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3ème cours de Mécanique Analytique (22 Septembre 2011)

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Leçon précédente ...

Chapitre 1 : Les équations de Lagrange

• 1.4 Généralisation du principe des travaux virtuels et le principe de d’Alembert• 1.5 Les équations de Lagrange• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange

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Aujourd’hui ...

Chapitre 1 : Les équations de Lagrange

• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange

• Exemple 1 : le pendule plan• Exemple 2 : la cuvette sphérique• Exemple 3 : la fronde en contraction• Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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• 1.5 Les équations de Lagrange

(1.19) (1.20)

(1.28) (1.29)

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• 1.6 Exemples d’utilisation des équations de Lagrange

• Choisir un ensemble de f coordonnées généralisées (q1, q2, …, qf)

• Exprimer T, Qi et V en fonction des qi, qi et t

• Calculer L = T - V

• Ecrire les équations de Lagrange

.

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• x

y

o

BC

A

θℓ

m

g

• 1.6 Exemple 1 : le pendule plan

2 contraintes :x2+y2 = ℓ2,z = 0

q = θ

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• 1.6 Exemple 1 : le pendule plan

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• 1.6 Exemple 1 : le pendule plan

x = ℓ sin(θ)

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φ

θx

y

z

Fa = mg

F

• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique

ℓ

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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique

17

• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique

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• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique

19

• 1.6 Exemple 2 : la cuvette sphérique

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x

ym

S φ

• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction

q = φ

-c (cm par seconde)

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• 1.6 Exemple 3 : la fronde en contraction

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• Exercice proposé :

Si q = q(q,t) et donc aussi q = q(q,t), montrer au moyen de ces transformations de coordonnées généralisées que la forme des équations de Lagrangeest invariante, et aussi que l’existence d’un potentielgénéralisé V ou d’un lagrangien L sont des propriétésintrinsèques du système mécanique considéré, et sont donc indépendants du choix des coordonnées généra-lisées.

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Montrer donc que si :

et/ou

Alors

et/ou_ _

_ __ _

_ _

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Rappels :

1. Pour le cas d’un solide soumis à des forces extérieures qui découlent d’un potentiel V(rα,t), on peut facilement établir l’équation de conservation d’énergie T + V = Cte (cf. cours de mécanique analytique de 2ème B ac.).

2. Pour le cas d’un solide en rotation autour d’un point fixe O, on a : Li = Iij ωj , T = Iij ωi ωj / 2.

Si Iij = δij {Ii}, alors Li = δij {Ii} ωj = {Ii} ωi

T = {Ii} ωi ωi / 2.

• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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•C

mg

ligne des noeuds

x1

x2x3

X1

X3

X2

φ ψ

θ

o

• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson

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• 1.6 Exemple 4 : problème de Lagrange-Poisson