Mécanique : tenseurs 3ème partie calcul sur les surfacesleborgne/IsimathMeca/mecat_surfaces.pdf · Mécanique : tenseurs 3ème partie calcul sur les surfaces ... 10.3 En temps :

Notes du cours d'quations aux Drives Partielles de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgne
Mcanique : tenseurs 3me partie
calcul sur les surfaces
Gilles Leborgne
12 janvier 2010
Table des matires
0 Motivation : calcul classique problmatique 3
1 Surfaces et systmes de coordonnes 4
1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Courbes et vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Drive d'une fonction sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Base biduale : notation
qi(~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Symboles de Christoel 12
2.1 Symboles de Christoel dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Symboles de Christoel sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me direction . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Symboles de Christoel pour la base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 * Formules de changement de base pour les symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Mtrique et systme de coordonnes 19
3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Connexion sur les mtriques : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Connexion sur les mtriques dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Mtrique tue : mtrique de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Mtrique de Killing et symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Volume 24
4.1 Volume algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Volume algbrique et pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Volume positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Normale une surface 27
5.1 Forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Forme normale unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Vecteur normal unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Aire 30
6.1 lment d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Symboles de Christoel nij pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Transport parallle dans Rn 337.0 Transport parallle dans Rn d'une fonction le long d'une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . 337.1 Transport parallle dans Rn d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . . . . . 337.2 Godsique dans Rn : une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1

2
8 Transport parallle sur une surface dans Rn 358.1 Transport parallle sur une surface d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . 35
8.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.1.2 Dans un systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.3 Exemples sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.4 Exemples sur la sphre de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.1.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2 Godsique sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.2 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3 Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9 Formes fondamentales et courbure 45
9.1 Premire forme fondamentale g T 02 (S) (mtrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.2.1 Rappel : premire dnition de la courbure (positive), approche lmentaire . . . . . 469.2.2 Courbure (algbrique) : choix de la dnition de la courbure . . . . . . . . . . . . . . 479.2.3 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . 489.2.4 Interprtation : courbure k(~v,~v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.3 Le tenseur K T 11 (S) des courbures associ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.1 L'endomorphisme K~x associ k~x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.2 Courbures principales, courbure moyenne, courbure gaussienne . . . . . . . . . . . . 51
9.4 Godsique et deuxime forme fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10 Tenseurs des dformations 52
10.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.1 Transpose d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.2 Direntielles premires et secondes ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.3 ... et drives partielles premires et secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.5 Application un mouvement ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 En espace : jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.1 Rappel : transpose d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.2 Jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.3 F (t, ~X) dans une base de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.4 F (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.5 FT (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.6 Remarque : F (t, ~X) dans des bases de (TS0) ~X et (TSt)~x compltes . . . . . . . . . 5810.2.7 Tenseurs des dformations C et C[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.8 Tenseurs des dformations C et C[ dans une base de (TS0) ~X . . . . . . . . . . . . . 60
10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ sous l'hypothse mtriqueeuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3.1 F
t(t, ~X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.3.2 (FT )
t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3.3 Ct
(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3.4 C[
t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.3.5 Tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ et mtrique euclidienne . . . . 6210.4 Vitesse eulrienne ~v(t, ~x), et d~v(t, ~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4.2 ~v[ et d~v[ et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4.3 d~v et d~vT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.5 ~v|| et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.1 Divergence pour les volumes ou pour les surfaces qui glissent sur elles-mmes . . . . 6410.5.2 Dnition de ~v|| sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.3 Connexion ~v|| sur (TSt)~x, et tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.4 Divergence div||~v|| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.5 D[t comme pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 12 janvier 2010

3 0. Motivation : calcul classique problmatique
11 Conservation de la masse 67
11.1 Principe (ou loi) de conservation de la masse pour un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.2 Conservation de la masse et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.2 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.1 Gradients de dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.2 Mtrique euclidienne et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.3 Aire et tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.4 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12 Transport de la normale une surface 71
12.1 Transport d'une surface par le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.2 Gnralisation aux coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3 Transport des vecteurs de base tangents et de la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.4 Relation entre les lments d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A Rappels : dterminants 73
A.1 Forme multilinaire alterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Forme m-linaire alterne et dterminant detB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Dterminant detB(L) d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.4 Dterminant det(L) (volume algbrique) dans Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Dterminant det d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.6 Calculs par rcurrence des dterminants de matrices : mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . 76A.7 det(A) = det(AT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.8 det([L].[M ]) = det([L]) det([M ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.9 Cofacteurs et inverse d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.10 Dterminant det et produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.11 Dterminant detB et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.12 Drive d'un dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notions 79
B.1 Dnitions : varits, cartes, atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.2 Orientation d'une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.3 Direntiation sur une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.4 Fibr tangent une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.5 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.6 p-forme direntielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.7 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.8 Aire d'une surface orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.9 Produit intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.10 Direntielle extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.11 Thorme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C Connexion sur une varit de Rn 88C.1 Connexion et drive covariante pour les champs de vecteurs sur TS . . . . . . . . . . . . . 88C.2 Symboles de Christoel pour une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3 La drivation associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.4 Divergence div~w d'un champ de vecteurs ~w sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.5 Mtrique et connexion riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.6 Connexion sur les formes et sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93C.7 Drive T d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.8 Divergence divT d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.9 Transport parallle d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Rfrences bibliographiques 96
0 Motivation : calcul classique problmatique
On se donne une surface S Rn et une fonction : ~x S (~x) R. Par exemple est unedensit surfacique de masse sur une sphre S, qui peut tre considre comme une fonction dniesur Rn, non nulle pour ~x S et nulle pour ~x / S.
3 12 janvier 2010

4 1. Surfaces et systmes de coordonnes
On cherche dnir les variations de sur la surface S. Ici on ne peut pas se servir de ladrivation classique dans une direction xe ~v : par exemple sur la sphre, pour ~x S, la quantit
limh0
(~x+h~v) (~x)h
(0.1)
ne peut pas servir dnir les variations = d(~x).~v de dans la direction ~v d'un vecteur tangent :le point ~x+h~v n'est alors jamais sur la sphre pour h6=0, et (~x+h~v) = 0 pour h 6=0, et la limiteest + quand (~x) 6= 0.
D'autre part, quand on manipule des champs de vecteurs tangents une surface (ou unevarit), on ne peut pas les comparer avec le calcul classique (ils n'appartiennent pas, en deuxpoints distincts, au mme plan tangent), moins de plonger la surface (ou la varit) dans unespace plus grand la contenant : par exemple en considrant la sphre (varit de dimension 2)dans l'espace plus grand qu'est R3 ; et mme dans ce cas, le vecteur dirence obtenu n'a pas debonnes proprits (cas du vecteur dplacement en mcanique, qui n'est pas un vecteur objectif :sa mesure dpend de l'observateur, i.e. il ne satisfait pas aux rgles de changement de base). De plusun tel plongement n'est pas forcment souhaitable dans toutes les situations, comme par exempledans notre espace-temps en relativit gnrale, qui est une varit quatre dimensions qu'on neveut pas ncessairement plonger dans un espace vectoriel de dimension plus grande. Il s'agit doncd'introduire des outils permettant de calculer sur ces varits. Ces outils permettront galementde mieux comprendre les calculs classiques sur les surfaces.
1 Surfaces et systmes de coordonnes
1.1 Dnition
Soient deux entiers m,n tels que 1 m n. Soit U un ouvert de Rm. On se donne unefonction :
~ :
{U Rm Rn
~q 7 ~x = ~x(~q) = ~(~q).(1.1)
On note :S = ~(U) = Im~. (1.2)
Dnition 1.1 Si ~ : U S est un diomorphisme (i.e. C et inversible et d'inverse C) alors~ est appel un systme de coordonnes sur S.
Et ~q reprsentera les paramtres, U tant l'espace des paramtres, et ~x reprsentera les positionsdans l'espace, tant l'espace gomtrique.
Si m = 1 alors ~ est appele une courbe (rgulire).Si m = n1 alors ~ est appele une hypersurface (paramtre) ou simplement surface (para-
mtre) dans R3.
Dnition 1.2 S = Im~ est galement appele surface (gomtrique).Et dans le cas m = 1, S est appele une courbe (gomtrique).
Dnition 1.3 Soit ~ une surface (paramtre) d'image S = Im~ (surface gomtrique), et soit~x S. Une courbe sur S en ~x est une courbe ~c : t ] , [ ~c(t) S telle que ~c(0) = ~x.
Soit ( ~Ej)j=1,...,m la base canonique de Rm et soit (~bi)n=1,...,n une base de Rn. Ainsi :
~ :
U Rm Rn
~q =mi=1
qi ~Ei =
q1
...qm
|(~E)
7 ~x =nj=1
xj~bj =nj=1
j(~q)~bj =
1(q1, ..., qm)
...n(q1, ..., qm)
|(~b)
.(1.3)
Et on note xi = i(~q) = xi(~q). Ainsi :
~x = ~x(~q) = ~(~q) =
1(q1, ..., qm)
...n(q1, ..., qm)
|(~b)
=
x1(q1, ..., qm)
...xn(q1, ..., qm)
|(~b)
. (1.4)
4 12 janvier 2010

Exemple 1.4 Coordonnes polaires : m = n = 2. Soit P un point de l'espace Rn = R2. On munit
R2 d'un repre cartsien, et P est alors repr l'aide du vecteur ~x = OP =(x1x2
), o (x1, x2)
sont les coordonnes cartsiennes du point (positions gomtriques). On pose U = R+R l'espacedes paramtres, on note ~q = (q1, q2) = (r, ), et on dnit ~ sur U par :
~(r, ) =(r cos r sin
)= ~x. (1.5)
Pour avoir un diomorphisme, on restreint U par exemple U = R+] , [, avec donc S =~(U) =not ouvert de l'espace R2 priv du demi-axe des x 0.
Exemple 1.5 Coordonnes polaires sur le cercle S de rayon R : m = 1 et n = 2.
~() = R(
cos sin
)= ~x, (1.6)
avec par exemple ] , [= U (pour avoir un ouvert).
Exemple 1.6 Coordonnes sphriques : m = n = 3 (voir polycopi prcdent).
~(r, , ) =
r cos cosr sin cosr sin
= ~x, (1.7)r tant la distance au centre (le rayon), la longitude et la latitude.
Exemple 1.7 Coordonnes sphriques sur la sphre de rayon R : m = 2 et n = 3.
~(, ) = R
cos cossin cossin
= ~x, (1.8) tant la longitude et la latitude.
On dispose alors, au voisinage d'un point ~x = ~(~q) x, des courbes de coordonnes en ~xdonnes par, pour i = 1, ..., n :
~c(i)~x (t) = ~(q
1, ..., qi1, qi+t, qi+1, ..., qn),
courbes traces dans . Ces courbes vrient :
~c(i)~x (0) = ~x.
1.2 Vecteur tangent
Soit ~ une surface. Soit ~x S = Im~. Soit ~c une courbe rgulire sur S en ~x.
Dnition 1.8 La limite :
~c (0) = limt0
~c(t) ~c(0)t
not= ~v(~x) (1.9)
est appel un vecteur tangent la courbe en ~x.
Si on considre l'ensemble des courbes sur S en ~x on obtient :
Dnition 1.9 L'ensemble des vecteurs tangents en ~x est not ~V~x, et l'ensemble :
TS~x = {~x} ~V~x (1.10)
est appel l'espace tangent (tangent space) en ~x.
Et on note :TS =
~xS
TS~x. (1.11)
5 12 janvier 2010

