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mécanique des fluides rappels d'hydrostatique écoulement des fluides réels Distributeurs, verins, pompes, moteurs hydrauliques sont aujourd'hui des composants que l'on rencontre dans tous les automatismes hydrauliques. Un technicien, même non spécialiste de l'hydraulique, doit avoir des notions suffisantes pour comprendre le fonctionne- ment de ces appareils, aussi bien pour les mettre en oeuvre que pour assurer leur maintenance. 1.1. DÉFINITIONS Fluide parfait Un fluide parfait est un fluide à l'intérieur duquel les forces de cohésion sont nulles. L'eau est plus proche de la définition d'un fluide parfait que l'huile. 1 Dans un fluide parfait, les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur les- quels elles s'exercent. Fluide réel Dans un fluide réel en mouvement, les forces de contact possèdent des composantes tangentielles qui s'opposent au glissement relatif des couches fluides: 194 c'est la viscosité. La viscosité est définie pour un fluide réel en mouvement. Dans le cas d'un fluide réel au repos, on admettra que les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s'exercent. Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donnée ne varie pas en fonction de la pression extérieure. La masse volumi- que d'un fluide incompressible est constante; celle-ci s'exprime par: p (kg/m 3 ). Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.). Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression extérieure. La masse volumique d'un fluide compressible est variable. Les gaz sont des fluides compressibles.

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mécanique des fluidesrappels d'hydrostatiqueécoulement des fluidesréels

Distributeurs, verins, pompes, moteurs hydrauliques sontaujourd'hui des composants que l'on rencontre dans tous lesautomatismes hydrauliques.Un technicien, même non spécialiste de l'hydraulique, doitavoir des notions suffisantes pour comprendre le fonctionne­ment de ces appareils, aussi bien pour les mettre en œuvreque pour assurer leur maintenance.

1.1. DÉFINITIONS

Fluide parfait

Un fluide parfait est un fluide à l'intérieur duquel lesforces de cohésion sont nulles.L'eau est plus proche de la définition d'un fluideparfait que l'huile.

1Dans un fluide parfait, les forces de contact sontperpendiculaires aux éléments de surface sur les­quels elles s'exercent.

Fluide réel

Dans un fluide réel en mouvement, les forces decontact possèdent des composantes tangentielles quis'opposent au glissement relatif des couches fluides:

194

c'est la viscosité. La viscosité est définie pour unfluide réel en mouvement.

Dans le cas d'un fluide réel au repos, on admettraque les forces de contact sont perpendiculaires auxéléments de surface sur lesquels elles s'exercent.

Fluide incompressible

Un fluide est dit incompressible lorsque le volumeoccupé par une masse donnée ne varie pas enfonction de la pression extérieure. La masse volumi­que d'un fluide incompressible est constante; celle-cis'exprime par: p (kg/m3

). Les liquides peuvent êtreconsidérés comme des fluides incompressibles (eau,huile, etc.).

Fluide compressible

Un fluide est dit compressible lorsque le volumeoccupé par une masse donnée varie en fonction de lapression extérieure. La masse volumique d'un fluidecompressible est variable. Les gaz sont des fluidescompressibles.

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

1.2. PRESSION EN UN POINT D'UNFLUIDE PARFAIT (ou d'unfluide réel au repos)

En mécanique des fluides, on utilise encore trèssouvent le bar; le bar est égal à peu près à la pressionatmosphérique moyenne:

1 bar = 0,1 MPa .

Le rapport de la norme du vecteur force sur lasurface de la facette sur laquelle elle s'exerces'appelle la pression PA du fluide au point A.PA est un nombre positif (fig. 1.1):

1.5. THÉORÈME DE PASCAL

Propriété:

La pression en A est indépendante de l'orientationde la facette autour du point A.

Considérons un élément de volume d'un fluide incom­pressible (liquide homogène de poids volumiquem). Cet élément de volume a la forme d'un cylindred'axe (G, il) qui fait un angle a avec l'axe vertical(0, z) d'un repère :R(O, X, y, z). Soit lia longueurde ce cylindre et soit dS sa section droite (fig. 1.2).

~

dP

Fig. 1.2.

/o

~ rzr -->dF nIl ..

Fig. 1.1.

IIffFliPA=-­

dS

surface élémentaire de la facette de centreA (en millimètres carrés) ;vecteur unitaire en A de la normale exté­rieure à la facette;force élémentaire de pression qui s'exercesur la facette (en newtons) ;pression en A (en mégapascals).

avec:dS

Soit G I d'altitude z\ et G z d'altitude Zz, les centres desurface des sections droites extrêmes.Etudions l'équilibre du cylindre élémentaire; celui-ciest soumis aux:- actions à distance: son poids:

1.3. FORCE DE PRESSION (fig. 1.1)

Sur la facette de centre A, d'aire dS, orientée parsa normale ---txtérieure n, la force de pressionélémentaire dF s'exprime par: dP = - ml dS z. (1)

1.4. UNITÉ DE PRESSION

- actions de contact:forces d~ression s'exerçant sur la surface latérale,notons dF j l'une d'elles;forces de pression s'exerçant sur les deux surfacesplanes extrêmes. Soient PI et Pz les pressions du fluiderespectivement en G I et en Gz :

L'unité légale de presion est le pascal (Pa) :

1 Pa = 1 N/mz :

dF\ = - Pl dS( - il) = PI dS il ,- d ~dFz = - Pz Su.

(2)

(3)

Cette unité est très petite, on utilise le plus souventses multiples; en construction mécanique, résistancedes matériaux, etc., l'unité utilisée est le mégapascal :

Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans lefluide, écrivons que la résultante des forces extérieu­res qui lui sont appliquées est nulle:

1 MPa = 1 N/mnr . (4)

195

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

En projection sur l'axe de symétrie (G, û) du cylin­dre,

- 1IT1 dS cos a + Pl dS - P2 dS = O.

1.6. POUSSÉE D'UN FLUIDE SURUNE PAROI VERTICALE

Exprimons la différence de pression PI - P2 aprèsavoir divisé par dSet remarqué que 1cos a = z2 - ZI

(5)

Unités: Pl et P2 en pascals, 1IT en newtons par mètrecube, Zl et Z2 en mètres.

Hypothèses

La paroi verticale possède un axe de symétrie(G, y) ; G est son centre de surface. D'un côté de laparoi il y a un fluide de poids volumique 1IT, de l'autrecôté, il y a de l'air à la pression atmosphériquePo' On désigne par PG la pression effective au centrede surface G (fig. 1.3).

Autre forme plus générale de la relation (5)

En divisant les deux membres de (5) par 1IT :

Comme G l et G2 ont été choisis de façon arbitraire àl'intérieur d'un fluide de poids volumique 1IT, on peutécrire en un point quelconque d'altitude z, où règnela pression P :

x

~

dF

Fig. 1.3.(6)1 ~+z=Cte 1·

Supposons qu'au point G2 (fig. 1.2), intervienne unevariation de pression telle que celle-ci devienne(P2 + flp 2), flP2 étant un nombre algébrique. Calcu­lons la variation de pression flPl qui en résulte enG,.

Appliquons la relation fondamentale de l'hydrostati­que (5) :

(5)

Recherchons les éléments de réduction en G dutorseur associé aux forces de pression sur la paroi.

Compte tenu de l'existence de l'axe de symétrievertical (G, y) désignons par ME (G, J) le centred'une facette d'aire dS. En M la pression relatives'exprime par (voir relation (5)) :

Entre GIet G2, avec le nouvel état de pression:avec dans le repère (G, X, y, z) défini à la figure 1.3 :YG = 0 et YM = y, donc

soitPM=PG- 1ITY·

et d'après (5): flp, - flP2 = 0 Exprimons la force de pression relative en M:

ouëi7 = (PG - 1ITY) dS X.

SOI't {"P } le torseur associé aux forces de"pousséepression relative:

Théorème de Pascal

Dans un fluide incompressible en équilibre, toute"ariation de pression en un point entraîne la même"ariation de pression en tout point.

{bpoussée}

G

R =f M,(S)

MG = f GM AM(S)

196

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

Calcul de la poussée il:

R= f (PG - 'lITy) dS x,(S)

que l'on peut écrire en mettant en facteur les termesconstants:

R= [h IrS) dS - 'lIT IrS) y dS] x.

On note que f dS = S (aire de la paroi),(S) /

f ydS = YG S = 0(S)

(moment statique de la surface S par rapport à l'axe(G, :1) passant par le centre de surface G),

donc

Calcul du moment au centre de surface G des forces depression MG:

-> f - -MG = GM AdF,(S)

avec dans le repère (G, x, y,:1) et d'après leshypothèses de symétrie:

Existe-t-iJ un point Go où le moment résultant desforces de pression est nul?

Compte tenu de l'hypothèse de symétrie, si ce pointexiste il appartient à l'axe (G, y) et il est tel que:

Ecrivons alors que:

GGoAR = MG'

Avec les résultats précédents, on obtient:

YoY Ah Sx = 'lIT/(G, Z) i,

ce qui conduit à

Go existe, il s'appelle «le centre de poussée» de laparoi, il est toujours au-dessous du centre de surfaceG.

