface suivant une courbe (Γ ) .



Figure : Interprétation géométrique de l’intégrale double

Considérons dans le plan xOy deux familles de droites parallèles. Une première

famille est constituée par des droites parallèles à (Oy ) régulièrement espacées

de dx.

Une seconde famille est constituée par des droites parallèles à (Ox )

régulièrement espace de dy .

Le domaine D est ainsi découpé en domaines élémentaires, l’aire d’un domaine

élémentaire étant dS=dxdy.

La quantité dV=f (x , y )dxdy représente, à des infiniment petits du 2nd ordre près,

par rapport à dS, le volume intérieur au cylindre élémentaire de base dS et

limité transversalement par le plan xOy d’une part et par la surface Σ d’autre

part.

Le volume V intérieur au cylindre de base (C) et limité par le plan xOy et la

surface Σ est égale à la somme des volumes élémentaires dV .



Cette somme, notée :

dV=∬D

❑

f (x , y )dxdy

est appelée intégrale double de f (x , y ) étendue au domaine D.

Le domaine D est appelé domaine d’intégration.

Si f ( x , y )=1 ,l' intégrale double∬D

❑

dxdy représente la sommedes aires élémentaires

dS, c'est-à-dire l’aire du domaine D. On note :

Ą (D )=∬D

❑

dxdy=airedudomaine D

Exercice

1. Calculer le volume du corps limité par les surfaces y=1+x2, z=3 x, y=5, z=0

et situé dans le 1er octant.

2. Calculer :

I=∬D

❑

(x− y )dxdy , si≤domaine Dest limité par leslignes y=2−x2 et y=2x−1.

J=∬D

❑

( x+2 y )dxdy si≤domaine D est limité par les droites y=x , y=2x , x=2 , x=3.

K=∬D

❑

xy √x2+4 y2dxdy siD={( x , y )∈R2/0≤ x≤1et 0≤ y ≤√1−x2 }

1.5. Changement de variables dans une intégrale double.

1.5.1. Les C1 difféomorphismes

Soit Φ une fonction à double variables x et y ,

Soient U et V deux domaines ouverts de R2 .

Supposons que Φ :U→V est une application.



Soient P et Q deux applications définies sur U→R telles que :

∀ ( x , y )∈U ,Φ ( x , y )=(P (x , y ) ,Q ( x , y ) ) .

On dit que Φ est unC1 difféomorphisme si et seulement si les conditions

suivantes sont vérifiées :

{ Φest de classeC1 surUΦest bijective

Φ−1est declasse C1 sur V

On appelle matrice jacobienne de Φen ( x , y )la matrice carrée d’ordre 2 notée

JΦ ( x , y ) définie par :

JΦ ( x , y )=(∂ P∂ x

( x , y ) ∂ P∂ y

(x , y )

∂Q∂ x

(x , y ) ∂Q∂ y

( x , y ))On appelle Jacobien ou déterminant jacobien de Φen ( x , y ) le déterminant de

la matrice jacobienneJΦ ( x , y ) noté dét [JΦ ( x , y ) ]. On a :

dét [JΦ ( x , y ) ]=|∂ P∂ x ( x , y ) ∂P∂ y

( x , y )

∂Q∂ x

( x , y ) ∂Q∂ y

( x , y )|dét [JΦ ( x , y ) ]=∂ P

∂x(x , y ) ∙ ∂Q

∂ y( x , y )−∂ P

∂ y( x , y ) ∙ ∂Q

∂ x( x , y )

Le Jacobien se note aussi :

J ouD(u , v )D (x , y )

.

De façon générale, le changement de variables dans une intégrale double

s’effectue de la façon suivante :

∬Φ(D )

❑

f ( x , y )dxdy=∬D

❑

f (Φ(u ,v)) ∙|dét [ JΦ ( x , y ) ]|dudv .



On peut quelquefois utiliser une symétrie simultanée du domaine D et de la

fonction f pour réduire l’intégrale double de f .

1.5.2. Changement de variable en coordonnées polaires

La transformation d’une intégrale double lorsqu’on passe des coordonnées

cartésiennes x et y aux coordonnées polaires ρ et θ liées par la relation :

{x=ρ cosθy=ρ sinθ

se réalise d’après la formule suivante :

∬D

❑


❑

f ( ρcos θ ,ρ sin θ ) ρdρdθ .

En effet, désignons par Φ : (θ , ρ )↦ ( ρ cosθ , ρ sin θ ). Ici, P ( x , y )=ρcos θ et

Q ( x , y )= ρsin θ .

Le Jacobien est :

dét [JΦ ( x , y ) ]=|∂ P∂ x ( x , y ) ∂P∂ y

( x , y )

∂Q∂ x

( x , y ) ∂Q∂ y

( x , y )|=|− ρsin θ cosθρ cosθ sinθ|=−ρ

alors :

∬D

❑


❑

f ( ρcos θ ,ρ sin θ ) ρdρdθ .

Si le domaine d’intégration est limité par deux demi-droites et θ=θ1 et θ=θ2 avec

θ1<θ2 et par deux courbes ρ=ρ1 (θ )et ρ= ρ2 (θ ) où ρ1 (θ ) et ρ2 (θ ) sont des fonctions

uniformes pour θ1≤θ≤θ2 et ρ1 (θ )≤ρ2 (θ ), alors l’intégrale double se calcule par la

formule suivante :

∬D

❑

F ( ρ ,θ ) ρdρdθ=∫θ1

θ2

dθ(∫ρ1 (θ )

ρ2 (θ )

F ( ρ ,θ ) ρdρ)où F ( ρ ,θ )=f ( ρ cosθ , ρ sinθ )



Dans ces conditions, on calcule d’abord, l’intégrale :

∫ρ1 ( θ)

ρ2( θ)

F ( ρ,θ ) ρdρ dans laquelle θ est considéréeconstante .

1.5.3. Intégrale double en coordonnées curvilignes

Soit à transformer en passant des coordonnées cartésiennes x , y aux

coordonnées curvilignes liées par :

{x=x (u , v )y= y (u , v )

où les fonctions x (u , v )et y (u , v ) admettent des dérivées premières continues

dans un domaine D' du plan uO' v et le Jacobien de la transformation dans D’ ne

s’annule pas :

J=|∂ x∂u ∂x∂v

∂ y∂u

∂ y∂v|≠0.

Dans ces conditions, la formule de transformation d’une intégrale double est de

la forme :

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∬D'

❑

(x (u , v ) , y (u , v ) )|J|dudv .

EXERCICE D’APPLICATION

1. En passant aux coordonnées polaires calculer :

I 1=∬D

❑

√ x2+ y2dxdy siD est≤premier quadrant dudisque x2+ y2≤a2 .

2. Calculer :

I 2=∬D

❑

( x+ y )3 ( x− y )2dxdy



siD est≤carr é e limite par les droites x+ y=0 ;x− y=0 ; x+ y=3 ; x− y=−1

3. Calculer

I 3=∬D

❑

x2 y2dxdy avec D= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤1}

4. Calculer :

I 4=∬D

❑

(x2+ y2 )dxdy

où D={( x , y )∈R2/x ≥0et x2+ y2−2 y≤0}

Solution

Calculons les intégrales données.

I 1=∬D

❑

(√x2+ y2 )dx dy avecDest≤premier quadrant dudisque x2+ y2≤a2

En cordonnées polaires, on a :

{x=ρcosθy=ρsinθ

∬D

❑

(√ x2+ y2) dxdy=∫a

π2

dθ∫0

a

¿¿¿

¿∫0

π2

dθ∫0

a

ρ2dρ

¿ a3

3∫0

π2

dθ

I 1=π a3

6

I 2=∬D

❑

( x+ y )3 ( x− y )2dxdy

où D est un carré limité par

x− y=1

x+ y=3

x+ y=1

x− y=−1

Posonsu=x+ yet v=x− y on aura :

u=1; v=1u=3 ; v=−1



{u= x+ yv=x− y

⇒{ x=12(u+v )

y=12(u−v )

Alors le jacobien de la transformation est :

J=|∂ x∂u ∂x∂v

∂ y∂u

∂ y∂v|=|12 1

212−12|=−1

2

|J|=12

I 2=∬D

❑

( x+ y )3 ( x− y )2dxdy=12∬D'

❑

u3 v2dudv

Vu le fait que le domaine D’ est lui aussi un carré, on a :

I 2=12∫

1

3

u3du∫−1

1

v2dv=12∫1

3

u3[ 13 v3]−1

1

du=16∫1

3

u3 [1+1 ] du=203

I 2=203

I 3=∬D

❑

x2 y2dxdy avec D= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤1}

I 3=∬D

❑

x2 y2dxdy

D= {( x , y )∈ R2/ x2+ y2≤1}

Posons :



{x=ρcosθy=ρsinθ

0≤ ρ≤1 , θ≤θ≤2π

I 3=∫0

2π

∫0

1

( ρcosθ )2 ¿

¿∫0

2π

(sinθcosθ )2dθ∫0

1

ρ5dρ

¿ 16∫

0

2π

(12 sin 2θ)2

dθ= 124∫0

2π

sin2 (2θ )dθ= 148∫0

2π

(1−cos 4θ )dθ

I 3=π

24

I 4=∬D

❑

(x2+ y2 )dxdy

D= {( x , y )∈R2/ x≥0et x2+ y2−2 y ≤0}

{x2+ y2−2 y ≤0x≥0

⇒ {( x−0 )2+ ( y−1 )2−2 y ≤0x≥0

Posons{x=ρcosθy=ρsinθ

Pour ρ>0 , x2+ y2−2 y≤0⇔ρ2−2 ρ sinθ ≤0⇔ρ≤2sin θ soit 0≤ ρ≤2sin θ .

Or x≥0⇔ρcosθ≥0.Puisque ρ>0 , alors cosθ ≥0.

cosθ ≥0⇔cosθ≥ cosπ2⇔0≤θ≤

π2.

Le domaine d’intégration devient :

{0≤ ρ≤2 sinθ

0≤θ≤π2



I 4=∫0

π2

¿¿

I 4=∫0

π2

(1−cos2θ )2dθ=∫0

π2

(1−2cos2θ+1+cos4θ2 )dθ=3

2π2=3 π

4

I 4=3 π4

1.6. Applications des intégrales doubles

Calcul de la Masse

Soit ρ(x , y) la densité de masse ou densité superficielle d’un domaine D. La

masse totale de D est donnée par :

M=∬D

❑

ρ(x , y )dx dy .

Moments d’ordre 1 ou moments statiques

On a :

M x=∬D

❑

y ρ(x , y )dxdy .

M y=∬D

❑

x ρ(x , y)dx dy .

