Mathematiques TS TalENS FBLANC

  • Upload
    kroutch

  • View
    221

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    1/8

    Quelques rappels mathmatiques

    Florian BLANC - TalENS 20121er fvrier 2012

    Quelques notions en vrac du programme de terminale S.

    1 Dnombrement

    Le dnombrement, ou analyse combinatoire, est la branche des mathmatiques consacre au dnombrement

    des configurations dun systme.

    1.1 Principes

    Soit E un ensemble fini. Le cardinal de E, not CardE, est gal au nombre dlments de E.

    1. Principe de la somme : soit (Ai)i une partition de E. Alors CardE =i

    CardAi.

    2. Principe multiplicatif : si une situation comporte p tapes, ltape i offrant ni issues possibles, alors le

    nombre total dissues possibles est n =pi=1

    ni.

    1.2 Dnombrement des plistesSoit n N et soit E un ensemble fini, de cardinal n. Soit p N. Une pliste de E est un puplet dlments

    de E. Cest donc un lment de Ep.

    Exemple : soit E = {0, 1}. Alors une 2liste de E est par exemple (0, 0). Il y a possibilit de rptition dansune pliste, et il y a un ordre.

    Le nombre de plistes avec les notations prcdentes est np.

    1.3 Dnombrement des arrangements et permutations

    Gardons les notations prcdentes. On appelle parrangement de E une pliste de E sans rptition. Unepermutation de E est un narrangement de E.

    Le nombre de permutations de Eest n! , la factorielle de n, dfinie par n! = 12 . . . (n1)n. Le nombrede parrangements pour un ensemble de cardinal n, not Anp , vaut :

    Anp =n!

    (n p)!

    1.4 Dnombrement des combinaisons

    On appelle combinaison de p lments de E toute partie de E de cardinal p. Cest donc un ensemble dl-

    ments de Esans ordre, ni rptition. Le nombre dep

    combinaisons dun ensemble de n lments est not

    n

    p

    (se lit p parmi n) et vaut :

    1

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    2/8

    2 PROBABILITS LMENTAIRES

    n

    p

    =

    n!

    p!(n p)!

    Parmi les nombreuses proprits intressantes de

    n

    p

    , mentionnons celle-ci :

    n

    p

    =

    n

    n p

    2 Probabilits lmentaires

    2.1 Introduction

    Le calcul des probabilits intervient lorsque lon sintresse des phnomnes alatoires. Initialement motiv

    par des problmes lis aux jeux de hasard, le calcul des probabilits a aujourdhui un fondement axiomatique et

    intervient dans de nombreux aspects de la physique, de la biologie, mais galement de la finance.

    2.2 Expriences, vnements et univers

    Considrons une exprience alatoire. Par dfinition, cette exprience a plusieurs issues possibles sans

    que lon puisse prvoir avec certitude lissue effectivement ralise.

    Dfinition : On appelle ventualit ou vnement lmentaire une issue possible de lexprience. Par

    exemple, si on considre le lancer dune pice, les deux ventualits sont pile et face.

    Dfinition : On appelle vnement un ensemble dventualits.

    Dfinition :On appelle univers des vnements, not gnralement , lensemble des ventualits.

    Exercice : Donner les univers associs aux expriences suivantes : lancer dune pice, lancer dun D6 (d 6

    faces), lancer de n D6 avec n entier naturel non nul.

    Un vnement est une partie de (et non un lment de ). Lensemble Edes vnements doit vrifier lesproprits suivantes :

    1. E2. A E, A E3. Pour toute suite (An)nN dlments de E,

    nN

    An E.

    En pratique, on prend E= P() (ensemble des parties de ) si est dnombrable. Un couple (, E) est appelespace probabilisable. Les vnements sont des ensembles, et on peut donc effectuer sur eux les oprations de

    la thorie des ensembles : union, intersection, complmentaire... Deux vnements sont incompatibles 1 si leur intersection est lensemble vide.

    Lvnement contraire de lvnement A est lvnement A (complmentaire de A).

    On appelle systme complet dvnements (SCE) toute famille dvnements formant une partition de ,

    cest--dire une famille dvnements deux--deux incompatibles et dont la runion vaut . Par exemple,

    pour tout vnement A, le couple (A, A) est un SCE.

