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Mathématiques et calcul1er semestre
Université Paris Descartes
22 septembre 2009
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 1 / 79
CoursFrançois Patte
Horaires :É Lundi 12h00 — 13h30 Amphi DelmasÉ Mardi 15h15 — 16h45 Amphi Weiss
http://www.mi.parisdescartes.fr/~pattelien : Enseignement
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 2 / 79
CoursFrançois Patte
Horaires :É Lundi 12h00 — 13h30 Amphi DelmasÉ Mardi 15h15 — 16h45 Amphi Weiss
http://www.mi.parisdescartes.fr/~pattelien : Enseignement
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 2 / 79
Calendrier
Vacances
1. du 25 octobre au 1er novembre2. du 20 décembre au 3 janvier 2010
Fin des cours et TD : 9 janvier 2010
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 3 / 79
Calendrier
Contrôles
3 contrôles :1. CC1 : mardi 20 octobre 17h — 18h302. CC2 : mardi 24 novembre 17h — 18h303. CC3 : semaine du 11 janvier. Heure et lieu à
préciser.
Note finale : E =CC1 +CC2 + 2CC3
4
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 4 / 79
Première partie I
Préliminaires
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 5 / 79
1 Un peu de logiqueVocabulaireConnecteurs logiques
2 Ensembles
3 Quantificateurs
4 Application
5 Dénombrements
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 6 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France
Assertion vraie
É 2 < 7
Assertion vraie
É 3 est un nombre pair
Assertion fausse
N’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France
Assertion vraie
É 2 < 7
Assertion vraie
É 3 est un nombre pair
Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7
Assertion vraie
É 3 est un nombre pair
Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7
Assertion vraie
É 3 est un nombre pair
Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair
Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair
Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair Assertion fausse
N’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Assertion
Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.
Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair Assertion fausse
N’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 7 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Proposition
Soit l’assertion :x2 > 4
Cette assertion est :
É Vraie si x < −2 ou si x > 2É Fausse dans tous les autres cas
Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelleune proposition
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 8 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Proposition
Soit l’assertion :x2 > 4
Cette assertion est :
É Vraie si x < −2 ou si x > 2É Fausse dans tous les autres cas
Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelleune proposition
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 8 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Proposition
Soit l’assertion :x2 > 4
Cette assertion est :
É Vraie si x < −2 ou si x > 2É Fausse dans tous les autres cas
Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelleune proposition
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 8 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Proposition
Soit l’assertion :x2 > 4
Cette assertion est :
É Vraie si x < −2 ou si x > 2É Fausse dans tous les autres cas
Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelleune proposition
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 8 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Proposition
Le travail mathématique consiste (souvent) à établir dansquelles conditions une proposition est vraie ou fausse :
démonstration
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 9 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Démonstration
Exemple : démonstration de la proposition précédente.
Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1
É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 10 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Démonstration
Exemple : démonstration de la proposition précédente.
Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1
É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 10 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Démonstration
Exemple : démonstration de la proposition précédente.
Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1
É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 10 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Démonstration
Exemple : démonstration de la proposition précédente.
Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1
É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 10 / 79
Un peu de logique Vocabulaire
Démonstration
Exemple : démonstration de la proposition précédente.
Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1
É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 10 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Négation
La négation d’une proposition P est :
É vraie lorsque P est fausseÉ fausse lorsque P est vraie
Notations : nonP ou : ¬P
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 11 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Négation
La négation d’une proposition P est :
É vraie lorsque P est fausseÉ fausse lorsque P est vraie
Notations : nonP ou : ¬P
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 11 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Négation
La négation d’une proposition P est :
É vraie lorsque P est fausseÉ fausse lorsque P est vraie
Notations : nonP ou : ¬P
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 11 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
NégationTable de vérité
On résume dans une table de vérité :
P nonP
V FF V
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 12 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Conjonction
La conjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si les deux propositions sont simultanément vraiesÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P et Q ou : P∧Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 13 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Conjonction
La conjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si les deux propositions sont simultanément vraiesÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P et Q ou : P∧Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 13 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Conjonction
La conjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si les deux propositions sont simultanément vraiesÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P et Q ou : P∧Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 13 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
ConjonctionTable de vérité
P Q P et QV V VV F FF V FF F F
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 14 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Disjonction
La disjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si au moins une des deux propositions est vraieÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P ou Q ou : P∨Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 15 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Disjonction
La disjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si au moins une des deux propositions est vraieÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P ou Q ou : P∨Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 15 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Disjonction
La disjonction de deux propositions P et Q est :
É vraie, si au moins une des deux propositions est vraieÉ fausse dans tous les autres cas
Notations : P ou Q ou : P∨Q
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 15 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
DisjonctionTable de vérité
P Q P ou Q
V V VV F VF V VF F F
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 16 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Implication
La proposition : "nonP ou Q" s’appelle une implication.
Notations : P⇒ Q
On lit : P implique Q ou : P entraîne Q
Si P⇒ Q est vrai, on dit que c’est un théorème dont P estl’hypothèse et Q est la conclusion.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 17 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Implication
La proposition : "nonP ou Q" s’appelle une implication.
Notations : P⇒ Q
On lit : P implique Q ou : P entraîne Q
Si P⇒ Q est vrai, on dit que c’est un théorème dont P estl’hypothèse et Q est la conclusion.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 17 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Implication
La proposition : "nonP ou Q" s’appelle une implication.
Notations : P⇒ Q
On lit : P implique Q ou : P entraîne Q
Si P⇒ Q est vrai, on dit que c’est un théorème dont P estl’hypothèse et Q est la conclusion.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 17 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Implication
La proposition : "nonP ou Q" s’appelle une implication.
Notations : P⇒ Q
On lit : P implique Q ou : P entraîne Q
Si P⇒ Q est vrai, on dit que c’est un théorème dont P estl’hypothèse et Q est la conclusion.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 17 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
ImplicationTable de vérité
P Q nonP P⇒ Q
V V F VV F F FF V V VF F V V
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 18 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
Équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.
P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses
Notations : P⇔Q
Exemples :É non(nonP)⇔ P
É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))
Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 19 / 79
Un peu de logique Connecteurs logiques
ÉquivalenceTable de vérité
P Q nonP nonQ P⇒ Q Q⇒ P P⇔Q
V V F F V V VV F F V F V FF V V F V F FF F V V V V V
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 20 / 79
Ensembles
Ensembles
Un ensemble est une "collection" d’éléments.
Un ensemble E est bien défini si on possède un critèrepermettant de dire sans ambiguïté si un objet a est unélément de E ou n’est pas élément un de E.
On écrira respectivement :
a ∈ Ea appartient à Ea est un élément de E
a 6∈ Ea n’appartient pas à Ea n’est pas un élément de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 21 / 79
Ensembles
Ensembles
Un ensemble est une "collection" d’éléments.
