Mécanique des Milieux Continus · 2020. 5. 27. · La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui s’intéresse à la déformation des solides et aux

MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE FERHAT ABBAS, SETIF 1

Support de Cours de

Mécanique des Milieux Continus

Par

Mouloud Mansouri

Avant propos

Ce document est un support de cours du module "Mécanique des Milieux Conti-

nus", enseigné en Master 1 génie civil, spécialité Géotechnique. Le contenu de ce

cours est conçu de façon de couvrir le programme en vigueur tout apportant quelques

petites modifications pour des fins d’amélioration.

Il s’agit en premier lieu, de la concaténation des deux premiers chapitres du

programme dans un seul, en effet il nous est donné de juger qu’ils sont trop courts

par rapport aux autres.

En deuxième lieu, un dernier chapitre en dehors du programme est additionné.

Même s’il peut être considéré comme facultatif, nous pensons que ce court chapitre

permet de mettre en valeur les chapitres qui le précède en faisant la liaison entre eux

pour arriver à formuler les problèmes. Il permet ainsi de bien conclure le programme.

Enfin, s’agissant d’un programme adopté nouvellement pour cette année 2016-

2017, ce support de cours n’est qu’un premier effort, il reste ainsi ouvert sur toute

remarque constructive. Je remercie par avance tous les experts qui aurons à en jeter

un regard pour leurs remarques. Je suis certain que leurs remarques et critiques ne

conduisent qu’à l’amélioration du cours.

Table des matières

1 Concepts généraux et préliminaires mathématiques 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des

structures élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple . . . 3

1.2 Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel . . 5

1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs) . . . 5

1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices) . . . 6

1.2.3 Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . 7

1.2.3.2 Convention de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3.3 Notation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij

. . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3.5 Symbole alternant "ijk

. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel : . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Rotation du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D . . . . . . . . . 11

1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transfor-

mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Etat de contrainte en un point 14

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Table des matières iii

2.3 Tenseur de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Convention de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Principe de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte . . . . . . 19

2.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rotation du repère de

référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Contraintes principales et directions principales . . . . . . . . . . . . 22

2.8.1 Détermination des contraintes principales . . . . . . . . . . . 22

2.8.2 Détermination des directions principales . . . . . . . . . . . . 23

2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales . 23

2.8.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quelconque 25

2.9.2 Equation du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr . . . . . . 26

2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr . 27

2.9.5 Tricercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur . . . . . . . . . . . . . 30

2.10.1 Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu . . . . . . . . . . . . . 31

2.11.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.11.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Etat de déformation en un point 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Table des matières iv

3.2.2.1 Déformations normales . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement . . . . . . 38

3.2.3 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 Unité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.5 Déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Changement du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Déformations principales et directions principales . . . . . . . . . . . 42

3.5 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation électriques . . . . . 44

3.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Equations de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour

les solides élastiques linéaires 50

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidirectionnelle . . . . . 50

4.3 Loi de Hooke généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique linéaire et isotrope 52

4.4.1 Relation entre les constantes élastiques . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.2 Module de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson . . . . . . . . 57

4.5 Energie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6.1 Exercice d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Equations générales de l’élasticité linéaire 65

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Bilan des équations et des inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Table des matières v

5.3 Conditions aux frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Principe de Saint-Venant (1857) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité . . . . . . . . . 67

5.6.1 Approche déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6.2 Approche contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chapitre 1

Concepts généraux et

préliminaires mathématiques

1.1 Introduction

1.1.1 généralités

La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui

s’intéresse à la déformation des solides et aux écoulements des fluides. Ce dernier

point et couramment traité indépendamment dans la sous-branche appelée Méca-

nique des fluides, ainsi la MMC s’intéresse plus particulièrement à la déformation

des solides.

La MMC se base sur l’hypothèse de la continuité du milieu, c’est une hypothèse

qui ignore les discontinuités de la structure interne de la matière pour ne s’intéresser

qu’à son comportement global moyen. Cette hypothèse reste bien acceptable lorsque

le volume du milieu étudié est suffisamment grand relativement à ses composants

(différentes particules ou molécules et vides).

Nous nous intéressons essentiellement dans ce cours à la déformation élastique

des solides. Un solide est dit élastique si lorsqu’il est déformé sous l’effet d’un sys-

tème de chargement, il reprend sa forme initiale une fois le système de chargement

est éliminé. Il est dit élastique linéaire si la déformation est proportionnelle au char-

gement appliqué indépendamment du chemin de chargement suivi (chargement ou

déchargement) (voir Fig. 1.1).

Les matériaux à comportement élastique jusqu’à la rupture sont rares, néanmoins

pour des faibles déformations la majorité des matériaux se comportent de façon

Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 2

FF

F

Eprouvette soumise

à un chargement axial

Comportement

élastique

Comportement

élastique linéaire

F

Figure 1.1 – Comportement élastique et élastique linéaire

élastique et souvent linéaire. Cette remarque est valable même pour des matériaux

réputés par leur comportement inélastique tels que les sols.

La théorie de l’élasticité regroupe l’ensemble des méthodes mathématiques de

formulation et de résolution des problèmes de mécanique des solides déformables à

comportement élastique. Cette théorie se base sur l’hypothèse de continuité qui se

traduit mathématiquement par la description des grandeurs du problème telles que

les déplacements, les contraintes ...etc., par des fonctions continues.

Pour beaucoup de problèmes pratiques deux autres hypothèses sont couramment

utilisées, à savoir l’homogénéité et l’isotropie. En mécanique des milieux continus,

l’homogénéité se traduit par l’invariabilité des propriétés physiques et mécaniques

dans l’espace occupé par le matériau. L’isotropie se définie par rapport à une pro-

priété donnée, un matériau est dit isotrope par rapport à une propriété si cette

propriété est la même dans toutes les directions.

1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des

structures élastiques

La formulation des problèmes consiste en l’écriture des équations mathématiques

gouvernantes. En règle générale, trois (03) familles d’équations doivent être écrites,

notamment les équations d’équilibre, les équations de compatibilité et les équations

constitutives. Il en résulte ainsi un système d’équations différentielles dont résolution

aboutit la solution du problème.

L’étape de résolution est en général difficile à cause de la complexité des systèmes

d’équations résultants. Lorsque la résolution analytique s’avère difficile, la résolution


PP

TT

T 321

(a) (b)

X

Y

Figure 1.2 – Ferme à barre articulées

numérique peut être l’alternative, plusieurs méthodes se proposent dans ce contexte,

telles que la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis et d’autres.

1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple

Afin d’illustrer les étapes de formulation et de résolution des problèmes d’élas-

ticité, considérons le problème de la ferme simple à barre articulées montrée sur la

figure 1.2a. La résolution du problème dans ce cas consiste en la détermination des

tensions dans les trois (03) barres ainsi que leurs allongements (ou le déplacement

du point d’application de la charge).

Ecrivons d’abord les équations d’équilibre du point d’application de la charge

(Fig. 1.2b). L’équilibre dans la direction X conduit à l’équation T2 = T3. En tenant

compte de cette équation et en exprimant l’équilibre dans la direction Y on obtient

la seule équation d’équilibre :

T1 + T3

p2 = P (1.1)

C’est une équation à deux (02) inconnus, elle est insuffisante pour résoudre le

problème. Il est ainsi nécessaire de formuler une autre équation reliant ces deux

inconnus. Cette équation peut être obtenue en exprimant la compatibilité des allon-

gements des trois (03), elle assure la continuité de la structure après déformation.

En se référant à la figure (Fig. 1.3) et en admettant que les déformations résul-

tantes sont de faibles valeurs, il est possible d’écrire l’équation :


P

3

1

Figure 1.3 – Compatibilité des allongements des barres de la ferme

�`1 = �`3p2 (1.2)

Pour des matériaux à comportement élastique linéaire, les allongements peuvent

être reliés aux tensions correspondantes à travers la loi de Hooke qui se traduit par

les équations :

�`i

=

Ti

`i

EA)

8><

>:

�`1 =T1`

EA

�`3 =T3`

p2

EA

(1.3)

Ces équations sont couramment appelées équations constitutives

Il est ainsi montré que la formulation du problème a consisté en l’écriture d’un

système composé de trois familles d’équations ; les équations d’équilibre (Eq. 1.1),

les équations de compatibilité (Eq. 1.2) et les équations constitutives (Eq. 1.3). La

résolution de ce système d’équation permet d’obtenir les tensions dans les barres

ainsi que leurs allongements.

1.2 Rappels mathématiques

1.2.1 Repères

Nous travaillons principalement dans ce cours dans des repères Cartésiens or-

thonormés et directs.

• Orthonormé : axes orthogonaux et vecteurs unités normalisés (d’égales lon-

gueurs pour les trois axes)


X1(X)

X2(Y)

X3(Z)

Figure 1.4 – Repère Cartésien orthonormé direct

• Direct )

8>>>>><

>>>>>:

~e1 ⇥ ~e2 = ~e3

~e2 ⇥ ~e3 = ~e1

~e3 ⇥ ~e1 = ~e2

(⇥) : produit vectoriel.

1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel

On appelle dans l’espace Euclidien :

• Tenseur d’ordre 0 : un scalaire

• Tenseur d’ordre 1 : un vecteur (de 3 composantes)

• Tenseur d’ordre 2 : une matrice de 9 composantes (3⇥ 3)

1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs)

Soit dans l’espace Euclidien le scalaire A et les vecteurs ~u, ~v et ~w.

Un vecteur ~u = u1~e1 + u2~e2 + u3~e3 est noté en notation matricielle par ses

composantes sous la forme hu1 u2 u3i ou bien

8>>><

>>>:

u1

u2

u3

9>>>=

>>>;.

Rappelons d’abord les opérations de base sur les vecteurs :

• Soit le produit scalaire A = ~u · ~v, la valeur de A s’obtient par l’expression

A = u1v1 + u2v2 + u3v3

• Soit ~w = ~u+ ~v, les composantes du vecteur ~w sont

8>>><

>>>:

w1

w2

w3

9>>>=

>>>;=

8>>><

>>>:

u1 + v1

u2 + v2

u3 + v3

9>>>=

>>>;

• Soit le produit vectoriel ~w = ~u ⇥ ~v, le vecteur ~w s’obtient par le calcul du


déterminant : ~w =

��

~e1 ~e2 ~e3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

��

Propriétés d’opérations

• ~u+ ~v = ~v + ~u, la somme des vecteurs est commutative

• ~u · ~v = ~v · ~u, le produit scalaire est commutatif

• ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w, le produit scalaire est distributif

• ~u · (~v · ~w) 6= (~u · ~v) · ~w, le produit scalaire est non associatif

• ~u⇥ ~v = �~v ⇥ ~u, le produit vectoriel est non commutatif

1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices)

Soit dans l’espace Euclidien les matrices [A], [B] et [C], de composantes aij

, bij

et cij

respectivement et de dimensions (3⇥ 3).

• Soit [C] = [A] + [B], toute composante cij

de la matrice [C] s’obtient par :

cij

= aij

+ bij

• Soit [C] = [A] [B], toute composante cij

de la matrice [C] s’obtient par :

cij

= ai1 + b1j + a

i2 + b2j + ai3 + b3j

Propriétés d’opérations

• [A] + [B] = [B] + [A], la somme des matrices est commutative.

• [A] [B] =

⇣[B]

T

[A]

T

⌘T

, le produit matriciel est non commutatif.

• [A]

⇣[B] + [C]

⌘= [A] [B] + [A] [C], le produit matriciel est distributif.

• [A]

⇣[B] [C]

⌘=

⇣[A] [B]

⌘[C], le produit matriciel est associatif.

1.2.3 Notation indicielle

C’est une notation qui permet l’écriture compacte et brève d’expressions et for-

mules mathématiques.


1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices

• un tenseur d’ordre 1 (vecteur) ~u de composantes hu1 u2 u3i est noté sim-

plement ui

sachant que i peut prendre les valeurs 1, 2 et 3.

• un tenseur d’ordre 2 (matrice 3⇥ 3) [A] est noté aij

, i et j peuvent prendre

les valeurs 1, 2 et 3.

1.2.3.2 Convention de la somme

Lorsqu’un indice se répète deux (02) fois dans un monôme (variable ou produit

de variables), ce monôme représente la somme de trois (03) termes qui s’obtient en

donnant à l’indice répété successivement les valeurs 1,2 et 3.

Exemples

• ai

bi

= a1b1 + a2b2 + a3b3

• gkk

= g11 + g22 + g33

• aij

bj

= ai1b1 + a

i2b2 + ai3b3

L’indice répété deux (02) fois est appelé indice muet, il peut être substitué par tout

autre indice différent des indices présents dans le monôme. L’indice qui n’apparaît

qu’une seule fois dans un monôme est appelé indice franc.

