Mathématiques, courbes et surfaces

© [H. Fack], [2003], INSA de Lyon, tous droits réservés. 2

2

2 PC

EURINSA

Date de création 2003

Année scolaire 2009-2010

Auteur (s) de la ressource pédagogique : FACK HELENE

MATHEMATIQUES COURBES ET SURFACES

Cours


Deuxième année

MATHEMATIQUES

COURBES ET SURFACES

Hélène FACK

Institut National des Sciences appliquées de Lyon


Sommaire

MATHEMATIQUES COURBES ET SURFACES 2

1 COURBES PARAMETREES 5

1.1 Arc paramétré de classe kC 5

1.2 Vecteur tangent 6 1.3 Exemple d’étude de courbe paramétrée plane 7 1.4 Exemple d’étude de courbe paramétrée gauche 8 1.5 Cas des courbes planes données sous forme implicite. 9 Position de la courbe par rapport à sa tangente. 9

2 SURFACES PARAMETREES 13

2.1 Surface paramétrée de classe kC 13

2.2 Courbes tracées sur une surface 13 2.3 Courbes coordonnées 14 2.4 Point régulier 15 2.5 Courbe passant par un point régulier 17 2.6 Plan tangent 17

3 SURFACES D’EQUATION « Z=F(X,Y) » 20 3.1 Interprétation de « z=f(x,y) » comme surface paramétrée 20 3.2 Points réguliers 20 3.3 Equation du plan tangent 21 3.4 Position de la surface par rapport à son plan tangent 21 3.5 Exemple Paraboloïde hyperbolique (PH) d’équation : z f (x,y ) xy . 24

4 SURFACES DONNEES PAR UNE EQUATION IMPLICITE 25 4.1 Equation implicite 25 4.2 Points réguliers (k>0) 26 Théorème des fonctions implicites (admis) 27 4.3 Tangente en un point de la courbe intersection de deux surfaces définies implicitement. 28 4.4 Equation du plan tangent en un point régulier 30

5 CLASSIFICATION DES SURFACES 31 5.1 Définition générale des surfaces réglées 31 5.2 Surfaces coniques 31 5.3 Surfaces cylindriques 32 5.4 Surfaces de révolution 33

6 BIBLIOGRAPHIE DOC’INSA 34


1 COURBES PARAMETREES

1.1 Arc paramétré de classe kC E est un espace euclidien (affine, c’est à dire un ensemble de points) de dimension 3, muni

d’un repère orthonorméR (O,i , j ,k )

.

Par définition, un arc paramétré de classe kC est une application de classe kC définie sur un intervalle I ouvert de , à valeurs dans E. Elle s’écrit :

x(t )t I OM(t) y(t)

z(t )

où x, y, z sont des applications de classe kC de I dans R. Le réel t s’appelle paramètre. Géométriquement, l’ensemble des points M de E est une courbe C .

Exemple fondamental : droite (A,B) où A et B sont deux points distincts :

M (A,B) AM tAB, t R

(Représentation vectorielle)

qui s’écrit avec des notations évidentes (représentation paramétrique) :

A B A

A B A

A B A

x x t(x x )M(x,y ,z) (A,B) y y t(y y ) t

z z t( z z )

Remarque : Ne pas oublier le domaine de variation du paramètre.

Par exemple, le segment A,B admet pour représentation

vectorielle AM tAB, t 0,1

, et pour représentation paramétrique :

A B A

A B A

A B A

x x t(x x )M(x,y ,z) A,B y y t(y y ) t 0,1

z z t(z z )

Exemples de courbes planes : (E) ellipse et (H) branche d’hyperbole du plan (xOy).

x acosθ

(E) y bsinθ θ 0,2πz 0

x ac hθ(H ) y bshθ θ

z 0

Exemple d’une courbe gauche (c'est-à-dire non plane) : Pour a , R , la courbe représentée par :

x Rcosty Rsint t 0,2πz at

est tracée sur le cylindre d’équation 2 2 2x y R .

Pour une courbe paramétrée il y a un (seul) paramètre. La même courbe (géométrique) admet plusieurs paramétrages.


1.2 Vecteur tangent Soit C une courbe paramétrée par t OM(t)

pour t dans I, de classe kC (avec k 1 ).

Soit un point 0M de C correspondant au paramètre fixé 0t . On considère un point

(variable) M de C correspondant au paramètre t .

0

0 0

0

xM y

z

xM y

z

Le vecteur 0M M

est colinéaire au vecteur 0

0

M Mt t

de coordonnées

0

0

0

0

0

0

x xt ty yt tz zt t

.

Les fonctions x, y et z étant (au moins) de classe 1C , ces trois quotients ont pour limite les

dérivées : 0

00

0t t 0

0

x'(t )M M

lim y'(t )t t

z'(t )

, vecteur qui se note 0

dOM(t )

dt

et s’appelle premier

vecteur dérivé.

Si ce vecteur est non nul, 0M est dit régulier, et 0dOM

(t )dt

dirige la tangente en 0M à

C . Si ce vecteur est nul, le point 0M est singulier. On écrit alors le vecteur dérivé

seconde. La formule de Taylor-Young permet de montrer : Théorème Le premier « vecteur dérivé » non nul (si il existe) dirige la tangente.