Un ensemble E est bien défini si on possède un critèrepermettant de dire sans ambiguïté si un objet a est unélément de E ou n’est pas élément un de E.
On écrira respectivement :
a ∈ Ea appartient à Ea est un élément de E
a 6∈ Ea n’appartient pas à Ea n’est pas un élément de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 21 / 79
Ensembles
Ensembles
Un ensemble est une "collection" d’éléments.
Un ensemble E est bien défini si on possède un critèrepermettant de dire sans ambiguïté si un objet a est unélément de E ou n’est pas élément un de E.
On écrira respectivement :
a ∈ Ea appartient à Ea est un élément de E
a 6∈ Ea n’appartient pas à Ea n’est pas un élément de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 21 / 79
Ensembles
Ensembles
Important : Un objet mathématique ne peut être à la foisun ensemble et un élément de cet ensemble.
L’écriture : a ∈ a est donc interdite.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 22 / 79
Ensembles
Ensembles
Important : Un objet mathématique ne peut être à la foisun ensemble et un élément de cet ensemble.
L’écriture : a ∈ a est donc interdite.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 22 / 79
Ensembles
EnsemblesÉgalité
Deux ensembles E et F sont égaux s’ils possèdent les mêmeséléments.
On écrit : E = F
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 23 / 79
Ensembles
EnsemblesÉgalité
Deux ensembles E et F sont égaux s’ils possèdent les mêmeséléments.
On écrit : E = F
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 23 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
Pour écrire un ensemble,É on énumère ses éléments :
E = {a,b,c,d,e}
Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}
É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont encommun : l’ensemble des nombres pairs
E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 24 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
Pour écrire un ensemble,É on énumère ses éléments :
E = {a,b,c,d,e}
Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}
É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont encommun : l’ensemble des nombres pairs
E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 24 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
Pour écrire un ensemble,É on énumère ses éléments :
E = {a,b,c,d,e}Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}
É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont encommun : l’ensemble des nombres pairs
E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 24 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
Pour écrire un ensemble,É on énumère ses éléments :
E = {a,b,c,d,e}Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}
É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont encommun : l’ensemble des nombres pairs
E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 24 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.
On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :
a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅
Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 25 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.
On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :
a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅
Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 25 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.
On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :
a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅
Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 25 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.
On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :
a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅
Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 25 / 79
Ensembles
EnsemblesÉcriture
On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.
On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :
a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !
Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅
Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 25 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.
On écrit :F ⊂ E
On dit :É F est inclus dans E
É F est une partie de E
É F est un sous-ensemble de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 26 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.
On écrit :F ⊂ E
On dit :É F est inclus dans E
É F est une partie de E
É F est un sous-ensemble de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 26 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.
On écrit :F ⊂ E
On dit :É F est inclus dans E
É F est une partie de E
É F est un sous-ensemble de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 26 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.
On écrit :F ⊂ E
On dit :É F est inclus dans E
É F est une partie de E
É F est un sous-ensemble de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 26 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.
On écrit :F ⊂ E
On dit :É F est inclus dans E
É F est une partie de E
É F est un sous-ensemble de E
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 26 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
Pour tout ensemble E et tout objet mathématique x, laproposition :
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ Eest toujours vraie.
Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :∅ ⊂ E
On a aussi toujours :E ⊂ E
Exemple d’inclusion :N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 27 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
Pour tout ensemble E et tout objet mathématique x, laproposition :
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ Eest toujours vraie.
Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :∅ ⊂ E
On a aussi toujours :E ⊂ E
Exemple d’inclusion :N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 27 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
Pour tout ensemble E et tout objet mathématique x, laproposition :
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ Eest toujours vraie.
Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :∅ ⊂ E
On a aussi toujours :E ⊂ E
Exemple d’inclusion :N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 27 / 79
Ensembles
EnsemblesInclusion
Pour tout ensemble E et tout objet mathématique x, laproposition :
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ Eest toujours vraie.
Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :∅ ⊂ E
On a aussi toujours :E ⊂ E
Exemple d’inclusion :N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 27 / 79
Ensembles
EnsemblesComplémentaire
Soit E un ensemble et A une partie de E, on appellecomplémentaire de A par rapport à E, l’ensemble deséléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Notations : ûEA, Ac, A, E \ A
Connecteur logique : non, ¬
Exemples :
ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 28 / 79
Ensembles
EnsemblesComplémentaire
Soit E un ensemble et A une partie de E, on appellecomplémentaire de A par rapport à E, l’ensemble deséléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Notations : ûEA, Ac, A, E \ A
Connecteur logique : non, ¬
Exemples :
ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 28 / 79
Ensembles
EnsemblesComplémentaire
Soit E un ensemble et A une partie de E, on appellecomplémentaire de A par rapport à E, l’ensemble deséléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Notations : ûEA, Ac, A, E \ A
Connecteur logique : non, ¬
Exemples :
ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 28 / 79
Ensembles
EnsemblesComplémentaire
Soit E un ensemble et A une partie de E, on appellecomplémentaire de A par rapport à E, l’ensemble deséléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Notations : ûEA, Ac, A, E \ A
Connecteur logique : non, ¬
Exemples :
ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 28 / 79
Ensembles
EnsemblesEnsemble des parties
Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E
Notation : P(E)
A ⊂ E⇔A ∈ P(E)
a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)
Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 29 / 79
Ensembles
EnsemblesEnsemble des parties
Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E
Notation : P(E)
A ⊂ E⇔A ∈ P(E)
a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)
Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 29 / 79
Ensembles
EnsemblesEnsemble des parties
Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E
Notation : P(E)
A ⊂ E⇔A ∈ P(E)
a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)
Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 29 / 79
Ensembles
EnsemblesEnsemble des parties
Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E
Notation : P(E)
A ⊂ E⇔A ∈ P(E)
a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)
Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 29 / 79
Ensembles
EnsemblesEnsemble des parties
Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E
Notation : P(E)
A ⊂ E⇔A ∈ P(E)
a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)
Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 29 / 79
Ensembles
EnsemblesIntersection
L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.
Notation : E ∩ F
On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)
Connecteur logique : et, ∧
L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 30 / 79
Ensembles
EnsemblesIntersection
L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.
Notation : E ∩ F
On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)
Connecteur logique : et, ∧
L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 30 / 79
Ensembles
EnsemblesIntersection
L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.
Notation : E ∩ F
On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)
Connecteur logique : et, ∧
L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 30 / 79
Ensembles
EnsemblesIntersection
L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.
Notation : E ∩ F
On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)
Connecteur logique : et, ∧
L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 30 / 79
Ensembles
EnsemblesIntersection
L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.