Règles

• Un indice ne peut répété plus que deux (02) fois dans un même monôme.

Exemple : l’écriture aij

bik

ci

est une écriture sans sens en notation indicielle.

• Un indice franc un monôme doit être franc dans tous les monômes de la

même équation.

Exemples :

xj

= aij

bi

+ cj

: écriture correcte

xj

= aij

bj

+ cj

: écriture sans sens

1.2.3.3 Notation de la dérivée

• Soit une fonction scalaire u,


@u

@xi

est notée u,i

, il convient de noter que du fait que u,i

comporte un seul

indice, il représente trois composantes, c-à-d u,i

=

8>>><

>>>:

u,1

u,2

u,3

9>>>=

>>>;=

8>>><

>>>:

@u

@x1

@u

@x2

@u

@x3

9>>>=

>>>;.

@2u

@xi

@xj

est notée u,ij

,

avec u,ij

=

2

6664

u,11 u

,12 u,13

u,21 u

,22 u,23

u,31 u

,32 u,33

3

7775=

2

6664

@

2u

@x1@x1

@

2u

@x1@x2

@

2u

@x1@x3

@

2u

@x2@x1

@

2u

@x2@x2

@

2u

@x2@x3

@

2u

@x3@x1

@

2u

@x3@x2

@

2u

@x3@x3

3

7775.

• Soit ui

un champs vectoriel (vecteur déplacement par exemple)

@u1@x1

est notée u1,1, ainsi@u

i

@xj

=

2

6664

@u1@x1

@u1@x2

@u1@x3

@u2@x1

@u2@x2

@u2@x3

@u3@x1

@u3@x2

@u3@x3

3

7775

Il est à remarquer que la convention de la somme reste valable pour tous les type

d’indices (indices relatifs à la fonction et à la variable).

Exemples :

ui,i

= u1,1 + u2,2 + u3,3,

u,ii

= u,11 + u

,22 + u,33.

1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij

Il est défini par : �ij

=

8><

>:

1 si i = j

0 si i 6= j

, c-à-d �ij

=

2

6664

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

7775

1.2.3.5 Symbole alternant "ijk

Il est défini par :

"ijk

= 1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations paire à partir

du triplet 123

"ijk

= �1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations impaire à

partir du triplet 123


"ijk

= 0 si deux des indices sont égaux

1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel :

Opérations sur les vecteurs

Soit trois vecteurs ~u, ~v et ~w définis dans le repère X(O, ~e1, ~e2, ~e3).

• Vecteur : ~u = ui

~ei

• Produit scalaire : ~u · ~v = ui

vi

• Produit vectoriel : ~u⇥ ~v = "ijk

~ei

uj

vk

, en détaillant la triple somme (sur i, j

et k) on obtient :

~u⇥ ~v =

8>>><

>>>:

"1jkujvk

"2jkujvk

"3jkujvk

9>>>=

>>>;=

8>>><

>>>:

u2v3 � u3v2

u1v3 � u3v1

u1v2 � u2v1

9>>>=

>>>;

• Opérateur de dérivation Nabla : ~r =

@

@xi~ei

• Gradient d’une fonction scalaire u : ~ru =

@u

@xi~ei

= u,i

~ei

• Divergence d’une fonction vectorielle ~u : ~r · ~u =

@ui@xi

= ui,i

Opérations sur les matrices

Soit dans le champs tensoriel d’ordre 2 les matrices [A], [B], [C] et [D]. Une

matrice telle que [A] par exemple, si écrite seule, elle peut être notée aij

, ail

ou akl

... etc, c-à-d le choix des indices n’est pas important.

• Soit [C] = [A] [B], toute composante cij

s’obtient par : cij

= aik

bkj

• Soit [C] = [A]

T

[B], toute composante cij

s’obtient par : cij

= aki

bkj

• Soit [D] = [A] [B] [C], toute composante cij

s’obtient par : dij

= aik

bkl

clj

Règle :

Lorsqu’on a la transposée d’une matrice dans une expression, on écrit l’expression

sous la forme indicielle comme s’il n’y a pas la transposée puis on permute les indices

de la matrice concernée.


O

Figure 1.5 – Rotation du repère de référence

1.2.4 Rotation du repère de référence

1.2.4.1 Cas général

Soit dans l’espace Euclidien les repères orthonormés X(O,~e1,~e2,~e3) et

X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03) (Fig. 1.5).

Soit le vecteur ~v tel que :

~v = vi

~ei

= v0i

~e0i

(1.4)

Quelle est la relation entre vi

et v0i

?.

Soit la matrice des cosinus directeurs des vecteurs unités du repère X 0 par rap-

port au repère X :

[A] =

2

6664

cos(

~e01,~e1) cos(

~e01,~e2) cos(

~e01,~e3)

cos(

~e02,~e1) cos(

~e02,~e2) cos(

~e02,~e3)

cos(

~e03,~e1) cos(

~e03,~e2) cos(

~e03,~e3)

3

7775=

2

6664

~e01 · ~e1 ~e01 · ~e2 ~e01 · ~e3~e02 · ~e1 ~e02 · ~e2 ~e02 · ~e3~e03 · ~e1 ~e03 · ~e2 ~e03 · ~e3

3

7775(1.5)

En notation indicielle une composante aij

de la matrice s’écrit :

aij

= cos(

~e0i

,~ej

) =

~e0i

· ~ej

, le 1

er indice est relié à ~e0 et le 2

nd indice à ~e.

• Multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~e0j

, on obtient :

vi

~ei

· ~e0j

= v0i

~e0i

· ~e0j

Tenons compte que ~ei

· ~e0j

= aji

, ~e0i

· ~e0j

= �ij

et v0i

�ij

= v0j

(voir démons-


tration en pied de page 1), il en résulte :

v0j

= aji

vi

ou bien v0i

= aij

vj

(1.6)

Soit en notation matricielle :

�v0 = [A] {v} (1.7)

• De la même façon, multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~ej

, on obtient :

vj

= aij

v0i

ou bien vi

= aji

v0j

(1.8)

Soit en notation matricielle :

{v} = [A]T�v0

(1.9)

1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D

On considère le repère X 0 qui s’obtient par rotation du repère X autour de son

3

eme axe, c-à-d : ~e03 = ~e3 (Fig. 1.6).

O

Figure 1.6 – Rotation du repère de référence, cas 2D.

1. v0i�ij = v01�1j + v02�2j + v03�3j =

8<

:

v01 si j = 1

v02 si j = 2

v03 si j = 3

9=

; = v0j


La matrice de transformation devient dans ce cas :

[A] =

2

6664

cos ✓ sin ✓ 0

� sin ✓ cos ✓ 0

0 0 1

3

7775(1.10)

1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transformation

La matrice de transformation [A] est dite orthogonale 2, puisque :

[A] [A]

T

= [A]T [A] = [I], [I] est la matrice identité.

Preuve : Combinons les équations : {v} = [A]T {v0} et {v0} = [A] {v}, on obtient :

{v} = [A]

T

[A] {v} par conséquence : [A]

T

[A] = [I]

1.2.4.4 Application

Soit dans l’espace Euclidien deux repères orthormés direct X(O,~e1,~e2,~e3) et

X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03). Les cosinus directeurs des vecteurs ~e01, ~e02 et ~e03 dans le repère

X sont donnés par : ~e01⇣

1p3, 1p

3, 1p

3

⌘, ~e02

⇣� 1p

2, 1p

2, 0⌘

et ~e03⇣� 1p

6,� 1p

6,q

23

⌘.

Déterminer les composantes hv01, v02, v03i du vecteur ~v ayant les composantes h2, 3, 0i

dans le repère X.

Réponse :

Matrice de transformation : [A] =

2

6664

1p3

1p3

1p3

� 1p2

1p2

0

� 1p6� 1p

6

q23

3

7775

{v0} = [A] {v}, d’où :

8>>><

>>>:

v01

v02

v03

9>>>=

>>>;=

2

6664

1p3

1p3

1p3

� 1p2

1p2

0

� 1p6� 1p

6

q23

3

7775

8>>><

>>>:

2

3

0

9>>>=

>>>;=

8>>><

>>>:

5p3

1p2

� 5p6

9>>>=

>>>;

Exercices

Exercice 1 : Soit �ij

le symbole de Kronecker et "ijk

le symbole alternant, quel est

la valeur numérique du produit �ij

"ijk

?

2. En algèbre linéaire, une matrice orthogonale est une matrice carrée de composantes réelles

et dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unités orthogonaux.


Exercice 2 : Le système d’équation d’équilibre en élastostatique s’écrit :

�ij,j

+ fi

= 0. Réécrire le en détail.

Exercice 3 : Soit �ij

le symbole de Kronecker, et aij

un tenseur d’ordre 2. Que

représente le produit �ij

aij

? la matrice aij

où bien la trace de la matrice aij

, étayer

votre réponse.

Exercice 4 : Soit xi

= aij

yj

avec yi

= bij

zj

. Eliminer la variable y pour écrire x en

terme de z seul.

Exercice 5 : Soit les tenseurs ui

et bij

d’ordre 1 et 2 respectivement, tels que :

{u} =

8>>><

>>>:

1

4

2

9>>>=

>>>;et [B] =

2

6664

1 0 3

0 2 2

3 2 4

3

7775écrits par référence au repère (O,~e1,~e2,~e3).

1. Dire pour chacune des quantités suivantes s’il s’agit d’un scalaire, d’un vec-

teur, ou d’une matrice, puis calculer explicitement le résultat : bij

bij

, ui

uj

,

bik

bjk

.

2. Ecrire le tenseur ui

par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) mon-

tré sur la figure ci-dessous.

y

x

z

O

60°

y'

x'

z'

Exercice 6 : Soit le vecteur ~v de composantes h�3 3 0i par ré-

férence à un repère orthonormé (O,~e1,~e2,~e3). Déterminer ses compo-

santes par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) tel que :8><

>:

cos

⇣~e01,~e1

⌘= cos

⇣~e01,~e2

⌘= cos

⇣~e01,~e3

⌘> 0

le vecteur ~e02 est contenu dans le plan⇣O, ~e01, ~e02

⌘et cos

⇣~e02,~e1

⌘< 0

Chapitre 2

Etat de contrainte en un point

2.1 Introduction

En mécanique des Milieux Continus, les forces extérieures qui s’appliquent au

milieu peuvent être classées en deux types notamment :

• Les forces de surface : ce sont les forces agissantes par contact direct sur la

surface extérieure.

• Les forces de volume : ce sont les forces agissantes sur des élément volumiques

à distance (sans contact). Par exemples la force de gravité, la force centrifuge,

la force magnetique, ...etc.

Ces forces extérieures provoquent des efforts internes (effort normal, effort tran-

chant, moment fléchissant, ...etc.), qui sont les résultantes des contraintes agissantes

à l’intérieur du milieu.

2.2 Définition

Considérons un corps solide en équilibre sous l’effet d’un système de forces (Fig.

2.1a). Si ce corps est coupé en deux parties par une surface S (Fig. 2.1b), chaque élé-

ment �S de cette surface sera soumis à un vecteur force �

~f (Fig. 2.1c). L’ensemble

des vecteurs �

~f maintiennent l’équilibre du corps.

Soit ~n le vecteur unité normal à �S et O le centre de �S. Les vecteurs �

~f et

~n ne sont pas forcement parallèles.

On appelle vecteur contrainte agissant au point O sur la surface de normale ~n

le vecteur ~t donné par :

~t = lim

�S!0

�

~f

�S

!(2.1)

Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 15

(c)(b)(a)

Figure 2.1 – Définition de la contrainte

Tant que le milieu est en équilibre, cette limite existe et elle est finie.

Au même point O le vecteur ~t dépend de l’orientation de �S (c-à-d de l’orien-

tation de ~n).

2.3 Tenseur de contraintes

2.3.1 Définition

Considérons un parallélépipède infinitésimal autour du point O, dont les facettes

sont parallèles aux plans XY , XZ et Y Z (Fig. 2.2(a)).

X

Y

Z

O

X

Y

Z

+-

facette facette

(a) (b)

Figure 2.2 – (a) Composantes du tenseur de contraintes, (b) Illustration de facettespositive et négative.

Sur chacune des six (06) facettes il agit un vecteur contrainte pouvant être

décomposé en trois composantes. Les composantes normales aux facettes sont notées

� et les composantes tangentes aux facettes sont notées ⌧ .

A chacune des composantes on attribue deux indices ; le 1

er indique la facette

sur laquelle elle agit 1 et le 2

nd indique sa direction.

