Mécanique - CNRSpimm.ensam.eu/sites/default/files/meca_ge1.pdf · PARIS Formation d’Ingénieurs en Partenariat Polycopié de cours V Section GE Mécanique P06-1MECA0 Cours Magistraux

PARIS

Formation d’Ingénieurs en Partenariat

Polycopié de cours V

Section GE

Mécanique P06-1MECA0

Cours Magistraux TD ED

1ère Année

Enseignant : Mr DETREZ 2011-2012

i

Table des matieres

II Cinematique 1I.1 Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1.1 L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.1.2 Referentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.1.3 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.1.4 Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Vecteur vitesse et acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2.1 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2.2 Vecteur acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.2.3 Derivation vectorielle dans un repere . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.3 Composition des vitesses et des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.3.2 Composition des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.4 Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.4.1 Parametrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . . . . 9I.4.2 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.4.3 Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.5 Cinematique des systemes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.5.2 Inventaires des liaisons mecaniques normalisees . . . . . . . . . 12I.5.3 Cinematique du contact entre deux solides : Glissement,

roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.5.4 Modelisation de la cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I.6 Cinematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.6.1 Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.6.2 Equiprojectivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.6.3 Centre instantane de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.6.4 Theoreme des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

I.7 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

IIII Statique 31II.1 Actions mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.1.2 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.1.3 Actions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.1.4 Actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.1.5 Moment d’action mecanique et couple . . . . . . . . . . . . . . 37

iv TABLE DES MATIERES

II.1.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II.2 Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.2.1 Efforts exterieurs a un systeme materiel . . . . . . . . . . . . . 43

II.2.2 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.2.3 Theoreme des actions reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.2.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.3 Loi du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.3.1 Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . . . . . . . . 47

II.3.2 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . 50

II.4.1 Degre d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II.4.2 Systemes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . 51

II.4.3 Demarche de resolution des problemes . . . . . . . . . . . . . . 52

II.5 Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis a trois forces . . . . . . . . . . . . . 52

II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis a quatre forces . . . . . . . . . . . . 54

II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis a quatre forces . . . . . . 55

II.6 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IIIIII Dynamique 61

III.1 Dynamique du point materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.1 Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.3 Quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.1.4 Moment cinetique et moment dynamique . . . . . . . . . . . . 65

III.1.5 Theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.2 Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . 66

III.2.2 Torseur cinetique et torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . 66

III.2.3 Centre d’inertie et operateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . 69

III.2.4 Demarche de resolution d’un probleme . . . . . . . . . . . . . . 73

III.3 Energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III.3.2 Energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III.3.3 Theoreme de l’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

III.4 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

AA Quelques elements de geometrie vectorielle 85

A.1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.5 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.6 Derivee d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.7 Changement de base de derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

TABLE DES MATIERES v

BB Les Torseurs 95B.1 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.2 Operations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Annexes 85

Chapitre -I-

Cinematique

Table des Matieres

I.1 Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1.1 L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1.2 Referentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1.3 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.1.4 Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Vecteur vitesse et acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.1 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.2 Vecteur acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2.3 Derivation vectorielle dans un repere . . . . . . . . . . . . . 6

I.3 Composition des vitesses et des accelerations . . . . . . . . 7

I.3.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.3.2 Composition des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.4 Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.4.1 Parametrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . . 9

I.4.2 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.4.3 Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.5 Cinematique des systemes de solides . . . . . . . . . . . . . 11

I.5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.5.2 Inventaires des liaisons mecaniques normalisees . . . . . . . 12

I.5.2.1 Liaisons elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.2.2 Liaisons composees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.5.2.3 En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.5.3 Cinematique du contact entre deux solides : Glissement,roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

I.5.3.1 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

I.5.3.2 Vecteurs roulement et pivotement . . . . . . . . . . 19

I.5.4 Modelisation de la cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I.5.4.1 Graphe cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 CHAPITRE I. CINEMATIQUE

I.5.4.2 Graphe de structure ou graphe des liaisons . . . . . 20

I.5.4.3 Mobilite d’un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

a) Fermeture geometrique . . . . . . . . . . . 20

b) Fermeture geometrique . . . . . . . . . . . 20

I.5.4.4 Calcul de la mobilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I.5.4.5 Mobilite utile et mobilite interne . . . . . . . . . . . 21

I.5.4.6 Resolution d’un probleme de cinematique . . . . . . 22

I.6 Cinematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.1 Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.2 Equiprojectivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.6.2.2 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

I.6.2.3 Utilisation de l’equiprojectivite . . . . . . . . . . . . 23

I.6.3 Centre instantane de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.6.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.6.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I.6.4 Theoreme des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

I.7 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

I.1. TRAJECTOIRE, VECTEUR POSITION 3

La cinematique est l’etude du mouvement independamment des causes qui lesproduisent. C’est-a-dire de la position des objets au cours du temps, mais egalement deleurs vitesses et accelerations. Les notions de vitesse et d’acceleration ne sont definiesque pour un point et par rapport a un repere.

I.1 Trajectoire, vecteur position

I.1.1 L’espace

La representation du monde exterieur exige de notre part la construction de certainscadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier deces cadres est l’espace. Bien que notre corps soit en perpetuel changement, nous avonsla conscience d’un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommesimmobiles. Lorsque ce minimum n’est pas atteint, nous disons qu’il y a changementd’attitude et de position. Quant, apres une serie de changements d’attitude et deposition, tout se passe comme si nous etions restes immobiles, nous disons que noussommes revenus au meme lieu. L’accord entre tous les hommes sur l’identification deslieux constitue l’espace physique.

I.1.2 Referentiel

L’experience nous apprend que trois renseignements sont necessaires et suffisantspour reperer un lieu dans l’espace. Pour indiquer a quelqu’un ou se trouve le nid d’unoiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tourneza droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l’arbre sur la plus hautebranche duquel se trouve le nid. Il en decoule que la position du nid n’est definie quepar rapport a une origine, ici le point de depart et egalement par trois directions.

La position d’un point n’est definie que relativement a un repere a savoir une origineO et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut definirla position de la bille par rapport au train, par rapport a la Terre, eventuellementpar rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont different par rapport aces differents reperes. Notre premier souci, en cinematique, sera de mettre en placeun repere de reference ou toutes les quantites telles que les positions, les vitesses etaccelerations seront calculees par rapport a ce repere.

Le repere utilise en mecanique doit pouvoir modeliser l’espace donc il doit etre dedimension de trois. Nous choisirons une base (−→e1 ,

−→e2 ,−→e3 ) orthonormee et directe pour

pouvoir definir le produit vectoriel. Nous prendrons egalement un point de referenceO pour construire le repere de reference (O,−→e1 ,

−→e2 ,−→e3 ). Le parametrage d’un point M

peut se faire de plusieurs facons (Figure I.1) :

– coordonnees cartesiennes M (x, y, z)– coordonnees cylindriques M (r, θ, z)– coordonnees spheriques M (ρ, θ, φ)

La position du point M variant d’un instant a l’autre, il convient de definirune mesure scalaire appelee temps, caracterisant la simultaneite des evenements desevenements dans differents reperes. L’unite du systeme internationale de la mesure detemps est la “seconde”.


Figure I.1 – Les differents systemes de coordonnees (Pommier and Berthaud, 2010)

La position de M est une fonction de trois variables d’espace (x, y, z) ou (r, θ, z)ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L’espace a quatredimensions (x, y, z, t) est appele referentiel R. Par abus de langage nous noterons dela meme facon le repere associe a ce referentiel.

Un point M est dit au repos par rapport a un referentiel R si ces coordonneesdans le repere associe a R sont independantes du temps

x (t) = x0 ∀ty (t) = y0 ∀tz (t) = z0 ∀t

Remarque I.1 L’origine d’un repere R(

0,−→i ,−→j ,−→k)

est par definition au repos dans

R et ses coordonnees sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0).

I.1.3 Trajectoire

On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occupees par un pointM dans le repere R lorsque le temps varie.

Remarque I.2 On remarque alors que les variables d’espaces sont elles-memes desfonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z =h (t), ce sont les equations parametriques du mouvement.

I.1.4 Vecteur position

On appelle vecteur position de M , le vecteur qui lie le point M a l’origine O durepereR. En fonction du type de coordonnees utilisees, le vecteur position peut s’ecrire :

I.2. VECTEUR VITESSE ET ACCELERATION 5

Figure I.2 – Trajectoire du point M dans le referentiel R (Chevalier, 2004)

Coordonnees cartesiennes

−−→OM = x−→x + y−→y + z−→z

Coordonnees cylindrique

−−→OM = r−→er + z−→z

Coordonnees spheriques

−−→OM = ρ−→er

Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe A dans le repere R le vecteur−−→AM

est egalement un vecteur position caracteristique du mouvement du point M dans R et

pourtant le vecteur−−→AM et different du vecteur

−−→OM .

Le vecteur position n’etant pas directement caracteristique du mouvement de M , nousconsiderons plutot la vitesse, c’est-a-dire variation de position du point M au cours dutemps, qui est unique pour un repere donne.

I.2 Vecteur vitesse et acceleration

I.2.1 Vecteur vitesse

La variation de position deM dansR entre deux instants infinitesimalement proches

est caracterisee par la vitesse. On note celle-ci−→V (M/R) et son expression est

−→V (M/R) =

d−−→OM

dt

∣∣∣∣∣R


l’expression de ces coordonnees cartesiennes sont

−→V (M/R) =

x (t)

y (t)

z (t)

Le vecteur

−→V (M/R) est appele vecteur vitesse du point M par rapport au repere

R. Notons que la dimension physique d’une vitesse est une longueur L sur un tempsT . Dans le systeme internalitonal d’unites, la vitesse s’exprime en metres par seconde[m.s−1].

Propriete I.1 Le vecteur vitesse−→V (M/R) est tangent a la trajectoire de M dans R.

Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport a un repere R ne signifie pas qu’ilfaille exprimer cette vitesse dans la base liee a ce repere.

I.2.2 Vecteur acceleration

La variation de la vitesse d’un point M , au cours du temps, est caracterisee parun vecteur :

−→a (M/R) =d−→V (M/R)

dt

∣∣∣∣∣R

=d2−−→OM

dt2

∣∣∣∣∣R

Ce vecteur est appele vecteur acceleration du point M dans le repere R. La dimensionphysique d’une acceleration est une longueur L sur le carre d’un temps T 2. Dans lesysteme international d’unites, l’acceleration s’exprime en metres par seconde au carre[m.s−2].

I.2.3 Derivation vectorielle dans un repere

La formule de la base mobile est a la base de toutes relations cinematiques.Elle permet de determiner la derivee d’un vecteur par rapport a un referentiel R2

connaissant la derivee du meme vecteur par rapport a un autre referentiel R1.

d−→U

dt

∣∣∣∣∣R2

=d−→U

dt

∣∣∣∣∣R1

+−→Ω (R1/R2) ∧

−→U

−→Ω (R1/R2) est le vecteur taux de rotation de R1 par rapport a R2. Pour utiliser laformule de la base mobile, il faut auparavant determiner le taux de rotation. Pour

chaque rotation d’angle αi (en radian) autour de−→ki le vecteur taux de rotation est

donnee par

−→Ω (R1/R2) =

∑i

αi−→ki

I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACCELERATIONS 7

La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s].Dans le systeme international d’unites, le taux de rotation s’exprime en seconde moins1 [rad.s−1] = [s−1]

Remarque I.5 Lorsque−→U (t) est un vecteur −→u fixe dans R1 la formule de la base

mobile devient :d−→udt

∣∣∣∣R2

=−→Ω (R1/R2) ∧ −→u

Ce cas particulier est tres important dans la pratique car nous le retrouverons tressouvent. En effet, cette formule s’utilise pour passer de la derivee dans R2 a la deriveedans R1 ou −→u est fixe.

I.3 Composition des vitesses et des accelerations

Les vecteurs vitesse et acceleration ont ete calcules en derivant le vecteur position−−→OM . Ce vecteur ayant ete defini dans un repere R, la vitesse et l’accelerations ainsiobtenues sont des grandeurs qui dependent de ce repere R. On les note :

−→V (M/R) −→a (M/R)

Ce qui veut dire qu’un meme point M , dans plusieurs referentiels mobiles les uns parrapport aux autres, possede une vitesse par rapport a chacun des referentiels (FigureI.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caracteristiquesdu mouvement d’un point par rapport a un repere R1 (01,

−→x1,−→y1 ,−→z1 ), connaissant

ces grandeurs par rapport au repere R2 (02,−→x2,−→y2 ,−→z2 ). Il faut bien sur connaıtre le

mouvement de R2 par rapport a R1.

Figure I.3 – Composition des vitesses (Chevalier, 2004)

Pour determiner les relations de composition de mouvement, il suffit d’exprimer levecteur position sous la forme :

−−−→O0M =

−−−→O0O1 +

−−−→O1M


O1 et O2 sont les origines respectives de R1 et R2.Il faut ensuite deriver par rapport au repere R1. On utilise la formule de la base mobilepour faire apparaıtre des derivees par rapport a R2.

I.3.1 Composition des vitesses

Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. La vitessedu point M par rapport a R1 est par definition :

−→V (M/R1) =

d−−−→O1M

dt

∣∣∣∣∣R1

=d−−−→O1O2 +

−−−→O2M

dt

∣∣∣∣∣R1

=d−−−→O1O2

dt

∣∣∣∣∣R1

+d−−−→O2M

dt

∣∣∣∣∣R1

=−→V (02/R1) +

d−−−→O2M

dt

∣∣∣∣∣R1

Le second terme se transforme a l’aide de la formule de la base mobile

d−−−→O2M

dt

∣∣∣∣∣R1

=d−−−→O2M

dt

∣∣∣∣∣R2

+−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

=−→V (M/R2) +

−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

donc −→V (M/R1) =

−→V (02/R1) +

−→V (M/R2) +

−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

Posons

−→V (M,R2/R1) =

−→V (M/R1)−

−→V (M/R2)

donc −→V (M,R2/R1) =

−→V (02/R1) +

−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

Dans le mouvement de R2 par rapport R1, on definit

La vitesse absolue−→V (M/R1)

La vitesse relative−→V (M/R2)

La vitesse d’entraınement−→V (M,R2/R1) =

−→V (M ∈ R2/R1)

La vitesse d’entraınement dans le mouvementR2 par rapportR1 correspond a la vitessedu point M , considere comme fixe dans le repere R2, dans son mouvement par rapporta R1. Elle a pour expression

−→V (M,R2/R1) =

−→V (02/R1) +

−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

I.4. CHAMP DE VITESSE D’UN SOLIDE 9

avec O2 l’origine de R2. Dans la pratique, une telle relation permet de determinerla vitesse d’un point dont le mouvement est complexe en considerant une suite dereferentielsRi successifs, chacun en mouvement“simple”les uns par rapport aux autres.

Si les Ri sont (n+ 1) referentiels successifs permettant de passer de R0 a Rn onpeut ecrire une relation de “Chasles” :

−→Ω (Rn/R0) =

−→Ω (Rn/Rn−1) + · · ·+

−→Ω (R1/R0)

−→V (M,Rn/R0) =

−→V (M,Rn/Rn−1) + · · ·+

−→V (M,R1/R0)

I.3.2 Composition des accelerations

Soient R1 et R2 deux reperes en mouvement l’un par rapport a l’autre. Il est aisede montrer comme precedemment que les accelerations d’un point M par rapport a R1

ou par rapport a R2 sont liees par la relation

−→a (M/R1) = −→a (M/R2) +−→a Coriolis (M,R2/R1) +−→a (M,R2/R1)

Par definition, nous avons

L’acceleration absolue −→a (M/R1)

L’acceleration relative −→a (M/R2)

L’acceleration d’entraınement −→a (M,R2/R1)

−→a (M,R2/R1) = −→a (O2/R2) +−→Ω (R2/R1) ∧

(−→Ω (R2/R1) ∧

−−−→O2M

)+

d−→Ω (R2/R1)

dt

∣∣∣∣∣R1

∧−−−→O2M

L’acceleration de Coriolis −→a Coriolis (M,R2/R1)

−→a Coriolis (M,R2/R1) = 2−→Ω (R2/R1) ∧

−→V (M/R2)

Remarque I.6 Nous verrons que l’utilisation de cette relation n’est pas tres courante.En effet, en “dynamique”, seules certaines projections de l’acceleration suffisent.Nous pouvons tout de meme retenir, que la vitesse d’entraınement correspondent ala vitesse du point M considere comme fixe dans le repere d’entraınement. Cetteremarque permet souvent de se ramener a une succession de cas simple pour les calculscinematiques d’un mouvement plus complexe.

I.4 Champ de vitesse d’un solide

I.4.1 Parametrage de la position d’un solide

Un solide indeformable est un ensemble de points dont les distances restentinvariantes au cours du temps. On peut privilegier un point OS et definir une baseorthonormee liee au solide. On fabrique ainsi un repere RS lie au solide S. La positionde ce repere par rapport a un autre repere R est definie par 6 parametres ou degres deliberte (ddl) au plus :


– 3 translations pour la position du point 0S ;– 3 rotations pour l’orientation de la base RS).

Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inferieur a 6.

I.4.2 Angles d’Euler

Lorsque le solide est astreint a un certain mouvement par des liaisons, la cinematiquedu systeme fixe generalement sans ambiguıte le choix du parametrage. Dans les casmoins nets, on utilise souvent les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs etles projections.

On souhaite passer d’une base orthonormee B (−→x ,−→y ,−→z ) a une base B′(−→i ,−→j ,−→k)

liee a un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5).

Figure I.4 – Angles d’Euler (Chevalier, 2004)

L’intersection du plan (−→x ,−→y ) qui est orthogonal a −→z et du plan(−→i ,−→j)

qui

est orthogonal a−→k s’appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite

s’appelle le vecteur nodal −→u . On passe de −→z a−→k par une rotation θ autour du

vecteur nodal −→u . C’est la nutation. Le passage d’une base a l’autre peut alors se fairepar 3 rotations planes : la precession ψ autour de −→z , la nutation θ autour de −→u et la

rotation propre φ autour de−→k .

Le vecteur rotation instantanee a comme expression :−→Ω (B′/B) = ψ−→z + θ−→u + φ

−→k

Remarque I.7 Vous avez surement constate que les figures de calculs traduisant lesrotations planes sont systematiquement faites dans le cas ou l’angle de rotation estcompris entre 0 et π

2. Ce n’est pas un hasard, mais une indispensable precaution a

prendre pour obtenir les resultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur designe. Il est fortement conseille, dans un probleme, de commencer par dessinerles “figures de calculs”, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise enequation du probleme.