Notation : E ∩ F
On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)
Connecteur logique : et, ∧
L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 30 / 79
Ensembles
EnsemblesRéunion
La réunion de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments appartenant à au moins un des deux ensembles Eou F.
Notation : E ∪ F
On a donc :x ∈ E ∪ F⇔ (x ∈ E ou x ∈ F)
Connecteur logique : ou, ∨
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 31 / 79
Ensembles
EnsemblesRéunion
La réunion de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments appartenant à au moins un des deux ensembles Eou F.
Notation : E ∪ F
On a donc :x ∈ E ∪ F⇔ (x ∈ E ou x ∈ F)
Connecteur logique : ou, ∨
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 31 / 79
Ensembles
EnsemblesRéunion
La réunion de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments appartenant à au moins un des deux ensembles Eou F.
Notation : E ∪ F
On a donc :x ∈ E ∪ F⇔ (x ∈ E ou x ∈ F)
Connecteur logique : ou, ∨
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 31 / 79
Ensembles
EnsemblesRéunion
La réunion de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments appartenant à au moins un des deux ensembles Eou F.
Notation : E ∪ F
On a donc :x ∈ E ∪ F⇔ (x ∈ E ou x ∈ F)
Connecteur logique : ou, ∨
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 31 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.
L’intersection et la réunion sont commutatives :
É A ∩ B = B ∩ AÉ A ∪ B = B ∪ A
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 32 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.
L’intersection et la réunion sont associatives :
É A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C
= A ∩ B ∩C
É A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C
= A ∪ B ∪C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 32 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.
L’intersection et la réunion sont associatives :
É A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C = A ∩ B ∩CÉ A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C = A ∪ B ∪C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 32 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.
L’intersection est distributive par rapport à la réunion :
A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 32 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés
Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.
La réunion est distributive par rapport à l’intersection :
A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 32 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesComplémentaires
Soit A et B deux parties d’un ensemble E.
Le complémentaire de l’intersection de A et B est la réuniondes complémentaires de A et B :
(A ∩ B)C = AC ∪ BC
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 33 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesComplémentaires
Soit A et B deux parties d’un ensemble E.
Le complémentaire de l’intersection de A et B est la réuniondes complémentaires de A et B :
(A ∩ B)C = AC ∪ BC
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 33 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesComplémentaires
Soit A et B deux parties d’un ensemble E.
Le complémentaire de la réunion de A et B est l’intersectiondes complémentaires de A et B :
(A ∪ B)C = AC ∩ BC
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 33 / 79
Ensembles
Opérations sur des parties d’ensemblesComplémentaires
Soit A et B deux parties d’un ensemble E.
Le complémentaire de la réunion de A et B est l’intersectiondes complémentaires de A et B :
(A ∪ B)C = AC ∩ BC
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 33 / 79
Ensembles
Produit cartésien
Soit deux ensembles E et F, le produit cartésien de ces deuxensembles est l’ensemble des couples (x ,y) où x ∈ E et y ∈ F.
Notation : E× F
E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}
Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté :(x ,y) 6= (y ,x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 34 / 79
Ensembles
Produit cartésien
Soit deux ensembles E et F, le produit cartésien de ces deuxensembles est l’ensemble des couples (x ,y) où x ∈ E et y ∈ F.
Notation : E× F
E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}
Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté :(x ,y) 6= (y ,x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 34 / 79
Ensembles
Produit cartésien
Soit deux ensembles E et F, le produit cartésien de ces deuxensembles est l’ensemble des couples (x ,y) où x ∈ E et y ∈ F.
Notation : E× F
E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}
Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté :(x ,y) 6= (y ,x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 34 / 79
Ensembles
Produit cartésien
E
F
(x,y)y
x
(y,x)
y
x
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 35 / 79
Ensembles
Produit cartésien
E
F
(x,y)y
x
(y,x)
y
x
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 35 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∀ : quel que soit
É ∀n ∈ N, n ≥ 0 : quel que soit l’entier naturel n, n estpositif ou nul.
É Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E :C ⊂ A ∩ B⇔ (∀x ∈ C, x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∀ : quel que soit
É ∀n ∈ N, n ≥ 0 : quel que soit l’entier naturel n, n estpositif ou nul.
É Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E :C ⊂ A ∩ B⇔ (∀x ∈ C, x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∀ : quel que soit
É ∀n ∈ N, n ≥ 0 : quel que soit l’entier naturel n, n estpositif ou nul.
É Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E :C ⊂ A ∩ B⇔ (∀x ∈ C, x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∃ : il existe
É ∃n ∈ N, n ≥ 3 : il existe un entier naturel supérieur ouégal à 3.
É Soit A, B deux parties d’un ensemble E :A ∩ B 6= ∅⇔ (∃x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∃ : il existe
É ∃n ∈ N, n ≥ 3 : il existe un entier naturel supérieur ouégal à 3.
É Soit A, B deux parties d’un ensemble E :A ∩ B 6= ∅⇔ (∃x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles à connaître :
∃ : il existe
É ∃n ∈ N, n ≥ 3 : il existe un entier naturel supérieur ouégal à 3.
É Soit A, B deux parties d’un ensemble E :A ∩ B 6= ∅⇔ (∃x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 36 / 79
Quantificateurs
QuantificateursOrdre
Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.
É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x
Proposition vraie
É ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x
Proposition fausse
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 37 / 79
Quantificateurs
QuantificateursOrdre
Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.
É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x
Proposition vraie
É ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x
Proposition fausse
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 37 / 79
Quantificateurs
QuantificateursOrdre
Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.
É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x
Proposition fausse
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 37 / 79
Quantificateurs
QuantificateursOrdre
Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.
É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x
Proposition fausse
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 37 / 79
Quantificateurs
QuantificateursOrdre
Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.
É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x Proposition fausse
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 37 / 79
Quantificateurs
QuantificateursNégation
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, onintervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :
la proposition :non (∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x)
est :∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 38 / 79
Quantificateurs
QuantificateursNégation
Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, onintervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :
la proposition :non (∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x)
est :∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 38 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).
