MEC3 A2013 Bc02 Surfaces

Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 1

Bloc 2 (suite) - Modélisation de

surfaces & conditions de continuité

MEC3510 – Éléments de CFAO


Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier

Plan

A. Introduction

B. Notions théoriques sur les surfaces

C. Notions appliquées

3


Surface continue, définie en tout point par des relations mathématiques

Géométrie définie: pts, lignes, courbes (arêtes), surfaces

volume, solide

Beaucoup de modèles SOLIDES sont construits à partir de courbes et surfaces

Surfaces des pales d’une pompe

Surfaces des ailes

et du fuselage d’un avion

Capot de voiture Couvercle en plastique

A. Introduction


Plan

A. Introduction

B. Notions théoriques sur les surface


5


Plan


B.1 Représentations mathématiques (rappel)

B.2 Dérivées première, seconde et propriétés géométriques d’une surface

B.3 Notions de continuité

B.4 Surfaces synthétiques : descriptions mathématiques et caractéristiques

6


Représentation mathématique des surfaces (rappel)

Forme implicite non-paramétrique F(x,y,z) = 0 ex.: x2 + y2+ z2 - R2 = 0

Forme explicite non-paramétrique

z = f(x,y) ex. : z = ± R2 - x2 - y2

Forme paramétrique S(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

u

v

S(u,v)=(x(u,v) y(u,v) z(u,v))

Forme la plus utilisée en CFAO

B.1


Dérivées premières et tangentes B.2

vP

uP

u

0uu

P

v

0vv

0 0 0 : ) u (u v de direction la dans ) v , P(u en premières Dérivées

0 0 0 : ) v (v u de direction la dans ) v , P(u en premières Dérivées

0

) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0

v v

v v

v u z

v

v u y

v

v u x P

d

d

d

d

d

d

0

) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0

u u

u u

v u z

u

v u y

u

v u x P

d

d

d

d

d

d


Dérivées premières et tangentes

Pour une courbe de direction arbitraire P(u(t), v(t)), le vecteur tangent est :

Le vecteur tangent unitaire est :

Représente une combinaison linéaire de Pu et Pv

Se situe dans le plan tangent formé par Pu et Pv

2

2

Fet A où )()(

)(

vvu

vuu

v

u

PPP

PPP

P

P

uFu

Au

tP

tPt

v

u

vutt

vtt

utt

P

Pvu

vPuPdt

dvP

dt

duP

dt

PdP

000 P ))(),(( tvtuP

dt

dv

dt

duu

B.2


Dérivées premières et tangentes

Dérivées premières et plan tangent

Vecteur normal unitaire

2)( vu

vu

PxP

PxPe

uPvP

e

B.2


Dérivées secondes et courbures

Dérivée seconde en P(u0,v0) dans la direction de u (v=v0)

Dérivée seconde en P(u0,v0) dans la direction de v (u=u0)

Dérivée mixte en P(u0,v0)

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2 ),(),(),(

uu

uuu

vuz

u

vuy

u

vuxP

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2 ),(),(),(

vv

vvv

vuz

v

vuy

v

vuxP

00 ,

222 ),(),(),(

uuvv

uvvu

vuz

vu

vuy

vu

vuxP

B.2


Courbure normale

Soit une courbe définie sur la surface et la courbe C formée par l’intersection entre la surface et le plan formé par le vecteur tangent en un point P et le vecteur normal unitaire :

P

e

)(tP

)(tPP

),( vuS

)(tPP

e

),( vuS

P

e

2

2

F G où vvu

vuu

vvvu

uvuu

T

T

nPPP

PPP

PePe

PePe

uFu

uGu

dt

dv

dt

duu

B.2

La courbure de la courbe C est la courbure normale relative à la direction de au point P. C’est la longueur projetée du vecteur de courbure de la courbe sur . La courbure normale n se calcule selon : P


Courbure gaussienne et courbure moyenne

En général, pour une autre courbe passant par le point P, la direction

de change et la courbure normale n aussi. La direction selon laquelle n prend une valeur extrême est la direction principale de la courbure normale.

Les valeurs extrêmes n max et n min sont les valeurs maximales et minimales appelées les courbures principales.