(C )

0M M


1.3 Exemple d’étude de courbe paramétrée plane

Etudier la courbe plane (C) : 3

3

x(t ) cos tt π ,π

y(t ) sin t

.

La tracer dans un repère R (O,i , j )

orthonormé.

Réduction de l’intervalle d’étude, à l’aide de symétries. a) x( t) x(t) et y( t ) y(t ) ; les points M(t) et M'( t) sont symétriques par rapport

à l’axe(O,i)

. Il suffit d’étudier les fonctions x et y sur 0,π .

b) x(π t ) x(t ) et y(π t ) y(t) ; les points M(t) et M"(π t ) sont symétriques par

rapport à l’axe(O, j)

. Il suffit d’étudier ces fonctions surπ

0,2

.

Etude des variations des fonctions coordonnées, sur π

0,2

.

2

2

x'(t ) 3sint cos t

y'(t ) 3cos t sin t

On constate que en t 0 et πt 2 les points sont singuliers. Il faut évaluer les dérivées

d’ordre supérieur en ces points pour déterminer la tangente. Or x"(0) 3, y"(0) 0 . La

courbe(C) admet une tangente horizontale en M(x 1,y 0) . De

même π πx"( ) 0, y"( ) 32 2 . La courbe(C) admet une tangente verticale en

M(x 0,y 1)

Représentation graphique. La partie pour πt 0, 2 correspond au premier quart du

plan.

t 0 π 2

x’ 0 - 0

y’ 0 + 0

x 1 0

y 1 0

O

M’(-t)

M(t)

y

x

M"(π t )


1.4 Exemple d’étude de courbe paramétrée gauche

Etudier la courbe (C) x Rcosty Rsint t 0,4πz at a 0

.

La tracer dans un repère R (O,i , j , k )

orthonormé.

Réduction de l’intervalle d’étude. On a x(t 2π ) x(t) , y(t 2π ) y(t ) et z(t 2π ) z(t ) 2π ; le point M'(t 2π ) est

l’image de M(t) dans une translation de vecteur 2πak

. Il suffit d’effectuer l’étude sur

0,2π .

Etude Le point m, projection orthogonale de M dans le plan (xOy) décrit un cercle, la

fonction z est croissante. Tous les points sont réguliers ( z' 1, 0 ). La courbe est tracée sur

le cylindre d’équation 2 2 2x y R . C’est une portion d’une hélice circulaire droite. Cette

courbe se rencontre souvent, par exemple sur la partie cylindrique d’une vis.

R

z

x

y

1

y

1 x


1.5 Cas des courbes planes données sous forme implicite. On se place dans le plan, muni un repère R (O,i , j )

orthonormé.

La courbe (C ) du paragraphe 3 : 3

3

x(t ) cos tt π ,π

y(t) sin t

, peut s’écrire sous forme dite

implicite ou cartésienne, en « éliminant le paramètre » : 2 1 / 3 2 1 / 3(x ) (y ) 1 0 . Mais

sous cette forme l’étude est beaucoup plus difficile que sous forme paramétrée. Plus généralement : Définition Une courbe plane « sous forme implicite » est définie par : (C ) f (x,y) 0 où f est une application d’une partie de ² dans . On ne va pas étudier systématiquement le passage courbe paramétrée / implicite.

Position de la courbe par rapport à sa tangente. On suppose que l’application f est de classe 2C sur un ouvert U contenant(0,0) , et que

(C ) passe par (0,0) , c'est-à-dire que f (0,0) 0 . On cherche à étudier le comportement de

(C ) au voisinage de (0,0) .

Cas où f(0,0) 0y

.

Les hypothèses : f est de classe 2C sur U, f (0,0) 0 et f(0,0) 0y

permettent

d’appliquer le théorème des fonctions implicites. Ce théorème (admis), affirme que sous les hypothèses ci-dessus, il existe un intervalle ouvert I contenant 0, un intervalle ouvert J

contenant 0 (avec I J U ) et une application φ : I J de classe 2C sur I, tels que :

(x,y) I J , f (x,y) 0 x I , y φ(x) .

On obtient donc grâce à φ , localement (et de façon théorique), une représentation

paramétrique de la courbe (C ) , avec φ(0) 0 . Mais, le théorème des fonctions implicites

ne donne pas φ sous forme explicite.

Par contre, l’application φ étant dérivable, on peut dériver en ligne les fonctions

composées f (x,φ(x)) 0 , et on obtient, de façon explicite, la dérivée de φ :

f(x,y)xφ'(x)f(x,y)y

pour x dans I.

C'est-à-dire qu’on a ainsi obtenu, la pente de la tangente à (C ) , au voisinage de (0,0) . On

peut alors dériver une fois de plus (avec les hypothèses faites de f de classe 2C ) et calculer


la dérivée seconde φ" au voisinage de 0. Ce qui donne signe de φ"(0) , et l’on peut

préciser la position de la courbe (C ) par rapport à sa tangente en (0,0) . Exemple Etudier au voisinage de (0,0) , la courbe (C ) : f (x,y) 0 , avec

y2f (x,y) x x ln(1 y) e cosx sur U 1, .

L’application f est bien de classe 2C sur U et f (0,0) 0 .

Les dérivées partielles de f s’écrivent : f(x,y) 2x ln(1 y) sinxx

et yf x(x,y) ey 1 y

.

