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Mécanique des Milieux Continus ... Mécanique des Milieux Continus Par Mouloud Mansouri Avant propos Ce document est un support de cours du module "Mécanique des Milieux Conti-nus",

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  • MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE LA

    RECHERCHE SCIENTIFIQUE

    UNIVERSITE FERHAT ABBAS, SETIF 1

    Support de Cours de

    Mécanique des Milieux Continus

    Par

    Mouloud Mansouri

  • Avant propos

    Ce document est un support de cours du module "Mécanique des Milieux Conti-

    nus", enseigné en Master 1 génie civil, spécialité Géotechnique. Le contenu de ce

    cours est conçu de façon de couvrir le programme en vigueur tout apportant quelques

    petites modifications pour des fins d’amélioration.

    Il s’agit en premier lieu, de la concaténation des deux premiers chapitres du

    programme dans un seul, en effet il nous est donné de juger qu’ils sont trop courts

    par rapport aux autres.

    En deuxième lieu, un dernier chapitre en dehors du programme est additionné.

    Même s’il peut être considéré comme facultatif, nous pensons que ce court chapitre

    permet de mettre en valeur les chapitres qui le précède en faisant la liaison entre eux

    pour arriver à formuler les problèmes. Il permet ainsi de bien conclure le programme.

    Enfin, s’agissant d’un programme adopté nouvellement pour cette année 2016-

    2017, ce support de cours n’est qu’un premier effort, il reste ainsi ouvert sur toute

    remarque constructive. Je remercie par avance tous les experts qui aurons à en jeter

    un regard pour leurs remarques. Je suis certain que leurs remarques et critiques ne

    conduisent qu’à l’amélioration du cours.

  • Table des matières

    1 Concepts généraux et préliminaires mathématiques 1

    1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des

    structures élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple . . . 3

    1.2 Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.1 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel . . 5

    1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs) . . . 5

    1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices) . . . 6

    1.2.3 Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.2 Convention de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.3 Notation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.4 Symbole de Kronecker � ij

    . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.3.5 Symbole alternant " ijk

    . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel : . . . . . . . . . . 9

    1.2.4 Rotation du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.4.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D . . . . . . . . . 11

    1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transfor-

    mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.4.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Etat de contrainte en un point 14

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  • Table des matières iii

    2.3 Tenseur de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.2 Convention de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.5 Principe de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte . . . . . . 19

    2.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rotation du repère de

    référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.8 Contraintes principales et directions principales . . . . . . . . . . . . 22

    2.8.1 Détermination des contraintes principales . . . . . . . . . . . 22

    2.8.2 Détermination des directions principales . . . . . . . . . . . . 23

    2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales . 23

    2.8.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quelconque 25

    2.9.2 Equation du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr . . . . . . 26

    2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr . 27

    2.9.5 Tricercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur . . . . . . . . . . . . . 30

    2.10.1 Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu . . . . . . . . . . . . . 31

    2.11.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.11.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3 Etat de déformation en un point 35

    3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2.1 Cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2.2 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  • Table des matières iv

    3.2.2.1 Déformations normales . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement . . . . . . 38

    3.2.3 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.4 Unité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.5 Déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.2.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3 Changement du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4 Déformations principales et directions principales . . . . . . . . . . . 42

    3.5 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation électriques . . . . . 44

    3.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.7 Equations de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.7.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.7.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4 Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour

    les solides élastiques linéaires 50

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidirectionnelle . . . . . 50

    4.3 Loi de Hooke généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique linéaire et isotrope 52

    4.4.1 Relation entre les constantes élastiques . . . . . . . . . . . . . 54

    4.4.2 Module de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson . . . . . . . . 57

    4.5 Energie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.5.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.6.1 Exercice d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5 Equations générales de l’élasticité linéaire 65

    5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.2 Bilan des équations et des inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  • Table des matières v

    5.3 Conditions aux frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.4 Principe de Saint-Venant (1857) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.5 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité . . . . . . . . . 67

    5.6.1 Approche déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.6.2 Approche contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  • Chapitre 1

    Concepts généraux et

    préliminaires mathématiques

    1.1 Introduction

    1.1.1 généralités

    La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui

    s’intéresse à la déformation des solides et aux écoulements des fluides. Ce dernier

    point et couramment traité indépendamment dans la sous-branche appelée Méca-

    nique des fluides, ainsi la MM

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