valuation mardi 12 juin 2012

Mathmatiques Module F 212

Auun doument alulatrie non

programmable

tude de la forme trapzodale

1 Surfae du trapze, oordonnes artsiennes 8

points 50 minutes

~x

~y

OA

B C

DI J

Soit le trapze ABCD, ave IB = 2a, BC = 2a (don IJCB est un arr)et AI = JD = a.On pose :

G1 le entre de gravit du triangle AIB, de surfae S1,

G2 le entre de gravit du triangle JDC, de surfae S2,

G3 le entre de gravit du arr IJCB, de surfae S3,

G le entre de gravit du trapze ABCD.

1. Faire une gure, puis dnir la surfae lmentaire dS autour du pointM ourant sur le trapze l'aide des oordonnes artsiennes.

2. Caluler la surfae S du trapze l'aide de l'intgrale :

dS.

3. Sahant que le entre de gravit G du trapze vrie la relation in-

tgrale S.

OG =

OM.dS, dterminer les oordonnes (xG, yG) deG.

4. partir de la relation liant les entres de gravits des trois surfaes

S1, S2 et S3 suivante (formule des baryentres) : S1.

OG1 + S2.

OG2 +

S3.

OG3 = S.

OG, vrier le rsultat de la question prdente.

1

2 Volume d'une pyramide, oordonnes artsiennes

8 points 50 minutes

~z

~x

~y

O

Soit la pyramide de hauteur 2a sur l'axe ~y, onstitue d'une base infrieure

arre, de t 4a et d'une suprieure arre, de t 2a. L'origine O du repreest situe au entre de la base infrieure. Dans les plans mdians (O,~x, ~y) et(O,~z, ~y), on retrouve don le trapze de la premire partie, e qui sera utileaux aluls qui suivent !

1. Faire une gure, puis dnir le volume lmentaire dV autour du pointM ourant sur la pyramide l'aide des oordonnes artsiennes.

2. Caluler le volume V de la pyramide l'aide de l'intgrale :

dV .

3. Sahant que le entre de gravit G de la pyramide vrie la relation in-

tgrale V.

OG =

OM.dV , dterminer les oordonnes (xG, yG, zG)de G.

4. Un logiiel de CAO donne, pour a = 30mm, les valeurs du volume

V=504m3, et yG=23,57mm. Vrier que les formules tablies aux

questions prdentes sont bonnes.

3 Volume d'un ne, oordonnes ylindriques 4

points 20 minutes

On onsidre le ne de rvolution, dni par la gnratrie DC du

trapze (partie 1) et l'axe de rvolution (O,~y). On obtient ainsi un ne tron-qu, de hauteur 2a, de base infrieure de diamtre 4a et de base suprieurede diamtre 2a.

1. Faire une gure, puis dnir le volume lmentaire dV autour du pointM ourant sur le ne l'aide des oordonnes ylindriques.

2. Donner l'expression de l'intgrale triple permettant de aluler le vol-

ume, en prisant lairement les bornes, mais ne aluler pas le

volume.

2

Surface du trapze, coordonnes cartsiennes 8 points 50 minutesVolume d'une pyramide, coordonnes cartsiennes 8 points 50 minutesVolume d'un cne, coordonnes cylindriques 4 points 20 minutes