MD L Optique physique

Propagation de la lumièreCe cours d’optique physique s’adresse aux étudiants en premier cycle universitaire ainsi qu’à ceux qui préparent les concours de l’enseignement (Capes, Agrégation de physique, etc.). Après une introduction générale et des rappels sur les ondes électro-magnétiques, les phénomènes d’interférences et de diffraction sont étudiés, en s’ap-puyant sur de nombreuses illustrations et applications modernes. Les phénomènes liés à la polarisation des ondes lumineuses sont ensuite abordés, pour finir par deux chapitres qui utilisent l’ensemble des notions introduites dans le reste de l’ouvrage et qui sont consacrés aux fibres optiques et aux lasers, deux domaines d’importance capitale au niveau fondamental comme au niveau technique et industriel.

L’auteur sépare clairement les difficultés d’ordre physique de celles d’ordre mathé-matique. Il a remarqué que les étudiants attribuent souvent les difficultés qu’ils éprouvent à la physique elle-même, alors qu’il s’agit en général de difficultés mathé-matiques. Ici, les principes de base sont illustrés très tôt par des applications simples ou des résolutions numériques, en montrant au lecteur les phénomènes physiques qu’induisent ces principes. Les calculs plus formels sont ensuite présentés, en se référant toujours à ces illustrations.

Des applications récentes sont présentées, pour bien montrer au lecteur que l’op-tique est une science vivante, en pleine évolution, et pas seulement une matière « poussiéreuse » qu’il convient d’apprendre simplement parce que « c’est au pro-gramme » !

Richard Taillet Ancien élève de l’ENS de Lyon en Physique, Docteur en Physique théorique, dans le domaine de l’astrophysique, agrégé de Sciences Physiques, Professeur à l’Université Savoie Mont Blanc, chercheur en astrophysique au LAPTH (Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique).

Les «plus» Conformité aux exigences des programmes de premier cycle (Licence) Mise en évidence des applications concrètes Apport pédagogique mettant au premier plan les discussions physiqueset au second plan le calcul mathématique

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre en France le niveau : Licence 2-3.En Belgique Baccalauréat 2-3. En Suisse Bachelor 2-3.Au Canada Baccalauréat 2-3.

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DRichard Taillet

Optique physique

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COURS

Licence de physique, Capes,Agrégation, Écoles d’ingénieurs

Propagation de la lumière

2e édition

Richard Taillet

Optique physique

www.deboecksuperieur.comISBN 978-2-8073-0005-7

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Optique physique

Licence Maîtrise Doctorat

Chimie

CaChau-herreillat D., Des expériences de la famille Acide-Base. 3e éd.CaChau-herreillat D., Des expériences de la famille Red-Ox. 2e éd.Chaquin, P., Volatron, F., Chimie organique : une approche orbitalaireDepoVere p., Chimie générale. 3e éd.DepoVere p., Chimie organique. 2e éd.GirarD F., GirarD J., Chimie inorganique et générale : des expériences pour mieux

comprendre !Kiel M., L’oxydoréductionMartinanD-lurin, É., Grüber, r., 40 expériences illustrées de chimie générale et

organiqueMCMurry J., BeGley T., Chimie organique des processus biologiquesMoussarD C., Biochimie structurale et métabolique. 3e éd.MoussarD C., Biologie moléculaire et Biochimie des communications cellulairesMoussarD C., Gibey r., beneDini M., QCM de biochimie et de biologie moléculaire rabasso n., Chimie organique. Généralités, études des grandes fonctions et

méthodes spectroscopiques. 2e éd.rabasso n., Chimie organique. Hétéroéléments, stratégies de synthèse et

chimie organométallique. 2e éd.

Physique

aslanGul C., Mécanique quantique. 1. Fondements et premières applicationsaslanGul C., Mécanique quantique. 2. Développements et applications à basse

énergieaslanGul C., Mécanique quantique 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices

et problèmes beCherrawy T., Optique géométriquebiÉMont É., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structure atomiquesbiÉMont É., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectraleChaMpeau r.-J., Carpentier r., lorGere i., Ondes lumineuses. Propagation, optique de

Fourier, cohérence Mayet F., Physique nucléaire appliquéerieutorD M., Une introduction à la dynamique des fluideswatsKy a., Thermodynamique macroscopique

Richard Taillet

Optique physiquePropagation de la lumière

2e édition

COURS

© De Boeck Supérieur s.a., 2015 Fond Jean Pâques, 4, B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par

photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : 2e édition Bibliothèque nationale, Paris : septembre 2015 1er tirage Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2015/13647/094

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

physiqueAvant-propos

Pourquoi, pour qui ?

Cet ouvrage présente une introduction à l’optique ondulatoire, à l’intention des étu-diants d’université, de classes préparatoires aux grandes écoles et de préparation auxconcours d’enseignement. Le domaine de l’optique est très vaste, et son enseignementsuit généralement une progression naturelle qui commence par l’optique géométrique,se poursuit par l’optique ondulatoire, et se termine éventuellement par de l’optiquequantique pour les étudiants qui se spécialisent dans cette voie. Ce cours se situe aumilieu de ce parcours, sans toutefois demander un pré-requis particulier en optiquegéométrique.

De nombreux excellents ouvrages proposent des approches diverses de l’optiquephysique, à des niveaux tout aussi divers (voir la bibliographie à la fin). Le présentouvrage constitue plutôt une introduction et tout en abordant l’ensemble des notionsau programme des licences de physique, il ne prétend pas à l’exhaustivité. Son but seraatteint s’il permet au lecteur de disposer des éléments de base pour comprendre lesprincipaux phénomènes optiques et pour poursuivre sa formation au-delà du niveau deLicence à l’aide d’ouvrages plus détaillés.

En l’écrivant, j’avais en tête un étudiant fictif dont le portrait-robot serait constituéd’une mosaïque d’élèves à qui j’ai eu l’occasion d’enseigner à l’Université, en y ajoutantune partie de mes propres difficultés avec les notions présentées, celles que j’ai éprouvéesen tant qu’étudiant, puis en tant qu’enseignant. J’espère que chacun y retrouvera unpeu de lui-même.

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physiqueOptique physique

Les obstacles

Un cours de physique présente plusieurs obstacles et je me suis efforcé, dans cet ouvrage,de faire une distinction claire entre les trois suivants : la formulation physique et laformalisation mathématique, la résolution d’équation et l’interprétation des solutions.

Tout d’abord, un problème physique est souvent formulé dans des termes qui nese prêtent pas immédiatement à une résolution, et il faut commencer par traduire ceproblème en termes physiques, en le formalisant. Par exemple, pour répondre à la ques-tion « quelle est l’intensité lumineuse en tout point d’un écran placé à un mètre d’unplan transparent contenant un disque opaque, si on éclaire le tout avec une onde planemonochromatique en incidence normale ? », il faut savoir ce que signifient les termesemployés (« intensité lumineuse », « onde plane », . . .), et disposer d’une théorie phy-sique qui permet de décrire la situation envisagée. On peut alors transcrire la questionde façon plus formelle, en s’appuyant sur les mathématiques.

Cette difficulté est accrue par le fait que les questions en physique sont souventexternes, dans le sens où ce sont des questions posées par un enseignant et qu’il fautrésoudre, plutôt que des questions que se pose vraiment l’étudiant. Celui-ci passe alorsautant de temps et d’énergie à chercher où l’enseignant veut l’emmener qu’à essayer decomprendre le problème lui-même, à partir de considérations purement physiques. Jen’ai pas la prétention ici d’avoir surmonté cette difficulté, mais j’ai essayé d’exciter lacuriosité du lecteur en mêlant à l’exposé général quelques illustrations étonnantes quidépassent parfois la portée immédiate de l’ouvrage ou le niveau de Licence.

L’étape de formalisation doit aussi s’accompagner d’une analyse physique, quiconduit à identifier les causes dominantes puis à procéder à des simplifications enéliminant d’avance des termes, des causes, dont on estime qu’ils peuvent être négligés.Cette étape (difficile) demande une certaine confiance de la part de l’étudiant qui aparfois l’impression qu’on essaie de l’entourlouper en lui cachant des difficultés. C’estaussi une difficulté pédagogique, d’entretenir cette confiance en justifiant a posterioriles hypothèses de départ.

Quant à l’étape de résolution, les difficultés sont souvent d’ordre purement technique(comment résoudre cette équation, comment calculer cette intégrale ?) et relèvent plusdu domaine des mathématiques que de celui la physique. Dans cet ouvrage, nous avonsessayé de bien isoler ce type de difficulté, il serait dommage que le lecteur se détournede la physique pour des raisons qui sont étrangères à cette discipline. Pour cela, nousnous sommes appuyés sur l’outil informatique, qui permet maintenant de résoudre deséquations ou calculer des intégrales de façon fiable et rapide. À plusieurs reprises, nousavons fait appel à cet outil très tôt dans le traitement des problèmes, pour identifier lemoment où l’on dispose effectivement de la solution, même quand celle-ci ne se présentepas sous sa forme « finale ». Cette utilisation de l’outil numérique informatique ne doitsurtout pas laisser penser qu’on doit s’arrêter là, ni que l’analyse mathématique dessolutions obtenues est inutile ou obsolète. D’une part, une bonne compréhension despropriétés mathématiques des solutions permet de déjouer les nombreux pièges que re-cèle le calcul numérique. D’autre part, le calcul numérique ne s’applique par définition

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Avant-propos

qu’à un cas particulier, alors qu’on est souvent plutôt intéressé par les propriétés gé-nérales de toute une classe de solutions (pour anticiper sur le contenu de cet ouvrage,il est par exemple beaucoup plus utile de montrer analytiquement que l’interfranged’une figure d’interférence dépend linéairement de la longueur d’onde que de refaireaveuglément un calcul numérique pour chaque longueur d’onde). Il faut donc pousseraussi loin que possible l’analyse mathématique du problème, même lorsqu’on disposed’une solution numérique. Nous espérons que l’approche numérique motivera le lecteurpour entreprendre la phase suivante de manipulation des expressions mathématiques.

Enfin, l’analyse d’un problème de physique ne doit pas se terminer par une formuleencadrée, aussi synthétique et plaisante soit-elle. Toute formule constitue la réponseformelle à une question de physique, et il est absolument nécessaire de l’interpréter entermes physiques, d’expliciter ce que nous dit cette solution sur la question qui y aconduit.

Les choix et les biais

L’optique est un vaste domaine, et la vision que peut en donner un ouvrage de 200pages est nécessairement biaisée. La rédaction de celui que vous avez entre les mainsa conduit à plusieurs choix. Tout d’abord, les applications au domaine de l’astronomieoccupent clairement une place plus importante que les autres. Ceci reflète davantage ledomaine de compétence et les centres d’intérêt de l’auteur que l’activité de rechercheen optique. Ensuite, tous les points se sont pas traités dans le même degré de détail etde profondeur. Notamment, l’optique des milieux anisotropes occupe une place moinsgrande que dans d’autres ouvrages, alors que la diffraction y occupe le plus long deschapitres. Le second sujet me semble en effet plus fondamental et plus général quele premier, mais une fois encore, il s’agit d’un choix dont les alternatives ne sont pasmoins respectables. Enfin, la présentation fait le moins possible appel à des notionsd’optique géométrique et d’électromagnétisme, afin d’être lisible le plus tôt possibledans un cursus universitaire. Le chapitre 2 intitulé « Les ondes électromagnétiques »fait exception. Il doit plutôt être considéré comme un rappel sur les ondes en général,et le lecteur peu familier avec les aspects techniques qu’il aborde sera invité à passerdirectement au suivant.

Remerciements

Les exigences de concision et de lisibilité ont dicté d’autres choix encore, et le compromisfinalement adopté conviendra certainement à des degrés divers aux différents lecteurs,comme pour tout autre livre d’ailleurs. Je voudrais remercier tous ceux qui d’unemanière ou d’une autre ont contribué à me donner un éclairage différent sur le contenuet la présentation de ce cours. En particulier, je suis très reconnaissant à David Maurin,Luc Frappat et Éric Ragoucy pour leur relecture patiente et impitoyable. Merci aussià Yves Colombe ainsi qu’à tous ceux qui m’ont fait part de remarques, positives ou

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non, sur la première édition de cet ouvrage. Ceci m’aura permis de corriger plusieurserreurs et, je l’espère, de clarifier l’ensemble.

Un mot sur les illustrations

Dans la plupart des cas, les formules sont illustrées par des représentations graphiquesde courbes, ou des images. Toutes ces figures ont été calculées numériquement de façonsoignée, que ce soit par des logiciels généraux permettant de tracer des courbes à partirde leur description analytique, ou bien par des programmes écrits spécifiquement parl’auteur pour cet ouvrage.

Les références bibliographiques

L’ouvrage est parsemé de références bibliographiques, sous la forme de notes en bas depage. Il s’agit d’articles qui m’ont personnellement apporté un éclairage nouveau surles points abordés dans le texte, que ce soit d’un point de vue historique ou purementphysique. Tous ces articles ne sont pas en accès libre, mais il s’agit généralement detrès grandes revues, auxquelles beaucoup d’établissements universitaires sont abonnés.

Pour aller plus loin, sur internet

Le lecteur intéressé par les aspects historiques pourra consulter l’ensemble de vidéosconsacrées à ce sujet, à l’adresse

http://podcast.grenet.fr/histoire-des-sciences-histoires-de-la-lumiere/L’adresse

http://podcast.grenet.fr/cours-doptique-ondulatoire/fournit par ailleurs une série de vidéos de cours suivant la progression du présentouvrage. Enfin, on trouvera sur

http://www.dicodephysique.fr/joomla/joomla-fr/jce/bibliographieune importante base de données bibliographiques sur la physique en général, avec denombreuses références à l’optique.