I.5. CINEMATIQUE DES SYSTEMES DE SOLIDES 11

#»x

#»y

#»u

#»v

ψ

#»z

#»v

#»z

#»w

#»

k

θ

#»u

#»u

#»w

#»i

#»j

φ

#»

k

Figure I.5 – Figures de calculs

I.4.3 Champ de vitesses d’un solide

La base de la cinematique du solide est la notion de conservation des distances entredeux points. La formule de la base mobile appliquee entre un repere S lie au solide etle repere R de reference permet de montrer que la vitesse d’un point P du solide et lavitesse d’un point M appartenant au meme solide sont reliees par la relation

−→V (P, S/R) =

−→V (M,S/R)+

−→Ω (S/R)∧

−−→MP

avec−→Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport a R.

Le couple forme par l’union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteursvitesses, constitue ce que l’on nomme un “torseur cinematique”

VS/R

=

M

−→Ω (S/R)−→V (M,S/R)

Les vecteurs−→Ω (S/R) et

−→V (M,S/R) sont les elements de reduction du torseur

cinematique du solide au point M . Le premier terme,−→Ω (S/R), est la resultante du

torseur et le second,−→V (M,S/R), est le moment du torseur.

I.5 Cinematique des systemes de solides

I.5.1 Definitions

Lorsque la mecanique du solide est appliquee a des mecanismes, les mouvementsrelatifs entre solides sont limites par l’existence de liaisons entre les differentes piecesdu mecanisme. Ainsi, un systeme de solides est constitue de deux sous-ensembles :

– l’ensemble des solides indeformables ;– l’ensemble des liaisons entre solides.

Le systeme de solides pourra donc etre represente par des graphes, dont l’analysepermet de definir le nombre d’inconnues cinematiques du systeme. Il existe deux typesde graphe :

Graphe cinematique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituentles arcs.


Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituentles arcs.

Par ailleurs, cette representation permet d’aider au choix des sous-systemes a isoler,des theoremes generaux a appliquer et des projections pertinentes a effectuer.

Degres de liberte d’une liaison (ddl)

Dans le repere local associe a la liaison entre deux solides, les mouvements relatifsdes deux solides sont limites a trois translations et trois rotations au maximum. Parmices 6 mouvements elementaires, le nombre de mouvements elementaires independantsautorises par la liaison definit les degres de liberte (ddl) de cette liaison.

I.5.2 Inventaires des liaisons mecaniques normalisees

On appelle liaisons elementaires les liaisons obtenues a partir des surfacesgeometriques elementaires : plan, sphere, cylindre. Ces surfaces seront supposeesgeometriquement parfaites. De plus, les liaisons seront supposees sans jeux. Le choixd’une liaison est principalement gouverne par le nombre de degres de liberte asupprimer. Les liaisons elementaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6possibilites. L’imagination peut conduire vers d’autres solutions obtenues en combinantles liaisons elementaires. L’association de liaisons elementaires conduit aux liaisonscomposees.

I.5.2.1 Liaisons elementaires

L’association deux a deux des surfaces elementaires permet d’introduire les liaisonsparfaites :

Plan − Plan ⇒ Liaison appui-plan

Cylindre − Cylindre ⇒ Liaison pivot-glissant

Sphere − Sphere ⇒ Liaison rotule

Cylindre − Plan ⇒ Liaison lineaire rectiligne

Sphere − Plan ⇒ Liaison appui-ponctuel

Sphere − Cylindre ⇒ Liaison lineaire-annulaire

Liason pivot-glissant (2 ddl) L’assemblage de 2 cylindres concentriques donne laliaison pivot-glissant. Celle-ci est schematisee de la facon suivante

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

La liaison pivot glissant est une liaison a deux degres de liberte : un degre de


rotation et un degre de translation. Pour definir cette liaison il est necessairede preciser la direction (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’un pointquelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseur cinematique quicaracterise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, 0, 0)

(Vx, 0, 0)

(−→x ,−,−)

Liaison rotule (3 ddl) L’assemblage de 2 spheres concentriques donne la liaisonrotule. Celle-ci est schematisee de la facon suivante

A

−→y

−→z

La liaison rotule a trois degres de liberte en rotation, aucun en translation. Seulela position du centre de la rotule est necessaire a sa definition geometrique. Letorseur cinematique associe est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, ωy, ωz)

(0, 0, 0)

(−,−,−)

Liaison appui-plan (3 ddl) L’assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan.Celle-ci est schematisee de la facon suivante

A

−→y

−→z

La liaison appui-plan a trois degres de libertes, elle permet les translations dansle plan de contact suivant −→x et −→y , ainsi qu’une rotation autour de la normale au

plan−→k . La caracterisation geometrique de cette liaison, est faite par un point du

plan de contact (ici A) et la normale a ce plan (ici −→z ). Le torseur cinematiqueassocie est de la forme :

V2/1

=

A

(0, 0, ωz)

(Vx, Vy, 0)

(−,−,−→z )


A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison lineaire annulaire (4 ddl) L’assemblage d’un sphere dans un cylindresdonne la liaison lineaire annulaire. Celle-ci est schematisee de la facon suivanteLa liaison lineaire annulaire est une liaison a 4 degres de liberte : trois degres derotation et un degre de translation. Pour definir cette liaison il est necessaire depreciser la direction de translation (ici −→x ) de la liaison ainsi que la position d’unpoint quelconque de l’axe du cylindre (ici le point A). Le torseur cinematique quicaracterise la liaison lineaire annulaire est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, ωy, ωz)

(Vx, 0, 0)

(−→x ,−,−)

Liaison lineaire rectiligne (4 ddl) L’assemblage d’un cylindres sur un plan donnela liaison lineaire rectiligne. Celle-ci est schematisee de la facon suivante

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

La liaison lineaire rectiligne est une liaison a 4 degres de liberte : deux degresde rotation et deux degre de translation. C’est la liaison qui necessite le plusd’informations geometrique pour etre definie. Il est necessaire de preciser le planpar sa normale (ici −→z ) ainsi que la ligne de contact (ici −→x ) et un point de cetteligne (ici A). Le torseur cinematique qui caracterise la lineaire rectiligne est de laforme suivante :

V2/1

=

P

(ωx, 0, ωz)

(Vx, Vy, 0)

(−→x ,−→y ,−→z )

La base (−→x ,−→y ,−→z ) est liee au solide contenant la ligne de contact, ici le solidesuperieur.


Liaison appui-ponctuel (5 ddl) L’assemblage d’une sphere sur un plan donne laliaison appui-ponctuel. Celle-ci est schematisee de la facon suivante

A

−→y

−→z

La liaison appui-ponctuel est une liaison a 5 degres de liberte : trois rotations etdeux translations. Elle necessite de preciser le plan par sa normale (ici −→z ) et lepoint de contact (ici A). Le torseur cinematique qui caracterise l’appui-ponctuelest de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, ωy, ωz)

(Vx, Vy, 0)

(−,−,−→z )

I.5.2.2 Liaisons composees

Liaison rotule a doigt (2 ddl) La liaison rotule a doigt est une liaison rotule alaquelle un degres de liberte a ete retire. Elle est schematisee de de la faconsuivante

A

−→y

−→z

La liaison rotule a doigts a deux degres de liberte en rotation, aucun entranslation. La position du centre de la rotule (ici A) et la direction bloqueen rotation (ici −→y ) sont necessaires a sa definition geometrique. Le torseurcinematique associe est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, 0, ωz)

(0, 0, 0)

(−,−→y ,−)


Liaison glissiere (1 ddl) Elle est schematisee de la facon suivante :

−→y

−→z

−→x

−→z

La liaison glissiere est une liaison a un degre de liberte en translation. Pourdefinir cette liaison il est necessaire de preciser la direction (ici −→x ) de la liaison.Le torseur cinematique qui caracterise la liaison glissiere est de la forme suivante :

V2/1

=

−

(0, 0, 0)

(Vx, 0, 0)

(−→x ,−,−)

Remarque I.8 Il n’est pas necessaire de preciser le point car le torseur

V2/1

est invariant, il a la meme expression quelque soit le point ou il est exprime.

Liaison pivot (1 ddl) Elle est schematisee de la facon suivante :

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

La liaison pivot est une liaison a un degres de liberte en rotation. Pour definircette liaison il est necessaire de preciser la direction (ici −→x ) de la liaison ainsi quela position d’un point quelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseurcinematique qui caracterise la liaison pivot est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, 0, 0)

(0, 0, 0)

(−→x ,−,−)


Liaison helicoıdale (1 ddl) Elle est schematisee de la facon suivante :

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

La liaison helicoıdale est une liaison qui permet une translation ainsi qu’unerotation. Toutefois elle n’est qu’a un seul degres de liberte car la rotation et latranslation sont liees par le pas p de l’helice. Si la vitesse de rotation est ωx,alors la vitesse de translation sera egale a pω/2π. Pour definir cette liaison il estnecessaire de preciser la direction (ici −→x ) de la liaison, la position d’un pointquelconque de l’axe de rotation (ici le point A) ainsi que la valeur du pas del’helice, note classiquement p. Le torseur cinematique qui caracterise la liaisonhelicoıdale est de la forme suivante :

V2/1

=

A

(ωx, 0, 0)(pωx

2π, 0, 0

) (−→x ,−,−)

Liaison encastrement (0 ddl) La liaison encastrement est une liaison qui ne permetaucun degres de liberte. Elle est egalement appelee liaison complete. Toutmouvement est interdit. Toutes les fixations de carter ou de bati sur un soclesont des liaisons encastrement. Il n’y a pas de schematisation normalisee pourcette liaison puisque les pieces en liaison complete sont representees, sous formefilaire, comme un solide solide. Le torseur cinematique qui caracterise la liaisonencastrement est nul

V2/1

=

−

(0, 0, 0)

(0, 0, 0)

(−,−,−)

I.5.2.3 En deux dimensions

Dans le cas d’un probleme bidimensionnelle, il suffit de trois degres de liberte pourrepere deux solides l’un par rapport a l’autre :

– les deux translations du plan– une rotation d’axe orthogonal au plan

Ces degres de liberte sont les memes que ceux de la liaison appui-plan.Il existe quatre liaisons normalises dans le plan :

Liaison appui-ponctuel (2 ddl) d’axe (A,−→x ) avec −→x dans le planV2/1

=

A

ω−→z(0, Vy)

(−→x ,−→y ,−→z )


Liaison pivot (1 ddl) de direction (A,−→z ) avec −→z la normale au planV2/1

=

A

ω−→z(0, 0)

(−,−,−→z )

Liaison glissiere (1 ddl) d’axe −→x dans le planV2/1

=

−

−→0

(Vx, 0)

(−→x ,−→y ,−→z )

Liaison encastrement (0 ddl)V2/1

=

−

−→0

(0, 0)

(−→x ,−→y ,−→z )

I.5.3 Cinematique du contact entre deux solides : Glissement,roulement et pivotement

I.5.3.1 Vitesse de glissement

Figure I.6 – Geometrie d’un contact ponctuel (Chevalier, 2004)

Lors d’un contact ponctuel en I de deux surfaces regulieres appartenantrespectivement aux solides S1 et S2, la vitesse de glissement est definie par la differenceentre la vitesse du point geometrique par rapport a S2 et la vitesse du point geometriquede contact par rapport au solide S1 :

−→G (I, S1/S2) =

−→V (I/S2)−

−→V (I/S1)


Cette vitesse est dans le plan tangent commun (π), a S1 et S2 (Figure I.6). Elle est pardefinition egale a la vitesse du point coıncident I dans le mouvement de S1 par rapporta S2

−→G (I, S1/S2) =

−→V (I, S1/S2)

I.5.3.2 Vecteurs roulement et pivotement

Le mouvement relatif de S1 par rapport a S2 est defini par le torseur des vitessesrelatives :

VS1/S2

=

I

−→Ω (S1/S2)−→V (I, S1/S2)

Le vecteur taux de rotation se decompose en deux parties :

– la projection du taux de rotation sur la normale −→n 12 au plan tangent commun,(π), qui se nomme le pivotement

−→Ω p (S1/S2) =

[−→Ω (S1/S2) .−→n 12

]−→n 12

– la composante dans le plan tangent qui se nomme le roulement−→Ω r (S1/S2) =

−→Ω (S1/S2)−

−→Ω p (S1/S2)

Remarque I.9 Les engrenages sont generalement modelises par des liaisons appui-ponctuel dans les problemes plans et par des liaisons lineaires rectilignes en troisdimensions. Pour parfaire cette modelisation, il est necessaire d’adjoindre une conditionde roulement sans glissement, c’est-dire que la vitesse de glissement entre les rouesdentees est nulle −→

V (I, Roue1/Roue2) =−→0

ou I est le point de contact des deux roues dentees.Autrement, la condition de roulement sans glissement entre S1 et S2 impose que lavitesse de glissement soit nulle

−→V (I, S1/S2) =

−→0

I.5.4 Modelisation de la cinematique

Un systeme de solides indeformables est compose de deux sous-ensembles : les solideset les liaisons entre les solides. Une representation peut donc en etre faite au moyend’un graphe cinematique ou d’un graphe de liaison.

I.5.4.1 Graphe cinematique

Lorsqu’on represente un systeme de solides par un graphe cinematique, les solides serepresentent par des lignes et les liaisons par des symboles. Les symboles representatifsdes liaisons sont dessines en respectant la normalisation et les positions spatialesrelatives des entites geometriques caracteristiques. Un graphe cinematique est doncen general un graphe tridimensionnel et se dessine en perspective sauf dans le casparticulier des mecanismes plans.

La fonction principale du graphe cinematique est d’aider a la comprehension dufonctionnement du systeme, a la visualisation du parametrage.


I.5.4.2 Graphe de structure ou graphe des liaisons

A l’inverse, lorsqu’on represente un systeme de solides par un graphe de structure,les solides sont representes par des “bulles” et les liaisons par des lignes. Ce graphepourra etre complete par la suite par des vecteurs figurant les actions mecaniques.

Sur chaque ligne, il y a le nom de la liaison qu’il represente ainsi queses caracteristiques geometriques. Dans les bulles sont placees les symbolesalphanumeriques designant les solides.

Le graphe de structure a deux fonctions principales :– aider a la determination de la mobilite du systeme c’est a dire du nombre minimal

de parametres permettant de decrire completement la cinematique du systeme,– aider au choix des sous-systemes a isoler, des theoremes generaux de la dynamique

a utiliser, des projections a effectuer pour repondre a un probleme pose.

I.5.4.3 Mobilite d’un systeme

La mobilite d’un systeme correspond au nombre minimal de parametresindependants necessaires pour decrire totalement la cinematique du systeme. Dansun mecanisme, chaque liaison presente un certains nombre de degres de liberte. Mais lamobilite du systeme complet n’est pas egale a la somme des degres de liberte de chacunedes liaisons. Le graphe de structure sera generalement employe pour determiner lamobilite du systeme. En effet, lorsque le graphe presente des fermetures, des equationssupplementaires entre les parametres apparaissent, ce qui diminue d’autant la mobilitedu systeme.

a) Fermeture geometrique

Lorsque dans le graphe de liaison apparaıt un chemin ferme, (S1, S2, . . . , Sn−1, Sn, S1)alors, la fermeture geometrique de ce chemin s’ecrit :

−−−→O1O2 + · · ·+

−−−−−→On−1On +

−−→OnO =

−→0

etet P (B1/B2) .P (B2/B3) . . . P (Bn−1/Bn) .P (Bn/B1) = Id

ou (Oi,Bi) est le repere, d’origine Oi et de base Bi, attache au solide Si. P (Bi/Bi+1)est la matrice de passage de la base Bi a la base Bi+1 et Id la matrice identite.

Pour chaque chemin ferme, on obtient six equations scalaires. Dans la pratique, onutilise que la premiere relation qu’on a l’habitude de noter :

−→OO =

−→0

Cette relation donne au maximum dans le cas tridimensionnelle trois equations scalairesindependantes.

b) Fermeture geometrique

Si le chemin ferme possede des liaisons cinematiques, il est possible alors ecrireune equation de fermeture cinematique portant sur le torseur cinematique du cheminferme :


M

VS1/S2

+

M

VS2/S3

+· · ·+

M

VSn/Sn−1

+

M

VSn/S1

=

0

Dans cette expression, tous les torseurs doivent imperativement etre ecris aumeme point M . Cette expression conduit egalement a six equations scalaires qui sontles derivees de celle obtenue par la fermeture geometrique associee au meme cheminferme.

Remarque I.10 Le choix d’utiliser une fermeture geometrique ou une fermeturecinematique sera guide par des conditions de simplicite de mise en œuvre et conduirasouvent a une procedure mixte. Dans la pratique on prefera la fermeture cinematiquepour le vecteur taux de rotation bien plus simple que l’utilisation des matrices de

passages. D’un autre cote la fermeture geometrique−→OO =

−→0 est souvent plus simple

que la fermeture cinematique qui necessite le calcul des vitesses en un meme point M .

I.5.4.4 Calcul de la mobilite

La mobilite est le nombre minimal de parametres independants necessaires pourdecrire totalement la cinematique du systeme. Pour l’obtenir, il faut suivre la proceduresuivante :

1. Determiner le nombre maximal de chemins fermes independants, γ. Ce nombres’appelle le nombre cyclomatique et vaut :

γ = Nl −Ns + 1

ou Nl est le nombre de liaisons et Ns est le nombre de solides.

2. Calculer la mobilite du systeme m qui est determinee par

m = Ic − Ec

avec Ec est le nombre d’equation cinematique et Ic est le nombred’inconnues cinematiques. Le nombre d’equations cinematiques est lie au nombrecyclomatique

Ec =

6γ en 3D

3γ en 2D

Ic est la somme des degres de libertes associes a chaque liaison.

La mobilite peut etre determine en imaginant le blocage d’un degre de liberte d’uneliaison. On regarde si le systeme reste mobile ou non. S’il reste mobile, on ajoute undeuxieme blocage d’un nouveau degre de liberte et ainsi de suite jusqu’a l’immobilitecomplete du systeme. La mobilite est alors le nombre de blocages effectues.

I.5.4.5 Mobilite utile et mobilite interne

On peut classer les parametres de position en deux categories suivant qu’ils sontassocies a des liaisons avec l’exterieur du systeme ou a des liaisons internes au systeme.Par commodite, on parlera de parametres utiles et de parametres internes.


La mobilite d’un systeme se decompose en une mobilite interne et mobilite utile

m = mu +mi

La mobilite utile correspond au nombre d’actionneurs (moteurs ou pistons) necessaireau fonctionnement du systeme. Elle peut etre trouvee en utilisant la “procedure” dublocage des liaisons avec l’exterieur (c’est-dire la ou on peut mettre un actionneur).On observe le systeme sous la forme d’une boıte noire dont les seuls degres de liberteobservables et accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons avec l’exterieur. Cetteprocedure donne la mobilite utile mu. La mobilite interne mi = m−mu n’a aucun rolefonctionnel, elle correspond a un mouvement d’un solide ou d’un ensemble de solides al’interieur du systeme.