Applications numériques

Nous allons calculer la résultante Il R Il des forces depression et la position Yo du centre de poussée Go pour deuxparois très différentes par leurs dimensions et par lespressions qu'elles subissent.

GM = y. y et - ~dF = (PG - 'lITy) dS x , APPLICATION 1

donc

MG = f [y. y A (PG - 'lITy) dS x] .(S)

Un barrage peut être assimilé à une paroi de 200 m de long etde 60 m de hauteur. Le poids volumique de l'eau est1:lT = 9,81.10 3 N/m3 (fig. 1.4).

Notons que y A X = - :1:

MG = [PG f y dS - 'lIT f y2 dS] . (- i) .(S) (S)

On note que f y dS = YG S = 0(S)

et que f y 2 dS = /(G, :1),(S)

moment quadratique de la surface S par rapport àl'axe (G, i) passant par le centre de surface G, donc

-->MG = 'UT/(G, "i)"i.

En résumé:

y

A

(5)E0 G<D -------lx,Il Go z.c::

b=200 m

Fig. 1.4.

-h

avec PG = 'Uj"2 (en A, sommet du barrage, la pression

effective de l'eau est nulle),

Numériquement: Il fi II = 3,53.10 9 N.

{'l>poussée} = {PG Si, }

G 'UT/(G,"i)"i

S = bh, donc Il R Il

197

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

Calcul de Yo:

'I17/(G, z)Yo = - PG S

bh}avec /(G, Z) = 12' on trouve

hYo = - 6'

Numériquement: Yo = - 10 (m).On voit que le centre de poussée est très au-dessous ducentre de surface et dans le calcul de stabilité du barrage ilest hors de question de confondre ces deux points.

APPLICATION 2

Un piston de vérin a un diamètre d = 60 mm. n règne aucentre de surface G du piston une pression effective de40 bar, soit environ PG = 4 MPa.L'huile contenue dans le vérin a un poids volumique

'fIT = 9,81 x 0,8 x 10 3 N/m3 (fig. 1.5) .

Compte tenu des faibles dimensions, utilisons le millimètrecomme unité de longueur :

d=6Omm, P G=4MPa,

'fIT = 9,81 x 0,8 x 10 -6 N/mm3•

y

d=60

z

Fig. 1.5.

Numériquement: Yo"" - 0,44.10 -3 (mm).On voit que le centre de poussée est très voisin du centre desurface. Dans les calculs de poussée de vérins il est tout à faitnonnal de les confondre.

1.7. THÉORÈME D'ARCHIMÈDE

Dans un fluide (E) de poids volumique 'lU, imaginonsun certain volume de fluide (El) délimité par uncontour fermé (5) (fig. 1.6).

Fig. 1.6.

Si le fluide est au repos, il est évident que (El) est enéquilibre sous l'effet des actions mécaniques extérieu­res suivantes:- Action de la pesanteur; modélisable par le tor­seur:

- Action des forces de poussée du fluide (E2 ) quientoure (El) ; modélisable par le torseur:

On peut donc écrire l'équation d'équilibre de (El) :

Numériquement: Il il Il "" Il,3.10 3 N.

Calcul de Il il Il :

IIRII =PG S,

Calcul de Yo:

'I17/(G, z)Yo = - PG S

198

'Trd 2

avecS = 4'

_ 'Trd4

avec/CG, z) = 64'

Nous savons qu'en G, centre de gravité du fluide(El) le torseur des forces de pesanteur se réduit à unglisseur

Il est donc évident qu'au mêm~ointG le torseur desforces de pression telles que dF (fig. 1.6) se réduiralui aussi à un glisseur:

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

L'équation d'équilibre de la portion de fluide (El)s'écrit:

(El) est ici une portion de fluide et i est le poids dufluide occupant le volume (El)' Si le volume(El) est occupé par un solide immergé, les forces depoussée sur le contour (S) sont les mêmes; ce quirevient à dire que la force de poussée ne dépend quedu volume du « fluide déplacé» et non pas de lanature du solide immergé (plomb, polystyrène, etc.,par exemple).

Théorème

Tout corps solide immergé dans un fluide enéquilibre est soumiUe la part de celui-ci à desforces de pression dF dont les actions mécaniquessont modélisables au centre de grarité du fluidedéplacé par un glisseur dont la résultante estdirectement opposée au poids du fluide déplacé.

RE.ARQUE

• Si le fluide dans lequel est immergé un solide esthomogène, le centre de poussée G du fluide sur lesolide est confondu avec le centre de gravitéG I du fluide déplacé.

• Si le solide immergé est homogène, son centre degravité G 2 est confondu avec celui du fluide déplacéG I et sa position d'équilibre est indifférente.

• Si le solide immergé n'est pas homogène (exem­pie: navire) le centre de gravité G 2 de celui-ci n'estpas confondu avec le centre de gravité G 1 du fluidedéplacé,' l'équilibre du solide n'est alors assuré quedans la position pour laquelle le centre de pousséeG est au-dessus et sur la même verticale que lecentre de gravité G 2 du solide (fig. 1.7).

2.1. ÉCOULEMENT PERMANENT

1L'écoulement d'un fluide est dit permanent si le.. champ des yecteurs ritesse des pa~cules fluides estindépendant du temps.

Notons cependant que cela ne veut pas dire que lechamp des vecteurs vitesse est uniforme.L'écoulement permanent est le seul que nous auronsà considérer dans ce cours. Un écoulement non­permanent conduirait à considérer les effets d'inertiedes masses fluides ce qui n'est pas au programme.

2.2. ÉQUATION DE CONTINUITÉ.DÉBIT MASSIQUE. DÉBITVOLUMIQUE

Considérons une veine fluide animée d'un écoulementpermanent. Soient VI et V2 les vecteurs vitessed'écoulement respectivement à travers les sectionsSI et Sz de la veine (fig. 1.8). Notons que Il VIII et

Il v2 11 ne sont que des vitesses moyennes, tous lespoints de SI par exemple ne sont pas nécessairementanimés de la même vitesse. La vitesse moyenned'écoulement est définie par la relation (4) ci-après.

A l'instant t, on considère une certaine masse defluide (m) comprise entre les sections (SI) et(S2)' Soit p la masse volumique du fluide.A l'instant t + dt, la masse (m) s'est déplacée et setrouve comprise entre (Si) et (Si).

~

~F(1-->2)

~

~F(1-->2)~

~F(1-->2)

2

1 1

2

P21 =Fluide homogène2 =Solide homogèneEquilibre indifférent

-->P2

1 =Fluide homogène2 =Solide non homogènePosition de non équilibre

Fig. 1.7.

P2

1 =Fluide homogène2 =Solide non homogèneEquilibre stable

199

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(2)

Hydraulique et thermodynamique appliquées

Fig. 1.8.

Écrivons que la masse élémentaire (dm) de fluide quis'est écoulée à travers (S]) est la même que cel1e quis'est écoulée à travers (S2). Cela traduit la continuitéde l'écoulement :

(1)

Débit massique

Le débit massique d'une yeine fluide est la limitedm

du rapport - quand dt ---> 0 :dt

qm est la masse de fluide par unité de temps quitraverse une section droite quelconque de la conduite.

Unités:

dm en kil10grammes (kg) ;dt en secondes (s) ;qm en kilogrammes par seconde (kg/s).

Exprimons le débit massique d'après la relation (1) :

dm dx] dX2qm == dt == pSI dt == p S 2 dt'

Unités:qm débit massique en kilogrammes par seconde

(kg/s) ;p masse volumique en kilogrammes par mètre

cube (kg/m3) ;

S section de la veine fluide en mètres carrés(m2

) ;

v vitesse moyenne du fluide à travers (S) enmètres par seconde (m/s).

Cette relation (3) qui définit le débit massique estappelée « Equation de continuité» (pour un écoule­ment permanent).

Débit volumique

Soit d V le volume élémentaire de fluide comprisentre les sections droites (SI) et (Si) d'une part(S2) et (S2) d'autre part (fig. 1.9).On sait que dm == p . dV.

Le débit yolumique d'une yeine fluide est la limitedV

du rapport - quand dt ---> 0dt

1 q, = dV 1dt

qv est le volume de fluide par unité de temps quitraverse une section droite quelconque de la conduite.

Unités:

d Ven mètres c~bes (m 3) ;dt en secondes (s) ;q v en mètres cubes par secondes (m 3/S).

