128
Université Paris I Panthéon Sorbonne Centre d’histoire sociale du XXe siècle, UMR CNRS 8058 9, rue Malher 75181 PARIS Cedex 04 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES A LA DÉMOGRAPHIE Cours & Exercices Pierre V. Tournier Docteur en démographie Directeur de recherche au CNRS Janvier 2011 Hdr Université Paris I [email protected]

MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

  • Upload
    docong

  • View
    256

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

Université Paris I Panthéon Sorbonne

Centre d’histoire sociale du XXe siècle, UMR CNRS 8058

9, rue Malher 75181 PARIS Cedex 04

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

A LA DÉMOGRAPHIE

Cours & Exercices

Pierre V. Tournier Docteur en démographie

Directeur de recherche au CNRS Janvier 2011 Hdr Université Paris I

[email protected]

Page 2: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

2

Page 3: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

3

Né en 1950, Pierre V. Tournier est maître es sciences mathématiques (Université Paris VI Pierre et Marie Curie) et docteur en démographie (Université Paris 1 Panthéon Sorbonne) ; spécialiste de démographie pénale, habilité à diriger des recherches (hdr, Paris 1), directeur de recherches au CNRS affecté au Centre d’histoire sociale du XXe siècle (Paris 1), depuis 2003. Il a été chargé d’enseignement en mathématiques appliquées à l’Institut de démographie de Paris 1 (IDUP) de 1977 à 2011. Fondateur de la revue Champ Pénal / Penal Fiel et de Pénombre ; ancien président de l’Association française de criminologie (AFC). Il est président fondateur du think tank DES Maintenant en Europe. Derniers ouvrages parus : Loi pénitentiaire : contexte et enjeux (L’Harmattan, 2008), La Babel criminologique. Formation et recherche sur le phénomène criminel : sortir de l’exception française ? (Dir., L’Harmattan, 2009). A paraître : Dictionnaire de démographie pénale. Des outils pour arpenter le champ pénal (L’Harmattan, 2010).

Page 4: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

4

Page 5: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

5

PARTIE A.

Langage ensembliste, suites numériques, fonctions numériques, fonctions exponentielles et logarithmiques, applications à la démographie,

Page 6: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

6

Page 7: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

7

Sommaire

Cahier n°1. Ensembles et fonctions……………………………………………. 9 Cahier n°2. Suites numériques…………………………………………………

13

Cahier n°3. Fonctions numériques élémentaires……………………………...

19

1. f(x) = a . x + b

19

2. f(x) = a. x2 + b. x + c 22 3. f(x) = a / x 23 4. f(x) = (ax + b) / (cx + d) 23 Révisions Cahiers 1, 2 et 3

25

Cahier n°4. Fonctions numériques : étude générale…………………………

27

1. Limites

27

2. Dérivées 31 3. Applications 32 Cahier n°5. Fonctions exponentielles et logarithmes………………………..

37

1. Fonctions exponentielles

37

2. Fonctions logarithmes 39 3. Applications 42 Cahier n°6. Révisions de la partie A 45

Références bibliographiques Bachelard (G), La formation de l’esprit scientifique, Vrin, 1970. Baruck (S), Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Editions du Seuil, 1992. Baruck (S), L’âge du capitaine, de l’erreur en mathématiques, Editions du Seuil, 1985. Duchêne (J) et Vilquin (E), Mathématiques pour démographes, rappels théoriques - exercices résolus, Université catholique de Louvain, Institut de démographie, académia 25/115 Grand’Rue, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique.

Page 8: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

8

Page 9: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

9

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques - n°1

Pierre V. Tournier

ENSEMBLES & FONCTIONS 1. Ensembles et sous-ensembles On prendra pour exemple l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six faces. E est l’ensemble des résultats possibles (univers des possibles) * Définition d’un ensemble en extension : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. * Appartenance : 2 ∈ E * Définition en compréhension et propriété caractéristique : E = {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 6 } E = {x ∈ N / 0 < x ≤ 6 } * Quantificateur universel : ∀ x ∈ E x > 0 * Quantificateur existentiel : ∃ x∈ E / x > 1 * Egalité de deux ensembles : E = F signifie que E et F ont les mêmes éléments {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {2, 3, 4, 1, 5, 6} * Sous-ensemble et inclusion : { 1, 3, 5 } ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , { 1, 3, 5 } est un sous-ensemble de E, une partie de E. A ⊂ B signifie : ∀ x ∈ A, x ∈ B. * Un singleton est un ensemble à un élément ; exemple : {3}. 3 ∈ E et {3} ⊂ E. * Une paire est un ensemble à deux éléments : les paires {1, 3} et {3,1} sont égales. * Ensemble des parties d’un ensemble, PF ensemble de toutes les parties de F. Exemple : F = {1, 2, 3, 4} PF = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3 }, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {1,2, 3}, {1, 2, 3, 4}}. ∅ est la partie vide, F = {1, 2, 3, 4} est la partie pleine de F. ∅ est le complémentaire de F dans F.

Page 10: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

10

* Ensemble complémentaire : Soit A ⊂ E et B ⊂ E, B est le complémentaire de A dans E signifie : B = {x ∈ E / x n’appartient pas à A}. * Un couple est un ensemble ordonné de deux éléments : (1,5) ≠ (5, 1). * Couple réciproque : (a, b) a pour couple réciproque (b, a) * Produit de deux ensembles : Soit A ⊂ E et B ⊂ E, A x B = { (a,b) / a ∈A et b ∈B} Exemple : A = {1, 2} et B {2, 3, 4}, alors A x B = {(1, 2), (1, 3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)} * Vocabulaire des probabilités : univers des possibles, événement, événement élémentaire, événement contraire. 2. N, Z, Q, R*, R-, R+, rappel de quelques propriétés Intervalles dans R : a ∈ R, b ∈ R, a < b [a ; b] ={ x ∈ R / a ≤ x ≤ b } ]a ; b[ = { x ∈ R / a < x < b } [a ; b[ = { x ∈ R / a ≤ x < b } [a ; + ∞ [ = { x ∈ R / x ≥ a } ]a ; + ∞ [ = { x ∈ R / x > a } ] - ∞ ; a ] = { x ∈ R / x ≤ a } ] - ∞ ; a [ = { x ∈ R / x < a } Puissances entières a ∈ R, n ∈N, n >1 an = a.a... a (produit de n termes égaux à a) a1 = a a0 = 1 a ∈ R*, p ∈N a-p= 1/ ap a ∈ R, b∈ R, n ∈N, p ∈N (ab)n = an bn

an ap = an +p (a/b)n = a n/bn (b ≠ 0) an /ap = an -p (a ≠ 0) (an )p = an. p (a + b)2 =

a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b) (a - b) = a2 - b2

Page 11: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

11

Racines carrées a ∈ R+ α = a1/2 ⇔ α ∈ R+ avec α2 = a Valeur absolue si x > 0 alors | x | = x si x < 0 alors | x | = - x | x | = 0 ⇔ x = 0 ∀ x ∈ R, | x | ≥ 0 3. Opérations sur les ensembles Intersection (A ∩ B), réunion (A ∪ B), différence (A - B) 4. Partition d’un ensemble Définition : Soit un ensemble E, on appelle partition de E, tout ensemble F constitué de parties Ai de E vérifiant les trois conditions suivantes : 1° Les Ai sont non vides 2° La réunion des Ai est égale à E 3° Les Ai sont deux à deux disjoints. 5. Fonction On introduira la notion de fonction à partir de l’exemple de la codification d’un questionnaire (A est une population, B est l’ensemble des codes relatifs à une question). Définition : A et B, deux ensembles. On appelle fonction de A vers B un moyen permettant d’associer à tout élément de A un élément au plus de B

f : A → B x → y = f(x)

Ensemble de définition : Df = { x ∈ A / ∃ y ∈ B avec y = f(x)} Application de A dans B : Df = A Application de A dans B surjective : tout élément de B a au moins un antécédent dans A. Application de A dans B injective : tout élément de B a au plus un antécédent dans A. Bijection de A dans B: application surjective et injective. Exemple d’une bijection : dans une enquête, définition d’un identifiant.

Page 12: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

12

Graphe d’une fonction de A dans B : G = { (x, y) ∈ AxB / y = f(x)}. Bijection réciproque: soit f une bijection de A dans B. On appelle bijection réciproque de f (notée f -1) la bijection d’ensemble de départ B, d’ensemble d’arrivée A dont le graphe est constitué des couples réciproques du graphe de f. Composée de deux fonctions (gof) : f : A → B g : B → C gof : A → C x → y = f(x) y → z = g(y) x → z = g(y) = g[f(x)] = gof(x)

Exercices Exercice 1.

Expliciter la définition des ensembles suivants (sous-ensembles de R) : [ 0 ; 1] , ] 0 ; 1 [ , ] 0 ; 1] , [0 ; 1[ , ] - ∞ ; 0 [, [0 ; + ∞[. Exercice 2.

Déterminer A, sous-ensemble de R défini par : A = [0 ; 3 ] ∩ [1 ; 2 [ A = [ 0 ; 3 [ ∩ ]1 ; 4 [ A = ] 0 ; 2 [ ∪ [1 ; 2] A = CR [0 ; 1] A = [1 ; 3 ] - { 2} Exercice 3.

E = {a, b, c, d}. Définir en extension l'ensemble des parties de E. Définir une partition de E. Exercice 4.

A = {a, b, c, d } B = {1, 2, 3, 4} a. Définir une fonction de A dans B qui ne soit pas une application ; préciser son ensemble de définition et son graphe. b. Définir une application de A dans B non injective. c. Définir une application de A dans B non surjective. Est-elle injective ? d. Définir une bijection f de A sur B et sa bijection réciproque f -1. Donner le graphe de f et celui de f -1. Exercice 5.

A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, C = {x, y, z}. Définir une bijection f de A sur B, une bijection g de B sur C. Donner le graphe de gof.

Page 13: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

13

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques - n°2

Pierre V. Tournier

SUITES NUMERIQUES 1. Définition : une suite numérique est une fonction de N dans R u : N → R n → u(n) ; on note aussi u(n) = un terme de rang n de la suite 2. Suite arithmétique Définition : ∀ n ∈ N, u (n + 1) = u(n) + a, a raison de la suite. u(n) suite arithmétique ⇔ u (n + 1) - u(n) = a ⇔ ∆ u = cste Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) + a . n 3. Suite géométrique Définition : ∀ n ∈ N, u(n + 1) = a. u(n), a raison de la suite. Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) an 4. Suite croissante, suite décroissante u croissante au sens large ⇔ ∀ n ∈ N, u (n + 1) ≥ u(n) u décroissante au sens large ⇔ ∀ n∈ N, u (n + 1) ≤ u(n) Exemple : étude des variations des suites arithmétiques. 5. Variations des suites géométriques u(n) = u(0) an u(n + 1) - u(n) = u(0) an+1 - u(0) an = u(0) an (a - 1) le signe de u(n + 1) - u(n) dépend du signe des trois facteurs u(0), an et (a - 1). Voir tableau infra

Page 14: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

14

1er cas u(0) = 0 ∀ n ∈ N u(n) = 0 u suite constante 2e cas u(0) > 0 a < 0 Changement de signe a = 0 suite constante à partir de n = 1 0 < a < 1 u décroissante a = 1 suite constante a > 1 u croissante 3e cas u(0) < 0 a < 0 changement de signe a = 0 suite constante à partir de n = 1 0 < a < 1 u croissante a = 1 suite constante a > 1 u décroissante Exemple 1. : u(0) = 1, a = 2, u(n) = 2n, suite croissante Exemple 2. : u(0) = 1, a = 1/2, u(n) = 1/2n, suite décroissante 6. Limite d’une suite Lim u(n) = λ signifie ∀ε ∈ R+*, ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N, n > p ⇒ u(n) -λ < ε n → + ∞ Lim u(n) = + ∞ signifie ∀ε ∈ R+*, ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N , n > p ⇒ u(n) > ε n → + ∞ Lim u(n) = - ∞ signifie ∀ε ∈ R+*, ∃ p∈ N : ∀ n ∈ N , n > p ⇒ u(n) < - ε n → + ∞ Exemples : u (n) = 2 + 1 / (n +1) ; u (n) = 2 n + 1 ; u (n) = - 2.n +1 7. Propriété des suites géométriques u suite géométrique : ∀n∈ N, ∀p∈ N u(n) . u(p) = u(0) . u(n + p) Définition : si u (0) = 1, u est appelée « suite exponentielle », u(n) = an Théorème : les suites exponentielles sont les seules suites vérifiant u (n).u (p) = u (n + p) 8. Propriété des suites exponentielles cas des suites géométriques avec u(0) > 0 * sens de variation : a > 1, u est croissante a = 1, u est constante 0 < a < 1, u est décroissante a = 0, u est constante a < 0, u est ni croissante, ni décroissante.

Page 15: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

15

si a > 0, u est monotone (croissante ou décroissante au sens large) * limite des suites exponentielles a > 1 lim u(n) = + ∞

n → + ∞ exemple : u(n) = 2n

0 < a < 1 lim u(n) = 0 n → + ∞

exemple : u(n) = 1/2n

- 1 < a < 0 lim u(n) = 0 n → + ∞

exemple : u(n) = (-1/2)n

a < - 1 u diverge exemple : u(n) = (- 2)n 9. Raisonnement par récurrence Définition : P propriété qui dépend de n, n ∈ N ; on dit que P est récurrente ssi

P vraie pour n ⇒ P vraie pour n + 1 Raisonnement par récurrence : montrer que P est vrai ∀ n ∈ N étape 1. montrer que P est vraie pour n = 1 étape 2. montrer que P est une propriété récurrente : on fait l’hypothèse que P est vrai pour n et l’on montre qu’alors P est vraie pour n + 1. étape 3. conclusion, ∀ n ∈ N, P est vraie.

Exercices Exercice 6.

Le rapport de masculinité de la population carcérale métropolitaine était de 39,8 au 1er janvier 1976. Entre le 1er janvier 1976 et le 1er janvier 1980, on a observé une augmentation de 55 % de l'effectif des femmes détenues et conjointement une augmentation de 20,1 % de l'effectif des hommes détenus. a. Calculer le rapport de masculinité de cette population au 1er janvier 1980. b. En déduire le taux de féminité à cette même date. Exercice 7.

La densité médicale du département de l'Oise était de 55,7 p.100 000 au 1er janvier 1962 (nombre de médecins libéraux rapporté au nombre d'habitants). Entre le 1er janvier 1962 et le 1er janvier 1968, on a observé une augmentation de 12,4 % de l'effectif de la population de ce département et conjointement une augmentation de 34,0 % du nombre des médecins libéraux. Calculer la valeur de l'indice proposé au 1er janvier 1968.

Page 16: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

16

Exercice 8.

On admet que le nombre d'enfants qu'une femme met au monde entre son ne et son (n+1)e anniversaire peut être approché par l'expression : u(n) = k.(n + 0,5 - a).(a + 32,5 - n)2 où k est une constante et a l'âge minimum à l'accouchement. Comparer le nombre moyen d'enfants que met au monde une femme entre 40 et 41 ans à celui qu'elle met au monde entre 20 et 21 ans si a = 15. Exercice 9.

Le quotient de mortalité entre les âges a et a + 1 est donné par : qa = da / Sa tandis que le taux annuel de mortalité entre les mêmes âges est donné par : ma = da / [Sa - da / 2]. a. Exprimer ma en fonction de qa. b. Exprimer qa en fonction de ma. c. Calculer qa et ma dans le cas particulier où da = 1 249 décès et Sa = 112 281 survivants. Exercice 10. ***

On suppose qu’une population varie à accroissement absolu annuel constant :

P(t + 1) - P(t) = a Calculer P(t) en fonction de P(0) et de a. Exercice 11. ***

On suppose qu’une population varie à taux d’accroissement relatif annuel constant :

[P(t + 1) - P(t)] / P(t) = k Calculer P(t) en fonction de P(0) et de k. Exercice 12. ***

Les taux bruts de natalité et de mortalité d'une population fermée sont respectivement égaux à 32,17 p.1 000 et 18,03 p.1 000. Calculer le nombre d'individus que comptera cette population le 31 décembre sachant qu'elle comptait 1 842 200 habitants le 1er janvier de l'année considérée. Exercice 13. C

Soit u(n) une suite arithmétique de raison a. i = n

On note S(n) = u(0) + u(1) + ... + u(n) = ∑ u(i) i = 0 Montrer que S(n) = (n + 1) u(0) + a . n (n + 1) / 2

Page 17: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

17

Exercice 14 C ***

L'évolution mensuelle du nombre de personnes détenues, à un instant donné, dans les prisons françaises, peut être décrite par le modèle suivant : i = t i = t

P(t) = P(0) + ∑ E(i) - ∑ S(i) (équation « flux-stock ») i = 1 i =1

P(0) = nombre de détenus présents à la date initiale (t = 0) P(t) = nombre de détenus présents à la date t, c'est-à-dire à la fin du mois n° t E(i) = nombre d'incarcérations pendant le mois n° i S(i) = nombre de libérations pendant le mois n° i. On suppose que E et S varient linéairement en fonction du temps, c'est-à-dire: E(t) = ae .t + be et S(t) = as .t + bs

Montrer que P peut alors être décrite par la relation : P(t) = A. t2 + B.t + C. Calculer A, B et C en fonction des paramètres du modèle. Publication de ce théorème : Tournier (P.V.), « Suites numériques, application à la démographie carcérale », Chantiers de pédagogie mathématique, Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP) Ile-de-France, 1998, n°99, p.15.

Corrections

13.

S(n) = u0 + [u0 + a] + [u0 + 2.a] + [u0 + 3.a] + … [u0 + (n-1)a] + [u0 + n.a] S(n) = [u0 + n.a] + [u0 + (n-1)a] + … + [u0 + 3.a] + [u0 + 2.a] … [u0 + a] En faisant la somme de ces deux lignes, on obtient : 2. S(n) = [2. u0 + n.a] + [2. u0 + n.a] + … + [2. u0 + n.a] + [2. u0 + n.a] Somme de n +1 termes tous égaux à [2. u0 + n.a] 2. S(n) = (n+1) . [2. u0+ n.a] d’où S(n) = ½. (n+1) . [2. u0 + n.a] S(n) = (n + 1). u0 + 1/2 n.(n+1).a Cas particulier u(n) = n est la suite arithmétique de raison 1, avec u(0) = 0 S(n) = 1 + 2 +3 + … + (n-1) + n = ½. n. (n+1)

Page 18: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

18

14.

i = t i = t

P(t) = P(0) + ∑ E(i) - ∑ S(i) i = 1 i =1 i = t i = t

P(t) = P(0) + ∑ (ae .i + be) - ∑ (as .i + bs ) i = 1 i =1 i = t

P(t) = P(0) + ∑ (ae .i + be - as .i - bs ) i = 1 i = t i = t

P(t) = P(0) + ∑ (ae - as.) i + ∑ (be - bs) i = 1 i =1 i = t

P(t) = P(0) + (ae - as.) ∑ i + (be - bs). t i = 1 i = t

∑ i = 1 + 2 + 3 +4 +... t = t.(t + 1) /2 (exercice 13 avec u(n) = n, a = 1 et u(0) = 0). i = 1 P(t) = P(0) + (ae - as.) t.(t + 1) /2 + (be - bs).t P(t) = A. t2 + B.t + C. avec : A = (ae - as.) /2, B = (ae - as.) /2 + (be - bs) et C = P(0)

Page 19: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

19

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques - n°3

Pierre V. Tournier

FONCTIONS NUMERIQUES ELEMENTAIRES

1. Fonctions f(x) = a . x + b 1. fonction numérique de variable réelle x Définition : une fonction numérique de variable réelle est une fonction de R dans R.

f : R → R x→ y = f(x)

Exemples : f(x) = 2.x +1 ; f(x) = - 2.x, f(x) = - 3. 2. Fonction continue sur un intervalle Définition empirique : f définie sur [a ; b], f est continue sur [a ; b] si elle « passe » de f(a) à f(b) en prenant toutes les valeurs intermédiaires. 3. Fonction croissante, fonction décroissante f croissante sur [a ; b] ⇔ ∀x1∈ [a ; b], ∀x2 ∈ [a ; b], x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) f décroissante sur [a ; b] ⇔ ∀x1∈ [a ; b], ∀x2 ∈ [a ; b], x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) 4. Taux d’accroissement et sens de variation d’une fonction x1∈ [a ; b], x2∈ [a ; b], x2 ≠ x1, T = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) Attention : soit P(t) une population variant en fonction du temps ; ne pas confondre T = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1) avec T = [P(t2) - P(t1)] / P(t1) si T ≥ 0 sur [a ; b], f est croissante (au sens large) sur [a ; b]. si T ≤ 0 sur [a ; b], f est décroissante (au sens large) sur [a ; b]. Pour de ne pas confondre avec les « taux démographiques » (par rapport à la valeur initial ou autre), on parlera ici de « taux mathématique » de le fonction P(t) Exemple : étude des variations des fonctions f(x) = a.x +b

Page 20: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

20

5. Maximum et minimum absolus, maximum et minimum relatifs f définie sur Df , xo∈ Df f admet un maximum absolu en xo si et seulement si ∀x∈Df -{ xo}, f(x) < f (xo). La valeur du maximum est f (xo). f admet un minimum absolu en xo si et seulement si ∀x∈Df -{ xo}, f(x) > f (xo). La valeur du minimum est f (xo). f admet un maximum relatif en xo si et seulement s’il existe un intervalle ] xo - α ; xo + α[ ⊂ Df tel que : ∀ x ∈] xo - α ; xo + α[ - { xo}, f(x) < f (xo). La valeur du maximum relatif est f (xo). b. f admet un minimum relatif en xo si et seulement s’il existe un intervalle ] xo - α ; xo + α[ ⊂ Df tel que : ∀ x ∈] xo - α ; xo + α[ - { xo}, f(x) > f (xo). La valeur du minimum relatif est f (xo). 6. Interpolation, extrapolation linéaire P fonction de t avec ∆P /∆t = cste [P(t) - P(t1)] / (t - t1) = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1) P(t) = P(t1) + (t - t1) . [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1) 7. Parité d’une fonction Soit f une fonction définie de R. * f est une fonction paire si et seulement si ∀ x ∈ R on a f(-x) = f(x). Dans ce cas, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des y (symétrie dite axiale). * f est une fonction impaire si et seulement si ∀ x ∈ R on a f(-x) = - f(x). Dans ce cas, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine du repère (symétrie dite centrale). Exemples f(x) = 2. x est impaire ; f(x) = x2 / | x | est paire, f(x) = 2.x + 1 est ni paire, ni impaire.

