C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série II b, p. 657–662, 2000Endommagement, fatigue, rupture/Damage, fatigue, rupture

Mécanique de la rupture fragileen présence de plasticité :définition d’un taux de restitution d’énergieÉric LORENTZ a,b, Yves WADIER a, Gilles DEBRUYNE a

a Électricité de France, Division recherche et développement, 1, avenue Général-de-Gaulle, 92141 Clamartcedex, France

b Laboratoire de mécanique et technologie de Cachan, 61, avenue Président-Wilson, 94235 Cachan cedex,France

(Reçu le 28 janvier 2000, accepté après révision le 10 juillet 2000)

Résumé. Pour définir un paramètre énergétique qui permet de prédire la propagation progressive defissures fragiles dans un milieu élastoplastique, on s’appuie sur la théorie de la rupturefragile élastique proposée par Francfort et Marigo, basée sur un principe de minimumde l’énergie. On établit alors un lien avec le cadre des matériaux standard généralisésqui permet d’introduire les nouvelles contributions énergétiques en présence de plasticité. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

plasticité / milieu élastoplastique / rupture fragile

Brittle fracture in a plastic medium: definition of an energy release rate

Abstract. This study aims at defining an energetic parameter which characterises progressive crackgrowth in a brittle elastoplastic medium. First, Francfort and Marigo’s elastic fracturetheory, based on a minimum energy principle, is recalled. Then, a link with the frameworkof generalised standard materials is exhibited and allows to introduce the new energeticcontributions due to plasticity. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

plasticity / elastoplastic medium / brittle fracture

Abridged English version

A widely used approach in fracture mechanics to predict whether a crack propagates or not in an elasticmedium relies on Griffith’s criterion. To overcome some of its restrictions (crack initiation and furtherpropagation), Francfort and Marigo have proposed a new theory. One of its essential features consists in adiscretisation of the load history: the true evolution of the structure during a load increment is taken intoaccount only through the state of the structure (displacement fieldu and cracks positionsS) at the beginningand the end of the considered load increment. More precisely, they postulate that the displacement fielduat the end of the current load increment and the newly cracked surface∆S during the increment realise thefollowing minimum:

min∆S

minu∈CA(S−∪∆S)

ED(u) +Gc area(∆S)︸ ︷︷ ︸We(∆S)

Note présentée par Huy DUONG BUI .

S1620-7742(00)01242-3/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 657

E. Lorentz et al.

whereED is the (elastic) strain energy andGc the toughness. At this stage, two remarks can be stated:– in case of progressive crack propagation, Griffith’s criterion can be retrieved by restricting∆S to

‘sufficiently small’ propagationsdS, see (6);– this minimisation principle can be linked to incremental formulations with global internal variables as

soon as the first term (elastic energy) along with the kinematic admissibility conditions are identified asthe free Helmholtz’ energyF and the second term (the energy dissipated when the crack propagates) isidentified as the dissipation potentialD, see (8).Exploiting this link, we extend Francfort and Marigo’s theory in the case of an elastoplastic material by

introducing the energetic contributions due to plasticity into the free Helmholtz’ energy and the dissipationpotential, assuming that fracture mechanisms and plasticity are independent, see (9)–(11). Then, an energyrelease rateGP is defined in the same way as previously done in elasticity, see (12).

A comparison of thisGP parameter with the energy release rateGE based on nonlinear elasticity(deformation theory) is plotted for a bidimensional cracked structure submitted to loading then unloading,seefigures 1and 2. Of course, theGP parameter is far better suited in the unloading stage but, morestrikingly, it is also different during the loading stage. It can be explained by the fact that when consideringa virtual crack propagation, the stress evolution does not remain proportional so that non linear elasticityand plasticity are no more equivalent.

1. Principe de minimum en mécanique de la rupture élastique

Dans le cas d’un matériau élastique fragile, le critère de Griffith permet de prédire l’amorçage d’unefissure préexistante, voir [1], en considérant des évolutions progressives de la fissure. Francfort et Marigo[2] ont proposé une généralisation de ce critère qui permet de déterminer l’état de la structure, c’est-à-direle champ de déplacementu et la position géométrique des fissuresS, en un nombre fini d’instantsti del’histoire du chargement. Leur formulation est plus riche que le critère de Griffith dans la mesure où elleautorise l’apparition ou la propagation brutales de fissures mais elle ignore en contrepartie l’évolution de lastructure entre deux instantsti et ti+1.

