Méca & RDM Cours

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  • Europeaid / 1130017 / D / SV / MA

    Royaume du MarocOffice de la Formation Professionnelleet de la Promotion du Travail - OFPPT

    COURS MECANIQUE ET RDM

    OP 2 PERFECTIONNEMENT DE FORMATEURS

    Mission d'Assistance Technique au secteur "Btiment-Travaux Publics"

    S o c i t F r a n a i s e d ' E x p o r t a t i o n d e s R e s s o u r c e s d u c a t i ve s

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    SOMMAIRE

    1. R.D.M 3

    1.1. Gnralits 3 1.2. TRACTION SIMPLE & COMPRESSION SIMPLE 6

    1.2.1. TRACTION SIMPLE (EXO) 9 1.3. CISAILLEMENT SIMPLE 10 1.4. POUTRES FLECHIES (Elments de rduction) 12 1.5. Caractristiques des SECTIONS 17 1.6. FLEXION SIMPLE (contraintes) 22 1.7. CISAILLEMENT SIMPLE 26 1.8. FLEXION SIMPLE (contraintes) 28

    2. STATIQUE 40

    2.1. RAPPELS 40 2.2. LIAISONS entre SOLIDES - TORSEURS des INTERACTIONS 47 2.3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 48

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    1. R.D.M

    1.1. GENERALITES

    I/BUT DE LA R.D.M.

    C'est la dtermination des sections ncessaires et des formes adaptes de manire satisfaire les conditions de rsistance ou de flche

    Concrtement : Contrainte : Flche :

    II/ HYPOTHESES DE LA RDM

    1/ Les Matriaux sont : - Homogne (irrgularits petites/dimensions) - Isotrope (mmes proprits dans toutes les directions) 2/ Les Solides tudis sont en forme de poutre : = solide engendr par une aire plane (S) dont le C.d.g dcrit une droite ou une courbe

    de faible courbure (G0.G2), le plan de (S) restant normal cette courbe. - La section est constante ou varie progressivement.

    Remarques : On tudie essentiellement les poutres droites possdant un plan de symtrie = poutre plan moyen

    G1G2

    Ligne moyenne

    G0

    3/ Navier Bernouilli.: Les sections droites restent planes aprs dformation. 4/ Loi de Hooke : Les dformations sont faibles progressives et rversibles Domaine

    lastique relation linaire entre les contraintes et les dformations. 5/ Loi de Hooke : Les effets sont indpendants du mode de liaison, mais uniquement fonction

    des sollicitations en se plaant suffisamment de celles-ci.

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    III/ NOTION DE CONTRAINTE

    Soit un solide en quilibre, soumis un systme de forces extrieures

    - Coupons le solide suivant une section S. - Isolons un morceau (1) et tablissons son schma mcanique.

    B

    Bilan des forces appliques : Sur chaque lment de surface (s) de S agit une force f ( de direction quelconque en gnral)

    Composantes d'une contrainte: f a 2 composantes Composante Normale : S fn Composante Tangentielle : // S ft Les forces f sont : a/ des forces intrieures quand on tudie le solide en entier

    b/ des forces extrieures quand on tudie un morceau du solide

    Dfinitions: On appelle contrainte Normale :

    On appelle contrainte Tangentielle : = fts

    Units : Nm2

    = Pascal : Pa, ou Megapascal : MPa (106 Pa) ou bar (daN/cm2)

    G

    Ligne moyenne

    G0

    G2

    (S) F1

    F2

    F3F4

    F5

    1

    2

    G

    G0

    (S)

    F1

    F2

    F3

    1S

    F

    G(S)

    S

    F Fn

    Ft

    x

    = fns

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    IV/ REPARTITION UNIFORME DES CONTRAINTES (sur une section) Soit une section fictive soumise des contraintes et

    G

    (S)

    S2

    F1

    fn2

    ft

    x

    fn1

    s2

    s1

    Hypothses : Rpartition uniforme des contraintes sur S (traction ou compression). Problme : Rsultante des forces normales fn sur S (Intensit ; position).

    1/ Intensit de F (rsultante des fn)

    Sur chaque lment de surface s agit une force normale fn.

    or = fns fn1 = x s1 ; fn2 = x s2 ...........................

    et fn // oz F // oz F = ( s1 + s2 + .............) = S F = S

    2/ Point d'application de F Mthode : Systme quivalent ( Mt identique) Mt/ox(F) = Mt/ox(fn) F . yG = fn1 . y1 + fn2 . y2 ............... .S.yG = .si.yi

    yy sSG

    = .

    = ds.yS1yG

    Si Mt/oy(F)

    = ds.xS1xG

    Concrtement :

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    1.2. TRACTION SIMPLE & COMPRESSION SIMPLE

    I/ Dfinitions. Un solide est sollicit : En traction simple lorsqu'il est soumis deux forces directement opposes situes sur la ligne moyenne et qui tendent l'allonger. En compression simple lorsqu'il est soumis deux forces directement opposes situes sur la ligne moyenne et qui tendent le raccourcir II/ Essai de traction On soumet une prouvette cylindrique de dimensions normalises un essai de traction. On enregistre les dformations en fonction de la force N ( N augmentant progressivement jusqu obtenir la rupture de lprouvette). 1/ Etude du graphe : N : effort de traction L : allongement de l'prouvette. L : longueur de l'prouvette. 2/ Etude de la Zone lastique OA. Les allongements sont proportionnels aux efforts de traction. N = k L Limite lastique : fe Ne

    S= avec S section de

    l'prouvette. Les fournisseurs d'acier garantissent cette valeur ; exemple : FeE 500 fe = 500 MPa Lallongement de lprouvette L est proportionnel sa longueur initiale Lo

    dfinit un allongement relatif = LLo

    Contraintes. Pour faire apparatre les contraintes dans lprouvette il faut couper celle-ci ( une abscisse x) Par application du principe de Bernouilli ( x et donc constant pour toutes les fibres) et de la Loi de Hooke = k L ou = k : identique pour toutes les fibres est uniformment rpartie sur la section S

    F F

    F F

    A

    O

    BC

    Elastique Plastique

    Ne

    Nr

    N

    Acier doux

    L

    L : allongement de lprouvette Lo : longueur initiale

    xx

    x

    z

    y

    O

    (S)

    x

    x

    y

    O

    (S)

    N

    = NS

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    3/ Diagramme contrainte-dformation:

    Puisque = LLo

    et = NS

    : on peut

    tracer le diagramme de lessai en fonction de et (diagramme homothtique au prcdent)

    A

    O

    BC

    Elastique Plastique

    fe

    fr

    Acier doux

    Loi de Hooke . On peut remarquer que dans la zone lastique les contraintes sont bien proportionnelles aux dformations :

    tan = = .tan si on pose E = tan

    = .E E : module de Young ou module d'lasticit longitudinal E : est une constante pour un matriau donn ; par exemple : E = 2 10 MPa pour l'acier 5 4/ Zone plastique AC.