Dnition 1.10 Un lment de TS est appel un champ de vecteurs.
Dnition 1.11 Les rgles d'addition et de multiplication par un scalaire dans TS~x sont cellesde ~V~x : avec des notations gnriques :
(~x,~v~x) + (~x, ~w~x) = (~x,~v~x + ~w~x), (~x,~v~x) = (~x, ~v~x), (1.12)
i.e. dans TS~x les calculs sont usuels pour la partie vectoriel. D'o la notation abusive :
TS~xnot= ~V~x, (1.13)
au lieu de (1.10). Et on note abusivement ~v~x au lieu (~x,~v) un lment de TS~x.Et on note ~v un lment de TS (un champ de vecteurs).
1.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangent
Au point ~x = ~(~q) S, pour i = 1, ...,m on dnit les vecteurs :
~ej(~x)df= d~(~q). ~Ej =
~
qj(~q). (1.14)
ou si on prfre par ~ei(~x) =d~c
(i)~x
dt (t=0), vecteur tangent la i-me courbe de coordonne au point ~x.
Proposition 1.12 La famille (~ei(~x))i=1,...,m est une famille libre dans Rn, et on a :
TS~x = {~x} Vect{~e1(~x), ..., ~em(~x)}. (1.15)
Preuve. ~ : U S est un diomorphisme C, donc, notant E = d~(Rm), son applicationlinaire tangente d~(~q) : Rm E est un diomorphisme C, donc inversible donc injective, doncles vecteurs d~(~q). ~Ej sont indpendants (sinon les ~Ej = (d~(~q))1.(d~(~q). ~Ej) seraient lis).
Puis pour une courbe ~x sur S en ~x, on a ~c(t) = ~(q1(t), ..., qm(t)) = ~(~q(t)), d'o ~c (t) =mi=1
~qi (~q(t))q
i(t) d'o ~c (0) =mi=1 q
i(0)~ei(~x) est combinaison linaire de ~ei(~x).
Exercice 1.13 Montrer que pour i = 1, ...,m, le vecteur ~ei(~x) est tangent la i-me courbe decoordonne au point ~x.
Rponse. Par dnition ~c(i)~x (t) = ~(~q + t~Ei) quand ~x = ~(~q), d'o ~c
(i)~x(t) = d~(~q + t ~Ei). ~Ei, d'o
~c(i)~x(0) = d~(~q). ~Ei = ~ei(~x).
Si on dispose d'une base (~bi)i=1,...,n de Rn, toujours avec la base canonique ( ~Ei)i=1,...,m de Rm,on note :
[d~(~q)]E,b =
(d1(~x). ~E1)|b
...d1(~x). ~Em)|b
= [iqj
(~q)] i=1,...,nj=1,...,m
= [~
qj(~q)] =
((~e1(~x)
)|b...(~en(~x)
)|b
)
la matrice rectangle nm de d~(~q), dite matrice jacobienne de ~, relativement aux bases choisies.
Exemple 1.14 Coordonnes polaires (1.5). Avec (1.5), la premire courbe de coordonnes (r varie, x) est un rayon, la deuxime courbe de coordonnes (r x, varie) est un cercle. Et :
~e1(~x) =(
cos sin
)|~E, ~e2(~x) =
(r sin r cos
)|~E
(1.16)
sont les vecteurs au point ~x tangents aux lignes de coordonnes. La matrice de passage des coor-
donnes polaires aux coordonnes cartsiennes est la matrice P =(
cos r sin sin r cos
).
N.B. : ||~e1(~x)|| = 1 et ||~e2(~x)|| = r ; et (~e1, ~e2) forme une base orthogonale non norme.
6 12 janvier 2010

Exemple 1.15 Coordonnes polaires restreintes au cercle S de rayon R (1.6).
~f1(~x) = ~() = R( sin cos
)|~E
(1.17)
est le vecteur de base du systme. Avec les notations de (1.16) on a ~f1 = ~e2.
Exemple 1.16 Le systme de coordonnes sphrique dans R3, cf. (1.7).Les vecteurs de base du systme de coordonnes sont donnes par :
~e1(~x) =
cos cossin cossin
, ~e2(~x) =r sin cosr cos cos
0
, ~e3(~x) =r cos sinr sin sin
r cos
. (1.18)Ces vecteurs sont orthogonaux 2 2 mais non norms :
||~e1(~x)|| = 1, ||~e2(~x)|| = r cos, ||~e3(~x)|| = r.
Ils forment les colonnes de la matrice de passage des coordonnes paramtriques sphriques ~q auxcoordonnes euclidiennes ~x :
P = [d~(~q)] =
cos cos r sin cos r cos sinsin cos r cos cos r sin sinsin 0 r cos
. (1.19)
1.4 Courbes et vecteurs tangents
On se donne une surface rgulire ~ : U Rm Rn d'image S dans Rn.
Proposition 1.17 Pour tout vecteur ~v TS~x il existe une courbe ~c sur S en ~x telle que ~c (0) = ~v.Et mieux : il existe un paramtrage ~ de S tel que ~v soit le premier vecteur de base de ~ en ~x,
i.e. ~v = ~
u1 (~q) =not ~,1(~q) quand ~ : ~u = (u1, ..., um) ~x = ~(~u).
Preuve. Pour simplier les critures, plaons-nous dans R3 et S surface (varit de dimension 2).Soit ~ : U R2 R3 un paramtrage rgulier de la surface S. Soit ~v TS~x o ~x = ~(u0, v0) S.On va chercher une courbe sur S correspondant une premire courbe de coordonnes. On chercheun nouveau paramtrage rgulier ~ : V R2 Rn de S, i.e. tel que ~(V ) = S = ~(U), avec~x = ~(a0, b0), pour lequel on veut que
~a (a0, b0) = ~v.
Choisissons L : (a, b) R2 L(a, b) = (u, v) R2 l'application linaire (de changement debase de V vers U), telle que ~ = ~ L, i.e. telle que ~(a, b) = ~(u, v) quand (u, v) = L(a, b),localement au voisinage de (a0, b0). On veut donc :
~v = ~
a(a, b) = d~(u, v).
L
a(a, b) =
~
u(u, v) +
~
v(u, v) = ~e1(u, v) + ~e2(u, v),
o on a not La (a, b) =(
)(vecteur constant = dL(a, b). ~E1 donn par la premire colonne de L,
car L tant linaire la matrice de L est celle de sa direntielle). On impose donc la premirecolonne de [L] de contenir les composantes de ~v dans la base (~e1, ~e2) du systme ~. On prendcomme deuxime colonne de [L] une colonne indpendante la premire. On dtermine ainsi ~.
Conclusion : on a ainsi obtenue une courbe ~cb0 : a ~(a, b0) sur S qui convient : on a~cb0(a0) = ~x et ~cb0
(a0) = ~v.
Proposition 1.18 Si ~v : S TS est C (un champ de vecteurs sur S) alors il existe une courbe ~csur S t.q. :
d~c
dt(t) = ~v(~c(t)), ~c(0) = ~x, (1.20)
et cette courbe est appele courbe intgrale de ~v, encore donne par ~c(t) = ~x+ t
0~v(~c()) d .
7 12 janvier 2010

Preuve. L'quation (1.20) est une quation direntielle du premier ordre avec condition initiale :on applique le thorme de CauchyLipschitz.
Ou encore, on procde comme pour la dmonstration prcdente avec cette fois ~v(~x) qui serale premier vecteur de base du nouveau paramtrage ~ de la surface, voir polycopi prcdent.
Exemple 1.19 Etant donn un systme de coordonnes ~ : ~q ~x = ~(~q), la i-me ligne decoordonnes est donne par ~x(t) = ~ci(t) = ~(q1, ..., t, ..., qn) au voisinage de t = qi. Par drivation,on obtient ~cit (t) = i~(q1, ..., t, ..., qn) = =
not ~ei(~x(t)) = ~ei(~ci(t)). Et donc la i-me ligne decoordonnes donne le ot de ~ei i-me vecteur de base du systme.
1.5 Drive d'une fonction sur S
Dans le paragraphe 0, ce qu'on voulait en fait, c'est considrer la drive le long d'une courbedans S : si ~c : t ]a, b[ ~x S est une courbe rgulire en ~x = ~c(t) trace dans S, on s'intresse la fonction ( ~c) : t ]a, b[ ( ~c)(t) = (~x) R (densit linique), et on veut connatre lesvariations de le long de la courbe, i.e. on veut connatre :
d( ~c)(0) = limt0
(~c(t)) (~c(0))t
. (1.21)
drive de en ~x le long de la courbe ~c.Et si est dnie sur S, on veut connatre ses variations dans S, i.e. le long de toutes les courbes
dessinables sur S.
Dnition 1.20 Une fonction : S R est dite direntiable en ~x S ssi il existe une formelinaire `~x : TS~x R telle que, pour toute courbe ~c sur S en ~x (donc avec ~c(0) = ~x), on a :
(~c(t)) (~x) = t `~x.~c (0) + o(t). (1.22)
On note alors `~x = d(~x) : TS~x R (forme linaire restriction de ` TS~x). Et on dit que est C1quand d dpend continment de ~x.
Quand est direntiable en ~x sur S on a donc :
d( ~c)(0) = limt0
(~c(t)) (~c(0))t
= d(~x).~c (0).
Et si on prend toutes les courbes en ~x, on peut obtenir les drives dans toute direction tangente S, cf. proposition 1.17, i.e. dans toute direction du plan tangent TS~x S en ~x :
d(~x).~v = limh0
(~c(t)) (~c(0))h
, (1.23)
et le vecteur d(~x).~v ne dpend pas de la courbe ~c choisie telle que ~c (0) = ~v.
1.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systme
Notations. On a ~ : U S bijective C, et on a ~1 : S U bijective C et on note :
~1 :
{S U
~x 7 ~q = ~1(~x) not= ~q(~x),(1.24)
de mme qu'on avait not ~x = ~(~q) = ~x(~q). En particulier en utilisant la base canonique ( ~Ei)de Rm, on note :
~q = ~1(~x) not= ~q(~x) =mi=1
qi(~x) ~Ei =
q1(~x)...
qm(~x)
|~E
=
(~1)1(~x)...
(~1)m(~x)
|~E
. (1.25)
Disposant de la base (~ei(~x))i=1,...,m du systme de coordonnes, base de TS~x espace tangent Sen ~x, on en dduit la base duale (ei(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q), base des formes linaires ei(~x) (TS~x)dnies par, pour tout i, j = 1, ...,m :
ei(~x)(~ej(~x)) = ij , ei(~x)(~ej(~x))
not= = ei(~x).~ej(~x).
(Les ei T 01 (S) sont des formes direntielles.)
8 12 janvier 2010

Proposition 1.21 On a, pour tout i = 1, ...,m :
ei(~x) = dqi(~x), (1.26)
et (dqi(~x))i=1,...,m est la base duale de la base (~ei(~x))i=1,...,m dans le plan tangent TS~x
Preuve. On a (~1 ~)(~q) = ~q, donc d~1(~x).(d~(~q). ~Ej) = ~Ej quand ~x = ~(~q), soit d~q(~x).~ej(~x) =~Ej , soit dqi(~x).~ej(~x) = ij pour tout i, j = 1, ...,m. Et une forme linaire, ici e
i : TS~x R,est entirement dtermine par ses images sur les vecteurs de base, d'o dqi = ei pour touti, j = 1, ...,m.
Remarque 1.22 Quand n = m et ~ = I, on a ~q = ~x et on note (ei) = (dqi) = (dxi) la base dualede la base canonique.
Quand n = m, ~(~q) est un endomorphisme de Rn, et on peut choisir comme base de Rn la basecanonique ( ~Ei)i=1,...n de base duale (dxi). Soit alors P = P (~q) = [d~(~q)] de matrice inverse
Q = Q(~x) = P1(~x) = [d~(~q)]1 = [d~1(~x)] (1.27)
quand ~x = ~(~q).
Proposition 1.23 Les composantes des dqi(~x) dans la base (dxi)i=1,...,n (duale de la base cano-nique) sont crites dans la ligne i de Q :
dqi(~x) =nj=1
Qij(~x) dxj . (1.28)
Preuve. La colonne j de P contient les composantes de ~ej(~x) dans la base (~bi)i=1,...,n, et pardnition de l'inverse P1 = Q, on a : (ligne i de Q) (colonne j de P ) = ij .
Exemple 1.24 Cas m = n = 2. Pour le systme de coordonnes polaires, cf (1.5), o donc on uti-lise la base canonique de R2 S de base duale (dq1(~x)=dx1, dq2(~x)=dx2) en ~x (base indpendantede ~x).
On a r = r(~x), = (~x), on pose P = [d~(~q)] de matrice inverse Q = [d~1(~x)] au point~x = ~(~q) :
Q =(
cos sin sin r
cos r
), (1.29)
et la base duale est donne par (lignes de Q), toujours quand ~x = ~(~q) :
[dr(~x)] = ( cos sin ) , [d(~x)] = ( sin rcos r ) , (1.30)
expression matricielle relative la base duale (dx, dy) de la base canonique, i.e. :dr(~x) = e1(~x) = cos dx+ sin dy not= dr(~x),
d(~x) = e2(~x) = sin r
dx+cos r
dynot= d(~x).
(1.31)
Exemple 1.25 Coordonnes polaires sur le cercle S de rayon R : m = 1 et n = 2, cf. (1.6).On a : ~x S = (~x) U , et la base duale en ~x = ~() est (d(~x)) constitue du seul
lment d(~x) dni par d(~x). ~f1(~x) = 1.Si on souhaite exprimer d(~x) sur la base implicite (dx1, dx2) de R2 S (duale de la base
canonique), alors on retrouve (1.31)2. En eet, ce choix implicite exprime ~f1(~x) = ~e2(~x) sur la base
canonique, donn par (1.16)2, et on vrie que d(~x).~e2(~x) = ( sin Rcos R ) .
(R sin R cos
)= 1.
9 12 janvier 2010