D'après la relation (3) et en notant que d V == dm onp

peut écrire également que qv == qm soitp

Unités:qv débit volumique en mètres cubes par seconde

(m 3/s) ;S section de la veine fluide en mètres carrés

(m2) ;

v vitesse moyenne du fluide à travers (S) enmètres par seconde (m/s).

avec:

~~l == VI == Il VIII: vitesse moyenne d'écoulement

de la veine fluide à travers S] ;

~7 == V2 == Il V2 11: vitesse moyenne d'écoulement

de la veine fluide à travers S2 ;D'après (2) :

q v == Sv == Cte 1. (4)

Soit, dans une section droite quelconque S de la veinefluide à travers laquel1e le fluide s'écoule à la vitessemoyenne v: d'écoulement est définie par

200

1 q m == p Sv == Cte 1· (3)

REMARQUE

1La vitesse moyenne(4) :

qvv==S'

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

2.3. THÉORÈME DE BERNOULLIPOUR UN ÉCOULEMENTPERMANENT D'UN FLUIDEPARFAIT INCOMPRESSIBLE

Ici pour une masse m de 1 kg :

~L:2J' (1)

Considérons dans une conduite parfaitement lisse ledéplacement d'un certain volume d'un fluide parfaitincompressible (fig. 1.9).Supposons que la masse fluide comprise entre lessections SI et S2 se soit écoulée jusqu'en S; etSl de telle façon qu'entre SI et S; d'une part,.52 et S2 d'autre par la masse du fluide écoulé soit de1 kg. Tout se passe comme si cette masse de fluide de1 kg était passée de la position 1 à la position 2(fig. 1.9).

z

m=1 kg

avec Ecin en joules par kilogrammes et v en mètrespar seconde.

Energie potentielle de pression

Cette énergie s'exprime comme le travail des forcesde pression à travers la section Spour un déplacement~x (voir fig. 1.9):

E pres = p • S . ~x ;

notons que S . ~x est le volume occupé par la massede fluide de 1 kg, c'est-à-dire le volume massique.

Si p est la masse volumique du fluide:

et l'énergie potentielle de pression pour une masse de1 kg:

(2)

avec Ep'res en joules par kilogramme, p en pascals,p en kilogrammes par mètre cube.

Fig. 1.9.

Energie potentielle de pesanteur

Epes = mgz,

avec z = altitude du centre de masse de la masse(m = 1 kg) du fluide considéré:

Cette énergie s'exprime comme le travail possible desforces de pesanteur. Soit g la valeur de l'accélérationde la pesanteur du lieu considéré:

avec Epes en joules par kilogramme, g en mètres parseconde carrée, z en mètres.

D'où l'équation de Bernoulli pour une masse defluide de 1 kg :

(3)

(4)

1 Epes = gz 1,

,,2 P- + - + gz= ete2 p

Si aucune énergie n'est échangée entre le fluide et lemilieu extérieur pendant le trajet de celui-ci, de laposition 1 à la position 2 (pas de frottement, pasd'échange de chaleur etc.) nous savons que l'énergiemécanique de la masse de 1 kg de fluide est invaria­ble.Nous allons exprimer cette énergie mécanique.Pour un fluide incompressible, l'énergie mécaniquepeut prendre trois formes:- énergie cinétique (Ecin ),

- énergie potentielle de pression (Epres )'

- énergie potentielle de pesanteur (Epes )'

Energie cinétique

Soit V le vecteur vitesse de l'écoulement à travers lasection S.Il VIl = v (vitesse moyenne de l'écoulement à traversS):

1 2Ecin = 2mv l'unité de chaque terme de la relation (4) est le

joule par kilogramme (Jjkg).

201

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

2.4. CAS D'UN ÉCOULEMENT1 _ 2 SANS ÉCHANGE DETRAVAIL

Ce cas se rencontre lorsque, entre les positions 1 et 2du fluide, il n'y a aucune machine, ni réceptrice, nimotrice (fig. 1.9).D'après la relation (4) on peut alors écrire:

v~ Pz vi Pl2" + P+ gzz = 2" + P + gZI'

ou bien:

2.6. PUISSANCE D'UNE MACHINEHYDRAULIQUE NOTION DERENDEMENT

Puissance nette : P n

La puissance nette d'une machine hydraulique estle travail par unité de temps qu'elle échange avec lefluide qui la traverse.

Soient A et B respectivement, les sections d'entrée etde sortie de la machine.

La puissance nette s'exprime par:

(5) 1 p = dW" 1n dt

Dans le premier membre de cette relation (5) on voitapparaître pour 1 kg de fluide, la variation de l'éner­gie mécanique totale du fluide entre les positions 1 et2:

Unités: P n en watts, d WAB en joules, dt en secondes.Soit qm le débit massique entre A et B et WAB letravail échangé par 1 kg de fluide.

Alors en une seconde:

iJ..Etot = IJ.Eciu + IJ.Epres + IJ.Epes = 0 .

Dans ce cas particulier, cette variation est nulle.(7)

2.5. CAS D'UN ÉCOULEMENT1 _ 2 AVEC ÉCHANGE DETRAVAIL

Convention de signeLorsque le fluide traverse une machine (pompe,turbine ) il « échange» de l'énergie avec cettemachine donc du travail mécanique. Soit fJlz cetravail.

Nous conviendrons que:• W1Z > 0 si le travail est reçu par le fluide (exemple:pompes) .

• W1Z <: 0 si le travail est fourni par le fluide (exem­pie: turbines).

Ecrivons que le travail W1Z échangé entre la mase defluide de 1 kg et le milieu extérieur (machine) pourpasser de la position 1 à la position 2 est égal à lavariation d'énergie mécanique du fluide:

202

Unités: Pn en watts; WAB en joules par kilogramme;qm en kilogrammes par seconde.

Rendement

Le rendement global d'une machine est le rapportentre la puissance qu'elle fournit et la puissancequ'elle utilise.

Suivant que la machine utilise ou produit de l'énergiemécanique, Je rendement global, tout en gardant lamême définition, s'exprime de façon différente.- Cas d'une machine qui utilise l'énergie mécaniquede son arbre d'entrée et qui fournit au fluide qui latraverse une énergie (sous forme d'Eciu, d'Epres,

d'Epes). Ce cas est celui d'une pompe.Soit Pa la puissance absorbée sur l'arbre d'entrée.Soit P n la puissance nette échangée avec le fluide.Compte tenu des diverses pertes dans la machine(frottements, ... etc.) Pn <: Pa.Le rendement global TI d'une telle machine (pompe)s'exprime par:

- Cas d'une machine qui utilise l'énergie du fluide etqui fournit sur son arbre de sortie une certaineénergie mécanique. Ce cas est celui d'une turbine.Soit P n la puissance nette échangée avec le fluide.Soit Pula puissance utile sur l'arbre de sortie.

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

Compte tenu des diverses pertes dans la machine(frottements, etc.) Pu < P n'Le rendement global d'une telle machine (turbine)s'exprime par :

Application numérique:

Il R(3 -+ 3) Il - 36 432 N .

• Calcul de la vitesse de sortie Il du vérin

2.7. APPLICATION

Considérons les débits au(fig·l.11).Soient q VI et qV2 les débitsrespectifs des tubulures 1et 2.On écrira en D:

qVI = qv + qV2

niveau du distributeur D

Un vérin différentiel est alimenté par une pompe P à traversun distributeur D (fig. 1.10).

avec qVI = S, v; qV2 = (SI - S2) v; qv (connu),

d'où le calcul de v = ~.

Numériquement: Il "" 0,536 mfs.

s,

0,'r------~----r'

Fig. 1.10.

HYPOTHÈSES ET DONNÉES

A

YLx

• Calcul de la puissance du vérin

Celle-ci s'exprime de façon générale pour un mouvement detranslation rectiligne par:

P = F. V,

ici P = Il R(3 -+ 3) Il. v, soit P"" 19,5 kW.

• Calcul de la puissance nette de la pompe.

Compte tenu des 8 % perdus en frottements:

P n",,21,2kW.

- La pompe P assure un débit volumique qv à la pressionrelative p de j'huile.- Le distributeur D permet l'alimentation ou le retour auréservoir des tubulures 1 et 2.- Le vérin différentiel est tel que le piston principal a unesection SI et la tige une section S2'

On estime à 8 % la perte de puissance due aux frottementsdes joints d'étanchéité.Aucune force n'est appliquée en A et on néglige la masse del'équipage mobile 3.-Données numÎ!riques: p = 180 bar, SI = 5000 mm2,~ = 2 800 mm2

, qv = 1,5.10- 3 m3/s.

• But de l'application.

On se propose de calculer la force du vérin et sa vitesse desortie, dans l'hypothèse où le distributeur met en communi­cation P avec 1 et 2.

• Calcul de la force du vériu.

Soit R(3 -+ 3) la résultante des forces appliquées à l'équi­page mobile 3.

R(3 -+ 3) = F(huile -+ 3) + F(joints -+ 3),

avec F(huile -+ 3) = P(SI - S2) x,F(joints -+ 3) = 0,08 P (SI - S2)' (- x),

3.1. DÉFINITIONS

Lorsqu'un fluide parfait s'écoule dans une conduiteplus ou moins lisse, qui peut posséder des variationsbrusques de section ou de direction, une partie del'énergie du fluide sera utilisée dans les frottementscontre les parois, dans les turbulences et décollementsde la veine fluide. Cette énergie perdue constitue cequ'il est convenu d'appeler les « pertes de charge ».Considérons un écoulement 1 -+ 2 d'un fluide parfaitdans une conduite, tel que entre 1 et 2 il n'y ait pas demachine hydraulique. Notons Jl2 la perte d'énergieou perte de charge du fluide. J 12 est une énergiefournie par le fluide donc J12 < O.

donc R(3 -+ 3) = 0,92p(SI - S2) x. Fig. 1.12.

