MS3:PLAQUES: DU 3D au 2DMS3:PLAQUES: DU 3D au 2D
MCANIQUE DES STRUCTURESMCANIQUE DES STRUCTURES
Programme Mcanique II - Mcanique des Structures 2004-2005
MS1 (02/12): Les mthodes nergtiques: Des mthodes clair pour calculer des poutres liaisons multiples TD 1(02/12):Pont-Stade de France
MS2(10/12) :Structures complexes: les lments finis simplifient les calculs TD2(10/12) :Arbre dalternateur
MS3(16/12) :Plaques :du 3D au 2D TD3(16/12) :Etage cryognique d'Ariane V: Plaque de rvolution en flexion
MS4(06/01) : le flambement :un mode de ruine des structures inattendu TD4(06/01) :Flambement par dilatation des rails de chemin de fer
MS5 (13/01):Vibrations des structure: les modes propres concentrent linfo TD5(13/01) :Rponse dynamique dun poteau de basket
Etude dynamique d'un arbre d'alternateur
PLAQUES
INTRODUCTION:MODELISATION COMME INTRODUCTION:MODELISATION COMME MILIEU 2DMILIEU 2D efforts intrieurs : introduction heuristique PLAQUES EPAISSES(REISSNERPLAQUES EPAISSES(REISSNER--MINDLIN)MINDLIN) Dfinitions , hypothses, fonctionnement en membrane et flexion Cinmatique,DformationsThorme des puissances virtuelles:
tenseur des efforts de membrane N,tenseur des flexions M
Equations d quilibre en N,MConditions aux limites
Lois de comportement
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
Plaque(= surface 2D) soumise : une densit surfacique de
forces: fs=fST+fSn Une densit surfacique de
couples cs dans le plan S
ii11
ii33ii22
SS
En un point En un point , S exerce sur St:, S exerce sur St:Une force linUne force linique ique TT(())Un couple linUn couple linique ique MM(())
StSt M(M())
T(T())
Tenseur des efforts intrieurs T()=N ,N=N+ i3 N,3 N,tenseur des "efforts de
membrane"(plan 1,2) N,3vecteur des forces de
cisaillement
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
ii33
ii11
ii22
SS
T()
N()(.N,3) i3
Rciprocit des efforts intrieurs: T(-)=-T()(quilibre dun rectangle sur la plaque)
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
Equations dquilibre pour St:
ii11
ii33ii22
SS
StSt M(M())
T(T())
+=ttt S
tS
tSS
t dl)(dSdS Tfa
+++=ttt S
tS
tsSS
t dl))()((dS)f(dS ?M?Txcxax
Transformation des quations dquilibre:quations locales
= S
33xS
SS
ds)i(idivDivdl)( NN?NSn3n
StST
S
fdivN
Div
Div
+=+=
+=
a
fNa
fNa S
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
+=ttt S
tS
tSS
t dl)(dSdS ?Tfa
T()=N , N=N+ i3 N,3
Transformation des quations dquilibre:quations locales
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
221
2
111
uSfdxdR
uSfdxdN
&&
&&
=+
=+
quivalence avec les poutres
Sn3n
StST
S
fdivN
Div
Div
+=+=
+=
a
fNa
fNa S
Transformation des quations dquilibre:quations locales Mme dmarche applique au moment dynamiqueMme dmarche applique au moment dynamique
symtrique 3
MIcNMDiv sS &&=+
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
021
3 =+ Rdx
dMPoutres:Poutres:
Transformation des quations dquilibre:quations locales Mme difficults que pour un milieu 3D:
Ncessit dune loi de comportement pour trouver les dplacements
N et M apparaissent intuitivement comme intgrales sur lpaisseur des contraintes planeset de leur moment
>Besoin dune CINEMATIQUE des dplacementsde la plaque: du 3D au 2D
INTRODUCTION:MODELISATION DUNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
Dfinition Dfinition et hypothses de baseet hypothses de base::Une plaque est un solide V engendr par un segment[-h/2,h/2]orthogonal une surface plane S et dont le centre parcourt S; Sconstitue la surface moyenne de la plaque.L paisseur h est petite devant les dimensions transversalesde la plaque On utilisera un repre Ox1,Ox2,Ox3,de vecteurs directeurs i1,i2,i3,tels que:
S est contenue dans le plan Ox1,Ox2i3 est normal la plaque
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
ii11
ii33
ii22
SS
Dfinition et hypothses de baseDfinition et hypothses de base::H1:petits dplacements et petites dformations: les dplacements ui et leurs drives ui,j sont petits devant l unit;
