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ministère de l’éducation nationale

MATHÉMATIQUES3e

Livret du cours

Coordination pédagogique

Jean-Denis Poignet

Rédaction

Nicole CantelouHélène Lecoq

Fabienne MeilleJean-Denis Poignet

Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants-droits respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours

ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. © Cned – 2009

Directeur de la publication Serge BergamelliAchevé d’imprimer le 30 juin 2015

Dépôt légal 3e trimestre 2015 3, rue Marconi - 76130 Mont-Saint-Aignan

— © Cned, Mathématiques 3e2

SommairegénéralLivret 1

Séquence 1 probabilités 6La notion de probabilité. Calcul de probabilités. Notion d’événement, d’événements incompatibles, d’événement impossible, d’événement certain, d’événements contraires. Arbres de probabilités. Problèmes à épreuves successives.

Séquence 2 nombres 26Diviseurs d’un entier. Nombres premiers. Notion de PGCD, de fractions irréductibles. Algorithme par soustractions successives et algorithme d’Euclide.

Séquence 3 la propriété de thalès et sa réciproQUe 50La nouvelle propriété de Thalès. Application de cette propriété de Thalès. Savoir démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles.

Séquence 4 calcUl littéral 72Développements et factorisations. Identités remarquables. Résolution d’équations et d’équations produit.

Séquence 5 racines carrées 90Racines carrées et géométrie. Propriété des racines carrées. Calculs divers à l’aide de racines carrées. Résolution d’équations du type x2 = a.

Séquence 6 fonctions 114Exemples de fonctions. Notion d’image et d’antécédent. Représentation graphique d’une fonction. Cas particuliers des fonctions affines et des fonctions linéaires.

© Cned, Mathématiques 3e — 3

Livret 2

Séquence 7 fonctions linéaires, fonctions affines

Séquence 8 trigonométrie

Séquence 9 calcUl littéral partie 2

Séquence 10 polygones régUliers

Séquence 11 espace

Séquence 12 gestion de données

— © Cned, Mathématiques 3e4

conSeilSBienvenue au Cned, en classe de 3e ! Avant toute chose, commence par lire soigneusement ces deux pages de conseils :

De quoi Se compoSe mon courS De mathématiqueS ?

Cahier de cours

mathématiques3e

nom :

Cahier d’exercices

mathématiques3e

nom :

livret de cours livret de corrigés devoirs cahier de cours cahier d’exercices{ { fournis par le cned Tu dois les acheter : à petits carreaux et de dimensions 21 x 29,7.

Je poSSèDe le bon matériel

une règle graduée

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100

une équerre

un compas un rapporteur

9090

une calculatrice par exemple

Casio fx-92 College 2D+ TICollège Plus solaire

et du papier ...

- papier millimétré

- papier calque

- papier blanc (c’est-à-dire sans lignes ni car-reaux)

- un cahier de brouillon

© Cned, Mathématiques 3e — 5

Je m’organiSe en mathématiqueS

1- Le coursLe cours est divisé en 12 chapitres que nous appelons « séquences ». Le premier tome, celui que tu es en train de lire, comporte les 6 premières séquences. Chaque séquence est composée de neuf séances que tu dois faire en une heure chacune.

une séance, c’est 1 h de travail.

2- Les commentaires du cours

Tout au long de ce cours, tu peux lire du texte comme ceci et du texte comme cela. Le texte comme ceci représente les conseils à suivre au fil du cours, c’est en fait « la voix de ton professeur » qui te suit et te guide au fil de ton cours.

3- Les exercices

Il existe trois niveaux de difficulté pour les exercices :

• Aucune étoile Exercice 1 C’est un exercice que tu dois savoir faire.

•Une étoile Exercice 11 C’est un exercice plus difficile, mais que tu dois savoir faire.

•Deux étoiles Exercice 29 C’est un exercice difficile ! Ne te décourage pas si tu rencontres des difficultés.

4- Les devoirs

Tu auras à effectuer et à envoyer un certain nombre de devoirs. Une fois le corrigé et la copie corrigée reçus, range ces documents dans une pochette transparente que tu disposeras dans un de tes cahiers de mathématiques

5- Les logicielsPour pouvoir suivre ce cours, il est fortement recommandé de disposer d’un ordinateur. Tu auras à utiliser deux logiciels que tu peux télécharger gratuitement sur internet : •untableurnommé«calc»quifaitpartiedelasuite«openoffice»,téléchargeablesurlesite www.openoffice.org, •unlogicieldegéométriedynamiquenommé«geogebra»téléchargeablegratuitementsur le site www.geogebra.org.