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physiqueTable des matières

Chapitre 1 Introduction

1 La nature de la lumière – survol historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 L'optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Les difficultés de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 L'optique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1 La lumière est une onde électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Spécificités de la gamme des ondes lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 La difficulté pratique de l’approche électromagnétique . . . . . . . . . . . . . 83.4 Le principe de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Interférences et diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 Interactions de la lumière avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.7 L’optique ondulatoire dans cet ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.8 L’optique quantique – le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 2 Ondes électromagnétiques

1 Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Équation d’onde dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Propagation dans les milieux matériels homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Approximation scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Quantités transportées par les ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . 21

2 Les ondes monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 Les ondes monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Les ondes planes monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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2.3 Les ondes sphériques monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 D’autres types d’ondes monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Ondes monochromatiques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Lien avec l’optique géométrique – équation iconale . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Ondes quasi-monochromatiques – introduction à la notion de cohérence 293.1 Superpositions d’ondes planes monochromatiques

de pulsations voisines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Notion de cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Intensité d’une superposition incohérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Un mot sur la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Les ondes planes quasi-monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Les ondes de spectre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Sources spectrales, sources thermiques, filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Autocorrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Interface entre deux diélectriques – réflexion et réfraction . . . . . . . . . . . . . 374.1 Relations de passage d’un milieu à un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Coefficients de réflexion et de transmission

à l’interface entre deux diélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Cas de l’incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Propriétés de la réflexion et de la réfraction – réflexion totale . . . . . 424.5 Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Transmission et réflexion de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Une autre approche : équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1 Forme des équations de Maxwell dans la géométrie choisie . . . . . . . . 445.2 L’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Onde réfractée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.5 Onde évanescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Chapitre 3 Interférence de deux ondes

1 Conditions d'interférence de deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.1 Superposition de deux ondes se propageant dans une fibre . . . . . . . . 531.2 Que mesure-t-on vraiment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.3 Cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.4 Premières conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.5 Application : effet Sagnac – gyromètres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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Table des matières

2 Dispositifs expérimentaux pour l'interférométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1 Biprisme de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Miroirs de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3 Les trous d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 L’interféromètre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 Avantages respectifs de ces montages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Superposition de deux ondes provenant de sources ponctuellesmonochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1 Présentation du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Calcul de la figure d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Répartition spatiale de l’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Observation de franges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Le cas des ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6 Observation d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Sources étendues – cohérence spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1 Trous d’Young – fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Fente source de largeur finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Position des sources préservant la cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Aire de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Application du brouillage : mesure du diamètre des étoiles . . . . . . . . 814.6 Interféromètre de Michelson – réglage en lames parallèles . . . . . . . . . 834.7 Interféromètre de Michelson – réglage en coin d’air . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Sources polychromatiques – cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.1 Doublet spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2 Interférences en lumière blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Application : tomographie optique cohérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Interférences et autocorrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1 Le dispositif d’Young comme corrélateur d’amplitude . . . . . . . . . . . . . 916.2 Corrélation d’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7 Quelques applications des interférences à deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.1 Lecture optique des pistes des CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Détecteurs d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3 Métrologie – mesure de variation d’indice ou de forme . . . . . . . . . . . . 967.4 Expérience de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.5 L’interférométrie optique dans l’astronomie moderne . . . . . . . . . . . . . 977.6 Les arcs surnuméraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

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8.2 Les interférences dans d’autres domainesde la physique – fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Chapitre 4 Interférences à N ondes

1 Le réseau diffractant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.1 Amplitude et intensité de l’onde transmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.2 Pouvoir de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.3 Influence de la largeur de la fente source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.4 Influence de la largeur des fentes du réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.5 Réseaux blazés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.6 Réseaux par réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.7 Exemple d’application : le monochromateur à réseau . . . . . . . . . . . . 1111.8 Interférences de sources régulièrement déphasées . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.9 Comparaison avec le prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.10 Quelques applications des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2 L'interféromètre de Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.2 Calcul de la figure d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3 Propriétés de la fonction T(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.4 Observation de la figure d’interférence en anneaux . . . . . . . . . . . . . . . 1182.5 Utilisation en incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.6 Finesse, nombre d’aller-retours et temps passé dans la cavité . . . . 1202.7 Utilisation en spectroscopie – pouvoir de résolution . . . . . . . . . . . . . . 1212.8 Remarques générales sur les interféromètres de Fabry-Perot . . . . . 122

3 Les lames minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1 Équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2 Application : les traitements anti-reflets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.3 Remarque sur l’adaptation d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4 Couleurs interférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5 Blanc d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.6 Miroirs diélectriques multicouches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Chapitre 5 Diffraction

1 Les phénomènes de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.1 Principe de Huygens : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.2 Exemple explicite de mise en application de ce principe . . . . . . . . . . 1351.3 Formule de Fresnel-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.4 Remarque sur le calcul de l’intégrale de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . 139

viii

Table des matières

1.5 Les points stationnaires – principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.6 Une première approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.7 Diffraction de Fresnel – diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 1411.8 Remarque sur le principe de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.9 Résumé et conclusion : les calculs de diffraction en pratique . . . . . 143

2 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.1 Remarque préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.2 Diffraction par une ouverture rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.3 Conservation de la puissance lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.4 Diffraction à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.5 La limite de la fente infiniment longue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.6 Discussion des figures de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.7 Une autre représentation de la distribution angulaire . . . . . . . . . . . . 1502.8 Diffraction par une ouverture plane de forme quelconque . . . . . . . . 1512.9 Cas particulier : les fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.10 Le réseau diffractant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.11 Diffraction par une ouverture plane circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.12 Diffraction et transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.13 Ouvertures complémentaires – théorème de Babinet . . . . . . . . . . . . . 1572.14 Diffraction par un objet de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3 Conséquences pour la formation des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1 Formation des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.2 Critère de Rayleigh pour la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.3 Apodisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.4 Optique de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.5 Microscopie à contraste de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4 Diffraction de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.1 Fente infiniment longue : validité de l’approximation de Fresnel . . 1694.2 Les intégrales de Fresnel et la spirale de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3 Influence de la largeur de la fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.4 Diffraction par un bord rectiligne infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.5 Diffraction et occultation d’étoiles par la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.6 Diffraction par une ouverture circulaire – le sténopé . . . . . . . . . . . . . 1764.7 Point de Poisson-Arago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.8 Distribution de l’intensité au voisinage d’un foyer . . . . . . . . . . . . . . . 1814.9 Axicons et faisceaux de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5 Zones de Fresnel et lentilles diffractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.1 Premier exemple : fentes diffractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.2 Deuxième exemple : lentille diffractante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

ix


5.3 Remarque : lien avec l’holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896 Résumé – conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Chapitre 6 Polarisation

1 Définition de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951.1 Variation de la polarisation au cours du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951.2 Description de la polarisation par deux états de base . . . . . . . . . . . . 1971.3 Variation spatiale et temporelle de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . 1971.4 Un exemple d’évolution spatio-temporelle

pour une polarisation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981.5 Paramètres de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991.6 Ondes non monochromatiques – polarisation partielle . . . . . . . . . . . 2001.7 De la lumière naturelle à la lumière polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2 Production et analyse d'une onde polarisée linéairement . . . . . . . . . . . . . . 2032.1 Polarisation par réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042.2 Polarisation par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.3 Polariseurs dichroïques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.4 Propriétés des polariseurs linéaires – loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . 2062.5 Applications des polariseurs linéaires pour l’analyse . . . . . . . . . . . . . 207

3 Biréfringence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.2 Production et détection d’une polarisation

elliptique – lames cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.3 Couleurs des lames cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.4 Application en microscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.5 Biréfringence induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4 Polarisation rotatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.1 Activité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.2 Effet Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.1 Description matricielle de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.2 Polarisation et interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.3 Ouverture vers la physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Chapitre 7 Aspects microscopiques

1 Interaction molécule-lumière : approche microscopique . . . . . . . . . . . . . . . 2211.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

x

Table des matières

1.2 Les différentes descriptions des atomes et molécules . . . . . . . . . . . . . 2211.3 Le modèle de l’électron élastiquement lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2241.4 Le terme d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251.5 Interaction avec une onde lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2261.6 Oscillations forcées des électrons – polarisabilité atomique . . . . . . . 2261.7 Onde réémise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271.8 Approche simplifiée de l’indice de réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281.9 Approche simplifiée de la biréfringence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2 Conséquences macroscopiques : transparence et absorption . . . . . . . . . . . . 2312.1 Indice de réfraction et polarisabilité atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312.2 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322.3 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332.4 Indice de réfraction des milieux transparents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342.5 Célérité de la lumière dans un milieu transparent . . . . . . . . . . . . . . . . 2342.6 Milieux linéaires isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352.7 Milieux anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2362.8 Milieux non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2373.1 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2383.2 Propriétés « corpusculaires » du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.3 Conséquences : recul, effet Compton, pression de radiation . . . . . . 2403.4 Spin, moment cinétique et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

4 Relation avec les propriétés ondulatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.1 Construction des figures d’interférence – bruit de photons . . . . . . . 2434.2 Relations d’incertitude d’Heisenberg et diffraction . . . . . . . . . . . . . . . 2444.3 Relation d’incertitude temps-énergie et largeur spectrale . . . . . . . . . 2454.4 Espace des phases – cohérence spatiale et temporelle . . . . . . . . . . . . 2464.5 Les photons corrélés – cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5 Coefficients d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.1 Phénomènes d’absorption et d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.2 Absorption : premier coefficient d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.3 Émission stimulée : deuxième coefficient d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . 2505.4 Émission spontanée : troisième coefficient d’Einstein . . . . . . . . . . . . . 2515.5 Relations entre les coefficients d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.6 Importance relative des trois processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.7 Règles de sélection – états métastables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

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Chapitre 8 Guides de lumière

1 Les fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2592 Propagation guidée dans un plan : approche simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . 261

2.1 Réflexions successives – condition de réflexion totale . . . . . . . . . . . . . 2622.2 Superposition des ondes réfléchies – modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622.3 Dispersion de mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642.4 Modes et bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2652.5 Nombre de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672.6 Distribution de l’amplitude et de l’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672.7 Cas d’une fibre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2692.8 Les guides de lumière de grandes dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2692.9 Prise en compte du déphasage induit par la réflexion totale . . . . . . 269

3 Approche ondulatoire : propagation guidée entre deux plans . . . . . . . . . . . 2703.1 Ondes électriques transverses, magnétiques transverses . . . . . . . . . . 2713.2 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.3 Séparation de l’équation en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2723.4 Résolution de l’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2723.5 Conditions aux limites et solutions pour les ondes TE . . . . . . . . . . . 2733.6 Conditions aux limites et solutions pour les TM . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.7 Discussion des solutions – notion de mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2753.8 Distribution de l’amplitude et de l’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2753.9 Superposition de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2773.10 Comparaison avec la première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2783.11 Détermination des autres composantes – guidage faible . . . . . . . . . . 2793.12 Ondes évanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

4 Guide d'onde cylindrique : fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2804.1 L’équation d’onde scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.2 Modes de la fibre cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2824.3 Prise en compte de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5 Atténuation, dispersion et performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.1 Atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2875.3 Amplification optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2875.4 Fibre à gradient d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6 Applications des fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2896.1 Utilisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.2 Inconvénients des fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

xii

Table des matières

Chapitre 9 Lasers

1 Amplification de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2951.1 Prologue : les sources lumineuses classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2951.2 Amplification par émission stimulée – inversion de population . . . 2961.3 La cavité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981.4 L’autre rôle de la cavité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3001.5 La forme des miroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.6 Équations d’évolution des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3021.7 Cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031.8 Réalisation de l’inversion de population – pompage . . . . . . . . . . . . . . 3031.9 Émission spontanée – largeur spectrale du rayonnement laser . . . . 304

2 Faisceaux gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062.2 Signification physique de w et R – structure du faisceau . . . . . . . . . 3062.3 Importance pratique – différence avec les ondes planes . . . . . . . . . . . 308

3 Éléments de sécurité laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3084 Différents types de lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

4.1 Le maser à ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.2 Lasers à solide : du rubis aux YAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.3 Laser hélium-néon – lasers à gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.4 Lasers à semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.5 Lasers chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.6 Lasers astrophysiques naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.7 Lasers sans inversion de population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5 Utilisations des lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Chapitre 10 Appendices

1 Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

2.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3182.2 Intégrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.3 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

3 Changement de base en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3204 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.1 Rappel sur les fonctions trigonométriques et exponentielles . . . . . . 3224.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

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5 Les couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3235.1 Les récepteurs rétiniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3245.2 La reproduction des couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.3 La synthèse additive des couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3265.4 La synthèse soustractive ou multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

6 Les angles : unité et ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3287 Constantes et unités physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

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physiqueChapitre 1

Introduction

L’optique est le domaine de la physique qui décrit les phénomènes lumi-neux. L’histoire du concept même de lumière a connu plusieurs révolutionsmajeures qui ont toutes ouvert l’optique à de nouvelles disciplines de laphysique : électromagnétisme et relativité puis physique quantique. Nousallons dans ce premier chapitre rappeler quelques étapes de cette histoire,puis présenter les différentes approches dont dispose le physicien pour étu-dier les phénomènes lumineux. Dans un souci de légèreté, nous utiliseronsparfois quelques concepts sans les définir explicitement, en renvoyant éven-tuellement le lecteur à des chapitres ultérieurs. Le but est ici de donnerune vue d’ensemble qui sera affinée dans la suite de l’ouvrage.

1 La nature de la lumière – survol historique 32 L'optique géométrique 53 L'optique ondulatoire 6

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1. La nature de la lumière –survol historique

La lumière est le phénomène physique qui nous permet de voir autour de nous. Sanature et ses propriétés physiques ont attiré la curiosité et l’intérêt des penseurs depuisl’antiquité. Un des aspects les plus « évidents » a priori est sa propagation en lignedroite dans les milieux homogènes (nous reviendrons plus loin sur la pertinence decette notion).

