Meca 0001 Chapitre 1 Sept 2011 Cours 1

ELEMENTS DE MECANIQUE ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLESDES SOLIDES DEFORMABLES

AM Habraken - JP Jaspart

2011 2012

Objectifs du coursObjectifs du cours

MathématiquesMathématiques Concret de Concret de l’ingénieurl’ingénieur

I-2

o Contraintes DéformationsContraintes Déformations

o Résistance des matériaux Résistance des matériaux calcul des structurescalcul des structures

o Donner des réflexes d’ingénieursDonner des réflexes d’ingénieursUne contrainte de 1000MPa :Une contrainte de 1000MPa :pour de l’acier, du bois, du béton ça pour de l’acier, du bois, du béton ça passe ou ça casse????passe ou ça casse????

Une contrainte ???Une contrainte ???

Tenseur du second ordre

Force / Section

N/mm² ou Mpa

1000MPa???1000MPa???

I-3

Une déformation ???Une déformation ???

Tenseur du second ordre

Variation de longueur/Longueur de référence

Pas de dimension

I-4

MathMath

Contenu du coursContenu du cours

Eléments de calcul des tenseurs (1-2)

I-5

o Calcul statique Equilibre (2-4) Propriétés mécaniques des matériaux Concept de Poutre Sécurité Etats Limites

Traction Compression Flexion Torsion Cisaillement Combinaisons

o Déformation élastique des poutres

Organisation

Délégués

me fournir nom et adresse mail à la pause

Assistants (B 52 1er étage couloir en face des ascenseurs MS²F ArGEnCo)

Gaëtan Gilles (Habraken)Clara Huvelle (Jaspart)

I-6

OrganisationNotes de Cours (Théorie)

Voir centrale des cours AEES Copies2 chapitres du cours de l’an passéEléments de mécanique des solides déformables

Serge Cescotto(pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide)Mécanique des matériaux Massonet Cescotto

I-7

OrganisationNotes de Cours (Exercices)

Voir centrale des cours AEES Copies2 chapitres du cours de l’an passéEléments de mécanique des solides déformablesExercices S Cescotto

(pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide)Mécanique des matériaux ExercicesS. Cescotto

I-8

Organisation

Théorie

Exercices

Encadrement par 4 ingénieurs TP 1-4par élèves moniteurs TP 5-…

I-9

Ca sert à quoi???Ca sert à quoi???

I-10

Ingénieur de construction:

Dimensionner les ouvrages d’art Choix des matériaux Choix des sections

Domaine des constructionsDomaine des constructions

I-11

Domaine des constructionsDomaine des constructions

I-12

AchitectureAchitecture

I-13

Ca sert à quoi???Ca sert à quoi???

I-14

Ingénieur de mécanicien:

Dimensionner des pièces, des machines… Choix des matériaux Choix des sections

AéronautiqueAéronautique

I-15

AutomobileAutomobile

I-16

EnergieEnergie

I-17

ElectroniqueElectronique

I-18

MétallurgieMétallurgie

I-19

Ingénieur métallurgiste:Comprendre les phénomènes à

l’échelle des atomes, des grains et les relier à l’échelle macroscopique

Liens entre Composition chimique,Traitement thermiquePropriétés mécaniques

ChimieChimie

I-20

GéologieGéologie

I-21

T’es ingénieur !!!T’es ingénieur !!!

I-22

Alors, tu vas pouvoir me dire….

Si je perce une baie entre la cuisine et le salon, je dois rajouter une poutrelle ou non?

Tu crois qu’il faut quelle hauteur de linteau au dessus de ma porte?

Mon linteau il est pas carré, je le mets dans quel sens?

Chapitre I

Elements de calcul des tenseurs

I-24

Eléments de calcul des tenseurs

Un système dextorsum coordonnées cartésiennes x, y, zvecteurs unitaires de baseorigine 0

Unitaire ex . ex = 1

Orthogonaux ex. ey = 0

o

y

z

x

Soit un autre système dextorsum noté ‘ même origine O orientation différente

I-25


z

y

x

Z’

Y’

X’

O

I-26

Eléments de calcul des tenseurs Transformation des coordonnées du point P

Coordonnées x,y,z dans le 1er système d’axes Coordonnées x’,y’,z’ dans le 2eme système

d’axes

y

x

Z’Y’

X’

P.