Pour accéder à des ressources multimédia, aux programmes officiels, connecte-toi sur le site du cned à l’adresse www.cned.fr.

– Cned, Mathématiques 3e 6

SÉQUENCE 1

PROBABILITÉS Séance 1 Je découvre la notion de probabilité Séance 2 Je découvre la notion de probabilité –suite– Séance 3 Je découvre la notion de probabilité –suite– Séance 4 Je découvre l’intérêt de l’arbre de probabilités

Séance 5 Je cherche une probabilité à l’aide d’un tableur Séance 6 J’étudie un jeu : la roulette française Séance 7 J’étudie des problèmes à épreuves successives Séance 8 J’étudie des problèmes à épreuves successives –suite– Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse OBJECTIFS • Savoir calculer des probabilités.

• Etre capable de déterminer « par l’expérience » une probabilité en utilisant un tableur.

• Comprendre le calcul de probabilités dans des problèmes à épreuves successives.

Cned, Mathématiques 3e –

7 Séquence 1

7

Séance 1 Je découvre la notion de probabilité

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 1. Prends ensuite ton cahier de cours et écris « SÉQUENCE 1 : PROBABILITÉS » en haut de la première page blanche. Fais de même avec ton cahier d’exercices. Effectue ensuite le test directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. Une fois ce travail terminé, reporte-toi au livret de corrigés et étudie bien le corrigé de ce test. Lis attentivement les commentaires du professeur : c’est nécessaire pour pouvoir effectuer les exercices qui suivent dans de bonnes conditions ! JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e 1- Un jouet se décline en trois modèles. Chacun de ces modèles existe en deux couleurs. Combien y a-t-il de jouets différents ? � 4 � 5 � 6 � 3

2- A quoi est égal 1

5 en pourcentage :

� 20 % � 25 % � 5 % � 0,2 %

3- On effectue 500 lancers d’une pièce de monnaie. On a obtenu 230 fois pile. Quelle est la fréquence de « pile » obtenue ? � 730 � 0,46 � 46 % � 2,13

4- Au bout d’un nombre beaucoup plus grand de lancers d’une pièce, quelle fréquence de « pile » t’attends-tu à obtenir ? � 0,1 � 0,3 � 0,7 � 0,5

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, reporte-toi au livret de corrigés et lis attentivement les deux colonnes. EXERCICE 1 Thomas, Pauline et Nadia s’interrogent sur le nombre de chances que l’on a de gagner à trois jeux.

• Le jeu de Thomas, c’est « pile ou face ». On lance une pièce (qui n’est pas truquée !) qui comporte une face qu’on nomme « pile » et l’autre que l’on nomme « face ». Thomas sait que s’il dit « pile », il a une chance sur deux de gagner.

On dit que la probabilité d’obtenir pile est d’une chance sur deux. On écrit1

2.

La probabilité d’obtenir face est également d’une chance sur deux.

• Le jeu de Pauline consiste à tirer au hasard une boule dans une boîte qui contient une boule verte, une boule bleue, et une boule rouge. Quelle est la probabilité de tirer la boule verte ?

– Cned, Mathématiques 3e

8 Séquence 1

8

• Le jeu de Nadia consiste à lancer un dé non truqué à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un « deux » ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE RETIENS Une probabilité est un nombre.

Exemple : la probabilité d’obtenir « pile » en lançant une pièce (non truquée) est 1

2.

La probabilité d’obtenir face est aussi 1

2.

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 2 Aurélie et Andry jouent à un jeu :

Qui, d’Aurélie et d’Andry, a le plus de chances de gagner ?

EXERCICE 3 1- On fait tourner l’aiguille autour du centre de la roue ci-contre. Quelle est la probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la partie coloriée en rouge ? Exprime cette probabilité en pourcentage. 2- On fait tourner l’aiguille autour du centre de la roue ci-contre. Quelle est la probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la partie coloriée en rouge ? Exprime cette probabilité en pourcentage.

Jeu d’Aurélie : elle tire au hasard (et sans regarder) une

boule dans la boîte ci-dessous. Elle gagne si elle tire une boule

jaune.

Jeu d’Andry : il tire au hasard (et sans regarder) une

boule dans la boîte ci-dessous. Il gagne s’il

tire une boule verte.


