Mcanique : tenseurs 3me partie calcul sur les surfaces leborgne/IsimathMeca/mecat_ : tenseurs 3me partie calcul sur les surfaces ... 10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien Det D[sous l'hypothse mtrique

<ul><li><p>Notes du cours d'quations aux Drives Partielles de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgne</p><p>Mcanique : tenseurs 3me partie </p><p>calcul sur les surfaces</p><p>Gilles Leborgne</p><p>12 janvier 2010</p><p>Table des matires</p><p>0 Motivation : calcul classique problmatique 3</p><p>1 Surfaces et systmes de coordonnes 4</p><p>1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Courbes et vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Drive d'une fonction sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Base biduale : notation </p><p>qi(~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>2 Symboles de Christoel 12</p><p>2.1 Symboles de Christoel dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Symboles de Christoel sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me direction . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Symboles de Christoel pour la base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 * Formules de changement de base pour les symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>3 Mtrique et systme de coordonnes 19</p><p>3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Connexion sur les mtriques : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Connexion sur les mtriques dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Mtrique tue : mtrique de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Mtrique de Killing et symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>4 Volume 24</p><p>4.1 Volume algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Volume algbrique et pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Volume positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>5 Normale une surface 27</p><p>5.1 Forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Forme normale unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Vecteur normal unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>6 Aire 30</p><p>6.1 lment d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Symboles de Christoel nij pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>7 Transport parallle dans Rn 337.0 Transport parallle dans Rn d'une fonction le long d'une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . 337.1 Transport parallle dans Rn d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . . . . . 337.2 Godsique dans Rn : une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1</p></li><li><p>2</p><p>8 Transport parallle sur une surface dans Rn 358.1 Transport parallle sur une surface d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . 35</p><p>8.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.1.2 Dans un systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.3 Exemples sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.4 Exemples sur la sphre de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.1.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>8.2 Godsique sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.2 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>8.3 Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>9 Formes fondamentales et courbure 45</p><p>9.1 Premire forme fondamentale g T 02 (S) (mtrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>9.2.1 Rappel : premire dnition de la courbure (positive), approche lmentaire . . . . . 469.2.2 Courbure (algbrique) : choix de la dnition de la courbure . . . . . . . . . . . . . . 479.2.3 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . 489.2.4 Interprtation : courbure k(~v,~v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>9.3 Le tenseur K T 11 (S) des courbures associ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.1 L'endomorphisme K~x associ k~x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.2 Courbures principales, courbure moyenne, courbure gaussienne . . . . . . . . . . . . 51</p><p>9.4 Godsique et deuxime forme fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</p><p>10 Tenseurs des dformations 52</p><p>10.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.1 Transpose d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.2 Direntielles premires et secondes ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.3 ... et drives partielles premires et secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.5 Application un mouvement ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>10.2 En espace : jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.1 Rappel : transpose d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.2 Jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.3 F (t, ~X) dans une base de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.4 F (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.5 FT (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.6 Remarque : F (t, ~X) dans des bases de (TS0) ~X et (TSt)~x compltes . . . . . . . . . 5810.2.7 Tenseurs des dformations C et C[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.8 Tenseurs des dformations C et C[ dans une base de (TS0) ~X . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ sous l'hypothse mtriqueeuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3.1 F</p><p>t(t, ~X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>10.3.2 (FT )</p><p>t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>10.3.3 Ct</p><p>(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>10.3.4 C[</p><p>t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>10.3.5 Tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ et mtrique euclidienne . . . . 6210.4 Vitesse eulrienne ~v(t, ~x), et d~v(t, ~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>10.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4.2 ~v[ et d~v[ et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4.3 d~v et d~vT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>10.5 ~v|| et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.1 Divergence pour les volumes ou pour les surfaces qui glissent sur elles-mmes . . . . 6410.5.2 Dnition de ~v|| sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.3 Connexion ~v|| sur (TSt)~x, et tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.4 Divergence div||~v|| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.5 D[t comme pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>2 12 janvier 2010</p></li><li><p>3 0. Motivation : calcul classique problmatique</p><p>11 Conservation de la masse 67</p><p>11.1 Principe (ou loi) de conservation de la masse pour un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.2 Conservation de la masse et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68</p><p>11.2 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.1 Gradients de dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.2 Mtrique euclidienne et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.3 Aire et tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.4 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>12 Transport de la normale une surface 71</p><p>12.1 Transport d'une surface par le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.2 Gnralisation aux coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3 Transport des vecteurs de base tangents et de la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.4 Relation entre les lments d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>A Rappels : dterminants 73</p><p>A.1 Forme multilinaire alterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Forme m-linaire alterne et dterminant detB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Dterminant detB(L) d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.4 Dterminant det(L) (volume algbrique) dans Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Dterminant det d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.6 Calculs par rcurrence des dterminants de matrices : mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . 76A.7 det(A) = det(AT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.8 det([L].[M ]) = det([L]) det([M ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.9 Cofacteurs et inverse d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.10 Dterminant det et produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.11 Dterminant detB et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.12 Drive d'un dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>B Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notions 79</p><p>B.1 Dnitions : varits, cartes, atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.2 Orientation d'une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.3 Direntiation sur une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.4 Fibr tangent une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.5 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.6 p-forme direntielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.7 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.8 Aire d'une surface orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.9 Produit intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.10 Direntielle extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.11 Thorme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>C Connexion sur une varit de Rn 88C.1 Connexion et drive covariante pour les champs de vecteurs sur TS . . . . . . . . . . . . . 88C.2 Symboles de Christoel pour une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3 La drivation associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.4 Divergence div~w d'un champ de vecteurs ~w sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.5 Mtrique et connexion riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.6 Connexion sur les formes et sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93C.7 Drive T d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.8 Divergence divT d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.9 Transport parallle d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96</p><p>Rfrences bibliographiques 96</p><p>0 Motivation : calcul classique problmatique</p><p>On se donne une surface S Rn et une fonction : ~x S (~x) R. Par exemple est unedensit surfacique de masse sur une sphre S, qui peut tre considre comme une fonction dniesur Rn, non nulle pour ~x S et nulle pour ~x / S.</p><p>3 12 janvier 2010</p></li><li><p>4 1. Surfaces et systmes de coordonnes</p><p>On cherche dnir les variations de sur la surface S. Ici on ne peut pas se servir de ladrivation classique dans une direction xe ~v : par exemple sur la sphre, pour ~x S, la quantit</p><p>limh0</p><p>(~x+h~v) (~x)h</p><p>(0.1)</p><p>ne peut pas servir dnir les variations = d(~x).~v de dans la direction ~v d'un vecteur tangent :le point ~x+h~v n'est alors jamais s...</p></li></ul>