On a f(0,0) 1 0y

. On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites au

voisinage de (0,0) .

Ici f(0,0) 0x

, et la pente de la tangente est φ'(0) 0 , donc la tangente est horizontale.

De plus, au voisinage de 0 :

y φ(x)

f(x,y) 2x ln(1 y) sinx 2x ln(1 φ(x)) sinxxφ'(x)f x x

e e(x,y)1 y 1 φ(x)y

.

Soit, en dérivant, et en se plaçant directement en 0 : φ"(0) 3 φ"(0) 0 .

La courbe (C) est située sous sa tangente, comme le montre le dessin Maple ci-dessous :

> restart; f:=(x,y)->x^2+x*ln(1+y)+exp(y)-cos(x);

> with(plots): > implicitplot(f(x,y)=0,x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5,labels=[x,y]);

Si on change le domaine de variation des paramètres : > implicitplot(f(x,y)=0,x=-10..10,y=-10..10,labels=[x,y]);


Comment interpréter ce deuxième dessin ?

Cas où f f(0,0) (0,0) 0x y

.

On ne peut plus appliquer le théorème des fonctions implicites. On écrit la formule de Taylor pour f à l’ordre 2, en (0,0) . Dans certains cas, on peut préciser ce qui se passe au

voisinage de(0,0) .

Avec les notations classiques : 2 2 2

2 2f f f(0,0) r , (0,0) s, (0,0) t

x yx y

, on a :

2 2 2 2f f 1f (h,k) f (0,0) h (0,0) k (0,0) rh 2shk tk o(h k )

x y 2

soit, avec les hypothèses f (0,0) 0 et f f(0,0) (0,0) 0x y

:

2 2 2 21f (h,k) rh 2shk tk o(h k )

2

La hessienne de f en (0,0) est la matrice symétriquer s

Hs t

. Ses valeurs propres 1λ

et 2λ sont donc réelles. En écrivant la forme quadratique 2 2rh 2shk tk dans une base

orthonormée de vecteurs propres, on a :

2 2 2 21 2

1f (h,k) λ h' λ k' o(h' k' )

2

Cas où 2rt s 0 : les valeurs propres de H sont de même signe. Si, par exemple, r est

positif, elles sont strictement positives, et pour (h,k) petit et non nul, f (h,k) 0 .

Il n’y a donc aucun autre point que (0,0) de la courbe (C ) au voisinage de (0,0) .

Exemple de courbe vérifiant ces hypothèses (C ) : f (x,y) 0 , avec 2 2f (x,y) x y


Le seul point de la courbe (C) est (0,0) .

Cas où 2rt s 0 : les valeurs propres de H sont de signes contraires.

Exemple Etudier au voisinage de (0,0) , la courbe (C ) d’équation f (x,y) 0 ,

avec 2 2 3f (x,y) x y x .

Les hypothèses sont bien vérifiées et la matrice hessienne en (0,0) est 2 0

H0 2

.

En écrivant 2 3 2y x x , on constate que (C ) , au voisinage de (0,0) , est « formée » de

deux courbes dont les représentations paramétriques peuvent s’écrire :

pour 2

1

22

y x (1 x)x 1

y x (1 x)

Une étude classique permet de représenter la courbe (C) . Mais que penser des dessins ci-

dessous obtenus avec Maple ? >

> >

>


2 SURFACES PARAMETREES Dans toute la suite, on se place dans un espace euclidien E (affine, c’est à dire un ensemble

de points) de dimension 3, muni d’un repère orthonormé R (O,i , j ,k )

.

2.1 Surface paramétrée de classe kC Par définition, c’est une application de classe kC définie sur un partie D de 2R , à valeurs

dans E. Elle s’écrit :

x(u,v)(u,v) D OM(u,v) y(u,v)

z(u,v)

où x, y, z sont des applications de classe kC de D dans R. Les réels u et v sont les paramètres. Géométriquement, l’ensemble des points M de E est une surface S .

Exemple : cône de révolution de sommet O x zcosθy zsinθ θ 0,2π , z Rz z

Pour une surface paramétrée il y a deux paramètres. Dans l’exemple ci-dessus,

la troisième ligne peut ne pas figurer. Mais il est conseillé de l’écrire pour bien « voir » les deux paramètres.

Remarque La même surface (géométrique) admet plusieurs paramétrages.

2.2 Courbes tracées sur une surface Avec les notations du paragraphe précédent, soit I un intervalle de R, et φ une application

de I dans D : t I φ(t ) u(t),v(t) D .

(S)

M

z

y

x

v

u

D


Alors, par composition :

x u(t ),v(t )t I Om y u(t),v(t )

z u(t),v(t )

représente une courbe, qui est tracée sur

la surface (S).

Exemple : le cylindre d’équation 2 2 2x y R admet pour représentation paramétrique :

2x Rcosty Rsint (t ,z) Rz z

.

Pour z at , on obtient une hélice tracée sur ce cylindre (c.f. § 1 Courbes paramétrées).

2.3 Courbes coordonnées C’est une courbe tracée sur la surface, obtenue lorsqu’un des paramètres est constant. Par

exemple pour : 0u u , on note 0u uΓ la courbe coordonnée sur (S) :

00

u u 0 0

0

x x(u ,v)Γ : v (u ,v) D OM y y(u ,v)

z z(u ,v)

Le paramètre est v tel que u ,v D0 .