Deux descriptions antagonistes se sont opposées pendant plusieurs siècles 1. D’unepart, la description corpusculaire, selon laquelle la lumière serait constituée de corpus-cules se déplaçant en ligne droite, est souvent associée à Isaac Newton (1643–1727).Dans les milieux homogènes, la trajectoire de ces corpuscules est constituée de por-tions de droites obéissant à un ensemble de lois simples qui constituent les fondementsde l’optique géométrique. D’autre part, on peut faire remonter la description ondu-latoire, selon laquelle la lumière est une perturbation se propageant dans un milieu(alors appelé l’éther), à René Descartes (1596–1650), elle fut défendue notamment parChristiaan Huygens (1629–1695), Leonhard Euler (1707–1783) et d’autres, sous desformes diverses. Cette proposition est loin d’être naturelle, car la plupart des phéno-mènes lumineux que l’on observe ne présentent pas de variation temporelle apparente,ce qui pourtant semble être un minimum pour une onde ! Elle s’avéra toutefois trèspertinente et fructueuse, expliquant à la fois l’optique géométrique et les phénomèness’en écartant.

Il faut attendre le début du xixe siècle pour que soit proposée une véritable théoriede l’optique ondulatoire. Esquissée par Thomas Young (1773–1829) à partir de 1801 2,nous la devons principalement à Augustin Fresnel (1788–1827) qui présenta un mémoiredécisif sur le sujet en 1815 3. Cette théorie conduisit notamment à la prédiction d’unphénomène nouveau et contre-intuitif (le point d’Arago, voir le chapitre 5), dont l’ob-servation fit beaucoup pour l’acceptation de la théorie. En 1864, James Clerk Maxwell(1831–1879) présente les équations de l’électromagnétisme qui portent désormais sonnom 4 à la Royal Society et montre que ces équations prédisent l’existence d’ondes dontla vitesse coïncide avec celle de la lumière et propose que la lumière soit en fait une ondeélectromagnétique. En 1888, Heinrich Hertz (1857–1894) met en évidence ces ondes defaçon expérimentale, dans le domaine radio. Il devient alors très clair que la lumière enest un cas particulier, avec des fréquences trop élevées pour que la variation temporelle

1. Voir la bibliographie à la fin pour des recommandations d’ouvrages sur l’histoire de l’optique.2. Voir http://www.dicodephysique.fr/joomla/prov/ref718.html pour des références bibliogra-

phiques.3. Voir http://www.dicodephysique.fr/joomla/prov/ref716.html pour des références bibliogra-

phiques.4. Voir http://www.dicodephysique.fr/joomla/prov/ref4124.html pour des références bibliogra-

phiques.

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soit perceptible directement. La totalité des phénomènes observés à cette époque, ycompris la propagation en ligne droite, sont expliqués par l’électromagnétisme.

Le xxe siècle a vu cette histoire rebondir de façon spectaculaire avec l’avènement dela physique quantique, lié notamment à l’observation de nouveaux phénomènes lors des-quels la lumière semblait avoir des propriétés corpusculaires dont l’électromagnétismene pouvait rendre compte. En particulier, pour interpréter l’effet photo-électrique, Al-bert Einstein (1879–1955) a supposé que l’énergie lumineuse associée à une onde defréquence ν n’est absorbée que par multiples de ∆E = hν où h est une constante fon-damentale, indépendante de la fréquence. Cette hypothèse avait déjà été avancée en1900 par Max Planck (1858–1947), pour des raisons très différentes. Après de longs dé-veloppements, il s’est avéré que l’électromagnétisme, et donc en particulier la lumière,était mieux décrit par une nouvelle théorie, appelée électrodynamique quantique. Lalumière est alors décrite par un objet nouveau appelé « champ quantique », ayant desmanifestations physiques qui peuvent heurter le sens commun, puisque certaines pré-sentent un caractère plutôt corpusculaire, d’autres un caractère plutôt ondulatoire,d’autres encore n’entrant pas dans cette classification dichotomique. Cette théorie in-troduit aussi la notion de photon, qu’on décrit parfois comme le « grain de lumière »,mais qui présente aussi des caractères plus complexes, et ne correspond en aucun cas àun retour en arrière vers les corpuscules de lumière de Newton. Nous reviendrons plusen détail sur le photon dans la suite.

L’optique se découpe traditionnellement en plusieurs sous-branches qui reflètent enpartie son évolution historique. Dans un certain nombre de situations, il n’est pas né-cessaire de prendre en compte la structure détaillée des ondes électromagnétiques pourétudier la propagation de la lumière, ni même d’ailleurs son aspect ondulatoire, mais onpeut se contenter d’une description moins complète mais extrêmement plus pratique,en s’appuyant sur la notion de rayon lumineux. Cette sous-branche est appelée optiquegéométrique. Ensuite, dans les cas où cette simplification n’est plus justifiée, il fautrevenir à une description ondulatoire de la lumière, en s’appuyant ou non sur l’électro-magnétisme. On peut alors très souvent se contenter d’une description classique, quiconstitue l’optique ondulatoire. Enfin, certains phénomènes demandent de prendre encompte les aspects quantiques de la lumière, on parle alors d’optique quantique.

Dans cet ouvrage, nous nous concentrerons essentiellement sur l’optique ondula-toire, en discutant brièvement la relation entre cette approche et l’optique géométrique,ainsi que, de façon simplifiée, quelques aspects d’optique quantique.

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2. L'optique géométrique

2.1 Rayons lumineux

L’optique géométrique décrit la propagation de la lumière en introduisant la notion derayons lumineux, qui en sont les objets de base. Ils obéissent à un ensemble de règlesempiriques simples :

– dans un milieu homogène et isotrope (ou dans le vide), les rayons lumineux sontdes portions de droites ;

– à l’interface entre deux milieux, ils obéissent aux lois de Snell-Descartes relativesà la réflexion et à la réfraction.

Les milieux sont décrits par leur indice de réfraction n qui intervient dans les lois deSnell-Descartes. Selon cette approche, une fois que l’on connaît le point de départ (oule point d’arrivée) et la direction initiale (ou finale) d’un rayon lumineux, on peut endéduire l’ensemble du rayon lumineux (ou parfois des rayons lumineux, puisque ceux-cipeuvent se diviser en se propageant) de façon univoque. Cette propriété est à la basedes méthodes de synthèse d’images du type « lancer de rayons » (raytracing en anglais),dans lesquelles on calcule les caractéristiques de tous les rayons lumineux qui arriventen un point donné d’une scène (la caméra virtuelle) ; la figure 1.1 montre un exempled’image obtenue avec un des nombreux logiciels libres de raytracing. Cette propriétéest aussi utilisée dans l’étude simplifiée des instruments d’optique, pour comprendre laformation des images.

FIG. 1.1 L’optique géométrique permet de décrire la formation des images dansun grand nombre de situations pratiques. Elle constitue la base des tech-niques de lancer de rayons (raytracing en anglais) pour créer des imagesde synthèse.

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2.2 Les difficultés de l'optique géométrique

La pertinence physique de la notion de rayon lumineux, en tant qu’objet unidimen-sionnel, est loin d’être évidente. Un faisceau de lumière a toujours une extension trans-versale non nulle et contient donc toujours une infinité continue de rayons lumineux.Expérimentalement, on ne peut pas découper le faisceau en un nombre arbitrairementgrand de sous-faisceaux et étudier ceux-ci de façon indépendante. En effet, si l’on es-saie d’isoler une partie trop fine d’un faisceau lumineux, par exemple en perçant unepetite ouverture dans un écran opaque, le phénomène de diffraction (sur lequel nousreviendrons dans cet ouvrage) intervient et disperse le faisceau sur une plage angulaired’autant plus grande que l’ouverture est petite.

Une autre difficulté est liée au fait que l’approche géométrique ne permet pas (danssa version simple en tout cas) de s’intéresser à la « quantité de lumière » transportéepar les rayons lumineux. L’expérience montre de façon très nette que la tache de lu-mière qui provient de la réflexion sur une interface entre deux milieux paraît plus oumoins brillante selon l’angle d’incidence, et selon les milieux considérés. L’optique géo-métrique peut à la limite décrire ce phénomène en associant à chaque rayon lumineuxune intensité, mais ne donne aucun moyen de calculer le changement d’intensité quirésulte d’une réflexion ou d’une réfraction. Par ailleurs, si l’on affecte une intensité nonnulle à chaque rayon lumineux, on est confronté à un problème dans les situations oùune infinité de rayons convergent au même point (au foyer d’un système optique, parexemple), car l’intensité totale en ce point deviendrait infinie, ce qui en physique esttoujours le signe d’une limitation de la modélisation.

Enfin, cette approche ne permet pas d’étudier certaines questions fondamentales :de quoi est constituée la lumière ? Comment est-elle créée ? Comment interagit-elleavec la matière ? En effet, l’approche géométrique ne s’appuie sur aucune hypothèsephysique sur la nature de la lumière, ni sur l’origine des règles sur lesquelles elle repose.L’étude fine de la plupart des phénomènes lumineux demande donc d’aller au-delà decette description.

3. L'optique ondulatoire

3.1 La lumière est une onde électromagnétique

Grâce à James Clerk Maxwell (1831–1879) et Heinrich Hertz (1857–1894), on saitdepuis la seconde moitié du xixe siècle que la lumière est une onde électromagnétique,

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dans le domaine de longueurs d’onde 5 s’étendant de 350 nm à 750 nm environ, qu’onappelle le domaine visible (voir l’appendice pour la relation avec la notion de couleur).Ceci correspond au domaine de fréquences s’étendant de 0,35×1015 Hz à 0,85×1015 Hz.Une grande partie de ce qui sera traité ici pourra s’appliquer à des longueurs d’ondeun peu en dehors de ce domaine (même si cela correspondra alors à des radiationsque l’œil ne perçoit pas), que ce soit dans l’infra-rouge (λ ≳ 750 nm) ou l’ultra-violet(λ ≲ 350 nm). Revenons sur les deux points fondamentaux de la première affirmation :la lumière est une onde électromagnétique.

Tout d’abord, la lumière est une onde. Elle correspond à une quantité qui varie dansle temps et dans l’espace. Ceci semble contradictoire avec l’expérience quotidienne,selon laquelle la lumière qui nous parvient d’une lampe allumée ne montre pas devariation périodique. Ces variations sont bien présentes mais se produisent sur deséchelles de temps et d’espace bien trop petites pour que nos sens les perçoivent, commeen attestent les ordres de grandeur donnés dans le paragraphe précédent. Nous verronsau cours de cet ouvrage comment l’aspect ondulatoire peut malgré tout être mis enévidence. Nous verrons aussi pourquoi il n’entre pas en contradiction avec des propriétésqui semblent plutôt corpusculaires, comme la propagation en ligne droite.

Ensuite, cette onde est de nature électromagnétique. Elle est donc constituée d’unchamp électrique et d’un champ magnétique variables. Sa propagation est détermi-née par les équations de Maxwell, si l’on se limite à une description non quantique.L’électromagnétisme classique fournit alors un cadre naturel pour faire de l’optique.De fait, on peut dans une certaine limite démontrer les lois de l’optique géométriqueen s’appuyant sur l’électromagnétisme, et ainsi préciser leur domaine de validité.

3.2 Spécificités de la gamme des ondes lumineuses

Les équations de Maxwell sont très générales et permettent de décrire des phénomènestrès différents. Cette généralité se paie par une certaine complexité, parfois au prix fort,au point qu’il peut être impossible de résoudre ces équations dans certaines situationsspécifiques. Il faut alors faire des approximations, en s’appuyant sur la spécificité dela situation qui nous intéresse. Les approximations pertinentes ne sont pas les mêmesquand on étudie les ondes radio, le rayonnement gamma, ou le domaine optique.

Par exemple, le rayonnement radio est souvent dû à l’oscillation cohérente d’ungrand nombre de sources microscopiques dont on sait contrôler la phase : une antennefait intervenir la vibration d’une multitude d’électrons synchronisés. La cohérence desdifférents points de la source a une influence majeure sur les caractéristiques de l’ondeémise.

Ce n’est pas le cas pour la lumière : la plupart des rayonnements sont dûs à unemultitude de sources indépendantes (le laser constitue une exception importante), dont

5. Il s’agit ici de la longueur d’onde dans le vide, voir le chapitre 2 pour des rappels sur la notionde longueur d’onde.

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on ne contrôle pas la phase. L’indépendance des sources permet de simplifier considéra-blement les calculs dans beaucoup de cas pratiques. De plus, la fréquence est si élevéepar rapport au temps de réponse de la plupart des détecteurs disponibles que les quan-tités observables sont essentiellement des quantités moyennées sur un grand nombre depériodes et non des quantités instantanées.

3.3 La difficulté pratique de l'approcheélectromagnétique

À ce stade, on pourrait se dire qu’il suffit d’étudier l’électromagnétisme pour couvrir ledomaine de l’optique, et penser que pour comprendre le fonctionnement d’un télescopeou la propagation de la lumière à la sortie d’une fente fine, il suffise de résoudre leséquations de Maxwell en imposant des conditions aux limites correspondant au systèmeétudié.

C’est malheureusement irréalisable en pratique car dans la plupart des cas (mêmeparmi les plus simples), la résolution des équations de Maxwell est extrêmement difficile.Il se trouve qu’on dispose en optique d’un ensemble d’approximations qui sont bienjustifiées dans beaucoup de situations, et qui ne font pas intervenir explicitement leséquations de Maxwell (même si la justification, elle, repose bien sûr sur ces équations).Tout d’abord, on peut dans beaucoup de situation oublier le caractère vectoriel desondes électromagnétiques, on parle alors d’approximation scalaire. Ensuite, la plupartdes phénomènes liés à la propagation de la lumière, y compris ceux d’interférence etde diffraction, s’expliquent en s’appuyant sur le principe de Huygens-Fresnel.