Plus précisément, ils introduisent une énergie qui dépend à la fois du champ de déplacementu et de l’étatde fissurationS :

E(u,S) =ED(u) +Gc aire(S) (1)

où ED est l’énergie de déformation élastique,Gc la ténacité du matériau et où l’aire deS s’exprimetechniquement comme la mesure de Hausdorff de dimension 2 deS. En se restreignant à des chargementsde type déplacements imposés, ils postulent alors que les déplacements et l’état de fissuration réalisent unminimum deE. Plus précisément, en appelant(u−, S−) l’état à l’instant courantti, l’état après incrémentdu chargement (instantti+1) vérifie :

minS⊃S−

u∈CA(S)

E(u,S) soit encore min∆S

u∈CA(S− ∪∆S)

E(u,S− ∪∆S) (2)

Les contraintes portant suru etS signifient respectivement que l’état de fissuration est croissant, c’est-à-direque d’anciennes fissures ne se recollent pas, et queu est cinématiquement admissible avec le chargement etles fissures (qui autorisent des discontinuités de déplacements). Remarquons qu’en introduisant l’incrémentde fissuration∆S plutôt queS, on assure automatiquement ce caractère croissant.

Dans le cas de l’évolution progressive d’une fissure préexistante, on peut montrer intuitivement queles deux approches coïncident. En effet, appelonsWe l’énergie de la structure dans un état de fissurationS = S−∪∆S (où on omet dorénavant toute référence explicite à l’état actuel(u−, S−) dans les arguments

658

Taux de restitution d’énergie en plasticité

des fonctions pour simplifier les notations) :

We(∆S) = minu∈CA(S−∪∆S)

ED(u) (3)

si bien que (2) s’écrit encore :

min∆S

[We(∆S) +Gc aire(∆S)

](4)

Par conséquent, la fissure ne se propage pas de manière progressive si∆S = ∅ réalise un minimumlocal strict de (4) par rapport à toute propagation progressive, c’est-à-dire que pour toute propagation« suffisamment petite »dS de la fissure, on a :

We(∅)<We(dS) +Gc aire(dS) (5)

ce qui s’écrit finalement, en introduisant le taux de restitution d’énergie élastiqueGel défini comme(l’opposé de) la variation de l’énergieWe par rapport à l’état de fissuration (c’est-à-dire, dans le cas présent,la variation d’énergie potentielle par rapport au domaine de la structure) :

∀dS Gel(dS) =déf−We(dS)−We(∅)

aire(dS)<Gc (6)

Notons par ailleurs qu’une définition mathématique de ce qu’on entend ici par propagation progressiveet propagations « suffisamment petites » est donnée dans [3] via l’introduction de la célérité normale dufond de fissure à laquelle on peut faire correspondre un champ de vitesseθ représentatif d’une variation dedomaine.

2. Approches à variables internes globales

Un examen du principe variationnel (2) permet d’établir un lien avec la formulation incrémentale deslois de comportement de type standard généralisé. En effet, l’état de fissuration peut s’interpréter commeune variable interne du modèle, nécessairement globale (la fissuration à l’échelle du point matériel n’a pasde sens dans ce modèle), voir [4,5]. On peut ainsi définir une énergie libreF et un potentiel de dissipationD (dont l’argument est ici l’incrément de fissure∆S, éludant ainsi la définition d’un taux de fissuration) :

F (u,S) =ED(u) + ICA(S)(u), I : fonction indicatriceD(∆S) =Gc aire(∆S)

(7)

Dans ce cas élastique, l’énergie libre se réduit à l’énergie de déformation élastique plus une fonctionindicatrice qui impose le respect des conditions aux limites et des conditions de non interpénétration deslèvres de la fissure. Quant au potentiel de dissipation, il correspond à l’énergie dissipée par le mécanismede fissuration.

En suivant [6], on exprime le nouvel état mécanique(u= u− + ∆u, S = S− ∪∆S) après incrément dechargement par le problème de minimisation suivant :

min∆u,∆S

[F (u− + ∆u,S− ∪∆S) +D(∆S)−Wext ·∆u

](8)

Ce problème est bien strictement équivalent à (2) en l’absence de travail virtuel des efforts extérieurs dansles déplacements cinématiquement admissiblesWext, c’est-à-dire lorsque le chargement se réduit à desdéplacements imposés.