Par tout point 0 0 0M (u ,v ) de (S) passent les deux courbes coordonnées 0u uΓ et

0v vΓ .

Exemple : sphère de centre O et de rayon R : elle admet pour représentation

paramétrique : x Rsinφcosθy Rsinφ sinθ θ 0,2π ,φ 0,πz Rcosφ

Les paramètres θ et φ sont précisés sur ce dessin :


Si on fixe 0θ θ , la courbe coordonnée est un « grand » cercle sur la sphère, qui est un

méridien en géographie ; 0θ est la longitude du point 0M .

Si on fixe 0φ φ , la courbe coordonnée est un cercle de taille variable sur la sphère, qui est

un parallèle en géographie ; 0π

φ2 est la latitude du point 0M .

2.4 Point régulier Soit (S) une surface paramétrée (u,v) D OM(u,v)

de classe kC , avec k 1 . Un point

M (u ,v ) (S)0 0 0 est régulier pour le paramétrage si et seulement si les vecteurs

OM(u ,v )

u

0 0 et

OM(u ,v )

v

0 0 ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si

OM OM(u ,v ) (u ,v )

u v

0 0 0 0 0 .

Un point non régulier est singulier.

Remarque 1 : cette notion dépend du paramétrage Remarque 2 : lorsqu’il y a deux variables, on note avec un « d rond = » les

vecteurs dérivés. Interprétation Lorsque M0 est régulier, les dérivées ci-dessus dirigent les tangentes de

chacune des courbes coordonnées passant par M0 .

En effet, par exemple la courbe coordonnée 0u uΓ (dont le paramètre est v), admet

comme premier vecteur dérivé en M0 le vecteur OM

(u ,v )v

0 0 . Si M0 est régulier, ce

vecteur est non nul (conséquence du produit vectoriel non nul). Donc ce vecteur dirige la

tangente en M0 à 0u uΓ .

θ

φ

m

M

z

y

x

méridien

parallèle


Exemple : escalier hélicoïdal Il est formé par un segment horizontal s’appuyant sur l’axe d’un cylindre d’une part, et sur une hélice tracée sur ce cylindre d’autre part.

Pour écrire sa représentation paramétrique il faut connaître une représentation paramétrique de l’hélice (point N). Par exemple, avec a et R strictement positifs :

x Rcos aty Rsin at t Rz at

.

Le segment NH est horizontal, et HM λHN, λ , 0 1

. D’où une représentation

paramétrique de l’escalier hélicoïdal :

x λRcos aty λRsin at t R ,λ 0,1z at

.

La surface est de classe C . Ses vecteurs dérivés sont :

H

M

N

R

z

x

y

(S)

M0

z

y

x

v

u u 0

D

u uΓ 0

OM(u ,v )

v 0 0


λRasin atOM

λRacos att

a

et

Rcos atOM

Rsin atλ

0

, ce qui donne

Rasin atOM OM

Racos att λ

λR a

2

.

Comme sinus et cosinus ne sont pas nuls en même temps, ce vecteur n’est jamais nul : tous les points de l’escalier hélicoïdal sont réguliers.

2.5 Courbe passant par un point régulier

Soit

x u(t ),v(t )t I Om y u(t),v(t )

z u(t),v(t )

une courbe tracée sur (S), passant par 0M .

Le premier vecteur dérivé est

x u x vu t v ty yOm u v

t u t v tz u z vu t v t

.

Soit Om u OM v OMt t u t v

.

Si on se place en 0M régulier sur la surface, ce vecteur dérivé appartient au plan passant

par 0M et engendré par les deux vecteurs OM

(u ,v )u

0 0 et

OM(u ,v )

v

0 0 . D’où la

définition du plan tangent :

2.6 Plan tangent Soit (S) une surface paramétrée (u,v) D OM(u,v)

de classe kC , avec k 1 et un

point M (u ,v ) (S)0 0 0 régulier. Le plan tangent en 0M à (S) est le plan passant par 0M et engendré par les vecteurs

OM(u ,v )

u

0 0 et

OM(u ,v )

v

0 0 .

En pratique, on a déjà écrit le vecteur normal N0

à (S) en 0M :

OM OMN (u ,v ) (u ,v )

u v

0 0 0 0 0

Si on appelle P un point quelconque du plan tangent en 0M à (S), on écrit que le produit

scalaire de M P0

et de N0

est nul, ce qui donne une équation du plan tangent.


Interprétation à l’aide d’un dessin :

Remarque très importante : si une des courbes coordonnées est une droite, elle est sa propre tangente, donc elle appartient au plan tangent.

Retour sur l’exemple de l’escalier hélicoïdal (§2.4) : écriture de l’équation du plan tangent.

Représentation x λRcos at

OM y λRsin at t R ,λ 0,1z at

avec

Rasin atOM OM

Racos att λ

λR a

2

0

.