203

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

Entre 1 et 2 (fig. 1.12) on peut alors écrire quel'énergie mécanique totale en 2, E

m2est égale à

l'énergie mécanique totale en 1, Em, moins les pertesdans la conduite, c'est-à-dire J l2 avec (ll2 ,,;;; 0) :

Em2 <: Em"

E m2 = E mj - pertes,

Em2 = E m1 + J 12 , E m2 - Emj = J\2'

Dans une section droite (S) de la conduite, lesvecteurs vitesse des différentes particules fluides sontdifférents. Les filets fluides en contact avec la paroisont très ralentis par le phénomène de frottement. Cefrottement et donc ce ralentissement dépendra évi­demment de la rugosité de la paroi.Considérons maintenant deux particules fluides trèsvoisines Ml et M 2 appartenant à un rayon de(S) et distantes de dy (fig. 1.13).

3.2. THÉORÈME DE BERNOULLIAPPLIQUÉ À UNÉCOULEMENT AVEC PERTESDE CHARGE

y

->

• V

D'après ce qui vient d'être dit au paragraphe 3.1précédent, on peut donc écrire pour une masse de1 kg de fluide s'écoulant de 1 vers 2 :

vi P2 vi PI- + - + gZ2 = - + - + gZI + J I2 '2 p 2 p

avec JI2 <: 0 en joules par kilogramme, ou

Fig. 1.13.

Le vecteur vitesse de chaque particule est une fonc­tion de la position de la particule sur le rayon de laconduite: v = I(y). On peut modéliser ces deuxparticules par deux volumes élémentaires 1 et 2 defluide en contact suivant une petite facette d'airedS. Soit M un point de dS. MI et M 2 n'étant pasanimés de la même vitesse glissent l'une par rapport àl'autre. Si l'indice 0 est donné à la paroi:

V(MEl/0)=V+dV

et

V(M E 2/0) = V.Appliquons la loi de composition des vecteurs vitesseassociée au point M:V(M E 1/0) = V(M E 1/2) + V(M E 2/0)V(M E 1/2) est une vitesse de glissement telle quenous l'avons définie en cinématique du solide:

V(M E 1/2) = V(M E 1/0) - V(M E 2/0).

Donc V(M E 1/2) = dV (voir fig. 1.13 et 1.14).Considérons la force élémentaire de contact enM que la particule 2 exerce sur la par!icule 1. D'aprèsles lois de Coulomb on.sait que (fig. 1.14).

M(2 -..l). V(M E 1/2) <: O.

3.3. DIFFÉRENTES EXPRESSIONSDE LA PERTE DE CHARGE

Suivant l'utilisation, les pertes de charge peuvents'exprimer par:- une perte d'énergie cinétique, c'est-à-dire uneperte de vitesse du fluide;- une perte d'énergie potentielle de pression, c'est­à-dire une perte de pression du fluide;!!p = J I2 et donc: !!p = pJl2 (!!p <: 0) ;p

-- une perte d'énergie potentielle de pesanteur,c'est-à-dire une perte d'altitude pour le fluide. C'esttrès souvent sous cette dernière forme que les pertesde charge s'expriment:

J l2g • !!z = J I2 et donc: !!z = - (!!z <: 0).

gM IdS

2->V (M E 1/2)

4.1. VISCOSITÉ Fig. 1.14.

Soit une conduite de section circulaire dans laquelleon considère l'écoulement permanent d'un fluideréel.

204

Réciproqueme!!.tet si on revient à l'!.iJgure 1.13 onpeut dessiner dF (1 -+ 2) opposée-LdF (2 -+ 1) ~vec

ses deux composantes, normale dFn et tangentielleM, (fig. 1.15).

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

Donc:[J.L] =

Avec Mn = p dS y (p est la pression en M dans lelli!ide).·dFI est proportionnelle à la surface dS de la facette etau taux de variation de la vitesse entre MI etM2. (Nous avons déjà vu que v = f(Y).)

- dVdF{ = J.L dS dy .

Scalairement on écrit si dV = dv • x:

Déterminons son unité:

dFI·dyJ.L = dS. dv '

SI [J.L] désigne l'unité de viscosité dynamique alors:

1 N xl m

1 2 1 m'm xTS

dvdF{ = J.L dS­

dy

y

(formule de Newton) .

--> -->V+dV

x

Fig. 1.15.

. INxisSOI t [J.L] = 2;

lm. 1Nilon SaIt que -- = pasca

1 m2

donc, l'unité de «viscosité dynamique» est le pascalseconde (Pa.s).

Nota: Jusqu'à ces dernières années, I"unité de pres­sion, le pascal étant récente), I"unité de «viscositédynamique» s'exprimait par le newton seconde parmètre carré ou Poiseuille (PI). Il est bon de connaîtreces différentes dénominations.

A titre indicatif, donnons quelques valeurs deJ.L pour différents liquides à 20 "C.

• Eau: 0,001 Pa.s.• Essence: 0,006 Pa.s.• Huiles de graissage (courantes) :

0,0 1 ~ J.L ~ 0,04 (Pa.s).

• Notons que si le fluide est au repos, dV = Getdonc MI = G,par conséquent M(l-+ 2) = Mn = p dS y est nor­male en M à dS.Conséquence: en hydrostatique, un fluide réel peutêtre assimilé à un fluide parfait. (Nous avops déjà faitétat de cette propriété.)• Quand le fluide est en mouvement, il existe unecomposante tangentielle élémentair~e contact entreles filets fluides. cette composante dFI est à rappro-cher de la composante tangentielle de frottementdans le contact solide sur solide; là s'arrête lacomparaison car si entre solides la composante tan­gentielle de frottement ne dépend pratiquement pasde la vitesse de glissement, à l'intérieur d'un fluidepar contre, MI est proportionnelle au taux de varia-

tion de vitesse des filets fluides: sur le rayon de la

veine fluide.

4.2. VISCOSITÉ DYNAMIQUE

dvDans la formule de Newton, dFI = J.L dS dy

J.L est appelé «viscosité dynamique».

4.3. VISCOSITÉ CINÉMATIQUE

La «viscosité cinématique» (v) d'un fluide est égaleau rapport de sa viscosité dynamique (J.L) par samasse volumique (p):

[I]L'unité de viscosité cinématique, notée [v] s'exprimealors par:

[v]= INxis 1m2

12 1 kg - TS'

m x--1 m 3

Pour l'eau par exemple: p = 103 kg/m3 et donc:Veau = 10- 6 m2/s (à 20" C).Industriellement, une unité de viscosité cinématiqueest encore très employée: le stokes (St) :

1 stokes = 1 cm 2/s,

donc 1 stokes = 10- 4 m2/s.

Pour l'eau: veau"" 10- 2 St.• Notons que la température et la pression agissentsur la viscosité d'un fluide.

205

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

- La viscosité diminue en général avec la tempéra­ture: C'est « l'indice de viscosité» qui est la caracté­ristique permettant de chiffrer cette variation. Pourles huiles de graissage de moteur, l'incorporationd'additifs spéciaux permet au contraire à l'huile d'êtreplus visqueuse à chaud qu'à froid.

-- La viscosité augmente avec la pression: Dans lecas de pressions très élevées on peut utiliser larelation:

Vo = viscosité cinématique à la pression atmosphéri­que Po; a = 1,003.Considérons par exemple une huile de viscositécinématique 0,5 St à la pression atmosphérique

Vo = 0,5 St = 0,5.10 -4 m 2/s ,

à la pression P = 180 bar:

v = 0,5.10- 4 .1,003 179, ,,= 0,85.10 -4 m2/s .

4.4. DIFFÉRENTS TYPESD'ÉCOULEMENTS.NOMBRE DE REYNOLDS

Dans une veine fluide, on peut immerger des particu­les dont il est possible de filmer le mouvement et onpeut alors distinguer deux types d'écoulements. Latrajectoire d'une particule donne l'image d'un filetfluide.

- Si les filets fluides sont des lignes régulières,sensiblement parallèles entre elles, l'écoulement estdit laminaire.- Si les filets fluides s'enchevêtrent, s'enroulent sureux-mêmes etc. l'écoulement est dit turbulent. Desétudes plus fines ont montré qu'il existe encore unesubdivision entre les écoulements turbulents lisses etles écoulements turbulents rugueux.

La limite entre ces différents types d'écoulements estévidemment difficile à appréhender.Reynolds a trouvé une expression qui permet dedistinguer ces deux types d'écoulement:

ou pour une conduite de diamètre intérieur d:

• :Il est appelé le nombre de Reynolds.C'est un nombre sans dimension. Suivant la valeur de5t, l'écoulement sera laminaire ou turbulent.