3.4 Le principe de Huygens-Fresnel

Ce principe consiste à supposer que la lumière se comporte en tout point comme unesource secondaire de lumière, émettant dans toutes les directions, comme si la lumièrese propageait en ré-émettant de la lumière depuis chaque point qu’elle atteint. Cecisemblerait assez naturel pour la propagation d’ondes mécaniques dans un milieu, oùeffectivement une onde incidente met en mouvement les constituants du milieu, lequelmouvement conduit à son tour à l’émission d’ondes. En revanche la pertinence de ceprincipe pour des ondes électromagnétiques, qui se propagent dans le vide sans supportmatériel, est moins évidente. Il se trouve que de façon surprenante, l’approche électro-magnétique permet de conforter ce principe, au moins de façon approchée. En quelquesorte, le passage d’une onde électromagnétique correspond à une variation locale deschamps électrique et magnétique, ce qui par le phénomène d’induction électromagné-tique est source de champs secondaires.

Le principe de Huygens-Fresnel fournit alors un moyen très simple et très puissantpour décrire la propagation de la lumière. Pour calculer les propriétés de l’onde lumi-

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neuse en un point (appelons-le l’écran) entouré de sources et d’obstacles, on commencepar isoler par la pensée une surface entourant ce point. On place mentalement unesource lumineuse en chaque point de cette surface (avec des propriétés particulières,voir le chapitre 5), et on calcule la contribution de chacune de ces sources secondairesà la lumière reçue par l’écran. Le point crucial est que cette dernière étape peut sefaire de façon très simple, car la seule quantité qui entre en jeu est le temps mis par lalumière pour parcourir la distance entre chaque source et l’œil.

FIG. 1.2 À gauche, distribution de lumière à la sortie de deux fentes (représentéespar les ouvertures dans les parties opaques grisées sur le bord gauchedes images), obtenue de façon numérique par l’application du principe deHuygens-Fresnel (voir le chapitre 5). Les zones brillantes représentent lesendroits où l'intensité lumineuse est importante. Au milieu, vue de détailsur la partie encadrée, au voisinage d'une des fentes. À droite, vue de détailde la même région, mais dans le cas où l'on aurait fermé l'autre fente. Lesfranges plus fines que l'on voit sur l'image dumilieu sont absentes de cellede droite.

Nous reviendrons en détail sur le principe de Huygens-Fresnel et ses applications.Signalons simplement qu’il permet de comprendre de façon détaillée la distribution delumière dans beaucoup de situations. Par exemple, la figure 1.2 représente la distribu-tion d’intensité lumineuse à la sortie de deux fentes éclairées par une onde plane, dansune situation où la longueur d’onde utilisée n’est pas petite devant la largeur des fenteset leur écartement. La distribution de lumière est très différente de ce qu’on attend apriori, en se basant sur notre expérience quotidienne ou sur l’optique géométrique. Undes buts de cet ouvrage est d’expliquer en détail les caractéristiques de ces trois figures.

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3.5 Interférences et diffraction

Ces figures possèdent plusieurs caractéristiques remarquables. Loin des fentes et auvoisinage de l’axe central, celle de gauche montre une alternance de franges sombres etbrillantes. Il s’agit du phénomène d’interférences, qui provient du fait que l’amplitudedes ondes lumineuses peut prendre des valeurs positives ou négatives. Quand deuxondes se superposent, leurs amplitudes s’ajoutent et il peut arriver que l’amplitudetotale soit nulle. Près de chaque fente (figures du milieu et de droite), on voit aussi quela lumière se répartit de façon complexe, la quantité de lumière émise étant nulle danscertaines directions et importante dans d’autres. C’est une manifestation du phénomènede diffraction. Ces deux phénomènes ont une importance que l’on ne saurait exagérer,tant du point de vue de ce qu’ils nous apprennent sur la lumière que de celui desapplications technologiques auxquelles ils conduisent. Une partie importante de cetouvrage est consacrée à leur étude.

3.6 Interactions de la lumière avec la matière

Dans beaucoup de situations, on a besoin de savoir comment la lumière interagit avecla matière qu’elle rencontre. L’électromagnétisme fournit une réponse claire à cettequestion : d’un point de vue classique (non quantique), la lumière interagit avec lescharges électriques. Elle est absorbée en les mettant en mouvement par la force deLorentz, et elle est émise sous une forme différente (avec un déphasage et dans desdirections différentes) par les charges mises en mouvement. L’onde est donc transfor-mée au cours de son passage dans la matière. Ceci permet de comprendre de façondétaillée les phénomènes de réfraction et de réflexion, ainsi que ceux, moins simples, debiréfringence, de polarisation rotatoire, etc. L’approche électromagnétique permet enparticulier de comprendre l’origine de l’indice optique dans les milieux, ainsi que sespropriétés, notamment sa dépendance en fréquence.

3.7 L'optique ondulatoire dans cet ouvrage

L’essentiel des développements présentés dans cet ouvrage découlent du principe deHuygens-Fresnel. Il existe des situations dans lesquelles il cesse d’être valide, et où untraitement électromagnétique complet serait nécessaire, mais nous ne les considéreronspas ici. Le lecteur désireux d’aller plus loin pourra consulter les ouvrages de référence.De plus, nous décrirons les interactions de la lumière avec la matière de façon classique(non quantique), ce qui dans certains cas n’est pas justifié. Le paragraphe suivantprésente rapidement les apports d’un traitement quantique, sans entrer dans les détailstechniques, qui dépasseraient de loin la portée de cet ouvrage.

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3.8 L'optique quantique – le photon

Le monde dans lequel nous vivons obéit aux règles de la physique quantique, et les phé-nomènes lumineux ne font pas exception. Dans la plupart des situations expérimentalesusuelles la description quantique coïncide presque exactement avec la description élec-tromagnétique classique, mais pas toujours. Il existe des phénomènes optiques qui nepeuvent se comprendre que dans un cadre quantique.

Dans l’approche quantique de l’électromagnétisme, les ondes électromagnétiquesse manifestent sous la forme de quanta. Ceci signifie par exemple que pour une ondemonochromatique de fréquence f , l’énergie ne peut être absorbée, émise, ou affectéede quelque manière que ce soit, que par paquets élémentaires ∆E = hf où h désignela constante de Planck. On appelle photon d’énergie E une excitation du champ élec-tromagnétique ayant cette énergie. On lit parfois que l’onde électromagnétique est unensemble de photons, mais il convient d’être très prudent avec ce type d’interprétation.En effet un champ quantique est un objet beaucoup plus complexe et aux propriétésplus subtiles qu’une assemblée de corpuscules. Le photon est une particule, ce qui enphysique fondamentale désigne un objet qui n’est ni un corpuscule, ni une onde, mêmesi dans certaines situations expérimentales, il peut présenter des caractéristiques sem-blables à l’un ou à l’autre.

L’aspect corpusculaire se manifeste plus aisément aux hautes fréquences qu’auxbasses, car d’une part le quantum d’énergie est y plus élevé, et d’autre part il setrouve que les photons émis par les sources de relativement basse fréquence sont plutôtémis en paquets cohérents qui se comportent collectivement comme une onde. Dans ledomaine des ondes radio, la notion de photon n’intervient que dans quelques situationsexpérimentales très particulières, alors que dans le domaine des rayons gamma elleest omniprésente. Le domaine optique constitue, de manière intéressante, une frontièreassez naturelle entre ces deux régimes.

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physiqueChapitre 2

Ondes électromagnétiques

L’optique physique repose en grande partie sur le principe de Huygens-Fresnel (voir le chapitre 5), découlant lui-même du caractère ondulatoirede la lumière. La nature électromagnétique des ondes lumineuses n’inter-vient pas explicitement dans le traitement usuel des interférences et de ladiffraction. Toutefois, la justification rigoureuse de ce principe ainsi que lacompréhension de plusieurs phénomènes exige de faire explicitement ap-pel à l’électromagnétisme. Nous avons rassemblé dans ce chapitre quelqueséléments auxquels nous ferons référence dans la suite de l’ouvrage. Il n’estpas question ici de présenter un cours complet sur l’électromagnétismeet le lecteur qui éventuellement n’aurait pas (encore) étudié cette matièresera guidé le long de ce chapitre pour aller directement aux points clésutiles dans la suite, sans passer par les démonstrations.

1 Le champ électromagnétique 152 Les ondes monochromatiques 223 Ondes quasi-monochromatiques – introduction à la notion de cohérence 294 Interface entre deux diélectriques – réflexion et réfraction 375 Une autre approche : équation de Helmholtz 436 Conclusion 50

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1. Le champ électromagnétiqueL’électromagnétisme est la discipline de la physique consacrée aux phénomènes élec-triques et magnétiques. Ses objets fondamentaux sont des vecteurs, le champ électriqueE(r, t) et le champ magnétique B(r, t). Le mot « champ » signifie que les caractéris-tiques de ces vecteurs (direction et norme) dépendent de la position. En chaque point,la direction et la norme de ces vecteurs peuvent aussi varier au cours du temps. Ceschamps ont un effet sur la matière : ils sont notamment responsables de la force deLorentz qui s’écrit

F = qE + q v ∧ B

où q désigne la charge électrique, v la vitesse de l’objet considéré et ∧ le produitvectoriel.

Les champs sont créés par les charges électriques, les courants mais aussi par lesvariations des champs eux-mêmes. Leur évolution est décrite par un système d’équa-tions différentielles couplées qu’on appelle les équations de Maxwell. Il y a plusieursfaçons de présenter ces équations, la plus répandue faisant appel à des opérateurs dif-férentiels (divergence et rotationnel) qui permettent de simplifier les notations et lesmanipulations de ces équations. Malheureusement, la familiarité avec ces opérateursdemande un peu de temps et de pratique, et l’étudiant qui débute dans le domaine peutbuter sur cette difficulté purement technique, qui n’a rien à voir avec la physique. Nousprenons ici le parti d’utiliser ces opérateurs en rappelant simplement leur définition etquelques propriétés en appendice. Que le lecteur débutant ne soit pas effrayé par cechoix : l’essentiel des notions présentées dans cet ouvrage s’appuieront sur l’équationdes ondes (voir l’équation 2.12), qui permet de décrire la plupart des caractéristiquesqui nous intéressent ici. Ce lecteur peut donc passer directement au chapitre suivant.Pour rassurer davantage les débutants du domaine, notons que les parties centralesde cet ouvrage, dédiées aux phénomènes d’interférence et de diffraction, ne font pasexplicitement appel aux notions électromagnétiques présentées ici.

1.1 Les équations de Maxwell

Dans les unités du Système International, les équations de Maxwell s’écrivent

div E = ρ/ϵ0

div B = 0et

−→rot E = −∂B

∂t−→rot B = µ0ȷ+ ϵ0µ0

∂E

∂t

(2.1)

où ρ désigne la densité volumique de charge électrique et ȷ la densité de courant as-sociée à la charge électrique. Ces équations font intervenir deux constantes physiquesfondamentales, la perméabilité magnétique du vide µ0 et la permittivité diélectrique

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du vide ϵ0, valant respectivement

µ0 ≡ 4π × 10−7 N · A−2 ≈ 12,566 370 614× 10−7 N · A−2

ϵ0 =1

µ0c2≈ 8,854 187 817× 10−12 F · m−1

La densité de courant ȷ permet de calculer le courant I qui passe à travers un élémentde surface dS, grâce à la relation

dI = ȷ · dS

La densité de charge et la densité de courant sont reliés par

∂ρ

∂t+ div ȷ = 0 (2.2)

comme on peut le voir en combinant la dérivée temporelle de la première équation deMaxwell avec la divergence de la quatrième. Cette équation exprime la conservationlocale de la charge : si la densité de charge varie en un point (premier terme), c’est qu’uncourant transporte cette charge (deuxième terme). C’est l’équation de continuité dela charge électrique. Il existe une équation très similaire décrivant la continuité de lamasse, en mécanique des fluides, et nous en retrouverons aussi une, plus loin, qui décritla conservation de l’énergie électromagnétique.

Les équations de Maxwell forment un ensemble de 8 équations (les deux dernièressont des égalités vectorielles, elles donnent chacune trois équations quand on les écrit encomposantes), pour 6 grandeurs (3 composantes pour chaque champ). En fait, elles nesont pas indépendantes, et le nombre d’équations ne reflète pas le nombre de contraintesqu’elles imposent. Ces seules équations ne permettent pas de déterminer les champssans ambiguïté. Ce point est lié à ce qu’on appelle l’invariance de jauge, qui se trouveavoir une connexion fondamentale avec la conservation de la charge électrique. Pourl’utilisation que nous en ferons dans ce cours, nous n’entrerons pas dans ces détails,qui sont développés dans tout cours d’électromagnétisme.

Quand les termes sources sont imposés de l’extérieur, les équations de Maxwell sontlinéaires, ce qui signifie que la somme de deux solutions distinctes est aussi une solution.C’est une propriété fondamentale qui se traduit en pratique par le fait que les ondesélectromagnétiques peuvent se croiser sans interagir. On dit qu’elles se superposent,et la linéarité est parfois appelée principe de superposition. On peut alors simplifierl’étude générale d’une situation compliquée et décomposant le problème en une sommed’ondes ayant des propriétés simples, des ondes planes ou sphériques, par exemple.