    A

    O

    BC

    Plastique

    Ne

    Nr

    N

    Acier FeE500

    L e

    Lorsque l'on atteint cette zone on constate un allongement apprciable de lprouvette sans que leffort augmente beaucoup. En dchargeant l'prouvette on constate qu'il reste un allongement permanent de l'prouvette e (dformation rmanente). Rsistance la rupture Rr :

    Rr NrSo

    = 4/ Calculs pratiques :

    Compte tenu des hypoths de la RDM ( Bernoulli ) la contrainte dans les matriaux devra toujours tre infrieure contrainte admissible fixe rglementairement, note (contrainte normale admissible) Exemple : = fe = 240 MPa ( pour un un acier FeE 240 suivant le CM 66)

    = fsu = 500/1.15 (pour un acier FeE 500 suivant le BAEL 93 lELU) = bc = 0.6 fc28 (pour le bton comprime, suivant le BAEL 93 lELS)

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    a / Vrification dune section Donnes :

    N : Effort de traction ou de compression, en N. S : Aire de la section sollicite, en m. : Contrainte admissible du matriaux.

    On doit vrifier que la contrainte normale = NS

    b / Dtermination dune section

    Donnes :

    N : Effort de traction ou de compression, en N. : Contrainte admissible du matriaux. On veut dterminer la section ncessaire et suffisante de faon ce llment rsiste :

    Donc faire en sorte que : SN= S N

    c / Calcul dallongement ou de raccourcissement: Donnes :

    N : Effort de traction ou de compression, en N. S : Aire de la section sollicite, en m. Lo: Longueur initiale de llment. E : Module d'lasticit longitudinal

    1/ SN=

    2/ E=

    3/ L =.Lo

    = .E = L

    Lo

    Ou L S.ELo.N=

    SN=

    d / Remarque :

    Les formules prcdentes sont valables pour les pices tendues et les pices comprimes, dites courtes ( pour les pices comprimes longues , le calcul sera men au flambement).

    5/ Exercice:

    1/ Soit un tirant mtallique de longueur Lo = 5m en acier FeE 240 soumis un effort de traction de 200 KN. E = 2.1 105 MPa a/ Dterminer les dimensions nssaires et suffisantes de sa section :

    - Cas dune section carre (arrondir au mm suprieur) - Cas dune section circulaire (arrondir au mm suprieur)

    b/ Dterminer les dimensions nssaires et suffisantes de sa section de faon limiter son allongement 5mm:

    - Cas dune section carre (arrondir au mm suprieur) - Cas dune section circulaire (arrondir au mm suprieur)

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    1.2.1. TRACTION SIMPLE (EXO) EXO 1:

    DONNEES :

    Pc = 1200 N E = 2.1 105 MPa QUESTIONS 1/ Dterminer les efforts dans EB 2/ En dduire l'allongement de EB, si son diamtre est de 6 mm

    EXO 2 DONNEES :

    Pc = 1000 N = 160 MPa E = 2.1 105 MPa QUESTIONS 1/ Dterminer le diamtre de BC (arrondir au diamtre paire suprieur. 2/ En dduire son allongement.

    EXO 3 DONNEES :

    P = 50 N = 160 MPa E = 2.1 105 MPa QUESTIONS 1/ Dterminer le diamtre de BC et de AB (arrondir au mm suprieur). 2/ En dduire leur allongement.

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    6/ Coefficient de Poisson : Il existe un rapport constant entre la dformation transversale

    rr

    et l'allongement

    longitudinal LL

    .

    rr

    = - LL

    (r quand L ) = coefficient de poisson (caractristique du matriau) Problme : dterminer la variation relative de volume en fonction de la variation relative de longueur V = .r L

    dV r dr l r dl

    dVV

    drr

    dll

    dVV

    ll

    = +

    = +

    =

    2

    2

    1 2

    . . . . . .

    .

    ( )

    dVV

    dll

    = ( )1 2 Valeur de Cas limite = 0.5 dV = 0 ( caoutchouc) Cas gnral : compris entre 0.25 et 0.3.

    1.3. CISAILLEMENT SIMPLE

    I/ Dfinitions. T

    T

    SUn solide est sollicit en cisaillement simple lorsqu'il est soumis deux forces directement opposes agissant de part et dautre dune mme section

    Remarques :

    - Une telle disposition tant trs thorique, les cas de cisaillement simple sont trs rares et saccompagne souvent de flexion et de compression. - On admet toutefois quil y a cisaillement simple dans les cas suivant :

    * Dcoupage dune tle outil tle

    rivet

    N N

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    * Assemblage au moyen de rivets ou de boulons de 2 pices minces soumises un effort de traction simple * Assemblage par un axe crant une articulation II/ Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple).

    On admettra dans un but de simplification que les contraintes de cisaillement ( parallles la section S) sont uniformment rparties sur la section cisaille ( ce qui est faux en ralit, car cela dpend de la forme de la section)

    Contrainte limite de cisaillement

    Elle est fonction de fe de lacier : III/ Equation de dformation

    Le cisaillement entrane le dcrochement de la section droite ab par glissement par rapport sa voisine ab

    La dformation unitaire est ici une dformation angulaire i

    =dydx

    = tan Or est petit tan = (en radian) En appliquant la loi de Hooke dans cas on a :

    .

    Par llasticit on peut dmontrer que ( )+= 12 EG

    Axe

    PoutreArc

    = TS

    : contrainte moyenne de cisaillement T : effort tranchant S : section cisaille

    = 65100

    fe

    T

    T

    a'

    b'

    a

    bdx

    dy

    = G G : Module dlasticit transversal : Dformation unitaire en radian : Contrainte de cisaillement

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    1.4. POUTRES FLECHIES (ELEMENTS DE REDUCTION)

    I/ Forme de poutre. Voir dfinition dans le chapitre R D M. II/ Nature des charges.

    1/ Charges ponctuelles (concentres) : charges appliques en un point.

    6.40

    2/ Charges uniformment rparties : (q/ml ou g, v etc. ).

    Sur chaque segment de mme longueur agit la mme charge.

    Ex : - Poutre de section constante soumise son poids propre - poutre sous un plancher B.A. Unit : q sexprime en N/ml = le taux de charge.

    g

    6.40

    q

    Diagramme de charge rectangulaire. 3/ Charges rparties quelconques:

    sur x f

    Intensit locale de la charge

    q(x) = fx

    (fonction de x).

    4/ Equivalence vectorielle des charges rparties :

    Sur x : charge f = q(x) . x (= aire hachure) Charge totale = aire totale du diagramme des charges. Position de la rsultante = au Cdg du diagramme.

    III/ Elments de rduction des forces extrieures. - Soit une poutre isostatique

    S

    x

    6.40

    q

    x

    f

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    - Si on coupe en S est quon isole le morceau de gauche (enlve le morceau de droite).

    Il est ncessaire de rtablir lquilibre de ce morceau en appliquant sur S les efforts suivants :

    N : Effort suivant la ligne moyenne

    V : Effort perpendiculaire la ligne moyenne.

    M : Moment autour de z.

    S

    x

    V N

    M

    N, V, M, remplacent les actions droite de la coupure. On peut dire aussi que les actions gauche de la coupure + N, V, M = 0

    Dfinition :

    N = - projections / ox des forces gauche de S Ou projections / ox des forces droite de S. V = - projections / oy des forces gauche de S Ou projections / oy des forces droite de S. M = - Moments / oz au cdg de S des forces gauche de S. Ou Moments / oz au cdg de S des forces droite de S.