I.5.4.6 Resolution d’un probleme de cinematique

1. Identifier les solides, identifier les liaisons.

2. Identifier le nombbre de degres de liberte et le parametrage qui y est associe.

3. Tracer les figures de calcul associees au parametrage.

4. Tracer le graphe de structure.

5. Calculer le nombre de chemins fermes independants.

6. Expliciter les equations de fermeture soit par fermeture cinematique ou soit parfermeture geometrique.

I.6 Cinematique graphique

I.6.1 Mouvements plans

La cinematique se restreint aux systemes dont les solides sont en mouvement plans(cas 2D). On appelle mouvement plan de solides tout mouvement dont un plan P dusolide S reste constamment dans un plan fixe d’un repere R. Ce plan P s’appelle leplan de glissement et la connaissance de la cinematique des deux solides dans le plande glissement permet de connaıtre les vitesses dans tous les plans parallele a P .

L’etude de ces mouvement se fait dans le plan glissement. Le vecteur rotation estorthogonal au plan P , il n’a donc qu’une composante sur l’axe −→z .

−→Ω S/R = ω−→z

I.6.2 Equiprojectivite

I.6.2.1 Definition

Le champ des vitesses d’un solide S par rapport a referentiel R est equiprojectif,c’est-a-dire : quels que soient les points A et B on a

−→V (A, S/R) .

−→AB =

−→V (B, S/R) .

−→AB

I.6. CINEMATIQUE GRAPHIQUE 23

I.6.2.2 Demonstration

Les vitesses du point A et du point B dans le mouvement de S par rapport a Rsont reliees par la relation

−→V (A, S/R) =

−→V (B, S/R) +

−→Ω (S/R) ∧

−→AB

En prenant le produit scalaire des deux membres de l’equation avec le vecteur−→AB on

obtient directement le resultat recherche. En effet, le produit mixte de trois vecteurscoplanaires est nul :(−→

Ω (S/R) ∧−→AB).−→AB =

−→Ω (S/R) .

(−→AB ∧

−→AB)

= 0

donc−→V (A, S/R) .

−→AB =

−→V (B, S/R) .

−→AB +

(−→Ω (S/R) ∧

−→AB).−→AB

−→V (A, S/R) .

−→AB =

−→V (B, S/R) .

−→AB

I.6.2.3 Utilisation de l’equiprojectivite

Premier cas

Figure I.7 – Equiprojectivite entre deux points A et B (Chevalier, 2004)

L’equiprojectivite permet de determiner la norme de la vitesse de B connaissant lavitesse de A et la direction de la vitesse de B (Figure I.7). La longueur de la projection

du vecteur vitesse−→V (A, S/R) sur la droite (AB) est notee Aa. Pour construire le

vecteur vitesse−→V (B, S/R), il suffit de porter au point B la longueur Aa sur la droite

(AB) et de mener la perpendiculaire a (AB) au point “b”. L’intersection de cette

perpendiculaire avec la direction de−→V (B, S/R) permet de construire

−→V (B, S/R).

Second cas

Si on applique ensuite l’equiprojectivite entre les points A et C d’une part et B et

C d’autre part, on obtient l’integralite du vecteur vitesse−→V (C, S/R). L’extremite du

vecteur−→V (C, S/R) se trouve a l’intersection de la perpendiculaire a (AC) en c′ et de

la perpendiculaire a (BC) en c′′.


Figure I.8 – Equiprojectivite entre trois points A, B et C (Chevalier, 2004)

I.6.3 Centre instantane de rotation

I.6.3.1 Definition

Soit I un point particulier se trouvant sur la perpendiculaire en A de−→V (A, S/R) et

sur la perpendiculaire en B de−→V (B, S/R) (Figure II.8). Compte tenu de la propriete

d’equiprojectivite, il est clair que la vitesse du point I considere comme un point de S,est nulle par rapport a R. On appelle ce point le Centre Instantane de Rotation(C.I.R.) du mouvement de S par rapport au plan de reference. On a

−→V (I, S/R) =

−→0

Figure I.9 – Construction du Centre Instantane de Rotation de S par rapport a R.I est l’intersection des perpendiculaires au vitesses (Chevalier, 2004)

I.6. CINEMATIQUE GRAPHIQUE 25

Remarque I.11 Tout se passe comme si le solide S tournait autour du point ISRa l’instant de la figure. Le C.I.R. n’occupe pas une position fixe dans le temps, nipar rapport au plan de reference ni par rapport au solide lui-meme. Sa definition estinstantanee et son utilisation n’a d’interet que pour une configuration donnee.

Remarque I.12 Notons que le C.I.R. est caracteristique d’un repere par rapport a unautre. Dans un systeme plan constitue de N solides Si en mouvement par rapport R0,il existe evidemment N C.I.R. que nous pourrons noter Ii0. Il existe egalement, tousles C.I.R. des referentiels lies au solide Si par rapport au repere lie au solide Sj quel’on peut noter Iij. Bien sur, le C.I.R. Ikj est confondu avec le C.I.R. Ijk.

I.6.3.2 Proprietes

Propriete I.2 Si l’on connaıt deux supports de vecteurs vitesses−→V (A, S/R) et

−→V (B, S/R) respectivement aux points A et B dans le mouvement de S par rapporta R. Alors le C.I.R., note ISR, du mouvement de S par rapport a R est l’intersection

de la perpendiculaire a−→V (A, S/R) en A et de la perpendiculaire a

−→V (B, S/R) en B.

Propriete I.3 La vitesse d’un point P dans le mouvement du solide S par rapport a

R est proportionnelle la distance a la distance∥∥∥−→PISR∥∥∥ et a la vitesse de rotation ωS/R

dans le mouvement de S par rapport R.∥∥∥−→V (P, S/R)∥∥∥ = ωS/R

∥∥∥−→PISR∥∥∥Exemple : l’helice d’avion

Figure I.10 – Helice d’avion

La vitesse des points B et C dans le mouvement de l’helice par rapport a l’avion ne

peuvent pas s’obtenir a partir de la vitesse−→V (A, helice/avion) par equiprojectivite car


la projection de−→V (A, helice/avion) sur la droite (AB) est nulle. Mais elle s’obtient tres

facilement a l’aide du “triangle” caracterisant le champ de vitesse. Ce triangle s’obtienta partir de la droite (AI) et de la droite (IA′) ou I est le C.I.R. dans le mouvement de

l’helice par rapport a l’avion et A′ l’extremite du vecteur vitesse−→V (A, helice/avion) =

−−→AA′. La vitesse de rotation de l’helice par rapport a l’avion se calcul aisement

ω =

∥∥∥−→AI∥∥∥∥∥∥−−→AA′∥∥∥ [m]

[m.s−1]=[rad.s−1

]

Propriete I.4 Si les solides S1 et S2 sont en liaison pivot d’axe (O,−→z ) alors O = IS1S2

est le centre instantane de rotation dans le mouvement S1 par rapport a S2.

Propriete I.5 Si les solides S1 et S2 sont en liaison appui-ponctuel de normale (A,−→x )

et qu’il y a roulement sans glissement alors−→V (A, S/R) =

−→0 donc A = IS1S2 est

le centre instantane de rotation dans le mouvement S1 par rapport a S2.

Propriete I.6 Si le solide S2 est en translation par rapport a S1 alors le C.I.R., I12,est porte a l’infini. Le vecteur vitesse est le meme en tout point du solide de S2.

I.6.4 Theoreme des 3 plans mobiles

Notons que les C.I.R. n’occupent pas des positions quelconques les uns par rapportaux autres. En effet, si l’on considere 3 solides S0, S1 et S2, on peut definir trois C.I.R.notes I10, I20 et I21. Alors on a

I10, I20 et I21 sont alignes

De plus, les vitesses de rotations sont inversement proportionnelles aux distances entreles differents C.I.R.

ω2/0

ω1/0

=I21I10

I21I20

References

Chevalier, L. (2004). Mecanique des systemes et des milieux deformables. Ellipses.

Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mecanique generale. Dunod.

I.7. CE QU’IL FAUT RETENIR 27

I.7 Ce qu’il faut retenir

Trajectoire, vecteur position

– La trajectoire du point M dans le repere R est le lieu des positions successivesoccupees par M dans R lorsque le temps varie

– La trajectoire est definie par un vecteur position−−→OM (t), ou O est fixe dans R.

Vecteur vitesse et acceleration

– La vitesse du point M par rapport au referentiel R

−→V (M/R) =

d−−→OM

dt

∣∣∣∣∣R

[m.s−1

]avec O fixe dans le repere R.

– L’acceleration du point M par rapport au referentiel R

−→a (M/R) =d−→V (M/R)

dt

∣∣∣∣∣R

=d2−−→OM

dt2

∣∣∣∣∣R

[m.s−2

]avec O fixe dans le repere R.

– Changement de repere pour la derivee

d−→U

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→U

dt

∣∣∣∣∣R0

+−→Ω (R0/R) ∧

−→U

– Le vecteur taux de rotation−→Ω (R0/R) de R0 par rapport a R

−→Ω (R0/R) =

∑i

αi−→k i

[rad.s−1

]ou(αi,−→k i

)definissent toutes les rotations permettant de passer de R a R0

Remarque I.13 Bien que la derivee vectorielle−→U s’effectue par rapport a un repere

R donne, il est neanmoins deconseille de projeter−→U dans R avant ou apres avoir

effectue la derivation.

Remarque I.14 Generalement pour calculer la derivee d’un vecteur−→U , on utilise

la formule de changement de repere, en choisissant un repere R0 tel que

d−→U

dt

∣∣∣∣∣R0

=−→0


Composition des vitesses

– Vitesse d’entraınement du point M dans le mouvement du solide S2 par rapportau solide S1 −→

V (M,S2/S1) =−→V (M/S1)−

−→V (M/S2)

– Compositions des vitesses relatives et des vecteurs taux de rotations

−→Ω (Rn/R0) =

−→Ω (Rn/Rn−1) + · · ·+

−→Ω (R1/R0)

−→V (M,Rn/R0) =

−→V (M,Rn/Rn−1) + · · ·+

−→V (M,R1/R0)

Champ de vitesse d’un solide

– Torseur cinematique VS2/S1

=

A

−→Ω (S2/S1)−→V (A, S2/S1)

– Relation de changement de point

−→V (B, S2/S1) =

−→V (A, S2/S1) +

−→Ω (S2/S1) ∧

−→AB

Cinematique d’un systeme de solide

– Condition de roulement sans glissement, soit I le point de contact de deux solideS1 et S2 −→

V (I, S2/S1) =−→0

– Fermeture geometrique −→OO =

−→0

– Fermeture cinematiqueVN/0

=

VN/N−1

+

VN−1/N−2

+ · · ·+

V2/1

+

V1/0

Attention cette relation est vraie si tous les torseurs sont exprimes en memepoint M . Le choix du point du point M est fait afin de minimiser les calculs.

– Nombre de fermetures de chaıne cinematique independantes

γ = Nliaison −Nsolide + 1

γ est appele le nombre cyclomatique

I.7. CE QU’IL FAUT RETENIR 29

Cinematique d’un systeme de solide

– Mobilite du systeme mm = Ic − Ec

ou Ic est le nombre d’inconnues cinematiques, il se calcul en sommant les nombresde ddl associes a chacune des liaisons. Ec est le nombre d’equation cinematique,qui vaut Ec = 6γ (cas 3D) et Ec = 3γ (cas 2D)

– Resolution d’un probleme de cinematique

1. Identifier les solides, identifier les liaisons.

2. Identifier le nombbre de degres de liberte et le parametrage qui est associe.

3. Tracer les figures de calcul associees au parametrage.

4. Tracer le graphe de structure.

5. Calculer le nombre de chemins fermes independants.

6. Expliciter les equations de fermeture soit par fermeture cinematique ou soitpar fermeture geometrique.

Cinematique graphique (Cas 2D)

– Equiprojectivite (Figures I.7 et I.8)

−→V (A, S/R) .

−→AB =

−→V (B, S/R) .

−→AB

– Centre Instantane de Rotation (CIR) du mouvement de 1 par rapport 0, I10

(Figure II.8)−→V (I10, 1/0) =

−→0

– La vitesse en du point P dans le mouvement de 1 par rapport a 0 estperpendiculaire a la droite (PI10) et sa norme vaut∥∥∥−→V (P, 1/0)

∥∥∥ = ω10.∥∥∥−→PI10

∥∥∥– Les centres des liaisons pivots et les points de contact des liaisons appui-ponctuel,

ou il y a roulement sans glissement, sont des CIR– Soient trois solides 1, 2 et 3 alors les trois CIR I10, I20 et I21 sont alignes

Chapitre -II-

Statique

Table des Matieres

II.1 Actions mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.1.2 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.1.3 Actions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II.1.4 Actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II.1.4.1 Repartition surfacique de force . . . . . . . . . . . . 35

II.1.4.2 Repartition lineique de force . . . . . . . . . . . . . 36

II.1.5 Moment d’action mecanique et couple . . . . . . . . . . . . 37

II.1.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.1.5.2 Torseur des actions mecaniques . . . . . . . . . . . . 38

II.1.5.3 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.1.5.4 Moment d’une repartition de force de contact . . . . 39

II.1.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II.1.6.1 Expressions des torseurs d’inter-efforts . . . . . . . . 41

II.2 Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . . 43

II.2.1 Efforts exterieurs a un systeme materiel . . . . . . . . . . . 43

II.2.2 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.2.3 Theoreme des actions reciproque . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.2.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.3 Loi du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.3.1 Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . . . . . . 47

II.3.2 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique . . . . 50

II.4.1 Degre d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II.4.2 Systemes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . . . . . . . 51

II.4.3 Demarche de resolution des problemes . . . . . . . . . . . . 52

II.5 Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

32 CHAPITRE II. STATIQUE

II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis a trois forces . . . . . . . . . . . . 52

II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis a quatre forces . . . . . . . . . . 54

II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis a quatre forces . . . . 55

II.6 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II.1. ACTIONS MECANIQUES 33

II.1 Actions mecaniques

II.1.1 Definition

On appelle action mecanique, toute cause physique susceptible de maintenir ou demodifier les mouvements d’un corps ou de deformer un corps. Il existe deux grandescategories d’actions mecaniques :

– les actions a distance liees a des champs de force (ex : champ d’acceleration dela pesanteur ou champ electromagnetique) ;

– les actions de contact (ex : action de la main sur la poignee d’une porte, pressionde l’eau sur un plongeur).

Ces actions s’exercent soit sur un volume (ex : la pesanteur), soit sur une surface (ex :contact entre deux solides) ou encore sur une ligne (ex : dans les problemes en deuxdimensions).

Remarque II.1 Deux solides S1 et S2 sont dits en interaction si une modificationde position de l’un entraıne une modification de position de l’autre. Quatre actionselementaires sont responsables de tous les phenomenes physiques observes dansl’univers, chacune se manifestant par une force dite force fondamentale. Ce sont :

– l’interaction nucleaire forte– l’interaction nucleaire faible– l’interaction electromagnetique– la gravitation.

Les deux premieres ont un rayon d’action comparable aux dimensions atomiques(≈ = 10−10m). Les deux dernieres ont un rayon d’action beaucoup plus grand etse manifestent sous la forme d’actions a distance. Aux echelles microscopiques, lagravitation est la plus faible des quatre interactions fondamentales de la physique ; elledevient dominante au fur et a mesure que les echelles de distance augmentent.

II.1.2 Representation

La modelisation d’une action mecanique requiert generalement la precision :

– de la cause de l’action ;– de la nature de l’action ;– du point d’application P de l’action mecanique ;– de l’element de matiere qui subit l’action.

En mecanique des solides, toutes les actions mecaniques peuvent etre modelisees

par un vecteur lie−→F . Un vecteur lie

−→F se caracterise par quatre elements :

– une direction– un sens– une norme– un point d’application


II.1.3 Actions volumiques

Interaction gravitationnelle

La gravitation est le phenomene d’interaction physique a l’origine de l’attractionreciproque des masses. La force gravitationnelle (ou loi de Newton) exercee par le pointmateriel P1 de masse m1 sur le point materiel P2 de masse m2 a pour :

Direction la droite (P1P2)

Sens vers le point P1

Norme G0m1m2

Point d’application P2

La force gravitationnelle peut s’ecrire

−→Fg (P1 → P2) = −G0m1m2

−−→P1P2∥∥∥−−→P1P2

∥∥∥3

ou G0 est la constante de gravitation universelle qui vaut 6, 6742 1011m3kg−1s−2.

Force de pesanteur, le poids

La loi de Galilee (acceleration de la pesanteur g) se retrouve a partir de la loi de

Newton. En prenant, en premiere approximation∥∥∥−−→P1P2

∥∥∥ = RT , avec RT egal au rayon

terrestre et m1 egale a la masse de la Terre, on en deduit :

g = G0m1∥∥∥−−→P1P2

∥∥∥2 = 9.81ms−2

On en deduit que l’action mecanique gravitationnelle agissant sur tout systeme Σ demasse m est de

Direction la normal unitaire a la surface de la terre (la verticale), −→zSens vers le sens de la terre, −−→zNorme mg

Point d’application le centre de gravite du systeme Σ, G

d’ou l’expression du poids−→P agissant sur le systeme Σ de masse m, au point G−→P (Terre→ Σ) = −mg−→z

Action a distance

En regle generale, les actions mecaniques a distance comme la pesanteur ou lesforces electromagnetiques peuvent etre modelisee par une densite volumique de force−→f v (P ) en tout point P . Elle s’exprime en Newton par metre cube [N.m−3]. A l’aide

de cette definition l’action a distance−→Fv s’appliquant sur le systeme Σ

−→Fv =

∫∫∫Σ

−→f v (P ) dV

Bien entendu, la dimension physique de la resultante des actions mecaniques volumique,−→Fv, est le Newton [N ].


II.1.4 Actions de contact

L’action de contact sur une partie δcS d’un solide S est modelisee par une densitevectorielle −→p (M) normale a la surface δcS au point M et dirigee vers l’interieur de lamatiere. La norme de −→p (M) depends generalement du point M . La densite vectorielle−→p (M) est appelee repartition de charge ou pression de contact.