La courbure gaussienne K est obtenue de l’équation :

La courbure moyenne H est obtenue de l’équation :

P)(tP

F

G

PPPP

PePePeK

vuvu

uvvvuunn

)(

)())((22

2

min max

)(

)())((2)(2

22

22

min max

vuvu

uuvuvvuvvunn

PPPP

PePPePPPePH

)(tPP

e

),( vuS

B.2


Interprétation des courbures gaussienne et moyenne

n max > 0 **n max > 0 n max > 0

n min > 0 n min = 0 n min < 0

K > 0 K = 0 K < 0

H > 0 H > 0 H ≠ 0

B.2

Point elliptique P Point parabolique P Point hyperbolique P

Point ombilique P

n max = n min ≠ 0 n max = 0

n min = 0

K > 0 K = 0

H > 0 H = 0

Point planaire P

** n max = constant sur la surface cylindre de rayon R n max = 1/Rcylindre


Surface développable et réglée B.2

Surface développable

Surface que l’on peut mettre à plat sans étirement

Peut être représentée par une feuille de papier ou une tôle d’acier

Une surface est localement développable si la courbure gaussienne est nulle localement

Surface réglée

Surface sur laquelle en tout point il passe au moins une droite entièrement contenue dans la surface

Ex. : cône (droites concourantes au sommet), cylindre (droites parallèles à l’axe)

Kn > 0 (bleu) Kn = 0 (blanc) développable Kn < 0 (rouge)


Analyse de courbures surfaciques Exemple

Laboratoire ASU

B.2


Analyse de courbures surfaciques Exemple

PAC Car II - Essais de performance

(tiré de www.ugs.com)

"Auto-body painting" : modèles de déposition

de peinture & calcul de trajectoires optimales

(tiré de http://voronoi.sbp.ri.cmu.edu)

B.2


Continuité d’ordre 0 Soit deux morceaux de surfaces et

),( vuPI

),( vuPII

10 : si )G,(C 0 ordred' continuité une a On 00 vvPvP III ),1(),0(

B.3

Notions de continuité



Continuité d’ordre 1 On a une continuité paramétrique d’ordre 1 (C1) si les dérivées

premières en tout point de la jonction sont égales :

On a une continuité géométrique d’ordre 1 (G1) si la direction des

vecteurs normaux est continue (mêmes plans tangents) :

scalaire un est où 10

scalaire un est où 10

Comme

v

v

vPvPvP

vPvP

vPvPvPvP

vIuIuII

vIvII

vIuIvIIuII

),1(),1(),0(

),1(),0(

),1(),1(),0(),0(

,,,

,,

,,,,

10 ),1(),0(

10 ),1( ),0(

,,

,,

vvPvP

vvPvP

uIuII

vIvII

B.3



Continuité d’ordre 1

scalaire un est où 10 vvPvPvP vIuIuII ),1(),1(),0( ,,,

B.3



Continuité d’ordre 2 On a une continuité paramétrique d’ordre 2 (C2) si les dérivées

secondes en tout point de la jonction sont égales :

On a une continuité géométrique d’ordre 2 (G2) si les courbures moyennes et gaussiennes sont équivalentes en tout point de la jonction

(H1 = H2 et K1=K2) :

10 ),1(),1(),0(

10 ),1(),0(

10 ),1( ),1(2),1( ),0(

,,,

,,

,

2

,,

2

,

vvPvPvP

vvPvP

vvPvPvPvP

vvIuvIuvII

vvIvvII

vvIuvIuuIuuII

10 ),1(),0(

10 ),1(),0(

10 ),1( ),0(

,,

,,

,,

vvPvP

vvPvP

vvPvP

uvIuvII

vvIvvII

uuIuuII

B.3


Exemple d’application des continuités de surfaces

Industrie automobile : surfaces de classe A Surfaces de grande qualité présentant une forme esthétique optimale

Mathématiquement, ces surfaces présentent une continuité de courbure et présente une représentation mathématique simple

"Modeling a car body involves putting a lot of surfaces together, and the joining of these surfaces must be

seamless, or the result will not be esthetically pleasing. Class A applications produce surfaces that are

curvature continuous, meaning the rate of tangent change is consistent," says Ken Versprille, program

manager and senior analyst for MCAE, CAD/CAM.

tiré de www.design-engine.com

B.3


Surfaces synthétiques : descriptions mathématiques et caractéristiques

B.4


B.4.1 Surface bilinéaire

B.4.2 Surface de Coon’s (cas linéaire)