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1.2 Équation d'onde dans le vide

Nous allons d’abord nous concentrer sur la propagation dans le vide, c’est-à-dire dansdes portions de l’espace où ρ = 0 (pas de charge) et ȷ = 0 (pas de courant). Leséquations de Maxwell prennent alors la forme

div E = 0

div B = 0et

−→rot E = −∂B

∂t

−→rot B = ϵ0µ0∂E

∂t

(2.3)

En prenant la dérivée par rapport au temps de la dernière équation et le rotationnelde la troisième (celle en −→rot E), on arrive à

∂(−→rot B)

∂t=

1

c2∂2E

∂t2et −→rot

(−→rot E)= −∂(

−→rot B)

∂t

En utilisant la propriété 10.2, ces deux équations peuvent se combiner pour donner

1

c2∂2E

∂t2− △E = 0 (2.4)

On montre par des manipulations similaires que le champ B obéit à la même équation.Chaque composante de E et B, que l’on notera A dans la suite (A représentera unedes grandeurs Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz) obéit donc à une équation de la même forme,appelée équation de d’Alembert ou équation des ondes,

1

c2∂2A

∂t2−△A = 0 (2.5)

où △ désigne l’opérateur laplacien. On dit que E et B forment une onde électromagné-tique. La résolution de cette équation demande de connaître les conditions aux limites(les valeurs de A et de ses dérivées en un ensemble de points à un instant donné), ce quien pratique signifie de spécifier les conditions expérimentales dans lesquelles l’onde sepropage : la présence d’obstacles, par exemple, impose certaines conditions aux limitesqui font que la solution est alors fondamentalement différente de celle qu’on obtiendraitdans un environnement complètement ouvert.

C’est une équation scalaire, par opposition à vectorielle, dans le sens où c’est unesimple fonction qui intervient dans l’expression 2.5 alors que c’était un vecteur dansl’expression 2.4. Cette équation des ondes est omniprésente en physique, elle intervientaussi pour décrire les ondes sonores, la vibration mécanique d’une corde, les vagues àla surface de l’eau (dans certaines conditions), etc. Cette équation constituera notrepoint de départ dans plusieurs situations étudiées dans les chapitres suivants.

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1.3 Propagation dans les milieux matérielshomogènes

Les ondes électromagnétiques interagissent avec les milieux dans lesquels elles se pro-pagent, ce qui affecte leurs caractéristiques. Le traitement rigoureux de l’électromagné-tisme des milieux dépasse largement l’objectif de ce cours, et nous allons ici résumerquelques points importants. En particulier, nous allons ici considérer seulement lesmilieux diélectriques, qui présentent une grande importance en optique, sans nous in-téresser aux milieux magnétiques.

FIG. 2.1 Origine microscopique de la polarisation : le champ électrique déforme lesdistributions électroniques et sépare les charges négatives (nuages électro-niques en gris) des charges positives (noyaux atomiques en noir). Il appa-raît ainsi des dipôles microscopiques qui sont responsables de l'apparitiond'une densité de moment dipolaire P .

Les milieux sont caractérisés, du point de vue électromagnétique, par le comportementdes charges électriques qu’ils contiennent. Les métaux, les plasmas, les diélectriques, sedistinguent par des réponses très différentes à des champs appliqués. Dans les milieuxdiélectriques, les seuls que nous allons envisager ici, les charges électriques peuvents’écarter de leur position d’équilibre sous l’action d’un champ électromagnétique, maisrestent localisées près de leur position initiale, contrairement aux métaux dans lesquelsles charges peuvent migrer sur de longues distances. Ce point sera détaillé dans lechapitre 7. Il apparaît alors une densité volumique de moment dipolaire ou polarisationvolumique P , aussi appelée vecteur polarisation, qui est proportionnelle au champélectrique si celui-ci n’est pas trop fort :

P = χϵ0E (2.6)

où χ désigne la susceptibilité diélectrique du milieu. Dans les milieux isotropes, lesvecteurs P et E sont colinéaires et χ est un nombre. Dans les milieux non isotropes cen’est plus le cas et χ devient une matrice. Dans le cadre de cette discussion introductive,nous nous limiterons au cas isotrope. On peut montrer que des variations spatiales de

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P font apparaître des charges électriques, qu’on appelle charges liées, correspondant àune densité et un courant

ρliées = −div P et ȷliées =∂P

∂t(2.7)

FIG. 2.2 Origine physique des charges de polarisation : le champ E crée des dipôles.Si le champ est inhomogène, les charges ne sont pas séparées partout dela même façon et il peut y avoir apparition locale d'une densité de charges.Ici, au centre de la figure, on voit une accumulation de charges négatives.

La figure 2.2 représente une situation permettant d’illustrer la première de ces re-lations : au centre, la divergence de E, et donc celle de P , est non nulle (elle est icipositive car les vecteurs sont dirigés vers l’extérieur). Hors du centre, les charges po-sitives qui apparaissent sont compensées par les charges négatives qui viennent de lapolarisation des zones voisines. Ce n’est pas le cas pour les charges négatives situéesexactement au centre : il apparaît une densité de charge ρliées négative, là où la diver-gence de P est positive. Les deux grandeurs ρliées et div P sont exactement opposées,comme l’exprime la première des équations 2.7. En reportant les deux expressions 2.7dans les équations de Maxwell, on obtient

div E = (ρlibres + ρliées)/ϵ0 , div B = 0

−→rot E = −∂B∂t

,−→rot B = µ0(ȷlibres + ȷliées) + ϵ0µ0

∂E

∂t

qu’on peut peut réécrire sous la forme

div D = ρlibres

div B = 0et

−→rot B = ȷlibres + µ0

∂D

∂t

−→rot E = −∂B∂t

(2.8)

où l’on a introduit un nouveau champ D appelé induction électrique et défini par

D = ϵ0E + P = ϵ0E + χϵ0E (2.9)

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soitD = ϵE avec ϵ ≡ ϵ0(1 + χ) (2.10)

La quantité ϵ est appelée permittivité diélectrique du milieu. On introduit aussi lapermittivité diélectrique relative (ou constante diélectrique) du milieu, définie par

ϵr ≡ ϵ

ϵ0= 1 + χ (2.11)

La permittivité relative vaut 1 dans le vide. Elle est reliée à une autre grandeur trèsimportante, l’indice de réfraction ou indice optique n, par ϵr = n2. On montre alorsque l’équation 2.5 se réécrit simplement, dans les milieux diélectriques homogènes,

n2

c2∂2A

∂t2−△A = 0 (2.12)

On retrouve l’équation de D’Alembert et on voit que la vitesse des ondes lumineusesdans le milieu vaut v = c/n. Cette équation permet notamment de comprendre etde décrire le phénomène de réfraction de la lumière. Nous aborderons l’étude de cephénomène dans la section 4.

La constante diélectrique du milieu dépend de la manière dont le milieu est polarisépar une onde incidente. Il peut arriver que la polarisation soit déphasée par rapport àl’excitation (en toute rigueur c’est toujours le cas d’ailleurs). La permittivité peut alorsêtre décrite par un nombre complexe. L’indice optique est alors lui aussi complexe. Sapartie imaginaire représente les propriétés d’absorption du milieu. Il y a une relationétroite entre le déphasage de la polarisation et l’absorption (voir le chapitre 7 pour tousces points).

1.4 Approximation scalaire

Dans les situations auxquelles on va s’intéresser dans la suite, l’onde se propagera dansun milieu qui n’est pas homogène. Il y aura des obstacles, des éléments qui absorbentou réfléchissent la lumière. Ceci peut donner lieu à l’apparition de charges et de cou-rants ȷ sur ces obstacles. La séparation de l’équation vectorielle 2.4 en ses composantesselon x, y et z (équation 2.5) est alors moins simple, car les différentes composantesdes vecteurs sont couplées par le terme de courant ȷ. Néanmoins, on fait souvent l’hy-pothèse que l’effet de ce couplage est suffisamment faible pour qu’on puisse encoredécrire l’onde, au moins de manière approchée, par des quantités scalaires indépen-dantes. C’est l’approximation scalaire. L’étude détaillée de ce point relève plutôt del’électromagnétisme et nous ne nous y attardons pas ici. Il se trouve que c’est une trèsbonne approximation dans la plupart des cas. Attention, ceci n’implique pas que l’onrenonce à s’intéresser aux propriétés vectorielles des ondes lumineuses, comme nous leverrons dans les chapitres 7 et 6 consacrés notamment à la polarisation, elle supposeseulement que les différentes composantes des champs sont indépendantes.

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1.5 Quantités transportées par les ondesélectromagnétiques

La variation temporelle du champ électrique et du champ magnétique dans une ondeélectromagnétique se traduit par le transport de plusieurs quantités, notamment l’éner-gie, la quantité de mouvement et le moment cinétique.

Énergie

Dans les milieux non absorbants, on montre à partir des équations de Maxwell quela densité d’énergie électromagnétique u (la quantité d’énergie contenue par unité devolume, en J · m−3 en unités du Système International) vérifie

∂u

∂t+ div S = 0 (2.13)

où le vecteur S, appelé vecteur de Poynting, (aussi parfois noté Π) est défini par 1

S ≡ 1

µ0E ∧ B

L’expression 2.13 s’interprète comme une équation de continuité pour la densité d’éner-gie u dont le vecteur S représente le courant (comparer à l’équation 2.2 décrivant lacontinuité de la charge électrique). Les ondes électromagnétiques transportent de l’éner-gie dans la direction de S. Ce mode de transmission de l’énergie est appelé transportradiatif, c’est par ce mode que l’énergie émise par le Soleil traverse l’espace et parvientsur la Terre, par exemple.

Dans le domaine optique, les variations temporelles de l’amplitude, et donc de S,sont très rapides (avec des fréquences de l’ordre de 1015 Hz) et les détecteurs dont ondispose ne permettent pas de les suivre. Ils mesurent seulement l’énergie que déposel’onde pendant un temps τ long devant la période T , et ne sont donc sensibles qu’àla valeur moyenne de S sur le temps τ . Une des quantités que l’on peut mesurer estl’éclairement énergétique E , c’est-à-dire la puissance moyenne que transporte l’ondepar unité de surface. Elle s’exprime en W · m−2, et s’obtient directement à partir duvecteur de Poynting

E (r ) =⟨∥S(r, t)∥

⟩T

où la notation ⟨· · · ⟩T désigne la grandeur moyennée sur une durée T . Nous verronsplus loin que cette quantité est proportionnelle à A 2, le carré de l’amplitude.

1. Pour des milieux magnétiques, il faudrait introduire un nouveau vecteur H, l’analogue magné-tique de D, prenant en compte l’aimantation du milieu et la définition s’écrirait S ≡ E ∧ H.

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Quantité de mouvement

Les ondes électromagnétiques transportent aussi de la quantité de mouvement, avecune densité (dans le sens d’une quantité de mouvement par unité de volume)

p = ϵ0E ∧ B =1

c2S

L’intégrale de p sur un volume fermé donne la quantité de mouvement transportée parl’onde contenue dans ce volume. Lorsque de la lumière est réfléchie ou absorbée parune surface, il se produit un échange de quantité de mouvement qui se traduit par uneforce. La surface est poussée par l’onde incidente. Ceci est mis en évidence de façonexpérimentale par le phénomène de pression de radiation.

Moment cinétique

Enfin, dans certains états de polarisation (voir le chapitre 6), la lumière peut aussitransporter du moment cinétique. On distingue en physique le moment cinétique an-gulaire et le spin, un moment cinétique intrinsèque lié aux propriétés quantiques desparticules élémentaires. Les ondes lumineuses peuvent transporter les deux types demoment cinétique. Ceci peut être mis en évidence en observant que l’absorption d’uneonde polarisée circulairement (nous reviendrons plus loin sur cette notion) peut mettreen rotation l’objet absorbant ou réfléchissant. L’expérience a été réalisée pour la pre-mière fois en 1936 par Richard Beth 2, qui a mesuré la rotation d’une lame de quartzquand elle est traversée par une onde polarisée. Depuis, cette expérience a été raffinée,notamment en utilisant des faisceaux possédant un moment angulaire non nul en plusdu moment de spin, ce qui permet d’augmenter considérablement l’effet. L’avènementdes lasers (voir chapitre 9) a rendu ces expériences plus simples à mettre en œuvre.

2. Les ondes monochromatiquesUne onde peut être décrite par les valeurs Ai(r, t) que prennent à tout instant et entout point les grandeurs qui se propagent. Cette grandeur est appelée amplitude. Dansle cas des ondes électromagnétiques, il s’agit des trois composantes du champ électriqueet des trois composantes du champ magnétique, mais on peut dans une large mesureoublier ce caractère électromagnétique et discuter des propriétés générales des ondes.

Les ondes peuvent présenter une grande variété de comportements, que ce soit dansla dépendance spatiale de Ai(r, t) ou dans sa dépendance temporelle. Toutefois, comme

2. Voir Richard A. Beth, « Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum ofLight », Physical Review 50 (1936) p. 115.

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les équations de propagation sont linéaires, on peut souvent se contenter d’étudier desondes assez simples, sachant que les ondes plus compliquées peuvent se décomposeren sommes d’ondes plus simples. C’est le principe de l’analyse de Fourier, qui reposesur le fait que toute fonction peut se décomposer en une somme de sinus et cosinus, lasomme portant sur un ensemble infini de fréquences (voir l’appendice). Toute onde peutdonc se décomposer en une somme (infinie) d’ondes monochromatiques. Nous allonsdonc commencer par rappeler quelques définitions et propriétés relatives aux ondesmonochromatiques. Ce sont des idéalisations qui n’ont pas de réalisation exacte dansla nature, et nous discuterons ensuite les propriétés d’ondes plus réalistes obtenues ensuperposant des ondes monochromatiques.

2.1 Les ondes monochromatiques

Par définition des ondes monochromatiques, l’évolution temporelle de l’amplitude estpurement sinusoïdale (on dit aussi harmonique) et l’on peut écrire, en chaque point r,

A (r,t) = Am(r ) cos(ωt+ ϕ(r )

)où l’on a introduit la pulsation ω, l’amplitude maximale Am(r ) et une quantité ϕ(r )qu’on appelle le déphasage ou la phase de référence. La quantité ωt+ϕ(r ) est appeléela phase de l’onde, elle dépend du point r et de l’instant t considérés. La quantitéA (r, t) évolue de façon périodique, et l’on définit la période T comme le temps aubout duquel elle retrouve sa valeur de départ. Il s’agit simplement de la période dela fonction cosinus, et l’on a immédiatement T = 2π/ω. Enfin on définit la fréquencecomme l’inverse de la période, f = ω/2π. La pulsation et la fréquence ont la dimensioninverse de celle d’un temps. Pour les ondes lumineuses, la fréquence est de l’ordre de1015 Hz, et la période de l’ordre de 10−15 s.

