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COURS VECTEURS 3° 2006-2007 Gaëlle DJAIZ Page 1 sur 21 LES VECTEURS Objectifs du cours : I : translation : savoir la définir savoir effectuer la translation d’une figure II : égalité de vecteurs : III : IV : VI : VII : VIII : IX : Planning : Date En Classe Date A préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et explications 30 janvier 2007 I 30 janvier 2007 I – La translation 31 janvier 2007 II 31 janvier 2007 II et III 02 février 2007 IV 02 février 2007 IV et V 06 février 2007 Finir V – VI - VII 06 février 2007 Correction V, VI et VII 7 février 2007 Rendre DM 1 7 février 2007 VIII et IX 9 février 2007 Réviser pour test 30 minutes 9 février 2007 Problèmes + Test 13 février 2007 Problèmes à avancer 13 février 2007 Problèmes 14 février 2007 Problèmes à avancer 14 février 2007 Problèmes 16 février 2007 Réviser pour test 30 minutes 16 février 2007 Problèmes + Test 06 mars 2007 Problèmes 06 mars 2007 Problèmes 07 mars 2007 Rendre DM 2 07 mars 2007 Sujet Type 09 mars 2007 Réviser contrôle 09 mars 2007 Contrôle

Maths en Force ! - COURS VECTEURS 3° 2006-2007 LES VECTEURSyalamaths.free.fr/documents/3eme/vecteurs/3eme_vecteurs... · 2007-01-29 · COURS VECTEURS 3° 2006-2007 Gaëlle DJAIZ

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COURS VECTEURS 3° 2006-2007

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LES VECTEURS Objectifs du cours : I : translation :

• savoir la définir • savoir effectuer la translation d’une figure

II : égalité de vecteurs : • •

III : • •

IV : • •

VI : • •

VII : • •

VIII : • •

IX : • •

Planning : Date En Classe Date A préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et

explications 30 janvier 2007 I

30 janvier 2007 I – La translation 31 janvier 2007 II 31 janvier 2007 II et III 02 février 2007 IV 02 février 2007 IV et V 06 février 2007 Finir V – VI - VII 06 février 2007 Correction V, VI et VII 7 février 2007 Rendre DM 1 7 février 2007 VIII et IX 9 février 2007 Réviser pour test 30

minutes 9 février 2007 Problèmes + Test 13 février 2007 Problèmes à avancer 13 février 2007 Problèmes 14 février 2007 Problèmes à avancer 14 février 2007 Problèmes 16 février 2007 Réviser pour test 30

minutes 16 février 2007 Problèmes + Test 06 mars 2007 Problèmes 06 mars 2007 Problèmes 07 mars 2007 Rendre DM 2 07 mars 2007 Sujet Type 09 mars 2007 Réviser contrôle 09 mars 2007 Contrôle

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Historique : Vecteur et Vecteur !

Le mot « vecteur » vient du verbe latin vehere, « conduire » ou « transporter ». Au 18° siècle, il signifiait « conducteur de véhicule ». Ce sens est repris en médecine, puisque ce mot désigne un insecte (mouche, moustique, …) transmettant un agent infectieux d’un sujet à un autre. Dans le langage technologique et, plus particulièrement, militaire, le mot vecteur désigne un véhicule capable de transporter une charge nucléaire (bombardier, sous-marin, …). Les physiciens représentent les flux et les forces par des flèches, et associent des « vecteurs » à ces représentations pratiques. S’ils devaient représenter les forces mis en jeu dans une situation telle que celle imaginée ci-dessous de façon humoristique, ils « dessineraient » des vecteurs.

C’est un grand géomètre grec, Archimède (287-216 avant JC), inventeur du levier, que l’on attribue cette célèbre phrase : « Donnez-moi un point d’appui et je soulèverais le monde » Ce n’est qu’au 19° siècle que le mot « vecteur » a été utilisé par l’Anglais Hamilton pour désigner un être mathématique assez complexe, mais d’une utilisation simple … tout au moins au collège.

I. La translation Déplaçons la flotte A1, A2 et A3 de la manière définie ci-dessous :

direction = verticale sens = bas longueur = 3cm

Le déplacement qui envoie A1, A2 et A3 sur B1, B2 et B3 est appelé la translation de vecteur

→→→→AB

Un vecteur est défini par : - une direction (ici : la verticale) - un sens (ici : le bas) - une longueur (ici : 3cm)

3cm

B1

A1

→AB

3cm

B2

A2

→AB

3cm

B3

A3

→AB

3cm

B

A

→AB

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Pour le vecteur →AB, A est le l’origine et B est l’extrémité.