Exemple 1.26 Le systme de coordonnes sphrique dans R3, cf. (1.7), (1.18) et (1.19).Les vecteurs de base tant orthogonaux, les lignes de la matrice inverse Q = P1 sont donnes
par les colonnes de P divises par le carr des normes des vecteurs :
Q =
cos cos sin cos sin sin r cos cos r cos 0 cos sinr
sin sinr
cosr
. (1.32)Et la base duale (dr=e1, d=e2, d=e3) en ~x est exprime dans la base (dxi)i=1,2,3 en lisant leslignes de Q :
dr = cos cosdx+ sin cosdy + sindz,
d = sin r cos
dx+cos r cos
dy,
d = cos sinr
dx sin sinr
dy +cosr
dz.
1.7 Base biduale : notation qi
(~x)
On peut alors driver toute fonction f : ~x S Rm f(~x) R dans la direction des vecteursde base du systme de coordonnes, c'est dire calculer df(~x).~ei(~x) pour i = 1, ...,m l'aide de ladrivation de fonctions composes : ayant f(~x) = (f ~)(~q) quand ~x = ~(~q), on obtient :
(f ~)qi
(~q) = df(~(~q)). ~
qi(~q) = df(~x).~ei(~x) (=
d(f c(i)~x )dt
(t=0)). (1.33)
Notation. On note :
f
qi(~x) df=
(f ~)qi
(~q), donc = df(~x).~ei(~x), (1.34)
appele drive de f en ~x le long de la i-me ligne de coordonne (le long du i-me vecteur de basedu systme de coordonnes).
Dnition 1.27 Quand f : S R, la fonction :
~fdf= f ~, (1.35)
o donc :
~f :
{U R
~q 7 (~f)(~q) df= f(~x) quand ~x = ~(~q),(1.36)
est appele le pull-back de f par ~.C'est la fonction qui ramne la fonction f dans U au sens o elle permet de faire des calculs
sur f dnie en ~x l'aide des paramtres ~q caractrisant ~x.
Donc par dnition de fqi on a :
f
qi(~x) df=
(~f)qi
(~q).
Exemple 1.28 f(x, y) = g(r, ) o on a not g = ~f . Et par dnition fr (x, y) =gr (r, ).
Donc avec le systme ~ des coordonnes polaires, (x, y) = ~(r, ), et donc (r, ) = ~1(x, y).Si f(x, y) = r2 alors fr (x, y) = 2r (vident) (avec la dnition : f(x, y) = (~
f)(r, ) = r2donne fr (x, y) =
df ~fr (r, ) = 2r).
Comme df(~x) L(Rn; R) est linaire, df(~x) est dtermine ds qu'on connat ses valeurs surune base ; en particulier ds qu'on connat les df(~x).~ei(~x) pour tout i, i.e. ds qu'on connat lesfqi (~x) ; et avec (1.33) on dispose ainsi de la formule :
df(~x) =ni=1
f
qi(~x) dqi(~x), (1.37)
donc au sens df(~x) =ni=1
(~f)qi (~q) dq
i(~x) : on a bien df(~x).~ej(~x) =ni=1
(~f)qi (~q)
ij =
(~f)qj (~q).
10 12 janvier 2010

Dnition 1.29 Soit :
qi(~x) :
Rm R
` 7 qi
(~x).` = `.~ei(~x)
appel oprateur de drivation dans la i-me direction. Et ( qi (~x))i=1,...,m est appele base bidualede (~ei(~x))i=1,...,m. Et on note :
qi(~x).df(~x) not=
f
qi(~x). (1.38)
Proposition 1.30 ( qi (~x))i=1,...,m est la base duale de (dqi(~x))i=1,...,m. En particulier on re-
trouve :qi
qj= ij . (1.39)
Preuve. qi (~x).dqj(~x) =df dqj(~x).~ei(~x) =
ji , et c'est bien la base duale. Egalement
qi
qj a lesdeux sens :
1- qi
qj (~q) = 0 car les qj sont des variables deux deux indpendantes,
2- qj
qi (~x) =df ~
qj
qi (~q) =qj~qi (~q) =
(~1)j~qi (~q) avec ((~
1)j~) : ~q ((~1)j~)(~q) = qj ,donc q
j
qi (~x) = ji , les variables q
j tant deux deux indpendantes.
Remarque 1.31 Le calcul (1.33) de df(~x).~ei(~x) n'a pas utilis la dnition classique de la driva-tion dans une direction, savoir df(~x).~ei(~x) = limh0
f(~x+h~ei(~x))f(~x)h : ce calcul n'a de sens que
dans Rn, et n'a pas de sens sur une surface, voir paragraphe 0 (le point ~x+ h~ei(~x) n'est pas sur lasurface en gnral, moins que la surface soit plane par exemple).
Le calcul (1.33) utilise df(~x).~ej(~x) = fqj (~x) = limk0(f~)(~q+k ~Ej)(f~)(~q)
k , o ne sont utiliss
que les points ~y = ~(~q + k ~Ej) de la surface S, et donc on drive le long de la j-me courbe decoordonnes.
Et rsultat similaire pour ~f : ~x S ~f(~x) Rp fonction valeurs vectorielles.En particulier, pour chaque j = 1, ...,m, on dispose des fonctions :
~ej : ~x S Rn ~ej(~x) Rn.
Et, pour chaque ~x , on obtient l'endomorphisme d~ej(~x) L(Rn; Rn) entirement dni par sesvaleurs sur les vecteurs ~ei(~x) de base, et on a ( l'aide de ~ej(~x) = ~ej(~(~q)) qu'on drive) :
d~ej(~x).~ei(~x) =(~ej ~)qi
(~q) not=~ejqi
(~x).
(Drive de ~ej en ~x le long de la i-me ligne de coordonnes.) D'o :
d~ej(~x) =mi=1
~ejqi
(~x) dqi(~x). (1.40)
En eet on a alors d~ej(~x).~ek(~x) =mi=1
~ejqi (~x)(dq
i(~x).~ek(~x)) =ni=1
~ejqi (~x)
ik =
~ejqk
(~x) pour toutk = 1, ...,m. Et si ~v =
ni=1 v
i(~x)~ei(~x), on obtient :
d~ej(~x).~v =ni=1
vi(~x)~ejqi
(~x),
Exemple 1.32 Coordonnes polaires. Avec (1.16), avec la notation (1.34) :
~e1r
(~x) = ~0,~e1
(~x) =( sin cos
)=
1r~e2(~x) =
~e2r
(~x),~e2
(~x) =(r cos r sin
)= r~e1(~x).
(1.41)
Et on a bien sr ~e1 (~x) =~e2r (~x) puisque =
2~r (~q) et ~ C
2 (quand ~x = ~(~q)). Et avec :
d~e1 =~e1r dr + ~e1
d, d~e2 =
~e2r dr + ~e2
d,
11 12 janvier 2010

12 2. Symboles de Christoel
on obtient :
d~e1 =1r~e2 d, d~e2 = r~e1 d +
1r~e2 dr. (1.42)
Les reprsentations matricielles sont donc [d~e1] =(
0 00 1r
)|(~e)
et [d~e2] =(
0 r1r 0
)|(~e)
.
Exercice 1.33 Pour (~e1(~x), ~e2(~x)) base du systme de coordonnes polaires, calculer d~e1(~x) etd~e2(~x) dans la base cartsienne.
Rponse. On passe aux coordonnes euclidiennes soit par changement de base (le faire), soit par calculdirect : avec ~e1(~x) = ~xr , on a d~e1 =
1rd~x + ~x d 1
r; avec d~x = I = ~E1 dx + ~E2 dy et d 1r =
1r2dr =
1r2
(cos dx+ sin dy), on obtient :
d~e1(~x) =1
r( ~E1 dx+ ~E2 dy)
1
r2(x~E1 + y ~E2) (cos dx+ sin dy)
=1
r((1 cos2 ) ~E1 dx cos sin ~E1 dy cos sin ~E2 dx+ (1 sin2 ) ~E2 dy
=1
r
(sin2 cos sin
cos sin cos2
)|(~E)
,
(1.43)
et avec ~e2(~x) =
(0 11 0
)~x, application linaire en ~x, on obtient d~e2(~x) =
(0 11 0
)d~x, soit :
d~e2(~x) = ~E1 dy + ~E2 dx =(
0 11 0
)|(~E)
. (1.44)
On vrie : d~e2(~x). ~E1 = ~E2 et d~e2(~x). ~E2 = ~E1, i.e. d~e2(~x) est la rotation d'angle +2 .
(Pour le calcul direct : matrice de passage P =
(cos r sin sin r cos
)dont la premire colonne donne
~e1(~x) et la seconde ~e2(~x) dans la base euclidienne en ~x quand (r, ) = ~1(~x). La matrice inverse est
Q =
(cos sin sin
rcos r
)dont la 1re ligne contient e1 = dr et la seconde ligne e2 = d. On a donc
~e2 d = (r sin ~E1 + r cos ~E2) ( sin r dx+cos rdy),
~e1 d = (cos ~E1 + sin ~E2) ( sin r dx+cos rdy),
~e2 dr = (r sin ~E1 + r cos ~E2) (cos dx+ sin dy),d'o (1.42) donne (1.43) et (1.44).)
2 Symboles de Christoel
2.1 Symboles de Christoel dans Rn
On traite ici d'abord le cas m = n. Dans ce cas il est usuel de noter S = (ouvert de Rn).Soit ~ : U Rn Rn le systme de coordonnes, avec (~ei(~x))i=1,...,n la base du systme
de coordonnes ~ au point ~x = ~(~q). Le champ de vecteurs ~ei T 10 () est direntiable dedirentielle d~ei T 11 (), et d~ei(~x) L(Rn; Rn) est un endomorphisme de Rn pour ~x . Et levecteur d~ej(~x).~ei(~x) =not (d~ej .~ei)(~x) Rn a un sens pour tout i, j.
Dnition 2.1 Pour ~x , on note kij(~x) les composantes du vecteur (d~ej .~ei)(~x) sur la base(~ek(~x))k=1,...,n :
d~ej(~x).~ei(~x) =k
kij(~x)~ek(~x). (2.1)
Les kij sont donc des fonctions dnies sur par :
kij = ek.(d~ej .~ei) (= dqk.(d~ej .~ei)). (2.2)
Les kij sont appels les symboles de Christoel du systme de coordonnes, et les kij(~x) sont
appels les symboles de Christoel en ~x du systme de coordonnes.
Proposition 2.2 Pour un systme de coordonnes, on a kij = kji pour tout i, j, k = 1, ..., n.
12 12 janvier 2010

