MecaFlu2015 TD5 Correction

7/23/2019 MecaFlu2015 TD5 Correction

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Mecanique des fluides - Bachelor 2015 - TD 5

TD5

Correction

Exercice 1

Apres les inondations de la Nouvel le-Orleans vous avez ete mandate pour verifier le dimensionnement desnouvelles digues. Ces nouvelles digues se presentent sous la forme dun barrage-poids en beton, dont la massevolumique est egale ab. Lors dune crue, leau de masse volumiquee atteint le sommet de la structure. Pourle calcul de la stabilite de la structure on admet que la section du barrage est triangulaire (figure 1). Calculer les deux composantes de la force de pression due a leau, appliquee au parement du barrage (considerer

les axes x et z indiques). Quelle devra etre la valeur minimale de la densite du beton b pour garantir lequilibre des moments autour

du point O ? Admettre une sous-pression Fs agissant sur la face horizontale du barrage. Cette derniere varielineairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqua zero (point O).

Quelles sont les faiblesses de ce modele ? Que devriez-vous inclure en plus ?Donnees : e = 1030 kg/m

3, h = 30 m , = 65 , = 45 .

Figure1 Barrage-poids en beton

Reponse

Soitn la normale a la surface orientee de la surface vers le fluide. La force de pression qui sapplique au parementdu barrage peut secrire :

Fp =

pendS

Avecn=

sin cos

Et

pe= egz

Les composantes de Fp qui agissent sur dS sont

dFx= dFsin

dFz =dFcos

On exprime dS en fonction de dz

dS= dz

sin

1


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Figure2 Composantes de la force de pression

Et lintegrale devient FxFz

=

h0

egz

sin cos

dz

sin

= eg 1

cot h

0

zdz

= egh2

2

1

cot

.

Il faut trouver la densite minimale du beton pour avoir lequilibre des moments en O.

On a donc d1Fs+d2Fx= e1W1+e2W2+e3Fz

Figure 3 Moments du barrage-poids

Les composantes de la force de pression sont : Fx = egh2

2 et Fz =eg

h2

2 cot

Le point dapplication de la force de pression peut se trouver ainsi

zp=

S

zdFS

dF =

max0

egz

sin cos

z dzsin

max0

egz

sin cos

dzsin

Apres lannulation de la plupart des termes, on obtient

xp=

l10

z2dzl10

zdz=

2l1

3

et

zp=h0 z

2

dzh0

zdz= 2h

3

NB : z est ici une variable libre, on peut donc lutiliser pour trouver xp et zp.

2


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Par consequent, e3 =l2 + 23

l1 et d2 = 13

h (z agit de haut vers bas.) Avec l1 = htan

et l2 = htan

.

Force de sous-pression : la force peut etre vue comme la force de leau que le barrage a remplace. Ce seraitFs = eg

hl2

, et si elle varie lineairement le long de cette face, on peut utiliser la meme formule pour voir que

d1 = 2l3

, ou bien d1 = 23

( htan

+ htan

).

Le poids du barrage peut etre decompose en deux partie :

W1 = bghl1

2 et W2 = bg

hl22

Avec pour points dapplication :

e1 = l2 +1

3l1 et e2 =

2

3l2

Donc on a d1Fs+d2Fx= e1W1+e2W2+e3Fz

Par substitution, on trouve :

2

3 l eg

hl

2 +

1

3 h eg

h2

2 =

l2 +

1

3 l1 bg

hl1

2 +

2

3 l2 bg

hl2

2 +

l2 +

2

3 l1 eg

h2

2 cot

Avec e = 1000 kg/m3, h = 30 m , = 65 et = 45 .

On obtient alors l1 = htan

= 14 m, l2 = htan

= 30 m, l = l1 + l2 = 44 m, d1 = 29,3 m, d2 = 10,0 m, e1 =34,67 m, e2 = 20 m et e3 = 39,3 m.

Ainsi,Fx = 4410 kN/m, Fz = 2056,4 kN/m, Fs = 6468 kN/m, et donc b = 957, 7 kg/m3. La masse volumique

de beton est denviron 2, 5 103 kg/m3, il ny a donc pas de risques de soulevement.

Une limitation de ce modele est quil ne considere pas lancrage du barrage. Il faudrait verifier que la force Fxne fait pas glisser la digue.

Exercice 2

Un bassin contenant de leau sur une profondeur de 9 m est ferme par une porte verticale constituee par 3panneaux plans A, B et C (figure 4).

1. Quelle doit etre la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte le meme effort total ? Donner lesprofondeursz1 etz2.

2. Chaque panneau doit etre renforce au niveau du centre de poussee. Calculer la position de ces renforts.

3. Quelle est la valeur de la force agissant sur chaque panneau ?

Figure 4 Schema des 3 panneaux plans

Reponse

Ici on utilise des trapezes pour calculer la force sur chaque panneau.