206

• v est la vitesse d'écoulement (vitesse moyenne) àtravers la section considérée (m/s).• 1 est la largeur de la veine fluide. Pour uneconduite cylindrique de diamètre d, cas le plusfréquent: 1 = d (l et d en mètres).• v est la viscosité cinématique du fluide (enm2/s).Si :Il < 2 000 J'écoulement est certainement laminaire.Si :Il ;> 2 000 J'écoulement peut être turbulent.Notons qu'en dehors de fluides très visqueux (pétrolebrut par exemple) les écoulement rencontrés enmilieu industriel sont habituellement turbulents.

4.5. PERTES DE CHARGESSINGULIÈRES

Quand la conduite subit de brusques variations desection ou de direction il se produit des pertes decharge dites singulières; elles sont généralementmesurables et font partie des caractéristiques del'installation.On les exprime par:

où S = 1,2,3... indice de l'accident de forme de laconduite.( est un coefficient (sans unité) qui dépend de lanature et de la géométrie de « l'accident » de forme.Coude à angle droit: (= l, entrée dans uneconduite: ( = D,S, vannes et robinets 0,05 < ( < 0,5environ.Les constructeurs dans leurs catalogues donnent lavaleur de (.v = vitesse la plus grande du fluide dans « l'accident »de forme.

EXEMPLE

Pour un coude à angle droit d'une conduite parcouruepar une huile à la vitesse v = 2 rn/s.Pour un coude à angle droit: ç = 1

4Js = -1 x 2' J s = -2J/kg.

4.6. PERTES DE CHARGESSYSTÉMATIQUES OULINÉAIRES

C'est la perte d'énergie d'un fluide qui se déplacedans une conduite rectiligne de section constante;elle est proportionnelle à la longueur 1 de la conduiteet elle est plus importante pour un écoulementturbulent que pour un écoulement laminaire:

J;, = - A;'I 1 (f.nn.~ d. W.-..).

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

• v est la vitesse moyenne d'écoulement dans laconduite en mètre par seconde;• 1 est la longueur de la conduite en mètre;

d est le diamètre de la conduite en mètre;• A est le coefficient de perte de charge linéaire.• A est sans unité, on peut le vérifier aisément. C'estle coefficient de perte de charge.A dépend de la nature de l'écoulement et notammentdu nombre de Reynolds :ft.

Dans un régime laminaire: :Il < 2 000 :

(formule de Poiseuille) .

Dans un régime turbulent lisse: 2 000 ..::: :Il < 10 5

Le second membre de la relation précédentecomporte deux termes:Wl2 = travail mécanique échangé entre un kilo­gramme de fluide et une éventuelle machine situéeentre 1 et 2.Wl2 > 0 si la machine fournit de l'énergie au fluide(pompe) ;Wl2 < 0 si la machine reçoit de l'énergie du fluide(turbine) ;W12 = 0 si entre 1 et 2 il n'y a pas de machine.1 -+ 2 est alors un écoulement « en conduite ».IJ12 = somme des pertes de charge pour 1 kg defluide.IJl2 < 0, car toutes les pertes de charges représententde l'énergie perdue par le fluide.

A = 0,316:ft -0.25 (formule de Blasius) .

Pour un écoulement turbulent rugueux: :Il > 105,

on lit généralement la valeur de A sur une abaqueétablie par Nikuradse ou Moody.Pour une conduite industrielle on utilise le plussouvent la formule de Blench :

A = 0,79 g,avecE: rugosité conventionnelle (en mm),D = diamètre intérieur de la conduite (en mm).On sait par exemple que:

4.8. APPLICATION

Un oléoduc est une conduite horizontale de diamètre intérieurd = 105,6 mm et de longueur J =4 km.On souhaite que le Ruide transporté: masse volumiquep = 0,8.10 3okg/m3 et viscosité Il = 2 St, ait un débit volumi­que de 1 200 l.min - 1.

QUESTION

QueUe est la puissance nette de la pompe assurant cettefonction?

RÉPONSESE: = 0,15 à 0,25E:=0,75àlE: =0,15à2,5

etc.

: tuyaux en acier soudé;: conduites rivetées;: conduites en béton;

La puissance à fournir dépend évidemment des pertes decharge linéaires et celles-ci ne peuvent se calculer que si l'onconnaît le régime de l'écoulement.

• Calcul de la vitesse d'écoulement:On sait que qv = Sv,avec

4.7. THÉORÈME DE BERNOULLIAPPLIQUÉ À L'ÉCOULEMENTD'UN FLUIDE RÉEL

Si IJI2 représente la somme de toutes les pertes decharge, singulières et linéaires entre les sectionsrepérées 1 et 2 et si W12 représente le travailmécanique échangé entre le fluide et les machines(éventuellement) placées entre 1 et 2, alors le théo­rème de Bernoulli prend la forme générale suivante(pour 1 kg de fluide) :

Notons que le premier membre de cette relationexprime, pour un kilogramme de fluide, la variationalgébrique d'énergie mécanique totale du fluide entre1 et 2. On pouttra écrire:

qv = 1 200 l/min = 0,02 m 3/sS = section de la conduite en mètres carrés.

Numériquement.' " = 2,28 mIs.

• Régime de l'écoulement. Nombre de Reynolds:. vd

On salt que :Jt = - ,

"avec

v = 2,28 rn/s,d = diamètre de la conduite en mètres.

" = 2 St = 2.10- 4 m2/s.

Numériquement.' :Il = 1 204.L'écoulement est laminaire.

• Calcul du coefficient de pertes de charge:D'après la formule de Poiseuille:

64À=:Jt'

Numériquement.' À = 0,053.

• Calcul de la perte de charge J12 dans la conduite.. V2

On salt que J12 = - À 2 d /,

avec À =0,053; v=2,28m/s; d=I05,6.1O- 3 m;/=4.103 m.

Numériquement.' ~2 = - 5,22 kJ/kg.

207

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

• Appliquons le théorème de Bernoulli à l'écoulement dansla conduite entre l'entrée 1 et la sortie 2

avec vl = VI ; Pl = PI; Zl = ZI; W1l = travail net fourni parla pompe; .J.l = - 5,22 kI/kg.

Numériquement: Wu =5,22 kJ/kg.

• Puissance nette de la pompe:On sait que P n = q m W1l, avec le débit massique

avec qm = 0,8 X 10 3 x 0,02 et U-;2 = 5,22.

Numériquement: PD"" 83,5 kW.

4.9. APPLICATION

La conduite de refoulement d'une pompe a un diamètred = 12,5 mm et une longueur de 3 mètres. Le débit assurépar la pompe est 60I.min- l . Le fluide transporté est unehuile de masse volumique p = 900 kg/m3 et de viscosité" = 0,5.10- 4 m2/s.

QUESTION

QueUe est la perte de charge, exprimée en bar, dans laconduite de refoulement?

RÉPONSE

Le calcul des pertes de charges ne peut se faire que si l'onconnaît le régime de l'écoulement.

• Calcul de la vitesse d'écoulement:On sait que qv = Sv,avec

qv = 60 l/min = 10- 3 m 3/s;

S = section de la conduite en mètres carrés.

Numériquement: Il "" 8,15 rn/s.

• Régime de l'écoulement. Nombre de Reynolds:

O. vd

n salt que 3t = - ,

"avec v = 8,15 mis ; d = diamètre de la conduite en mètres;" =0,5.1O- 4 m l /s.

Numériquement: :Il "" 2 037; l'écoulement est turbulent.

• Calcul du coefficient de pertes de charge:D'après la formule de Blasius À = 0,316 3t - 0.15.

Numériquement: A = 0,047.

• Calcul de la perte de charge ~1 dans la conduite:. Vl

On salt que J1l =-À2d

l,

avec À = 0,047; v = 8,15m/s; d= l2,5.1O- 3 m; 1 = 3m.

Numériquement: ~1 = - 374,6 J/kg.On peut exprimer cette perte de charge sous forme de chutede pression

/i.pJIl = - d'où /i.p = pJ 12 .

P

soit environ: Ap = - 3,37 bar.

208

5.1. ALIMENTATION D'UN VÉRINSIMPLE EFFET (fig. 1.16)

Données et hypothèses

- Un vérin simple effet V est caractérisé par:son diamètre intérieur d v = 100 mm;son rendement 7J v = 0.9, les pertes étant dues aux

frottements des joints d'étanchéité.On souhaite que ce vérin développe une force de 75.103 N,sa tige se déplaçant à la vitesse uniforme de Vv = 0,2 rn/s.

A

Fig. 1.16.

Le dispositif d'alimentation du vérin comprend essentielle­ment une pompe et une soupape de sûreté. On donne(fig. 1.17) un extrait de la normalisation des schémas pourappareils hydromécaniques.