Preuve. On a d~ej .~ei(~x) = 2~
qiqj (~q) =2~qjqi (~q) = d~ei.~ej(~x) quand ~x = ~(~q), car ~ est C
donc C2 (thorme de Schwarz donnant 2~
qiqj =2~qjqi dans ce cas).
Exemple 2.3 Si on choisit un systme de coordonnes cartsien, les vecteurs ~ej obtenus sont desvecteurs constants, les d~ej sont donc nuls, et dans ce cas les kij sont tous nuls.
Exercice 2.4 Pour le systme de coordonnes polaires, savoir, avec ~q = (r, ), ~(~q) =(r cos r sin
),
on note 111(~x) = rrr(~x), et de mme pour les autres valeurs en exposant ou indice, notant r au
lieu de 1, et au lieu de 2. Montrer que, en omettant (~x) pour allger les notations :
rrr = rr =
=
rr = 0,
r = r, r = r =
1r, (2.3)
c'est dire que :
d~e1.~e1 = 0, d~e1.~e2 =1r~e2 = d~e2.~e1, d~e2.~e2 = r~e1. (2.4)
Rponse. Voir (1.41).
Exercice 2.5 Pour le systme de coordonnes sphriques (1.7), montrer que les symboles non nulssont donns par :
r = r =
1r, r =
r =
1r, r = r cos2 , r = r, (2.5)
= sin cos, =
= tan. (2.6)
Soit d'une part :d~e1.~e1 = 0,
d~e1.~e2 = d~e2.~e1 =1r~e2,
d~e1.~e3 = d~e3.~e1 =1r~e3,
et d'autre part pour les vecteurs ~e2 et ~e3 tangents la sphre :
d~e2.~e2 = r cos2 ~e1 + sin cos~e3,d~e2.~e3 = d~e3.~e2 = tan~e2,
d~e3.~e3 = r~e1.(2.7)
Rponse. Calcul direct, voir polycopi prcdent.
Proposition 2.6 Si pour i x on a kii = 0 pour tout k = 1, ..., n, alors la i-me ligne decoordonnes au voisinage de ~x est le segment de droite ~c
(i)~x (t) = ~x+t~ei(~x), pour t dans un voisinage
de 0.
Preuve. La i-me ligne de coordonnes est donne par ~c(i)~x (t) = ~(~q+ t ~Ei) quand ~x = ~(~q). On a~c
(i)~x(t) = d~(~q + t ~Ei). ~Ei = ~qi (~q + t ~Ei) = ~ei(~c
(i)~x (t)) (i.e. ~ei est le champ de vecteurs tangent la
ligne), donc ~c(i)~x(t) = d~ei(~c
(i)~x (t)).~c
(i)~x(t) = d~ei(~c
(i)~x (t)).~ei(~c
(i)~x (t)).
Ici par hypothse on a 2~
(qi)2 (~q) = d~ei(~y).~ei(~y) = ~0 pour tout ~y quand ~y = ~(~q). Et donc
~c(i)~x(t) = 0 pour tout t pour la i-me ligne de coordonnes, D'o par double intgration ~c(i)~x est la
droite ~c(i)~x (t) = ~x+ t~c(i)~x(0) = ~x+ t~ei(~x).
2.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S)Si f C(S; R) = T 00 (S) et ~v TS = T 10 (S), on note :
~vfdf= df.~v not= f.~v T 00 (S), (2.8)
o on rappelle que pour ~x S :
df(~x).~v(~x) = limt0
f(~c(t)) f(~c(0))t
,
quand ~x = ~c(0) et ~v(~x) = ~c (0), i.e. ~v est le vecteur tangent une courbe ~c t.q. ~c(0) = ~x.
13 12 janvier 2010

2.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approche
On reprend U Rm, ~ : U Rn avec m < n, et S = ~(U) (varit de dimension m dans Rn).Problme rencontr : reprenons par exemple les coordonnes polaires sur le cercle S et (1.41) :
on a ~e2(~x) TS~x vecteur tangent au cercle, et on a :
d~e2(~x).~e2(~x) = r~e1(~x) / TS~x,
bien que seul ~e2(~x) de l'espace tangent intervienne : sa drivation le long de lui-mme est unvecteur qui n'est pas dans l'espace tangent TS~x au cercle. On obtient d'ailleurs les forces d'inertiecentrifuges dduite de l'acclration
2~2 = d~e2(~x).~e2(~x) (drive seconde) quand on reste sur le
cercle.Et la partie de d~e2(~x).~e2(~x) perpendiculaire au cercle, au sens du produit scalaire euclidien
de R2 n'intervient pas dans la description le long du cercle, autrement dit, les forces d'inertieperpendiculaires au cercle n'ont pas d'inuence sur le mouvement sur le cercle.
On convient donc de ne considrer que les projections perpendiculaires : soit :
ProjTS~x : Rn TS~x, (2.9)
l'oprateur de projection orthogonal sur l'espace tangent TS~x au sens du produit scalaire euclidien :pour tout ~v Rn :
ProjTS~x .~v TS~x, dni t.q. (ProjTS~x .~v, ~w)Rn = (~v, ~w)Rn ~w TS~x. (2.10)
(Ou si on prfre (~v ProjTS~x .~v, ~w)Rn = 0 pour tout ~w TS~x, i.e. ~v ProjTS~x .~v TS~x.)
Dnition 2.7 On note :
:
{TS T 11 (S)
~w 7 ~w, ~w.~v df= ProjTS .(d~w.~v)not= ~v ~w,
(2.11)
dite drivation covariante de ~w le long de ~v sur l'espace tangent. Le sens de (2.11) est : pour tout~x S :
(~v ~w)(~x)df= ProjTS~x .(d~w(~x).~v(~x)). (2.12)
Dnition 2.8 La connexion riemannienne sur TS est l'oprateur :
:
{TS TS TS
(~v, ~w) 7 (~v, ~w) df= ~v ~w.(2.13)
Dnition 2.9 Quand f C(S; R) et ~w TS, on pose (formule de Leibniz de drivation d'unproduit), pour tout ~v TS :
(f ~w).~v = (f.~v) ~w + f (~w).~v TS, (2.14)
et on note :(f ~w) = f.~w + f ~w T 11 (S). (2.15)
Exemple 2.10 Quand n = m, on a ProjTS~x = I et :
(~v ~w)(~x) = d~w(~x).~v(~x) = (~w.~v)(~x)
la drive covariante usuelle de ~w dans la direction ~v.
Exemple 2.11 La connexion sur le cercle est dnie sur les champs de vecteurs ~w TS de laforme ~w(~x) = (~x)~e2(~x). Et d~w(~x) est dni sur l'espace tangent au cercle par sa valeur sur levecteur de base ~e2(~x). On a :
d~w(~x).~e2(~x) = (d(~x).~e2(~x))~e2(~x) + (~x)(d~e2(~x).~e2(~x) =
(~x)~e2(~x) (~x) r ~e1(~x),
D'o :
(~e2 ~w)(~x) =
(~x)~e2(~x).
14 12 janvier 2010

2.4 Symboles de Christoel sur S
Dnition 2.12 Pour ~x S, pour i, j = 1, ...,m, on note kij(~x) les composantes de (~ei~ej)(~x) =ProjTS~x(d~ej .~ei)(~x) sur la base (~ek(~x))k=1,...,m :
(~ei~ej)(~x) =mk=1
kij(~x)~ek(~x), i, j = 1, ...,m. (2.16)
Les kij sont donc des fonctions dnies sur par :
kij = ek.~ei~ej (= dqk.~ei~ej). (2.17)
Les kij sont appels les symboles de Christoel du systme de coordonnes, et les kij(~x) sont
appels les symboles de Christoel en ~x du systme de coordonnes.
Proposition 2.13 Pour un systme de coordonnes, on a kij = kji pour tout i, j, k = 1, ...,m.
Preuve. On a d~ej .~ei(~x) = 2~
qiqj (~q) =2~qjqi (~q) = d~ei.~ej(~x) quand ~x = ~(~q), car ~ est C
donc C2 (thorme de Schwarz donnant 2~
qiqj =2~qjqi dans ce cas). D'o ProjTS~x(d~ej .~ei(~x)) =
ProjTS~x(d~ei.~ej(~x)).
Exemple 2.14 Sur le cercle, pour la connexion riemannienne, 222 est l'unique symbole de Chris-toel, et 222 = 0, voir (2.4).
Exemple 2.15 Sur la sphre, pour la connexion riemannienne, voir (2.7) :
222 = 0, 322 = sin cos,
223 = tan, 323 = 0, 233 = 0, 333 = 0. (2.18)
2.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me direction
Proposition 2.16 et notation. Soit un champ de vecteurs ~w sur S et un systme de coordonnes~ : U S de base (~ei(~x)) en ~x = ~(~q). On note wi(~x) les composantes de ~w(~x) sur la base dusystme en ~x :
~w(~x) =mi=1
wi(~x)~ei(~x).
On a, pour j = 1, ...,m :
~ej ~w = (mi=1
wi
qj+
mi,k=1
ijkwk)~ei
not=i
wi|j~ei, (2.19)
c'est dire wi|j = dqi.~ej ~w est donn par :
wi|j =wi
qj+
mk=1
ijkwk. (2.20)
C'est la i-me composante de la drive covariante de ~w le long de la j-me ligne de coordonnes.
Preuve. De ~w =i w
i~ei on dduit d~w.~ej =i(dw
i.~ej)~ei+k w
k(d~ek.~ej), et dwi.~ej(~x) = wi
qj (~x)et (2.16).
Exemple 2.17 Quand n = m, dans le systme de coordonnes cartsien, posant :
~w =i
wi ~Ei, (2.21)
on a d~w =i dw
i ~Ei, au sens d~w. ~Ej =i(dw
i. ~Ej) ~Ei :
wi|j =wi
xjnot= wi,j .
Et la direntielle d~w(~x) a pour matrice [d~w]|~E = [wi
xj ] i=1,...,nj=1,...,n = [wi,j ] i=1,...,n
j=1,...,n.
15 12 janvier 2010

Proposition 2.18 Si on dispose de deux champs de vecteurs ~w,~v sur S et du systme de coor-donnes ~ : U S de base (~ei(~x)) en ~x = ~(~q), on a en ~x, pour les composantes dans cettebase :
(~v ~w)i =mj=1
wi|jvj i.e. =
j
wi
qjvj +
mj,k=1
ijkwkvj , (2.22)
o on a pos ~w =mi=1 w
i~ei, ~v =mi=1 v
i~ei et ~v ~w =mi=1(~v ~w)i~ei.
Preuve. On a ~v ~w =j v
j~ej ~w, d'o le rsultat avec (2.19).
Dnition 2.19 La drive de Lie dans Rn est l'oprateur dni par :
L~v ~w = d~w.~v d~v.~wnot= [~v, ~w], (2.23)
et la drive de Lie sur S est l'oprateur dni par :
L~v ~w = ~v ~w ~w~vnot= [~v, ~w]. (2.24)
Corollaire 2.20 Pour les composantes de la drivation de Lie L~v ~w, les symboles de Christoeldisparaissent : pour ~w,~v TS et i = 1, ...,m :
[~v, ~w]i =mj=1
wi
qjvj
mj=1
vi
qjwj (=
mj=1
wi|jvj
mj=1
vi|jwj),
quand [~v, ~w]i est la i-me composante de [~v, ~w] sur la base du systme de coordonnes, i.e quand[~v, ~w] =
mi=1[~v, ~w]
i~ei. En d'autres termes, les composantes de [~v, ~w] dans la base du systme decoordonnes ne dpendent pas des symboles de Christoel.
Preuve. Pour un systme de coordonnes, on a ijk ikj = 0 pour tout i, j, k.
2.6 Divergence
Rappel dans Rn :
Dnition 2.21 La divergence d'un champ de vecteurs wTRn est la trace de sa direntielle :
div~w = Tr(d~w). (2.25)
(Comme ~w T 10 (Rn), on a d~w T 11 (Rn) est la trace est bien dnie.)
Sur la surface S, l'oprateur joue le rle de d (drivation) : pour ~w TS = T 10 (S), on a~w T 11 (S), et :
Dnition 2.22 La divergence d'un champ de vecteurs ~w TS est la trace de sa direntielle :
div~w = Tr(~w). (2.26)
Exemple 2.23 Cas n = m dans le systme de coordonnes cartsien, posant :
~w =i
wi ~Ei, (2.27)
on a d~w =i dw
i ~Ei, au sens d~w. ~Ej =i(dw
i. ~Ej) ~Ei, de matrice [d~w] = [(wi
xj
)] i=1,...,nj=1,...,n
. Ainsi :
div~w =ni=1
wi,i (=ni=1
wi
xi). (2.28)
Exemple 2.24 Cas n m. Dans le systme de coordonnes ~, posant :
~w(~x) =mi=1
wi(~x)~ei(~x), (2.29)
on a :
div~w =mi=1
wi|i (=mi=1
wi
qi+
mi,k=1
iikwk). (2.30)
16 12 janvier 2010