    2.3 Probabilit

    Les dfinitions prcdentes ne sont gure utiles toutes seules, mais elles vont permettre de dfinir rigoureu-

    sement la notion de probabilit.Soit une exprience alatoire laquelle est associe lunivers .

    1. La notion dincompatibilit ne doit pas tre confondue avec celle dindpendance, qui sera dfinie plus loin.

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 2

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    3/8

    2.4 Probabilit conditionnelle et indpendance 3 VARIABLES ALATOIRES RELLES DISCRTES

    Par dfinition dun vnement, il est clair que pour tout vnement A on a A P() o P() est lensembledes parties de .

    Exercice : Donner lunivers associ au lancer dune pice puis donner toutes ses parties.

    tant donn un espace probabilisable (,E

    ), on appelle mesure de probabilit ou simplement probabilit

    toute application P de Edans R vrifiant :1. A E, P(A) 0.2. P() = 1.

    3. Pour toute famille dvnements (An)nN deux--deux incompatibles, on a P(nN

    An) =n

    P(An).

    De cette dfinition dcoulent plusieurs proprits :

    Pour deux vnements A et B, on a P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P() = 0.

    P(A) = 1 P(A). A E, P(A) [0, 1]. Si A B, alors P(A) P(B).

    Un triplet (, E, P) est appel espace probabilis.

    2.4 Probabilit conditionnelle et indpendance

    Probabilit conditionnelle Soit A un vnement tel que P(A) = 0.Pour tout vnement E, on appelle probabilit de E sachant A, et on note P(E/A) ou PA(E), le rel :

    P(E/A) =P(A E)P(A)

    Lapplication

    PA :

    E RE P(E/A)

    est une mesure de probabilit (appele probabilit conditionnelle sachant A).

    Indpendance Deux vnements A et B sont dits indpendants 2 si P(AB) = P(A) P(B). Cela a notammentpour consquence que PA(B) = P(B) (et rciproquement). Intuitivement, deux vnements sont indpendants

    si la ralisation de lun napporte aucune information sur la ralisation de lautre.

    3 Variables alatoires relles discrtes

    3.1 Introduction

    Il est frquent, en particulier en sciences, que le rsultat dune exprience alatoire soit une valeur num-

    rique. Cest le cas si on considre le rsultat du lancer dun d, si on sintresse au nombre dexemplaires dune

    protine donne dans une cellule un instant donn, ou encore lnergie totale dun systme physique isol.

    Une telle valeur numrique alatoire est appele variable alatoire.

    2. Encore une fois, ne pas confondre avec incompatibles.

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 3

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    4/8

    3.2 Dfinitions et notations 3 VARIABLES ALATOIRES RELLES DISCRTES

    3.2 Dfinitions et notations

    Une variable alatoire relle discrte sur un univers est une application X de dans R. Lensemble

    des valeurs pouvant tre prises par X est appel univers-image et est not X(). Pour le cas des variables

    discrtes (les seules que nous considrerons ici), X() est de la forme {xi, i I} o I N. Cela veut dire queles lments de X() peuvent tre compts (dnombrs). Essayer de compter tous les entiers compris entre 0 et 4. Maintenant comptez tous les rels entre 0 et 4. Que

    se passe-t-il ?

    On note (X = xi) lvnement { , X() = xi}. Cela veut dire que lvnement X prend la valeur xiest gal lensemble des ventualits pour lesquelles X vaut xi.

    Exemple : considrons le lancer de 2D6. On appelle X la variable alatoire gale la somme des deux rsul-

    tats. Alors lvnement (X = 3) est gal {"le premier d donne 2 et le second 1", "le premier d donne 1 et le second 2"}.La loi de probabilit de X (ou plus simplement loi de X) est lapplication qui tout x de X() associe sa

    probabilit. En particulier, on a : xX()

    P(X = x) = 1

    Terminons avec une dfinition :

    Deux variables alatoires discrtes X et Y sont dites indpendantes si pour tout (xi, yj) X() Y()les vnements (X = xi) et (Y = yj) sont indpendants.

    3.3 Esprance et variance

    Soit X une variable alatoire discrte, dfinie sur lunivers-image X().