9 Séquence 1

9

��EXERCICE 4 Un jeu de 52 cartes est constitué du 1 (as), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi ceci dans les quatre couleurs : cœur, carreau, pique, trèfle. On tire au hasard une carte de ce jeu. 1- On s’intéresse à la probabilité de tirer le trois de cœur. En probabilité, l’action de « tirer une carte de cœur » (par exemple) est appelée événement. Quelle est la probabilité de l’événement : « tirer le trois de cœur » ? 2- Quelle est la probabilité de l’événement : « tirer un trèfle » ? 3- Quelle est la probabilité de l’événement : « tirer un roi » ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Lorsqu’on a autant de chances d’obtenir chacune des issues, on peut calculer une probabilité en divisant le nombre d’issues correspondant à l’événement par le nombre total d’issues. Remarques :

⋅ Une probabilité est un nombre positif. ⋅ Le nombre d’issues correspondant à un événement est inférieur ou égal au nombre total d’issues : une probabilité est donc un nombre plus petit ou égal à 1. Une probabilité est donc un nombre compris entre 0 et 1.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.


10 Séquence 1

10

Séance 2 Je découvre la notion de probabilité –suite–

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 5 On tire à nouveau une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. 1- a) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ou un trèfle ? b) Quelle est la probabilité de tirer un valet ou une dame ?

c) Andry dit qu’en fait c’est simple, quand on calcule la probabilité d’un événement de type « obtenir ceci ou obtenir cela », il suffit de calculer la probabilité de l’événement « obtenir ceci », de calculer la probabilité de l’événement « obtenir cela », puis d’additionner les deux résultats. Qu’en penses-tu ?

2- a) Quelle est la probabilité de tirer un valet ? de tirer un cœur ? de tirer un valet ou un cœur ?

b) Aurélie est certaine que ce qu’Andry a dit dans la question 1-c est faux car elle a un contre-exemple. Quel pourrait-être le contre-exemple d’Aurélie ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Définition : Deux évènements sont dits incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se produire en même temps. Exemple : Si on lance une fois un dé à six faces, les évènements « obtenir un deux » et « obtenir un trois » sont incompatibles. Propriété : (admise) Si deux événements sont incompatibles, la probabilité d’obtenir l’un ou l’autre de ces événements est égale à la somme des probabilités de chacun des événements. Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 6 Un enfant prend au hasard et sans regarder une gommette de la planche ci-contre. 1- Quelle est la probabilité de l’événement : « la gommette est bleue ou verte » ? 2- Quelle est la probabilité de l’événement : « la gommette est un carré ou un triangle » ? 3- Quelle est la probabilité de l’événement : « la gommette est un disque ou la gommette est jaune » ?


11 Séquence 1

11

EXERCICE 7 On place au hasard une boule dans une des cinq boîtes représentées ci-contre. Le jeu consiste à choisir une boîte : si elle contient la boule, on a gagné.

1- Quelle est la probabilité que la boule se trouve dans la boîte 1 ? 2- Quelle est la probabilité de l’événement : « la boule se trouve dans la boîte 1, ou dans la boîte 2, ou dans la boîte 3, ou dans la boîte 4, ou dans la boîte 5 » ? 3- Quelle est la probabilité pour que la boule ne soit dans aucune des cinq boîtes ? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS La probabilité d’un événement impossible est 0. La probabilité d’un événement certain est 1. Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 8 On lance un dé à 12 faces numérotées de 1 à 12. On a autant de chances d’obtenir chaque face. 1- Quelle est la probabilité d’obtenir 12 ? 2- En probabilité, on utilise souvent la notion « d’événement contraire ». Quel est l’événement contraire à l’événement « obtenir 12 » ? Quelle est sa probabilité ? 3- Que peux-tu dire de la probabilité d’obtenir 12 et de la probabilité de l’événement contraire ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS Propriété (admise) : La somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1. Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 9 Ali a mis dans un petit sac un certain nombre de pièces (des euros). Il prend au hasard une pièce de ce petit sac.

1- Quelle est la probabilité qu’il prenne une pièce de 1 centime ? de 2 centimes ? de 5 centimes ? de 10 centimes ? de 50 centimes ? de 1 € ? 2- Quelle est la probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes ? 3- Quelle est la probabilité de tirer une pièce de plus de 5 centimes ?


12 Séquence 1

12

EXERCICE 10 On tire une boule au hasard dans la boîte ci-contre. a) Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ? b) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? c) Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ? d) Quelle est la probabilité de tirer une boule rose ? e) Calcule de deux façons différentes la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une boule jaune, ou une boule rose.



13 Séquence 1

13

Séance 3 Je découvre la notion de probabilité –suite–

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.