2.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approche
Dans Rn (casm = n), soit T 01 () une forme direntielle, donc avec (~x) L(Rn; R) = Rn
(forme linaire). On a pour tout champ de vecteurs ~v T, la fonction :
.~v : ~x (.~v)(~x) df= (~x).~v(~x)
est C(; R) = T 00 () de drive d(.~v) T 01 () dnie par, pour tout champ de vecteurs ~w T :
d(.~v). ~w = (d.~w).~v + .(d~v.~w) not= (d.~v + .d~v). ~w
(formule de Leibniz). Et ainsi la direntielle d est donne par :
(d.~w).~v = d(.~v). ~w .(d~v.~w) not= d(~w,~v), (2.31)
la dernire notation grce l'isomorphisme canonique entre L(TS~x;L(TS~x; R)) = L(TS~x;TS~x) etL(TS~x, TS~x; R) = L2(TS~x; R) qui permet d'crire d(~x) L2(TS~x; R), et donc d T 02 ().
Pour les connexions sur S (cas m n), soit T 01 (S) une forme direntielle et ~v TS unchamp de vecteurs. Alors .~v est une fonction, sa direntielle d~v.~w est remplace par ~v.~w =~w~v = ProjTS(d~v.~w), et on va galement remplacer d.~w par ~w = .~w :
Dnition 2.25 La drive covariante d'une forme direntielle T 01 (S) sur S dans la directiondu champ de vecteurs ~w TS est la forme direntielle .~w = ~w T 01 (S) dnie par, pourtout ~v TS :
(.~v). ~w = (.~w).~v + .(~v.~w), (2.32)soit :
(.~w).~v df= (.~v). ~w .(~v.~w)not= (~w).~v
not= (~w,~v).(2.33)
Et le tenseur T 02 (S) ainsi dni est appel drivation de sur S.Et quand S = est un ouvert de Rn (cas m = n), on note = d.
En particulier, si f C(S; R) et T 01 (S), alors f T 01 (S) et :
~w(f) = (~wf)+ f (~w), (2.34)
au sens ~w(f).~v = (df.~w)(.~v) + f (~w.~v), et :
(f) = (f)+ f (). (2.35)
Notations. Si f C, alors = df T 01 (S) et :
(df) not= 2f not= d2f|TSnot= d2f (2.36)
est ainsi dni sur toute varit S Rn.
2.8 Symboles de Christoel pour la base duale
Proposition 2.26 Pour (ei(~x)) = (dqi(~x)) la base duale de la base (~ei(~x)) = ( ~qi (~q)) d'un systmede coordonnes ~ : ~q U ~x S, on a :
~eiej = mk=1
jikek, (2.37)
(on vrie la cohrence de la position relative des indices) o les kij sont les symboles de Christoeldu systme ~, cf. (2.16)).
Preuve. Cas m = n : on a ej .~ei = ji , d'o e
j .~ei : S R est une fonction constante, et donc(ej .~ei) = 0 = ej .~ei + ej .~ei, et donc dans Rn :
(ej .~ek).~ei + ej .(~ei.~ek) = 0 = (ej .~ei).~ek + jik,
d'o (2.37).
17 12 janvier 2010

Exemple 2.27 Pour le systme de coordonnes polaires on a donc :
de1.~e1 = 0 (= rrre1 rre2),de1.~e2 = re2 = r d (= rre1 re2),
de2.~e1 = 1re2 1
rd (= rre1 re2),
de2.~e2 = 1re1 = 1
rdr (= re1 e2).
(2.38)
Exemple 2.28 Sur le cercle de R2 et la base polaire rduite ~e2, on a donc :
e2 = 0, (2.39)
car ~e2e2 = 0.
Exemple 2.29 Sur la sphre S(0; R) de R2, on a~e2e2 = 222e2223e3,~e2e3 = 322e2323e3,~e3e3 = 332e2 233e3, donc avec (2.18) :
~e2e2 = tane3, ~e2e3 = sin cose2 = ~e3e2, ~e3e3 = 0. (2.40)
2.9 * Formules de changement de base pour les symboles de Christoel
Le champ de vecteurs d~ej .~ei n'est pas objectif, c'est dire il dpend de l'observateur : enparticulier le vecteur d~ej .~ei ne satisfait pas aux formules de changement de base ( cause de laprsence des symboles de Christoel).
Et si ~ei(~x) et ~ej(~x) sont tangents la surface, le vecteur d~ej(~x).~ei(~x) ne l'est pas en gnralcf. (2.7).
La drive de Lie corrige ces deux problmes. Voir polycopi prcdent, ce paragraphe, et lessuivants.
On dispose ici de deux reprsentations paramtriques de S, i.e. on dispose de deux systmes decoordonnes ~1 : U1 S et ~2 : U2 S (avec U1, U2 ouverts de Rm espaces des paramtres).
Un point ~x S s'crit donc des deux manires ~x = ~1(~q1) = ~2(~q2).Notons (~ei;(~x) = (d~(~q). ~Ei)i=1,...,m la base du systme de coordonnes ~ pour = 1, 2,
toujours avec ( ~Ei)i=1,...,m la base canonique de Rm et ~x = ~(~q).
Exercice 2.30 Soit ~ : ~q2 U2 ~(~q2) = ~q1 U1 le diomorphisme de changement deparamtres, avec donc ~2 = ~1 ~. N.B. : on note souvent ~ = ~q1 c'est dire :
~(~q2)not= ~q1(~q2).
Soit P (~x) la matrice de changement de base de (~ei;1(~x)) vers (~ei;2(~x)) (pour chaque ~x donn),i.e. :
~ej;2(~x) =i
P ij (~x)~ei;1(~x),
c'est dire la colonne j de P (~x) donne les composantes de ~ej;2(~x) dans la base (~ei;1(~x)).Avec ~(~q1) =
i
i(~q1) ~Ei, montrer que :
P ij (~x) =i
qj2(~q2) (
not=qi1
qj2(~q2)), (2.41)
c'est dire P (~x) = [d~(~q2)] est la matrice de l'application linaire d~(~q2) dans les bases canoniquesde Rn (au point ~x = ~2(~q2)).
On appliquera les rsultats au cas Rn = R2, ~1 = I les coordonnes cartsiennes et ~2 lescoordonnes polaires.
Rponse. C'est un rsultat gnrique pour un changement de variables. Ici on a d~(~q2). ~Ej = ~qj (~q2) =ii
qj(~q2) ~Ei, et ~ei;(~x) =df d~(~q). ~Ei = ~qi (~q).
18 12 janvier 2010

19 3. Mtrique et systme de coordonnes
Comme ~2 = ~1 ~, on a d~2(~q2) = d~1(~q1) d~(~q2), et donc :
~ej;2(~x) = d~2(~q2). ~Ej = d~1(~q1).(d~(~q2). ~Ej) =i
i
qj(~q2)d~1(~q1). ~Ei =
i
i
qj(~q2)~ei;1(~x).
On a donc bien P ij (~x) =i
qj(~q2).
Si ~1 = I (coordonnes cartsiennes) et ~2 les coordonnes polaires, on a ~q1 = ~x et ~q2 = (r, ) avec
~(r, ) =
(x = 1(r, ) = r cos y = 2(r, ) = r sin
). Et P = [d~(r, )] =
(cos r sin sin r cos
)est la matrice de passage des
coordonnes cartsiennes aux coordonnes polaires (c'est dire de la base canonique vers la base polaire).
Exercice 2.31 Suite. Montrer que, pour tout i, j :
d~ej;2.~ei;2 =`m
P `j Pmi d~e`;1.~em;1 +
k
2k
qi2qj2
~ek;1. (2.42)
(On peut remplacer 2k
qi2qj2par
Pkjqi2
ou par Pki
qj2, correspondant au hessien de k, mais on perd
alors la visualisation de la symtrie en i, j.)
Ici les notations sont abusives au sens o toutes les quantits sont prises en ~x sauf 2k
qi2qj2qui
prend ses valeurs en ~q2 = ~12 (~x). (2.42) s'crit galement :k
kij;2~ek;2 =
(`m
P `j Pmi
`m;1 +
2
qi2qj2
)~e;1, (2.43)
et donne, avec ~e;1 =kQ
k~ek;2 o Q = P
1 :
kij;2 =
(`m
P `j Pmi
`m;1 +
2
qi2qj2
)Qk
=
(`m
q`1qi2
qm1qi2
`m;1 +2q1
qi2qj2
)qk2q1
.
(2.44)
On appliquera les rsultats au cas Rn = R2, ~1 = I les coordonnes cartsiennes et ~2 les coor-donnes polaires.
Rponse. On a ~ej;2 =k P
kj ~ek;1, d'o d~ej;2.~ei;2 =
k(dP
kj .~ei;2)~ek;1 +
k P
kj (d~ek;1.~ei;2).
On a P kj (~x) =k
qj(~q2), avec ~q2 = ~12 (~x), d'o dP
kj (~x) = d
k
qj(~q2).d~
12 (~x), d'o dP
kj (~x).~ei;2(~x) =
d k
qj(~q2).(d~
12 (~x).~ei;2(~x)) = d
k
qj(~q2). ~Ei =
2k
qi2qj2
(~q2).
On a d~ek;1.~ei;2 =` P
`i d~ek;1.~e`;1. D'o en sommant les deux rsultat on obtient (2.42).
D'o immdiatement (2.43), d'o (2.44).
En particulier, si ~1 = I et ~2 est le systme polaire, on obtient kij;2 =`
2q`1qi2q
j2
qk2q`1
: on remarque
donc que les symboles de Christoel en polaires ne sont pas nuls, bien qu'ils le soient en cartsien : cessymboles ne peuvent donc pas tre le composantes d'un tenseur puisqu'ils ne satisfont pas aux formules dechangement de base.
3 Mtrique et systme de coordonnes
3.1 Dnition
Dnition 3.1 Dans S varit de dimensionm dans Rn, une mtrique riemannienne est un champde tenseurs g T 02 (S) qui est symtrique dni positif. I.e. c'est une application g : ~x S g(~x) =not g~x L(Rn,Rn; R) qui est C telle que g~x dnit un produit scalaire dans Rn (formebilinaire symtrique dnie positive). I.e. g~x est bilinaire et vrie g~x(~v, ~w) = g~x(~w,~v) pour tout~v, ~w Rn, et g~x(~v,~v) > 0 pour tout ~v 6= ~0.
Dnition 3.2 La mtrique euclidienne sur S est la mtrique riemannienne telle que g~x est leproduit scalaire euclidien (, )Rn restreint TS. Autrement dit g~x(~v(~x), ~w(~x)) =df (~v(~x), ~w(~x))Rnpour tout ~v, ~w TS.
19 12 janvier 2010

Soit un systme de coordonnes ~ : U Rm S Rn, de base (~ei(~x) = ~qi (~q))i=1,...,m et debase duale (ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q).
En un point ~x de S, une mtrique est un produit scalaire dans TS~x. On notera g(~x) = g~x deproduit scalaire (cette mtrique en ~x) :
g~x =ij
gij(~x) ei(~x) ej(~x) o donc g~x(~ei(~x), ~ej(~x)) = gij(~x), (3.1)
soit :g =
ij
gijei ej avec g(~ei, ~ej) = gij . (3.2)
Donc pour ~v =i vi(~x)~ei(~x) et ~w =
i w
i(~x)~ei(~x) (expression sur la base du systme decoordonnes) on a :
g~x(~v, ~w) =ij
gij(~x)vi(~x)wj(~x) = [~v]T .[g~x].[~w].
Remarque 3.3 En gnral la mtrique euclidienne sur S n'est pas le push-forward de la mtriqueeuclidienne de Rm restreinte U . En eet, par dnition du pull-back de g(, ) on a :
(~g)(~q)( ~Ei, ~Ej) = g(~x)(~ei(~x), ~ej(~x)) = gij(~x) 6= ij ,
et donc (~g) n'est pas la mtrique euclidienne dans U . Sauf si (~ei(~x)) est une b.o.n. indpendam-ment de ~x pour la mtrique g(, ), ce qui n'est pas le cas pour la surface = le cercle dans Rn oubien = la sphre dans R3 (dans ces cas la base du systme n'est pas norme).
Exemple 3.4 La mtrique euclidienne dans Rn est donne dans le systme cartsien usuel par :
(, )Rn = g~x =ni=1
dxi dxi, [gij ] = I,
o (dxi) est la base duale de la base canonique ( ~Ei), et dans ce cas gij(~x) = ( ~Ei, ~Ej)Rn = ij estindpendant de ~x.
Exemple 3.5 Dans R2, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes polaires comme :
(, )Rn = g~x = dr dr + r2 d d, [gij(~x)] =(
1 00 r2
). (3.3)
L'expression dans la base des polaires est obtenue en calculant les g~x(~ei(~x), ~ej(~x)), ou bien enappliquant les formules de changement de base [g]new = PT .[g]old.P des formes bilinaires, o P
est la matrice de passage P = [d~(r, )] =(
cos r sin sin r cos
).
Exemple 3.6 Sur le cercle de R2, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes polairescomme :
g~x = r2 d d, [gij ] = [g11] = ( r2 ) ,
puisque (~e2(~x), ~e2(~x))Rn = r2.
Exemple 3.7 Dans R3, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes sphriques comme :
g~x = dr dr + r2 cos2 d d + r2 d d, [gij ] =
1 0 00 r2 cos2 00 0 r2
. (3.4)
Exemple 3.8 Sur la surface de la sphre de R3, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnessphriques comme :
g~x = r2 cos2 d d + r2 d d, [gij ] =(r2 cos2 0
0 r2
). (3.5)
20 12 janvier 2010