    On appelle esprance de X le rel

    E(X) =

    xiX()

    xiP(X = xi)

    Lesprance correspond la valeur moyenne attendue de la variable alatoire, do le nom desprance (valeurespre - en anglais expected value, ou expectation). Si on rpte un grand nombre de fois la mesure dune

    variable alatoire, la valeur moyenne mesure tendra vers lesprance.

    Exercice : Soit N la variable alatoire gale au rsultat du lancer dun d. Calculer son esprance.

    On appelle variance de X le rel :

    V(X) =

    xiX()

    (xi E(X))2P(X = xi)

    On peut dmontrer (cest un bon exercice si vous voulez vous entraner manipuler le symbole somme) que :

    V(X) = E(X2) (E(X))2

    Cette formule, appele formule de Koenig-Huyghens, est la formule gnralement utilise pour calculer la va-

    riance. On la retient comme a :

    La variance, cest la moyenne des carrs moins le carr de la moyenne

    La variance dune variable alatoire permet dvaluer la dispersion des valeurs prises par la variable autour

    de sa valeur moyenne. Elle est toujours positive ou nulle.

    Exercices :

    1. Dmontrer que pour toute variable alatoire discrte X, on a V(X) 0.2. Proposer une variable alatoire de variance nulle.

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 4

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    5/8

    3.4 Variables alatoires usuelles 3 VARIABLES ALATOIRES RELLES DISCRTES

    Si la variable X mesure une grandeur physique, avec une unit, alors E(X) est de la mme unit que X mais

    V(X) est dans lunit de X au carr. Il est donc commode de travailler avec la racine carre de la variance,

    appele cart-type, note (X) :

    (X) =

    V(X)

    Remarque (hors-programme) : le thorme de transfert Soit X une variable alatoire discrte et soit f

    une fonction dfinie de X() dans R. Le thorme de transfert nonce que :

    E(f(X)) =

    xiX()

    f(xi)P(X) = xi)

    On retrouve la formule de lesprance de Xpour le cas o f est la fonction identit et la formule de la variance

    pour f : x (xi E(X))2.

    3.4 Variables alatoires usuelles

    Certaines variables alatoires sont souvent rencontres en probabilits. Il faut connatre lexpression de leurloi (P(X = xi) en fonction de xi), de leur esprance et de leur variance.

    3.4.1 La loi certaine

    Une variable alatoire X est dite certaine sil existe un unique xi tel que P(X = xi) = 0.Exercice : montrer que cette probabilit vaut ncessairement 1. Calculer lesprance et la variance dune

    variable certaine.

    3.4.2 La loi uniforme

    Une variable alatoire X suit la loi uniforme sur {1, . . . , n} avec n N si et seulement si :P(X = k) =

    1n

    si k {1, . . . , n}P(X = k) = 0 sinon.

    On a alors E(X) =n + 1

    2et V(X) =

    n2 112

    (la formule de la variance nest pas connatre). La loi uniforme

    intervient lorsque lon modlise un choix quiprobable.

    On note X U(n) pour indiquer que X suit la loi uniforme sur {1, . . . , n}.

    3.4.3 La loi de Bernoulli

    Soit p ]0; 1[. On pose q = 1 p.Une variable alatoire X suit une loi de Bernoulli de paramtre p si et seulement si :

    P(X = 1) = p

    P(X = 0) = q

    P(X = k) = 0 k / {0; 1}On note X B(p) ou X B(1, p). On a alors E(X) = p et V(X) = pq. La loi de Bernoulli intervient

    lorsque lon modlise une preuve de Bernoulli, cest--dire une exprience deux issues possibles A et A. Alors

    la variable alatoire qui vaut 1 si A est ralis et 0 si A est ralis suit la loi de Bernoulli de paramtre P(A). Ceparamtre est appel probabilit de succs de lpreuve de Bernoulli.

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 5

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    6/8

    4 MTHODES DE RAISONNEMENT

    3.4.4 La loi binomiale

    Soit p ]0; 1[. On pose q = 1 p. Soit n N.Une variable alatoire X suit une loi binomiale de paramtres n et p si et seulement si :

    P(X = k) =

    n

    kpkqnk si k {

    0, . . . , n

    }P(X = k) = 0 sinon.

