MECANIQUE DES FLUIDES - INSA Lyon

MECANIQUE DES FLUIDES

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueE. RIEUTORD

3 GMC

Année de création : 1985

M E C A N I Q U E D E S F L U I D E S

CHAPITRES 1 À 5

P^ E, RIEUTORD

-1985-

© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

I N T R O D U C T I O N

Dans le vaste domaine de la mécanique, c'est-à-dire de l'étu-

de l'équilibre et du mouvement des corps, la mécanique des fluides

s'attache à une classe particulière d'entre eux, facilement défor-

mables, les fluides.

Née de l'hydraulique, la mécanique des fluides regroupe un

certain nombre de disciplines, chacune plus spécifiquement consa-

crée à une catégorie particulière de fluides : hydrodynamique pour

les liquides, aérodynamique ou dynamique des gaz pour les gaz, et

plus récemment, électrohydrodynamique et magnétohydrodynamique

(en abréviation EHD et MHD) pour les fluides conducteurs liquides

ou gaz (plasma) soumis a des forces d'origine électrique ou ma-

gnétique, i

Dans la mesure où ces différents milieux peuvent être consi-

dérés comme continus, la mécanique des fluides elle-même s'insère

dans l'ensemble plus vaste de la mécanique des milieux continus,

discipline traitant aussi bien des solides que des fluides. Bien

que ce dernier regroupement soit très bénéfique par l'économie

qu'il procure et par l'unité qu'il dégage, nous nous limiterons

cependant, dans le présent cours, aux fluides proprement dits et

même à une catégorie particulière d'entre eux. : les fluides new-

toniens, dont le comportement mécanique est relativement simple

et qui regroupe les liquides usuels et la plupart des gaz dans

des conditions de température et de pression non excessivement

éloignées de la normale. Il convient toutefois de noter que cet-

te restriction n'enlève rien au caractère très général des modes

de raisonnement adoptés et aux relations de base, qui sont trans-

posables directement à l'ensemble des milieux continus solides ou

fluides.


--1.3 -

CHAPITRE 1

GENERALITES CONCERNANT LES MILIEUX FLUIDES

1 . 1 - CONCEPT DE FLUIDE

On désigne sous, le nom de fluides des milieux fiaC'ite.me.nt difioti-

ïï\abt<i& comme les liquides et les gaz. La notion de fluide • s'oppose

à celle de solide . Cette distinction qui rejoint celle de la physi-

que élémentaire entre les différents états de la matière, solide,

liquide, gaz, est basée sur le comportement mécanique de ces corps.

On peut ainsi définir les fluides comme des milieux matériels

pouvant être, à volume constant, déformés de façon quelconque à

partir d'efforts dont la valeur peut être aussi réduite que l'on

veut par le choix d'une vitesse de déformation suffisamment faible.

Ainsi à l'opposé de ce qui se. passe pour les solides, il Kl' <LK<i&£<l

P&-6 pour les fluides de 4 <iu.<lt do, contîaînto. pour obtenir une défor-

mation donnée.

Ce critère de classement pour lequel n'intervient ni la notion de

temps d'application des efforts, ni celle de leur niveau, conduit

à considérer comme fluides des matières plastiques (certains poly-

mères) dont la consistance est celle de solides alors qu'à l'in-

verse des milieux comme les peintures à l'huile pour lesquels existe

un seuil de contrainte - propriété justement rechetché - se ratta-

che à la classe des solidesïc.

" En rhéologie ce type de milieu est cependant appelé fluide de

Bingham.


- 1 . 4 -

La définition ci-dessus recouvre un grand nombre de fluides aux

comportements mécaniques et thermodynamiques très différents. La

classification habituelle est toutefois basée essentiellement sur

les relations dites de comportement mécanique , c fest à dire les

relations liant contraintes et déformations, caractéristiques de

chacun d'eux.

L'étude des différentes lois de comportement et de leurs conséquen-

ces quant aux propriétés mécaniques des corps (solides ou fluides)

constitue la tik&otogit.

Nous ne nous attacherons essentiellement dans le présent cours qu'à

une classe très particulière de fluides dits YidWtovi<lQ,vi& pour lesquels

la loi de comportement mécanique se traduit par une natation &4,n(Lci<iSL<l

entre les c.on£sia£nte,A et les taux, do, diôîmatîon9 ces deux notions

étant définies dans les chapitres 2 et 3 .

1.2 - AXIOMES DE BASE SUR LA NATURE DU MILIEU FLUIDE :

Nous précisons ici le caractère et les limites des diverses hypo-

thèses faites quant à la nature du milieu fluide.

1.2.1 - Hypothèse de continuité :

~ ^nJ^^'t^û^^^jiu. _ç-^_cfe_^sj^ ttLonà on,ïï\atôn-5Nous considérerons les fluides comme des m/UêuX COnt-inuA, c'est-à-

dire des milieux dont les caractéristiques physiques (vitesse, con-

trainte, température ...) varient de façon continue d'un point à un

autre.

La conservation de cette continuité au cours du temps implique

également la continuité des transformations du milieu de façon que

2 éléments de fluide en contact à un instant initial le demeurent

à tout instant ultérieur et réciproquement.


- 1.5 -

Ces hypothèses qui correspondent au point de vue macroscopique

habituel de la mécanique sont valables tant que l'échelle des phéno-

mènes considérés est très supérieure à celle des mécanismes que l'on

rencontre au niveau moléculaire.

Elle est par contre en défaut pour les écoulements à basse densité,

a travers les milieux poreux, dans les phénomènes d'onde de choc,

de diffusion moléculaire, etc... c'est-à-dire chaque fois que les

longueurs d à considérer (dimensions des obstacles, diamètre des

pores, "épaisseur" de l'onde de choc, diamètre des particules diffu-

santes...) sont de l'ordre du libre parcours moléculaire moyen & .

2omme critère de validité de l'hypothèse de continuité on introduit

le nombre sans dimension Kn = -7 dit de Knu.d& (LVi ; l'hypothèse estd

valable si Kn « 1.

Pour traiter des problèmes où Kn n'est pas « 1 , problèmes qui ont

pris ces dernières années une importance considérable notamment

dans le domaine spatial, toute une mécanique des fluides - dynamÀ.qu2,

d&A gaz HCUi<î{i'i(L& - s'est développée basée sur la théorie cinétique

des gaz.

- Âj^&Ôjtuttiique.

L'hypothèse de continuité du milieu permet de définir en chaque

point du fluide un certain nombre de grandeurs caractéristiques

(vitesse, pression, température...) fonctions continues - au sens

nathématique du terme - des coordonnées du point et du temps.

\insi pour caractériser les effets liés à la masse M d'un domaine

fluide D (inertie, pesanteur, associe-t-on à tout point P de ce

domaine une grandeur scalaire p (P,t) appelée masse volumique du

fluide en P, telle que la masse du fluide incluse dans un volume

infiniment petit dv entourant P soit,

dm = p dv

ce qui entraîne M * j pdv'D


- 1 . 6 -

p qui strictement parlant est une densité volumique de masse et

représente une masse par unité de volume, s'exprime dans le sys-

tème MKS en kg/m .

" l^tâ4£U>AC'-&£U'±d£.En réalité la valeur de p comme d'ailleurs celle de l'un quelconque

des paramètres précités ne peut être définie que pour un domaine

de dimensions finies entourant le point considéré, domaine suffisam-

ment restreint pour que la grandeur en cause y ait une valeur uni-

forme mais suffisamment étendue aussi pour que cette grandeur ait

un sens. Ainsi les notions de vitesse, masse volumique, contrainte,

température... n'ont de signification que pour un domaine contenant

un nombre suffisant de molécules afin que dans ce domaine la valeur

moyenne de la vitesse de ces molécules, de même que la masse, quan-

tité de mouvement ou énergie cinétique qu'elles représentent ne

soient pas affectées par l'agitation moléculaire.

Le petit domaine ainsi défini constitue ce que l'on appelle une

pâtit*, eu ta fatiLsidz. que seule la continuité supposée du milieu permet

de considérer comme un domaine matériel infiniment petit. On dit

alors aussi un point mat£tiÂe,t.

On peut donner à la particule fluide une certaine réalité physique,

en considérant un domaine fluide dont l'étendue sera choisie compte

tenu de la limite inférieure ci-dessus, à £'ëc/ie££e cf£-6 pfiênomênc.4

ob-6 £A.vc<6 . C'est ainsi que son mouvement pourra être visualisé en

lui substituant un traceur dont les dimensions seront équivalentes :

par exemple, ballon de quelques mètres de diamètre pour l'étude des

vents dans l'atmosphère ou particule d'alumine de quelques microns

pour celle de l'écoulement de liquide dans un petit conduit.

Le concept de point matériel permet de considérer tout milieu

continu simplement commeun ensemble de tels points dont les posi-

tions à chaque instant t définissent ce que l'on appelle la

COn^giLîatôn du milieu à l'instant t . Enfin la cohérence des

hypothèses ci-dessus conduit à admettre, axiome d ' <imp&nê.ttiab£t4.t&,

que 2 points matériels ne peuvent occuper au même instant la même

position,


- 1.7 -

- -ôutfjace de d^écont^na^ti

L'observation montre sous certaines

conditions la formation dans un

fluide en mouvement de domaines

où les paramètres (pression, vi-

tesse.*.) varient très rapide-

ment .

Par simplification on assimile

alors ces zones de Variation ra-

pide à des -6uAâce>6 de d^^cont^L-

YiUL4,£o,. Dans ce cas la continuité

telle qu'elle a été définie ci-

dessus doit s'entendre comme une

cont^na^té pal moiceau, c'est-à-

dire assurée seulement à l'inté-

rieur des domaines dont ces

surfaces constituent tout ou

partie de la frontière. Les cro-

quis ci-contre montrent 3 types

classiques de discontinuité ondd.

de choc, 4x,££age, poche de cav,t-

tCLt4.0Ylt

Dans le cas de l ' onde de choc la

zone de var ia t ion des paramèt res

est seulement de l ' o r d r e de 2 à

3 fo i s le l ibre parcours molécu-

laire moyen, soit pour un gaz dans

les condi t ions normales de press ion

et de t e m p é r a t u r e » environ 0,2 um.

L ' é t u d e de cet te zone nécess i te la

pr ise en compte de la na ture molé-

culaire du gaz .

\v ondes de choc

s 111 âge x. x.

Ecoulement supersoniqueautour l 'un corps fuselé (M 1 , 7 )

poche de cavitation

^js^rtv.^

Cavitation sur une aubede turbine hydraulique


- 1.8 -

î.2.2 - Homogénéité — isotropie

Les fluides purs sous une seule phase sont en général des milieux

fiomogèKie-ô &t <i&otnope.& pour la plupart de leurs propriétés physi-

ques en ce sens que ces propriétés sont les mêmes en tout point du

fluide et indépendantes de la direction choisie.

Les mélanges de 2 ou plusieurs gaz ou encore de liquides parfaite-

ment miscibles (par exemple eau et alcool), constituent également

du point de vue macroscopique des milieux homogènes et: isotropes.

Par contre un brouillard» une émulsion sont des exemples de fluides

non homogène . Quant à 1fanisotropie elle n'existe pas dans les

fluides si ce n'est, dans des conditions particulières, vis-à-vis

de cert aines propriétés optiques.

* La mécanique des suspensions traite de ces milieux hétérogènes.


- 2.1 -

CHAPITRE 2

CINEMATIQUE DES FLUIDES

Tout comme en mécanique générale, la cinématique est l'étude du

mouvement (ici des fluides) indépendamment des forces qui le pro-

duisent. Le mouvement d Tun fluide est appelé Q.c,Ou,t<iïï\(Lnt.. Il sera

toujours défini dans ce qui suit par rapport à un repère ortho-

norme (Ûx1,X2,xs par exemple).

2. 1 - DEFINITIONS :

Le mouvement d'un fluide résultant de celui des particules, ou

points matériels, qui le composent, il s'introduit naturellement

les notions suivantes de :

" OL^ÂS-Otoi.^ ai uM^PJ&tâLtuJ--^ té^dL°Le_La trajectoire d'une particule fluide est le lieu géométrique de

ses positions successives dans le temps.

Si x. sont les coordonnées au temps t de la particule que l'on

trouve au point de coordonnées

x! au temps t' , sa trajectoire

pourra être définie paramétri-

quement par le système de 3 rela-

t ions

Xj: = f£ (xj, x£, xj, t', t) (3.1.)

où xï,x' xl et t' sont à considé-

rer comme des constantes et t

comme un paramètre.


- 2.2 -

Ces relati ons que nous noterons sous forme condensée

x = f (x' , t! , t) (2.2)

ne sont pas arbitraires puisqu1évidemment, le point xf (sous entendi

le point de coordonnées x!) pouvant être choisi pour un temps t f

quelconq ue, nous devons avoir

x - f(x, t, t) (2.3)

et si x" est une position de La particule au temps t" c'est-à-dire

si x" = f (x', t 1 , t") alors

x = f(xn, t", t) (2.4)

A noter que dans 2*1 en faisant varier x' , t étant constant, on

obtient toutes les trajectoires.

Remarqua :

Si les fonctions f définies ci-dessus se prêtent bien par leurs

généralités à la description formelle des écoulements elles sont

par contre très difficiles à obtenir en raison des propriétés par-

ticulières qu'imposent les relations 2- 3 et 2 4 (propriété de

groupe).

Aussi, bien souvent, se limite-t-on à définir l'équation des tra-

jectoires pour des positions x' - x' correspondant à un ffl&me.

instant initial t' = t'Q (x = f(x^ , t^ , t) = g(x^ , t)) ce qui

élimine les difficultés signalées.

- L*.gKie_ d^_&ïïû.&_A'Lo_vi_

La ligne d'émission d'un point x' au temps t est le lieu des

positions à cet instant des particules qui sont passées ou

passeront par x!.


- 2.3 -

Or la position x au temps t

de la particule qui à un

instant quelconque t ' « T

est passé en xf est donnée

par la relation 2.1 d'où

l'équation paramétrique des

lignes démission

x s f fv f Y* v f T fïi i 1 * 2 ' 3 '

où les xî et t seront consi-idérés comme des Constantes

et T comme un paramètre.

- champ_ de,&_ v±te.A_6 e4_ e. _c( _acc J.££'ui -to 104

A chaque instant t la vitesse u des particules fluides est en tout

point x du fluide un vecteur de composantes u. tel que si dx repré-

sente le déplacement pendant l'intervalle de temps (t, t+dt) de la

particule qui se trouve en x au temps t on ait,

dxtUi (x't} "" dT" (2'5)

compte tenu de la définition de la trajectoire on a également

quelque soit x', t' ,

9f.(x',t',t)

"i ' -i-ît (2'6)

On retrouve à partir de cette relation l'expression (2.5) de u^

en fonction de x et de t en remarquant que compte tenu de (2.3)

a^Cx1 ,t*,t)u.(x,t) - §r-

x - x

t' = t

L'ensemble des vecteurs vitesse constitue un ck&wp \mc,toH4.(lt

appelé champ dej u/tteê* .


- 2.4 -

L ' é c o u l e m e n t est dit Atat4,onna£si<ï ou. p&timan&nt si le champ

desv i t e s ses est indépendant du t emps .

A4.o0c.xce au. ckamp d&A v*,te.AAe.A on dl^nÀ,t d& même en chaque, poLnt

x. du fitu-ide. un ckamp de<6 acce.ilnation4

dUi 3 2 f .Yi ( x > t ) = dt~ = —~ x* = x ( 2 - 7 )

8t t f - t

~ ^SJl^î. Ôti^^Ji^

Ce sont à un instant donné les -C^giae^ de C.foamp4 du champ vectoriel

des vitesses à cet instant c'est-à-dire les lignes qui en chaque

point sont tangentes au vecteur vitesse en ce point.

On dé duit de cette définition l'équation différentielle des lignes

de courant

dx. dx9 dxqL . = _ Z = ±- (2.8)

Uj(Xj,x2,x3>t) u2(xj,x2,x3,t) u3(xj,x2,x3,t)

où t a une valeur fixée.

Si l'écoulement est stationnaire ligne de courant, trajectoire et

ligne d'émission sont confondues.

" Ti1^ JÎ& ojL'L&nt.

On appelle tube de courant l'ensemble

des lignes de courant qui s'appuient

sur un contour fermé.

~ UJUt^lu^d^

Un filet fluide est un tube de courant

dont la section est infiniment petite.


- 2.5 -

" tl-5Jl /_ a^ L9-(L.c'li J 'M-yi2- JH&JïS^ê/

On appelle ligne, surface ou domaine matériel une ligne, une

surface ou un domaine du fluide constitués à tout instant des mêmes

particules fluides (ou points matériels)

&

2 .2 - VISUALISATION DES ECOULEMENTS

On peut mettre en évidence les différentes figures de l'écoulement

en marqûant certains petits domaines de façon à pouvoir les suivre

dans leur mouvement.

Ainsi si 1 fon introduit dans un fluide des petites particules ayant

une masse volumique voisine de celle du fluide (poudre d'aluminium

par exemple) on pourra admettre que leur mouvement est sensiblement

celui du petit domaine fluide auquel elles sont substituées.

Si l'on éclaire fortement ces particules qui sont très réfléchis-

santes et que l'on photographie l'écoulement avec un temps de pose

At très court, chaque particule donnera sur le cliché un petit

trait brillant (vecteur Ax = u At) image du champ des vitesses à

l'instant de la prise de vue. On pourra, assez facilement si

l'écoulement est plan, en déduire les lignes de courant (enveloppe

des petits traits).

Réciproquement la même photographie effectuée avec un temps de pose

At très long nous donnera l'image des trajectoires pendant cet in-

tervalle de temps.

Enfin si l'on marque par un colorant (injection de fluorescéine,

rhodamine, permanganate de potassium ou dépôt d'un grain de ces

colorants) les particules fluides qui passent en un point donné P

on aura par photographie instantanée à un instant t l'image de

la ligne d'émission du point P à cet instant t.

Comme en écoulement permanent, trajectoires, lignes de courant et

lignes d'émission sont confondues, ce dernier procédé est une métho-

de très pratique de visualisation des lignes de courant ou trajec-

toires en régime stationnaire.


- 2.6 -

2 . 3 ~ D E S C R I P T I O N S DU M O U V E M E N T - POINT DE VUE DE LAGRANGE ET D ! E U L E R

Le mouvement d ' u n f l u i d e peut ê t re d é f i n i de 2 f a ç o n s d i f f é r e n t e s :

" se lon L a g r a n g e en se d o n n a n t , à p a r t i r d ' u n e c o n f i g u r a t i o n

in i t i a le f i x é e , la p o s i t i o n au cours du t emps de chaque p a r t i c u l e

f l u i d e , c ' e s t - à - d i r e l e s t r a j e c t o i r e s

~ se lon Eu le r en se d o n n a n t , à tout ins tan t en chaque point de

l ' é c o u l e m e n t la v i t e s s e de la p a r t i c u l e qui s 'y t rouve , c ' e s t - à -d i r e

le champ des v i t e s s e s .

On peut dire encore que la description Lagrangienne du mouvement rapporte la

configuration actuelle a une configuration de référence qui, bien que pouvant

être quelconque, est habituellement celle existant à un instant initial t « 0

alors que la description eulêrienne ne s 'attache qu ' à la configuration actuelle.

2 , 3 . 1 - V a r i a b l e s de Lag range

Si nous cons idé rons l ' e n s e m b l e des t r a j e c t o i r e s d é f i n i e s à p a r t i r

des pos i t i ons xï = a. des p a r t i c u l e s f l u i d e s à un même înétant

t ' - 0 leur é q u a t i o n devient comme nous l ' avons dé j à noté

x. = f £ ( a , , a 2 , a3 , t ) ( 2 . 9 )

a , a?, a,, et t constituent 4 paramètres indépendants que l'on

appelle vcLtiiabitA dd LcLQîang^.

Les inconnue.* sont ici les 3 fonctions fi (ou xi) positions de la

particule fluide au temps t.

Lorsque l'on rattache les grandeurs caractéristiques de l'écoulement

(vitesse, contrainte, masse volumique...) à la particule fluide, ou

point matériel, que l'on suit dans son mouvement, on dit que l'on

se place du point do. vue da LagianQd.


- 2.7 -

Les grandeurs en question sont alors des fonctions des a. et du-> -> 1

temps t ( u = u(aj ,a2 »a3,t) ; p = p(aj_ ,a2 ,a3, t). . . )

Les variables de Lagrange sont peu utilisées en mécanique des

fluides où les déformations sont importantes et les positions ini-

tiales sans intérêt particulier. Toutefois dans les phénomènes

d*ondes où l'on veut rattacher une configuration actuelle à une

configuration antérieure pour, par exemple, suivre l'évolution de

surfaces d'ondes entre 2 instants, leur emploi peut être avantageux.

En mécanique du solide par contre où l'on considère presque toujours

la déformation par rapport à un état initial leur emploi est de

règle.

2.3.2. - Variables d'Euler

Nous avons vu que le champ des vitesses à Un instant t donné est

défini en chaque point de coordonnées x , -x.^, x^ par le vecteur

u (Xj,x2,x3,t)

x., x«, x«, t constituent 4 paramètres indépendants appelés

va/ii.ab&&* d1 Eu£ei.

Les <tttc0nxiue<6 sont ici les 3 fonctions u. composantes du vecteur

vitesse. De même que précédemment on dit, d'une manière générale,

que l'on se place du posent de. vue. d1 Eu£eA lorsqu'on rattache les

grandeurs caractéristiques de l'écoulement au poînt g&ome,tfiiqiJi&

(fixe dans un système d'axes donné) de coordonnées x^ et au temps t.

Les grandeurs en question sont alors des fonctions de ces variables,

u - uCx.^, t), à = CJ(xi, t) ... et définissent un champ des

vitesses, des contraintes...

Dans tout ce qui suit c'est le point de vue d'Euler qui sera adopté.

Remarque :

II est facile de voir que les 2 descriptions du mouveiœnt, lagran-

gienne et eulérienne, sont équivalentes et que l'on passe de l'une

à l'autre par intégration (Ui •*• fi) ou par dérivation (f. ->• u.)


- 2 .8 -

2.4 - VARIATION AU COURS DU TEMPS D'UNE GRANDEUR ATTACHEE A UN

POINT OU A UN DOMAINE FLUIDE - DERIVEE PARTICULAIRE -

Nous aurons souvent à considérer l'évolution dans le temps d'une

grandeur cj) attachée à un point ou a un domaineD quelconque lorsque

l'on Att<Lt ce point ou ce domaine dans &on mouv&mznt p/tople.

'Pour exprimer cette variation de <J> qui apparaît dès lors comme une

fonction du -te.mp-6 -6£u.£, il convient d'en calculer la dérivée

totale £-£ dite ctél/cvêe. en Au^vant £e mouvement, d'une part dans le

cas où cf) est une fonction de point, d'autre part lorsque (j) repré-

sente une intégrale de volume sur D.

2.4.1 - Fonction de point

Soit (|>(x.. ,x2>x3, t) une grandeur quelconque, masse volumique (cj)=p) ,

vitesse ($= u) . . . fonction des coordonnées x. d'un point M et du

temps t.

Si le point M est mobile, ses coordonnées x. sont des fonctions du

temps t : x^ = x^t). On a alors <J> (xj(t), x2 (t) ,x3 (t) , t) qui est

bien une fonction de t seulement.

- déi'tvëe -FT__ Q £

La dérivée -r~- en suivant le mouvement s'obtient immédiatement en

appliquant la règle de dérivation des fonctions composées.

Ai _ li ii dXjl

ôt " 3t 9xi dt

dx.Comme _± représente la composante de la vitesse w^ suivant oxi ,

du point M, il vient

£* . 24_ + M- w. ou |i = |i + (grad 4») . W*ôt 9t 3x. i 3t dt


- 2.9 -.

~ dJL*^ uJr £_Pj* t£u£ o U. e.

Si w est à chaque instant la vitesse u du fluide au point M consi-

déré ou, ce qui revient au même, si 1fon considère le point M comme

attaché à une particule fluide alors

|i = |1 + (grad 40 . u0 t d t

est appe lée dénuée pa^<t/ccu.â^/ie ou dénuée ma;téi<te££e de < j > .

Afin de distinguer ce type particulier de dérivation du cas général

où w ^ u, nous le noterons — (il est souvent noté aussi —).

La dérivée particulaire représente le taux de variation d*une quan-

tité cj) attachée à une particule que l fon suit dans son mouvement.

2.4.2 - Intégrale de volume

Soit un point M (x. , x_, x,,) du fluide et soit dT un élément de

volume infiniment petit entourant le point M. Si dl représente une

quantité quelconque proportionnelle au volume dT considéré, nous

pouvons introduire une quantité cj) telle que dl = (J)dT. § est alors

une fonction de point au sens ci-dessus représentant une densité

volumique (densité volumique de masse, dTénergie...)

Par exemple, si dl est la masse d fun élément de volume dT de fluide,

alors (}) est ce que nous avons appelé la masse volumique.

La quantité totale I contenue dans un domaine D à un instant t est

évidemment I = (|>dT î par exemple, si <j> = p , I représente la masse) D

de fluide contenue dans D.

De même que précédemment, la variation de I au cours du tempsft T

s'obtient à partir de la dérivée -pr en suivant D dans son mouvement,

*Si (j> est un vecteur (grad <f>) . w représente le produit contractédu tenseur du second ordre grad $ par le vecteurï^.© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 2.10 -

mouve ment défini par le déplacement de sa frontière. I, de même

que (j), apparaissent alors comme des fonctions du temps seul.

- PêÛvëe |i— — — ot

->Soit w(x ,x2,x3,t) la vitesse de

chacun des points de la surface

frontière S. Celle-ci étant mobi-

le, elle se trouve :

- au temps t en S

- au temps t + ôt en S f

(voir croquis ci-contre)

La variation ôl de I pendant le temps ôt peut être décomposée en

trois ^parties.

1) Ventilation ôl dan* la patitld commune (1)

On a (J) (xj , x2 ,x3, t) , mais ici la variation de (j) n'est due qu'à la

variation de t, puisque les valeurs de x. intervenant dans ({) sont

les mêmes qu'au temps t initial.

On en déduit que :

Ôl, - ~ I (j) -dT ôt = f !•*• dT ôt1 9t <î) <D3t

2) Vasii.at4.on 6l2 (pa/ttê ® de P au temp* t + 6 ;)

Cette variation est due à l'incorporation à D des quantités atta-

chées à la partie notée (2) sur la figure du domaine D au temps

t + ôt. Or, l'élément de volume de (2) est le petit cylindre de

base dS dont le volume est w.n dS ôt, d'où la quantité I attachée

à cet élément de volume : (j) w.n dS ôt et pour tout le volume de (2

ÔI9 = (j) w.n dS ôtJS2


- 2.11 -

3) Variation ôl3 (patitto. (j) da V au tamp* t)

On a ici, de même que pour la partie (2) , une variation

ôl~ = <J) w .n dS 6tJs3

due à la "perte" des quantités I attachées à la partie (D de D

au temps t. Finalement, la variation totale de I pendant l'inter-

valle de temps t, t + ôt sera

01 = 61 + 6I9 + 61. - [ || dT Ôt + (<J> w.n dS ôtJ JD dt JS2+S3=S

d!où le taux de variation

|| = { ffdT + f * 5.Î as (2.10)D S

Nous voyons que seule intervient dans la variation de I la compo-->• ->•

santé normale w = w.n de la vitesse de la frontière. wn qui répré-

sente la vitesse de déplacement de S suivant sa normale est ce que,

par définition, on appelle la vitesse de S. Cette vitesse peut être

quelconque et l'on peut citer, comme exemple de domaine limité par

une surface S se déplaçant avec une vitesse différente de celle du

fluide et ayant une réalité physique, les surfaces d'ondes (par

exemple, onde de choc sphérique produite par une explosion ponc-

tuelle) .