II.1.4.1 Repartition surfacique de force

Repartition uniforme

−→x

−→y

−→z

p0

L2

L1

=

−→x

−→y

−→z

G

−→F = −L1L2p0

−→z

Figure II.1 – Repartition uniforme de pression

Une repartition sufacique uniforme de pression contact−→p (M) = −p0−→z est constant

pour tout pointM de la surface semblable (Figure II.1). La dimension physique de p0 estdes Newton par metres carre [N.mm−2], c’est-a-dire des Pascal [Pa]. Il est interessantde noter que p0 est homogene a une pression, elle peut donc etre exprimee en bar[bar = 105 Pa].L’action mecanique d’une repartition uniforme de pression de contact d’intensite p0

agissant sur une surface plane δS est de

Direction normal a la surface de contact, −→zSens dirigee vers l’interieur de la matiere, −−→zNorme volume de la repartition de charge, p0 × δS = L1L2p0

Point d’application le centre de gravite la surface δS, G

Repartition quelconque

Pour une repartition de charge quelconque sur une surface gauche δS, la direction,

le sens et la norme de la force resultante−→Fc sont donnes par l’integrale :

−→Fc =

∫∫M∈δS

−→p (M) dS

Le point d’application G de−→Fc est le point qui equilibre la repartition −→p (M), c’est-a-

dire tel que le moment de−→Fc en G est nul. G est le centre de gtravite du volume defini


par la repartition de charge.En definitive l’action de contact sur une surface quelconque est definie par

Direction celle de−→Fc

Sens ce-lui de−→Fc

Norme∥∥∥−→Fc∥∥∥

Point d’application G, centre de gravite du volume de defini par la repartition

de charge

II.1.4.2 Repartition lineique de force

Dans le cas d’une repartition lineique de force −→p (M) a pour dimension physiquedes Newton par metres [N.mm−1]

Repartition uniforme

A BCA B=

L

p0

−→F = −Lp0

−→y

−→x

−→y

−→x

−→y

Figure II.2 – Repartition lineique de charge uniforme

Dans le cas d’une repartition lineique uniforme de force de contact −→p (M) = −p0−→y

pour tout M ∈ [A,B] (Figure II.2).L’action mecanique d’une repartition lineique de force uniforme d’intensite p0 agissantsur le segment [A,B] est de

Direction normal a la surface de contact, −→zSens dirigee vers l’interieur de la matiere, −−→zNorme Aire de la repartition de charge, p0L

Point d’application C (le milieu de [A,B])

Repartition triangulaire

Dans le cas d’une repartition lineique triangulaire de force de contact (Figure II.3),−→p (M) = −pmax

(x−xAxB−xA

)−→y pour tout M (x, y, z) ∈ [A,B].

L’action mecanique d’une repartition lineique triangulaire agissant sur le segment [A,B]est de


CA B A B=

L

pmax

−→F = −Lpmax

2−→y

2L3

L3

−→x

−→y

−→x

−→y

Figure II.3 – Repartition lineique de charge triangulaire

Direction normal a la surface de contact, −→zSens dirigee vers l’interieur de la matiere, −−→zNorme Aire de la repartition de charge, 1

2pmaxL

Point d’application C, tel que−→AC = 1

3

−→AB

Repartition quelconque

Pour une repartition quelconque sur une courbe de l’espace L (s) parametree par

l’abscisse curviligne s, la direction, le sens et la norme de la force resultante−→Fc sont

donnes par l’integrale :−→Fc =

∫M∈L

−→p (M) ds

Le point d’application G de−→Fc est le point qui equilibre la repartition −→p (M), c’est-a-

dire tel que le moment de−→Fc en G est nul. G est egalement le centre de gravite de la

surface definit par la repartition de charge.En definitive l’action de contact sur une surface quelconque est definie par

Direction celle de−→Fc

Sens ce-lui de−→Fc

Norme∥∥∥−→Fc∥∥∥

Point d’application G, centre de gravite de la repartition de charge

II.1.5 Moment d’action mecanique et couple

II.1.5.1 Definition

Une action mecanique est un vecteur lie qui est un vecteur attache a un point P del’espace. Ce point etant le point d’application de la force. On appelle moment d’une

force appliquee en P par rapport a un point A, la grandeur vectorielle−→M(A,−→F)

definie par−→M(A,−→F)

=−→F ∧−→PA

Remarque II.2 Du point de vue de la modelisation des actions mecaniques


– une force est generalement associee a une action susceptible de creer unmouvement de translation ;

– un moment est generalement associe a une action susceptible de creer unmouvement de rotation.

Remarque II.3 Dans le cas d’un probleme plan, le moment en A du a une force lieau point P s’exercant sur un solide S est egale a

−→M(A,−→F)

= ±∥∥∥−→AP∥∥∥∥∥∥−→F ∥∥∥−→z

Si la force−→F tends a faire tourner le solide S dans le sens trigonometrique alors le

moment est positif. A l’inverse, si la force tends a faire tourner le solide dans le senshoraire alors le moment est negatif.

II.1.5.2 Torseur des actions mecaniques

Comme en cinematique, les actions mecaniques peuvent etre caracterisees par untorseur statique. Par exemple, l’action d’un solide S1 sur un solide S2 s’ecrit au pointA

S1 → S2

=

A

−→R S1→S2−→M (A, S1 → S2)

Le vecteur−→R S1→S2 est la resultante du torseur et le vecteur

−→M (A, S1 → S2) est le

moment au point A du a l’action de S1 sur S2. Pour trouver l’effet de l’action de S1

sur S2 en point B, il suffit de transporter le torseur en BS1 → S2

=

B

−→R S1→S2−→M (B, S1 → S2)

a l’aide de la formule suivante

−→M (B, S1 → S2) =

−→M (A, S1 → S2) +

−→R S1→S2 ∧

−→AB

II.1.5.3 Torseur couple

Le torseur couple est un torseur d’un inter-efforts qui a une resultante nulle :TCouple

=

−

−→0−→C

Le torseur couple est invariant par changement de point.

Dans la pratique, il sert a modeliser l’action :

– d’un moteur ;– d’un engrenage sur son arbre ;– de serrage pour une vis ou un boulon.


II.1.5.4 Moment d’une repartition de force de contact

Repartition surfacique

Le moment au O produit par une repartition surfacique de force de contact −→p (M)est defini par une integrale qui correspond a la somme des moments au point O produitpar les forces elementaires −→p (M) liee au point M

−→M (O,−→p ) =

∫∫M∈δS

−−→OM ∧ −→p (M) dS

Le processus d’integration est le meme que celui utiliser pour obtenir la resultante desefforts de pression. Le torseur des efforts de pression au point O sur un solide S1 estdonc

Pression→ S1

=

O

∫∫M∈δS

−→p (M) dS∫∫M∈δS

−−→OM ∧ −→p (M) dS

On montre egalement que se torseur peut s’ecrit

Pression→ S1

=

O

−→Fc−→Fc ∧

−→GO

avec−→Fc la resultante des efforts de contact et G le point equilibrant la repartition de

pression de contact.

Repartition lineique

De la meme maniere le torseur du aux actions de contacts lineique au point O surun solide S1 est donc

Plineique → S1

=

O

∫M∈L−→p (M) ds∫

M∈L−−→OM ∧ −→p (M) ds

On montre egalement que se torseur peut s’ecrit

Plineique → S1

=

O

−→Fc−→Fc ∧

−→GO

avec−→Fc la resultante des efforts de contact et G le point d’application de

−→Fc.

II.1.6 Actions de liaison

Torseur des inter-efforts

Le torseur des inter-efforts du solide S2 sur le solide S1 est le torseur complementaire(ou dual) du torseur cinematique des vitesses relatives de S1 par rapport a S2. On lenote

S2 → S1

=

P

−→R S2→S1−→M (P, S2 → S1)

=

P

(X21, Y21, Z21)

(L21,M21, N21)

(−→x ,−→y ,−→z )


Le vecteur−→R S2→S1 correspond a la force transmissible par la liaison du solide S2 sur le

solide S1. Le vecteur−→M (P, S2 → S1) correspond au couple transmissible du solide S2

sur le solide S1 par la liaison au point P , il depend evidemment du point P choisi.

Liaisons parfaites

Une liaison parfaites est une liaison ideale qui n’a ni jeux ni frottement. Dans cesconditions, il existe une composante d’effort dans le torseur d’inter-efforts que si ledegre de liberte correspondant dans le torseur cinematique est bloque.

Exemple

Figure II.4 – Pression de contact dans une liaison pivot sans frottement et sans jeux(Pommier and Berthaud, 2010)

S’il n’y a pas de frottement, en chaque point, l’action de contact surfacique estnormale au plan tangent au contact. Dans un guidage en rotation, toutes les actionssont dirigees vers le centre O de la liaison. Le moment des action de contact par rapportau point O est nul (Figure II.4). C’est pourquoi on ne considere que deux composantesde force et pas de moment en O dans ce type d’articulation pour un probleme plan :

S2 → S1

=

O

X21−→x + Y21

−→y−→0

De facon generale, une liaison parfaite est une liaison qui ne dissipe pas de puissance.La puissance Pint se definit comme le comoment d’un torseur des efforts et d’un torseur


cinematique :

Pint =

P

VS1/S2

⊗

P

S2 → S1

= 0

=−→Ω (S1/S2) .

−→M (P, S2 → S1) +

−→V (P, S1/S2) .

−→R (S2 → S1)

La puissance dissipe Pint est independante du point choisi pour exprimer le torseursdes inter-efforts et le torseur cinematique. Neanmoins, il est imperatif d’exprimerces torseurs au meme point P .

Dans ces conditions les composantes des deux torseurs sont complementaires. Ceciest un resultat general qui donne, pour des liaisons plus complexes, des information surles efforts transmissibles en fonction des mouvements autorises.

II.1.6.1 Expressions des torseurs d’inter-efforts

Liaison encastrement (0 ddl)

1→ 2

=

−

(X12, Y12, Z12)

(L12,M12, N12)

(−,−,−)

A

−→y

−→z

Liaison pivot (1 ddl)

1→ 2

=

A

(X12, Y12, Z12)

(0,M12, N12)

(−→x ,−,−)

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison glissiere (1 ddl)

1→ 2

=

−

(0, Y12, Z12)

(L12,M12, N12)

(−→x ,−,−)

−→y

−→z

−→x

−→z


Liaison helicoıdale (1 ddl)

1→ 2

=

A

(X12, Y12, Z12)(−pX12

2π,M12, N12

) (−→x ,−,−)

avec p le pas A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison rotule a doigt (2 ddl)

1→ 2

=

A

(X12, Y12, Z12)

(L12, 0, 0)

(−→x ,−,−)

A

−→y

−→z

Liaison pivot glissante (2 ddl)

1→ 2

=

A

(0, Y12, Z12)

(0,M12, N12)

(−→x ,−,−)

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison rotule (3 ddl)

1→ 2

=

A

(X12, Y12, Z12)

(0, 0, 0)

(−,−,−)

A

−→y

−→z

Liaison appui-plan (3 ddl)

1→ 2

=

A

(0, 0, Z12)

(L12,M12, 0)

(−,−,−→z )

A

−→y

−→z

II.2. PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 43

Liaison lineaire annulaire (4 ddl)

1→ 2

=

A

(0, Y12, Z12)

(0, 0, 0)

(−→x ,−,−)

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison lineaire rectiligne (4 ddl)

1→ 2

=

A

(0, 0, Z12)

(0,M12, 0)

(−→x ,−→y ,−→z )

A A

−→y

−→z

−→x

−→z

Liaison appui-ponctuel (5 ddl)

1→ 2

=

A

(0, 0, Z12)

(0, 0, 0)

(−,−,−→z )

A

−→y

−→z

II.2 Principe fondamentale de la statique

II.2.1 Efforts exterieurs a un systeme materiel

Soit un systeme materiel Σ, constitue deN solides indeformables. On appelle torseurdes forces exterieures a Σ, le torseur resultant de toutes les actions mecaniques quis’exercent de l’exterieur de Σ (note Σ) sur Σ. Les efforts qui agissent entre deux solidesde Σ sont des efforts interieurs au systeme. Le torseur des efforts exterieurs a Σ senote :

Σ→ Σ

=

0

−→F(Σ→ Σ

)−→M(0,Σ→ Σ

)

II.2.2 Enonce

Nous ne nous etendrons pas sur la notion de referentiel Galileen. Il faut savoir que,compte tenu de l’expansion de l’Univers, un tel referentiel n’existe pas. On appelledonc abusivement referentiel Galileen tout referentiel “immobile” a l’echelle du systemeetudie. Dans le cas des sciences de l’ingenieur le referentiel terrestre ou geocentriquesera considere Galileen.


Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.)

Pour qu’un systeme de solide indeformable Σ initialement au repos dans unreferentiel Galileen, soumis a des actions mecaniques, reste en equilibre, il faut quele torseur des efforts exterieurs a Σ soit nul :

Σ→ Σ

=

0

Ce principe est en fait un cas particulier du Principe Fondamentale de la Dynamique.On en deduit deux theoremes :

Theoreme de la resultante −→F(Σ→ Σ

)=−→0

Theoreme du moment resultant

−→M(O,Σ→ Σ

)=−→0

II.2.3 Theoreme des actions reciproque

Enonce

Soient deux solides S1 et S2 qui sont liaisons alorsS1 → S2

= −

S2 → S1

Demonstration

On isole l’ensemble de solide Σ = S1 ∪ S2.Le Principe Fondamental de la Statique applique a Σ conduit a :

Σ→ Σ

=

0

or les actions exterieures a Σ sont la somme de deux contributions :– Les actions exterieures a Σ s’appliquant sur S1

Σ→ S1

– Les actions exterieures a Σ s’appliquant sur S2Σ→ S2

II.2. PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 45

donc on a Σ→ S1

+

Σ→ S2

=

0

On isole le solide S1.

Le bilan des actions mecaniques exterieurs a S1, nous amene a considerer :– Les actions de S2 sur S1

S2 → S1

– Les actions exterieures a Σ = S1 ∪ S2

Σ→ S1

Le P.F.S. implique que

Σ→ S1

= −

S2 → S1

On isole le solide S2

On obtient de facon analogue queΣ→ S2

= −

S1 → S2

En combinant les trois expressions obtenues par l’application du P.F.S. sur chacun

des systemes isoles, on obtient la relation rechercheeS2 → S1

+

S1 → S2

=

0

soit

S2 → S1

= −

S1 → S2

II.2.4 Cas particuliers

Solides soumis a deux forces

Si un systeme Σ est soumis a deux forces en A et B, le P.F.S. au point O, nous dit : −→FA +

−→FB =

−→0

−→OA ∧

−→FA +

−−→OB ∧

−→FB =

−→0

Si on se place en A pour exprimer l’equation de moment, on en tire :−→AB ∧

−→FB =

−→0

−→AB et

−→FB sont colineaires.

Regle II.1 Un solide ou un ensemble de solides est en equilibre sous l’action dedeux forces si ces deux forces sont directement opposees et de meme module.


Figure II.5 – Solides soumis a deux forces (Chevalier, 2004)

Solides soumis a trois forces

Si un systeme de solides Σ est soumis a trois forces, le P.F.S. nous dit : −→FA +

−→FB +

−→FC =

−→0

−→OA ∧

−→FA +

−−→OB ∧

−→FB +

−→OC ∧

−→FC =

−→0

La relation de moment est vraie quel que soit le point O. Si on l’ecrit au point A pour,on en tire : −→

AB ∧−→FB = −

−→AC ∧

−→FC =

−→0

Le vecteur de gauche est orthogonal au plan forme par−→AB et

−→FB, le vecteur de droite

est orthogonal au plan forme par−→AC et

−→FC donc

−→FB et

−→FC sont dans le plan (ABC).

Par suite l’equation de resultante nous dit que−→FA est egalement dans le plan (ABC).

Si on appelle I le point ou les directions de−→FB et

−→FC se coupent, on a :

−→IA ∧

−→FA =

−→0

−→IA et

−→FA sont donc colineaires.

Dans le cas ou les directions de−→FB et

−→FC sont paralleles l’equations de resultante

projeter sur vecteur −→n orthogonal a−→FB et

−→FC donnent :

−→FA.−→n = 0

donc−→FA,−→FB et

−→FC sont colineaires.

Regle II.2 Un solide est en equilibre sous l’action de trois forces exterieures sices trois forces sont coplanaires, concourantes ou paralleles et que leur sommegeometrique est nulle.

II.3 Loi du frottement

Les lois de frottement (ou loi de Coulomb) sont utiles en mecanique lorsqu’on nepeut plus raisonnablement faire l’hypothese de frottement negligeable. On introduit

II.3. LOI DU FROTTEMENT 47

Figure II.6 – Solides soumis a trois forces (Chevalier, 2004)

alors (en plus de des actions de liaison verifiant que la puissance dissipee Pint est nulledans la liaison) de nouvelles actions mecaniques qui s’opposent aux mouvements despieces en contact.

Si on fait un bilan des equations et des inconnues, on constate alors un desequilibrequi nous empeche de resoudre le probleme. Il faut alors ecrire des equationssupplementaires, ce sont les lois de Coulomb. Il s’agit d’un modele de frottement simplepour un contact sec ou onctueux.

II.3.1 Analyse du contact ponctuel entre deux solides

Lors du contact en un point I, entre deux solides S1 et S2, on peut caracteriser ledeplacement relatif par trois mouvements de base : le glissement, le roulement et lepivotement. Nous ferons l’hypothese que S1 et S2 sont deux solides, et que l’un d’entreeux au moins est limite par une surface reguliere.

Le contact a lieu en un point I, il existe donc un plan tangent commun (Π) aux deuxsolides. Ce plan est caracterise par un vecteur unitaire −→n 12 normal au plan tangentcommun et dirige de S2 vers S1 (car c’est S1 que l’on isolera dans cette etude). Larotation de S1 par rapport a S2 se decompose autour de la normale : c’est le pivotement ;et dans le plan (Π) : c’est le roulement. Au niveau du point I, un deplacement de S1

par rapport a S2 est possible : c’est le glissement, il a lieu dans le plan tangent.

Nous avons vu dans la premiere partie du cours (description du mouvement) quele glissement est caracterise par un vecteur de glissement de S1 par rapport S2 en I.Chacun de ces mouvements de base de S1 par rapport a S2 est freine par des efforts deS2 sur S1, si on abandonne l’hypothese de contact parfait.

Dans la pratique lorsqu’on isole le solide S1, les frottements resistants au roulementet au pivotement sont faibles devant le frottement resistant au glissement. On les

neglige donc en premiere approximation. L’action de S2 sur S1, notee−→F (S2 → S1)

se decompose en :

– une force−→T 21 dans le plan tangent commun (Π) qui s’oppose au glissement de

S1 par rapport a S2 ;

– une force−→N 21 normale au plan tangent commun dirigee vers l’interieur de la


Figure II.7 – Contact en deux solides (Chevalier, 2004)

matiere, soit suivant le vecteur −→n 12

II.3.2 Loi de Coulomb

Si le contact est ponctuel et si on neglige le frottement de roulement et depivotement, le torseur des efforts de S2 sur S1 est

S2 → S1

=

I

−→N 21 +

−→T 21−→

0

−→N 21 = N21

−→n 21 est l’effort normal : il est forcement dirige vers l’interieur de la matiere.−→T 21 = T21

−→t est la composante tangentielle de l’effort. S’il existe un mouvement de

glissement de S1 par rapport a S2 alors l’action tangentielle de contact sera opposee ausens de la vitesse de glissement de S1 par rapport a S2.