    On note X B(n, p). On a alors E(X) = np et V(X) = npq. La loi binomiale intervient lorsque lon rpte nfois de manire indpendante une preuve de Bernoulli de paramtre p. La variable alatoire gale au nombre

    de succs suit alors une loi binomiale de paramtres n et p.

    Remarque Soit (Xi)1in une famille de variables alatoires indpendantes et de mme loi (lexpression

    consacre est indpendantes et identiquement distribues - iid) suivant la loi de Bernoulli de paramtre p. Alors

    la variable alatoire Y dfinie par Y =n

    i=1

    Xi suit la loi binomiale de paramtres n et p.

    3.4.5 La loi de Poisson

    Soit R+.Une variable alatoire X suit la loi de Poisson de paramtre si et seulement si :

    P(X = k) = e

    k

    k!si k N

    P(X = k) = 0 sinon.

    On note X P(). On a alors E(X) = et V(X) = . La loi de Poisson intervient lorsque lon cherche modliser les occurrences dun vnement rare, comme le nombre de bus passant un arrt pendant une dure

    donne 3.

    4 Mthodes de raisonnement

    4.1 Le raisonnement par rcurrence

    Le raisonnement par rcurrence (appel mathematical induction en anglais) est une technique de dmons-

    tration des propositions qui dpendent dune variable entire. Prenons un exemple simple. On considre la suite

    arithmtique (un)n dfinie sur N par :

    n

    N , un+1 = un + r

    avec u0 et r des rels fixs. On veut alors dmontrer que, pour tout n entier naturel :

    un = u0 + nr

    On peut commencer par vrifier que la formule marche pour les premiers rangs :

    u0 = u0 + 0 r : a marche 0.

    u1 = u0 + 1 r : a marche 1.3. Cest donc une loi particulirement adapte pour le RER D !

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 6

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    7/8

    4.2 Le raisonnement par labsurde 4 MTHODES DE RAISONNEMENT

    Et, je gche la surprise, a continue marcher ! Mais on peut passer des heures calculer les termes succes-

    sifs de la suite, cela ne constituera pas une dmonstration pour autant. Cest l quintervient le raisonnement

    par rcurrence.

    Considrons une hypothse H dpendante dun entier n, que nous noterons donc H(n). On cherche dmon-trer que H est vraie quel que soit n. Un raisonnement par rcurrence se construit en trois tapes :

    1. Initialisation : je trouve un rangn0

    , gnralement 0 (ou 1), tel queH

    (n0

    ) est vraie. On dit alors que la

    proprit est initialise au rang n0.

    2. Hrdit : Soit n n0, on suppose que H(n) est vraie et on prouve que cela entrane la vracit de H(n+1).On dit alors que la proprit est hrditaire. Prouver lhrdit est gnralement ltape dlicate, celle qui

    demande quelques calculs.

    3. Conclusion : La proprit H(n) est initialise en n0 et hrditaire pour tout n n0. Elle est donc vraie pourtout n n0. Ce qui achve la dmonstration.

    Revenons notre suite (un)n. Montrons par rcurrence la proprit H(n) : un = u0 + nr. Notons la rdaction :la proprit est crite entre guillemets. Cest parti :

    1. Initialisation : n = 0. On remarque que u0 = u0 + 0 r ; on reconnat H(0). La proprit est donc initialiseau rang 0.2. Hrdit : soit n un entier, supposons H(n) vraie et montrons que cela implique H(n + 1). Par hypothse

    de rcurrence, on a :

    un = u0 + nr

    Par ailleurs, par dfinition de la suite u :

    un+1 = un + r

    On remplace alors un par sa valeur donne par lhypothse de rcurrence :

    un+1 = (u0 + nr) + r = u0 + (n + 1)r

    On reconnat alors H(n + 1). Donc si H(n) est vraie, alors H(n + 1) est vraie : la proprit est hrditaire.3. Conclusion : la proprit est initialise en 0 et hrditaire ; elle est donc vraie pour tout n N.

    Le raisonnement par rcurrence est une mthode de dmonstration efficace et lgante mais qui demande de la

    rigueur et beaucoup de soin dans la rdaction. Il faut avoir le rflexe rcurrence lorsque lon vous demande de

    dmontrer un nonc dpendant dun entier.