    Remarque : N, V, M, sont fonction de x (position de la coupure) Diagramme N(x), V(x) et M(x) le long de la poutre.

    Cas particuliers : 1/ N 0 V = 0 M = 0 (Traction, compression simple) 2/ N = 0 V = 0 M 0 ( ) 3/ N = 0 V 0 M = 0 ( ) 4/ N = 0 V 0 M 0 ( ) 5/ N 0 V 0 M 0 ( )

    IV/ Relations entre V, M et q * Soit un tronon de poutre dfinie ci-dessous :

    q(x)

    -(M+dM)

    -(V+dV)

    V

    M dx

    Equilibre du tronon : c proj/oy = 0 V - q(x).dx - V -dV = 0

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    dV = q(x).dx

    q(x) = dVdx

    d Mt/oz = 0

    M - V.dx + q(x)dx2

    2 - M -dM = 0

    - V.dx = dM

    VdMdx

    = V = 0 extremum de M

    c + d q d Mdx

    =2

    2

    V/ Allure des diagrammes

    Charge concentre Charge uniformmentrpartie

    Charge triangulaire p(x) = p.x

    V(x) M(x)

    Remarque : dM = -Vdx = 10

    1

    0

    x

    x

    x

    x

    VdxdM

    x0 x1

    m0m1

    [ ] = xxVdxx

    xM1

    0

    1

    0

    dxxxVMM = 1

    0

    01

    M0 = aire droite de S de leffort tranchant. + M1

    Diagramme de N(x), V(x), M(x) Mthode de dtermination.

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    I/ La statique est suppose termine : schma mcanique rel ( ne pas concentrer les charges rparties ). exemple :

    Rb F

    Ra Mc

    L

    b

    a

    II/ Si N(x) 0 ( Flexion compose) Dans un premier temps : Faire 2 schmas mcaniques

    c Un en ne prenant que les projections la ligne moyenne de la poutre et les couples( F(y), Mt)

    Rb(y) F(y)

    RaMcc

    d Un en ne prenant que les projections // la ligne moyenne (F(x).

    III/ Dfinir les zones pour chaque schma 1 et 2

    donne une quation et donc une allure diffrente dans chaque zone. Remarque : Changement de zone quand : pour N(x) : - Changement de taux de charge en compression ou traction - Rencontre une force normale la poutre. pour V(x) : - Changement de taux de charge la ligne moyenne

    Rb(x)

    d

    F(x)

    - Rencontre une force la poutre. pour M(x) : - Changement de zone de V(x) - Rencontre un moment applique la poutre.

    IV/Trac Avec quations Sans quations

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    Exemple de rsultats

    F

    A B

    AA

    A

    BB

    B

    x

    NV

    Mf

    -

    + +Fy / 2 Fx

    y

    - Fy / 2

    Fy L /4

    L

    +

    F

    A B FA B

    R b ( y ) F ( y )

    R a M c

    Rb(x)

    F(x)

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    1.5. CARACTERISTIQUES DES SECTIONS

    I/ MOMENT STATIQUE 1/ Hypothse

    Soit une section S appartenant un plan x.o.y soumise des contraintes proportionnelles x ( = k.x).

    avec

    avec

    Remarque : Si laxe oy traverse S, les f sont de sens contraire de

    part et dautre de oy.

    1 = k.x1 2 = k.x2 3 = k.x3

    y

    o x z

    o

    S1

    S3

    S2x1

    x2

    x3

    x

    f1f2

    f3

    y

    S

    x

    f1 = k.x1.S1 f2 = k.x2.S2 f3 = k.x3.S3

    y

    S1S3

    S2 S 3

    2 1

    x3

    x1x2

    z

    2/ Problme

    On veut dterminer lintensit de la rsultante R des f qui sera appel : = Moment statique de S/oy (oy appartenant au plan de S)

    R = f1 + f2 + f3. = k.x1.S1 + k.x2.S2 + k.x3.S3 +. = k.x.S

    Si S0 R = k ds.xSSFERE - OFPPT Page 17 / 51

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    3/ Dfinition du Moment statique

    Moment statique de S/oy

    Ay = ds.x

    S

    Moment statique de S/ox

    Ax = ds.yS

    Exercice : Calculer le moment statique dun rectangle /base en fonction de b et h.

    3/ Proprit du Moment statique

    a / On sait que XG = =

    ss

    s ds.xS1

    ds

    ds.x

    Ay = XG x S

    Ax = YG x S b / Si oy passe par G XG= 0 Ay = 0 c / Unit : L3 ( m3, cm3 ) et Signe de Ax ou Ay : Quelconque. Exercice : Recalculer le moment statique dun rectangle /base en fonction de b et h, mais en utilisant le C.D.G.

    II/ MOMENT QUADRATIQUE 1/ Hypothse

    Mme hypothse que pour le moment statique.

    2/ Problme On veut dterminer le moment rsultant/oy. = Moment quadratique de S/oy (oy appartenant au plan de S) Mtr/oy = f1.x1 + f2.x2 + f3.x3 + .. = 1.S1.x1 + 2.S2.x2 + 3.S3 x3 +. = k.x1.S1.x1 + k.x2.S2 x2 + k.x3.S3 x3+. = k.x1.S1 + k.x2.S2 + k.x3.S3 +. Mtr/oy = k x.ds

    = k ds.xS

    2

    b

    h

    x

    y

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    3/ Dfinition du Moment quadratique Moment quadratique de S/oy

    Iy = ds.xS2

    Moment quadratique de S/ox

    Ix = ds.yS2

    4/ Unit : L4 ( m4, cm4..)

    Exercice : Dterminer le moment quadratique dun rectangle

    1 /base (ox) en fonction de b et h 2 /mdiatrice (Gx)en fonction de b et h

    h

    y

    x G

    x

    b III/ CHANGEMENT DE COORDONNEES ( Th dhuygens)

    M

    y

    x

    x

    y

    G

    H d

    1/ Problme

    Connaissant Ix on veut dterminer Ix ; Or Ix = ds.yS2

    Soit le point M labscisse y

    Ix = ds.HMS2 = ds.)dy(S 2 +

    Ix = Signe de Ax ou Ay : Quelconque. ds)dd.y.2.y( 2S2 ++

    Ix = +2d + d ds.yS2 ds.yS Sds

    Ix = Ix + 2d + Sd ds.yS = Ay/Gx= 0 Thorme dHUYGENS

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    Ix = Ix + Sd

    S : Aire de la section d : Distance entre les 2 axes N.B : Le thorme dHuygens permet de dterminer le moment quadratique dune surface par rapport un axe quelconque, en partant uniquement dun axe passant par G dont on connat le moment quadratique, et en y ajoutant le terme Sd (les 2 axes tant //).