Exercice 3.9 Exprimer dans R3, l'aide des coordonnes sphriques, la direntielle dg de lamtrique (3.4).
Rponse. On a dg T 03 (R3) dni par les dg.~v T 02 (R3) donns par, avec (3.4) :
dg.~v = (d2r.~v) dr + dr (d2r.~v)
+ [2r cos2 (dr.~v) r2 sin cos (d.~v)]d d + r2 cos2 ((d2.~v) d + d (d2.~v))
+ 2r(dr.~v)d d+ r2((d2.~v) d+ d (d2.~v)).
Et on a dg.~e1 = ~0 = dg.~e2 = dg.~e3, en utilisant les symboles de Christoel, c'est dire dg = 0.C'tait de fait vident, car c'est la direntielle de la mtrique euclidienne qui est constante donc de
direntielle nulle : dg = 0.
3.2 Connexion sur les mtriques : premire approche
Dans le cas m = n, on pose = d oprateur de drivation. Dans le cas m n :
Dnition 3.10 Connaissant (2.31), si , T 01 (S) sont deux formes direntielles sur S, ondnit la drive covariante de T 02 (S) dans la direction ~v par (formule de Leibniz dedrivation d'un produit) :
( ).~v df= (.~v) + (.~v) not= ~v( ). (3.6)
et la drive sur S est note :
( ) = () + (). (3.7)
Et si T T 02 (S) est somme de tenseurs lmentaires, T =mi,j=1 i j , alors T est dni par
linarit (donc T T 03 (S)) :
T.~v =m
i,j=1
(i j).~vnot= ~vT. (3.8)
3.3 Connexion sur les mtriques dans une base
Soit un systme de coordonnes ~ : U S de base (~ei(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q) et de base duale(ei(~x))i=1,...,m. On a en particulier, avec (2.37), pour tout i, j, k = 1, ...,m :
(ei ej).~eknot= ~ek(ei ej)
df= (~ekei) ej + ei (~ekej)
= m`=1
ki` e` ej
m`=1
ki` ei e`.
(3.9)
D'o, T T 02 (S) tant de la forme T =ij Tije
i ej , on a :
~vTdf=ij
(dTij .~v) ei ej +ij
Tij ~v(ei ej). (3.10)
Cette dnition est en particulier applicable aux mtriques T = g. Ainsi par exemple pourk = 1, ...,m :
g.~ek =ij
gijqk
ei ej ij`
gijikè` ej
ij`
gijjkè
i e` = ~ekg, (3.11)
soit :
g.~ek =ij
gijqk
ei ej ij`
g`j`kèi ej
ij`
gi``kèi ej . (3.12)
Et g.~v =mk=1 v
kg.~ek = ~vg =mk=1 v
k~ekg pour tout ~v =mk=1 v
k~ek TS~x.
21 12 janvier 2010

3.4 Mtrique tue : mtrique de Killing
On se donne une mtrique g(, ) sur S.
Dnition 3.11 Dans le cas m = n, la mtrique est tue dans ssi dg = 0 dans T 03 ().Dans le cas m n, la mtrique est tue sur S ssi :
g = 0 (3.13)
dans T 03 (S).Une mtrique vriant cette proprit est appele mtrique de Killing.
N.B. : Wilhlem Killing, mathmaticien allemand du dbut du 20me sicle, tudiant de Weiers-trass, a donn son nom ce type de mtrique. Comme une mtrique de Killing est annule pardirentiation (par dnition), il est tentant de parler de mtrique tue.
Exemple 3.12 Dans Rn la mtrique euclidienne g =i dx
i dxi est un tenseur constant (ind-pendant de ~x), donc toute drivation la tue : on a dg = 0 (puisque d2xi = 0).
Proposition 3.13 Si g(, ) T 02 (S) est la mtrique euclidienne restreinte S, alors g(, ) est unemtrique de Killing, i.e. g = 0 sur S.
Preuve. Soit ~ : U Rn S Rn est un systme de coordonnes (donc avec m n), de base(~ei)i=1,...,m. On a :
gij = g(~ei, ~ej) = (~ei, ~ej)Rn ,
donc :
gij .~ek = (~ei.~ek, ~ej)Rn + (~ei,~ej .~ek)Rn =m`=1
`ikg`,j + `jkgi,`,
d'o g.~ek = 0 avec (3.12), vrai pour tout k = 1, ...,m.
Exemple 3.14 Vrication dans le cas des polaires et S = C(~0, R) le cercle de rayon R (ici m = 1et n = 2). La mtrique euclidienne de R2 restreinte TS est une mtrique de Killing.
Ici g~x est dni sur TS~x, i.e. uniquement sur Vect{~e2(~x)}. Et on a g = g22 e2 e2 = r2 d det avec (3.12) o i = j = ` = 2 :
g.~e2 = (r2
r2 r2 )d d = 0 0 0,
puisque = 0. On a bien g~x.~e2 = 0.
Proposition 3.15 Soit g T 02 (S) une mtrique. S'il existe un systme de coordonnes pour lequelcette mtrique est tue, alors elle l'est dans tout systme de coordonnes.
Preuve. La dnition d'une mtrique tue est g = 0 indpendante de toute base (de toute repr-sentation dans une base) : c'est une dnition intrinsque. Si g est une mtrique, si sa direntielleg vrie g = 0, on a g = 0 quelle que soit l'expression de g dans un systme de coordonnes,d'o le rsultat.
Exemple 3.16 La mtrique euclidienne de Rn exprime en polaire est une mtrique de Killing(ici m = n = 2).
Par exemple pour la mtrique euclidienne exprime en coordonnes polaires, cf. (3.3), on a :
dg~x.~v = (d2r.~v) dr + dr (d2r.~v) + (d(r2).~v)d d + r2(d2.~v) d + r2d (d2.~v),
avec en particulier d(r2) = 2r dr. En particulier on a, avec les symboles de Christoel (2.38) :
dg~x.~e1 = 0 + 0 + 2r d d + r2(1r
)d d + r2(1r
)d d = 0,
et :
dg~x.~e2 = r d dr r dr d + 0 + r21rdr d + r2 1
rd dr = 0.
Et donc pour tout ~v (donc combinaison linaire de ~e1 et ~e2) on a dg~x.~v = 0. Donc la direntiationtue la mtrique euclidienne, ce qu'on savait dj, bien qu'ici la mtrique euclidienne soit exprimeen polaire.
Exemple 3.17 Voir l'exercice 3.9.
22 12 janvier 2010

3.5 Mtrique de Killing et symboles de Christoel
Soit un systme de coordonnes ~ de base (~ei(~x))i=1,...,m en ~x, de base duale (ei(~x))i=1,...,men ~x. Soit g(, ) une mtrique de Killing donne (i.e. telle que g = 0). On note :
g(~x) =mi,j
gij(~x) ei(~x) ej(~x).
Proposition 3.18 Pour tout i, j, k = 1, ...,m on a :
gijqk
=m`=1
(gi``jk + gj`ìk), (3.14)
les ijk = ei.(~ej .~ek) tant les symboles de Christoel. D'o, pour tout i, j, k = 1, ...,m :
2m`=1
ìkgj` =gijqk
+gkjqi
gikqj
, (3.15)
permettant de calculer les ijk l'aide des gij .
Preuve. On a g(~x) =ij gij(~x) e
i(~x) ej(~x). D'o :
dg.~ek =ij
(dgij .~ek) ei ej +ij
gij (dei.~ek) ej +ij
gij ei (dej .~ek),
et g tant une mtrique de Killing on obtient avec (2.37) :
0 =ij
gijqk
ei ej ij`
gijikè` ej
ij`
gijjkè
i e`
=ij
gijqk
ei ej ij`
g`j`kiei ej
ij`
gi``kjei ej .
Et (ei ej) tant une base on obtient (3.14). D'o :
gijqk
+gkjqi
gikqj
=n`=1
(gi``jk + gj`ìk) +
n`=1
(gk``ji + gj``ki)
n`=1
(gi``kj + gk`ìj)
=n`=1
[`jk(gi` gi`) + ìk(gj` + gj`) + `ji(gk` gk`)],
i.e. (3.15) qui se lit galement 2[Lk].[g] = [Bk], soit 2[Lk] = [Bk].[g]1, o [Lk] est la matrice des(Lk)ij =
jik pour i, j = 1, ..., n et o [Bk] est la matrice des (Bk)ij =
gijxk
+ gkjxi gikxj pour
i, j = 1, ..., n. Connaissant g on en dduit donc les ijk.
Le corollaire suivant sera utilis lors de l'tude des surfaces, cas m = n1 et ~en = ~n tant alorsun vecteur normal unitaire la surface :
Corollaire 3.19 Notons g =ni,j=1 gije
iej une mtrique de Killing dans Rn. Supposons que ~enest norm et orthogonal tous les autres vecteurs de base, i.e. g~x(~en(~x), ~ej(~x)) = nj pour tout j.La matrice [g] = [gij ] de g est donc de la forme :
[g] =
g11 . . . g1,n1 0...
......
gn1,1 . . . gn1,n1 00 . . . 0 1
. (3.16)Comme les gnj sont constants (soit = 0 soit = 1) pour tout j = 1, ..., n, on a, pour tout j, k =1, ..., n :
gnjqk
= 0. (3.17)
D'o avec j = n dans (3.15) :
2nij = gijqn
. (3.18)
23 12 janvier 2010