Notation :
f : E −→ Fx → f (x)
É E est l’ensemble de départ de f
É F est l’ensemble d’arrivée de f
É f (x) est l’image de x dans F
É x est l’antécédent de f (x)
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 39 / 79
Application
Applications
Égalité : deux applications f et g sont égales si :É elles ont même ensemble de départ EÉ elles ont même ensemble d’arrivée F
É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)
Image : si f est une application de E dans F, et si A est unepartie de E, on appelle ensemble image de A par f la partie deF, notée f (A), définie par :
f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 40 / 79
Application
Applications
Égalité : deux applications f et g sont égales si :É elles ont même ensemble de départ EÉ elles ont même ensemble d’arrivée F
É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)
Image : si f est une application de E dans F, et si A est unepartie de E, on appelle ensemble image de A par f la partie deF, notée f (A), définie par :
f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 40 / 79
Application
Applications
Égalité : deux applications f et g sont égales si :É elles ont même ensemble de départ EÉ elles ont même ensemble d’arrivée F
É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)
Image : si f est une application de E dans F, et si A est unepartie de E, on appelle ensemble image de A par f la partie deF, notée f (A), définie par :
f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 40 / 79
Application
Applications
Égalité : deux applications f et g sont égales si :É elles ont même ensemble de départ EÉ elles ont même ensemble d’arrivée F
É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)
Image : si f est une application de E dans F, et si A est unepartie de E, on appelle ensemble image de A par f la partie deF, notée f (A), définie par :
f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 40 / 79
Application
ApplicationsSurjection
Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :
f (E) = F
Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F
É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 41 / 79
Application
ApplicationsSurjection
Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :
f (E) = F
Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F
É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 41 / 79
Application
ApplicationsSurjection
Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :
f (E) = F
Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F
É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 41 / 79
Application
ApplicationsSurjection
Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :
f (E) = F
Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F
É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 41 / 79
Application
ApplicationsSurjection
Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :
f (E) = F
Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F
É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 41 / 79
Application
ApplicationsInjection
Une application f de E dans F est injective si et seulement si :
(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]
ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]
Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux
dans E
É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 42 / 79
Application
ApplicationsInjection
Une application f de E dans F est injective si et seulement si :
(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]
ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]
Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux
dans E
É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 42 / 79
Application
ApplicationsInjection
Une application f de E dans F est injective si et seulement si :
(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]
ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]
Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux
dans E
É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 42 / 79
Application
ApplicationsInjection
Une application f de E dans F est injective si et seulement si :
(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]
ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]
Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux
dans E
É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 42 / 79
Application
ApplicationsInjection
Une application f de E dans F est injective si et seulement si :
(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]
ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]
Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux
dans E
É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 42 / 79
Application
ApplicationsBijection
Une application f de E dans F est bijective si et seulement sielle est surjective et injective
Ce qui se lit :É Tout élément de F a toujours un et un seul antécédent
dans E
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours une seule solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 43 / 79
Application
ApplicationsBijection
Une application f de E dans F est bijective si et seulement sielle est surjective et injective
Ce qui se lit :É Tout élément de F a toujours un et un seul antécédent
dans E
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours une seule solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 43 / 79
Application
ApplicationsBijection
Une application f de E dans F est bijective si et seulement sielle est surjective et injective
Ce qui se lit :É Tout élément de F a toujours un et un seul antécédent
dans E
É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours une seule solution
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 43 / 79
Application
ApplicationsComposition
Soit trois ensembles E, F et G ; f une application de E dans Fet g une application de F dans G.
La composée de g et f est une application de E dans G, notéeg ◦ f et définie par :
∀x ∈ E, g ◦ f (x) = g(f (x))
Ef
Fg
G
g ◦ f
x f (x) g(f (x))
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 44 / 79
Application
ApplicationsComposition
Soit trois ensembles E, F et G ; f une application de E dans Fet g une application de F dans G.
La composée de g et f est une application de E dans G, notéeg ◦ f et définie par :
∀x ∈ E, g ◦ f (x) = g(f (x))
Ef
Fg
G
g ◦ f
x f (x) g(f (x))
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 44 / 79
Application
ApplicationsIdentité
Soit E un ensemble ; on appelle identité de E l’application de Edans E, notée IdE, définie par :
∀x ∈ E, IdE(x) = x
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 45 / 79
Application
ApplicationsBijection réciproque
Si f est une bijection de l’ensemble E dans l’ensemble F, ilexiste une bijection g de l’ensemble F dans l’ensemble E quivérifie :
g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF
E F
g
f
g ◦ f f ◦ g
Notation : g = f−1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 46 / 79
Application
ApplicationsBijection réciproque
Si f est une bijection de l’ensemble E dans l’ensemble F, ilexiste une bijection g de l’ensemble F dans l’ensemble E quivérifie :
g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF
E F
g
f
g ◦ f f ◦ g
Notation : g = f−1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 46 / 79
Application
ApplicationsBijection réciproque
Si f est une bijection de l’ensemble E dans l’ensemble F, ilexiste une bijection g de l’ensemble F dans l’ensemble E quivérifie :
g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF
E F
g
f
g ◦ f f ◦ g
Notation : g = f−1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 46 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indices
Les mathématiques raisonnent et font des calculs sur ungrand nombre d’objets à la fois.
Pour nommer des objets que l’on peut compter, il estcommode d’utiliser des entiers naturels en indices.
Exemple : si on veut parler de 10 ensembles, on écrira :
Soit les ensembles :E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10
Ou bien :
Soit les ensembles : E1, E2, · · · ,E10
Ou encore :
Soit les ensembles : (Ei)1≤i≤10
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 47 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indices
Les mathématiques raisonnent et font des calculs sur ungrand nombre d’objets à la fois.
Pour nommer des objets que l’on peut compter, il estcommode d’utiliser des entiers naturels en indices.
Exemple : si on veut parler de 10 ensembles, on écrira :
Soit les ensembles :E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10
Ou bien :
Soit les ensembles : E1, E2, · · · ,E10
Ou encore :
Soit les ensembles : (Ei)1≤i≤10
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 47 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indices
Les mathématiques raisonnent et font des calculs sur ungrand nombre d’objets à la fois.
Pour nommer des objets que l’on peut compter, il estcommode d’utiliser des entiers naturels en indices.
Exemple : si on veut parler de 10 ensembles, on écrira :
Soit les ensembles :E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10
Ou bien :
Soit les ensembles : E1, E2, · · · ,E10
Ou encore :
Soit les ensembles : (Ei)1≤i≤10
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 47 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indices
Les mathématiques raisonnent et font des calculs sur ungrand nombre d’objets à la fois.
Pour nommer des objets que l’on peut compter, il estcommode d’utiliser des entiers naturels en indices.
Exemple : si on veut parler de 10 ensembles, on écrira :
Soit les ensembles :E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10
Ou bien :
Soit les ensembles : E1, E2, · · · ,E10
Ou encore :
Soit les ensembles : (Ei)1≤i≤10
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 47 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indicesLes symboles
∑
et∏
Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur somme, on peutécrire :
S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10
Ou bien :
S =10∑
i=1
ai
Ce qui se lit : "la somme de i = 1 à i = 10 des ai".
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 48 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indicesLes symboles
∑
et∏
Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur somme, on peutécrire :
S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10
Ou bien :
S =10∑
i=1
ai
Ce qui se lit : "la somme de i = 1 à i = 10 des ai".
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 48 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indicesLes symboles
∑
et∏
Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur produit, on peutécrire :
P = a1.a2.a3.a4.a5.a6.a7.a8.a9.a10
Ou bien :
P =10∏
i=1
ai
Ce qui se lit : "le produit de i = 1 à i = 10 des ai".
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 48 / 79
Dénombrements
Écrire avec des indicesLes symboles
∑
et∏
Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur produit, on peutécrire :
P = a1.a2.a3.a4.a5.a6.a7.a8.a9.a10
Ou bien :
P =10∏
i=1
ai
Ce qui se lit : "le produit de i = 1 à i = 10 des ai".
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 48 / 79
Dénombrements
n!
∀n ∈ N, on note n! — "factorielle n" — l’entier naturel définipar :
0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n
Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏
p=1
p
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 49 / 79
Dénombrements
n!
∀n ∈ N, on note n! — "factorielle n" — l’entier naturel définipar :
0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n
Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏
p=1
p
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 49 / 79
Dénombrements
n!
∀n ∈ N, on note n! — "factorielle n" — l’entier naturel définipar :
0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n
Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏
p=1
p
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 49 / 79
Dénombrements
Permutation
On appelle permutation d’un ensemble E, une bijection de Edans lui même.
Proposition : Il y a n! permutations d’un ensemble qui a néléments.
Cela revient à compter le nombre de façons différentes deranger un ensemble à n éléments.
Par exemple pour un ensemble à 3 éléments, E = {a1 ,a2 ,a3}
a1 a2 a3a1 a3 a2a2 a3 a1a2 a1 a3a3 a1 a2a3 a2 a1
3! = 6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 50 / 79
Dénombrements
Permutation
On appelle permutation d’un ensemble E, une bijection de Edans lui même.
Proposition : Il y a n! permutations d’un ensemble qui a néléments.
Cela revient à compter le nombre de façons différentes deranger un ensemble à n éléments.
Par exemple pour un ensemble à 3 éléments, E = {a1 ,a2 ,a3}
a1 a2 a3a1 a3 a2a2 a3 a1a2 a1 a3a3 a1 a2a3 a2 a1
3! = 6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 50 / 79
Dénombrements
Permutation
On appelle permutation d’un ensemble E, une bijection de Edans lui même.
Proposition : Il y a n! permutations d’un ensemble qui a néléments.
Cela revient à compter le nombre de façons différentes deranger un ensemble à n éléments.
Par exemple pour un ensemble à 3 éléments, E = {a1 ,a2 ,a3}
a1 a2 a3a1 a3 a2a2 a3 a1a2 a1 a3a3 a1 a2a3 a2 a1
3! = 6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 50 / 79
Dénombrements
Arrangement
Soit un ensemble E à n éléments ; un arrangement à péléments de E, est un choix ordonné et sans répétition de péléments.
Proposition : Le nombre d’arrangements à p éléments parmin est égal à :
Apn
= n.(n− 1).(n− 2). · · · .(n− p+ 1) =n!
(n− p)!
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 51 / 79
Dénombrements
Arrangement
Arrangement à 2 éléments de l’ensemble E = {a1 ,a2 ,a3 ,a4}
a1
a2 a3 a4
a2
a3 a4 a1
a3
a4 a1 a2
a4
a1 a2 a3
A24 = 4× 3 = 12
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 52 / 79
Dénombrements
Combinaison
Soit un ensemble à n éléments ; une combinaison de péléments de E est un choix non-ordonné et sans répétitionde p éléments.
C’est le nombre de parties à p éléments que l’on peutconstruire avec les éléments de E.
Proposition : Le nombre de combinaisons de p éléments prisparmi n est égal à :
�
n
p
�
=n!
(n− p)!p!
On note aussi :
�
n
p
�
= Cpn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 53 / 79
Dénombrements
Combinaison
Soit un ensemble à n éléments ; une combinaison de péléments de E est un choix non-ordonné et sans répétitionde p éléments.
C’est le nombre de parties à p éléments que l’on peutconstruire avec les éléments de E.
Proposition : Le nombre de combinaisons de p éléments prisparmi n est égal à :
�
n
p
�
=n!
(n− p)!p!
On note aussi :
�
n
p
�
= Cpn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 53 / 79
Dénombrements
Combinaison
Soit un ensemble à n éléments ; une combinaison de péléments de E est un choix non-ordonné et sans répétitionde p éléments.
C’est le nombre de parties à p éléments que l’on peutconstruire avec les éléments de E.
Proposition : Le nombre de combinaisons de p éléments prisparmi n est égal à :
�
n
p
�
=n!
(n− p)!p!
On note aussi :
�
n
p
�
= Cpn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 53 / 79
Dénombrements
Combinaison
Soit un ensemble à n éléments ; une combinaison de péléments de E est un choix non-ordonné et sans répétitionde p éléments.
C’est le nombre de parties à p éléments que l’on peutconstruire avec les éléments de E.
Proposition : Le nombre de combinaisons de p éléments prisparmi n est égal à :
�
n
p
�
=n!
(n− p)!p!
On note aussi :
�
n
p
�
= Cpn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 53 / 79
Dénombrements
CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison
É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)
É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}
Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments)
.
Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.
Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :
p!
�
n
p
�
= Apn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 54 / 79
Dénombrements
CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison
É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)
É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}
Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments)
.
Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.
Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :
p!
�
n
p
�
= Apn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 54 / 79
Dénombrements
CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison
É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)
É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}
Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments).
Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.
Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :
p!
�
n
p
�
= Apn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 54 / 79
Dénombrements
CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison
É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)
É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}
Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments).
Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.
Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :
p!
�
n
p
�
= Apn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 54 / 79
Dénombrements
CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison
É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)
É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}
Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments).
Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.
Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :
p!
�
n
p
�
= Apn
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 54 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier n.
É Si cette propriété est vraie pour un entier n0
É Si on suppose que P(k) est vraie pour chaque entier k telque : n0 ≤ k ≤ n, où n ≥ n0 (hypothèse de récurrence)
É Si on démontre que P(n+ 1) est encore vraie
Alors P(n) est vraie pour tout entier n ∈ N n ≥ n0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 55 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier n.
É Si cette propriété est vraie pour un entier n0
É Si on suppose que P(k) est vraie pour chaque entier k telque : n0 ≤ k ≤ n, où n ≥ n0 (hypothèse de récurrence)
É Si on démontre que P(n+ 1) est encore vraie
Alors P(n) est vraie pour tout entier n ∈ N n ≥ n0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 55 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier n.
É Si cette propriété est vraie pour un entier n0
É Si on suppose que P(k) est vraie pour chaque entier k telque : n0 ≤ k ≤ n, où n ≥ n0 (hypothèse de récurrence)
É Si on démontre que P(n+ 1) est encore vraie
Alors P(n) est vraie pour tout entier n ∈ N n ≥ n0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 55 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Exemple : la somme des n premiers entiers est égale à :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2P(n)
É P(1) :k=1∑
k=1
k =1× (1 + 1)
2= 1 est vraie
É Pour n ≥ 1, supposons P(n) :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2vraie
É Calculons P(n+ 1) :
k=n+1∑
k=1
k = n+ 1 +k=n∑
k=1
k = n+ 1 +n(n+ 1)
2
=2(n+ 1) + n(n+ 1)
2=
(n+ 2)(n+ 1)
2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 56 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Exemple : la somme des n premiers entiers est égale à :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2P(n)
É P(1) :k=1∑
k=1
k =1× (1 + 1)
2= 1 est vraie
É Pour n ≥ 1, supposons P(n) :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2vraie
É Calculons P(n+ 1) :
k=n+1∑
k=1
k = n+ 1 +k=n∑
k=1
k = n+ 1 +n(n+ 1)
2
=2(n+ 1) + n(n+ 1)
2=
(n+ 2)(n+ 1)
2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 56 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Exemple : la somme des n premiers entiers est égale à :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2P(n)
É P(1) :k=1∑
k=1
k =1× (1 + 1)
2= 1 est vraie
É Pour n ≥ 1, supposons P(n) :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2vraie
É Calculons P(n+ 1) :
k=n+1∑
k=1
k = n+ 1 +k=n∑
k=1
k = n+ 1 +n(n+ 1)
2
=2(n+ 1) + n(n+ 1)
2=
(n+ 2)(n+ 1)
2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 56 / 79
Dénombrements
Raisonnement par récurrence
Exemple : la somme des n premiers entiers est égale à :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2P(n)
É P(1) :k=1∑
k=1
k =1× (1 + 1)
2= 1 est vraie
É Pour n ≥ 1, supposons P(n) :k=n∑
k=1
k =n(n+ 1)
2vraie
É Calculons P(n+ 1) :
k=n+1∑
k=1
k = n+ 1 +k=n∑
k=1
k = n+ 1 +n(n+ 1)
2
=2(n+ 1) + n(n+ 1)
2=
(n+ 2)(n+ 1)
2
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 56 / 79
Dénombrements
CombinaisonPropriétés du nombre de combinaisons
Soit n ≥ p
É
�
n
0
�
=
�
n
n
�
É
�
n
p
�
=
�
n
n− p
�
É
�
n
p
�
=
�
n− 1
p− 1
�
+
�
n− 1
p
�
∀p 1 ≤ p ≤ n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 57 / 79
Dénombrements
CombinaisonPropriétés du nombre de combinaisons
Soit n ≥ p
É
�
n
0
�
=
�
n
n
�
É
�
n
p
�
=
�
n
n− p
�
É
�
n
p
�
=
�
n− 1
p− 1
�
+
�
n− 1
p
�
∀p 1 ≤ p ≤ n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 57 / 79
Dénombrements
CombinaisonPropriétés du nombre de combinaisons
Soit n ≥ p
É
�
n
0
�
=
�
n
n
�
É
�
n
p
�
=
�
n
n− p
�
É
�
n
p
�
=
�
n− 1
p− 1
�
+
�
n− 1
p
�
∀p 1 ≤ p ≤ n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 57 / 79
Dénombrements
CombinaisonTriangle de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n− 1 1�n−1
1
� �n−12
�
· · ·�n−1p−1
� �n−1p
�
· · · 1
n 1�n
1
� �n2
�
· · ·�np
�
· · ·� nn−1
�
1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 58 / 79
Dénombrements
CombinaisonTriangle de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n− 1 1�n−1
1
� �n−12
�
· · ·�n−1p−1
� �n−1p
�
· · · 1
n 1�n
1
� �n2
�
· · ·�np
�
· · ·� nn−1
�
1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 58 / 79
Dénombrements
CombinaisonTriangle de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n− 1 1�n−1
1
� �n−12
�
· · ·�n−1p−1
� �n−1p
�
· · · 1
n 1�n
1
� �n2
�
· · ·�np
�
· · ·� nn−1
�
1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 58 / 79
Dénombrements
CombinaisonTriangle de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n− 1 1�n−1
1
� �n−12
�
· · ·�n−1p−1
� �n−1p
�
· · · 1
n 1�n
1
� �n2
�
· · ·�np
�
· · ·� nn−1
�
1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 58 / 79
Dénombrements
CombinaisonLe binôme de Newton
Pour tous nombres (entiers,..., réels, complexes) a et b et toutnombre entier n 6= 0 :
(a+ b)n =
p=n∑
p=0
�
n
p
�
ap .bn−p
=
p=n∑
p=0
�
n
p
�
an−p .bp
(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2
(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3
(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 59 / 79
Dénombrements
CombinaisonLe binôme de Newton
Pour tous nombres (entiers,..., réels, complexes) a et b et toutnombre entier n 6= 0 :
(a+ b)n =
p=n∑
p=0
�
n
p
�
ap .bn−p =
p=n∑
p=0
�
n
p
�
an−p .bp
(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2
(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3
(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 59 / 79
Dénombrements
CombinaisonLe binôme de Newton
Pour tous nombres (entiers,..., réels, complexes) a et b et toutnombre entier n 6= 0 :
(a+ b)n =
p=n∑
p=0
�
n
p
�
ap .bn−p =
p=n∑
p=0
�
n
p
�
an−p .bp
(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2
(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3
(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 59 / 79
Deuxième partie II
Les nombres réels
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 60 / 79
1 Les ensembles de nombres
2 L’ensemble des nombres réelsOrdre sur les réelsValeur absolueBornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 61 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :
É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}
É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}
É Les nombres rationnels :
Q = {p
q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}
É Les nombres réels :R
É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 62 / 79
Les ensembles de nombres
π
π =périmètre du cerclediamètre du cercle
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 63 / 79
Les ensembles de nombres
π
π =périmètre de l’hexagone
diamètre du cercle = 3
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 63 / 79
Les ensembles de nombres
π
π =périmètre du dodécagone
diamètre du cercle = 3,105828541
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 63 / 79
Les ensembles de nombres
π
π =périmètre pour 24 côtés
diamètre du cercle = 3,132628613
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 63 / 79
Les ensembles de nombres
π
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 -169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 -628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 -844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 -701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 -975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 -145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 -249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 -829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 -466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 -953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 -962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 -833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 -702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 -818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 . . .
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 64 / 79
L’ensemble des nombres réels
Les nombres réels
On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possèdeles propriétés suivantes :
É R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ RÉ R possède une addition et une multiplication qui
prolongent l’addition et la multiplication définies sur QÉ R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur QÉ R possède la propriété d’Archimède :
Si A ∈ R, A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 65 / 79
L’ensemble des nombres réels
Les nombres réels
On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possèdeles propriétés suivantes :
É R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ RÉ R possède une addition et une multiplication qui
prolongent l’addition et la multiplication définies sur QÉ R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur QÉ R possède la propriété d’Archimède :
Si A ∈ R, A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 65 / 79
L’ensemble des nombres réels
Les nombres réels
On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possèdeles propriétés suivantes :
É R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ RÉ R possède une addition et une multiplication qui
prolongent l’addition et la multiplication définies sur QÉ R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur QÉ R possède la propriété d’Archimède :
Si A ∈ R, A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 65 / 79
L’ensemble des nombres réels
Les nombres réels
On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possèdeles propriétés suivantes :
É R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ RÉ R possède une addition et une multiplication qui
prolongent l’addition et la multiplication définies sur QÉ R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur QÉ R possède la propriété d’Archimède :
Si A ∈ R, A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 65 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
L’ordre sur R
Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul
a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0
Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.
Ce n’est pas une relation d’ordre
Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b
2. a 6= b
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 66 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
L’ordre sur R
Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul
a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0
Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.
Ce n’est pas une relation d’ordre
Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b
2. a 6= b
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 66 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
L’ordre sur R
Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul
a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0
Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.
Ce n’est pas une relation d’ordre
Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b
2. a 6= b
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 66 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
L’ordre sur R
Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul
a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0
Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.
Ce n’est pas une relation d’ordre
Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b
2. a 6= b
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 66 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
L’ordre sur R
Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul
a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0
Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.
Ce n’est pas une relation d’ordre
Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b
2. a 6= b
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 66 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Propriétés de l’ordre sur R
1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c
É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′
É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a
2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 67 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Propriétés de l’ordre sur R
1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c
É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′
É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a
2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 67 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Propriétés de l’ordre sur R
1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c
É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′
É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a
2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 67 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Propriétés de l’ordre sur R
1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c
É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′
É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a
2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 67 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Propriétés de l’ordre sur R
1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c
É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′
É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a
2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 67 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
L’ordre sur R permet de définir des sous-ensemblesremarquables : les intervalles.
Soit a,b ∈ R, on définit quatre types d’intervalles :
É [a ,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalle fermé
É ]a ,b[= {x ∈ R | a < x < b} intervalle ouvert
É [a ,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalle semi-ouvert à droite
É ]a ,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalle semi-ouvert à gauche
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 68 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
L’ordre sur R permet de définir des sous-ensemblesremarquables : les intervalles.
Soit a,b ∈ R, on définit quatre types d’intervalles :
É [a ,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalle fermé
É ]a ,b[= {x ∈ R | a < x < b} intervalle ouvert
É [a ,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalle semi-ouvert à droite
É ]a ,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalle semi-ouvert à gauche
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 68 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
L’ordre sur R permet de définir des sous-ensemblesremarquables : les intervalles.
Soit a,b ∈ R, on définit quatre types d’intervalles :
É [a ,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalle fermé
É ]a ,b[= {x ∈ R | a < x < b} intervalle ouvert
É [a ,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalle semi-ouvert à droite
É ]a ,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalle semi-ouvert à gauche
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 68 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
L’ordre sur R permet de définir des sous-ensemblesremarquables : les intervalles.
Soit a,b ∈ R, on définit quatre types d’intervalles :
É [a ,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalle fermé
É ]a ,b[= {x ∈ R | a < x < b} intervalle ouvert
É [a ,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalle semi-ouvert à droite
É ]a ,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalle semi-ouvert à gauche
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 68 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
On note :
É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}
É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}
É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}
É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 69 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
On note :
É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}
É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}
É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}
É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 69 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
On note :
É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}
É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}
É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}
É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 69 / 79
L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels
Intervalles
On note :
É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}
É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}
É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}
É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 69 / 79
L’ensemble des nombres réels Valeur absolue
Valeur absolue
min et max
Soit a et b deux nombres réels, on note min(a ,b) le plus petitdes deux nombres et max(a ,b), le plus grand.
Si a ≤ b min(a ,b) = a max(a ,b) = b
Soit x ∈ R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :
|x| = max(x ,−x) =
�
x si x ≥ 0−x si x < 0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 70 / 79
L’ensemble des nombres réels Valeur absolue
Valeur absolue
min et max
Soit a et b deux nombres réels, on note min(a ,b) le plus petitdes deux nombres et max(a ,b), le plus grand.
Si a ≤ b min(a ,b) = a max(a ,b) = b
Soit x ∈ R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :
|x| = max(x ,−x) =
�
x si x ≥ 0−x si x < 0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 70 / 79
L’ensemble des nombres réels Valeur absolue
Valeur absolue
min et max
Soit a et b deux nombres réels, on note min(a ,b) le plus petitdes deux nombres et max(a ,b), le plus grand.
Si a ≤ b min(a ,b) = a max(a ,b) = b
Soit x ∈ R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :
|x| = max(x ,−x) =
�
x si x ≥ 0−x si x < 0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 70 / 79
L’ensemble des nombres réels Valeur absolue
Valeur absolue
min et max
Soit a et b deux nombres réels, on note min(a ,b) le plus petitdes deux nombres et max(a ,b), le plus grand.
Si a ≤ b min(a ,b) = a max(a ,b) = b
Soit x ∈ R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :
|x| = max(x ,−x) =
�
x si x ≥ 0−x si x < 0
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 70 / 79
L’ensemble des nombres réels Valeur absolue
Propriétés de la valeur absolue
Proposition : Pour tous nombres réels x, y et a ≥ 0
1. |x| ≥ 0, −|x| ≤ x ≤ |x|, | − x| = |x|, (|x| = 0⇔ x = 0)
2.p
x2 = |x|
3. |x.y| = |x|.|y| et, si y 6= 0,�
�
x
y
�
� =|x||y|
4. |x± y| ≤ |x|+ |y| (inégalité triangulaire)
5.�
�|x| − |y|�
� ≤ |x− y|
6. |x− y| ≤ a ⇔ y− a ≤ x ≤ y+ a
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 71 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Majorants et minorants
Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :
∀x ∈ A, x ≤M
On dit que m ∈ R est un minorant de A si :
∀x ∈ A, m ≤ x
Soit A = [−1 ,2]
É 2 est un majorant de A ; mais aussip
5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2
É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout
b, b ≤ −1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 72 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.
Notation : M = maxA
Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.
Notation : m = minA
Soit A = [−1 ,2], −1 = minA, 2 = maxA.
Mais : −32 est un minorant de A et n’est pas un minimum de
A ;p
5 est un majorant de A et n’est pas un maximum de A.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 73 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.