    IV/ EXERCICES 1/ Dterminer les moments statiques et quadratiques des sections suivantes : a/ par rapport ox b/ par rapport oy

    c/ par rapport Gx

    2/ Dterminer les moments quadratiques/ Gz (cdg de lensemble) des sections suivantes, composes dassemblage soud de profils du commerce.

    y

    G

    5 m

    m

    5 m

    m

    100

    mm

    3 mm

    50 mm

    x x

    y

    G

    5 mm

    4 m

    m

    35 mm

    40 m

    m x

    x

    IPE 200

    G

    IPE 200

    z IPE 200

    G

    UAP 100

    z

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    V/ MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE 1/ Hypothses

    Soit une section S appartenant un plan x.o.y soumise des contraintes tangentielles avec : a/ proportionnelles x (= k.x). b/ perpendiculaire au rayon issu de oz. a/ ou ft dans le mme sens de rotation/ oz ( cas de la torsion).

    2

    S1

    S3 S2 x

    o ft1ft2 ft3 y

    S

    ft = .S 1 = k.1

    2 = k. 2

    3 = k. 3

    et

    2/ Problme

    On veut dterminer le moment rsultant des ft/oz. = Moment quadratique polaire de S/oz (S appartenant au plan xoy) Mtr/oz = f1. 1 + f2. 2 + f3. 3 + .. = k. 1.S1. 1 + k. 2.S2 2 + k. 3.S3 3+. = k. 1.S1 + k. 2.S2 + k. 3.S3 +. Mtr/oy = k .s

    = k ds.S

    23/ Dfinition du Moment polaire

    Moment quadratique polaire de S/oz

    Ip = ds.S2

    4/ Unit : L4 ( m4, cm4..)

    5/ Proprit : = x + y Ip = = + ds).yx(S

    22 + ds.xS 2 ds.yS 2Le moment quadratique polaire est la somme des moments quadratiques/ 2 axes perpendiculaires

    Ip = Ix + Iy

    FLEXION SIMPLE (contraintes)

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    1.6. FLEXION SIMPLE (CONTRAINTES)

    Hypothses. Poutre comportant un plan de symtrie vertical. Lignes d'action des forces dans ce plan de symtrie Poutre en flexion simple (N=0 ; V0 ; M0) Contraintes. Soit la poutre suivante reposant sur deux appuis simples et soumise la flexion. Etudions la section (S) : Plan de symtrie

    O

    y

    x

    (S)

    G

    Isoler un petit tronon de longueur dx. D'aprs Navier Bernoulli les sections droites restent planes pendant la dformation. On constate une rotation de la section (S) autour de G. Les allongements ou les raccourcissements sont proportionnels l'ordonne y de la fibre correspondante.

    Prenons une fibre ab// ligne moyenne bb= x = -y d (x 0 En appliquant la Loi de Hooke : = E: On dduit que les contraintes normales sont

    proportionnelles aux dformations

    O

    y

    x

    (S)

    G

    x

    y

    dx

    b b'ad

    : dformation = xdx

    E : module de Young ou module d'lasticit longitudinal. = E = E y d

    dx. . = E = E y d

    dx. . est proportionnelle y

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    Dformations. Hypothses : On nglige linfluence de V

    La section S tant en quilibre : Les forces lmentaires exerces sur la section (S) (forces de liaisons) doivent quilibrer le moment flchissant M. Calcul du moment rsultant Mt Gz/ des efforts

    sur S : Mt Gz/ = = - M dfydf = ds et = k y

    = = dfy dsy ( ) dsdxdy.Ey = -E. ddx dsy2 = - E. ddx I = - M GZ d

    dxM

    E IGZ

    =.

    Expression de (Contrainte normale).

    = E y ddx

    . .

    = contrainte normale sur s situe sur la section dabscisse x et lordonne y. M = M(x) moment flchissant labscisse x de la poutre. y = Ordonne de s ( point ou lon veut calculer ) I/GZ = Moment quadratique le lensemble de la section / GZ. Contraintes Extrmes

    Fibre sup ..... max = GZI

    1hM(max)

    Fibre inf ..... max = GZI

    2hM(max)

    O

    y

    x

    (S)

    G

    dx

    df ds

    y-MM

    h1

    h2

    Contrainte de flexion : = M yIGZ

    O

    y

    x

    (S)

    G

    x

    x

    y

    y

    s

    G z

    GZI.EM

    dx=d

    h1

    h2

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    Utilisation de lexpression Vrification dune section donne :

    donnes: Mf maxi I/GZ ad

    Calcul de et vrifie < ad (du matriau) Choix dun profil du commerce :

    donnes: Mf maxi et ad

    max= GZI

    2hM(max) ou GZI

    1hM(max) ad posons v1 = h1 et v2 = h2

    max= 1v

    IMGZ

    ou 2v

    IMGZ

    ad

    M

    2vIet1v

    I GZGZ avec I

    vGZ = caractristique du profil ( dans un tableau)

    Remarque : quand le profil est symtrique v h=2

    M

    vIGZ

    choix du profil dans le tableau.

    Exercice : Etablir la formule de max pour une section rectangulaire pleine en fonction de M b et h.

    Cisaillement longitudinal

    G

    xG

    dx

    b

    ds1

    1dS

    ds12

    2ds

    2dS

    So

    Soit le tronon de poutre de longueur dx. Sur ce tronon tudions la portion infrieure reprsente par des hachures. L'quilibre de ce morceau de tronon nous permet d'crire :

    oS

    1ds + + = 0 si on peut considrer sur dx que est constant oS

    2ds nS

    ds

    nS

    ds = b dx si en G le moment flchissant est gal M1 f1 en G le moment flchissant est gal M2 f 2

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    = Mf yIGZ

    1 = M yI

    f

    GZ

    1 2 = M yIf

    GZ

    2

    b dx = dsIyM

    oSGZ

    2f - dsI yMoS

    GZ

    1f = oS

    GZf dsyI

    dM

    or = Moment statique de So par rapport Gz oS

    dsy

    = dM stdx I b

    f

    Gz

    = V s

    I bGz

    t sachant que l'effort tranchant V = dM

    dxf

    : contrainte de cisaillement

    V : effort tranchant Mst : moment statique de la portion de section situe au-del de y

    : Inertie totale de la section / Gz IGz b : est la largeur de la coupure fictive. Exercices :

    1/Etablir la formule de pour une section rectangulaire pleine en fonction de b et h 2/ Tracer le diagramme dvolution de le long dune section rectangulaire pleine en fonction de V, b et h pour y = h/2, h/4, 0 et symtriquement. 2/ Tracer le diagramme dvolution de le long dune section I (IPE 200) pleine en

    fonction de V, b et h pour y = h/2, bas de la semelle, haut de lme et h/4, 0 et symtriquement

    Dformations :

    on a un allongement de la fibre d'ordonne y de m1m' = y d (d en radians) sur un tronon de longueur mm1 soit dx

    = V sI bGz

    t

    x

    (S1)

    y

    d

    (S2)

    G G1

    x

    2

    d

    m1m'm

    O

    y

    x

    (S1)

    I

    d

    x(S2)

    d

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    dformation = m mmm

    1

    1

    ' = = y d

    dx

    = Mf yIGZ

    et = E = y d

    dx

    E

    ddx

    = Mf

    EIGZ

    dx = R d Equation de la dforme : En gomtrie analytique on dmontre que si y = f(x) est l'quation d'une courbe au point M d'abscisse x est :

    A

    y

    x

    y = f(x)

    B

    R = ( ' )

    "

    /1 2 3 2+ yy

    R est le rayon de courbure. y' drive premire de y = f(x) y" drive seconde de y = f(x) Les dformations y' sont ngligeables devant 1

    y" = + Mf

    EIGZ

    1.7. CISAILLEMENT SIMPLE

    I/ Dfinitions. T

    T

    SUn solide est sollicit en cisaillement simple lorsqu'il est soumis deux forces directement opposes agissant de part et dautre dune mme section

    Remarques :

    - Une telle disposition tant trs thorique, les cas de cisaillement simple sont trs rares et saccompagne souvent de flexion et de compression. - On admet toutefois quil y a cisaillement simple dans les cas suivant :

    * Dcoupage dune tle outil tle

    rivet * Assemblage au moyen de rivets ou de boulons de 2 pices minces soumises un effort de traction simple

    N N

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    * Assemblage par un axe crant une articulation II/ Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple).

