Mécanique des fluides

Exploitation d’une expérience

Écoulement de Poiseuille

( )2 22 1( )( )

4

P Pv r r R

Lη−= −

Vidéo : http://html5.ens-lyon.fr/CSP/Physique-animee/Poiseuille/La_physique_animee_Poiseuille.webm

Expérience d’Osborne Reynolds (1880)

(Photographie : Ce que disent les fluides, E. Guyon, J-P Hulin et L. Petit, Belin, Pour la Science.)Vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=6OzAx1bPGD4

Transition entre les différents régimes

Interprétation de l’équation de Navier-Stokes sous l’angle convection/diffusion(fluide incompressible dans un référentiel galiléen)

( ) ( )( )v grad vv

g gradPt

vρ ρ ηρ∂

+ = −∂

⋅ + ∆�

�������

������� ��

Dérivée convective de la quantité de mouvement volumiqueTransport convectif de quantité de mouvement volumi que

Équation de diffusion de la quantité de mouvement volumiqueTransport diffusif de quantité de mouvement volumiq ue

( ) ( ) 0t

vv η ρ

ρρ

∂− =

∂∆

�

�

Transport diffusif de quantité de mouvement

( ) ( )v v vηη ρ ρρ

ν= =∆ ∆ ∆� � �

Viscosité cinématique : ν = η/ρν = η/ρν = η/ρν = η/ρ en m2s-1

Eau Air Glycérol

η viscosité dynamique (Pl) η ∼ 10-3 Pl η ∼ 10-5 Pl η ∼ 1 Pl

ν viscosité cinématique (m2s-1) ν ∼ 10-6 m2s-1 ν ∼ 10-5 m2s-1 ν ∼ 10-3 m2s-1

ρ masse volumique (kgm-3) ρ ∼ 103 kgm-3 ρ ∼ 1 kgm-3 ρ ∼ 103 kgm-3

Ordres de grandeur – Viscosité dynamique η vs viscosité cinématique νViscosité cinématique : ν = η/ρν = η/ρν = η/ρν = η/ρ

Données issues des pages perso sur https://www.limsi.fr/fr/ (Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur)

Air 300 K 600 K

1 bar η ∼ 1,846 10-5 Pl η ∼ 3,058 10-5 Pl

200 bars η ∼ 2,373 10-5 Pl η ∼ 3,237 10-5 Pl

Eau 0 °C 20°C 100°C

η (10-3 Pl) 1,79 1,01 0,28

Nombre de Reynolds Re

L’équation de Navier-Stokes est très difficile à résoudre ⇒ recherche de termes prépondérants (ordres de grandeur et résolution numérique)

On considère un problème d’échelle spatiale caractéristique L et de vitesse caractéristique V.La vitesse V est la vitesse relative du fluide par rapport à l’obstacle ou au tuyau.L’échelle spatiale dépend du problème étudié : - pour un écoulement dans un tuyau il s’agit du diamètre du tuyau L = Øtube ;- pour l’écoulement autour d’un obstacle, il s’agit du « diamètre » de cet obstacle L = Øobstacle

(implicitement le diamètre de l’écoulement est très supérieur à L).

( )( )terme V

terme ( )

v grad v L

v

VLρ

ν ρ νρη

⋅= = =

∆=convectif

diffusif

� �

�

����

Re

Régimes caractéristiques (valeurs de Re précisées dans la suite)

� Grand nombre de Reynolds Re >> 1 : transport convectif prépondérant ⇒ écoulements turbulents

� Faible nombre de Reynolds Re << 1 : transport diffusif prépondérant ⇒ écoulements laminaires

https://www.youtube.com/watch?v=R7Fz8q0lOSo

Exercice 1 - Recherche internet (mécanique des fluides et médecine)

Notations : Q = débit volumique, d = L diamètre tube, µ = η = viscosité

L’expression du nombre de Reynolds est-elle correcte ?