B.4.3 Surface bicubique (Hermite)

B.4.4 Surface de Bézier

B.4.5 Surface B-spline, NURBS

Types de surfaces synthétiques

Tiré de McMAHON C, BROWNE J, CAD/CAM Principles, Practice and Manufacturing Management, 1998

Tiré de ZEID I., CAD/CAM Theory and Practice, 1991

B.4


Interpolation linéaire à partir de 4 points

Tiré de KUNWOO LEE, Principles of

CAD/CAM/CAE Systems, 1999

P0,v = (1-v)P0,0 + vP0,1 (1)

P1,v = (1-v)P1,0 + vP1,1 (2)

or,

P(u,v) = (1-u)P0,v + uP1,v (3)

En substituant (1) et (2) dans (3), on obtient :

P(u,v) = (1-u)[(1-v)P0,0 + vP0,1] + u[(1-v)P1,0 + vP1,1]

= [(1-u)(1-v) u(1-v) (1-u)v uv] (0≤u≤1, 0≤v≤1)

P0,0

P1,0

P0,1

P1,1

B.4.1

Surface bi-linéaire Expression générale


Surface de Coons - linéaire Expression générale

Interpolation linéaire à partir de 4 courbes

Appliquons d’abord une interpolation linéaire entre P0,v et P1,v selon u, et entre Pu,0 et Pu,1 selon v :

P1(u,v) = (1-u)P0,v + uP1,v

P2(u,v) = (1-v)Pu,0 + vPu,1

Soit P(u,v) est l’addition des surfaces précédentes, on obtient P3(u,v) = P1(u,v) + P2(u,v) = (1-u)P0,v + uP1,v + (1-v)Pu,0 + vPu,1

En remplaçant par les courbes frontières, on a :

P3(0,v) = P0,v + (1-v)P0,0 + vP0,1 P3(1,v) = P1,v + (1-v)P1,0 + vP1,1 P3(u,0) = Pu,0 + (1-u)P0,0 + uP1,0 P3(u,1) = Pu,1 + (1-u)P0,1 + uP1,1

B.4.2

P3(u,v) ne représente donc pas la surface bornée par les 4 courbes frontières. Pour ce faire, il faut soustraire la surface bi-linéaire à P3(u,v)

Pu,0

P1,v

Pu,1

P0,v



Par conséquent, on obtient l’expression de la surface de Coons P(u,v) ainsi :

P(u,v)= [Interpolation linéaire entre P0,v et P1,v selon u] + [Interpolation linéaire entre Pu,0 et Pu,1 selon v] - [Surface bi-linéaire entre les 4 points de rencontre des 4 courbes]

P1(u,v)

P1(u,v) P2(u,v)

P2(u,v)

Pbi-linéaire(u,v)

Pbi-linéaire(u,v) + - = P(u,v)

B.4.2


P(u,v)= P1(u,v)+P2(u,v) – Pbi-linéaire(u,v)

P1(u,v) = (1-u)P0,v + uP1,v

P2(u,v) = (1-v)Pu,0 + vPu,1

Pbi-linéaire(u,v) = (1-u)[(1-v)P0,0 + vP0,1] + u[(1-v)P1,0 + vP1,1]

P(u,v) = (1-u)P0,v + uP1,v + (1-v)Pu,0 + vPu,1 - (1-u)(1-v)P0,0 – (1-v)uP1,0 - (1-u)vP0,1 - uvP1,1] (0≤u≤1, 0≤v≤1)

0 1

0

1

0 Q (u) Q (u) 1

P(u,v) - -1 (1 u) u P (v) P(0,0) P(0,1) (1 u)

P(v) P(1,0) P(1,1) u

Pu,0 Pu,1

P0,v

P1,v

Surface simple, mais inappropriée pour la modélisation surfacique précise car la forme interne de la surface ne peut pas être contrôlée par les courbes frontières

B.4.2



Ex. 1 Soient deux pavés surfaciques Q(u, v) et P(u, v) illustrés sur la figure ci-dessous: Q(u, v) est une surface bilinéaire définie par Q(u, v) = ( 1 – u ) [ ( 1 – v ) Q00 + v Q01 ] + u [ ( 1 – v ) Q10 + v Q11 ] où 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 P(u, v) est une surface de Coons dont les 4 courbes limites sont définies par :

Y a-t-il continuité G1 à la jonction

entre ces deux pavés

surfaciques ?