Page 21: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

21

Exercices

Exercice 15. Représenter graphiquement la fonction définie ainsi : Si t ≥ 1 et x < t alors P(t) = t. Si t ≥ 2 et t ≤ 5, alors P(t) = - t + 6 La fonction est-elle continue sur [1 ; 5] Exercice 16. Représenter graphiquement la fonction définie ainsi : Si t ≥ 1 et t < 3 alors P(t) = t. Si t ≥ 3 et t ≤ 5, alors P(t) = - t + 6 La fonction est-elle continue sur [1 ; 5] Exercice 17. ***

Montrer que si une population varie linéairement en fonction du temps entre deux dates t1 et t2 , la population en milieu de période est égale à la moyenne arithmétique des effectifs en début et en fin de période. Exercice 18.

Représenter la fonction P(t) = | t | / t dans un repère orthonormé. Exercice 19.

Représenter la fonction P(t) = t2 / | t | dans un repère orthonormé. Exercice 20.

Représenter la fonction P(t) = | t2 - 1 | / (t + 1) dans un repère orthonormé. Exercice 21. ***

La population pénale métropolitaine s'élevait à 29 482 détenus au 1er janvier 1976 et à 33 315 détenus au 1er janvier 1979. Donner une évaluation de la population pénale au 1er janvier 1980 à l'aide d'une extrapolation linéaire.

Page 22: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

22

Exercice 22.

A l'aide des données statistiques présentées infra, évaluer la densité médicale du département du Finistère au 1er janvier 1974 (nombre de médecins libéraux pour 100 000 habitants).

1.1.1962 1.1.1968 1.1.1974 Nombre de médecins libéraux 463 578 654 Nombre d’habitants (recensements) 749 558 768 929 ? Densité pour 100 000 61,8 75,2 ?

2. Fonctions f(x) = a. x2 + b. x + c 1. Opérations sur les fonctions et théorèmes sur les fonctions continues f +g, f x g, f / g. 2. Equation du second degré a. x2 + b. x + c = 0 avec a ≠ 0 ∆ = b2 - 4ac si ∆ < 0 l’équation n’a pas de solution dans R. si ∆ = 0 l’équation admet une solution : x = - b/2a si ∆ > 0 l’équation admet deux solutions x = (- b - ∆1/2

) / 2a et x = (- b + ∆1/2) / 2a

3. Théorème du signe du trinôme T(x) = a. x2 + b. x + c = 0 avec a ≠ 0 ∆ = b2 - 4ac Cas 1. Si ∆ < 0 : ∀ x ∈ R, T(x) est du signe de a Cas 2. Si ∆ = 0 : ∀ x ∈ R, T(x) est du signe de a ; T(x) s’annule pour x = - b/2a Cas 3. Si ∆ > 0 : T(x) s’annule pour x1 = (- b - ∆1/2

) / 2a et x2 = (- b + ∆1/2) / 2a

si x ∈] - ∞ ; x1[ ∪ ] x2 ; + ∞ [ alors T(x) est du signe de a. si x ∈] x1 ; x2 [ alors T(x) est du signe de - a.

Exercices Exercice 23.

Représenter la fonction P(t) = t3 / | t | dans un repère orthonormé.

Page 23: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

23

Exercice 24.

Etudier les variatons de la fonction P(t) = t2 + t + 1 Exercice 25. C ***

Soit la fonction f(x) = x2 - 2.m1.x + m2 de variable réelle x (m1 et m2 sont des paramètres). Etudier les variations de cette fonction en calculant son taux d'accroissement sur les intervalles ] - ∞ ; m1 [ et ] m1 ; + ∞ [. Si l'on considère une série statistique de moyenne m1 et de moment non centré d'ordre 2 m2, f(x) représente la distance entre les valeurs observées et un nombre fixe x. Que peut-on conclure de l'étude précédente à propos de la moyenne m1 de la série ?

3. Fonctions f(x) = a / x

Exercices Exercice 26. ***

Soit la fonction f(x) = 1/x . Etudier les variations de f. Dans une population stationnaire sans migration (table de mortalité identique pour toutes les générations, naissances annuelles constantes), l'espérance de vie à la naissance e0 est liée au taux de mortalité m (rapport des décès d'une année à la population durant cette année) par la relation f. Représenter graphiquement e0 en fonction de m. Calculer e0 pour m = 32 p.1 000. Autre façon de dire les choses : Dans une population stationnaire, l’effectif de la population P, à un instant donné, est le produit du nombre d’entrées de l’année (E), par la durée moyenne de séjour dans la population (d, exprimée en années).

P = E x d

4. Fonctions f(x) = (a.x + b) / (c.x + d)

Exercices Exercice 27. ***

Etudier les variations de la fonction f(x) = x / (1 - x) ☛ Cette fonction intervient dans la construction des tables de mortalité de Brass (méthode des logits)

Page 24: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

24

Corrections

25.

soit une série statistique : {x1, x2,...,xi, ...,xn} pour x ∈ R, la distance d(x) de x à la série est définie par : i = n i = n i = n

d(x) = 1/n. ∑ (xi - x)2 = x2- 2/n. ∑ xi . x + 1/n. ∑ xi2 = x2 - 2.m1.x + m2

i = 1 i = 1 i = 1 i = n i = n

avec m1 = 1/n ∑ xi et m2 = 1/n ∑ xi2

i = 1 i = 1

f(x) = x2 - 2.m1.x + m2 T = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [(x2

2 - 2.m1. x2 + m2 ) - (x12 - 2.m1. x1 + m2 )] / (x2 - x1)

T = [(x22 - x1

2 ) - 2.m1 (x2 - x1)] / (x2 - x1) = (x2 + x1 ) - 2.m1

I = ] - ∞ ; m1 [, J = ] m1 ; + ∞ [. signe de T sur I : x1 ∈ I, x2 ∈ I, x1 < m1 et x2 < m1 ⇒ x1 + x2 < 2 m1 ⇒ x1 + x2 - 2 m1 < 0 ⇒ T < 0 signe de T sur J : x1 ∈ I, x2 ∈ I, x1 > m1 et x2 > m1 ⇒ x1 + x2 > 2 m1 ⇒ x1 + x2 - 2 m1 > 0 ⇒ T > 0

X - ∞ m1 + ∞ T - + F ↓ m2 – m1

2 ↑ La distance est minimale pour m1 (moyenne). La moyenne est la valeur la plus proche de la série statistique au sens de la distance définie supra.

Page 25: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

25

RÉVISIONS CONCERNANT LES CAHIERS n°1, n°2 et n°3

Résumé sur les taux d’accroissement

Soit l’intervalle de temps [t1 ; t2] Ta = P(t2) – P(t1) = accroissement absolu sur l’intervalle Tb = [P(t2) – P(t1) / P(t1) : taux d’accroissement relatif calculé par rapport à la population initiale.

Tc = [P(t2) – P(t1)] / ½ [P(t2) + P(t1)]: taux d’accroissement relatif calculé par rapport à la population moyenne. Td = [P(t2) – P(t1)] / P[1/2 (t1 + t2] taux d’accroissement relatif calculé par rapport à la population en milieu de période. * Remarque : lors que P(t) = a.t + b, les taux Tc et Td sont égaux. Taux mathématique sur l’intervalle [t1 ; t2] Te = [P(t2) - P(t1)] / (t2 - t1).

Soit l’intervalle [t, t+1], t exprimé en années :

Ta = P(t+1) – P(t) = accroissement absolu annuel Tb = [P(t+1) – P(t)] / P(t) : taux d’accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population initiale. Tc = [P(t+1) – P(t)] / ½ [P(t) + P(t+1)] : taux d’accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population moyenne. Td = [P(t+1) – P(t)] / P [(t + 0,5] : taux d’accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en milieu de période. * Remarque : lors que P(t) = a.t + b, les taux Tc et Td sont égaux.

Page 26: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

26

Exercices

Exercice 28. ***

Soit une population variant en fonction du temps t (t > 0) de la façon suivante P(t) = a.t + P(0) avec a nombre réel quelconque. 1. Calculer le taux d’accroissement (mathématique) de la fonction P. 2. Que peut-on en conclure sur l’évolution de la population ? 3. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population initiale. 4. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population moyenne. 5. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population en milieu de période. Commenter. Exercice 29. ***

Soit une population variant en fonction du temps t (t > 0) de la façon suivante P(t) = a.t2 + P(0) avec a nombre réel quelconque. 1. Calculer le taux d’accroissement (mathématique) de la fonction P. 2. Que peut-on en conclure sur l’évolution de la population ? 3. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population initiale. 4. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population moyenne. 5. Calculer le taux d’accroissement relatif annuel de P(t) par rapport à la population en milieu de période. Commenter.

Page 27: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

27

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques - n°4

Pierre V. Tournier

FONCTIONS NUMÉRIQUES : ÉTUDE GÉNÉRALE

1. Limites 1. Définition f définie sur I = ] xo - h ; xo + h [ - { xo}, h > 0 lim f(x) = λ signifie : ∀ε > 0 ∃ r > 0, x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) -λ < ε x → xo

Exemple : f(x) = (x2 – 1) / (x -1) 2. Limite et continuité f continue en xo ⇔ lim f(x) = f(xo) x → xo

Exemples : f(x) = 2.x +1 ; f(x) = (2.x +1 ) / (x2 + 1) 3. Limite à gauche, limite à droite limite à gauche : lim f(x) = λ x → xo

-

signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , xo - r < x < xo ⇒ f(x) -λ < ε limite à droite : lim f(x) = λ x → xo

+

signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , xo < x < xo + r ⇒ f(x) -λ < ε Exemple : Soit la fonction définie de la façon suivante Si x < - 1 ou x > - 1 alors f(x) = x ; si - 1 < x < +1 alors f(x) = - x. Détermination des limites quand x tend 1 ou – 1.

Page 28: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

28

4. Opérations sur les limites Théorème 1. : lim f(x) = α, lim g(x) = β alors lim f+g (x) = α + β x → xo x → xo x → xo

Théorème 2. : lim f(x) = α, lim g(x) = β alors lim f.g (x) = α . β x → xo x → xo x → xo

Théorème 3. : lim f(x) = α, a ∈ R, alors lim a.f.(x) = a.α x → xo x → xo

Théorème 4. : lim f(x) = α, lim g(x) = β avec β ≠ 0 alors lim f/g (x) = α / β x → xo x → xo x → xo

5. Extensions de la notion de limite lim f(x) = + ∞ signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) > ε x → xo lim f(x) = - ∞ signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x - xo < r ⇒ f(x) < - ε x → xo lim f(x) = λ signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x > r ⇒ f(x) -λ < ε x → + ∞ lim f(x) = λ signifie : ∀ε > 0, ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x < - r ⇒ f(x) -λ < ε x → - ∞ lim f(x) = + ∞ signifie : ∀ε > 0 , ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x < - r ⇒ f(x) > ε x →- ∞ lim f(x) = - ∞ signifie : ∀ε > 0 , ∃ r > 0 : ∀ x ∈ I , x > r ⇒ f(x) < - ε x → + ∞ 6. Extensions des théorèmes Théorème 1. : si lim f(x) = + ∞, lim g(x) = + ∞ alors lim f+g(x) = + ∞ x → xo x → xo x → xo même résultats si x → xo

+ , x → xo-, x → + ∞, x → - ∞

formulation simplifiée : (+ ∞) + (+ ∞) = (+ ∞) (- ∞) + (- ∞) = (- ∞) a ∈ R, a + (+ ∞) = (+ ∞) a ∈ R, a + (- ∞) = (- ∞)

Page 29: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

29

Théorème 2. (+ ∞) . (+ ∞) = (+ ∞) (- ∞) . (- ∞) = (+ ∞) (- ∞) . (+ ∞) = (- ∞) a > 0, a . (+ ∞) = (+ ∞) a > 0, a . (- ∞) = (- ∞) a < 0, a . (+ ∞) = (- ∞) a < 0, a . (- ∞) = (+ ∞), Théorème 3. 1/(+ ∞) = 0+ 1/(- ∞) = 0- 1/0+ = (+ ∞) 1/0- = (- ∞)

Page 30: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

30

7. Interprétation géométrique a ∈ R, b ∈ R 1° Lim f(x) = + ∞ ( ou - ∞)

x → a (ou x → a+ , a-)

Asymptote d’équation x = a

2° Lim f(x) = b x → + ∞ (ou x → - ∞ )

Asymptote d’équation y = b

3° Lim f(x) = b x → a (ou x → a+ , a-)

point limite P (a, b)

4° Lim f(x) = + ∞ ( ou - ∞) x → + ∞ (ou x → - ∞ )

pas de conclusion immédiate

4.1 Lim f(x) / x = 0 x → + ∞ (ou x → - ∞ )

branche parabolique de direction Ox

4.2 Lim f(x) / x = + ∞ ( ou - ∞) x → + ∞ (ou x → - ∞ )

branche parabolique de direction Oy

4.3 Lim f(x) / x = a (a ≠ 0) x → + ∞ (ou x → - ∞ ) si lim [f(x) - a.x] = b x → + ∞ (ou x → - ∞ )

Asymptote d’équation y = a.x + b

Exercices

Exercice 30.

Calculer les limites de la fonction P aux bornes de son ensemble de définition : P(t) = t2 + t + 1. Exercice 31.

Calculer les limites de la fonction fa aux bornes de son ensemble de définition : fa (x) = a / x. Que peut-on en conclure pour la représentation graphique ? Exercice 32.

Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition : f (x) = x / (1 - x) . Que peut-on en conclure pour la représentation graphique ?

Page 31: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

31

2. Dérivées 1. Fonction dérivable en xo, dérivée Définition : soit un point xo d’un intervalle ]a ; b[ de R et une fonction f définie sur ]a ; b[, xo + h étant un autre point de ]a ; b[, on considère la fonction de h : T(h) = [f(xo + h) - f(xo)] / h encore appelée « taux d’accroissement ». Si T admet une limite quand h tend vers 0, cette limite porte le nom de dérivée de f en xo ; f(x) est dérivable en xo. On note :

lim T(h) = f ’(xo) = Dxf(xo) = df/dxo h→ 0 Théorème : toute fonction dérivable en xo est continue en xo. La réciproque est fausse (exemple f(x) = | x |) 2. Dérivées des fonctions usuelles f(x) = a xo ∈ R, f ’(xo) = 0 f(x) = a.x xo ∈ R, f ’(xo) = a f(x) = a.x2 xo ∈ R, f ’(xo) = 2a. xo f(x) = a/x xo ∈ R

*, f ‘(x o) = - a/ xo

2 3. Dérivée à gauche, dérivée à droite f dérivable à droite en xo : lim [f(xo+ h) - f(xo)] / h = α fd’(xo) = α

h→ 0+

f dérivable à gauche en xo : lim [f(xo+ h) - f(xo)] / h = β fg’(xo) = β

h→ 0-

f dérivable en xo : fd’(xo) = fg’(xo) = f ’(xo) Exemple : f(x) = | x - 1|. 4. Fonction dérivée f dérivable sur ]a ; b[ : ∀x ∈ ]a ; b[, f est dérivable en x. f ’: ]a ; b[ → R x → f ‘(x)

Page 32: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

32

5. Opérations sur les fonctions dérivées f(x) = u(x) + v(x) f ‘(x) = u’(x) + v’(x) f(x) = u(x).v(x) f ‘(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) f(x) = λ. u(x) avec λ.∈ R f ’(x) = λ. u’(x) f(x) = u(x) / v((x) f ‘(x) = [u’(x).v(x) - u(x).v’(x)] / v(x)2 f(x) = 1/u(x) f ’(x) = - u’(x) / u(x)2 f(x) = u(x)n f(x) = n u’(x). u(x)n-1 6. Interprétation géométrique de la dérivée Si une fonction est dérivable au point x0, sa courbe admet une droite tangente en ce point et cette droite fait avec l’axe des x un angle µ tel que tg µ = f ‘(x0). Cas particulier : si la dérivée est nulle, la tangente est parallèle à l’axe des x.

Exercices Exercice 33.

Soit la fonction f(x) = x + | x - 1|. Montrer que f n'est pas dérivable au point x0 = 1. Exercice 34.

Calculer les fonctions dérivées suivantes (on indiquera, dans chaque cas, le domaine de dérivabilité de la fonction) : f(x) = 1/3. x3 - 4.x + 1 f(x) = (3.x - 1)2 + 1 / (x - 3) f(x) = (1 + 2.x) / (1 - 2.x)

3. Applications 1. Théorème sur le sens de variation d’une fonction a. Si une fonction est dérivable sur l’intervalle ]a ; b[ et si sa dérivée est positive ou nulle sur cet intervalle (sans être nulle en tous les points d’un intervalle ouvert de ]a ; b[), alors f est strictement croissante sur ]a ; b[. b. Si une fonction est dérivable sur ]a ; b[ et si sa dérivée est négative ou nulle sur cet intervalle (sans être nulle en tous les points d’un intervalle ouvert de ]a ; b[), alors f est strictement décroissante sur ]a ; b[. c. Si une fonction est dérivable sur ]a ; b[ et si sa dérivée est nulle en tous points de ]a ; b[, alors f est constante sur ]a ; b[.

Page 33: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

33

2. Extremum d’une fonction Théorème 1. : si f est dérivable sur un intervalle centré en xo et si f présente un extremum relatif en xo, on a f ’(xo) = 0. Théorème 2. : si f est dérivable sur un intervalle centré en xo et si la dérivée de f s’annule en xo en changeant de signe, f admet un extremum relatif en xo. 3. Point d’inflexion La courbe représentative de f admet un point d’inflexion en xo si et seulement s’il existe un intervalle ] xo - α ; xo + α[ sur lequel f est dérivable deux fois et si f ’’(x) s’annule en xo avec changement de signe. Exemple et contre exemple : f(x) = x3 admet un point d‘inflexion, f(x) = x4 n’admet pas point d‘inflexion alors que f ‘’(x) s’annule pour x = 0 4. Plan d’étude d’une fonction 1. Ensemble de définition 2. Continuité 3. Parité, ensemble d’étude (s’il y a lieu). 4. Limites aux bornes de l’ensemble de définition (ou de l’ensemble d’étude) 5. Interprétation géométrique des limites 6. Sens de variation (à l’aide de la dérivée) 7. Tableau de variation 8. Allure de la courbe 9. Points particuliers (entre autres points d’inflexion s’il y a lieu).

Exercices Exercice 35.

On suppose que la probabilité de se marier à l'âge x, notée p(x) peut être assimilée à la fonction suivante : p(x) = 10-4 . (- 2.x2 + 120.x - 1 350) Calculer les valeurs de x pour lesquelles p s'annule. Représenter la fonction p. Exercice 36.C

Etudier la fonction f(x) = k.(x -a).(b - x)2 où k, a et b sont trois constantes telles que k > 0 et a < b.

Page 34: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

34

Exercice 37.

Etudier la fonction f(x) = 1/3. x3 - 4.x + 1. On déterminera, en particulier, les coordonnées du point d'inflexion. Représenter graphiquement cette fonction dans un repère. Construire la tangente à la courbe représentative de f au point d'inflexion. Exercice 38.C

Etudier la fonction f(x) = 1/4.x4 - 1/2.x2. Représenter graphiquement la fonction f. Admet-elle un point d'inflexion ? Construire la tangente à la courbe de f au point correspondant à x = 2. Exercice 39.

Etude de la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x Exercice 40. C

Etude de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x) Exercice 41. C

On considère la fonction f, de variable réelle x définie de la façon suivante : si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0 si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x2 . Représenter graphiquement f dans un repère cartésien. On précisera en particulier l'allure de la courbe au voisinage de x = 1. ☛ La fonction f est la fonction cumulative d'une variable statistique dite de Pareto de paramètre 2 et 1. Exercice 42. C ***

Soit la famille de fonction ga (z) = 2.a.z / (2 + a.z) de variable z, paramétrée par a (à chaque valeur de a correspond une fonction ga de variable z). 1. Représenter graphiquement la fonction correspondant à a = 0. Etudier la fonction correspondant à a = 1. Représenter g1. On considère la fonction h définie par h(z) = g1(z) - z. Calculer h(z) ; calculer la limite de h qand z tend vers zéro. Déduire de ce résultat une valeur approchée de g1(z) quand z est voisin de zéro. Etudier les fonctions ga pour a ≠ 0. 2. Dans une population stationnaire, le quotient de mortalité correspondant à un intervalle d'âge donné [x ; x + a] est lié au taux de mortalité correspondant au même intervalle par la fonction ga .Ainsi q (m) = 2.a.m / (2 + a.m), le taux est noté m, le quotient q et l'amplitude de l'intervalle a.