    4.2 Le raisonnement par labsurde

    En latin, on parle de reductio ad absurdum. Mais javoue que ce nest pas dun intrt fondamental.

    Soit dmontrer la proposition P. Le principe du raisonnement par labsurde est de supposer vraie la nga-tion de P(plus clairement, de supposer Pfausse) et den dduire une contradiction logique ; on en dduit alorsla vracit de P.

    Exemple historique : lirrationnalit de

    2

    La dmonstration qui va suivre est un des exemples clbres de raisonnement par labsurde. Elle est due au

    gomtre grec Hippase de Mtaponte 4.

    Quelques dfinitions :

    4. Hippase tait membre de lcole Pythagoricienne, qui considrait que seuls les nombres entiers et leurs rapports pouvaient dcrire etexpliquer le monde. On raconte quayant divulgu sa dcouverte, il fut noy par ses confrres au cours dun voyage en mer. lpoque, ondconnait pas avec les maths.

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 7

  • 8/3/2019 Mathematiques TS TalENS FBLANC

    8/8

    4.3 Le raisonnement par contrapose 4 MTHODES DE RAISONNEMENT

    Un nombre est dit rationnel sil est quotient de deux entiers. Tout rationnel non entier peut scrire

    comme le quotient de deux entiers premiers entre eux, cest--dire dont les seuls diviseurs communs

    sont 1 et 1. Lensemble des nombres rationnels est not Q. Un nombre est dit irrationnel sil nest pas rationnel.

    On cherche dmontrer lirrationnalit de

    2. Raisonnons par labsurde. Supposons que

    2 est rationnel.

    Comme il nest pas entier 5 , il existe alors deux entiers p et q (avec q= 0) premiers entre eux tels que :

    2 =

    p

    q

    Cela implique que

    2 =p2

    q2

    et donc

    2q2 = p2

    Par consquent, p2 est multiple de 2. Admettons (pour linstant) que cela implique que p est aussi multiple

    de 2. On peut alors trouver un entier p vrifiant :

    p = 2p et donc p2 = 4p2

    soit finalement :

    2q2 = 4p2 et q2 = 2p2

    donc q2 est multiple de 2. Donc, q lest galement. On a donc montr que p et q sont tous deux multiples de

    2. Or on avait suppos quils taient premiers entre eux. Il y a donc une contradiction. Notre hypothse de

    dpart,

    2 est rationnel, est fausse. Et par consquent,

    2 est irrationnel.

    4.3 Le raisonnement par contrapose

    Le raisonnement par contrapose repose sur lquivalence logique entre une proposition et sa contrapose.

    Soient P et Q deux propositions logiques telles que P Q (si P, alors Q). On a alors :

    (P Q) (Q P)

    o P dsigne la ngation de P. La proposition (Q P) est appele contrapose de (P Q).

    Exemples : La ngation de tous les entiers sont premiers est il existe au moins un entier non-premier.

    Laquelle de ces propositions est vraie ?

    La contrapose de si n est entier, alors 2n lest aussi est si 2n nest pas entier, alors n nest pas entier.

    Dmonstration par contrapose Nous allons maintenant donner un exemple de dmonstration par contra-

    pose. Supposons que lon veuille dmontrer que P Q. Il est parfois plus facile de dmontrer que Q P. Etcomme il y a quivalence logique entre une proposition et sa contrapose, cela dmontre galement que P Q.

    Nous avons admis au paragraphe prcdent que, p Z, p2 pair p pair. Dmontrons cette proposition.Quelle est sa contrapose ?

    p impairp2 impair. Il faut dmontrer la proposition prcdente.Soit p un entier impair. Alors il existe q Z tel que p = 2q + 1. Donc p2 = 4q2 + 4q + 1 = 2(2q2 + 2q) + 1 qui

    est bien un nombre impair. Donc si un nombre entier est impair, son carr est impair. Et par contrapose, si le

    carr dun entier est pair, ce nombre est pair.Remarque de conclusion : il nest gure judicieux de confondre "raisonnement par labsurde" et "raisonnement compltement absurde", le second ayant tendance indisposer les correcteurs, gnralement peu habitus

    limagination dont certains font parfois preuve.

    5. Comment dmontrer que2 nest pas entier ?

    Florian BLANC - TalENS 2011-2012 - Terminale S 8