��EXERCICE 11 Un athlète fait du tir à l’arc et ne rate jamais sa cible ! Par contre, il tire parfaitement au hasard dans cette grande cible. a) Quelle est la probabilité pour que la flèche soit dans le petit carré bleu foncé (celui qui rapporte 10 points) ? b) Quelle est la probabilité pour que la flèche soit dans la zone qui rapporte 5 points ? c) Quelle est la probabilité pour que la flèche soit dans la zone qui rapporte 1 point ? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE RETIENS Dans certaines situations, comme par exemple celle de l’exercice précédent, on ne peut pas calculer le nombre total d’issues. Dans ce type de cas, il faut essayer de faire autrement ! Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 12 La position d’un bateau est indiquée par le point rouge sur le sonar représenté ci-contre. On suppose que le point représentant le bateau se promène au hasard, et reste toujours sur l’écran du sonar. Quelle est la probabilité pour que le point se trouve sur la partie du sonar coloriée en bleu ?

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices et dans ton livret.


14 Séquence 1

14

la pièce n’est pas entièrement sur un carreau, le jeu est

perdu

la pièce est entièrement sur un carreau, le jeu est

gagné

gagné perdu

��EXERCICE 13 Description : le jeu du franc carreau consiste à lancer une pièce sur une surface carrelée :

On veut savoir quelle est la probabilité de gagner à ce jeu, sachant qu’un carreau est un carré de 10 cm de côté et que la pièce lancée est un disque de 2 cm de diamètre. 1- Essaie de résoudre ce problème. 2- Pour résoudre le problème ci-dessus, on se ramène à la situation suivante : on lance au hasard une pièce de 2 cm de diamètre dans un carreau de 10 cm de côté, sachant que le centre de la pièce reste toujours dans le carreau. On cherche à déterminer la probabilité pour que la pièce ne touche pas le bord du carreau. Pour cela, essaie de déterminer cette probabilité par l’expérience. Comment cela ? Reporte-toi à la page découpage en fin de livret (page 139). Découpe le carreau (le carré de 10 cm de côté), ainsi que la « pièce ». Lance ensuite un très grand nombre de fois le disque dans le carré. Compte chaque fois que le centre du disque est dans le carré, et dans ce cas regarde si le disque touche ou non le bord du carré. Remplis ensuite le tableau ci-contre Comment peut-on obtenir à l’aide de ces données une approximation de la probabilité cherchée ?

3- Si tu possèdes un ordinateur, ouvre le fichier sequence1exercice13. Ce programme permet de simuler et d’afficher le lancer d’un grand nombre de pièces sur le carreau. Quelle approximation de la probabilité cherchée trouves-tu ? 4- Nous allons déterminer la valeur exacte de cette probabilité. a) Le disque est lancé et son centre est dans le carré. Dire que le disque ne touche pas le bord du carré revient à dire que le centre du disque se trouve dans une certaine figure géométrique. Laquelle ? b) A l’aide de la question précédente, détermine la probabilité pour que la pièce ne touche pas le bord du carreau. Aide : le raisonnement ressemble à celui de l’exercice 8…

nombre de fois où le centre du disque est dans le carré et où le disque ne touche pas le bord du carré

………

nombre de fois où le centre du disque est dans le carré ………


15 Séquence 1

15


Séance 4 Je découvre l’intérêt de l’arbre de probabilités

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

EXERCICE 14 On lance une pièce de monnaie (non truquée) et on regarde si elle tombe sur « pile » ou sur « face ». Cette situation peut être représentée à l’aide d’un arbre appelé arbre de probabilités. On indique : ● les deux issues (P pour pile et F pour face), ● auprès de chaque branche, la probabilité de chacune des issues. 1- Représente l’arbre correspondant au lancer d’un dé à six faces. 2- On place quatre boules dans une boîte. Sur une boule figure la lettre A, sur une autre, la lettre B, sur la 3e la lettre C et enfin sur la 4e la lettre D. On tire au hasard une de ces quatre boules. Représente l’arbre correspondant à cette situation. EXERCICE 15 On tire une boule au hasard dans l’urne représentée ci-contre. On regarde alors le numéro inscrit sur la boule tirée. 1- Représente un arbre correspondant à cette situation. 2- Calcule de deux façons la probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, 2 ou 3. 3- Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un nombre pair ? Un nombre impair ?


16 Séquence 1

16

EXERCICE 16 On lance un dé non truqué : sur chaque face est représentée une lettre. Voici les 6 lettres présentes : « a » , « e » , « t » , « u » , « e » , « r ». On lance le dé et on regarde la lettre obtenue.