O

),cos( ' xycxy

I-27


Transformation de coordonnées

zzzz

yzzy

xzzx

zyyz

yyyy

xyyx

zxxz

yxxy

xxxx

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'''

'''

'''

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

P= x ex + y ey + z ez

P= x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z

P . ex=( x ex + y ey + z ez) . ex

P . ex= x ex. ex + y ey . ex + z ez. ex = x

P . ex = (x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z). ex

= x’ e’x . ex + y’ e’y . ex + z’ e’z . ex

1

x = x’ cxx+ y’ cxy + z’ cxz

Notations: lettres grasses plutôt que soulignées pour vecteurs de base

xx’

),cos( ' xycxy

I-28



zzzz

yzzy

xzzx

zyyz

yyyy

xyyx

zxxz

yxxy

xxxx

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

'

'

'

'

'

'

'

'

'

P= x ex + y ey + z ez

P= x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z

P . e’x=( x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z) . e’x

P . e'x= x’ e’x. e’x + y’ e’y . e’x + z’ e’z. e’x = x’

P . e’x = (x ex + y ey + z ez). e’x

= x ex . e’x + y ey . e’x + z ez . e’x

1

x’ = x cxx+ y cyx + z czx

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

'

'

'

x’x

I-29



',','

,,

zyx

zyx

),cos( ' xycxy

zzzz

yzzy

xzzx

zyyz

yyyy

xyyx

zxxz

yxxy

xxxx

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

'

'

'

'

'

'

'

'

'

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

'

'

'

'''

'''

'''

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

1 O

I-30


x= cxxx’+ cxy y'+ cxzz’On remplace x’ et y ‘ et z ‘

On regroupe les termes en x, en y en zx = x (cxx

2 + cxy2+ cxz

2) + y (cxxcyx+cxycyy+cxz cyz) + z(…)

'''

'''

'''

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

O

Cxx2 + Cxy

2+ Cxz2=1

Cxx Cyx + Cxy Cyy + CxzCyz=0Cxx Czx + Cxy Czy + Cxz Czz =0

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

'

'

'

On refait le même coup en partant de y et de z

Rebelotte En partant de x’ y’ z’

I-31

0

0

0

1

1

1

222

222

222

zzyzzyyyzxyx

zzxzzyxyzxxx

yzxzyyxyyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

cccccc

cccccc

cccccc

ccc

ccc

ccc

Propriétés des coëfficients c

0

0

0

1

1

1

222

222

222

zzzyyzyyxzxy

zzzxyzyxxzxx

zyzxyyyxxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

cccccc

cccccc

cccccc

ccc

ccc

ccc


12 équations

I-32

'

'

jiji

jjii

xcx

xcx


'''

'''

'''

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zcycxcz

zcycxcy

zcycxcx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

'

'

'

Indice répété (muet)= sommation

2 équations pour en représenter 6

Notation d’Einstein ouNotation d’Einstein ouConvention de sommation d’Einstein Convention de sommation d’Einstein

I-33

jiij 'eec


zzzz

yzzy

xzzx

zyyz

yyyy

xyyx

zxxz

yxxy

xxxx

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

eec

'

'

'

'

'

'

'

'

'

x 1y 2z 3

Indice i=1,2,3j=1,2,3 1 équation 1 équation

qui en représente qui en représente 9 !!!9 !!!

I-34

symbole de Kronecker symbole de Kronecker : représente 9 équations

Que vaut δii= ?

ji if0

ji if1ij


δii=δ11+ δ22+ δ33

I-35

Transformation des coordonnées EXERCICEEXERCICE Notation d’Einstein ou

Convention de sommation d’Einstein :

Symbole de Kronecker

jiij 'eec

'

'

jiji

jjii

xcx

xcx

ikkjijcc

ji if0

ji if1ij

ikjkjicc

P

321

321

,x',x'x'

,x,xx


Même démo que slide 24

3, 6 ou 9 eq. ?

I-36

ikkjijcc ikjkjicc

0

0

0

1

1

1

222

222

222

zzyzzyyyzxyx

zzxzzyxyzxxx

yzxzyyxyyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

cccccc

cccccc

cccccc

ccc

ccc

ccc

0

0

0

1

1

1

222

222

222

zzzyyzyyxzxy

zzzxyzyxxzxx

zyzxyyyxxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

cccccc

cccccc

cccccc

ccc

ccc

ccc


i=k= 1

i=k= 2

i=k= 3

i=1 k=2

i=1 k=3

i=2 k=3

i=3 k=2 ; i=3 k=1 ; i=2 k=1

I-37

Symboles dans la notation dEinstein Kronecker delta:

Symbole de permutation :

ji if0

ji if1ij

0...

