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L2 É CONOMIE Année 2019-2020 MODULE 2-O UTILS Q UANTITATIFS M ATHÉMATIQUES POUR L ’É CONOMISTE 4 Polycopié de cours Julie Scholler

MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

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L2 ÉCONOMIE Année 2019-2020

MODULE 2 - OUTILS QUANTITATIFS

MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4

Polycopié de cours

Julie Scholler

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Page 3: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

Table des matières

chapapp 0 - Suites numériques 30.1 Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Nature d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.3 Propriétés de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.4 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

chapapp 1 - Suites récurrentes d’ordre un 211.1 Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et second membre constant 211.2 Équations aux différences finies du premier ordre non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

chapapp 2 - Suites récurrentes linéaires d’ordre deux 332.1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre . . . . . . . 332.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre . . . . . . . 352.3 Étude complète d’une relation de récurrence linéaire à coefficients constants d’ordre 2 . . . . 37

chapapp 3 - Équations différentielles du premier ordre 393.1 Équations « primitives » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Équations différentielles du premier ordre non linéaires autonomes . . . . . . . . . . . . . . . 48

chapapp 4 - Équa. diff. linéaires du second ordre à coefficients constants 534.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Cas d’un second membre constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6 Méthode de résolution complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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Page 4: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

TABLE DES MATIÈRES

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Chapitre 0

Suites numériques

1. Généralités sur les suites réelles

1.1. Définition des suites réelles

Définition. Suite réelle, terme général d’une suite

Une suite réelle u = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn0,+∞J avecn0 ∈ N)

u : N −→ R, n 7−→ un.

un est appelé le terme général de la suite. Son indice ou rang est n.

On peut aussi définir des suites indexées sur l’ensemble Jn0,+∞J des entiers supérieurs ou égaux à un entiern0.,Une telle suite est notée (un)n>n0 . En pratique, on commence souvent à 0 ou à 1.Pour ne pas alourdir les énoncés, nous considérons dans ce cours des suites définies sur N, si rien de particuliern’est précisé. La généralisation aux autres suites est triviale.

Remarque.Il ne faut jamais oublier les parenthèses qui permettent de faire la différence entre une suite (un)n∈N et sonterme général un qui est un réel.

Remarque.Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite : pour tout entier positif n, on a un = f(n) ;

• de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a un+1 = f(un) ou un+k = f(un+k−1, un+k−2, . . . , un).

Exemples de suites définies explicitement :

• la suite de terme général : un = 3n2 + 5 ;

• la suite de terme général : un ={

1 si n est pair,0 si n est impair.

Exemple de suites définies par récurrence :

• la suite (un)n∈N définie par u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 =√un ;

• la suite (un)n∈N définie par un = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = u0 + u1 + · · ·+ un.

3

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

1.2. Variations d’une suite

Définition. Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est• croissante (resp. strictement croissante) si ∀n ∈ N, un+1 > un (resp. un+1 > un) ;• décroissante (resp. strictement décroissante) si ∀n ∈ N, un+1 6 un (resp. un+1 < un) ;• monotone si elle est soit croissante soit décroissante ;• strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

On définit de manière évidente la notion de suite croissante ou décroissante à partir d’un certain rang.Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.

Méthode. Étudier les variations d’une suite

Pour montrer qu’une suite est croissante (respectivement décroissante), on peut utiliser l’une desméthodes suivantes.• On montre que pour tout entier naturel n, on a un+1 − un > 0 (resp. un+1 − un 6 0).• Si la suite est à termes strictement positifs, on montre que pour tout entier naturel n, on aun+1un

> 1 (resp. un+1un

6 1 ).

Pour que le sens de variation soit stricte, il faut que l’inégalité soit stricte.

Exemple.Étudions le sens de variation de la suite (un)n∈N définie pour tout entier naturel n par n

n

n! .On donne deux méthodes.

• Soit n dans N?. On prend n > 0 pour de pas se retrouver par une division par 0.

un+1un

=(n+1)n+1

(n+1)!nn

n!= (n+ 1)n+1n!

nn(n+ 1)! = (n+ 1)(n+ 1)nn!nn(n+ 1)! = (n+ 1)

(n+ 1n

)n 1n+ 1 =

(n+ 1n

)n> 1

car n+ 1n

> 1, ce qui prouve que la suite est strictement croissante à partir de l’indice 1.De plus, u0 = 1 = u1 donc la suite est croissante.

• Soit n dans N.

un+1 − un = (n+ 1)n+1

(n+ 1)! −nn

n! = (n+ 1)n(n+ 1)n!(n+ 1) − nn

n! = (n+ 1)n

n! − nn

n! = (n+ 1)n − nn

n! > 0,

et un+1 − un > 0 si n > 0. ce qui prouve que la suite est croissante et strictement croissante à partir del’indice 1.

4

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Définition. Suites majorées, minorées, bornées

• On dit qu’une suite (un)n∈N est majorée si

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un 6M.

• On dit qu’une suite (un)n∈N est minorée si

∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un > m.

• On dit qu’une suite (un)n∈N est bornée si elle est minorée et majorée :

∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 un 6M.

ou de manière équivalente∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |un| 6M.

Exemple.Montrons que la suite (un)n∈N définie pour tout entier naturel n par un = (−1)n

n+ 1 est bornée.

Pour tout n ∈ N, on a n+ 1 > 1 donc 1n+ 1 6 1 puisque la fonction x 7→ 1

xest décroissante sur [1,+∞[.

Par ailleurs, on a |(−1)n| = 1 donc finalement, |un| 6 1.Ainsi, (un)n∈N est bornée.

2. Nature d’une suite

2.1. Suite convergente

Définition informelle :Une suite (un)n∈N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment(c’est-à-dire pour n assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

Définition. Suite convergente

On dit qu’une suite (un)n∈N converge vers un réel `, et on note limn→+∞

un = ` ou un −→n→+∞

`, si etseulement si

∀ε ∈ R?+, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, |un − `| < ε.

ce qui revient à dire∀ε ∈ R?+, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un ∈ ]`− ε, `+ ε[.

Ainsi, une suite converge vers ` si, quelque soit ε (aussi petitque l’on veut), on peut trouver un rang n0 (dépendant de ε) àpartir duquel tous les termes de la suite sont dans l’intervalle]`− ε, `+ ε[.

Si la suite converge, alors à partir du rang n0, tous les termessont dans la bande de largeur 2ε.Si on diminue ε, alors le rang à partir duquel les termes sontdans la bande sera supérieur ou égal à n0.

``+ ε

`− ε

n0

++ + + + + +

+

+ + + + + ++

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Proposition. Caractère borné des suites convergentes

Toute suite convergente est bornée.

Remarque.La réciproque est fausse : il existe des suites bornées qui ne convergent pas.

Exemple.La suite (un)n∈N définie par

∀n ∈ N, un := (−1)n

est bornée par −1 et 1 mais ne converge pas.

Proposition. Unicité de la limite

Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

2.2. Suite divergente

Définition. Suite divergente

On dit qu’une suite (un)n∈N• a pour limite +∞, et on note lim

n→+∞un = +∞ ou un −−−−−→

n→+∞+∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.

• a pour limite −∞, et on note limn→+∞

un = −∞ ou un −−−−−→n→+∞

−∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un < A.

• est divergente si et seulement si elle admet pour limite +∞ ou −∞ ou n’admet pas de limite.

Ainsi, une suite diverge vers +∞ si, quelque soit le réel A,il existe un rang n0 (dépendant de A) à partir duquel lestermes de la suite sont supérieurs à A.Si on augmente A, alors le rang à partir duquel les termesseront supérieurs à A sera supérieur ou égal à n0.

A

n0+

++++++++++++++

Remarque.Il ne faut pas confondre la notion de suite divergente et de suite n’admettant pas de limite.Il existe des suites divergentes qui admettent une limite, auquel cas la limite est infinie.

Proposition.

• Toute suite qui tend vers +∞ est minorée.• Toute suite qui tend vers −∞ est majorée.

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

2.3. Généralités

Définition. Nature d’une suite

On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.

3. Propriétés de limites

3.1. Opérations sur les limites

Proposition. Limite de la somme de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles. Soient ` et `′ deux réels.• Si (un)n∈N converge vers ` et (vn)n∈N converge vers `′, alors (un + vn)n∈N converge vers `+ `′.• Si (un)n∈N est minorée et (vn)n∈N tend vers +∞, alors la suite (un + vn)n∈N tend vers +∞.• Si (un)n∈N est majorée et (vn)n∈N tend vers −∞, alors la suite (un + vn)n∈N tend vers −∞.

En particulier, on a les résultats suivants.• Si (un)n∈N tend vers un réel ou +∞ et (vn)n∈N tend vers +∞, alors la suite (un + vn)n∈N tendvers +∞.• Si (un)n∈N tend vers un réel ou −∞ et (vn)n∈N tend vers −∞, alors la suite (un + vn)n∈N tendvers −∞.

Remarque.Si (un)n∈N tend vers +∞ et (vn)n∈N tend vers −∞, alors on ne peut rien dire a priori.C’est une forme indéterminée : il n’existe pas de théorème général mais la limite peut exister.

Exemple.• Si pour tout entier naturel n, un = n et vn = −n+ `, où ` désigne un réel, alors un + vn −−−−−→

n→+∞`.

• Si pour tout entier naturel n, un = n2 et vn = −n, alors un + vn −−−−−→n→+∞

+∞.

• Si pour tout entier naturel n, un = n et vn = −n2, alors un + vn −−−−−→n→+∞

−∞.

• Si pour tout entier naturel n, un = n et vn = −n+(−1)n, alors la suite de terme général un+vn = (−1)nn’admet pas de limite.

Proposition. Limite du produit d’une suite par un scalaire

Soit (un)n∈N une suite réelle. Soit λ un réel non nul.• Si la suite (un)n∈N converge vers le réel `, alors la suite (λun)n∈N converge vers λ`.

• Si la suite (un)n∈N tend vers +∞, alors la suite (λun)n∈N tend vers{

+∞ si λ > 0−∞ si λ < 0

.

• Si la suite (un)n∈N tend vers −∞, alors la suite (λun)n∈N tend vers{−∞ si λ > 0+∞ si λ < 0

.

• Si la suite (un)n∈N n’admet pas de limite, alors la suite (λun)n∈N n’admet pas de limite.

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Page 10: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Remarque.Pour toute suite (un)n∈N, si λ = 0, alors la suite (λun)n∈N est nulle donc admet pour limite 0.

Proposition. Somme d’une suite convergente et d’une suite divergente

Soient (un)n∈N une suite convergente et (vn)n∈N une suite divergente. Alors la suite (un + vn)n∈N estdivergente.

Remarque.On ne peut rien dire a priori sur la somme de deux suites divergentes.

Proposition. Limite d’un produit de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles. Soient ` et `′ deux réels.1. Si (un)n∈N converge vers 0 et (vn)n∈N est bornée, alors (unvn)n∈N converge vers 0.2. Si (un)n∈N converge vers ` et (vn)n∈N converge vers `′, alors (unvn)n∈N converge vers ``′.3. Si (un)n∈N tend vers +∞ et si, à partir d’un certain rang,

• (vn)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (unvn)n∈N tend vers +∞.• (vn)n∈N est majorée par une constante strictement négative, alors (unvn)n∈N tend vers −∞.

4. Si (un)n∈N tend vers −∞ et si, à partir d’un certain rang,• (vn)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (unvn)n∈N tend vers −∞.• (vn)n∈N est majorée par une constante strictement négative , alors (unvn)n∈N tend vers +∞.

Exemple.Montrons que dans le cas de la forme indéterminée « 0×+∞ », tous les cas peuvent se présenter.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = `

n, où ` désigne un réel, et vn = n, alors unvn −−−−−→

n→+∞`.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = 1n2 et vn = n, alors unvn −−−−−→

n→+∞0+.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = − 1n2 et vn = n, alors unvn −−−−−→

n→+∞0−.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = 1n

et vn = n2, alors unvn −−−−−→n→+∞

+∞.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = − 1n

et vn = n2, alors unvn −−−−−→n→+∞

−∞.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = (−1)n

net vn = n, alors unvn = (−1)n n’admet pas de limite.

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Page 11: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Proposition. Limite de l’inverse

Soit (un)n∈N une suite réelle et soit ` un réel non nul.

1. Si la suite (un)n∈N converge vers le réel non nul `, alors la suite( 1un

)converge vers le réel 1

`.

2. Si la suite (un)n∈N tend vers +∞ ou −∞, alors la suite( 1un

)converge vers 0.

3. Si la suite (un)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement positifs (respectivementnégatifs) à partir d’un certain rang, alors la suite

( 1un

)tend vers +∞ (respectivement −∞).

Exemple.Dans le cas de la forme indéterminée « 1

0 », les différentes possibilités sont +∞, −∞ ou pas de limite.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = 1n, alors lim

n→+∞

1un

= limn→+∞

n = +∞.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = − 1n, alors lim

n→+∞

1un

= limn→+∞

−n = −∞.