~Réservoir à l'air libreConduite débouchant au-dessous du niveau du fluide

ç' Pompe hydraulique àcylindrée fixe,à unsens de flux

è Moteur électrique

* Robinet de sectionnement

0 Manomètre

.~ Limiteur de pression(soupape de sureté)

~ Filtre-crépine

Fig. 1.17.

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

'" d~avec Sv = -4- .

- Une pompe dont on connaît seulement le rendementapproximatif 7J p = 0,82.- La tuyauterie de refoulement de la pompe a unelongueur l, = 8 m et un diamètre intérieur de d, = 21,6 mm.- L'huile utilisée a une viscosité v = 0,25 St et sa massevolumique est p = 850 kg/m3

.

- Les pertes de charges singulières sont négligées, ainsique la différence de niveau entre 3 et 4.

But du problème

Déterminer la puissance du moteur électrique M. Pour cela,on adopte le plan de travail suivant:

QUESTIONS

l' Calcul de la pression Pv dans le vérin.

2' Calcul du débit volumique q" dans la tuyauterie 3-4.

3' Calcul de la vitesse ~" de l'huile dans la tuyauterie 3-4.

4' Calcul du nombre de Reynolds de l'écoulement 3-4.

5' Calcul du coefficient de pertes de charges A dans latuyauterie 3-4.

6' Calcul de la perte de charge J34 dans la conduite.

7' Calcul de la pression Pu de réglage du Umiteur de pressiôn.

8' Calcul de la puissance nette de la pompe : PD'

9' Calcul de la puissance utile du moteur : p.'

RÉPONSES

l'Exprimons la force F v du vérin, en tenant compte de sonrendement:

F vdonc Pv = -S--'

v 7J v

Numériquement: Pv = 10,61 MPa ou Pv "" 106,1 bar.

2' Le débit dans la tuyauterie 3-4 est le même que dans levérin:

Numériquement: q" = 1,57.10- 3 m 3/s.

3' Soit v" la vitesse de l'huile dans la tuyauterie 3-4 :

6' Exprimons la perte de charge J34 dans la conduite:

Numériquement: J34 = - 137 J/kg.

7' Exprimons la perte de charge J34 en variation de pressiontJ.p = pJ34, avec tJ.p = P4 - P3'

tJ.p = - 116450 Pa, soit Âp = - 1,16 bar,

alors P3 = P4 - tJ.p = 107,26 bar.On peut choisir en adoptant un faible coefficient de sécurité:

Po = 110 bar.

8' Admettons que la pression à l'aspiration de la pompe soitégale à la pression atmosphérique.Comme les pressions définies dans les questions précédentessont des pressions effectives, on écrira que

P3 - P2 = 107,26 bar.

La variation de pression entre 2 et 3 est très importante,nous pouvons donc négliger la variation d'énergie cinétiquedu fluide entre 2 et 3, de même que la variation d'altitude.Ecrivons le théorème de Bernoulli entre 2 et 3 :

v~ - v~ 1--2- + - CP3 - p,) + 9 (z3 - z2) = W23 '

P -

avec les hypothèses précédentes:

Puissance nette de la pompe:

Le débit volumique de la pompe a la même valeur queq,., donc

Numériquement: PD"" 16,8 kW.

9' Exprimons le rendement de la pompe:

",d 2

avec SC=T'Pn

7J p = p.' donc p.

qcalors vc = S; .

Numériquement: ~" = 4,28 mis.4' Soit :R le nombre de Reynolds de l'écoulement 3-4 :

avec v = 0,25 St = 0,25.10 -4 m 2/s.Numériquement: :il "" 3 698: l'écoulement 3-4 est turbulentUsse.

5' Pour un écoulement turbulent lisse, le coefficient depertes de charge À est donné par la formule de Blasius:

À = 0,316:R -0,25.

Numériquement: ' A. "" 0,0405.

Numériquement: p. "" 20,5 kW.

5.2. ÉTUDE DU CIRCUITD'ALIMENTATION D'UNVÉRIN AVEC AMORTISSEURFIXE DES DEUX CÔTÉS

Buts de l'application

- Analyser les fonctions à assurer par l'organe de puissance(vérin).- Concevoir le circuit de commande hydraulique.- Calculer les caractéristiques des principaux appareils ducircuit.

209

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

Données générales

On donne le schéma (fig. 1.18), les dimensions du vérin etles différentes vitesses de déplacement du piston:

diamètre du piston: dl = 100 mm ;diamètre de la tige: d = 40 mm.

On désigne par SI la section active correspondant à l'orificeD, et par S2 la section active correspondant à l'orificeO2,

Analyse fonctionnelle

Fig. 1.20.B

Phase 3 : Retour rapide.On désexcite El et on excite E2 :

Phase 2: Avance lente-travail.E} est désexcité et le tiroir du distributeur 2/2 revient dans

la position neutre (cel1e de la figure 1.20) :

Quand E} est excité (E} = 1) le tiroir du distributeur 2/2 sedéplace vers la gauche.

Phase 1 : Avance rapide

Le schéma est complété par une pompe à cylindrée fixe àun sens de flux, mue par un moteur électrique. Un limiteurde pression, taré à Po (pression relative à calculer) complètel'équipement (fig. 1.21).

Fig. 1.19.

Fig. 1.18._---=a::.::lle"'r___ X

01

ï - J~~,1 à définir 1L _ _ 1

On convient que lorsque l'électro-aimant El est excité,(El = 1) le tiroir du distributeur 4/3 se déplace vers ladroite.

- Phase 1: Avance rapide

On choisit d'alimenter le vérin à l'aide de deux distributeursà commande électrique et retour en position neutre parressorts de rappel.Rôle du premier distributeur 413 (fig. 1.19).

Dans le sens x (course al1er), le mouvement du vérin estconstitué de deux phases:

- Phase 1: Avance rapide, VI = 0,1 .x (mis).- Phase 2: Avance lente de travail, v2 ·= 0,02 x (mis)

pendant cette phase, le vérin doit développer uneforce ft tel1eque 11 ft Il = 105 N.

Dans le sens - x (course retour), le mouvement doit êtrerapide; soit v} = - v}.x (mis) la vitesse de retour qui seracalculée.

Fig. 1.21.

P désigne la pompe, R désigne le réservoir.

Rôle du second distributeur 212 (fig. 1.20).

Dans le rectangle « à définir» de la figure 1.19, on place enparal1èle, un clapet de non-retour et un étranglementréglable dans le but de réduire la vitesse de déplacement duvérin, et un distributeur 2/2 commandé par l'électro-aimantE}.

Schéma général de l'installation(fig. 1.22)

Notons que, suivant les conventions de la normalisation(NF E04-05l ; NF E04-056; etc.) le schéma est toujoursreprésenté avec les appareils en position de repos.

210

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

_---=a""lIe::..:r___ x

R Fig. 1.22.

QUESTION 1

Calculer le débit de la pompe. Le calcul se fera lors de laphase 1, d'avance rapide.

RÉPONSE

avec le même débit volumique q, de la pompe, on peutécrire :

avec

On rappelle que pendant la phase 1 :

Soit q, le débit volumique de la pompe

1Td~ _ 6 2avec S, = 4"" 7 854.10 m; VI = 0,1 mIs.

Numériquement: q, "" 785,4.10 -6 m 3/s(soit environ 47 l.min - 1).

QUESTION 2

Câlculer la vitesse 113 de retour rapide du vérin correspondantà la phase 3.

RÉPONSE

On rappelle que pendant la phase 3 :

Numériquement: 113 "" 0,12 mIs.

QUESTION 3

Dans le but de réaliser la vitesse réduite de sortie correspon­dant à la phase 2 (Il, = 0,02 mIs), on règle la perte de chargedans l'étrangleur à Ap = 4 bars. Analyser les forces quis'exercent sur le piston du vérin et calculer la pressionPI nécessaire sur la surface ~. Toutes les pressions sont despressions relatives. On donne le rendement global du vérin:TI v =0,85.

RÉPONSE (fig. 1.23)

-----__ x

Fig. 1.23.

211

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

Le piston du vérin est soumis aux actions mécaniquessuivantes:

• Force extérieure appliquée en bout de tige (donnée) :

Numériquement : ~ = 1 783. L'écoulement est laminaire.L'équation de Poiseuille permet le calcul du coefficient deperte de charge linéaire A :

F = - 10 5 X (N). A 64 d" À 6= :R ' ou = 0,03 .

• Force FI due à la pressionpi sur la surface SI' Considérantque le déplacement du vérin est dans le sens x (pendant laphase 2 de travail), la force FI réelle est plus petite que le

produit Pl SI' soit, en tenant compte du rendement 'YJ v'

QUESTION 5

Avec les résultats acquis dans les questions précédentes,calculer la pression relative Po de tarage en sortie de pompe.

• Force F2 due à la pression P2 = tlp = 4 bars = 4.10 5 Pasur la surface S2 :

RÉPONSE

Calcul de la perte de charge linéaire dans la conduite qui vade la pompe à l'orifice 01 du vérin:

On règlera donc la pression Po, de telle façon que l'onobtienne PI = 153,75.10 5 Pa à l'entrée du vénn (question 3).

avec ve = 3,9 m/s; de = 16.10- 3 m; le = 8 m.