Calcul des coordonnées du centre de gravité

On a :

xG=M y

M=∬D

❑

x ρ( x , y )dx dy

∬D

❑

ρ(x , y)dx dy

yG=M x

M=∬D

❑

y ρ(x , y)dx dy

∬D

❑

ρ(x , y )dx dy

Calcul des Moments d’inertie

Le moment d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy) sont respectivement :



I x=∬D

❑

y2ρ( x , y )dx dy

I y=∬D

❑

x2 ρ(x , y )dx dy

Le moment d’inertie par rapport à l’origine des coordonnées ou

moment d’inertie polaire est donné par :

IO=I x+ I y=∬D

❑

(x2+ y2 ) ρ(x , y)dx dy

Le moment d’inertie par rapport à un point A est par définition le réel défini

par :

I A=∬D

❑

((x−xA )2+( y− y A )

2 ) ρ(x , y)dx dy

Pour un domaine homogène, la densité superficielle n’est plus variable c’est-à-

dire ρ ( x , y )=ρ=cte .

Pour des figures planes, on a : ρ ( x , y )=ρ=1.

Formule de Huygens

Soit (D , ρ) un système matériel. G le centre de gravité de (D , ρ ) .

H un point ou une droite ou un plan.

HG parallèle à H et passant par G.

d la distance de H à HG

M la masse de (D , ρ ) .

IH le moment d’inertie de (D , ρ) par rapport à H

IHG le moment d’inertie de (D , ρ) par rapport à HG

On a :

IH=I HG+M ∙d2

Exercice 1



Calculer les coordonnées du centre de gravité de chacune des figures limitées

par :

1¿ l' ellipse x2

25+ y2

9=1et par sacorde

x5+ y

3=1.

2¿ leslignes y2=4 x+4 , y2=−2 x+4.

Exercice 2

1) Calculer le moment d’inertie polaire de la figure délimitée par les lignes

d’équations :

xa+ yb=1, x=0 , y=0.

2) Calculer le moment d’inertie de la figure limitée par la cardioïde

ρ=a (1+cosθ ) par rapport à l’axe Ox .

2. Les intégrales triples

2.1. Définition et méthode de calcul

Soit f une fonction définie sur D⊂R3 . On appelle intégrale triple la quantité

notée :

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz .

La détermination de cette intégrale triple se fait de façons similaires au calcul

d’intégrale double en commençant par les fonctions étagées sur les pavés.

La formule de FUBINI possède deux formes distinctes :

- soit en prenant une intégrale simple d’une intégrale double sur le domaine

D :

D= {( x , y , z )∈R3/a1≤x ≤b1;a2≤ y ≤b2;a3≤ z≤b3 }

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz=∫a1

b1 ( ∬a2≤ y ≤b2

a3≤ y ≤ b3

f ( x , y , z )dydz )dxet il ya trois façons de procéder ainsi : on parle alors de procédé de

sommation par tranches.



- soit en prenant une intégrale double d’une intégrale simple

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz= ∬a1 ≤ y ≤b

1

(a2≤ x≤ b2)

❑ (∫a3

b3

f ( x , y , z )dz)dxdyet il y a trois façons de procéder ainsi : on parle alors de procédé de

sommation par piles.

On en déduit bien sur un procédé de sommation à l’aide de 3 intégrales

simples, de 6 façons possibles :

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz=∫a1

b1 (∫a2

b 2 (∫a3

b3

f ( x , y , z )dz )dy)dxThéorème

On suppose qu’il existe deux fonctions φ1et φ2 continues et définies sur [a ,b ]

telle que c ≤φ1(x)≤φ2(x)≤d. De plus, on suppose qu’il existe deux fonctionψ1 et ψ2

continues sur [a ,b ]× [c ,d ] telle que l’on puisse écrire le domaine D de la façon

suivante :

D= {( x , y , z )∈R3/a≤x ≤b ,φ1 (x )≤ y≤φ2 ( x ) et ψ1 ( x , y )≤ z≤ψ2 ( x , y ) }.

Si f est intégrable surD alors on a :

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz=∫a

b ( ∫φ1(x)

φ2(x) ( ∫ψ 1 ( x, y )

ψ 2 ( x, y )

f (x , y , z )dz)dy )dxC’est la formule de Fubini totale.

Formule de Fubini partielle

On suppose qu'il existe une fonction qui à tout z∈ [a ,b ] associe un domaine

Ω z⊂R2. On définit un autre domaine Ω⊂R3 par :

Ω={( x , y , z )∈R3 ,a≤ z≤b , ( x , y ) }∈Ωz .

S la fonction f est intégrable, alors on a :

∭Ω

❑

f (x , y , z )dxdydz=∫a

b

(∬Ωz

❑

f ( x , y )dxdy )dz .C’est la formule de Fubini partielle.

Théorème

Soit D le parallélépipède [a ,b ]× [c ,d ]× [γ , δ ]. Si



∀ ( x , y , z)∈D , f ( x , y , z )=g(x )∙ h( y) ∙l(z )

où g , h , l sont des fonctions continues sur [a ,b ] , [c ,d ] et [γ , δ ] respectivement,

alors :

∭D

❑

f (x , y , z )dx dy dz=(∫a

b

g (x)dx)(∫a

b

h( y )dy)(∫a

b

l(z )dz)2.2. Interprétation physique de l’intégrale triple

Soit dans l’espace rapporté à un système d’axes de coordonnées cartésiennes

un corps solide hétérogène.

Si l’on considère une portion du solide de volume ∆V et de masse ∆ m, sa

masse spécifique ou masse volumique est ∆ m/∆V . Elle dépend de la région

considérée. Etant donné un point P du corps solide et une portion de ce solide

de volume ∆V et de masse ∆ m entourant le point P, on appellera masse

spécifique au point P la limite de ∆ m/∆V quand le volume ∆V tend vers zéro

dans ses trois dimensions.

Figure : Interprétation physique de l’intégrale triple



La masse spécifique au point P apparaît alors comme une fonction de ce point,

c'est-à-dire une fonction des trois variables x, y , z coordonnées du point P :

ρ=f ( x , y , z ) .

Au moyen de trois familles de plans parallèles aux plans de coordonnées nous

pouvons découper le volume V du corps solide en volumes élémentaires :

dV=dx dy dz .

La masse d’un tel volume élémentaire est :

dm= ρdV=f ( x , y , z )dxdy dz .

et la masse totale est la somme des masses élémentaires. Cette somme,

notée :

∭V

❑

f (x , y , z )dx dy dz

est appelée intégrale triple étendue au volume V de la fonction f ( x , y , z ). Le

volume V est le domaine d’intégration.

La fonction f ( x , y , z ) envisagée ci-dessus est toujours positive puisqu’elle

représente une masse spécifique. Mais la définition de l’intégrale triple est

évidemment générale et s’applique à une fonction de signe quelconque.

Exercice

Calculer :

1. I 1=∭D

❑

z dx dy dz

où le domaine D est défini par les inégalités :

0≤ x≤12, x ≤ y≤2x ,0≤z ≤√1− x2− y2

2. I2=∭D

❑

xyz dx dy dz


x≥0 , y ≥0 , z ≥0 , x2+ y≤1.



Solution

Calculons :

1. I 1=∭D

❑

z dx dy dz


0≤ x≤12, x ≤ y≤2x ,0≤ z ≤√1− x2− y2

I 1=∫0

12

dx∫x

2x

dy ∫0

√1− x2− y2

z dz=12∫0

12

dx∫x

2x

[ z2 ]0√1−x2− y2

I 1=12∫

0

12

dx∫x

2 x

(1−x2− y2 )dy=12∫0

12

[ y− y x2−13y3]

x

2x

I 1=12∫

0

12

(2 x−2 x3−83x3−x+x3+ 1

3x3)dx

I 1=12∫

0

12

(x−103

x3)dx=12 [ 12 x2−5

6x4]

0

12=1

2 ( 18−56− 1

16 )= 7192

I 1=7

192

2. I2=∭D

❑

xyz dx dy dz


x≥0 , y ≥0 , z ≥0 , x2+ y≤1.

I 2=∫0

1 ( ∫01− x2

(∫0

y

xyz dz )dy )dxI 2=∫

0

1 ( ∫0

1− x2

12x y3dy)dx



I 2=∫0

112x(1−x2 )4

4dx

I 2=[−180

(1−x2 )5]0

1

= 180

2.3. Changement de variables

Si, lors du calcul d’une intégrale triple, on a besoin de passer des variables x, y,

z aux nouvelles variables u, v, w liées aux premières par les relations x=x (u , v ,w )

, y= y (u , v ,w ), z=z (u , v ,w ) où x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) et z (u , v ,w ) et leurs dérivées

premières sont des fonctions qui établissent une correspondance biunivoque et

bicontinue entre les points du domaine D de l’espace Oxyz et les points d’un

certain domaine D’ de l’espace Ouvw, et que le jacobien J ne s’annule pas dans

le domaine D’ :

J=|∂ x∂u

∂x∂v

∂ x∂w

∂ y∂u

∂ y∂v

∂ y∂w

∂z∂u

∂ z∂v

∂ z∂w|≠0 ,

et que f ( x , y , z )=f (x (u , v ,w ) ; y (u , v ,w ); z (u , v ,w )), alors on se sert de la formule

suivante :

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz= ∭(u ,v , w)∈D '

❑

f (x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) , z (u , v ,w ) ) .|J|dudvdw

2.3.1. Passage en coordonnées cylindriques

Un point M (x , y , z )de R2 est repéré par un système de coordonnées cylindriques

(θ , ρ , z ) où (θ , ρ) est un système de coordonnées polaires de la projection

orthogonale m de M sur le plan xOy .



Figure : Passage en coordonnées cylindriques

On a ainsi les formules de changement de variables :

{x=ρ cosθy=ρ sinθ

z=z

Le jacobien J peut être calculé :

J=|∂ x∂θ

∂x∂ ρ

∂ x∂z

∂ y∂θ

∂ y∂ ρ

∂ y∂z

∂ z∂θ

∂ z∂ ρ

∂z∂ z|=|−ρ sinθ cosθ 0

ρ cosθ sinθ 00 0 1|=−ρ

On retiendra que pour passer en coordonnées cylindriques dans une intégrale

triple, on remplacera dxdydz par|J|dθdρdz soit ρdθdρdz .

2.3.2. Passage en coordonnées sphériques

Un point M (x , y , z )∈R3 est repéré par un système de coordonnées sphériques

(θ , ρ ,φ ) où ou ρ=OM et θ est l’angle polaire de la projection orthogonale m de M

est la projection orthogonale sur le plan xOy (orienté directement) et OM .

On impose de façon classique θ∈ [0,2 π ] ouθ∈ [−π ; π ] et φ∈[−π2 ;π2 ].