On dit que les points B1, B2 et B3 sont les images respectives des points A1, A2 et A3 par la translation de vecteur

→AB.

Une translation est un déplacement définit par un vecteur. Origine :

Le mot vecteur a été introduit en 1925 et la notation →AB en 1920.

A l’origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents.

Exercices d’application : Déplacer par translation de vecteur

→→→→AB chacune des figures suivantes :

A B

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Activité : Bonhomme et dromadaires Utilisation des vecteurs et des translations : Notion de translation définie à partir d’un vecteur. 1) Sur le quadrillage, déplacer le bonhomme heureux selon les translations de vecteurs :

→KL,

→GH,

→AF,

→AE puis

→AC.

Et le bonhomme triste selon les translations de vecteurs →ST et

→UV.

2) Sur le quadrillage, déplacer le dromadaire heureux selon les translations de vecteurs :

→IJ ,

→AB,

→AF

puis →AD.

Et le dromadaire triste selon les translations de vecteurs : →QR,

→MN,

→MP puis

→MO.

K L N M I J

G H

B A

O P

D C R Q

F E T S

V U

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II. Egalité de vecteurs

Dire que : →AB =

→CD

revient à dire que : D est l’image de C par la translation de vecteur

→AB.

Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur. Dans l’exemple ci-dessus, on peut poser :

→u =

→AB =

→CD.

On dit que →AB et

→CD sont des représentants du vecteur

→u .

Conséquences : Propriété du parallélogramme:

Si →AB =

→CD, alors ABDC est un parallélogramme.

(éventuellement aplati)

Propriété réciproque:

Si ABCD est un parallélogramme, alors →AB =

→DC

et →BC =

→AD.

Propriété du milieu: →AB =

→BC revient à dire que B est le milieu de [AC].

Méthode: A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que : →DE =

→BC

→CF =

→DC

→BG =

→AB

→HA =

→BC

B

A

→→AB

C

→CD

D

B

A

D

C

D C

B A

B

A D

C

C B

A

H

A G

B

D

C F

E

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Exemples à compléter : Tracer un rectangle ABCD, construire les points E, F, G et H tels que : →DE = 2

→BC

→CF = 3

→DC

→BG = 1,5

→AB

→HA = 0,5

→BC

Tracer un carré EFGH de côté 6 cm, construire les points E, F, G et H tels que : →DE = 0,5

→BC

→CF = 2

→DC

→BG = 3

→AB

→HA = 0,25

→BC

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III. Somme de vecteurs

t1 est la translation de vecteur

→AB.

t2 est la translation de vecteur →BC.

t est la translation de vecteur →AC.

Appliquer la translation t1 puis la translation t2 revient-il à appliquer la translation t ? Oui ! t1 t2 M M1 M2 revient à : t M M2 La composée de deux translations est une translation.

IV. Calcul vectoriel

1) Une relation vectorielle fondamentale La relation de Chasles :

→AC =

→AB +

→BC

Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n’est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d’arc à sa mère, Vercingétorix à César,…) ! Méthode: Simplifier les écritures : a)

→AM +

→MN b)

→MP +

→AM c)

→OP +

→KO +

→NK

a)

→AM +

→MN b)

→MP +

→AM c)

→OP +

→KO +

→NK

= →AN ............... …………………..

………… …………………… Exercices à compléter : Simplifier les écritures : a) BM+

→MN b)

→MP + BM c) AP + KA +

→NK

A

C

B

→AB

→AC

→BC

M M2

M1

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2) Vecteur nul et vecteur opposé

→AA +

→AB =

→AB (Relation de Chasles)

Le vecteur →AA est appelé vecteur nul, il est noté

→O

→AB +

→BA =

→AA (Relation de Chasles)

→AB +

→BA =

→O

donc →BA =

→O -

→AB

donc →BA = -

→AB

On dit que →AB et

→BA sont opposés.

→AA =

→O et

→BA = -

→AB

Méthode: Simplifier les écritures : a)

→MN +

→NM b)

→MO +

→PM +

→OP c)

→KN –

→ON +

→OK d)

→FP -

→GP

a)

→MN +

→NM b)

→MO +

→PM +

→OP c)

→KN –

→ON +

→OK d)

→FP -

→GP

= →

MM = ……………………. = …………………. = ............... =

→0 = …………… = ……………….. = ………….