1. La facette est désignée par sa normale x, y ou z.


Ces contraintes arrangées en une matrice (3 ⇥ 3) composent le tenseur de

contraintes au point O par référence au repère (O,X, Y, Z), il s’écrit :

[�] =

2

6664

�xx

⌧xy

⌧xz

⌧yx

�yy

⌧yz

⌧zx

⌧zy

�zz

3

7775(2.2)

Les contraintes normales peuvent être écrites sans ambiguïté avec un seul indice,

c-à-d : �xx

= �x

, �yy

= �y

et �zz

= �z

.

En notation indicielle le tenseur de contraintes s’écrit : �ij

=

2

6664

�11 �12 �13

�21 �22 �23

�31 �32 �33

3

7775.

2.3.2 Convention de signe

Il convient d’abord d’introduire la notion de facette positive et négative. On

appelle facette positive celle pour laquelle la normale sortante est orientée dans

la direction positive et facette négative celle pour laquelle la normale sortante est

orientée dans la direction négative (Fig. 2.2(b)).

Une composante de contrainte est positive si elle agit dans le sens positif sur la

facette positive, elle est aussi positive si elle agit dans le sens négatif sur la facette

négative, dans les autres cas la contrainte est négative.

Remarque : Comme conséquence à cette convention, pour les contraintes normales

la traction est positive et la compression est négative.

2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque

Soit en un point O, le tenseur de contraintes est donné par référence à un re-

père (O,X, Y, Z). Quel est le vecteur contrainte ~t agissant au point O sur un plan

quelconque défini par sa normale ~n ?.

Considérons le tétraèdre infinitésimal autour du point O montré sur la figure

2.3a. �S(ABC) étant la facette sur laquelle on recherche le vecteur contrainte, son

orientation est définie par sa normale unitaire ~n dont les cosinus directeurs sont


O

X

Y

Z

A

B

C

X

Y

Z

(a) (b)

Figure 2.3 – (a) Tétraèdre autour du point O formé à partir de la surface �S, (b)Contraintes agissantes sur le tétraèdre

h` m ni. �S1, �S2 et �S3 sont les projections de �S sur les plans de normales

~e1, ~e2 et ~e3 respectivement (c-à-d les projections sur les plans Y Z, XZ et XY

respectivement), elles peuvent être exprimées :

�S1 = `.�S, �S2 = m.�S, �S3 = n.�S (2.3)

(Voir démonstration en bas de page) 2

Soit [�] le tenseur de contraintes au point O par référence à un repère

(O,X, Y, Z). Les contraintes agissantes sur les facettes du tétraèdre �S1, �S2 et

�S3 sont donc connues, elles sont montrées sur la figure 2.3b. Pour déterminer les

2. Démonstration : référons-nous à la figure suivante :

O

X

Y

Z

N

A

B

C

O Y

N

B

Soit N un point de �S tel que

~ON?�S. cos (~n,~e2) =ONOB

) ON = OB cos (~n,~e2) = m.OBDe façon similaire on peut démontrer que : ON = `.OA = m.OB = n.OC (a)Par ailleurs, le volume du tétraèdre peut être exprimé :

V =

13�S.ON =

13�S1.OA =

13�S2.OB =

13�S3.OC d’où :

8><

>:

�S.ON = �S1.OA

�S.ON = �S2.OB

�S.ON = �S3.OB

(b)

En combinant les équations (a) et (b) on obtient : �S1 = `�S, �S2 = m�S, �S3 = n�S.


composantes du vecteur contrainte ~thtx

ty

tz

i, écrivons alors l’équilibre des forces

agissantes sur le tétraèdre

• Equilibre dans la direction x : tx

.�S = �x

.�S1 + ⌧yx

.�S2 + ⌧zx

.�S3

En prenant en compte les relations 2.3 on obtient :

tx

= �x

.`+ ⌧yx

.m+ ⌧zx

.n (2.4)

De la même façon on obtient les équations correspondantes aux directions y

et z

• Equilibre dans la direction y :

ty

= ⌧xy

.`+ �y

.m+ ⌧zy

.n (2.5)

• Equilibre dans la direction z :

tz

= ⌧xz

.`+ ⌧yz

.m+ �z

.n (2.6)

Ces équations (Eqs. 2.4, 2.5 et 2.6) peuvent être regroupées dans une écriture ma-

tricielle sous la forme :

8>>><

>>>:

tx

ty

tz

9>>>=

>>>;=

2

6664

�x

⌧yx

⌧zx

⌧xy

�y

⌧zy

⌧xz

⌧yz

�z

3

7775

8>>><

>>>:

`

m

n

9>>>=

>>>;(2.7)

Soit sous forme simplifiée :

{t} = [�]T {n} (2.8)

2.5 Principe de réciprocité

Enoncé : "Sur deux facettes orthogonales, les composantes des contraintes tan-

gentielles perpendiculaires à l’arrête commune sont égales et simultanément dirigées

vers cette arrête ou bien dans la direction contraire." (voir la figure illustrative Fig.

2.4).


Figure 2.4 – Illustration du principe de réciprocité

Justification : Il est évident que sur deux facettes opposées les contraintes tangen-

tielles sont de valeurs égales mais de directions opposées ⌧ , pour assurer l’équilibre

vis-à-vis de la rotation il faut avoir sur les facettes perpendiculaires aux premières

des contraintes tangentielles égales à ⌧ aussi mais qui produisent un moment inverse,

d’où découle le principe de réciprocité.

Conséquences

• ⌧xy

= ⌧yx

, ⌧xz

= ⌧zx

et ⌧yz

= ⌧zy

• [�]T = [�]

• L’équation 2.8 s’écrit plus simplement :

{t} = [�] {n} (2.9)

Soit en notation indicielle :

ti

= �ij

nj

(2.10)

2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur

contrainte

Sur toute facette de normale ~n, le vecteur contrainte agissant ~t peut être décom-

posé en deux composantes ; normale et tangentielle :

• Contrainte normale : � =

~t · ~n (projection de ~t sur ~n)

• Contrainte tangentielle : ⌧ =

qk~tk2 � �2

Composantes normale et tangentielle sous forme de vecteurs :

• Contrainte normale : ~� = �~n =

�~t · ~n

�~n

• Contrainte tangentielle : ~⌧ =

~t� ~�


2.6.1 Application

Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère

(O,X, Y, Z) : [�] =

2

6664

10 �5 0

�5 8 3

0 3 0

3

7775Mpa

Calculer le vecteur contrainte ainsi que ses composantes normale et tangentielle

sur la facette de normale parallèle au vecteur ~uh2 3 1i.

Réponse

Normale unitaire du plan :{n} =

1p22+32+12

8>>><

>>>:

2

3

1

9>>>=

>>>;=

1p14

8>>><

>>>:

2

3

1

9>>>=

>>>;

Vecteur contrainte : {t} = [�] {n} )

8>>><

>>>:

tx

ty

tz

9>>>=

>>>;=

2

6664

10 �5 0

�5 8 3

0 3 0

3

77751p14

8>>><

>>>:

2

3

1

9>>>=

>>>;

d’où

8>>><

>>>:

tx

ty

tz

9>>>=

>>>;=

1p14

8>>><

>>>:

5

17

9

9>>>=

>>>;

Contrainte normale : � =

~t ·~n =

1p14h5 17 9i 1p

14

8>>><

>>>:

2

3

1

9>>>=

>>>;=

114(10+51+9) = 5Mpa

Contrainte tangentielle : ⌧ =

qk~tk2 � �2

=

q114(25 + 289 + 81)� 25 ⇡ 1.79Mpa

2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rota-

tion du repère de référence

On considère deux repère orthonormés d’origine O ; (O,X, Y, Z) et

(O,X 0, Y 0, Z 0). L’état de contrainte au point O est défini par le tenseur [�] par

référence au repère (O,X, Y, Z).

Soit [�0] le tenseur de contraintes au même point par référence au repère

(O,X 0, Y 0, Z 0). En connaissant l’orientation de ce repère par rapport au premier,

quelle est la relation entre [�] et [�0] ?. Pour aboutir à cette relation utilisons les


relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et 1.9) avec

la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9).

Soit ~t le vecteur contrainte sur une facette de normale ~n. Les vecteurs ~t et

~n ont les composantes htx

ty

tz

i et h` m ni respectivement par rapport au

repère (O,X, Y, Z) et les composantes ht0x

t0y

t0z

i et h`0 m0 n0i respectivement

par rapport au repère (O,X 0, Y 0, Z 0).

Soit [A] la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des axes

du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z).

Les relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et

1.9) et la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9) permettent

d’écrire le système d’équations :

8>>>>><

>>>>>:

{t0} = [A] {t} (a)

{t} = [�] {n} (b)

{n} = [A]

T {n0} (c)

La combinaison des équations (a) et (b) conduit à {t0} = [A] [�] {n}, et la com-

binaison de cette dernière avec l’équation (c) aboutit à l’équation

�t0 = [A] [�] [A]

T

�n0 (2.11)

La comparaison de cette équation à la relation vecteur contrainte - tenseur de

contrainte dans le repère (O,X 0, Y 0, Z 0) ({t0} = [�0

] {n0}) permet de déduire la

relation de transformation :

⇥�0⇤

= [A] [�] [A]

T (2.12)

Soit en notation indicielle :

�0ij

= aik

�kl

ajl

(2.13)

Remarque : La transformation inverse [�] en fonction de [�0] peut être obtenu en

tenant compte de la propriété [A] [A]

T

= [I], soit : [�] = [A]

T

[�0] [A].


2.8 Contraintes principales et directions principales

Soit en un point O, l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] par référence

au repère (O,X, Y, Z). On se propose d’écrire l’équation :

{t} = [�] {n} = � {n} (2.14)

où {n} défini la normale unitaire d’un plan passant par O et � est un scalaire.

Si cette équation est vérifiée sur une direction {n} donnée, le vecteur contrainte

{t} est parallèle au vecteur {n}. Dans ce cas la direction {n} est dite direction

principale et � est dit contrainte principale associée à cette direction. Le plan normal

à cette direction est appelé plan principal. Un plan principal est un plan sur lequel

la composante tangentielle de la contrainte est nulle.

2.8.1 Détermination des contraintes principales

Théorème

� est une contrainte principale si est seulement si � est solution de l’équation :

� �3+ I1�

2 � I2�+ I3 = 0 (2.15)

où :8>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:

I1 = �x

+ �y

+ �z

= �pp

I2 =

��

�x

⌧xy

⌧xy

�y

��+

��

�x

⌧xz

⌧xz

�z

��+

��

�y

⌧yz

⌧yz

�z

��= �

x

�y

+ �x

�z

+ �y

�z

� ⌧2xy

� ⌧2xz

� ⌧2yz

I3 = det [�] = �x

�y

�z

� �x

⌧2yz

� �y

⌧2xz

� �z

⌧2xy

+ 2⌧xy

⌧xz

⌧yz

(2.16)

Les coefficients I1, I2 et I3 sont appelés invariants du tenseur de contraintes ;

I1 : 1er invariant ou invariant de 1

re espèce

I2 : 2e invariant ou invariant de 2

e espèce

I3 : 3e invariant ou invariant de 3

e espèce


Remarque : I1, I2 et I3 n’ont pas les mêmes unités 3, ils sont dit invariants parce

qu’ils sont indépendants de l’orientation du repère de référence.

Démonstration

Partons de l’équation 2.14 :

[�] {n} = � {n} ) ([�]� � [I]) {n} = {0}

[I] est la matrice identité.

Pour {n} 6= {0} il faut avoir : det ([�]� � [I]) = 0

)

��

�x

� � ⌧xy

⌧xz

⌧xy

�y

� � ⌧yz

⌧xz

⌧yz

�z

� �

��

= 0 d’où l’équation ��3+ I1�

2 � I2�+ I3 = 0

2.8.2 Détermination des directions principales

A chacune des contraintes principales �i

correspond une direction principale

définie par un vecteur unité ~ni

qui s’obtient en résolvant l’équation :

([�]� �i

[I]) {n}i

= {0} (2.17)

2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales

1. Il existe au plus trois (3) valeurs principales distinctes � = �1, � = �2 et � =

�3. Par convention ces contraintes sont numérotées tel que : �1 � �2 � �3.

2. Les trois directions principales sont orthogonales l’une par rapport à l’autre,

par conséquence, elles peuvent être prises comme base d’un repère de réfé-

rence. Dans ce repère le tenseur de contrainte et ses invariants s’écrivent :

[�] =

2

6664

�1 0 0

0 �1 0

0 0 �1

3

7775

I1 = �1 + �2 + �3

I2 = �1�2 + �1�2 + �2�3

I3 = �1�2�3

3. c’est pour cette raison qu’ils sont considérés de différentes espèces


2.8.4 Application


(O,X, Y, Z) : [�] =

2

6664

1 1 0

1 1 0

0 0 3

3

7775Mpa

Déterminer les contraintes et les directions principales au point O.