    On admettra dans un but de simplification que les contraintes de cisaillement ( parallles la section S) sont uniformment rparties sur la section cisaille ( ce qui est faux en ralit, car cela dpend de la forme de la section)

    Contrainte limite de cisaillement pour de lacier

    Elle est fonction de fe de lacier : III/ Equation de dformation

    Le cisaillement entrane le dcrochement de la section droite ab par glissement par rapport sa voisine ab

    La dformation unitaire est ici une dformation angulaire i =dydx

    = tan Or est petit tan = (en radian) En appliquant la loi de Hooke dans cas on a :

    .

    Par llasticit on peut dmontrer que ( )+= 12 EG

    III/ Calcul pratique a / Vrification dune section

    Donnes :

    N : Effort de traction ou de compression, en N. S : Aire de la section cisaille, en m. : Contrainte admissible de cisaillement du matriau. On doit vrifier que la contrainte de cisaillement S

    N=

    Axe

    PoutreArc

    = TS

    : contrainte moyenne de cisaillement T : effort tranchant S : section cisaille

    = 65100

    fe

    T

    T

    a'

    b'

    a

    bdx

    dy

    = G G : Module dlasticit transversal : Dformation unitaire en radian : Contrainte de cisaillement

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    b / Dtermination dune section

    Donnes : N : Effort de traction ou de compression, en N. : Contrainte admissible de cisaillement du matriau. On veut dterminer la section ncessaire et suffisante de faon ce llment rsiste :

    Donc faire en sorte que : SN= S N

    Axe

    Tirant

    III/ Exercice dapplication Soit lassemblage dfinit ci-contre Leffort de traction dans le tirant et de 400 kN Laxe est cylindrique est en FeE 240. Dterminer le diamtre minimal de laxe. IV/ Exercice Formatif

    Ferme mtallique

    1.8. FLEXION SIMPLE (CONTRAINTES)

    Hypothses.

    Plan de symtrie

    Poutre comportant un plan de symtrie vertical. Lignes d'action des forces dans ce plan de symtrie Poutre en flexion simple (N=0 ; V0 ; M0)

    Contraintes normales (dues M(x). Soit la poutre suivante reposant sur deux appuis simples et soumise la flexion.

    O

    y

    x

    (S)

    G

    S

    dx

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    Etudions la section (S) :

    Isoler un petit tronon de longueur dx. D'aprs Navier Bernoulli les sections droites restent planes pendant la dformation. On constate donc une rotation de la section (S) autour de G. Les allongements ou les raccourcissements sont proportionnels l'ordonne y de la fibre correspondante.

    Prenons une fibre ab// ligne moyenne bb= x = -y d (x 0 En appliquant la Loi de Hooke : = E: On dduit que les contraintes normales sont

    proportionnelles aux dformations

    : dformation = xdx

    E : module de Young ou module d'lasticit longitudinal. = E = E y d

    dx. . = E = E y d

    dx. . est proportionnelle y

    Dformations. Hypothses : On nglige linfluence de V

    La section S tant en quilibre : Les forces lmentaires exerces sur la section (S) (forces de liaisons) doivent quilibrer le moment flchissant M. Calcul du moment rsultant .Mt Gz/ des

    efforts sur S : Mt Gz/ = = - M dfydf = ds et = k y

    = = dfy dsy ( ) dsdxdy.Ey = -E. ddx dsy2 = - E. ddx I = - M GZ d

    dxM

    E IGZ

    =.

    O

    y

    x

    (S)

    G

    x

    y

    dx

    b b'ad

    O

    y

    x

    (S)

    G

    dx

    df ds

    y-MM

    h1

    h2

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    Expression de (Contrainte normale).

    = E y ddx

    . .

    Contrainte de flexion : (y) = GZI

    y)x(M ddx

    ME IGZ

    =.

    Avec : (y) = contrainte normale lordonne y et labscisse x de la poutre. y ordonne du point de calcul de . M(x) Moment flchissant labscisse du point de calcul Contraintes Extrmes

    Pour obtenir les contraintes normales extrmes sollicitant une poutre donne, il suffit de prendre les moments extrmes ( Mmax) et les ordonnes extrmes de la section.

    Fibre sup ..... sup = GZI

    1h(max)M

    Fibre inf ..... inf = GZI

    2h(max)M

    Utilisation de lexpression a/ Vrification dune section donne :

    donnes: Mf maxi I/GZ ad

    Calcul de et vrifie < ad b/ Choix dun profil du commerce :

    donnes: Mf maxi ad On veut : = M y

    IGZ ad

    posons v = y

    M

    vIGZ = MI

    vGZ

    avec IvGZ = caractristique du profil ( dans un tableau)

    Remarque : quand le profil est symtrique v h=2

    Exercice : Etablir la formule de (max) pour une section rectangulaire pleine en fonction de b et h.

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    Contraintes de cisaillement longitudinal (dues V(x)) Mise en vidence :

    Soit un empilage de planches (ou autre) reposant sur deux appuis simples et soumises de la flexion.

    Expression de : Soit le tronon de poutre de longueur dx. Sur ce tronon tudions la portion infrieure reprsente par des hachures. L'quilibre de ce morceau de tronon nous permet d'crire :

    oS

    1ds + + = 0 si on peut considrer sur dx que est constant oS

    2ds nS

    ds

    nS

    ds = b dx si en G le moment flchissant est gal M1 f1 en G le moment flchissant est gal M2 f 2

    = Mf yIGZ

    1 = M yI

    f

    GZ

    1 2 = M yIf

    GZ

    2

    b dx = dsIyM

    oSGZ

    2f - dsI yMoS

    GZ

    1f = oS

    GZf dsyI

    dM

    or = Moment statique de So par rapport Gz oS

    dsy

    = b/IdxGz/dM

    Gz

    f

    = b./I

    Gz/VGz

    sachant que l'effort tranchant V = dMdx

    f

    : contrainte de cisaillement longitudinal au niveau de la corde (coupure fictive) V : effort tranchant /Gz : moment statique /Gz de la portion de section situe au-del de y

    Gz/I : Inertie totale de la section / Gz b : est la largeur de la coupure fictive.