Page 35: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

35

Si a = 1, quel résultat pratique peut-on déduire de l'étude de la fonction h de la question 1 ? Calculer q correspondant à l'intervalle [15 ; 20] si l'on sait que le taux sur cet intervalle est m = 1,07 p.1000 Exercice 43.

Etude de la fonction f(x) = (| x |)1/2.

Corrections

36.

f(x) = k.(x -a).(b - x)2 f ’(x) = k.[(b - x)2 + (x -a) 2.(-1) (b - x)] = k.(b - x) (b - x + 2a - 2x) f ‘(x) = k. (b - x) (b + 2a - 3x) k > 0 a < b ⇒ 2a < 2b ⇒ 2a + b < 3b ⇒ (2a + b)/3 < b

X - ∞ (2a + b )/3 b + ∞ b – x + + 0

b + 2a – 3x

+ 0 - -

f ’(x) + 0 - 0 + f(x) - ∞ ↑ ↓ 0 + ∞

38.

f(x) = 1/4.x4 - 1/2.x2. fonction paire I = [ 0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. f ’(x) = x3- x = x (x + 1) (x -1)

X 0 1 + ∞ X 0 + +

x + 1 + + x – 1 - 0 + f ’(x) 0 - 0 + f(x) 0 ↓ -1/4 ↑ + ∞

f ’’(x) = 3x 2 - 1 = (31/2x - 1) (31/2x + 1) f ‘’ s’annule pour x = 1/31/2 et x = - 1/31/2 en changeant de signe : 2 points d’inflexion.

40.

fa (x) = ax / (1 - a.x) 1. ∀x ∈ R, fo(x) = 0 ; la représentation graphique de fo est l’axe des x.

Page 36: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

36

2. a ≠ 0, D = ] - ∞ ; 1/a [ ∪ ] 1/a ; + ∞ [ f ‘(x) = a / (1 - ax)2

a < 0 a > 0

X - ∞ 1/a + ∞ X - ∞ 1/a + ∞

fa’ (x) - - + +

fa (x)

- 1 + ∞

↓↓↓↓ ↓↓↓↓ - ∞ - 1

fa

(x) + ∞ - 1

↑↑↑↑ ↑↑↑↑ - 1 - ∞

41.

si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0 si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x2 . D = R ∀x ∈ ]1 ; + ∞ [, f ‘(x) = 2/x3 Dérivée à droite au point xo = 1 : T(h) = [f(1+h) - f(1)] / h = (2 +h) / (1 + h)2 lim T(h) = 2 h→ 0+

x 1 + ∞

f ’(x) 2 + f(x) 0 ↑ 1

42.

ga (z) = 2.a.z / (2 + a.z) 1. h(z) = g1(z) - z. = - z2/ (2 + z) lim h(z) = 0 h→ 0

Si z est voisin de 0, g1(z) est pratiquement identique à z. fonctions ga pour a ≠ 0. T = 4a / (2 + az1)(2 + az2)

a < 0 a > 0 X - ∞ -2/a + ∞ X - ∞ -2/a + ∞

fa’ (x) - - + +

fa (x)

2 + ∞

↓↓↓↓ ↓↓↓↓ - ∞ 2

fa

(x) + ∞ 2

↑↑↑↑ ↑↑↑↑ 2 - ∞

2. Si a = 1 et m est petit (voisin de 0), alors q et m sont pratiquement égaux ; on peut alors confondre taux et quotient .

Page 37: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

37

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques - n°5

Pierre V. Tournier

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

1. Fonctions exponentielles 1. Définition fa(n) = a

n , si a > 0, fa est une suite monotone sur N. Pour a > 0, on peut prolonger cette fonction sur R de façon unique telle que l’on ait : fa(x + y) = fa(x) . fa(y) fa(0) = 1 On appelle cette fonction « fonction exponentielle de base a ». Elle est continue, dérivable sur R. ∀ x ∈ R, fa(x) > 0 fa est une bijection de R dans ] 0 ; + ∞ [ notation : ∀ x ∈ R, fa(x) = a

x ax . ay = ax + y (ab)x = ax . bx (ax)y = axy

2. Variations des fonctions exponentielles de base a (a >0) a > 1 : fa croissante sur R (exemple : f(x) = 2x ) 0 < a < 1 : fa décroissante sur R (exemple f(x) = (1/2)x ) a = 1 : fa constante sur R 3. Limites a > 1 : lim fa

(x) = + ∞ lim fa (x) = 0+ x→ + ∞ x→ - ∞ 0 < a < 1 : lim fa

(x) = 0+ lim fa (x) = + ∞ x→ + ∞ x→ - ∞

Page 38: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

38

4. Variations

a > 1 0 < a < 1 x - ∞ + ∞ X - ∞ + ∞

fa (x)

+ ∞

↑↑↑↑ 0+

fa

(x) + ∞

↓↓↓↓ 0+

Exemple : f(x) = 2x exemple : f(x) = (1/2)x 5. Fonction exponentielle népérienne (de base e) Théorème 1 : fa fonction exponentielle de base a, fa’(x) = fa(x) . fa’(0). Théorème 2 : il existe une fonction fa unique telle que fa’(0) = 1; on la note exp (x). Propriétés : exp x est définie sur R exp (x + y) = exp x . exp y exp x > 0 exp 0 = 1 (exp x)’ = exp x Notation : exp (1) = e ; exp x = ex ( e ≅ 2,718 donc e >1) lim ex = + ∞ lim ex /x = + ∞ lim ex = 0+ x→ + ∞ x→ + ∞ x→ - ∞ Dérivée de exp u(x) : [ exp u(x) ]’ = u’(x) . exp u(x)

Exercices Exercice 44.

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f(x) = (2.x2 + 3.x). exp x f(x) = x. e2x - 1 f(x) = x + e2x - 1 Exercice 45.

Représenter graphiquement la fonction f(x) = 2.ex - 1 Exercice 46.

Représenter graphiquement la fonction f(x) = 1 - ex

Page 39: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

39

Exercice 47. ***

f(x) = k. exp { - 0,5 [ (x - m)/s ]2 }, avec s > 0 et k > 0 Montrer que f admet un maximum absolu dont on déterminera la valeur en fonction de k. ☛ la fonction f est la densité d'une variable statistique normale. Exercice 48. C ***

Etude de f(x) = k exp (- 0,5 x2), k est un réel strictement positif. Représenter f (on prendra 3 cm comme unité de longueur sur l'axe des x et 20 cm sur l'axe des y). ☛ la fonction f est la densité d'une variable statistique normale réduite. Exercice 49. C

Etude de la fonction f(x) = 0,5 exp ( - | x | ). Représenter la fonction f (unité de longueur sur les deux axes : 5 cm). Calculer les valeurs de f pour x = 0,5, 1 et 2. On admettra le résultat suivant : lim (e-h - 1)/h = - 1. h→ 0+

☛ la fonction f est la densité d'une variable aléatoire suivant la 1ère loi de Laplace. Exercice 50. C ***

Etude de la fonction P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. On suppose que k, a et r sont des constantes strictement positives. Application numérique : on prendra k = 5, a = 3 et r = 2. Calculer P(t) pour t = - 1, 0, 1, 2 et 3. Représenter la fonction P dans un repère cartésien (unité de longueur sur chacun des axes : 2 cm). ☛ la fonction P définit, en démographie mathématique, la « population logistique ». Exercice 51.

Etude de la fonction f(x) = exp [ x / 1 + x ]. Représenter f : calculer en particulier les valeurs de f pour x = - 6, - 2, - 1/2, 0, 1 et 4. Démontrer que la courbe de f admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées. Donner l'équation de la tangente en ce point. Exercice 52.

Etude de la fonction f(x) = [ ex - e- x] / [ ex + e- x]. On pourra montrer que f est une fonction impaire. On déterminera, en particulier, les coordonnées du point d'inflexion. Représenter graphiquement cette fonction dans un repère. Construire la tangente à la courbe représentative de f au point d'inflexion.

Page 40: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

40

2. Fonctions logarithmes 1. Définition On appelle fonction logarithme de base e, la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base e (logarithme népérien). y = ex ⇔ x = Ln y Ln x est définie sur ] 0, + ∞ [. 2. Propriétés Ln 1 = 0, Ln e = 1 Ln x.y = Ln x + Ln y (x > 0, y > 0) Ln x/y = Ln x - Ln y (x > 0, y > 0) Ln xn = n . Ln x (x > 0) 3. continuité, dérivabilité Ln continue, dérivable sur ] 0, + ∞ [, (Ln x)’ = 1/x, [Ln u(x)]’ = u’(x) / u(x) 4. Limites lim Ln x = + ∞ lim (Ln x) /x = 0 lim Ln x = - ∞ x→ + ∞ x→ + ∞ x→ 0+ 5. Variations Ln est une fonction strictement croissante sur ] 0, + ∞ [. de plus 0 < x < 1 ⇒ Ln x < 0 et x > 1 ⇒ Ln x > 0 6. Logarithme de base a a > 0, a ≠ 1 loga x = Ln x / Ln a loga est la bijection réciproque de ax.

Page 41: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

41

Exercices

Exercice 53. C ***

Etude de la fonction f(x) = 0,5 . Ln [x / 1 - x]. f(x) est appelé le logit de x. Cette fonction intervient dans la construction des tables de mortalité de Brass. Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion I que l'on déterminera. Donner l'équation de la tangente à la courbe au point I. Calculer logit (1/4) et logit (3/4). Représenter graphiquement f (unité de longueur sur les deux axes : 5 cm). Soit a ∈ [1/4 ; 3/4] ; déterminer une valeur approchée de logit (a). Appliquer cette méthode pour a = 0,35. Exercice 54.

Etude la fonction f(x) = Ln [ 2x / 2 + x ]. Représenter f : on calculera en particulier f(1), f(2) et f(-3). Construire les tangentes aux points correspondant à x = 2 et x = - 3. Exercice 55. ***

1. Soit la famille de fonctions fa (x) = a / Ln(1 + x) Etudier les fonctions fa. Représenter la fonction f1. Pour cela calculer les valeurs particulières correspondant à x = - 3/4, - 1/2, 1 et 3. Construire la tangente à la courbe de f1 au point x = 1. Vérifier que la courbe admet un point d'inflexion I avec xI = e-2 - 1. Calculer l'ordonnée de I et la pente de la tangente en ce point à la courbe (e2 = 7,4). 2. Soit P(t) une population variant à taux d'accroissement annuel constant. Démontrer la relation suivante : P(t) = P(0) (1+r)t où P(0) représente l'effectif de la population au début de la période de référence, P(t) l'effectif après t années et r le taux d'accroissement annuel (t entier). Montrer que le délai requis pour un doublement de la population noté d est lié au taux d'accroissement annuel r par la relation suivante :

d(r) = Ln 2 / Ln (1 + r), r strictement positif En admettant que Ln (1 + r) est approximativement égal à r lorsque r est petit devant 1, calculer d(0,01), d(0,02), d(0,03) et d(0,04). Exercice 56. ***

Déterminer le temps de doublement d'une population dont l'accroissement relatif annuel est supposé constant et égal à 1 %. On donne Ln 2 = 0,693 et Ln 1,01 = 0,00995.

Page 42: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

42

3. Applications

Exercices Exercice 57. ***

La population pénale métropolitaine s'élevait à 26 032 détenus au 1er janvier 1975 et à 33 315 détenus au 1er janvier 1979. Donner une évalution prévisionnelle de la population pénale au 1er janvier 1980 à l'aide d'une extrapolation linéaire. Calculer le taux d'accroissement annuel moyen de cette population pour la période « 1.1.75 - 1.1.79 ». En déduire une seconde évaluation de la population au 1er janvier 1980 en supposant qu'elle varie à taux d'accroissement annuel constant. En conservant cette hypothèse, déterminer la date à partir de laquelle cette population dépasserait 40 000 unités. Exercice 58. C ***

Montrer que l'évolution en fonction du temps d'une population variant à taux d'accroissement relatif annuel constant peut être décrite par la relation P(t) = A.exp B.t. On précisera la signification des paramètres A et B. Exercice 59. C ***

Soit la famille de fonction fa (x) = exp [ - x + (a-1). Ln x ], avec a > 0. 1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions fa. 2. Etude de la fonction f1. Calculer f1(x) pour x = 1/2, 1 et 2. Déterminer la limite de f1

’(x) quand x tend vers 0+. Construire la courbe de f1 (unités : 5 cm). 3. Etude des fonctions fa avec 0 < a < 1. Calculer les limites de ces fonctions aux bornes de l'ensemble de définition. Montrer que ces fonctions sont strictement décroissantes. 4. Etude des fonctions fa avec a > 1. Montrer que fa admet un maximum que l'on déterminera. ☛ les fonctions fa permettent de définir les fonctions eulériennes de seconde espèce utilisées en statistique.

Corrections

48.

f(x) = k exp (- 0,5 x2). Df = R, f paire : étude sur I = [0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. f ‘(x) = k (-x). exp (- 0,5 x2) : sur Df f ‘(x) < 0, donc f décroissante. f ’’(x) = - k (1 - x)(1 + x) exp (- 0,5 x2) sur [0 ; + ∞ [ , f ’’(x) = 0 pour x = 1 avec changement de signe en 1. Point d’inflexion I, xI = 1, yI = k exp(- 0,5) = 0,24, f ‘(xI) = - k exp(- 0,5) = - 0,24.

Page 43: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

43

X 0 + ∞ f ’(x) 0 - f(x) k ↓ 0+

49.

f(x) = 0,5 exp ( - | x | ). Df = R, f paire : étude sur I = [0 ; + ∞ [ + symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. sur I, f(x) = 0,5 exp (- x) si x ∈ ] 0 ; + ∞ [ f ‘(x) = - 0,5 exp (- x), f ‘(x) < 0, f décroissante f(0) = 0,5 dérivabilité de f en xo= 0

T(h) = [f(h) - f(0)] / h = 0,5.(e-|h|- 1)/h lim T(h) = - 0,5 h→ 0+ f ‘ d(0) = - 0,5

50.

P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. k, a et r sont des constantes strictement positives. D = R P ‘(t) = k.r exp (a - r.t) / [1 + exp(a-r.t)]2 , P ‘(t) > 0. P’’(t) = - kr2.exp (a - r.t) [1 + exp(a - r.t)][1 - exp(a - r.t)] / [1 + exp(a - r.t)]4 P’’(t) = 0 ⇔ exp(a - r.t) = 1 ⇔ exp(a - r.t) = exp 0 ⇔ a - r.t = 0 ⇔ t = a/r P’’(t) s’annule pour t = a/r avec changement de signe. Point d’inflexion I : xI = a/r, yI = k/2, f ‘(xI) = k.r/4

53.

f(x) = 0,5 . Ln [x / 1 - x]. Df = {x ∈ R / x/(1-x) > 0 } = ] 0 ;1 [ f ‘(x) = 0,5. [1/(1 - x)2].[ (1 - x)/x] , f ’(x) > 0 f ’’(x) = 0,5. (-1 + 2x)/(x - x2)2 f ’’(x) s’annule pour x = 0,5 en changeant de signe. Point d’inflexion I : xI = 0,5, yI = 0, f ‘(xI) = 2 Equation de la tangente au point d’inflexion : y = 2x - 1

X 0 1 f ’(x) + f(x) - ∞ ↑ + ∞

Soit a ∈ [1/4 ; 3/4] ; valeur approchée de logit (a) : logit (a) = 2a - 1.

Page 44: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

44

58.

P(t) = A.exp B.t P(t) = P(0)(1 + a)t y = (1 + a)t Ln y = Ln (1 + a)t Ln y = t.Ln (1 + a) exp [Ln y] = exp [t.Ln (1 + a)] y = exp [t.Ln (1 + a)] P(t) = P(0) exp [t.Ln (1 + a)] = A.exp B.t avec A = P(0) et B = Ln (1 + a)

59.

fa (x) = exp [ - x + (a-1). Ln x ], avec a > 0. 1. Dfa = ] 0 ; + ∞ [ 2. f1(x) = exp (-x) 3. et 4. f ’ a (x) = [- 1 + (a-1) / x] .exp [ - x + (a-1). Ln x ], f ’ a (x) = 0 ⇔ - 1 + (a-1) / x = 0 ⇔ - x + (a-1) = 0 ⇔ x = a - 1 1er cas : 0 < a < 1 a - 1∉ Dfa, donc f ’a (x) < 0 2e cas : a > 1 a - 1 ∈ Dfa , donc f ’a (x) = 0 pour x = a - 1.

0 < a < 1 a > 1 X 0 + ∞ X 0 a - 1 + ∞

fa’ (x) - fa’

(x) + 0 -

fa (x)

+ ∞

↓↓↓↓ 0+

fa

(x) ym

↑↑↑↑ ↓↓↓↓

Page 45: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

45

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°6

Pierre V. Tournier

RÉVISIONS DE LA PARTIE A

Exercice 60. C ***

Expliciter les différentes étapes que permettent de passer de la notion de suite géométrique aux fonctions fa(x) = ax, (avec a > 0), puis f(x) = ex et enfin f(x) = Ln x. Exercice 61. C ***

Dans le désordre… Soit P une population variant en fonction du temps t ( t ≥ 0). Classer ces différents modèles d’évolution où a, b, k, r, A et B représentent des constantes. On indiquera, dans chaque cas, le sens de ces paramètres. Modèle 1. [P(t2) – P(t1)] /[ t2 – t1] = a Modèle 2. P(t) = a.t + b Modèle 3. ∆ P / ∆ t = a Modèle 4. P(t) = a.t2 + b.t + P(0) Modèle 5. P(t) = a.t + P(0) Modèle 6. P(t) = P(0) (1 + k)t Modèle 7. P(t+1) = P(t) + a Modèle 8. P(t+1) – P(t) = a Modèle 9. P(t) = P(0).at Modèle 10. [P(t+1) – P(t)] / P(t) = k Modèle 11. P(t+1) = a P(t)

Page 46: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

46

Modèle 12. P(t) = A. exp (B.t) Modèle 13. P(t) = k / [ 1 + exp (a - r.t) ]. Avec k, a et r strictement positifs Modèle 14. P(t) = 1 / (t +a), avec a > 0

Corrections

60.

Expliciter les différentes étapes que permettent de passer de la notion de suite géométrique aux fonctions fa(x) = ax, (avec a > 0), puis f(x) = ex et enfin f(x) = Ln x. Etape 1. - Suites numériques u : N → R n → u(n) ; on note aussi u(n) = un terme de rang n de la suite Etape 2.- Suites géométriques ∀ n ∈ N, u(n + 1) = a. u(n), a raison de la suite. Propriété : ∀ n ∈ N, u(n) = u(0) an Si u(0) > 0 et a > 1, u(n) est strictement croissante Si u(0) > 0 et 0 < a < 1, u(n) est strictement décroissante u suite géométrique : ∀n∈ N, ∀p∈ N u(n) . u(p) = u(0) . u(n + p) Etape 3. - Suites exponentielles Soit u une suite géométrique. Si u (0) = 1, u est appelée « suite exponentielle », u(n) = an les suites exponentielles sont les seules suites vérifiant u (n).u (p) = u (n + p) si a > 1, u(n) est strictement croissant ; exemple : u(n) = 2n si 0 < a < 1, u(n) est strictement décroissante ; exemple u(n) = 1/2n Etape 4. - Fonction exponentielle (de base a > 0 ) fa(n) = a

n , si a> 0, fa est une suite monotone sur N. Pour a > 0, on peut prolonger cette fonction sur R de façon unique telle que l’on ait : fa(x + y) = fa(x) . fa(y) ; fa(0) = 1 On appelle cette fonction « fonction exponentielle de base a ». Elle est continue, dérivable sur R. ∀ x ∈ R, fa(x) > 0 ; fa est une bijection de R dans ] 0 ; + ∞ [ notation : ∀ x ∈ R, fa(x) = a

x

Page 47: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

47

Etape 5. – Fonction népérienne (de base e) fa fonction exponentielle de base a, fa’(x) = fa(x) . fa’(0). Il existe une fonction fa unique telle que fa’(0) = 1; on la note exp (x) ou ex e est un nombre positif (valeur approchée : 2,7) Etape 6. - Fonction logarithme de base e La fonction logarithme de base e est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base e (logarithme népérien). y = ex ⇔ x = Ln y

61.

Modèle linéaire Modèle 1. [P(t2) – P(t1)] / [t2 – t1] = a ; a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la droite représentative de P(t). Modèle 2. P(t) = a.t + b ; a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la droite ; b population initiale (pour t = 0), b = P(0). Modèle 3. ∆P / ∆t = a ; a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la droite. Modèle 5. P(t) = a.t + P(0) ; P(0) population initiale (pour t = 0),a accroissement absolu annuel, coefficient directeur de la droite. Modèle 7. P(t+1) = P(t) + a ; a raison de la suite arithmétique, accroissement absolu annuel. Modèle 8. P(t+1) – P(t) = a ; a raison de la suite arithmétique, accroissement absolu annuel. Modèle exponentiel Modèle 6. P(t) = P(0) (1 + k)t ; P(0) population initiale (pour t = 0), k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en début d’intervalle (voir modèle 10.) Modèle 9. P(t) = P(0).at ; P(0) population initiale (pour t = 0), a raison de la suite géométrique (voir modèle 11). Modèle 10. [P(t+1) – P(t)] / P(t) = k ; k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en début d’intervalle [P(t)].

Page 48: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

48

Modèle 11. P(t+1) = a P(t), a raison de la suite géométrique Modèle 12. P(t) = A. exp (B.t) ; A = P(0), population initiale (t = 0) et B = Ln (1 + k), avec k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en début d’intervalle (voir modèle 10.) NB. Relation entre k accroissement relatif annuel calculé par rapport à la population en début d’intervalle (voir modèle 10.) et a raison de la suite géométrique (voir modèle 11.) : a = 1 + k Autres modèles Modèle 4. P(t) = a.t2 + b.t + P(0) ; voir exercice n°14. Modèle 13. P(t) = k / [1 + exp (a - r.t) ] ; k représente la palier que P(t) ne peut pas dépasser (asymptote y = k), et a/r est l’abscisse du point d‘inflexion. Modèle 14. P (t) = 1 / (t +a) ; a = 1 / P(0).

Page 49: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

49

Ensembles et fonctions

Exercice 62. Expliciter le sens de la proposition suivante : ∀ x ∈ E / ∃ y ∈E, y > x. Cette proposition est-elle vraie ? Exercice 63. Soit E = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Donner une définition en compréhension de E. Soit A = {1, 3, 6}. Définir B complémentaire de A dans E. Soit A = {1, 3, 6} et C = {7, 8, 9}. Calculer A ∩ C. Exercice 64. Soit E un ensemble et P = {A1, A2, A3}, ensemble de trois parties de E. Indiquer une condition pour que P ne soit pas une partition de E. Exercice 65. Soit f une fonction numérique de variable réelle. A quelle condition f est-elle une application ? Exercice 66. Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F. A quelle condition f est-elle une injection de E dans F ? Exercice 67. S oit A = {1, 2, 3} et B = {1, 2}. Soit f la fonction de A dans B, définie par son graphe F = {(1, 2), (2, 1), (3, 1).} f est-elle une surjection ? Soit H le graphe d’une fonction h, de A dans B, avec H = {(1, 1), (2,1), (3, 2)}. h est-elle surjective ? Soit K le graphe d’une fonction k, de A dans B, avec K = {(1,2)} k est-elle injective ?

Suites numériques

Page 50: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

50

Exercice 68. Que peut-on dire de la suite u (n) = 1/ n ? Exercice 69. Quelle est la limite de la suite u (n) = n / (n+1) quand n → + ∞ ? Exercice 70. Soit P (t) une population pour laquelle la quantité [P (t+1) – P (t)] / P (t) est constante et égale à λ, sur une période donnée, la variable t étant exprimée en années. Que peut-on dire de l’évolution de P ? Que peut-on dire de λ ? Exercice 71. On suppose qu’une population varie à accroissement absolu annuel constant de 1000 habitants. Soit P(0) = 10 000, population prise comme valeur initiale. Calculer l’effectif de la population au bout de 10 ans noté P(10).

Fonctions numériques élémentaires Exercice 72. Calculer le taux d’accroissement mathématique de la fonction f(x) = 1 / x. Exercice 73. Soit f(x) = 1/x + 1/(2x - 1). Donner l’ensemble de définition de f. Exercice 74. La fonction f(x) = x2 + x + 1 est-elle paire ? Exercice 75. La fonction f(x) = x2 est-elle croissante sur R ?

Page 51: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

51

Fonctions numériques : étude générale

Exercice 76. Que signifie l’écriture suivante fa (x) = ax2 + 1/a ? Exercice 77. Montrer, à partir de la définition de la dérivabilité, que la fonction f(x) = x2 est dérivable sur son ensemble de définition. Exercice 78. Soit la fonction f(x) = (2x – 1) / (- x + 2). Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et interpréter géométriquement les résultats. Exercice 79. Soir la famille de fonction f’(x) = k (x - a) (b – x)2 de variable x, paramétrée par k, a et b, avec k> 0 et a < b. Soit C la courbe représentative de f dans un repère. Montrer que C coupe l’axe des x en deux points M et N dont on déterminera les coordonnées. Exercice 80. Montrer que la fonction f(x) =│x - 1│ n’est pas dérivable sur l’ensemble des réels. Exercice 81. Montrer, par le calcul, que f (x) = x4 + x + 1 n’admet pas de point d’inflexion (on rappellera comment, géométriquement, se présente un point d’inflexion). Exercice 82. Calculer la fonction dérivée de la fonction f (x) = (1 + 3x) / (1 - x). Exercice 83. Calculer la fonction dérivée de f(x) = (-5x +1) 4 - 1 / (4x +1) + 3 x5 Donner le domaine de dérivabilité.

Page 52: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

52

Exercice 84. Montrer que la fonction f(x) = 3 x2 - x + 1 admet un minimum absolu dont on précisera la valeur. Exercice 85. Montrer, par le calcul, que la courbe représentative de la fonction f(x) = x4 n’admet pas de point d’inflexion.

Fonctions exponentielles et logarithmes Exercice 86. A quelle condition la suite exponentielle u(n) = an est-elle strictement croissante ?

Exercice 87. Comment définit-on la fonction exponentielle népérienne (de base e) ? Exercice 88. Quel est l’ensemble de définition de la fonction 1 /( ex – 1) ? Exercice 89. Calculer les limites de la fonction f (x) = exp [ - x / 1 - x ] aux bornes de son ensemble de définition. Donner une interprétation géométrique des résultats. Exercice 90. Etudier les variations de la fonction f (x) = Ln [x / 1-x]. Exercice 91. Soit la fonction f(x) = k exp (- 0,5 x2). Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et interpréter les résultats.

Page 53: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

53

Exercice 92. Montrer que la fonction f(x) = 0,5 .Log [x / (1 - x)] est croissante sur son ensemble de définition.

Page 54: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

54

Page 55: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

55

PARTIE B.

Calcul différentiel, calcul intégral et algèbre linéaire (espaces vectoriels, applications linéaires, matrices)

Page 56: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

56

Page 57: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

57

Sommaire

Cahier n°1. Compléments de calcul différentiel……………………………... 59 1. Rappels………………………………………………………………………...

59

2. Développement d’une fonction en série……………………............................ 61 Cahier n°2. Eléments de calcul intégral……………………...........................

66

1. Primitives d’une fonction……………………………………………………...

66

2. Notion d’intégrale…………………………………………………………….. 70 3. Extensions de la notion d’intégrale simple…………………………………… 81 Cahier n°3. Les espaces vectoriels…………………………………………….

85

1. Définitions……………………………………………………………………..

85

2. Combinaisons linéaires et sous-espaces vectoriels…………............................ 87 3. Applications linéaires et équations linéaires…………….................................. 92 Cahier n°4. Eléments de calcul matriciel……………………. ……………….

99

1. Définitions……………………………………………………………………..

99

2. Opérations sur les matrices…………………………………............................. 100 3. Matrice d’une application linéaire…………………………………………….. 105 4. Changement de base et matrice de passage…………………………………… 106 5. Résolution des systèmes d’équations linéaires ……………………………….. 108 6. Diagonalisation ……………………………………………………………….. 108 Révisions Cahiers n°3 et n°4……………………………………………………

113

Cahier n°5. Sujets de partiels…………..……………………. ……………….

120

Référence bibliographique Les exercices n°18, n°24-27 sont empruntés à : Duchêne (J) et Vilquin (E), Mathématiques pour démographes, rappels théoriques - exercices résolus, Université catholique de Louvain, Institut de démographie, académia 25/115 Grand’Rue, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique.

Page 58: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

58

Page 59: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

59

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°1

Pierre V. Tournier

COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

1. Rappels 1. Fonction dérivable en xo, fonction dérivée Définition : soit un point xo d’un intervalle ]a ; b[ de R et une fonction f définie sur ]a ; b[, xo + h étant un autre point de ]a ; b[, on considère la fonction de h : T(h) = [f(xo + h) - f(xo)] / h encore appelée « taux d’accroissement » de la fonction f. Si T admet une limite quand h tend vers 0, cette limite porte le nom de dérivée de f en xo ; f(x) est dérivable en xo. On note :

lim T(h) = f ’(xo) h→ 0 2. Fonction dérivée f dérivable sur ]a ; b[ <= > ∀x ∈ ]a ; b[, f est dérivable en x. f ’: ]a ; b[ → R x → f ‘(x) 3. Fonctions dérivées des fonctions usuelles f(x) = a x ∈ R, f ’(x) = 0 f(x) = a.x x ∈ R, f ’(x) = a f(x) = a.x2 x ∈ R, f ’(x) = 2 a x f(x) = a / x x ∈ R

*, f ‘(x) = - a / x2

f(x) = ex x ∈ R, f ’(x) = ex f(x) = Ln x x ∈ R+*, f ’(x) = 1/x

Page 60: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

60

4. Opérations sur les fonctions dérivées f(x) = u(x) + v(x) f ‘(x) = u’(x) + v’(x) f(x) = u(x).v(x) f ‘(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) f(x) = λ. u(x) avec λ∈ R f ’(x) = λ. u’(x) f(x) = u(x) / v((x) f ‘(x) = [u’(x).v(x) – u(x).v’(x)] / v(x)2 f(x) = 1/u(x) f ’(x) = - u’(x) / u(x)2 f(x) = u(x)n f ’(x) = n u’(x). u(x)n-1 f(x) = goh(x) f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x) Voir exercices n°1 et n°2 5. Dérivée d’une fonction polynomiale Une fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) est définie pour tout x ∈ R par : f(x) = an.x

n + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao Les ai sont des constantes réelles et an ≠ 0

i = n f(x) = ∑ ai.x

i . La dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées ,

i = 0 i = n f ‘(x) = ∑ ( ai.x

i ) = ∑ i. ( ai.xi - 1

) i = 0 f ‘(x) = n .an .x

n-1 + (n – 1) an-1. xn-2. + ... + a1

6. Différentielle d’une fonction dérivable Autre formulation de la dérivabilité : considérons deux réels x et x +∆ x, aussi proche que l’on veut l’un de l’autre, la dérivée de f(x) au point x peut être définie comme la limite du rapport [ f (x + ∆ x) – f(x) ] / ∆ x quand ∆ x tend vers 0. On appelle différentielle d’une fonction dérivable f(x) le produit de sa dérivée f ‘(x) par un accroissement aussi petit que l’on veut de la variable, ∆ x. Notation provisoire de la différentielle de f : df(x) = f ‘(x). ∆ x. Cas particulier : f(x) = x, alors f ‘(x) = 1. df(x) = dx = ∆ x. df(x) = f ’(x) . dx ou encore f ‘(x) = df(x) / dx. La dérivée d’une fonction par rapport à une variable est donc le rapport de la différentielle de cette fonction à la différentielle de la variable.

Page 61: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

61

2. Développement d’une fonction en série Dans certaines situations, il peut être utile de substituer à une fonction non polynomiale une fonction polynomiale qui n’en diffère que par une marge d’erreur d’approximation aussi petite que l’on veut. Soit f(x) une fonction dérivable Par définition, f’’(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h h → 0 Si h est petit, on peut écrire : f ’(x) ≈ [f(x + h) - f(x)] / h Ou bien : f (x+h) ≈ f(x) + h . f ’(x). Pour x = 0, f (h) ≈ f(0) + h . f ’(0). Développement en série de Taylor Si f(x) est dérivable n fois, on obtient le développement en série de Taylor d’ordre n : quand h tend vers 0 : f (x+h) ≈ f(x) + h. f ‘(x) + [ h2 /2! ] f ”(x) + ... + [ hn /n! ] f (n) (x) ou h ! = h . (h-1).(h-2) .... 3.2.1. et f (n) (x) est la dérivée d’ordre n de f(x). Développement en série de Mac-Laurin Dans le cas particulier où x = 0, on obtient le développement en série de Mac-Laurin d’ordre n, quand h tend vers 0.

f (h) ≈ f(0) + h. f ‘(0) + [ h2 /2! ] f ”(0) + ... + [ hn /n! ] f (n) (0). Exemples : voir exercices n°3 et suivants

Exercices Exercice 1. C

Calculer la fonction dérivée de la fonction suivante à l’aide du théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions. f(x) = exp u(x) où u est une fonction dérivable quelconque. Exemple : f(x) = exp [x2 + 1]

Page 62: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

62

Exercice 2. C

Calculer la fonction dérivée de la fonction suivante à l’aide du théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions. f(x) = Ln u(x) où u est une fonction dérivable quelconque. Exemple : f(x) = Ln [x2 +1] Exercice 3. C

1. Calculer le développement en série de f(x) = (1+x)4 d’ordre r = 1, quand x est proche de 0. 2. Calculer le développement en série de f(x) = (1+x)4 d’ordre r = 2, quand x est proche de 0. 3. Calculer le développement en série de f(x) = (1+x)4 d’ordre r = 5, quand x est proche de 0. Commenter.

4. Développement en série de (1 + x)n d’ordre r avec r < n, quand x est proche de 0.

Exercice 4. C

Développement en série de f(x) = (1 – x)n d’ordre r, avec r < n, avec x est proche de 0. Exercice 5. C

Développement en série de f(x) = 1 / (1 + x) d’ordre n, avec x est proche de 0. Exercice 6. C

Quelle erreur relative commet-on en prenant comme approximation de 1 / (1 +x), 1 – x ? Exercice 7. C

Développement en série de ex d’ordre n, avec x est proche de 0.

Corrections

1.

f(x) = exp u(x) x → u(x) → exp u(x) Notons g(x) = exp x , f = gou, f(x) = gou (x) = g [u(x)]

Page 63: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

63

D’après le théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions on a : f ‘(x) = g’[u(x)] . u’(x) g’(x) = exp x, g’[u(x)] = exp u(x). Donc f ’(x) = exp u(x) . u’(x). Exemple : si f (x) = exp [x2 + 1] alors f ‘(x) = exp [x2 + 1] . 2x

2.

f (x) = Ln u(x) x → u(x) → Ln u(x) Notons g(x) = Ln x , f = gou, f(x) = gou (x) = g [u(x)] D’après le théorème sur la dérivée de la composée de deux fonctions on a : f ‘(x) = g’[u(x)] . u’(x) g’(x) = 1/ x, g’[u(x)] = 1/ u(x) Donc f ’(x) = [1 / u(x) ] . u’(x). = u’(x) / u(x) Exemple : si f(x) = Ln [x2 + 1] alors f ‘(x) = 2x / (x2 + 1)

3. Développement en série de (1 + x)n

Soit f (x) = (1 + x)n Développement en série de Mac-Laurin : (en remplançant h par x, x petit). f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2/2! ] f ”(0) + ... + [ xr /r! ] f (r) (0). f(0) = 1 f ‘(x) = n (1 + x)n-1 et f ’ (0) = n f “(x) = n (n - 1) (1 + x)n - 2 et f ’’ (0) = n ( n – 1). f ’’’ (x) = n (n – 1) (n – 2) (1 + x)n –3 et f ’’’ (0) = n (n – 1) (n – 2) … f (r) (x) = n (n – 1) (n – 2)... (n – r+1) (1 + x)n –r et f (r) (0) = n (n – 1) (n – r +1) f (r) (0) = n. (n – 1) (n – r +1) = n! / (n – r) !

Page 64: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

64

d’où f(x) = 1 + n.x + [n.(n -1)/ 2! ] x2 + [ n(n -1) (n -2) / 3! ] x3 + … + [ n! / [(n – r) ! r !] . xr

4. Développement en série de (1 – x)n Soit f(x) = (1 - x)n Développement en série de Mac-Laurin : (en remplançant h par x, x petit). f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2/2! ] f ”(0) + ... + [ xr / r! ] f (r) (0) f(0) = 1 f ‘(x) = - n . (1 - x)n -1 et f ‘ (0) = - n f “(x) = n. (n - 1). (1 - x)n - 2 et f ’’ (0) = n ( n – 1). f ’’’ (x) = - n. (n – 1) (n – 2) (1 - x)n –3 et f ’’’ (0) = - n. (n – 1) (n – 2) … f (r) (x) = (-1)r n. (n – 1) (n – 2)... (n – r+1) (1 - x)n –r et f (r) (0) = (-1)r n. (n – 1) (n – r +1) f (r) (0) = (-1)r n (n – 1) (n – r +1) =(-1)r . n! / (n – r) ! f(x) = 1 - n. x. + [ n ( n – 1) /2! ] x2 - [ n(n -1) (n -2) /3 ! ] x3 ... + [ (-1)r n! / (n – r) ! ] xr / r!

5.

Développement en série de 1 / [1 + x] Soit f(x) = 1 / [1 + x] Développement en série de Mac-Laurin : (en remplançant h par x, x petit). f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + [ x2 /2! ] f ”(0) + ... + [ xn /n! ] f (n) (0) f(0) = 1 f (x) = [1 + x] – 1 f ‘(x) = - 1. [1 + x] – 2 ; f ‘(0) = -1 f “(x) = (-1) (-2) [1 + x] – 3 ; f ‘’(0) = (-1). (-2)

Page 65: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

65

f ’’’ (x) = (-1) (-2) (-3) [1 + x] – 4 ; f ‘’’(0) = (-1) (-2) (-3) … f (n) (x) = (-1) (-2) … (- n) [1 + x] – n - 1 f (n) (0) = (-1) (-2) … (- n) f (x) ≈ 1 + x. (-1) + [(-1).(-2) /2! ] x2 + ... + [(-1) (-2) … (- n) / n! ] xn or (-1) (-2) … (- n) = (-1) (-1) ... (-1) ( 1 x 2 x 3 x ...x n) = (-1)n . n ! f (x) ≈ 1 - x + x2 - x3... + (-1)n xn

6. Erreur absolue 1 / (1 +x) – (1 – x ) = x2 / (1 + x) Erreur relative : [ x2 / (1 + x) ] / [ 1 / (1 + x) ] = x2

7. Développement en série de ex Soit f(x) = ex Développement en série de Mac-Laurin : (en remplançant h par x, x petit). f (x) ≈ f(0) + x. f ‘(0) + x2 /2! f ”(0) + ... + xn /n! f (n) (0). f(0) = 1 f ‘(x) = ex , f’(0) = 1 f “(x) = ex , f’’(0) = 1 f (3) (x) = ex , f (3) (0) = 1 … f (n) (x) = ex , f (n) (0) = 1 f(x) ≈ 1 + x. + x2 /2! + ... + xn /n! Exemple : exp (0,001) ≈ exp (10-3) ≈ 1 + 10-3 + 10-6 /2 ≈ 1 + 0,001 + 0,0000005 ≈ 1,0010005

Page 66: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

66

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°2

Pierre V. Tournier

ÉLEMENTS DE CALCUL INTÉGRAL

1. Primitives d’une fonction

1. Définition : Si, sur un intervalle [a ; b], une fonction numérique F admet pour fonction dérivée la fonction f, alors F est appelée primitive de f sur l’intervalle [a ; b]. F primitive de f sur [a ; b] signifie : ∀ x ∈ [a ; b] F ‘(x) = f (x). Exemple : F(x) = x3 admet pour fonction dérivée sur R f(x) = 3 x2 f (x) = 3 x2 admet pour primitive sur R la fonction : F(x) = x3 .

2. Théorème : Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle [a ; b], elle en admet une infinité ; l’ensemble des primitives est l’ensemble des fonctions G = F + k, en désignant par k une fonction constante arbitraire. Exemple : L’ensemble des primitives de la fonction f(x) = 3x2 est l’ensemble des fonctions F(x) = x3 + k.

3. Propriété : Dans l’ensemble des primitives de f, il existe une seule primitive qui au point xo, prenne une valeur donnée b. Exemple : Soit f(x) = 3x2. Détermination de la primitive de f qui vaut 1 pour xo = 2. Ensemble des primitives F(x) = x3 + k. F(2) = 1 <=> 23 + k = 1 <=> k = 1 – 8 <=> k = – 7 Primitive cherchée : F(x) = x3 - 7. 4. Propriétés de la formation des primitives Si les fonctions f et g admettent respectivement pour primitives sur un intervalle [a ; b], les fonctions F et G, alors la fonction f + g admet, sur l’intervalle [a ; b], pour fonction primitive F + G.

Page 67: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

67

Si la fonctions f admet pour primitive sur un intervalle [a ; b], la fonction F et si λ est une constante arbitraire, alors la fonction λ.f admet, sur l’intervalle [a ; b], la fonction λ F pour primitive. En conséquence, si les fonctions f et g admettent respectivement pour primitives sur un intervalle [a ; b], les fonctions F et G, si λ et µ sont des constantes arbitraires, alors la fonction λ.f + µ.g admet, sur l’intervalle [a ; b], pour primitive la fonction λ.F + µ.G. 5. Primitives usuelles f (x) = 0, D = R , fonctions primitives : F(x) = k (constante) f (x) = a, D = R , fonctions primitives : F(x) = a x + k

f (x) = xn, n ∈ N, D = R , fonctions primitives : F(x) = [1/(1+n) ] xn+1 + k En effet F’ (x) = [1/(1+n) ] [xn+1] ‘ = [1/(1+n) ] (n + 1) . xn = xn = f(x) f (x) = 1 / x2, D = R*, fonctions primitives : F(x) = [ -1/x] + k

f (x) = xr, D = ] 0 ; + ∞ [ , r ∈ Q - {-1} fonctions primitives : F(x) = [1/(r + 1)] xr +1 + k

Exercices Exercice 8. C

Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f (x) = 5 x2 - 2 x + ½ Exercice 9. C

Calculer la primitive de f(x) = x2 + 1 / x2 qui s’annule pour xo = 1 Exercice 10. C

Calculer les primitives de la fonction f(x) = (2 x +1) (x2 + x + 1)3

Rappel sur les fonctions dérivées : [u(x)n] ‘ = n. u’(x) u(x)n - 1 Exercice 11. C

Calculer les primitives de ex pour x ∈R et de 1/x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [

Page 68: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

68

Exercice 12. C

Calculer les primitives de f(x) = (2x + 1) . exp (x2 + x + 1) Exercice 13. C

Calculer les primitives de f(x) = (2 x + 1) / (x2 + x + 1) Exercice 14. C

Soit la fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) définie pour tout x ∈ R par : f(x) = an.x

n + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao Les ai sont des constantes réelles et an ≠ 0

i = n f(x) = ∑ ai.x

i

i = 0 Calculer l’ensemble des primitives de f.

Corrections

8. Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f x) = 5 x2 - 2 x + ½ Primitives de x2 : 1/3 x3 + k Primitives de x : 1/2 x2 + k Primitives de 1/2 : 1/2 x + k Primitives de f(x) F(x) = 5 [1/3 x3 ] - 2 [1/2 x2 ] + 1/2 x + k F(x) = 5 /3 x3 - x2 + 1/2 x + k

9.

Calculer la primitive de f(x) = x2 + 1 / x2 qui s’annule pour xo = 1 Primitives de x2 : 1/3 x3 + k Primitives de 1/ x2 : [ -1/x] + k Primitives de f(x) : F(x) = 1/3 x3 + [ -1/x] + k

Page 69: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

69

F(1) = 0 1/3 – 1 + k = 0 <=> k = 2/3 La primitive recherchée est F(x) = 1/3 x3 + [ -1/x] + 2/3

10. Calculer les primitives de la fonction f(x) = (2 x +1) (x2 + x + 1)3

Rappel sur les fonctions dérivées : [u(x)n] ‘ = n. u’(x) u(x)n - 1 Soit u(x) = x2 + x + 1, u’(x) = 2 x + 1 f(x) = u’(x) . [u(x)]3

F(x) = ¼ . [u(x)] 4 = ¼ . (x2 + x + 1)4

11.

Calculer les primitives de ex pour x ∈R et de 1/x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [ f (x) = ex ; F(x) = ex + k

f (x) = 1 / x ; F(x) = Ln x + k

12.

Calculer les primitives de f(x) = (2x + 1) . exp (x2 + x + 1) Rappel sur les fonctions dérivées : [exp u(x)]’ = u’(x) . [exp u(x)] F(x) = exp (x2 + x + 1) + k

13. Calculer les primitives de f(x) = (2 x + 1) / (x2 + x + 1) Rappel sur les fonctions dérivées : [Ln u(x)]’ = u’(x) / u(x) F(x) = Ln (x2 +x + 1) Vérifions que cette fonction est définie sur R. Soit l’équation x2 +x + 1 = 0 ∆= b2 – 4 a.c = 1 – 4 = - 3. donc ∆ < 0 donc le trinôme x2 + x + 1 ne s’annule pas ; il est toujours du signe de a, donc positif.

Page 70: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

70

14.

Soit la fonction polynomiale de degré n ( n ∈ N) définie pour tout x ∈ R par : f(x) = an.x

n + an-1. xn-1 + ... + a1.x + ao Les ai sont des constantes réelles et an ≠ 0

i = n f(x) = ∑ ai.x

i

i = 0 Calculer l’ensemble des primitives de f. F(x) = [1/(n+1)] an.x

n+1 + 1/n an-1. xn + ... + ½ a1.x

2 + ao. x + k i = n F(x) = ∑ [1/ (i+1)] ai.x

i +1 + k

i = 0

2. Notion d’intégrale 1. Interprétation géométrique de la primitive et notion d’intégrale Soi a un réel positif. Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], positive et croissante sur cet intervalle. Soit C sa représentation graphique dans un repère cartésien orthogonal. Soit x ∈ [a ; b] Appelons S(x) l’aire comprise entre l’axe des x, la courbe C, et les droites perpendiculaires à l’axe des x aux points A (a, 0) et X (x, 0). Donnons à x un accroissement ∆ x positif. Soit ∆ S(x) l’accroissement correspondant de S(x). ∆ S(x) est compris entre l’aire de deux rectangles : f(x) . ∆ x pour le plus petit, et f( x +∆ x) . ∆ x f(x) . ∆ x < ∆ S(x) < f( x +∆ x). ∆ x f(x) < ∆ S(x) / ∆ x < f( x +∆ x) Quand ∆ x tend vers 0, ∆ S(x) / ∆ x tend vers d S(x) / dx et f (x +∆ x) tend vers f(x).

Page 71: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

71

A la limite on a d S(x) / dx = f(x) ou encore S’(x) = f(x). Donc S(x) est une primitive de f(x). Définition : On appelle intégrale de f sur l’intervalle [a ; b], la mesure de l’aire comprise entre l’axe des x, la courbe C représentative de la fonction f et les droites perpendiculaires à l’axe des x respectivement aux points A (a,0) et B (b,0). b

Elle se note I = ∫ f (t). dt a

Cette notation se lit « intégrale de f entre a et b » ou « somme de a à b de f(t).dt ». Calculer I c’est faire l’intégration de la fonction f sur l’intervalle [a ; b], Soit F une primitive quelconque de f. S(x) étant aussi une primitive de f on a : S(x) = F(x) + ko (ko est une constant particulière)

et en remplaçant x par a, on S(a) = F(a) + k soit 0 = F(a) + ko d’où ko = - F(a) S (x) = F(x) - F(a)

d’où en remplaçant x pour b S (b) = F(b) - F(a) b b

S(b) = ∫ f(t). dt = [ F(x)] = F(b) - F(a) a a

Cette relation fondamentale montre que le calcul d’une intégrale (simple) revient donc à un calcul de primitive. 2. Propriété des intégrales b c b

∫ f(t). dt = ∫ f(t). dt + ∫ f(t). dt a a c

a b

∫ f(t). dt = - ∫ f(t). dt b a

b b b

∫ [ f(t) + g(t) ] dt = ∫ f(t). dt + ∫ g(t). dt a a a

Page 72: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

72

b b

∫ k. f(t). dt = k ∫ f(t). dt k constante. a a

Exemples : voir exercices n° 15 et suivants.

3. Intégration par changement de variable Cette méthode est utilisée quand on peut mettre la fonction que l’on cherche à intégrer f(x), sous la forme g [u(x)]. u ‘(x). où g(u) est une fonction facilement intégrable. I = ∫ f(t). dt = ∫ g [u(t)] u ‘(t). dt = ∫ g(u). du Puisque du = u’(x) dx Exemple : intégration de la fonction f (x) = 1 / (2x +1)2 entre 0 et 1 Posons u (x) = 2x + 1, u (0) = 1 et u (1) = 3 u ‘(x) = 2 , du = u’(x). dx = 2 dx donc dt = ½ du 1 1 u(1) 3

I = ∫ f(t). dt = ∫ 1 / (2t +1)2 dt. = ∫ [1/u2] 1/2 .du = ½ ∫ [1/u2] .du 0 0 u(0) 1

I = ½ { [ - 1/u] 3 - [ - 1/u] 1} = ½ [ - 1/3 – (-1)] = 1/3 Autre façon de présenter les choses I = ∫ f(t). dt = ∫ 1 / (2t +1)2 dt. = ∫ [1/u2] 1/2 .du = ½ ∫ [1/u2] .du = ½ [-1/u] I = 1/2 [- 1 /(2x +1)] 1 - 1/2 [- 1 /(2x +1)] 0 = - 1/6 + ½ = 1/3 4. Intégration par parties Rappel sur les fonctions dérivées Soit f(x) = u (x). v (x) ; f ‘(x) = u’ (x). v (x) + u (x). v’ (x) . [u(x).v(x)]’ = u’ (x). v (x) + u (x). v’ (x) u (x). v’ (x) = [u(x).v(x)]’ - u’ (x). v (x) ∫ u (x). v’ (x) dx = ∫ [u(x).v(x)]’ dx - ∫ u’ (x). v (x) dx ∫ u (x). v’ (x) dx = ∫ [u(x).v(x)]’ dx - ∫ u’ (x). v (x) dx

Page 73: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

73

∫ u (x). v’ (x) dx = [u(x).v(x)] - ∫ u’ (x). v (x) dx Condition nécessaire pour pouvoir utiliser cette méthode : on a à intégrer un produit de deux fonctions dont l’une a une primitive facile à calculer. Exemple : I = ∫ [Ln x] / x2 dx . avec x > 0.

I = ∫ u (x). v’ (x) . dx = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx Avec u (x) = Ln x et v’ (x) = 1/ x2 u’(x) = 1/x et v(x) = - 1/ x I = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx = - [Ln x ] / x - ∫ (1/x). ( - x) dx = = - [Ln x ] / x + ∫ (1/x2 dx = - [Ln x ] / x - 1/x + k

Exercices Exercice 15. C Représenter graphiquement la fonction f(x) = x2 - 2 x + 3 1

Calculer I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt 0

2

Calculer J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt 1

Interpréter géométriquement ces résultats. Exercice 16. C 1. Représenter graphiquement la fonction f(x) = ex 0

2. Calculer I = ∫ et.dt -2

1

3. Calculer J = ∫ et. dt 0

4. Interpréter géométriquement ces résultats.

Page 74: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

74

5. Calculer l’aire K comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, la droite d’équation y = 1, l’axe des y et la droite x = 1. Exercice 17. C 1. Représenter graphiquement la fonction f(x) = Ln x e

2. Calculer I = ∫ Ln t.dt 1

3. Interpréter géométriquement ces résultats.

4. Calculer l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, la droite d’équation y = 1 et la droite d’équation x = 1. Rapprocher ce résultat de ceux obtenus dans l’exercice n°16. Exercice 18. C b

Calculer I = ∫ ( t – a) (b – t)2 dt a

Exercice 19. C b

Calculer I = ∫ ( exp ( - p.t + q) dt a

Exercice 20. C

f(x) = [ ex - e- x] / [ex + e- x]. 1. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal. a 2. Calculer I = ∫ [ et - e- t] / [et + e- t]. dt , avec a strictement positif. 0

3. Donner une interprétation géométrique de I. 4. Calculer l’aire S(a) comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe des y la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A (a, 0). 5. Calculer la limite de S(a) quand a tend vers + ∞

Page 75: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

75

Exercice 21. C On considère la fonction f, de variable réelle x, définie de la façon suivante : si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0 si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 - 1/x2 . 1. Représenter graphiquement f dans un repère cartésien. 2. Calculer l’intégrale I de f entre -1 et + 2. 3. Soit x, un nombre supérieur à 1. Calculer l’intégrale J de f entre 1 et x. 4. Interpréter géométriquement le résultat. 5. Calculer l’aire S(x) comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe des x, la droite d’équation y = 1 et l’axe des y. 6. Calculer la limite de S(x) quand x tend vers + ∞. Exercice 22. C

Soit la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x, on suppose a ≠ 0.

Calculer l’intégrale de fa entre x = 1 et x = 2 . Exercice 23. C

Soit de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x) , on suppose a ≠ 0.

Montre que l’on peut trouver λ réel tel que fa (x) = -1 + λ / (1 – ax) Quelles sont les primitives de fa ? Exercice 24. Si, dans une population, l’effectif d’âge x est donné par l’expression N(x) = 10 000 – x2,

calculer l’âge moyen de cette population, c’est-à-dire _ 100 100 x = [ ∫ (10 000 - x2] x.dx / [ ∫(10 000 - x2] .dx ] 0 0

Réponse : 37,5 ans. Exercice 25. Dans un pays où la fécondité est élevée, la variation du taux de fécondité en fonction de l’âge de la femme peut être approchée par la fonction f(x) = k (x – α) (β – x)2

Page 76: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

76

x appartenant à l’intervalle [α ; β]. Estimer les paramètres k, α et β sur la base du nombre moyen d’enfants par femme (7,06), de l’âge moyen à la maternité (31,33 ans) et de la variance de l’âge à la maternité (52,76). Réponse : α = 16,80 ans, β = 53,12 ans, k = 4,87 .10-5 f(x) = 4,87 .10-5 (x –16,80) (53,12 – x)2

Corrections

15. Représenter graphiquement la fonction f(t) = t2 - 2 t + 3 f ’(t) = 2 t – 2 = 2 ( t – 1) f ’(t) = 0 <= > 2 ( t – 1) = 0 <= > t = 1

X - ∞ 1 + ∞ F ’(x) - 0 + F(x) + ∞ ↓ 2 ↑ + ∞

1

I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt 0

2

J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt 1

f(t) = t2 - 2 t + 3 F(t) = 1/3 t3 - t2 + 3 t + k 1

I = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt = F(1) - F(0) = 1/3 – 1 + 3 + k - k = 7/3 0 2

J = ∫ (t2 - 2 t + 3). dt = F(2) – F(1) = 1/3 . 8 – 4 + 6 + k– (1/3 – 1 + 3 + k) = 7/3 1 I = J .

Page 77: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

77

16.

f(x) = ex Primitives de f(x) : F(x) = ex + k. 0 I = ∫ et.dt = e0 - e-2 ≈ 0,8647

-2

1

J = ∫ et. dt = e1 - e0 = e – 1 ≈ 1,7183 0

I représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, l’axe des x , la droite x = - 2 et l’axe des y. J représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, l’axe des x , l’axe des y et la droite x = 1. Calcul de l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction ex, la droite y = 1, l’axe des y et la droite x = 1. S = J – 1 ≈ 1,7183 – 1 = 0,7183.

17. Primitives de la fonction f(x) = Ln x (x > 0) Application de l’intégration par parties K = ∫ u (x). v’ (x) . dx = u (x) v (x) - ∫ u’ (x). v (x) dx u(x) = Ln x et v ‘(x) = 1 u’(x) = 1/x et v(x) = x K = x. Ln x - ∫ 1. dx = x . Ln x - x e

I = ∫ Ln t.dt = e . Ln e – e - ( 1 . Ln 1 – 1) = 1 1

I représente l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, l’axe des x et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A (e,0). Aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction Ln x, la droite d’équation y = 1 et la droite d’équation x = 1.

S = (e – 1) – (1) = e – 2 = 0,7183 .

Page 78: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

78

18.

b

I = ∫ ( t – a) (b – t)2 dt a

Intégration par partie I = ∫ u (t). v’ (t) . dt = u (t) v (t) - ∫ u’ (t). v (t) dt u (t) = t – a et v ‘(t) = (b – t)2

u ‘ (t) = 1 et v (t) = - 1/3 (b – t)3

I = u (t) v (t) - ∫ u’ (t). v (t) dt = (t - a) (-1/3) (b – t)3 -∫ 1. (-1/3) (b – t)3 dt

I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 + 1/3 ∫ (b – t)3 dt I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 - 1/3 . 1/4 (b – t)4 I = (-1/3) (t - a) (b – t)3 - 1/12 (b – t)4 Intégrale entre a et b : [(-1/3) (b-a) (b – b)3 - 1/12 (b – b)4 ] - [(-1/3) (a-a) (b – a)3 - 1/12 (b – a)4 ] = 1/12 (b – a)4 .

19.

b

I = ∫ ( exp ( - p.t + q) dt a

f(x) = exp ( - p.x + q) ; primitives : F(x) = -1/p . exp ( - p.x + q) I = F(b) – F(a) = [-1/p . exp ( - p.b + q)] - [ -1/p . exp ( - p.a + q) ] I = 1/p [exp (- p.a + q) - exp ( - p.b + q)]

20. x

Calcul de I = ∫ [ et - e- t] / [et + e- t]. dt. 0

Soit u(t) = et + e- t du = ( et - e- t). dt

I = ∫ 1/u .du I = Ln [u (t)] = Ln (et + e- t ) à prendre entre 0 et x.

Page 79: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

79

I = Ln (ex + e- x ) - Ln (e0 + e- 0 ) = Ln (ex + e- x ) - Ln 2. Calcul de l’aire comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe des y la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A (x, 0). S (x) = x - [Ln (ex + e- x ) - Ln 2] Calcul de la limite de S(x) quand x tend vers + ∞ Ln (ex + e- x ) = Ln ex ( 1 + 1/e2x) = Ln ex + Ln ( 1 + 1/e2x) = x + Ln ( 1 + 1/e2x) S(x) = x - x - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2 = - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2 Lim S(x) = Lim - Ln ( 1 + 1/e2x) + Ln 2 = Ln 2 x → + ∞ x → + ∞

21.

1. Représenter la fonction f définie par si x ∈ ] - ∞ ; 1 [ alors f(x) = 0 si x ∈ [1 ; + ∞ [ alors f(x) = 1 -1/x2. 2. Calcul de l’intégrale de f entre x = -1 et x = + 2. I = ∫ f(t).dt = ∫ f(t).dt + ∫ f(t).dt = ∫ [1 - 1/t2.] dt = ∫ 1 dt + ∫ [ - 1/t2.] dt

I = t + 1/t à prendre entre 1 et 2.

I = [2 + 1/2] - [1 + 1/1] = 1/2

3. Soit x un nombre supérieur à 1. Calcul de l’intégrale J de f entre 1 et x. x x

I = ∫ f(t).dt = ∫ [1 - 1/t2.] dt = [x + 1/x] - [1 + 1/1] = x + 1/x - 2. 1 1

5. Calcul de l’aire S comprise entre la courbe C représentative de la fonction f, l’axe des x, la droite d’équation y = 1 et la droite parallèle à l’axe des y et passant par le point A (x, 0).

S = (x – 1) - [ x + 1/x - 2] = x - 1 - x - 1/x + 2 = - 1/x + 1 Lim S(x) = Lim ( - 1/x + 1 ) = 1 x → + ∞ x → + ∞

Page 80: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

80

22.

Soit la famille de fonction fa (x) = (1 + a.x) / a.x on a supposé que a ≠ 0. Ensemble de définition de f : R – {0} .

Calcul de l’intégrale I de fa entre x = 1 et x = 2 Pour x ≠ 0, on a fa (x) = 1 + 1/ a.x I = ∫ [1 + 1/ a.t ] dt = ∫ 1. dt + ∫ [1/ a.t ] . dt = t + (1/a) Ln.t à prendre entre 1 et 2 I = [ 2 + (1/a) Ln.2] - [ 1 + (1/a) Ln.1 ] = 1 + (1/a) Ln.2

23.

Soit de la famille de fonction fa (x) = ax / (1 - a.x) ; on a supposé que a ≠ 0. Ensemble de définition de f : R – {1 /a} .

fa (x) = -1 + λ / (1 – ax) = (- 1 + a.x + λ) / (1 – ax) ax = - 1 + a.x + λ et ce pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de fa d’où λ = 1

fa (x) = -1 + 1 / (1 – ax)

Primitives de fa (x) : Fa (x) = - x - 1/a Ln (1 – ax) + k Pour que cette primitive existe,il faut : 1 – a.x > 0 1er cas a > 0 . Alors, 1 – a.x > 0 <=> x < 1 / a 2ème cas : a < 0. Alors, 1 – a.x > 0 <=> x > 1 / a

Page 81: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

81

3. Extensions de la notion d’intégrale simple

1. Intégrale d’une fonction dans un intervalle dont une borne est infinie. x

Définition : f étant une fonction continue sur [a ; + ∞ [, si g(x) = ∫ f(t) dt admet une a

+ ∞

limite finie I quand x tend vers + ∞, on dit que ∫ f(t) dt est convergente. a

+ ∞

Si g(x) n’admet pas de limite finie, on dit que l’intégrale ∫ f(t) dt est divergente. a

Exemple 1 : f(x) = x -2 F(x) = - 1 / x + ∞

Nature de l’intégrale ∫ f(t) dt ? (avec a > 0) a

x

I (x) = ∫ f(t) dt = F(x) – F(a) = [-1/ x ] - [-1 / a ] = - 1/x + 1 / a. a

Lim I (x) = 1 / a . L ’intégrale est donc convergente. x → + ∞ Exemple 2 : f(x) = 1 / x F (x) = Ln x I(x) = F(x) – F(a) = Ln x – Ln a Lim I (x) = + ∞ . L ’intégrale est donc divergente. x → + ∞

Exercices Exercice 26. La probabilité de migrer à une distance r peut être approchée par une fonction de type Parero p (r) = k .1/ ra Calculer la probabilité de migrer à une distance supérieur à ro : + ∞ P (ro) = ∫ p(r). dr ro On supposera que ro > 0, a > 1 et k > 0.

Page 82: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

82

Exercice 27. La probabilité de migrer à une distance r peut être approchée par une fonction de type Parero p (r) = k .exp (- a.r). Calculer la probabilité de migrer à une distance supérieur à ro : + ∞ P (ro) = ∫ p(r). dr ro On supposera que a > 0, ro > 0 et k > 0. Exercice 28. Soit la fonction f(x) = x. Ln x 1.- Montrer que la fonction f admet un minimum absolu que l’on déterminera. 2. - Calculer la limite de f quand x tend vers + ∞. Monter que la courbe représentative de f admet alors une branche parabolique de direction Oy. 3. - Calculer la limite de f quand x tend vers O+. Pour lever l’indétermination, on effectuera le changement de variable X = 1/ x. On montrera alors que la courbe représentative de f admet l’origine du repère comme point limite. 4. - Calculer la limite de f ’(x) quand x tend vers O+. Que peut-on en déduire sur l’allure de la courbe au voisinage de 0 ? 5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe avec l’axe des x. 6. Représenter f dans un repère orthonormé. 7. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t). dt à prendre entre 1 et a, a étant un nombre réel strictement supérieur à 1 (on utilisera une intégration par partie). Donner une interprétation graphique du résultat. + ∞.

8. L’intégrale J = ∫ f(t) t .dt est-elle convergente ? 1

9. Calculer l’intégrale K = ∫ f(t) t . dt à prendre entre 1/e et 1. Donner une interprétation graphique du résultat. 10. Calculer l’intégrale H (a) = ∫ f(t) t . dt à prendre entre a et 1/e, a étant un nombre compris strictement entre 0 et 1/e. Donner une interprétation graphique du résultat. 11. Calculer la limite de la fonction H(a) quand a tend vers O+. Donner une interprétation graphique du résultat.

Page 83: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

83

Exercice 29. Soit la fonction f(x) = [Ln x ] / x . 1. Montrer que la courbe représentative de f admet deux asymptotes dont on déterminera les équations. 2.- Montrer que la fonction f admet un maximum absolu que l’on déterminera. 3. - Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des x. 4. Représenter f dans un repère orthogonal en prenant 1 cm comme unité sur l’axe des x et 3 cm comme unité sur l’axe des y. 5. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion I. Calculer la pente de la droite tangente à la courbe de f en ce point. 6. Calculer l’intégrale I = ∫ f(t) t . dt à prendre entre 1 et e (on utilisera une intégration par partie). Donner une interprétation graphique du résultat.

7. Calculer la surface délimitée par la courbe de f, les droites d’équation x = 1 et x = e et la droite d’équation y = 1/e.

8. Soit a un nombre réel strictement supérieur à e. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t) t . dt à prendre entre e et a. Donner une interprétation graphique du résultat. + ∞.

9. L’intégrale J = ∫ f(t).dt est-elle convergente ? e

Exercice 30. Soit la fonction f(x) = x2. Ln x 1. - Calculer la limite de f quand x tend vers + ∞. Monter que la courbe représentative de f admet alors une branche parabolique de direction Oy. 2. - Calculer la limite de f quand x tend vers O+. Pour lever l’indétermination, on effectuera le changement de variable X = 1/ x. On montrera alors que la courbe représentative de f admet l’origine du repère comme point limite. 3.- Montrer que la fonction f admet un minimum absolu que l’on déterminera. 4. - Calculer la limite de f ’(x) quand x tend vers O+. Que peut-on en déduire sur l’allure de la courbe au voisinage de 0 ?

Page 84: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

84

5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe avec l’axe des x. 6. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion I. Calculer la pente de la droite tangente à la courbe de f en ce point. 7. Représenter f dans un repère orthonormé. 8. Calculer l’intégrale I (a) = ∫ f(t). dt à prendre entre 1 et a, a étant un nombre réel strictement supérieur à 1 (on utilisera une intégration par partie). Donner une interprétation graphique du résultat. + ∞.

9. L’intégrale J = ∫ f(t) .dt est-elle convergente ? 1

Page 85: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

85

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°3

Pierre V. Tournier

LES ESPACES VECTORIELS

1. Définitions

1. Loi interne Soit un ensemble E. On appelle loi interne (notée +) sur E toute application de E x E dans E.

E x E → E (u, v) → u + v On dit que E, muni de la loi interne +, possède une structure de groupe si la loi + possède les propriétés suivantes : La loi est associative : (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ E. La loi admet un élément neutre e : u + e = e + u = u ∀ u ∈ E. Tout élément u admet un symétrique u’ : u + u’ = u’ + u = e Commutativité La loi interne sur E est commutative si et seulement si : u + v = v + u ∀ u, v ∈ E. Si (E, +) est un groupe et si la loi interne + est commutative, (E, +) est dit groupe commutatif. 2. Loi externe Soit un ensemble E. On appelle loi externe sur E (notée .), une application de R x E dans E (R étant l’ensemble des nombres réels). R x E → E (λ, u) → λ .u

Une loi externe est associative <= > ∀ λ∈ R, ∀ µ∈ R, ∀ u∈ E λ .(µ.u) = (λ.µ) .u Une loi externe est distributive par rapport à l’addition des nombres réels

Page 86: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

86

∀ λ∈ R, ∀ µ ∈ R, ∀ u ∈ E (λ + µ). u = λ.u + µ. u Une loi externe est distributive par rapport à la loi interne + sur E <=> ∀ λ∈ R, ∀ u, v ∈ E λ .(u + v) = λ.u + λ.v 3. Espace vectoriel E, ensemble muni d’une loi interne (+) et d’une loi externe (.) est un espace vectoriel si et seulement si (E, +) est un groupe commutatif et si la loi externe est associative, distributive par rapport à l’addition des réels et distributive par rapport à la loi interne. Les éléments u, v, w, … de E sont appelés les vecteurs de E, les réels λ, µ, … sont appelés scalaires. L’élément neutre e sera noté 0 ; le symétrique de u sera noté (- u). Théorème : ∀ λ∈ R, ∀ u ∈ E : λ.u = 0 <= > λ = 0 ou u = 0 4. Exemples d’espaces vectoriels Exemple 1 : Ensemble des « vecteurs » du plan. Exemple 2 : Soit F la famille de fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b, f(x) = a.x + b. * L’addition de deux fonctions est une loi interne dans F Rappel : [f + g] (x) = f(x) + g(x) . * (F, +) est un groupe commutatif. * (F, +, .) est un espace vectoriel sur R. Rappel : ∀ λ ∈ R, (λ.f) (x) = λ. f (x) Exemple 3 : (R x R, +, . ) est un espace vectoriel sur R. Définition de + : (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’) Définition de . : ∀ λ ∈ R λ. (a, b) = (λ.a, λ.b) Exemple 4 : L’ensemble des réels R est un espace vectoriel sur lui-même.

Page 87: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

87

2. Combinaisons linéaires et sous-espaces vectoriels

1. Combinaison linéaire Définition : soit (u1, u2, … un) une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E sur R ; on dit qu’un vecteur x est une combinaison linéaire de u1, u2, … un s’il existe au moins une famille (λ1, λ2, …, λn) de nombres réels tels que x = λ1.u1 + λ2.u2 + … + λn.un. Le nombre λi est le coefficient de ui . dans la combinaison linéaire x. Exemple : dans l’espace vectoriel R x R, le vecteur = (2, - 4) est une combinaison linaire des vecteurs (1,1) et (0,1). En effet : (2, - 4) = 2 (1, 1) - 6 (0, 1). (2, - 4) = 2 (1, 0) - 6 (0, 1/3) – 2 (0, 1) + 0 (5, - 8). 2. Sous-espace vectoriel Définition : Soit F une partie d’un espace vectoriel E sur R. On dit que F est une partie stable de E pour la loi externe si et seulement si ∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ F, λ. u ∈ F On dit que que F est stable par combinaison linéaire si et seulement si ∀ λ∈ R, ∀ µ∈ R, ∀ u ∈ F, ∀ v ∈ F, λ. u + µ. v ∈ F. Théorème et définition : toute partie non vide F d’un espace vectoriel E sur R, stable par combinaison linéaire est un espace vectoriel sur R ; on dit que F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E. Exemple 1 : dans l’espace vectoriel R x R, la partie F constituée des couples (x, 0) est un sous-espace vectoriel de R x R. Exemple 2 : Dans l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b, et définies par f(x) = a.x + b, la partie constituée des fonctions f(x) = a.x est un sous-espace vectoriel sur R. Théorème et définition : Soit deux vecteurs fixes a et b d’un espace vectoriel E. L’ensemble F des combinaisons linéaires à coefficient réels de a et b est un sous-espace vectoriel de E. On dit que F est le sous-espace engendré par (a, b). (a,b) est une famille génératrice de F . F = { x ∈E / ∃ λ ∈ R, ∃ µ ∈ R avec x = λ. a + µ. b} .

Page 88: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

88

3. Base d’un espace vectoriel On dit qu’une famille (e1, e2, …en) d’éléments d’un espace vectoriel E sur R est une base de E si et seulement si pour tout vecteur u de E, il existe un n-uplet unique (α 1, α 2, …, α n) de nombre réels tels que u = α 1 .e1 + α 2 . e2 + … + α n .en .

α i est appelée la coordonnée de u relative au vecteur ei dans la base (e1, e2, …en). Exemple : Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b et définie par f(x) = a.x + b. Les fonctions g(x) = x et h(x) = 1 constituent une base de E. Soit f(x) = a.x + b : f(x) = a g(x) + b h(x) f = a.g + b. h Les coordonnées de f dans la base (g, h) sont a et b. Théorème et définition : Si un espace vectoriel E sur R a une base ayant n éléments, alors toute base de E a n éléments. L’entier n, nombre commun des éléments de toutes les bases est appelé dimension de E. Exemple : dim R x R = 2, dim R x R x R = 3. 4. Dépendance et indépendance linéaires Définition : On dit qu’une famille (u1, u2, … un) de vecteurs d’un espace vectoriel E sur R est une famille de vecteurs linéairement indépendants ou encore une famille libre si et seulement si quels que soient les réels λ1, λ2, …, λn λ1 u1 + λ2 u2 + … + λn un = 0 => λ1 = λ2 = … = λn = 0 Définition : On dit qu’une famille (u1, u2, … un) de vecteurs d’un espace vectoriel E sur R et une famille de vecteurs linéairement dépendants ou encore une famille liée si et seulement si il existe des nombres réels λ1, λ2, …, λn non tous nuls tels que λ1 u1 + λ2 u2 + … + λn un = 0 Théorème : Une famille de vecteurs de E est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres. Théorème : Toute famille (e1, e2, …en) d’éléments d’un espace vectoriel E sur R est une base de E si et seulement si elle est à la fois génératrice de E et libre. Théorème : Etant donné un espace vectoriel E sur R de dimension n, toute famille libre de n éléments de E est une base de E.

Page 89: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

89

Exercices

Exercice 31.

Soit E = R x R x R Montrer que (1,0, 0), (0,1,0) et (0, 0,1) constituent une base de R x R x R. Exercice 32. C

Soit E un espace vectoriel de dimension 2 soit (a,b) une base de E. Soit deux vecteurs u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b On appelle déterminant du couple de vecteurs (u, u’) de E dans la base (a,b), le nombre λ. µ’ - µ λ’ . Montrer que les vecteurs u et u’ sont linéairement dépendants si et seulement λ. µ’ - µ λ’ = 0 les vecteurs u et u’ sont linéairement indépendants

Corrections

32.

1ère partie de la démonstration. - Hypothèse : u et u’ sont linéairement dépendants Montrons qu’alors on a λ. µ’ - µ λ’ = 0 Si u et u’ sont linéairement dépendants, l’un des deux vecteurs est combinaison linéaire de l’autre. u = k. u’ (1) or u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b L’égalité (1) peut s’écrire : λ . a + µ . b = k (λ’. a + µ’.b) ou λ . a + µ . b - k (λ’. a + µ’.b) = 0 λ . a + µ .b - k λ’.a - k µ’.b = 0 λ . a - k λ’.a + µ .b - k µ’.b = 0 (λ - k λ’) a + (µ - k µ’) b = 0 (2)

Page 90: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

90

Comme (a, b) est une base, c’est un système libre Donc l’équation (2) implique que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0 1er cas : supposons λ’ ≠ 0 et µ’ ≠ 0 On a alors k = λ / λ’ et k = µ / µ’ Soit λ / λ’ = µ / µ’ ou encore λ. µ’ = µ λ’ ou λ. µ’ - µ λ’ = 0 Ce qu’il fallait démonter. 2ème cas : supposons λ’ = 0 et µ’ ≠ 0 L’équation (2) implique toujours que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0 Ce qui donne ici : λ = 0 et µ - k µ’ = 0 et λ. µ’ - µ λ’ = 0 3ème cas : supposons λ’ ≠ 0 et µ’ = 0 L’équation (2) implique toujours que λ - k λ’ = 0 et µ - k µ’ = 0 Ce qui donne ici : λ - k λ’ = 0 et µ = 0 et λ. µ’ - µ λ’ = 0 Dans tous les cas, on a λ. µ’ - µ λ’ = 0 2ème partie de la démonstration - Hypothèse : λ µ’ - µ λ’ = 0 Montrons qu’alors u et u’ sont linéairement dépendants. λ. µ’ - µ λ’ = 0 1er cas µ’ ≠ 0 λ. = (µ / µ’) . λ’ or u = λ . a + µ . b donc u = (µ / µ’) . λ’ . a + µ . b u = µ [ (λ’ / µ’) a + b ]

Page 91: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

91

Par ailleurs u’ = λ’.a + µ’.b = µ’ [(λ’ / µ’) .a + b] Donc u = (µ / µ’) . u’ u et u’ sont liés. 2ème cas µ’ = 0 L’hypothèse initiale devient : µ λ’ = 0 On a donc µ = 0 ou λ’ = 0. Si µ = 0 et λ’ ≠ 0. u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique : u = λ. a et u’ = λ’. a et donc u’ = (λ/ λ’). u , u et u’ sont liés. Si λ’ = 0 et µ ≠ 0 u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique u = λ . a + µ . b et u’ = 0 u et u’ = 0 sont liés Si λ’ = 0 et µ = 0 u = λ . a + µ . b et u’ = λ’. a + µ’.b implique u = λ . a et u’ = 0 u et u’ = 0 sont liés Dans tous les cas, u et u ‘ sont liés.

Page 92: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

92

3. Applications linéaires et équations linéaires 1. Définition : Etant donnés deux espaces vectoriels E et E’ sur R, on appelle application linéaire de l’espace vectoriel E vers l’espace vectoriel E’ toute application f de E vers E’ telle que l’on ait :

∀ u ∈ E, ∀ v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v) ∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ E f (λ . u) = λ . f( u)

Exemple : E un espace vectoriel sur R et k ∈ R ; l’application f de E dans E définie par f(u) = k . u ∀ u∈ E, est une application linéaire (homothétie vectorielle). Théorème : Pour définir une application linéaire f de E dans E’, deux espaces vectoriels sur R, il suffit de connaître les valeurs de f pour les éléments d’une base de E. Soit une base de E : (e1, e2, …en) Soit u = x 1 .e1 + x 2 . e2 + … + x n .en. On a f (u) = x 1 f(e1) + x 2 f(e2) + … + x n f(en ). Cas particulier : E’ = E

f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en ………………………………………………………..

f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en

f(u) = x 1 [a 11. e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en] + x 2 [a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en ] + …

+ x n [a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en] f(u) = (a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1) e1 +( a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n) e2 + …. +

(a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n) en + f(u) = y 1.e1 + y 2 . e2 + … + y n .en. avec y 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1

y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n … y n = a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n 2. Propriétés des applications Théorème : l’application composée de deux applications linéaires est une application linéaire.

Page 93: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

93

Théorème : pour toute application linéaire f de E dans E’, f(0) = 0 et ∀ u ∈ E , f (- u) = - f(u). En effet f(u + 0) = f(u) et f(u + 0) = f(u) + f(0) ; donc f(u) = f(u) + f(0) ; donc f(0) = 0. f(- u) = f [(-1). u] = (-1) . f(u) = - f(u). Définition : on appelle image d’une application linéaire de E dans E’, l’ensemble des éléments u’ de E’, espace vectoriel d’arrivée de f, tel qu’il existe u appartenant à E vérifiant f(u) = u’. On note l’image de f Im f . Définition : on appelle noyau d’une application linéaire de E dans E’, l’ensemble des éléments de E, espace vectoriel de départ de f, dont l’image est O, l’élément neutre de l’espace vectoriel d’arrivée de f. Le noyau de f est noté Ker f. Théorème : pour toute application linéaire de E vers E’, Im f est un sous-espace vectoriel de E’, espace vectoriel d’arrivée de f et Ker f est un sous-espace vectoriel de E espace vectoriel de départ de f. Théorème : Soit f une application linéaire de E vers E’. f est surjective si et seulement si Im f = E’. f est injective si et seulement si Ker f = 0. Théorème et définition : La bijection réciproque f -1 de toute application linéaire bijective f de E sur E’ est une application linéaire bijective de E’ sur E. Dans cette situation, on dit que f est un isomorphisme de l’espace vectoriel E sur l’espace vectoriel E’. On dit aussi que E et E’ sont isomorphes. 3. Notion d’équation linéaire Définition : Soit f une application linéaire de E vers E’ espaces vectoriels sur R. et k un vecteur de E’. On dit que f(u) = k est l’équation linéaire associée à l’application linéaire f. Résoudre l’équation f (u) = k, c’est trouver l’ensemble S des vecteurs de E vérifiant f (u) = k (1) Supposons E’ = E Soit une base de E : (e1, e2, …en) En reprenant les notations de la page 31 : f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en ..………………………………….. f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en Soit k = k 1.e1 + k 2 . e2 + … + k n .en. Résoudre l’équation f(u) = k

Page 94: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

94

C’est trouver x 1, x 2, … + x n vérifiant le système d’équations suivant (n équations à n inconnues)

a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x n = k 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n = k 2 …………………………………… a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n = k 3 Si k = 0, l’équation f(u) = 0 est appelée équation linéaire homogène associée à l’équation (1). L’ensemble des solutions de cette équation est le noyau de f. Théorème : si uo est une solution particulière de l’équation linéaire f(u) = k, toute solution de cette équation est de la forme u = uo + v, où v est un élément quelconque du noyau de f.

Page 95: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

95

Exercices

Exercice 33. C

Soit la fonction f de R x R dans R définie par f (a,b) = a + b. 1°/ Montre que f est une application linéaire 2°/ Déterminer les sous-espaces vectoriels Im f et Ker f. 3°/ Donner une base de Im f et une base de Ker f. Exercice 34. C

Soit la fonction f de R x R dans R x R, définie par f (a,b) = (a + b, - a +2.b) 1°/ Montre que f est une application linéaire. 2°/ Déterminer les sous-espaces Im f et Ker f. 3°/ Donner une base de Im f et une base de Ker f. Exercice 35. C

Soit la fonction f de R x R x R dans R définie par f [(a, b, c)] = ∫ (a.x2 + bx + c) dx, l’intégrale étant à prendre entre 0 et 1. 1°/ Montre que f est une application linéaire. 2°/ Déterminer les sous-espaces Im f et Ker f. 3°/ Donner une base de Im f et une base de Ker f. Exercice 36.

Soit E l’espace vectoriel sur R des fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b, f(x) = a.x + b. Soit g l’application de E dans R x R définie par g (f) = (a, b). (avec f (x) = a.x + b) A l’aide de l’application g, montrer que les espaces E et R x R sont isomorphes.

Page 96: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

96

Corrections

33.

1°/ Il faut montrer que ∀ u ∈ R x R, ∀ v ∈ R x R, f (u + v) = f (u) + f (v)

∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ R x R f (λ u) = λ f( u) f [(a, b) + (a’, b’) ] = f [ (a + a’, b + b’) = a + a’ + b + b’ f [(a, b)] + f [(a’, b’)] = a + b + a’ + b’. f [λ (a, b) ] = f [(λ a, λ b)] = λa + λb λ f [(a, b) ] = λ ( a + b) = λ a + λ b Donc f est une application linéaire. 2°/ Détermination de l’image de f. Soit k∈ R, existe-t-il (a, b) ∈ R x R avec f[(a,b)] = k ? C’est-à-dire a + b = k b choisi arbitrairement, et a = k – b, donc Im f = R. 3°/ Détermination du noyau de f. (a, b) ∈R x R avec f [(a, b)] = 0 ; c’est-à-dire a + b = 0 a = - b Ker f = { (a,b) ∈R x R / a = - b) } = [( a, - a) / a ∈ R} 4°/ Base de Im f = R Le vecteur 1 constitue est une base de R / pour tout u ∈ R u = u . 1 Base de Ker f [(a, - a) / a ∈ R} Le vecteur (1, - 1) constitue une base de Ker f : (a, - a) = a (1, -1).

34. Soit la fonction f de R x R dans R x R, définie par f (a, b) = (a + b, - a + 2.b) 1°/ f est une application linéaire

Page 97: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

97

f [(a, b) + (a’, b’) ] = f [ (a + a’, b + b’) = [ (a + a’) + (b + b’) , - (a + a’) + 2 (b + b’)] f [(a, b)] + f[(a’, b’)] = (a + b, - a + 2 b) + (a’ + b’, - a’ + 2 b’) = (a + b + a’ + b’, - a + 2 b- a’ + 2 b’) = [(a + a’) + (b + b’), - ( a + a’) + 2 (b + b’)] f [λ (a, b) ] = f [(λ a, λ b)] = (λ a + λ b, - λ a + 2 λ b) λ f [(a, b) ] = λ (a + b, - a + 2 b) = (λ a + λ b, - λ a + 2 λ b) Donc f est une application linéaire. 2°/ Sous-espaces Im f et Ker f. 3°/ Base de Im f et base de Ker f.

Détermination de l’image de f

Soit (p, q) ∈ R x R, existe-t-il (a, b) ∈ R x R avec f [(a, b)] = (p, q) ? (a + b, - a + 2 b) = (p, q) <= > a + b = p et - a + 2 b = q 3 b = p + q d’où b = (p + q ) / 3 a = p – b = p - (p + q ) / 3 = (2p - q) / 3 Donc Im f = R x R

Détermination du noyau de f f [(a, b)] = (0, 0) (a + b, - a + 2.b) = (0, 0) <= > a + b = 0 et - a +2 b = 0 D’après le calcul précédant : a = 0 et b = 0 Donc Ker f = (0, 0)

35. Soit la fonction f de R x R x R dans R définie par f [(a, b, c)] = ∫ (a x2 + b x + c) dx, l’intégrale étant à prendre entre 0 et 1. 1°/ Montrons que f est une application linéaire f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λ u) = λ f( u) [à vérifier] 2°/ Détermination des sous-espaces Im f et Ker f. Im f ? soit k ∈ R existe-t- il (a, b, c,) tels que f (a,b,c) = k ∫ (a x2 + b x + c) dx = k

Page 98: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

98

[1/3 a x3 + ½ b x2 + c x ] x = 1 - [1/3 a x3 + ½ b x2 + c x ] x = 0 = k 1/3 a + ½ b + c = k a et b arbitraires, et c = k - 1/3 a - ½ b. Donc Im f = R Ker f ? f [(a, b, c)] = 0 ∫ (a x2 + b x + c) dx = 0 1/3 a + ½ b + c = 0 a et b arbitraires, et c = - 1/3 a - ½ b. Ker f = { (a, b, - 1/3 a - ½ b) / a ∈ R et b ∈ R } 3°/ Base de Im f : le réel 1. Base de Ker f (a, b, - 1/3 a - ½ b) = a (1, 0, -1/3) + b (0, 1, -1/2) Et (1, 0, -1/3) et (0, 1, -1/2) sont des éléments de Ker f car ils vérifient la relation : 1/3 a + ½ b + c = 0 Donc S = {(1, 0, -1/3), (0, 1, -1/2)} est un système générateur de Ker f. Est-ce un système libre ? Hypothèse : λ (1, 0, -1/3) + µ (0, 1, -1/2) = (0, 0, 0) (λ, µ, -1/3 λ -1/2µ) = (0, 0, 0) donc λ = 0 et µ = 0, S est un système libre. C’est donc un système générateur de Ker f libre. C’est une base de Ker f .

Page 99: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

99

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°4

Pierre V. Tournier

ÉLÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL

1. Définitions

1. Notation

On appelle matrice de n lignes et p colonnes un tableau de nombres disposés de la façon suivante : x11 x12 x13 … x 1 p x21 x22 x23 … x 2 p .……………………………….

xn1 xn2 xn3 … x n p Cette matrice est dite d’ordre n x p x i j est l’élément de la ligne i et de la colonne j La matrice peut être notée : [ x i j ] , avec i = 1 à n et j = 1 à p.

2. Matrices particulières * Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice zéro. * Si n = 1, la matrice est dite matrice ligne. * Si p = 1, la matrice est dite matrice colonne. * Si n = p, la matrice est dite matrice carrée d’ordre n. Dans une matrice carrée, les éléments x i i constituent la diagonale principale. * Si ∀ i ∈ { 1, 2, …, n} et ∀ j ∈ { 1, 2, …, n} x i j = x j i , la matrice carrée est dite symétrique. * Si ∀ i ∈ { 1, 2, …, n} et ∀ j ∈ { 1, 2, …, n} , x i j = 0 si i ≠ j, la matrice carrée est dite diagonale. * Une matrice diagonale dont tous les éléments non nuls sont égaux à un même nombre λ, est dite matrice scalaire.

Page 100: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

100

* La matrice scalaire dont tous les éléments sont égaux à 1 est dite matrice identité d’ordre n. Elle est notée I ou In. * Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les éléments qui se trouvent au dessous (triangulaire supérieure) ou au dessus (triangulaire inférieure) de la diagonale principale sont nuls. * On appelle sous-matrice d’une matrice donnée, une matrice obtenue en supprimant une ou plusieurs lignes et/ou une ou plusieurs colonnes de la matrice initiale.

2. Opérations sur les matrices

1. Espace vectoriel des matrices d’ordre n x p. * Addition de deux matrices (loi interne) : [ a i j ] et [ bi j ] avec i = 1 à n et j = 1 à p. [ a i j ] + [ bi j ] = [ a i j + bi j ] * Produit d’une matrice par un scalaire λ (loi externe) [ a i j ] avec i = 1 à n et j = 1 à p., λ est un nombre réel. λ . [ a i j ] = [ λ . a i j ] . Théorème : L’ensemble des matrices d’ordre n x p, muni de l’addition de deux matrices et du produit d’une matrice par un scalaire est un espace vectoriel sur R.

2. Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne de même ordre Soit une matrice ligne U = [x1 x2 x3 … xn] Soit une matrice colonne V = y1 y2 y3 … yn Le produit U.V est défini par U.V = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + … + xn yn Le produit de ces deux matrices est un scalaire. On parle de produit scalaire.

Page 101: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

101

3. Produit de deux matrices Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde ; le résultat est une matrice qui a autant de lignes que la première et autant de colonne que la seconde. Soit U une matrice d’ordre n x k et V une matrice d’ordre k x p. Le produit W = U . V est la matrice d’ordre n x p dont l’élément z i j est le produit scalaire de la ie ligne de U et de la je colonne de V. Soient les matrices U = [ x i j ] , avec i = 1 à n et j = 1 à k. et V = [ y i j ] , avec i = 1 à k et j = 1 à p. W = U . V = [z i j ] = [x i j ] . [ y i j ] avec i = 1 à n et j = 1 à p. et z i j = x i 1 . y 1 j + x i 2 . y 2 j + … + x i k . y k j

Propriétés * Soit U une matrice d’ordre n x k, v et w des matrices d’ordre k x p U ( V + W) = U.V + U.W * Soit U et V des matrices d’ordre n x k et W une matrice d’ordre k x p (U + V) . W = U.W + V.W * U . 0 = 0. U = 0 * U . I = I . U = U Attention * En général U. V ≠ V. U * U . V = 0 n’implique pas nécessairement U = 0 ou V = 0 * U . V = U . W n’implique pas nécessairement V = W 4. Transposée d’une matrice On appelle transposée d’une matrice carrée U = [a i j] d’ordre n, la matrice carrée V = [bi j ] d’ordre n définie par bi j = a j i On note V = Ut

Page 102: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

102

Propriétés Une matrice symétrique est identique à sa transposée. (U t) t = U (U + V) t =Ut + V t (U .V) t = V t. U t 5. Déterminant et inverse d’une matrice * A toute matrice carrée U, on peut associer un scalaire appelé déterminant de U, noté dét (U) et calculé comme suit pour les matrices d’ordre 2

x11 x12 x21 x22 dét (U) = x11. x22 - x12 x21 * Soit U une matrice carrée d’ordre 3 x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 A chaque élément de U on peut associé son mineur , c’est-à-dire le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne où se trouve l’élément considéré. Exemple : Mineur de x11 = x22. x33 - x23 x32. Mineur de x21 = x12. x33 - x13 x32 Mineur de x31 = x12. x23 - x13 x22. Le cofacteur de l’élément xij noté aij est égal à (-1)i+j A ij , où Aij est le mineur de xij.

Exemple : a11 = x22. x33 - x23 x32 , a21 = - (x12. x33 - x13 x32) , a31 = x12. x23 - x13 x22 .

Le déterminant d’une matrice carré d’ordre quelconque est égal à la somme des produits des éléments d’une ligne (ou d’une colonne) par leurs cofacteurs. x11 x12 x13 U = x21 x22 x23 x31 x32 x33 dét (U) = x11 .( x22. x33 - x23 x32 ) - x21 (x12. x33 - x13 x32 ) + x31 (x12. x23 - x13 x22)

Page 103: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

103

Définitions : On appelle matrice singulière une matrice dont le déterminant est nul. On appelle matrice régulière, une matrice dont le déterminant est différent de 0.

Propriétés des déterminants 1. Une matrice et sa transposée ont le même déterminant. 2. Un déterminant change de signe si on permute deux lignes (ou deux colonnes). 3. Un déterminant est nul s’il contient deux lignes (ou deux colonnes) identiques. 4. Pour multiplier (ou diviser) un déterminant par un nombre, on multiplie (ou on divise les éléments d’une seule ligne ou d‘une seule colonne par ce nombre. 5. Un déterminant est nul si deux lignes (ou deux colonnes) sont proportionnelles. 6. Le déterminant du produit de deux matrices carrées de même ordre est égal au produite de leurs déterminants.

Inverse d’une matrice Soit U une matrice carrée non singulière (dét U ≠ 0) On appelle inverse de la matrice U, la matrice U-1 telle que U . U-1 = U-1 .U = I. Méthode de calcul de la matrice inverse : 1/ Calcul du déterminant de U 2/ Calcul de la matrice adjointe de U, notée adj (U), obtenue en transposant U et en remplaçant dans Ut chaque élément par son cofacteur. 3/ U-1 = adj (U) / det U.

Exercices Exercice 37.

Soit (E, +, .) l’espace vectoriel des matrices d’ordre 2 x 3. Déterminer une base de cet espace. En déduire la dimension de E. Exercice 38.

Soit (E, +, .) l’espace vectoriel des matrices d’ordre n x p. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ?

Page 104: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

104

Ensemble des matrices lignes d’ordre p : ensemble des matrices colonnes d’ordre n ; ensemble des matrices carrées d’ordre n ; ensemble des matrices carrées symétri-ques d’ordre n ; ensemble des matrices carrées diagonales d’ordre n ; l’ensemble des matrices scalaires d’ordre n ; l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n; l’ensemble des matrices triangulaires inférieures d’ordre n. Exercice 39. C Calculer la matrice inverse de U + 2 - 3 - 1 U = - 1 + 4 + 2 + 2 - 1 + 5

Corrections

39. Calculer la matrice inverse de U + 2 - 3 - 1 U = - 1 + 4 + 2 + 2 - 1 + 5 Det U = 2 [ 4 x 5 – 2 x (-1)] - (-1) [ (-3) x 5 – (-1) (-1)] + 2 [ (-3) (2) – (-1) (4) ] Det U = 44 - 16 - 4 = 24. + 2 - 1 + 2 Ut = - 3 + 4 - 1 - 1 + 2 + 5 22 16 - 2 Adj U = 9 12 - 3 - 7 - 4 5 22/24 16/24 - 2/24 U-1 = 9/24 12/24 - 3/24 -7/24 - 4/24 5/24 U . U-1 = ? 22/24 16/24 - 2/24 9/24 12/24 -3/24 -7/24 - 4/24 5/24 + 2 - 3 - 1 1 0 0 - 1 + 4 + 2 0 1 0 + 2 - 1 + 5 0 0 1 Vérification : U . U-1 = I

Page 105: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

105

3. Matrice d’une application linéaire

1. Représentation d’un vecteur par une matrice Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension n et soit une base de E : (e1, e2, …en) Soit u un vecteur de E, u = x 1.e1 + x 2.e2 + … + x n .en Au vecteur u on peut associer la matrice X à une colonne formée par les coordonnées de u dans la base (e1, e2, …en), mais aussi la matrice transposée Xt à une ligne. x 1

X = x 2 X t = [x 1 x 2 …. x n ]

.

x n 2. Représentation d’un système de vecteurs par une matrice Soit un système de vecteurs de E S = { u1, u2 … , up } On peut associer à S la matrice A d’ordre n x p en mettant dans la i-ième colonne les coordonnées du vecteur ui dans la base (e1, e2, …en) u1= x 11. e1 + x 21 . e2 + … + x n1 .en

u2= x 12.e1 + x 22 . e2 + … + x n2 .en ……………………………………… up= x 1p.e1 + x 2p . e2 + … + x np .en La matrice A se présente ainsi u1, u2 … up

e1 x11 x12 … x1p e2 x21 x22 … x2p ………………….. en xn1 xn2 … xnp

2. Représentation d’une application linéaire par une matrice Soit f une application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension n, sur R, dans lui-même. Soit (e1, e2, …en), une base de E. Reprenons les calculs de la page 31. Soit u = x 1 .e1 + x 2 . e2 + … + x n .en. On a f (u) = x 1 f(e1) + x 2 f(e2) + … + x n f(en ). f(e1) = a 11 .e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en f(e2) = a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en ………………………………………………………..

f(en ) = a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en

Page 106: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

106

f(u) = x 1 [a 11. e1 + a 12 . e2 + … + a 1n .en] + x 2 [a 21 .e1 + a 22 . e2 + … + a 2n .en ] + …

+ x n [a n1 .e1 + a n2 . e2 + … + a nn .en] f(u) = (a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x 1) e1 +( a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n) e2 + …. +

(a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n) en + f(u) = y 1.e1 + y 2 . e2 + … + y n .en. avec y 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + … + a n1 x n

y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a n2 x n … y n = a 1n x 1 + a 2n x 2 + … + a nn x n On peut écrire ces équations sous forme matricielle de la façon suivante : y 1 a 11 a 21 … a n1 x 1

y 2 = a 12 a 22 … a n2 . x 2 … y n a 1n a 2n … a nn x n ou encore Y = A. X X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base (e1, e2, …en). Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base (e1, e2, …en). Quant à la matrice carrée A d’ordre n : la colonne i est constituée des cordonnées du vecteur f(ei ) dans la base (e1, e2, …en). Définition : A est dite matrice associée à l’application linaire f quand on choisit (e1, e2, …en), comme base de E.

4. Changement de bases et matrice de passage Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension n et soit deux bases de E : e = (e1, e2, …en) et e’ = (e’1,e’2, …e’n) Avec : e’1 = a 11. e1 + a 21 . e2 + … + a n1 . en e’2 = a 12.e1 + a 22 . e2 + … + a n2 . en ………………………………..... e’n = a 1n.e1 + a 2n . e2 + … + a nn . en

Page 107: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

107

Soit P la matrice suivante a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n ………………… a n1 a n2 … a nn Soit u un vecteur de E de coordonnées (x 1, x 2, … x n) dans la base (e1, e2, …en) et (x’ 1, x’ 2, … x’ n) dans la base (e’1, e’2, …e’n). u = x 1.e1 + x 2 . e2 + … + x n .en

u = x’ 1.e’1 + x’ 2 . e’2 + … + x’ n .e’n x 1

X = x 2

. . .

x n x’ 1

X’ = x’ 2

. . .

x’ n Résultat admis : X = P. X’ Ou encore P - 1 . X = P - 1 P. X’ D’où X’ = P- 1 . X

Définition : X’ fournit les nouvelles coordonnées de u en fonction des anciennes. P est dite matrice de passage de l’ancienne base e vers la nouvelle e’.

5. Résolution des systèmes d’équations linéaires

1. Système de trois équations non homogènes à trois inconnues

a11 x + a12 y + a13 z = b1 (1) a21 x + a22 y + a23 z = b2 (1) a31 x + a32 y + a33 z = b3 (1) Ecriture matricielle :

a11 + a12 + a13 x b1

a21 + a22 + a23 . y = b2 a31 + a32 + a33 z b3

Page 108: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

108

ou A . T = B Soit les déterminants suivants :

a11 + a12 + a13 D = det a21 + a22 + a23 a31 + a32 + a33

b1 + a12 + a13 Dx = det b2 + a22 + a23 b3 + a32 + a33

a11 + b1 + a13 Dy = det a21 + b2 + a23 a31 + b3 + a33

a11 + a12 + b1 Dz = det a21 + a22 + b2 a31 + a32 + b3 Si D ≠ 0, x = Dx / D, y = Dy / D et z = Dz / D

6. Diagonalisation Nous nous limiterons au cas suivant : diagonalisation d’une application linéaire f d’un espace vectoriel de dimension n dans lui même qui admet n valeurs propres deux à deux distinctes (ou diagonanisation de la matrice A associée à f dans une base de E donnée). Position du problème : Soit (E +, .) un espace vectoriel sur R de dimension n, soit f une application linéaire de E sur lui-même. Soit A la matrice carrée n x n associée à f dans la base (e1, e2, …, en).

On dit f (ou A) est diagonalisable si f (ou A) peut être représentée dans une base convenablement choisie par une matrice diagonale (B). Définition : on appelle vecteur propre de f (ou de A) tout vecteur V ≠ 0 tel que A. V = λ. V, λ étant un nombre réel. On dit que λ est la valeur propre correspondante. Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation : f application linéaire de E sur lui-même (ou A la matrice associée dans une base donnée) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de vecteurs propres. Les valeurs propres de f (ou de A) sont les éléments diagonaux de la matrice B recherchée.

Page 109: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

109

Méthode de diagonalisation 1ère étape. Détermination des valeurs propres A. V = λ.V = > A . V = λ. I.V = > A . V - λ. I.V = 0 = > (A - λ. I). V = 0 On a, nécessairement, det (A - λ. I). = 0 car V ≠ 0. Donc la matrice A - λ. I est une matrice singulière. Définition : L’équation det (A - λ. I) = 0 est appelée équation caractéristique. Ses racines sont les valeurs propres λ1 , λ2 , …, λn . La matrice recherchée B est constituée des valeurs propres. 2ème étape . Détermination des vecteurs propres Les vecteurs propres s’obtiennent en remplaçant λ par chacune de ses valeurs ( λ1 , λ2 ,

…, λn ) .dans la relation (A - λ. I). V = 0. (V1, V2, …, Vn) la base constituée par les vecteur propres. 3ème étape . Calcul de P et P-1 Soit P est la matrice, régulière, de passage de (e1, e2, …, en). à la base (V1, V2, …, Vn) P-1 = adj (P) / det P. On a B = P-1 . A . P B est la matrice associée à f dans la base (V1, V2, …, Vn)

Exercices Exercice 40.

Soit (E, + , . ) un espace vectoriel sur R de dimension 3 et une application linéaire f de E sur lui-même (endomorphisme) Soit (e1, e2, e3) une base de E. A u = x1.e1 + x2. e2 + x3.e3 f associe f(u) = y1.e1 + y2. e2 + y3.e3

avec les relations :

y1= 5 x1 + x2 - x3.

y2 = 2 x1 + 4 x2 - 2 x3

Page 110: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

110

y3 = x1 - x2 + 3 x3

Soit A la matrice qui représente f dans la base (e1, e2, e3) 5 1 - 1 A = 2 4 - 2 1 - 1 3 5 1 - 1 x1 y1 2 4 - 2 . x2 = y2 1 - 1 3 x3 y3 Ou encore A . X = Y Diagonaliser la matrice A. En déduire An

Corrections

40.

det (A - λ. I) = 0 5 - λ 1 - 1 det (A - λ. I). = det 2 4 - λ - 2 1 - 1 3 - λ det (A - λ. I) = (5 - λ) [ ( 4 – λ) (3 – λ) – (-2) [ (-1)] - 2 [(1) (3 – λ) – (-1)(-1)] + 1 [(1(-2) – (-1) (4 – λ) det (A - λ. I) = (5 - λ) (12 - 3 λ - 4 λ + λ2 - 2) – 2 ( 3 – λ – 1) + ( -2 + 4 - λ = (5 – λ) (λ2 - 7 λ + 10) - 4 + 2 λ + 2 - λ = (5 – λ) (λ2 - 7 λ + 10) - 2 + λ = 5 λ2 - 35 λ + 50 – λ3 + 7 λ2 - 10 λ - 2 + λ = – λ3 + 12 λ 2 - 44 λ + 48 det (A - λ. I) = 0 < = > – λ3 + 12 λ 2 - 44 λ + 48 = 0 λ1 = 2, λ2 = 4 et λ3 = 6

Les vecteurs propres s’obtiennent en remplaçant λ par chacune de ses valeurs dans la relation A. V = λ. V ou (A - λ. I). V = 0 . Soit x1, x2, x3. les coordonnées de V dans la base (e1, e2, e3). (5 - λ). x1 + x2 - x3 = 0 2 x1 + (4 – λ). x2 - 2 x3 = 0

x1 - x2 + (3 – λ). x3 = 0

Page 111: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

111

pour λ1 = 2 , cela donne 3 x1 + x2 - x3 = 0 2 x1 + 2x2 - 2 x3 = 0

x1 - x2 + x3 = 0

4 x1 = 0 x1 = 0 x2 - x3 = 0 2x2 - 2 x3 = 0

- x2 + x3 = 0

On peut prendre x2 = 1 et x3 = 1 Soit V1 (0, 1, 1) pour λ2 = 4 , on peut prendre V2 (1, 0, 1) pour λ3 = 6, on peut prendre V3 (1, 1, 0) Considérons la nouvelle base constituée de V1 (0, 1, 1) , V2 (1, 0, 1) et V3 (1, 1, 0)

Soit P la matrice de passage de (e1, e2, e3) à (V1,V2,V3). 0 1 1 P = 1 0 1 1 1 0 - ½ ½ ½ P-1 = ½ - ½ ½ ½ ½ - ½ 0 4 6 AP = 2 0 6

2 4 0

2 0 0 B = P-1 AP = 0 4 0 0 0 6 Par rapport à la base (V1 V2 V3), l’application linéaire f est définie par y’1= 2 x’1 , y’2 = 4 x’2 , y’3 = 6 x’3 En déduire An B = P-1 A P

Page 112: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

112

P B = P. P-1 A P P B P-1 = P P-1 A P P-1 P B P-1 = I A I = A A = P B P -1 An = (P B P -1)n =( P B P -1) (P B P -1) (P B P -1) … (P B P -1) (P B P -1) (P B P -1) Produit de n termes égaux à P B P -1 An = P B (P -1 P) B (P -1 P) B (P -1 … P) B (P -1) P) B (P -1P) B P -1 = A n = P Bn P -1

B étant diagonale, Bn est facile à calculer : 2 n 0 , 0 B n = 0 4 n 0 0 0 6 n

Page 113: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

113

Révision en algèbre linéaire (cahiers n°3 et n°4)

Exercice n°41 1. Montrer que R x R x R muni des opérations suivantes est un espace vectoriel sur R : (a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , ∀ λ ∈ R Définition de + : (a, b, c ) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c +c’) Définition de . : ∀ λ ∈ R λ. (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c). 2. Montrer que le système e = {(1, 0,0), (0,1,0) ,(0,0 1)} constitue une base de R x R x R 3. Montrer que F = {(a, b, c) ∈ R x R x R / a + b + c = 0} est un sous-espace vectoriel de R x R x R. 4. Montrer que le système {(1, 0, -1) , ( 0, 1, -1) } constitue une base de F. 5. Montrer que {(1, 0, - 1), (0, 1, - 1) (1, 0, - 1)} est un système dépendant. 6. Soit f l’application de R x R x R dans R définie par : f {(a, b, c)} = a + b + c . Montrer que f est une application linéaire de R x R x R sur R (forme linéaire). 7. Calculer Im f, donner une base de Im f, f est-elle surjective ? 8. Calculer Ker f, donner une base de Ker f, f est-elle injective ? 9. Déterminer la matrice associée à f, en choisissant e comme de base de R x R x R et 1 comme base de R. 10. Soit g une application linéaire de l’espace vectoriel R x R x R, dans lui-même dont la matrice A, est définie par

Page 114: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

114

0 a a2 1/a 0 a 1/a2 1/a 0 en choisissant comme base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) } . Déterminer le noyau et l’image de g. Que peut-on en conclure pour g ? Déterminer les valeurs propres de A.

Correction °41 n°1. R x R x R est un espace vectoriel sur R : (a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , λ ∈ R (a, b, c ) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c +c’) λ (a, b, c) = (λ a, λ b, λ c). Exemple de démonstration : commutativité de la loi interne + dans R x R x R (a’, b’, c’) + (a, b, c ) = (a’ + a, b’+ b, c’ + c) = ( a + a’, b + b’, c + c’) = (a, b, c ) + (a’, b’, c’) La commutativité de la loi + dans R x R x R est une conséquence directe de la commutativité de l’addition dans R. L’élément neutre pour la loi interne + est le vecteur (0, 0, 0). L’élément symétrique de (a, b, c) est (- a, - b, - c). n°2. Le système e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1)} constitue une base de R x R x R. On va montrer que e est générateur et libre (théorème de la page 29). (a, b, c) ∈ R x R x R (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) Ainsi tout vecteur de R x R x R s’obtient comme combinaison linéaire des vecteurs du système e. Donc e est générateur. Montrons que c’est un système libre : Hypothèse : α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

Page 115: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

115

Donc (α, β, γ) = (0, 0, 0) donc α =β = γ = 0. e est un système générateur et libre, c’est donc une base de R x R x R n°3. F = {( a, b, c) ∈R x R x R / a + b + c = 0} est un sous-espace vectoriel de R x R x R. Montrons que F est stable par combinaison linéaire. (a, b, c ) ∈F donc, par définition de F : a + b + c = 0 (a’, b’, c’) ∈F donc a’ + b’ + c’ = 0 λ ∈ R λ’ ∈ R λ (a, b, c ) + λ’ (a’, b’, c’) est-il un élément de F ? λ (a, b, c ) + λ’ (a’, b’, c’) = (λ a, λ b, λ c ) + (λ’a’, λ’ b’, λ’c’) = (λ a + λ’a’, λ b + λ’ b’, λ c + λ’c’). Ajoutons les composantes de ce vecteur (λ a + λ’a’) + (λ b + λ’ b’) + (λ c + λ’c’) = λ ( a +b + c) + λ’ ( a’ +b‘+ c’) = 0 Donc F est stable par combinaison linéaire. Donc F est un sous-espace vectoriel de R x R x R n°4. Le système {(1, 0, -1), ( 0, 1, -1) } constitue une base de F. u = (1, 0, -1) et v (0, 1, -1) sont bien des vecteurs de F ( 1 – 1 = 0) Montrons que (u, v) est un système générateur de F (a, b, c) ∈ F, donc a + b + c = 0 et c = - (a +b) Le vecteur peut s’écrire [a, b, - (a+b)] [a, b, - (a + b) ] = a (1, 0, -1) + b ( 0, 1, -1) = a. u + b. v (u, v) est un système générateur de F. Montrons que (u, v) est un système libre. Hypothèse : α u + β v = (0, 0, 0)

Page 116: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

116

u = (1, 0, -1) et v (0, 1, -1) α (1, 0, -1) + β ( 0, 1, -1) = (0, 0, 0) (α, 0, - α) + (0, β, - β) = (0, 0, 0) [α, β, - (α + β)] = (0, 0, 0) α = 0 , β = 0 Donc le système (u, v) est libre. n°5. Montrons que { (1, 0, - 1), (0, 1, - 1) (1, 0, - 1)} est un système dépendant. Hypothèse : α (1, 0, -1) + β (0, 1, -1) + γ (1, 0, - 1) = (0, 0, 0) α (1, 0, -1) + β (0, 1, -1) + γ (1, 0, - 1) = (0, 0, 0) (α, 0, - α) + (0, β, - β) + (γ, 0, - γ) = (0, 0, 0) (α + γ, β, - α - β- γ) = (0, 0, 0) α + γ = 0 , β = 0 et - α - β- γ = 0. α + γ = 0 , β = 0 On peut donc trouver α, β ,γ non tous nuls Le système est dépendant. n°6. Montrons que f est une application linéaire f {(a, b, c)} = a + b + c . (a, b, c ) ∈R x R x R, (a’, b’, c’ ) ∈ R x R x R , λ ∈ R f [(a, b, c ) + (a’, b’, c’) ] = f (a + a’, b + b’, c + c’) = (a + a’) + (b + b’) + (c + c’) = (a + a’ + b + b’ + c + c’ = (a + b + c) + (a’+ b’+ c’) = f [(a, b, c )] + f [(a’, b’, c’ )]. f [λ (a, b, c)] = f [λ a, b λ, c λ)] = λ a + λb + λc = λ (a + b + c) = λ f [ (a, b, c)] Donc f est une application linéaire de R x R x R dans R.

Page 117: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

117

n°7. Calcul de Im f Im f = { k ∈R / ∃ (a, b, c) avec f {(a, b, c) = k } Soit k un réel donné. On cherche (a, b, c) de telle sorte que f {(a, b, c) } = k ou encore a + b + c = k. On peut choisir b et c quelconques et a = k – b – c. Donc Im f = R. on peut prendre comme base de R { 1}. f est une surjection de R x R x R sur R. n°8. Calcul de Ker f Ker f = { u ∈ R x R x R / f (u) = 0 } u = (a, b, c) u ∈ Ker f < => a + b + c = 0 Ker f = F (voir question n° 3). u = (1, 0, -1) et v ( 0, 1, -1) constituent une base de F Ker f ≠ {(0,0,0 )} . f n’est donc pas injective. n°9. Matrice associée à f , en choisissant e comme de base de E et 1 comme base de R. Base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) } Base de R = {1} Dans le cours concernant la représentation d’une application linéaire par une matrice (page 42), on s’est limité au cas des applications d’un espace vectoriel vers lui-même. Mais ces considérations peuvent se généraliser au cas d’une application d’un espace vectoriel E vers un espace vectoriel E’. u = (a, b, c) f (u) = a + b + c Soit A la matrice recherchée.

Page 118: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

118

On a Y = A. X X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) , (0, 0, 1) } Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base {1}. Quant à la matrice carrée A d’ordre 3 : la colonne 1 est constituée des cordonnées du vecteur f (1, 0, 0) dans la base {1} etc. a [ a + b + c ] = [1, 1, 1 ] . b c n°10. Soit g une application linéaire de l’espace vectoriel R x R x R, dans lui-même dont la matrice A, définie par 0 a a2 1/a 0 a 1/a2 1/a 0 en choisissant comme base de R x R x R e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,(0, 0, 1) } . u ∈ R x R x R, g(u) ∈ R x R x R On a Y = A. X X est le vecteur colonne constitué des coordonnées de u dans la base e = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) Y est le vecteur colonne constitué des coordonnées de f(u) dans la base e. Quant à la matrice carrée A d’ordre 3 : la colonne 1 est constituée des cordonnées du vecteur g (1, 0, 0) dans la base {1} etc. g ( 1, 0, 0) = 0 x (1, 0, 0) + 1/a (0, 1, 0) + 1/a2 (0, 0, 1) etc… Pour déterminer les valeurs propres de A, résolvons l’équation caractéristique det (A - λ. I) = 0 - λ a a2 det 1/a - λ a = 0 1/a2 1/a - λ - λ (λ2– 1) - 1/a [ - a λ - a ) + 1/ a2 [a2 + λ a2 ] = 0

Page 119: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

119

- λ3 + λ + λ + 1 + 1 + λ = 0 - λ 3 + 3 λ + 2 = 0 (1) Il s’agit d’une équation du troisième degré. λ1 = - 1 est une solution « évidente ». On peut mettre λ + 1 en facteur dans le membre de gauche de l’équation (1) (λ + 1) (a λ 2 + b λ + c) = a λ 3 + b λ2 + c λ + a λ 2 + b λ + c = a λ 3 + (a + b). λ 2 + (b +c) λ + c

a = -1 a + b = 0 b + c = 3 c = 2 a = - 1 , b = 1 et c = 2 L’équation (1) devient : ( λ + 1 ) (- λ 2 + λ + 2) = 0 - λ 2 + λ + 2 + 0 ∆ = 1 + 8 = 9 λ = (- 1 + 3 ) / - 2 = - 1 ou λ = (- 1 - 3 ) / - 2 = + 2 Les vecteurs propres sont donc λ1 = - 1, λ2 = 2

Page 120: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

120

Université Paris I Panthéon Sorbonne Cahiers de Mathématiques n°5

Pierre V. Tournier

RÉVISIONS DE LA 2ème PARTIE

Fonctions numériques Exercice 42. Calculer la limite de la fonction f(x) = exp [x / (2 + x)] quand x → + ∞. Exercice 43. Donner l’ensemble de définition de la fonction f(x) = Ln [x / (1 – x)] Exercice 44. Etudier les variations de la fonction f(x) = exp [- x2]. Exercice 45. Soit une population variant en fonction du temps de la façon suivante : P(t) = P(0) (1 + k)t . Calculer la période de doublement de cette population.

Calcul différentiel Exercice 46. Que signifie « f n’est pas dérivable en xo » ? Exercice 47. Calculer la dérivée de f(x) = 1 / Ln x en appliquant le théorème suivant :

Page 121: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

121

si f(x) = goh(x), alors f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x) On précisera ce que l’on prend pour h et ce que l’on prend pour g. Exercice 48. Soit la fonction f(x) = 1 / (3 x + 1) 2 = (3 x + 1) - 2 Indiquer le domaine de dérivabilité de f. Calculer la fonction dérivée de f de trois manières différentes, en utilisant successivement les théorèmes suivants : f(x) = 1/u(x) f ’(x) = - u’(x) / u(x)2

f(x) = v(x)n f ’(x) = n v’(x). v(x)n-1

f(x) = goh(x) f ’(x) = g’[h(x)] . h’(x)

On précisera bien le choix que l’on fait de u(x), v(x), h(x) et g(x). Exercice 49. Soit la fonction f(x) = ex . Représenter f dans un repère othonormé (e1 ≈ 2,7) et construire la droite tangente au point x = 0. Calculer le développement de Mac-Laurin de f(x) d’ordre 1, quand x tend vers 0. Donner une interprétation géométrique de ce résultat. Calculer le développement de Mac-Laurin de f(x) d’ordre 3, quand x tend vers 0. Exercice 50. Soit P(z) un polynôme de degré p et Q(z) un polynôme de degré q (p et q sont des entiers naturels vérifiant p > q, z une variable réelle). P(z) = ao + a1.z + a2.z

2 + a3.z3 + … + ap-1.z

p-1 + ap.zp

Q(z) = bo + b1.z + b2.z

2 + b3.z3 + … + bq-1.z

q-1 + bq.zq

Quel est le degré du polynôme P(z) + Q(z) et celui du polynôme P(z) x Q(z) ? Quelle est la limite de la fonction f(z) = P(z) / Q(z) quand z tend vers + ∞ ? Calculer la dérivée de P(z), puis l’écrire en utilisant le signe ∑. Donner l’ensemble des primitives de P(z) en utilisant le signe ∑ . Exercice 51.

Page 122: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

122

Calculer la primitive de la fonction f(x) = (- x + 1) (- x2 + 2x – 1)3 qui s’annule pour x = 0. Rappel sur les fonctions dérivées [u(x)n]’ = n. u’(x) . u(x)n-1 Exercice 52. Calculer l’ensemble des primitives de la fonction f(x) = - x / ( x2 + 1). Exercice 53. En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer l’intégrale suivante : I = ∫ Ln t . dt à prendre entre 1 et e. Exercice 54. Soit l’intégrale I = ∫ et . dt à prendre entre - 1 et + 1. Calculer cette intégrale et montrer précisément, sur un graphique, ce qu’elle représente. Exercice 55. Soit la fonction f(x) = 1/ x2. Soit I (x) =∫ f(t) . dt à prendre entre 1 et x (x strictement supérieur à 1). Montrer que I est une intégrale convergente quand x tend vers + ∞.

Primites et intégrales Exercice 56. Soit une fonction f définie sur un intervalle [a ; b], F1 et F2 deux primitives de f sur cet intervalle. Que peut-on dire de la fonction H(x) = F1 (x) - F2 (x). Exercice 57. Soit la famille de fonctions paramétrée par a et b réels : fa,b (x) = ex + a / x + b (2x + 1) / (x2 + x + 1)

Page 123: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

123

Donner l’ensemble de définition de fa,b . Calculer l’ensemble des primitives de fa,b. Calculer la primitive de fa,b (x) qui s’annule pour x = 1. Si a = 0 et b = 0, f(x) = ex. .Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Calculer l’aire qui est comprise entre la droite d’équation y = e, l’axe des y et la courbe C. Exercice 58. Soit la fonction f(x) = 2x +1. Soit D la droite représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. Construire D. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b.

Calculer l’intégrale I = ∫ f(t). dt à prendre entre les bornes a et b. Commenter.

Espaces vectoriels Exercice 59. Montrer que R (ensemble des réels), muni de l’addition dans l’ensemble des réels est un groupe commutatif. Exercice 60. Soit E = {(x, y) ∈ R2 / x + y = 1}. On définit la loi + de la façon suivante : (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’). La loi + est-elle une loi interne dans E? Exercice 61. Soit E = R3 (ou encore R x R x R). On définit la loi + de la façon suivante : (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, 0) La loi + est-elle une loi interne dans R3 ? Exercice 62. Soit E l’ensemble des fonctions numériques de variable réelle définies sur R* par f(x) = a + b/x, avec a ≠ 0 et b ≠ 0 On définit la loi + de la façon habituelle : soit f et g deux fonctions de E, (f + g) (x) = f(x) + g(x). + est-elle une loi interne dans E ? Exercice 63.

Page 124: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

124

Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1, 1) et v = (1,0). Montrer que S = {u, v} est un système générateur de R2. Exercice 64. Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle définies sur R par f(x) = a.x + b avec a et b réels. Soit F la partie de E constituée des fonctions de E où a = 0. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E (on montrera que F est stable par combinaison linaire). Exercice 65. Soit E l’espace vectoriel des fonctions numériques de variable réelle définies sur R par f(x) = a.x + b avec a et b réels. Soit les deux vecteurs g et h de E définis par g(x) = 2.x et h(x) = - x. Montrer que S = {g, h} n’est pas un système générateur de E. Exercice 66. Donner un exemple d’espace vectoriel et de sous-espace vectoriel associé (différents de ceux introduits dans les autres exercices). Exercice 67. Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1,1) et v = (1,0). S = {u, v} est-il un système lié de R2 ? Exercice 68. Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (1,0) et v = (1/4, 0). S = {u, v} est-il un système libre de R2 ? Exercice 69. Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les trois vecteurs u, v et w avec u = (1, 0), v = (0, 1) et w = (1, 1). S = {u, v, w} est-il une base de R2 ? Exercice 70.

Page 125: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

125

Soit l’espace vectoriel E = R2. Soit les deux vecteurs u et v, avec u = (Ln 2, 0) et v = (0, Ln 2). S = {u, v} est-il une base de R2 ? Exercice 71. Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction de E vers F définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x2 + y2. Soit λ un réel. Calculer λ . f [(x, y)] et f [λ . (x, y)] . En déduire que f n’est pas une application linéaire de E sur F. Exercice 72. Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction f de E vers F définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y Montrer que f est une application linéaire de E sur F. Exercice 73. Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère l’application linéaire f de E vers F définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y. Donner une base de Im f (image de f). Exercice 74. Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère l’application linéaire f de E vers F définie de la façon suivante : Pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x + y Donner une base de Ker f (noyau de f). Exercice 75. Soit les deux espaces vectoriels E = R2 et F = R. On considère la fonction de E dans F définie de la façon suivante : pour tout (x, y) ∈ R2, f [(x, y)] = x /y. Calculer f(1, - 3). f est-elle une application linéaire ? Exercice 76. Soit l’espace vectoriel E = R2 et F l’espace vectoriel constitué des fonctions numériques de variable réelle x, paramétrée par a et b et définies par f(x) = a.x + b. Soit g l’application de E dans F qui au couple (a, b) associe la fonction f définie par f(x) = ax + b. Calculer g (1, -3). Montrer que g est une application linéaire de E dans F.

Page 126: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

126

Eléments de calcul matriciel Exercice 77. Produit de matrices. Soit U et V deux matrices carrées d’ordre 3. Montrer que les produits U.V et V.U ne sont pas nécessairement égaux. Pour ce faire, on utilisera, les deux matrices particulières suivantes : - 3 2 1 - 2 3 0 U = 2 - 1 0 et V = 1 - 4 - 1 - 1 0 1 1 - 1 2 Exercice 78. Transposition d’une matrice. Soit A et B deux matrices carrées d’ordre 2 quelconques. Montrer que (A.B)t = Bt.At Exercice 79. Déterminant. Soit I la matrice identité d’ordre 3. Calculer le déterminant de I. Exercice 80. Soit A une matrices carrée d’ordre 2. A quelle condition A est-elle une matrice singulière ? Exercice 81. Montrer que la matrice W carrée d’ordre 3 est régulière. - 1 1 - 2 W = 1 - 3 1 - 2 4 3 Exercice 82.

Page 127: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

127

Soit E l’espace vectoriel constitué des matrices carrées d’ordre 2. Soit la fonction f de E dans R qui à une matrice de E associe son déterminant. Soit A = - 1 - 2 Calculer f(A). f est-elle une application linéaire ? 3 - 6 Exercice 83. Soit E l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3. Soit F l’ensemble des matrices scalaires d’ordre 3. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et que dim F = 1. Exercice 84. Calculer la matrice adjointe de 0 1 - 2 1 - 2 1 - 1 3 -1 Exercice 85. Calculer la matrice inverse de 1 1 - 1 2 - 2 1 - 1 3 - 2 Exercice 86. Soit f l’application de R2 dans R2 qui a tout couple (x, y) associe le couple (x + y, 0). On admettra que f est une application linéaire et que S = { (1,0), (0,1)} est une base de R2.. Déterminer la matrice A associée à l’application f quand on choisit S comme base de R2. Exercice 87. Soit le système de 3 équations à trois inconnues suivant : - x + 2 y – z = 1 + x – y + 2.z = - 3 - 2 x + y – 3 z = - 1

Page 128: MATHEMATIQUES POUR LA DEMOGRAPHIE.pdf

128

Ecrire ce système sous forme matricielle. Puis calculer les déterminants D, Dx, Dy et Dz. On rappelle que si D ≠ 0, les solutions du système sont x = Dx / D, y = Dy / D et z = Dz / D. Exercice 88. On considère l’espace vectoriel R x R x R et la base canonique B B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0,1)} Soit le système de vecteur B’ = {(1/2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, -1)}. Montre que B’ est aussi une base de R3. Donner la matrice de passage P de la base B vers la base B’. Exercice 89 Soit E, l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré au plus égal à n. Montrer que le système suivant est une base de E. S = {Po, P1, P2, …, Pn}, avec Po (x) = 1, P1 (x) = x , P2, (x) = x 2 , …, Pn (x) = xn Soit f la fonction de E dans E qui à un élement P de E associe sa fonction dérivée P’. F(P) = P’ Montrer que f est une application linéaire. Déterminer le noyau Ker f et l’image de f, Im f. Donner une base de Ker f et de Im f. Donner la matrice A de f relative à la base S.