CCLA_ $^^£\JiUiW._-^£^\rfLjL_ ÛLA Ca Le,

1) ^_=JDans ce cas, la vitesse de la frontière est à chaque instant égale

à celle des particules fluides qui la composent. C'est une -ôuA^Ciee.

ma-tc^-te-^-Ce et ce sont toujours les mêmes particules fluides qui sont

à l'intérieur. On dit alors que D est un domaine. matê.ti<Le.t. La déri-

vée -s— , que nous noterons alors -r~- pour la distinguer du cas gêné-


- 2.12 -

rai où w ^ u , représente alors la dérivée particulaire ou matériel-

le de I, c'est-à-dire la dérivée de I lorsque l'on suit le volume de

fluide même dans son mouvement.

On a ainsi

- = f |f dT + f *S.S dS <2'">

dt JD 3t JS

ou, en utilisant la formule d'Ostrogradsky pour transformer l'inté-

grale de surface en intégrale de volume,

« . f (M + div 4, £) dT (2.,2)

A titre d'exemple, considérons le cas où (j) - p, alors I = M masse

du fluide contenu dans D ; comme celle-ci ne peut, d'après le prin-

cipe de conservation de la masse, que rester constante au cours du

déplacement de D, il vient -r— = 0, quel que soit t, d'où

f (|£ + div pu") dT = 0 (2.13)•'D

et, comme cette relation est valable quel que soit D, il vient

|£ + div p u - 0 (2 .U)o t

C'est l'équation de continuité ou de conservation de la masse.

o\ "*" •*" +2.) w = u - v

II est parfois intéressant d'introduire la vitesse relative v du

fluide par rapport au domaine D considéré. La relation 2*10 s'écrit

alors

|1 . f|f dT + f $î.n dS - U î.£ dSôt JD" Js Js


- 2.13 -

|I = JI - 1^ î.î ds (2.15)

mettant en évidence le flux de '<J> à travers S du au déplacement

relatif de vitesse v du fluide par rapport au domaine.

3) Dérivée particulaire avec conservation de la masse

Le plus souvent, les quantités (f> (quant i tés de mouvement, énergie...)

ne sont pas en fait liées au volume de l'élément, mais à sa masse

dm = p dT , si bien que les quantités à considérer sont de la forme

I = I <J> dm » I 4>p d.T .

D D

ce qui, compte-tenu de la conservation de la masse exprimée par la

relation 2. 13, conduit à

S -' (%dm= [„&'*" (2-16)

ce que l'on peut également obtenir immédiatement en remarquant que

l'élément différentiel dans (J>dm étant la masse élémentaire dm, le

domaine d'intégration est la masse M de D, ce qui, en vertu de la

conservation de la masse, correspond à un domaine d'intégration fixe.

Remarques

- Les relations 2.10 et 2.11 impliquent que <j> et ses dérivées soient

continus sur D et sa frontière S et que la composante normale/"*" ~*"\ j "*"(w.nj de w sur S y soit continue du moins par morceaux, S étant une

surface à plan tangent également continu par morceaux,

- La relation 2.12 suppose que <(> et u soient continus et à dérivées

continues et bornées sur D.


- 2.14 -

Si le domaine D comporte des surfaces de discontinuités pour <f>, on applique

les relations ci-dessus aux parties que ces surfaces délimitent dans D. Aux

expressions ci-dessus, s'ajoute alors un terme faisant intervenir les sauts

subis par <J> à la traversée de ces surfaces de discontinuités. La relation

2.15 est par contre toujours valable.

2.5 - DEFORMATION DANS UN FLUIDE - TENSEUR DES TAUX DE DEFORMATION

La déformation d'un milieu continu est caractérisée par le déplacement relatif

des divers points matériels constituant ce milieu. Or, comme nous l'avons déjà

indiqué (1.1) et ainsi que nous le verrons de façon plus précise par la suite

(3.2), dans un fluide à l'inverse de ce qui se passe pour un solide, le para-

mètre important n'est pas la déformation proprement dite du milieu, mais la

vitesse à laquelle cette déformation intervient.

Pour préciser cette notion de vitesse de déformation, considérons un point ma-

tériel P lié au fluide et dans un voisinage de P un point P' quelconque égale-

ment lié au fluide.

La vitesse de déformation locale en P,

pour la direction PPf, au temps t (ou

si l'on veut de la particule fluide à

laquelle sont attachés les points P

et P1) sera évidemment liée à la vi-

tesse de variation des positions re-

latives de ces deux points caractéri-

sés par le vecteur PP*, soit


- 2 .15 -

dPP' •*. ->__ . u. - u

d ' o ù le f a i t évident que la vi tesse de var ia t ion de la pos i t ion

de P1 par rapport à P est simplement égale à sa vitesse relative par rapport à P,

ce qui ramène l'étude des vitesses de déformation en P à celle du champ des vi-

tesses en ce point.

I l n ' y aura cependant dé fo rma t ion que si la d i s t ance PP f var ie .

" Ç ^ J L ^^-j^^^yA^Â *êPour étudier le champ des vitesses dans un voisinage de P posons :

PP' « ÔP de composantes ôx. et u' = u + Ou

Nous pouvons écrire à un infiniment petit du second ordre près

3u.u' . - U . + -r—- Ô* .i i 8Xj j

soit u' « u + grad u. ÔP

en introduisant l'opérateur linéaire appelé gradient de u qui au petit

déplacement ÔP fait correspondre l'accroissement 6u de Ja fonction

u ; gradu est un tenseur du second ordre de composantes TT appelé

gradient du champ des vitesses en P.

Décomposant grad u en sa partie symétrique e et antisymétrique Œ

respectivement de composantes

. 3u. 8u. . du. du.£ij = "2 ( 7 + et Qij = 2 ("8xT " 3 }

il vient u1 - ïï + S.6P + e.ô? (2.18)

Si l'on remarque que les Çl^. sont les composantes du pseudo-vecteur

3 = Y rot u, on peut écrire


- 2 .16 -

-V -> ] - > _ > . . - * =s -*

u ' = u + Y r o t u A ô P + e . ô P ( 2 . 1 9 )

u 1 = u + ôu_ + <5u_.K. L)

Comparant cette relation à celle donnant la vitesse en un point B

d'un solide indéformable par rapport à la vitesse en un point A

•> -> -»• —>VB = VA + A AB

->ou a) est le vecteur rotation instantané nous voyons que la vitesse

du fluide dans un voisinage de P correspond à celle d fun solide

indéformable auquel s'ajoute la vitesse ou = C.ÔP caractérisant la

\J4,t&t>t>Q do, d&ûotimat4,on pomti ta. cUiecôn PP' .

On appelle

fi : le t enseur des tanK de, fiotatsion

ë : le tenseur des taux. d& d^ôn,matîon ou des Vsit&AA&A do.

de-ôîmcit-ion

a) = yro t u : le vec teu r tou.sib<Ltton (ou vec teur taux do. tLOtatîon) .

e é tant symét r ique sa mat r ice ( e . ^ . ) peut toujours, par un changement d'axes,

être mise sous fo rme d iagona le tel le que

&\ i e, 0 0 / « x , \

^ - <\ - » e2 0 l & 2

6"D j \ ° ° ^3 \ 5^3 /

où 6u et ôx. sont les composantes de ou et ÔP dans ce nou-

veau système d'axes


- 2.17 -

Dès lors si l'on considère les points P et P1 comme attachés à la

particule fluide on peut dire que

Théorème de Helmholtz :de temps

Le mouvement d'une particule fluide pendant un intervalle/dt est

la somme d'un mouvement de translation, de rotation et de dilata-

jîon linéaire suivant 3 axes orthogonaux.

On peut schématiser cela comme indiqué sur les figures ci-dessous

qui montrent l'évolution d'un petit domaine entourant le point P

pendant l'intervalle de temps t, t + dt. Les états 1, 2, 3, ont

été séparés pour des raisons de clarté du dessin mais sur ces 3

figure les points P. doivent être considérés comme confondus.

On pourra montrer à titre d'exercice que d'une façon générale les

composantes £.. représentent un taux de dilatation linéaire alors

que les composantes e. . où i ^ j correspondent à un taux de déforma"

tion angulaire et l'on pourra en déduire que le taux de dilatation

volumique de la particule (variation relative de volume par unité

de temps) est donné par la trace e.^ = div u invariant de i. Si le

fluide est incompressible on aura évidemment div u - 0


- 2.18 -

A partir de ce résultat on pourra également retrouver, en considérant l'inva-riance delà masse élémentaire dm = pdx contenue dans le petit volume di d'uneparticule fluide, l'équation de continuité déjà citée :

^ + p div u = 0dt

2.6 - ECOULEMENTS PARTICULIERS

Indiquons tout d'abord qu'un écoulement est dit :

- stati-onnai-re ou permanent lorsque le champ des vitesses est in-

dépendant du temps u = u(xi,X2,X3).

Dans ce cas, trajectoires, lignes de courant et lignes d'émission sont

confondues. Pour un écoulement turbulent, on dit écoulement permanent en

moyenne.

— uni, ou bidimensionnel lorsque le champ des vitesses ne dépend

que de une ou deux variables d'espace u = u(x},t), u = u(x},X2,t).

- plan lorsque, en chaque point, le vecteur vitesse a une compo-

sante constamment nulle dans une même direction donnée , trajectoires, li-

gnes de courant et dfémission étant toutes situées dans des plans parallèles,

- unidireoti -nnel lorsque le vecteur vitesse est de direction

fixe u = |u e, trajectoires, lignes de courant et lignes d'émission sont

alors des droites confondues (|e| = 1).

- à direction permanente lorsque, en chaque point, le vecteur

vitesse a toujours la même direction. Ici également lignes de courant,

trajectoires et lignes d'émission sont confondues.

2.6.1 - 3ECOULEMENTmLAMINAIRE_=_ECOULEMENT_TURBULENT

L'expérience montre que, sous certaines conditions (présence de parois,jets,..), la vitesse du fluide en un point présente, lorsque sa valeur dépasseun certain seuil, des fluctuationsà caractère aléatoire aussi bien en grandeurqu'en direction. La fréquence de ces fluctuationspeut-être très élevée ( 200 kHz)On dit alors que l'écoulement est turbulent.

Par opposition, lorsque les couches fluides glissent régulièrementles unes sur les autres à la manière d'un jeu de cartes ou de lames qu'onétale, on dit que l'écoulement est laminaire.


- 2.19 -

Nous reviendrons au chapitre 6 sur les écoulements turbulents quisont les plus fréquents car la vitesse à laquelle les fluides circulent dansla plupart des installations conduit à ce type d'écoulement.

Indiquons cependant, dès maintenant, que l'on définit dans ce casla vitesse u comme la somme de 2 vecteurs, l'un représentant une valeurmoyenne de la vitesse sur un intervalle de temps At assez grand pour que cettevaleur moyenne ait un sens, l'autre une vitesse de fluctuation u',c'est à direque 1'on a :

— rt + At-> + ->, ^ 1 •*• ,u = u + uf avec u = — u dt

' t

On définit de même pour tous les autres paramètres: p, T, p, ..une valeur moyenne et une valeur fluctuante, par exemple : p - p + p'

Les écoulements turbulents sont des écoulements non permanents,toutefois lorsque la vitesse moyenne est indépendante du temps on dit alorsque l'écoulement est permanent en moyenne» C'est le cas de la plupart desécoulement que l'on a habituellement à considérer dans la pratique indus-trielle courante.

2.6.2 - ECOULEMENTÂ_POTENTIEL__DES__ACCELERATIONS

Par définition, ce sont les écoulements où

-> du -*Y = jj- - - grad n

ïï étant une fonction scalaire des coordonnées du point considéré et du temps.

Nous verrons que l'on a de tels écoulements lorsque la viscosité

du fluide est négligeable (fluide parfait), que sa masse volumique ne dépend

que de la pression (fluide barotrope) et que les forces voJumiques appliquées

dérivent d'un potentiel (force de pesanteur). Ces écoulements seront étudiés

plus en détail au paragraphe 2.6.2 suivant dans le cas particulier des écou-

lements plans irrotationnels stationnaires. Nous donnerons ici quelques-unes

de leurs propriétés dans le cas général.

1. Théorème de Thomson

La circulation T du vecteur vitesse le long d'une 1i ne ma t é r i e11e


- 2.20 -

fermée tracée dans le fluide et ne coupant aucune surface de discontinuité,

est constante dans le temps.

r = I î.ôîJc

dr f -> + f -> ->dT* Y'ô£ + u'6 u; c J c

d(u.ô£) du 0-t -> d .-> -> - * • - > • •>puisque -J--—= — . <$£ 4- u . - 6£ = y - 6£ + u . 6u

Comme y dérive d'un potentiel implicitement supposé uniforme

y.ô£ - 0 et comme u est continue et que u.6 u = -r- 6 u2 la seconde in-* c J c J ctëgrale est également nulle, donc

F - constante.

2. Théorème de Lagvange

Si l'écoulement est irrotationnel à un instant donné, il le de-meurera indéfiniment.

Comme le flux de rot u à travers toute surface fermée s'appuyant

sur C est égal à F (théorème de Stokes), si rot u est nul à un instant t,la circulation sera nulle à cet instant le long de toute courbe C etd'après le théorème précédent le restera indéfiniment.

Donc rot u sera également toujours nul.

Or, on sait que, si le rotationnel d'un vecteur est nul, ce vec-

teur dérive d'un potentiel. On a donc :

u = grad (j>

(j> est appelé le potentiel des vitesses , il est défini à une constante près.

Ce cas particulier, qui représente une classe importante d'écoulé*-

ment, sera étudiée au paragraphe suivant dans l'hypothèse des écoulements

plan de fluide incompressible (p = este)

On doit noter que cette dénomination, traditionnelle en mécanique des

fluides, n'est pas conforme à la définition habituelle d'un potentiel

qui voudrait que l'on écrive u = - §ra-d §•


- 2.21 -

Remarque

A un instant t, les vecteurs rot u forment un champ de vecteurspour lesquels on peut définir (tout comme pour le champ des vitesses on adéfini les lignes de courant) des lignes tangentes en chacun de leur pointà ces vecteurs.

Ces lignes sont appelées lignes tourbillonet l'on définit de même des tubes et des filetstourbillon.

Le flux du vecteur tourbillon étant nul àtravers la surface latérale d'un tube tourbillon,la circulation F est la même le long de tout contotdu tube. La valeur de T est appelée intensité dutourbillon.

Cette constante de F le long du tube implique qu'un tube tourbillon ne peut se fermer que sur lui-même (anneau defumée) ou à l'infini.

Si la section du tube tourbillon diminue, la "densité" tourbil-lonnaire croît.

D'après le théorème de Thomson, la conservation de la circulationimplique également que, dans un écoulement, l'intensité tourbillonnaire seconserve.

On exprime cela en disant que, dans un fluide parfait, on ne peutcréer les tourbillons que par paire, chacun d'eux "tournant" en senscontraire et se neutralisant (exemple de la tasse de café d'Helmholtz).

Une illustration de cela peut également être obtenue en considérantl'écoulement créé lors de la mise en mouvement rapide d'un corps dans unfluide au repos.

Ainsi dans le cas d'un profil d'aile on observe, à l'aval, la for-mation d'un tourbillon d'axe parallèle au bord de fuite. Comme lorsque u - 0la circulation F, le long d'une ligne matérielle C entourant la profil, estnulle la conservation de cette circulation implique, le long des contours Cjet C2, l'existence d'une circulation Fj et F2 telle que Fj + F2 « 0.

Au cours du temps le tourbillon qui induit la circulation F2,s'éloigne du profil et se dissipe du fait de la viscosité du fluide mais lacirculation Fx autour du profil demeure. C'est cette circulation qui, par ladissymêtrie du champ de pression engendré, induit, par unité d'envergure duprofil, une force fz> normale à l'écoulement, appelée portance. On a f ^-plulr

et, pour l'aile entière d'envergure L : F = -p|u|/ F(y)dy.z L


- 2.22-

2.6.3 - ECOULEMENT^PERMANENT^ P L AN ±_ IRROTATIONNEL D'UN__FLUIDE

INCOMPRESSIBLE

Cela se traduit par

• '' \ ' . v / \ c'est-à-dire un vecteur vitesse indépendantn de t et une composante sur Oz nulle.

. -*• -*•en notant ici u = V ; u^ = u ; U2 = v ; X]_ = x ; X2 = y«

b) rot V = 0 écoulement irrotationnel

c) div V = 0 fluide incompressible (équation de conserva-tion de la masse).

En raison de la conservation de la circulation dans un fluide nonvisqueux, ces hypothèses correspondent à de nombreux écoulements plans d'untel fluide autour d'obstacles (profil d'aile, grille d'aubes, ... , écoule-ments pour lesquels la vitesse à 1'infini amont est uniforme (V = VQ, d'où

rot V = 0).

- POTENTIEL DES VITESSES

De rot V = 0, c'est-à-dire de ~ - -~ = 0, on déduit qu'il existe

une fonction <f>, telle que :

u = li(4 .37) 9* c'est-à-dire V - 3 $ , puisque -*LjL = -*L±

8à 3y 9x 3x 9y

v = ^4) est appelé le potentiel des vïtesses.

~ FONCTION DE COURANT

De div V = 0, c'est-à-dire — + — = 0, on déduit pareillement

l'existence d 'une fonction ^> telle que

= ii(4.38) y c'est-à-dire V = - k A grad ip , puisque -—^- « -^~~L

v = _|i 'x o y oy<ix

9x

vj; est appelée la fonction de courant.

- * • - * • - » ' ' - > • - >*0n note i, j , k une base orthonomée, telle que i, j soient les vecteursunitaires pris selon les axes Ox, Oy du plan de l 'écoulement.


- 2 .23 -

- PROPRIETES PARTICULIERES DES FONCTIONS <j> ET J>

1. Chacune des grandeurs scalaires <j> et 41 définit entièrement lechamp des vitesses.

2. Les lignes ^ = este sont des lignes de courant.

Comme V --k A grad ^, il vient

V . grad 4> - 0, d 'où, puisque grad ip est porté par la

normale n à la ligne ip = este considérée, V est diri-gé suivant la tangente à cette ligne.

ip est donc bien une ligne de courant.

3. Les équipotentielles $ - este et les li-gnes de courant fy = este forment un réseau curviligneorthogonal.

En ef fe t , grad <j> . grad i | / ~ V . k A V « 0 , donc

grad <j> et grad ^ sont des vecteurs orthogonaux. Commeces vecteurs sont, en tout point, dirigés sui-vant les normales aux lignes <j> et t|; * este qui s 'ycroisent, ces courbes sont orthogonales.

4. Si l'on suppose une épaisseur de fluideunité, iî - ij;0 représente le débit Q qui s'écoule "entre"les deux lignes decourant ip = I|JQ et i[> - ^ i*

Le débit Q à travers toute sui lace, ae traceAB orthogonale au plan de l'écoulement est par défi-nition

Q = V . n . 1 . dlJÂB

l .dl représente l'élément de surface dehauteur unité et de normale n.

Or, V = - k A grad i|;

d'où Q = - le A grad ip . tî dlJAB

ou encore Q = grad ty . k A n dl = grad ^ . t dl-fe ^SB

où t =* k A n est la tangente unitaire en un point courant de AB.


- 2 . 24 -

Or, grad ip . t dl - dij;

r^ idonc, on a bien Q = dij; = ty\ ~ ^Q

J ^ 0

5. (f>2 . ~ < J > i représente la circulation du vecteur vitesse le longd'une ligne quelconque joignant 2 points pris sur ces équipotentielles.

, __J— hEn e f f e t , on a : JHT~ ~X

-^fê/r r C$9 yf^ À/ - > • - > | >- -> f <^ A ^ '_——— 0

V. dM - grad <|>.dM = de)) = (j)2 - $\ J^^—•'oB •'cTe •'(j)! -^r

6. <j) et ip sont des fonctions harmoniques oonju^guêes.

On vérifie immédiatement que A < f > = 0, Aip = 0 et,comme grad <j> . grad ^ = 0, on a bien les propriétés qui servent de dé-finition à ce type de fonction.

POTENTIEL COMPLEXE

On considère souvent la fonction complexe f = 4> + ii|/ que l'on ap-pelle le potentiel complexe de l'écoulement.

On vérifie aisément que, <j> et ty étant des fonctions harmoniquesconjuguées, f satisfait aux conditions de Cauchy et, par là même, est unefonction holomorphe de la variable complexe z = x + iy.

Vi te s se complexe

^ df 3f 3<j> . ^°n a dI = -^ = + L ^ = U ~ 1V

W = u - iv est appelé vitesse complexe de l'écoulement et

|v| = |r .

TRAN SFORMATION CONFORME

Considérons l'application X : z -> Z qui, à un point d 'af f ixe z duplan oxy de l'écoulement, fait correspondre un point d 'a f f ixe Z du plan OXY.

Si l'on note A = g + i h e t Z = X + iY, on voit que la fonctionZ = X ( z ) définit une transformation ponctuelle

X = g (x,y) et Y = h (x, y)


- 2.25 -

qui sera biunivoque si son Jacobien J = % \ est différent de zéro.

On en déduit que :

Si la fonction A(z) est holomorphe et a dérivée A'(z) î6 0 dans undomaine D du plan Oxy, la transformation Z = X(z) qu'elle définit est dansce domaine*.

a) Biunivoque

En effet, on a, en raison des conditions de monogéïté de Cauchy

T - il ii 1s 3i= fia]2 + fii]2 = i^-i2

3x ' 3y 8y Ix* [SxJ ^xj |dz|

qui, par hypothèse, est bien différent de zéro.

Comme, par ailleurs, J > 0, l'orientation du plan est conservée.

b) Conforme, c'est-à-dire qu'elle conserve les angles.

Soit dz} et dZ2 deuxdéplacements élémentaires pris àpartir d 'un point de D défini parz0 .

Il leur correspond deuxdéplacements d Z ^ et dZ^ à partird'un point ZQ - f C z g ) et :el que,

d Z j = f ' ( z 0 ) d z i f dZ? = dz2

dZ2 = f ' ( z 0 ) dz2 d °U dZi dz!

ou encore en écrivant les rapports des nombres complexes ci-dessus sçusforme polaire :

dR^ i(82-0i) = dr2 i(62-e1)dR^ e d r i

On déduit de ceipte égalité de nombres complexes que dans cettetransformation :

- l'angle A6 = 6 j - 62 ,

- le rapport des longueurs d r j et dr2 ,

ont été conservés.

La transformation est donc bien conforme et de plus c'est, loca-lement, une similitude.

Il en résulte que

- le réseau transformé des équipotentielles et des lignes de cou-rant est également un réseau orthogonal.

- les potentiels complexes des deux écoulements et, par suite, <j>et ty ont, en des points homologues, même valeur.


- 2,26 -

- la vitesse complexe W dans OXY est telle queZ

Wz =W z A'(z)

- la circulation le long de deux arcs homologues et les débits àtravers deux arcs homologues sont conservés.


CHAPITRE 3

RELATIONS DE BASE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES

Les relations fondamentales de la mécanique des fluides sont,d'une part,

- des relations de conservation traduisant, pour un domaine flui-donné, la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et del'énergie» On les appelle aussi lois de conservation, elles sont indé-pendantes du milieu envisagé.

d'autre part,

- des relations de comportement exprimant le comportement parti-culier, tant du point de vue mécanique que thermodynamique, du milieuconsidéré (relation contrainte-déformation, relation d 'état , . . . ) • Dé-duites de l'expérience, ces relations, dites également lois de comporte-ment ou relations constitutives, sont spécifiques du milieu en cause.

La formulation de ces lois, dans l'hypothèse d'un milieu continu,fait l 'objet des deux premiers paragraphes de ce chapitre, le troisièmeétant consacré aux relations de conservation particulières obtenues à par-tir des relations générales (quantités de mouvement et énergie) en y in-troduisant telles ou telles lois de comportement.

Enfin, dans un dernier paragraphe, nous examinerons la forme par-ticulière de ces relations en présence de surfaces singulières (frontière dumilieu, onde de choc, . . .) , ce qui conduit aux conditions aux limites etrelations de saut qui leur sont associées.


- 3.2 -

3,1, RELATIONS DE CONSERVATION

Ces relations seront obtenues en explicitant, à partir de la dé-rivée particulaire, la variation au cours du temps de la masse, quantité demouvement et énergie attachées à un domaine matériel D, c'est-à-dire à undomaine se déplaçant avec le fluide.

Le raisonnement conduisant à ces relations peut être fait à par-tir d'un domaine D quelconque, mais le choix d'un domaine matériel évited'avoir à prendre en compte, lorsque l'on explicite la variation d'une desgrandeurs précitées attachées à D, la part liée à la variation de la quan-tité de fluide contenu dans D, c'est-à-dire au fluide qui "rentre" ou"sort" de ce domaine.

3« 1- 1. CONSERVAnON^DE^LA^MSSE^-ÊQUATION^DE^CONTINUITE

La conservation de la masse est, pour un système matériel quel-conque, un principe fondamental de la mécanique classique (non relativis-te).

Pour un domaine matériel D de masse M = p di, cela se traduit•>D

par la relation — = 0, c'est-à-dire en appliquant, comme nous l'avons vu

au chapitre précédent, le théorème de la dérivée particulaire.

f 9p i f •* -*j — dT + J p u.n ds = 0 (3.1)

ou encore

||| + div p uj di = 0 (3.2)

JD

ce qui permet, le domaine D étant entièrement arbitraire, d'obtenir lesformes différentielles classiques, soit :

-— + div p u = 0 ou encore -—• + P div u « 0 (3.3)


- 3.3 -

A remarquer qu'une forme intégrale plus générale de l'équation decontinuité peut être obtenue à partir de la relation (2.15) où l'on pose <J> = p,sous la forme

~- ! p di = - ! p v.n ds ' (3.4)JD Js

exprimant que le taux de variation de la masse contenue dans D est égal audébit massique à travers S.

Si S est une surface fixe (w = u + v = 0) et l'écoulement permanent,(3.4) se réduit à

p u.n ds - 0JS

traduisant que le débit massique à travers S est nul. Appliquée à un tronçonde conduite, cette relation exprime la conservation du débit massique,

mA miî i/i -—->A B I^H^ 9<*Q

A Ë»Si l'écoulement est stationnaire, la première forme différentielle

(3.3) se réduit à,

div p u = 0 (3.5)

et si le fluide est -incompressible, que l'écoulement soit stationnpire ounon, à

div u = 0 (3.6)

exprimant que le taux de dilatation volwnique d 'un tel fluide est, par dé-finition, nul.

A noter que cette expression qui traduit la constance de l 'élémentde volume se retrouve en considérant que le volume d 'un domaine D que l 'onsuit dans son mouvement est invariant, c'est-à-dire

M*-'qui s'écrit encore en appliquant la relation 2.12 avec 4> = 1,

~ I di = I div u di = 0dt JD JD

c'est-à-dire, puisque D est arbitraire, div u = 0.


- 3.4 -

3.1.2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT— EQUATIONS DE LA DY-NAMIQUE,,. DES FLUIDES

3.1.2.1. Relations de base

3. 1.2. 1.1. Definitions_3_Torseur_d^nami2ue_-^Torsôui:-_cinéti-gué

Considérons un domaine matériel D et posons :

* r * L r +I = p u di F = p Y di

'D JDM et A

\

M'J(AO = AM A pu di MÎ04) = ÂM A p Y diA JD A JD

Le premier groupe de relations représente le torseur M des quan-tités de mouvement contenues dans D ou torseur cinétique :

- I est la résultante des quantités de mouvement contenues dans Dou résultante cinétique de D

- M.(M) est le moment en A des quantités de mouvement contenues

dans D ou moment cinétique en A de D.

