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Mécanique : tenseurs 1ère partie Algèbre linéaire ... leborgne/IsimathMeca/  · PDF file4 1. Intrductiono 1 Introduction But : comprendre les calculs intrinsèques en mécanique

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    Notes de cours de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgne

    Mcanique : tenseurs 1re partie Algbre linaire : vecteurs et formes linaires duales (contravariance etcovariance), formules de changement de bases, tenseurs, contractions...

    Gilles Leborgne

    13 mai 2013

    Table des matires

    1 Introduction 41.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Espace vectoriel des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Rgle de calcul du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Utilisation du mot canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4.1 Dans l'espace Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Dans un espace de dimension n, exemple P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Isomorphisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.5 Utilisation du mot intrinsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Sur les vecteurs et leur reprsentation dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Sur les produits scalaires et leur utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4 * Relativit restreinte et produit euclidien de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.5 * Relativit restreinte et pseudo-produit scalaire de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Applications linaires 92.1 Applications linaires et formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Bases et caractrisation d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Dnition d'une base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Expressions tensorielles d'une application linaire, et matrices . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.5 Nullit d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.6 Continuit des applications linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.7 Norme d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.8 Normes matricielles et norme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Composition d'applications linaires et produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Noyau, image, isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3.1 Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3 Dual, base duale 183.1 Espace dual E = L(E;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Base duale (ei)i=1,...,n : base des projections parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.3 Dimensions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Bis : reprsentation tensorielle dans L(E;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.4.1 Tenseur lmentaire v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Expression tensorielle d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.5 Application la direntielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4 Bidual E 254.1 Remarque : matrices transpose et adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Espace bidual E et l'isomorphisme canonique J : E E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Base (i) du bidual : oprateurs de drivation dans les directions ei . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1 13 mai 2013

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    5 Formes bilinaires 285.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Matrice d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Continuit d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Dnition d'un produit scalaire, et matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Endomorphisme transpos (relativement un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Endomorphisme symtrique (relativement un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    6 Tenseur : premire approche : forme multilinaire 36

    7 Formules de changement de base 377.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Reprsentation des endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Matrice de passage P de changement de base : ej,new =

    i P

    ij ei,old . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    7.4 Matrice inverse de la matrice de passage : Q = P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 Pour les composantes des vecteurs : [v]new = P

    1.[v]old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 Formules de changement de bases entre bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.7 Pour les composantes des formes linaires : []new = []old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.8 Pour les endomorphismes : [L]new = P

    1.[L]old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.9 Pour les tenseurs de T 02 : [g]new = P

    T .[g]old.P (les produits scalaires en particulier) . . . . . . . 427.10 Pour les tenseurs de T 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.11 Loi d'inertie de Sylvester et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.12 * Pseudo produit scalaire et produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    7.12.1 * Dnition d'un pseudo produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.2 * Dnition du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.3 * Signature du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.12.4 * Transformation de Lorentz (changement de base) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    8 Vecteur covariant vs. vecteur contravariant 478.1 Dnition de vecteur co- ou contra- variant : gomtrie direntielle . . . . . . . . . . . . . . . 478.2 Co- et contra- : traditionnellement attach aux rgles de changement de base . . . . . . . . . . 47

    9 Vecteur de reprsentation d'un vecteur covariant 479.1 Thorme de reprsentation de Riesz et vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    9.1.1 Le thorme de reprsentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.1.2 Rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.1.3 Cas du pseudo-produit scalaire de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    9.2 Le vecteur de reprsentation est un vecteur (est contravariant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 Exemple : le vecteur gradient est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4 Exemple : une force est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.5 Exemple : la quantit de mouvement est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . 559.6 * Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    9.6.1 Approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.2 Approche physique mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.3 Application la mthode du gradient conjugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    9.7 * Mtrique g(, ) associe dans E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    10 Tenseur de Kronecker (contraction) et trace 6010.1 Tenseur de contraction (Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2 Trace d'un endomorphisme et invariance de la trace par changement de base . . . . . . . . . . 61

    10.2.1 Trace d'un tenseur de T 11 (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.2 Trace d'un endomorphisme dans L(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    10.3 Exemple de l'oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4 Exemple des contractions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.5 Contraction de tenseurs de T rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.6 Double contraction de deux tenseurs de T 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    11 Tenseur identit et inverse 6511.1 tenseur unit (identit) . . . .

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