Nous allons expliciter la forme de la dépendance spatiale de Am(r ) et ϕ(r ). On uti-lisera dans toute la suite la notation complexe pour décrire les variations sinusoïdales :la grandeur A (r,t) devient une quantité complexe

A (r, t) = Am(r )e−iωt où Am(r ) = Am(r ) e−iϕ(r ) (2.14)

en gardant à l’esprit que c’est la partie réelle de A qui décrit la grandeur physiquede départ A . Dans la suite nous allons parfois omettre la notation soulignée pour lesamplitudes complexes, lorsque ceci ne prête pas à confusion. Le signe qui apparaîtdans l’exponentielle a été choisi par convention, on peut faire le choix opposé mais ilfaut prendre garde que dans ce cas d’autres signes seraient changés dans la suite. Eninsérant l’expression 2.14 dans l’expression 2.12, on trouve que la fonction A m vérifie

△Am(r ) +n2ω2

c2Am(r ) = 0 (2.15)

C’est une équation de Helmholtz. Il existe plusieurs types de solutions à cette équation,obéissant à des conditions aux limites différentes. Nous allons maintenant en présenterplusieurs.

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2.2 Les ondes planes monochromatiques

Un premier type de solution de l’équation 2.15 est de la forme

A m(r ) = A 0m eik·r−iϕ soit A (r, t) = A 0

m ei(k·r−ωt−ϕ) (2.16)

où k est un vecteur constant appelé le vecteur d’onde et où ϕ désigne maintenant unephase constante. En notation réelle,

A (r, t) = A0 cos(k · r − ωt− ϕ

)(2.17)

On vérifie facilement que ceci est bien une solution de l’équation 2.15, pourvu que lemodule k ≡ ∥k∥ du vecteur d’onde vérifie k = nω/c. C’est une onde progressive, dontles surfaces équiphases se propagent dans la direction indiquée par le vecteur k à lavitesse v = ω/k = c/n. L’amplitude a la même valeur dans tout plan perpendiculaireau vecteur k, d’où le nom d’onde plane. À un instant donné, les plans entre lesquelsl’argument de l’exponentielle complexe diffère d’un multiple de 2π sont séparés d’unedistance λ telle que k × (x+ λ)− k × x = 2π, soit

k =2π

λ

La quantité λ est appelée longueur d’onde, elle est reliée à la pulsation ω et à lafréquence f par

λ =2πc

ωn=

c

nf

La longueur d’onde λ dans un milieu d’indice n est différente de celle λ0 dans le videet s’écrit λ = λ0/n.

Les dérivées spatiales et temporelles de l’amplitude (les champs E et B) se calculenttrès facilement pour des ondes planes, car la dépendance exponentielle conduit à

∂E

∂t= −iωE , div E = ik · E et −→rot E = ik ∧ E

et de même pour B. Les équations de Maxwell dans le vide se réécrivent alors

k · E = 0 , k · B = 0 , k ∧ E = ωB , −k ∧ B = ϵ0µ0ωE (2.18)

Les vecteurs E, B et k forment un trièdre orthogonal direct, et on a ∥B∥ = ∥E∥/c.Les amplitudes étant perpendiculaires au vecteur d’onde, on dit que les ondes élec-tromagnétiques sont des ondes transverses (comme les vagues à la surface de l’eau),par opposition aux ondes longitudinales pour lesquelles la vibration se fait le long duvecteur d’onde (comme par exemple pour les ondes sonores dans les gaz).

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FIG. 2.3 Représentation schématique des ondes planes (à gauche) et des ondessphériques (à droite). Les surfaces sur lesquelles la phase de l'onde a unevaleur donnée sont dessinées.

Le vecteur de Poynting et l’éclairement s’écrivent alors, en notant n la direction depropagation et en utilisant la relation ϵ0µ0c

2 = 1,

S =1

µ0EB n =

1

µ0cE2 n = ϵ0cE

2 n et E = ϵ0c ⟨E2⟩T (2.19)

L’éclairement est donc proportionnel à ⟨E2⟩T = E20⟨cos2 ωt⟩T . Or, la valeur moyenne du

carré du cosinus vaut 1/2, et on trouve finalement que l’éclairement est proportionnelau carré de l’amplitude A 0. En notation complexe, cette quantité est donnée parA (r,t)A ⋆(r,t). Dans toute la suite, nous appellerons intensité de l’onde la quantité

I(r ) ≡ A (r, t)A ⋆(r, t) (2.20)

C’est une quantité réelle qui est proportionnelle à l’éclairement, et qui donne doncune indication directe de la « quantité de lumière ». Pour une onde monochromatique,cette quantité ne dépend pas du temps, les exponentielles conjuguées en eiωt et e−iωt

dans A et A ⋆ se compensant exactement.

L’expression 2.14 décrit une onde dont l’extension spatiale et temporelle est infinie,ce qui n’est pas du tout réaliste physiquement. Cependant, les ondes planes monochro-matiques ont une grande importance car elles peuvent servir de briques élémentairespour étudier les ondes plus générales, grâce à l’analyse de Fourier. Nous y reviendronsà la section 3.

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2.3 Les ondes sphériques monochromatiques

FIG. 2.4 Définition des coordonnées sphériques.

En écrivant l’équation de Helmholtz (équation 2.15) en coordonnées sphériques, enposant r ≡ ∥r∥ et en introduisant les angles usuels (figure 2.4), on trouve

1

r2∂

∂r

(r2∂A

∂r

)+

1

r2 sin θ∂

∂θ

(sin θ∂A

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2A

∂2ϕ+n2ω2

c2A (x) = 0

Un simple changement de coordonnées ne fait pas apparaître de nouvelles solutions,mais il est plus simple d’en trouver certaines avec cette nouvelle forme. En particulier,on vérifie plus facilement que les fonctions à symétrie sphérique

A (r) ∝ 1

re±ikr

sont des solutions, à condition que, comme précédemment, la quantité k vérifie larelation k = nω/c. Cette fois, l’argument de l’exponentielle reprend la même valeur(modulo 2π) sur des sphères centrées à l’origine et espacées de λ = 2π/k. On parle dansce cas d’ondes sphériques. L’amplitude décroît en 1/r quand on s’éloigne de l’origine.Ces solutions correspondent physiquement, dans le cas où le signe dans l’exponentielleest un +, à l’onde issue d’une source monochromatique ponctuelle située à l’origine.Dans le cas du signe −, il s’agit d’une onde convergeant vers l’origine. Ces solutionsjouent un rôle important car une source de forme quelconque peut généralement êtredécomposée comme un ensemble de sources ponctuelles émettant des ondes sphériques.Les équations de propagation étant linéaires, l’onde issue de cette source quelconquepeut alors être considérée comme une somme d’ondes sphériques.

Du point de vue expérimental, on peut passer, au moins de façon approximative, desondes sphériques aux ondes planes en utilisant des lentilles. Une lentille parfaitementstigmatique transforme l’onde sphérique issue d’une source ponctuelle placée à son foyer

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en une onde plane, et transforme une onde plane en une onde sphérique. Ceci n’estqu’approximatif en pratique pour plusieurs raisons : aucune source n’est parfaitementponctuelle, ni aucune lentille parfaitement stigmatique. De plus, l’aspect ondulatoire dela lumière conduit à revoir certains résultats de l’optique géométrique, en particulier lapossibilité de faire converger en un point unique tout un faisceau de lumière. Ce pointsera discuté plus en détail dans le chapitre 5 dédié aux phénomènes de diffraction.

Notons pour finir que loin de la source, les ondes sphériques tendent vers des ondesplanes. La lumière venue des étoiles, par exemple, constitue une excellente réalisationd’onde plane. Notons aussi que le vecteur de Poynting est encore donné par la rela-tion 2.19, si bien que l’éclairement est aussi donné par le carré du module de l’amplitudecomplexe. L’intensité introduite dans l’expression 2.20 décrit bien, dans ce cas encore,la quantité de lumière présente en chaque point.

2.4 D'autres types d'ondes monochromatiques

En écrivant l’équation 2.15 en coordonnées cylindriques cette fois, on obtient

∂2A (r,θ,z)

∂r2+

1

r

∂A (r,θ,z)

∂r+n2ω2

c2A (r,θ,z) +

1

r2∂2A (r,θ,z)

∂θ2+∂2A (r,θ,z)

∂z2= 0

où r désigne la coordonnée radiale dans la direction transverse à z. En cherchant dessolutions invariantes par rotation autour de l’axe z (indépendantes de θ) et dépendantde z selon eikz, on trouve que cette équation est de la forme 10.6, et que les ondes dutype

A (r,z,t) = A0J0(k′r) eikz−iωt

satisfont aux équations de Maxwell, J0 étant la fonction de Bessel d’ordre 0 et oùk = ω/c et k′ =

√ω2/c2 − k2, (voir la partie 4 de l’appendice pour plus de détails).

Ce sont des ondes de Bessel. Elles présentent la particularité intéressante de ne pas sedisperser latéralement (selon r) lorsqu’elles se propagent. Elles sont utilisées dans cer-tains faisceaux pour lesquels la collimation est une caractéristique importante, commedans le forage laser. Nous reviendrons sur ce type d’ondes dans le paragraphe 4.9 duchapitre 5. En utilisant la définition des fonctions de Bessel d’ordre supérieur, on trouveaussi des solutions qui dépendent de θ.

2.5 Ondes monochromatiques générales

On peut obtenir une variété infinie d’ondes monochromatiques en combinant les solu-tions précédentes. Il se trouve d’ailleurs qu’en combinant des ondes planes de mêmefréquence mais de vecteurs d’onde différents, on peut reconstruire toutes les solutionsmonochromatiques possibles. C’est un résultat mathématique important, que nous re-trouverons plus loin, et qui est détaillé dans l’appendice : toute onde peut s’écrire

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comme une somme d’ondes planes monochromatiques. C’est ce qui confère à ces der-nières toute leur importance dans l’étude des ondes, malgré leur caractère très idéalisé.Nous allons maintenant nous intéresser aux ondes non monochromatiques en commen-çant par les ondes quasimonochromatiques.

2.6 Lien avec l'optique géométrique –équation iconale

Dans une certaine limite que nous allons discuter brièvement, on peut retrouver l’équa-tion des rayons lumineux de l’optique géométrique à partir des équations de Maxwell.C’est un calcul assez long et nous n’allons pas le présenter ici, mais seulement fairequelques remarques sur les liens entre électromagnétisme et optique géométrique. Enécrivant les champs d’une onde monochromatique sous la forme

E(r, t) = e(r )ei(kS(r )−ωt) et B(r, t) = b(r )ei(kS(r )−ωt)

où S désigne le chemin optique entre la source et la position r, et où e et b sont deschamps qui ne varient que sur des échelles spatiales bien supérieures à la longueurd’onde, on peut montrer que les normales aux surfaces d’onde (définies comme lessurfaces sur lesquelles S(r ) a la même valeur) se comportent comme les rayons lumineuxde l’optique géométrique dans la limite k → ∞, soit λ→ 0. Ces normales sont dirigéesselon −−→gradS(r ) et on obtient alors l’équation iconale

∥−−→gradS(r )∥ = n(r )

On dit souvent que l’approche électromagnétique redonne les résultats de l’optiquegéométrique dans la limite des petites longueurs d’ondes. Cette notion de limite peuttoutefois réserver quelques surprises et il convient de l’appliquer avec soin. Pour illustrercette mise en garde par un exemple très précis, anticipons sur une notion que nousverrons plus loin : la diffraction. Nous étudierons plus loin la transmission d’une ondeplane par un trou circulaire, et nous verrons que la lumière transmise forme à l’écran unefigure compliquée bardée d’une alternance de franges sombres et de franges lumineuses(c’est le phénomène de diffraction), alors que l’optique géométrique indiquerait que lalumière transmise forme un disque lumineux homogène reproduisant la forme du trou.En faisant tendre la longueur d’onde vers des valeurs arbitrairement petites, on ne faitpas disparaître les franges dues à la diffraction. On les rend de plus en plus serrées etelles ne seront appréciables que de plus en plus près des bords. C’est en ce sens quel’on retrouve le résultat de l’optique géométrique.

28


3. Ondes quasi-monochromatiques –introduction à la notionde cohérence

3.1 Superpositions d'ondes planes monochromatiquesde pulsations voisines

Les ondes planes ont une extension infinie, et ne peuvent prétendre fournir une descrip-tion exacte d’une onde réelle, forcément limitée. Toutefois, en superposant des ondesplanes de pulsations différentes, on peut obtenir des ondes ayant une extension spa-tiale limitée. Nous allons d’abord le mettre en évidence en superposant un nombrefini d’ondes monochromatiques, puis nous passerons à des sommes continues (des inté-grales) dans le paragraphe suivant.

Considérons par exemple la superposition d’ondes monochromatiques de même am-plitude, dont les pulsations ωn sont distribuées autour d’une valeur centrale ω0,

A (r, t) =∑n

Anei(kn·r−ωnt) (2.21)

Les An sont des grandeurs complexes dont la phase, dans beaucoup de situations phy-siques, ne peut pas être complètement déterminée. Très souvent, on peut en excellenteapproximation supposer que cette phase est une variable aléatoire, différente pour cha-cune des ondes participant à la superposition (dans certaines conditions, les lasersconstituent une exception, voir le chapitre 9). Examinons l’allure de A (t) en un pointdonné, qu’on peut choisir comme origine du repère (r = 0 en ce point), dans une suc-cession de superpositions contenant de plus en plus de termes. Commençons par unesomme de deux ondes monochromatiques, de pulsations ω1 = 0,95ω0 et ω2 = 1,05ω0.À un instant t donné, l’amplitude s’écrit

A (t) = A0 cos(ω1t+ φ1) + A0 cos(ω2t+ φ2)

soit en notations complexes,

A (t) = A0e−i(ω1t+φ1) + A0e

−i(ω2t+φ2)

Cette amplitude est représentée sur la courbe du haut de la figure 2.5, on y observele phénomène de battement : l’onde totale est une sinusoïde de pulsation ω = (ω1 +ω2)/2 = ω0, dont l’amplitude est modulée par un terme sinusoïdal de pulsation plusfaible qui vaut (ω2 − ω1)/2 = 0,1ω0 dans le cas présenté ici.