Le second groupe de relations représente le torseur A des quanti-

tés d'accélération contenues dans D ou torseur dynamique ; F et MA(/4) y re-

présentent de même la résultante et le moment dynamique en A de D.

Il est facile de montrer que la dérivée patticulaire du torseur Mest égale au torseur A.

En effet, A étant un point fixe dans le repère où est observé lemouvement, la conservation de la masse pour le domaine matériel D considérépermet d'écrire (relation 2.16)

dî f du dMI<M> f -, dS*HDpdFdT « -ir- • ]/"A p $ d T

ce qui démontre la proposition puisque y * ~"~-dt


- 3.5 -

3 . 1 . 2 . 1 . 2 . Principe fondamental de la dyjiamiçjue

Le principe fondamental de la dynamique que traduit la loi deNewton exprime l'égalité pour un système matériel donné entre le torseur

dynamique A (dérivée particulaire ™ du torseur cinétique) et le torseur

F des forces extérieures,e

A - m - FA ~ dT ~ Fe

c fest-à-dire

f P Y dx = i- f p u dT = F (3.7)J D dt J D 6

f AMApydT= i- IAM A p u dT = M* (F ) (3.8)J D

dt JD A e

3.1.2. 1.3. Ex£ression_des_forces_extérieures

Les forces extérieures s'exerçant sur D sont de deux types ;

- Les forces à distance ou forces de champ

Ces forces, telles par exemple les forces de pesanteur, corres-pondent aux actions à distance auxquelles chaque élément matériel du flui-

de est soumis. Elles sont représentées par un champ de vecteur f(M) (parexemple champ de gravitation) définissant en chaque point M de D la force

f ou f par unité de volume ou de masse, qui s 'y exerce,v m

Ainsi, pour un petit domaine fluide de volume di entourant unpoint M de D, on a la force élémentaire

dî = f div

ou dF « ? pdim

selon que l'on considère une force volumique f ou une force massique f .

.-»• ! ,-> iDans le cas de la pesanteur, on a f j = pg, fm

= g» sa direc-

tion étant celle de la verticale du lieu.


- 3.6 -

-> ->f et f sont en réalité des densités volumiques ou massiques de

forces, tout comme p est une densité volumique de masse, c'est-à-dire telle

Î AF •—'>.. = lim —t où AF est la résultante des forces à dis-

V AT-K3 T

tance qui s'exerce sur l'élément de volume AT.

- Les forces de contact

Ces forces sont définies en considérant

les forces élémentaires dF exercées par le milieuextérieur sur chaque élément, d'aire dS, de la sur-face frontière entourant un point P donné de celle-ci.

~>Pour cela, nous supposerons dF proportion-

nelle à dS, c'est-à-dire

dF = T dS

le vecteur T qui représente une force par unité de surface est dite

contrainte au point P pour la direction n ( s ou s- -en tendant par là pour une

surface élémentaire quelconque contenant P et orientée par n).

Comme on admet que la force élémentai-

re dF qui s'exerce, au point P, sur un élémentde cette surface, donnée par la direction de sa

->• ->normale n (direction de la flèche), T sera fonc-tion uniquement du point P considéré et de

l'orientation donnée par n, c'est-à-dire

T = T (P, n)

3.1.2.1.4. Eguation générale__de la d^;namiûe_des_fluides

L'introduction de ces données dans l'expression des forces exté-rieures à D conduit aux relations fondamentales suivantes :

j£ [ P S dT = ( ? dT + [ T ds (3.9)'D JD 's

de la même manière que ci-^dessus T est une densité surfacique de force

(î- u.f.[ AS->0 ,


- 3.7 -

j- ÂM A p' u dx = ÂM A f di + ÂM A T ds (3;10)JD JD ^s

ou encore en posant ? = f + (- y)

f -» f +F dx + T ds = 0 (3.11)

JD JS

et ÂM A F di -f ÂM A T ds = 0 (3.12)JD js

3. 1.2.2. Propriétés particulières de la contrainte en un point -Tenseur des contraintes

Avant d'appliquer ces relations à l'étude du mouvement d'un flui-de, nous allons les utiliser pour démontrer trois propriétés essentielles

de la contrainte T(P,n) en un point P d'une surface de normale n en P.

a) T est une fonction -impaire de n : T(P3n) = - T(P9-n)

Considérons une surface Z0 et uneportion Z interceptée par le domaine D.

-S est la frontière de D orientée

par n et Sj et 82 les parties de S fron-tières de D| et D2.

~E a pour normale unitaire exté-•'->

rieure à Dj, N en un point P, celle extérieu-

re à D2 étant, évidemment, en ce même

point, -N.La relation 3.11 ci-dessus appliquée en chacun de ces domaines

permet d'écrire,

F di = T(N) ds (a)•'D 's

r -> f -> + r -> ->I F dr = I T(N)ds + I T(N)ds (b)J»l J S i J^

I F dT = T(N)ds + i T'(-N)ds (c)^D2 Js2 J E


- 3.8 -

En ajoutant membre à membre (b) et (c) et retranchant de même(a), il vient :

f (T(N) + T(-N)} ds = 0JZ

Cette relation étant valable quelle que soit la portion E de £Qinterceptée par D, elle est valable en tout point de cette surface et no-tamment en P, donc

T(P,N) = - T (P, - N)

Cela traduit le principe dit de l'action et de la réaction.

b) T est une fonction linéaire de n (théorème de Cauchy)

Considérons en un point P un petittétraèdre de sommet P et d'arêtes orthogonaleen ce point.

Soit P1 un point de la plus grande

face ABC, de normale n, tel que PP' soit co-

linéaire à n.

Soit M un point quelconque de ABCse projetant en m. sur la face perpendicu-

laire à Px. .

Si nous notons a.. la composante

sur Px. de la contrainte en mj et que nous

appliquions la relation 2.5, il vient en projection sur Ox.

F. di = - a.. ds. + T.(n) dsJD x Js.

1J J Js xJ

S. et S étant respectivement les faces normales à Px. et à n,

on a évidemment

ds. = n. ds et S. = n. SJ J J J

dfoù

f/i dT - JS(V«> - °ij -j) ds


- 3.9 -

Lorsque Pf •> P, la face ABC restant parallèle à elle-même,l'intégrale de volume du premier membre devient un infiniment petitd'ordre inférieur à

fr. - a. . n .1 dsU1 V 4

d'où à la limite

T£ (P,n) - a,,., ru - 0 (3.|3)

Les a., sont donc bien les composantes d'un tenseur a du second1J = _ » . ' _ >ordre correspondant à l'application linéaire a : n -> T, c est-a-dire

T = a . n.

G) Le tenseur des contraintes est symétrique Ya. . - a ..)'kj t/'Z-

Prenant le moment en 0 origine des coordonnées et introduisant leHS- ' • '

symbole E^.^ pour simplifier l'écriture des produits vectoriels, la rela-

tion 3.12 s'écrit :

E. .. ' x. F. dT = E. .. x. T dsJD Xjk j k js ijk j k

Comme T = cr n , il vient en transformant par la formule

d'Ostrogradsky le second membre en intégrale de volume et en passant à laforme différentielle

. 3 .e...- x. a. n '„ ijk j klG X . F = ' ' - ' ' 'ijk j k 3 x-

ou encore

9a. T 3x/P kl Je.., x. F, =e... x. + a, n T*-**ijk j k ijk j 9x' kl Sx-j^

mais, comme les x. sont des variables indépendantes

i,j,k étant égal à 1, 2 ou 3, e.., est une fonction alternée des indices»IJKtelle que £123 = 1 (on en déduit par exemple que e213==~l î £112 ~ 0» etc.


- 3 ..'10 -

3x.

^=êji

9akidonc e.jk x. Fk - — = e.jfc afcl 6jx - E.lfc ofcl

et, comme d'après 3.11, le second membre ayant été transformé en intégralede volume compte-tenu de 3.13, on a

3okiF = —îiik 3x

Alors, e.lk afcl = 0 et, puisque e..lk = - e.kl

"kl = °lk

ce qui démontre la symétrie du tenseur des contraintes.

3.1.2.3. Formes générales de l'équation de la dynamique des flui-des

Comme on a T = â.n, la relation (3.9) s'écrit soit,

p | dt + (pu) u.n ds = I di + S.n ds (3.14)JD JS JD JS

soit, en utilisant directement la relation (2.16)

p ~ di = f dT + la.n ds (3.15)

JD JD ^s

En transformant les intégrales de surface en intégrales de volumeet en notant que les relations ci-dessus sont valables quel que soit le do-maine D considéré, on en déduit les formes différentielles

9p u. 3p u. u. 3a. .L + 1.. J. - f. + -JJ. (3.16)

9t 3x. i 9x.

et pour la seconde relation

d u. Sa..p "HT = fi + 1 7 (3.17)

Compte-tenu de l'équation de continuité (3.16) peut égalements'écrire :


- 3.11 -

fû. 9U/ 9a. .P i. + u 1 B f __!_!

[ 9t j 9xJ ri 3x. (3.18)

soit, sous forme vectorielle,

p l|~ + (grad u).u = "f +' div à (3.19)

ou bien,

(-> \

— + grad u2 +(rot u) A u = f + div a (3.20)9t 2 )

ou encore en considérant la relation (3.17)

p d S = l + d i v 5 (3.21)dt

Des relations analogues peuvent être obtenues pour le moment ci-nétique à partir de la relation 3.10, mais, comme nous le verrons parla suite, la prise en compte, de cette relation n'apporte, en-dehors decelle déjà vue concernant la symétrie de a, aucune relation supplémentai-re entre les inconnues du problème p, p, u, ...

3 .1 .2 .4 . Théorème de l'énergie cinétique

Si l'on multiplie scalairement la relation générale 3.21 par le

vecteur u, il vient :

d î u 2 i f-> =) -___ = - [f + div aj .u (3.22)

et, si l'on intègre sur un domaine D, on obtient, compte-tenu de la rela-tion (2 .16) rappelée ci-dessus

•^ ~ p u2 di = M f H- div â j . ud i (3.23); D J D


- 3.12 -

Ces relations qui, comme en mécanique classique, apparaissentcomme des intégrales premières du mouvement, expriment que le taux de va-riation de l'énergie cinétique pour un domaine D (3.23) ou une particulefluide de masse unité (3.22), que l'on suit dans son mouvement est égale àla puissance de toutes les forces appliquées.

3.1.2.5. Théorème de la quantité de mouvement

Les relations fondamentales 3.9et 3. 10 sont évidemment applicables à un do-maine D quelconque contenant des partiesfixes ou mobiles continues ou non tel, parexemple, celui représenté ci-contre.

->Si w est la vitesse de la surfa-

ce S qui le limite appelée souvent surfacede contrôle, nous avons, d'après la relation2.'15, en introduisant la vitesse relative vdu milieu extérieur par rapport à

-> -> ->S, (u « v + w)

J~ p u di -.. - p u (V.ïî) ds + ! f dt + T ds (3.24)et ôt J D Js J D h

4~ OM A pu dT = - OM A pu(v.ïï)ds + OM A f di + OM A T ds (3.25)ôt JD Js Js Js

Formes particulières î

Si la quantité de mouvement à l'intérieur de la surface de contrôleest constante» ce qui est le cas par exemple si cette surface est fixe(w = 0) et si l'écoulement est permanent, alors

fe|DPÎd, - o

et l'expression (3.24) se réduit à :

[•pu (v.n) ds"•- [ î dt + [ î ds (3.25a)JS JD JS

Cette relation exprime que le "débit" de quantité de mouvement àtravers la surface de contrôle S est égale à la résultante des forces exté-rieures au domaine limité par S.


- 3.13 -

Dans la pratique, la frontière S peut souvent être décomposée entrois types de surface S , S et S0, telle que :

- sur Sg, on ait v.n < 0 (section d'entrée)

- sur S , on ait v.n > 0 (section de sortie)

- sur SQ, on ait (v.n) et /ou u = 0 (ligne de courant, paroi étanche, ...).

Les figures ci-contre montrentdeux exemples classiques de surface decontrôle où cette partition est évidente.

Dans la mesure où les vitessesu peuvent être considérées comme cons-tantes sur S et S , l'expression ci-

dessus se réduit à la relation élémen-taire classique :

q fu - u } = Z F (3.25 b)Mm[ s ej ext

où q est le débit massique à travers

les surfaces d'entrée et de sortie

q = - p v.n ds = p v.n ds>s >s

e s

Cette relation est souvent énoncée ainsi ;

Le débit de quantité de mouvement qui "sort" moins le débit dequantité de mouvement qui "rentre" est égal aux forces extérieures appliquées»

On a évidemment des simplifications semblables et, par suite, uneformulation analogue en ce qui concerne la relation (3.25) relative au mo-ment cinétique.

Les diverses relations ci-dessus s'appliquent également bien si lesvitesses sont exprimées dans un système d'axes relatifs, à condition d'ajou-ter, le cas échéant, aux forces extérieures les "forces d'inertie" traduisantles accélérations d'entraînement ou de Coriolis.

Ces expressions se généralisent également au cas de choc, lorsquel'intégrale du premier membre est discontinue en introduisant, comme en méca-'-nique classique, la notion d'impulsion ou de percussion.

En conclusion, ces relations, qui traduisent le théorème dit desquantités de mouvement, sont d'un intérêt pratique très grand car elles


- 3.14 -

s'appliquent quelque soit la nature du fluide et nfimposent aucune conditionparticulière quant à la continuité des fonctions en cause. Il convientsimplement, si l'on explicite le premier membre de 3.24 ou 3.25 en utilisantles relations 2.10, 2.11 ou 2.12, de tenir compte du saut des quantités pu"à travers les surfaces de discontinuités présentes dans D (voir 3.3,2).

j x£m£'£ ji!5P£.'i.9£ti0Jl

- Réaction d'un Jet (coefficient de contraction d'un orifice àla Borda)

Considérons le réservoir re-présenté ci-contre et calculons lacomposante horizontale due à la réac-tion du jet et schématisée par une bu-tée.

Nous choisissons une surfa-ce de contrôle coupant le jet normale-ment dans sa section contractée.

L'écoulement étant permanentet l_a surface de contrôle fixe (w = 0et v = u), la relation (3.25a) s'écritimmédiatement,

I pu (u.n) ds = î.di + T.dsJS JD <*S

Si l'on admet ê plus :

- la vitesse uniforme dans le jet,

- les forces de volume réduites aux forces de pesanteur,

- les forces de surface réduites à la pression atmosphérique(constante sur S) » aux efforts dans la butée et au contact des roues»on peut utiliser la forme 3.25b qui, en projection sur Ox se réduit à,

p u . q = Fx Hv x

où F représente, en valeur algébrique, l'effort de butée et éventuellement

les forces de frottement des roues sur le sol. Le jet étant sensiblementparallèle à l'axe horizontal Ox, ux représente la vitesse moyenne du fluidedans le jet.

Comme ux est positive, FX est également positive ce qui indiquele sens de la réaction du jet,

Coefficient^ de ônt^qcîon^âu^Jet^

Si nous considérons les forces intérieures de pression sur lesparois en admettant en raison de la forme particulière de l'ajutage que


- 3.15 -

leur répartition est celle qui existerait en l'absence d'orifice sauf audroit de celui-ci où ces forces sont nulles (par rapport à la pression atmosphërique), nous voyons que :

FX = S0 p = S0 pg Az

Comme ux= /2g Az, (voir page 4.16)

F = 2pg Az Se,

où S est la section contractée du jet et SQ celle de l'orifice, d'où

S

if'0-5

montrant que le coefficient de contraction C est ici de 0,5.


- 3.16 -

3.1.3. CONSERVATION DE L'ENERGIE

La conservation de l'énergie totale

E =* I p e + y u2 di'D ^ '

contenue dans un domaine D, et qui représente la somme de l'énergie inter-

ne e et de l'énergie cinétique — u2 par unité de masse, se traduit, selon le

premier principe généralisé de la thermodynamique par la relation :

~ = Q + (3.26)

où : Q représente l'énergie apportée ou enlevée par unité de temps au do-maine D sous forme de chaleur.

Q peut être exprimé de façon générale comme la somme de deux ter-mes :

a) QI ~ Q dt qui représente l'énergie apparue ou disparue sous•'D

forme de chaleur, par unité de temps au sein du fluide contenu dans D(réaction chimique, dissociation, ionisation, changement de phase* rayon-nement, etc.) ; Q est ici une énergie par unité de volume.

b) £)2-~ q«n ds qui représente l'énergie transférée par conduc-S

tion à la frontière du domaine ; q représente le flux chaleur qui, selon laloi de Fourier, est proportionnelle au gradient de la température

(q = - A grâcf T) .

Quant à W qui représente le travail par unité de temps, c'est-à-dire la puissance des forces extérieures .sur D, il se décompose égalementen deux termes :

a) Wi = 1 f.u dTJD

puissance correspondant aux forces extérieures de volume.

b) f/2 * [ T.u ds - I (5.n) .u dsJs Js

puissance correspondant aux forces de surface.

en supposant, en première approximation, que ces phénomènes sont simplementdes sources (ou puits) de chaleur n'apportant qu'une modification négli-geable aux autres propriétés du milieu.


- 3.17 -

3.1.3.1. Forme générale de l'équation de l'énergie

En remplaçant dans la relation (3.26) E, Q et W par leur expression,on obtient, compte tenu de (2.16), l'équation de l'énergie sous la forme inté-grale générale,

~4 p(e + ~ u- u-> dT •'- I Q dt - I q.n.ds + f f.u.di + [ a. .n.u.ds (3.27)dtJD 2 i i yv Js4i i JD i i J s ij j i

ou encore en transformant les intégrales de surface en intégrale de volume,

d e + j u. u ç 3q. ao.. u \p -1 __1 dT = lu. f. + Qv - -± + - L-L] dT (3 .28)

Jp JD L J

d'où la forme différentielle générale

, r •) 9q« 8a. . u.p £ _ e + I u . u. - Q - ~ + —JJ + u. f.M dt ( 2 i ij xv Sx^ 3xj i i

ou encore sous forme vectorielle (3.29).

p cft e * 2" u J = v ~ div Cq - ô.u) •»• î.u

3.1-3.2. Théorème de l'énergie

La relation fondamentale (3.26) exprimant la conservation del'énergie

f. ,

~- p le + | u2 dT = Q + Wdt (_ 2. j' 3


- 3.18 -

tout comme celle traduisant la quantité de mouvement est évidemment appli-cable à un domaine comorenant des sources (ou des puits) d'énergie quel-conques.

Par un raisonnement en tout uoint identique à celui développé en3.1.2.5 Dour le théorème des quantités de mouvement, on est conduit à larelation :

6 f f 1 o) i f 1 o) -> -> I -> ->jj7 P e + Y u d-r = - p. e + ~ uz\ v.n ds + f.u dT

f -> •*• ! t -> •> f+ T.u ds + QvdT - q.n ds + W dT (3.30)Js JD Js ^Dm

où I W dT représente la puissance qui peut être apportée ou enlevée à D sous;D

m

forme d'énergie mécanique autre que celle résultant de l'action des forcesextérieures.

S'appliquant pratiquement sans restriction cette relation est;comme son homologue du théorème de quantités de mouvement, d'un intérêt pra-tique certain dans les bilans d'énergie.


- 3.19 -

3,2, RELATIONS DE COMPORTEMENT

3.2.1. PRINCIPES GENERAUX

Ces relations qui sont choisies pour traduire au mieux le compor-"tement physique du milieu considéré doivent, bien que de nature expérimen-tale, satisfaire à un certain nombre de principes et il existe actuelle-ment, en mécanique des milieux continus, toute une axiomatique des lois decomportement.

Au niveau de ce cours, nous nous bornerons à rappeler ci-aprèsquelques-uns des axiomes les plus évidents.

- Principe de l'homogénéité dimensionnelle

Ce principe concerne l'invariance des lois de comportement danstout Changement d'unité.

- Principe d'objectivité ou d'indifférence matérielle

Cet axiome exprime qu'une loi de comportement doit être invarian-te par changement du référentiel utilisé. Autrement dit, les propriétés dumilieu considéré doivent être indépendantes du choix de l'observateur.

- Principe de causalité ou du déterminisme

Selon ce principe, les fonctions contraintes, déformations, ...intervenant dans les relations de comportement d'un élément de matière decoordonnées x. à l'instant t ne sont déterminées que par l'histoire du mi-

lieu jusqu'à l'instant t. Pour les fluides usuels, nous verrons que seull'état actuel intervient.

- Principe de localisation spatiale - milieu matériellement sim-ple

Cet axiome exprime que seules interviennent les valeurs localesdes variables et de leurs dérivées spatiales.

Dans le cas où seules interviennent les dérivées premières, lemilieu est dit matériellement simple.

Il convient également d'ajouter que les lois de comportement doi-*-vent évidemment satisfaire aux principes de la thermodynamique et à cer-taines conditions nécessaires pour la stabilité des équilibres.

3.2.2. LOI DE COMPORTEMENT MECANIQUE DES FLUIDES

Bien que les phénomènes mécanique et thermodynamique soient inti-mement liés, on distingue habituellement les lois du comportement mécani-que, qui nous serviront de définition pour les fluides, des lois de compor-tement thermodynamique moins spécifiques à un type de milieu.


- 3.20 -

Par ailleurs, l'expérience montre que, dans nombre de cas, il estpossible de s 'en tenir au seul aspect mécanique, les phénomènes thermodyna-miques (ou autres) étant négligeables (écoulement isotherme par exemple).

3 .2 .2 .1 . Définition d 'un fluide

L'étude expérimentale du comportement mécanique des fluides cou-rants tels l 'eau, l 'air.. . a montré que, pour ces milieux, lfêtat descontraintes en un point à un instant donné était essentiellement lié à lavitesse de déformation du milieu en cet instant. Autrement dit , c'est lamodification, intervenant dans l'intervalle t, t + dt, par rapport à l'étatau temps t qui est essentielle.

Cette vitesse de déformation se caractérisant par le tenseur sy-

métrique e des taux de déformation, on peut définir de façon très générale

un fluide comme un milieu pour lequel la contrainte a n'est fonction que du

taux de déformation e.

a - f (e) (3.31)

II est évident qu'une telle loi satisfait aux axiomes 3 et 4 ca-ractérisant un milieu matériellement simple, sans mémoire, puisque seules

interviennent les valeurs actuelles de à et ë.

Le principe de l'indifférence matériel auquel la loi ci-dessus

est supposée satisfaire implique, les tenseurs a et e étant objectifs, que— =f soit une fonction isotrope de e, c'est-à-dire invariante dans un change-

ment de base, f est donc telle que ses composantes dans une base donnée ne

sont fonction que des invariants de e : f.. = f..(ei, e2» e3).

Comme par ailleurs, e et a sont symétriques, on peut écrire, ennotant e\t £2» £3 es 3 invariants de e,

a = f1(e1,e2,e3) ï + f2 (EI^.ES) ê + f3 <£i,Ê2,e3) ë2 (3.32)

les termes d'ordre supérieur en ë s'éliminant par application de la relationde CAYLEY-HAMILTON

3.2.2.1.1. Fluides_newtoniens

Pour un tel fluide, on admet que f est une fonction linéaire de

e, c'est-à-dire

a.. = A. . + B. .. - e, ; (3.33)ij 13 iJkl kl


- 3.21 -

Compte-tenu de (3.32), la forme la plus générale pour f j , f2 etf 3 est alors ,

fj = - p + x G!

f2 = 2 y

f 3 - 0

où p, X et y sont des scalaires.

On en déduit la loi de comportement

a = (- p + X div u) î + 2 y ê (3.34)

°ij = (- P + X ekk) 6.. + 2 p c.. (3.35)

qui, si l'on considère les tenseurs A et B définis en 3.33, signifie queA. . * - p 6. . et B. ., n = X 6. . 6. - +2 y 6., 6.,.ij F ij ijkl ij kl ik jl

- Contrainte de pression

Le scalaire p est appelé pression, il représente la part decontrainte normale indépendante du taux de déformation.

Pour un fluide au repos par rapport à un système d'axes donnés

e H 0 «Ma relation 3.34 se réduit à

a = - p ï ou a.. = - p 6.. (3.36)

->Dans ce cas, la contrainte T de composante a., n. égale ici à

- p n., est telle que

T - - p n (3.37)

ce qui montre que, dans un fluide newtonien au repos par rapport à un sys-

tème d'axes, les contraintes sont normales (T//n) et indépendantes de la

direction considérée (|TJ = p = este en un point donné).

Pour les fluides compressibles, la thermodynamique nous enseigne

que p > 0, donc T est dirigé suivant - n et les contraintes sont descompressions appelées, dans les fluides, simplement pressions.

Remarque - Fluide barotrope

Si l'on considère uniquement l'aspect mécanique, on doit supposerque p (de même que X et y) ne peuvent être fonction que de p, le fluide estalors dit barotrope.


- 3.22 -

On doit toutefois bien noter qu'en dehors du cas trivial des

fluides incompressibles (p = este), le fluide barotrope implique, pourl'écoulement considéré, une loi de transformation thermodynamique particu-lière, puisque, comme nous le verrons, p s'exprime en général comme unefonction de p, mais également d'une autre variable thermodynamique (tempé-rature T, entropie s, etc.).

Ce n'est donc que pour des écoulements particuliers • isothermes(T = este), isentropique (s = este) que l'on peut parler de fluide barotro-pe et nous verrons que cela implique pour le fluide des propriétés physiquestrès particulières.

- Contraintes de viscosité

Les coefficients X et y sont appelés coefficient de viscosité et

l'on distingue habituellement dans a la part de contrainte liée à p, ditede pression, de celle liée à y et A, dites de viscosité en posant

à = ~ p ï + T c'est-à-dire a.. = - pô.. + T.. (3.38)iJ F U iJ

où

T = A (div u) ï + 2y ê c'est-à-dire T.. = Ae + 2ye.. (3.39)ij kk ij

Cette dernière relation montre que la partie de T attachée aucoefficient de viscosité A correspond à une contrainte normale proportion-

nelle à div u qui, nous l'avons vu, représente le taux de dilatation en vo-lume du fluide.

Cette partie de la contrainte n'a de valeur appréciable que lorsd'expansions ou compressions très rapide de gaz. Ainsi, liée à la variationde p (voir équation de continuité), elle est nulle pour les fluidesincompressibles (p = este).

La seconde partie de la relation 3.39 rattachée au coefficient yest la plus importante du point de vue pratique, puisqu'elle traduit la "ré-sistance au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

Considérons à titre d'exemplel'écoulement représenté ci-contre de vi-

tesse u dirigée selon ox^ et dans cetécoulement un élément de surface de nor~

->mâle n orienté selon 0x3.

La contrainte en un point M decet élément de surface est

-> = ->T = d.n et comme on a :

*Nous verrons que, dans ce cas, p ne se trouve défini par l'écoulement qu'àune constante près.


- 3.23 -

ui(x3,t) 0

u 0 et n 0

0 1

•>et il vient pour la contrainte T :

3.UiTi3-v--5£T 0

- p

Autrement dit, le domaine fluide pour lequel X3 > x3 exerce sur la régionM . •*

ou x3 < X3, outre la contrainte de pression - p n, une oontpatnte tangen-tielle dirigée suivant oxj de valeur T telle que

Tt.-P^ (3.40)

Cette relation, dite loi, de Newton, just i f ie l'appelation de new-tonien donnée à ce type de fluide. Elle montre que dans un fluide visqueuxles parties du fluide les plus rapides ont tendance à accélérer les pluslentes et réciproquement.

Ce mécanisme s'explique très bien par lTéchange, au niveau molé-culaire, de quantité de mouvement entre les diverses parties du fluide etles théories correspondantes permettent un calcul précis des coefficientsde viscosité.