Exercice 2 – Une autre définition du nombre de Reynolds Wikipédia (https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number )

Retrouver l’expression du nombre de Reynolds

32

2

forces d'

forces e

x

VLma L VLTVv TLS eLz

ρ ρ ρη ηηη

= = = =∂∂

inertievisqueuses

�

∼

�

R

Nombre de Reynolds

Physics of Life - The Reynolds Number and Flow Aroun d Objectshttps://www.youtube.com/watch?v=0ThQ_nD97hY

The State University of New York College of Environmental Science and Forestry (SUNY-ESF) in Syracuse, New York

Flow = écoulementLaminar = laminairePipe = tuyau / tubeDye = colorantStreamline = ligne de courantVortex / vortices = tourbillon(s)Retrograde flow = recirculationShed = décollementSteady / unsteady = stationnaire / non stat.Boundary layer = couche limite

Régimes d’écoulements - Vidéo

Régimes d’écoulements - Résumé

Écoulement laminaire - Re = 1,54 Apparition de 2 tourbillons fixes - Re = 26

Sillage turbulent - Re = 8000Tourbillons périodiques - Re =200

(Photographies : Hydrodynamique physique, E. Guyon, J-P Hulin et L. Petit, EDP, CNRS Éditions.)

Nombre de Reynolds et fréquence de décollement des vortex

Stunning Flow Visualization Labhttps://www.youtube.com/watch?v=JI0M1gVNhbw

http://www.flowvis.org/

Re = 4430

Force(s) de frottement fluide

Force de traînée (drag force)

Étude d'une huile moteur. BTS chimiste 2014http://www.chimix.com/an14/bts14/chim2.html

Force de frottement sur les objets et mouvement relatif par rapport à un fluide(voitures, avions, bateaux, poissons, oiseaux…)

Traînée d’un solide dans un fluide

Traînée = force de frottement F exercée sur en solide en mouvement relatif à la vitesse v parrapport à un fluide de masse volumique ρρρρ

Connaissances antérieures :� À « faible » vitesse ⇒ F ∝ v� À vitesse « élevée » ⇒ F ∝ v2

À vitesse élevée, on postule : F ∝ v2 ; F ∝ ρ ; F ∝ S (section principale) ⇒ F = C ρρρρ ππππr2 v2

On définit, dans tous les cas (à toute vitesse), un coefficient de traînée C sans dimension par :

2 2

FC

r vρπ=

Traînée (sphère) – Résultats expérimentaux

http://hmf.enseeiht.fr/travaux/projnum/book/export/html/896

log(C)

log(Re)

2 2

FC

r vρπ=

VLρη

=Re

http://hmf.enseeiht.fr/travaux/projnum/book/export/html/896

log(C)

log(Re)

2 2

FC

r vρπ=

VLρη

=Re

Traînée (sphère) – Modélisation

log(C) = constante ⇒ C = cte

Traînée sphère de rayon r

Conséquences :

� À « faible » vitesse ⇔ Re << 1 ⇒⇒⇒⇒ F = 6 ππππ ηηηη r v

� Vitesses intermédiaires F = ??

� À vitesse « élevée » ⇔ Re >> 103 ⇒⇒⇒⇒ F = C ρρρρ ππππr2 v2

6F rvπη= −�

�

2F C r v vρπ= −�

� �

Une autre interprétation du nombre de Reynolds :

22[C v ] v v

[6 v]

r r LRe

r

ρπ ρπη η ν

= = =

http://www.meca.u-psud.fr/cours/L3_TP_Sillage.pdf

Caractère universel – Sphère / cylindre

Généralisation : corps de dimension caractéristique L de section S

� À « faible » vitesse ⇔ Re << 1 ⇒⇒⇒⇒ F = K ηηηη L v

� À vitesse « élevée » ⇔ Re >> 103 ⇒⇒⇒⇒ F = C ρρρρ S v2

http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml

Influence de l’état de surface

Pour quelques mm

Décollement de la couche limite

http://abyss.uoregon.edu/~js/glossary/boundary_layer.html

Décollement de la couche limite ⇒ augmentation de la traînée

Recollement de la couche limite

http://www.3af.fr/article/culture/gustave-eiffel-pionnier-de-l-aerodynamique

Influence de la rugosité => diminution de la traînée Sports : balles rugueuses (golf, tennis, baseball)Aérodynamisme : peau de requin, combinaisons de courses (ski, vélo…)

Conclusion

Modélisation des écoulements

Modèle de l’écoulement parfait

Tous les phénomènes diffusifs sont négligeables (viscosité, diffusion thermique) doncécoulement adiabatique et réversible car pas de causes d’irréversibilité (frottements) :l’écoulement est isentropique .