1- Représente un arbre correspondant à cette situation. 2- Quelle est la probabilité d’obtenir une voyelle ? Une consonne ?


Séance 5 Je cherche une probabilité à l’aide d’un tableur

Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 17 Lance un tableur. Clique sur la case A1, écris « =ALEA() » puis tape sur la touche entrée. Un nombre apparaît dans la case A1. On voudrait faire de même dans les cases A2, A3, … jusqu’à A30. 1- Trouve un moyen très rapide qui permette de faire afficher « = ALEA() » dans les cases A2, … A30. 2- Essaie de décrire les 30 nombres trouvés ? 3- Appuie sur la touche F9. Cette touche permet d’effectuer à nouveau le calcul dans chaque case. Les nouveaux nombres trouvés ont-ils les mêmes « caractéristiques » que les précédents ?


17 Séquence 1

17

EXERCICE 18 Lance un tableur.

1- Clique sur la case A1, et écris : « =1 + ALEA() ». Appuie sur la touche F9 plusieurs fois pour observer ce nombre. Que peux-tu dire de lui ? 2- Clique sur la case B1, et écris : « =10 * ALEA() » Appuie sur la touche F9 plusieurs fois pour observer ce nombre. Que peux-tu dire de lui ? 3- Trouve une formule permettant de faire apparaître un nombre au hasard compris entre 2 et 102.

EXERCICE 19 Lance un tableur. Clique sur la case A1, écris : « = ENT(1+6 * ALEA()) » puis tape sur la touche entrée. A l’aide de la souris, déplace le petit carré noir qui s’affiche dans le coin en bas à droite de la case A1 afin d’obtenir le résultat du calcul « = ENT(1+6 * ALEA()) » dans les cases A1 … A30. 1- Que peux-tu dire des 30 nombres trouvés ? 2- Quel jeu de hasard peut-on simuler (c’est-à-dire reproduire) à l’aide du tableur ? On cherche ensuite à approcher par l’expérience la probabilité d’obtenir 1 à l’aide d’un dé à six faces. Pour cela, effectue la partie 3. 3- Tape ensuite dans les cases suivantes : Important : il faut laisser la formule « = ENT(1+6 * ALEA()) » entrée dans ta feuille de calcul et la compléter par ce qui suit. A B C

1 1 « =NB.SI(A$1:A1;1)/B1*100 »

2

« =B1+1 »

Puis étends alors les formules jusqu’aux cases A1000, B1000 et C1000. La colonne B affiche le nombre de simulations de lancers de dé, et la colonne C affiche la fréquence en % de 1 obtenue. a) Etudions un exemple, pour bien comprendre ce qu’affiche le tableur.

A B C

1 6 1 0

2 3 2 0

3 1 3 33,333

Dans l’exemple ci-dessus : Au 1er tirage, on a obtenu ………., la fréquence de 1 obtenue au bout 1 tirage est donc de ……… %.

Au 2ème tirage, on a obtenu ………., la fréquence de 1 obtenue au bout de 2 tirages est donc de ……%.

Au 3ème tirage, on a obtenu ……….., la fréquence de 1 obtenue au bout de 3 tirages est donc d’environ

…..… %.


18 Séquence 1

18

b) Sélectionne les cases C1 … C1000 puis clique sur le bouton « graphiques ». Choisis ensuite un graphique parmi les « courbes ». Que remarques-tu ? Quelle est la valeur théorique de cette probabilité ? EXERCICE 20 On s’intéresse cette fois-ci à une situation plus complexe. Voici la situation : on lance en même temps deux dés à six faces, un vert et un bleu, et on fait la somme des résultats obtenus par le dé vert et par le dé bleu. 1- Cherche deux dés chez toi et effectue quelques lancers. Quels résultats peut-on obtenir ? On cherche à déterminer la probabilité d’obtenir 4. Pour cela, réponds aux questions suivantes : 2- Fais afficher dans les cases A1 et B1 le tirage d’un dé à six faces. Dans la case C1, tape 1 puis dans la case C2, tape : « =C1+1 ». Dans la case D1, fais calculer la somme des cases A1 et B1. Ensuite, pour calculer la fréquence d’obtention du résultat 4 dans la case E1, tape : « =NB.SI(D$1:D1;4)/C1*100 » 3- Donne ce qui te semble être une valeur approchée de la probabilité d’obtenir une somme de 4 en lançant deux dés. 4- On peut en fait trouver la probabilité exacte. Pour cela, remplis le tableau suivant. Dans chaque case, on calcule la somme du résultat du dé vert et du dé bleu. Par exemple, dans la case blanche où on a écrit 2, on a calculé 1 + 1, et dans la case blanche où on a écrit 3, on a calculé 1 + 2.

Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ? Construis un arbre représentant toutes les issues et leurs probabilités.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°1. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 …… …… …… ……

2 …… …… …… …… …… ……

3 …… …… …… …… …… ……

4 …… …… …… …… …… ……

5 …… …… …… …… …… ……

6 …… …… …… …… …… ……


19 Séquence 1

19

Séance 6

J’étudie un jeu : la roulette française Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 21 La roulette française est un jeu ancien. Son principe est simple : un plateau tourne, et une personne (le croupier) lance une boule, qui finit par se placer sur une des cases vertes centrales. Dans l’exemple ci-contre, le nombre gagnant est 36. Ce jeu comporte 37 cases (de 0 à 36) Les joueurs parient une mise de leur choix sur le numéro qui va sortir. Il y a plusieurs types de paris.

1- Etude de trois paris Pour ces trois paris, on ne peut pas parier sur le 0.

a) Le pari sur un numéro (par exemple le 8). Un joueur peut parier une mise sur ce numéro. Si ce numéro est gagnant, le joueur gagne 35 fois la mise (en plus de sa mise de départ). Si le numéro ne sort pas, le joueur perd sa mise. • Quelle est la probabilité de gagner en misant sur un numéro ? Quelle est la probabilité de perdre en misant sur un numéro ? b) Le pari sur deux numéros (par exemple le 3 et le 5). Un joueur peut parier une mise sur ces deux numéros. Si l’un de ces numéros est gagnant, le joueur gagne 17 fois la mise (en plus de sa mise de départ). Si aucun des deux numéros ne sort, le joueur perd sa mise. • Quelle est la probabilité de gagner en misant sur deux numéros ? De perdre ? c) Le pari sur trois numéros (par exemple le 3, le 5 et le 7). Si l’un de ces numéros est gagnant, le joueur gagne 11 fois la mise (en plus de sa mise de départ). Si aucun des trois numéros ne sort, le joueur perd sa mise. • Quelle est la probabilité de gagner en misant sur trois numéros ? De perdre ?

2- Exemples de gains et de pertes : a) Un joueur parie 10 € sur le numéro 5. Il dépose sa mise sur le tapis.

• Si le numéro 5 sort, combien le joueur va-t-il gagner en plus de sa mise ? • Si le numéro 5 ne sort pas, combien le joueur aura-t-il perdu ? b) Un joueur parie 8 € sur les numéros 9 et 15. Il dépose sa mise sur le tapis.

• Si l’un des deux numéros sort, combien le joueur va-t-il gagner en plus de sa mise ? • Si aucun des deux numéros ne sort, combien le joueur aura-t-il perdu ? c) Un joueur mise 5 € sur le 3, le 12 et le 9. Il dépose sa mise sur le tapis.

• Si l’un des trois numéros sort, combien le joueur va-t-il gagner en plus de sa mise ? • Si aucun des trois numéros ne sort, combien le joueur aura-t-il perdu ?


20 Séquence 1

20

3- La mise sur un numéro est-elle rentable ? Comment savoir si une mise va, « à la longue », rapporter de l’argent ? Etudions la mise sur 1 numéro. a) Quelle est la probabilité de gagner si l’on mise sur un numéro ? b) Imaginons, qu’un joueur parie successivement 1 000 fois sur un numéro (il peut changer ou non de numéro, la probabilité de gagner est la même).

• Des quatre nombres ci-dessous, lequel correspond de façon la plus probable au nombre de fois où le joueur va gagner (sur ses 1 000 paris) ? Pourquoi ? � 27 � 100 � 0 � 2 500

• Un joueur gagne en moyenne 27 fois sur 1 000 paris sur un numéro. Combien perd-il en moyenne sur 1 000 paris sur un numéro ? Combien de fois aura-t-il alors perdu sa mise pour ces 1 000 paris ? S’il mise 1 €, combien aura-t-il alors perdu ? Et s’il mise 10 € ? Et s’il mise 100 € ? c) Si un joueur parie successivement 10 000 fois sur un numéro, combien de fois aura-t-il alors perdu sa mise ? S’il mise 1 €, combien aura-t-il alors perdu ? Et s’il mise 10 € ? Et s’il mise 100 € ? d) Le pari sur un numéro te semble-t-il être un jeu rentable pour le joueur ? pour le casino ?