L'unité de viscosité dite dynamique (on entend par là essentiel-lement le coefficient y) est, dans le système S.I., le Foiseuille défini

comme "la viscosité dynamique d 'un fluide dans lequel le mouvement recti-ligne et uniforme, dans son plan, d 'une surface plane, solide, infinie,donne lieu à une force retardatatrice de 1 newton par mètre carré de lasurface en contact avec le fluide en écoulement relatif devenu permanent,lorsque le gradient de la vitesse du fluide, à la surface du solide et parmètre d'écartement normal à ladite surface, est de 1 mètre par seconde."

La viscosité dépend de la température, mais ne dépend pratique-ment pas de la pression* Pour les gaz où y croît avec la température, onpeut utiliser la relation de Sutherland :

T ] * T ~P - P O T TT/T

où JJQ est la viscosité à la température absolue TQ et C une constante dé-pendant du gaz.

Pour l'air sec, à la pression atmoshpërique u - 1,813.10~5

Poiseuille à 20°C et C = 113.

Décret n° 61 501 du 3 mai 1961 relatif aux unités de mesure !!!© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 3.24 -

On a également la loi de puissance,

*--11 r^0 I T0|

avec a) 0,72 poui l'air et les gaz diatomiques en général.

Pour les liquides, y diminue lorsque la température augmente. Laloi de variation de y avec T est très complexe et l'on utilise des tables.

Pour l'eau, y = 1,Q02.1Ô-3 Poiseuille à 20°C.

A coté de y, on introduit sous le nom de viscosité cinématique

v le rapport — qui intervient très souvent en mécanique des fluides. L'uni-

té n'a pas de nom dans le système MKS et v s'y exprime en m2/sec. Dans lesystème CGS, l'unité de v est le Stokes et celle de y la Poise.

3.2.2. 1.2. Fluide J2. ar f ai t__ôu_non_visc[ueux^

->• • " * • / * ,Dans le cas particulier où la relation 3.37 T = - p n peut être

considérée comme également valable lorsque le fluide n'est plus au repos,c'est-à-dire lorsque le tenseur des contraintes est indépendant de celuides déformations (A et y = 0), le fluide est dit parfait ou non visqueux.

3.2.2. 1.3. Fluides^non^newtoniiens

Si la plupart des fluides usuels, l'eau, l'alcool et tous les gazdans des conditions de pression et de température non excessivement éloi-gnées de la normale ont un comportement newtonien , il en existe cependant

pour lesquels la relation a = f(e) n'est pas linéaire.

Toutefois, comme le présent cours se limitera à la mécanique desfluides newtoniens, nous ne ferons pas d'analyse détaillée des lois decomportement générale de ces fluides et nous nous bornerons à en donner leclassement habituel, basé sur la relation contrainte tangentielle T gra-

dient de vitesse T = f f-7-1 , telle qu'elle peut être déduite d'une expé-

rience viscométrique analogue à celle rapportée ci-dessus à propos de la"loi de Newton".

*La validité de cette loi est notamment en défaut dans les gaz pour les on-

des choc quelque peu intenses, en raison des taux de déformation extrêmementélevés qui sont alors rencontrés.


- 3.25 -

Si l'on représente graphiquement une

telle relation et que l'on pose T = y y-, le

coefficient y , dit de viscosité apparente,

étant alors fonction du gradient de vitesse, onpeut classer ces fluides en deux catégories.

1. Les fluides pseudo-plastiques quicorrespondent au graphe n° 1 et où la viscositéapparente y diminue lorsque le gradient de vi-

tesse augmente. On dit que ces fluides présentent une r'héofluidi fi cation.De tels fluide comprennent entre autres les huiles et les graisses utili-sées en lubrification, le pétrole, le sang, ainsi que la plupart des solu-tions de polymères.

2. Les fluides dilatants qui correspondent au graphe n° 2 et où y ,augmente avec le taux de glissement. De tels fluides sont dits rhêoêpais-sissants.

Ce type de comportement est moins fréquent que le précédent et serencontre surtout dans les solutions telles, par exemple, les solutionscolloïdales d'argile dans l'eau.

Une façon très con»nuï»de représenter le comportement non newtoniende tels fluides est d'écrire pour le coefficient de viscosité apparente y

aune relation de la forme

*a - Kfe)n (3.40

Pour n > 0, on a les fluides dilatantspour n < 0, les fluides pseudoplastiques.Pour n * 0, on a évidemment les fluides newtoniens.

3.2.2.1.4. Milieux_continus_au^ fluides

Nous avons défini les fluides à partir d'une loi de comportementde la forme a = f (e) et les divers milieux considérés jusqu'ici entrentbien dans le cadre de cette définition.

On doit cependant noter que, bien que très vaste, le cadre ainsidéfini n'englobe pas la totalité de ce que l'on considère aujourd'hui commedes milieux fluides et la Théologie qui est justement l'étude des milieuxsusceptibles de s'écouler, considère comme fluides des corps dont les loisde comportement sont beaucoup plus générales.

A t i tre d'exemple, on peut citer :


- 3 .26 -

a. Les fluides de Rivlin-Ericksen

dont la loi de comportement mécanique est de la forme :

a = f je, e f , e" ... e;nj (3.42)

où e', e", ... e sont les dérivées particulaires d'ordre î, 2, ... n dutenseur des taux de déformations.

b. Fluides visée/élastiques

Les corps viscoélastiques sont des corps qui, comme leur nom lelaisse deviner, ont à la fois un comportement

- élastique en ce sens que, vis-à-vis d'une variation de sollici-tation (Aa ou AD) au temps t, leur comportement instantané est celui d 'unsolide élastique (réponse fonction linéaire de Aa ou AD)

- visqueux du fait que, par exemple, soumis à partir d 'un temps tà une contrainte donnée constante, il présente, outre la déformation ins-tantanée précitée, un phénomène de fluage ou d'écoulement conduisant pourcertains d 'entre eux à une déformation non bornée. Dans ce dernier cas, onconsidère le milieu comme un "fluide" viscoélastique.

Pour de tels milieux, la contrainte au temps t apparaît commefonction, non seulement de la déformation à cet instant, mais également dela valeur de la déformation à tous les instants T antérieurs à t

a = F ( D ( T ) , D( t ) ) - - < T < t (3.43)

Ce sont des matériaux à mémoire.

Nous ne développerons pas ici la théorie de ces milieux qui, enraison de l'importance industrielle de ces matériaux -la plupart des plas-tiques actuels ont ce type de comportement- fait l 'objet de nombreux trai-tés (viscoélasticité, rhéologie des polymères, ...) et nous nous limiteronsà un modèle simple d 'un tel milieu appelé modèle ou corps de Maxwell.

Ce type de milieu a une loi de comportement qui peut être repré-sentée par un modèle mécanique simple : un ressort élastique de raideur

G = — I en série avec un amortisseur de viscosité

-M-( d t jEn e f f e t , un tel assemblage auquel on appli-

que une contrainte T a une déformation D telle que

32-1 + lfl (3.44)dt ri G dt


~ 3.27 -

Pour un "fluide" de cette sorte soumis, commedans l'expérience de Newton, à une contrainte de ci-

saillement T telle que ~ soit très petit (T ^ constant), on a un comporte-

ment de fluide newtonien :

dD fdD )I = n dF [dt = E]

Par contre, pour des variations très rapides de contrainte où1 dx T

"G "dt >> ~n' ce qui est d'aut:ant Plus vrai <Iue n est grand et G petit, on a

12 - llldt " G dt

soit T = GD, ce qui correspond à un comportement de solide élastique.

- Fluide vis copias tique

Ce sont des milieux qui, pour une valeur du taux de déformationinférieur à un certain seuil, ont une loi de comportement de solide élasti-que (contrainte fonction de la déformation instantanéejet qui, au^delà/pré-sente le phénomène d'écoulement propre aux fluides. Un exemple classiqueest le fluide (ou corps) de Binghcan pour lequel on a, en considérant unécoulement de cisaillement pur

T = GD si T < TQ(3.45)

T - TQ + ne si T > T O

3.2.3. LOIS DE COMPORTEMENT THERMODYNAMIQUE

II s'agit ici des relations qui permettent, à partir d'un certainnombre de grandeurs thermodynamiques, de définir le comportement du fluidevis-à-vis des phénomènes thermiques associés à sa déformation.

Avant de préciser ces relations, nous ferons un très bref rappeldes grandeurs thermodynamiques concernés et des principes de base utilisés.

3.2.3.1. Données thermodynamiques du problème

Les grandeurs thermodynamiques en cause s'introduisent naturelle-4-ment I partir dés principes de la thermodynamique.

- Premier principe

C'est ainsi que, dans l'expression déjà donnée (3.26) du principede conservation de l'énergie pour un domaine de fluide D, nous avons intro-duit la notion d* énergie interne à laquelle s'associent celles de travailet de quantité de chaleur.


- 3.28 -

- Second principe

De même, l'énoncé du second principe introduit les notions de :

. Température : existence à chaque instant t en tout point xd'un milieu matériel d'une grandeur scalaire T(x,t) appelé température ab-solue de la particule qui s'y trouve, T étant une quantité non négative.

. Entropie : existence en chaque instant t en tout pointd'un milieu matériel d'une grandeur scalaire s(x,t) appelée entropie spéci-fique de la particule qui s'y trouvé et telle que, à l'instant t considéré,l'entropie S de la partie D du milieu considéré soit :

S = psdi (3.46)JD

A partir de ces deux notions, le second principe s'exprime, pourun domaine fluide D donné, par l 'inégalité fondamentale/

f > [ ^ d x - [ H d . (3 .47)J D J S

où Q et qjlsont respectivement les quantités de chaleur volumique et surfa-

cique reçues par D et déjà définies à propos de l'expression (3.26) du pre~mier principe.

La relation (3.47) peut encore s'écrire, compte-tenu de (3.46)

^ f psdi » f ^ - d i - [ ï^ds (3.48)D 'D 's

ou encore par application de (2.16) et du théorème de la divergence

({" dt - -T + dlV 1} dT " ° (3<49)

bce qui conduit, en chaque point du fluide supposé continu, à la relation :

>ë*V«4 (3-50)Dans ces diverses expressions, le cas de l'égalité correspond aux

processus dits réversibles, ce qui, si le système est thertniquement isolé(transformation adiabatique) conduit à s - este. On dit alors que l'évolu-tion est isentropique.

- Principe de 1 fétat local

Tout état d'équilibre d'un système est bien défini par un certainnombre de variables indépendantes ao» a ,,,a dite d'état et telle que toute


- 3.29 -

grandeur caractéristique e, T, s, ... s'exprime de façon unique à partir deces variables.

Le principe de l'état local nous dit que cela reste vrai pour unfluide en mouvement, c'est-à-dire qu'il existe un état d'équilibre local,permettant d'exprimer en fonction des a. les fonctions e, T, s de la mêmefaçon que pour un fluide au repos. x

Cet axiome a des conditions de validité très larges. C'est ainsique, pour les fluides ordinaires, il ne se trouve en défaut que dans lesondes de choc intense par suite de la non-équipartition de l'énergie entreles divers degrés de liberté des espèces présentes (atomes, molécules, ...)ou produites par dissociation ou ionisation (ions, électrons, .,.) au seinde l'onde de choc.

- Potentiel thermodynamique - Loi d'état

On introduit en thermodynamique un certain nombre de grandeursappelées potentiel thermodynamique qui, par définition, permettent dedéterminer les fonctions principales e, s, T, ...

Ainsi, l'énergie interne e exprimée en fonction de ag - s et desvariables a^, ... a choisies de façon à constituer avec s un système devariables indépendantes constitue un potentiel : e ~ e (s, 04... a ).

De cette expression de e et de celle du 1er principe (de = dq 4- dw)on déduit immédiatement, pour une transformation réversible, la relation :

St-'^'pTï* " = ' â n (3'51)

d'où

"ë » ep=^Les quantités T (s,a ) et 6 (s,a ) sont des variables dites

P P P

d'état et les relations B = 7— constitue les lois d'état du milieu.p dap

3e 9e(1)Comme e, -r—* -—- ne sont fonction que de s, on, ... a , elles

8s 9a nP

ds d a

sont indépendantes des taux de variation — et ,• ", donc de la

nature de la transformation et la relation (3.51) écrite pour une trans-formation réversible est également vraie pour une transformation quelconque.

(1) Ces dérivées partielles représentent dans l'espace des phases (états)(e, s, a ) les composantes du gradient de e, quantités intrinsèques indé-

pendantes des accroissements ds, d a des variables.© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 3.30 -

Puisque, dans les processus réversibles, T — représente la puis-

sance %r reçue de façon réversible sous forme "thermique", la quantité

d a^ - g __^—F, représente la puissance réversible reçue sous forme "mécanique"

par une particule fluide de masse unité que l'on suit dans son mouvement.

Il en est de même dans les processus irréversibles où l'on a sim-

plement T ~ > w , la différence T •— - w représentant la part due aux ir-r dt q dt qréversibilités thermiques ou mécaniques (voir paragraphe 4.2.!}

On peut définir d'autres potentiels thermodynamiques. Ainsi,l'énergie libre ty = e - Ts, exprimée en fonction de a0 = T et de 04 ... et ,

constitue également un potentiel tel que dty = - sdT + 3 d a .

De façon analogue, l 'enthalpie h(s ,v) (dh = Tds •+• pdv), l 'entropies ( e , p ) (ds = 1/T de + p/T dp) et le potentiel thermodynamique de GibbsF(p,T) ^ i|/ + pv (dF = - sdT + vdp) constituent également des potentiels.

3.2.3 .2 . Définition du point de vue thermodynamique d'un fluidecompressible classique

Un •fluide compressible est du point de vue thermodynamique un mi-lieu défini par deux variables thermodynamiques a0 et on.

C'est ainsi que, si nous prenons comme variables thermodynamiques

CXQ = s et 04 = v = — (volume massique), toutes les données thermodynamiques

peuvent être définies à partir de ces deux quantités

p = p (s, v) , T = T (s, v) , ...

En effet, on a alors : — = T — + 3j— et sachant que, pour

une transformation réversible, la puissance reçue sous forme mécanique estde la forme w = - pdv, on en déduit que 3j= - p,

d'où, comme on l'a vu, T = -r— (s, y)oS

et la loi. d'état,

P = -~ (s, v) (3.52)0V


- 3.31 -

qui, dans le cas particulier où le fluide est un gaz parfait à chaleur spé-cifique constante, a la forme bien connue

p vY = exp(s/Cv) (3<53)

où y = Cp/Cv, rapport des chaleurs spécifiques à pression et volumeconstants.

A noter que, si l'on avait choisi ŒQ = T et oq - v comme varia-^blés, on aurait eu l'énergie libre ty comme potentiel et, puisque

dij; = - sdT + 3i dv, on aurait la relation :

. - - •g (T, v)

et, comme 3i - - p, la loi d'état.

p - - |i (T, ;> (3.54)

qui, pour le gaz parfait, a la forme également classique,

pv = rT où r - Cp - Cv.

Relations entre q et T - Lois de la conduction

A côté des relations d 'état p - p (v, T) et s - s (v, T) parêxemple, il convient de définir une relation entre le flux de chaleur q etla température T.

Cette relation nous sera donnée par la loi de Fourier

q = - k(T) "grld T (3.55)

où k est le coefficient de conduction thermique qui, nous le verrons, estune quantité strictement positive.

A noter que le caractère scalaire du coefficient de conductibilitéthermique est essentiellement lié à l1 is,o-tropie des milieux fluides. Iln'en est évidemment pas de même pour certains solides où le coefficientk prend alors une forme tensorielle telle que :

q = - îc(T) racf T


- 3.32 -

3,3, RELATIONS DE CONSERVATION EN PRESENCE DE SURFACES SINGULIERES

CONDITIONS AUX LIMITES - RELATIONS DE SAUT - ONDE DE CHOC

Les relations développées jusqu'ici ont été obtenues par applica-tion des lois de conservation à des domaines où la continuité des paramè-tres était assurée en tout point, frontière comprise.

Or, il est évident qu'une telle continuité est limitée dans l'es-pace, soit par les frontières naturelles du milieu fluide considéré (paroi,surface libre, . . . ) , soit par la présence au sein du fluide de surfaces dediscontinuité (onde de choc, surface de jet, de contact, . . .).

On est donc naturellement amené à considérer l'application deslois de conservation à des domaines dont la frontière est, en tout ou par~tie, une surface singulière.

Sur ces surfaces, les lois de conservation imposent, entre les va-leurs limites des paramètres et celles traduisant les actions extérieures,un certain nombre de relations constituant ce que l 'on appelle habituelle-ment :

- les conditions aux limites lorsqu'il s 'agit d'une frontière aumilieu fluide considéré (paroi, surface libre, ...)

- les conditions de saut lorsqu'il s'agit d'une surface de dis-continuité située à l 'intérieur de ce même milieu (onde de choc, surface dejet, . . .).

Pour plus de clarté, nous traiterons séparément les deux cas.

3.3.1. CONDITIONS AUX LIMITES ASSOCIEES AUX LOIS DE CONSERVATION

Nous considérons ici un domaine D dont tout ou partie £ de lafrontière coïncide avec celle^ du milieu fluideconsidéré.

*>Notant M un point de vitesse W astreint à

rester sur £, on peut toujours définir sur D et safrontière I + S un champ de vitesse continu sur D et

ayant sur £ une vitesse W dont au moins la composante

W suivant la normale à n soit égale à celle de M,

c'est-à-dire w ' = W.n = Wn n

A noter que W qui représente la vitesse de

déplacement de la surface suivant sa normale est appe-lée, par définition, la vitesse de là surface.

Ce choix tient au fait que c'est essentiel-lement par sa composante normale que le mouvement


- 3.33 -

d'un point lié à une surface S donnée intervient, en particulier dans tou-

f •* •> ftes les questions de flux à travers S <f> W. n ds = <j> W ds .

. s s n

- Conditions aux limites associées à la conservation de la masse

Dans le mouvement propre de D défini par celui de ses frontières,

champ de vitesse W pour Z et u pour S qui est une surface matérielle, on a,en exprimant que le taux de variation de la masse contenue dans D est égaleau débit massique à travers Z,

It f pdT-/>d" (3'56)D o

Par ailleurs, si l'on considère le domaineD' limité par S et la surface Z ' prise à l'intérieurde D, la relation (2. 15) s'applique et, ,si l'on faittendre £' vers Z, d tendant vers zéro, on a :

II /D*dT • ïït |D*dT - /£* Vn ds <3 '5 7>

où les valeurs de <f> et de la vitesse relative

V - (W - U).n sur Z sont définis par continuité à partir respectivement

->•des valeurs de $ et de u dans D.

Pour <j> *= p, on a évidemment — P<!T == 0, d 'où, à partir dedt J

(3«56) et (3. 57), la condition aux limites sur Z

I p V = f q ds (3.58)Jz n Jz m

ou encore Z, pouvant être pris arbitrairement,

p V n = - q m (3.59)

a) qm # 0

Le cas q ^0 correspond, pour une frontière solide, à une paroi

poreuse où par approximation, on considérerait q comme une fonction conti-m

nue, éventuellement par morceaux, sur Z de la position et du temps

(% = VM- c))-© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 3 .34 -

Cela correspond, soit à l ' injection, q > 0, soit à l'absorption,

q < 0, de fluide à travers Z avec une vitesse absolue u telle que

qm = p (W - ï) . n.

Comme par ailleurs q = p (W - u j .n , il vient p v = p V , ce quim n n

implique, pour q > 0, tout phénomène de d i f fus ion étant exclu, la création

dans le f luide d'une surface singulière (surface de contact (p £ p) de

glissement (V ^ V ) ou même d 'onde de choc.

Il n 'est plus dès lors possible de considérer D comme continu etl 'on doit traiter séparément les deux domaines ainsi créés;

Nous supposerons donc, dans tout ce qui suit, que, pour q £ 0,

p = p, d 'où V = V et excluant l'existence de surface glissement V = V .

on est ainsi conduit, si q ^ 0, à supposer la continuité de la vitesse du•x -* m

fluide u = U.

Le même raisonnement s 'applique si Z est une surface de sépara-tion entre deux fluides et l'on doit exclure l'hypothèse q ^ 0 sauf si Z

est une surface d'onde de choc, cas particulier qui sera traité au paragra-phe 3.3.2.

b) qm - 0

Dans cette hypothèse, la condition aux limites est simplement, pn'étant pas nulle,

V = 0 (3.60)n

c'est-à-dire que la composante normale du fluide est égale à la vitesse dela frontière.

Ce cas correspond, soit à une paroi solide êtanchey soit à unesurface de contact entre deux fluides.

Dans le cas où la composante tangentielle de la vitesse est dif-férente dans les deux fluides |V | ^ 0, Z correspond à une surface de glis-sement, ^ '

Comme exemples de telle surface, on peut citer les surfaces li-bres, les surfaces de séparation entre deux liquides non miscibles, lessurfaces de jet, ...

A remarquer que, si f (x^, xp_, x-^, t) = 0 est l'équation de Z,xi, X2, X3 peuvent être prises comme les coordonnées d'un point M astreint


- 3,35 »

à rester sur cette surface. On peut alors considérer f (M(t), t) = 0 commeune fonction de point, dfoù sa dérivée en suivant le mouvement de M.

ôf 9f _,_ :> 1 .— = - + W . grad f

-|| + 5.î'|gîSdf |

et comme

(W - u) . n = V.n = V = 0

cela entraîne

-> * • > - > - >u.n = W.n = Wn

c'est-à-dire

|£ + u . i?ad f - 0 (3.61)d t

d'où la condition aux limites équivalente à (3.60)

'If - 0 (3.62)

A noter enfin que le principe de conservation de la masse ne don-ne aucune relation entre les composantes tangentielles, celles-ci dépendant,pour un problème donné, du type de fluide considéré.

Pour un fluide newtonien, le principe d'adhérence est habituelle-ment retenu, c'est-à-dire que l'on admet que la vitesse tangentielle rela-tive du fluide et la frontière est nulle ((V j = 0).

La condition aux limites globales est alors que la vitesse rela-tive V du fluide par rapport à la frontière est nulle.

Dans un fluide parfait, J V j peut être quelconque.

Cette différence dans lès conditions aux limites se retrouve dansle fait qu'en fluide visqueux le champ des vitesses est défini par un sys-tème d'équations aux dérivées partielles du deuxième ordre (équation deNavier-Stokes) alors que, pour un fluide parfait, ce sont des équations dupremier ordre (équations d'Euler).

•* Conditions aux limites associées à la quantité de mouvement

Par un raisonnement analogue au précédent, on a :


- 3.36 -

— pudi = I fdi + a n ds + I F ds + q û ds (3.63)ôt J D J D J s k J m

où les deux dernières intégrales du second membre représentent les actionsde surface (forces extérieures, débit relatif de quantité de mouvement) dumilieu extérieur en Z .

Par ailleurs, la relation (3 .S7 ), où <f> = p u, conduit à

-r— pudi = ! fdi + a.n ds - pu V dsSt J D J D JS« J E n

d 'où par différence

1 a n ds - I p u Vn ds » qffi u ds + I F ds (3.64)L Z L L

d'où, en tout point de E, compte-tenu du fait que q = - p V e t u = u

S.n = F (3.65)

Cette condition aux limites traduit la continuité des contraintessur Z.

Dans le cas de fluide parfait,

- » • - » •F = ~ p n

Les contraintes pariétales sont donc, ici également, des contrain-tes normales.

- Conditions aux limites associées à la conservation de l'énergie

On a ici pour l'équation de conservation de l'énergie

fe U e +H - (> - - f;^ f;- dr+ | (a nj u ds + Î.W ds + I q ds + qm ê ds (3.66)

L L Lt


- 3.37 -

ainsi que la relation tirée de (1.67) avec $ = e + ~ u2

fe /(•+ î »2) — fe /(e +1 »2) * - (h î u 2 l p vs

d'où par différence, compte-tenu de (3.27) , en tout point de Z

-> -> f 1 o ) , « - > - » • - » • - > " f. l ^ o )F.W + q + qm le + j u2 = (a.n) .u - q.n + p VR ê + ~- û2

Comme

-> = -> -> ^~F = a.n , p V = q et u « u , il vientn m

Ï.V = - (q + q.n) + q (ê - e) (3.67)

Comme e = e (T, p), la continuité de T et p pour le fluide tra-versant Z entraîne ê = e, d'où la condition aux limites

- q.n = F.V + q (3.68)

exprimant que le flux de chaleur reçu par D est égal, d'une part, à lapuissance des forces de contact dues au glissement, d 'autre part, à laquantité de chaleur transmise par conduction à travers E.

Si £ est une paroi adiabatique

- q.n = F.V (3.69)

toute la chaleur dissipée par frottement est reçue par le fluide.

-> ->•Dans le cas inverse d un fluide adiabatique, q.n = 0 et

- q » F.V ( 3 - 7 0 >

c'est le milieu extérieur qui reçoit cette chaleur dissipée par frottement.


- 3.38 -

3.3.2. RELATIONS DE SAUT ATTACHEES AUX LOIS DE CONSERVATION - ONDE DECHOC (1)

Les relations caractéristiques liant les paramètres de part etd'autre d'une surface de discontinuité Z s'obtiennent en considérant leséquations habituelles de conservation pour un domaine D limité par là sur-face S et englobant la partie Z de la surface de discontinuité considérée.

La présence de cette discontinuité ne permet toutefois pasd'appliquer directement à D le théorème de la dérivée particulaire sous saforme habituelle. Nous examinerons donc d'abord, dans le cas général, l'ex-pression de cette dernière pour un domaine contenant une (ou plusieurs)surfaces de discontinuité.

- Dérivée particulaire en présence de discontinuité de vitesse(onde de choc., surface de glissement,, ...)

Nous pouvons appliquer aux domainescontinus Dj et D£ limités par les surfaces maté-rielles S [ et 82 ayant la vitesse u et la surfa-ce de discontinuité E ayant la vitesse w lethéorème général de la dérivée en suivant lemouvement d'un domaine D,

Pour cela, nous conviendrons d'orien-ter E par sa normale N dirigée du milieu 2 versle milieu 1 et de noter |~<f] le saut cj>2 <j>i de cj)à la traversée de E en sens inverse de N.

-»•Par ailleurs, nous noterons n la nor-

male extérieure à la surface limitant un domainedonné : ainsi, pour Di sur la frontière Z,_> 4. > ^ i ?n = - N.

Dans ces conditions, ]e taux de variation d 'une quantité

I = ( j ) f x . , t j en suivant D dans son mouvement (dérivée particulaire)JD ^ x '

s'écrira, en considérant séparément les mouvements propres de DI et D2 oùle champ $ est régulier.

T~ = T~ d T + (j>u nd s - (j> }W . Nd s

'D! 'si 'E

+ |£ di + <f>u nds + I 4> 2 w.Nds (3.71)

^D2 Js2 J E

(1) Pour une information plus complote sur les discontinuités dans lesfluides, le lecteur pourra se référer au fascicule intitulé "Ondes dediscontinuité dans les fluides" (même auteur).


- 3.39 -

c'est-à-dire en posant D = VL + D2 et S = S A + S2,

£ - f |i di + f *u.nds + f Tflw.Sds (3.72)dt ot » u jJ D J S J E

Nous voyons ainsi qu'à la dérivée particulaire d 'un domaine Dsans discontinuité, s 'ajoute une intégrale de saut prise sur la surface dediscontinuité.