Réponse

1. Contraintes principales :

Equation caractéristique : ��3+ I1�

2 � I2�+ I3 = 0

I1 = �x

+ �y

+ �z

= 5 Mpa

I2 = �x

�y

+ �x

�z

+ �y

�z

� ⌧2xy

� ⌧2xz

� ⌧2yz

= 6 Mpa2

I3 = �x

�y

�z

� �x

⌧2yz

� �y

⌧2xz

� �z

⌧2xy

+ ⌧xy

⌧xz

⌧yz

= 0 Mpa3

D’où l’équation : ��3+ 5�2 � 6� = 0

Solutions de l’équation : � = 0, � = 3 et � = 2

Contraintes principales par ordre : �1 = 3Mpa, �2 = 2Mpa, �3 = 0

2. Directions principales :

Equation caractéristique : ([�]� �i

[I]) {n}i

= {0}

)

2

6664

�x

� �i

⌧xy

⌧xz

⌧xy

�y

� �i

⌧yz

⌧xz

⌧yz

�z

� �i

3

7775

8>>><

>>>:

li

mi

ni

9>>>=

>>>;=

8>>><

>>>:

0

0

0

9>>>=

>>>;

avec li

, mi

et ni

sont les composantes du vecteur unité ~ni

Il convient de remarquer que ce système d’équations ne donne que deux

équations indépendantes, pour obtenir les trois composantes du vecteur il est

donc nécessaire de le compléter par l’équation l2i

+m2i

+ n2i

= 1.

La résolution du système d’équations pour les trois contraintes principales �1,

�2 et �3 donne les trois vecteurs unités définissant les directions principales

respectivement :

{n}T1 = h0 0 1i, {n}T2 = h 1p2

1p2

0i et {n}T3 = h 1p2

� 1p2

0i.


X

Y

OX

Y

OX

Y

O

X'

Y'

(c)(b)(a)

Figure 2.5 – (a) Composantes du tenseur de contraintes dans un repère 2D. (b)Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte sur une facette de nor-male faisant un angle ✓ avec l’axe x. (c) Analogie entre les contraintes recherchées(� et ⌧) et les composantes du tenseur de contraintes dans un autre repère.

2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D)

Cette représentation permet de montrer comment varient les contraintes normale

et tangentielle sur une facette lorsque celle-ci change d’orientation. Pour des raisons

de simplicité on s’intéresse au cas 2D, c’est le cas où l’orientation de la troisième

dimension coïncide avec une direction principale.


(O,X, Y, Z) : [�] =

2

6664

�x

⌧xy

0

⌧xy

�y

0

0 0 �z

3

7775

Ce tenseur qui indique que la direction Z est une direction principale, peut

être écrit sous la forme [�] =

2

4�x ⌧xy

⌧xy

�y

3

5, tout en gardant en tête que �z

est une

contrainte principale pouvant être non nulle. Ses composantes peuvent être repré-

sentées dans un repère (O,X, Y ) comme montré sur la figure 2.5a.

2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quel-

conque

Les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur une

facette de normale ~n faisant un angle quelconque ✓ avec l’axe x (� et ⌧ sur la figure

2.5b), peuvent être vues comme les composantes �x

0 et ⌧x

0y

0 du tenseur de contraintes

écrit dans un nouveau repère (O,X 0, Y 0) faisant une rotation ✓ par rapport au repère

initial (O,X, Y ) (Fig. 2.5c).


En employant la relation de transformation 2.12⇣[�0

] = [A] [�] [A]T⌘, on obtient

les expressions des contraintes :

� = �x

0= �

x

cos

2 ✓ + 2⌧xy

cos ✓ sin ✓ + �y

sin

2 ✓

⌧ = ⌧x

0y

0= � (�

x

� �y

) cos ✓ sin ✓ + ⌧xy

�cos

2 ✓ � sin

2 ✓�

En tenant compte des relations : cos2 ✓ =

12 (1 + cos 2✓) et sin

2 ✓ =

12 (1� cos 2✓),

les expressions des contraintes normale et tangentielle sur une facette de normale

faisant un angle ✓ avec l’axe x peuvent s’ecrire :

8><

>:

� =

�x+�y

2 +

�x��y

2 cos 2✓ + ⌧xy

sin 2✓ (a)

⌧ = ��x��y

2 sin 2✓ + ⌧xy

cos 2✓ (b)

(2.18)

2.9.2 Equation du cercle de Mohr

Réécrivons les équations 2.18 sous la forme :8><

>:

� � �x+�y

2 =

�x��y

2 cos 2✓ + ⌧xy

sin 2✓

⌧ = ��x��y

2 sin 2✓ + ⌧xy

cos 2✓

En élevant ces dernières équations au carré puis les superposant on obtient l’équa-

tion : ✓� � �

x

+ �y

2

◆2

+ ⌧2 =

✓�x

� �y

2

◆2

+ ⌧2xy

(2.19)

C’est l’équation d’un cercle dans le plan (�, ⌧) de centre⇣�x+�y

2 , 0⌘

et de rayon

r =

r⇣�x��y

2

⌘2+ ⌧2

xy

, c’est le cercle de Mohr (Fig. 2.6a).

2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr

• Chaque point sur le cercle de Mohr représente les contraintes normale et tan-

gentielle (�, ⌧) sur une facette passant par le point O dont l’état de contrainte

est défini par le tenseur [�] =

2

4�x ⌧xy

⌧xy

�y

3

5.

• Les équations 2.18 indiquent qu’une rotation d’un angle ✓ dans le plan phy-

sique (xy), s’accompagne d’une rotation de 2✓ sur le cercle de Mohr. Ainsi

les facettes orthogonales (faisant un angle ⇡/2 entre elles) sont représentées


r

(a) (b)

A

B

(c)

a a =

Figure 2.6 – (a) Cercle de Mohr. (b) Points représentants les facettes de normales~ex

et ~ey

sur le cercle de Mohr

par des points symétriques (par rapport au centre) sur le cercle de Mohr. Sur

la figure 2.6b sont montrés - à titre d’illustration - les points représentants

les facettes orthogonales de normales ~ex

et ~ey

; points A et B respectivement.

• Dans la représentation de Mohr la contrainte normale obéit à la même conven-

tion de signe adopté précédemment (� : traction, : compression). Cepen-

dant, la contrainte tangentielle est considérée positive si elle agit dans le sens

des aiguilles d’une montre et négative dans le sens contraire (voir Fig. 2.6c).

Avec cette convention le sens de rotation sur le cercle de Mohr est le même

que celui de la rotation dans le plan physique.

• Le cercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte en un point peut être

tracé si le tenseur de contraintes est donné. En effet deux points du cercle

sont directement donnés par les coordonnées A(�x

,�⌧xy

) et B(�y

, ⌧xy

), le

centre du cercle s’obtient par l’intersection du segment [AB] avec l’axe �.

2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr

Soit en un point O l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] =

2

41 1

1 1

3

5Mpa

par référence au repère (O,X, Y )

1. Représenter le cercle de Mohr caractéristique de cet état de contrainte.

2. Déterminer en utilisant ce cercle, les deux contraintes principales agissantes

dans le plan Oxy ainsi que les directions principales correspondantes.


3. Déterminer les contraintes normale et tangentielles sur un plan de normale

faisant 60

� avec l’axe x

Réponse

1. Représentation du cercle de Mohr :

[�] =

2

41 1

1 1

3

5Mpa

Points représentants les plans de normales ~ex

et ~ey

; A et B respectivement :

A(1,�1), B(1, 1)

Centre du cercle : a =

�x+�y

2 = 1Mpa

Rayon du cercle : r =

r⇣�x��y

2

⌘2+ ⌧2

xy

= 1Mpa

Représentation (Voir figure 2.7a)

(a) (b)

A

B

A

B

(c)

A

B

Figure 2.7 – (a) Cercle de Mohr caractéristique de l’état de contraintes. (b) Déter-mination des directions princimales. (c) Détermination des contraintes normales ettangentielles sur un plan de normale faisant 60

� avec l’axe x.

2. Contraintes et directions principales :

• Contraintes principales : �1 = a+ r = 2Mpa, �2 = a� r = 0

• Directions principales : Une direction principale peut être définie par

l’angle fait par la normale du plan principal avec l’axe x (angles ✓1 ou

✓2 sur la figure 2.7b). Cet angle est la moitié de l’angle parcouru sur le

cercle de Mohr en allant du point représentant le plan de normale ~ex

vers

le point de contrainte principale voulue (angles ↵1 ou ↵2 sur la figure). La

direction de rotation du plan physique est la même que celle de la rotation

sur le cercle de Mohr, le sens trigonométrique est considéré positif.

A partir de la figure 2.7b on obtient :


8><

>:

↵1 =⇡

2

↵2 = �⇡

2

)

8><

>:

✓1 =⇡

4

✓2 = �⇡

4

d’où les directions principales :

~n1

8<

:cos

⇡

4

sin

⇡

4

9=

;! ~n1

8<

:

1p2

1p2

9=

; et ~n2

8<

:cos

��⇡

4

�

sin

��⇡

4

�

9=

;! ~n2

8<

:

1p2

� 1p2

9=

;

3. Contraintes normale et tangentielle sur un plan de normale faisant 60

� avec

l’axe x : Ces contraintes sont les coordonnées du point qui s’obtient par

rotation sur le cercle de Mohr d’un angle de (2 ⇥ 60

�) à partir du point

représentant le plan de normale ~ex

.

En se basant sur la figure 2.7c on obtient donc :

� = a+ r cos(30�) =⇣1 +

p32

⌘Mpa et ⌧ = r sin(30�) = 0, 5Mpa

La contrainte ⌧ = 0, 5 > 0, donc elle agit dans le sens des aiguilles d’une

montre.

2.9.5 Tricercle de Mohr

Dans un cas de contraintes 3D si les trois contraintes principales sont connues il

est possible de représenter le tricercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte

(Fig. 2.8). Cette représentation montre que la contrainte tangentielle maximale est

Figure 2.8 – Tricercle de Mohr.


égale au rayon du plus grand cercle soit :

⌧max

=

�1 � �32

(2.20)

La normale du plan sur lequel agit cette contrainte (⌧max

) fait des angles de ⇡

4 avec

les deux directions principales ~n1 et ~n3 et un angle de ⇡

2 avec la deuxième direction

principale ~n2.

2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur

Tout tenseur de contraintes peut être écrit sous la forme d’une superposition de

deux tenseurs :

[�] = [�]s + [�] (2.21)

avec :

• [�]s = �0 [I] : est le tenseur de contraintes sphérique associé au tenseur [�],

�0 étant la contrainte normale moyenne définie par :

�0 =1

3

�ii

=

1

3

(�x

+ �y

+ �z

) =

I13

(2.22)

Le tenseur sphérique est appelé aussi hydrostatique ou isotrope, il produit

seulement un changement de volume.

• [�] = [�] � [�]s : est le tenseur de contraintes déviateur associé au tenseur

[�], il provoque un changement de forme sans changement de volume.

2.10.1 Application :

Donner les tenseurs sphérique et déviateur associés au tenseur de contraintes

suivant : [�] =

2

6664

2 2 0

2 2 0

0 0 2

3

7775Mpa

Réponse

Contrainte normale moyenne : �0 = �x+�y+�z

3 = 2Mpa


Tenseur de contraintes sphérique : [�]s = �0 [I] =

2

6664

2 0 0

0 2 0

0 0 2

3

7775Mpa

Tenseur de contraintes déviateur : [�] = [�]� [�]s =

2

6664

0 2 0

2 0 0

0 0 0

3

7775Mpa

Remarque : Pour un tenseur de contraintes sphérique toutes les directions sont

principales. Les directions principales du tenseur de contraintes [�] et de son

déviateur associé [�] sont les mêmes.

2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu

Ce sont les équations qui permettent de décrire la variation des contraintes dans

un milieu continu. Elles s’obtiennent en exprimant l’équilibre d’un élément volu-

mique infinitésimal du milieu.

2.11.1 Cas 2D

Soit un élément 2D de dimensions dx⇥ dy⇥ 1, soumis aux contraintes montrées

sur la figure 2.9 et aux forces de volume fx

et fy

. Ecrivons l’équilibre de l’élément

dans les deux directions x et y.

X

Y

Figure 2.9 – Forces intervenant dans l’équilibre d’un élément infinitésimal.