Numériquement: ~ = - 136,89 J/kg.Exprimons cette perte de charge en chute de pressiontlp:

environ:soitPo = 154,93.10 ~ Pa,

PI-PO=tlp, ou PO=PI-tlp.

QUESTION 6

Etude de la tuyauterie d'aspiration de la pompe. L'expériencemontre qu'une vitesse d'écoulement de 1,5 à 1,7 mIs estoptimale pour une conduite d'aspiration.Calculer et choisir un diamètre de conduite normalisé siv = 1,6 mIs par exemple. Recalculer ensuite la vitesse d'écou­lement réelle.

Numériquement:Po = 155 bars,

Le déplacement lent à vitesse uniforme (v 2 = 0,02 mis) dupiston se traduit par:

F + FI + F2 = Ô.

QUESTION 4

Dans le but de calculer la pression de tarage Po en sortie depompe, on calcule les pertes de charge dans la conduite qui vade la pompe au vérin en o..Dans une telle conduite de refoulement, la vitesse de l'huilene doit pas dépasser 4,5 mIs. Choisir le diamètre de laconduite dans les valeurs normalisées (12,5; 16; 21,6; 27,3)et en déduire la nature de l'écoulement. On donne lescaractéristiques de l'huile utilisée: p = 860 kglm 3 etJI =0,35.10 - 4 m2/s. La longueur de la conduite est le =8 m.

RÉPONSE

-IIFII +P I SI'YJV-P2 S2=0,

IIFII +P2 S2d'où Pl = .:.:.---;:,.---

SI 'YJ v

Numériquement: PI = 153,75.10 ~ Pa.

Soit en projection sur l'axe x:

On connaît la valeur du débit volumique:qv = 785,4.10- 6 m 3/s. Calcul de la section Sc de la conduite:

RÉPONSE

Pour un débit: qv = 785,4.10- 6 m3/s et une vitesse del'ordre de v = 1,6 rn/s, on obtient:

d'où

soit un diamètre d = 25 mm.On choisit le diamètre nonnalisé immédiatement supérieur,ce qui aura pour effet d'obtenir une vitesse d'écoulementv un peu plus faible:alors d =27,3 mm, v =1,34 mIs.

qv = Sv ,

S = '!.;: = 785,4.10-6

= 491.10- 6 m 2

v 1,6 'd'oùNumériquement: S '" 785,4.10- 6

e ~ 4,5

Se;,,174,53.10- 6 m 2 soit d e ;,,14,9mm.

On choisit comme diamètre nonnalisé: de = 16 mm.Calcul de la vitesse de l'huile: ve

QUESTION 7

Numériquement: ve = 3,9 mIs.Calcul du nombre de Reynolds:

:R = vede = 3,9 x 16 x 10- 3\

V 0,35 X 10- 4

Les caractéristiques de la conduite d'aspiration 1.2 sont lessuivantes: 1. = 3 m; d. = 27,3 mm; v. = 1,34 mIs (résultatsde la question 6) (fig. 1.24).La perte de charge singulière dans le filtre est J" =- 4 J Ikg.La différence de niveau est x2 - XI = 0,5 m.

212

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

On rappelle les caractéristiques de l'huile utilisée:p = 860 kg/m 3 et JI = 0,35.10 -4 m 2/s.Calculer la dépression P2 à l'orifice d'aspiration 2 de lapompe. Notons que si on utilise des pressions relatives, onposera que PI =P.tmo. =0 et alors P2 sera négative.

RÉPONSE

Calculons le travail W2J échangé par le fluide dans la pompe(fig. 1.24).D'après le théorème de Bernoulli:

La puissance nette de la pompe s'exprime alors par:

avec vJ = 3,9 mis (question 4) ; v2 = 1,34 mis (question 6) :PJ = 154,93. 10 5 Pa (question 5). Pression du tarage Po:P2= -0,136.10 5 Pa (question 7); zJ-z2=0, alors

W2J

= (3,9)2_(1.34)2 154,93 + 0,136 1052 + 860 x ,

W23 = 18,045 kJ/kg .d'où:R

Fig. 1.24.

P n = W2J qm = W2J qvp

Pn = 18 045 x 785,4.10 - 6 x 860 (en watts),

RÉPONSE

Calculons la perte de charge J12 = J, + JI' avec.l, = - 4 J/kg(donnée).Etude du régime de l'écoulement 1-2.

va da- Nombre de Reynolds: j{ = --, soit

JI

soit

QUESTION 9

p. = 12,19 kW .

:ll=1045.

L'écoulement est laminaire et l'équation de Poiseuillepermet le calcul du coefficient de pertes de chargeA :

64A = jt' A = 0,061.

Calculer la puissance absorbée par la pompe (puissancemécanique sur l'arbre d'entrée). Le rendement de la pompeest donné par le constructeur: 'ri p = 0,82.

RÉPONSE

Le rendement de la pompe s'exprime par:

donc

JI

=-O,061 (1,34)2 x3=-6J/kg,2x27,3xlO- J

J 12 = - 10 J/kg.

P ndonc P =­

a 17pp. = 14,86 kW.

Appliquons le théorème de Bernoulli à l'écoulement d'aspi­ration 1-2:

QUESTION 10

Le rendement du moteur électrique est 'ri, = 0,92. Quelle estla puissance du moteur?

Précisons que VI = 0 et Pl = 0 (pression relative).On obtient:

RÉPONSE

La puissance P du moteur électrique s'exprime par:

P2 = - P [ - J l2 + g (z2 - Zl) + ~ ] ,

[(1,34)2 ]

soit: P2 = - 860 10 + (9,81 x 0,5) + -2-S . P = Pa = 14,86 = 1615 d' .

Olt 092' , ou17, ,

Numériquement: P2 = - 0,136.10 ~ Pa.P = 16,15 kW.

QUESTION 8

Calcul de la puissance nette de la pompe.

On choisirait évidemment un moteur de puissance supé­rieure ou égale à cette valeur dans un catalogue deconstructeur.

213

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

EXERCICES AVEC RÉPONSES

[I] Une vanne de sécurité d'une retenue d'eau estconstituée par un secteur cylindrique AB de largeur/, mobile autour de l'axe horizontal (0, ji). Ce secteur aun rayon R et DA est horizontal. A l'instant considéré,la hauteur d'eau est h et on suppose que la pressionatmosphérique est la même, à la surface du barrage et auniveau de la vanne. Le plan (0, X, z) de la figure est unplan de symétrie vertical (fig. 1.25).Le but de l'exercice est d'étudier la poussée de l'eau surla vanne.

z

4'

_jRX=P9/Rsinll< (h~~sinll<),R Rz = pg/R[h(1 - cos lI<)

R ( . l. ) ]+ '2 li< - 2 sm li< + :2 sm 2 li< •

5'

l, 3

- Rx = 190,10 N,R '

Rz =51,854.10 3 N.

o

x

rn Dans le but d'étudier la stabilité d'un barrage« masse », on analyse la poussée de l'eau sur l'ouvrage.Deux repères sont définis sur la figure 1.26 :(0, x, ji, z) dont on ne représente que l'axe verticalZ,(A, X, Y, Z) tel que (A, Z) soit axe de symétrie pour laparoi inclinée en contact avec l'eau de la retenue.

Fig. 1.25.

Application numenque: masse volumique de l'eau:p = 103 kg/m3

, on donne: 9 = 10 m/s2, / = 2 m,

R = 2 m, h = 10 m, li< = 30'.

QUESTIONS

l' Montrer que la résultante Ïl des forces de poussée surla vanne passe par O. On choisit un point M de la paroiappartenant au plan de symétrie et défini par l'angle

./""-.géométrique AOM = <p.

Z" Exprimer littéralement la pression relative en Md'altitude z""

3' Donner littéralement l'expression de la force de pous­sée en M sur un élément de surface dS = IR d<p.

4' Donner littéralement les composantes dans (x, j, i) dela résultante Ïl des forces de poussée.

S' Calculer numériquement ces composantes.

RÉPONSES

l' dF en M passe par 0 car DM est perpendiculaire enM à la paroi de la vanne.

2' PM-= pg[1! - R(sin li< - sin 'fi )].

3' dF = pg/R[h - R(sin li< - sin 'fi)]

(cos 'fi x+ sin 'fi z) d'fi .

214

Fig. 1.26.

Dans (A, X, Y, Z), 2 est l'ordonnée d'un point quelcon­que M appartenant au plan de symétrie (A, X, Z) del'ouvrage, 2 0 est l'ordonnée du centre de poussée.On donne:hauteur de l'eau h = 40 m ;inclinaison de la paroi: li< = 72' ;longueur du barrage (parallélement à (A, Y»:/ = 120m;masse volumique de l'eau: p = 103 kg/m3

;

la pression atmosphérique Po est la même en tout pointet la pression relative en B est donc nulle: PB = O.On donne: 9 = 9,81 m/s2

,

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

QUESTIONS10 Exprimer littéralement la pression relative en M.

r Donner littéralement l'expression de la force élémen­taire de poussée en M sur un élément de surfacedS = I. dZ.

30 Donner littéralement l'expression de la résultante desforces de poussée: il.40 Donner littéralement l'ordonnée ~ du centre depoussée Go'

50 Application numérique: calculer Il RIl et~.

RÉPONSES

10

PM=pg(h-Zsina).

2 0

dF=pg(h-Zsina)/dZX.~ h 2 _

30

R = pg/ 2 sin a X.

4 0 Z h0= 3 sin a .

50 IIRII =99.107 N; Zo=14 (m).

40

(Z2 - Z')'h = 6 m.50 JI2 = - 2 J/kg.

6 0 z2- z l.;;5,8m.

@] Venturi, capteur de débit

L'appareil représenté à la figure 1.27 est destiné àmesurer le débit q, dans une conduite.

oo 0g 8 1 qv 8 2 0

o--------~--------o 0o 0

o2

QUESTIONS

r Avec les uuités utilisées, quelle est la relation quipermet l'affichage de la vitesse ", (m/s) en fonction de(p, - P2) et de p ?

r Avec les unités utilisées, queUe est la relation quipermet l'affichage du débit q, (1/s) ?

3 0 Application numérique: calculer ", et q,.

Un tronçon AB de la conduite, de section SI estremplacé par un Venturi. Ce Venturi est essentiellementconstitué par un convergent-divergent. Le rapport dessections SI et ~ est connu. Dans les sections 1 et 2, destrous sont aménagés pour permettre de placer deuxcapteurs de pression reliés à un rack électronique. Cerack permet d'afficher soit PI - P2 (en bar), soit lavitesse VI (en mis) du fluide dans la conduite, soitdirectement le débit q, (en I/s). Les pertes de chargedans le Venturi sont négligeables.

Application numérique: Le fluide qui parcourt laconduite est de l'eau: p = 103 kg/m3

.

Les caractéristiques du Venturi sont: SI = 7854 mm2 etSIS; = 1,5.

Le rack affiche: PI - P2 = 0,108 bar.

[] Une pompe est installée à la sortie d'un puits etaspire l'eau dans celui-ci.On désigne par l'indice 1 la surface de l'eau dans le puitset par l'indice 2 la section d'entrée dans la pompe de latuyauterie d'aspiration.La vitesse de l'eau dans une conduite d'aspiration doitêtre d'environ v = 1,5 m/s. -La pression absolue à l'entrée de la pompe ne doit pasêtre inférieure à 0,4 bar sous peine de provoquer unphénomène de cavitation, néfaste à la durée de vie de lapompe.Le débit doit être d'environ 4,51/s.La pression atmosphérique est la même en tout point del'installation: Po = 1 bar.On donne pour l'eau: p = 103 kg/m3 et Il = 10- 6 m 2/s.et g = 9,81 m/s2

.

QUESTIONS

10 Calculer le diamètre d de la conduite d'aspiration.

r Calculer le nombre de Reynolds et en déduire lanature de l'écoulement entre 1 et 2.

30 Calculer le coefficient A de perte de charge linéaire.

40 En négligeant les pertes de charge, queUe doit être ladifférence de niveau entre l'orifice d'entrée de la pompeet la surface de l'eau dans le puits: (Z2 - Z, )11>'

50 Calculer la perte de charge J,2' On néglige les pertesde charge singulières.

60 Calculer la différence de uiveau maximale réelle:(~- z,).

A 1

Fig. 1.27.

B

RÉPONSES

10

d= 62 mm.

20:Jt = 93 000: écoulement turbulent.

30

A = 0,oI8.

RÉPONSES

10 1 P,-P2 5

VI = \j1,6-p--x 10.

20 = 7 854 JI 6 PI - P2 10 5q" ,---X.P

30

VI = 4,157 m/s; q, = 32,651/s.

215

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Hydraulique et thermodynamique appliquées

mOn donne le schéma de la conduite d'aspirationd'une pompe P à engrenage, à un seul sens de flux(fig. 1.28).

R

Fig. 1.28.

Le débit de cette pompe est q, = II/s. La longueur de latuyauterie d'aspiration 1-2 est 1 = 4 m et son diamétreintérieur est d = 27,3 mm.Le filtre entraîne une perte de charge de - 5 J/kg.La différence de niveau Z2 - zi = 0,8 m.On donne les caractéristiques de l'huile pompée:p = 900 kg/m'et IJ = 0,45.10 -4 m 2/s.On donne: g = 9,81 m/s2

QUESTIONS

l' Calculer la vitesse d'écoulement de l'huile dans laconduite d'aspiration.

r Calculer le nombre de Reynolds et en déduire lanature de l'écoulement.

3' Calculer le coefficient de perte de charge linéaire.

4' Calculer la perte de charge totale J'2'

5' Calculer la dépression (ou pression relative) à l'entrée2 de la pompe.

RÉPONSES

l' v = 1,7 rn/s.

2' :It ... 1 031. Régime laminaire.

3' A = 0,062.

4' J l2 = - 18 J/kg.

5' P2'" - 0,245.10 5 Pa (pression relative).

ŒJ Dans un moteur d'automobile, la circulation dufluide de refroidissement se fait en circuit fermé(fig. 1.29).

Fig. 1.29.

Le débit de la pompe est q, = 2 l/s. Les pertes de chargesingulières de ce circuit sont très importantes et onévalue leur somme à az = - 6 m. On donne:p = 103 kg/m3 et g = 9,81 m/s2

.

216

QUESTIONS

l' On considère l'ensemble du circuit compris entre lespoints 1 et 2 confondus à la sortie du moteur (parexemple). Ecrire le théorème de Bernoulli entre 1 et 2 eten déduire que le travail de la pompe consiste uniquementà vaincre les pertes de charge.

r Calculer le travail Wl2 de la pompe.

3' Calculer la puissance nette de la pompe et la puissanceabsorbée si son rendement est 71 = 0,84.

RÉPONSES

v~ - v~ 1l' --2- + - (P2 - PI) + g(Z2 - z,) = W I2 + J 12 ·

'-v--' P '-v--' '--v--I

=0 =0 =0

2' W I, = 58,86 J/kg .

3' P n =117,72W; P a =140W.

[1] Un venn à double effet, à simple tige, doitpermettre d'exercer une force Il Fil = 12.103 N à unevitesse que l'on souhaite régler à v = 0,5 rn/s.Pour effectuer ce réglage, on choisit de placer en sortieOz, un étrangleur de débit réglable (q2 réglable)(fig. 1.30).

Fig. 1.30.

Soit ql le débit que l'on doit assurer à l'orifice0 1 pour réaliser cette fonction. Comme on souhaitepouvoir régler dans une certaine plage, la vitesse desortie v et la force \1 ft \1 ' on choisit d'alimenter le circuitavec une P?mpe capa.bl~ d'~voir un ,débit li :> q l' soit iciq = 2,10 - m (s ; la hmltatlOn du deblt utile se fait alorspar un limiteur de pression en sortie de pompe, taré àPo = P, = 130 bars. Le débit excédentaire qex = q - q 1

est évacué par ce limiteur. Un distributeur 4/3 permetd'assurer le fonctionnement du système en aller et retour(fig. 1.31),

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Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

Fig. 1.31.

Données numériques:v = 0,5m/s; Ilili = 12.10 3 N;SI = 1,8.1O- 3 m 2

; S2= 1O- 3 m 2;

Po = PI = 130.10 5 Pa (pressions relatives);

QUESTIONS

10 A quelle valeur doit-on régler le débit qz ?

2 0 Quel doit être alors le débit ql ?

3 0 Quel est le débit excédentaire q.x?

4 0 Calculer la pression Pz,

50 Quelle est la puissance utile au niveau du vérin?

6 0 Etude du circuit d'aspiration de la pompe.Entre les sections repérées 3 et 4 (voir fig. 1.31) onnéglige: la variation d'énergie cinétique du fluide, lavariation d'énergie potentielle de pesanteur, les pertes decharge singulières et linéaires.Calculer la puissance nette de la pompe.

7 0 En gardant Po = PI = 130 bars et en modifiant leréglage qz, à quelle vitesse maximale le vérin pourrait-ildéplacer la même charge?

8 0 On garde Po =PI = 130 bars. Pour déplacer la mêmecharge Il ft Il = 12.10 3 N et pour la nouvelle vitesse dedéplacement v = 1,11 mIs, quelle serait alors, la pressionPz, le débit qz ?

RÉPONSES

r q2=0,5.1O- 3 m 3/s.

20

ql = 0,9.10- 3 m 3/s.

30

qex = 1,1.1O- 3 m3/s.

40

P2 = 114.10 5 Pa.

y Pu = 6 kW.

60

P n = 26 kW.

T vmax = l,II rn/s.

80

P2 = 114.10 5 Pa; q2 = 1,11.10- 3 m3/s.

217