= ………………. = ………. = ……………

3) Constructions de points définis à partir d’une somme de vecteurs Méthode: Soit un triangle ABC. Construire le point F tel que

→AF =

→BA +

→BC

On construit à partir de A (origine de

→AF) le vecteur

→BA +

→BC en mettant « bout à

bout » les vecteurs →BA et

→BC. On a ainsi construit le vecteur

→AF et donc le point

F. Exercice à compléter : Soit un triangle ABC, Construire le point F tel que :

→AF = 2

→BA + 3

→BC

C F

A

B →BA

→AF

→BC

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4) Autre propriété caractéristique du parallélogramme

ABDC est un parallélogramme revient à dire que

→AB +

→AC =

→AD.

V. Composée de deux symétries centrales s1 est la symétrie de centre I s2 est la symétrie de centre J Appliquer la symétrie s1 puis la symétrie s2 revient-il à appliquer une autre transformation ? Oui ! s1 s2 A A1 A2 I et J sont les milieux respectifs de [AA1] et [A1A2]. D’après le théorème des milieux : AA2 = 2 IJ et (AA2) // (IJ), donc A2 est l’image de A par la translation t de vecteur 2

→IJ .

s1 s2 A A1 A2 revient à : t A A2 Appliquer la symétrie de centre A suivi de la symétrie de centre B revient à appliquer la translation de vecteur 2

→AB.

DM 1 : P 210 N° 50-51-52 de votre livre

I

A1

J

A2

2→IJ

A

A

C

→AB +

→AC

D

B

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Activité : Course d’orientation Il s’agit de rejoindre l’arrivée par constructions successives de points définis par une expression vectorielle qu’il faudra parfois écrire plus simplement en utilisant les règles de calcul vectoriel. Vous êtes en A. Pour rejoindre l’arrivée, suivez le programme de construction : 1) Construire le point B tel que

→AB =

→PE.

2) Construire le point C image du point B par la translation de vecteur →PL.

3) Construire le point D tel que →CD =

→PK +

→PS.

4) Construire le point F tel que →DF =

→PS +

→PM.

5) Construire le point G tel que →FG =

→PG +

→GE.

6) Construire le point I tel que →GI =

→PN -

→KP.

7) Construire le point J tel que →IJ =

→PI +

→PE +

→IH .

8) Construire le point Q image du point J par la translation de vecteur →PS.

9) Construire le point R tel que →QR =

→PL +

→PO +

→PS.

10) Construire le point T image du point R par la translation de vecteur →PO suivie de la translation de

vecteur →PM.

11) Construire le point U tel que →TU =

→PH +

→PN.

12) Construire le point V tel que →UV = 2

→PH.

13) Construire le point W tel que →VW =

→PV +

→PW +

→VS +

→WL.

14) Construire le point X tel que →WX =

→XM -

→XP.

15) Construire le point Y tel que →YX = 2

→LP.

16) Construire le point Z tel que →YZ =

→PE +

→PK +

→PE.

17) Construire le point A’ tel que →A’Z =

→NP +

→LP.

18) Construire le point B’ tel que →

A’B’ = →PM +

→PO +

→PL.

19) Construire le point C’ tel que →

B’C’ = →PO +

→PM.

20) Construire le point D’ tel que →

C’D’ = →PH +

→PO +

→PS.

21) Construire le point E’ image de D’ par la translation de vecteur 3→PE.

22) Construire le point F’ tel que →

E’F’ = →PK -

→LP.

L’arrivée se trouve en F’.

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N

S

M

O

H K

L

E

P

A

COURSE D’ORIENTATIONCOURSE D’ORIENTATIONCOURSE D’ORIENTATIONCOURSE D’ORIENTATION

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Historique d’un repère

Pour situer une rue sur le plan d’une ville, pour utiliser un tableur sur un ordinateur et dans de nombreuses circonstances de la vie quotidienne ou professionnelle, nous utilisons par habitude, un système de repérage dont la création date du 17° si ècle. La légende rapporte que le mathématicien et philosophe français René Descartes (1596-1650) a eu cette idée en observant un insecte se déplacer sur les petits carreaux de sa fenêtre. Ainsi, naquirent « les coordonnées cartésiennes » et les « repères cartésiens ». Mais il ne faudrait pas en rester à cette anecdote. Descartes créa la géométrie analytique : méthode qui permet de transformer les problèmes de géométrie en équations. Ainsi, inventa-t-il les notations x² pour le carré et x³ pour le cube.