29


Ensuite, considérons une somme de non plus deux mais de N ondes monochroma-tiques avec des pulsations régulièrement espacées entre 0,95ω0 et 1,05ω0, et des phasestoujours arbitraires. L’amplitude devient

A (t) =

N∑n=1

A0e−i(ωnt+φn) (2.22)

On obtient (figures 2.5) une onde de pulsation ω0 modulée par une enveloppe pério-dique. La période de l’enveloppe est d’autant plus grande que le nombre d’ondes quel’on ajoute est important. D’autre part, l’amplitude de la superposition change au coursdu temps, entre 0 et une amplitude maximale de l’ordre de Amax ≈ A0

√N .

FIG. 2.5 Représentation de l’évolution temporelle (avec la même échelle d’abs-cisse) de superpositions incohérentes d’ondes monochromatiques ayantdes pulsations distribuées autour d’une valeur centrale ω0. Sur la figure(a), on a superposé deux ondes de pulsations 0,95ω0 et 1,05ω0. En (b) et(c), on a superposé 5 et 11 ondes de pulsations régulièrement espacéesentre ces deux valeurs. Les phases de ces composantes ont été tirées ausort entre 0 et 2π par un générateur aléatoire. Les zones grisées matéria-lisent une période de l'enveloppe.

(a)

(b)

(c)

L’hypothèse que les phases des An sont indépendantes est cruciale. Reprenons ladernière superposition en considérant cette fois la même phase (par exemple φn = 0)pour tous les termes, soit

A (t) =N∑

n=1

A0e−iωnt

30


FIG. 2.6 Représentation de l’évolution temporelle de superpositions cohérentesd’ondesmonochromatiques ayant des pulsations distribuées autour d’unevaleur centrale ω0, comme dans la figure précédente, mais avec une phaseidentique pour toutes les ondes.

(d)

(e)

(f)

L’amplitude présente alors un pic bien marqué d’amplitude Amax = NA0 bien supé-rieure à celle de la superposition incohérente (figure 2.6). Cette propriété est utiliséedans certains lasers pour obtenir des faisceaux lumineux très intenses.

3.2 Notion de cohérence temporelle

La figure 2.5 montre que l’amplitude peut être représentée par une sinusoïde de pulsa-tion moyenne ω0, modulée par un terme qui varie de manière irrégulière, sur un tempstypique tenv ∼ 1/|ω1 − ω2|. On dit que l’onde est constituée de trains d’onde. Exa-minons ces trains d’onde plus en détail. La figure 2.7 représente le module et la phasede l’onde totale dans le cas (c). On voit qu’au sein de chaque train d’onde, la phasevarie assez lentement, mais qu’elle varie brusquement au passage d’un train d’onde ausuivant. On peut alors écrire pour chaque train d’onde

Atrain(t) ≈ A ′0e

−i(ωt+φ(t))

On peut voir l’onde comme une succession de trains d’onde ayant chacun une amplitudeet une phase bien définie et indépendante de celle des autres. La durée typique de cestrains d’onde est appelée temps de cohérence et notée τc. Elle est directement reliée àla largeur spectrale de l’onde, c’est-à-dire de l’étendue ∆ω de la gamme de pulsations

31


qu’elle contient. Plus un rayonnement est spectralement pur, plus les trains d’onde sontlongs. Plus précisément, τc est donné par

τc ∼1

∆ω

La cohérence temporelle qualifie le degré de confiance avec lequel on peut, dela connaissance d’une onde en un point donné à un instant donné, déduirel’état de l’onde à un instant ultérieur en ce même point.

FIG. 2.7 Représentation de l’amplitude, du module et de la phase d’une superposi-tion de 100 ondes monochromatiques. La zone grisée représente schéma-tiquement un train d'onde.

amplitude

module

t

phase

π

−π

t

On peut aussi introduire une longueur de cohérence ℓc, qui représente la distanceparcourue par l’onde pendant le temps τc, et qui vaut donc ℓc = cτc. C’est l’étenduespatiale sur laquelle l’onde peut être représentée par une sinusoïde d’amplitude et dephase fixées.

32


3.3 Intensité d'une superposition incohérente

L’intensité de la superposition incohérente de l’équation 2.22 s’écrit

I(t) =⟨A (t)A ⋆(t)

⟩=∑n

A 20 +

N∑n=1

∑m=n

A 20

⟨ei(ωm−ωn)t+φm−φn

⟩L’intensité instantanée fluctue au cours du temps sur une échelle de temps τc. Lesdétecteurs usuels sont sensibles à la valeur moyenne sur un temps τd ≫ τc si bien quel’on mesure non pas I(t) mais la valeur moyenne

⟨I(t)⟩τd =∑n

I0 +N∑

n=1

∑m=n

A 20

⟨ei(ωm−ωn)t+i(φm−φn)

⟩τd

La deuxième (double) somme est en général très petite devant la première, si bien quel’intensité totale est donnée par

⟨I(t)

⟩≈

N∑n=1

I0 = NI0 (2.23)

Quand on superpose des ondes mutuellement incohérentes, l’intensité totale est donnéepar la somme des intensités de chaque onde. Autrement dit, la superposition de N ondesincohérentes d’amplitude A0 a la même intensité qu’une onde d’amplitude

√N A0 et

non N A0. On peut présenter ce résultat en introduisant les phaseurs, des vecteursun dans le plan complexe dont la direction indique la phase et la norme, l’amplitude.L’amplitude d’une superposition de N ondes incohérentes est la somme de N phaseursayant des orientations indépendantes (figure 2.8). L’extrémité du vecteur total décritune marche au hasard constituée de N pas de longueur A0. Un résultat classiqueindique que la longueur moyenne d’une telle marche au hasard est donnée par

√NA0,

ce qui permet de retrouver les résultats précédents.

FIG. 2.8 Superposition d’amplitudes incohérentes (à gauche) et cohérentes (àdroite) grâce à des sommes de phaseurs.

33

physiqueIndex

Abraham-Lorentz (équation d’), 225absorption, 20, 232–233, 250, 252–254activité optique, 212–213adaptation d’impédance, 128aile de papillon, 128Airy

fonction d’, 155George Biddel, 114rayon d’, 155tache d’, 155, 160, 162, 180

amplification optique, 287amplitude, 22, 23

division de l’, 64ampèremètre à fibre, 216analyse de Fourier, 23, 25analyseur, 207angle

de Brewster, 42–43critique, 42

anisotrope (milieu), 236–237anneaux d’interférence, 73–74, 118anti-reflet, 126–128apodisation, 162–164approximation

des petits angles, 328scalaire, 8, 20

AragoFrançois, 179point de Poisson-, 3, 178–180, 182

arc-en-ciel, 98Aspect (Alain), 248atome, 221–223atténuation, 286, 297autocorrélation (fonction d’), 57, 91–94

axicon, 182–184

Babinet (Jacques), 259Babinet (théorème de), 157–159, 180bande passante, 265–266bande photonique interdite, 290base, 197, 277

changement de, 320–321bâtonnet, 324battements, 54Bell (John), 248Bessel

faisceau de, 182–184fonction de, 27, 154, 181, 282, 322–323ondes de, 27

Bételgeuse, 81Beth (expérience de), 22Bezold (effet), 324biaxe, 237bilentille, 64biprisme de Fresnel, 53, 61, 64biréfringence, 208–211, 230

circulaire, 212induite, 211

blanc d’ordre supérieur, 89, 128, 210blazage, 109–111Bohr

Niels, 221rayon de, 222

bord (diffraction par un), 174–176, 180boson, 242Bouguer-Lambert (loi de), 297Boulouch (Raymond), 114Brewster (angle de), 42–43

335


Brillouin (Léon), 235brouillage, 58, 75, 77, 78, 81–83, 87, 89bruit de photons, 243–244

Cauchy (formule de), 234cavité optique, 298–302CD (compact disc), 95ceinture (rayon de), 307champ

électrique, 15magnétique, 15quantique, 11

changement de base, 320–321charge électrique (conservation de), 16charge liée, 19chemin optique, 28

différence de, 56classe d’un laser, 309Clausius-Mossotti (relation de), 232coefficient

de réflexion, 38–43, 125de transmission, 38–43

coefficient d’Einstein, 249–254cœur, 261cohérence

aire de, 247longueur de, 32, 67, 247, 300spatiale, 75–86, 176, 246–247temporelle, 31–32, 57–58, 86–91,

246–247temps de, 31, 87, 89, 246volume de, 247

coin d’air, 63Colladon (Jean-Daniel), 259compensatrice, 62Compton

Arthur, 238effet, 240–241longueur d’onde de, 241

cône, 324conservation

de la charge électrique, 16de l’énergie, 43, 146

constantediélectrique, 20

de Planck, 11de Verdet, 213

construction de Huygens, 112contact optique, 84contraste de phase (microscopie à), 168convolution (produit de), 155coordonnées

cylindriques, 27sphériques, 26

Cornu (spirale de), 171–173corrélation

fonction d’auto, 57, 91–94fonction de, 37, 57, 91–94d’intensité, 92–94

couche anti-reflet, 126–128couleur, 128, 323–328

interférentielle, 128, 210courbe de fluorescence, 301cristaux liquides (écran à), 216critère de Rayleigh, 160–162critique (angle), 42cryolithe, 127cryptographie quantique, 248cylindriques (coordonnées), 27

D’Alembert (équation de), 17, 20degré de polarisation, 203demi-onde (lame), 209demi-teinte, 166demi-vie (temps de), 252, 254déphasage, 23Descartes

lois de Snell-, 5, 38–40, 42, 46René, 3

détramage, 166diaphragme, 159dichroïque, 206diélectrique

constante, 20milieu, 18miroir, 127, 129permittivité, 20permittivité relative, 20susceptibilité, 18

336

Index

différence de marche, 56, 58, 62, 66, 70, 72,76, 79, 80, 84, 92, 96, 97

diffraction, 6, 10, 28par un bord, 174–176, 180de Fraunhofer, 141–142, 144–168de Fresnel, 141–142, 169–184à l’infini, 146–147limite de, 160lobe de, 150, 151, 156, 163, 164

diffusionpolarisation par, 205

diodeélectro-luminescente, 312laser, 312

dioptre, 37Dirac (distribution de), 149, 156direction de polarisation, 34, 195dispersion, 233, 286–287

anormale, 233chromatique, 287intrinsèque, 287de mode, 264–265, 275, 287normale, 233relation de, 264

distribution de Dirac, 149, 156divergence, 15, 317division de l’amplitude, 64division du front d’onde, 64doublement de fréquence, 237doublet jaune du sodium, 87, 107DVD, 95

e-lisa, 95échelette (réseau à), 110éclairement, 21, 25, 27écran à cristaux liquides, 216Eddington (Arthur), 176effet

Bezold, 324Compton, 240–241Faraday, 213–216Goos-Hänchen, 49Kerr, 211Kundt, 213laser, 296

magnéto-optique, 213photo-électrique, 4, 238Pockels, 211Sagnac, 58–60tunnel, 47, 124

EinsteinAlbert, 4, 238coefficients d’, 249–254relations d’, 253, 296

électromagnétiqueénergie, 21induction, 8onde, 17

électron élastiquement lié, 224–227émission

induite, 250–254, 287, 295–297spontanée, 251–254, 295, 304–305stimulée, 250–254, 287, 295–297

endoscope, 260énergie

conservation de l’, 43, 146électromagnétique, 21

équation(s)d’Abraham-Lorentz, 225de continuité, 16de D’Alembert, 17, 20de Helmholtz, 23, 26, 43–49, 123–125,

137, 141, 272iconale, 28de Maxwell, 3, 7, 8, 15–16, 44des ondes, 17, 20, 281–282de Schrödinger, 45, 222, 223

espace des phases, 246état

métastable, 254stationnaire, 222

éther, 3, 133Euler

Leonhard, 3évanescente (onde), 37, 43, 47–49, 275, 278,

280expérience

de Beth, 22de Michelson-Morley, 96–97

337


des trous d’Young, 53, 62, 64, 75–83,100, 101, 103, 105–108, 152–153

extraordinaire (indice), 208

FabryCharles, 114-Perot (interféromètre de), 101, 107,

114–123, 300facteur d’inclinaison, 134, 137, 138, 175,

178, 181faisceau

de Bessel, 182–184gaussien, 183, 302, 306–308

Faradayeffet, 213–216rotation de, 213

fente infiniment longue, 147–149fentes d’Young, 152–153Fermat (principe de), 140fibre optique, 259–291

à gradient d’indice, 288–289panda, 285

filtre, 36finesse, 106, 108, 117, 118, 120–121, 300Fizeau (Hippolyte), 81flaque d’huile, 128fluorescence (courbe de), 301fluorure de magnésium, 127fonction

d’Airy, 155d’autocorrélation, 57, 91–94de Bessel, 181de Bessel, 27, 154, 282, 322–323de corrélation, 37, 57, 91–94d’onde, 100, 222

fonction de transparence, 151, 156, 157,162, 168, 185, 187, 188

fontaine lumineuse, 259forage laser, 27force

de Lorentz, 10, 15, 214d’oscillateur, 226

formulede Cauchy, 234de Fresnel, 40

de Fresnel-Kirchhoff, 137–140Fourier

analyse de, 23, 25optique de, 164–166plan de, 164transformée de, 35, 107, 152, 155–157,