7 -3 3

15 -4 5

10 -3.5 2

6 2 5

10 3.5 5

12 0 6

1 1 0

P(0, v) = ( 1 – v ) P00 + v P01 P(u,0) = [ B0,2(u), B1,2(u), B2,2(u) ] P(1, v) = ( 1 – v ) P10 + v P11

P(u,1) = [ H1(u), H2(u), H3(u), H4(u) ] où 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1, B0,2(u), B1,2(u), et B2,2(u) sont les fonctions d’influence des courbes de Bézier, H1(u), H2(u), H3(u) et H4(u) sont les fonctions d’influence des courbes d’Hermite.


Ex. 2 Soient deux pavés surfaciques P(u, v) et Q(w, v) illustrés sur la figure ci-

dessous: P(u, v) et Q(w, v) sont deux surfaces de Coons dont les quatre

courbes limites sont définies par : P(0, v) = ( 1 – v ) P(0, 0)+ v P(0, 1) Q(0, v) = ( 1 – v ) Q(0, 0)+ v Q(0, 1) P(1, v) = ( 1 – v ) P(1, 0)+ v P(1, 1) Q(1, v) = ( 1 – v ) Q(1, 0)+ v Q(1, 1)

où 0 ≤ u ≤ 1 0 ≤ v ≤ 1, 0 ≤ w ≤ 1

-60 -30 50

0 0 50

0 50 0

90 0 0

-60 30 0

0 0 0

0 -50 0

60 -10 0

0 0 50

30 0 50

60 -30 50

60 -60 50

0 0 0

30 -5 0

60 -60 0

P(u, 0) = [ H1, H2, H3, H4 ]

P(u, 1) = [ H, H2, H3, H4 ]

Y a-t-il continuité G1 à la jonction entre ces deux pavés surfaciques ? Justifiez adéquatement votre réponse.

Q(w, 0) = [ B0,3, B1,3, B2,3, B3,3]

Q(w, 1) = [ B0,2, B1,, B2,2]




Équation d’une surface polynomiale de degré 3

B.4.3

Pour déterminer les 16 aij (inconnus), il faut 16 équations


Surface bi-cubique Illustration des conditions aux limites

Pour définir la surface, on utilise donc : 4 points

8 dérivées premières (direction u et v aux coins)

4 vecteurs ‘twist’ ou de torsion qui sont les dérivées secondes croisée aux 4 coins

B.4.3


Surface bi-cubique (d’Hermite) Expression générale

Équation polynomiale de degré 3 : calcul des inconnus de la matrice A à partir des 4 points, 8 dérivées premières et 4 dérivées mixtes aux coins



B.4.3

Les fonctions d’influence sont celles d’une Hermite


B.4.3

Surface bi-cubique Effet de l’amplitude des tangentes


B.4.3 Surface bi-cubique Effet de l’amplitude du vecteur de torsion



CAD/CAM/CAE Systems, 1999 ini

ni uuini

nuB

)1(

!)(!

!)(,

Surface de Bézier Expression générale

B.4.4


Surface de Bézier Assemblage

Contrôle global sur la surface

Patch de Bézier : pour assurer G1, il faut que les points entre les 2 surfaces soient alignés

B.4.4


Surface de B-spline et NURBS Expression générale

Surface B-spline

Surface d’ordre k et l

Surface NURBS



B.4.5


Surface B-Spline Surface approximée (points de contrôle) et surface interpolée (passe par les points)

B.4.5


Plan

A. Introduction



43


Plan


C.1 Features de modélisation de surfaces sur CATIA v5

C.2 Types de surface disponibles

C.3 Caractéristiques des principaux features de surfaces

C.4 Outils d’analyse surfacique et de continuité

44


Création de surfaces à partir de courbes et pièces existantes

Features de modélisation de surfaces disponibles sur CATIA V5

Surface 3 points (atelier FS)

Création de surfaces à partir de points

Surface plane (atelier FS)

Surface 4 points (atelier FS)

Extrusion (ateliers WSD, GSD, FS)

Révolution (ateliers WSD, GSD, FS)

Balayage (ateliers WSD, GSD) Surface sur réseau (atelier FS)

Surface multi-section (ateliers WSD, GSD)

Surface de raccord (ateliers WSD, GSD, FS)

Balayage adaptatif (atelier GSD)

C.1

Remplissage (ateliers WSD, GSD)

Note :

Cette liste n’est pas exhaustive. De plus, certains de

ces features sont aussi disponibles dans d’autres ateliers.