1

1

1,2,3 de impairen permutatio uneest k j,i, if1

1,2,3 de

e)(circulair pairen permutatio uneest k j,i, si1

égaux indices 2 si0

113112111

321132213

231312123

eee

eee

eee

eijk


I-38

Formules utiles et habituelles..

Matrice 3 x 3:

Déterminant:

Matrice adjointe

Identité:

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A

kjiijk AAAeA 321 det

qtpsjstipqij AAeeB

AAAB

21

detadj T

ksjtktjsistijkee


I-39

Formules utiles et habituelles..

Déterminant:

Identités:

kjiijk AAAeA 321 det

ksjtktjsistijkee


kpjnimmnpijk AAAeAe det

kpjnimmnpijk AAAeeA 6

1det

knijnijkee 2

6ijkijkee

I-40

ScalaireScalaire

Un scalaire s est un être mathématique à une seule composante (30) et invariant lors d’un changement de repère

exemples: masse, volume, température, énergie, ...


I-41

VecteurVecteur un vecteur V est un être mathématique à 31

composantes qui, lors d’un changement de repère:

se transforme selon la formule

un vecteur V est un être mathématique qui, à toute direction de l’espace associe un salaire V au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction:

exemples: force, vitesse, accélération, flux de chaleur

jiji VcV '

jiji ece '

jjVVV



On peut montrer queOn peut montrer que (1)

I-42

jjii VcV '

Remplacons les j de (2) par k

Adaptons (1) puisque i devient k

Exploitons ou ? ikkjijcc ikjkjicc

jiji VcV 'Partons de (2)

Remplaçons le V’j par (1) mais en chemin 3 j!!! Donc KO

CQFD

kiki VcV '

jjkk VcV '

jijjjkiki VVccV

I-43

Equivalence des 2 définitionsEquivalence des 2 définitions Déf 1 Si alors

ou

Déf 2 unitaire et vecteur V:

Equivalence: soit dirigé selon

alors et

jiji VcV 'jiji ece '

jjVVV


jjii VcV '

ie'

jij cjjii VcV '

I-44

Un tenseur du Un tenseur du 22èmeème ordre ordre Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique à

32 composantes qui, lors d’un changement de repère

se transforment selon les formules:

Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique qui à toute direction de l’espace, associe un vecteur T au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction:

avec

et donc

kljlikij T'ccT ijjlikkl TccT'

jiji ece '

jjTT

kjkj eTT


kjkj eTT Vecteur projection du tenseur sur axe jComposante vectorielle du tenseur


Equivalence des 2 définitions:

I-45

jjTT fkkjfiij TccT'

?

kjkj eTT (1)

(2)

Soit =ei’ sachant que =ei’ =cji ej=j ej

(2)

(1)

fj

jjii TcTT '

jfkkjfijkjfkfijij eTccecTceT '''' kfkfijij eTceT ''

kjkjijij eTceT ''

ijjlikkl TccT'

I-46

n-order tensor Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique de

3n components qui se transforme par

pour un changement de repère:

Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique qui à toute direction de l’espace associe un tenseur Td’ordre (n-1) au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction.

...... ... pqrkrjqipijk T'cccT ...... ... ijkkrjqippqr TcccT'

jiji ece '


I-47

Propriétés des tenseurs: égalité:

addition:

multiplication par un scalaire:

...... ijkijk BABA

......... ijkijkijk BACBAC

...... ijkijk sBABsA


Attention tenseur du même ordre

I-48

Propriétés des tenseurs: multiplication des tenseurs:

contraction:rendre identique 2 indices d’un tenseur A d’ordre n produit un tenseur B d’ordre (n-2) –appelé contraction du tenseur initial par rapport à ces 2 indices

kijijk BACBAC

lililiijjlil AAAAB 332211



Intérêt de la contraction:

Lien entre tenseur contrainte tenseur déformation

9 équations

Possibilité de trouver l’équation relative à la contrainte moyenne

I-49

klijklij C

kliiklmoyii C 3/ 1 équation

I-50

Propriétés des tenseurs: Équations tensorielles vraies dans tous les repères :

Si dans le système de coordonnées (x1, x2, x3)

Les composantes de T sont 0 dans tout repère

Dans le système de coordonnées (x’1, x’2, x’3)

00 ...

.........

......

ijk

ijkijkijk

ijkijk

TT

BATBAT

BABA

...... ...' ijkkrjqippqr TcccT

......

.........