De plus, on observe experimentalement que dans le cas d’un frottement sec ou

legerement lubrifie T21 est proportionnel au module de−→N 21, le rapport est note fd :

c’est le coefficient de frottement dynamique. Il depend du couple de materiauxde S1 et S2, de l’etat de surface, d’une eventuelle lubrification mais ne depend ni de laforce normale, ni de la vitesse de glissement. Il est bien sur toujours positif. On traduitcette observation par les equations vectorielles suivantes ; ce sont les lois de Coulomb :

II.3. LOI DU FROTTEMENT 49

Si il y a glissement au contact−→V (I, 1/2) 6= −→0 alors

T21 = fd.N21−→V (I, 1/2) ∧

−→T 21 =

−→0

−→V (I, 1/2) .

−→T 21 < 0

La premiere equation nous donne le module de l’effort tangentielle, la secondeequation nous donne sa direction (coliniaire a la vitesse de glissement) et latroisieme equation son sens (opposee a la vitesse de glissement).

Si il n’y a pas glissement au contact−→V (I, 1/2) =

−→0 alors

T21 ≤ f.N21

Les deux dernieres equations ont disparues et ne nous donnent plus derenseignements sur la direction et le sens de l’effort tangentiel. De plus lapremiere equation devient une inegalite et on dit que l’effort est compris dansle cone de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui estrelie au coefficient d’adherence f (Figure ??) :

tanϕ = f

Figure II.8 – Cone de frottement (Chevalier, 2004)

Remarque II.4 Le coefficient de frottement f est different du coefficient de frottementdynamique fd, on a

f > fd

Le coefficient f correspond en fait a la valeur de fd au demarrage du mouvement. Cecitraduit le fait que la force tangentielle T21 necessaire pour creer le glissement de 1 par


rapport a 2 est superieure a celle necessaire pour l’entretenir. Le tableau II.1 donnedifferentes valeurs pour des couples de materiaux usuels.

Materiau 1 Materiau 2 f fd

Acier Acier 0.18 0.15

Acier Fonte 0.19 0.16

Acier Bronze 0.11 0.1

Acier Teflon 0.04 0.04

Acier Nylon 0.35

Fonte Bronze 0.2

Bois Bois 0.65 0.4 a 0.2

Metal Bois 0.6 a 0.5 0.5 a 0.2

Metal Glace 0.02

Pneu voiture Route 0.8 0.6

Table II.1 – Valeurs indicatives des coefficients d’adherence f et de frottement fd

Remarque II.5 La statique est l’etude des systemes au repos, en equilibre, noussommes donc toujours dans le mauvais cas d’application de lois de Coulomb. Pourpouvoir resoudre les problemes, nous ferons les hypotheses ci-dessous. Grace a ces deuxhypotheses, qu’il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb.

Hypothese 1 En statique, des qu’il existe du frottement, on etudie le cas limite duglissement commencant, donc

T21 = fN21

Hypothese 2 L’action tangentielle au glissement commencant possede la memedirection que l’action tangentielle lors du mouvement. Pour resoudre un probleme,

on doit definir une vitesse supposee de glissement−→V ? (I, 1/2) permettant de

definir la direction et le sens de l’effort tangentiel

−→V ? (I, 1/2) .

−→T 21 < 0

Remarque II.6 Le cas d’un contact parfait correspond a un coefficient de frottementnul.

II.4 Utilisation du principe fondamentale de la

statique

Lors de l’etude statique d’un ensemble materiel Σ, la premiere des choses a faire estde modeliser. Ce travail est generalement fait pour vous lors d’exercices ou de devoirs,mais il est important de ne pas perdre de vue ce point. L’ingenieur confronte a unprobleme reel n’aura plus la possibilite de se raccrocher a un enonce precis pour faireses calculs, et la justesse de ses resultats dependra de la pertinence de sa modelisation.

II.4. UTILISATION DU PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 51

Le systeme materiel est modelise par un ensemble fini de N solides indeformables.La geometrie et les donnees de masses sont mesurables donc, connues. Les actionsmecaniques vont etre modelisees par des forces et des couples. Il convient a ce niveau,de distinguer les forces connues (ex : la pesanteur, la poussee de tel ou tel actionneur,l’effort de serrage impose par l’utilisateur) et les forces inconnues (ex : reaction d’unsupport, efforts dans une liaison entre deux pieces, . . .). On fait donc un bilan, c’est-a-dire, on compare le nombre d’inconnues statiques Is du systeme avec le nombresd’equations statique Es disponibles par application du P.F.S. aux differents solides dusysteme.

II.4.1 Degre d’hyperstatisme

Le resultat de ce bilan s’exprime a l’aide du degres d’hyperstatisme h

h = Is − EsLe nombre d’inconnues statiques Is s’obtient en denombrant les inconnues de liaisons.Le nombre d’equations statiques depend du nombre de solides que l’on peut isoler et dudegres de mobilite du systeme m. Le nombre de solides que l’on peut isoler est (N − 1),car on ne peut pas isoler le bati, d’ou l’expression

Es =

6 (N − 1)−m en 3D

3 (N − 1)−m en 2D

Il est possible de determiner le degres d’hyperstatisme a l’aide d’une analysecinematique du systeme qui conduit a l’expression suivante

h =

6γ +m− Ic en 3D

3γ +m− Ic en 2D

avec γ le nombre cyclomatique et Ic le nombre d’inconnues cinematiques.

II.4.2 Systemes isostatiques et hyperstatiques

Une fois que l’on a calcule le degres d’hyperstatisme trois cas se presentent a nous :

h < 0 Le probleme est mal pose, les conditions ou les contraintes imposees sont tropfortes. Le probleme n’est pas soluble. Il faut revenir sur les hypotheses faites lorsde la modelisation, si le probleme est concret. S’il s’agit d’un devoir, revoyez votredenombrement des inconnues et de la mobilite, vous vous etes surement trompequelque part car h est par definition positif.

h > 0 Le systeme est hyperstatique (trop d’inconnues par rapport au nombred’equations). Il faut introduire des lois de comportement supplementaires, soitlois de frottement (loi de Coulomb), soit des lois de deformation elastique (lois deHook) qui seront abordees dans le cours de Resistance des Materiaux en deuxiemeannee.

h = 0 tout va bien, nous avons autant d’equations que d’inconnues. Le probleme estsoluble. Cela n’ira peut-etre pas tout seul, mais vous partez dans de bonnesconditions. La resolution proprement dite depend ensuite essentiellement desquestions posees.


II.4.3 Demarche de resolution des problemes

Soit un systeme Σ de N solides soumis a des actions exterieures dont on veutdeterminer une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. La demarche asuivre est la suivante

1. Faire le schema de structure (schema de liaison) de Σ

2. Rajouter les actions exterieures a Σ (ex : pesanteur, action d’un verin ou d’unmoteur)

3. Denombrer les inconnues statiques Is

4. Determiner la mobilite du systeme m

5. Calculer le degres d’hyperstatisme h = IS − ES +m

6. Si le systeme est isostatique, on continue la resolution, si il est hyperstatique ilne sert a rien de continuer l’etude.

7. Chercher les systemes a isoler :

(a) Reperer les solides ou ensembles de solides soumis a deux forces, ceci permetde determiner la direction des deux efforts ;

(b) Reperer les sous-systemes de solides Si les plus grands possibles ayantmoins de 6 inconnues statiques a determiner (3 inconnues statiques en 2dimensions). L’interet de prendre des sous-systemes les plus grands possiblesest d’eviter des calcul inutiles d’inconnues de liaison.

8. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systemes ainsi reperes.Penser a utiliser les zeros des liaisons pour projeter vos equations et pour choisirle point d’application du theoreme du moment.

9. Reiterer les deux dernieres operations 7 et 8 jusqu’a la resolution du probleme.

II.5 Statique graphique

Les regles determinees pour l’etudes de systemes soumis a deux ou trois forces sonta la base des methodes graphiques. On utilise la regle des solides soumis a deux forcespour determiner les directions.

II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis a trois forces

Prenons maintenant l’exemple d’un solide isole soumis a trois forces :−→FA,−→FB et−→

FC appliquees respectivement aux points A, B et C, dont nous ne connaissons que−→FA

(direction et intensite) et la direction de−→FB. Nous proposons ci-dessous les etapes de

resolution d’un tel probleme :

1. Une representation graphique du probleme peut etre effectuee. Il faut a ce stadefaire le bilan des donnees sur le solide isole. Nous ne pouvons resoudre un problemegraphiquement que si nous avons au plus trois inconnues (ici c’est le cas, nosinconnues sont une direction et deux intensites).

2. Grace aux deux directions connues, on determine le point de concours I des trois

forces. On en deduit donc la direction de la force inconnue−→FC (representee par

la ligne (IC)).

II.5. STATIQUE GRAPHIQUE 53

3. Puisque nous savons que la somme geometrique des trois forces est nulle, nouspouvons representer un triangle regroupant les trois forces, souvent nomme

triangle des forces. Pour cela on trace la force connue−→FA a une echelle choisie.

Ensuite, a l’extremite de cette force, on vient representer les directions de−→FB

et−→FC par des lignes paralleles a (IB) et (IC) respectivement. Enfin, on trace

les vecteurs−→FB et

−→FC en faisant attention a ce que l’extremite de chaque force

rencontre l’origine de la suivante.

4. La derniere etape consiste a mesurer les intensites des forces jusque la inconnues

(−→FB et

−→FC) a l’echelle choisie precedemment. On reporte les resultats obtenus sur

le solide isole.

Figure II.9 – Resolution graphique d’un solide soumis a trois forces(Pommier and Berthaud, 2010)


II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis a quatre forces

Si les forces ne sont pas paralleles, le nombre maximal d’inconnues determinables,pour chaque equilibre etudie, est de trois. Au-dela, la resolution n’est pas possible oune peut etre que partielle. Deux cas principaux se presentent, chacun amenant desresolutions graphiques differentes : une direction et deux modules inconnus ou troismodules inconnus.

Sur les quatre forces, deux presentent des elements inconnus et les deux autres (ouplus) sont completement connues. Methode de resolution : determiner la resultante detoutes les forces connues afin de se ramener a trois forces concourantes et au cas deresolution du paragraphe precedent.

Figure II.10 – Resolution graphique d’un solide soumis a quatre forces(Fanchon, 1998)

II.5. STATIQUE GRAPHIQUE 55

II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis a quatre forces

Toutes les directions des forces sont connues, une seule force sur les quatre estcompletement connue.

Methode de resolution ou methode de Culman : mettre les quatre forces en deuxgroupes de deux forces concourantes (points de concours I et J) afin de se ramener a

deux resultantes−→R 1 et

−→R 2 egales et opposees, ayant meme ligne d’action (IJ).

Figure II.11 – Resolution graphique d’un solide soumis a quatre forces par la methodedu Culman (Fanchon, 1998)

References


Fanchon, J.-L. (1998). Guide de Mecanique : Sciences et technologies industrielles.Dunod.



II.6 Ce qu’il faut retenir

Actions mecaniques

Action du poids

Direction la normal unitaire a la surface de la terre (la verticale), −→zSens vers le sens de la terre, −−→zNorme mg

Point d’application le centre de gravite du systeme Σ, G

Actions de contact

−→x

−→y

−→z

p0

L2

L1

=

−→x

−→y

−→z

G

−→F = −L1L2p0

−→z

A BCA B=

L

p0

−→F = −Lp0

−→y

−→x

−→y

−→x

−→y

CA B A B=

L

pmax

−→F = −Lpmax

2−→y

2L3

L3

−→x

−→y

−→x

−→y

II.6. CE QU’IL FAUT RETENIR 57

Principe fondamentale de la statique

Enonce

Pour qu’un systeme de solide indeformable Σ initialement au repos dans unreferentiel Galileen, soumis a des actions mecaniques, reste en equilibre, il faut quele torseur des efforts exterieurs a Σ soit nul :

Σ→ Σ

=

0

Theoreme des actions reciproque

Soient deux solides S1 et S2 qui sont liaisons alorsS1 → S2

= −

S2 → S1

Solides soumis a deux forces

Un solide soumis ou un ensemble de solides est en equilibre sous l’action de deuxforces si ces deux forces sont directement opposees et de meme module.Solides soumis a trois forces

Un solide est en equilibre sous l’action de trois forces exterieures si ces trois forcessont coplanaires, concourantes ou paralleles et que leur somme geometrique est nulle.


Loi du frottement

Si il y a glissement au contact−→G (I, 1/2) 6= −→0 alors

T21 = fd.N21−→G (I, 1/2) ∧

−→T 21 =

−→0

−→G (I, 1/2) .

−→T 21 < 0

La premiere equation nous donne le module de l’effort tangentielle, la secondeequation nous donne sa direction (coliniaire a la vitesse de glissement) et latroisieme equation son sens (opposee a la vitesse de glissement).

Si il n’y a pas glissement au contact−→G (I, 1/2) =

−→0 alors

T21 ≤ f.N21

Les deux dernieres equations ont disparues et ne nous donnent plus derenseignements sur la direction et le sens de l’effort tangentiel. De plus lapremiere equation devient une inegalite et on dit que l’effort est compris dansle cone de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui estrelie au coefficient d’adherence f :

tanϕ = f

Probleme de statique avec frottement

La statique est l’etude des systemes au repos, en equilibre, nous sommes donctoujours dans le mauvais cas d’application de lois de Coulomb. Pour pouvoir resoudreles problemes, nous ferons les hypotheses ci-dessous. Grace a ces deux hypotheses,qu’il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb.

Hypothese 1 En statique, des qu’il existe du frottement, on etudie le cas limite duglissement commencant, donc

T21 = fN21

Hypothese 2 L’action tangentielle au glissement commencant possede la memedirection que l’action tangentielle lors du mouvement. Pour resoudre un

probleme, on doit definir une vitesse supposee de glissement−→V ? (I, 1/2)

permettant de definir la direction et le sens de l’effort tangentiel

−→V ? (I, 1/2) .

−→T 21 < 0

II.6. CE QU’IL FAUT RETENIR 59

Utilisation du principe fondamentale de la statique

Soit un systeme Σ de N solides soumis des actions mecaniques exterieures donton veut determiner une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. Lademarche a suivre pour atteindre se but est la suivante

1. Faire le schema de structure (schema de liaison) de Σ

2. Rajouter les actions mecaniques exterieures a Σ (ex : pesanteur, action d’unverin ou d’un moteur)

3. Denombrer les inconnues statiques Is

4. Determiner la mobilite du systeme m

m = Ic − Ec

avec Ec = 6γ (en 3D) ou Ec = 3γ (en 2D).

5. Calculer le degres d’hyperstatisme h = IS−ES ou ES est le nombre d’equationsde la statique

ES = 6 (N − 1)−m en 3D

ES = 3 (N − 1)−m en 2D

h peut etre obtenue par

h = 6γ +m− Ic en 3D

h = 3γ +m− Ic en 2D

6. Si le systeme est isostatique, on continue la resolution, si il est hyperstatiqueil ne sert a rien de continuer l’etude.

7. Chercher les systemes a isoler :

(a) Reperer les solides ou ensembles de solides soumis a deux forces, cecipermet de determiner la direction des efforts ;

(b) Reperer les sous-systemes de solides Si les plus grands possibles ayantmoins de 6 inconnues statiques a determiner (3 inconnues statiques en2 dimensions). L’interet de prendre des sous-systemes les plus grandspossibles est d’eviter les calculs inutiles d’inconnues de liaison.

8. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systemes ainsi reperes.Penser a utiliser les zeros des liaisons pour projeter vos equations et pourchoisir le point d’application du theoreme du moment.

9. Reiterer les deux dernieres operations 7 et 8 jusqu’a la resolution du probleme.

Chapitre -III-

Dynamique

Table des Matieres

III.1 Dynamique du point materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.1 Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.1.3 Quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.1.4 Moment cinetique et moment dynamique . . . . . . . . . . . 65

III.1.5 Theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.2 Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . 66

III.2.2 Torseur cinetique et torseur dynamique . . . . . . . . . . . . 66

III.2.2.1 Definitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

III.2.2.2 Expressions des resultantes cinetique et dynamique 67

III.2.2.3 Expressions des moments cinetique et dynamique . 68

III.2.2.4 Cas d’un ensemble de solides materiels indeformables 68

III.2.3 Centre d’inertie et operateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . 69

III.2.3.1 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III.2.3.2 Operateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III.2.3.3 Exemples classiques d’operateur d’inertie . . . . . . 72

III.2.4 Demarche de resolution d’un probleme . . . . . . . . . . . . 73

III.2.4.1 Utilisation des theoreme generaux . . . . . . . . . . 73

III.2.4.2 Calculs des projections du moment dynamique . . . 73

III.3 Energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III.3.1.1 Puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III.3.1.2 Puissance d’une action mecanique sur un solide . . 74

III.3.1.3 Puissances des inter-efforts . . . . . . . . . . . . . . 75

III.3.1.4 Travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III.3.2 Energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

62 CHAPITRE III. DYNAMIQUE

III.3.3 Theoreme de l’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . 76

III.4 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III.1. DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL 63

Les deux premiers chapitres de ce cours ont introduit les notions de mouvementet d’action mecanique. En effet, la cinematique est la science decrivant le mouvementdes solides sans s’occuper de ces causes. La statique nous a permis de determiner lesactions mecanique assurant l’equilibre des solides au repos. La dynamique englobe cesdeux theories car elle relie la description du mouvement aux actions mecaniques qui ensont la cause.

La dynamique repose sur les equations du mouvement due a Sir Isaac Newton(1643-1727) qui ont fait leurs preuves depuis des siecles sous le nom de PrincipeFondamentale de la Dynamique. Ces equations que nous allons decrire dans le casdu point materiel puis dans le cas du solide materiel indeformable forment l’un despostulats de la mecanique classique.

III.1 Dynamique du point materiel

Un point materiel P est un point de l’espace auquel est associe une masse m.

III.1.1 Equation de la dynamique

Pour etudier les phenomenes mecaniques, il faut choisir un systeme de reference.Dans des systemes de references differents les lois du mouvement n’ont pasnecessairement la meme forme. Naturellement, il faut choisir un systeme de referencetel que les lois de la mecanique soient les plus simples.

Par rapport a systeme de reference quelconque, l’espace n’est ni homogene niisotrope et le temps n’est pas uniforme. Cependant, on peut toujours trouver un systemede reference par rapport auquel l’espace sera homogene et isotrope et le temps uniforme.Un tel systeme est appele referentiel Galileen. Dans le cas des sciences de l’ingenieur,le referentiel terrestre peut etre considere comme Galileen.

La dynamique du point materiel P de masse m soumis aux forces−→F i est gouvernee

par une equation de la forme

m−→a (P/Rg) = md2−→OP

dt2

∣∣∣∣∣Rg

=∑−→

F i

ou O est un point fixe dans un referentiel Galileen Rg.