Modèle de la couche limite

Un problème réel peut souvent se décomposer en deux situations distinctes :

� un écoulement parfait hors d’une couche limite d’épaisseur δδδδ localisée au voisinagedes obstacles (parois…) ;

� un écoulement visqueux dans la couche limite .

→ Quelle est l’épaisseur δ de cette couche limite ?

L >> δ

δδδδ

Profil des vitesses

À la limite :

Épaisseur de la couche limite

Schématisation de l’écoulement dans un canal à ciel ouvert

À la frontière entre la couche limite et l’écoulement parfait, les termes convectif et diffusif sontdu même ordre de grandeur.

2v( )v grad v

Lρ ρ⋅� �

∼

����

2

vv

δη η∆�

∼

2

2

v v

Lρ η

δ≈

Écoulement visqueux (transport diffusif prédominant)

Écoulement parfait (transport convectif prédominant)

On en déduit :1

L

δ≈

Re

Étude des écoulements

http://fr.wikipedia.org/wiki/Turbuleance#mediaviewer/File:Airplane_vortex_edit.jpg

Cadences d’atterrissage, accidents dues aux turbulences, mélanges de liquides (procédés industriels, médicaments…)

http://www.3af.fr/article/culture/gustave-eiffel-pionnier-de-l-aerodynamique

L'exécution d'essais sur maquette nécessite de satisfaire des conditions de similitude permettant de transposer au vol réel des résultatsobtenus sur maquette en soufflerie. Une première condition est la similitude géométrique, la maquette devant reproduire le plus fidèlementpossible la forme du véhicule. Il s'agit aussi d'assurer l'égalité de nombres sans dimensions , ou paramètres de similitudes, dont les plusimportants en aérodynamique classique sont le nombre de Reynolds Re, qui caractérise les effets de la viscosité de l'air et en particulier latraînée, et le nombre de Mach.

Le nombre de Reynolds d'essai Re = ρVL/µ est en général plus faible que dans la réalité, la maquette étant plus petite que le véhicule réel.Faute de pouvoir jouer sur les dimensions de la maquette et sur la vitesse, le nombre de Reynolds d'essai peut être augmenté en accroissantla masse volumique ρ du gaz, ce qui est réalisé par augmentation de la pression (cas des souffleries dites pressurisées) ou par diminution dela température en injectant dans le circuit de l'azote liquide (cas des souffleries dites cryogéniques). En outre, le refroidissement du gazdiminue la viscosité moléculaire, ce qui contribue à augmenter le nombre de Reynolds d'essai. Pressurisation et cryogénisation sontcombinées dans l'European Transonic Wind tunnel (ETW) installé à Cologne en Allemagne, qui peut simuler des nombres de Reynoldsidentiques à ceux des avions gros porteurs actuels.

Encyclopédie Universalis (http://www.universalis.fr/encyclopedie/aerodynamique/)

Autres fluides - Mélanges

https://www.youtube.com/watch?v=RIUEZ3AhrVE

Fluides non NewtoniensUn fluide est dit non newtonien lorsque les déformations ne sont pas reliées linéairement aux

contraintes visqueuses. Autrement dit, lorsque sa vitesse de déformation (ou taux de cisaillement) n'estpas directement proportionnelle à la force qu'on lui applique.

Le meilleur exemple est celui du sable mouillé en bord de mer : quand on frappe le sable, il a laviscosité élevée d'un solide, alors que lorsqu'on appuie doucement dessus, il se comporte comme unepâte.

Un autre exemple typique est un mélange épais d'eau et de Maïzena (fécule de maïs), dans lequelune main entre aisément à faible vitesse, mais ne peut rentrer à grande vitesse. (D’après Wikipédia)

https://www.canal-u.tv/video/espci_paristech/comment_bien_melanger_deux_fluides_du_chaos_en_cuisine_et_au_chantier.10588

Problématique des mélanges fluides/fluides, fluides/solides, milieux granulaires…

Aérodynamisme – Phénomènes météo (photographies)

http://inter.action.free.fr/labo-aero/aero-trainee/aerodynamique-trainee.html

Comment bien mélanger deux fluides : du chaos en cuisine et au chantier