Soit un point 0M de cet escalier, correspondant aux paramètres t ,λ0 0 : comme tous les

points, il est régulier. Soit P (x,y,z) un point quelconque du plan tangent en 0M à l’escalier hélicoïdal :

M P0

.OM OM

(t ,λ ) (t ,λ )t k

0 0 0 0 0

, qui s’écrit :

x λ Rcos at aRsin aty λ Rsin at aRcos at

z at aλ R

0 0 0

0 0 020 0

0

D’où l’équation : (sinat )x (cos at )y λ Rz aλ Rt 0 0 0 0 0 0

Noter de façon différente les coordonnées de 0M et du point P du plan tangent.

M0

v vΓ 0

OM(u ,v )

u 0 0

u uΓ 0

(S)

plan tangent


Exemple : pour le cône le sommet est singulier, il n’y a pas de plan tangent. Le cône de révolution de sommet O, a pour représentation paramétrique :

x zcosθy zsinθ θ 0,2π , z Rz z

Le vecteur

zsinθ cosθ zcosθOM OM

zcosθ sinθ zsinθθ z

z

0 1

est nul si et seulement si z=0.

La valeur z=0 du paramètre correspond au sommet O du cône. Ce point est singulier, et dans ce cas, il n’est pas possible de déterminer un plan contenant les tangentes aux droites passant par O (il devrait contenir des droites non coplanaires) : il n’existe donc pas de plan tangent.


3 Surfaces d’équation « z=f(x,y) » 3.1 Interprétation de « z=f(x,y) » comme surface paramétrée Pour ces surfaces, on donne une application f de deux variables x,y D R 2 , de classe

kC , à valeurs dans R, et on considère la surface (S) ensemble des points M(x,y,z) où z=f(x,y). C’est donc un cas particulier de surface paramétrée :

x(x,y) D OM(x,y) y

z f (x,y)

Comme pour toute une surface paramétrée il y a deux paramètres, qui sont ici x et y, l’abscisse et l’ordonnée des points M de (S).

3.2 Points réguliers Soit (S) une surface « z=f(x,y) », avec f de classe kC , avec k 1 . Pour M(x,y) (S) on a

pour vecteurs dérivés : OMx

fx

1

0

, OMy

fy

0

1

d’où

fxfOM OM

x y y

1

.

La troisième composante de ce vecteur est le réel 1 0 . Donc ce vecteur normal est non nul en tout point de (S) .

y0

x

x0

(S)

M0

z

y

x x

courbe coordonnéeΓ 0

D


Théorème Tous les points d’une surface d’équation « z=f(x,y) », avec f de classe kC , ( k 1) sont réguliers.

3.3 Equation du plan tangent Soit P (x,y,z) un point quelconque du plan tangent en 0M à (S). Pour obtenir une équation

du plan tangent en 0M à (S), on écrit que le produit scalaire de M P0

et de

OM OMN (x ,y ) (x ,y )

x y

0 0 0 0 0

est nul : M P N 0 0 0

, soit :

Equation du plan tangent en 0M à (S)

f f(x ,y ) x x (x ,y ) y y z f (x ,y )x y

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Noter de façon différente les coordonnées de 0M et des points P du plan tangent.

Exemple : paraboloïde de révolution de sommet O (cf. §5.4) Par exemple, celui d’équation : z f (x,y) x y 2 2

xN y

0

0 0

2

2

1

xP yz

xM y

z x y

0

0 02 2

0 0 0

Equation du plan tangent en 0M au paraboloïde :

x x y y z (x y ) 2 20 0 0 02 2 0

3.4 Position de la surface par rapport à son plan tangent Dans ce paragraphe on suppose que f est de classe kC , avec k 2 . Soit 0M sur (S), et P un point quelconque du plan tangent en 0M à (S). On note M le point

de (S) de même cote que P (c'est-à-dire que M et P sont situés sur une parallèle à k

).

Les points M et P se projettent en m sur le plan(O,i , j )

. On introduit la « mesure

algébrique » du vecteurPM

, c'est-à-dire : PM PMk

. La cote z de P est donnée par l’équation du plan tangent :

f fPM f (x,y) z f (x,y) (x ,y ) x x (x ,y ) y y f (x ,y )

x y

0 0 0 0 0 0 0 0

Soit g cette fonction de deux variables :

f fg(x,y) f (x,y) (x ,y ) x x (x ,y ) y y f (x ,y )

x y

0 0 0 0 0 0 0 0


Le signe de g permet de préciser si la surface reste au dessus de son plan tangent au

voisinage de 0M (g est positif au voisinage de x ,y0 0 ) ou si la surface reste au dessous

de son plan tangent (g est négatif au voisinage de x ,y0 0 ) ou si elle traverse son plan

tangent (g change de signe au voisinage de x ,y0 0 ).

Or la fonction g est au moins de classe C2 au voisinage de x ,y0 0 . On peut donc lui

appliquer l’étude des extremums relatifs du cours « FONCTIONS DE PLUSIEURS

VARIABLES », sachant déjà que g x ,y 0 0 0 . Les dérivées partielles premières de g se

calculent par :

g f f(x,y) (x,y) (x ,y )x x xg f f(x,y) (x,y) (x ,y )y y y

0 0

0 0

g(x ,y )xg(x ,y )y

0 0

0 0

0

0

Donc x ,y0 0 est un point critique de g. La hessienne de g en x ,y0 0 est :

x ,y x ,yg f

f fx ,y x ,y

x yxH H

f fx ,y x ,y

x y y

0 0 0 0

2 2

0 0 0 02

2 2

0 0 0 02

c'est-à-dire qu’elle est égale à la hessienne de f en x ,y0 0 .