III.1.2 Exemples de force

Il existe un grand nombre de forces pouvant s’exercer sur une particule materiel,dans cette section nous en donnons une liste non-exhaustive

Force de gravite La force de gravite exercee par un point materiel P2 de masse m2

sur le point materiel P1 de masse m1 est proportionnelle aux masses m1 et m2 etinversement proportionnel au carre de la distance r entre P1 et P2

−→F (P2 → P1) = Gm1m2

−−→P1P2∥∥∥−−→P1P2

∥∥∥3 ∝m1m2

r2


G est une constante, appelee constante gravitationnelle qui est environ egale a0.000000000067N.m2.kg−2

Force due a un ressort La force exercee par un ressort sur une particule P estproportionnel au deplacement du point P par rapport a sa position d’equilibre−−→OP0 −→

F (ressort→ P ) = −k−−→P0P

k est appelee la raideur du ressort.

Force due a un frottement visqueux La force exercee par un frottement visqueuxest proportionnel a la vitesse du point materiel par rapport au referentiel Galileen

−→F (fv → P ) = −η d

−→OP

dt

∣∣∣∣∣Rg

= −η−→V (P/Rg)

η est appelee la viscosite.

Force due a un frottement sec Le force due a un frottement sec est constant ests’oppose au mouvement

−→F (fs → P ) = −f−→e , avec −→e =

1∥∥∥−→V (P/Rg)∥∥∥−→V (P/Rg)

f est le coefficient de frottement.

III.1.3 Quantite de mouvement

Les equations de mouvement sont des equations differentielles du second ordre. Afinde les transformer en equations differentielles du premier ordre, on introduit la quantitede mouvement −→p (P/Rg) defini par

−→p (P/Rg) = md−→OP

dt

∣∣∣∣∣Rg

L’equation du mouvement du point materiel P de masse m peut se mettre sous leforme

d−→p (P/Rg)

dt

∣∣∣∣Rg

=∑−→

F i

d−→OP

dt

∣∣∣∣∣Rg

=1

m−→p (P/Rg)

On peut definir egalement la quantite d’acceleration qui est la derive temporelle dela quantite de mouvement dans le referentiel Galileen

−→Γ (P/Rg) =

d−→p (P/Rg)

dt

∣∣∣∣Rg

= m−→a (P/Rg)

III.2. DYNAMIQUE DU SOLIDE 65

III.1.4 Moment cinetique et moment dynamique

Pour un point materiel P , le moment cinetique −→σ (O,P/Rg) par rapport a O estdefini par

−→σ (O,P/Rg) =−→OP ∧ −→p (P/Rg)

Le moment cinetique est donc le moment de la quantite de mouvement par rapport aO.

Par analogie avec la quantite de mouvement, le moment cinetique permet de definirl’analogue de la masse : le moment d’inertie I. En effet, pour une particule dont la

vitesse angulaire est θ autour de l’axe(O,−→k)

, on a

−→σ (O,P/Rg) = Iθ−→k

ou I = mr2 avec r la distance de O a P .Le moment dynamique au point O est le moment de la quantite d’acceleration par

rapport au point O −→δ (O,P/Rg) =

−→OP ∧

−→Γ (P/Rg)

III.1.5 Theoreme du moment cinetique

La dynamique du point materielle P de masse m verifie egalement l’equation dumoment cinetique

d−→σ (O,P/Rg)

dt

∣∣∣∣Rg

=∑−→

M(O,−→F i → P

)

III.2 Dynamique du solide

Dans la pratique technologique propre a l’ingenieur, rare sont les particulesmaterielles livrees a elle-meme. On a affaire a des solides materiels indeformables. Unsolide materiel indeformable est un assemblage continu de points materiels de masseelementaire par une unite de volume ρ (M), appelee densite. La densite est homogenea une masse sur un volume [g.m−3]. La masse totale mS d’un solide S s’obtient parintegration de la masse volumique sur le volume VS du solide S

mS =

∫∫∫VS

ρ (M) dV

Cette formule se simplifie dans le cas ou la masse volumique ρ est constante

mS = ρVS

Apres avoir enonce le Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) pour unsolide materiel indeformable, nous montrerons comment les notions de quantitede mouvement, de moment cinematique, de quantite d’acceleration et de momentdynamique sont transposees au cas du solide. Avant de donner un mode d’emploipour la resolution des problemes de dynamique, nous introduirons l’operateur d’inertieI [O, S] du solide S au point O qui permet de calculer le moment cinetique puis lemoment dynamique.


III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique

Il existe au moins un referentiel Galileen Rg dans lequel le torseur des effortsexterieurs au systeme materiel Σ est egale au torseur dynamique de Σ par rapporta Rg

Σ→ Σ

=

DΣ/Rg

On tire de ce principe fondamentale les deux theoreme generaux de la mecanique quisont la version pour un solide indeformable de des equations de conservation

Theoreme de la resultante dynamique

−→F(Σ→ Σ

)=−→Rd (Σ/Rg)

Theoreme du moment dynamique

−→M(O,Σ→ Σ

)=−→δ (O,Σ/Rg)

Ces deux theoremes, comme dans le cas de la statique donnent 6 equations scalairesen 3 dimensions et seulement 3 equations en 2 dimensions.

III.2.2 Torseur cinetique et torseur dynamique

III.2.2.1 Definitons

A chaque point materiel M du solide S, on associe des densites (volumiques) de

quantite de mouvement

ρ (M)−→V (M/Rg)

quantite d’accelerationρ (M)−→a (M/Rg)

moment cinetique au point O

ρ (M)−−→OM ∧

−→V (M/Rg)

moment dynamique au point O

ρ (M)−−→OM ∧ −→a (M/Rg)

En integrant ces grandeurs sur le volume VS du solide S, on obtient

La resultante cinetique ou la quantite de mouvement du solide S , [g.m.s−1]

−→p (S/Rg) =

∫∫∫VS

ρ (M)−→V (M/Rg) dV

La resutante dynamique du solide S , [g.m.s−2]

−→Rd (S/Rg) =

∫∫∫VS

ρ (M)−→a (M/Rg) dV


Moment cinetique du solide S au point O , [g.m2.s−1 = N ]

−→σ (O, S/Rg) =

∫∫∫VS

ρ (M)−−→OM ∧

−→V (M/Rg) dV

Moment dynamique du solide S au point O , [g.m2.s−2 = N.m]

−→δ (O, S/Rg) =

∫∫∫VS

ρ (M)−−→OM ∧ −→a (M/Rg) dV

Ces quatre quantites servent a definir

Torseur cinetique CS/Rg

=

O

−→p (S/Rg)−→σ (O, S/Rg)

Torseur dynamique

DS/Rg

=

O

−→Rd (S/Rg)−→δ (O, S/Rg)

Ceci signifie que les moments cinetique et dynamique du solide S en point A peuventetre obtenus a l’aide de la relation fondamentale des torseurs

−→σ (A, S/Rg) = −→σ (O, S/Rg) +−→p (S/Rg) ∧−→OA

−→δ (A, S/Rg) =

−→δ (O, S/Rg) +

−→Rd (S/Rg) ∧

−→OA

III.2.2.2 Expressions des resultantes cinetique et dynamique

Dans la pratique les composantes de ces torseurs ne sont pas obtenues a partir desrelations integrales qui ne sont que des definitions. En effet, les resultantes cinetiqueet dynamique s’obtient respectivement a partir de la vitesse et l’acceleration du centred’inertie GS du solide S de masse mS par rapport au referentiel Galileen. On montreaisement que

−→p (S/Rg) = mS−→V (GS/Rg)

−→Rd (S/Rg) = mS

−→a (GS/Rg)

On rappelle que

−→V (G/Rg) =

d−→OG

dt

∣∣∣∣∣Rg

, −→a (G/Rg) =d2−→OG

dt2

∣∣∣∣∣Rg

avec O fixe dans Rg.


III.2.2.3 Expressions des moments cinetique et dynamique

Pour le calcul des moments cinetique et dynamique s’est legerement plus complique.Premierement, ces deux quantites sont relies par l’expression suivante dont lademonstration est laissee a titre d’exercice au lecteur

−→δ (A, S/Rg) =

d−→σdt

(A, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

+mS

−→V (A/Rg) ∧

−→V (G/Rg)

En exprimant la vitesse du point M par rapport a Rg en fonction de la vitesse du pointA dans la definition du moment cinetique au point A, on obtient

−→σ (A, S/Rg) =

∫∫∫VS

ρ (M)−−→AM ∧

−→V (M,S/Rg) dV

=

∫∫∫VS

ρ (M)−−→AM ∧

−→V (A, S/Rg) dV

+

∫∫∫VS

ρ (M)−−→AM ∧

[−→Ω (S/Rg) ∧

−−→AM

]dV

= mS

−→AG ∧

−→V (A, S/Rg) + I [A, S] .

−→Ω (S/Rg)

ou I [A, S] est une matrice 3× 3, appele operateur d’inertie. Cet operateur depend dela repartition de masse dans le solide S autour du point A, c’est la generalisation de lanotion de moment d’inertie au cas du solide materiel. Il depend a la fois de la geometriedu solide S et du point A ou il est exprime. Ces composantes ont pour unite le grammemetre carre [g.m2]. Le calcul de cet operateur fera l’objet de la prochaine section.

Remarque III.1 On remarquera que les expressions des moments cinetique etdynamique se simplifient lorsque le point A est confondu avec

le centre d’inertie GS du solide S

−→δ (GS, S/Rg) =

d−→σdt

(GS, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

, −→σ (GS, S/Rg) = I [GS, S] .−→Ω (S/Rg)

un point O fixe dans Rg

−→δ (O, S/Rg) =

d−→σdt

(O, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

, −→σ (O, S/Rg) = I [O, S] .−→Ω (S/Rg)

Dans la pratique, nous utiliserons ces formules plus simples pour ensuite transporterles moments dynamique et cinetique au point voulu a l’aide de la relation de torseur.

III.2.2.4 Cas d’un ensemble de solides materiels indeformables

Les torseurs cinetique et dynamique d’un ensemble de N solides materiels Σ =S1, . . . , SN s’obtient en additionnant les torseurs associes a chaque solide materiel Si

A

CΣ/Rg

=

N∑i=1 A

CSi/Rg

,

A

DΣ/Rg

=

N∑i=1 A

DSi/Rg


III.2.3 Centre d’inertie et operateur d’inertie

III.2.3.1 Centre d’inertie

Le centre d’inertie d’un solide materiel S, de masse mS, est le barycentre GS desmasses

−−→OGS =

1

mS

∫∫∫VS

ρ (M)−−→OM dV

Ce qui donne en projetant dans une base orthonormee (−→x ,−→y ,−→z )

xG =1

mS

∫∫∫VS

ρ (x, y, z)x dxdydz

yG =1

mS

∫∫∫VS

ρ (x, y, z) y dxdydz

zG =1

mS

∫∫∫VS

ρ (x, y, z) z dxdydz

Dans le cas d’un ensemble de solide materiel Σ = S1, . . . , SN on peut utiliser lameme definition en remplacant VS par VΣ le volume de l’ensemble de solide materiel,mais on peut egalement utilise les proprietes des barycentres

−−→AGΣ =

1

mΣ

N∑i=1

mSi

−−−→AGSi

∀A

Propriete III.1 Pour un solide S dont la repartition de masse admet un (ouplusieurs) axe(s) de symetrie(s) le centre d’inertie GS appartient a cet (ou ces) axe(s)de symetrie(s).

Remarque III.2 Il ne faut pas confondre les notions de centre d’inertie et de centre degravite. La premiere represente le barycentre des masses alors que la seconde est le pointd’application de la force de gravite. Dans le cas ou le champs de gravite est uniforme entout point du solide considere, ce qui est tres souvent le cas pour l’ingenieur, le centred’inertie et le centre de gravite sont les memes.

III.2.3.2 Operateur d’inertie

L’operateur d’inertie I [A, S] du solide S en A est un operateur lineaire de R3 definipar son application a un vecteur −→u de l’espace

I [A, S] .−→u =

∫∫∫VS

−−→AM ∧

(−→u ∧ −−→AM) ρ (M) dV

La linearite de l’integrale induit la linearite de l’operateur d’inertie donc si nousconsiderons le systeme de solides materiels Σ = S1, . . . , SN alors nous avons

I [A,Σ] =N∑i=1

I [A, Si] ∀A

Cette propriete est vraie quelque soit le point A choisi a condition que tousles operateurs soient exprimes au meme point A. Notons que cette proprietes


est essentiellement utilisee pour decomposer un solide en solide elementaire dontl’operateur d’inertie est connu. Nous deconseillons fortement son utilisation dans lecas de systeme de solides en mouvement les uns par rapport aux autres. En effet, vuque l’operateur d’inertie caracterise la repartition des masses dans le systemes si lessolides constitutifs de Σ se deplacent au cours du temps cela induit une modification decette repartition des masses et donc l’operateur d’inertie I [A,Σ] dependra du temps.

Comme nous le savons tout operateur lineaire de R3 peut s’ecrire sous forme d’unematrice 3× 3 donc l’operateur d’inertie peut se mettre sous la forme

I [A, S] =

A −F −E−F B −D−E −D C

−→x S ,−→y S ,−→z S

−−→AM =

x

y

z

−→x S ,−→y s,−→z S

Les expressions des coefficients de l’operateur s’obtient a partir des coordonnees (x, y, z)du point M dans le repere (A,−→x S,

−→y S,−→z S)

A =

∫∫∫VS

ρ(y2 + z2

)dV, B =

∫∫∫VS

ρ(x2 + z2

)dV, C =

∫∫∫VS

ρ(x2 + y2

)dV

D =

∫∫∫VS

ρyz dV, E =

∫∫∫VS

ρxz dV, F =

∫∫∫VS

ρxy dV

Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dependre des coordonnees(x, y, z) du pointM . A,B et C sont les moments d’inertie par rapport aux axes (A,−→x S),(A,−→y S) et (A,−→z S). D, E et F sont les produits d’inertie.

Propriete III.2 (Cas ou le solide S admet un plan de symetrie materiel) Si Pest le plan de symetrie materiel de normale −→z S pour le solide S. Pour tout pointA ∈ P, l’operateur d’inertie s’ecrit

I [A, S] =

A −F 0

−F B 0

0 0 C

−→x S ,−→y S ,−→z S

D = E = 0

Propriete III.3 (Cas ou le solide S admet deux plans de symetrie materiels)Si P1 est le plan de symetrie materiel de normale −→z S pour le solide S et P2 celui denormale −→y S. Pour tout point A ∈ (∆) ou la droite ∆ est l’intersection de P1 et P2,l’operateur d’inertie s’ecrit

I [A, S] =

A 0 0

0 B 0

0 0 C

−→x S ,−→y S ,−→z S

D = E = F = 0

Propriete III.4 (Cas ou le solide S admet un axe de revolution materiel (∆))Si (∆) est un axe de revolution materiel de direction −→z S alors pour tout pointA ∈ (∆), l’operateur d’inertie s’ecrit

I [A, S] =

A 0 0

0 A 0

0 0 C

−,−,−→z S

E = D = 0 et A = B


Propriete III.5 (Cas ou le solide S est d’epaisseur negligeable (plaques)) Sila dimension du solide S est negligeable suivant l’axe −→z S alors pour tout point Adans le plan de la plaque de normale −→z S, l’operateur d’inertie s’ecrit

I [A, S] =

A −F 0

−F B 0

0 0 A+B

−→x S ,−→y S ,−→z S

D = E = 0 et C = A+B

Il ne faut pas retenir par cœur la forme de cet operateur car si la plaque est normale a−→y S, on a

I [A, S] =

A 0 −E0 A+ C 0

−E 0 C

−→x S ,−→y S ,−→z S

D = E = 0 et B = A+ C

Dans le cas d’un point materiel P , l’operateur d’inertie est nul en P . Or, noussavons que le moment d’inertie d’un point materiel P de masse m n’est pas nulle pourtous autres points. Ceci signifie que l’operateur d’inertie du point materielle P n’estpas nul en un point A 6= P . Cela nous amene a la question : “Comment passe-t-on del’expression de l’operateur d’inertie du solide S au point P a celle au point A ?”

Propriete III.6 (Theoreme de Huygens “generalise”) Soit S un solide mate-riel de masse mS et I [GS, S] son operateur d’inertie au centre d’inertie GS alorsl’operateur du solide S au point A, de coordonnees (XA, YA, ZA) dans la repere(GS,

−→x S,−→y S,−→z S) d’origine GS le centre d’inertie, s’obtient

I [A, S] = I [GS, S] +mS

(YA + ZA)2 −XAYA −XAZA

−XAYA (XA + ZA)2 −YAZA−XAZA −YAZA (XA + YA)2

−→x S ,−→y S ,−→z S

Remarque III.3 Une des consequences du theoreme de Huygens est que l’operateurd’inertie du solide S est “minimum” lorsqu’il est exprime en son centre d’inertie GS.Donc plus l’axe de rotation du mouvement (∆) de S par rapport a Rg s’eloigne ducentre d’inertie GS de S plus il sera difficile de faire tourner le solide S autour (∆).

Remarque III.4 (Equilibrage statique) L’equilibrage statique d’un solide S enrotation consiste a repartir les masses du solide de tel sorte que le centre de gravite seplace sur l’axe de rotation du solide S. L’equilibrage statique est pratique pour que toutespositions angulaires du solide soit une position d’equilibre potentiel. En effet, lorsquele centre de gravite appartient a l’axe de rotation du solide les forces de pesanteursn’engendrent pas de moment autour de cet axe et ca quelque soit la position angulairedu solide S.

Remarque III.5 (Equilibrage dynamique) L’equilibrage dynamique d’un solidemateriel S en rotation au tour de l’axe (A,−→z S) par rapport au bati s’effectue enmettant a zero les produits d’inertie de I [A, S] correspondant a cette rotation (c’est-a-dire ici D = E = 0). L’equilibrage dynamique permet d’optimiser la duree de vie


de la liaison pivot entre le solide S et la bati en evitant les effets de “balourd” quiengendrent des efforts variables (donc des vibrations) dans les paliers de la liaisonpivot. L’equilibrage dynamique comme l’equilibrage statique se pratique generalementpar ajout ou enlevement de matiere, dans le cas de l’equilibrage d’une roue de voituredes masselottes sont ajoutees.