Légende :

QSR : Quick Surface Reconstruction

GSD : Generative Shape Design

WSD : Wireframe and Surface Design

FS : Freestyle

Formes canoniques (atelier QSR)

Powerfit (atelier QSR)

Modification de surfaces Points de contrôle (atelier FS)


Displayed type What is it ? s

NurbsSurface Non Uniform Rational B-Spline Surface

NupbsSurface Non Uniform polynomial B-Spline Surface

Plane Plan ou face planaire

RevolutionSurface Surface de révolution

TabulatedCylinder Cylindre

Autres types : SweepSurface, FilletSurface, etc.

Voir l’aide de CATIA pour la liste complète

Types de surfaces disponibles sur CATIA V5

C.2

À chaque feature de modélisation de surface est

associé un type de surface qui dicte les

propriétés de la surface résultante…

//Vnode1.labos.polymtl.ca/doc/catv5r16/English/online/CATIAfr_C2/sdgugCATIAfrs.htm


Types de surfaces disponibles sur CATIA V5

C.2

Quelques définitions…

NURBS Surface: une surface NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) est une

surface B-Spline non uniforme dont les poids, qui multiplient les points de contrôle, sont des nombres rationels.

NUPBS Surface: une surface NUPBS (Non-Uniform Polynomial B-Spline) est

une NURBS dont les poids, qui multiplient les points de contrôle, sont unitaires (h¡ = 1). C’est donc une surface B-Spline. Le terme NUPBS Surface est propre à CATIA.

Plane : plan (infini) ou face planaire

RevolutionSurface : surface obtenue par la rotation d’une courbe

génératrice autour d’un vecteur

Extrusion/TabulatedCylinder : surface obtenue par la projection d’une

courbe génératrice le long d’un vecteur (directrice)


C.3.1 Surface plane, 3 points, 4 points (atelier FS)

C.3.2 Extrusion (ateliers WSD, GSD, FS)

C.3.3 Révolution (ateliers WSD, GSD, FS)

C.3.4 Balayage (ateliers WSD, GSD)

C.3.5 Remplissage (ateliers WSD, GSD)

C.3.6 Surface multi-section (ateliers WSD, GSD)

Caractéristiques des principaux features de surface

C.3


Surface plane, 3 points, 4 points (atelier FS)

Type : NUPBS Surface Données utilisateurs : 3 (ou 4) points aux extrémités

Propriétés Degré variant de 1 à 15 (choix de l’ordre en u et v)

Composée de 1 segment de courbe → n – k + 2 = 1

Nbre pts de contrôle (n+1) = ordre k → surface de Bézier

Contrôle Global Surface plane : orienté selon la base de la boussole Surface 3 points : 3 pts dans l’espace Surface 4 points : 4 pts dans l’espace (≠ toujours planaire) Pourquoi NUPBS vs surface bilinéaire?

→ Modification interactive de la forme interne de la surface via le feature ” Points de contrôle“

C.3.1



C.3.1


Surface plane, 3 points, 4 points (atelier FS)

Surface 3 points d’ordre 4 Surface 4 points d’ordre 4

Modification interactive de la surface


Surface par extrusion (atelier WSD, GSD, FS)

Type : NUPBS Surface

Données utilisateurs : Courbe C(u), direction n

Propriétés

Extrusion de la courbe directrice C(u) dans la direction du vecteur n (génératrice), d’une distance d

Formulation : P(u,v) = C(u) + v n (0≤u≤umax, 0≤v≤vmax)

Degré en u : degré de C(u)

Degré en v : 1

Contrôle : global ou local, selon C(u)

C.3.2


Courbe génératrice C(u)

d

Directrice


Surface de révolution (atelier WSD, GSD, FS)

Type : RevolutionSurface

Données utilisateurs : Courbe C(u), axe et angle de révolution

Propriétés

Rotation de la courbe directrice C(u) autour de l’axe

Formulation :