4- Les autres mises sont-elles plus rentables que la mise sur un numéro ? On appelle « l'avantage du casino » la différence entre le produit de la mise par la probabilité de perdre et le produit du nombre de mises gagnées par la probabilité de gagner. Par exemple, pour le pari sur un numéro, l’avantage du casino est pour une mise de 1 € :

�

�

�

�

36 135

37 37perte de sa mise nombre de fois la mise gagnéeprobabilité de perdre probabilité de gagner

x x× − × ×

soit36 35

37 37

−

fois la mise jouée.

a) Exprime l’avantage du casino ci-dessus à l’aide d’un pourcentage. A quoi l’avantage du casino correspond-t-il ? b) Compare les avantages du casino pour les mises sur un numéro, deux numéros et trois numéros. Quel est le pari le plus rentable ? Est-il rentable pour le joueur ?



21 Séquence 1

21

Séance 7 J’étudie des problèmes à épreuves successives

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 22 On étudie le jeu suivant. Il se déroule en deux étapes. 1ère étape : 2ème étape :

On peut écrire une issue à l’aide de la notation suivante : (R,P). La première lettre correspond à l’issue de la 1ère étape : dans ce cas, l’aiguille s’est arrêtée dans la zone rouge (« R » pour rouge »), et on a obtenu « pile » au lancer de la pièce (P » pour pile). 1- Ecris toutes les issues de ce jeu à l’aide de l’écriture décrite auparavant. 2- Réfléchis 5 minutes à la question suivante : quelle est la probabilité de l’évènement (R,P) ? Si tu n’as pas répondu au bout de 5 minutes, passe directement à la suite. 3- On a représenté à l’aide d’un arbre toutes les issues de ce jeu. Complète chaque branche de cet arbre par la probabilité appropriée.

4- Si on jouait 10 000 fois de suite à ce jeu, combien de fois environ obtiendrait-on la zone rouge de la roue ? Combien de fois environ obtiendrait-on la zone rouge de la cible puis « pile » ? Refais le raisonnement précédent, mais cette fois pour un joueur qui joue 100 000 fois de suite. A partir des raisonnements menés ci-dessus, détermine la probabilité d’obtenir (R,P). 5- Représente l’arbre des probabilités ayant pour issues (R,P), (R,F), (V,P) et (V,F).

On fait tourner une roue. Une fois la roue arrêtée, on regarde la couleur de la

zone pointée par l’aiguille.

On lance une pièce de monnaie.


22 Séquence 1

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EXERCICE 23 Un jeu consiste à faire 2 jeux de pile ou face l’un après l’autre. On souhaite savoir quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile. 1- Essaie de répondre à la question. 2- Regarde ci-dessous ce que Pauline et Clément ont trouvé. Qu’en penses-tu ? Pauline et Clément ont eux aussi réfléchi à cette question.

Pauline pense que la probabilité est 2

3 car si on obtient pile au 1er lancer, on a

gagné, et si on fait face, on regarde alors le 2ème lancer : si on obtient à nouveau face, c’est perdu, et si on obtient pile, c’est gagné. Il y a donc 2 possibilités gagnantes sur les 3.

Clément pense que la probabilité de gagner est 3

4.

EXERCICE 24 Un restaurant propose le menu ci-dessous. un plat au choix parmi :

• trio de poisson aux petits légumes • steak grillé et son gratin de pommes de terre • mijoté de sanglier avec des frites un dessert au choix parmi :

• crème brûlée • profiteroles Si on choisit un menu au hasard, quelle est la probabilité pour que quelqu’un ait choisi un steak grillé et son gratin de pommes de terre puis une crème brûlée ?



23 Séquence 1

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Séance 8 J’étudie des problèmes à épreuves successives –suite–

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 25 Une coccinelle se déplace le long des côtés de la figure ci-contre.

Elle part du départ D. A chaque croisement, la coccinelle peut aller indifféremment dans chacune des directions possibles. Elle ne peut toutefois pas revenir en D. La coccinelle parcourt deux côtés de la figure. Est-il plus probable que la coccinelle soit au point A, au point B, ou au point C ?