Remarque : cette fonction g est utilisée pour la démonstration. Mais c’est bien la

hessienne de f qui est utilisée dans les résultats.

M

P

m x

x

(S)

M0

z

y

plan tan genten M à (S)0


Pour simplifier, on utilise les notations (de Monge) : 2 2 2

0 0 0 0 0 02 2f f f(x ,y ) r , (x ,y ) s, (x ,y ) t

x yx y

0 0(x ,y )r s

H ( f )s t

.

Les signes des valeurs propres de H dépendent du déterminant 2srt (produit des valeurs propres) et de la trace (somme des valeurs propres) : D’où les résultats :

Si 0ret0srt 2 , la hessienne est définie positive (les deux valeurs propres de cette matrice sont strictement positives), alors g admet un minimum relatif en

x ,y0 0 . Donc PM reste localement positif, et la surface est localement au dessus de son plan tangent.

Si 0ret0srt 2 , la hessienne est définie négative (les deux valeurs propres de cette matrice sont strictement négatives), alors g admet un maximum relatif en

x ,y0 0 . Donc PM reste localement négatif, et la surface est localement au dessous de son plan tangent.

Si 0srt 2 , il y a deux valeurs propres non nulles et de signes contraires, alors g

n’admet pas d’extremum relatif en x ,y0 0 . Donc PM change de signe au

voisinage de x ,y0 0 , et la surface traverse son plan tangent. Dans les autres cas, on ne peut pas conclure avec l’étude de la hessienne.

Exemple : dans le cas du paraboloïde de révolution d’équation z f (x,y) x y 2 2 , la

hessienne en tout point est : fM

2 0

0 2 qui est définie positive. En tout point la surface

reste du même coté du plan tangent.

M

P

x

(S)

z

y


3.5 Exemple Paraboloïde hyperbolique (PH) d’équation : z f (x,y) xy .

La hessienne, en tout point est : fM

0 1

1 0, avec fdet(M ) 0 , donc admet des valeurs

propres non nulles et de signes contraires. En tout point, la surface traverse son plan tangent.

Ceci est une photo du toit de l’amphi Lespinasse à l’INSA de Lyon. Avec cette représentation paramétrique, les courbes coordonnées sont des droites. Cherchez les paraboles et les hyperboles (qui expliquent le nom de cette surface).


4 Surfaces données par une équation implicite 4.1 Equation implicite Pour définir ce type de surface, on donne une application F de trois variables

x,y ,z D R 3 , de classe kC , à valeurs dans R, et on considère la surface (S)

ensemble des points M(x,y,z) tels que :

F(x,y,z)=0

Cette relation est une équation de la surface. Exemples :

un plan lorsqu’il est écrit sous la forme ux vy wz h , (u,v,w) 0 0 .

un ellipsoïde écrit sous la forme yx z

,a b c

22 2

2 2 21 avec a,b et c constantes >0.

Il n’y a pas de paramètre. Seules figurent les coordonnées x, y et z des points

M de (S) . Pour certaine fonctions F, il est difficile (en particulier pour les logiciels) de calculer les coordonnées des points de la surface. Voici un exemple en Maple :

(DS 11 juin 2001)

On considère la surface (S) d'équation implicite cos(x+y-z)-xyz+1=0. Représenter la portion de (S) dans le cube [-5,5]^3. Peut-on en déduire un résultat? > f:=(x,y,z)->cos(x+y-z)-x*y*z+1;

Dessin d'une portion de (S), dans le cube [-5,5]^3. > S:=implicitplot3d(f(x,y,z)=0,x=-5..5,y=-5..5,z=5..5,title="Surface implicite", axes=frame,labels=[x,y,z]):S;


Difficile de "voir" ce qui se passe!

Remarque très importante Une surface du type « z f (x,y) » qui est déjà un cas

particulier de surface paramétrée, est aussi un cas particulier de surface implicite : z f (x,y) s’écrit : F(x,y ,z) f (x,y) z 0 .

4.2 Points réguliers (k>0) Soit (S) une surface implicite, d’équation F(x,y,z)=0, avec F de classe kC , ( k 1). Par définition un point 0 0 0 0M (x ,y ,z ) de (S) est régulier si le vecteur gradient de F en

0M est non nul. Soit :

M0 régulier

F(x ,y ,z )xF

gradF(x ,y ,z ) (x ,y ,z )yF(x ,y ,z )z

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0

Si 0M de (S) est régulier, alors on retrouve les notions du paragraphe 2 (Surfaces

paramétrées) et ce vecteur gradient est normal en 0M à (S) . En effet, soit une courbe passant par 0M et tracée sur (S). Une telle courbe Γ a une

représentation paramétrique avec des applications x, y et z sont de classe 1C au voisinage de 0t :


x(t)t y(t)

z(t )

, le point 0M correspondant à la valeur 0t du paramètre : 0 0

0 0

0 0

x(t ) xy(t ) yz(t ) z

Les points de la courbe Γ vérifient l’équation de la surface (S) . On a donc :

F (x(t),y(t ),z(t ) 0 .