• Equilibre dans la direction x :

��x

dy � ⌧xy

dx+

⇣⌧xy

+

@⌧xy

@y

dy⌘dx+

��x

+

@�x@x

dx�dy + f

x

dxdy = 0


) @�x@x

dxdy +@⌧xy

@y

dxdy + fx

dxdy = 0

d’où l’équation : @�x@x

+

@⌧xy

@y

+ fx

= 0

• Equilibre dans la direction y :

��y

dx� ⌧xy

dy +⇣⌧xy

+

@⌧xy

@y

dx⌘dy +

⇣�y

+

@�y

@y

dy⌘dx+ f

y

dxdy = 0

) @�y

@y

dxdy +@⌧xy

@x

dxdy + fy

dxdy = 0

d’où l’équation : @�y

@y

+

@⌧xy

@x

+ fy

= 0

2.11.2 Cas 3D

De façon similaire on obtient les trois équations suivantes en exprimant l’équilibre

dans les trois directions x, y et z :

8>>>>><

>>>>>:

@�x@x

+

@⌧xy

@y

+

@⌧xz@z

+ fx

= 0

@⌧xy

@x

+

@�y

@y

+

@⌧yz

@z

+ fy

= 0

@⌧xz@x

+

@⌧yz

@y

+

@�z@z

+ fz

= 0

(2.23)

En notation indicielle, ces équations s’écrivent : �ij,j

+ fi

= 0

Remarques

1. En dynamique, les équations d’équilibre deviennent des équations de mouve-

ment et s’écrivent : �ij,j

+ fi

= ⇢ui

, avec ⇢ est la masse volumique et ui

est

l’accélération dans la direction i.

2. Les équations d’équilibre sont indépendantes des propriétés des matériaux.


Exercices

Détérmination analytique des contraintes et directions principales

Exercice 1 : Un élément structural est soumis à un système de forces, chacune

produit au même point p un état de contrainte comme représenté ci-dessous.

(a)(b) (c)

x

y

20MPa40MPa 10MPa

1. Déterminer le tenseur de contraintes résultant au même point dans le repère

indiqué en (a).

2. Déterminer les contraintes et les directions principales par rapport au même

repère.

Exercice 2 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en

un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :

(a) [�] =

2

6664

0, 7↵ 3, 6↵ 0

3, 6↵ 2, 8↵ 0

0 0 7, 6

3

7775MPa (b) [�] =

2

6664

7 0 �3p3

0 25 0

�3p3 0 13

3

7775MPa

↵ est un paramètre de charge positif.


un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant : [�] =

2

6664

0 ⌧ ⌧

⌧ 0 ⌧

⌧ ⌧ 0

3

7775


un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :

[�] =

2

6664

12 6 9

6 10 3

9 3 14

3

7775MPa


Cercle de Mohr

Exercice 5 : On considère une plaque mince élastique linéaire et isotrope, soumise

aux contraintes montrées sur la figure 2.10(a). En se servant du cercle de Mohr, dé-

terminer les contraintes principales et les vecteurs unitaires définissant les directions

principales.

Exercice 6 : Soit un point O d’un matériau soumis à l’état plan de contrainte

représenté par la figure 2.10(b).

1. Ecrire le tenseur de contrainte correspondant.

2. Tracer le cercle de Mohr caractéristique.

3. Donner les 3 contraintes principales ainsi que les directions correspondantes.

4. Donner la contrainte tangentielle maximale ainsi que la normale du plan sur

lequel elle agit.

5. Trouver les contraintes normales et tangentielles agissantes sur un plan pas-

sant par O de normale faisant 60

� par rapport à l’horizontale.

6. Déterminer le tenseur de contraintes dans le repère orthonormé direct

X0(O, x0, y0, z0), qui s’obtient par rotation du repère X(O, x, y, z) de +30

�

autour de l’axe z.

Exercice 7 : Soit deux plans inclinés A et B passant par le point O. �a

, �b

, ⌧a

et

⌧b

sont les contraintes normales et tangentielles agissantes en O sur les plan A et

B (voir figure 2.10(c)). Si �a

= 17kpa, �b

= �11kpa, ⌧a

= 12kpa et ⌧b

= �16kpa.

Déterminer le centre et le rayon (a et r) du cercle de Mohr de contrainte au point

O. Déduire les contraintes principales.

O

Plan APlan B

O x

y

5MPa

5MPa 5MPa

x

y

z

5MPa

5MPa

(a) (b) (c)

Figure 2.10 – (a) Exercice 5, (b) Exercice 6, (c) Exercice 7.

Chapitre 3

Etat de déformation en un point

3.1 Introduction

considérons un corps solide soumis à des forces extérieures de façon que ces

particules constituantes se trouvent déplacées vers de nouvelles positions. On dit

que le corps a subit une déformation si les positions relatives de ses particules sont

altérées. Dans le cas contraire, le corps a subit un déplacement de corps rigide (Fig.

3.1).

3.2 Définition

3.2.1 Cas 1D

On considère une barre soumise à une force axiale P . Soit u(x) le déplacement

axial d’un point de position x (Fig. 3.2).

Le segment [AB] de longueur �x devient [A0B0] de longueur (�x +�u) après

l’application de la charge.

La déformation longitudinale moyenne du segment [AB] est définie comme la

variation unitaire de la longueur, elle s’exprime :

"0 =(�x+�u)��x

�x=

�u

�x(3.1)

La déformation longitudinale ponctuelle en un point de position x est définie comme :

"(x) = lim

�x!0

�u

�x=

du

dx(3.2)

Chapitre 3. Etat de déformation en un point 36

A et B ayant les images A' et B' après déplacements

A

A'

B'

B

tel que :

A

B

A'

B'

A et B ayant les images A' et B' après déplacements

tel que :

Déplacement de corps rigide

Déformation

A

B

A' B'

Figure 3.1 – Déformation et déplacement de corps rigide

x

A

B

A'

B'

P

Figure 3.2 – Définition de la déformation - Cas 1D -


A B

A'B'

C'

D'

CD

x

y

A B

A'B'

C'D'

CD

x

y

A B

A'

B'

C'

D' CD

x

y

Déplacement de corps rigide

déformations normales+

Distorsion

(a)

(b) (c)

Figure 3.3 – Définition de la déformation - Cas 2D -

3.2.2 Cas 2D

On considère un élément bidimensionnel rectangulaire de dimensions initiales

dx⇥dy. Soit u et v les déplacements dans les deux directions x et y respectivement.

Sous l’effet d’un chargement extérieur l’élément subit une déformation qui peut être

vue comme une superposition de trois composantes qui sont (voir figure 3.3) :

1. un déplacement de corps rigide,

2. des variations des longueurs des faces sans rotation (déformations normales),

3. des rotations des faces sans variation des longueurs (distorsion).


3.2.2.1 Déformations normales

D’une façon similaire au cas 1D, on définit les déformations normales dans les

deux directions à partir de la figure 3.3b par :

"x

=

@u

@xet "

y

=

@v

@y(3.3)

Par convention " > 0 : allongement, " < 0 : raccourcissement

3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement

La distorsion ou déformation de cisaillement se définit comme la variation de

l’angle droit \DAB. Elle peut être exprimée à partir de la figure 3.3c par :

�xy

= ↵x

+ ↵y

.

Pour des petites déformations il est possible d’écrire :

↵x

⇡ tan↵x

=

@v

@x

et ↵y

⇡ tan↵y

=

@u

@y

. Par conséquence la distorsion dans le plan

xy peut être définie par :

�xy

=

@v

@x+

@u

@y(3.4)

Remarques

1. Une autre définition de la déformation de cisaillement est souvent utilisée :

"xy

=

1

2

✓@v

@x+

@u

@y

◆(3.5)

2. �xy

(ou "xy

) mesure la variation de l’angle entre deux axes orthogonaux, il

est considéré donc que �xy

= �yx

(et "xy

= "yx

).

3. Pour être cohérente avec les contraintes, la convention de signe de la déforma-

tion de cisaillement est comme suit : �xy

("xy

) > 0 si l’angle droit du premier

quadrant (\DAB) diminue, sinon �xy

("xy

) < 0


3.2.3 Cas 3D

Par analogie avec le cas 2D, les déformations peuvent être définies dans le cas

général 3D par les expressions :

"x

=

@u

@x

"y

=

@v

@y

"z

=

@w

@z

�xy

=

@v

@x

+

@u

@y

�xz

=

@w

@x

+

@u

@z

�yz

=

@w

@y

+

@v

@z

(3.6)

avec : "xy

=

12

⇣@v

@x

+

@u

@y

⌘, "

xz

=

12

�@w

@x

+

@u

@z

�, "

yz

=

12

⇣@w

@y

+

@v

@z

⌘

Un tenseur de déformations peut ainsi être définit par :

["] =

2

6664

"xx

"xy

"xz

"yx

"yy

"yz

"zx

"zy

"zz

3

7775(3.7)

En écriture indicielle, les composantes de ce tenseur s’expriment par :

"ij

=

1

2

(ui,j

+ uj,i

) (3.8)

3.2.4 Unité des déformations

D’après leurs expressions (Eqs. 3.6), l’unité des déformations est (m/m) oubien

sans unité tout simplement. Le sens physique de cette unité est l’allongement par

unité de longueur pour les déformations normales et la variation d’angle en radian

pour les distorsions.


3.2.5 Déformation volumique

Elle est définie par la variation unitaire du volume :

e =�V

V(3.9)

avec : V le volume initial et �V la variation du volume.

Cette déformation peut être reliée aux déformations normales de la façon sui-

vante ; soit un élément volumique de dimensions initiales dx⇥ dy⇥ dz, après défor-

mation ces dimensions deviennent (dx+"x

dx)⇥ (dy+"y

dy)⇥ (dz+"z

dz) (Fig. 3.4).

Déformation

Figure 3.4 – Elément volumique soumis à des déformations normales

Volume initial : V = dx⇥ dy ⇥ dz

Volume final : V + dV = (dx+ "x

dx)⇥ (dy + "y

dy)⇥ (dz + "z

dz)

= dx⇥ dy ⇥ dz(1 + "x

)(1 + "y

)(1 + "z

)

Déformation volumique : e = �V

V

=

(V+�V )�V

V

=

dx⇥dy⇥dz[(1+"x)(1+"y)(1+"z)�1]dx⇥dy⇥dz

d’où : e = (1 + "x

)(1 + "y

)(1 + "z

)� 1

En détaillant cette dernière expression on obtient :

e = "x

+ "y

+ "z

+ "x

"y

+ "x

"z

+ "y

"z

+ "x

"y

"z

Dans le cadre des petites déformations, les termes de degrés élevés peuvent être

négligés, c’est à dire : "x

"y

⇡ 0, "x

"z

⇡ 0, "y

"z

⇡ 0, "x

"y

"z

⇡ 0, la déformation


volumique s’exprime alors dans ce cas :

e = "x

+ "y

+ "z

(3.10)

3.2.6 Application

Sous l’effet d’un chargement extérieur les particules d’un corps solide subissent

le champs de déplacement défini dans un repère Oxyz par les composantes :

u = (x2 + 10)10

�2, v = (2yz)10�2 et w = (z2 � xy)10�2.

Déterminer le tenseur de déformation ainsi que la déformation volumique en un

point de coordonnées (0, 2, 1).

Réponse

• Tenseur de déformations en fonction de x, y et z :

"x

=

@u

@x

= 2x⇥ 10

�2, "y

=

@v

@y

= 2z ⇥ 10

�2, "z

=

@w

@z

= 2z ⇥ 10

�2

"xy

=

12

⇣@u

@y

+

@v

@x

⌘= 0, "

xz

=

12

�@u

@z

+

@w

@x

�= �1

2y ⇥ 10

�2

"yz

=

12

⇣@v

@z

+

@w

@y

⌘=

12(2y � x)⇥ 10

�2

D’où : ["] =

2

6664

2x 0 �12y

0 2z 12(2y � x)

�12y

12(2y � x) 2z

3

7775⇥ 10

�2

• Tenseur de déformations au point (0, 2, 1) : ["] =

2

6664

0 0 �1

0 2 2

�1 2 2

3

777510

�2

• Déformation volumique au point (0, 2, 1) : e = "x

+ "y

+ "z

= 4⇥ 10

�2

3.3 Changement du repère de référence

On peut démontrer par des considérations géométriques que les procédures de

transformation du tenseur de déformation sont les mêmes que celles du tenseur de

contraintes.

L’expression du tenseur de déformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rap-


port au repère de référence initial (O,X, Y, Z) est :

⇥"0⇤= [A] ["] [A]

T (3.11)

avec [A] est la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des

axes du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z) (Eq. 1.5).

Cas particulier : Cas de rotation plane (2D)

Dans le cas particulier d’une transformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) qui

s’obtient par rotation du repère (O,X, Y, Z) autour de son axe Z d’un angle ✓ (Fig.

3.5), l’équation 3.11 aboutit aux expression suivantes pour les déformations "x

0 et

"x

0y

0 :

O

Z' Z

X

Y

X'

Y'

Figure 3.5 – Rotation plane du repère de référence initial

8><

>:

"x

0= "

x

cos

2 ✓ + 2"xy

cos ✓ sin ✓ + "y

sin

2 ✓ (a)

"x

0y

0= � ("

x

� "y

) cos ✓ sin ✓ + "xy

�cos

2 ✓ � sin

2 ✓�

(b)

(3.12)

Ces expression sont particulièrement utiles pour la détermination du tenseur de dé-

formation dans la pratique de mesure des déformations par les jauges de déformation

(voir en section 3.6).