Si l 'on pose u = w + v, la relation (3*71) s'écrit :

f i = f - f i d l + [ «s* [ omJdsJD : J S J + E J E

f 3* f -> •»• / " - > - >-^ dt + (j)u.nds - (j)2v2.Nds

^P2 J s 2 +E J E

ou encore,

^ = M|i -H div 4>îjdT - f [cK[.NdS ( 3 . 7 3 )

J D J E

et, en posant v.N = v

f - |[f + * i v * î ) d i - [*vn]ds (3.74)

JD J E "

Les relations (3 .72) et (3.73) représentent le théorème de la dé-rivée particulaire en présence d'une discontinuité et nous voyons qu'à ladérivée particulaire d 'un domaine D sans discontinuité, s'ajoute une inté-grale de saut prise sur la surface de discontinuité»

Remarques

l/ Dans la relation (3 .72) , le terme de saut est indépendant du

champ des vitesses u du fluide. La dérivée —, suivant un mouvement défini

par un champ de vitesse u' quelconque, aura donc même forme :

£r - f £ + f * »'"ds + f &]w-Nds (3.75)Q L dtJ D JS J E

On en déduit alors, par différence de (3.72) et (3 .75) , que larelation classique,


- 3.40(-

dl 61 f +. + .dT = + J^v^nds (3.76)

, . - > - > . -»-,OU U = U + V'

reste valable pour un domaine D comprenant des surfaces de discontinuité.

2/ Dans le cas où l'intégrale est de la forme I = p<|) dT, on a

^ , . D

<j) = p<j), d où :

[ [fi + div *UJdT = f ' fp g + ?;(|£ + div PUJ dT

^Di+D2 <'D1+D2

l-

et la conservation de la masse, qui entraîne que —• + div pu = 0 pour toutot

point intérieur à DI ou D2, permet d'écrire (3.74) sous la forme :

g . f p g d T - f [P^ds (3.77)

•'D J E

- ConseTVat'ion de la masse

Appliquons la relation (3.74) avec (j> = p, il vient :

[ ||£ + div puldT - f fpvlds = 0ldt J L nJ

J D=D 1 +D 2 • £

Comme en tout point intérieur à D x et Do, -— + div pu = 0, 1 ' in-*grale de volume est nulle et on en déduit immédiatement

I [PVn]ds - °J E

d'où I pouvant être pris arbitrairement,

fpvl = 0 (3.38)

c'est-à-dire :

Piv n = P2.vn ou pî = p2V2 (3.39)

V j et V2 représentant respectivement les vitesses relatives de E par rap-port à la vitesse du fluide dans D! ou D2 .

* On peut aussi appliquer directement (3 .77) en posant <j> = 1.


- 3.41 -

Cette relation exprime la conservation du débit massiqueq f=* pv ) à travers £.m l nJ

Dans le cas particulier où q - Q, c'est-à-dire v * 0, on a unem n

surface de contact3 ou de glissement si le saut [v 1 de la composante tan-

gent ielle nfest pas également nulle.

Comme exemple de telles surfaces, on peut citer celles séparantdeux fluides non miscibles ou deux parties d'un même fluide à masses volu-miques différentes, les surfaces (ou lignes) de jet ou de sillage (ces deuxderniers types étant des surfaces de glissement).

- Conservation de la quantité de mouvement

Cette relation s'exprime sous la forme :

-~: f pîdT = f fdi + [ Tds (3.80)dt JD JD Js

Le premier membre s'écrit, compte-tenu de (3.77), avec <j> = u

d f ->•, f d u , f r "** n jdF pudT = p dï dT " [Puvn]ds '' JD JD JE

= p | ^ d T - f Pvn[ulds

J D J E

puisque, d'après l'équation de continuité pv est constant à travers lasurface de choc.

Si l'on remarque que,

Tds = div a djJSi+E JD1

(puisque T = a . n)

Tds = div a diJS2+£ ^D2

d'où, en ajoutant membre à membre :

Tds + f ((Ti(M,-N) + T2(M,+N))ds -' f div a dTJS k h

et, comme en tout point limite M de D! sur E, Ti(M,-N) = -T2(M,-fN), ilvient :


- 3 .42 -

Tds + [î]ds = div a di (3.81)J S J Z J D

La relation (3.80) devient alors,

P Jt dT ~ I pvn[?Jds = I ? ds + I div o ds - fjjds

J D J E J D •'D J E

soit encore :

f p ^t ~ f ~ div nd T = 1 pvn!?]ds " L?Lds (3.82)

' D J E

et, comme en tout point des domaines continus DI et 03,

p ~ - f - div G = 0dt

il vient :

NPVn[uJ - [ f ] J d s = 0

JE

d 'où , en chaque point de Z, puisque le domaine D est arbitraire :

pvn£j . |f] (3.83)

Si pv = 0, Z est une surface de contact ou de glissement, où la

composante tangentielle de la vitesse peut subir un saut quelconque et oùft-o.

- > - > - >Si 1 on pose u = v + w, il vient :

pvnft - HT] (3.84)

~ Conservation de 1 *éneTg-ie

La méthode de calcul est la même que pour la conservation de laquantité de mouvement. On part de la relation :

—• p|e + - u2jdi = fqv + f.îjdT + (T.î - q.n)ds (3.85)

JD JD Js

exprimant la conservation de l'énergie pour le domaine D.


- 3.43 -

Compte-tenu de (3.77), le premier membre s'écrit :

éf>kH<'-['*(' + Hd T - f FhH4sJ D J D J E ' - -i .

Par ailleurs, en suivant un raisonnement identique à celuiconduisant à (3.81), on obtient :

(T.u - q.n)ds + (T.u - q.n)ds = div(a.u - q)di (3.86)JS JZ JD

d'où, en reportant dans (3.85) :

p £(e * \ *2)-(qv+f.u+div(5 î .q ) ) .d t = [pvje + I î2^lu%q.Nlds (3.87)

• D J J Z ."

Or, comme en tout point des domaines continus DI et D2 , on a :

P -jÛ + y u2 * qv + ?.u + div(â.u - q)

il vient :

r f i -? i - > - > - > • ->~i 4pvn le + Y u2 + q.N - T.u ds *» 0

J E

d'où l'on déduit qu'en chaque point de Z on a la relation :

rpvn(e * \ H + ^-^ "" *'"1 * ° (3'88)

Comme u = v + w et que pv - este à travers un choc, cette rela-tion peut s'écrire :

pvnfe + {(? +.w)2} = [- q.$\ + t?.vf + [î.w] = 0

mais, d'après (3.84),

pvn[vj - ad'où finalement la relation :

pvn|e + 2" V | = 1?' ~ 1 * (3.89)


- 3.44 -

- Cas particulier du fluide parfait

C'est, en toute rigueur, le seul type de fluide admissible dansla mesure où les lois de comportement considérées pour les fluides non par-faits lient les contraintes et les flux de chaleur aux gradients de vitesseet de température, ce qui, pour ces fluides, exclut la possibilité de dis-continuité au sens strict du terme.

Par contre, dans le cas particulier des fluides parfaits,

où, q = 0 et T = - pN

les relations de conservation concernant la quantité de mouvement etl'énergie se simplifient de façon appréciable.

• lïte ÈîÉË J ^ Ë É

Comme : T(M,N) = - p(M)N

il vient, d'après (3.84) :

pvn[y] = - fr] N .

On en déduit :

- en projection sur la normale

PVn[Vn] * - H (3'90)

c'est-à-dire

p2vn2 * p 'Vni = P2 - Pl

- en projection sur le plan tangent à Z

kl = 0 (3.91)

soit v = vt x t2

c'est-à-dire qu'à la traversée d'une onde de choc (pv ^ 0) la composantetangentielle de la vitesse relative est conservée.

Remarque : Si pv =0, |_pj = 0, la contrainte de pression se

conserve à travers une surface de contact.


- 3.45 -

» 5^Ë^£ÎË

La relation (3.89) se réduit à :

pVn[e4v2] " (M

* --|K]

• ^ = - HJpVn

c'est-à-dire :

pv Te + ~ vz + ^ = 0 (3.92)n |__ 2 pj

ou encore, en introduisant l'enthalpie totale h correspondant au mouvementrelatif, il vient :

pvn["hti= ° (3-93)

donc, à la traversée d'une onde de choc (pv ^ 0), l'enthalpie totaleP 1 9h = e + x- + ~• v^ se conserve

[h 1 = 0 ou bien h =* h (3.94)LtJ ti t2A noter que, si pv =0, on a une surface de contact ou de glis-

sement et qu'à travers une telle singularité la variation d'enthalpie tota-le peut être quelconque.

- Fluides véels

L'existence de discontinuités n'étant concevable que pour lesfluides parfaits, ce ne sont en toute rigueur que les relations où les ter-mes de frottement ( T . . s 0) et de transfert thermique (q. = 0 ) ont été né-

gligés qui sont à considérer.

Toutefois, dans le cas des fluides réels où la surface de dis-continuité Z est remplacée par une zone de transition de dimension finie(voir figures ci-après), "l'épaisseur" 6 de cette zone est souvent si^ffi-samment faible pour que les relations obtenues dans l'hypothèse d'une dis-continuité restent valables, cela étant tout particulièrement vrai pour lesondes de choc.


Dans ce cas en effet, on peut considérer, dans les équations de

conservation, cj)v ds comme la différence des flux <j> aux frontières E^ etJ E n

E2 de la zone de choc dont la dimension transversale ô peut être prise éga-le à celle que l'on définit habituellement comme "l'épaisseur" de l'onde dechoc, c'est-à-dire de l 'ordre de quelques libres parcours moléculaires

moyens. Cette différence tend vers j ( f>v j d s lorsque 6 -> 0.

Par ailleurs, en deux points pris l 'un sur E I et l 'autre sur E 2 ,mais situés sur une même normale, à E j par exemple, les gradients de vites-se et de température, même s'ils sont différents, sont suffisamment faiblespour que la différence des termes de. frottement et de transfert thermiquequi leur correspond soit négligeable, si bien que là encore on peut utili-ser les relations des fluides parfaits. L'expérience confirme bien ceshypothèses.


CHAPITRE 4

FORMES PARTICULIERES ET APPLICATIONS DES EQUATIONS

DE BASE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES

Nous considérons, dans ce chapitre, les relations usuelles de laMécanique des Fluides obtenues en introduisant, dans les expressions tra-duisant la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie, lesrelations de comportement des fluides newtoniens et des fluides parfaits.

Les relations ainsi obtenues nous conduiront aux formes habituel-les des équations de là dynamique des fluides - équations d'EULER et deNAVIER-STOKES - et, par intégration, aux relations de BERNOULLI, SAINT-VENANT, ... qui permettent de traiter simplement un nombre important desproblèmes usuels de la pratique industrielle courante.

Il en sera de même pour la relation exprimant la conservation del'énergie, relation dont la forme dépend des variables thermodynamiquesutilisées et aussi des hypothèses simplificatrices qui peuvent être faites(écoulements isotherme, adiabatique, isentropique, etc.).


- 4.2 -

4,1 , RELATIONS LIEES AU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA

QUANTITE DE MOUVEMENT

4 . 1 . 1 FLUIDES NEWTONlENS

4 . 1 . 1 . 1 Relaîon^_genérales

Si l 'on introduit la pression p et le tenseur T des contraintesvisqueuses de composantes T . , , la relation 3.17 devient

dui 8 9 T i 'P c f t i 3 x . 3 x .

soit sous forme vectorielle

->

P ÏÏt" * " grac* p * div " (*•! >

Cette relation montre que, par unité de volume, la quantitéd'accélération d'une particule fluide est égale à la résultante des forces de :

- volume (ou de champ) : f

- pression : - grad p

- viscosité : div T traduisant le "frottement fluide".

- f'-rme ïntrïnsèque

Si la position de la particule fluide est repérée par son abscis-se curviligne s(t) le long de sa trajectoire T sur laquelle une orientation

a été choisie, on a u = ut, avec u = — et t tangente orientée de T. Comme"*"/ \ -> d tp- = , la relation (4.1) s'écrit :ds R

p du * + pu2 | . J _ J p + djy - (4.2)Q t K


- 4,3 -

d'où, en projection sur la tangente t, la normale n et la binormale b à latrajectoire (triëdre de Serret Frenet), les trois relations scalaires,

>!r*-!i=ft-!f^ft

'ÎT-*n~ï**fn

° = fb-t + \

La projection suivant n, 2ième relation » met en évidence la rela-tion entre la composante normale des forces extérieures et de frottement, legradient de pression dans cette direction et la "force" centrifuge (accélé-ration normale) liée au rayon de courbure R de la trajectoire.

4.1.1.2. Statique des_fluides

Si le fluide est en équilibre, c'est-à-dire au repos (u = 0) parrapport à un repère donné, les contraintes d'origine visqueuse s'annulant

avec la vitesse, 1 = 0, on obtient la relation fondamentale de la statiquedes fluides

f - grad P (4.3)

traduisant le fait que :

Dana un fluide newtonien en équilibre, les forces volumiques déri-vent d'un potentiel*

proposition qui est évidemment vraie, a fortiori, pour un fluide parfait.

Le fait que, pour qu'il y ait équilibre les forces de volumedoivent dériver d'un potentiel, c'est à dire,

-> -* \f « - grad V

conduit à la relation de base :

p + V - constante (4.4)

traduisant le fait que, dans un fluide en équilibre, les surfaces isobares(p = este) sont des surfaces équipotentielles (v = este).


- 4.4 -

A ~ S^ât^gue_d^s_fJ_u|des_|ncomQressjbj_es_ou_hYdrostat]_gue

- dans le champ de pesanteur

Prenons un système d'axes Oxyz, oùz est dirigé suivant la verticale ascendante

f = pg et V = pgz

d'où la relation fondamentale

p + pgz = este

On en déduit que :

. les surfaces isobares sont desplans horizontaux,

. la surface libre des liquides est une surface horizontale(pression atmosphérique = este), d'où le principe des vases communicants,

. la différence des pressions entre deux points A et B d'un li-quide rie dépend que de la différence de leur cqte z - z

PA + pg ZA = PB * pg ZB

d'où PA - PB = Ps (ZB - ZA)

d'où le principe de Pascal selon lequel les pressions se transmettent inté-gralement (si + Ap en un point, + Ap en tout pcjint du fluide) - expériencedu tonneau de Pascal.

Applications pratiques :

. presse hydraulique, balance manométrique, ...

. manomètre différentiel à tube en U.

~ dans un champ de force quelconque (mais dérivant d'un potentiel)

On a, dans ce cas, en admettant que les forces de pesanteur sont

toujours présentes, ï = pg + f, où ?' représente les autres forces volumi-ques appliquées.

On en déduit

pg + f' = grad p

d'où f' = grad (p + Pgz)


- 4.5 -

*ou encore en posant p = p + pgz

f' = grad p

Les forces f peuvent être d'origine électrique, magnétique(exemple i pompe magnétique, balance de Cotton), mais, le plus souvent, cesont des "forces" d'inertie qui apparaissent lorsque l'on exprime l'équili-bre dans un repère en mouvement non uniforme par rapport à un repère fixe(repère galiléen).

•*• ^Le plus souvent les forces ff dérivent d'un potentiel V et l'on

a une relation analogue à (4.8),

* ^p + 7* = constante

Exemples :

->• , •*•• ->•*• Récipient soumis à une accélération ye constante suivant Ox : f = - pye

(force d'inertie d'entraînement) et 7' = p'jyjx.

- Vase en rotation uniforme : ?' = pw2r (force centrifuge) et V' *~ P 2y

B ~ §ÎËÎl9y®-^êË l'yides_compressib!es

La relation fondamentale P +V = este s'applique toujpurs, mais,du fait de la variation de p avec, notamment, la pression, l'expression dupotentiel est en général plus complexe et l'on doit souvent revenir à laforme différentielle :

dp + dV = 0

où dV peut être exprimé en fonction du travail des forces extérieures pourun déplacement dM, sous la forme :

dv « - î.dM .

a) Cas des forces de pesanteur

Dans le cas particulier où les forces de volume sont les forcesde pesanteur, on a :

? - Pg ,

d'où dV * pgdz ,

ce qui conduit à la relation différentielle :

dp + pgdz = 0 .


- 4.6 -

II en résulte qu'à l'équilibre, la masse volumique et la pressionne peuvent être fonction que de l'altitude z. En effet si z = este, p = ested'où p = p(z) et comme dp/dz = pg, p « p(z).

Par ailleurs comme p= p(p,T) cela entraîne également T = T(z).

Exemple :

Pour l'atmosphère on peut admettre que jusqu'à environ unedizaine de km,

T = T0 - kz

où k est le module du gradient thermique ( y 6,5.10 K/m) supposé constantet TQ la température au niveau de la mer (z=0).

Avec ces hypothèses et en supposant que l'air se comporte commeun gaz parfait (p= prT), il vient après intégration :

* - ( . - | P )g/krPO T0

II est évident que cette relation n'est pas valable pour toutel'atmosphère puisqu'elle conduirait à p = 0 pour z = T0/k 45 km.

Une solution analogue peut être obtenue dans le cas de licmides.Toutefois, pour ces milieux, on introduit le plus souvent un coefficient decompressibilité x te^ clue dp/p = x^P- X dépend de T et de p et de la naturede la transformation (isotherme, adiabatique, ...). Pour l'eau, à températu-re et pression ordinaires, x 0,46,10~9 Pa"1 .et, comme le rapport des cha-leurs spécifiques y est Peu différent de l'unité, cette valeur de x peutêtre utilisé aussi bien pour les transformations isothermes qu'isentropiques.

b) Cas général .

Les résultats ci-dessus s'étendent sans problème à un champ deforces quelconques, mais dérivant d'un potentiel.

Comme on a alors :

dp + dV = 0 ,

l'équilibre implique que p ne soit ici également fonction que de la posi-tion du point considéré.

A titre d'exemple, si l'on considère les champs de "forcesd'inertie", on a :

. "force" centrifuge : dV = - po)2rdr

. "force" d'accélération d'entraînement dans la direction Ox :'X/

dV = PYxdx ( y composante de l'accélération suivant Ox)

Là également, p, de même que T, puisque p (p ,T) ne doivent êtrefonction respectivement que de r ou de x.


-r 4.7 -

C - Force de pression sur une paroi

La force sur un élément de surfa^-ce ds est de la forme

dF = p n ds

n étant la normale extérieure au domainefluide en contact avec la paroi. Dans le casgénéral, le système de force qui s'exercesur un élériient fini de surface S comprendune force résultante et un moment résultant,obtenus par intégration sur S.

Dans le cas particulier où l'on nes'intéresse qu'à la poussée dans une direc"-tion donnée, définie par le vecteur unitaire £, on a pour la composante dela force de poussée dans cette direction

F£ = J p n.î ds = f p ds£ (4.5)S S£

où ds représente la projection de ds sur un plan normal à £. On est ainsi

ramène au cas de la poussée sur une paroi plane.

Dans ce cas particulier de la paroi plane, le système de forcesest un ensemble de forces parallèles réductibles à une force unique appli-quée en un point particulier de l'a surface appelée centre de poussée.

Exemple :

La relation 4.5 peut être utilisée pourcalculer simplement la contrainte principale àlaquelle est soumise la paroi d'une conduite sousl'effet d'une différence de pression p entrel'intérieur et l'extérieur.

Si D est le diamètre, l'effort qui tendà séparer les surfaces Si et S2 est, par unité delongueur, égal à pD, d'où, dans les deux sectionsA et A', une contrainte normale a telle que,

pD°n = fe

en supposant l'épaisseur e de la conduite suffisam-ment faible pour que la contrainte y soit uniforme


- 4.8 -

4.1.1.3. Equations__deJAVÊR^STOKjSS,

Dans l'hypothèse d'un fluide newtonien,.hypothèse correspondantau comportement de la plupart des liquides et gaz usuels, nous avons :

T:. . = A (e. . ) Ô. . + 2y e. .ij l W- ij M ij

expression traduisant la relation linéaire existant entre le tenseur des

contraintes visqueuses T et celui des taux de déformation e.

; f3u. 3u.1 " ': Comme e^. - — —i + —-J- , la relation (4.1) conduit aux équations

! Xj \de Navier Stokes

du. 3u. . 8u. 3u.n —i- - f - lE- 4- -1- A k + -A...,. -~JL + 1 ,, ^sP dt " *i 3x. 3x. A 3T" + 3x. P 3x. 3x. (4'6)i i k j j i

Si, ce qui est souvent le cas, X et y peuvent être considéréscomme des constantes, cette expression se réduit à :

dui f 8p 9" Ui n . 3 3ukp dT = f i - 377 + y 377T7: + (x + u) BxT 3x7 (4.7)

i j j , i k

ce qui conduit à la forme vectorielle classique de l'équation de NavierStokes

p - f _ grad p + j j A u + ( A + y) grad div u (4.8)

X peut être éliminée si l'on fait l'hypothèse de Stokes 3X + 2y = 0, hypo-thèse qui n'est cependant valable, en toute rigueur, que pour les gaz mono-atomiques ou lorsque les degrés de liberté interne de la molécule (rotation,vibration) ne sont- pas excités; en principe donc seulement à T - 0.

Cette hypothèse se rattache au coefficient dit de viscosité volu-

nn-que (ou de dilatation) y' = X + ~ y qui apparaît quand on décompose le

tenseur des contraintes en partie sphérique et dëviateur (voir page 4.32)

Enfin, si le fluide est incompressible (div u = 0), on obtient larelation de Navier

du ~ ——~~~> ->P — = f - grad p + y A u (4.9)


- 4.9 -

Dans le cas d'écoulement permanent de fluide très visqueux, ce quicorrespond à de très faibles nombre de REYNOLDS , les fermes d'inertiepeuvent être négligés et la relation de NAVIER se réduit, dans le cas desforces de pesanteur, à la relation de REYNOLDS,

grad p = yAu (4.10)

*où p * p + pgz.

Aggjicatiôns

Associée à l'équation de continuité et éventuellement si lesphénomènes thermiques ne sont pas négligeables, à l'équation de conservationde l'énergie, la relation de NAVIER-STOKES conduit à un systerne d'équationsaux dérivées partielles qui, jusqu'ici n' a pu être résolu, même numériquement,que pour les faibles valeurs du nombre dé REYNÔLDSf c'est à dire en écoule-ment laminaire ou très faiblement turbulent.

Analytiquement la solution nfa été obtenue que dans le cas degéométrie simple et essentiellement en écoulement laminaire de fluideincompressible.

Nous en donnons ci-dessous un exemple concernant 1 'écoulementlaminaire permanent d'un fluide incompressible en conduite cylindriquecirculaire dans le champ de pesanteur.

Nous considérerons un tronçon de conduite, suffisamment loin del'entrée de celle-ci pour que l'écoulement puisse être considéré comme en-tièrement établi.

Dans ce cas, la vitesse n'a qu'une composante axiale u et l'équa-

tion de continuité nous montre que — * 0, donc u ne dépend que de r enoX

raison de la symétrie de l'écoulement. On en déduit également que l'écoule-->

ment est uniforme -t— * 0. L'équation (4.9) se réduit alors à

—•—* * -> *grad p » u Au ou p - p + pgz

II est évidemment intéressant de considérer un système de coor-données cylindriques avec Ox dirigé selon l'axe du tube et r suivant lerayon.

La relation ci-dessus conduit alors à :

£•«II s'agit d'un nombre sans dimension Re = — où D est une dimension carac-

téristique qui traduit l'influence relative Vdes "forces" d'inertie parrapport à celles d'origine visqueuses.


- 4.10 -

la vitesse n'ayant de composante que selon Ox, ce qui entraîne p = estedans une section (on retrouve la répartition hydrostatique déjà observéelorsque la courbure des filets fluides est nulle) et

3p* A 1 3 f 3u) 32u 1 32u— = y Au = - — ^r —j + r + y

en écrivant le laplacien en coordonnées cylindriques, mais, comme — = 0 et<3X

que l'écoulement est à symétrie de révolution

3p* 1 9 f 3ulT = 7ïr- [r 37J P

Or p n'est fonction que de x h~— et r~- = 0 et u n'est fonc-( dr du I

(•\ v. /

— = 0 , doncdx J

* #3p dp__£_ = __£!_ = A = constante3x dx

On en déduit p = Ax + pg, ce qui montre que la chute (nous ver-

rons que A < 0) de la pression motrice p* est une fonction linéaire del'abscisse.

2En notant H = ^ - + l r + z l a quantité que l'on appelle la charge et

2g a)ôô = pg le poids volumique, il vient,

1 dp dH A . o _ // i i \~ -r*— = -r— = — puisque u^ = constante (4.11)a) dx dx u) F M

AAinsi, — représente la perte de charge par unité de longueur,

perte de charge qui est la même quel que soit le filet fluide considéré,c'est donc aussi la perte de charge moyenne par unité de longueur.

- Calcul de A3 rêpartït'ion des .vitesses

d f du] _ Ad7 [r d?J " 17 r

d'où en intégrant

u = ~~~ + B log r + C

B et C étant deux constantes d'intégration.


- 4.11 -

Comme u reste fini si r -> 0 B = 0et comme u = 0 s i r = a ,rayon de la conduite, il vient en notant u la vitesse sur l'axeJ max

u „ A (r2 _ 2) ou u » u [, « ij (4,12)4y max [ a*)

relation qui montre qu'en écoulement, laminaire la répartition des vitessesest parabolique.

Nous voyons aussi que, Ox étant pris dans le sens de l'écoule-

ment, u > 0, donc A < 0 et -=— < 0 et l'on a bien une perte, c'est-à-dire

une diminution de charge lorsque l'on se déplace vers l'aval.

- Formule de Poiseuille3 coefficient de perte de charge

Le débit dans la conduite est

Q-/g«-.-^JoV-.*>2«,.r--^

Si l'on pose

AP*- Pi - P2 A£ = X2 - Xi

A.-IE! et Q=^f£ (4.13)

c'est la formule de Poiseuille exprimant le débit en fonction de la diffé-rence de pression motrice entre deux sections de conduite distantes de A£.

Si l'on introduit le nombre de Reynolds R = — où D est le dia-y e v

mètre de la conduite et U la vitesse moyenne £, alors il vient

Ap* 64_ I £iA£ ^ R * 2 P D

qui, comparé à la relation générale des pertes de charge

Ap* . 1 U2 AH . U2 1_ . A . _ p _ ou .. . A . _ . .

montre que A - — • (A.l )Re

en écoulement laminaire. \ est ce que l'on appelle le coefficient de pertede charge.


- 4.12 -

4.1.2. FLUIDE PARFAIT

4.1.2. 1. EguationÊULER

Si le fluide est parfait T = 0 et la relation (4.2) se réduit àl'équation classique d'Euler,

p ~~ = f - ?ad p (4.15)

Dans ce cas, p est, pour chaque particule fluide, une fonction dep seulement. En effet, si l'on introduit l'entropie s comme troisième va-riable thermodynamique, on a p = p(p,s). Or, comme nous le verrons au para-

graphe 4.2.2 (relation 4.51), _£ estj en l'absence de tout échange thermique,

nulle pour un fluide parfait . s est donc une constante, d'où, d'une maniè-re générale p = p(p,K) où K est une constante dépendant de la particulefluide considérée.

Si la constante K est la même pour toutes les particules fluides,le fluide apparaît alors comme barotrope.

- Potentiel des accélévatïons

. Si p = p(p,K)

. Si les forces massiques dérivent d'un potentiel

(f - - p grad F), la relation 4.15 s'écrit en posant P = —7~i~ 7\"J p (.p,K)

*•»-~r = - "i?Scl (V + P) (4.16Ï

Dans le cas où le fluide est barotrope, la relation 4.16 définitun potentiel des accélérations (V + P) .

Le mouvement d'une particule fluide s'identifie alors à celuid'un point matériel de masse uni ce dans un champ de force défini par le po-tentiel V + P.

Physiquement, cela s'explique aisément, car, si le fluide est parfait, lescoefficients A, y sont nuls, ce qui implique au niveau moléculaire l'absenced'échange de quantité de mouvement, donc d'énergie cinétique et donc de toutphénomène dissipatif.