En dérivant cette fonction composée par rapport à t, on obtient : F F F(x,y ,z) x'(t ) (x,y ,z) y'(t ) (x,y ,z) z'(t ) 0x y z

, c'est-à-dire que le vecteur

gradF(x,y ,z)

est orthogonal au premier vecteur dérivé de la courbe Γ .

Si 0M est un point régulier sur Γ , ce premier vecteur dérivé dirige la tangente en 0M à

Γ , donc gradF(x ,y ,z )

0 0 0 est orthogonal à cette tangente. Donc gradF(x ,y ,z )

0 0 0 est

orthogonal à toutes les courbes tracées sur la surface (pour lesquelles 0M est régulier).

Une autre façon de comprendre ce résultat est d’utiliser le théorème des fonctions implicites pour une fonction 3F : D . Sous certaines hypothèses, on peut alors localement, exprimer une des variables en fonction des deux autres :

THEOREME DES FONCTIONS IMPLICITES (ADMIS) Soient U un ouvert de 3R , RU:f une application de classe Ck (k>0) et x ,y ,z U0 0 0

tel que :

f x ,y ,z 0 0 0 0 et F(x ,y ,z )z

0 0 0 0

Alors il existe :

(i) un ouvert V de 2 , tel que x ,y V0 0

(ii) un ouvert I de , tel que z I0 et que V I U ,

(iii) une unique application kCclassede,IV:

tels que l’on ait l’équivalence :

(x,y ,z) V I , f (x,y ,z) 0

(x ,y) V , z φ(x,y) .

Alors φ(x ,y ) z0 0 0 , et les dérivées partielles premières de s’écrivent sur V :

f(x,y ,z)φ x(x,y)fx (x,y ,z)z

et

f(x,y ,z)

φ y(x,y)

fy (x,y ,z)z

.

Remarque : on peut obtenir ces dérivées en dérivant « en ligne » la fonction composée f (x,y ,φ(x,y)) 0 .


On revient au cas du point régulier sur la surface d’équation F(x,y,z)=0, F de classe kC ,

( k 1) et gradF(x ,y ,z ) 0 0 0 0

.

La fonction F vérifie donc les hypothèses du théorème des fonctions implicites en

x ,y ,z0 0 0 .

On peut choisir, pour cette démonstration, que la dernière coordonnée de ce gradient est

non nulle : F(x ,y ,z )z

0 0 0 0 .

Il existe donc, localement au voisinage de x ,y0 0 une application φ , classe kC , telle

qu’on ait équivalence entre F(x,y,z)=0 et z φ(x,y) , les dérivées partielles de φ étant

données par :

Fφ x

Fxz

et

Fφ y

Fyz

.

Le vecteur gradF(x ,y ,z )0 0 0

est donc colinéaire au vecteur

φ(x ,y )xφ(x ,y )y

0 0

0 0

1

, c'est-à-dire au

vecteur normal obtenu pour les surfaces « z f (x,y) » (§3).

Exemple de la sphère Une équation implicite de la sphère de centre O et de rayon R (>0) est :

F(x,y ,z) x y z R 2 2 2 2 0

Le gradient de F est :

xgradF y

z

2

2

2

qui est non nul sur la sphère. Tous les points sont donc

réguliers pour ce type de représentation.

Avec une représentation paramétrique de la sphère, par exemple celle du paragraphe 2, les pôles sont des points singuliers. Ces deux définitions de la sphère ne sont donc pas équivalentes.

4.3 Tangente en un point de la courbe intersection de deux surfaces définies implicitement.

On donne deux surfaces par leurs équations implicites, et on suppose qu’il existe un point appartenant aux deux surfaces. On obtient alors une courbe. C’est par exemple le cas d’une droite, définie comme l’intersection de deux plans non parallèles.


Plus généralement, on donne deux surfaces S et Σ , définies par deux applications F et

G, de D R 3 , de classe kC (avec k 1 ), à valeurs dans R, et un point

M x ,y ,z D0 0 0 0 , tel que F x ,y ,z 0 0 0 0 et G x ,y ,z 0 0 0 0 . Leur courbe

d’intersection C est définie par F(x,y ,z) 0G(x,y ,z) 0

.

Si on suppose que 0M est régulier pour chacune des surfaces S et Σ , les vecteurs

gradients de F et G sont non nuls en 0M . Si le vecteur

gradF(x ,y ,z ) gradG(x ,y ,z )

0 0 0 0 0 0 est non nul, il appartient à l’intersection des plans

tangents aux deux surfaces S et Σ . Or ces plans tangents contiennent toutes les

tangentes aux courbes tracées respectivement sur S ou sur Σ , donc la tangente à leur

courbe d’intersection C . Donc la tangente à C en 0M est dirigée par

gradF(x ,y ,z ) gradG(x ,y ,z )

0 0 0 0 0 0 .

Le dessin ci-après illustre ce résultat :

C

A

Σ

S


4.4 Equation du plan tangent en un point régulier

Soit P (x,y ,z) un point quelconque du plan tangent en 0 0 0 0M (x ,y ,z ) à (S). Pour obtenir

une équation de ce plan, on écrit que le produit scalaire de 0M P

et du vecteur gradient

gradF(x ,y ,z )0 0 0

est nul : gradF(x ,y ,z ) M P 0 0 0 0 0

.