3.4 Déformations principales et directions principales

De façon similaire aux contraintes, on démontre qu’en un point d’un milieu

déformé, il y a trois directions principales suivant lesquelles se produisent trois dé-


formations principales. Ces déformations sont les solutions de l’équation :

� �3+ I

"1�2 � I

"2�+ I"3 = 0 (3.13)

avec I"i

sont les invariants du tenseur de déformations, ils ont pour expressions :

8>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:

I"1 = "

x

+ "y

+ "z

= "pp

I"2 =

��

"x

"xy

"xy

"y

��+

��

"x

"xz

"xz

"z

��+

��

"y

"yz

"yz

"z

��= "

x

"y

+ "x

"z

+ "y

"z

� "2xy

� "2xz

� "2yz

I"3 = det ["] = "

x

"y

"z

� "x

"2yz

� "y

"2xz

� "z

"2xy

+ 2"xy

"xz

"yz

(3.14)

Les déformations principales sont notées "1, "2 et "3, par convention elles sont

numérotées tel que : "1 � "2 � "3.

3.5 Cercle de Mohr

Comme pour les contraintes pour un cas de déformations 2D, les déformations

normale et distorsionnelle varient en fonction de la direction suivant un cercle dans

le plan de Mohr�", �2�, c’est le cercle de Mohr (Fig. 3.6).

r

a

Figure 3.6 – Cercle de Mohr pour les déformations

Si le tenseur de déformation est ["] =

2

4 "x

"xy

"xy

"y

3

5, les propriétés du cercle de

Mohr caractéristique notamment l’abscisse du centre et le rayon du cercle sont res-


pectivement :

a =

"x

+ "y

2

=

"1 + "22

et r =

s✓"x

� "y

2

◆2

+

⇣�xy

2

⌘2=

"1 � "22

Les remarques faites sur le cercle de Mohr de contraintes relatives à la convention

de signe et l’utilisation reste valable pour le cercle de Mohr de déformations.

3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation

électriques

Les jauges de déformation électriques sont des filaments électriques fins résistifs

de petites dimensions (Fig. 3.7a). Pour mesurer la déformation normale en un point

d’une surface suivant une direction donnée, le filament est bien collé sur la surface

suivant la même direction pour recevoir la même déformation.

(a) (b)

dir.1

dir.2dir.3

Direction de la jauge

Figure 3.7 – (a) Jauge de déformation, (b) Rosette à 60

�

La déformation normale " est obtenue par la mesure de la variation de la résis-

tance électrique du filament, moyennant la relation :

" =

✓1

1 + 2⌫

◆�R

R(3.15)

où R est la résistance initiale de la jauge, �R est la variation de résistance et ⌫

est le coefficient de Poisson du matériau du filament. Une démonstration de cette


relation est donnée en note de bas de page 1.

Etant donné que l’état de déformation en un point d’une surface libre se carac-

térise par trois déformations indépendantes ("x

, "y

et "xy

par exemple). La déter-

mination du tenseur de déformations en un point superficiel requiert la mesure des

déformations normales suivant au moins trois directions différentes. Des rosettes de

jauges de différentes configurations sont alors utilisées. La figure 3.7b montre un

exemple d’une rosette à 60

�, où l’angle entre chaque deux jauges est de 60

�.

3.6.1 Application

Pour trouver l’état de déformation en un point O d’une surface d’un corps solide,

on utilise une rosette à 60

�. Les jauges sont disposées suivant les directions 0

�,

60

� et 120

� par rapport à l’axe x d’un repère Oxy. Les mesures effectuées sont :

"0 = 190⇥ 10

�6, "60 = 200⇥ 10

�6 et "120 = �300⇥ 10

�6.

Déterminer le tenseur de déformation par rapport au repère Oxy.

Réponse :

Utilisons la relation donnant la déformation normale suivant une direction ✓ (Eq.

3.12a) : 8>>>>><

>>>>>:

"0 = "(✓ = 0

�) = "

x

"60 = "(✓ = 60

�) =

14"x +

p32 "

xy

+

34"y

"120 = "(✓ = 120

�) =

14"x �

p32 "

xy

+

34"y

La résolution de ce système d’équation permet de déduire les déformations : "x

=

190⇥ 10

�6, "y

= �130⇥ 10

�6 et "xy

=

1000p3⇥ 10

�6.

1. Démonstration :

Résistance électrique du filament : R = ⇢LA

, avec ⇢ : résistivité, L : longueur, A : section.

Prenant la différentielle totale de la résistence : dR =

LAd⇢+

⇢AdL� ⇢L

A2 dA

Tenant compte de l’expression de la résistance, il en résulte :

dRR

=

d⇢⇢

+

dLL

� dAA

(a)

D’autres parts, pour un filament de section circulaire : A = 2⇡r2 avec r le rayon,

dAA

=

2drr

Si on pose

dLL

= ", on peut écrire :

drr

= �⌫" avec ⌫ le coefficient de Poisson du matériau du

filament. Par conséquence :

dAA

= �2⌫"En plaçant ces expressions dans l’équation (a) et en négligeant la variation de la résistivité on

obtient :

dRR

= (1 + 2⌫)"


3.7 Equations de compatibilité des déformations

Il existe six (06) composantes de déformation qui s’obtiennent par dérivation de

trois (03) fonctions de déplacements. Par conséquence, même si les déplacements sont

quelconques, les déformations ne peuvent pas être indépendantes. Il devrait exister

donc trois relations entre les déformations, ce sont les équations de compatibilité,

elles sont dues à Saint-Venant (1864).

Ces équations s’obtiennent comme suit :

3.7.1 Cas 2D

Considérons les expressions des déformations :

"x

=

@u

@x

(a)

"y

=

@v

@y

(b)

�xy

=

@u

@y

+

@v

@x

(c)

Dérivons l’équation (a) deux fois par rapport y, l’équation (b) deux fois par

rapport x et l’équation (c) une fois par rapport x et une fois par rapport y, on

obtient :

@

2"x

@y

2 =

@

3u

@x@y

2 (a0)

@

2"y

@x

2 =

@

3v

@x

2@y

(b0)

@

2�xy

@x@y

=

@

3u

@x@y

2 +

@

3v

@x

2@y

(c0)

Des équations (a0), (b0) et (c0) découle l’équation :

@

2"x

@y

2 +

@

2"y

@x

2 =

@

2�xy

@x@y

(3.16)

c’est l’équation de compatibilité des déformations dans le cas 2D (il existe une seule

équation dans ce cas.)


3.7.2 Cas 3D

Par des transformations similaires on obtient les équations :

@

2"x

@y

2 +

@

2"y

@x

2 =

@

2�xy

@x@y

@

2"x

@z

2 +

@

2"z

@x

2 =

@

2�xz

@x@z

@

2"y

@z

2 +

@

2"z

@y

2 =

@

2�yz

@y@z

2

@

2"x

@y@z

=

@

@x

⇣�@�yz

@x

+

@�xz

@y

+

@�xy

@z

⌘

2

@

2"y

@x@z

=

@

@y

⇣@�yz

@x

� @�xz

@y

+

@�xy

@z

⌘

2

@

2"z

@x@y

=

@

@z

⇣@�yz

@x

+

@�xz

@y

� @�xy

@z

⌘

(3.17)

Remarques :

1. Bien qu’elles sont au nombre de six (06), ces équations ont un degré d’indé-

pendance de trois (03).

2. Du point de vue physique, ces équations imposent la continuité des déplace-

ments, par conséquence la continuité du milieu après déformation.


Exercices

Exercice 1 : Soit la plaque de caoutchouc ABCD montrée sur la figure 3.8(a). Sous

l’effet d’un chargement dans son plan, cette plaque prend une nouvelle configuration

AB0C 0D0 comme montré sur la même figure. Déterminer le tenseur de déformation

par rapport au repère xy, discuter le résultat obtenu.

Exercice 2 : Soit une plaque carrée de caoutchouc ABCD de coté a. Sous l’effet

d’un chargement dans son plan, la plaque est déformée uniformément en AB0C 0D

comme montré sur la figure 3.8(b).

1. Déterminer la déformation longitudinale subie par chacune des diagonale AC

et BD ainsi que leurs longueurs finales (AC 0 et BD0).

2. Déterminer le changement d’angle entre les diagonales après déformation.

AB

D D'

C'

C

y

x

2a

a

0,04a0,04a

0,08a

0,08a

A B

D D' C'C

y

xa

a

0,06a0,06a

(a) (b)

Figure 3.8 – (a) Exercice 1, (b) Exercice 2.

Exercice 3 : Le système de jauges disposées selon le schéma montré sur la figure

3.9(a) est appelé rosette delta. Si la rosette est collée autour d’un point O les défor-

mations mesurées sont : "a

= 900⇥ 10

�6, "b

= �450⇥ 10

�6 et "c

= 600⇥ 10

�6.

1. Déterminer le tenseur de déformations par référence au repère Oxy.

2. Vérifier que la déformation longitudinale maximale n’excède pas la limite

admissible qui est de 1100⇥ 10

�6.

Remarque : la rosette delta est de très faibles dimensions de sorte qu’il peut être supposé que les

trois jauges sont collées sur le même point.


Exercice 4 : Une plaque mince en matériau élastique linéaire et isotrope, est sou-

mise à un chargement dans son plan. Les déformations mesurées au point (O) dans

les directions a et b (voir figure 3.9(b)) sont : "a

= 36 ⇥ 10

�4, "b

= 62 ⇥ 10

�4 et

�ab

= 0. Déterminer le tenseur de déformation au point (O) par référence au repère

Oxyz.

Exercice 5 : On considère une plaque mince chargée dans son plan, attachée d’un

coté et soumise de l’autre coté à une charge répartie p(y). L’attachement est fait de

sorte que tous les points de l’extrémité attachée (x = 0) peuvent coulisser librement

dans la direction verticale sauf le point (x = y = 0) qui est bloqué (voir figure 3.9(c)).

De cette façon les contraintes verticale et de cisaillement sont partout nulles. Les

déformations résultantes dans le plan xy ont pour expressions :

"x

= 4xy ⇥ 10

�4m�2, "y

= �xy ⇥ 10

�4m�2, �xy

= 0.

1. Est-ce-que ces déformations sont compatibles ?

2. Ecrire les conditions aux frontières du problème.

3. Déterminer l’expression du déplacement horizontal u(y) à l’extrémité x =

50cm. Donner le déplacement maximal ainsi que le point ou il se produit.

x

y

O60° 60°

60°

a

bc

(a) (b)

x

y

z

b

a

O

(c)

p(y)

50cm

30cm

x

y

z

Figure 3.9 – (a) Exercice 3, (b) Exercice 4, (c) Exercice 5.

Chapitre 4

Equations constitutives ; relations

contraintes - déformations pour

les solides élastiques linéaires

4.1 Introduction

On s’intéresse dans ce chapitre aux équations caractérisant le comportement

mécanique du matériau, c’est à dire sa réaction à un chargement appliqué. De telles

équations sont appelées équations constitutives.

Un matériaux élastique est un matériau qui reprend sa forme initiale après éli-

mination des charges qui lui sont appliquées.

Dans le domaine élastique et pour la majorité des matériaux il y a une phase

pour laquelle la déformation est proportionnelle à la contrainte appliquée. Dans cette

phase le comportement du matériau est dit élastique linéaire. C’est à ce comporte-

ment que l’on s’intéresse dans ce cours.

4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidi-

rectionnelle

Considérons une barre soumise à une force axiale dans la phase élastique linéaire.

La relation entre la contrainte appliquée (�) et et la déformation normale dans la

même direction (") s’écrit :

� = E" (4.1)

Chapitre 4. Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour les solides

élastiques linéaires 51

x x

yy

Figure 4.1 – Illustration de l’effet de Poisson

E : est appelé module de déformation longitudinale oubien module de Young et la

relation 4.1 est appelée loi de Houke.

Il est remarqué expérimentalement qu’une déformation normale dans la direction

longitudinale s’accompagne d’une déformation normale dans la direction transver-

sale, proportionnelle mais de signe inverse, c’est l’effet de Poisson (Fig. 4.1).

Référons nous à la figure 4.1, la contrainte � est appliquée dans direction x, donc

�x

= �, la déformation normale dans la direction x selon la loi de Houke est "x

=

�

E

.

La déformation normale dans la direction transversale y causée par la contrainte �x

s’obtient par la relation :

"y

= �⌫ �xE

(4.2)

où ⌫ est appelé coefficient de Poisson.

