Notes du cours d'quations aux Drives Partielles de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgne
Mcanique : tenseurs 3me partie
calcul sur les surfaces
Gilles Leborgne
12 janvier 2010
Table des matires
0 Motivation : calcul classique problmatique 3
1 Surfaces et systmes de coordonnes 4
1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Courbes et vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Drive d'une fonction sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Base biduale : notation
qi(~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Symboles de Christoel 12
2.1 Symboles de Christoel dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Symboles de Christoel sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me direction . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Symboles de Christoel pour la base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 * Formules de changement de base pour les symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Mtrique et systme de coordonnes 19
3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Connexion sur les mtriques : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Connexion sur les mtriques dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Mtrique tue : mtrique de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Mtrique de Killing et symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Volume 24
4.1 Volume algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Volume algbrique et pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Volume positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Normale une surface 27
5.1 Forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Forme normale unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Vecteur normal unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Aire 30
6.1 lment d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Symboles de Christoel nij pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Transport parallle dans Rn 337.0 Transport parallle dans Rn d'une fonction le long d'une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . 337.1 Transport parallle dans Rn d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . . . . . 337.2 Godsique dans Rn : une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
2
8 Transport parallle sur une surface dans Rn 358.1 Transport parallle sur une surface d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . 35
8.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.1.2 Dans un systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.3 Exemples sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.4 Exemples sur la sphre de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.1.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2 Godsique sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.2 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3 Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9 Formes fondamentales et courbure 45
9.1 Premire forme fondamentale g T 02 (S) (mtrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.2.1 Rappel : premire dnition de la courbure (positive), approche lmentaire . . . . . 469.2.2 Courbure (algbrique) : choix de la dnition de la courbure . . . . . . . . . . . . . . 479.2.3 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . 489.2.4 Interprtation : courbure k(~v,~v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.3 Le tenseur K T 11 (S) des courbures associ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.1 L'endomorphisme K~x associ k~x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.2 Courbures principales, courbure moyenne, courbure gaussienne . . . . . . . . . . . . 51
9.4 Godsique et deuxime forme fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10 Tenseurs des dformations 52
10.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.1 Transpose d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.2 Direntielles premires et secondes ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.3 ... et drives partielles premires et secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.5 Application un mouvement ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 En espace : jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.1 Rappel : transpose d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.2 Jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.3 F (t, ~X) dans une base de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.4 F (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.5 FT (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.6 Remarque : F (t, ~X) dans des bases de (TS0) ~X et (TSt)~x compltes . . . . . . . . . 5810.2.7 Tenseurs des dformations C et C[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.8 Tenseurs des dformations C et C[ dans une base de (TS0) ~X . . . . . . . . . . . . . 60
10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ sous l'hypothse mtriqueeuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3.1 F
t(t, ~X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.3.2 (FT )
t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3.3 Ct
(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3.4 C[
t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.3.5 Tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ et mtrique euclidienne . . . . 6210.4 Vitesse eulrienne ~v(t, ~x), et d~v(t, ~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4.2 ~v[ et d~v[ et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4.3 d~v et d~vT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.5 ~v|| et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.1 Divergence pour les volumes ou pour les surfaces qui glissent sur elles-mmes . . . . 6410.5.2 Dnition de ~v|| sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.3 Connexion ~v|| sur (TSt)~x, et tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.4 Divergence div||~v|| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.5 D[t comme pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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