Figure : Passage en coordonnées sphériques

On a ainsi les formules de changement de variables suivantes :

{x=ρ cosθ cos φy=ρ sinθ cosφ

z=ρ sinφ

et le jacobien J est :

J=|∂ x∂θ

∂x∂ ρ

∂ x∂φ

∂ y∂θ

∂ y∂ ρ

∂ y∂φ

∂z∂θ

∂ z∂ ρ

∂z∂φ|=|−ρ sinθcosφ ρ cosθ cosφ −ρ cosθ sinφ−ρ cosθ cos φ ρsinθ cos φ −ρ sinθ sinφ

0 sinφ ρ cos φ |

J=−ρ2cos φ

On retiendra que :

Pour passer en coordonnées sphériques, on remplace dxdydz par ρ2|cos φ|dθdρdφ.

On peut aussi utiliser les formules de changement de variable suivante :

{x=ρ sin θ cosφy=sin θ sinφz= ρcos θ

dxdydz=ρ2|sinθ|dθdρdφExercice d’application :

1) Calculer :

I 1=∭D

❑

|x2− y2|dxdydz où D= {( x , y , z )∈R3/0≤ z ≤1et x2+ y2≤ z }

on passera en coordonnées cylindriques



2) Calculer

I 2=∭D

❑

(x2+ y2+x2)dxdydzou D={( x , y , z )∈ R3/ x2+ y2+z2≤1}

3) Calculer

I 3=∭D

❑

(x2+ y2)dxdydz où Dest lamoitié supérieure de laboule x2+ y2+z2≤ R2

4) Calculer

I 4=∭D

❑

x2dx dydz où Dest laboule x2+ y2+z2≤R2

5) Calculer

I 5=∭D

❑

z√ x2+ y2dx dy dz

où D est limité par le cylindre x2+ y2=2xet les plans y=0 , z=0 , z=a.

2.4. Applications des intégrales triples

Le volume d’un corps qui occupe un domaine D est donné par la formule :

V=∭D

❑

dxdy dz

Si la masse volumique de ce corps est une grandeur variable ρ=ρ (x , y , z ) alors la

masse se calcule par la formule :

M=∭D

❑

ρ ( x , y , z )dx dy dz

Les coordonnées du centre de gravité du corps sont déterminées par les

formules :

xG=∭D

❑

ρ ( x , y , z ) x dxdy dz

∭D

❑




yG=∭

D

❑

ρ ( x , y , z ) y dx dy dz

∭D

❑


zG=∭D

❑

ρ ( x , y , z ) z dxdy dz

∭D

❑

ρ (x , y , z )dx dydz

Les moments d’inertie par rapport aux axes des coordonnées sont

respectivement :

I x=∭D

❑

( y2+z2 )dx dydz

I y=∭D

❑

(x2+ z2 )dx dy dz

I z=∭D

❑

(x2+ y2 )dx dy dz

Le moment d’inertie d’un solide ou d’un corps de masse volumique ρ ( x , y , z ) par

rapport à un axe ∆ est par définition le réel défini par :

I∆=∭D

❑

ρ ( x , y , z ) ( (x−xH )2+( y− yH )

2+( z−zH )2 )dx dy dz

où H est le projeté de M sur ∆ .

Exercice

1) Calculer les coordonnées du centre de gravité du corps prismatique limité

parles plans x=0, z=0, y=1, y=3, x+2 z=3.

2) Calculer les moments d’inertie par rapport aux plans de coordonnées et par

rapport aux axes de coordonnées du solide homogène (S ,μ ) où S est

l’ellipsoïde plein défini par :

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 ≤1oùa ,bet c sont desréels positifsnonnuls fixés .



CHAPITRE 6

LES INTEGRALES CURVILIGNES ET

LES INTEGRALES DE SURFACE

1. Courbes paramétrées

1.1. Définitions et interprétations

On appelle courbe paramétrée la donnée d’une fonction de R dans R2 telle que

f :R⟶ R2

t⟼ {x ( t )y (t )

Ceci permet de décrire un ensemble de point facilitant le moyen de trouver les

points de cet ensemble.

Trouver une paramétrisation c’est trouver une courbe paramétrique qui décrit

un ensemble de points.

Une courbe paramétrique peut aussi s’interpréter comme la description d’un

point du plan en fonction du temps dans un certain domaine.



Sur une même courbe, on peut bouger de plusieurs manières et on en déduit

qu’il y a une infinité de paramétrisations possibles.

Exemple :

Soit Γ1 la courbe paramétrée définie par :

{x ( t )=3 t−2 t2−1¿ y (t )=−t+t 2+1

avec t∈R .

1.2. Paramétrage classique

1.2.1. Segment

On peut décrire le segment joignant les points A (a1 , a2) et B (b1 , b2 ) soit en termes

de barycentre M= ¯{(A ,1−t ) ; (B ,t ) } soit en écrivant AM=t AB avec t∈ [0,1 ]

On est donc parti de A pour arriver à B. La paramétrisation classique dans ce

cas s’écrit :

{x ( t )=(1−t )a1+t b1=a1+t (b1−a1 )y ( t )= (1−t )a2+t b2=a2+t (b2−a2 )

1.2.2. Ellipse

Les courbes d’équations :

( x−α )2

a2 +( y−β )2

b2 =1

sont des ellipses de centre A(α ; β) d’axes (ox ) et (oy ). La paramétrisation

classique pour les ellipses est la suivante :

{x ( t )=α+acos ty ( t )=β+b sin t



On remarque si a2=b2 alors on a un cercle.

1.2.3. Parabole

Les courbes d’équations k (x−a)2+b= y sont des paraboles de sommet A (a ,b ) et

dont l’axe de symétrie est parallèle (Oy). On peut choisir :

{ x ( t )=ty (t )=k (t−a)2+b

ou

{ x ( t )=t+ay ( t )=k t2+b

Les courbes d’équations k ( y−a)2+b=x sont les paraboles de sommet B(b ;a) et

dont l’axe de symétrie est parallèle à (Ox).

On peut choisir :

{x (t )=k (t−a)2+by (t )=t

ou

{x ( t )=k t 2+by ( t )=t+a

1.2.4. Hyperbole

Les courbes d’équations :

( x−α )2

a2 −( y−β )2

b2 =1

sont des hyperboles de centre A(α ; β) d’axes (Ox ) et (Oy) et d’asymptotes les

droites d’équations :

x−αa− y−β

b=0 et

x−αa+ y−β

b=0.



On peut choisir :

{ x ( t )= acos t

+α

¿ y ( t )=b tan t+ β

1.3. Courbes paramétrées en polaire

On donne parfois les paramétrisations en polaire de la forme r=ρ (θ ) . On a

alors :

{ x (θ )=ρ (θ )cosθ¿ y (θ )=ρ(θ)sin θ

Les coniques peuvent s’écrire de la forme :

r=a

1−bcos (θ−φ )avec{ b≥0

a∈Rφ∈ [−π ; π ]

sont fixés .

Si b=0 on a un cercle de centre O ¿) et de rayon |a|.

Sinon, on a une conique dont un des axes (l'axe focal) est dirigé par la

droite passant par (0 ;0) et d'angle φ par rapport à l'axe (Ox).

Si b=1 c’est une parabole

Si b∈ [0;1 ] c’est une ellipse

Si b¿1 c’est une hyperbole

2. Les intégrales curvilignes

2.1. Définitions et généralités

Soit P(x , y) une fonction de variables x et y continue sur un domaine D⊂R2 avec

y=f ( x ) où f est une fonction continue sur [a;b ] et AB étant l’arc de courbe

d’équation y=f (x ) contenu dans D.



L’intégrale :

I=∫AB

❑

P ( x , y )dx

est appelée intégrale curviligne de P ( x , y ) le long de l’arc AB et c’est par

définition l’intégrale :

I=∫a

b

P (x , f ( x ) )dx .

De même si on considère la fonction inverse de f ( x ) soit x=f−1 ( y )=φ ( y ),

l’intégrale curviligne

H=∫AB

❑

Q ( x , y )dy

prise le long de l’arc AB n’est autre que

H=∫f (a)

f (b )

Q (φ ( y ) , y )dy .On appelle intégrale curviligne générale l’expression :

J=∫AB

❑

P ( x ; y )dx+Q ( x ; y )dy

qui représente la somme des intégrales définies I et H .


Figure 2


Généralisation au cas d’un contour quelconque

Généralisons d’abord au cas où l’arc AB a l’allure indiquée sur la figure ci-

après :

Les conditions imposées à f ne sont plus satisfaites. Il suffit alors de

décomposer le domaine d’intégration AB en autant d’arcs partiels où f est

monotone. On aura l’intégrale curviligne.

∫AB

❑

❑=∫AC

❑

❑+∫CD

❑

❑+∫DE

❑

❑+∫EB

❑

❑

Si AB peut avoir une représentation paramétrique :

{x=x (t )y= y (t )

l'intégrale curviligne sur l’arc AB

∫AB

❑

P ( x ; y )dx+Q ( x ; y )dy

s’exprime également par :

∫t0

t

φ ( t )dt

où φ (t )=P ( x ; y ) x ' (t)+Q ( x ; y ) y ' (t)



dont la valeur reste indépendante de la représentation choisie.

2.2. Intégrales curvilignes de 1 ere espèce

On appelle intégrale curviligne de 1ere espèce l’intégrale curviligne de f de

variable x et y prise le long de l’arc AB. Elle se calcule d’après la formule

suivante :

∫AB

❑

f ( x , y )ds=∫a

b

f (x ,φ ( x ) )√1+[φ ' ( x ) ]2dx

avec {a≤ x≤by=φ ( x )

Si la courbe est donnée par ces équations paramétriques

{ x=x( t)¿ y= y (t )

avec t 1≤ t ≤ t2, alors l’intégrale curviligne de 1ere espèce est calculée par :

∫AB

❑

f ( x , y )ds=∫a

b

f (x (t ) , y (t ) )√ [ x ' (t ) ]2+[ y' (t ) ]2dt .

D’une façon analogue, on détermine et on calcule l’intégrale curviligne de 1ere

espèce d’une fonction f (x , y , z) prise le long d’une courbe d’équations

paramétriques :

{x=x (t)y= y (t )z=z (t)

par la formule :

∫AB

❑

f ( x , y , z )ds=¿∫a

b

f (x (t ) , y ( t ) , z (t ) )√ [x ' ( t ) ]2+[ y ' (t ) ]2+[ z ' (t ) ]2dt ¿

ds étant la différentielle de l’arc AB.



Interprétation physique

Si f (x , y )>0, alors l’intégrale curviligne de première espèce donnée par :

∫AB

❑

f ( x , y )ds

représente la masse de la courbe AB de densité linéaire variable ρ=f ( x ; y ) .