4.3 Loi de Hooke généralisée

Dans le cas d’un état de contraintes 3D, la loi de Houke s’écrit sous la forme la

plus générale suivante :

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

"x

"y

"z

�xy

�xz

�yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

=

2

6666666666664

c11 c12 c13 c14 c15 c16

c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

3

7777777777775

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

�x

�y

�z

⌧xy

⌧xz

⌧yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

(4.3)

cij

sont 36 constantes dépendantes du matériau.



(a) (b)

1 2 3

Figure 4.2 – Décomposition de l’application de l’état de contrainte par étapes.

4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique

linéaire et isotrope

En admettant que les déformations normales ne sont produites que par des

contraintes normales et que les déformations de cisaillement ne sont produites que

par des contraintes de cisaillement agissantes dans leurs directions, et pour les

matériaux isotropes (mêmes constantes dans toutes les directions), le nombre de

constantes indépendantes cij

se trouve réduit à 2 seulement (nous le démontrerons

plus bas).

Pour déterminer ces constantes supposons que les déformations sont suffisam-

ment petites, de façon que l’on reste dans le domaine élastique linéaire en appliquant

la superposition des effets. Considérons un élément 2D rectangulaire d’épaisseur

unité, soumis à un état plan de contrainte (Fig.4.2a). Cet état de contrainte peut

être vu comme appliqué en trois étapes ; �x

puis �y

et ensuite ⌧xy

(Fig. 4.2b).

Ces contraintes appliquées par étapes produisent les déformations :

1. Application de �x

! déformations :

8><

>:

"x

=

�xE

"y

= �⌫ �xE

2. Application de �y

! déformations :

8><

>:

"y

=

�y

E

"x

= �⌫ �y

E

Les déformations résultantes de l’application de �x

et �y

simultanément s’ob-



tiennent par superposition de leurs effets, soit :

8><

>:

"x

=

�xE

� ⌫�y

E

"y

=

�y

E

� ⌫ �xE

3. Pour la contrainte de cisaillement seule, il est montré expérimentalement que

la déformation est proportionnelle à la contrainte, elle s’exprime donc :

�xy

=

⌧xy

G

avec G est le module de déformation transversal (ou de cisaillement).

D’une façon similaire on aboutit dans le cas général 3D aux relations :

8>>>>>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>>>>>:

"x

=

1E

[�x

� ⌫ (�y

+ �z

)]

"y

=

1E

[�y

� ⌫ (�x

+ �z

)]

"z

=

1E

[�z

� ⌫ (�x

+ �y

)]

�xy

=

⌧xy

G

�xz

=

⌧xzG

�yz

=

⌧yz

G

(4.4)

oubien sous la forme matricielle :

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

"x

"y

"z

�xy

�xz

�yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

=

2

6666666666664

1E

� ⌫

E

� ⌫

E

0 0 0

� ⌫

E

1E

� ⌫

E

0 0 0

� ⌫

E

� ⌫

E

1E

0 0 0

0 0 0

1G

0 0

0 0 0 0

1G

0

0 0 0 0 0

1G

3

7777777777775

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

�x

�y

�z

⌧xy

⌧xz

⌧yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

(4.5)

Cette équation s’écrit couramment sous la forme simple :

{"} = [C] {�} (4.6)



Ces relations (Eqs. 4.4 ou 4.5) représentent la loi de Houke généralisée pour un

matériau élastique linéaire isotrope.

4.4.1 Relation entre les constantes élastiques

Les relations 4.4 ou 4.5 montrent que les constantes caractérisant le matériau

sont au nombre de 3 à savoir E, ⌫ et G. Néanmoins on peut montrer qu’il existe

une relation entre ces constantes, par concéquence le nombre de constantes indépen-

dantes se réduit à 2.

Considérons un cas de contrainte 2D de cisaillement pur (Fig.4.3a). Cet état de

contrainte possède deux directions principales faisant des angles ⇡

4 et 3⇡4 par rapport

à l’axe x du repère de référence (Fig.4.3b). Les contraintes principales sont �1 = ⌧xy

et �2 = �⌧xy. En appliquant la loi de Houke on obtient les déformations principales :

OO

(a) (b)

x

y

x

y

(c)

Figure 4.3 – (a) Etat de cisaillement pur, (b) Directions et contraintes principalescorrespondantes, (c) Cercle de Mohr des déformations correspondantes.

8><

>:

"1 =�1E

� ⌫ �2E

=

1+⌫

E

⌧xy

"2 =�2E

� ⌫ �1E

= �1+⌫

E

⌧xy

(a)

En traçant le cercle de Mohr des déformations (Fig. 4.3c) on peut obtenir la défor-

mation de cisaillement dans le repère Oxy :

�xy

2

= "1 ) �xy

= 2"1



En tenant compte des équations (a)�"1 =

1+⌫

E

⌧xy

�on obtient :

�xy

= 2

1 + ⌫

E⌧xy

En comparant cette équation à celle donné par la loi de Houke : �xy

=

⌧xy

G

, on

obtient :

G =

E

2(1 + ⌫)(4.7)

Cette relation réduit le nombre de constantes indépendantes intervenant dans la loi

de Houke à 2 pour un matériau élastique linéaire et isotrope.

En tenant compte de cette relation, la loi de Houke (Eq. 4.5) s’écrit en termes

de deux constantes sous la forme :

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

"x

"y

"z

�xy

�xz

�yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

=

1

E

2

6666666666664

1 �⌫ �⌫ 0 0 0

�⌫ 1 �⌫ 0 0 0

�⌫ �⌫ 1 0 0 0

0 0 0 2(1 + ⌫) 0 0

0 0 0 0 2(1 + ⌫) 0

0 0 0 0 0 2(1 + ⌫)

3

7777777777775

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

�x

�y

�z

⌧xy

⌧xz

⌧yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

(4.8)

oubien sous la forme inverse :

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

�x

�y

�z

⌧xy

⌧xz

⌧yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

=

2

6666666666664

�+ 2G � � 0 0 0

� �+ 2G � 0 0 0

� � �+ 2G 0 0 0

0 0 0 G 0 0

0 0 0 0 G 0

0 0 0 0 0 G

3

7777777777775

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>:

"x

"y

"z

�xy

�xz

�yz

9>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>;

(4.9)

avec � =

⌫E

(1+⌫)(1�2⌫ ) est la constante de Lamé.

Sous forme indicielle les relations 4.8 et 4.9 s’écrivent respectievement :

"ij

=

1

E[(1 + ⌫)�

ij

� ⌫�pp

�ij

] (4.10)



�ij

= 2G"ij

+ �"pp

�ij

(4.11)

avec (pour rappel) : "ij

=

12�ij pour les distorsions (i.e. i 6= j).

4.4.2 Module de déformation volumique

C’est une constante élastique du matériau qui relie la déformation volumique à

la contrainte normale moyenne. Il est déterminé de la façon suivante.

Soit :

• les déformations normales :

"x

=

1E

[�x

� ⌫ (�y

+ �z

)]

"y

=

1E

[�y

� ⌫ (�x

+ �z

)] (a)

"z

=

1E

[�z

� ⌫ (�x

+ �y

)]

• et la contrainte normale moyenne

�0 =13(�x + �

y

+ �z

) (c)

En utilisant les équations (a) et (c), la déformation volumique peut être exprimer

en terme de la contrainte normale moyenne comme suit :

e = "x

+ "y

+ "z

=

1� 2⌫

E(�

x

+ �y

+ �z

) =

3(1� 2⌫)

E�0

d’où la relation :

e =�0K

(4.12)

K est le module de déformation volumique donné par :

K =

E

3(1� 2⌫)(4.13)

Il est appelé en anglais the bulk modulus.



4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson

Le coefficient de Poisson est limité par des bornes inférieure et supérieure, ces

bornes sont définies en tenant compte des considérations suivantes :

• Le coefficient de Poisson se définit dans le cas d’une sollicitation unidirec-

tionnelle �x

à partir de l’équation 4.2 par :

⌫ = �"y

"x

(4.14)

"y

étant une déformation causée par la contrainte �x

, elle est naturellement

de signe inverse à "x

=

�xE

, par conséquence l’équation 4.14 donne toujours

des valeurs positives ⌫ � 0 .

• Etant donné que la déformation volumique doit avoir naturellement le même

signe que la contrainte normale moyenne provocante (Eq. 4.12), il est néces-

saire que le module de déformation volumique (Eq. 4.13) soit positif. Ainsi :E

3(1�2⌫) � 0 ) ⌫ 0, 5

Le coefficient de Poisson est donc borné par :

0 ⌫ 0, 5 (4.15)

4.5 Energie de déformation

Lorsqu’un corps solide est soumis à des forces externes, il subit des déformations

(Fig.4.4)

état initial

état final

Figure 4.4 – Corps déformé sous l’effet d’un système de forces.

Si ces déformations sont élastiques, le travail fait par le système de forces est

emmagasiné dans le corps sous forme d’énergie dite énergie de déformation.



Soit un élément de volumique (dx.dy.dz) soumis à une contrainte axiale �x

(Fig.

4.5a). La contrainte est appliquée d’une façon statique (appliquée lentement de

manière que les effets inertiels soient négligeables).

dx

dz

dy

y

x

z

(a) (b)

dz

dx

dy

y

x

z

Figure 4.5 – Element de dimensions dx.dy.dz déformé ; (a) sous l’effet d’unecontrainte normale �

x

, (b) sous l’effet d’une contrainte de cisaillement ⌧xy

.

Le travail réalisé par la force (�x

.dy.dz) est :

dW =

Z"x

0�x

dydz(d"x

dx)

Ce travail est emmagasiné dans l’élément volumique (dx.dy.dz) sous forme d’énergie

de déformation dU , qui s’exprime ainsi :

dU = dxdydz

Z"x

0�x

d"x

(4.16)

La densité d’énergie de déformation ou l’énergie par unité de volume peut être définie

en conséquence par :

U0 =

Z"x

0�x

d"x

(4.17)

En introduisant la loi de Houke, U0 peut être exprimée sous différentes formes soit :

U0 =

Z"x

0E"

x

d"x

=

1

2

E"2x

=

1

2

�x

"x

(4.18)

L’énergie de déformation élastique associée à la déformation de cisaillement peut

être définie d’une façon similaire. Pour une contrainte appliquée ⌧xy

(Fig. 4.5b), la



densité d’énergie de déformation peut être exprimée sous les différentes formes :

U0 =

Z�xy

0⌧xy

d�xy

=

Z�xy

0G�

xy

d�xy

=

1

2

G�2xy

=

1

2

⌧xy

�xy

(4.19)

Ainsi, dans le cas général où toutes les composantes de contraintes existent, la densité

d’énergie de déformation s’écrit :

U0 =1

2

(�x

"x

+ �y

"y

+ �z

"z

+ ⌧xy

�xy

+ ⌧xz

�xz

+ ⌧yz

�yz

) (4.20)

La densité d’énergie de déformation peut être exprimée en termes de contraintes ou

de déformations seules en introduisant la loi de Houke généralisée (Eqs. 4.8 ou 4.9)

soit :

U0 =1

2E

��2x

+ �2y

+ �2z

�� ⌫

E(�

x

�y

+ �x

�z

+ �y

�z

) +

1

2G

�⌧2xy

+ ⌧2xz

+ ⌧2yz

�(4.21)

ou bien

U0 =1

2

⇥�e2 + 2G

�"2x

+ "2y

+ "2z

�+G

��2xy

+ �2xz

+ �2yz

�⇤(4.22)

L’énergie totale de déformation emmagasinée dans un corps solide déformé s’obtient

par l’intégration de la densité d’énergie sur tous le volume :

U =

Z

V

U0dV (4.23)

où V est le volume du corps.

4.5.1 Application

Calculer l’énergie de déformation emmagasinée dans une barre de section trans-

versale A, de longueur L et de module de Young E, soumise à son extrémité à une

force axiale N .

Réponse

Si on suppose que la barre est rattaché à un repère Oxyz avec l’axe de la barre

est x, les contraintes dans la barre sont : �x

=

N

A

et �y

= �z

= ⌧xy

= ⌧xz

= ⌧yz

= 0.

Densité d’énergie de déformation (Eq. 4.21) : U0 =12E�2

x

=

12E

�N

A

�2



Energie emmagasinée dans la barre (Eq. 4.23) : U =

RV

12E

�N

A

�2dV =

12E

�N

A

�2AL

D’où : 12E

L

A

N2

4.6 Influence de la température

Sous l’effet de la variation de température, un milieu continu subit des défor-

mations volumiques. Considérons un élément infinitésimal de dimensions dxdydz

libre de se déformer et soumis à une variation de température �T , les déformations

résultantes alors sont :

"Tx

= "Ty

= "Tz

= ↵�T (4.24)

et

�Txy

= �Txz

= �Tyz

= 0 (4.25)

↵ est appelé coefficient de dilatation thermique du milieu.