P(u,v) = C(u)(cos(v)e1+ sin(v)e2) + un + OA (0≤u≤umax, 0≤v≤2)

où OA est le vecteur à l’origine de l’axe


Degré en v : ≠ un polynôme

C.3.3


Courbe génératrice C(u)

Axe de révolution


Surface de balayage (atelier WSD, GSD)

Type : NUPBS Surface, TabulatedCylinder

Données utilisateurs : profil C(u), courbe guide G(v)

Propriétés

Balayage de C(u) le long de G(v) (multiples options pour C(u) et G(v))

Formulation :


Degré en v : degré de G(v)

C.3.4


Tiré de CATIA Version 5 r. 3 Documentation

Profil C(u) Courbe guide G(v)

Balayage le long d’un segment droit


Surface de remplissage (atelier WSD, GSD)

Type : NUPBS Surface,

Données utilisateurs : courbes frontières Ci(u), Cj(v)

Propriétés (i = 1,2 ; j =1,2)

Degré en u et v : degré le plus élevé des courbes Ci(u), Cj(v)

Formulation :

C.3.5


C1(u) – degré 3

C2(u) – degré 5

C1(v) – degré 6

C2(v) – degré 4

Surface NUPBS de degré u = 5, v = 6


Surface multi-section (atelier WSD, GSD)

Type : NUPBS Surface

Données utilisateurs : sections Ci(u), guides Gi(u) (au besoin)

Propriétés

Degré en u et v : déterminé par le logiciel

Formulation :

Possible de spécifier les surfaces tangentes aux frontières

C.3.6


C1(u)

C2(u)

Les courbes C1(u) et C2(u) ont le même degré et le même vecteur de nœuds (suite à la génération de la surface)

Courbe de degré égal ou différent


Tableau Synthèse Features de Surfaces

56

C.4

Facture de création

de surface

Type Données de départ

Principales caractéristiques de la courbe

Degré en u Degré en v Caractéristiques Contrôle Points de contrôle/For

mulation

Surface plane, 3 points 4 points

NUPBS Surface

3 (ou 4) points aux extrémités

variant de 1 à 15 (choix de

l’ordre en u et v)

variant de 1 à 15 (choix de

l’ordre en u et v)

Surface plane : orienté selon la base de la boussole Surface 3 points : 3 pts dans l’espace Surface 4 points : 4 pts dans l’espace (≠ toujours planaire)

Global Nbre pts de contrôle (n+1) = ordre k →

surface de

Bézier

Surface par extrusion

NUPBS Surface

Courbe C(u), direction n


Degré en v : 1 Extrusion de la courbe directrice C(u) dans la direction du vecteur n (génératrice), d’une distance d

global ou local, selon

C(u)

: P(u,v) = C(u) + v n (0≤u≤umax, 0≤v≤vmax)

Surface de révolution

RevolutionSurface

Courbe C(u), axe et angle de révolution


Degré en v : ≠ un polynôme

Rotation de la courbe directrice C(u) autour de l’axe

global ou local

P(u,v) = C(u)(cos(v)e1

+ sin(v)e2) + un + OA

(0≤u≤umax, 0≤v≤2)

où OA est le vecteur à

l’origine de l’axe

Surface de balayage

NUPBS Surface, Tabulated Cylinder

profil Cn(u), courbe guide Gn (v)


Degré en v : degré de G(v)

Balayage de C n(u) le long de G n(v) (multiples options pour C(u) et G(v))

global ou local

Surface de remplissage

NUPBS Surface

Courbes frontières Ci(u), Cj(v)

degré le plus élevé des

courbes Ci(u), Cj(v)

degré le plus élevé des

courbes Ci(u), Cj(v)

global ou local

Surface multi-section

NUPBS Surface

sections Ci(u), guides Gi(u) (au besoin)

déterminé par le logiciel

déterminé par le logiciel

Possible de spécifier les surfaces tangentes aux frontières

global ou local


Outil d’analyse de connexion de surfaces sur CATIA v5

B.3


Analyse de courbure surfacique (atelier WSD, GSD, FS)

C.4

Outils d’analyse surfacique


Analyse de connexion (atelier WSD, GSD, FS)

G0 – Distance : indique la distance entre les surfaces

G1 – Tangence : indique la différence d’angle des vecteurs normaux à la jonction des surfaces

G2 – Courbure : indique la différence de courbure à la jonction des surfaces selon l’équation .