Propriétés

P1 : L’intégrale curviligne de 1ere espèce est indépendante du sens de parcours

du chemin d’intégration

∫AB

❑

f ( x , y )ds=∫BA

❑

f ( x , y )ds

P2:∫AB

❑

[f 1 ( x , y )± f 2 (x , y ) ]ds=∫AB

❑

f 1 ( x , y )ds± ∫AB

❑

f 2 ( x , y )ds

P3:∫AB

❑

cf ( x , y )dx=c∫AB

❑

f ( x , y )dxoùc∈R

P4 : Si la courbe d’intégration K est décomposée en deux parties K1 et K2 alors

∫K

❑

f ( x , y )ds=∫K 1

❑

f 1 ( x , y )ds+∫K 2

❑

f 2 ( x , y )ds .

2.3. Intégrale curviligne de 2 ieme espèce

Soit P ( x , y ) et Q ( x , y ) 2 fonctions continues aux points de l’arc AB d’une courbe

lisse K régie par l’équation y=φ ( x ) avec a≤ x≤b.



L’intégrale curviligne de 2ieme espèce de l’expression P ( x , y )dx+Q (x , y )dy

prise le long de l’arc orienté AB est le travail accompli par la force variable

F=P ( x , y ) i+Q ( x , y ) j le long du chemin curviligne AB. Elle est notée :

∫AB

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy .

Propriétés

P1 : Intégrale curviligne de 2ieme espèce change de signe lorsqu’on change de

sens du parcours du chemin d’intégration :

∫BA

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=−∫AB

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy

P2:∫AB

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=∫AB

❑

P ( x , y )dx+∫AB

❑

Q ( x , y )dy

L’intégrale curviligne de 2ieme espèce se calcule d’après la formule suivante :

∫AB

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=∫a

b

[P (x ,φ ( x ) )+φ' (x )Q (x ,φ ( x ) ) ]dx

avec {a≤ x≤by=φ ( x )

Si la courbe est donnée par ses équations paramétriques :

{x=x ( t )y= y (t )z=z ( t )

où t 1≤ x≤ t2

Alors

∫AB

❑

P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz=∫t 1

t 2

[ x ' ( t )P (x (t) , y (t) , z (t))+ y ' (t )Q (x (t ), y (t ), z (t))+z ' (t )R (x ( t) , y (t ), z (t)) ]dt

Exercice



1- Calculer I=∫K

❑

( x− y )ds où K est un segment de droite compris entre A (0,0 ) et

B(4,3).

L’équation de la droite (AB) est :

y= 43x et ona y '=4

3.

Par conséquent :

I=∫K

❑

( x− y )ds=∫0

4

( x−43x)√1+( 43 )

2

dx= 516∫0

4

x dx=52

2- Calculer la masse de l’arc de courbe { x (t )=t

y (t )=12t 2

z (t )=13t 3

où0≤ t ≤1 dont la densité

linéaire varie suivant la loi ρ=√2 y .

On a :

M=∫K

❑

ρ ds=∫K

❑

√2 y ds=∫0

1

√212t2 ∙√[ x ' ( t ) ]2+[ y ' (t ) ]2+[ z ' (t ) ]2dt

M=∫0

1

t √1+t 2+ t 4dt=12∫0

1

√(t2+ 12 )

2

+ 34d (t 2+ 1

2 )

M=12 [ t 2+ 1

22√1+ t2+t 4+

38

ln(t 2+12+√1+t 2+t 4)]

0

1

M=18 (3√3−1+ 3

2ln

3+2√33 ) .

3- Calculer les coordonnées du centre de gravité de l’arc de cycloïde

d’équations :

x=t−sin t , y=1−cos t , o≤ t ≤π .

On a :



Les coordonnées du centre de gravité G d’un arc homogène d’une courbe K se

calcule d’après les formules :

xG=1L∫K

❑

x dL , yG=1L∫K

❑

ydL

L=∫0

π

√ [ x ' ( t ) ]2+ [ y ' ( t ) ]2dt=∫0

π

√(1−cos t )2+sin2t dt=2∫0

π

sint2dt=−4 [cos

t2 ]0

π

L=4.

Alors :

xG=14∫K

❑

x dL=14∫0

π

( t−sin t )2 sint2dt=1

2∫

0

π

(tsin t2−sin

t2sint )dt

xG=12 [−2t cos

t2+4sin

t2+ 4

3sin3 t

2 ]0π

=83

yG=14∫K

❑

ydL=14∫

0

π

(1−cos t )2sint2dt=1

2∫0

π

(sint2−sin

t2cost )dt

yG=12 [−2cos

t2+ 1

3cos

3 t2−cos

t2 ]0

π

=43

4- Calculer l’intégrale curviligne :

I=∫C

❑

(2 x− y )dx+ ( x+ y )dy

C étant le cercle de rayon R centré en O décrit complètement dans le sens

direct à partir du point x0=R , y0=0.

Solution :

Un tel cercle a pour équation :

x2+ y2=R2

On peut obtenir une représentation simple en coordonnées paramétriques

en posant :

{ x=Rcosθ¿ y=Rsinθ

⇒{dx=−Rsinθ dθ¿dy=Rcosθ dθ

oùθest l' angle (Ox , OM )

Lorsque M décrit le cercle, θ varie de 0 à 2π .

Alors :

I=∫0

2π

[ (2Rcosθ−Rsinθ ) (−Rsinθ )+R (cosθ+sinθ ) (Rcosθ ) ]dθ



I=R2∫0

2π

(1−sinθcosθ )dθ=2 π R2.

2.4. Formes différentielles

2.4.1. Définitions

Cas de deux variables

Soit U un ouvert de R2 . Exemples d’ouverts : ¿−1;1 [×]−2 ;3¿ est un ouvert de R2

par contre ¿−1;1¿¿×¿−1 ;1¿¿ n’est pas un ouvert de R2 .

On appelle forme différentielle sur U toute application ω telle qu’il existe deux

applications P et Q telles que :

∀ ( x , y )∈U ,ω=P (x , y )dx+Q ( x , y )dy .

Cas de trois variables

Soit U un ouvert de R3.

On appelle forme différentielle sur U toute application ω telle qu’il existe trois

applications P, Q et R telles que :

∀ ( x , y , z)∈U ,ω=P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz .

Une forme différentielle peut être exacte ou fermée.

2.4.2. Formes différentielles exactes

Une forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est dite exacte sur un ouvert U de

R2 (ou ω admet des primitives sur U) si et seulement s’il existe une fonction f

définie sur D de R2 telle que : df=ω.

df=ω⇔ { ∂ f∂ x=P ( x , y )

∂ f∂ y=Q (x , y )

car df=∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ x

dy et ω=P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy .

f est appelée primitive de ω sur U.



La définition est analogue pour trois variables réelles.

Dans des cas simples, une forme différentielle peut apparaître comme exacte

de manière évidente.

Exemples :

xdx+ ydy=d (12 (x2+ y2))xdy+ ydx=d ( xy )

x

x2+ y2dx+ y

x2+ y2dy=d( 12 ln (x2+ y2))

Théorème

Si la forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est exacte sur un ouvert U et si f

est une primitive de ω alors pour tout chemin Γ inclus dans U joignant des

points d’origine A et d’extrémité B,

∫Γ

❑

ω=∫Γ

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=f (B )−f (A )

2.4.3. Formes différentielles fermées

La forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est dite fermée si et seulement si :

∂P∂ y=∂Q

∂ x

Dans le cas où ω=P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )dz, elle sera dite fermée si et

seulement si :

{∂P∂ y−∂Q

∂x=0

∂Q∂z−∂ R

∂ y=0

∂ R∂ x−∂P

∂ z=0



THEOREME

Toute forme différentielle exacte est fermée mais la réciproque est fausse.


Soit la forme différentielle définie sur U=R2−{(0 ;0 ) } par :

ω= − y

x2+ y2dx+ x

x2+ y2dy

Montre que ω est fermée sur U mais n’est pas exacte en considérant un cercle

de centre O, de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

THEOREME

Un domaine est dit simplement connexe ou domaine sans trou si l’intérieur de

toute courbe est contenue dans un domaine D.

Exemple :

R2 est un domaine sans trou ou domaine simplement connexe

L’ellipse est un domaine sans trou

R2− {(0 ;0 ) } est un domaine avec trou.

THEOREME

La forme différentielle ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est exacte sur un domaine

simplement connexe si et seulement :

∂P∂ y=∂Q

∂ x∀ ( x , y )∈R2

Exercice

Soit la forme différentielle suivante :

ω=(3 x2 y+2 x+ y3 )dx+ (x3+3 x y2−2 y )dyDéterminer la fonction f dont la différentielle est égale à la forme exacte ω.

2.5. Notion de facteur intégrant

S’il arrive que la forme différentielle n’est pas exacte, on peut toujours trouver

une fonction qui multiplie la forme pour en faire une forme exacte. Cette

fonction est appelée facteur intégrant.



Si ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy n’est pas exacte, alors on peut prendre comme

facteur intégrant la fonction :

μ : ( x , y )↦ μ ( x ; y )

telle que μω=μPdx+μQdy soit exacte c'est-à-dire

∂μP∂ y

=∂ μQ∂ x

(1 )

En dérivant la relation (1 ) par rapport à x et y, on obtient la relation suivante.

μ∂P∂ y+P ∂μ

∂ y=μ

∂Q∂ x+Q ∂μ

∂x(2 )

L’équation (2 ) est le type d’équation appelé différentielle aux dérivées

partielles que nous ne savons pas encore résoudre, mais seulement on peut

examiner des cas particuliers.

1ere cas : μ dépend uniquement de x

μ ( x , y )⟶μ ( x )

μ∂P∂ y+P ∂μ

∂ y=μ

∂Q∂ x+Q ∂μ

∂x

μ ( x )⇒ ∂μ∂ y=0

Donc l’équation devient

μ∂P∂ y=μ

∂Q∂x+Q ∂μ

∂ x

μ( ∂ P∂ y−∂Q

∂ x )=Q ∂μ∂x

⇒ 1μ∂μ∂x=( ∂ P∂ y

−∂Q∂x )

Q

Puisque μ=μ ( x ) alors :

∂μ∂ x=dμdx

et on a :



1μdμdx=( ∂ P∂ y −∂Q

∂ x )Q

⇒ ddx

ln|μ|=( ∂ P∂ y −∂Q

∂ x )Q

2ème cas : μ dépend uniquement de y : μ=μ ( y )

μ=μ ( y )

μ∂P∂ y+P ∂μ

∂ y=μ

∂Q∂ x+Q ∂μ

∂x

or

μ=μ ( y )⇒ ∂ μ∂ x=0

Donc l’équation devient :

μ∂P∂ y+P ∂μ

∂ y=μ

∂Q∂ x

P∂μ∂ y=μ( ∂Q∂ x −∂ P

∂ y )⇒ 1μ∂μ∂ y=( ∂Q∂ x −∂P

∂ y )P

Puisque μ=μ ( y ) alors :

∂ μ∂ y=dμdy

et on a :

1μdμdy=( ∂Q∂x −∂P

∂ y )P

⇒ ddy

ln|μ|=( ∂Q∂x −∂P

∂ y )P


1- Soit la forme différentielle :

ω=(x+ y2 )dx+(−2 xy )dy.