3


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FA=

0

z1

gzdz= gz21

2

FB =

z1z2

gzdz= g

2(z22 z

2

1)

FC= z2h

gzdz=

g

2(h2

z2

2)

Pour lequilibre, on veut que FA= FB =FC, qui donne :

z21 = z22

2 ,

z21 =h2 z22 .

En resolvant ces equations, on obtient z2 = h

2

3= 7, 35m et z1 =

z22

= h3

= 5, 2 m, ou bien HA = 5, 2 m,

HB =z2 z1 = 2, 15 m et HC=h z2 = 1, 65 m.

Pour le centre de pression zc, on utilise la formule

zbza

(z zc)gzdz

Qui vient de

MC=

zbza

r dF= 0.

Donc pour chaque panneau,

g

z3

3 zc z

2

2

zbza

= 0

zc =2

3

z3b z

3a

(z2b z

2a)

.

Qui donne pour A (za= z1 = 5, 2 m, zb = 0) zcA = 2

3z1 = 3, 46 m

Pour B (za= z2 = 7, 35 m, zb = z1 = 5, 2 m) zcB = 6, 33 mPour C (za= h = 9 m, zb= z2 = 7, 35 m) zcC = 8, 2 m.

Et la force qui agit sur chaque panneau, FA= FB =FC=gz21

2 = 1, 35 105 N/m.

Exercice 3

Une Vanne de fond CD de 1,8 m de large et de 2 m de long est disposee selon la figure 3. On suppose que lavanne est composee dun materiau homogene et on neglige le frottement en C. Determiner le poids necessairede la vanne pour la garder fermee jusqua ce que le niveau deau atteigne 2 m au dessus de C.

Reponse

Pour commencer, il faut trouver le moment en O, du a la force de pression :

MOPress=

l0

r dF=

l0

rdFPress=

l0

rP(r)dS=

l0

rP(r)Ldr

Ou L est la largeur de la vanne, l la longueur (2 m), et P(r) = g(2 + r cos ) la pression hydrostatique. Parremplacement, lintegrale devient :

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Figure 5 Vanne de fond

Figure 6 Vanne de fond avec forces

l0

rP(r)Ldr= Lg

l0

r(2 +r cos )dr= gL

2

r2

2 +

r3

3 cos

l0

Et le moment en O du au poids :

MOPoids = l

2 FPoids=

l

2mg sin

Donc, pour lequilibre, on a MOPoids =MOPress , dou mg = gLsin

2l+ 2

3l2 cos

= 180 kN (m= 18, 4 tonnes).

Exercice 4

Une vanne radiale maintient un niveau deau constant a 10 m au dessus du sommet dun barrage a Manchester(Figure 7). Le rayon de la vanne est de 22 m et sa longueur 10 m. Le point de pivot A est situe a 10 m dusommet du barrage C. Determiner la norme de la resultante des forces sur la vanne. La resultante passe tel lea travers le pivot ?

Reponse

dF =P dS

P =gz

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Figure7 Vanne semi-circulaire

Figure8 Vanne semi-circulaire avec dimensions

dS= rLd

Ou z = profondeur, = masse volumique de leau, L = longueur de vanne (perpendiculaire a la page), et r et definis comme sur la Figure 8.

Norme de la resultante des forces sur la vanne :

dF =gzrLd

avec z= r sin

dFx= dFcos = gr2L sin cos d

dFz =dFsin = gr2L sin2 d.

Donc

Fx =

max0

gr2L sin cos d

=

gr2L

2 sin2

max0

= gh2L

2

6


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Car max= sin1 h

r

.

Fz =

max0

gr2L sin2 d

=

max0

gr2L(1 cos2)

2 d

=

gr2

L2

sin2

2

max0

= gr2L

2 (max sin maxcos max)

= gr2L

2

sin1

h

r

h

r

1

h2

r2

Oui, comme la vanne est circulaire et que la pression est normale a la surface de la vanne, cette derniere agitsur le rayon de la vanne (force centripete). La resultante de la force de pression passe donc a travers le pivot.Pour verifier, il faut calculer le centre de pression (c.f. q.2) et montrer que les moments autour de A sannulent.

Methode alternative :

Figure9 Vanne semi-circulaire avec dimensions

Force laterale : h0 gzdzL= gLh22Poids du volume deau deplace :

V =

r2

2 max

hr cos max2

Poussee dArchimede (force verticale) : V g = gL

r2

2 sin1

hr

hr cossin1(hr )2

Ce qui est le meme resultat quavant.

Exercice 5

Appliquer le theoreme de Bernoulli pour calculer la hauteur maximale dun jet unidimensionnel de sectionSetde debit Q.

Reponse

A z= hmax, vz = 0. A z = 0, vz = QS

. Le theoreme de Bernoulli dit :

v2

2 +gz +

p

=const

Donc

12

Q

S

2

+g 0 + p0

0=

12

(0)2 +g hmax+ph

h

Nous supposons que ph = p0 = patm et la fluide est incompressible,

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1

2

Q

S

2=g hmax

hmax = 1

2g

Q

S

2

8

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