    G

    x G

    dx

    b

    ds 1

    1 dS

    ds 1 2

    2ds

    2dS

    So

    corde

    = b./IGz/V

    Gz

    dformation

    On remarque que les planches glissent les unes sur les autres ce qui implique des contraintes au plan de glissement ( contraintes tangentielles )

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    Exercices : 1/Etablir la formule des situes sur G(z) pour une section rectangulaire pleine en fonction de V,b et h 2/ Tracer le diagramme dvolution des le long dune section rectangulaire en fonction de V, b et h pour y = h/2, h/4, 0 et symtriquement.

    3/ Tracer le diagramme dvolution des le long dune section d I.P.E dfini ci-dessous pour les point A, B+, B-, C, G et symtriquement

    x

    x

    y

    G

    50 mm

    5 m

    m

    5 m

    m

    h =1

    00 m

    m

    3 mm

    A

    B

    C

    h/4

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    PLONGEOIR L'ensemble propos sur la figure est un plongeoir une seule planche utilis sur le bord des piscines. Soit tudier la flexion de la planche ABC reprsente schmatiquement sur les figures 2 et 3. Le poids propre de la planche est nglig.

    1/ Dterminer les actions mcaniques de contacts exerces en A et B sur la planche 2/ Tracer les digrammes de V(x) et M(x) (sans quations) en prcisant toutes les valeurs particulires. 3/ Tracer le diagramme des contraintes normales sur la section la plus sollicite (section 30 x 600 mm sur le tronon AB) 4/ Calculer la contrainte de cisaillement maxi (section 30 x 600 mm sur le tronon AB)

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    PORTIQUE TOURNANT Le portique tournant, d'une usine de poutres B.A prfabriques, propos sur les figures 1 et 2 se compose d'une poutre principale en I. La poutre est lie en A ( liaison pivot ou articulation vertical ) un ft fixe 2, elle est en appui sur un support mobil 3. Ce support est guid par un rail circulaire ( rayon R, centre A ), il est quip de deux moteurs. L'ensemble tu portique pivote autour de A. Le porte-palan avec cabine 4 translate le long de AC, il peut effectuer le levage d'une charge ne dpassant pas 10000 daN. Notre tude portera sur la poutre 1 dont on propose le schma de calcul (fig. 3). Les 500 daN/m correspondent au poids propre de la poutre, et la charge de 10000 daN est situe en C (cas le pus dfavorable ).

    1/ Dterminer les actions mcaniques de contacts exerces en A et B sur la poutre 2/ Tracer les diagrammes de V(x) et M(x) le long de la poutre (sans quations) en prcisant toutes les valeurs particulires. 3/ Tracer le diagramme des contraintes normales sur la section B (section la plus sollicite : fig 4). 4/ Calculer la contrainte de cisaillement en C. ( mme section qu'en B, except la hauteur = 800 mm). Vous justifierez succinctement le choix de cette section.

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    CUVE DE STOCKAGE La cuve de stockage propose ci-dessous est ralise d'une virole (1)et de deux fonds (2 et 3) souds aux extrmits. La cuve repose sur deux supports (4 et 5) poss mme le sol (0). On se propose d'tudier le comportement de la cuve en flexion. Le schma de calcul correspondant est dfini fig. 2, dans lequel la charge rpartie q de 5000 daN reprsente l'action exerce par le liquide contenu dans la cuve.

    1/ Dterminer les actions mcaniques de contacts exerces en A et B sur la cuve. 2/ Donner les quations de V(x) et M(x) le long de la poutre, ainsi que toutes les valeurs particulires. 2/ Tracer les diagrammes de V(x) et M(x) le long de la poutre. 3/ Dterminer littralement la valeur de a en fonction de L donnant le mme moment maxi sur appuis qu'en trave (en valeur absolue). 4/ Tracer le diagramme des contraintes normales sur la section de cuve situe sur l'appui A.

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    PONT ROULANT Le pont roulant ci-dessous propos sur la figure 1 se compose d'une poutre principale (1) ( Profil IPER ) mont sur deux sommiers latraux (3) ( composs chacun de deux UAP souds). L'ensemble translate sur deux rails (0) aux moyen de deux moteurs de translation (4). La charge est fix au crochet (5), et manuvre par le palan (2) ( levage et translation le long de (1)). L'lment tant le botier de commande.

    ETUDE DE LA POUTRE 1 Le palan 2 occupe la position dfinie par la figure 2 ( a = 4000 mm ). Le schma de calcul de la poutre ABC est reprsenter par la figure 3. P reprsente l'action exerce par le palan sur (1) dont le poids propre est nglig

    L=

    1/ Dterminer RA et RB. 2/ Tracer les graphes de V(x) et M(x) en prcisant toutes les valeurs particulires. 3/ Exprimer RA en fonction de P, a et L; puis l'quation de M(x) en fonction de P, a et L ( dans le tronon AB ). 4/ Dterminer la valeur de a donnant le moment flchissant maxi pour le tronon AB et en dduire sa valeur numrique.

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    5/ Si Mmax = 80.1 kN/m et la = 100 MPa, choisir L'IPER qui convient. ETUDE DU SOMMIER 3 Le chargement maximum du sommier est obtenu lorsque le palan (2) est situ au droit de l'appui correspondant, la charge est P (3000 daN ). L'tude du sommier se ramne schmatiquement la poutre DAE figure 5 (le poids propre du sommier sera nglig).

    1/ Dterminer le moment maxi dans le sommier. 2/ Choisir l'UAP ncessaire et suffisant pour satisfaire la condition de rsistance si = 160 MPa. 3/ Vrifier que la contrainte de cisaillement longitudinal reste infrieur 150 Mpa dans le sommier.

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    ANTENNE RADIO Pour effectuer le levage d'une antenne radio on utilise le montage de la figure 1. L'antenne (1) est lie sa base O un mt de charge (2)de 15 m de long. Le cble (5) , li en B (2) et en A sur (1), maintient constant l'cartement AB ( l'angle BOA reste constamment gal 90 ) Un deuxime cble (4) fix en B sur (2) et en D un treuil ralise le levage de l'ensemble (1) + (2) + (5). Cet ensemble pivote autour de O jusqu' la position verticale. On se propose tudier le comportement de l'antenne en flexion au dbut du levage (OA horizontal ) dont le schma de calcul est dfinit la figure 3.

    1/ Donner la charge rpartie q ( poids propre de l'antenne/m ) 2/ En dduire les actions mcaniques de contact en O et A. 3/ Dterminer le diamtre minimal du cble (5) ralis en acier dont e = 1600 Mpa et compte tenu d'un coefficient de scurit de 6. 4/ Tracer les diagrammes de N(x), V(x) M(x) de long de l'antenne. Prciser les valeurs particulires. Dans la suite du problme On ngligera l'effet de N(x). 5/ Dterminer le moment quadratique de la section de l'antenne dfinit par la figure 4. 6/ Tracer le diagramme de Navier de la section de l'antenne situe sur l'appui A.