III.2.3.3 Exemples classiques d’operateur d’inertie

Cylindre Pour un cylindre materiel homogene de masse M de hauteur h et de rayonR. Le centre d’inertie G est sur l’axe de revolution oriente suivant −→z S et il estau milieu du cylindre. Son operateur d’inertie au centre d’inertie G s’ecrit

I [G,Cylindre] =

M(R2

4+ h2

12

)0 0

0 M(R2

4+ h2

12

)0

0 0 MR2

2

−,−,−→z S

Disque En remarquant qu’un disque est un cylindre de hauteur negligeable (h→ 0),on obtient l’expression de l’operateur d’inertie en son centre d’inertie

I [G,Disque] =

MR2

40 0

0 MR2

40

0 0 MR2

2

−,−,−→z S

Barre rectiligne Le cas de la barre rectiligne est egalement un cas limite du cylindremais cette fois pour un rayon negligeable (R→ 0) d’ou l’expression de l’operateurd’inertie au centre d’inertie

I [G,Barre] =

Mh2

120 0

0 Mh2

120

0 0 0

−,−,−→z S

Sphere Pour une sphere materielle homogene de masse M et de rayon R, l’operateurd’inertie s’ecrit au centre d’inertie

I [G,Sphere] =

2MR2

50 0

0 2MR2

50

0 0 2MR2

5

−,−,−

Cube Pour un cube materiel homogene de masse M et d’arrete a, l’operateur d’inertieest

I [G,Sphere] =

Ma2

60 0

0 Ma2

60

0 0 Ma2

6

−,−,−

III.3. ENERGETIQUE 73

III.2.4 Demarche de resolution d’un probleme

III.2.4.1 Utilisation des theoreme generaux

Le lecteur pourra revenir a la section “utilisation du principe fondamentale de lastatique”. Les remarques faites sont d’autant plus valables en dynamique car nousaurons a calculer les termes dynamiques. Notre principal souci etant de faire unminimum de calculs, nous passerons donc du temps a faire une analyse de notre systeme.

Notre demarche sera la suivante : a l’issue d’une schematisation du systeme aetudier, nous ferons le choix des parametres cinematiques juste necessaires pur traduirele mouvement (p parametres cinematiques). Nous ferons ensuite l’inventaire des actionsmecaniques qui agissent dans notre systeme. On distingue les actions mecaniquesconnues, telles que la pesanteur, les couples resistants en sortie de mecanisme ou l’actiondes ressorts et les actions mecaniques inconnues telles que les actions de liaisons (qefforts inconnues). Si le nombre d’inconnues (p+ q) est egal au nombre d’equations6N (ou N est le nombre de solide a isoler), alors le probleme admet une solution. Ilfaut exactement savoir ce qu’on cherche et choisir astucieusement, parmi les (p+ q)inconnues celles qui vont repondre aux questions posees, sans introduire d’inconnuessupplementaires. Alors, seulement, on developpera les calculs necessaires pour arriveraux resultats.

Regle III.1 Il est conseille d’utiliser les zeros des liaisons pour ecrire les equations dela dynamique pour eviter d’introduire des inconnues de liaisons inutiles. Par exempleecrire le theoreme du moment dynamique au centre des liaisons pivot et en le projetantsuivant l’axe de la liaison ou en ecrivant la projection du theoreme de la resultantedynamique sur l’axe des glissieres.

III.2.4.2 Calculs des projections du moment dynamique

Comme nous venons de le voir, il est souvent plus judicieux de calculer lesprojections des quantites dynamiques au lieu de calculer entierement le torseurdynamique. En utilisant la formule de derivation du produit scalaire, on obtient

−→δ (A, S/Rg) .

−→u =

[d−→σ (A, S/Rg) .

−→udt

]Rg

−−→σ (A, S/Rg) .

[d−→udt

]Rg

+mS−→u(−→V (A/Rg) ∧

−→V (G/Rg)

)Le dernier terme de cette expression peut etre calcule a l’aide des proprietes du produitmixte

−→u(−→V (A/Rg) ∧

−→V (G/Rg)

)=(−→u ∧ −→V (A/Rg)

).−→V (G/Rg)

=−→V (A/Rg) .

(−→V (G/Rg) ∧ −→u

)III.3 Energetique

Souvent lors de l’etude dynamique des systemes constitues de plusieurs solides, larecherche des equations du mouvement conduit a developper de nombreuses projections


issues du P.F.D. Lorsque la determination des projections n’est pas immediates on peutavoir recours a une autre approche : la methode energetique. Lorsque les liaisons sontsupposees parfaites l’approche energetique permet de ne pas s’encombrer des actionsde liaisons.

III.3.1 Puissance et Travail

III.3.1.1 Puissance d’une force

La puissance d’une force−→F s’exercant sur le point materiel P est la quantite

d’energie par unite de temps fournie par cette force au point materiel, elle est definiepar le produit scalaire de la force avec la vitesse de P par rapport au referentiel Galileen

P(−→F → P/Rg

)=−→F .−→V (P/Rg)

Cette quantite s’exprime en Watt [W = N.m.s−1], c’est une grandeur instantanee quiverifie les proprietes suivantes

– P(−→F → P/Rg

)est nulle si la force

−→F est nulle

– P(−→F → P/Rg

)= 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport a Rg

est nulle– P

(−→F → P/Rg

)= 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport a Rg

est perpendiculaire la force−→F

III.3.1.2 Puissance d’une action mecanique sur un solide

Soit un solide S soumis a une action mecanique dont le torseur des inter-efforts estA → S

=

A

−→F (A → S)−→M (A,A → S)

La notion de puissance s’etend a une action mecanique s’exercant sur un solide S

P (A → S/Rg) =

A

A → S

⊗

A

VS/Rg

=−→F (A → S) .

−→V (A, S/Rg) +

−→M (A,A → S) .

−→Ω (S/Rg)

Cette expression est independante du point A choisi pour exprimer les torseurs d’inter-efforts et cinematique, mais il faut imperativement que ces deux torseurs soientexprimes au meme point.

La puissance est une grandeur extensive, c’est-a-dire additive, la puissance produitepar une action mecanique sur un systeme de solides materiels Σ = S1, . . . , Sn

P (A → Σ/Rg) =n∑i=1

P (A → Si/Rg)

III.3. ENERGETIQUE 75

III.3.1.3 Puissances des inter-efforts

La puissance est une grandeur definie par rapport a un referentiel Galileen. Si onconsidere deux solide S1 et S2 ont peut definir la puissance des inter-efforts entre S1 etS2 par

P (S1 ↔ S2) = P (S1 → S2/Rg) + P (S2 → S1/Rg)

=

−

S1 → S2

⊗−

VS2/S1

=

−

S2 → S1

⊗−

VS1/S2

Le referentiel Galileen n’apparaıt plus dans cette expression. La puissance des inter-efforts que nous avions introduit lors de la presentations des liaisons permet dequantifier l’energie dissipee par unite de temps par les actions mecaniques entre lessolides S1 et S2. Lorsque la liaison entre les solides S1 et S2 est parfaite (sansjeu et sans frottement) la dissipation est nulle donc la puissance des inter-efforts est nulle.

III.3.1.4 Travail d’une force

On appelle travail d’une action mecanique entre l’instant t1 et l’instant t2, la sommedes puissances de cette action entre les instants t1 et t2

W(−→F → S/Rg

)=

∫ t2

t1

P(−→F → S/Rg

)(t) dt

Le travail d’une force est homogene a une energie en s’exprime en Joule [J = N.m]. Lanotion de travail verifie les proprietes suivantes :

1. Deux actions mecaniques mecaniques sur le solide S ayant le meme torseurd’intereffort produisent le meme travail.

2. Le travail d’un ensemble d’actions mecaniques dont la somme des torseurs estnulle est egalement nul.

III.3.2 Energie cinetique

On definit l’energie cinetique d’un solide materiel S comme le comoment du tenseurcinematique de S dans son mouvement par rapport au referentiel Galileen et de sontorseur cinetique

T (S) =1

2A

VS/Rg

⊗

A

CS/Rg

=

1

2

−→Ω (S/Rg) .

−→σ (A, S/Rg) +1

2

−→V (A, S/Rg) .

−→V (G/Rg)

Encore une fois, cette expression est independante du point A choisi pour exprimerles torseurs cinetique et cinematique, mais il faut imperativement que ces deux


torseurs soient exprimes au meme point. L’energie cinetique du solide Scorrespond a l’energie produite par son mouvement dans le referentiel Galileen. Ellecorrespond donc a l’energie necessaire pour stopper le mouvement du solide S dans lereferentiel Galileen. Elle s’exprime evidemment en Joule [J = N.m]

L’energie cinetique est egalement une grandeur extensive donc l’energie cinetiqueemmagasinee par un systeme de solides materiels Σ = S1, . . . , Sn est

T (Σ) =n∑i=1

T (Si)

III.3.3 Theoreme de l’energie cinetique

Il existe un referentiel Galileen dans lequel, pour tout systeme de solides materielsindeformables Σ = S1, . . . , Sn, la derivee de l’energie cinetique est egale a la sommedes puissances developpees par les efforts exterieurs Pext et la puissance developpeespar les efforts interieurs entre les solides Pint

dT (Σ)

dt= Pext + Pint

= P(Σ→ Σ

)+∑i 6=j

P (Si ↔ Sj)

En toute etat de cause, le theoreme de l’energie cinetique ne donne qu’une seuleequation scalaire, mais si les liaisons sont parfaites et que la cinematique est bien connu,l’application de ce theoreme donne directement l’equation de mouvement du systeme.

References



III.4. CE QU’IL FAUT RETENIR 77

III.4 Ce qu’il faut retenir

Dynamique du point materiel

Equation de la dynamique

La dynamique du point materiel P de masse m soumis aux forces−→F i est gouvernee

par l’equation

m−→a (P/Rg) = md2−→OP

dt2

∣∣∣∣∣Rg

=∑−→

F i

ou O est un point fixe dans un referentiel Galileen Rg.Quantite de mouvement d’une particule P de masse m

−→P (P/Rg) = m

d−→OP

dt

∣∣∣∣∣Rg

Moment cinetique d’une particule P de masse m au point O

−→σ (O,P/Rg) = m−→OP ∧

−→P (P/Rg)

Theoreme de l’energie cinetique

d−→σ (O,P/Rg)

dt

∣∣∣∣Rg

=∑−→

M(O,−→F i → P

)

Dynamique du solide materiel

P.F.D.

Il existe au moins un referentiel Galileen Rg dans lequel le torseur des effortsexterieurs au systeme materiel Σ est egale au torseur dynamique de Σ par rapporta Rg

Σ→ Σ

=

DΣ/Rg

Theoreme de la resultante dynamique

−→F(Σ→ Σ

)=−→Rd (Σ/Rg)

Theoreme du moment dynamique

−→M(O,Σ→ Σ

)=−→δ (O,Σ/Rg)


Torseur dynamique

Torseur dynamique d’un solide materiel S de masse mDS/Rg

=

O

−→Rd (S/Rg)−→δ (O, S/Rg)

Torseur dynamique d’un ensemble de N solides materiels Σ = S1, . . . , SN

A

DΣ/Rg

=

N∑i=1 A

DSi/Rg

Relation de torseur correspondante

−→δ (A, S/Rg) =

−→δ (O, S/Rg) +

−→Rd (S/Rg) ∧

−→OA

Expression de la resultante dynamique

−→Rd (S Rg) = m−→a (GS/Rg)

Expression du moment dynamique au point O

−→δ (O, S/Rg) =

d−→σdt

(O, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

+mS−→V (O/Rg) ∧

−→V (G/Rg)

L’expression du moment du dynamique se simplifie

pour O fixe par rapport Rg

−→δ (O, S/Rg) =

d−→σdt

(O, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

au centre d’inertie O = GS

−→δ (GS, S/Rg) =

d−→σdt

(GS, S/Rg)

∣∣∣∣Rg

Calcul des projections du moment dynamique

−→δ (A, S/Rg) .

−→u =

[d−→σ (A, S/Rg) .

−→udt

]Rg

−−→σ (A, S/Rg) .

[d−→udt

]Rg

+mS−→u(−→V (A/Rg) ∧

−→V (G/Rg)

)


Torseur cinetique

Torseur cinetique d’un solide materiel S de masse mCS/Rg

=

O

−→p (S Rg)−→σ (O, S/Rg)

Torseur cinetique d’un ensemble de N solides materiels Σ = S1, . . . , SN

A

CΣ/Rg

=

N∑i=1 A

CSi/Rg

Relation de torseur correspondante

−→σ (A, S/Rg) = −→σ (O, S/Rg) +−→p (S Rg) ∧−→OA

Expression de la quantite de mouvement

−→p (S/Rg) =−→V (GS/Rg) GS est le centre d’inertie du solide S

Expression du moment cinetique au point O

−→σ (O, S/Rg) = mS

−−→OGS ∧

−→V (O, S/Rg) + I [O, S] .

−→Ω (S/Rg)

Cette expression se simplifie

pour O fixe par rapport Rg

−→σ (O, S/Rg) = I [O, S] .−→Ω (S/Rg)

au centre d’inertie O = GS

−→σ (GS, S/Rg) = I [GS, S] .−→Ω (S/Rg)


Centre d’inertie

Le centre d’inertie d’un solide materiel S, de masse mS, est le barycentre GS desmasses

−−→OGS =

1

mS

∫∫∫VS

ρ (M)−−→OM dV

Operateur d’inertie

L’operateur d’inertie d’un solide S s’exprime sous la forme d’une matrice 3× 3

I [A, S] =

A −F −E−F B −D−E −D C

−→x S ,−→y S ,−→z S

−−→AM =

x

y

z

−→x S ,−→y s,−→z S

Les expressions des coefficients de l’operateur s’obtient a partir des coordonnees(x, y, z) du point M dans le repere (A,−→x S,

−→y S,−→z S)

A =

∫∫∫VS

ρ(y2 + z2

)dV, B =

∫∫∫VS

ρ(x2 + z2

)dV, C =

∫∫∫VS

ρ(x2 + y2

)dV

D =

∫∫∫VS

ρyz dV, E =

∫∫∫VS

ρxz dV, F =

∫∫∫VS

ρxy dV

Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dependre des coordonnees(x, y, z) du point M . A, B et C sont les moments d’inertie par rapport aux axes(A,−→x S), (A,−→y S) et (A,−→z S). D, E et F sont les produits d’inertie.

Theoreme de Huygens “generalise”

Soit S un solide materiel de masse mS et I [GS, S] son operateur d’inertie au centred’inertie GS alors l’operateur du solide S au point A, de coordonnees (XA, YA, ZA)dans la repere (GS,

−→x S,−→y S,−→z S) d’origine GS le centre d’inertie, s’obtient

I [A, S] = I [GS, S] +mS

(YA + ZA)2 −XAYA −XAZA

−XAYA (XA + ZA)2 −YAZA−XAZA −YAZA (XA + YA)2

−→x S ,−→y S ,−→z S


Energetique

Puissances

La puissance d’une action mecanique est

P (A → S/Rg) =

A

A → S

⊗

A

VS/Rg

=−→R (A → S) .

−→V (A, S/Rg) +

−→M (A,A → S) .

−→Ω (S/Rg)

La puissance des inter-efforts entre les solides S1 et S2 est definie par

P (S1 ↔ S2) = P (S1 → S2/Rg) + P (S2 → S1/Rg)

=

A

S1 → S2

⊗

A

VS2/S1

=

A

S2 → S1

⊗

A

VS1/S2

Ces expressions sont independantes du point A choisi pour exprimer lestorseurs cinetique et cinematique, mais il faut imperativement que cesdeux torseurs soient exprimes au meme point.

Energie cinetique

L’energie cinetique d’un solide S est

T (S) =1

2A

VS/Rg

⊗

A

CS/Rg

=

1

2

−→Ω (S/Rg) .

−→σ (A, S/Rg) +1

2

−→V (A, S/Rg) .

−→V (G/Rg)

Cette expression est independante du point A choisi pour exprimer lestorseurs cinetique et cinematique, mais il faut imperativement que cesdeux torseurs soient exprimes au meme point.

Theoreme de l’energie cinetique

Il existe un referentiel Galileen dans lequel, pour tout systeme de solides materielsindeformables Σ = S1, . . . , Sn, la derivee de l’energie cinetique est egale a la sommedes puissances developpees par les efforts exterieurs Pext et la puissance developpeespar les efforts interieurs entre les solides Pint

dT (Σ)

dt= Pext + Pint

= P(Σ→ Σ

)+∑i 6=j

P (Si ↔ Sj)

Annexes

Annexe -A-

Quelques elements de geometrievectorielle

A.1 Les vecteurs

Definition

Un vecteur est represente par un segment oriente (une fleche) ayant pour extremitesun point de depart A et un point d’arrivee B. On definit un vecteur lie, par quatrecaracteristiques

– une direction, la droite (AB)– un sens, de A vers B– une norme, la distance d (A,B)– un point d’application, A

Coordonnes d’un vecteur

Dans l’espace vectoriel a trois dimensions, trois vecteurs−→i ,−→j et

−→k independant

forme une base. L’association d’un point O a cette base constitue un repere. Soit Aet B ayant pour coordonnees respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans le repere(

0,−→i ,−→j ,−→k)

alors le vecteur−→AB a pour coordonnees

−→AB = X

−→i + Y

−→j + Z

−→k

avecX = xB − xA Y = yB − yA Z = zB − zA

Les vecteurs peuvent egalement etre ecrits en colonne

−→AB =

X

Y

Z

(0,−→i ,−→j ,−→k )

=

xB − xAyB − yAzB − zA

(0,−→i ,−→j ,−→k )

86 ANNEXE A. QUELQUES ELEMENTS DE GEOMETRIE VECTORIELLE

Norme d’un vecteur

La norme (ou le module) d’un vecteur est la distance en entre l’origine et l’extremitede ce vecteur. On note ∥∥∥−→AB∥∥∥ = d (A,B) =

√X2 + Y 2 + Z2

A.2 Produit scalaire

Definition

Le produit scalaire des deux vecteurs −→u et −→v est le nombre reel suivant note −→u .−→v :

−→u .−→v = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ cos (−→u ,−→v )

Proprietes

On a les proprietes suivantes :

1. Symetrie : −→u .−→v = −→v .−→u2. Linearite : −→u . (α−→v +−→w ) = α−→u .−→v +−→u .−→w

Expression analytique

Dans une repere orthonormee(

0,−→i ,−→j ,−→k)

le produit scalaire des deux vecteurs−→v1 de coordonnes (x1, y1, z1) et −→v2 de coordonnees (x2, y2, z2) s’ecrit :

−→v1 .−→v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Exemple

Soient deux bases orthonormees directes B1 (−→x1,−→y1 ,−→z1 ) et B2 (−→x2,

−→y2 ,−→z2 ). La base

B2 s’obtient de la base B1 par rotation d’angle θ12 autour du vecteur −→z1 = −→z2 = −→z12.