''

0'''

ijkijk

ijkijkijk

BA

BAT


I-51

Comment identifier un tenseur? :1. Utiliser une des deux définitions.2. Quand une quantité est obtenue par addition,

multiplication ou contraction de tenseurs, cette quantité est un tenseur.

3. Règle du quotient : Aij est un tenseur d’ordre 2

Si AijBij = s est un scalaire pour tout tenseur B

Si AijUj = Vi est un vecteur pour tout vecteur U

Si AijBjk = Cik est un tenseur du 2ème ordre pour tout tenseur B

Si Aijk...UiVjWk... = s est un scalaire pour tout vecteur

U, V, W,... alors Aijk... est un tenseur.


I-52

Champ tensoriel (grandeur physique, représentée par un tenseur,

définie en tout point de l’espace)

Température de chaque molécule d’un gaz dans une enceinte

Vitesse de toutes les particules d’eau d’un fleuve

Les fameuses contraintes et déformations dans un bâti de machine

xTTxxxTT ijkijk 321...... ,,


I-53

Si le champ tensoriel est assez continu

Dérivée partielles

Développement en série de Taylor

...... ppx

......

2

pqqp xx

...xT xxxx

xT xxxTxT

ijk...pqqqpp

ijk...pppijk...ijk...

000

000

2

1


I-54

Champs de tenseurs (voir vos cours de mécanique, de physique)

Opérateur dérivée

Opérateur double dérivée

Opérateur Laplacian

(nabla) i

ij

2

3

2

2

2

2

2

1

22

xxxii

Elément de calcul des tenseurs

I-55

Etude des vecteurs

Addition

Produit scalaire

Module

Divergence

iii BACBAC

3322 BABABABAsBAs iiii

23

22

21 VVVVVVVVV ii

3

3

2

2

1

1divdivxV

xV

xV

VVVV ii

I-56

Etude des vecteurs

3

3

2

2

1

1divdivxV

xV

xV

VVVV ii

Z

Y

X

VY

X

V

X

V

C

C

C

V

00

0

2

01 2 3

I-57

Produit vectoriel

Rotationnel

kjijki VeC

VVVxxx

eee

VV rotC

321

321

321

kjijki BAeC

BBB

AAA

eee

BAC

321

321

321

θABC sin

Etude des vecteurs

Aire du parallélogramme

I-58

Rotationnel

kjijki VeC

VVVxxx

eee

VV rotC

321

321

321

Etude des vecteurs

Z

Y

X

VY

X

V

X

V

C

C

C

V

00

0

2

2

0

0

0

Vrotx

y

V

0

0

0

Vrot

I-59

Gradient d’un champ scalaire

Laplacian d’un champ scalaire

3

3

2

2

1

1

grad

exΦ

exΦ

exΦ

Φ

ΦGΦΦG ii

23

2

22

2

21

22

22

xΦ

xΦ

xΦ

Φ

ΦΦΦΦ ii

Etude des vecteurs

I-60

Quelques formules utiles (exercice)

ΨΦΦΨΦΨ

ΨΦΦΨΦΨ

ΨΦΦΨΦΨ

iii

grad grad grad

ΦVVΦΦV

ΦVVΦVΦ

ΦVVΦVΦ

iiiiii

grad div div

xΦ

Φe

Φ

Φ

kjijk

0

0

0 grad rot

xV

Ve

V

V

kjijki

0

0

0 rotdiv

Etudes des vecteurs

I-61

Etude des tenseurs du second ordre

Analogie matricielle (attention une matrice peut être rectangle pas un tenseur)

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

TTij

100

010

001

if0

if1I

ji

jiij

I-62

Transposée d’un tenseur du 2nd ordre

332313

322212

312111

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A

AAA

AAA

AAA

A

ABAB

T

jiij

T

321

3

2

1

VVVV

V

V

V

V T


I-63

Tenseur symétrique

Tenseur antisymétrique

Trace and valeur moyenne d’un tenseur

jiij

T AAAA

0332211

AAA

AAAA ijji

T

miimoy

ii

AAAAAAA

AAAAA

332211

332211

3

1

3

1tr

3

1

tr


Attention pas confondre avec un vecteur…

I-64

Partie déviatorique d’un tenseur

m

m

m

ijmijijm

AAAA

AAAA

AAAA

A

AAA

AAA

AAA

A

AAAIAAA

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ˆ

ˆˆ


I-65

Produit matriciel

si U et V =vecteurs et A = un tenseur du 2nd ordre

W = A U est un vecteur de composantes Wi = Aij Uj

s = UT V est un scalaire s = Ui Vi = U.V

C = U VT est un tenseur du 2nd ordre de composantesCij = Ui Vj

Ce produit est équivalent au produit vectoriel

kjikij BACBAC

VUC


I-66

Transformation of coordinates

Icccc

ece

ece

ccc

ccc

ccc

c

TT

jjii

jiji

'