164–166, 318–320foyer, 158, 164, 181, 187franges d’interférence, 69–73, 80Fraunhofer (diffraction de), 141–142,

144–168fréquence, 23

doublement de, 237Fresnel

-Kirchhoff (formule de), 137–140Augustin, 3, 134, 179biprisme de, 53, 61, 64diffraction de, 141–142, 169–184formules de, 40intégrale de, 171–176miroirs de, 53, 61, 64parallélépipède de, 49, 205principe de Huygens-, 8–10, 133–144,

181zone de, 184–190

front d’onde (division du), 64

Gabor (Denis), 189gain, 297, 299gaine, 261gamma (rayon), 11gaussien (faisceau), 183, 302, 306–308Goos-Hänchen (effet), 49gradient, 317gradient d’indice, 288–289groupe (vitesse de), 234guidage faible, 279gyromètre optique, 58–60

harmonique, 23Heisenberg (principe d’incertitude de),

244–246, 304Helmholtz

équation de, 23, 26, 43–49, 137, 141,272

338

Index

Herman von, 137Helmholtz (équation de), 123–125Hertz (Heinrich), 3, 6holographie, 189–190Hubble (télescope spatial), 161Huygens

-Fresnel (principe de), 8–10, 133–144,181

Christiaan, 3, 133construction de, 112

hyperboloïde de révolution, 68

iconale (équation), 28inclinaison (facteur d’), 134, 137, 138, 175,

178, 181indice

extraordinaire, 208ordinaire, 208de réfraction, 228–229, 231–232, 234

induction électromagnétique, 8infini

diffraction à l’, 146–147localisation à l’, 84

intégralede Fresnel, 171–176de Kirchhoff, 137

intensité, 25corrélation d’, 92–94

interférence, 10anneaux d’, 73–74, 118constructive, 56destructive, 56franges d’, 69–73, 80ordre d’, 68, 74, 87, 89, 106, 118

interféromètrede Fabry-Perot, 101, 107, 114–123, 300de Michelson, 62–64, 83–86, 95de Talbot-Lau, 114

interférométrie optique, 97interfrange, 70, 71, 80, 86, 88invariance de jauge, 16inversion de population, 297, 303, 313isolateur optique, 215isotrope (milieu), 235–236

J0 (fonction de Bessel), 27, 154, 181

J1 (fonction de Bessel), 154jauge (invariance de), 16

Keck, 97Kerr (effet), 211Kirchhoff

Gustav, 137intégrale de, 137

Kirchhoff (formule de Fresnel-), 137–140Kundt (effet), 213

Labeyrie (Antoine), 97Lambert (loi de Bouguer-), 297lame

cristalline, 208–210demi-onde, 209quart d’onde, 209

lame mince, 123–129lancer de rayon, 5laplacien, 17, 45, 317laser, 29, 36, 58, 289, 293–314

chimique, 312classe d’un, 309diode, 312forage, 27hélium-néon, 300, 305, 308, 311naturel, 312refroidissement, 314à rubis, 310sécurité, 308–309à semiconducteur, 312à solide, 310YAG, 310

LCD, 216lentille, 26lentille diffractante, 187–188liaison TAT-14, 290Ligo, 95limite

de diffraction, 160de résolution, 160–162

de l’œil, 162linéaire (milieu), 235–236lobe de diffraction, 150, 151, 156, 163, 164localisation à l’infini, 84

339


loide Bouguer-Lambert, 297de Malus, 206–207de Snell-Descartes, 5, 38–40, 42, 46

longitudinale (onde), 24longueur

de cohérence, 32, 67, 247, 300de pénétration, 48, 275, 280de Rayleigh, 307

longueur d’onde, 24de Compton, 241

Lorentzéquation d’Abraham-, 225force de, 10, 15, 214-Lorenz (relation de), 232

Lorenz (relation de Lorentz-), 232lumière

blanche, 88naturelle, 201vitesse de la, 234–235

magnéto-optique (effet), 213Maiman (Theodore), 310Malus (loi de), 206–207maser, 310Maxwell

équations de, 3, 7, 8, 15–16, 44James Clerk, 3, 6

mélasse optique, 314métamérisme, 328Michelson

Albert, 81, 96interféromètre de, 62–64, 83–86, 95-Morley (expérience de), 96–97

microscopie à contraste de phase, 168milieu

anisotrope, 236–237diélectrique, 18isotrope, 235–236linéaire, 235–236

miroirdiélectrique, 127, 129de Fresnel, 53, 61, 64

mode, 120, 222, 262–270, 275–279dispersion de, 264–265, 275, 287

modulation, 216molécule, 221–223moment cinétique, 22, 241–242moment dipolaire, 18monochromateur à réseau, 111–112monochromatique (onde), 22–28monomode, 267, 287, 289, 290, 301Morley

Edward, 96expérience de Michelson-, 96–97

Mossotti (relation de Clausius), 232

Newton (Isaac), 3niveau, 222nuage électronique, 223–226, 249, 250

objet de phase, 159occultation, 176œil, 324

limite de résolution de l’, 162onde électromagnétique, 17ondes

de Bessel, 27demi-, 209équation des, 17, 20, 281–282évanescente, 37, 43, 47–49, 275, 278,

280fonction d’, 100, 222gravitationnelle, 95, 195longitudinale, 24longueur d’, 24monochromatique, 22–28plane, 24, 35, 71–73quart d’, 209quasi-monochromatique, 29–37sphérique, 26–27train d’, 31, 32, 34, 35, 57, 58, 99, 295transverse, 24vecteur d’, 24

opérateurdivergence, 15, 317gradient, 317laplacien, 17, 45, 317rotationnel, 15, 317

optique de Fourier, 164–166

340

Index

ordinaire (indice), 208ordre d’interférence, 68, 74, 87, 89, 106,

118oscillateur (force d’), 226ouverture

circulaire, 154–155, 176–180numérique, 181rectangulaire, 145–151

panda (fibre), 285papillon (aile de), 128parallélépipède de Fresnel, 49, 205paramètres de Stokes, 197, 199–203, 217,

218particule, 11, 239passage (relations de), 38Pease (Francis), 81pénétration (longueur de), 48, 275, 280période, 23perméabilité magnétique du vide, 15permittivité

diélectrique, 20diélectrique du vide, 16diélectrique relative, 20

PerotAlfred, 115interféromètre de Fabry-, 101, 107,

114–123, 300phase, 23

contraste de, 168objet de, 159vitesse de, 234

phaseur, 33phosphorescence, 254photo-électrique (effet), 4, 238photodétecteur, 54photon, 4, 11, 226, 237–242

bruit de, 243–244corrélation de, 248

physique quantique, 11, 45, 47, 100, 124,218, 222

pincement, 307rayon de, 307

plan de Fourier, 164Planck

constante de, 11Max, 4, 238

Pockels (effet), 211

pointde Poisson-Arago, 3, 178–180, 182stationnaire, 140

Poissonpoint de, 3, 178–180, 182Siméon Denis, 179

polarisabilité atomique, 226–227, 231–232polarisation, 34, 285

circulaire, 196degré de, 203par diffusion, 205direction de, 34, 195elliptique, 196, 208–210linéaire, 196partielle, 200–203rectiligne, 196par réflexion, 204–205rotatoire, 212taux, 203taux de, 203vecteur, 18volumique, 18

pompage optique, 303–304, 312population (inversion de), 297, 303, 313pouvoir de résolution, 107–108, 111, 112,

121–122Poynting (vecteur de), 21, 25, 27pression de radiation, 22, 241principe

de Fermat, 140de Huygens-Fresnel, 8–10, 133–144, 181de superposition, 16

prisme, 113prix Nobel, 168, 189, 238, 305processus stationnaire, 37produit de convolution, 155pulsation, 23

quantiquechamp, 11physique, 11

341


quantité de mouvement, 22quart d’onde (lame), 209quasi-monochromatique (onde), 29–37

radiation (pression de), 22, 241raie spectrale, 36Rayleigh

critère de, 160–162longueur de, 307

rayond’Airy, 155de Bohr, 222de ceinture, 307classique de l’électron, 225gamma, 11lancer de, 5de pincement, 307X, 238

rayon lumineux, 5, 28raytracing, 5recul, 240réflexion, 37

coefficient de, 38–43, 125polarisation par, 204–205totale, 42, 112, 113, 262, 269–270totale frustrée, 47

réfraction, 20, 37, 46indice de, 228–229, 231–232, 234

refroidissement laser, 314règle de sélection, 254relation

de Clausius-Mossotti, 232de dispersion, 264d’Einstein, 253, 296d’incertitude de Heisenberg, 244–246,

304de Lorentz-Lorenz, 232de passage, 38

répétiteur, 266, 287, 289réponse (temps de), 54réseau

diffractant, 103–153à échelettes, 110monochromateur à, 111–112

réseau diffractant, 114

résolutionde l’œil (limite de), 160–162pouvoir de, 107–108, 111, 112,

121–122résonance, 226rotation de Faraday, 213rotationnel, 15, 317rubis (laser à), 310

Sagnac (effet), 58–60saturation, 299scalaire

approximation, 8, 20équation, 17, 281–282

Schawlow (Arthur), 305Schrödinger (équation de), 45, 222, 223section efficace, 296sécurité laser, 308–309semiconducteur (laser à), 312séparatrice, 62sinus cardinal, 78, 106–108, 145, 147, 152,

153Snell-Descartes (lois de), 5, 38–40, 42, 46sodium (doublet jaune du), 87, 107Sommerfeld (Arnold), 235source

étendue, 75–86polychromatique, 86–91spectrale, 36, 203thermique, 36, 90, 203

spectraleraie, 36source, 36

spectrecannelé, 89, 210

spectroscopie, 121sphérique(s)

coordonnées, 26onde, 26–27

spin, 241–242spirale de Cornu, 171–173stationnaire

état, 222point, 140processus, 37

342

Index

sténopé, 176–180Stokes (paramètres de), 197, 199–203, 217,

218strioscopie, 166superposition (principe de), 16susceptibilité diélectrique, 18synthèse

additive, 326soustractive, 327–328

tache d’Airy, 155, 160, 162, 180Talbot-Lau (interféromètre de), 114TAT-14 (liaison), 290taux de polarisation, 203teinte plate, 84télescope spatial Hubble, 161temps

de cohérence, 31, 87, 89, 246de demi-vie, 252, 254de réponse, 54

théorème de Babinet, 157–159, 180tomographie optique cohérente, 90–91Townes (Charles), 305train d’onde, 31, 32, 34, 35, 57, 58, 99, 295transformée de Fourier, 35, 107, 152,

155–157, 164–166, 318–320transition, 222

interdite, 254transmission (coefficient de), 38–43transparence

fonction de, 151, 156, 157, 162, 168,185, 187, 188

induite, 313transport radiatif, 21transverse

électrique, 271, 273–274magnétique, 271, 274

transverse (onde), 24trichromie, 325trous d’Young (expérience des), 53, 62, 64,

75–83, 100, 101, 103, 105–108,152–153

tunnel (effet), 47, 124

uniaxe, 208, 236

variables cachées, 248vecteur

d’onde, 24polarisation, 18de Poynting, 21, 25, 27

Verdet (constante de), 213Virgo, 95vitesse

de groupe, 234de la lumière, 20de phase, 234

vitesse de la lumière, 234–235VLT, 97volume de cohérence, 247

waist, 307

X (rayons), 238

Yag (laser), 310Young

expérience des trous d’, 53, 62, 64,75–83, 100, 101, 103, 105–108,152–153

fentes d’, 152–153

Zernike (Frederik), 168zone de Fresnel, 184–190

343

Propagation de la lumièreCe cours d’optique physique s’adresse aux étudiants en premier cycle universitaire ainsi qu’à ceux qui préparent les concours de l’enseignement (Capes, Agrégation de physique, etc.). Après une introduction générale et des rappels sur les ondes électro-magnétiques, les phénomènes d’interférences et de diffraction sont étudiés, en s’ap-puyant sur de nombreuses illustrations et applications modernes. Les phénomènes liés à la polarisation des ondes lumineuses sont ensuite abordés, pour finir par deux chapitres qui utilisent l’ensemble des notions introduites dans le reste de l’ouvrage et qui sont consacrés aux fibres optiques et aux lasers, deux domaines d’importance capitale au niveau fondamental comme au niveau technique et industriel.

L’auteur sépare clairement les difficultés d’ordre physique de celles d’ordre mathé-matique. Il a remarqué que les étudiants attribuent souvent les difficultés qu’ils éprouvent à la physique elle-même, alors qu’il s’agit en général de difficultés mathé-matiques. Ici, les principes de base sont illustrés très tôt par des applications simples ou des résolutions numériques, en montrant au lecteur les phénomènes physiques qu’induisent ces principes. Les calculs plus formels sont ensuite présentés, en se référant toujours à ces illustrations.

Des applications récentes sont présentées, pour bien montrer au lecteur que l’op-tique est une science vivante, en pleine évolution, et pas seulement une matière « poussiéreuse » qu’il convient d’apprendre simplement parce que « c’est au pro-gramme » !

Richard Taillet Ancien élève de l’ENS de Lyon en Physique, Docteur en Physique théorique, dans le domaine de l’astrophysique, agrégé de Sciences Physiques, Professeur à l’Université Savoie Mont Blanc, chercheur en astrophysique au LAPTH (Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique).

Les «plus» Conformité aux exigences des programmes de premier cycle (Licence) Mise en évidence des applications concrètes Apport pédagogique mettant au premier plan les discussions physiqueset au second plan le calcul mathématique

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M2

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L1L2

Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre en France le niveau : Licence 2-3.En Belgique Baccalauréat 2-3. En Suisse Bachelor 2-3.Au Canada Baccalauréat 2-3.

Richard Taillet

Optique physique

www.deboecksuperieur.comISBN 978-2-8073-0005-7

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