Ces déformations s’écrivent en notation indicielle :

"Tij

= ↵�T �ij

(4.26)

Si le milieu est soumis à la fois à une variation de température et à des forces

extérieures, les expressions des déformations deviennent :

"x

=

1E

[�x

� ⌫ (�y

+ �z

)] + ↵�T

"y

=

1E

[�y

� ⌫ (�x

+ �z

)] + ↵�T

"z

=

1E

[�z

� ⌫ (�x

+ �y

)] + ↵�T

�xy

=

⌧xy

G

�xz

=

⌧xzG

�yz

=

⌧yz

G

(4.27)

ou bien en notation indicielle :

"ij

=

1

E[(1 + ⌫)�

ij

� ⌫�pp

�ij

] + ↵�T �ij

(4.28)

Les relations inverses, c’est à dire les contraintes en fonction des déformations



peuvent être obtenues à partir de ces équations (Eqs. 4.27 et 4.28), soit en notation

indicielle :

�ij

= 2G"ij

+ �"pp

�ij

� (3�+ 2G)↵�T �ij

(4.29)

Remarques :

1. Pour un corps libre de se déformer et soumis seulement à une variation de

température uniforme, les déformations prennent les valeurs : "x

= "y

= "z

=

↵�T et les contraintes résultantes sont nulles c’est à dire �x

= �y

= �z

= 0.

2. La variation de température provoque des contraintes supplémentaire dans

le corps si la déformation est empêché ou bien lorsque la distribution de �T

n’est pas uniforme.

4.6.1 Exercice d’application :

Pour une barre de d = 20mm de diamètre faisant partie d’une machine, il est

nécessaire de maintenir la section transversale constante. Si la barre est soumise à

une variation de température de 200

�C, quel est l’effort de traction nécessaire pour

maintenir la section transversale constante ?. On donne : Le coefficient de dilatation

thermique ↵ = 11.7 ⇥ 10

�6/�C , le coefficient de Poisson ⌫ = 0.25 et le module de

Young E = 200GPa.

Réponse :

Supposons que la barre est rattachée à une repère Oxyz avec l’axe de la barre

est x.

Maintenir le diamètre de la barre constant, c’est imposer la condition :

"y

= 0 ou bien "z

= 0 (a)

A partir des équations 4.27 :

"y

=

1

E[�

y

� ⌫ (�x

+ �z

)] + ↵�T (b)

La barre étant soumise à un effort de traction seul, alors :

�x

=

N

A, �

y

= �z

= 0 (c)



Avec A = ⇡d2/4 est la section de la barre.

Substituons ces contraintes dans l’expression (c) et tenons compte de la condition

(a) on obtient :

� ⌫

E

N

A+ ↵�T = 0

d’où

N =

A.E.↵�T

⌫=

⇡d2.E.↵�T

4⌫

Application numérique :

N =

⇡ ⇥ (20)

2 ⇥ 200⇥ 10

3 ⇥ 11, 7⇥ 10

�6 ⇥ 200

4⇥ 0, 25= 588106, 14N = 588, 1kN



Exercices

Exercice 1 : Soit un point d’un corps en acier de modules de déformation E =

200GPa et G = 80GPa.

1. Déterminer l’état de déformation en ce point, si l’état de contrainte est donné

par le tenseur [�] =

2

6664

20 �4 5

�4 0 10

5 10 15

3

7775MPa

2. Déterminer l’état de contrainte auquel est soumis le point si l’état de défor-

mation est donné par le tenseur ["] =

2

6664

2 1 0

1 3 4

0 4 0

3

7775⇥ 10

�4

Exercice 2 : Une barre de diamètre initial 60mm est soumise à une compression

axiale par une force de 200kN . Déterminer le diamètre de la barre après déformation.

On donne E = 85GPa et ⌫ = 0, 3.

Exercice 3 : En un point d’un corps solide élastique linéaire et isotrope, les défor-

mations principales "3, "2, "1 sont dans les rapports 3 : 4 : 5, la contrainte principale

majeure est �1 = 140MPa. Déterminer les rapports �3 : �2 : �1 et les valeurs de �2

et �3 . Prendre ⌫ = 0, 3.

Exercice 4 : Un cas de déformations planes se définit comme un cas où le dépla-

cement suivant une direction est empêché, les déformations ne peuvent se produire

ainsi que dans le plan orthogonal. Si z est la direction suivant laquelle le déplace-

ment est bloqué on peut écrire : "z

= �xz

= �yz

= 0. Dans ce cas les relations �-"

s’écrivent sous la forme matricielle :

8>>><

>>>:

"x

"y

�xy

9>>>=

>>>;=

hCi

8>>><

>>>:

�x

�y

⌧xy

9>>>=

>>>;.

1. Déterminer la matricehCi.

2. Que serait la matricehCi

s’il s’agit d’un cas de contraintes planes c’est à

dire �z

= ⌧xz

= ⌧yz

= 0.

Exercice 5 : Une barre élastique linéaire de constantes élastiques E et ⌫, est soumise



à un effort axial sans pouvoir se dilater latéralement. Si la direction axiale est x,

déterminer son module d’élasticité apparent (Ex

= �x

/"x

) en fonction de E et ⌫.

Exercice 6 : Soit le tenseur de contraintes [�] =

2

6664

200 20 10

20 60 0

10 0 40

3

7775MPa, représentant

l’état de contraintes en un point d’un milieu élastique linéaire et isotrope (E =

200GPa, ⌫ = 0, 25).

1. Déterminer les tenseurs sphériques et déviateur associés à [�].

2. Pour les deux tenseurs de contraintes, déterminer les tenseurs de déformations

résultants, ainsi que les déformations volumiques associées.

Exercice 7 : Afin de mesurer les propriétés élastiques du matériau d’une plaque

carrée, celle-ci est équipée de deux (2) jauges de déformation orthogonales collées

comme montré sur la figure ci-dessous, la plaque est ensuite soumise à des contraintes

dans son plan. Si pour des contraintes �x

= 8MPa, �y

= 4MPa et ⌧xy

= 4MPa ,

les déformations mesurées sont : "a

= 9, 5⇥ 10

�5 et "b

= �0, 5⇥ 10

�5 , quelles sont

les valeurs du module de Young (E) et du coefficient de Poisson (⌫) du matériau ?

x

y

45°

ab

Chapitre 5

Equations générales de l’élasticité

linéaire

5.1 Introduction

L’objet de ce chapitre est de présenter les méthodes de formulation et éventuel-

lement les méthodes de résolution de quelques problèmes de l’élasticité linéaire. La

formulation d’un problème veut dire la mise en équations de ses inconnus. Pour

un problème d’un solide déformé les inconnus principaux sont : les déplacements

ui

(x1, x2, x3), les contraintes �ij

(x1, x2, x3) et les déformations "ij

(x1, x2, x3).

5.2 Bilan des équations et des inconnus

• Inconnus : Il y a 15 inconnus à déterminer à savoir 3 déplacements, 6

contraintes et 6 déformations.

• Equations :

— 3 équations d’équilibre �ij

+ fi

= 0

— 6 relations déformations - déplacements "ij

=

12 (ui,j + u

j,i

)

— 6 relations contraintes - déformations �ij

= 2G"ij

+ �"pp

�ij ou inverse-

ment "ij

=

1E

[(1 + ⌫)�ij

� ⌫�pp

�ij]

Bilan : 15 équations pour 15 inconnus ) résolution possible du problème.

Remarque : Lorsque les déplacements sont exclus de la formulation, on se retrouve

avec 12 inconnus (6 contraintes et 6 déformations) et seulement 9 équations (3

équations d’équilibre et 6 relations contraintes - déformations). Dans ce cas, il est

nécessaire de faire appel aux 3 équations de compatibilité des déformations.

Chapitre 5. Equations générales de l’élasticité linéaire 66

5.3 Conditions aux frontières

L’intégration des équations différentielles formulées devrait aboutir à des solu-

tions (fonctions) contenant des constantes d’intégration. Ces constantes s’obtiennent

à partir des conditions aux frontières qui sont de deux (02) types :

• Conditions de type contrainte : sur une frontière ou une portion de frontière

At

, les vecteurs contraintes ti

sont imposés, il est ainsi possible d’écrire des

équations de la forme �ij

nj

= ti

, où ni

défini les composantes de la normale

de la frontière au point considéré.

• Conditions de type déplacement : sur une frontière ou une portion de frontière

Au

, le déplacement est imposé, c’est à dire en un point de cette frontière on

écrit : ui

= ui

, avec ui

étant le déplacement donné.

Exemple : Considérons la barre représentée sur la figure suivante, encastrée d’un

bout et soumise de l’autre bout à une contrainte de traction �0, la surface latérale

de barre est libre.

x

y

z

Les conditions aux frontières du problème s’écrivent :

• Sur At1 : t

x

= �0 et ty

= tz

= 0

• Sur At2 : t

x

= ty

= tz

= 0

• Sur Au

: ux

= uy

= uz

= 0

5.4 Principe de Saint-Venant (1857)

"Si une distribution de forces agissante sur une portion de la surface d’un corps

est substituée par une autre distribution de forces agissante sur la même portion de

surface, alors les effets des deux distributions sur les parties du corps suffisamment

éloignées de la région d’application des forces, sont les mêmes à condition que


les deux distributions de forces soient statiquement équivalentes (ont les mêmes

résultantes agissantes au même point)".

Exemple : Soit la plaque représentée sur la figure ci-dessous, soumise à des forces

réparties de compression q1 et q2 de différentes distributions.

q1

R1

M

q2

R2

M

Soit ~R1 et ~R2 les résultantes des forces q1 et q2 respectivement. Si ~R1 =

~R2 et,~R1 et ~R2 ont le même point d’application, alors les contraintes appliquées en un

point M de la plaque suffisamment éloigné de la surface d’application des forces

sont égales (par exemple pour les contraintes verticales �1 = �2.)

5.5 Théorème d’unicité

On admet sans démonstration le postulat due à Kirchhoff (1859) suivant : "la

solution d’un problème statique d’élasticité est unique".

5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité

En fonction des inconnus en termes desquels les équations du problème sont

écrites, il existe deux approches différentes, notamment l’approche déplacements et

l’approche contraintes.

5.6.1 Approche déplacements

Elle consiste à écrire les équations du problème en termes des déplacements seuls

en partant des équations :Equations d’équilibre �

ij

+ fi

= 0 (a)

Relations contraintes - déformations �ij

= 2G"ij

+ �"pp

�ij (b)

Relations déformations - déplacements "ij

=

12 (ui,j + u

j,i

) (c)


En substituant l’expression (b) dans l’équation (a), puis l’expression (c) dans

l’équation résultante on obtient l’équation :

(�+G)up,pi

+Gui,pp

+ fi

= 0 (5.1)

C’est l’équation de Navier, elle représente un système de trois (03) équations qui

s’écrivent en détail :8>>>>><

>>>>>:

(�+G)

@e

@x

+Gr2u+ fx

= 0

(�+G)

@e

@y

+Gr2v + fy

= 0

(�+G)

@e

@y

+Gr2w + fz

= 0

avec : r2=

@

2

@x

2 +

@

2

@y

2 +

@

2

@z

2 est l’opérateur Laplacien et e est la déformation

volumique ; e = @u

@x

+

@v

@y

+

@w

@z

.

5.6.2 Approche contraintes

Dans cette approche, en plus des équations d’équilibre qui sont en fonction des

contraintes, on écrit les équations de compatibilité des déformations en termes des

contraintes aussi. Ces équations s’écrivent en notation indicielle :

�ij,pp

+

1

1 + ⌫�pp,ij

= � ⌫

1� ⌫�ij

fp,p

� (fi,j

+ fj,i

) (5.2)

C’est l’équation de Beltrami-Mitchell, elle représente un système de six (06) équa-

tions ayant un de degré d’indépendance de trois (03) seulement. Ces équations sont

à utiliser avec les trois équations d’équilibre pour déterminer les six fonctions de

contraintes inconnues.

Remarque : En pratique il est difficile de résoudre analytiquement ces équations

qu’il soit par l’approche déplacements ou par l’approche contraintes. En effet peu

de solutions sont proposées et particulièrement pour les problèmes 3D.

Références bibliographiques

1. Continuum Mechanics, George E. Mase, 1970 by McGraw-Hill, Inc.

2. Advanced Strength and Applied Elasticity, A. C. Ugural and S. K. Fenster,

2003, 1995 by Pearson Education Inc.

3. Elasticity,Theory, Applications and Numerics, Martin H. Sadd, 2005, Elsevier

Inc.


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Mécanique des Milieux Continus · 2020. 5. 27. · La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui s’intéresse à la déformation des solides et aux