659

E. Lorentz et al.

3. Introduction d’un mécanisme dissipatif supplémentaire : la plasticité

Jusqu’à présent, on s’est restreint à un comportement élastique. En présence de plasticité, on peutconserver la formulation variationnelle (8), moyennant la définition de nouveaux potentiels globaux énergielibre et dissipation. On se limite aux matériaux élastoplastiquesfragilesoù les mécanismes de plasticité et defissuration sont supposés indépendants, ce qui entraîne l’additivité des potentiels plastique et de fissuration.Plus précisément, en appelantα les variables internes qui caractérisent la plasticité (déformations plastiqueset variables d’écrouissage), on définit :

F (u, α, S) =ED(u,α) +Ebl(α) + ICA(S)(u)D(∆α,∆S) =Dpl(∆α) +Gc aire(∆S)

(9)

où ED est encore l’énergie de déformation élastique,Ebl l’énergie bloquée par les mécanismesd’écrouissage etDpl le potentiel de dissipation plastique. Le nouvel état mécanique après incrément dechargement s’exprime à nouveau par un problème de minimisation :

min∆u,∆α,∆S

[F (u− + ∆u,α− + ∆α,S− ∪∆S) +D(∆α,∆S)−Wext ·∆u

](10)

Le traitement complet de ce problème est difficile à cause de la nature ensembliste de la variableS. Pourdes analyses d’amorçage d’une fissure, un cas particulier de (10), on se contente de définir une quantitéglobaleGP à comparer à la ténacitéGc du matériau, par une analyse totalement similaire à celle menéeau §1 pour établir le lien entre l’approche Francfort–Marigo et le critère de Griffith. Ainsi, en appelantà nouveau :

W (∆S) = min(∆u,∆α)

[F (u− + ∆u,α− + ∆α,S− ∪∆S) +Dpl(∆α)−Wext ·∆u

](11)

on définitGP pour toute propagation «suffisamment petite »dS de la fissure :

GP(dS) =déf−W (dS)−W (∅)

aire(dS)(12)

4. Application : plaque élastoplastique fissurée sollicitée en mode I

Pour illustrer quelques propriétés deGP, on s’intéresse ici à une plaque fissurée pour laquelle lagéométrie, les conditions aux limites et le chargement de type mode I (charge puis décharge) sontreprésentésfigure 1. On suppose que le matériau constitutif obéit à une loi de comportement élastoplastiqueà seuil de von Mises et écrouissage isotrope linéaire, dont les variables internes sont la déformation plastiqueεp et la déformation plastique cumuléep. L’énergie de déformation élastique, l’énergie bloquée et lepotentiel de dissipation (hormis les fonctions indicatrices, voir [6]) sont :

ED(ε, εp) =

∫Ω

1

2(ε− εp) ·E · (ε− εp), Ebl(p) =

∫Ω

1

2hp2, Dpl(∆p) =

∫Ω

σy∆p (13)

où Ω désigne le domaine occupé par la structure,E le tenseur de Hooke du matériau,h le moduled’écrouissage etσy la limite d’élasticité. Par ailleurs, le travail virtuel des efforts extérieurs est nul danstout déplacement cinématiquement admissible car le chargement se résume à des déplacements imposés.

Pour approcher numériquement la valeur du taux de restitution d’énergie plastiqueGP, on ne s’intéressequ’à une propagationdS dans l’axe de la fissure (propagation rectiligne) et on évalue l’expression (12) pour

660

Taux de restitution d’énergie en plasticité

Figure 1. Géométrie etchargement.

Figure 1. Geometry andloading.

Figure 2. Évolution des tauxde restitution d’énergie

plastique et élastique nonlinéaire.

