Mathématiques Mathématiques SNSN

MODULE 9MODULE 9La fonctionLa fonction

TANGENTETANGENTE

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

Équations et graphiquesÉquations et graphiques

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTE TANGENTE --

f(x) = f(x) = tan tan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa tantan [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4[ 3 ( x – 1 ) ] + 4

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2

b b == 3 3

h h == 1 1

k k == 4 4

x = ( h + ) + x = ( h + ) + PPn où n n où n (Équation des ASYMPTOTES)(Équation des ASYMPTOTES)PP

22

- 5- 5

55

f(x) = f(x) = tantan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00 00

11

-1-1

44

- - 44

- - 22

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et «  » et « RADIANRADIAN » »

22

2,412,413388

-2,41-2,41- 3- 3

88

f(x) = f(x) = tan tan xx

La fonction La fonction TANGENTETANGENTE est une fonction CYCLIQUE. est une fonction CYCLIQUE.

PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.

Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions (contrairement aux fonctions sinusoïdalessinusoïdales.)

PériodePériode

P = P =

| | bb | |

- 5- 5

55

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

f(x) = f(x) = tan tan xxPériodePériode

- 5- 5

55

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

((hh, , kk))

x = h x = h ++ PP

22

PP

22

AsymptoteAsymptote

-P-P

22

x = h x = h –– PP

22

AsymptoteAsymptote

Les équations des Les équations des asymptotesasymptotes sont donc : sont donc :

x = ( h + ) + x = ( h + ) + PPn où n n où n PP

22

Exemple :Exemple : Représenter graphiquement Représenter graphiquement f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ ( x + ) ] + 3[ ( x + ) ] + 3 . .

Période = 4Période = 4

- 5- 5

55

33 55---4-4-6-6

22

11

44

P = P =

| | bb | |= =

| 1/4 || 1/4 |= 4= 4

((hh, , kk) =) = (- (- /2 , 3)/2 , 3)

-3-3-5-5 -2-2-7-7 22 44 7766

+ 2+ 2- 2- 2

Période = 4Période = 4Période = 4Période = 4

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations

Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

RAPPELRAPPEL

sin sin

cos cos tan tan = =

On sait que :On sait que :

Donc :Donc :

yy

xx

tan tan = =

P(P() = ( , )) = ( , )cos cos sin sin

xx

yy

11

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations

0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1

Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144

44

-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44

1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44

Quel est l’angle dont la

valeur est « 1 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

Quel est l’angle dont la

valeur est « 1 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1

Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144

44

-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44

1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44

Quel est l’angle dont la

valeur est « 1 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

Quel est l’angle dont la

valeur est « 1 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44

= 2 (x – )= 2 (x – )44

44

etet = 2 (x – )= 2 (x – )44

5544

= x –= x – 44

88

= x –= x – 44

5588

= x= x113388

= x= x227788

P = P = | | bb | |

| | 22 | |P =P =

PériodePériode

Réponse :Réponse :

x x + n + n où n où n

==

22

22

3388

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

REMARQUE…REMARQUE…

11

44

++

22

44

En RÉSUMÉ…En RÉSUMÉ…

22 = = – – 11 Avec Avec SINSIN : :

22 = = 22 – – 11 Avec Avec COSCOS ::

22 = = + + 11Avec Avec TANTAN ::

0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3

Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3

11

22

= = tan tan (x – (x – ))11

22Quel est l’angle dont la valeur est

«   »

lorsqu’on effectue « y / x » ?

Quel est l’angle dont la valeur est

«   »

lorsqu’on effectue « y / x » ?

tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11

22

11

22

33

33

33

33 33

33

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

11

22

33

22÷÷ ==

11

22

22

33xx ==

11

33Il faut

rationnaliser !Il faut

rationnaliser !EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :

33

33

0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3

Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3

11

22

= = tan tan (x – (x – ))11

22 Quel est l’angle dont la valeur est

«   »

lorsqu’on effectue « y / x » ?

Quel est l’angle dont la valeur est

«   »

lorsqu’on effectue « y / x » ?

tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11

22

11

22

33

33

33

33

33

33

= (x – = (x – ))11

22

66

etet = (x – = (x – ))11

22

7766

= x – = x – 2266

= x= x114433

= x – = x – 141466

= x= x22101033

P = P = | | bb | |

| 1/2 || 1/2 |

P =P =

PériodePériode

Réponse :Réponse :

x x + 2 + 2n n où n où n

= 2= 2

4433

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations

Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 2 (x + ) – 1 ≥ 1188

- 5- 5

55

22

33

22

--

22

---3-3

22

88P = P = /2/2

y = 1y = 1

Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 12 (x + ) – 1 ≥ 188

-1,1071-1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88

etet ++ -1,1071 -1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88

-0,55355 -0,55355 ≥ x +≥ x + 88

-0,94625 -0,94625 ≥ x≥ x11

2,03442,0344 ≥ 2 (x + )≥ 2 (x + )88

1,01722 1,01722 ≥ x +≥ x + 88

0,6245 0,6245 ≥ x≥ x22

1 ≤ - 1 ≤ - tan tan 2 (x + ) – 12 (x + ) – 188

2 ≤ - 2 ≤ - tan tan 2 (x + )2 (x + )88

-2 -2 ≥≥ tan tan 2 (x + )2 (x + )88

Quel est l’angle dont la

valeur est « -2 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

Quel est l’angle dont la

valeur est « -2 » lorsqu’on

effectue « y / x » ?

tantan-1-1(-2) (-2) ≥≥ 2 (x + ) 2 (x + )88

Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

- 5- 5

55

22

33

22

--

22

---3-3

22

88

y = 1y = 1

-0,9

46

25

-0,9

46

25

P = P = | | bb | |

| 2 || 2 |

P =P =

PériodePériode

Réponse :Réponse :

x x ] + n , ] + n , -0,94625 -0,94625 + n ] où n + n ] où n

==

-3-388

22

22

22