Déterminer un facteur intégrant fonction uniquement de x pour que ω soit

une forme exacte.

2- On considère la forme différentielle

ω=(3 x+2 y+ y2) dx+(x+4 xy+5 y2 )dy



Déterminer un facteur intégrant μ tel que ( x , y )⟼ μ (x , y )=φ (x+ y2 ) où φ est

une fonction différentiable sur I continue sur R .

3- On considère la forme différentielle

ω=(x2+ y2+1 )dx−2 xy dy

Déterminer un facteur intégrant μ tel que ( x ; y )⟼ μ ( x , y )=φ ( y2−x2 ) où φ est

une fonction différentiable sur I continue sur R .

2.6. Indépendance d’une intégrale curviligne de seconde espèce du

contour d’intégration

Soient P ( x , y ) et Q ( x , y ) et leurs dérivées partielles premières continues dans un

domaine simplement connexe D et soit K un contour situé entièrement dans ce

domaine alors la condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale

curviligne :

∫K

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy

soit indépendante du contour d’intégration consiste à vérifier dans le domaine

D l’identité :

∂P∂ y=∂Q

∂ x.

Lorsque les conditions ci-dessus sont satisfaites, l’intégrale curviligne sur un

contour fermé C intérieur au domaine D est nulle :

∮C

❑

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=0



Exercice

Calculer :

I=∫(1 ;1 )

(2 ;3 )

[ ( x+3 y )dx+( y+3 x )dy ]

1- calculer :

J=∮K

❑

( xdx+ ydy )

Sur divers contours fermés :

a- le long de la circonférence {x=cos ty=sin t

b- le long du contour limité par un arc de parabole y=x2 et un

segment de droite y=1.

2- Calculer :

K=∫(1,1 )

(2,3 )

[ (2xy− y4−3 )dx+(x3−x y3) dy ]

2.7. Formule de GREEN-RIEMANN

Soit Ω un domaine borné régulier de R2 et Γ son bord. Si le plan est orienté,

alors on peut orienter la courbe Γ avec la règle suivante :

Si en un point de Γ, le vecteur t dirige la tangente à la courbe

Si n est un vecteur orthogonal à t dirigé vers l’intérieur de Ω alors

quand on parcourt Γ dans le sens de t, on dit que l’on va dans le sens

positif si et seulement la base ( t ,n ) est directe. Sinon, on dit que l’on va

dans le sens négatif.

THEOREME

Soit Γ+¿ ¿ un bord parcouru dans le sens positif comme décrit précédemment.

Alors si ω=P ( x , y )dx+Q (x , y )dy est une forme différentielle de classe C1 alors

l’intégrale



∫Γ+¿ ¿

❑ω=∬D

❑

( ∂Q∂ x −∂P∂ y )dxdy

Exercice

Calculer en appliquant la formule de GREEN-RIEMAN

I=∫C

❑

(−x2 ydx+x y2dy )

où C est la circonférence parcourue dans le sens antihoraire.

2.8. Calcul des aires de surfaces

L’aire S d’une figure limitée par un contour fermé se calcule d’après la

formule :

S=12∮C

❑

x dy− y dx

Le contour d’intégration est parcouru de façon que le domaine limité par ce

contour reste à gauche (sens positif).

Exercice

1) Calculer l’aire de la surface limitée par l’astroïde :

{ x=acos3t¿ y=a sin3t

où0≤ t ≤2π

2) Calculer l’aire de la surface limitée par les paraboles y2=x, x2= y .

3. Intégrale de surface

L’intégrale de surface se définit à partir de l’intégrale double, comme

l’intégrale curviligne se définit à partir de l’intégrale simple. Considérons la

surface définie par z=f (x , y ) .



Figure : Intégrale de surface

et la portion S limitée par un contour Γ qui se projette sur le plan xOy suivant le

contour C.

Si F ( x , y , z ) est une fonction de trois variables x , y , z continue dans une région

de l’espace qui contient la surface S. Par définition, on appelle intégrale de

surface la quantité :

∬S

❑

F ( x , y , z )dx dy

l'intégrale double de la fonction :

G ( x , y )=F (x , y , f ( x , y ))

étendue au domaine D intérieur à la courbe C dans le plan xOy .

On appelle intégrale de surface de 1ere espèce la quantité réelle définie par :

∬S

❑

F ( x , y , z )dS=∬D

❑

F (x , y , f ( x , y ) )∙√1+( ∂ z∂ x )2

+( ∂ z∂ y )2

dx dy

D étant la projection de S sur le plan xOy .



Si ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) et R ( x , y , z ) sont des fonctions continues et que S+¿ ¿ est la

face de la surface lisse S définie par la direction de la normale n (cos α , sin β ,cos γ ),

alors l’intégrale de surface de 2ème espèce correspondante s’exprime comme

suit :

∬s+¿ ¿

❑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S

❑

(P cos α+Q cos β+R cos γ )dS

Lors du passe à l’autre face S−¿ ¿ de la surface, cette intégrale change de signe.

Si la surface S est donnée sous forme implicite c'est-à-dire son équation est

donnée par ϕ ( x , y , z)=0, alors les cosinus directeurs de la normale sont définis

par les formules suivantes :

cos (α )=

∂ϕ∂ x

±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2

cos (β )=

∂ϕ∂ y

±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2

cos (γ )=

∂ϕ∂ z

±√( ∂ϕ∂ x )2+( ∂ϕ∂ y )2+( ∂ϕ∂ z )2où le signe devant le radical doit concorder avec la face considérée de la

surface.

Les moments d’inerties d’une portion de la surface par rapport aux axes de

coordonnées s’exprime par les intégrales de surface suivantes :

I ox=∬S

❑

( y2+z2 )dS ; I oy=∬S

❑

(x2+z2 )dS ; I oz=∬S

❑

(x2+ y2 )dS

On peut calculer les coordonnées du centre de gravite G d’une portion de

surface d’après les formules :

xG=1S∬S

❑

xdS ; yG=1S∬S

❑

y dS ; zG=1S∬S

❑

z dS



Exercice

1) Calculer

I=∬S

❑

( x2+ y2 )ds

où S est une portion de surface conique z2=x2+ y2 contenue dans les plans

z=0et z=1

2) Calculer le moment d’inertie de l’hémisphère z=√a2−x2− y2 par rapport à

l’axe (oz ).

3) Calculer les coordonnées du centre de gravité de la portion du plan z=x

limitée par les plans x+ y=1 ; y=0 et x=0.

4. Formules de STOKES et d’OSTROGRASKI-GAUSS : éléments de la

théorie du champ

4.1. Formule de Stokes

Rappelons la formule de GREEN-RIEMANN :

∫Γ+¿ ¿

❑P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy=¿∬D

❑

( ∂Q∂x −∂P∂ y )dx dy ¿

Dans le cas de deux variables x et y , on admet que cette formule se généralise

dans l’espace pour donner la formule identique dans R3 appelée formule de

Stokes :

∫Γ+¿ ¿

❑P ( x , y , z )dx+Q ( x , y , z )dy+R ( x , y , z )=¿∬S

❑ [( ∂ R∂ y−∂Q∂ z )dy dz+( ∂P∂z −∂ R

∂x )dx dz+( ∂Q∂ x −∂ P∂ y )dx dy ]¿

Γ étant la courbe autour de laquelle est prise l’intégrale curviligne et S une

surface s’appuyant sur Γ.

4.2. Formule d’OSTROGRADSKI

Soit ∆ un domaine de R3 limité par une surfaceS et P ,Qet R trois fonctions de

x , y et z continument dérivables sur ∆ . Alors la formule d’OSTROGRADSKI

s’énonce comme suit :

∬S

❑

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭∆

❑

( ∂ P∂ x + ∂Q∂ y+ ∂ R∂ z )dxdydz



Si un vecteur variable F est une fonction vectorielle du point de l’espace M

alors

F=F (M )=F ( r )

où M (x , y , z ) et r=x i+ y j+z k alors ce vecteur définit un champ vectoriel et on a :

F (M )=P i+Q j+R k

¿ ( F )=∂ P∂ x+ ∂Q∂ y+ ∂ R∂ z

rot ( F )=|i∂∂ x

P

j∂∂ y

Q

k∂∂ z

R|=( ∂R∂ y −∂Q∂z )i−( ∂R∂ x −∂P

∂ z ) j+( ∂Q∂x −∂ P∂ y ) k

On appelle flux du champ vectoriel F (M ) à travers une surface S dans le sens

défini par le vecteur unitaire de la normale n=cos (α ) i+cos (β ) j+cos (γ ) k à la surface

S, l’intégrale de surface :

∬S

❑

F n dS=∬S

❑

(P cos α+Q cos β+R cos γ )dS

La formule d’Ostrogradski-Gauss sous forme vectorielle est de la forme :

∯S

❑

F n dS=∭D

❑

¿ ( F )dV

On appelle intégrale linéaire du vecteur F pris le long d’une courbe K

l’intégrale curviligne :

∫K

❑

F d r=∫K

❑

(Pdx+Qdy+Rdz )

qui représente le travail accompli par le champ vectoriel le long de la

courbe K.

N.B

Si le contour C est fermé alors l’intégrale linéaire :

∮C

❑

F d r=∮C

❑

(Pdx+Qdy+Rdz )

est appelée circulation du champ vectoriel le long du contour C.



La formule de stokes sous la forme vectorielle s’écrit :

∮C

❑

F d r=∬S

❑

r rot F ds

c'est-à-dire que la circulation du vecteur le long du contour d’une certaine

surface est égale au flux du rotationnel à travers celle-ci.

5. Potentiel scalaire

Soient U un ouvert de R3 et F :U→R3 un champ de vecteurs de classe C1 sur U.

On dit que F dérive d’un potentiel scalaire (ou F admet un potentiel scalaire) si

et seulement s’il existe un champ scalaire f :U→R de classe C1 sur U tel que :

F= grad f

s'il existe, un tel champ scalaire f est appelé potentiel scalaire de F .

On appelle champ scalaire une région de l’espace dans laquelle à chaque point

( x , y , z ) est associée une grandeur f ( x , y , z ) .

L’ensemble des points d’un champ scalaire où la fonction f prend une valeur

constante f ( x , y , z )=C est appelé suivant le cas, isobare (pour la pression),

isotherme (pour la température), équipotentiel (pour le potentiel)…

Théorème

Soient U un ouvert de R3 et F :U→R3 un champ de vecteurs de classe C1 sur U.

Si F admet un potentiel scalaire alors rot F=0.

Exercice

1. Montrer que le champ vectoriel :

F :R3−{(0,0 ) }×R→R

F ( x , y , z )=( −2 x z3

( x2+ y2 )2,− 2 y z3

(x2+ y2 )2,1+ 3 z2

x2+ y2 )dérive d’un potentiel scalaire et calculer celui-ci.

2. Trouve la circulation du champ vectoriel F=( x+3 y+2 z ) i+ (2x+z ) j+ ( x− y ) k

suivant le contour d’un triangle ABC où A (2,0,0 ) , A (0,3,0 ) et A (0,0,1 ) .

3. En appliquant la formule d’OSTROGRADSKI transforme I en intégrale de

volume :



I=∯S

❑

( ∂u∂x dydz+ ∂u∂ y

dxdz+ ∂u∂ z

dxdy) .


Exercice 1

1. Soit ω la forme différentielle donnée par :

ω=(3 y2−x )dx+(2 y3−6 xy )dy

a) ω est – elle exacte ? Déterminer un facteur intégrant μ : ( x , y )↦φ (x+ y2 ) où φ

est une fonction d’une variable réelle différentiable.

b) Calculer alors l’intégrale curviligne :

∫(−2 ;2)

(1 ;3)

(3 y2−x )dx+(2 y3−6 xy )dy

2. Calculer les intégrales doubles ou triples suivantes :

a¿ I ¿1=∬D1

❑

( x−2 )dxdy où D1 est l'∫ é rieur du triangle de sommets A (−2;2 ) ,O (0,0 ) et B (2,4 ) .

b¿ I 2=∬D2

❑

dxdy oùD2 est≤disquedecentre K (−1;0 ) et derayon1.

c ¿ I 3=∭D3

❑dxdydz

√ x2+ y2+( z−2 )2où D3est laboule unit é .

c ¿ I 4=∬D4

❑

√4−x2− y2dxdy où D4 est≤demi−disque telque x2+ y2≤4et y≤0.



3. Une plaque occupe le domaine D4 et sa densité superficielle en tout point

M (x , y ) a pour mesure la distance de M à l’axe des abscisses. Calculer la

masse de la plaque.

Exercice 2

1. Déterminer le volume intérieur à l’ellipsoïde d’équation :

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2=1oùa ,bet c sont trois r é els strictement positifs .

2. Calculer les coordonnées du centre de gravité du domaine :

D={( x , y )∈ R2/ x2

a2 + y2

b2 ≤1, x≥0et y≥0}3. Calculer l’intégrale curviligne sur C de la forme différentielle ω définie par :

ω= xdy− ydx

x2+ y2

où C est le carré orienté de sommets consécutifs

A (a ,a ) , B (−a ,a ) ,C (−a ,−a ) et D (a ,−a ) .

En déduire que la forme différentielle n’est pas exacte.

4. Calculer la circulation du champ de vecteurs :

F ( x , y )=( −x

(x2+ y2 )3 /2;

− y

(x2+ y2)3/2 )le long du segment [AB ] avec A (1,1 ) ,B(2,2) et parcouru de A vers B.

5. Changer l’ordre d’intégration dans l’intégrale suivante où f est supposée

continue :

I=∫−1

1

∫−1+x2

2+ x2

f (x , y )dydx .

Exercice 3

On considère le domaine de R3 suivant :

D={( x , y , z )∈ R3/ x≥0 , y≥0 , x2+cos2( y )+z2≤2 (1+siny ) , y ≤ π2 }.

On souhaite calculer les intégrales suivantes :

I 1=∭D

❑

xzdxdydz et I2=∭D

❑

cosy dxdydz

1. Etudier le changement de variables donné pour tout ( x , y , z )∈D par :

(u , v ,w )=( x , y ,−z ) .



Que se passe t – il dans I 1 et I 2? Peut – on en déduire quelque chose pour I 1

ou I 2?

2. Montrer que :

D={( x , y , z )∈ R3/0≤ y≤π2, ( x , z )∈D y}

où D y={( x , z )∈R2/ x≥0 , x2+ z2≤ (1+siny )2 } .3. En déduire, en précisant le nom du théorème employé, que :

I 2=∫0

π2

F ( y )dy ,oùF ( y )=∬D y

❑

cos y dxdz

4. Soit y fixé. En utilisant un changement de variables en polaire de la forme :

( x , z )= (rcosθ ,rsinθ )montrer qu' il existeune constante k que l'on pr é cisera telle que :

F ( y )=k cosy (1+siny )2 .

On précisera le domaine de (r , θ ) et le nom des outils employés. Calculer I 2.

5. Calculer l’intégrale double suivante :

J=∬∆

❑

e3x chy dxdy où∆= {( x , y )∈R2/ x≥0 , y ≥0 , x+ y ≤1} .

Exercice 4

On note pour tout R>0, CR={( x , y )∈R2/x2+ y2=R2 }, le cercle de centre (0,0) et de

rayon R. On note CR+¿¿ ce cercle parcouru dans le sens trigonométrique. On

définit Γ1= {( x , y )∈R2/ 4 x2+ y2=1} une courbe de R2 et

on note Γ1+¿ ¿ cette courbe parcourue dans le sens trigonométrique. On considère

le domaine suivant :

D= {( x , y )∈R2/1−3 x2≤x2+ y2≤4 } .On note Γ+¿ ¿ le bord de D orienté dans le sens positif. Soit ω la forme

différentielle définie sur R2 ¿{(0,0 )¿} par :

ω= − y

4 x2+ y2dx+ x

4 x2+ y2dy .

1. Rappeler la nature de Γ1 et dessiner sur unemême figure Γ1 ,C2 et D .

2. Donner une paramétrisation de Γ1+¿ ¿ et calculer, en utilisant cette

paramétrisation, l’intégrale curviligne suivante :

J=∫Γ1+¿¿

❑ω.



3. On se propose de calculer l’intégrale curviligne :

I=∫Γ+¿ ¿

❑ω.

a) Enoncer la formule de Green-Riemann.

b) En appliquant la formule de Green-Riemann sur D, calculer I.

c) En déduire I 2=J .

d) En vous inspirant de la méthode précédente, montrer que IR=I2 pour tout

R>0.

4. Trouver tous les cercles C du plan tels que :

∫C

❑

ydx+x2dy=0.

5. En appliquant la formule d’Ostrogradski-Gauss, transformer l’intégrale de

surface suivante en une intégrale de volume :

K=∯S

❑∂u∂x

dydz+ ∂u∂ y

dxdz+ ∂u∂z

dxdy .

CHAPITRE 12

SUITES ET SÉRIES NUMERIQUES – SERIES ENTIERES

Dans ce chapitre, on développera les suites et séries.

1. Suites numériques

1.1. Définitions et Propriétés

Soit I⊂N . On appelle suite numérique toute application de I dans K qui à n

on associe Un.

I→K

n⟼U n

Si K=R, la suite est appelée suite réelle

Si K=C , la suite est appelée suite complexe

Un est appelé le terme général de la suite

Une suite de terme général Un pour n ∊ N est notée (U n)n∈N ou (U n).



Propriétés

Toute suite complexe est bornée.

Toute suite réelle tendant vers +∞ est minorée

Toue suite réelle tendant vers - ∞ est majorée

Soit (U n)n∈N une suite réelle

(U n)n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∊ N, U n≤U n+1

(U n)n∈N est décroissante si et seulement si ∀n ∊ N, Un ≥ Un+1

(U n)n∈N est strictement croissante si et seulement si ∀n ∊ N, Un<Un+1

(U n)n∈N est strictement décroissante si et seulement si ∀n ∊ N,

Un>Un+1

La suite (U n)n∈N est constante si et seulement si ∀n ∊ N , Un=Un+1

Une suite (U n)n∈N est dite stationnaire si et seulement si ∃ p ∊ N ,

Un=Up.

Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.

Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.

Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞.

Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers -∞.

Pour toute suite (U n)n∈N à terme strictement positif (Un>0) :

Si U n+1

U n≥1 alors (U n)n∈N est croissante.

Si U n+1

U n≤1 alors (U n)n∈N est décroissante.

Pour U n=f (n), avec f une fonction définie sur un intervalle I⊂R

Si f est croissante sur I alors la suite (U n)n∈N est croissante sur I.

Exemple

Soit (U n)n∈N une suite de terme général :

U n=3√ 2n−3

3n+1avec n≥2

Etudier la monotonie de (Un)

Propriété



Si limn→+∞

(U n)¿l ∊ Ralors (U n )est convergente .

Si limn→+∞

(U n)¿∞alors (U n )est divergente .

On dit que (U n)n∈N est majorée s’il existe un nombre réel M tel que ∀n ∊ N , Un ≤

M.

On dit que (U n)n∈N est minorée s’il existe un nombre réel m tel que ∀n ∊ N , Un ≥

m.

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Une suite décroissante est majorée par son 1er terme c’est-à-dire

U0>U1>U2>U3>………………….

Une suite croissante est minorée par son 1er terme c’est-à-dire

U0<U1<U2<U3<………..............

Une suite croissante et majorée admet nécessairement une limite. Il en est de

même d’une suite décroissante et minorée.

Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

1.2. Les différents types de suites réelles

1.2.1. Suite arithmétique

Une suite de nombre (U n)n∈N est dite arithmétique s’il existe un nombre réel r

tel que :

∀n ∊ N , Un+1=Un+r avec r : la raison de la suite

Exemple

{ U 0=1¿U n+1=U n+2

Cette suite représente la suite des nombres impairs qui est une suite

arithmétique de raison r=2 et de premier terme U0=1

Propriétés

Une suite Un est arithmétique (U n)n∈N, alors ∀n ∊ N ,ona :



U n=U n−1+U n+1

2

Et de manière générale on a :

U n=U n−p+U n+p

2

Si U0 est le 1er terme d’une suite arithmétique et si on note r la raison de la

suite, alors il existe une formule qui permet de calculer n’importe quel Un en

fonction de son indice n.

U n=U 0+n . r

De manière générale, si Up est le 1er terme alors

U n=U p+(n−p) .r

Une suite arithmétique n’est jamais convergente.

Soit (U n)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme

Uo alors la somme :

Sn=U 0+U 1+U 2+U 3+……….+U n⏟(n+1) termes

Soit Sn=(n+1) .U 0+U n

2

Soit pour retenir :

Sn=(nombre de termes).Premier terme+Dernier terme

2

1.2.2. Suite géométrique

Une suite de nombre Un est dite géométrique s’il existe un nombre réel q tel

que :

∀n ∊ N ,U n+1=qU navec q=raisonde la suite



Propriétés

Une suite (Un) à termes positifs est géométrique si et seulement si ∀n ∊ N,

Un=√U n−1U n+1 .