#»x1

#»y1

#»x2

#»y2

θ12

# »z12

Figure A.1 – Figure de calcul

Pour effectuer les calculs vectoriels proprement, nous tracons des figures de calculsassociees a chaque rotation entre les bases. Dans notre exemple nous avons une seulerotation entre B1 et B2 donc il ne faut qu’une seule figure de calcul (Figure A.1). Dans

A.3. PRODUIT VECTORIEL 87

cette figure, le vecteur representant l’axe −→z12 est normal au plan de la figure et il estsortant. Les vecteurs −→x1, −→y1 et −→x2, −→y2 sont places de sorte que les bases B1 et B2 soientdirectes. A partir de cette figure, il facile de montrer les resultats suivants, en projetantles vecteurs de B2 (−→x2,

−→y2 ,−→z2 ) sur les vecteurs de B1 (−→x1,

−→y1 ,−→z1 )

−→x1.−→x2 = cos θ12

−→x1.−→y2 = − sin θ12

−→x1.−→z12 = 0

−→y1 .−→x2 = sin θ12

−→y1 .−→y2 = cos θ12

−→y1 .−→z12 = 0

−→z12.−→x2 = 0 −→z12.

−→y2 = 0 −→z12.−→z12 = 1

Remarque A.1 Pour eviter les erreurs de signes lors des projections (ou des calculsproduits scalaires), il est necessaire de toujours representer les figures decalculs dans la configuration de la figure A.2. C’est-a-dire de placer ici levecteur −→x2 dans le premier cadrant entre −→x1 et −→y1 , pour θ12 ∈

[0, π

2

].

A.3 Produit vectoriel

Definition

Le produit vectoriel des deux vecteurs −→u et −→v est le vecteur note −→u ∧ −→v tel que,−→u ∧ −→v soit perpendiculaire au plan (−→u ,−→v ), le triedre (−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) soit direct etla norme de −→u ∧ −→v soit egale a :

‖−→u ∧ −→v ‖ = ‖−→u ‖ |−→v ‖ sin (−→u ,−→v )

Interpretation geometrique

La norme du produit vectoriel −→u ∧ −→v , represente la surface du parallelogrammedefini par les deux vecteurs −→u et −→v .

Figure A.2 – Produit vectoriel (Pommier and Berthaud, 2010)


Proprietes

On a les proprietes suivantes :

1. Antisymetrie : −→u ∧ −→v = −−→v ∧ −→u2. Linearite : −→u ∧ (α−→v +−→w ) = α−→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w

3. Application a une base orthonormee directe(−→i ,−→j ,−→k)

−→i ∧ −→i =

−→0

−→j ∧ −→i = −

−→k

−→k ∧ −→i =

−→j

−→i ∧ −→j =

−→k

−→j ∧ −→j =

−→0

−→k ∧ −→j = −−→i

−→i ∧−→k = −−→j −→

j ∧−→k =

−→i

−→k ∧−→k =

−→0

4. Double produit vectoriel (formule de Gibbs)

−→u ∧ (−→v ∧ −→w ) = (−→u ∧ −→w ) .−→v + (−→u ∧ −→v ) .−→w


Dans une repere orthonormee(

0,−→i ,−→j ,−→k)

le produit vectoriel de deux vecteurs−→v1 de coordonnees (x1, y1, z1) et −→v2 de coordonnees (x2, y2, z2) s’ecrit :

−→v1 ∧ −→v2 = (y1z2 − z1y2)−→i + (z1x2 − x1z2)

−→j + (x1y2 − y1x2)

−→k

en notation colonne

−→v1 ∧ −→v2 =

∣∣∣∣∣∣∣x1

y1

z1

∧

∣∣∣∣∣∣∣x2

y2

z2

=

∣∣∣∣∣∣∣y1z2 − z1y2

z1x2 − x1z2

x1y2 − y1x2

Exemple

On reprendre l’exemple de la section A.2, c’est-a-dire de deux bases orthonormeesdirectes B1 (−→x1,

−→y1 ,−→z1 ) et B2 (−→x2,

−→y2 ,−→z2 ) en rotation l’une par rapport a l’autre d’un

angle θ12 autour du vecteur −→z12.

#»x1

#»y1

#»x2

#»y2

θ12

# »z12

Figure A.3 – Figure de calcul

On a les resultats suivant

A.4. PRODUIT MIXTE 89

−→x1 ∧ −→x2 = sin θ12−→z12

−→x1 ∧ −→y2 = cos θ12−→z12

−→x1 ∧ −→z12 = −−→y1

−→y1 ∧ −→x2 = − cos θ12−→z12

−→y1 ∧ −→y2 = sin θ12−→z12

−→y1 ∧ −→z12 = −→x1

−→z12 ∧ −→x2 = −→y2−→z12 ∧ −→y2 = −−→x2

−→z12 ∧ −→z12 =−→0

A.4 Produit mixte

Definition

Le produit mixte des trois vecteurs −→u , −→v et −→w est le nombre reel suivant est note(−→u ,−→v ,−→w ) :

(−→u ,−→v ,−→w ) = −→u . (−→v ∧ −→w )

Interpretation geometrique

La valeur absolue du produit mixte (−→u ,−→v ,−→w ) represente le volume duparallelepipede defini par les trois vecteurs −→u , −→v et −→w .

Figure A.4 – Produit mixte (Pommier and Berthaud, 2010)

Proprietes

1. Permutation des operateurs : (−→u ,−→v ,−→w ) = −→u . (−→v ∧ −→w ) = (−→u ∧ −→v ) .−→w2. Distributivite par rapport a l’addition : (−→u +−→x ,−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w ) +

(−→x ,−→v ,−→w )

3. Multiplication par un reel : (α−→u , β−→v , γ−→w ) = αβγ (−→u ,−→v ,−→w )

4. Permutation des vecteurs : (−→u ,−→v ,−→w ) = − (−→v ,−→u ,−→w )

5. Permutation circulaire : (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→w ,−→u ,−→v ) = (−→v ,−→w ,−→u )


6. Nullite dans le cas de vecteurs coplanaires : si −→u , −→v et −→w sont coplanaires alors

(−→v ,−→w ,−→u ) = 0


Dans une base orthonormee (−→x ,−→y ,−→z ) le produit mixte des trois vecteurs −→v1 decomposantes (x1, y1, z1), −→v2 (x2, y2, z2) et −→v3 (x3, y3, z3) se calcule comme le determinantsuivant :

(−→v1 ,−→v2 ,−→v3) =

∣∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣ = −x3y2z1 + x2y3z1 + x3y1z2 − x1y3z2 − x2y1z3 + x1y2z3

Exemple

Dans le cas de l’exemple de la section A.2, les proprietes du produit mixte peuventetre utiles, par exemple

−→z12. (−→y2 ∧ −→x1) = (−→z12,

−→y2 ,−→x1) = (−→z12 ∧ −→y2) .−→x1 = −→x2.

−→x1 = cos θ12

De plus, on a−→x2. (−→y2 ∧ −→x1) = 0

car les vecteurs −→x2, −→y2 et −→x1 sont coplanaires.

A.5 Division vectorielle

Definition

Soient deux vecteurs−→A et

−→B non nuls et orthogonaux, le resultat de la division

vectorielle est l’ensemble des vecteurs −→x tels que :

−→A ∧ −→x =

−→B

Solution generale

L’ensemble −→x est defini de la maniere suivante, α etant un reel :

−→x =

−→B ∧

−→A

−→A.−→A

+ α−→A

A.6. DERIVEE D’UN VECTEUR 91

A.6 Derivee d’un vecteur

Definition

Par definition la deriver d’un vecteur −→v (t) par rapport a la variable t, dans unebase B (−→x ,−→y ,−→z ) est le vecteur suivant :

d−→vdt

∣∣∣∣B

= limh→0

−→v (t+ h)−−→v (t)

h

Par consequent, la derivee d’un vecteur −→v depend du choix de la base de reference Bdans lequel est exprime le vecteur. En pratique, il est donc necessaire de toujourspreciser par rapport a quelle base est effectuee la derivee.

Proprietes

1. Lnearite :d (α−→v1 +−→v2)

dt

∣∣∣∣B

= αd (−→v1)

dt

∣∣∣∣B

+d (−→v2)

dt

∣∣∣∣B

2. Derivee du produit scalaire :

d (−→v1 .−→v2)

dt

∣∣∣∣B

=d (−→v1)

dt

∣∣∣∣B.−→v2 +−→v1 .

d (−→v2)

dt

∣∣∣∣B

3. Derivee d’un produit vectoriel :

d (−→v1 ∧ −→v2)

dt

∣∣∣∣B

=d (−→v1)

dt

∣∣∣∣B∧ −→v2 +−→v1 ∧

d (−→v2)

dt

∣∣∣∣B

4. Derivee d’un produit mixte :

d (−→v1 ,−→v2 ,−→v3)

dt

∣∣∣∣B

=

(d−→v1

dt

∣∣∣∣B,−→v2 ,−→v3

)+

(−→v2 ,

d−→v2

dt

∣∣∣∣B,−→v3

)+

(−→v1 ,−→v2 ,

d−→v3

dt

∣∣∣∣B

)5. Derivee d’un vecteur dependant d’une fonction :

d−→v (θ (t))

dt

∣∣∣∣B

=d−→v (θ)

dθ

∣∣∣∣B

dθ (t)

dt

Exemples

On se place toujours dans le cas de deux bases orthonormees directes B1 (−→x1,−→y1 ,−→z1 )

et B2 (−→x2,−→y2 ,−→z2 ) en rotation l’une par rapport a l’autre d’un angle θ12 autour du vecteur

−→z12. Les derivee des vecteurs de la B1 (−→x1,−→y1 ,−→z1 ) rapport a la base B1 sont nulles

d−→x1

dt

∣∣∣∣B1

=d−→y1

dt

∣∣∣∣B1

=d−→z1

dt

∣∣∣∣B1

=−→0


La projection des vecteurs

−→x2 = cos θ12−→x1 + sin θ12

−→y1

−→y2 = − sin θ12−→x1 + cos θ12

−→y1

−→z2 = −→z1

En derivant les expressions de droite, on obtient

d−→x2

dt

∣∣∣∣B1

= −θ12 sin θ12−→x1 + θ12 cos θ12

−→y1

d−→y2

dt

∣∣∣∣B1

= −θ12 cos θ12−→x1 − θ12 sin θ12

−→y1

d−→z2

dt

∣∣∣∣B1

=−→0

A.7 Changement de base de derivation

Vocabulaire

La base dans laquelle on exprime les composantes des vecteurs sera indifferemmentappelee, base de calcul ou base de projection. La base dans laquelle est effectuee laderivation, sera indifferemment appelee base de derivation ou referentiel du mouvement.

Derivee d’un vecteur exprime dans la base de derivation

Dans ce cas particulier, la base de projection est confondue avec le referentiel dumouvement choisi. Alors, si un vecteur −→v s’exprime dans un repere R (0,−→x ,−→y ,−→z )associe a cette base B a l’aide de trois composantes (a, b, c), comme les trois vecteursunitaires de cette base sont constants :

d−→v (t)

dt

∣∣∣∣B

=da

dt−→x +

db

dt−→y +

dc

dt−→z

Derivee d’un vecteur exprime dans une base distincte de labase de derivation

Supposons une base de projection B1 (−→x1,−→x2,−→x3) dans laquelle le vecteur −→v

est exprime a l’aide de trois composantes (a1, a2, a3). Supposons aussi une baseB (−→e1 ,

−→e2 ,−→e3 ) attachee au referentiel du mouvement et distincte de la premiere. Lors de

la derivation du vecteur −→v par rapport au referentiel du mouvement B, il faut tenircompte du fait que les vecteurs unitaires de la base B1 dans laquelle est exprime le

A.7. CHANGEMENT DE BASE DE DERIVATION 93

vecteur −→v ne sont pas constants dans la base de derivation B1. Ainsi :

d−→vdt

∣∣∣∣B

=da1

dt−→x1 + a1

d−→x1

dt

∣∣∣∣B

+da2

dt−→x2 + a2

d−→x2

dt

∣∣∣∣B

+da3

dt−→x3 + a3

d−→x3

dt

∣∣∣∣B

Soit en rassemblant les termes :

d−→vdt

∣∣∣∣B

=d−→vdt

∣∣∣∣B1

+

a1

d−→x1

dt

∣∣∣∣B

+ a2d−→x2

dt

∣∣∣∣B

+ a3d−→x3

dt

∣∣∣∣B

A ce stade nous avons besoin de l’expression des derivees des vecteurs unitaires de labase B1 par rapport au referentiel du mouvement B :

d−→x1

dt

∣∣∣∣B

=−→Ω (B1/B) ∧ −→x1

d−→x2

dt

∣∣∣∣B

=−→Ω (B1/B) ∧ −→x2

d−→x3

dt

∣∣∣∣B

=−→Ω (B1/B) ∧ −→x3

donc

a1d−→x1

dt

∣∣∣∣B

+ a2d−→x2

dt

∣∣∣∣B

+ a3d−→x3

dt

∣∣∣∣B

=−→Ω (B1/B) ∧ (a1

−→x1 + a2−→x2 + a3

−→x3) =−→Ω (B/B1) ∧−→v

Le vecteur−→Ω (B1/B) est homogene a l’inverse d’un temps, c’est le taux de rotation de

la base B1 par rapport a la base B. Ces composantes dans la base B1 sont

−→Ω (B1/B) = α−→x1 + β−→x2 + γ−→x3

ou(α, β, γ

)sont les derivees temporelles des trois angles de rotation de la base B1

par rapport a B, (α, β, γ). Finalement, on obtient la formule de derivation dans la basemobile :

d−→vdt

∣∣∣∣B

=d−→vdt

∣∣∣∣B1

+−→Ω (B1/B) ∧ −→v

Quelques proprietes du vecteur vitesse de rotation

1. Composition des vecteurs vitesses de rotations

−→Ω (B3/B1) =

−→Ω (B3/B2) +

−→Ω (B2/B1)

2. Inversion des bases de derivations

−→Ω (B2/B1) = −

−→Ω (B1/B2)


Exemple

Dans le cas de l’exemple de la section A.2, le vecteur vitesses de rotations de B2

par rapport a B1 est −→Ω (B2/B1) = θ21

−→z12

Donc la formule de changement de base de derivation conduit a

d−→x2

dt

∣∣∣∣B1

=d−→x2

dt

∣∣∣∣B2

+−→Ω (B2/B1) ∧ −→x2

= θ21−→z12 ∧ −→x2

= θ21−→y2

De meme on obtientd−→y2

dt

∣∣∣∣B1

= −θ21−→x2

etd−→z2

dt

∣∣∣∣B1

=−→0

La projection de ces expressions conduit aux memes resultats que dans la section A.6.L’avantage de ces expressions, c’est quelles sont plus concises.

Remarque A.2 Les expressions de d−→x2dt

∣∣∣B1

et d−→y2dt

∣∣∣B1

dans la base B2 sont plus simples.

Bien qu’on derive par rapport a la base B1, l’utilisation de la formule de changementde base de derivation conduit a des expressions simples dans la base B2.

Annexe -B-

Les Torseurs

B.1 Torseurs

Le torseur est l’outil privilegie de la mecanique du solide. Il est utilise pourrepresenter le mouvement d’un solide, caracteriser une action mecanique, formuler leprincipe fondamental de la dynamique de maniere generale.

Definitions

Un torseur est un ensemble defini par :

1. Un vecteur note−→R appele la resultante du torseur.

2. Un champ de vecteur−→MA verifiant la relation

−→MB =

−→MA +

−→R ∧−→AB

3.−→MA est appele le moment au point A du torseur.

4. Le torseur

T

se note de la facon suivante au point A

A

T

=

A

−→R−→MA

Propriete B.1 Le champ de moment d’un torseur est equiprojectif

−→MA.−→AB =

−→MB.−→AB

et reciproquement si un champ de vecteur est equiprojectif alors s’est un champ demoment d’un torseur

96 ANNEXE B. LES TORSEURS

Invariants d’un torseur

Entre deux points quelconques A et B de l’espace, l’expression d’un torseur change,mais il existe deux quantites qui se restent inchangees se sont les deux invariants :

Premier invariant la resultante−→R

Second invariant la projection du moment du torseur sur sa resultante

−→MA.−→R =

−→MB.−→R

Point central, axe central et moment central

Un point central est un point ou le moment du torseur a la meme direction quela resultante.

L’ensemble des points centraux est l’axe centrale. Si l’on connaıt un point centrale

H, l’axe centrale est defini par la droite(H,−→R)

engendree par la resultante passant

par H.Le moment central est le moment du torseur en un point quelconque de son axe

central. La norme du moment d’un torseur est minimale pour les points centraux. Parconsequent si le moment d’un torseur est nul en un point, ce point appartient a l’axecentral.

Glisseur

On appelle glisseur, un torseur

G

, s’il existe au moins un point A tel que

G

=

A

−→R−→0

L’expression d’un glisseur reste inchangee tout le long de l’axe(A,−→R)

, c’est-a-dire

si l’on fait glisser la resultante suivant(A,−→R)

le torseur est le meme.

Le second invariant d’un glisseur est nul

−→R.−→MM = 0

et reciproquement si le second invariant d’un torseur est nul alors c’est un glisseur.

Torseur couple

On appelle couple, un torseur

C

, si la resultante

−→R est nulle.

C

=

−

−→0−→C

Un torseur couple est independant du point ou on l’exprime.

B.2. OPERATIONS SUR LES TORSEURS 97

B.2 Operations sur les torseurs

Soient deux torseurs

A

T1

=

A

−→R1−→M1A

,

A

T2

=

A

−→R2−→M2A

,

Comme nous le verrons pour effectuer des operations sur les torseurs, il fautimperativement qu’ils soient exprimes en un meme point.

Egalite

On dit que deux torseurs sont egaux si

−→R1 =

−→R2

−→M1A =

−→M2A

avec ces deux egalite, il est aise de montrer que−→M1A =

−→M2A quelque soit le point B.

On le note cette egalite

A

T1

=

A

T1

∀A

Pour egaler deux torseurs il faut imperativement les exprimer au memepoint.

Addition

La somme de deux torseurs se definit par

A

T

=

A

T1

+

A

T2

=

A

−→R1 +

−→R2−→

M1A +−→M2A

Multiplication par un scalaire

La multiplication d’un torseur par scalaire est definie par

λ

A

T

=

A

λ−→R

λ−→MA

Comoment

Le comoment de deux torseurs est un scalaire defini par

A

T1

⊗

A

T2

=−→R1.−→M2A +

−→M1A.

−→R2

Cette grandeur scalaire ne depend pas du point A utilise pour le calcul.

98 ANNEXE B. LES TORSEURS

Theoreme de decomposition d’un torseur

Tout torseur se decompose de facon unique en la somme d’un glisseur et d’un couple.

A

T1

=

A

G1

+

A

C1

avec

A

C1

=

A

−→0−→M1A.

−→R1

R21

−→R1

avec R21 =−→R1.−→R1

References


Documents

Mécanique - CNRSpimm.ensam.eu/sites/default/files/meca_ge1.pdf · PARIS Formation d’Ingénieurs en Partenariat Polycopié de cours V Section GE Mécanique P06-1MECA0 Cours Magistraux