- 4.13 -

4.1.2.2. Eçiuation_deJB^Ôl^LLI

Dans tout ce paragraphe, nous supposerons que les forces massi-ques dérivent d'un potentiel 7, c'est-à-dire que

_>. ——>.f = -pgrad V

a. Equation de Bevnoul'li le long d'une ligne de couvant

1. ôêi^n^pje^manent^ où p = p (p,K)

Trajectoires et lignes de courant sont confondues et K ne peutdépendre, éventuellement, que de la ligne de courant considérée.

Multiplions scalairement l'équation 4,16 par dM - u dt représen-tant le déplacement de la. particule pendant le temps dt (dM est un élémentd'arc de la trajectoire ou de la ligne de courant).

Comme

é'î*<--4.et que

?aî (F + P) . dM * d (V + P) puisque |£ = 0 et | = 0,o t a t

il vient

d |u| + p + yj m Q

relation exprimant que

u2_ + p + y * constante (4.17)

le long d'une ligne de couvant*

La constante d'intégration du second membre, de même que celleimplicitement contenue dans l'expression de P, dépend, en général, de laligne de courant considérée.

La relation 4.17 traduit pour une particule fluide de masse uni-té, en l'absence de tout phénomène dissipatif (viscosité) ou thermique(échange de chaleur), la conservation de son énergie (cinétique + poten-tielle (forces de pression et forces massiques}).


- 4.14 -

Dans le cas particulier où les forces de volume sont celles dela pesanteur et où l'on note z la cote d'un point M de la ligne de courantconsidérée.

On a V = gz et en explicitant P

u2 fdp_ + _Ji + gz = constante (4.13)

Si le fluide est inc ompr e s s ibj-e (p = este) , on obtient la formuleclassique de Bernoulli

~- + £ + gz = G (4.19)

où chaque terme représente une énergie par unité de masse.

Si l'on multiplie cette relation par p, on obtient

p ~~ + p + pgz = C' (4.20)

Dans ce cas, tous les termes sont homogènes à une pression et re-présentent une énergie par unité de volume ; on appelle

p + pgz la pression motrice (notée habituellement p )

p + y i u2 la pression d'arrêt (en fluide incompressible)

y p u2 la pression dynamique.

Quant à la constante C', on l'appelle parfois pression totale P .

Si l'on divise la relation 4.20 par le poids volumique w = pg,il vient

^ + £ + z = H (4.21)2g »

Ici, tous les termes sont homogènes à une longueur et représen-tent une énergie par unité de poids ; on appelle

H la charge hydraulique (ou simplement charge)

— + z la hauteur piézométrique.03

On en déduit la représentation graphique ci-après :


i i gne de charge

; i mi e p i ë z o me t r i q ue

Ligne de courant

P Lan de r é f ë r e n c e

- Ecoulement par un op-if-Joe - formule de Torr-icellï'

Considérons le réservoir ci-contremuni d'un orifice de faible dimension, on veutcalculer la vitesse du fluide dans le jet pouren déduire le débit.

Si la différence de cote fz - z )( A BJ

est peu importante, les vitesses sont faibleset les effets de la viscosité négligeables.

Appliquons la relation de Bernoulli.entre un point A et un point B dans la partiedu jet où les filets fluides sont sensiblementparallèles.

Nous aurons :

ul A PA ul PB

2i + ~ffl + ZA = 2i * ~Z + ZB

Or, u A = 0

p. = pR ~ pa pression atmosphérique

On peut considérer en effet que p est aussi égale à la pression

atmosphérique, car, si l'on observe le jet, on constate qu'il présente à lasortie du réservoir une certaine contraction due au rayon de courbure né-cessairement fini des filets fluides périphériques, mais que, un peu plusen aval, on a une section où les filets fluides sont sensiblement rectili-gnes et parallèles.


- 4.16 -

Dès lors, si nous prenons le point B dans cette section, nous au-rons à partir de la relation (4.5 )

P.*'9 -| + 2R URo) B __ B

~~ 3îï ~ gï .

mais R °° et z varient peu dans le jet, donc, dans une section normale du

jet, la pression pR peut être considérée comme sensiblement constante et

égale à la pression atmospéhrique.

Dans ces conditions,

• •!§w -A(i) 0)

UBet finalement on a : -r— = ZA - z = Az

2g A B

d'où la formule de Torricelli

UB = /2 Al

Nota

Le rapport entre la section du jet dans sapartie rectiligne et la section de sortie est ce quel'on appelle le coefficient de contraction C , il va-

rie entre une valeur de 0,5 pour un orifice rentrant(ajutage à la Borda) à une valeur voisine de 0,99pour un orifice bien profilé (tuyère).

Dans le cas ci-dessus d'un orifice circu-laire en mince paroi, on a C ^0,6.r c

Connaissant le coefficient de contraction,on peut calculer le débit volumique à partir de larelation

q = C .C /2g Az.sv c v

où s est la section de l'orifice et C un coeffi-v J J

dent de vitesse introduit pour tenir compte du faitque la vitesse moyenne n'est pas strictement /2~g~Kzen raison du gradient de vitesse dans le jet résul-tant, entre autre, des effets de la viscosité.

Le produit C = C . C est appeléF q c v Hf

coefficient de débit.

D'autres applications simples de l'équation de Bernoulli en flui-de parfait incompressible seront vues en exercice (tube de Pitot, Venturi,déversoir, .,.).


- 4.17 -

- Relation de Saint Venant

Comme on l'a vu, l'absence de frottement et d'échange thermiqueconduit, pour l'écoulement continu et permanent d'un fluide compressible,à un écoulement isentropique. Si l'on suppose de plus que le fluide est ungaz parfait la relation classique p/pY == este, permet d'expliciter, dans larelation (4.17), p en fonction de p et, par suite, d'intégrer cette relationle long de la ligne de courant considérée (K - este). On obtient ainsi larelation classique de SAINT-VENANT :

—- + -~ T7£ + V = este (4.23)

Dans le cas des gaz, les forces de volume (pesanteur) que définitle potentiel V sont habituellement négligeables et la relation ci-dessus seréduit à ses deux premiers termes.

- Influence de la oompressibi-l'ité du fluide sur la pression d'arrêt

Le fait de négliger la compressibilite du fluide introduit,au niveaude la relation de BERNOULLIûne erreur dont on peut évaluer l'importance àpartir du calcul de la pression d'arrêt au nez Ad'un obstacle placé dans un écoulement uniformeà l'infini amont.

En notant UQ, PQ, PQ les valeurs dela vitesse, pression et masse volumique à l'in-fini amont et n A, p. les pression et masse volu-A Amique au nez A de l'obstacle où la vitesse estnulle, il vient, en appliquant la relation ci-dessus entre un point situé loin en amont et lepoint A :

!! + Y s Y !A2 Y - 1 PO Y ~ l p A

ce qui s'écrit encore :

u§ Y !VA PO ]POT = TpoF"A"1l

Comme, par ailleurs :

PO [PO

"À= (\il vient i Y_ j

U0 PA Y

">T-FÏT>o


- 4.18 -

PAet en résolvant par rapport à —

P0

y

ZA= ( , + I _L !IH!| 7 7PO ( Y po 2 J

d'où,

r Y ^" A - P O - Vf i + X-^L£n4l Y ~ ' - i •

; ! L Y PO 2 J

Posant Ap - p - p et développant en série 1'expresssion ci-dessus

en fonction de — °- —&. il vient,

un f 1 PO U0 2 - Y f P u2 I2

Ap = p _! , ! + _L _-_ + ^ 1 PÛ.-Û. + ....0 2 2Y P0 2 6Y ['PO 2 J

En notant, pour l'écoulement à l'infini amont, la vitesse duson ag (aQ = YPo/Pg)

et e nombre de Mach (M = uQ/a0) l'expression ci-dessus

de la pression d'arrêt relative peut s'écrire,

A P - P O $ [ 1 +^M2 + _Y,M, + ...1

Z ( ^ 24 J

Cette expression montre que,

- lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la valeur relativede la pression d'arrêt tend vers celle obtenue en supposant le fluideincompressible,

- pour un nombre de Mach de l'ordre de 0,2, ce qui corresond pourl'air, dans les conditions normales de pression et de température à une vitessed'environ 70 m/sec, l'écart, par rapport au cas du fluide incompressible, nedépasse pas 1 % .

Ces résultats justifient qu en aérodynamique classique, auxvitesses inférieures à 100 m/sec, la compressibilitê de l'air puisse êtrenégligée.


- 4.19 -

2. ° e] n|t<_

n£n P£rJ n££î.t_É,l2i2. ilui .e bar£trope p * p(p)

Ici, nous supposerons que la constante K est la même pour toutesles particules fluides.

f->

— . ds prise à un instant t

donné le long d'un arc quelconque de ligne de courant.

L'équation 4.16 s'écrit en utilisant pour exprimer la dérivée

particulaire de u la forme déjà notée en 3.20.

f£ + rot u A u - - grad [4 + P + V\ (4.24)dt ( /. )

Or, en chaque point de la ligne de courant, on a :

gracf H~ + p + V\. ds - d \~ + P + V\ , puisque t est fixe7,

et aussi

(rot u A u}. ds = 0, puisque u est colinéaire à ds.

Dans ces conditions, en intégrant 4.24 le long d'un arc s de li-gne de courant, il vient :

| |£.ds + H- + p + y = constante (4.25)jât i.

La constante dépendant ici

- de 1*instant t considéré

- de la ligne de courant choisie.

Dans le cas particulier où le champ des vitesses est à directionpermanente, lignes de courant et trajectoires sont fixes et confondues. Si,

de plus, le fluide est incompressible, — est, à un instant donné, constantd t

tout au long d'une même ligne de courant.

Dans ce cas, 4.25 se réduit à :

t ^ s + ^ 4 + p + 7 = este (4.26)d t t.

s représentant ici l'abscisse curviligne d'un point quelconque de la lignede courant considérée.


- 4.20 -

A, noter que, sil'écoulement est permanent on retrouve à partir de

4.26 la relation 4,17 pour le cas particulier où le fluide est barotrope.

~ Etablissement de 1 'écou'l&nent dans un tube

Considérons l'installation représen-tée ci-contre pour laquelle on souhaite déter-miner l'évolution de la vitesse du liquidedans le tube lorsque, à t = 0, son extrémité B,préalablement obturée, est brusquement mise encommunication avec l'atmosphère. La section dutube est supposée constante et l'écoulementpeut être considéré comme étant à directionpermanente. Si l'on néglige les effets de la viscosité, on peut également ad-mettre une répartition uniforme des vitesses dans une section droite du tube.

La relation 4.26 avec V- gz et ?=— peut alors s'écrire,P

-~- . — + H = este , en posant M = ~- + ±- + zdt g F 2g u)

En appliquant cette relation entre les sections A et B avec, commeorigine des cotes, l'axe de la conduite, il vient :

paen A où s = 0, H. = ~ - + Az s car la charge a ici la même valeur qu'à la

w surface libre,

p oa u

en B où s = L, H_. ~ — + -77-, puisque z = 0D 03 Zg

ji - du n PH A du L L. ?a -L u2d'où : -3— . 0 + — + Az = -7- . — + — + - —dt 03 dt g ro 2g

du L u2ou encore -r- . — = Az - TT~

dt g 2g

soit en séparant les variables

dt = —-^ du.gAz - j-

et finalement après intégration

L T /2g Az + ut ~ LH P __ + cste

/2g Az /2~g Az — u

à t = 0, u = 0, d'où este = 0.

Si l'on introduit la vitesse u = /2g Az du régime permanent qui,

comme on le voit, ne peut théoriquement être atteinte qu'au bout d'un temps

infini, il vient,


- 4.21 -

1 + _£

s — Ln —u , um i - -—

um

u correspondant à la vitesse maximale

pour — = 0,99, il vient t = -~ . Ln 1 99 = -^5,293rn m m

avec L = 2 m et Az = 1 m, on a t - 2,39 sec.

b» Equation de Bemoulli pour un écoulement irrotationnelpermanent

Dans ce cas, l'équation générale 4,15 s'écrit

» _^ f U2)grad p = - p grad \V + —

puisque rot u = 0 et que

f = - p grad V

d'où, U&l que soit le déplacement dM envisagé a partir d'un point Mquelconque du fluide,

fe - - d fïïî + 7Îp [ 2 J

Le fluide est donc toujours barotrope (K constante dans tout

l'écoulement) et l'on a en intégrant

u2 fdp_ + J-- + F= constante (4>27)

mais ici la constante est la même en tout point de l'écoulement.

Comme p = p(p,s), on peut en déduire que les écoulements irrotationnels defluide parfait sont à entropie constante partout, on dit parfois homentwpique.


- 4.22 -

4.1.3. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE EN FLUIDE NEWTONIEN

4.1.3.1. Pour_unej3articule_fluide

Remarquons d'abord que, intégrée dans le cas de fluide parfait,la relation 3.22, expression générale du théorème de l'énergie cinétique,conduit simplement aux relations de Bernoulli ci-dessus.

Dans le cas des fluides visqueux, il n'est pas possible d'inté-grer séparément cette équation, sauf si l'on admet que le fluide est in-compressible, l'hypothèse plus large d'un fluide barotrope ne peut être iciadmise, car, dans le cas d'un fluide non parfait, l'entropie s n'est pasconstante (relation ci-après).

Considérons donc ce cas particulier où p = constante et admettonsde plus que :

- l'écoulement est permanent,

- les forces massiques dérivent d'un potentiel.

3.22 peut alors s'écrire :

dl« Z'-- l(, + £)- p] . dfi

où dM (= u dt) représente le déplacement de la particule fluide considéréependant le temps dt.

Si l'on pose div T.dM = pd*£ , on a comme précédemment :

d(lu2+£+,)=d€f

et en intégrant entre deux points A et B de la trajectoire

î u 2 + p + FB ' l u 2 + p + y

A= € f <4.28>

exprimant que la différence d'énergie de la particule fluide de masse unitéentre les points A et B est égale au travail f des forces de viscosité en-tre ces deux points, travail qui, ici, dépend de la trajectoire considérée,f est une quantité toujours négative.


- 4.23 -

Si l'on divise cette relation par g, on a :

HB " HA m ~i (4.29)

ff— est alors ce que l'on appelle la perte de charge pour la particule flui-

de entre A et B.(H < H car € < 0).

4.1.3.2. 'Pour un jiomaineÎX,^j5^tj.on_de__Bernoul 1 i_gëneralisée

Considérons la relation 3.23 du théorème de l'énergie cinétiquepour un domaine fini

H I 1 0 î -> > - ->— ~ p u2 dT = (f - grad p + div T) . u diQC JD JD

Si nous supposons que les forces extérieures massiques dériventd'un potentiel V indépendant du temps, nous aurons

-*• -> —-*t _. -> àVf.u = - p grad F.u = - p —

D'autre part, comme u , grad p =* div p u - p div u et que

\ >%«••&[•*•il vient

•jT- -r- p u2 -fPF dT = p div udi - div pu di + I div T . udidt J D l 2 ; J D J D J D

ou encore en utilisant 2 . 1 1

f -3 j P (u2 + F) , , ^ _^ f— ^r— di + h~ Pu2 + p + p7 u,n ds - p div udi = Wc (4.30)

J D 3t J s [2 J J D f

C'est le théorème de Bernoull'i généralisé où le terme de secondmembre représente la puissance dissipée au sein du fluide par les forces deviscosité.

/ " . + -»•W.. = div T . u dT^ D

On ajoute parfois au second membre un deuxième terme f/ symboli-

sant la puissance mécanique qui pourrait être apportée à l 'intérieur de Dpar une source quelconque (moteur, ...).


- 4 .24 -

Dans l'hypothèse où :

- le fluide est incompressible (div u = 0)

- le mouvement est permanent l-r^- E 0ldt J

- le potentiel V est celui des forces de pesanteur (7 = gz).

La relation 4,30 se réduit a/

/s(lTi+Z] S 'SdS -fVf + S/m)/Pg < 4 ' 3 1 >

2ou encore en introduisant la charge H = — + ~~ + z

H.u.n. ' ds =\Wf + W /pg (4,32)J s l f mJ

- Cas particulier des écoulements en conduite .à parois fixes

->Dans ce cas, comme u = 0 sur les parois latérales, on a simple- ^

ment en notant S A et ST,, deux sections de conduite (S_, à l 'aval de S.) et nA B B A

orienté dans le sens de l 'écoulement).

H u.n ds - I H u.n ds =\W + W /Pg (4.33)J e J e l t mJSB SA

Si l'on introduit la charge moyenne H de la section définie par

H [ u.n ds = [ H u«n ds•»S ^S

/ " - * - > . . -il vient en remarquant que u.n ds représente le débit volumique q .

•'S V

ff.f + Wm - pg qv [fi, - HA) (4.34)

relation très importante en hydraulique, exprimant qu'entre deux sectionsA et B de conduite, la puissance, échangée entre le fluide et l'extérieurest directement proportionnelle au produit du débit pondéral Pgq par làdifférence de charge moyenne entre ces sections. V


- 4.25 -

- Représentation graphique

Si la conduite est sensiblement rectiligné et de section lentementvariable alors la relation 4.2, en projection suivant la normale, s'écrit enécoulement permanent de fluide isochore dans le champ de pesanteur.

9 £ + z...u - n

8n °

les forces normales de viscosité étantnégligeables.

En intégrant dans une direc-tion normale à l'écoulement

p—• + z - esteU)

Autrement dit, la hauteurpiézométrique est constante dans unesection normale à l'écoulement. Donc,si le fluide qui circule dans laconduite est un liquide, dans tout tu"be raccordé perpendiculairement à laconduite, en des points placés sur une même section normale à l'écoulement,le liquide s'élèvera à la même hauteur.

On appelle de tels tubes des tubes piezométriques et le niveau dela surface libre du liquide qu'ils contiennent se trouve sur une même ligneappelée ligne piézométrique.

On en déduit la représentation graphique de la figure ci-dessusoù z est une cote moyenne de la conduite (cote du centre de gravité des

G2

sections par exemple) et où a y- est tel que

H - a g + | + « (4.35)

avec G * -g- et a un coefficient fonction de la répartition des vitesses dans la

section (l,05<a< 1,1 en régime turbulent et a-2 en régime laminaire).

La ligne, de cote H, est la ligne de charge.

En l7absence de tout apport d'énergie ( pompe, ventilateur,..)la charge diminue lorsque l'on se déplace dans le sens de l'écoulement.La pente de la ligne de charge représente la perte de charge par unité delongueur de conduite. Nous verrons au chapitre 6 qu'elle s' exprime sousla forme,

M = x iî IA£ 2g D

où D est le diamètre intérieur et X un coefficient sans dimension fonctiondu nombre de Reynold.s et de la rugosité de la conduite.


- 4.26 -

4.1.4 EQUATIONS DE LA DYNAMIQUE EN MOUVELENT RELATIF

Si le système d'axes auquel est rapporté le mouvement n'est pasfixe ou en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à unsystème d'axes fixes (axes gaiiléens) , on peut néanmoins rapporter le mouve-ment à ce système d'axes - la vitesse considérée est alors la vitesse rela-tive - sous réserve d'ajouter les "forces" d'inertie représentant, changerde signe,

- l'accélération d'entraînement Ye

' . . . • ' - > • - > - - >- 1 accélération de Coriolis Y = 2w A u

c r

où w est le vecteur taux de rotation du mouvement d'entraînement.

Il suffit donc dans les diverses relations de remplacer les forces devolume f par

îr = î - p Ye - 2p w A u (4.36)

Remarque

Lorsque l'on considère le théorème de l'énergie cinétique dans unsystème d'axes mobile, la puissance des forces volumiques s'écrit :

? - > - > - > - > - > / / o \. u = f . u - p y .u (4.3?)

r r r e r

les termes d'inertie complémentaires disparaissant (GO A u .u ~ 0)

Application

Equations de Bevnoul-'li en mouvement relatif

Hypothèses :

- fluide parfait, isov°lume, en mouvement permanent,

- les forces d'inertie d'entraînement -PY dérivent d'un poten-

tiel V tel que YG - graci V^


- 4.27 -

On a alors immédiatement le long d'une ligne de courant par ap-plication de la relation (4.17)

u2r + £ + v + v = cste (4.33)2 p e

Exemple :

Si le mouvement d'entraînement estun mouvement de rotation uniforme autour d'un

axe fixe, alors -py s'identifie à la force

centrifuge et en un point M à une distance |r|de l'axe de rotation, on a

-> 2 •*•- Y = u) r

v. •* ->•ou r est un vecteur normal à w. Dans ce cas,

-u)2 r27 _. _—^— et ia relation de Bernoulli

s'écrit :

u2

-£ + £ + V - -f- - cste . (4.39)

et dans le champ de pesanteur

u2 2 2

-~I + £ + gz - OL-L. = cste (4.40)

relation utilisée en hydraulique dans les turbomachines. w est alors levecteur rotation de la roue.


- 4.28 -

4,2. RELATIONS LIEES AU PRINCIPE DE CONSERVATION DE L'ENERGIE

fdF 1L'expression 3.26 -~- = Q + W\ traduisant le principe de conser-

vation de l 'énergie peut être formulée de bien des manières dépendant évi-demnent des relations de comportement mécanique et thermodynamique intro-duiqes, mais aussi de la variable thermodynamique (énergie interne, enthal-pie, entropie, . . .) choisie pour expliciter le premier membre.

Nous donnons ci-après quelques-unes des formes et relations, asso-ciéeis à chacune des variables thermodynamiques précitées pour un fluide new-ton lien ou parfai t .

4 . 2 . 1 . Formes liées à l'énergie interne

Si l 'on retranche membre à membre de 3.29

d(e+ —• u. u.) 9q. 9a. . u./ I N 2 1 1 ~ 1 1 1 1 £(a|) p _ _ = Qy - _ + __i_ + u. f.

i J

l'expression 3.22

d(~ u u ) 9a(b) p -fcL-± . u. f. + U. 1

traduisant le théorème de l'énergie cinétique, on obtient la relation

, 3q. 3u.(c|) p£-Q-_i. + a..—i- (4.41)

dt x 9x. ij 9x.

exprimant que le taux de variation de l'énergie interne d'une particule fluidede volume unité que l'on suit dans son mouvement provient, d'une part, de lapuissance reçue sous forme de chaleur, d'autre part, de la puissance descontraintes intérieures.

Il convient en effet de remarquer que,

9 a . . u .dans (a) -—r^ représente la puissance volumique des contraintes

Xj extérieures

9a. .dans (b) u. ^ représente la puissance volumique des contraintes

j extérieures et intérieures

au.dans (c) a. . —— représente, au signe près» la puissance volumique des

1J Xj contraintes intérieures


- 4.29 -

et que l'on a bien,

3a. . 3cr. . u. ' 3u..Ui 8x. ~ 3x. * " °ij 977

J J J

(totale) - (extérieure) + (intérieure)

On peut également noter qu'à l'équilibre (u. -este) et en l'absence

de force extérieure (f. ~ 0), la puissance des contraintes extérieures est,

d'après (3.22)» égale et opposée à celle des contraintes intérieures.

Comme a.. = *• p d. . + T.. la relation (4.41) peut s'écrire,

f 3u>1 9q. 3u.

df + f 6ij "9Î7J ' v - IhT + Tij ^7

d 3uiOr, en raison de l'équation de continuité (-7 - = - p 6. . r*-—) > on a :dt ij ox.

8u.i _ p dpp o . . ••'—•*— i= — •*- '—t • •y ij 3x. p. dt

d'où finalement

[, d- 3q. 9u.p te + p Jl - . Q - Jli + t. . -_i (4.42)M Ut F dtj yv 3xi ij 9x.

soit sous forme vectorielle

f dip hj£ + p *-j| te Qv - div q -»• f : grad u (4.43)

ou encore, avec V » — en introduisant la température T

( . .-\ **• ~+

df' + : p ' d t j = Qv "" T div f " t è g^ T + T'":.\8tad u (4.44)


- 4.30 -

Remarque sur les paramètres thermodynamiques d'un fluide visqueux

Quelle que soit la transformation on a, d'après (3.50), en no-tant q' la puissance correspondant aux irréversibilités .

PT || = Qv - T div + q' ,. avec q' > 0

-,. -. [de dv ds) q —<--—> —• ->d ou p — + p• — - T —J = - 7~.grad T + T : grad u - q'

Mais, comme du point de vue thermodynamique, on a également pour un fluideclassique (milieu biparamëtrique) quelle que soit la transformation,

£->ië-*£-° (4-45)on en déduit

(p + 3i)|f = « > - q'

en posant

->

<j> = - 7jt. grad T + T : grad u (4.46)

Si l'on considère une transformation de fluide parfait, on aévidemment <j> et q' = 0, d'où, en-dehors du cas particulier de transformations

isovolumes, p = ~ $1•

Or, si l'on veut qu'en transformation adiabatique très lente où <j> etq'-* 0 le fluide visqueux tende vers le comportement du fluide parfait, ondoit admettre que, pour ce type dé milieu également, p s'identifie à - 3i d'où(f> E q'.

Autrement dit, pour un fluide réel ou pour un fluide parfait, ona la même expression de l'énergie interne et la relation différentielle

de = T ds - p dv (4.47)

s'applique indifféremment à l'un ou à l'autre milieu.

A remarquer enfin que, pour les évolutions de fluide incompressi*-

ble où -r— E 0, p devient une grandeur indépendantede $1, c'est-à-dire de ladt

loi de comportement thermodynamique du fluide.

Dans ce cas, la seule considération des équations de la mécanique(masse, quantité de mouvement et loi de comportement mécanique), qui formentun système complet, suffit pour définir entièrement le mouvement du fluide,la pression p se trouvant alors définie à une constante près.


- 4.31 -

Fonction de dissipation

La quantité <J> est appelée fonction de dissipation volunrique. Elleest la somme de deux quantités*.

1. La fonction de dissipation mécanique <f t i

9ui)«>! - T : grad u = t^ —i (4.48)

qui représente, par unité de volume, la puissance dissipée au sein du flui-

de par les contraintes T.n de viscosité et traduit le frottement fluide in~terne.

Pour un fluide newtonien, elle s'exprime à partir du tenseur destaux de déformation et des coefficients de viscosité A et y sous lia forme

4>1 = A div e + 2y e:e

*i = x(£kk)2 + 2lJ £ij eij (4-49)

2. la fonction de dissipation thermique §2

->4>2 " - f " graâ T (4.50)

qui représente la dissipation due aux courants de chaleur au sein du fluide.

4«2.2. Formes liéeyà 1'entropie

La relation (4.*f3.> ci-dessus où $j - - p permet, compte tenu de(4.45) et (4.4g), d'écrire les expressions (4.43) et (4.44) de conservationde l'énergie» à partir de l'entropie, sous la forme :

p if • HQv •d i v ? + +i) (4-5!)

ou

P £ 4 _ d i v i + i <*.«>


- 4.32 -

Si l'on se réfère à l'expression (3.50) du second principe de lathermodynamique

ds ^v j. qp IF " t - dlv T

Nous voyons que

•<j) > 0 '

Q +Dans (4 .52) , ~Y - div ~ et ^représente respectivement les parts

réversible et irréversible du taux de production d'entropie volumique p —.

La même remarque s'étend à un domaine D si l'on note que, par in-tégration de (4.52)

H"4"f£""të-*L*"r Q F -> -> r

les quantités -™ dT - $~ ds et 1 dT

J D T J s T J D T

représentent de même les parts réversible et irréversible de productiond'entropie pour le domaine D.

Remarque

Le second principe de la thermodynamique qui impose $ 0, impli-que, en considérant des évolutions du fluide,

- soit statique (u = 0),

- soit adiabatique (q = 0)

que les quantités $j et $2 soient, séparément, des quantités strictementpositives ou nulles.