De manière générale ∀n ∊ N, Un=√U n− pU n+ p

Si U0 est le 1er terme er q la raison alors il existe une formule qui permet

de calculer n’importe quel Un en fonction de n.

U n=U 0 .qn

De façon générale si le premier terme est Up alors

U n=U p .qn−p

Si (Un) est une suite géométrique de raison q≠1 et de 1er terme U0 alors

Sn =U 0+U 1+U 2+……………..+U n

Sn=U 01−qn+1

1−q

Soit pour retenir :

Sn=1er terme×1−raisonnombre determe

1−raison

Si q=1, Sn= (n+1).U n

Une suite géométrique est convergente si et seulement si ¿q∨¿1et dans

ce cas elle a pour limite 0 (zéro). Dans ce cas, la somme S est égale à :

S=U 0

1−q

Si ¿q∨≥1, alors la suite diverge.

1.2.3. Suites arithmético-géométriques

On appelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente (U n) dont la

définition est de la forme :



{ U 0donné¿U n+1=aU n+b

On décide de prendre a≠1 et b≠0 sinon la suite sera arithmétique ou

géométrique.

Une telle suite n’est ni arithmétique, ni géométrique.

La limite de cette suite est telle que

f (l)=l⇒ al+b=l

⇒ l= b1−a

1.2.4. Suites adjacentes

Deux suites réelles (U n)et (V ¿¿n)¿ sont dites adjacentes si et seulement si :

¿

Dans ce cas, les deux suites admettent la même limite.

1.2.5. Suites récurrentes linéaires

Une suite (U n) est dite récurrente linéaire d’ordre 2 lorsqu’il existe des réels a et

b différents de 0 tels que :

U n+2=aU n+1+bU n

Pour cette suite, les deux premiers termes U 1 et U 2 sont connus et on a :

U n+2−aU n+1−bU n=0 (1)

L’équation caractéristique associée à (1) est r ²−ar−b=0. Pour cela, on calcule

le discriminant ∆=a ²+4 b.

Si ∆>0, alors l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1

et r2. Il existe donc (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :



U n=α1 r1n+α 2r 2

n

Pour déterminer α 1et α 2 on résout le système :

{ U 1=α1 r11+α 2r2

1

¿U 2=α 1r 12+α2 r2

2

Si ∆=0 alors l’équation caractéristique admet une racine réelle double

r 1=r 2=r 0=a /2

alors il existe (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :

Un=(α1n+α 2)r0n .

Pour déterminer α 1et α 2 il suffit de résoudre le système :

{ U 1=(α1×1+α 2)r01

¿U 2=(α1×2+α2)r02

Si ∆<0, alors l’équation caractéristique admet deux racines complexes z1 et z2

telles que :

z1=λ e iθ et z2=λ e−iθ alors il existe (α 1 ,α 2)∊ R ² tels que :

U n=λn[α 1cos (nθ)+α 2 sin(nθ)]

Pour déterminer α1 et α2 il suffit de résoudre le système :

{ U 1=λ (α 1cosθ+α 2 sinθ)¿U 2=λ2[α1 cos(2θ)+α 2sin (2θ)]

Exercice

Déterminer le terme général de chacune des suites suivantes :

(V n ) :{ V 0=1 ,V 1=6¿∀ n ∊ N ¿V n+1=4V n−4V n−1



(wn ) :{ w0=3 ,w1=6¿∀n ∊ N ¿wn+1=4 wn−16wn−1

2. Séries numériques

2.1. Définition et propriétés

Définition

Soit une suite (U n)n∈N de nombre. On appelle série numérique de terme général

Un, la somme infinie de forme :

U 0+U 1+U 2+…U n+…

On utilise souvent la notation suivante :

∑n≥0

U nou∑k=0

+∞

U k ou∑n ∊ N

U n

On appelle somme partielle de rang n de la série de terme général Sn définie

par

Sn=∑k=0

n

U n=U 0+U 1+…U n

On dit que la série de terme général (U ¿¿n)¿converge si :

limn→+∞

Snest unequantit é finie .

Dans le cas où

limn→+∞

Sn=∞

ou n’existe pas, on dit que la série de terme générale U ndiverge.

Supposons que

S= limn→+∞

Sn

alors on écrit :



S=∑n≥0

U n

Dans ce cas S est appelé la somme de la série de terme général U n.

La série constituée par les termes d’une progression géométrique décroissante

quelconque :

a+a .q+a .q2+a .q3+…+a .qn−1+…=a(1+q+q2+q3+…+qn−1)

avec |q|¿1 est une série convergente dont la somme est :

Sn=a

1−q

La série suivante :

1+ 12+ 1

3+ 1

4+…+ 1

n+…

est appelée série harmonique et elle divergente.

Exercice

Etudier la convergente de la série

23+ 1

3+ 1

6+ 1

12+ 1

24+…

Résolution

23+ 1

3+ 1

6+ 1

12+ 1

24+…=2

3 (1+12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…)



La série est constituée par des termes d’une progression géométrique

infiniment décroissante et pour cette raison la série est convergente ici a=23 et

q=12 d’où

S=a

1−q=

23

1−12

=43

Exercice

Etudier la convergente de la série suivante :

111+ 1

12+ 1

13+…

Résolution

La série proposée est obtenue par suppression des dix premiers termes d’une

suite harmonique. Par conséquent cette suite diverge.

Etudions alors les critères de convergence des séries.

2.2. Critères de convergence des séries à terme positif

Critère n°1

Si la série U 1+U 2+U 3+…+U n+… converge alors la série Um+1+Um+2+U m+3+…

obtenue à partir de la série donnée en supprimant les m premiers termes,

converge elle aussi. Cette dernière série est appelée mième reste de la série

initiale.

Critère n°2

Si la série U 1+U 2+U 3+… converge et a pour somme le nombre S, alors la série

aU 1+aU 2+aU 3+… converge elle aussi, la somme de cette dernière série étant

égale à aS.



Critère n°3

Si la série de terme général (U n) converge alors :

limn→+∞

U n=0

dans le cas contraire la série diverge.

Critère n°4

Soit Sn la somme partielle de rang n et S la somme de la série. La quantité

rn=S−Sn

¿ ∑k=n+1

∞

U k

est appelée le reste de la série.

La série de terme général U n converge si et seulement si :

limn→+∞

rn=0

Critère n°5 (critère de comparaison)

Considérons les séries de termes généraux U net V n tels que U n≥0 et 0≤U n≤V n à

partir d’un certain rang.

Si la série de terme général V n converge alors la série de terme général U n

converge aussi.

Si la série de terme généralU n diverge, alors la série de terme général V n

converge également. C’est le premier critère de comparaison.

Enonçons le deuxième critère de comparaison :

S’il existe une limite finie et différente de 0

limn→∞

U n

V n

=k ≠0



alors les deux séries de terme général U n et V n convergent simultanément.

Critère n°6 (critère de D’Alembert)

Si à partir d’un certain rang n et U n≥0, on a :

limn→∞

U n+1

U n

=q<1alorsla s é rie de terme gé né ralU nconverge

limn→∞

U n+1

U n

=q>1alorsla s é rie de terme gé né ralU ndiverge .

limn→∞

U n+1

U n

=1alorsonassiste àuncas douteux .Pour cela ,il faudrautiliser d ’ autrescrit è res .

Si limn→∞

U n+1

U n

=l⇒ limn→∞

n√U n=l


Etudier la convergence de la série

∑n≥0

xn

n !avec x>0.

Résolution

Ici le terme général de la série est :

U n=xn

n !alorsU n+1=

xn+1

(n+1)!

U n+1

U n

=

xn+1

(n+1)!xn

n!

= xn+1

(n+1)!×n!xn=

xn+1

limn→+∞

U n+1

U n

= limn→+∞

xn+1

=0<1donc las é rie converge .

Critère n°7 (critère de Cauchy)

Considérons la série de terme général U net ∀n∈N , U n>0. On a :



limn→+∞

n√U n=q si{ q>1alors (U n )divergeq<1alors (U n )converge

q=1cas douteux

Application

Etudier la convergence de la série

∑n≥1

12n (1+ 1

n )n ²

Résolution

Le terme général de la série est

U n=12n (1+ 1

n )n ²

n√U n=(U ¿¿n)1n ¿

¿ [ 12n (1+ 1

n )n2

]1n

¿( 12n )

1n [(1+ 1

n )n2

]1n

¿ [(12 )n]

1n [(1+ 1

n )n2

]1n

¿ 12 (1+ 1

n )n

n√U n=limn→+∞

1

2 (1+ 1n )

n

= e2>1donc la s é rie diverge

Critère n°8 (critère intégral de Cauchy)

Si U n=f (n) où f est la fonction x→ f (x) positive, décroissante et continue pour

x≥a≥1, alors la série de terme général U n est l’intégrale généralisée

∫a

+∞

f ( x )dxconverge oudiverge simultané ment .

Application

Soit la série

∑n≥1

1n ²



Résolution

Selon le critère de D’Alembert appliqué à cette série où

U n=1n ²

et

U n+1=1

(n+1) ²

on a :

U n+1

U n

=

1(n+1) ²

1n ²

= n ²(n+1)2

=( nn+1 )

2

limn→+∞

U n+1

U n

=¿ limn→+∞ ( n

n+1 )2

=1casdouteux .¿

Utilisons donc le critère intégral de Cauchy.

Soit

f (x)= 1x ²

f est positive, décroissante et continue pour x≥1 alors calculons

∫1

+∞

f ( x )dx

On a

∫1

+∞

f ( x )dx=∫1

+∞1x ²

dx

¿ limb→+∞∫1

b1x ²

dx

¿ limb→+∞ [−1

x ]1b

¿ limb→+∞

(−1b+1)=1 .



Cette intégrale généralisée converge. Par conséquent la série donnée

converge.

2.3. Les séries absolument convergentes

Si la série de terme général V n=¿U n∨¿ converge alors la série de terme général

U n converge aussi et on dit qu’elle est absolument convergente.

Si la série de terme général V n=¿U n∨¿ diverge alors la série de termeU nest

semi-convergente.

2.4. Les séries à termes alternés

Ce sont des séries dont le terme général est alternativement positif et négatif à

partir d’un certain rang.

Si pour la série à termes alternés U 1−U 2+U 3−U 4+U 5−U6+U 7−U 8⋯+ (−1 )n−1U n

(U ¿¿n≥0)¿, les conditions :

Première condition

U 1 ¿U 2¿U 3¿U 4¿U 5 ¿U 6 ¿U 7 ¿U 8………

Deuxième condition

limn→+∞

U n=0

sont satisfaites alors cette série converge.

