Une fonction continue nulle part: le peigne de

Dirichlet

20 juillet 2014

1 Pres de tout rationnel on peut trouver un ir-rationnel

Soit un rationnel pq (p et q sont des entiers relatifs). Alors pq +

√22

11000 est pres

de pq a 1/1000 pres (

√2/2 < 1). Et ce nombre n’est pas rationnel (s’il l’etait,

alors√

2 serait rationnel, absurde). On aurait aussi pu utiliser pq + π

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1000 .

2 Pres de tout irrationnel on peut trouver unrationnel

Soit un irrationnel i, et soit j = i+ 11000 . j est aussi irrationnel. Considerons

les nombres n2000 ou n decrit Z ; ce sont des rationnels, qui vont de −∞ a +∞

par pas de 1/2000. Il est sur qu’un de ces nombres tombe entre i et j. Il estdonc pres de i a 1/1000 pres.

3 Le peigne

Finalement, en tout endroit de la droite des reels, il y a des rationnels et desirrationnels (on dit que � Q et R\Q sont denses dans R �). Soit la fonction fdefinit par : f(x) = 1 si x est rationnel, et f(x) = 0 s’il est irrationnel. Cettefonction est definie sur R mais n’est continue nulle part. En effet, en un rationnela elle vaut 1 mais legerement a gauche ou a droite de a il y a des irrationnelsou elle vaut 0 donc on n’a pas f(x) → f(a) quand x → a. De meme si a estirrationnel.

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