Considérant alors une. loi de comportement thermique telle que,

q = - k grad T (loi de Fourier)

et de comportement mécanique telle que,

T = A (div u) ï + 2y ê (loi de comportement de fluide newto-nien)


"- 4 .33 -

le fai t que les quantités 4>i et 4>2 ne puissent pas être négatives impose aucoefficient de diffusivité thermique k et aux coefficients de viscosité Aet u de satisfaire aux inégalités suivantes i

k >, 0 ; 3A + 2y >/ 0 et y > 0

En effet ,

a) $2 > 0 entraîne =r | grad T| ^ 0

d'où k ^ 0 , puisque T > 0 .

7 f

b) $t > Ô entraîne Al e, . -•• 2u e. . e. . ^ 0j, kkj ij ij

Si l'on sépare dans le tenseur des taux de déformation ëla partie sphérique et la partie déviateur en posant,

ekke. . - -~ 6. . + e. . (e. . = 0)ij 3 ij ij 11

on obtient immédiatement,

.:..... M:. ......ij ij 3 ij ij

d'où,

*1 g 3 X t 2 ' fa,l* ye.. e..1 3 . -l kkj ij ij

et, en considérant les cas d'une déformation isovolume [£.. = 0| et d'une

déformation isotrope |e.. - G), on en déduit que la condition nécessaire et

suffisante pour que $j > 0 est que :

3 A - » - 2 y > 0 et u > 0 (4.53)

exprimant que les coefficients de viscosité dynamique y et de viscosité vo-

lumiquê y' * A + — ne peuvent être négatifs.

A noter que l'on a, comme nous l'avons déjà indiqué,

- y « 0 uniquement dans le cas théorique de fluide parfait,

- y* * 0 (hypothèse de Stokes) que pour les gaz monoâtomiques.


~ 4.34 -

4.2.3. Formes liées à l'enthalpie

Comme h = e + — , il vient,P

de + i| . dh . I d£dl dt It p dt

d'où

p dh + dp __ i + (4.54)M dt vv dt 3x. 1

ou encore si l'on ajoute l'énergie cinétique (relation 3.22)

'••• j f i V ' ' ' \ 3q. 3f.. u.p -1 h + 4 u. u. - q + u. f. H. |E - Jll + -;J-- J (4.55)

dt \ 2 i i xv i i 9t 3x. 3x.^ J 1 1

Dans le cas particulier où les forces extérieures massiques déri-

vent d'un potentiel V f. = - p — , on a

l 1 3Xi]

p _1 [h + 1 u. u. + F] = n +1E-^Î + J^J UJ + p 1Z (4.56)P dt ( 2 i i j ^v 3t 3Xi 3Xi P 3t

- Ecoulement permanent de fluide parfait

Si l 'on a affaire à un écoulement permanent de fluide parfaitsans échange de chaleur et où Q - Q, cette relation devient :

ft f i 1p u. ~ h + 4 u- u- + ^ = 0j 3x. ^ 2 i i J

ce qui signifie que :

h + ~ u. u. + V = este (4-57)

le long d'une, ligne de courant, la constante pouvant varier d'une ligne decourant à l ' au t re»


- 4.35 -

Si l'on remarque que h = e + •— et que V = gz dans le cas des for-

ces de pesanteur, on retrouve une forme analogue à la relation de Bernoulli

e + - - - u 2 + £ + g z = este (4.53)

montrant qu'en mouvement permanent le long d'une trajectoire la somme del'énergie interne (sensiblement proportionnelle à T) de l'énergie cinéti~que, de l'énergie de "pression" et de l'énergie potentielle dans le champde pesanteur est une constante.

- Relation de Saint-Venant

Dans le cas d'un gaz parfait : e = C T (pour un gaz réel e varie

très légèrement avec la pression)

et £ = rT,P

d.-où- • e *-Z . £*_!_£r p y ~ 1 P

et ~^j . ^ + j u. u. + V - este (4.59)

qui est la relation de Saint-Venant déjà obtenue (page 4.16)

- Relations de L, CRQCCO

Si l'on considère d'une part la relation (4.2) qui, compte-tenu

de la forme donnée en (3,20) pour l'expression de -rr s'écrit

|| + {i?SÏ u2 -f (rot u) A u =|- J-i?â3 p + i d i v ï (4.60)

et d'autre part la relation différentielle classique

dh = T ds + - dp

qui se déduit immédiatement de (4,47) et, en considérant un déplacement

arbitraire dM, s'écrit encore

grad h - T grad s * — grad p (4.61)


- 4.36 -

On obtient, en ajoutant membre à membre (4.60) et (4.6Î) , larelation générale de CROCCO

-> f s ->

™ + grad h + 4 u2 + (rot u) A u = - + - div T . + T grad s (4.62)dt l ^ J P P

qui s'écrit encore en supposant que les forces extérieures massiques —

dérivent d'un potentiel (f = - p grad V),

—• + grad ïh + V\ + (rot u) A u = - div T' + T grâ3 s (4.63)dt ^ t J P

Dans le cas d'un fluide parfait, (4.63) se réduit à la formesimple classique

->•-— + grad fh^ + V\ + (rot 3) A u = T " Id s (4.64)3t ( t }

et si l'on considère des écoulements permanents à enthalpie généraliséety + V = este (cf. 4.57 ) quelle que soit la ligne de courant considérée, ilvient la forme simple classique

(rot u) A u = T grad s (4 65)

exprimant la dépendance qu'il y a entre l'entropie s et le rotationnel de

u. En particulier, si rot u = 0, on en déduit le résultat déjà noté (p. 4.20)que l'entropie est constante partout (écoulement homentropique).

A noter enfin que le long d'une ligne de courant u.grad s = 0,d'où s = este. Ce résultat implique cependant que l'écoulement soit conti-nu. Dans le cas contraire, comme à la traversée d'une onde de choc où il ya saut d'entropie, un écoulement irrotationnel peut devenir rotationnel siles variations d'entropie sont différentes d'une ligne de courant à l'autre(grad .8 /= 0), ce qui est le cas pour une onde de choc non plane.


CHAPITRE 5

ANALYSE DJMENSTONNELLE - SIMILITUDE Et ESSAIS SUR MODÈLE

II est assez évident que l'analyse mathématique seule est insuffisan-

te pour résoudre tous les problèmes que l'on peut rencontrer, en mécanique des

fluides comme en bien d'autres domaines, et cela malgré les progrès énormes

réalisés ces dernières années aussi bien dans le domaine de l'analyse numérique

que dans celui des moyens de calcul (ordinateurs de grandes performances).

Dans ces conditions» l'expérimentation reste encore bien souvent la

façon la plus sure, la plus rapide et la moins onéreuse pour résoudre un pro-

blème donné. Ce recours à l'expérience n'est pas inutile lorsqu'une solution

théorique a été obtenue, ne serait-ce que pour en vérifier la validité, notam-

ment au niveau des hypothèses.

D'autre part, dès que le problème présente quelque complexité, il

est certain que le choix judicieux des paramètres, l'analyse de la façon dont

ils interviennent sont autant d'éléments qui, aussi bien dans l'étude théori-

que que dans l'exploitation des résultats expérimentaux, sont essentiels.

Pour satisfaire à ces deux nécessités, étude ou vérification expé-

rimentale, choix de la formulation la plus rationnelle, la théorie de la si*-

militude, d'une part, et l'analyse dimensiorinelle, d'autre part, sont des

outils précieux.

Nous commencerons par l'analyse dimensionnelle qui, au sens large,

est l'étude de la forme générale des relations existant entre les grandeurs

caractérisant un phénomène physique.

3.1. ANALYSE DIMENSIONNELLE

L'analyse dimensionnelle est basée sur le principe fondamental très

simple qu'une relation entre des grandeurs physiques doit être dimensionnel-

letnent homogène, c'est-à-dire indépendante du système d'unités de mesure

choisi.

5.1.1 . Théorème de Vashy Buckingham ou théorème des TT

Ce principe de base est traduit par le théorème de Vashy*


- 5.2 -

Buckingharn ou théorème des TT que l'on peut énoncer ainsi :

louto fonction G de p variablt-s indépendaul es x x ....

x . mesurées par q unités fondamental es, et traduifr^nf la variation

d'un phénomcue on fonction de p causes indépendantes, où p *• q ,

s'exprime nécessairement à partir d'une lelation fonctionnelle de la

forme :

gi h gqG = x. x0 x q F (il . n 0 ... n )1 2 q v q 4 1 q 4 2 p

Les variables x ,,*... x étant choisies dimensionaeJ îeiaont ir.dé-

pendantes.

Dans la pratique, on choipit pour x. x« .... x les para-

mètres que 1 'on considère comme essentiels pour le problème considéré

et que l'on veut voir figurer explicitement dans l'expression de G.

j xeriil le :

Supposons qao G reprosente la résistance à l'avancement

d'un bateau et que l'on pense qac- ce phcioroône dépend de la taille L

et de la vitesse u du bateau, de la masse volumiquc p, de la visco-

sité p et de la tension superficiel!^' a de l'eau ainsi que de l'accé-

lération de la postai! * in* g. 11 sera assez lop'que de considérer qu'une

grandeur car ad Ci i rt i r"u- de sa tai J le CK>ng?ur par exemple), sa vites-

se et la masse volui'iique de l'eau sont à choisir conine variables ton"

damental es puisqu'ici q ~ 3, Je préférence à la tension superficiel-

le, à la viscosité ou à l'accélération de la pesanteur "t ces 2 der-

niers paramètres sont importants mais, si la viscosité pourrait à la

rigueur être choisie, g ne constituerait pas avec L et u un système de

variables dimensionnellrment indépendantes.

5.1.2. Justification du théoierne

En mécanique, 011 a îiabi t uellement 3 unités fondamentales :

longueur L , masse M et temps T dfoù q =• 3. Par contre, des que des

phénomènes thermiques interviennent, il roi,vient d'introduire la tem-

pérature 0 couine 4èm«i giandeur fonrînmentalc- et alors q - 4


- 5.3 -

Considérons ce cas général et soient :

(G) = ip TC 0e ,£. m. t, 0.

fy.) = L 3 M X T X 0 1 , ou 1 « 1 a p,

les dimensions de G et des x. , ce qiie nous résumons dans le tableau,

suivant :

L M T 0

G £ m t Q

Xl *1 ttl ll 6Î eî

x2 *2 m2 t2 02 e2

XP *P mP *P 6P GP

Si nous admettons que G puisse être dëvelopppc. en série et

que cette série soit une série de puissance, c'est-à-dire G ™ E Gn o"ù

G » x?^ xe^" ••• xe? "la forme de G, annoncée par le théorème den 1 2 P

VASHY-BUCKINGHAH, peut se justifier ainsi :

Selon le principe d'homogénéité dimensionnelHC}«{G )

donc : A « £]_ e^m = mi ei . . . , .t - t- e£ 1C1 " " ' 3 P

e = e- ei

Coiniae on 3e verra de manière très explicite sur un exemple,

le système linéaire peut être résolu par rapport aux quatre exposants

ç. de quatre grandeurs x. quelconques sous reserve que ces x. soient

dimensionnellement indépendantes c'est-à-dire que dans les relations

ci-dessus les e. soient linéairement indépendant.

En admettant que l'on ait indicé les variables de façon que

ce soit x.jX^^x ,x. que l'on considère cowrno. grandeurs essentielles,

on. a, en mettant en évidence les inconnues correspondantes e: ,e.? ,•:.-. ,0.-


- 5.4 -

que l'on veut calculer ,

*j ej = * ' (3k ek} ici j = I à 4m. e. = m - (m. e. )j jj K, Kt. e. - t - (tk ek) et k . 5 a p

e. e. - e - (ek ek)

On pourra toujours calculer e ,6,., ,8-56, si le déterminant

de la matrice des coefficients des e. au premier membre est £ 0. c'est-

à-dire justement si les x. sont dimensionnellement indépendantes.

On en déduit alors les quatre relations (j = î à 4)

ej - f .(^,mjtie,er-,e6,-9e^) » gj(fc,m,te)+ hj (e5,.. . , ep) j = 1 à 4

ou g et h sont des fonctions linéaires de respectivement l,m,t 6 et de.

W'-'V

En reportant dans l'expression de G on a :1 * n

Gn - x,8'^! x/2+h2 x^3 xfl>*\ x^5 Xf>*6 ... XpeP

?i go R/, r h i (ec , 0 ^ , . . « .e,,) bn h0 lu GC ^ -,•- X j 6 l x262 ... x^64 {xj J V 3* b* * P ,x2 2 x^ 3 x^ 4 x5

5 - « - x p)

~ x î g ^ X2g^ X3^3 x/,8^ 'Kx j x^ x^ x. x^ ) e 5(x j x2 x x^ x^ ) e 6 . . (x , x2 >':0

x4)eP)

où les produits (x, x^ x« x^ x.) î sont: des produits symboliques où

par exemple x doit être élevé à la puissance du coefficient de e. dans

h. d'où généralement

gjCfcrct) g2Umt) g3(^mt) g^.C^t)

Cn « x, x2 x3 x4 4 ^5(xlx2x3x4x5)"irp(XiX2X3

X4xp}

Si p = q - 4

G = x gi y g2 x g3 x 84

n 1 2 X3 4

Si p « q + 1 = 5 on a toujours cette égalité dimensionnel.le. d'où


- 5.5 -

7î5 * L° M° T° 0°

et 1'on démontre ainsi par récurrence que les produits fi sont tous sans

diraensi on.

Comme G - E G on a en posant F ••- Z (II.. Jl ,.IÎ }n n ^ 5 6 p n

G = x j g i x2c2 x3

ê3 x^4 F (Jï5, n6 . . .np)

5.1.3. Lxernle d'application

Reprenons l'exemple précite où G représente la résistance

à l'avancement d'un bateau. Ici q-3 seulement et G a la dimension d'une•"•?

force : fGj = LMÏ '. Afin de mieux rappeler l'enchaînement des calculs

vus dans la justification précédente de la lorine de G, nous conserve-

rons, dans le calcul, pour £, m et t, l'écriture littérale. Habituelle-

ment cependant, on pose dès le départ les valeurs numériques correspon-

dantes, ici : £ = ] , m = l , t * " - 2

L { M T

G £ m t

P -3 -«-1 0 e

u +1 0 -1 e?

L +1 0 0 e

P H 1 H

g •< 1 0 - 2 c

o 0 î -2 e"o

On a :

£ - - 3 ej -H e2 -«- e3 - e4 - e5

m ™ e. •*• o, + e,] 4 6

t - - e2 - e4 - 2 ob - 2 c&

et en résolvant par rapport à o, u, L qun l'on choisit comme variablescil!£?,J^

principales, variâmes placor-s' h<\bi tnell on-n' en tête c'ans le t t :L loau , ilvient :

e, = m - c , - e,1 4 6e2 = - t - f4 - 2 e. - 2 o6

e3 - A + 3 m + t - e4 + es - c6© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 5.6 -

d'où :efi _ t_v2 2 «+3ni+t-e4+e -e e « e

G = p . u . L . p . g . a

- p .u-tL^ t (^J*^J3 '6N u / x p u L '

Comme nous avons ici conserve la forme générale pour rappeler l'enchaî-

nement des calculs et que G~R est une force (£«1, ra=l, t*—2) on obtient

u2R = p s F (Re, Fr, Wb)

en posant S = L et en introduisant le coefficient 1/2 pour obtenir

l 'écri ture habituelle

oû Re . !Li£ , Fr - -£r et Wb = S-±L±V v£

sont respectivement les nombres sans dimensions de Reynolds, de Froude

et de Weber.

Le noribre de Reynoldc traduit l'influence de la viscosité donc du

frottement de l'eau sui la ccque.

Le nombre de Frovde traduit l'influence de la pesanteur donc du silla-

ge (système de vagut-s produit par le bateau).

Le nombre de Webcp traduit l'influence des forces de tension superfi-

cielles qui sont ici négligeables.

Ainsi nous voyons |ue, sans nous donner la forme précise de

la relation, l'analyse dimensionnelle nous montre comment interviennent

les paramètres.

L'étude expérimentale de la résistance à l'avancement d'un

bateau se ramènerait à l'étude de la fonction F, que l'on appelle le

coefficient de résistance à l'avancement en fonction de 3 paramètres

seulement. (2 en réalité car la variation de F en fonction de N^ est

négligeable).


- 5.7 -

5.2, sjMJLiTUL^n J:T ES s A issUR MAQUETTE

Si l'étude expérimentale est comme on l'a vu, le pluj; r>r,u~-

vent, imo nécessite, les essais en vraie grandeur ne sont cependant

possibles que dans un nombre limité de cas.

La plupart du temps, l'étude se fait sur un modèle (maquette*)

qui est ur/c représentation à une échelle différente du syscèw (proto-

type) que l'on désire expérimenter.

En hydraulique (construction portuaire, barrage, étude de

navire en bassin de carène, turbine,...) tout comme en aérodynamique

(étude de profil d'aile, d'avion en soufflerie, essais de structure,

de turbomachines...) les essais sur modèle constituent un moyen d'inves-

tigation courant et même systématique pour les projets de quelque impor-

tance.

La possibilité d'extrapolation au système réel des résultats

de l'étude faite sur modèle implique outre une certaine analogie de

forme enMe maquette et prototype le respect de certain;?, principes

de bases. Cela sous-entend tout d'abord que l'on puisse faire corres^-

pondre à loat point M, du prototype à un instant t. un point M« du mo-

dèle à un instant t^. La correspondance choisie définit un ensemble df

points homologues ou correspondants et nous dirons qu'il a similitude

entre une grandeur g (M ,t ) du prototype et la grandeur homologue

g2(M2,t9) du modèle s'il existe un rapport constant k entre ces 2

grandeurs.

La constante k est dite échelle des g. On définit ainsi

divers échelles des caractéristiques, échelle des vitesses k 9 des

temps k , des distances k,, etc...t d

11 y aura similitude totale entre maquette et prototype s'ilOToutÊl

existe ont règles gr&ndeuff homologues un rapport constant.

Dans ce cas, la valeur g d'une grandeur quelconque en un

point M au temps t. du système réel (prototype) pourra être directement

obtenue par la mesure sur la maquette de sa grandeur homologue g« en un

point n et à un temps t2 homologues.


- 5.8 -

S'il en est ainsi g et g~ 'satisferont toutes doux aux rela-

tions les plus générales de la,mécanique des fluides ainsi qu'aux con-

ditions aux limites associées. Cela signifie que ces relations sont en-

core satisfaites si nous y remplaçons g_ par k .g .

Nous allons voir que cela impose un certain nombre de condi-

tions dites de similitude qu'il est rarement possible de satisfaire

complètement, Aussi la similitude ne sera-t-elle le plus souvent que

partielle et 1 Extrapolation au système réel des résultats obtenus sur

maquette plus délicate.

>.2.1. Concli. t.i on s de s imi 1.1 tucle.

~~ Sûtâltâud.?_péomètriqu&

I,'unicité des solutions pour des conditions aux limites don-

nées implique que la similitude de ces conditions aux limites soit res-

pectée ce qui se traduit le plus souvent, par la nécessité d'avoir une

similituda géométrique des frontières du modèle. Dès lors si d et d

sont 2 distances prises respectivement sur le prototype., que nous notc~

rons désormais E et sur la maquette, notée de même E , on devra avoir:

Cl2kd = T- m CSte

Dans certains cas, et• notamment en. hydraulique pour les écou-

lements de surface libre de grande étendue, (rivière, zone portuaire,

étude de houle sur un littoral...), le respect de cette similitude

entraînerait sur la maquette, l'échelle des distances étant alors très

petite, des hauteurs d'eau trop faibles pour que des mesures puissent

valablement y être faites et que les effets de la tension superficielle,

négligeable dans la réalité, ne deviennent pas prépondérants.

Dans ce cas on accepte une certaine distorsion en ce sens

que l'échelle en plan k est différente de l'échelle des cotes k .x z

krLe rapport 6 = r— est le coefficient de distorsion. On ne^ k • -•- -: X

dépasse pas habituellement une valeur de 2 ou 3. Au deld, la transposi-

tion à la réalité des résultats obtenus sur maquette est beaucoup plus

complexe.


- 5.9 -" i ill £jL'%'';/. :£

Si une similitude doit existai: p'jMi: le,** vitesses et pour

les temps on aura

u2 « ku u, et t2 - kt t|

d(d2)mais sur la maquette u0 - -rr—-\-

. / G ^ t ^ J

• K . d C d . )d 'Où k » « r~ . -..—-L.

u 1 k f c d ( t j )

ri(d])mais, comme sut le pro to type> on a ëgii'!:ur.n*nt u ~ -,-7 v- , a lors

J a ( t )

kdlc - iT^- c'est la condition de. cxini li tiiuo cinc-ntf t i .cme.u k t

Si elle est respectée, ir^> iro'i ' .v^jr^x'.Pl 's d . r r i f - }•., et.1 h,; .seront:

semblable^ en ce sens que des pa r t i cu l e s Mornologuc- f l se t rouvc- ron t en

des points homologue:s en des temps hoîrioloûf-.s.

La s i m i l i t u d e des vi tesses eri traînc, compte tenu OG la

similitude géométrique ou de?; t t-.mps., celle <îc." accélérât ion s :

k k , k 2

\r -r , U ~ J~ .- U

^ kt kj ^

- frjW'li tur/r C'j^cs'^qi'O

ïa î i r n 3 i i u : l e dynariîiquc est la similitude des forces , c ' t -s i : r; d h ^

que du^ f c . ' ) i i s v . - t c r i e l s houiologues sent ôa'rd.s à des systèmes de f o r c e s

homologue

Si la di f > i r i bu t ion des masses est semblable dans le iv-odèïe et

le prototype, ce qui. est le c£tf ; en 'mécanique des fluides ho:i)onène^ s la

si lui! L tilde êoiric l\ i que entraîne la similitude de.6 masses.

Alors* coït.u' 3es forces sont proportionnelles aux accëj cra t ions ,

la similitude cinématique entraîne la Riihili tude dyu^îaique, c'est-à-dire

k-r - k .kF m y

Les conditions ci-dessus sont valables nuel crue soit le milieu.

Dans le cas particulier des fluides, si l'on considère par exemple les re-

lations de Navier-Stokes, F apparaît comme la somme des forces de pesan-

teur, de pression et de viscosité, c'est-à-dire F » 1? •+ Fp + F , d'où

kF ' V\ • kG ' kP ' kv

Cela impose autant de conditions qufil y a de forces en présence

comme nous allons le voir ci-après en considérant 1'équation de Navier-Stokes.© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

7 5 , 1 0 -

~~ Conditions de tnj^lituds_déduiteiB_des êquatiotis de 1a_ rriâeaniqua des

fluides*

- Equation de continuité

L'équation de. continuité n'impose pas, comme il est facile de

le voir , de condition supplémentaire. On retrouve simplement la simili-

tude cinématique de]à énoncée.

- Equation de lHa'ûïep-Stokes (les seules forces volumiques con-

sidérées sont les forr.es de pesanteur).

Pour l'écoulement E (prototype), l'équation de la dynamique

s'écrit sans expliciter T.. et en affectant aux paramètres de cet écou-

lement l'indice 1 :

8u . 3u , 9 . 9 7, . .E : o —11. + p u . —li « - -£l + o -a, . + - --1 (1 )1 P l 3 t p l I j 3x. . 3x.. Pî81i 3 x , . - U

l j ï i 1J

(g , , " 0, g J 2 - 0, g I 3 - - g )

soit KOI;s forme symbolique

It + Is = P , G + F où lt « p ±1 ,

t t T tInertie Pression gravité frottement 3. ,

P g. „, jR.i™.:

3X,i'

, etc.

La pieuie équation delà dynamique peut s'écrire pour l'écoule-

ment E« autour de la maquette. 11 suffit dans (1) de remplacer l'indice 1

par 2.

Toutefois, comme on a entre 2 grandeurs homologues f, et f7

la relation f^ =* k, f,t '

(p,. « k PJ...U,,.-" k u .) , on peut écrire pour l'équation de Navier-Str.kes

pour E^ :

O 'k k k k k

E0 : k ~ I- + k r T ="- 7 p + k k G * -- r - F (2)2 P K.t t p kd s kd p g k2. . • • . - • • • vd •

î)ut a . 'au.k yi + j

puisque T.. « X~^ 6.. + y( — ~ )


- 5.11 -

et en supposant les coefficients de viscosité A et u proportionnels

0' kx),

Les relations (I) et (2) ne peuvent être simultanément véri-

fiées, quels que soient 1, P, G, et F, que si tous les coefficients de

ï, P» G, F sont égaux.

Cela impose un certain nombre de conditions de similitude. On

déduit ainsi de lfégalité des coefficients de :

k k k k2 k.i - p y T ~ T ' JL~P' •• Jï H. k =, Ji1 } Xt Xs ' kt ~ 5 ' ku kt

Cela traduit simplement la similitude cinématique ; donc,

comme pour la relation de continuité, aucune condition de similitude

supplémentaire nfest introduite par cette relation.

k k2 k k2 k?° T - P • _P u - p ~u—P, - ï2). is . - _ f ^ -

u2 Pj u| p,a) Si__p = este On en déduit —r—- = .- ~ , d'où

*j 12

f*ï tl

^ = -- K (nombre d'Euler) qui doit être le même pour E. , E,,.pu

Cette relation est automatiquement satisfaite, dans la mesureoù sont respectées les similitudes géométrique et cinématique, ce quiimplique en fait que les similitudes de dynamique, attachées aux au-tres forces en présence, soient également respectées. A noter que, sip = este, P nfest défini qu'à une constante près et ce sont en fait lesdifférences de pression qui doivent être prises en compte.

b) Si p este

Cela dépend de la relation entre p et p. Pour un écoulement

isentropique, on a a2 - y •

kD'où k2 = k T-2

a Y k1

P

k2 k k2

et la relation -~—£• = 1 entraîne k — * 1 .

Y -lOr comme on le verra, la similitude liée à l'équation del'énergie impose que k * 1 où y est ici le rapport des chaleurs


- 5.12 -

kuspécifiques. Dans ces conditions il vient : — » 1 c'est-à-dire

k"'"a

ul U2— « _~_, d'où M -*• — (nombre de Ma.c'h,} qui doit avec y, être leai a2 a

même pour E, .et E

k" ,23°) I - G : k ~ k k , ~V " >•P kd P g kgkd

d?où F » , (nombre de Froude) qui. doit être le même pour Ev et E.~V£D

k2 k k k k k,^ o v T F k ju u p \L_JL_cî K iP kcr ~ ~'k2-' ~ kp - -

d

d'où R - ^~-~^l~ ~ ^-~~> (nombre de Reynolds)

II a été suppose que les deux coefficients de. viscosité res-

taient dans un rapport constant et: avalent, pour les écoulements E. et

E9, une même loi de variation avec la température.

~~ 5âHf 1 3'- °JP- ™i£_ i_LËPCi r ?J.e

„ , , ,„, . /9u l X2 / D u . 3 u ^ 2

dh dp 3 H! ^ , . / k\ u / i -, ••p IF = dt * SÏÏ7 k aT7 + <!) ou * " H^ + I VaïT + 3^7

"E ~ P. + T + D

On supposera le gaz parfait, donc h = C T,ainsi que la pro-

portionnalité, des coefficients \ et pour lesquels on admettra, en ou-

tre, comiï'e pour l'équation de Navier-Stokes, une loi de variation avec

la température identique pour les écoulements E. et E~.