H2:un segment droit orthogonal la surface moyenne reste indformable dans la transformation,sans forcment rester orthogonal S -analogie avec hypothse de Timoshenko pour les poutres:on considrera l influence du cisaillement transversecisaillement transverse
H3:les contraintes normales suivant i3, 33=i3.(i3),nulles sur les surfaces suprieures et infrieures de la plaque (surfaces libres), sont ngligeables dans l paisseur
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
FLEXION:forces/FLEXION:forces/depltdepltplanplan
MEMBRANE:forces/MEMBRANE:forces/depltdeplt.dans le plan.dans le plan
Deux effets de base:Deux effets de base:
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
Hypothse cinmatique sur les dplacements:Hypothse cinmatique sur les dplacements:
Le dplacement d un point P projet au repos sur S en G est: u(P) = u(G ) +(G)X ,,o X ,= GP=x3i3
,vecteur rotation du segment S orthogonal i3:=i3ou:= i3
u(P) = u(G ) +x3 =v+wi 3+ x3 les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)
les indices latins (3) l paisseur
ii33
ii11vw
11
u(P) = u(G ) +x3 =v+wi 3+ x3
ii33
ii11vw
= i3, =i31 rabat l'axe 3 sur l'axe 1:rotation 22 rabat l'axe 3 sur l'axe 2:rotation -1
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
Hypothse cinmatique sur les dplacements:Hypothse cinmatique sur les dplacements:
u(P) = u(G ) +x3 =v+wi 3+ x3
Dformations:Dformations:
les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) l paisseur
b= b= +gradSw
cisaillementcisaillement
+=
02
2 x
t
3
b
bKd
e
Df. de membrane, Df. de membrane, dans le plandans le plan
d=1/2(gradSv+tgradSv)
Flexion: Flexion: varaiation varaiation de courburede courbure
=1/2(gradS +tgradS )
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
4.2Hypothse cinmatique sur les dplacements:4.2Hypothse cinmatique sur les dplacements:
les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) l paisseur
Df. de Df. de membranemembrane
d=1/2(gradSv+tgradSv)
Flexion:modifie la Flexion:modifie la courburecourbure
=1/2(gradS +tgradS )
4. 3 Thorme des puissances virtuelles4. 3 Thorme des puissances virtuelles
Motivation: lors dMotivation: lors d une rune rsolution numsolution numrique (rique (llments ments finis, quasi obligatoire pour tout problfinis, quasi obligatoire pour tout problme de plaque), on me de plaque), on satisfait EN MOYENNE satisfait EN MOYENNE nergnergtique les tique les quations quations dynamiques sur la plaque.dynamiques sur la plaque.
Le thLe thororme des puissances virtuelles permet me des puissances virtuelles permet ddintroduire introduire rigoureusementrigoureusement les tenseurs N efforts de membrane, M les tenseurs N efforts de membrane, M flexions, et b cisaillement,flexions, et b cisaillement,
Il permet de (re)trouver les Il permet de (re)trouver les quations dquations dquilibrequilibre
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Cinmatique Cinmatique virtuelle CAvirtuelle CA
Les composantes du tenseur de la dformation virtuelle se calculent formellement identiquement:=d+x3K, 23=b , 33=0
Thorme des puissances virtuellesThorme des puissances virtuelles
u(P) = u(G ) +x3 = v+wi 3+ x3
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
u(P) = u(G ) +x3 =v+wi 3+ x3
[ ]dVb)x.((TrdV).(TrWV
33SVi ++= Kdses&
Or, Or, dd,,KK et et bb ne dne dpendent que pendent que de xde x11 et xet x22::
On peut sOn peut sparer:parer:IntIntgration dans le plan gration dans le plan IntIntgration suivant xgration suivant x33
Thorme des puissances virtuelles:Thorme des puissances virtuelles:puissance virtuelle des puissance virtuelle des efforts intrieursefforts intrieurs
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
=
03,t
3,S
sss
s
Thorme des puissances virtuelles:puissance virtuelle des Thorme des puissances virtuelles:puissance virtuelle des efforts efforts intrieursintrieurs
dSb.dx.dxxTr.dxTrWS 3
2h
2h 33
2h
2h 33
2h
2hi
+
+
=
Ksds&
MembraneMembrane flexionflexion cisaillementcisaillementtransversetransverse
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
{ }dSbN).(Tr).(TrWS 3i ++= KMdN&
32h