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    2. STATIQUE

    2.1. RAPPELS

    I/Buts de la rsistance des matriaux: - Etudier l'quilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique) - Dterminer un tat de contrainte et un tat de dformation en tout point de la matire (R.d.M) II/ Reprsentation dune force : Vecteur force

    1/ Reprsentation gomtrique : Vecteur force

    Toute force peut tre reprsente par un vecteur caractris par:

    F - sa direction y - son sens - son intensit - son point d'application o x 2/ Reprsentation algbrique dune force : Une force peut tre reprsente algbriquement par ses composantes et par son point dapplication

    FA

    A

    x

    FA(x)

    F FA(y) FA(x) y

    FA(y) o

    Les composantes sont les valeurs algbriques des projections de F sur un axe horizontal (F(x) ) et vertical (F(y) ). Elles sont positives si elles sont orientes dans la mme direction que ox et oy (ngative dans le cas contraire. (voir feuille dexercices)

    III/ Moment d'une force Moment d'une force F par rapport un point O Le moment d'une force F par rapport un point O est un vecteur dfinit par la relation vectorielle :

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    M Fto = OM F M Fto = OA F

    O

    M F

    P

    M Fo

    x

    y

    z

    A

    Transport du moment d'une force par rapport un point un autre point. Soit une force F de point d'application M et 2 points distincts A et B dans l'espace. M FtA = AM F M FtB = BM F = (BA + AM) F = BA F + AM F

    En pratique : Pour les problmes plan il n'est pas utile d'utiliser le produit vectoriel pour calculer un moment d'une force par rapport un point. M FtO = OA F quantit affecte du signe + qd F fait tourner dans le sens trigo /point (- si inverse)

    IV/ Systmes de forces quivalents 1/ Dfinitions.

    Un systme de forces est un ensemble de forces agissant simultanment sur un systme matriel Des systmes de forces sont dits quivalents s'ils ont les mmes lments de rductions. C'est dire : Ils ont la mme rsultante et le mme moment rsultant en un point donn. Forces = identique Moment = identique

    F

    MA

    Osigne -

    M FtB = M FtA + BA F

    +

    sens trigo

    -

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    Remarque : Il est toujours possible de remplacer un systme de forces par un autre s'il est quivalent au prcdent. 2/Exemples

    a/ Composantes dune force( = projections orthogonales de F sur ox F(x) et sur oy F(y), ayant la mme origine que F).

    Exercice (Thorme de Varignon) Montrez le systme 1 est quivalent au systme 2 (prendre F = 20 kN et = 40, et calculer la somme des moments/o dans chaque cas)

    1/ F = 20 kN AH = 1 / Tan =1.19 OB = 2-1.19 = 0.81 OH = OB sin = 0.52 Mt F/O = +(0.52 x 20) = 10.4 kN.m 2/ F(x) = F cos = 15.3 kN F(y) = F sin = 12.86 kN

    Mt F/O = -(15.3 x 1) + (12.86 x 2) = 10.4 kN.m

    H O

    A B

    x

    x

    F

    F(x)

    F(y)

    1 2

    1

    y

    o

    y

    F(y)

    F(x)

    2 2

    1

    xo

    y

    Consquence : Le Mt F/o = F x OA est gal aussi Mt Fx/o + Mt Fy/o = -F(x) x A + F(y) x B

    En pratique : Il sera plus simple de faire le moment dune force en utilisant les valeurs de ses composantes, places lorigine de F.

    b/ Rsultante dun systme de forces.

    - Si la somme des forces est non nulle, on peut dire que le systme admet une rsultante. - En effet il sera possible de trouver un systme de force une force quivalent. - R = Forces - Mt /mme point Position de R

    -a/ Systme forces concourantes

    R F1

    y y

    F2

    o o 2 x x 1

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    On le que le systme 2 soit quivalent au systme 1 Force identique R = F1 + F2 Moments identique or Mt A (F1,F2) = 0 R passe par A

    -b/ Systme forces parallles Soit le systme 1 deux forces : dterminer R dans le systme 2 ( position et intensit) Avec F1 = 10 KN et F2 = 40 KN

    A

    B

    A

    B

    1.00 1.50 1.00 1.50

    Exercice Dterminer la rsultante du systme 1 (intensit, position) V/ Rduction dun systme forces (en 1 point)

    Il sagit de modifier un premier systme de force pour que seul apparaisse un systme de forces appliqu en un point donn = Rduction de systme en un point. Le deuxime systme ainsi obtenu devant tre quivalent au premier. - On obtient ainsi les lments de rduction en un point. exemple: Question : Dterminer littralement les lments de rduction en C de FA et FB a/ Algbriquement. b/ Vectoriellement.

    C

    d1

    d2

    A FB A B

    C

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    VI/ Notion de torseur 1/ dfinition : Cest une grandeur mathmatique qui reprsente la rduction dun systme de force en un point.

    A

    Un torseur daction mcanique en un point est un ensemble constitu de deux grandeurs : - une force S (somme des forces concernes), indpendante du point choisi ; - un couple MA (ou moment rsultant), fonction du point A choisi.

    TORSEUR en A = TA = ensemble S

    M A S et MA sont les lments de rduction du torseur. Exemple de notation T1/2 = ensemble: est le torseur de actions de en A

    S1/2 M1/2 A A

    b/ Ecriture Algbrique : c/ Somme de torseur : La somme de plusieurs torseurs ne peut se faire que s'ils sont tous crits au mme point; cest impratif ! (une somme de moment ne pouvant se faire que s'ils sont calculs / mme point). d/ Torseurs particuliers Couple Glisseur Torseur nul

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    Exemple de diffrents types de liaisons

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    2.2. LIAISONS ENTRE SOLIDES - TORSEURS DES INTERACTIONS

    I/ Dfinitions Suivant la nature de liaison entre deux solides, les six coordonnes Sx, Sy, ........Mz, du torseur peuvent tre nulles ou non. (Mouvements possibles ou non). Lensemble des coordonnes non nulles caractrisent leffort transmissible par la liaison. (Par consquent une coordonne nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux solides) Le nombre de degr de libert correspond au nombre des composantes nulles du torseur associ.

    Remarques : - La somme des efforts transmissibles et des degrs de libert est gale 6 dans lespace et 3 dans le plan ( nombre de coordonnes du torseur). - Si le nombre defforts transmissibles , le nombre des degrs de libert . - Les efforts transmissibles par une liaison correspondent gnralement aux actions cherches en statique = nombre dinconnues de statique.

    II/ Etude des principales liaisons

    Liaisons Schma Mvt. relatifs d de libert

    Torseur des interactions

    Exemples dans le btiment

    Encastrement

    0 Translation

    0 Rotation

    0 d de libert

    Sx Mx Sy My Sz Mz

    Articulation (pivot)

    0 Translation

    1 Rotation

    1 d de libert

    Sx 0 Sy My Sz Mz

    Appui simple

    (ponctuel) (suivant z)

    2 Translations

    3 Rotations

    5 d de libert

    0 0 0 0

    Sz 0

    Appui plan

    2 Translations

    1 Rotation

    3 d de libert

    0 Mx 0 My Sz 0

    x

    z

    z

    III/ Exemples du nombre dinconnues induites par les liaisons

    a/ Dans lespace : Appui simple 1 inconnue : Sz. Intensit de Sz inconnue direction connue au plan de contact. Articulation 5 inconnues Encastrement 6 inconnues

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    A

    B

    C

    D E 3

    2

    1

    F

    b/ Dans le plan : Appui simple 1 inconnue : Sz. Intensit de Sz inconnue direction connue au plan de contact. Articulation 2 inconnues : direction et intensit de S (= Sx, Sy) (Mz = 0) Encastrement 3 inconnues : direction et intensit de S (= Sx, Sy) et intensit de Mz

    2.3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

    1) Hypothses Tous les corps tudis sont indformables. Les coordonnes d'un point quelconque sont constantes. Les supports des forces sont invariables.