24 4. Volume
Exemple 3.20 Sur la sphre de R3, soit ~q = (, , r), et soit le systme de coordonnes ~x =~(~q) = ~(, , r) = ~(r, , ) o ~ est le systme de coordonnes sphriques (1.7). Posons ~f1(~x) =~,1(~x) =
~ (~x) = ~,2(~x) = ~e2(~x) (suivant un parallle), ~f2(~x) = ~,2(~x) =
~ (~x) = ~,3(~x) = ~e3(~x)
(suivant un mridien) et ~f3(~x) = ~,3(~x) = ~r (~x) = ~,1(~x) = ~e1(~x) (vecteur radial unitaire). La
matrice de g dans cette base est [g]|~f =
r2 cos2 0 00 r2 00 0 1
= [gij ], cf. exercice 3.7.D'o (3.18) donne :
311 = 12g11q3
= r cos2 = r, 322 = 12g22q3
= r = r, 333 = 0 = rrr,
et les 3ij = rij = 0 quand i 6= j. Dj vu avec (2.5) et (2.6).
4 Volume
Ici m = n. Voir annexe A pour les dterminants.
4.1 Volume algbrique
Dans Rn le volume algbrique T 0n(Rn) (non ncessairement positif) limit par n vecteurs~w1, ... ~wn Rn est par dnition le dterminant :
(~w1, ..., ~wn)df= det(~w1, ..., ~wn). (4.1)
4.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobien
Soit ~ : ~q U Rn ~x = ~(~q) Rn un systme de coordonnes dans .Dans l'espace U des paramtres, on prend comme base la base canonique note ( ~Ei)i=1,...,m,
de base duale note (dXi)i=1,...,m.Dans l'espace gomtrique Rn muni de la mtrique euclidienne, on se xe une base orthonorme
(~bi)i=1,...,n. On pose :
~x = ~(~q) =ni=1
i(~q)~bi =
1(~q)...
n(~q)
|(~bi)
=
x1(~q)...
xn(~q)
|(~bi)
. (4.2)
Ainsi :
d~(~q) =ij
i
qj(~q)~bj dXi = [
i
qj]|~E,~b
not= [(P~x)ij ], (4.3)
et [P~x] = [d~(~q)] = [i
qj (~q)] = [Pij ] est la matrice jacobienne de ~ en ~q relativement aux bases ( ~Ei)
et (~bi).La base du systme est (~ej(~x))j=1,...,n o :
~ej(~x) = d~(~q). ~Ej =ni=1
i
qj(~q)~bi =
1
qj (~q)...
n
qj (~q)
|(~bi)
, (4.4)
et les composantes de ~ej(~x) sont donnes par la j-me colonne de [P~x]. (Autrement dit c'est lamatrice de l'endomorphisme P~x =
ij P
ij~bi bj de Rn qui fait passer de la base (~bi) la base
(~ei(~x)) : on a P~x.~bj =i P
ij~bi = ~ej(~x).)
Et la base duale est (ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,n en ~x = ~(~q).
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25 4. Volume
Ainsi, quand ~x = ~(~q), le jacobien de ~ en ~q :
J~(~q)df= det[d~(~q)] = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = det(P~x) (4.5)
est le volume limit par les vecteurs ~ei(~x). Le calcul matriciel redonne ce rsultat puisque :
det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = det(d~(~q). ~E1, ..., d~(~q). ~En) = det(d~(~q)) det( ~E1, ..., ~En),
et det( ~E1, ..., ~En) = 1 est le volume limit par les vecteurs de la base canonique.
Soit n vecteurs ~wj , j = 1, ..., n. On note ij et wij(~x) les composantes des ~wj respectivement
dans les bases (~bi) et (~ei(~x)) :
~wj =i
ij~bi =
i
wij(~x)~ei(~x), (4.6)
o donc wij(~x) = dqi(~x). ~wj . On note :
[W~x] = [wij(~x)] = ( [~w1]|~e(~x) . . . [~wn]|~e(~x) ) (4.7)
la matrice dont les colonnes sont les composantes des ~wj dans la base du systme. On a en ~x = ~(~q) :
~wj =k
wkj (~x)~ek(~x) =k
wkj (~x)d~(~q). ~Ek =ki
wkj (~x)i
qk(~q)~bi
=i
([d~(~q)][W~x]
)ij~bi (=
i
ij~bi),
(4.8)
d'o ij = ([d~(~q)][W~x])ij , d'o :
[ij ] = [d~(~q)][W~x],
et donc :det[ij ] = det[d~(~q)] det[W~x] = J~(~q) det[W~x]. (4.9)
Et (~bi) tant une b.o.n. pour la mtrique euclidienne, on a (~w1, ..., ~wn) = det[ij ](volume limitpar les ~wj). D'o :
Proposition 4.1 Le volume ~x en ~x = ~(~q) exprim en dans la base du systme de coordonnesest donn par, pour tout ~w1, ..., ~wn Rn avec ~wj =
i w
ij(~x)~ei(~x) :
~x(~w1, ..., ~wn) = J~(~q) det[wij(~x)]. (4.10)
En particulier on retrouve :(~e1(~x), ...~en(~x)) = J~(~q) (4.11)
est le volume limit par les vecteurs de base du systme.
4.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtrique
Proposition 4.2 Soit g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme :
g~x =ij
gij(~x) dqi(~x) dqj(~x), (4.12)
et :[g~x] = [g~x(~ei(~x), ~ej(~x))] = [gij(~x)] (4.13)
la matrice de g(, ) dans cette base. Quand J~(~q) = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) > 0, i.e. quand la base dusystme en ~x = ~(~q) est directe, on a :
J~(~q) =
det[g~x] (4.14)
Et l'lment de volume en ~x s'crit :
~x =
det[g~x] dq1(~x) ... dqn(~x),
soit encore :
~x(~w1, ..., ~wn) =
det[g~x] det[wij(~x)], quand ~wj =i
wij(~x)~ei(~x), (4.15)
i.e. quand les wij(~x) sont les composantes des ~wj dans la base (~ei(~x)) du systme.
25 12 janvier 2010

26 4. Volume
Preuve. On a [d~(~q)] matrice jacobienne de ~ dont les colonnes sont les composantes des~ej(~x) dans une base orthonorme B = (~bi). Donc : (det[d~(~q)])2 = det[d~(~q)]T .det[d~(~q)] =det([d~(~q)]T .[d~(~q)]) = det([~ei(~x)]T|~b.[~ej(~x)]|~b) = det[(~ei(~x), ~ej(~x))Rn ] o (, )Rn est le produit sca-laire euclidien, et par hypothse gij = g~x(~ei(~x), ~ej(~x)) = (~ei(~x), ~ej(~x))Rn puisque g(, ) est lamtrique euclidienne.
Exemple 4.3 En polaire [g~x] =(
1 00 r2
), et J~q =
det[g~x] = r, et donc le volume limit par
~v1 = v11~e1(~x) + v21~e2(~x) et ~v2 = v
12~e1(~x) + v
22~e2(~x) est donn par
(~v1, ~v2) = r det(v11 v
12
v21 v22
),
ce qu'on vrie immdiatement : ici ||~e1|| = 1, ||~e2|| = r, ~e1 ~e2, la base (~e1, ~e2r ) est orthonorme,
donc ~v1 = v11~e1 + v21~e2 = v
11(~e1) + rv
21(~e2r ), idem pour ~v2, et donc (~v1, ~v2) = det
(v11 v
12
rv21 rv22
).
4.4 Volume algbrique et pull-back
On considre le tenseur volume algbrique T 0n() dni en (4.1).Par dnition du pull-back d'un tenseur, ici (~ T 0n(U)) pull-back du tenseur lment de
volume , on a (~)(~q) T 0nRn~q dni par, pour tout ~W1, ..., ~Wn TRn~q :
(~)~q( ~W1, ..., ~Wn) = ~x((~ ~W1)(~x), ..., (~ ~Wn)(~x))
= ~x(d~(~q). ~W1, ..., d~(~q). ~Wn)
= det(d~(~q). ~W1, ..., d~(~q). ~Wn)
= J~(~q) det( ~W1, ..., ~Wn).
(4.16)
puisque (~ ~Wj)(~x) =df d~(~q). ~Wj TRn~x est le push-forward de ~Wj .Dans U l'espace des paramtres ~q notons dV l'lment de volume algbrique, avec donc, pour
tout ~Wi TRn~q :dV ( ~W1, ..., ~Wn) = det( ~W1, ..., ~Wn). (4.17)
Donc (4.16) donne dans T 0n(U) :J~ dV = ~, (4.18)
i.e. le pull-back de l'lment de volume (en ~x) par ~ est J dV (en ~q). Soit encore, quand ~x = ~(~q) :
~(~q) = J~(~q) dV =
det[g~x] dV , (4.19)
quand J~(~q) = det[d~(~q)] > 0. D'o :
Dnition 4.4 On dnit la mtrique C[ T 20 (U) comme tant le pull-back de la mtriqueeuclidienne g(, ) = (, )Rn :
C[df= ~g, (4.20)
i.e. pour tout ~q U , avec ~x = ~(~q) et ~wi = d~(~q). ~W push-forward de ~Wi, :
C[~q( ~W1, ~W2)df= g~x(~w1, ~w2). (4.21)
On obtient :
Proposition 4.5 C[ = ~g T 20 (U) est une mtrique sur U , et :
~(~q) =
det[C[(~q)] det =
det[(~g)(~q)] det, (4.22)
dni un forme multilinaire alterne qui permet de calculer le volume gomtrique det(~w1, ..., ~wn)dans en eectuant le calcul sur la conguration de rfrence U .
Preuve. C[~q est trivialement un produit scalaire, ~ tant un diomorphisme. Et on a (4.19).
26 12 janvier 2010

27 5. Normale une surface
4.5 Volume positif
Dnition 4.6 Le volume (positif) limit par n vecteurs est donn par la valeur absolue dudterminant de ces vecteurs :
dv~x(~v1, ..., ~vn) = |det(~v1, ..., ~vn)|.
N.B. : la valeur absolue du jacobien sert tenir compte d'un changement ventuel d'orientationde la base (mme orientation si le jacobien det(d~(~q)) > 0 et orientation oppose sinon), le volume(positif) d'un domaine tant toujours positif (ou nul), donc indpendant de l'orientation choisie.Voir cours d'intgration.
La formule de changement de base dans les intgrales est :~x
f(~x) dx1...dxn =~qU
f(~(~q)) |J~(~q)| dq1...dqn, (4.23)
le volume d'un domaine tant donn par le cas f = 1.
5 Normale une surface
Soit ~ : U Rn1 S Rn une hypersurface rgulire. La mtrique g(, ) choisie sur Sest la mtrique euclidienne (permettant le calcul des volumes usuels), mtrique qui sera souventexprime dans la base du systme. La base dans U sera la base canonique de Rn1.
5.1 Forme normale
L'espace tangent TS~x la surface en ~x = ~(~q) est engendr par les vecteurs tangents, pouri = 1, ..., n1 :
~ei(~x) = d~(~q). ~Ei, (5.1)
ces vecteurs tant indpendants puisque ~ est une surface rgulire.
Dnition 5.1 La forme normale en ~x la surface ~ est la forme linaire :
`~x : ~v Rn `~x(~v)df= det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~v). (5.2)
(`~x est linaire car le dterminant est une forme multilinaire et l'usage du dterminant impose lamtrique euclidienne dans Rn.)
La forme normale la surface ~ est la forme direntielle ` T 01 (S) dnie par `(~x) = `~x.
Proposition 5.2 La forme normale en ~x est nulle sur TS~x : elle vrie :
Ker`~x = TS~x. (5.3)
Preuve. Les ~ei(~x) pour i = 1, ..., n1 tant indpendants, et `~x tant donn par (5.2), `~x(~v) = 0quivaut ~v combinaison linaire des ~ei(~x), i.e. ~v TS~x.
Exemple 5.3 Dans R2 et les coordonnes polaires ~ : (r, ) ~x = ~(r, ) =(r cos r sin
). On note
~e1(~x) = ~r (r, ) =(
cos sin
)et ~e2(~x) = ~ (r, ) =
(r sin r cos
)les vecteurs de base du systme.
Soit S = C(~0, R) le cercle de rayon R (notre surface en 2-D), donn par ~x = ~R() =
R
(cos sin
), de vecteur tangent :
~f1(~x) = ~R () = R( sin cos
)= ~e2(~x).
La forme normale au cercle `~x tant linaire est donne par son image sur les vecteurs d'unebase en ~x. Et (~e1(~x), ~e2(~x)) est une base en ~x. On a `~x(~e1(~x)) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = R, et`~x(~e2(~x)) = det(~f1(~x), ~e2(~x)) = 0, d'o :
`~x = Rdr(~x) (5.4)
est la forme normale au cercle.
27 12 janvier 2010

Exemple 5.4 Pour le cercle ~() = ~x =(R cos()R sin()
)= ~R() parcouru en sens inverse, de
vecteur tangent :
~f1(~x) = ~ () = R(
sin() cos()
)= ~e2(~x).
On dduit `~x(~e1(~x)) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = det(~e1(~x), ~e2(~x)) = R, `~x(~e2(~x)) = 0, d'o :
`~x = Rdr(~x). (5.5)
(La forme normale a le signe oppos par rapport l'exercice prcdent.)
Exemple 5.5 Pour un rayon r ~x = ~(r, 0) =(r cos 0r sin 0
), le vecteur tangent en ~x est :
~f1(~x) =~
r(r, 0) =
(cos 0sin 0
)= ~e1(~x).
On a `~x.~e1(~x) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = 0, et `~x.~e2(~x) = det(~f1(~x), ~e2(~x)) = r, d'o :
`~x = r d(~x).
En particulier `~x.~e2(~x)||~e2(~x)|| = 1 est le volume (ici l'aire en 2-D) limit par les vecteurs normaux
orthogonaux ~e1(~x) et~e2(~x)||~e2(~x)|| .
5.2 Forme normale unitaire
On rappelle que la mtrique utilise sur S est la mtrique riemannienne g(, ) = (, )g = (, )Rndans Rn, et on note ||~v|| = ||~v||g =
(~v,~v)g =
(~v,~v)Rn = ||~v||Rn la norme associe.
Remarque 5.6 On a tendance crire ||~v|| = ||~v||Rn quand implicitement ~v est exprime dans labase canonique, et on a tendance crire ||~v|| = ||~v||g quand implicitement ~v est exprime dansla base du systme, en particulier sur une surface o g(, ) est la mtrique euclidienne restreinte la surface. Auquel cas gij(~x) = g(~ei(~x), ~ej(~x)) = (~ei(~x), ~ej(~x))Rn donne les composante de g(, ) =(, )Rn dans la base (duale) du systme, et en particulier gii = ||~ei||2Rn .
On rappelle que la norme ||`|| d'une forme linaire ` Rn est donne par :
||`|| = sup~vRn
|`(~v)|||~v||g
.
Exemple 5.7 g(, ) = dr dr+ r2 d d en coordonnes polaires, et ||~v||g =v1 + r2v2 quand
~v = v1(~x)~e1(~x) + v2(~x)~e2(~x). D'o ||`|| = sup~vRn|v1(~x)1(~x)+v2(~x)2(~x)|
v1(~x)+r2v2(~x)quand i(~x) = `(~ei(~x)).
Dnition 5.8 `~x tant la forme linaire normale en ~x la surface S, cf. (5.2), on appelle formenormale unitaire la surface en ~x la forme linaire :
n[~x =`~x||`~x||
not= n[(~x). (5.6)
Ainsi n[ T 01 (S) est champ de formes sur S.
On a donc :
n[~x.~v =`~x.~v
||`~x||,
pour tout ~v Rn.
Proposition 5.9 Si ~v T~xS alors n[~x(~v) = 0. Et ||n[~x|| = 1.
Preuve.|n[~x.~v|||~v|| =
`~x.~v||~v||||`~x|| donne ||n
[~x|| =
||`~x||||`~x|| = 1 et n
[~x.~v = 0 si ~v T~xS.
28 12 janvier 2010