Equation du plan tangent en 0M à (S) :

F F F(x ,y ,z ) x x (x ,y ,z ) y y (x ,y ,z ) z zx y z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(S)

P

gradF(M )0

M0


5 CLASSIFICATION DES SURFACES Une première classification des surfaces est donnée par les trois façons décrites dans ce cours : surfaces définies par une représentation paramétrique, par « z f (x,y) » et à l’aide

d’une équation implicite. Si on a le choix, une représentation peut être plus pertinente qu’une autre. Par exemple, si on cherche un vecteur normal pour une surface du type « z f (x,y) », il est judicieux de prendre le vecteur gradient de F(x,y ,z) f (x,y) z .

Une deuxième classification des surfaces est proposée dans ce paragraphe, en fonction des manières d’engendrer ces surfaces, donc avec un point de vue géométrique. Il s’agit des surfaces réglées et des surfaces de révolution. Comme ci-dessus, ces catégories ne sont pas exclusives : certaines surfaces sont à la fois réglées et de révolution.

5.1 Définition générale des surfaces réglées Définition Une surface est réglée si elle peut être obtenue en déplaçant une droite dans l’espace. De façon pratique, on donne une courbe (D), appelée directrice, et un vecteur variable v

.

La surface réglée () est l’ensemble des points des droites s’appuyant sur (D), et dirigées par v

. Ces droites sont les génératrices de ().

On obtient une représentation paramétrique de (), connaissant une représentation

paramétrique F

de (D) :

OM F(t) kv(t )

les paramètres réels t et k variant dans une partie de R à préciser. Exemple : on montre qu’un paraboloïde hyperbolique est une surface réglée (cf. §3.5). On peut observer cette surface sur les toits des amphis « Lespinasse, Berger… » : des génératrices forment les bords du toit (cf. photo de couverture).

5.2 Surfaces coniques Définition Une surface conique est une surface réglée dont les génératrices passent par un point fixe, appelé sommet.

M

v

D


Soit (D), la (courbe) directrice, et le point S (sommet). La surface conique () est l’ensemble des points des droites s’appuyant sur (D), et passant par S. On obtient une représentation paramétrique de (), connaissant une représentation

paramétrique F

de (D), notant N un point de (D) :

SM kSN , où ON F(t)

les paramètres réels t et k variant dans une partie de R à préciser. Exemple : un cône.

5.3 Surfaces cylindriques Définition Une surface cylindrique est une surface réglée dont les génératrices sont parallèles. Soit (D), la (courbe) directrice, et un vecteur fixe v

. La surface cylindrique () est l’ensemble

des points des droites s’appuyant sur (D), et dirigées par v

. On obtient une représentation paramétrique de (), connaissant une représentation

paramétrique F

de (D), notant N un point de (D) :

NM kv, où ON F(t)

les paramètres réels t et k variant dans une partie de R à préciser.

Exemple : un cylindre d’équationyx

a b

22

2 21 , avec a et b constantes > 0.

La variable z ne figure pas dans cette équation implicite !

Ce cylindre est formé des droites verticales s’appuyant sur l’ellipse d’équation yx

a b

22

2 21

du plan (xOy).

N D

v

M

S

D

M

N

D


5.4 Surfaces de révolution Définition Une surface de révolution est obtenue en faisant tourner une courbe autour d’une droite dans l’espace. Soit (Γ) une courbe (plane ou gauche), appelée méridienne, et une droite (∆), appelée axe de la surface (c’est un axe de symétrie). La surface de révolution () est l’ensemble des points des cercles d’axe (∆) s’appuyant sur (Γ). Les sections (c’est à dire les intersections) de () par des plans perpendiculaires à (∆) sont des cercles. Pour obtenir une représentation paramétrique de (), connaissant une représentation

paramétrique F

de (Γ) , il faut chercher la distance des points N de (Γ) à (∆). On fait alors « tourner » N dans le plan perpendiculaire à (∆).

Par exemple, lorsque l’axe est l’axe vertical (O,k )

:

x(t )F(t) y(t ) t I d(N ,Δ) x (t ) y (t) r (t )

z(t )

r(t )cosθ

(Σ ) r(t )sinθ t I , θ , πz(t )

Exemples : - le cylindre et le cône circulaires (l’ellipse est un cercle) qui sont à la fois réglées et de révolution,

- un hyperboloïdes de révolution, d’équationyx z

a a c

22 2

2 2 21 , avec a et c constantes > 0.

On peut montrer que cet hyperboloïde est également une surface réglée. Cette surface est souvent utilisée par les architectes pour des châteaux d’eau ou les tours de refroidissement des centrales nucléaires.

N

Γ

Δ


6 BIBLIOGRAPHIE DOC’INSA Les étudiants intéressés trouveront les démonstrations des propriétés admises dans les ouvrages suivants : Géométrie différentielle, intégrales multiples de Doneddu (cote 6941(VI)) Usuel 510.DON VI Calcul différentiel et intégral de N. Piskounov éditions MIR/Ellipses (cote 4570 (I) et 4570 (II)), Usuel 515.PIS I et II Cours de mathématiques, de J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès, collection Dunod Université : tome 3 : géométrie et cinématique (cote 5217 (III))

Documents

Mathématiques, courbes et surfaces