    2) But :

    On veut dterminer les actions extrieures agissant sur un systme, dans le but ultrieur dappliquer la R.d.M. Un systme tant compos dun solide unique ou dun ensemble de solides.

    3) Notion daction mcanique de liaison extrieure et intrieure un systme donn :

    Gnralits : - A chaque liaison sexercent des actions mcaniques (Forces et moments) dites de liaison, correspondant laction dune barre sur une autre ( plus gnralement dun systme sur un autre au niveau de cette liaison). - Ces actions mcaniques sont dites :

    Extrieures au systme lorsquelles remplacent laction dune liaison que lon vient de couper pour isoler ce systme. Intrieures au systme quand la liaison na pas t coupe.

    Exemple : Soit le systme (potence) modlis ci-dessous compos de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2) Cette potence est scelle (Encastre) dans le sol.

    Donnez : a/ Au moins 2 actions extrieures au systme Potence (1+2+3) b/ Au moins 2 actions intrieures au systme Potence (1+2+3) c/ Au moins 3 actions extrieures au systme 1 d/ Au moins 1 action intrieure au systme 1+3 En existe-t-il d'autres ?

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    4) Principe de la statique : Pour qu'un solide soit en quilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun dplacement : Pas de translation (dans n'importe quelle direction). Pas de rotation. Cela revient dire que le torseur des actions extrieures appliques au solide est un torseur nul.(somme des forces et des moments appliqus un solide = 0) Dans l'espace : 1/ F(x) = 0 4/ M(x) = 0 2/ F(y) = 0 5/ M(y) = 0 3/ F(z) = 0 6/ M(z) = 0 6 quations de la statique 6 inconnues. Dans le plan : 1/ F(x) = 0 3/ M(z) = 0 2/ F(y) = 0 3 quations de la statique 3 inconnues.

    5) Cas particuliers :

    Solide soumis l'action de 2 forces Un solide soumis 2 forces est en quilibre si les 2 forces sont directement opposes :

    F

    -F

    F1

    F2O

    F3

    F1

    F2

    F3

    dynamique ferm

    Solide soumis l'action de 3 forces (dans le plan:) Un solide soumis 3 forces est en quilibre si : Les 3 forces sont concourantes. Le dynamique des forces est ferm.

    Ces deux conditions permettent la rsolution graphique du systme.

    6) Rsolution d'un problme de statique :

    Pour rsoudre un problme de statique : 3 tapes sont ncessaires 6.1) Etablir le schma mcanique

    Un schma mcanique est un schma modlis (simplifi) de la structure sur lequel seules apparaissent les forces extrieures agissant directement sur le systme.

    6.1.1) Mthodologie :

    a/ Modliser le systme : Consiste simplifier le dessin du systme (gain de temps) tout en le gardant statiquement quivalent :

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    - Garder la forme gnrale du solide (ou des solides) et le reprsenter par sa fibre moyenne.

    - schmatiser les diffrentes liaisons (voir chap.II) b/ Isoler le systme matriel tudier :

    - "couper "au niveau des liaisons du systme tudier avec lextrieur - remplacer les liaisons coupes par les actions mcaniques associes.

    c/ Ajouter les actions extrieures : - reprsenter les actions extrieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs forces (charges ponctuelles, charges rparties) ou des vecteurs moments. - indiquer toutes les cotes ncessaires.

    6.2) Faire le bilan

    - Faire le bilan des inconnues (I) - Faire le bilan des quations possibles (E) dans notre exemple : si I E rsoluble. I > E non rsoluble.

    6.3) Appliquer le principe fondamental de statique :

    Dans le plan : 3 quations pour 3 inconnues (en gnral : actions de contact). Le systme est dit isostatique. Rsoudre le systme d'quations Rappels et Remarques : a/ Actions extrieures( un systme) : Actions directement appliques sur le systme (dont poids) et actions des liaisons coupes b/ Les coupures devront tre choisies de faon faire apparatre les actions recherches ( choix de llment isoler).

    c/ Intrt des systmes soumis 2 forces. Le seul intrt (non ngligeable) dun lment soumis deux forces est de donner la direction des forces (puisque opposes) qui se traduit par une quation supplmentaire dans la rsolution

    de la statique de la forme : TanF xF y

    = ( )( )

    .

    Exemple :

    Dans notre exemple. g charge permanente : poids propre. q charge d'exploitation : poids des personnes. F charge d'exploitation horizontale.

    Balcon tudier

    q = 2.5 KN/ml

    g = 6 KN/ml

    F = 1 KN/ml

    2,00 m

    1,00 m

    encastrement

    q = 2.5 KN/ml

    g = 6 KN/ml

    F = 1 KN/ml

    2,00 m

    1,00 m

    A B

    C

    AB

    C

    RA

    Aschma mcanique

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    METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE

    OBJECTIF DU PROBLEME: Dterminer compltement les actions mcaniques exerces sur un solide appartenant un ensemble de solides donns.

    Modaliser le systme, en le schmatisant et en modalisant les diffrentes liaisons entre les lments

    Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau des liaisons avec les autres lments. Dessiner le

    solide seul dans la mme position graphique.

    Remplacer toutes les liaisons coupes par le systme de forces associes.

    Ajouter les actions distance (poids, charges sur llment).

    Faire le BILAN de toutes les actions inconnues agissant sur le solide.

    et le BILAN des quations possibles

    RESULTATS : Le problme est termin lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont

    entirement connues.

    Dterminer d'autres lments ( en isolant dautres solides ) et

    en faisant intervenir le PRINCIPE des

    actions mutuelles. Exemple : lments

    biarticuls

    Rsoudre graphiquement ou analytiquement.

    (Choisir la mthode la plus performante)

    en appliquant le P.F.S.

    Isoler un solide et tablir son schma mcanique Cest raliser ces deux tapes

    La Rsolution est-elle possible partir du

    bilan prcdent

    TEST

    NON OUI

    SOMMAIRE1. R.D.M 1.1. Gnralits1.2. TRACTION SIMPLE & COMPRESSION SIMPLE Donnes: Donnes: Donnes:1.2.1. TRACTION SIMPLE (EXO)

    1.3. CISAILLEMENT SIMPLE1.4. POUTRES FLECHIES (Elments de rduction)1.5. Caractristiques des SECTIONS1.6. FLEXION SIMPLE (contraintes)1.7. CISAILLEMENT SIMPLE1.8. FLEXION SIMPLE (contraintes)

    2. STATIQUE2.1. RAPPELS2.2. LIAISONS entre SOLIDES - TORSEURS des INTERACTIONS2.3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE