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Mathématiques Mathématiques SNSN
Les Les IDENTITÉSIDENTITÉS
TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
3 3 nouveaux nouveaux rapportsrapports trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
sinsin
11==coseccosec COSÉCANTE :COSÉCANTE :
SÉCANTE :SÉCANTE :
COTANGENTE :COTANGENTE :
coscos
11==secsec
tantan
11==cotancotan
Les 3 Les 3 identitésidentités
trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
11
P(P() = ( , )) = ( , )xx yy
xx
yy
cos cos sin sin
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx22 + + yy22 = 1 = 122
Donc :Donc :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 11
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 22
coscos22 coscos22 coscos22
1 + tan1 + tan22 = sec = sec22
RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL
coscos
11== sec sec
sin sin
11== cosec cosec
tan tan
11== cot cot
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 33
sinsin22 sinsin22 sinsin22
cotcot22 + 1 = cosec + 1 = cosec22
Ex. #1 :Ex. #1 : DémontrerDémontrersecsec22
11++
coseccosec22
11== 11
11++
11== 11
coscos22
11
sinsin22
11
++ == 11coscos22 sinsin22
== 1111
Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !
On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).
Ex. #2 :Ex. #2 : DémontrerDémontrer cos x cos x tan x = sin x tan x = sin x
== sin xsin xcos x cos x
cos xcos x
sin xsin x
== sin xsin xsin xsin x
Ex. #3 :Ex. #3 : SimplifierSimplifier (1 + tan(1 + tan22x) cosx) cos22xx
(sec(sec22x) cosx) cos22xx
coscos22xx
11 coscos22xx
11
Ex. #4 :Ex. #4 : DémontrerDémontrer tantan22x – tanx – tan22x sinx sin22x = sinx = sin22xx
tantan22x (1 – sinx (1 – sin22x) = sinx) = sin22xx
tantan22x (cosx (cos22x) = sinx) = sin22xx
(cos(cos22x) = sinx) = sin22xx
coscos22xx
sinsin22 x x
sinsin22x = sinx = sin22xx
Ex. #5 :Ex. #5 : DémontrerDémontrer – – sin x = cot x cos xsin x = cot x cos x
sin xsin x
11
– – sinsin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
11
sin xsin x
1 – sin1 – sin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
sin xsin x
cotcot x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations à l’aide d’identités à l’aide d’identités trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1
aa11 = =
11
22
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 11
22
etet sin xsin x22 = -1 = -1
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1
aa11 = =
11
22
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 11
22
etet sin xsin x22 = -1 = -1
33
xx11 = = 5533
xx11 = = etet
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1
aa11 = =
11
22
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 11
22
etet sin xsin x22 = -1 = -1
xx22 = = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
==
PériodePériode
= 2= 233
xx11 = = 5533
xx11 = = etet
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n , n , + + 22n n où n où n 33
5533
Autres Autres identités identités trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))
1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( = , calculer précisément sin (uu + + vv) .) .44
33
sin ( + ) = sin ( + ) = 44
33
sin ( )sin ( )44
cos ( )cos ( )33
++ sin ( )sin ( )33
cos ( )cos ( )44
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( ) 22
22
33
22
11
22
22
22
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ++ ( )( ) 22
44
66
44
sin ( ) = sin ( ) = 771212
+ 2 + 2
66
44
tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))
1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))
22
44
sin (sin (uu – – vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(vv) cos() cos(uu))
Différence entre Différence entre uu et et vv
cos (cos (uu – – vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément cos ( = , calculer précisément cos (uu – – vv) .) .3344
2233
cos ( – ) = cos ( – ) = 3344
2233
cos ( )cos ( )3344
cos ( )cos ( )2233
++ sin ( )sin ( )3344
sin ( )sin ( )2233
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( )- 2- 2
22
- 1- 1
22
33
22
22
22
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ++ ( )( ) 22
44
66
44
+ 6 + 6
cos ( ) = cos ( ) = 1212
tan (tan (uu – – vv) = tan() = tan(uu) – tan() – tan(vv))
1 + tan(1 + tan(uu) tan() tan(vv))