C.4

Outils d’analyse surfacique

21½

12

kk

kk

Note 1 : Il faut s’assurer de la continuité en tangence avant de conclure à une continuité G2.

Note 2 : Le type de courbure de k2 et k1 (gaussienne, moyenne ou autre) n’est pas renseignée dans l’aide de CATIA.


Ex. 1 Lors de la modélisation surfacique de la coque d’un véhicule de compétition, le concepteur se questionne sur les conditions de continuité entre quatre pavés surfaciques A, B, C, D. L’analyse de la connexion des surfaces sur CATIA a donné les résultats suivants. Dans chaque case du tableau, indiquez si les énoncés sont vrais (V), faux (F) ou impossibles à déterminer avec les informations fournies (X).

Il y a continuité

entre

A et

B

A et

C

B et

D

C et

D

G0…

G1…

C1…

G2…

C2…


Ex. 1 Suite

On s’interroge aussi sur la courbure aux points 1, 2, 3 et 4 des pavés surfaciques A, B, C, D. L’analyse des courbures principales (minimales et maximales) en ces points a donné les résultats suivants : Basé sur cette analyse, quelle déduction peut-on avoir sur le type de courbure (gaussienne et moyenne)? Cochez (X) tous les énoncés qui s’appliquent :


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel feature dans CATIA v5 vous permettra de générer la surface manquante tout en assurant une continuité G1 avec les surfaces adjacentes?

63

P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)

P1(u) : degré 4 P2(u) : degré 7 Q1(v) : degré 6 Q2(v) : degré 5

1. Balayage

2. Remplissage

3. Multi-section

4. Extrusion

5. Cylindre


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel feature dans CATIA v5 vous permettra de générer la surface manquante tout en assurant une continuité G1 avec les surfaces adjacentes?

64

P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)


1. Balayage

2. Remplissage

3. Multi-section

4. Extrusion

5. Cylindre


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel type de surface obtiendrez-vous selon CATIA v5?

65

P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)


1. NurbsSurface = Non Uniform Rational B-Spline Surface

2. NupbsSurface = Non Uniform polynomial B-Spline Surface

3. Plane = Plan ou face planaire

4. Surface infinie


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel type de surface obtiendrez-vous selon CATIA v5?

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P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)


1. NurbsSurface = Non Uniform Rational B-Spline Surface

2. NupbsSurface = Non Uniform polynomial B-Spline Surface

3. Plane = Plan ou face planaire

4. Surface infinie


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel sera le degré de la surface?

67

0%0%0%0%

4 , 5 7 , 6 4 , 6 7 , 5

P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)


1. 4 , 5

2. 7 , 6

3. 4 , 6

4. 7 , 5


Le modèle numérique d’une carrosserie de voiture, reconstruite par un processus de rétro-ingénierie, est composé de plusieurs morceaux de surface. Lors de la génération automatique du modèle, une seule surface n’a pas été bien modélisée et vous devez la remodéliser. Quel sera le degré de la surface?

68

0%0%0%0%

4 , 5 7 , 6 4 , 6 7 , 5

P1(u)

P2(u)

Q1(v) Q2(v

)


1. 4 , 5

2. 7 , 6

3. 4 , 6

4. 7 , 5


Suite à la modélisation de la surface manquante, l’analyse de connexion de surfaces vous donne le résultat suivant. Est-ce que cette surface assure une continuité Gx avec les surfaces adjacentes?

69

0%0%0%0%0%

On a G1 On n’a pas G1 On a G2

On n’a pas G2 Il n’y a pas asse...

1. On a G1

2. On n’a pas G1

3. On a G2

4. On n’a pas G2

5. Il n’y a pas assez de données pour répondre


Suite à la modélisation de la surface manquante, l’analyse de connexion de surfaces vous donne le résultat suivant. Est-ce que cette surface assure une continuité Gx avec les surfaces adjacentes?

70

0%0%0%0%0%

On a G1 On n’a pas G1 On a G2

On n’a pas G2 Il n’y a pas asse...

1. On a G1

2. On n’a pas G1

3. On a G2

4. On n’a pas G2

5. Il n’y a pas assez de données pour répondre

Documents

MEC3 A2013 Bc02 Surfaces