Exemple 5.10 Suite de l'exemple 5.3 : ||`~x|| = supv1,v2|v1`~x(~e1(~x))
|(v1)2+r2(v2)2| 12= supv1
|v1R||v1| = R. D'o :
n[~x = dr(~x). (5.7)
au point ~x = ~(R, ).
Exemple 5.11 Suite de l'exemple 5.4 :
n[~x = dr(~x). (5.8)
au point ~x = ~() = ~(R,).
Exemple 5.12 Suite de l'exemple 5.5 : ||`~x|| = supv1,v2|v2`~x(~e2(~x))
|(v1)2+r2(v2)2| 12= supv2
|v2R||Rv2| = 1 =
`. ~e2(~x)||~e2(~x)|| . D'o :
n[~x = `~x = r d(~x), (5.9)
au point ~x = ~(r, 0).
5.3 Vecteur normal unitaire
En un point ~x Rn, disposant d'un produit scalaire g~x(, ) dans Rn, l'aide du thorme dereprsentation de Riesz, la forme linaire `~x (resp. n[~x) peut tre reprsente par un vecteur
~~x(resp. ~n~x) :
!~~x Rn, ~v Rn, `~x(~v) = (~~x, ~v)g~x avec ||~~x||g~x = ||`~x||,!~n~x Rn, ~v Rn, n[~x(~v) = (~n~x, ~v)g~x avec ||~n~x||g~x = 1 (= ||n[~x||).
(5.10)
Proposition 5.13 et dnition. ~n TS (est un champ de vecteurs sur S) qui vrie :
~n~x =~~x
||~~x||get n[~x.~n~x = g~x(~n~x, ~n~x) = 1 (= (~n~x, ~n~x)g~x = ||~n~x||2g).
Et :~v TS~x, (~n~x, ~v)g~x = 0.
Les vecteurs ~~x et ~n~x sont normaux la surface S en ~x, et ~n~x est appel vecteur normal unitaire la surface ~ en ~x.
Et ~n~x est tel que la base (~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~n(~x)) est une base directe, i.e. tel que :
det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~n(~x)) > 0. (5.11)
(Le volume algbrique limit par les vecteurs de la base est positif.)
Preuve. On a g(~n~x ~~x||~~x||g
, ~v) = n[~x.~v `x||`~x|| .~v = 0 pour tout ~v TS~x, par bilinarit de g(, )
et dnition de n[~x. Donc ~n~x =~~x||~~x||g
. Donc n[~x.~n~x = 1 = g(~n~x, ~n~x) est donn par le thorme de
Riesz (ou bien calcul : g(~n~x, ~n~x) = 1||~~x||2gg(~~x, ~~x) = 1).
Puis pour ~v TS~x on a `~x.~v = 0 = ||`~x||n[~x.~v, d'o n[~x.~v = 0 = (~n~x, ~v)g~x .Puis `~x.~~x = ||~~x||2g 0, d'o det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~) 0, d'o (5.11) (le dterminant est une
forme multilinaire).
Exemple 5.14 Cercle dans le sens trigonomtrique : suite des exemples 5.3 et 5.10 :
~n~x = ~e1(~x), (5.12)
i.e. le vecteur normal unitaire pointe vers l'intrieur du cercle.
Exemple 5.15 Cercle dans le sens inverse : suite des exemples 5.4 et 5.11 :
~n~x = +~e1(~x), (5.13)
i.e. le vecteur normal unitaire pointe vers l'extrieur du cercle.
29 12 janvier 2010

30 6. Aire
Exemple 5.16 Suite des exemples 5.5 et 5.12 : ~n(~x) = ~e2(~x)r .
Exemple 5.17 On se place en coordonnes sphriques (1.7), et on se place sur la sphre de rayon R(x). Et on note
~x = ~R(, ) =
R cos cosR sin cosR sin
(= ~(R, , )).On dispose des deux vecteurs tangents la sphre (du systme de coordonnes ~R) :
~f1(~x) =~R
(, ) = ~e2(R, , ),
~f2(~x) =~R
(, ) = ~e3(R, , ).
Et on note :~f3(~x) =
~
r(R, , ) = ~e1(R, , ).
Donc ici (~f1, ~f2, ~f3) est la base (~e2, ~e3, ~e1) dans la notation des coordonnes sphriques.La forme normale est donne par `~x.~v = det(~f1, ~f2, ~v), donc `~x.~e2(~x) = `~x.~e3(~x) = 0 et
`~x.~e1(~x) = det(~e2, ~e3, ~e1) = R2 cos, ce qui donne :
`~x = R2 cos dr.
D'o :n[(~x) = dr(~x), ~n(~x) = ~e1(~x).
On retrouve le rsultat attendu.
Remarque 5.18 Une notation utilise pour ~~x est :
~ = ~e1 ... ~en1,
o (~e1, ..., ~en1) est une base de l'hyperplan tangent T~xS, qui donne donc :
(~e1 ... ~en1, ~v)Rn = det(~e1, ..., ~en1, ~v)
pour tout ~v. En particulier dans R3 on retrouve (~a ~b,~c)Rn = det(~a,~b,~c) ; d'o `(~v) =det(~e1, ~e2, ~v) = (~e1 ~e2, ~v)R3 , et on obtient ~n = ~e1~e2||~e1~e2|| Vect{~e1, ~e2}.
Proposition 5.19 ~n~xn[~x est l'application linaire de projection orthogonale sur ~n~x relativementau produit scalaire g~x(, ) :
(~n~x n[~x).~v = v~n~x = ~v (5.14)
quand ~v = ~v|| + ~v = ~v|| + v~n~x T~xS g Vect{~n~x}, o :
v = n[~x.~v (= (~n~x, ~v)g~x). (5.15)
Preuve. Par dnition de la contraction on a (~n~x n[~x).~v = (n[~x.~v)~n~x.
Remarque 5.20 En mcanique quantique on note |~v =df ~v un vecteur et `| =df ` une formelinaire. Et on note |~v`| =df ~v` l'application linaire de projection sur ~v, et on note |~v`|.|~w =`|~w|~v. Ainsi on note ~n~x n[~x = |~n~xn[~x|.
6 Aire
6.1 lment d'aire
On reprend notre surface ~ avec en chaque ~x son vecteur normal unitaire ~n(~x) = ~n~x. La mtriquesur S = Im~ est la mtrique euclidienne g(, ) = (, )Rn .
30 12 janvier 2010

31 6. Aire
Dnition 6.1 On appelle lment d'aire en ~x la forme multilinaire alterne d~x = d(~x) dniesur TS~x par :
d~x :
{(TS~x)n1 R
(~v1, ..., ~vn1) d(~x)(~v1, ..., ~vn1)df= det(~v1, ..., ~vn1, ~n~x).
(6.1)
En particulier d(~x)(~e1(~x), ..., ~en1(~x)) donne l'aire limite par les vecteurs tangents de la basedu systme de coordonnes sur la surface.
Dnition 6.2 L'lment d'aire vectoriel est :
d~~x = ~n(~x) d~x. (6.2)
(Il sert mesurer les uxS~f(~x).d~~x =
S~f(~x).~n(~x) d~x.)
6.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur SOn reprend notre systme de coordonnes ~ : U Rn1 S Rn sur S.On note : U = U] , [ Rn Rn le systme de coordonnes dni par, pour tout
~q Rn1 :((~q, z)) = ~(~q) + z ~n~(~q) (= ~x+ z ~n~x), (6.3)
o donc z donne l'altitude au dessus de la surface .
Exemple 6.3 Voir exemple 5.17 (sphriques) o ~q = (, ), z = r et (, , z) = ~(z, , ).
: U (U) est un diomorphisme (pour assez petit), et est donc galement un systmede coordonnes. On note z = qn et donc (~q, z) = (q1, ..., qn1, qn) U .
Comme ~n = z =qn , on note :
~en(~x) = ~n(~x). (6.4)
La base du systme est (~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~en(~x)) (base directe) en ~x = ~(~q), o ~ei(~x) = qi (~q)pour i = 1, ..., n. Sa base duale est (e1(~x), ..., en(~x)) = (dq1(~x), ..., dqn(~x)) o en particulier :
en(~x) = dqn(~x) = n[(~x), (6.5)
o n[ est la forme linaire normale unitaire.
Remarque 6.4 Soit (~bi)i=1,...,n une b.o.n. de Rn en ~x avec ~bn = ~n(~x). On a :
d~q =n
i,j=1
(d~q)ij~bi dXj , (6.6)
o donc [d~q] = [(d~q)ij ] est la matrice jacobienne de (relativement (~bi) et la base canoniquede Rn U).
6.3 Aire
d(~q) est un endomorphisme de Rn de matrice [d~q], matrice n n, et on pourra considrerdet[d~q]. Alors que [d~~q] est une matrice n (n1) et son dterminant n'a pas de sens.
Quand, pour la mtrique euclidienne, on dispose d'une base orthonorme B = (~bi) en ~x, on a :
det[d(~q)]] = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = d(~x)(~e1(~x), ..., ~en1(~x))not= J(~q), (6.7)
les ~ei(~x) tant exprims sur la base B.Et l'lment d'aire est not sur TS~x :
d(~x) = J(~q) dq1(~x) ... dqn1(~x). (6.8)
Soit g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme :
g~x =n
i,j=1
gij(~x) dqi(~x) dqj(~x). (6.9)
On a :
[gij ] i=1,...,nj=1,...,n
=(
[gij ] i=1,...,n1j=1,...,n1
00 1
)(6.10)
puisque g(~ei, ~n) = in par dnition de ~n~x.
31 12 janvier 2010

32 6. Aire
Proposition 6.5 Avec g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme , cf. (6.9),et d exprime l'aide de sa matrice [F ], cf. (6.6), on a, quand ~x = ~(~q) :
d(~x) = J(~q) dq1(~x) ... dqn1(~x),
=
det[gij(~x)] i=1,...,n1j=1,...,n1
dq1(~x) ... dqn1(~x),
=
det[gij(~x)] i=1,...,nj=1,...,n
dq1(~x) ... dqn1(~x),
(6.11)
o J(~q) = det(d(~q)) est le jacobien du systme de coordonne en ~q, cf. (6.7).
Preuve. On applique (4.14).
Exemple 6.6 Dans R2, pour le cercle ~ : [0, 2] ~x =(R cos R sin
), on a ~n(~x) = ~e1(~x),
cf. (5.12), et donc d(~x)(~e1(~x)) = det(~e1(~x), ~n(~x)) = 0 et d(~x)(~e2(~x)) = det(~e2(~x), ~n(~x)) =det(~e1(~x), ~e2(~x)) = R :
d(~x) = Rd(~x).
Ici l'lment d'aire positif s'appelle lment de longueur (cas 1-D), et en particulierSd = 2R
est bien la longueur du cercle.
Exemple 6.7 Dans R2, pour le cercle ~ : [0, 2] ~x =(R cos()R sin()
), le vecteur tangent
est ~f(~x)

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