��EXERCICE 26 On a recueilli le pourcentage de gens qui sont allés voter aux élections présidentielles, en les regroupant par catégorie d’âge, pour pouvoir étudier le nombre de votants et d’abstentionnistes. La catégorie d’âge « 18–30 ans » représente 25 % de l’ensemble des électeurs. La catégorie d’âge « 30–50 ans » représente 35 % de l’ensemble des électeurs. La catégorie d’âge « 50 ans et plus » représente 40 % de l’ensemble des électeurs. 68% des « 18–30 ans » ont voté. 82% des « 30–50 ans» ans ont voté 75% des « 50 ans et plus » ont voté. Si on choisit au hasard un électeur, quelle est la probabilité pour qu’il ait voté ? EXERCICE 27 On considère le jeu à 2 étapes suivant : On commence par lancer une pièce. Si on fait pile, on tire au hasard une lettre d’un premier sachet de lettres qui contient 3 lettres A, 2 lettres B et 4 lettres C. Si on fait face, on tire au hasard une lettre d’un deuxième sachet de lettres qui contient 2 lettres A, 5 lettres B et 4 lettres C. Quelle est la probabilité de tirer la lettre B ? Tu donneras une valeur approchée au centième.



24 Séquence 1

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Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 28 ABCD est un rectangle tel que AD = 4 cm et DC = 6 cm. On place au hasard un point M sur [AD]. On construit ensuite la perpendiculaire à (AD) passant par M. Cette droite coupe [BC] en S. On place ensuite le point K sur [AB] tel que BK = AM. On trace alors la perpendiculaire à (AB) passant par K. Cette droite coupe (MS) en R. Quelle est la probabilité pour que le périmètre du quadrilatère KBSR soit inférieur au quart du périmètre de ABCD ? EXERCICE 29 On lance dix fois de suite une pièce de monnaie (non truquée) et on a obtenu à chaque fois pile. On lance alors pour la 11ème fois cette pièce. On a : � plus de chances d’obtenir face que pile. � autant de chances d’obtenir face que pile. � aucune chance d’obtenir pile. � plus de chances d’obtenir pile que face.

EXERCICE 30 Deux usines se partagent la production de peluches pour les enfants. Une enquête a montré que certaines de ces peluches n’étaient pas conformes aux normes de sécurité. On nomme les deux usines A et B. L’usine A produit 75 % de la production. Seulement 95 % des peluches produites par l’entreprise A sont aux normes. Seulement 93 % des peluches produites par l’entreprise B sont aux normes. 1- Construis un arbre pour représenter la situation. 2- Quelle est la probabilité pour qu’un produit acheté au hasard soit conforme aux normes ? Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.


25 Séquence 1

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JE M’ÉVALUE 1- On lance un dé à 8 faces (de 1 à 8). Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ou moins.

� 1

8 �

5

8

� 3

8 � 0,125

2- La probabilité de gagner à un jeu électronique

est 3

7. Quelle est la probabilité de perdre ?

� 4

7 �

7

3

� 5

7 � 0,57

3- On lance un dé à six faces. Quel est l’événement contraire à « obtenir 2 ou obtenir 3 » ? � ne pas obtenir 2 ou ne pas obtenir 3 � ne pas obtenir 2 et ne pas obtenir 3 � ne pas obtenir 1, 4, 5 ou 6 � obtenir 1, 4, 5 ou 6.

4- On pioche une carte d’un jeu de 52 cartes. Les événements « piocher un valet » et « piocher un trèfle » sont-ils incompatibles ?

� oui � non

5- Quelle est la probabilité d’obtenir une fois pile et une fois face en lançant deux fois une pièce de monnaie ?

� 0,5 � 1

2

� 1

4 �

3

4

6- On obtient 100 fois de suite 6 avec un dé non truqué. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 si on lance une 101ème fois ce dé ?

� 1

6 � 1

� 0 � 6

101

Dans les quatre questions ci-dessous, on considère le jeu suivant : On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on prend au hasard une boule dans une boîte qui contient 7 boules vertes et 3 boules jaunes. Si on obtient face, on prend au hasard une boule dans une boîte qui contient 2 boules vertes et 8 boules jaunes.

7- Quelle est la probabilité d’avoir à tirer dans une boîte qui contient 7 boules vertes et 3 boules jaunes ?

� 1

3 �

1

2

� 1

4 �

3

4

8- Quelle est la probabilité d’obtenir pile et de prendre une boule verte ?

� 0,7 � 0,25 � 0,35 � 0,5

9- Quelle est la probabilité d’obtenir face et de prendre une boule verte ?

� 0,1 � 0,8 � 0,2 � 0,4

10- Quelle est la probabilité de prendre une boule verte ? � 0,12 � 0,45 � 0,5 � 0,55

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