Notation : M = maxA
Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.
Notation : m = minA
Soit A = [−1 ,2], −1 = minA, 2 = maxA.
Mais : −32 est un minorant de A et n’est pas un minimum de
A ;p
5 est un majorant de A et n’est pas un maximum de A.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 73 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.
Notation : M = maxA
Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.
Notation : m = minA
Soit A = [−1 ,2], −1 = minA, 2 = maxA.
Mais : −32 est un minorant de A et n’est pas un minimum de
A ;p
5 est un majorant de A et n’est pas un maximum de A.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 73 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.
Notation : M = maxA
Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.
Notation : m = minA
Soit A = [−1 ,2], −1 = minA, 2 = maxA.
Mais : −32 est un minorant de A et n’est pas un minimum de
A ;p
5 est un majorant de A et n’est pas un maximum de A.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 73 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.
Notation : M = maxA
Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.
Notation : m = minA
Soit A = [−1 ,2], −1 = minA, 2 = maxA.
Mais : −32 est un minorant de A et n’est pas un minimum de
A ;p
5 est un majorant de A et n’est pas un maximum de A.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 73 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Maximum et minimum
Proposition : Soit A ⊂ R ; quand ils existent, maxA et minAsont uniques.
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 74 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Soit A =]− 1 ,2[
É 2 est un majorant de A
É 2 6∈ AÉ Donc 2 n’est pas le maximum de A
É A n’a pas de maximum
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 75 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Soit A =]− 1 ,2[
É 2 est un majorant de A
É 2 6∈ AÉ Donc 2 n’est pas le maximum de A
É A n’a pas de maximum
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 75 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Soit A =]− 1 ,2[
É 2 est un majorant de A
É 2 6∈ AÉ Donc 2 n’est pas le maximum de A
É A n’a pas de maximum
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 75 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Soit A =]− 1 ,2[
É 2 est un majorant de A
É 2 6∈ AÉ Donc 2 n’est pas le maximum de A
É A n’a pas de maximum
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 75 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
On appelle borne supérieure d’une partie A ⊂ R, le plus petitdes majorants de A.
Notation : M = supA
1. M est un majorant de A, donc : ∀x ∈ A, x ≤M
2. M est le plus petit des majorants de A, donc :∀ϵ > 0, ∃y ∈ A : M− ϵ < y ≤M
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 76 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
On appelle borne supérieure d’une partie A ⊂ R, le plus petitdes majorants de A.
Notation : M = supA
1. M est un majorant de A, donc : ∀x ∈ A, x ≤M
2. M est le plus petit des majorants de A, donc :∀ϵ > 0, ∃y ∈ A : M− ϵ < y ≤M
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 76 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
On appelle borne supérieure d’une partie A ⊂ R, le plus petitdes majorants de A.
Notation : M = supA
1. M est un majorant de A, donc : ∀x ∈ A, x ≤M
2. M est le plus petit des majorants de A, donc :∀ϵ > 0, ∃y ∈ A : M− ϵ < y ≤M
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 76 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
On appelle borne supérieure d’une partie A ⊂ R, le plus petitdes majorants de A.
Notation : M = supA
1. M est un majorant de A, donc : ∀x ∈ A, x ≤M
2. M est le plus petit des majorants de A, donc :∀ϵ > 0, ∃y ∈ A : M− ϵ < y ≤M
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 76 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
On appelle borne inférieure d’une partie A ⊂ R, le plus granddes minorants de A.
Notation : m = infA
1. m est un minorant de A, donc : ∀x ∈ A, m ≤ x
2. m est le plus grand des minorants de A, donc :∀ϵ > 0, ∃y ∈ A : m ≤ y <m+ ϵ
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 77 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
A =]− 1 ,2[
supA = 2
1. ∀x ∈ A, x ≤ 22. ∀ϵ > 0,∃y ∈ A : 2− ϵ < y ≤ 2
y = 2−ϵ
2par exemple... :
2− ϵ < 2−ϵ
2< 2
infA = −1
...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 78 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
A =]− 1 ,2[
supA = 2
1. ∀x ∈ A, x ≤ 22. ∀ϵ > 0,∃y ∈ A : 2− ϵ < y ≤ 2
y = 2−ϵ
2par exemple... :
2− ϵ < 2−ϵ
2< 2
infA = −1
...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 78 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
A =]− 1 ,2[
supA = 2
1. ∀x ∈ A, x ≤ 22. ∀ϵ > 0,∃y ∈ A : 2− ϵ < y ≤ 2
y = 2−ϵ
2par exemple... :
2− ϵ < 2−ϵ
2< 2
infA = −1
...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 78 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
A =]− 1 ,2[
supA = 2
1. ∀x ∈ A, x ≤ 22. ∀ϵ > 0,∃y ∈ A : 2− ϵ < y ≤ 2
y = 2−ϵ
2par exemple... :
2− ϵ < 2−ϵ
2< 2
infA = −1
...
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 78 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Proposition :1. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne
supérieure2. Toute partie non vide et minorée de R admet une borne
inférieure
É R n’est ni majoré, ni minoré et n’a donc ni bornesupérieure, ni borne inférieure
É R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} est minoré et 0 est sa borneinférieure ; n’a pas de borne supérieure
É R− = {x ∈ R | x ≤ 0} est majoré et 0 est sa bornesupérieure ; n’a pas de borne inférieure
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 79 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Proposition :1. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne
supérieure2. Toute partie non vide et minorée de R admet une borne
inférieure
É R n’est ni majoré, ni minoré et n’a donc ni bornesupérieure, ni borne inférieure
É R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} est minoré et 0 est sa borneinférieure ; n’a pas de borne supérieure
É R− = {x ∈ R | x ≤ 0} est majoré et 0 est sa bornesupérieure ; n’a pas de borne inférieure
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 79 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Proposition :1. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne
supérieure2. Toute partie non vide et minorée de R admet une borne
inférieure
É R n’est ni majoré, ni minoré et n’a donc ni bornesupérieure, ni borne inférieure
É R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} est minoré et 0 est sa borneinférieure ; n’a pas de borne supérieure
É R− = {x ∈ R | x ≤ 0} est majoré et 0 est sa bornesupérieure ; n’a pas de borne inférieure
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 79 / 79
L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Bornes supérieures et inférieures
Proposition :1. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne
supérieure2. Toute partie non vide et minorée de R admet une borne
inférieure
É R n’est ni majoré, ni minoré et n’a donc ni bornesupérieure, ni borne inférieure
É R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} est minoré et 0 est sa borneinférieure ; n’a pas de borne supérieure
É R− = {x ∈ R | x ≤ 0} est majoré et 0 est sa bornesupérieure ; n’a pas de borne inférieure
Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 79 / 79