VI. Les repères du plan Il existe trois types de repère (O, I, J) 1 I 1 I 1 I J J J

O 1 O 1 O 1

Repère orthonormé Repère orthogonal Repère quelconque

Expliquer les différences ! ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………

………………………………………………………………………………………………………………

………

………………………………………………………………………………………………………………

………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………

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VII. Coordonnées d’un vecteur 1) Lecture graphique des coordonnées d’un vecteur

D B A +2 +5 +3 C F -1 +2 E +3 Pour aller de A vers B, on effectue une translation de 3 carreaux vers la droite (+3) et une translation de 2 carreaux vers le haut (+2). Les coordonnées de

→AB sont (3 ; 2).

De même, →CD = (-1 ; 5) et

→EF = (3 ; 2)

2) Calcul des coordonnées d’un vecteur

Reprenons les vecteurs représentés ci-dessus :

→AB = (5 – 2 ; 3 – 1) = (3 ; 2)

→CD = (-2 – (-1) ; 3 – (-2)) = (-1 ; 5)

→EF = (4 – 1 ; -2 – (-4)) = (3 ; 2)

Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors →AB = (xB - xA; yB - yA)

Bien que

→AB et

→EF aient des représentants différents dans le repère, ils ont les même coordonnées.

En effet, →AB et

→EF sont des vecteurs égaux.

Propriété : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

3) Déterminer les coordonnées d’un point par la donnée d’une égalité de vecteurs Méthode: A(2 ; 3) et B(5 ; 6) Calculer les coordonnées du point C tel que

→AC =

→AB.

Soit (x ; y) les coordonnées de C. →AC = (x - 2 ; y - 3) →AB = (3 ; 3) →AC =

→AB donc

x – 2 = 3 y – 3 = 3 soit

x = 5 y = 6 donc C(5 ; 6)

J0

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Exemples à compléter : A(-2 ; 3) et B(3 ; -4) Calculer les coordonnées du point C tel que

→AC =

→AB.

A(5 ; -5) et B(2 ; -9) Calculer les coordonnées du point C tel que

→AC =

→AB.

A(4 ; 7) et B(-1 ; -4) Calculer les coordonnées du point C tel que

→AC =

→AB.

VIII. Coordonnées d’un milieu yA A yM M yB B xA xM xB M est le milieu de [AB] donc

→AM =

→MB

avec →AM = (xM - xA ; yM - yA)

→MB = (xB - xM ; yB - yM)

soit : xM - xA = xB - xM yM - yA = yB - yM

soit encore : 2xM = xA + xB 2yM = yA + yB

soit enfin xM = (xA + xB) : 2 yM = (yA + yB) : 2

Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors les coordonnées du milieu M de [AB] sont :

( 2

BA xx +;

2BA yy +

)

0

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Exemple : A B C Calculer les coordonnées de M, N et P milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].

M ( 2

)2(2 −+;

2

13+) = (0 ; 2) N (

2

32+;

2

)1(3 −+) = (2,5 ; 1)

P ( 2

32+−;

2

)1(1 −+) = (0,5 ; 0)

A compléter : Calculer les milieux de [MN], [MP]et [NP].

IX. Distance entre deux points yB B Pour déterminer la longueur AB, on construit un triangle ABH dont [AB] est l’hypoténuse et dont les côtés de l’angle droit sont parallèles xA xB aux axes du repère. A yA H Théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + HB2 AB2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2

Soit AB = (xB - xA)2 + (yB - yA)2

Propriété : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors

AB = (xB - xA)2 + (yB - yA)2

La formule n’est pas à connaître mais il faut savoir appliquer la méthode.

0

0

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Exemple : 3 B - 4 3 A -3 H Théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + HB2

AB2 = 72 + 62 Soit AB = 85 Exercice à compléter : H et C sont deux points du plan muni d'un repère orthonormé dont les coordonnées sont respectivement (2,3) et (6,4). Quelle est la longueur du segment [HC] au dixième près ? Exercice à compléter : B et D sont les deux points du plan représentés dans le repère ci-dessous:

Quelle est la longueur du segment [BD] au centième près ? DM 2 : P 226 N° 35-36 et P 229 N° 52 de votre livre

0

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IX. Problèmes

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X. Exercices de contrôle