• Si pour tout entier naturel n non nul, un = (−1)n

n+ 1 , alors la suite de terme général 1un

= n+ 1(−1)n n’admet

pas de limite.

Remarque.On peut retenir

« 10+ = +∞ », « 1

0− = −∞ » et « 1∞

= 0 »,

mais ces abréviations ne doivent pas être utilisées dans la rédaction d’une solution.

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Page 12: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Proposition. Limite du quotient de deux suites

Soient (un)n∈N une suite réelle et (vn)n∈N une suite réelle qui ne s’annule pas à partir d’un certainrang.Soient ` un réel et `′ un réel non nul.

1. Si (un)n∈N converge vers ` et (vn)n∈N converge vers `′, alors la suite(unvn

)n∈N

converge vers `

`′.

2. (a) Si (un)n∈N converge vers ` et (vn)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement

positifs à partir d’un certain rang, alors la suite(unvn

)n∈N

converge vers{

+∞ si ` > 0−∞ si ` < 0

.

(b) Si (un)n∈N converge vers ` et (vn)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement

négatifs à partir d’un certain rang, alors la suite(unvn

)n∈N

converge vers{−∞ si ` > 0+∞ si ` < 0

.

3. (a) Si (un)n∈N tend vers ±∞ et (vn)n∈N converge vers `′, alors(unvn

)n∈N

converge vers{±∞ si `′ > 0∓∞ si `′ < 0

.

(b) Si (un)n∈N tend vers ±∞ et (vn)n∈N est{minorée par une constante strictement positivemajorée par une constante strictement négative

,

alors la suite(unvn

)n∈N

converge vers{±∞∓∞

.

Remarque.Les formes indéterminées sont « ∞

∞», « 0

0 » et « ∞0 » (pour le dernier, si le quotient n’est pas de signeconstant à partir d’un certain rang, alors il n’y a pas de limite).En revanche, « ∞0+ » et « ∞0− » ne sont pas des formes indéterminées.

Exemple.Dans le cas de la forme indéterminée « +∞

+∞ », tous les cas non négatifs peuvent se présenter.

• Si pour tout entier naturel n, un = `n, où ` est dans R?+, et vn = n, alors unvn−−−−−→n→+∞

`.

• Si pour tout entier naturel n, un = n et vn = n2, alors unvn−−−−−→n→+∞

0+.

• Si pour tout entier naturel n, un = n2 et vn = n, alors unvn−−−−−→n→+∞

+∞.

• Si pour tout entier naturel n, un = n (2 + (−1)n) et vn = n, alors la suite de terme général unvn

= 2+(−1)n

n’a pas de limite.

3.2. Limites de suites et fonctions

Proposition. Limite d’une fonction d’une suite

Soit (un)n∈N une suite qui tend vers ` (un réel ou +∞ ou −∞).Soit f une fonction telle que f(x) −→

x→`λ (un réel ou +∞ ou −∞).

Alors la suite (f(un))n∈N tend vers λ. En particulier, si f est une fonction continue au point `, alorsf(un) −→

n→+∞f(`).

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Page 13: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Exemple.• Soit (un)n∈N une suite qui tend vers ` (un réel ou +∞ ou −∞).

Alors la suite (eun)n∈N tend vers

+∞ si ` = +∞e` si ` ∈ R0 si ` = −∞

• Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers ` (un réel positif ou +∞).

Alors la suite (ln(un))n∈N tend vers

+∞ si ` = +∞ln(`) si ` ∈ R?+−∞ si ` = 0

• – Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers ` (un réel positif ou +∞).

Pour tout réel α dans R?+, la suite (uαn)n∈N tend vers

+∞ si ` = +∞`α si ` ∈ R?+0 si ` = 0

– Soit (un)n∈N une suite strictement positive qui tend vers ` (un réel positif ou +∞).

Pour tout réel α dans R?−, la suite (uαn)n∈N tend vers

0 si ` = +∞`α si ` ∈ R?++∞ si ` = 0

3.3. Théorèmes d’encadrement

Théorème.

Soient (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N trois suites réelles.• Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle ` et si

∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn.

alors la suite (vn)n∈N converge et admet pour limite `.• Si la suite (un)n∈N diverge vers +∞ et si

∀n ∈ N, un 6 vn,

alors la suite (vn)n∈N diverge vers +∞.• Si la suite (vn)n∈N diverge vers −∞ et si

∀n ∈ N, un 6 vn,

alors la suite (un)n∈N diverge vers −∞.

Exemple.Pour tout entier n dans N?, on a −1 6 (−1)n 6 1 donc −1

n6

(−1)n

n6

1n.

Or les suites( 1n

)n∈N?

et(−1n

)n∈N?

convergent vers 0.

Ainsi, d’après le théorème de convergence par encadrement, la suite((−1)n

n

)n∈N?

converge, et sa limite est0.Pour tout entier naturel n, n− 1 6 n+ (−1)n.Or la suite (n− 1)n∈N tend vers +∞.D’après le théorème de divergence par minoration, on en déduit que la suite (n+ (−1)n)n∈N tend vers +∞.

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

3.4. Théorème de la limite monotone

Théorème. Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).1. Soit (un)n∈N une suite croissante.

• Si la suite (un)n∈N est majorée par un réel M , alors elle converge vers un réel ` 6M .• Si la suite (un)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

2. Soit (un)n∈N une suite décroissante.• Si la suite (un)n∈N est minorée par un réel m, alors elle converge vers un réel ` > m.• Si la suite (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers −∞.

Remarque.Ce théorème ne donne pas la limite de la suite mais est utilisé pour prouver l’existence de la limite.

3.5. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs

Définition. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs

Soit (un)n∈N une suite.• On appelle suite extraite des termes d’indices pairs la suite (u2n)n∈N.• On appelle suite extraite des termes d’indices impairs la suite (u2n+1)n∈N.

Théorème. Théorème des suites extraites

Soit (un)n∈N une suite. Soit ` un réel ou +∞ ou −∞.La suite (un)n∈N admet pour limite ` si et seulement si les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettentpour limite `.

Remarque.Pour montrer qu’une suite est divergente, il suffit de déterminer une sous-suite divergente ou deux sous-suitesqui convergent vers des limites différentes.

Théorème. Théorème des suites extraites d’indices pairs et impairs

Soit (un)n∈N une suite. Soit ` un réel ou +∞ ou −∞.Alors (un)n∈N admet pour limite ` si et seulement si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite `.

Remarque.Pour tout entier naturel n, le terme qui suit u2n dans la suite (u2n)n∈N est u2(n+1) = u2n+2.Pour tout entier naturel n, le terme qui suit u2n+1 dans la suite (u2n+1)n∈N est u2(n+1)+1 = u2n+3.

Exemple.• La suite ((−1)n)n∈N, qui est bornée par −1 et 1, n’admet pas de limite.

En effet, la suite des termes d’indices pairs est constante et prend la valeur 1 donc converge vers 1.

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CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

La suite des termes d’indices impairs est constante et prend la valeur −1 donc converge vers −1.Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.• La suite (n(−1)n)n∈N, qui n’est pas bornée, n’admet pas de limite.En effet, la suite (2n)n∈N des termes d’indices pairs tend vers +∞.La suite (−(2n+ 1))n∈N des termes d’indices impairs tend vers −∞.Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.

3.6. Croissances comparées

Théorème. Croissances comparées

Soient a et b deux réels tel que a > 0 et b > 1. Alors

• limn→+∞

na

n! = 0, • limn→+∞

bn

n! = 0, • limn→+∞

na

bn= 0, • lim

n→+∞

n!nn

= 0.

Remarque.Par ordre de prépondérance croissante on a ainsi :• les suites puissances strictement positives ;• les suites exponentielles de base a > 1 ;• la suite factorielle ;• la suite de terme général nn.

4. Suites usuelles

4.1. Suites arithmétiques

Définition. Suite arithmétique

On appelle suite arithmétique de raison r ∈ R toute suite (un)n∈N telle que

∀n ∈ N, un+1 = un + r.

Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).

Exemple.La suite (un)n∈N définie par

u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = un + 3

est l’unique suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3.

Remarque.Si r = 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.

Méthode. Montrer qu’une suite est arithmétique

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est arithmétique, on montre que pour tout entier naturel n, ladifférence un+1 − un est constante, c’est-à-dire ne dépend pas de n.Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite arithmétique.

13

Page 16: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Proposition. Variations d’une suite arithmétique

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r.• Si la raison r est strictement positive, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.• Si la raison r est strictement négative, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.• Si la raison est nulle, alors la suite est constante égale à son premier terme.

Démonstration.

∀n ∈ N, un+1 − un = un + r − un = r.

r > 0 r < 0 r = 0

××××××

××

××

××

× × × × × ×

u0 u1 u2 u3 u4 u5 u0u1u2u3u4u5

u0u1u2

Remarque.Toute suite arithmétique de raison strictement positive est minorée et non majorée.Toute suite arithmétique de raison strictement négative est majorée et non minorée.

Proposition. Terme général d’une suite arithmétique

Le terme général d’une suite arithmétique (un)n∈N de raison r est

un = u0 + nr.

Démonstration.C’est trivial par récurrence sur l’entier n.1. Initialisation : u0 = u0 + 0× r.2. Hérédité : soit n un entier naturel tel que un = u0 + nr. Alors

un+1 = un + r par définition de la suite (un)n∈N= u0 + nr + r d’après l’hypothèse de récurrence= u0 + (n+ 1)r.

Plus généralement, on obtient facilement que pour tous entiers naturels p 6 n, un = up + (n− p+ 1)r.

Proposition. Somme de termes en progression arithmétique

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r ∈ R. Alors pour tout entier naturel n,

n∑k=0

uk = (n+1)u0 + un2 et ∀p ∈ Jn,+∞J,

n∑k=p

uk = (n− p+ 1)︸ ︷︷ ︸nombre de termes

premier terme︷︸︸︷up +

dernier terme︷︸︸︷un

2 .

14

Page 17: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Démonstration.

n∑k=0

uk =n∑k=0

(u0 + kr) =n∑k=0

u0 + rn∑k=0

k = (n+ 1)u0 + n(n+ 1)2 r = (n+ 1)u0 + un

2 .

n∑k=p

uk =n−p∑k=0

up+k =n−p∑k=0

up + kr =n−p∑k=0

up + rn−p∑k=0

k = (n− p+ 1)up + r(n− p)(n− p+ 1)

2

= (n− p+ 1)2up + (n− p)r2 = (n− p+ 1)up + up + (n− p)r

2 = (n− p+ 1)up + un2

Théorème.

Toute suite arithmétique (un)n∈N admet une limite, qui dépend du signe de sa raison r.• Si r est strictement positif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut +∞.• Si r est strictement négatif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut −∞.• Si r est nul, alors la suite est constante égale à son premier terme.

4.2. Suites géométriques

Définition. Suite géométrique

On appelle suite géométrique de raison q ∈ R toute suite (un)n∈N telle que

∀n ∈ N, un+1 = q un.

Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).

Exemple.La suite (un)n∈N définie par

u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 3un

est l’unique suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3.

Remarque.• Si q = 1, alors la suite est constante.

• Si q = 0, alors la suite est stationnaire : elle est nulle à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).

Méthode. Montrer qu’une suite est géométrique

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N (dont tous les termes sont non nuls) est géométrique, on montreque pour tout entier naturel n, le quotient un+1

unest constant, c’est-à-dire ne dépend pas de n. Le réel

ainsi trouvé est la raison de la suite géométrique.

15

Page 18: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Proposition. Variations d’une suite géométrique

Soit (un)n∈N une suite géométrique de raison q.1. Si q > 1,

• si u0 > 0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.• si u0 < 0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.

2. Si q = 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.3. Si 0 < q < 1,

• si u0 > 0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.• si u0 < 0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.

4. Si q = 0, alors la suite (un)n∈N nulle et donc constante à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).5. Si q < 0, alors la suite (un)n∈N n’est pas monotone.

q > 1 et u0 > 0 q > 1 et u0 < 0 q = 1

× ××

×

×

×× ×

××

×

×

× × × × × ×

u0

u1u2 u3 u4 u5

u0

u1u2u3u4u5

u0u1u2

0 < q < 1 et u0 > 0 0 < q < 1 et u0 < 0 −1 < q < 0

×

×

×× × × ×

×

×× × ×

××

×

××

×

u4

u0u1u2u3

u4

u0 u1 u2 u3 u0u2u4u1 u3u5

16

Page 19: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

q = −1 q < −1

× × ×

× × ×

××

×

××

×

u0u1u2

u1u3u5 u0u2 u4u1u3u5

Remarque.Une suite géométrique non nulle de raison q ∈ R est bornée si et seulement si −1 6 q 6 1.

Proposition. Terme général d’une suite géométrique

Le terme général d’une suite géométrique (un)n∈N de raison q est

un = qnu0.

Démonstration.C’est trivial par récurrence sur l’entier n.1. Initialisation : u0 = q0u0.2. Hérédité : soit n un entier tel que un = qnu0. Alors

un+1 = qun par définition de la suite (un)n∈N= q (qnu0) d’après l’hypothèse de récurrence= qn+1u0.

Plus généralement, pour tous entiers naturels p 6 n, un = qn−pup.

Théorème.

Soit (un)n∈N une suite géométrique non nulle de raison q ∈ R.• Si |q| < 1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à 0.• Si q = 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.• Si q > 1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à +∞ ou −∞, selon le signe de u0.• Si q 6 −1, alors la suite (un)n∈N n’admet pas de limite.

Remarque.Soit (un)n∈N une suite géométrique non nulle de raison q < −1.Alors la suite

(u0q

2n)n∈N

=(u0(q2)n)

n∈Nest géométrique de raison q2 > 1 de premier terme u0 donc tend

vers{

+∞ si u0 > 0−∞ si u0 < 0

La suite(u0q

2n+1)n∈N

=(u0q

(q2)n)

n∈Nest géométrique de raison q2 > 1 de premier terme u0q de signe

17

Page 20: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

opposé à u0 donc tend vers{

+∞ si u0 < 0−∞ si u0 > 0

Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.

Rappelons la formule de la somme des puissances successives d’un réel.

Proposition. Somme des puissances entières successives d’un réel

Soit x un nombre réel (ou complexe). Pour tout entier naturel n, on a

1 + x+ x2 + · · ·+ xn =n∑k=0

xk =

1− xn+1

1− x si x 6= 1

n+ 1 si x = 1

Démonstration.Le cas où x = 1 est trivial. Si x est différent de 1, il suffit de développer

(1− x)(1 + x+ · · ·+ xn) = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn

− x− x2 − · · · − xn − xn+1

= 1− xn+1.

Plus généralement, par la même démonstration, pour tous entiers naturels n et p tels que p 6 n, on a

xp + · · ·+ xn =n∑k=p

xk =

xp − xn+1

1− x si x 6= 1

n− p+ 1 si x = 1

Cette proposition permet de calculer la somme de termes en progression géométrique.

Proposition. Somme de termes en progression géométrique

Soit (un)n∈N une suite en progression géométrique de raison q 6= 1. Pour tous entiers naturels p 6 n,

up + · · ·+ un =n∑k=p

uk = u0qp − qn+1

1− q = up︸︷︷︸premier terme

1− q

nombre de termes︷ ︸︸ ︷n− p+ 1

1− q .

4.3. Utilisation des résultats sur les suites arithmétiques et géométriques

Exemple.On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 4 et par la relation de récurrence

∀n ∈ N, un+1 = − 1un + 2

1. Montrons que, pour tout entier naturel n non nul, un est défini et vérifie l’encadrement −1 < un < 0.On montre par récurrence sur n dans N? : Hn « un est bien défini et que −1 < un < 0 ».

• Initialisation : u1 = −16 ∈]− 1, 0[.

• Hérédité : soit n dans N? tel que un est bien défini et −1 < un < 0.Alors un+1 existe et on a

−1 < un < 0⇔ 1 < un + 2 < 2⇔ 12 <

1un + 2 < 1⇔ −1 < un+1 = − 1

un + 2 < −12 < 0

18

Page 21: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

• Conclusion : la suite (un)n∈N est bien définie et tous ses termes sont compris strictement entre -1 et0.

2. On introduit la suite (vn)n∈N définie par

∀n ∈ N, vn = 1un + 1 .

Pour tout entier naturel n, un + 1 6= 0 donc la suite (vn)n∈N est bien définie.3. Calculons les premiers termes de la suite (vn)n∈N.

On a u0 = 4, u1 = 16 , u2 = − 6

11 , u3 = −1116 . Donc v0 = 1

5 , v1 = 65 , v2 = 11

5 et v3 = 165 .

4. On peut conjecturer que la suite (vn)n∈N est arithmétique de raison 1 et de premier terme 15 . Montrons-le.

Pour tout entier n on avn+1 − vn = 1

un+1 + 1 −1

un + 1 = 1− 1un+2 + 1

− 1un + 1 = 1

un+2−1un+2

− 1un + 1

= un + 2un + 1 −

1un + 1 = un + 1

un + 1 = 1,

ce qui prouve que la suite (vn)n∈N est arithmétique de raison 1 et de premier terme v0 = 14 + 1 = 1

5 .On en déduit

∀n ∈ N, vn = 15 + n

5. On déduit de l’expression de vn une expression de un.Or pour tout entier naturel n,

vn = 1un + 1 ⇐⇒ un + 1 = 1

vn⇐⇒ un = 1

vn− 1.

Pa conséquent,∀n ∈ N, un = 1

15 + n

− 1

6. Finalement on constate que la suite (un)n∈N converge vers −1.

19

Page 22: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

20

Page 23: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

Chapitre 1

Équations aux différences finies du premierordre, Suites récurrentes d’ordre un

Définition. Suites récurrentes d’ordre p

On dit qu’une suite (un)n∈N est une suite récurrente d’ordre p ∈ N? s’il existe une fonction f telleque

∀n ∈ N, un+p = f (un+p−1, un+p−2, . . . , un, n)

Définition. Suites récurrentes linéaires d’ordre p à coefficients constantsavec second membre

On dit qu’une suite (un)n∈N est une suite récurrente linéaire d’ordre p ∈ N? s’il existe des réelsa1, . . . , ap, b et une fonction f tels que

∀n ∈ N, un+p = a1un+p−1 + a2un+p−2 + · · ·+ apun + f(n).

L’ordre d’une suite récurrente linéaire est la profondeur de la relation de récurrence : c’est le nombre determes précédents dont on a besoin pour calculer un terme.

1. Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficientsconstants et second membre constant

Définition.

On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constantune suite vérifiant une relation de récurrence de la forme

yt+1 = ayt + b, ∀t ∈ N

ouun+1 = aun + b, ∀n ∈ N,

avec a et b des constantes réelles.

Cas où a = 0.

L’équation devient yt+1 = b. Les solutions sont les suites constantes égales à b à partir du rang 1 et dont leterme de rang 0 est quelconque.

21

Page 24: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Cas où b = 0.

L’équation devient un+1 = aun. Les solutions sont les suites géométriques de raison a.

Cas où a = 1 et b = 0

L’équation devient un+1 = un. Les solutions sont les suites constantes.

Cas où a = 1 et b 6= 0.

Les solutions sont les suites arithmétiques de raison b.

Définition.

On appelle ces suites : suites arithmético-géométriques.

Exemple.1. Compte épargne : u0 = 100 et pour tout entier n, un+1 = (1 + t)un + 10 avec t le taux de rémunération

du compte et 10 le montant du dépôt supplémentaire à chaque période ;2. Évolution de capital : Kn+1 = (1− δ)Kn + I avec 0 < δ < 1 le taux de dépréciation et I l’investissement

(constant) à chaque période.

Proposition. Terme général d’une suite arithmético-géométrique

Soit (un)n∈N une suite arithmético-géométrique telle que pour tout n ∈ N, un+1 = qun + r, avec q 6= 1.On pose ` l’unique solution de l’équation ` = q`+ r.Alors la suite de terme général un − ` est une suite géométrique de raison q.Puis, pour tout entier n positif ou nul, on a

un = qn(u0 − `) + ` = qn−1(u1 − `) + `.

Démonstration.Comme q 6= 1, l’équation ` = q`+ r admet bien une unique solution et ` = r

1− q .On soustrait l’équation ` = q`+ r à la relation un+1 = qun + r et on obtient

un+1 − ` = qun + r − q`− r = q (un − `) .

Par conséquent la suite de terme général un − ` est une suite géométrique de raison q et vérifie, pour toutentier n dans N, un − ` = qn(u0 − `). Finalement,

∀n ∈ N, un = qn(u0 − `) + `

Méthode. Étudier une suite arithmético-géométrique

Pour déterminer le terme général d’une suite arithmético-géométrique dont le terme général est définipar un+1 = qun + r, avec q 6= 1, on effectue les étapes suivantes.1. On cherche le réel ` tel que ` = q`+ r (penser à la limite finie éventuelle de la suite).2. On considère la suite auxiliaire (vn)n∈N de terme général vn := un − ` et on montre que c’est une

suite géométrique de raison q.3. On en déduit l’expression du terme général de la suite (vn)n∈N puis celui de la suite (un)n∈N.

22

Page 25: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Exemple.On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 8 et ∀n ∈ N, 2un+1 = −un + 9.L’unique réel ` tel que 2` = −`+ 9, c’est-à-dire tel que 3` = 9 est ` = 3.La suite auxiliaire (vn)n∈N définie par ∀n ∈ N, vn = un − 3 est géométrique de raison −1

2 car

∀n ∈ N, vn+1 = un+1 − 3 = −12un + 9

2 − 3 = −12un + 3

2 = −12 (un − 3) = −1

2vn

Comme son premier terme est v0 = u0 − 3 = 8− 3 = 5, on en déduit ∀n ∈ N, vn = 5(−1

2

)n.

Finalement, comme pour tout entier naturel n, un = vn + 3, on obtient

∀n ∈ N, un = 5(−1

2

)n+ 3.

Remarque.On peut y voir un théorème de structure : toute suite arithmético-géométrique vérifiant la relationun+1 = qun + r est la somme d’une suite géométrique vérifiant la relation un+1 = qun (géométriquede raison q) et d’une suite particulière vérifiant la relation un+1 = qun + r : la suite constante qui prend lavaleur r

1− q .

Exemple sans valeur initiale

On cherche les solutions de l’équationun+1 = 0.5un + 10

1. Commençons par exprimer `. ` = 0.5`+ 10⇔ 0.5` = 10⇔ ` = 20.

2. On considère la suite auxiliaire de terme général vn = un − 20.On remarque vn+1 = 0.5un + 10 − 20 = 0.5vn+1. Donc la suite (vn)n∈N est une suite géométrique deraison 0.5 et de premier terme v0 = u0 − 20.

3. Ainsi pour tout entier positif n, on a vn = 0.5n × (u0 − 20). On en déduit que, pour tout entier positif n,on a un = 0.5n × (u0 − 20) + 20.

Équilibre et limites

Définition.

Le point d’équilibre ou la valeur stationnaire d’une équation aux différences finies est la valeur deu0 pour laquelle le système est stationnaire, c’est-à-dire un+1 = un, pour tout entier positif n.

Soit la suite arithmético-géométrique (un)n∈N telle que pour tout n ∈ N, un+1 = qun + r.Alors, si q 6= 1, le point d’équilibre est ` = r

1− q .Si q = 1, il n’y a pas de situation d’équilibre possible.

Remarque.On pose f la fonction x 7→ qx+ r. Alors le point d’équilibre est un point fixe de la fonction f , c’est-à-diref(x) = x.

23

Page 26: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Proposition.

Soit (un)n∈N une suite arithmético-géométrique telle que pour tout n ∈ N, un+1 = qun + r, avec q 6= 1.La suite (un)n∈N converge si et seulement si |q| < 1.Si elle converge, alors sa limite est ` = r

1− q .

Bien que la convergence soit garantie dès que |q| < 1, le chemin que prend la suite vers sa limite diffère selonque q soit nul, strictement positif ou strictement négatif.

Les différents comportements des suites arithmético-géométriques

Cas particuliers

Cas a = 1 :divergence régulière

××××××

Cas a = −1 :divergence oscillatoire,oscillations entretenues

`

× × ×

× × ×

Cas généraux

Si |a| > 1, alors (un) diverge. Si |a| < 1, alors (un) converge vers l = b

1− a .• a > 1 et u0 > ` :

divergence régulière

• 0 < a < 1 et u0 < ` :

convergence régulière

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

u6

`× ×

××

×

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

`

×

×× × × ×

• a > 1 et u0 < ` :

divergence régulière

• 0 < a < 1 et u0 > ` :

convergence régulière

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

u6

`× × ×××

×u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

`

×

×× × × ×

• a < −1 :

divergence oscillatoire, oscillations explosives

• −1 < a < 0 :

convergence oscillatoire, oscillations amorties

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

u6

u7

u7

u8

u6

`× ×

×

××

×u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u5

u6

u6

`

××

×

×× ×

24

Page 27: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

2. Équations aux différences finies du premier ordre non linéaires

Les équations aux différences finies non linéaires ne peuvent pas être résolues explicitement en général.Cependant il est possible d’obtenir des informations qualitatives, par exemple la nature de la suite, et samonotonie.

2.1. Introduction

L’expression générale d’une équation aux différences finies non linéaire d’ordre un est

un+1 = f(un, n), n ∈ N.

Cependant on ne considèrera que des équations homogènes, c’est-à-dire qui ne dépendent pas explicitementde n.

Définition.

On appelle équation aux différences finies non linéaire homogène d’ordre un toute équation de la forme

yt+1 = f(yt), ∀t ∈ N

ouun+1 = f(un), ∀n ∈ N,

avec f : I → R, I ⊂ R.

Remarque.Nous ne considèrerons que des fonctions f continues sur I.

2.2. Existence de la suite

En général, il est impossible de justifier l’existence de tous les termes des suites de la forme un+1 = f(un).

Définition.

Soit f une fonction telle que f : D → R avec D ⊂ R.

On dit qu’un intervalle I ⊂ D est stable par f si et seulement si

f(I) ⊂ I.

Proposition.

Si l’intervalle I est stable par f et si le premier terme u0 appartient à l’intervalle I, alors pour toutentier naturel n, le terme un existe et appartient à I.

Démonstration.Posons, pour tout entier naturel n, l’hypothèse de récurrence

Hn : « un existe et un appartient à I »

• Initialisation. H0 est trivialement vraie.• Hérédité. Soit n un entier naturel tel que Hn est vraie.Alors un existe et appartient à I.Donc f(un) existe et, par stabilité de I par f , f(un) appartient à I.Or f(un) = un+1 donc Hn+1 est vraie.

25

Page 28: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

• Conclusion. Pour tout entier naturel n, Hn est vraie.

Exemple.Soit (un)n∈N la suite définie par ∀n ∈ N, un+1 = uαn avec α ∈ R∗.Si α > 0, R et R+ par exemple sont des intervalles stables, mais également [0; 1] et [1; +∞[.Si α < 0, l’intervalle ]0,+∞[ est stable, mais aussi ]−∞; 0[ quand α est un entier impair.

2.3. Limites et points fixes

Soit (un)n∈N une suite récurrente telle que

∀n ∈ N, un+1 = f(un),

où f est une fonction continue sur un intervalle I qui est stable par f et qui contient u0, ce qui prouve que lasuite est bien définie et que tous les termes appartiennent à l’intervalle I.Que peut-on dire de son comportement asymptotique ? des valeurs possibles de sa potentielle limite ?

Définition.

Soit f une fonction telle que f : D → R avec D ⊂ R.

On dit qu’un réel x de D est un point fixe de la fonction f si et seulement si

f(x) = x.

Théorème.

Soit (un)n∈N une suite définie par ∀n ∈ N, un+1 = f(un)

u0 ∈ I,

où la fonction f est continue sur un intervalle I, stable par f .Si la suite (un)n∈N converge, alors elle converge vers un point fixe de la fonction f .

Démonstration.On a

∀n ∈ N, un+1 = f(un).

Comme la suite (un)n∈N converge vers un réel `, la suite (un+1)n∈N converge vers ce même réel `.Comme la fonction f est continue au point `, la suite (f(un))n∈N converge vers le réel f(`).En passant à la limite en +∞ dans l’égalité précédente, on obtient

` = f(`).

Remarque.• La fonction f peut posséder aucun, un ou plusieurs points fixes.• Quel que soit le nombre de points fixes, la suite peut être divergente.

Exemple.Revenons à l’exemple.

un+1 = uαn, α > 0, n ∈ N.

26

Page 29: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Recherche d’un état d’équilibre : ` = `α ⇔ `(`α−1 − 1) = 0⇔ ` = 0 ou ` = 1.Si à un moment la suite prend la valeur 0 ou la valeur 1 alors elle prend cette valeur définitivement.Mais si u0 6= 0 et u0 6= 1, est-ce que la suite converge vers une de ces valeurs et si oui laquelle ?

2.4. Étude du comportement de la suite quand f est monotone

Considérons à nouveau les suites définies par

un+1 = uαn, n ∈ N.

Cas où f est croissante

Pour notre exemple, cela correspond à α > 0.Observons quelques exemples.

Cas où α = 2 (α > 1).

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

Cas où α = 12 (0 < α < 1).

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

Comment peut-on rigoureusement, sans se reposer uniquement sur une représentation graphique, affirmerdes convergences ou divergences ?

27

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CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Théorème. Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).1. Soit (un)n∈N une suite croissante.

• Si la suite (un)n∈N est majorée par un réel M , alors elle converge vers un réel ` 6M .• Si la suite (un)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

2. Soit (un)n∈N une suite décroissante.• Si la suite (un)n∈N est minorée par un réel m, alors elle converge vers un réel ` > m.• Si la suite (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers −∞.

Remarque.Soient f une fonction croissante sur l’intervalle I, stable par f et (un)n∈N une suite vérifiant un+1 = f(un),pour tout entier naturel n. Alors

1. si u0 6 u1, la suite (un)n∈N est croissante ;

2. si u0 > u1, la suite (un)n∈N est décroissante.

Cela se démontrer aisément par récurrence.Démonstration.

1. Posons, pour tout entier naturel n

Hn : un 6 un+1

• Initialisation. H0 est trivialement vraie car u0 6 u1.

• Hérédité. Soit n un entier naturel tel que Hn est vraie donc un 6 un+1.Or la fonction f est croissante sur I et un ainsi que un+1 appartiennent à I donc

un 6 un+1 =⇒ f(un) 6 f(un+1) ⇐⇒ un+1 6 un+2,

ce qui montre que Hn+1 est vraie.

• Conclusion. Par conséquent, pour tout entier naturel n, Hn est vraie et la suite (un)n∈N est croissante.

2. Posons, pour tout entier naturel n

Hn : un > un+1

• Initialisation. H0 est trivialement vraie car u0 > u1.

• Hérédité. Soit n un entier naturel tel que Hn est vraie donc un > un+1.Or la fonction f est croissante sur I et un ainsi que un+1 appartiennent à I donc

un > un+1 =⇒ f(un) > f(un+1) ⇐⇒ un+1 > un+2,

ce qui montre que Hn+1 est vraie.

• Conclusion. Par conséquent, pour tout entier naturel n, Hn est vraie et la suite (un)n∈N estdécroissante.

28

Page 31: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

Méthode.

• Si la suite (un)n∈N est croissante et majorée par un réel M , alors elle converge vers un point fixe `de f tel que ` 6M .• Si la suite (un)n∈N est décroissante et minorée par un réel m, alors elle converge vers un point fixe` de f tel que ` > m.• Si la suite (un)n∈N est croissante et ne semble pas majorée, on peut raisonner par l’absurde en

supposant que la suite converge vers un réel ` et on essaie de trouver une contradiction concernant`. Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est croissante, elle diverge vers +∞.• Si la suite (un)n∈N est décroissante et ne semble pas minorée, on peut raisonner par l’absurde en

supposant que la suite converge vers un réel ` et on essaie de trouver une contradiction concernant`. Dans ce cas, la suite ne converge pas et puisqu’elle est décroissante, elle diverge vers −∞.

Cas où f est décroissante

On considère à nouveau les suites définies par

un+1 = uαn, n ∈ N,

mais cette fois avec α < 0.Observons quelques exemples : α = −2 et α = −1

2 .

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4 u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

u4

u4

u5

Si f est décroissante sur l’intervalle I (stable par f), alors on étudie les suites des termes pairs et impairs :

∀n ∈ N, an = u2n et bn = u2n+1.

On a alorsan+1 = u2(n+1) = u2n+2 = f(u2n+1) = f(f(u2n)) = (f ◦ f)(an)

Donc la suite a vérifie une relation de récurrence donnée par :

an+1 = (f ◦ f)(an)

La fonction f ◦ f est croissante sur I et I est un intervalle stable par f ◦ f car f ◦ f(I) ⊂ f(I) ⊂ I.On montre alors comme précédemment que la suite (an)n∈N est monotone et admet donc une limite.De même, la suite (bn)n∈N est définie par la relation :

bn+1 = (f ◦ f)(bn)

et on procède de la même façon que pour la suite (an)n∈N.On montre alors comme précédemment que la suite (bn)n∈N est monotone et admet donc une limite.Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont de monotonie contraire.On compare ensuite leurs limites.

29

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CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

2.5. Étude du comportement de la suite quand f n’est pas monotone

Précédemment on n’a considéré que des fonctions f monotones, jamais de fonctions en forme de vallée ou decolline. Nous verrons quelques exemples en cours à partir de suites dites logistiques. Ces suites permettent demodéliser l’évolution de populations. Voici la forme de la relation récurrence vérifiée par une suite logistique :

yt+1 = ryt(1− ty)

2.6. Exemple d’étude complète

Soit la fonction f(x) = 120(−x3 + 30x). On s’intéresse à la suite définie par

un+1 = f(un).

1. On commence par rechercher les éventuels points fixes de la fonction f .f(x) = x équivaut à x3 = 10x d’où 3 solutions,

√10, 0 et +

√10.

2. On a donc donc que si u0 est l’un de ces points fixes alors la suite (un)n∈N est constante. En particulier,si u0 = 0 alors un = 0 pour tout n ∈ N.

3. Commençons par étudier le cas où u0 ∈]0,√

10].

(a) En étudiant la dérivée de f , on constate que f est strictement croissante sur ]−√

10;√

10[. De plusf(0) = 0 et f(

√10) =

√10. Ainsi, ∀x ∈

]0,√

10], on a f(x) ∈

]0,√

10].

Donc l’intervalle]0,√

10]est stable par f .

(b) L’intervalle ]0,√

10] étant stable et u0 ∈]0,√

10], on a que un ∈]0,

√10] pour tout n.

(c) Pour tout entier n, on aun+1 − un = 1

20(−u3

n + 30un − 20un)

= 120(−u3

n + 10un)

= un20 (10− u2

n) > 0La suite (un)n∈N est donc croissante.

(d) La suite (un)n∈N est croissante et majorée. Par conséquent, la suite (un)n∈N converge vers un nombre` ∈]0,

√10]. La fonction f étant continue, ` est nécessairement un point fixe de f .

L’unique point fixe de f sur ]u0,√

10] est ` =√

10.En conclusion, si u0 ∈]0,

√10] alors lim

n→+∞un =

√10.

4. Intéressons nous maintenant à la situation où u0 ∈[−√

10, 0[.

(a) Avec le même genre d’arguments que précédemment, on constate que l’intervalle[−√

10, 0[est stable

par f .(b) L’intervalle

[−√

10, 0[étant stable par f et un appartenant à

[−√

10, 0[, on a que un ∈

[−√

10, 0[

pour tout n.(c) Pour tout entier n, on a cette fois un+1 − un 6 0. Ainsi la suite est décroissante et minorée. Donc

elle converge vers −√

10.5. Observons ce qui se passe si u0 ∈

{−√

50,√

50}.

Si u0 =√

50 ou u0 = −√

50, on observe que u1 = −u0 et u2 = u0. Ainsi, la suite va osciller entre lesdeux valeurs

√50 et −

√50. Elle n’admettra donc pas de limite dans ce cas.

6. Maintenant voyons ce que l’on peut dire dans le cas où u0 ∈]−∞,−

√50[∪]√

50,+∞[.

(a) Tout d’abord, une étude de la fonction f montre que

f(]−∞,−

√50[)

=]+√

50,+∞[

et f((]

+√

50,+∞[)

=]−∞,−

√50[.

Par conséquent l’ensemble E =]−∞,−

√50[∪]√

50,+∞[est stable par f .

30

Page 33: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

(b) Si u0 ∈ E, alors par stabilité de E, on a un ∈]−∞,−

√50[∪]√

50,+∞[pour tout n ∈ N.

L’ensemble E ne contenant aucun point fixe de f , la suite (un)n∈N ne peut donc pas converger. Enconclusion, si u0 ∈ E alors la suite (un)n∈N diverge.

(c) La situation où u0 ∈]−√

50,−√

10[∪]√

10,√

50[ est plus difficile à étudier (et n’est pas attendue).On peut montrer que (un)n∈N converge toujours vers l’une des deux valeurs ±

√10. En revanche, le

liens entre la valeur de u0 et la valeur de la limite est très complexe. En fait, plus u0 se rapprochedes extrémités ±

√50, plus le comportement est sensible aux valeurs de u0 (c’est un phénomène

chaotique, on trouve une structure fractale).

31

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CHAPITRE 1. SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE UN

32

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Chapitre 2

Équations aux différences finies linéaires dusecond ordre, Suites récurrentes linéaires

d’ordre deux

1. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constantssans second membre

Définition. Suite récurrente linéaire d’ordre 2

On dit qu’une suite (un)n∈N est récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sanssecond membre s’il existe deux réels a et b tels que

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0.

Une telle suite est entièrement déterminée par les coefficients a et b et par ses deux premiers termes.

Exemple.La suite (un)n∈N définie par

u0 = 12, u1 = 31 et ∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un

est une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Cherchons s’il existe des suites géométriques non nulles à partir du rang 1 qui vérifient cette relation.Soit (un)n∈N une suite géométrique de raison q 6= 0 et de premier terme u0 6= 0 telle que

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0.

Or∀n ∈ N, un = u0q

n.

Alors pour tout entier naturel n, on a

u0qn+2 + au0q

n+1 + bu0qn = 0.

En divisant par u0qn 6= 0, on obtient

q2 + aq + b = 0.Ainsi, une suite géométrique non nulle à partir du rang 1 vérifie la relation un+2 + aun+1 + bun = 0 si etseulement si sa raison q est une solution de l’équation q2 + aq + b = 0.

Définition. Équation caractéristique

On appelle équation caractéristique d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 dont le terme généralvérifie la relation un+2 + aun+1 + bun = 0, l’équation du second degré r2 + ar + b = 0, d’inconnue r.

33

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CHAPITRE 2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE DEUX

Théorème. Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

Soient a et b des réels et soit (un)n∈N une suite récurrente linéaire d’ordre 2 vérifiant la relation

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (R).

• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions réelles distinctes r1 et r2, alors ilexiste un unique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, un = αrn1 + βrn2 .

• Si l’équation caractéristique associée possède une unique solution (réelle) r0, alors il existe ununique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, un = (α+ nβ)rn0 .

• Si l’équation caractéristique associée possède deux récines complexes (non réelles) conjuguéesdistinctes r1 = ρeiθ et r2 = r1 = ρe−iθ (avec ρ dans R?+ et θ dans R) et il existe un unique couplede réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, un =(α cos(nθ) + β sin(nθ)

)ρn.

Remarque.L’ensemble des solutions de (R) est un espace vectoriel, plus précisément un sous-espace vectoriel de dimension2 de l’espace vectoriel des suites réelles RN.

Exemple.On considère la suite (un)n∈N définie par ses deux premiers termes u0 = 12 et u1 = 31, et par la relation derécurrence

∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un

L’équation caractéristique associée est r2 − 5r + 6 = 0 et a pour discriminant ∆ = (−5)2 − 4× 6 = 1.

Ses racines sont r1 = 5−√

12 = 2 et r2 = 5 +

√1

2 = 3.Ainsi pour toute suite (un)n∈N vérifiant la relation de récurrence, il existe deux réels α et β tels que

∀n ∈ N, un = α× 2n + β × 3n.

Déterminons les réels α et β en considérant les termes u0 = 12 et u1 = 31. On a

12 = α× 20 + β × 30 = α+ β et 31 = α× 21 + β × 31 = 2α+ 3β.

En résolvant ce système, on obtient α = 5 et β = 7. Finalement,

∀n ∈ N, un = 5× 2n + 7× 3n.

Exemple.On considère la suite (vn)n∈N définie par ses deux premiers termes v0 =

√3 et v1 = 1, et par la relation de

récurrence∀n ∈ N, vn+2 − 2

√3vn+1 + 4vn = 0.

• L’équation caractéristique associée est x2 − 2√

3x+ 4 = 0 et a pour discriminant

∆ = (2√

3)2 − 4× 4 = 12− 16 = −4 = (2i)2 < 0

34

Page 37: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE DEUX

L’équation admet ainsi deux racines complexes conjuguées

2√

3 + i√

42 =

√3 + i = 2

(√3

2 + i12

)= 2e

iπ6 et 2e

iπ6 = 2e

−iπ6 .

• Il existe deux réels α et β tels que

∀n ∈ N, un = 2n(α cos

(nπ

6

)+ β sin

(nπ

6

)).

• On détermine les constantes α et β à l’aide des premiers termes.

√3 = u0 = 20

(α cos

(0π6

)+ β sin

(0π6

))= α cos(0) + β sin(0) = α.

1 = u1 = 21(α cos

6

)+ β sin

6

))= 2

(√

3√

32 + β sin 1

2

)= 3 + β

On en déduit α =√

3 et β = −2.• Conclusion.Finalement, on a, pour tout entier naturel n, un = 2n

(√3 cos

(nπ

6

)− 2 sin

(nπ

6

)).

Méthode. Déterminer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

Pour déterminer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, on effectue les étapessuivantes.1. On écrit l’équation caractéristique.2. On cherche les solutions de l’équation caractéristique (à l’aide du discriminant).3. On applique le résultat du théorème.4. On détermine les réels α et β en résolvant le système à deux équations et deux inconnues obtenu

en prenant n = 0 et n = 1 (ou de manière plus générale deux valeurs connues de la suite).

2. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constantsavec second membre

2.1. Généralités

Définition. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants avecsecond membre

On dit qu’une suite (un)n∈N est récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants avecsecond membre s’il existe deux réels a et b et une suite c tels que

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = cn (R).

La technique pour la résolution des équations de second ordre avec second membre consiste à découper leproblème en deux : trouver les solutions générales de l’équation sans second membre et trouver une solutionparticulière de l’équation avec second membre.

35

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CHAPITRE 2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE DEUX

Définition. Relation homogène associée

On appelle relation de récurrence homogène associée à la relation (Rh) la relation de récurrencesuivante :

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (Rh).

Théorème.

On considère l’équation suivante

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = cn

où a et b sont deux réels et c une suite.Soit up est une suite solution particulière de (R).Alors toute suite (un)n∈N vérifiant (R) peut s’écrire de la façon suivante :

∀n ∈ N, un = upn + uhn

où uh est une suite vérifiant (Rh).

Proposition. Principe de superposition

On considère l’équation suivante

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = cn + dn (R).

où a et b sont deux réels et c et d deux suites.Si v est une solution particulière de l’équation

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = cn

et que w est une solution particulière de l’équation

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = dn,

alors v + w est solution des l’équation (R).

2.2. Cas d’un second membre constant

On s’intéresse aux suites vérifiant la relation

∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = c (R).

avec a, b et c des réels.

Solution particulière

Si a+ b 6= −1, la suite constante égale à c

1 + a+ best une solution particulière de (R).

Solutions générales et comportement asymptotique

Dans le cas où a2 − 4b > 0 et a+ b 6= −1, les suites vérifiant (R) sont de la forme :

un = αrn1 + βrn2 + c

1 + a+ b

36

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CHAPITRE 2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE DEUX

avec α et β deux réels.On suppose α et β différents de 0. Alors on a :• si max (|r1|, |r2|) < 1, la suite converge vers ` = c

1 + a+ b;

• si max (|r1|, |r2|) > 1, la suite diverge.Le cas où une des deux racines a pour valeur absolue 1 contient plusieurs cas distincts que je n’explicite pasici.

Dans le cas où a2 − 4b = 0 et a+ b 6= −1, les suites vérifiant (R) sont de la forme :

un = (α+ βn) rn0 + c

1 + a+ b

avec α et β deux réels.On suppose α différent de 0. Alors on a :• si |r0| < 1, la suite converge vers ` = c

1 + a+ b;

• si |r0| > 1, la suite diverge.Dans le cas où |r0| = 1, la situation diffère selon la valeur exacte de r0 (1 ou −1) et le fait que β soit nul ounon.

3. Étude complète d’une relation de récurrence linéaire à coef-ficients constants d’ordre 2

Soit β ∈ R∗+. On considère la suite définie par

∀n ∈ N, un+2 − 2βun+1 + βun = 2 (R)

1. Recherche d’une solution particulière.Le second membre étant constant, commençons par chercher s’il existe une solution particulière constante.Soit (un)n∈N une suite constante : un = k, ∀n ∈ N.

(un)n∈N vérifie (R)⇔ k − 2βk + βk = 2⇔ (1− β)k = 2

Si β 6= 1, la suite constante égale à 21− β vérifie (R).

Si β = 1, aucune suite constante ne vérifie (R).Supposons que β = 1.Soit (un)n∈N une suite de la forme un = an, ∀n ∈ N.

(un)n∈N vérifie (R)⇔ a(n+ 2)− 2a(n+ 1) + an = 2, ∀n ∈ N⇔ 0 = 2

Soit (un)n∈N une suite de la forme un = an2, ∀n ∈ N.

(un)n∈N vérifie (R)⇔ a(n+ 2)2 − 2a(n+ 1)2 + an2 = 2, ∀n ∈ N⇔ a(n2 + 4n+ 4)− 2a(n2 + 2n+ 1) + an2 = 2, ∀n ∈ N⇔ 2a = 2⇔ a = 1

Pour conclure,

• si β 6= 1, la suite constante égale à 21− β vérifie (R).

• si β = 1, la suite de terme général un = n2, ∀n ∈ N, vérifie (R).2. Recherche des solutions de l’équation homogène associée.

L’équation caractéristique associée est donnée par

(EC) x2 − 2βx+ β = 0

On a ∆ = 4β2 − 4β = 4β(β − 1).

37

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CHAPITRE 2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE DEUX

• Si β > 1, alors on a ∆ > 0 et l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes

r1 = β −√β(β − 1) et r2 = β +

√β(β − 1)

Du coup, l’ensemble des suites vérifiant l’équation homogène associée à (R) ont leur terme généralde la forme

un = A

(β −

√β(β − 1)

)n+B

(β +

√β(β − 1)

)n, ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

• Si β = 1, alors on a ∆ = 0 et l’équation caractéristique admet une unique racine réelle doubler0 = β = 1. Du coup, l’ensemble des suites vérifiant l’équation homogène associée à (R) ont leurterme général de la forme

un = (A+Bn)× 1n = A+Bn, ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

• Si β < 1, alors on a ∆ =(

2i√β(1− β)

)2< 0 et l’équation caractéristique admet deux racines

complexes (non réelles) distinctes conjuguées

r1 = β − i√β(1− β) et r2 = β + i

√β(1− β)

On a |r1| = |r2| =√β2 + β(β − 1) =

√β et on note θ l’argument principal de r1.

Du coup, l’ensemble des suites vérifiant l’équation homogène associée à (R) ont leur terme généralde la forme

un =(√

β)n

(A cos (nθ) +B sin (nθ)) , ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

3. Ensemble des suites vérifiant (R) et leur comportement asymptotique.• Si β > 1, l’ensemble des suites vérifiant l’équation (R) ont leur terme général de la forme

un = A

(β −

√β(β − 1)

)n+B

(β +

√β(β − 1)

)n+ 2

1− β , ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

La racine β +√β(β − 1) est strictement supérieure à 1 donc lim

n→+∞

(β +

√β(β − 1)

)n= +∞.

De plus, β > β − 1 donc β2 > β(β − 1) ainsi β >√β(β − 1) et β −

√β(β − 1) > 0.

On peut constater que la fonction x 7→ x−√x(x− 1) est décroissante sur ]1; +∞[ et vaut 1 en 1.

Par conséquent, on a 0 < β −√β(β − 1) < 1 donc on a lim

n→+∞

(β −

√β(β − 1)

)n= 0.

Pour conclure,

– si B 6= 0, la suite est divergente et on a limn→+∞

un ={

+∞ si B > 0−∞ si B < 0

.

– si B = 0, la suite converge vers l’état d’équilibre 21− β .

• Si β = 1, l’ensemble des suites vérifiant l’équation (R) ont leur terme général de la forme

un = (A+Bn)× 1n = A+Bn+ n2, ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

Dans ce cas, peu importe les valeurs de A et de B la suite tend vers +∞.• Si β < 1, l’ensemble des suites vérifiant l’équation (R) ont leur terme général de la forme

un =(√

β)n

(A cos (nθ) +B sin (nθ)) + 21− β , ∀n ∈ N, avec A,B ∈ R

Comme on a 0 < β < 1, on a 0 <√β < 1 et lim

n→+∞

(√β)n

= 0. Par conséquent la suite (un)n∈N

converge vers son état d’équilibre 21− β , peu importe les valeurs de A et de B.

4. Conclusion. Une suite vérifiant (R) sera convergente si 0 < β < 1 ou si β > 1 et que le paramètre Best nul.

38

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Chapitre 3

Équations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction dérivable et qui fait intervenirla fonction et ses dérivées. Résoudre une telle équation, c’est trouver l’ensemble des fonctions qui vérifientcette équation.

Les équations différentielles ordinaires font intervenir les dérivées d’une fonction et ce sont les fonctionsvérifiant l’équation qui en sont solutions.Il n’est pas toujours évident de déterminer la solution générale d’une équation différentielle. On peut alorsêtre amené à représenter graphiquement (à l’aide d’un ordinateur) ces solutions par des approximationssuccessives.

1. Équations « primitives »

Il s’agit de la forme la plus simple d’équation différentielle :

y′(t) = g(t).

Résoudre cette équation revient à trouver les fonctions donc la dérivée est la fonction g. La résolution revientà une recherche de primitive.

Exemples.• Une solution de l’équation différentielle y′ = −10t3 est la fonction x 7→ −5

2 t4 définie sur R.

• Une solution de l’équation différentielle y′(x) = 2xx2 + 1 est la fonction x 7→ ln(1 + t2) définie sur R.

Méthode.

Lorsque l’équation différentielle peut être mise sous la forme

y′(t) = g(t)

et si G est une primitive de g, alors les solutions de l’équation proposée sont les fonctions de la formey(t) = G(t) + C, C ∈ R.

Exemples.• L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′ = −10t3 est l’ensemble des fonctions définie sur R

de la forme x 7→ −52 t

4 + C, avec C un réel.

• L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′(x) = 2xx2 + 1 est

{x 7→ ln(1 + t2) + C;C ∈ R

}.

39

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

2. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Dans toute cette section, a et b désignent deux fonctions continues sur un intervalle I non réduit à un point.Toutes les équations différentielles considérées sont définies et résolues sur I.

2.1. Généralités

Définition. Équation différentielle linéaire du premier ordre

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de la forme y′+ay =b :

∀t ∈ I, y′(t) + a(t)y(t) = b(t). (E)

Si la fonction a est constante, alors on dit que l’équation différentielle est à coefficients constants.La fonction b est appelée le second membre.Si b est la fonction nulle, alors on dit que l’équation, qui s’écrit sous la forme y′ + ay = 0, c’est-à-dire

∀t ∈ I, y′(t) + a(t)y(t) = 0 (EH)

est homogène.

Par abus de notation, on notera parfois y′ + a(t)y = b(t).Remarque.Une équation différentielle de la forme αy′ + βy = γ, avec α une fonction ne s’annulant pas sur I, estégalement une équation différentielle linéaire.En divisant par la fonction α, on se ramène à la forme résolue y′ + β

αy = γ

α.

Exemple.1. L’équation y′ + 3y = 2, que l’on peut également noter y′(t) + 3y(t) = 2, est une équation linéaire du

premier ordre à coefficients constants et second membre constant.2. L’équation 2y′ + 3y = 5t est une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants et second

membre non constant. Elle est équivalente à l’équation y′ + 32y = 5t

2 .

3. L’équation y′ + 3ty = 2 que l’on peut également noter y′(t) + 3ty(t) = 2 est une équation linéaire dupremier ordre mais n’est pas à coefficients constants car la fonction t 7→ 3t n’est pas constante. Sonsecond membre est constant.

Définition. Solution d’une équation différentielle linéaire

On dit qu’une fonction f : I → R est une solution de l’équation y′ + ay = b sur I si et seulement si• la fonction f est dérivable sur I ;• la fonction f vérifie

∀t ∈ I, f ′(t) + a(t)f(t) = b(t).

Exemple.La fonction

f : R→ R, t 7→ e−3t + 23

est une solution sur R de l’équation différentielle y′ + 3y = 2 car elle est dérivable sur R et

∀t ∈ R, f ′(t) + 3f(t) = −3e−3t + 3(e−3t + 2

3

)= 2.

40

Page 43: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Proposition. Structure d’espace vectoriel de l’ensemble des solutions

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y′ + ay = 0 contient la fonctionnulle et est stable par combinaison linéaire.Par conséquent, l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre un estun sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions dérivables.

Démonstration.• La fonction nulle est clairement solution de l’équation homogène y′ + ay = 0.• Soient f1 et f2 deux solutions de l’équation homogène y′ + ay = 0.Alors les fonctions f1 et f2 sont dérivables et elles vérifient f ′1 + af1 = 0 et f ′2 + af2 = 0.Soit λ un élément de R.Alors la fonction λf1 + f2 est dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, et on a

(λf1 + f2)′ + a(λf1 + f2) = λf ′1 + f ′2 + a(λf1 + f2)= λ(f ′1 + af1) + f ′2 + af2

= λ0 + 0= 0,

ce qui prouve que la fonction λf1 + f2 est solution de l’équation y′ + ay = 0.Donc l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre un est un sous-espacevectoriel de l’espace vectoriel des fonctions dérivables.

Remarque.Cette démonstration ne dépend pas de l’ordre de l’équation différentielle, mais seulement de sa linéarité.

Remarque.Nous verrons que si a n’est pas la fonction identiquement nulle alors l’ensemble des solutions de l’équationy′ + ay = 0 est un espace vectoriel de dimension 1.

2.2. Résolution de l’équation homogène

Théorème. Solutions d’une équation différentielle linéaire homogène

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle homogène (EH) : y′ + ay = 0 sur l’intervalle I est

SH :=

I → R,

t 7→ λe−A(t), λ ∈ R

,où A désigne une primitive sur I de la fonction a.

Démonstration.• Pour tout réel λ, la fonction

f : I → R, t 7→ λe−A(t)

est solution de l’équation y′ + ay = 0 car

∀t ∈ I, f ′(t) + a(t)f(t) = −a(t)λe−A(t) + a(t)λe−A(t) = 0.

• Soit f une solution de l’équation y′ + ay = 0. Alors on a

∀t ∈ I, f ′(t) + a(t)f(t) = 0.

41

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

En multipliant par eA(t), on obtient

∀t ∈ I, eA(t)f ′(t) + a(t)eA(t)f(t) = 0.

On reconnaît la dérivée, nulle sur l’intervalle I, de la fonction

I → R, t 7→ eA(t)f(t)

ce qui prouve que la fonction est constante :

∃λ ∈ R, eA(t)f(t) = λ.

Finalement, il existe un réel λ tel que pour tout réel t dans I, f(t) = λe−A(t).

Remarque.Comme la fonction a est continue, elle admet nécessairement une primitive A, mais il n’est pas toujourspossible d’obtenir une expression explicite pour cette dernière.

Remarque.Si une fonction est une solution non identiquement nulle d’une équation différentielle linéaire homogèned’ordre 1, alors elle ne s’annule pas.

Solutions d’une équation linéaire homogène à coefficients constants.

L’ensemble des solutions sur R de l’équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants(EH) : y′ + ay = 0, où a est un réel, est

SH :=

R → R

t 7→ λe−at, λ ∈ R

.

Exemple.L’ensemble des solutions sur R de l’équation différentielle linéaire y′ + 3y = 0 est

S :=

R → R

t 7→ λe−3t, λ ∈ R

.Représentation graphique des courbes représentatives de différentes solutions de l’équation différentielleprécédente pour différentes valeur de λ.

42

Page 45: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

2.3. Résolution de l’équation avec second membre

Théorème. Solutions d’une équation différentielle linéaire du premier ordre

Soit f0 une solution de l’équation différentielle linéaire y′ + ay = b.Alors l’ensemble S des solutions de l’équation y′ + ay = b est

S = {f0 + f, f ∈ SH} ,

où SH désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y′ + ay = 0.

Démonstration.• Dans le sens direct, la fonction f0 est solution de l’équation y′ + ay = b donc

f ′0 + af0 = b

et la fonction f est solution de l’équation homogène associée y′ + ay = 0 donc

f ′ + af = 0

D’après le principe de superposition, la fonction f0 + f est solution de l’équation y′ + ay = b car

(f0 + f)′ + a(f0 + f) = f ′0 + f ′ + af0 + af = f ′0 + af0︸ ︷︷ ︸b

+ f ′ + af︸ ︷︷ ︸0

= b+ 0 = b.

• Réciproquement, si une fonction g est solution de l’équation différentielle y′ + ay = b, alors

g′ + ag = b

et donc g − f0 est une solution de l’équation différentielle homogène y′ + ay = b, toujours d’après leprincipe de superposition car

(g − f0)′ + a(g − f0) = g′ − f ′0 + ag − af0 = g′ + ag︸ ︷︷ ︸b

−(f ′0 + af0

)︸ ︷︷ ︸b

= b− b = 0.

Finalement, g s’écrit bien sous la forme g = f0 + (g − f0)︸ ︷︷ ︸∈SH

.

Cette démonstration ne dépend pas de l’ordre de l’équation différentielle, mais seulement de sa linéarité.

Remarque.Si f1 est une autre solution de l’équation différentielle y′+ay = b, alors {f0 + f, f ∈ SH} = {f1 + f, f ∈ SH}.

À l’aide de la résolution de l’équation homogène faite précédemment et en déterminant une solution particulière,on obtient l’ensemble des solutions de manière explicite.

Méthode. Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre

Pour résoudre l’équation différentielle y′ + ay = b,1. on détermine l’ensemble SH des solutions de l’équation homogène y′ + ay = 0 en trouvant une

primitive A de la fonction a : SH ={t 7→ λe−A(t), t ∈ R

};

2. on détermine une solution particulière f0 de l’équation différentielle y′ + ay = b ;3. on écrit S =

{t 7→ f0(t) + λe−A(t), λ ∈ R

}.

43

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

2.4. Principe de superposition

Proposition. Principe de superposition

Soient a, b1 et b2 trois fonctions continues sur I.Soit f1 une solution de l’équation différentielle (E1) : y′ + ay = b1.Soit f2 une solution de l’équation différentielle (E2) : y′ + ay = b2.Alors, pour tout réel λ, la fonction λf1 + f2 est solution de l’équation différentielle y′ + ay = λb1 + b2.

Démonstration.On a

f ′1 + af1 = b1

doncλf ′1 + λaf1 = λb1

etf ′2 + af2 = b2

En additionnant membre à membre les deux équations précédentes, on obtient

λf ′1 + f ′2 + λaf1 + af2 = λb1 + b2,

c’est-à-dire(λf1 + f2)′ + a(λf1 + f2) = λb1 + b2.

Finalement, la fonction λf1 + f2 est solution de l’équation différentielle y′ + ay = λb1 + b2.

Cette démonstration ne dépend pas de l’ordre de l’équation différentielle, mais seulement de sa linéarité.

2.5. Quelques seconds membres particuliers pour a constant

On considère l’équation y′ + ay = b, où a est un réel, dans quelques cas particuliers.

Second membre constant

L’équation différentielle y′ + ay = b admet une solution particulière constante.Celle-ci s’interprète souvent comme étant une situation d’équilibre.On remarque que c’est la limite de n’importe quelle solution convergente, lorsque (le temps) t tend vers +∞.

Proposition. Second membre constant

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire y′ + ay = b, avec a ∈ R? et b ∈ R est

S :=

R → R

t 7→ b

a+ λe−at

, λ ∈ R

.

Exemple.L’ensemble des solutions de l’équation y′ + 3y = 2 est

R → R

t 7→ 23 + λe−3t

, λ ∈ R

.44

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Second membre de type exponentiel

Proposition. Second membre de type exponentiel

Si l’équation est de la forme y′ + ay = emt, où m est un réel, alors la fonctiont 7→ 1

m+ aemt si m 6= −a

t 7→ temt si m = −aest une solution particulière.

Démonstration.Soit λ un scalaire dans R.

• La fonction f : R→ R, t 7→ λemt est dérivable sur R et vérifie

∀t ∈ R, f ′(t) + af(t) = λmemt + λaemt = λ(m+ a)emt.

Si m 6= −a, alors la fonction f : t 7→ 1m+ a

emt est solution de l’équation y′(t) + ay(t) = emt.

Si m = −a, alors aucune fonction de cette forme n’est solution de l’équation y′(t) + ay(t) = e−at.• La fonction f : R→ R, t 7→ λte−at est dérivable sur R et vérifie

∀t ∈ R, f ′(t) + af(t) = λe−at + λt(−a)e−at + aλte−at

= λ(1− at+ at)e−at

= λe−at.

En prenant λ = 1, la fonction f : R→ R, t 7→ te−at est solution de l’équation y′(t) + ay(t) = e−at.

Remarque.Plus généralement, si l’équation est de la forme y′ + ay = P (t)emt où P est un polynôme de degré n, alors

il existe un polynôme Q de degré n tel que la fonction

t 7→ Q(t)emt si m 6= −a

t 7→ tQ(t)emt si m = −asoit une solution

particulière.

Remarque.Ces résultats ne sont pas à connaître par cœur.

Exemple.1. On considère l’équation y′ + y = e2t.

Comme 2 6= −1, on cherche une solution particulière sous la forme f : t 7→ λe2t.

f est solution⇐⇒ ∀t ∈ R, f ′(t) + f(t) = e2t

⇐⇒ ∀t ∈ R, 2λe2t + λe2t = e2t

⇐⇒ ∀t ∈ R, 3λ = 1

⇐⇒ ∀t ∈ R, λ = 13 .

Finalement, la fonction t 7→ 13e

2t est une solution particulière.

L’ensemble des solutions de l’équation est

R → R

t 7→ 13e

2t + Ce−t, C ∈ R

.45

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

2. On considère l’équation y′ − y = 2et.Comme 1 = 1, on cherche une solution particulière sous la forme f : t 7→ λtet.

f est solution⇐⇒ ∀t ∈ R, f ′(t)− f(t) = 2et

⇐⇒ ∀t ∈ R, λet + λtet − λtet = 2et

⇐⇒ ∀t ∈ R, λet + λtet − λtet = 2et

⇐⇒ ∀t ∈ R, λ = 2.

Finalement, la fonction t 7→ 2tet est une solution particulière.

L’ensemble des solutions de l’équation est

R → R

t 7→ 2tet + Cet, C ∈ R

.

2.6. Méthode de variation de la constante

Méthode. Méthode de variation de la constante

Pour déterminer une solution particulière de l’équation y′+ay = b, on utilise laméthode de variationde la constante : on cherche une solution f0 sous la forme

f0(t) = λ(t)e−A(t),

où λ est une fonction dérivable sur I et où A désigne une primitive de a.

On dérive la fonction λ sur I et on obtient

f ′0(t) = λ′(t)e−A(t) − a(t)λ(t)e−A(t)

= λ′(t)e−A(t) − a(t)f0(t).

La fonction f0 est une solution de l’équation différentielle y′ + ay = b si et seulement si

b(t) = f ′0(t) + a(t)f0(t)= λ′(t)e−A(t) − a(t)f0(t) + a(t)f0(t)= λ′(t)e−A(t).

On intègre alors la relation obtenue

λ′(t) = b(t)eA(t)

pour obtenir une fonction λ qui convient et donc une solution particulière x 7→ λ(x)e−A(x) de l’équation avecsecond membre.

Exemple.On cherche une solution de l’équation y′ − ty = 3tet2 sous la forme f0(t) = λ(t)e

t22 .

En dérivant, on a f ′0(t) = λ′(t)et22 + xλ(t)e

t22 = λ′(t)e

t22 + tf0(t), c’est-à-dire f ′0(t)− tf0(t) = λ′(t)e

t22 .

Si λ′(t) = 3tet22 , alors λ′(t)e

t22 = 3tet2 et donc f0 est solution de l’équation.

En intégration, on obtient λ(t) = 3et22 + C (on prend C = 0).

Finalement, la fonction f0 : t 7→ 3et22 e

t22 = 3et2 est une solution de l’équation.

46

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

2.7. Problème de Cauchy

Définition. Problème de Cauchy

Soient t0 et y0 deux réels. On appelle problème de Cauchy de (E) de condition y(t0) = y0 le système

(Et0,y0) :

y′ + ay = b

y(t0) = y0

Théorème. Solution du problème de Cauchy

Soient y0 et t0 deux réels.

Le problème de Cauchy

y′ + ay = b

y(t0) = y0admet une

unique solution.

×(t0, y0)

Remarque.L’unique solution du problème de Cauchy

y′ + ay = 0

y(t0) = y0est la fonction f : t 7→ y0e

−A0(t), où la fonction

t 7→ A0(t) :=∫ t

t0a(t)dt est la primitive de la fonction a qui s’annule en t0.

Remarque.Soient f1 et f2 deux solutions de l’équation (E) : y′ + ay = b.S’il existe un réel t tel que f1(t) = f2(t), alors les fonctions f1 et f2 sont égales.

Méthode. Résolution d’un problème de Cauchy

Pour résoudre le problème de Cauchy(E(t0,y0)

), on résout l’équation y(t0) = y0 en utilisant la forme

des solutions trouvée précédemment.

Exemple.On cherche à résoudre le problème de Cauchy

y′ + 3y = 2

y(0) = 2.

Or l’ensemble des solutions de l’équation y′ + 3y = 2 est

R → R

t 7→ 23 + λe−3t

, λ ∈ R

.L’unique solution du problème de Cauchy est donc de la forme f : t 7→ 2

3 + λe−3t.Pour déterminer le réel λ, on utilise la condition de Cauchy

f(0) = 2 ⇐⇒ 23 + λe−3×0 = 2 ⇐⇒ λ = 4

3 .

Finalement, le problème de Cauchy admet pour unique solution la fonction t 7→ 43e−3t + 2

3 .

47

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Méthode. Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre

Pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre,1. On l’écrit sous forme résolue y′ + ay = b et on se place sur un intervalle.2. On résout l’équation homogène y′ + ay = 0.3. On cherche une solution particulière de l’équation y′ + ay = b, en utilisant éventuellement la

méthode de variation de la constante.Si le second membre s’écrit sous forme d’une combinaison linéaire, on utilise le principe desuperposition.

4. On en déduit l’ensemble des solutions de l’équation y′ + ay = b à l’aide du théorème de structure.5. Si on a une condition de Cauchy, alors on détermine l’unique solution en cherchant parmi les

solutions de l’équation y′ + ay = b celle qui vérifie la condition de Cauchy.

3. Équations différentielles du premier ordre non linéaires auto-nomes

Les équations différentielles non linéaires ne peuvent pas toujours être résolues explicitement. Cependant ilest possible d’obtenir des informations qualitatives sur les fonctions solutions : sens de variation et limite parexemple.

3.1. Introduction

L’expression générale d’une équation différentielle non linéaire d’ordre un est

y′(t) = f (yt, t) .

Cependant on ne considèrera que des équations dites autonomes, c’est-à-dire qui ne dépendent pas explicite-ment de t.

Soient deux intervalles I et J et une fonction continue f : J → R.

Définition.

On appelle équation différentielle non linéaire autonome d’ordre un toute équation de la forme

y′(t) = f(y(t)

), ∀t ∈ I

avec f : I → R, I ⊂ R.

Remarque.Les fonctions y vérifiant cette équation sont des fonctions de I dans J .

Exemple.

y′(t) = 2√y(t),∀t ∈ R

Les fonctions t 7→ 0 et t 7→ t2 × 1R+(t) sont des solutions. De plus, elles vérifient toutes les deux la conditioninitiale y(0) = 0.On n’a donc pas forcément unicité de la solution d’une équation différentielle autonome d’ordre un avec unecondition initiale.

48

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Définition. Problème de Cauchy

Soient t0 et y0 deux réels. On appelle problème de Cauchy de (E) de condition y(t0) = y0 le système

(Et0,y0) :

y′(t) = f(y(t)) ∀t ∈ I

y(t0) = y0 avec y0 ∈ J, t0 ∈ I

3.2. Unicité de la solution

Théorème. Unicité de la solution

Si la fonction f est de classe C1 sur J , alors il existe un intervalle ouvert contenant t0 (de la forme]t0− ε; t0 + ε[) tel qu’il existe une unique solution au problème de Cauchy (P ) définie sur cet intervalle.

Exemple.Notre exemple introductif,

y′(t) = 2√y(t), ∀t ∈ R, et y(0) = 0

admet plusieurs solutions (en fait une infinité). Il ne vérifie pas les hypothèses du théorème précédent car lafonction f n’est pas dérivable en 0 qui correspond à la valeur requise pour la fonction au temps initial.

Proposition. Conséquence

Soient deux solutions de (P ) : y et z.S’il existe un réel τ tel que y(τ) = z(τ), alors on a y(t) = z(t), pour tout réel t.

Remarque.Graphiquement cela signifie que les courbes représentatives de deux solutions différentes de la même équationne peuvent pas s’intersecter.En particulier, si la fonction identiquement nulle est une solution, alors toutes les autres solutions sont designe constant.

3.3. Existence globale

Proposition.

Il existe un intervalle maximal T contenant t0 tel que (P ) admet une unique solution sur T .

Définition. Solution maximale

On appelle solution maximale au problème de Cauchy (P ) une fonction de T dans R, solution de (P ),qui ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand que T .

Exemples.• y′(t) = y(t) et y(0) = 1

La fonction y de R dans R définie par y(t) = et est une solution maximale du problème précédent.

49

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

• y′(t) = y2(t) et y(0) = 1La fonction y de ] − ∞; 1[ dans R définie par y(t) = 1

1− t est une solution maximale du problèmeprécédent.

Théorème. Théorème d’existence globale

Soit y une solution maximale de (P ) définie sur T .Si y(T ) est bornée, alors T = R.

Il y a trois situations différentes concernant la limite des solutions :• soit T =]t−; +∞[ et lim

t→+∞y(t) = ` ∈ R ;

• soit T =]t−; +∞[ et limt→+∞

y(t) = ±∞ ;

• soit T =]t−; t+[ et limt→t+

y(t) = ±∞.

Dans le dernier cas, on dit que la solution explose en temps fini.

3.4. Étude qualitative de la solution maximale

Définition. Point d’équilibre

Un point y∗ ∈ J est appelé point d’équilibre de (E) si f(y∗) = 0.

Un point d’équilibre est un état d’équilibre. Si une solution maximale démarre à un point d’équilibre, alorselle y reste et, en fait, elle y a toujours été.

Proposition.

Soit y une solution maximale de (E). On suppose que f est de classe C1 sur J .S’il existe t ∈ T tel que y(t) = y∗, alors y(t) = y∗, pour tout t ∈ T .

Ainsi, si on ne démarre pas à un point d’équilibre, on ne peut pas l’atteindre. On dit que « les solutions nepeuvent pas traverser les points d’équilibre ».

Proposition. Limites possibles

Soit y une solution maximale de (E) définie sur ]t−; +∞[.Si la fonction y converge, alors elle converge vers un point d’équilibre.

Démonstration. On considère l’équation

y′(t) = f(y(t)

), ∀t ∈ I

Soit y une solution maximale de cette équation, définie sur ]t−; +∞[.• S’il existe un réel t tel que y′(t) = 0, alors f(y(t)) = 0. Ainsi il existe un point d’équilibre y∗, tel quey(t) = y∗. Et en fait, on a y(t) = y∗ pour tout t. En conclusion lim

t→+∞y(t) = y∗.

• Si, pour tout t, on a y′(t) 6= 0. Alors y′ est de signe constant (car y′ est continue). Donc la fonction y estmonotone.Or si une fonction converge et est monotone, alors, forcément, sa dérivée tend vers 0. Ainsi lim

t→+∞y′(t) = 0

donc limt→+∞

f(y(t)) = 0.De plus lim

t→+∞y(t) = l donc, comme f est continue, lim

t→+∞f(y(t)) = f(l). Par unicité des limites, on

obtient f(l) = 0. Donc la limite l est un point d’équilibre de f .

50

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

3.5. Étude complète

Soient a et b deux réels non nuls. On s’intéresse au problème de Cauchy suivant

(P ) :{y′(t) = ay(t)− by2(t)y(0) = y0

On va étudier le comportement asymptotique de la solution maximale de l’équation différentielle, en fonctionde la valeur initiale y0 = y(0).On suppose que a < 0 et b < 0. La fonction f : x 7→ ax− bx2 a pour représentation graphique :

0 a

b

La fonction f admet deux points d’équilibre 0 et ab. Donc si y0 = 0, l’unique solution est la fonction constante

égale à 0 et si y0 = a

b, alors l’unique solution est la fonction constante égale à a

b. Sinon, si y0 6= 0 et y0 6=

a

b,

la solution ne prendra jamais la valeur 0 ou la valeur ab.

Cas où y0 ∈]0;

a

b

[.

On note y la solution maximale et I son intervalle de définition.Comme y0 ∈

]0; ab

[, que y est continue et qu’une solution ne peut pas traverser les point d’équilibre, on a,

pour tout t, y(t) ∈]0; ab

[. Ainsi la solution y est bornée, c’est-à-dire y(I) est bornée. Par conséquent I = R,

la solution y est donc définie sur tout R.Pour tout t ∈ R, y(t) ∈

]0; ab

[et pour tout x ∈

]0; ab

[, f(x) < 0, on a ainsi y′(t) < 0 pour tout t. La fonction

y est par conséquent strictement décroissante. La fonction y étant de plus minorée, elle converge. Or lesseules limites possibles sont les états d’équilibre. On obtient lim

t→+∞y(t) = 0.

Cas où y0 < 0.

On note y la solution maximale et I son intervalle de définition.Comme y0 < 0, que y est continue et qu’une solution ne peut pas traverser les points d’équilibre, on a, pourtout t, y(t) < 0.Or pour tout x < 0, f(x) > 0, on a ainsi y′(t) > 0 pour tout t. La fonction y est par conséquent strictementcroissante.Comme y est croissante et majorée par 0, elle est bornée au-delà de t0. Par conséquent I = R, la solutiony est donc définie sur tout R et elle converge. Or les seules limites possibles sont les états d’équilibre. Onobtient lim

t→+∞y(t) = 0.

Cas où y0 >a

b.

On note y la solution maximale et I son intervalle de définition.Comme y0 >

a

b, que y est continue et qu’une solution ne peut pas traverser les point d’équilibre, on a, pour

51

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CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

tout t, y(t) > a

b.

Or pour tout x > a

b, f(x) > 0, on a ainsi y′(t) > 0 pour tout t. La fonction y est par conséquent strictement

croissante.D’après le théorème de la limite monotone, soit elle tend vers +∞, soit elle converge. Or si elle converge,c’est forcément vers un état d’équilibre ce qui est impossible dans ce cas. Donc on a que y tend vers +∞.Cependant on ne sait pas si c’est en +∞ ou avant, c’est-à-dire si on est en présence d’une explosion en tempsfini.

52

Page 55: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

Chapitre 4

Équations différentielles linéaires du secondordre à coefficients constants

Dans tout ce chapitre, a est un réel non nul, b et c sont deux réels et d est une fonction continue sur I.

1. Généralités

Définition. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficientsconstants

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants touteéquation de la forme

∀t ∈ I, ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = d(t), (E)

où a est un réel non nul, où b et c sont deux réels et où d est une fonction.Si d est la fonction nulle, alors on dit que l’équation

ay′′ + by′ + cy = 0, (EH)

est homogène. C’est l’équation homogène associée à (E) : ay′′ + by′ + cy = d.

Exemple.L’équation

y′′ − 3y′ − 4y = et + 1

est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

Définition. Solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coef-ficients constants

On dit qu’une fonction f : R→ R est solution sur R de l’équation ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = d(t) si etseulement si la fonction f est deux fois dérivable sur R et vérifie

∀t ∈ I, af ′′(t) + bf ′(t) + cf(t) = d(t).

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Page 56: MATHÉMATIQUES POUR L’ÉCONOMISTE 4 Polycopié de cours

CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

2. Structure de l’ensemble des solutions

Théorème. Solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre

Soit f0 une solution de l’équation différentielle linéaire (E) : ay′′ + by′ + cy = d.Alors l’ensemble S des solutions de l’équation (E) est

S = {f0 + f, f ∈ SH} ,

où SH désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène

(EH) : ay′′ + by′ + cy = 0.

La démonstration est la même que celle à l’ordre 1.

Exemple.Pour résoudre l’équation y′′ − 3y′ − 4y = et + 1,• on commence par trouver l’ensemble des solutions de l’équation homogène y′′ − 3y′ − 4y = 0• on ajoute à chacune de ces solutions une solution particulière de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = et + 1.

Proposition. Principe de superposition

Soient a 6= 0, b, c des réels. Soient d1 et d2 deux fonctions continues sur I.Soit f1 une solution de l’équation différentielle (E1) : ay′′ + by′ + cy = d1.Soit f2 une solution de l’équation différentielle (E2) : ay′′ + by′ + cy = d2.Alors pour tout réel λ, la fonction λf1 + f2 est une solution de l’équation différentielle ay′′+ by′+ cy =λd1 + d2.

La démonstration est la même que celle à l’ordre 1.

Si le second membre s’écrit comme une somme de fonctions, alors on utilise le principe de superposition.

Exemple.En additionnant• une solution de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = et ;• une solution de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = 1 ;

on obtient une solution de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = et + 1.

3. Résolution de l’équation homogène

3.1. Structure de l’ensemble des solutions

Proposition. Structure d’espace vectoriel de l’ensemble des solutions

L’ensemble des solutions de l’équation homogène ay′′ + by′ + cy = 0 contient la fonction nulle et eststable par combinaison linéaire.Par conséquent, l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre deuxest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables.

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

Démonstration. La fonction nulle est clairement solution de l’équation ay′′ + by′ + cy = 0.Soient f1 et f2 deux solutions de l’équation homogène c’est-à-dire que f1 et f2 sont deux fois dérivables etvérifient af ′′1 + bf ′1 + cf1 = 0 et af ′′2 + bf ′2 + cf2 = 0.Soit λ un élément de R.Alors la fonction λf1 + f2 est deux fois dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions deux fois dérivableet on a

a(λf1 + f2)′′ + b(λf1 + f2)′ + a(λf1 + f2) = a(λf ′′1 + f ′′2 ) + b(λf ′1 + f ′2) + c(λf1 + f2)= λ(af ′′1 + bf ′1 + cf1) + af ′′2 + bf ′2 + cf2

= λ0 + 0= 0,

ce qui prouve que la fonction λf1 + f2 est solution de l’équation ay′′ + by′ + cy = 0.Donc l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre deux est un sous-espacevectoriel de l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables.

3.2. Polynôme caractéristique

Définition. Polynôme caractéristique

On appelle polynôme caractéristique de l’équation (E) : ay′′ + by′ + cy = d le polynôme

aX2 + bX + c.

Proposition.

Soit λ un élément de R.La fonction f : R→ R, t 7→ eλt est solution de l’équation ay′′ + by′ + cy = 0 si et seulement si λ estracine du polynôme caractéristique aX2 + bX + c, c’est-à-dire aλ2 + bλ+ c = 0.

Démonstration. La fonction f est deux fois dérivable sur R de dérivées successives f ′ : t 7→ λeλt etf ′′ : t 7→ λ2eλt. Ainsi

f est solution de ay′′ + by′ + cy = 0⇐⇒ af ′′ + bf ′ + cf = 0

⇐⇒ ∀t ∈ R, a(λ2eλt

)+ bλeλt + ceλt = 0

⇐⇒ ∀t ∈ R,(aλ2 + bλ+ c

)eλt = 0

⇐⇒ aλ2 + bλ+ c = 0 en divisant par eλt 6= 0

55

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

3.3. Forme des solutions de l’équation homogène

Théorème. Solutions d’une équation différentielle linéaire homogèned’ordre 2

On considère l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 (EH) : ay′′ + by′ + cy = 0.Soit ∆ := b2 − 4ac le discriminant du polynôme caractéristique aX2 + bX + c.1. Si ∆ > 0, alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes :

λ1 = −b+√

∆2a et λ2 = −b−

√∆

2a .

L’ensemble SH des solutions de l’équation homogène est

SH :=

R → R

t 7→ Aeλ1t +Beλ2t, (A,B) ∈ R2

.

2. Si ∆ = 0, alors le polynôme admet une unique racine réelle : λ0 = −b2a .L’ensemble SH des solutions de l’équation homogène est

SH :=

R → R

t 7→ (At+B)eλ0t, (A,B) ∈ R2

.3. Si ∆ < 0, alors le polynôme admet deux racines complexes :

λ1 = −b+ i√|∆|

2a et λ2 = −b− i√|∆|

2a .

L’ensemble SH des solutions de l’équation homogène est

SH :=

R → R

t 7→ e−b

2a t

(A cos

(√4ac− b2

2a t

)+B sin

(√4ac− b2

2a t

)), (A,B) ∈ R2

.

Remarque.Dans le cas où ∆ < 0, remarquez que la constante multiplicative dans l’exponentielle, − b

2a , correspond à lapartie réelle des racines complexes du polynôme caractéristique et la constante multiplicative dans le sinus etle cosinus correspond, éventuellemnt au signe près, à la partie imaginaire des racines complexes du polynômecaractéristique.

Remarque.Dans les trois cas, l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 est unsous-R-espace vectoriel de dimension 2 de l’ensemble des fonctions deux fois dérivables.

Exemple.1. L’équation différentielle linéaire d’ordre 2

y′′ − 3y′ − 4y = 0

a pour polynôme caractéristique X2 − 3X − 4 qui admet pour racines −1 et 4.

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

L’ensemble des solutions de cette équation est est

SH :=

R → R

t 7→ Ae−t +Be4t, (A,B) ∈ R2

.2. L’équation différentielle linéaire d’ordre 2

y′′ − 2y′ + 4y = 0

a pour polynôme caractéristique X2 − 2X + 4 de racines 1 + i√

3 et 1− i√

3.L’ensemble des solutions de cette équation est est

SH :=

R → R

t 7→ et(A cos

(√3t)

+B sin(√

3t)) , (A,B) ∈ R2

.

3.4. Comportement asymptotique des solutions de l’équation homogène

Cas où ∆ > 0

Les solutions sont de la forme f(t) = Aeλ1t +Beλ2t avec A et B deux nombres réels.On suppose que A et B ne sont pas nuls.

• Si les deux racines du polynôme caractéristique sont strictement négatives, alors les solutions vont tendrevers 0 en +∞.

• Si une des deux racines du polynôme caractéristique est strictement positive, alors les solutions vonttendre vers l’infini (+ ou − selon le signe de la constante A ou B correspondant) en +∞.

Cas où ∆ = 0

Les solutions sont de la forme f(t) = (A+Bt) eλ0t avec A et B deux nombres réels.On suppose que A et B ne sont pas nuls.

• Si la racine du polynôme caractéristique est strictement négative, alors les solutions vont tendre vers 0en +∞.

• Si la racine du polynôme caractéristique est strictement positive, alors les solutions vont tendre versl’infini (+ ou − selon les signes des constantes A et B) en +∞.

Cas où ∆ < 0

Les solutions sont de la forme f(t) = e−b

2a t(A cos

(√4ac− b2

2a t

)+ B sin

(√4ac− b2

2a t

)avec A et B deux

nombres réels.On suppose que A et B ne sont pas nuls.

• Si − b

2a < 0, alors les solutions vont tendre vers 0 en +∞ (en oscillant).

• Si − b

2a > 0, alors les solutions vont osciller de façon explosive quand t tend vers +∞.

• Si − b

2a = 0, c’est-à-dire b = 0, alors les solutions vont osciller avec une amplitude entretenue quand ttend vers +∞.

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

4. Cas d’un second membre constant

Proposition. Solution particulière avec second membre constant

Si c ∈ R? et d ∈ R, alors la fonction constante égale à d

cest une solution de l’équation différentielle

ay′′ + by′ + cy = d.

Remarque.La solution particulière constante s’interprète comme étant la situation d’équilibre égale à la limite den’importe quelle solution convergente lorsque (le temps) t tend vers +∞.

Exemple.L’ensemble des solutions de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = 1 est

SH :=

f : R → R

t 7→ −14 +Ae−t +Be4t

, (A,B) ∈ R2

car la fonction constante égale à −1

4 est une solution de l’équation y′′ − 3y′ − 4y = 1.

Remarque.1. Si c est nul et que b est non nul, alors la fonction linéaire t 7→ d

bt est une solution de l’équation différentielle

ay′′ + by′ + cy = d.

2. Si b et c sont nuls, alors la fonction t 7→ d

2at2 est une solution de l’équation différentielle ay′′+by′+cy = d.

5. Problème de Cauchy

Définition. Problème de Cauchy

Soient t0, y0 et y1 trois réels.On appelle problème de Cauchy de conditions y(t0) = y0 et y′(t0) = y1 le système

(Et0,y0,y′0

):

ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = d(t)

y(t0) = y0

y′(t0) = y1

Théorème. Solution du problème de Cauchy

Soient t0, y0 et y1 trois réels.

Le problème de Cauchy

ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = d(t)

y(t0) = y0

y′(t0) = y1

admet une unique solution.

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

Méthode. Résoudre un problème de Cauchy

Pour résoudre le problème de Cauchy(E(t0,y0,y1)

), on détermine les constantes à l’aide d’un système

à deux équations et deux inconnues obtenu en écrivant y(t0) = y0 et y′(t0) = y1 et en utilisant la formedes solutions trouvée précédemment.

Remarque.Il ne suffit pas de donner deux conditions quelconques sur la fonction.Il n’est pas surprenant qu’il faille deux conditions pour obtenir une unique solution car l’ensemble dessolutions est un plan.

Exemples.• Le problème de Cauchy y′′+ y = 0 avec conditions y(0) = 0 et y(2π) = 0 admet une infinité de solutions.En effet, pour tout réel A, la fonction t 7→ A sin(t) convient.

• Le problème de Cauchy y′′ + y = 0 avec conditions y(0) = 0 et y(2π) = 1 n’admet aucune solution.En effet, toute solution de l’équation y′′ + y = 0 est une combinaison linéaire des fonctions cosinus etsinus qui sont 2π-périodiques donc est 2π-périodique.

Exemple.On cherche à résoudre le problème de Cauchy

y′′(t)− 3y′(t)− 4y(t) = 8

y(0) = 0

y′(0) = 1

• Les solutions de l’équation homogène sont toutes les fonctions de la forme t 7→ Ae−t +Be4t, où A et Bsont des réels.

• La fonction constante égale à −2 est une solution particulière donc les solutions de l’équation avec secondmembre sont toutes les fonctions de la forme t 7→ Ae−t +Be4t − 2, où A et B sont des réels.

• On cherche à déterminer les réels A et B à l’aide des conditions de Cauchy y(0) = −2 et y′(0) = 1.

y(0) = 0

y′(0) = 1⇐⇒

Ae−0 +Be4×0 − 2 = −2

−Ae−0 + 4Be4×0 = 1

⇐⇒

A+B = 0

−A+ 4B = 1

⇐⇒

A = −1

5B = 4

5

Finalement, l’unique solution du problème de Cauchy est la fonction t 7→ −15e−t + 4

5e4t − 2.

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CHAPITRE 4. ÉQUA. DIFF. LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS

6. Méthode de résolution complète

Méthode. Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre

Pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constantsay′′(t) + by′(t) + cy(t) = d(t),1. on écrit le polynôme caractéristique aX2 + bX+ c puis on calcule son discriminant et on détermine

ses racines complexes ;2. on en déduit l’ensemble SH des solutions de l’équation homogène ay′′ + by′ + cy = 0 ;3. on détermine une solution particulière f0 de l’équation avec second membre ay′′(t)+by′(t)+cy(t) =d(t) en utilisant éventuellement le principe de superposition ;

4. on écrit, d’après le théorème de structure, l’ensemble S = f0+SH = {f0 + f, f ∈ SH} des solutions ;5. on détermine l’unique solution si l’on dispose de conditions de Cauchy. Pour cela, on détermine les

constantes à l’aide d’un système à deux équations et deux inconnues obtenu en écrivant y(t0) = y0et y′(t0) = y1 et en utilisant la forme des solutions trouvée précédemment.

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