3. Séries entières

On appelle série entière de la variable x toute série de terme général :

U n=an xnn∈N oua0+a1 ( x−a )+a2 ( x−a )2+⋯⋯⋯+an ( x−a )n

Les coefficients a ,a0 , a1 ,⋯⋯⋯ , an∈R .

La somme partielle Sn:

Sn=a0+a1 x+a2 x2⋯⋯⋯+an x

n

est un polynôme de degré n .



3.1. Domaine de convergence d’une série entière

Considérons par exemple la série géométrique :

∑n=0

∞

xn=1+ x+x2+⋯+xn+⋯ avec x∈R .

C’est une série entière dans laquelle tous les coefficients valent 1.

Si|x|<1 sa somme est : s ( x )= 11−x

et si|x|≥1alors s ( x ) est infinie .

En résumé la série converge pour x∈ ¿−1,1¿.

3.2. Intervalle de convergence

Si ∀ x0∈R la série converge, on dit que l’intervalle de convergence de {an xn } est

infini. Si la série diverge sauf pour x0=0 , on dit que l’intervalle de convergence

est nul.

S’il existe une valeur R, telle que pour |x|<R, la série converge et pour |x|>R la

série diverge, on dit que le rayon de convergence de la série est R. L’intervalle

de convergence est au moins ¿ – R ,+R ¿.

Lorsque |x|=R, la série peut aussi bien converger que diverger.

1.2. Recherche du rayon de convergence

Les critères de D’Alembert et de Cauchy permettent souvent de trouver la

valeur du rayon de convergence R.

En effet :

|U n+1

U n|=|an+1

an|∙|x|

Si limn→+∞|an+1

an|=¿ l alors lim

n→+∞|U n+1

U n|=¿ l|x|¿¿

On sait que {an xn } converge si l|x|<1. On en conclut que :

Si|x|< 1lla sé rie convergeabsolument

Si|x|> 1lla sé rie diverge .



D’où1lest la valeurdurayon deconvergence :

R= limn→+∞| an

an+1|

Cette formule reste valable si l=0 ; auquel cas R=+∞ et si l=∞, R=0.

L’application de la règle de Cauchy conduira à :

1R= lim

n→+∞

n√|an|

En effet :

n√|Un|=n√|an x

n|=|x|n√|an|

Si n√|an| tend vers une limite l lorsque n tend vers ∞, la règle de Cauchy

permet de conclure :

Si l|x|<1il y aconvergence

Si l|x|>1il y adivergence

Ce que l’on peut encore exprimer par les conditions :

Si|x|< 1lla sériean x

n converge

Si|x|> 1lla sériean x

ndiverge

¿ rayonde convergeest bienR=1l.

Exercice :

Etudier la convergence des séries :

x+12x2+ 1

3x3+⋯ ; ( x−2 )+ 1

22(x−2 )2+ 1

33(x−2 )3 et 1! (x−5 )+2! (x−5 )2+3! (x−5 )3


Exercice 1

1. Calculer le terme général des séries numériques suivantes :

23+( 37 )

2

+( 411 )

3

+( 515 )

4

+⋯⋯⋯⋯⋯⋯



12+ 3

22+ 5

23+ 7

24+⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. Calculer la somme des séries numériques suivantes

11∙3+ 1

3 ∙5+ 1

5 ∙7+ 1

7 ∙9+⋯⋯⋯

11∙2∙3

+ 12∙3 ∙4

+ 13 ∙4 ∙5

+⋯⋯⋯

3. Etudier la convergence des séries numériques suivantes

12+ 2

5+ 3

8+ 4

11+⋯⋯⋯

0,6+0,51+0,501+0,5001+⋯⋯⋯

13+( 25 )

2

+( 37 )3

+( 49 )4

+⋯⋯⋯⋯⋯⋯

21+ 22

210+23

310+⋯⋯⋯+ 2n

n10+⋯⋯⋯⋯⋯

1

√3+ 2

3+ 3

3√3+ 4

9+ 5

9√3+⋯⋯⋯⋯

1+ 1

22+ 1

32+ 1

42+⋯⋯⋯

12 ln2

+ 13 ln 3

+ 14 ln 4

+⋯⋯⋯⋯

4. Etudier la convergence des séries numériques de terme général :

U n=1

4 ∙2n−3

Exercice 2

1. Etudier la convergence des séries entières suivantes :

( x−2 )+ 1

22( x−2 )2+ 1

32( x−2 )3+⋯⋯⋯

x+12x2+ 1

3x3+⋯⋯⋯⋯

1 ! ( x−5 )+2 ! ( x−5 )2+3 ! ( x−5 )3+⋯⋯⋯

x1!+ x

2

2!+ x3

3 !+⋯⋯⋯⋯



2. Etudier la convergence des séries entières :

∑k=1

∞

( k+12k+1 )

k

( x−2 )2k

∑n=1

∞xn (n−1)

2

n !

3. Calculer la somme des séries entières :

1+2 x+3 x2+4 x3+⋯⋯⋯ (|x|<1 )

x+ x2

2+ x

3

3+ x

4

4+⋯⋯⋯ (|x|<1 )

4. Développer en série entière des fonctions suivantes :

f ( x )=sin2 x ;g (x )=e−x2

5. En appliquant le développement en série de cos x, calculer cos18 ° à 0,0001

près.

6. Calculer √e à 0,00001 près.

Exercice 3

1. Trouver le terme général de la suite récurrente (U n) telle que :

¿

2. Trouver les réels a et b tels que :

ab=0,58333⋯⋯

3. Etudier la convergence des séries suivantes :

a) en appliquant le critère de D’Alembert :

1110+( 11

10 )2

∙125+( 11

10 )3

∙135+( 11

10 )4

∙145+…⋯⋯

b) en appliquant le critère intégral :

19 ln 9

+ 119 ln19

+ 129 ln 29

+…⋯⋯

c) en appliquant le critère de Cauchy :

∑n≥1( 3n2+14n2+1 )

n



Exercice 4

On considère les intégrales définies I et J suivantes :

I=∫0

11

1−t+ t2 dt et J=∫0

11

1+t 3 dt

1. Calculer I en posant t=12(1+√3 tan θ ) .

2. Calculer les nombres réels a, b et c tels que pour tout réel t ≠−1, on ait :

1

1+ t3= a

1+ t+b (2t−1 )t2−t+1

+ c

t 2−t+1

3. Calculer J.

4. On pose

I n=∫0

1t n

1+ t3 dt

Démontrer que ∀n∈N ,0≤ I n≤1

n+1.

En déduire la convergenceet lalimite de la suite ( I n )

5. Démontrer que la série de terme général U n converge et calculer sa

somme :

U n=(−1 )n

3n+1

On remarquera que :

13n+1

=∫0

1

t3ndt

6. La série ∑U n est – elle absolument convergente ?

Exercice 5

1. Trouver la somme partielle sn et la somme s des séries suivantes :

∑n≥1

1n (n+1 )

;∑n≥0

[arctan (n+1 )−arctann ];∑n≥ 0( 2e )

n

2. Démontrer que la suite :

√2 ;√2+√2 ;√2+√2+√2 ;⋯⋯⋯ ; √2+⋯⋯+√2+√2+√2+√2}n fois



est convergente et trouver sa limite.

3. Calculer la somme :

Sn=3+33+333+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+333⋯ 3⏟n fois

4. Trouver le terme général de la suite récurrente (xn ) telle que :

{xn+3=6 xn+2−12xn+1+8xn

x0=1x1=8x2=20

5. Etudier la convergence des séries suivantes :

a¿ 19 ln 9

+ 119 ln19

+ 129 ln 29

+…⋯⋯(critère intégral deCauchy)

b¿∑n≥ 1( 2n2+2n+15n2+2n+1 )

n

(critère deCauchy)

c ¿1−( 23 )2

−( 35 )3

+( 47 )4

+⋯⋯⋯+(−1 )n (n−1)

2 ∙( n2n−1 )

n

+⋯

d ¿ 12+ 3

2²+ 5

23+⋯⋯⋯(ondevrad ' abord déterminer≤terme général)

Exercice 6

1. Montrer que les suites (an )et (bn ) sont adjacentes :

an=∑k=0

n1k !

et bn=an+1

n ∙n !

2. Calculer la limite des suites de terme général :

U n=[e−(1+ 1n )

n]√n2+2−√n2+1

;V n=[cos( nπ3n+1 )+sin( nπ

6n+1 )]n

3. Calculer :

limn→∞ [(1−4

1 )(1− 49 )(1− 4

25 )⋯⋯(1− 4(2n−1 )2 )]

4. En appliquant le critère de Cauchy, étudier la convergence de la série :

∑n≥1( 2n2+2n+15n2+2n+1 )

n



Exercice 7

On considère la suite qui à tout n entier n>0 associe le nombre U n tel que :

a¿U n>0

b¿ (U n )une suite géométriquede raison25

c ¿ Les trois premiers termes vérifient l'égalité 5U 1 ∙U 3=6U 2 .

1. Exprimer U 1. Exprimer U n en fonction de n.

2. Etudier le sens de variation de la suite.

3. Exprimer la somme :

Sn=U 1+U 2+⋯⋯⋯⋯⋯+U n

en fonction de n.

4. Trouver la limite de la suite (Sn ).

Exercice 8

1. Calculer les côtés a, b et c d’un triangle de surface 6 unités d’aires tels que

a, b et c forment une suite arithmétique de raison 2.

2. Déterminer la nature de la suite (xn )n∈N définie par :

xn=3n−1

2n

3. On donne trois réels a1=2; a2 et a3sont respectivement les carrés de deux

entiers consécutifs. Trouver la raison d de la suite arithmétique.

4. Calculer la somme des 10 premiers termes d’une suite géométrique (bn )

sachant que :

b1=3et b9−b5=36.

Exercice 9

1. Calculer la somme :

Sn=3+33+333+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+333⋯ 3⏟n fois

2. Montrer que :

√111⋯ 1⏟2n fois

−22⋯ 2⏟n fois

=33⋯ 3⏟n fois



3. Trouver les réels a et b tels que :

ab=0,58333⋯⋯

Exercice 10

Un technicien de Bénin Télécom-SA retenu pour un projet d’installation de

lignes téléphoniques dans une région donnée reçoit le premier jour 1 ligne

téléphonique, le 2e jour 2 lignes téléphoniques, le 3e jour 4 lignes

téléphoniques, le 4e jour 8 lignes téléphoniques et ainsi de suite.

A la fin du projet, il s’aperçoit qu’il a reçu au total 65535 lignes téléphoniques.

Combien de jours le projet a – t – il duré ?


Documents

Mathematiques Generales 2 GTR 1