Figure 2. Evolution of theplastic and nonlinear elastic

energy release rates.

plusieurs longueurs (problème plan) de propagation, en s’assurant de la stabilité du résultat lorsque cettelongueur s’approche de zéro (différences finies) :

GP =−W (dS)−W (∅)aire(dS)

avecdS une « petite propagation dans l’axe » (14)

En pratique, on peut calculerW en effectuant (numériquement) un calcul élastoplastique en un seul pas detemps, avec comme état initialα− et le domaine fissuréS−, un chargement constant pendant le pas et undomaine fissuré finalS− ∪∆S (relâchement de nœuds, par exemple). Quant àW (∅), il vaut simplement :

W (∅) =ED(u−, α−) +Ebl(α−) (15)

L’évolution du taux de restitution d’énergie plastiqueGP en fonction du niveau de chargement estreportéefigure 2, sur laquelle ont également été indiquées les valeurs du taux de restitution d’énergieGE obtenu en supposant le comportement élastique non linéaire et non plus plastique (théorie desdéformations), l’approche couramment utilisée pour les calculs industriels. On peut constater les pointssuivants :

661

E. Lorentz et al.

– GP n’est pas nul : l’expression (14) a été évaluée pour différentes longueurs de propagationdS etadmet bien une limite non nulle. Il faut d’ailleurs remarquer que l’obtention de cette limite de manièrenumérique nécessite d’employer des maillages très fins de manière à convenablement capter l’expansionde la zone plastique. Ce résultat semble aller à l’encontre du paradoxe de Rice [7], courammentadmis, qui stipule que le taux de restitution d’énergie en plasticité est nul. Mais ce paradoxe est établisous l’hypothèse d’une fissure se propageant en régime stationnaire, alors que notre étude porte surl’amorçage : il n’y a donc pas contradiction.

– GP s’avère inférieur àGE, y compris durant la phase de chargement radial monotone, contrairement auxidées reçues. En effet, bien que les champs mécaniques soient identiques, en vertu de l’évolution radialemonotone, une propagation virtuelle de fissures entraîne des décharges localisées dans la structure, sibien que les comportements plastique et élastique non linéaire ne coïncident plus, et donc les taux derestitution d’énergie non plus !

– En phase de décharge globale de la structure,GP chute brutalement, effet attendu sur le planexpérimental.

– Enfin, lorsque la fissure s’est refermée,GP devient nul, grâce à la prise en compte des conditions decontact (non interpénétration des lèvres de la fissure) dans l’ensemble des déplacements cinématiquementadmissibles.En conclusion, le paramètreGP proposé semble posséder de bonnes propriétés pour caractériser la

propagation progressive de fissures dans un milieu élastoplastique fragile. Toutefois, son calcul pardifférences finies nécessite une évaluation précise des champs mécaniques dans tout le domaine, y comprisen pointe de fissure où l’approximation par éléments finis soulève des questions en plasticité. C’est pourquoiles travaux actuellement poursuivis visent à approcher la fissure par une entaille, définir un paramètreénergétique approprié dans le même esprit queGP et proposer une méthode de calcul fondée sur unedérivation par variation de domaine, ouθ-méthode. On pourra alors examiner plus en détails les propriétésde ce paramètre, en particulier sa dépendance à la forme d’écrouissage, et le confronter à des bases dedonnées expérimentales.

Références bibliographiques

[1] Bui H.D., Mécanique de la rupture fragile, Masson, 1977.[2] Francfort G., Marigo J.J., Revisiting brittle fracture as an energy minimisation problem, J. Mech. Phys. Sol. 46 (8)

(1998) 1319–1342.[3] Destuynder Ph., Djaoua M., Sur une interprétation mathématique de l’intégrale de Rice en théorie de la rupture

fragile, Math. Meth. Appl. Sci. 3 (1981)70–87.[4] Germain P., Nguyen Q.S., Suquet P., Continuum thermodynamics, J. Appl. Mech. 50 (12) (1983) 1010–1020.[5] Fedelich B., Ehrlacher A., An analysis of stability of equilibrium and of quasi-static transformations on the basis of

the dissipation function, Eur. J. Mech. A/Solids 16 (5) (1997) 833–855.[6] Lorentz E., Andrieux S., A variational formulation for nonlocal damage models, Int. J. Plast. 15 (1999) 119–138.[7] Rice J.R., An examination of the fracture mechanics energy balance from the point of view of continuum mechanics,

in: Yokobori et al. (Eds), Proc. 1st Int. Conf. Fracture, Sendai, Japan, Vol. 1, Japanese Society for Strength andFracture of Materials, 1966, pp. 309–340.

662