' with

333231

232221

131211

VcVVcV

VcVVcVT

iijj

jiji

''

''

cTcTTccT

cTcTTccTT

ijjlikkl

T

kljlikij

''

''


I-67

Décomposition spectrale d’un tenseur d’ordre 2

est une direction principale ou vecteur propre λ est une valeur propre

ijijAA

00

0 0

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

détIAdét

AIA jijij


Pour éviter la solution triviale

Ecrire cette équation, regrouper les termes λ, λ² et λ³

I-68

On obtient : l’équation caractéristique du tenseur A

3 racines réelles 1, 2, 3 si A symétrique (Algèbre)

3 vecteurs propres (1), (2), (3)

023 AAA IIIIII

kjiijkA

jiijjjiiA

A

AAAeAIII

AAAAAA

AA

AA

AA

AA

AAII

AAAAI

321

2221

1211

3331

1311

3332

2322

332211

det

21

tr


I-69

3 vecteurs propres (1), (2), (3)

(Cas d’un tenseur A symétrique)


0 )1(1 IA

Vecteurs propres connus à un coefficient près choix vecteurs propres normés

Vecteurs propres orthogonaux si 3 valeurs propres différentes sinon indétermination mais choix possible…

Choisis orthogonaux et normés.

I-70

Représentation géométrique du tenseur symétrique A

Croix des valeurs principales


I-71

Si 1 = 2= 3 c’est que A = 1 I

Ce tenseur n’est pas affecté par un changement de repère, c’est un tenseur isotrope

On peut toujours trouver

3 vecteurs propres orthogonaux et unitaires

pour tout tenseur symétrique, réel d’ordre 2.


I-72

Si (1), (2), (3) = les vecteurs propres de A Ils constituent un nouveau repère

valeurs propres = invariants avec le repère coef de l’équation caractéristiques sont des invariants

3

2

1

)3(3

)2(3

)1(3

)3(2

)2(2

)1(2

)3(1

)2(1

)1(1

')(

00

00

00

'

dAdAd

cAcAecee

Td

jlijikkliijjji

ji

321

313221

321

A

A

A

III

II

I


Facile à calculer à partir de la forme diagonale

cTcTTccT Tijjlikkl ''

I-73

Forme spectrale du tenseur A

33

3

22

2

11

1 A


I-74

Calcul des fonctions d’un tenseur symétrique A

333

222

111

333

222

111

333

222

111

22

33

lnlnlnln

sinsinsinsin

...2

1ln...1

2

11ln

...6

1sin...

6

1sin

A

A

A

IAIAAaaa

AAAaaa


Vu l’orthogonalité des vecteurs propres:

I-75

Les valeurs propres du déviateur d’un tenseur

Soit le tenseur symétrique A

Valeurs propres : 1, 2, 3

Vecteurs propres : (1), (2), (3)

Valeurs propres du déviateur

Vecteurs propres du déviateur : (1), (2), (3)

mmm

jijmijijmijij

jijij

AAA

AAAAA

A

332211ˆ ; ˆ ; ˆ

0 ˆ ˆ0


I-76

Intégration par parties (intégrale de volume)

v ijkqlmna lmnijkqv lmnqijk dvFGdaGFndvGF ..................

a lmnqv lmnq daGndvG ......

Cours d’analyseLa formule sur les fonctions F et G est transférée sur les champs tensoriels F et G

n normale unitaire à la surface a

Si F scalaire = 1Théorème de Gauss

I-77

av

a kjijkv kjijk

av

a iiv ii

av

a iv i

daUndvU

daUnedvUe

daUndvU

daUndvU

daΦndvΦ

daΦndvΦ

rot

div

grad

Intégration par parties a lmnqv lmnq daGndvG ......

Si G est un scalaire Ф

Si G est un vecteur U

Si F est le symbole de permutation et G un vecteur U

v ijkqlmna lmnijkqv lmnqijk dvFGdaGFndvGF ..................

I-78

a ijkqlmnlmnijkqa lmnqijk daFGdsGFndaGF ..................

321

C

CCCC

Intégration par parties (intégrale de surface)

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Meca 0001 Chapitre 1 Sept 2011 Cours 1