En procédant de même que précédemment, on obtient à partir

de l'égalité des coefficients de 1

1°) E - P ': ky- IC '

d 'où la nécessi te d ' u n rac/nc •/ ~ -,;— pour E. et E .Cv 1


- S . 1 3 -

7e) E - ï :

k_P kCp ku_*d

Lkp C VD

d 'où une- nic'ro valeur du groupement Pe = £—— appelé nombre de

Pcfli.1,.C v pvD

On a Pc - --£— . « Pr.Rck uC M

où Pr = --—-— est le nombre de FrandLl* Donc, si la similitude deK

Ifcynolds est vérifiée, cel le de Prandtl suff i t .

3°) E - D :

k k^, k r , k ,

_L^L_IJ . ,k k

V " Cr T U''°ce qui sifci ' if ie que le groupement &*n& dimension ~--~r>~-~ . • — ou il etr<-u" M

le nicnie pour E et E , ce qui introduit le produit du nombre de HeynolJ.s

C Tpar le groupe i i ' cnK E ~ —*-*— » appelé nombre J.'Frkeï't.

u

Remarques

-3-a) D'autres nombres sans dimension s'introduisent si ï foa îrfrrt

compte, soit dô l'intervention d'autres forces dans l'rqua-

lion de Navier-^Stokes, soit des conditions aux limites.

Ainsi, dans la relation de Naîci—Stokes, seules les for^-

ces extérieures de pesanteur ont été introduites, mais, si l'on consi-

dère d'autres actions extérieures, on obcient d'autres gioupements s^ns

dimension. Pcir exenple, la prise en compte des forces de tension super-

ficielles introduit le noribre c?e h'cbjy W,, - — — (a : coefficient[> a

de tension superf ic ie l le) .

Dans l ' équat ion de l 'Énergie , le.s apports extér ieurs ont

été négligé?. Si, par exemple, on tient compte des échanges thermiques

par conduction «T ta pnroi en i n t r o d u i s a i t le coefficient h, dit coeff i -

cient ck- convection locale, on i i^ jo i lu i t îe nombre1 Suiis dimenàioa -•?'- ,


- 5.14 -

appelé nombre de Nusselt. Les échanges par rayonnement lui ï oci'.i i r.-ii o:i| do

même un autre groupement sans dimension.

•5-b) Nous retrouvons ici les produits sans dimension de 1.'rin;;-

lyse dimensionnelle et cela n'a rien d'étonnant.

En effet si G. et G sont deux grandeurs homologues tellesg, g2 g3

queG - x. x0 x0 ... F (II ,,...,11 ) la similitude de G ne. sera1 2 3 q+1 p

vérifiée que si les produits II sans dimension sont les mêmes, la simili-

tude des X. étant imposée.

-=rc) II n'est pas possible de satisfaire simultanément à toutes

les similitudes. Par exemple, la similitude de Froude impose k =Vk

puisque k - 1 et celle de Reynolds k = k .k .k c'est-à-dire que l'ong rk 12/3 * u p d 4

devrait avoir k - | ••-—•! d'où la nécessité, de prendre deux fluidesikpj

différents si l'on veut k, £ 1.d

Dans la pratique comme k , < 1 impose k /k<], il n'est guère

possible d1utiliser a grande échelle des fluides satisfaisante à ce cri-

tère. On se contente donc généralement de respecter la similitude pré-

pondérante, Rp, F^ ou M. Dans certains cas d'ailleurs une seule condi-

tion de similitude intervient.

Par exemple, pour les écoulements en charge de fluides incom-

pressibles, p et g n'interviennent que par le groupement p'" = p + pgz

et la ' condition de similitude de Froude disparaît. 11 s a!: fit alors que

soit respectée la similitude de Reynolds, celle de Mach n'ayant pas à

intervenir puisque p = este.

Pour les écoulements à surface libre dans les rivières ou ca-

naux, 'on observe que si le nombre de Reynolds est supérieur à une certai-

ne valeur, ses variations ont une faible influence sur 1'écoulement. On

se contente rilors de la similitude de Froude. Comme g est dirigé suivant

z, c'est, lorsqu'il y a distorsion, le nombre de Froude calcule sur les

échelles des distances verticales qui est a considérer.

Enfin pour les écoulements" de gaz compressibles, la pesanteur

n'ayant d'influence que dans les mouvements de convcction, et comme la

covnpressibilitc n'intervient qu'à grande vitesse, on utilise la simili-

tude de l'eynolds à fol blé vilo.sce et celle de Mach à grande vitesse.


- 5.15 -

Bien entendu, dans les deux cas précédents, on procède à

une estimation des corrections qui doivent être apportées aux résultats

du fait de l'influence des termes négligés en première approximation.


CHAPITRE 6

"ECOULEMENT DE FLUIDES VISQUEUX -

TURBULENCE - COUCHE LIMITE


. VI-1

6 - ECOULEHENT DE FLUIDE VISQUEUX - TURBULENCE - COUCHE LIMITESSSSSSSSK^&SSSSS^SSSSSSSSSS^^SSiSSSSSSSSSSXSSSKSSSStSSSi'iSSSSSiSSSXysS

6.1. ECOULEMENT TURBULENT

6,1.1. Généralités

Lorsque l'on observe 1*écoulement d'un fluide rëe!9 donc

visqueux, dans un domaine limité - présence de parois solides (tuyau),

partie de fluide ayant des vitesses relatives différentes (frontière

d'un jet) - on constate, lorsque la vitesse relative augmente qufà

partir d'une certaine valeur le mouvement devient irrégulier « Une sor-

te de fragmentation, d'êmiettement du fluide apparaît | on dit que l'é-

coulement devient turbulent. Par opposition» les écoulements à basse

vitesse où les couches fluides glissent régulièrement les unes sur les

autres* sont dits laminaires. Le critère de transition d'un régime à

l'autre est le nombre de Reynolds (rapporté a une longueur caractéris-

tique L de l'écoulement). Si le nombre de Reynolds est inférieur à une

certaine valeur appelée nombre de Reynolds critique (Re )f l'écoule-

ment est laminaire, au delà il est turbulent. Pour les conduites, par

exemple, l'expérience de Reynolds montre que Re est voisin de 2000

( L « diamètre de la conduite).

Définition (d'après Hinze)

Un écoulement turbulent est un écoulement dont les divers

paramètres ont des variations aléatoires.

Partant de cette définition, on peut dire qu'un écoulement

turbulent n'est pas prévisible dans son détail mais que des valeurs

moyennes peuvent y être distinguées.

La turbulence peut être engendrée soit par le frottement

fluide sur les parois» frottement qui par les gradients de vitesse qu'il

crée , engendre des mouvements tourbillonnaires - on l'appelle turbu-

lence de paroi9 soit en l'absence de paroi, par le déplacement des di-

verses couches fluides les unes par rapport aux autres - jet, écoule-

ment derrière une grille - c'est la turbulence Tibre"

La turbulence est un phénomène «dissipatif et en l'absence

de source d'énergie, le mouvement se ralentit l'énergie cinétique se

transformant en chaleur. De plus, sous l'effet de la viscosité, la

turbulence tend, en l'absence d'actions extérieures, à devenir plus

homogène et indépendante de la direction de l'écoulement. A la limite,

on dit que la turbulence est homogène3 c'est à dire indépendante du


VI ' -2

jj>oL>oic c&KBid&dL Be même quand elle ae dépend pas de la direction, on

Jic «|atfelle est isotrope» Dans ce cas8 il n*y s aucune• contrainte

tamgeMts&lie (de cisaillement) et corrélativement ôueua gradient de

v£c©sse ; cela n*esl vrai que pofur là turbulence libre s au voisinage

éfune paroi on a nn écoulement turbulent & gradient de vitesse.

6,1 «2. A éét 'ëtâ ^

Expêriment&leoient, la turbulence peut se mettre en évidence

avec des appareils de nesuro. ayant une très faible inertie leur permet-

tant de suivre les fluctuations des paramètres auxquels, ils sont sen-

sibles (pt ?19 p, T).

Le paramètre le pies caractéristique de la turbulence est la

fluctuation, des vitesses que l?on mesure par la méthode du fil chaud

(voir Travaux Pratiques)

Le caractère aléatoire des grandeurs telles que U, p»p» T qui

habituellement servent à définir un écoulement, ne permet pas ici de

prédire à partir des valeurs à un instant donne t0 et des conditions

aux limites» les valeurs ultérieures. Seules des valeurs probables ou

encore des valeurs moyennes peuvent être définies.

Aussi les paramètres des écoulements turbulents sont-ils dé-

finis en termes de probabilité qui s'ils n'autorisent pas une descrip-

tion dans le détail des phénomènes -en permettent nëammoins une étude

statistique. Notons cependant que si l*cra ne peut pas prévoir* il est

par contre très possible d'analyser dans le détail un écoulement tur-

bulent et à partir de cette analyse la théorie des probabilités per-

mettra de déterminer statistiquement le comportaient ultérieur»

^ J * ° ? :?i!,tr^

Cette impossibilité d'exprimer

exactement les grandeurs elles mêmes con-

duit a introduire pour celles-ci des va-

leurs moyennes, qui pourront être déter-

minées dans le, temps, dans l'espace ou

sur un certain nombre de particules.


VI -3

La possibilité de définir des valeurs moyennes impose à l'écoulement

une certaine régularité de façon que la moyenne faite sur un interval-

le nécessairement fini soit indépendante de cet intervalle et identi-

que à celle, théorique, étendue à un intervalle illimité.

De façon analogue, constatant qu'une même configuration de l'écoulement

se répète avec une même structure, soit dans le temps sur un domaine

donne, soit dans l'espace à un instant donné» on définit ce que l'on

appelle des échelles de turbulence (échelïe de temps, d'espace...)»

ces échelles étant plus ou moins liées.

La grandeur de ces échelles dépendra du phénomène considéré, par exem-

ple, pour les échelles spatiales L, le diamètre pour un tuyau,S'écarte-

ment des barreaux pour une grille. Selon l'échelle, on parle de

turbulence fine ou grossière ; L est en général >> 1 mm mais peut at-

teindre plusieurs kilomètres (perturbation atmosphérique telle que

cyclone, ouragan,»..)•

Pour les échelles temporelles cela dépendra de la vitesse et des di~, _, diamètrelaensions par exemple pour un tuyau T, —r-~-— ———1 vitesse moyenne

6> 1. 3. ï » Valeurs^raoyjennes

Valeur moyenne dans le temps

La valeur moyenne théorique serait, par exemple pour la

vitesse, ,T

û" « lim ~ ]u(t) dtT—* Z1 /T

en réalité xt«+T— i fy » Y /u dt où T » T

'Ude telle façon que sur l'intervalle t , t +T la valeur de ïT soit

indépendante de tQ.

Toutefois, si l'on veut mettre en évidence des fluctuations

de u de période T2> il faut que T<T_.

La valeur moyenne s'obtient facilement électroniquement

en introduisant dans le circuit de mesure un système intégrateur


¥1 -4

$®nk la ecsioiefcaste «le 'J> Tj „ Qa peut nwissî utiliser «a appareil

©liai a $© l sis©î?tl@^^Ë!€£,J iÎ€! S:J M£^€£

Las valeurs moyennes «lan® 1° espace ou s«r un grmad acmsère

éfféchantillons ®@ ealepleat de 1® £«ç«u

Sxpéf £sa@atal,«ïaèî>tîj «m pewit les obtenir avise un appareil de

rassure êe grâinda disieaîoa PIS ®iicc?ces posas1 les aoy®a»€S swr 'tsn grand

B<ssaibre de psrticMl€se caa les marqwant (eolorsat^ ®elff radioactivité)

et ®îta iieiinraîDiîi: lu d@asi£l ç01©r»itriqw©p la ®alisitës la radioacti-

vn,^ "i-"il l_»-n>"' 49wa lefeiiatîlioïÀ d@ fliaida o

ferst*^ f

l jii retlinctioa 4es valfsuns ®0jeiMeîS permet d'écrire les va-

\ * ^ " b l " S "ÎM **r iwiiat dgiing l@s ëcomil«s®eïîits tiuvrîaleats soms la forme ;

| y, ^ 1" •> n?

¥ I w m "v" * v * p « "pT * p '? . . . . . .I ,_-,| %? ffi; %" * w 5

Intensité de ta turbulence ; • (degré ou niveau de turbulence)

3LSécriture ci-dessus permet de caractériser 1e intensité de la turbu-»

le ace p or la ¥ a leur de ut* „

Cta choisit habituellement Moa pas nï! mais une moyenne de cette gran-psss=s?|r

deur yu^'s, ce qui permet de définir 1* intensité relative s

" - r-

6 . S ,3,2 a Autres^grandeurs^sâti^tiaues^^j^

^ êc he "13_«^ de_J?l^^îiL£n5f^ T^^tESiEfÊÊEE!5â ' ^ cë -"ôu£ i^flcnp L.ij.jias

3La probabilité AP(x) pour

quVîi^ grandeur ¥> soit comprise en-

tre 2c et x -s- Ax, est égale au rap-

port entsce le tssaps sn

T^ « 2! ^ £ « °" ê signal ©stX i-l *

situe dans cet intervalle aw temps

total T considère «


VI -5

- la probabilité théorique est la limite lorsque T -* °°

- la densité de probabilité est la probabilité par unité de

x c'est-à-dire :

><*> - et la densité théorique est la valeur p(x) lorsque Ax -»• 0

c'est-à-dire s

pW.limJ*M. . lim liffi I IMAx->0 A x A x - 0 T- T AX

Le plus souvent p(x) suit une loi normale (ou de Gauss)

_ lEJLJi)2

PW--1— e 2â >|2Tî

il est facile de voir que d fune manière

générale :

•foo

J p(x) dx « î

—00

-H»

— fx « x p(x) dx

ou encore :

•H»

Fêô - j f(x) P(x) dx

Les grandeurs habituellement considérées sont•H»

û7* - f u f 2p(x) dx«eo

et /=rYU |Z valeur quadratique moyenne de u*

L'écart par rapport à la courbe de Gauss est habituellement très


VII-6

faible et l'on se contente alors de le caractériser seulement par

délia? R cambres 9

- le facteur de dissymêtrie ( « 0 pour G&UBB)

- le facteur dfaplatissement ( « 3 pour Gâuss)

Fortestion de corrélation

H iar* 1v iJ l i îv a s~t ire phénomènes & on observe que :

^ <^ r f uwv i f , r&nsmètres en un mime point su saisie instant

i - ÎJÏ»L.I f «tov. tveô J de® instants ou en des points dif-

férents*

v^ t^ r p fe^ Absolument indépendants , il existe une certaine

/^(TT" ^ ^jy -?*&,?

t.1 foi «-^ non Ar tu n^mi ôiût ^

Ho ' s allons considère"" dîOu "«iposântas i i f £ et « ? j de la

\ ^ ~ s c n un , oi M * . Elle' sont tulles que la moyenne :

I

^7^7 - i i « i( t> u^w dto

est différente de xëro .

Ces moyennes que l§on appelle encore moments du second ordre

£tt(e5ipritae en général I partir de grandeurs sans dimensions appelé coef-

fscient de corrélation

CM . ZïZï_1J iss^sr sŒrsrsr1

/«•i» fv

AÂL<ss valeurs de C.. sont de I9ordre de 0,4.

Elles st mesurent avec deux fils chauds croisés et un corrëlateur.

b)' Corrélation entre deux points A et B - Longueur de corrélation

A RScjiaat w 1 , et u f . eeraposantes de la vitesse en deux

points à et B. On a de •


Ml -7

?A"~TÏTCAB - " * " J

^-J —--s- 'p=-r A2 r a2f r r&* i j

C. . —*-C. . lorsque la distance r de À à B-**Q

Habituellement on ne considère que les corrélations %

CA?11

Choisissons des axes de coordonnées tels que Gxj par exem-

ple soit parallèle à AB. On a alors» par développement en série de

Taylor par rapport à xj f

..B . U ,A + r (f^, ^ÏJ.) ......1 ! I 9 x î 'A 2! l dx2 Â

f—f kf^lfirAB f ^ I [iJllL.) L!kA^ +

11 * " 2 71 |V 3Xj /A"" " 7^ J

^,Aa

A partir de ce développement, on

peut introduire la longueur X .

telle que :

î - CAB

1 ... ! Cll—i— « lim —_—.X 2 j r^ 0 r2

Ainsi, à chaque direction AB9 on peut associer trois lon-

gueurs A££ . La plus petite A &® ces longueurs définit l'échelle des

petite tourbillons (micro-échelle de turbulence).

Si r < A , les coefficients de corrélation sont pratiquement égaux à

1.r **

On définit de même des longueurs A . . «'•[ Cv. dr

o>


VI -8

La plus grande A de ces longueurs définit l* échelle des

gros tourbillons (nLacro-ëchelle de turbulence)

c) Corrélation dans le temps -'autocorrélation - cross-corrélation

On définit de même le coefficient d'autocorrélation en un

point A»

U^ (t) U^ ( t . + . - T ) .

C^ . 1—^^^^p= =====

V u ' i (t) lfu ' i (t * T)

JSi la turbulence: est supposée stationnaire^ le dénominateur est

égal à :

u'i(t))C'est la corrélation qui existe entre deux valeurs de la même grandeur

à deux instants différents séparés par T.

On définit ici, de même, deux temps t et T, échelles des temps de la

turbulence.

On peut introduire également le même coefficient, mais pour deux points

A et B __ __ .

U^ (t) U'B (t+T)

C B . _±__^^^__1T :i

fÂco" J B(7T7)

c'est le coefficient.de corrélation spatio-temporelle (cross corréla-

tion) »

Enfin» il existe des corrélations triples, quadruples9 ...

u1, u1. u9. ou encore p'u*. ....i j k i

— Fonction spectrale

Si, à lfaide d'un appareil dont la bande passante en fréquen-

ce est Af, on mesure la valeur efficace jjiw ? à&s fluctuations de

vitesse uf. dans l'intervalle de fréquence £9 f 4- âf 9

oa pourra représenter l'énergie de fluetuaticm en fonction de la fré-

quence (spectre d*énergie).


VI -9

Cette représentation sert à dé-

finir la fonction spectrale

F^Cf) , représentant la fonction

de distribution (ou densité de

probabilité) de l'énergie de

fluctuation dans le spectre des

fréquences f entre 0 et »

On a ici î f—. 1 .ju'f(f) \f

Fi(f) ** lim i-.i—Ji-Af-K) u1? Af

et

j F - .Cf ) df « 1

On démontre qu'entre les coefficients à1 autocorrélations et la

fonction spectrale^ on a les relations de réciprocité des transfor^

mées de Fourier.

(4X3

A A I A

Cir (T) * Fi (f) COS (2lTfT) df

J o

Fi (f) * 4 I Cit (T) cos^2TrfT) dT

•>o

^ " ^ • ^ * ËSEâ£i£E£Sj£êraJjesd écoulements turbulents^

Equation de continuité

~ apu.J!£ + _L .. odt oX^

Cette équation étant valable en tout point à chaque instant, il vient,

en posant :

p « p •*• p ?

u. « u. * u f

1 1


vi-io

.a.(F* p1) a( p+.pf.>,ff.t.ufi)—-—i-. + «^^^^^^^^^^^^ as 0at 3x.

et en prenant la moyenne dans le temps

H * ZT .0at ax£

,£ * J!VLE!L . o' 8»!

puisque u f» et p' «O

Nous voyons que l'équation de continuité est ici plus complexe et

qu"elle introduit une corrélation entre pf et u1

Si p • constante» il vient simplement :

air.a T -o

Equation de Navier-Stokes

Nous ne considérons que le cas de fluide incompressible.

En opérant de même et en tenant compte de l'équation de continuité, on

obtient , par un calcul très simple, la relation i

>ar -?i - af + %[ïT - p^« — ii

3uo Su.oû ni • v -ST. + a^ Tijainsi,, à l?ëquation de Navier-Stokes . (ou à la composante moyenne du

tenseur des contraintes)s sfajoute le terme 2

3-__T_,

P—^-^3XJ

faisant apparaître les corrélations entre u'. et u'. ; pu.'.u1. sont les

éléments d'un tenseur appelé tenseur des contraintes turbulentes ou

tenseur des contraintes de Reynolds»


VI -11

Equation de l'énergie

Nous ne considérons ici également, que le cas d'un fluide

isovolume. L'équation de l'énergie se réduit alors à celle de l'énergie

cinétique que l'on peut mettre sous la forme s

du.u./2 3pu. 3 3u. du. 3u. 3u. 3u.

>-d£ à inr V j * ?ïj > - »< îïj * «J > nj

compte tenu de la relation de Navier Stokes et de l'équation de

continuité.

Si l'on transforme cette équation comme précédeument, en in-

troduisant u. •• ÛT •»• u\ ainsi que p • "p" •*• p1 f et si

de la relation obtenue, après avoir fait la moyenne dans le temps, on

retranche l'équation de Navier "Stokes ci-dessus multipliée par "û"., il

vient :

du'.uf,/2 S TVp7 . -—-—_-.8uT —--—_-_--0 .—L-JL-. « - _LlL 4- u JL. u» (_-JL + _JL ) - u( ^L * _J.v_iP dt 3Xi

P 3Xi U i I3x. 8xf

; Pi 3x. Sx. J3x,

I II III IV

3_^__^ _____ aiT ;.p_J__.pu.iU.jî;J.

V VI

1 : représente le taux de variation de l'énergie cinétique turbulente

II : la puissance des forces de pression turbulente

III : tf „ des forces de frottement turbulente (viscosité)

IV s " " " " de dissipation interne due aux frottements

turbulents

V : flux d'énergie cinétique turbulentedu au mouvement turbulent

VI : énergie turbulente transférée par unité de temps à partir du mou-

vement moyen.

6,1.5. Stabilité des__ecpulements '

a"îTCe dernier terme montre que pour un écoulement où r—. > 0

c'est-à-dire ou la vitesse moyenne augmente dans le sens de 1*écoule™


VI -12

_ a 7».m&nt pris «uivarafc Qac, alors usj j~ » est > 0 t donc l*énergie

turbulente di&inue»

Cela explique la stabilité relativement meilleure des écoulements dan

nm convergeât que dans un divergent*

Si l'écoulement est limité par une paroi g, ©a peut intégrer

la relation ei^dessus qui prend une forme simple du fait qu'à la paro

n\ & °

-«y™^. ^ ^ ^Ô i A » f -«w»»"-™™™™?» 1 « S / 1 J \ 1 j_ p —•*— dT - - p u ' u ° . TT~ dT - P ( T-— + r—•*) -5— dide JD 2 JD i j 3Xj JB 3Xj 3X. ax.

donc-jrc, où E est I0énergie cinétique turbulente contenue dans D,

est 1® somme de,deux termes. Le second est toujours positif, il repré'

sente la dissipation d"énergie interne due a là viscosité. Le premier

est positif ou négatif selon le sens de l'énergie transférée I partir

du mouvement moyen. On peut donc penser obtenir par là un critère de

stabilité cPnn écoulement, celui-ci redevenant automatiquement lami-

na ire, âpres une perturbation, si "rrrc< ® e

C°est ainsi que Reynolds et Orr partant dsun écoulement la-

ffiinaire et supposant une perturbation sinusoïdale, ont calculé la

valeur du sombre de Reynolds pour ~£. » 0 9 valeur qui correspond

au nombre de Reynolds critique.

Le calcul fait pour lsécoulement de Couette (entre deux plans) et dan

un tube, a donné les valeurs de 516 au lieu 'de 1100 et de 288 au lieu

de 2000»

Le calcul par cette méthode conduit donc <R des résultats

erronés8 vraisemblablement parce que le phénomène dfinstabilité local

ne peut pas être déduit cl "une expression de l'énergie cinétique glo-

bale pour tout un domaine.

Dans les théories plus modernes, on part .des équations de

Navier-Stokes et on considère une petite perturbation de là vitesse

dont on étudie l'amortissement au cours du temps, en fonction du nom-

bre de Reynolds»


VI -13

Nous ne donnerons pas Ici 1*exposé de la méthode» ce qui

nous entraînerait» pour être complet, à des développements assez longs.

Disons simplement que les résultats obtenus confirment assez bien les

observations expérimentales «

6.1.6, Théorj Prandtl

L'utilisation des relations précédentes suppose que soient

connus les termes en p u'-u1. (tenseur des contraintes de Reynolds)»

Or, actuellement9 on ne saititans le cas général„ déterminer leurs

valeurs qu'expérimentalement- Toutefois au voisinage dfune paroi où

les gradients de vitesse 'sont importants, Prandtl a proposé une esti-

mation de ces quantités permettant d'évaluer la contrainte tangentielle

de frottement dans cette zone et d'en déduire une forme des profils

des vitesses.

Longueur1 de mélange

Comme nous l'avons déjà dit lorsque l'on observe un écoule-

ment turbulent, on note des groupements fluide qui se forment„ se dé-

placent sur une distance plus ou moins grande, en gardant une certaine

individualité, puis se fondent à nouveau dans le fluide environnant-

Ces "balles fluides ", selon les termes de Prandtl, ont donc une cer-

taine durée moyenne de vie pendant laquelle elles parcourent une cer-

taine distance dont la valeur moyenne constitue justement ce que Prandtl

a appelé la longueur de mélange (mischungsweg). Il y a dans cette des-

cription une analogie avec le libre parcours moléculaire moyen» sauf

évidemment que les molécules ont une existence durable.

L'analogie se poursuit si l'on calcule la contrainte qu'exercent les

différentes parties du fluide les unes sur les autres.

En écoulement laminaire, cette contraint® est liée aux quan-

tités de mouvement échangées au niveau moléculaire entre deux couches

fluides voisines. Il en est de même en écoulement turbulent, l'échange

se faisant au niveau des ces "balles fluides "donc à partir d'enti-

tés ayant des vitesses beaucoup plus faibles, mais des masses énormé-

ment plus importantes. Dans ces conditions, l'égalisation des vitesses

et les forces de frottement mises en jeu sont beaucoup plus grandes,

d'où l'explication des profils de vitesse beaucoup plus " plats " en


VI 44

écoulement turbulent» et des frottements (résistance à l'avancement,

pertes de charge) beaucoup plus grands.

En appliquant le théorème des quantités de mouvement à ces

"balles fluides" supposées animéesf p&T rapport à la vitesse moyenne

u9 de la vitesse d'agitation turbulente u1, on retrouve aisément les

composantes poT7~uTT du tenseur des contraintes turbulentes.

Ecoulement au voisinage d'une paroi(écoulement a gradient

de vitesse et à p constant)

Considérons un écoulement au voisinage d'une paroi, avec un

système d'axes Ox « Ox dans le sens de l'écoulement local moyen et

Ox2 « Oy pris normalement à la paroi.

On a alors» d'après la relation

de Navier Stokes en régime turbulent,, poui

la contrainte tanpentielle au voisinage

de la paroi s

3ïï -r-rT * p *4~™ - p U V

ii* et v1 étant les composantes de

la vitesse turbulente suivant x

et y »

En considérant le profil des vitesses moyennes, on peut

écrire :

Au « £ — (u fonction de y seulement)

Le postulat de Prandtl a été d'admettre que si £ est de l'or-

dre de la longueur de mélange» alors Au |u'j f il a admis de plus

que fv f" (u1!; •

roû l HF1"! £2 c|~)2

et en introduisant C , f œ "**—~~~— coefficient de corrélation déjà

jTPTlv'ivu-(Cu,v, *> - 0,4)

__ 9 o«M»».».». 51 3i« ") an

^^ • cu- v- p * (l7> - P * <§)


Vî -15

d'où compte tenu de ï

T - p < v * o f # p Ç £

en posant

' "*2 Mviscosité cinématique turbulente,

On a Ç » v, ce qui explique l'énorme accroissement du frottement

fluide du à la turbulence.

Près de la paroi v'-^Gg donc t également.

La figure ci-contre montre

approximativement la va-

riation de £/a en fonction

de y/a dans le cas d'un

écoulement en conduite

où a est le rayon.

6.2. ECOULEMENT DE FLUIDE VISQUEUX - COUCHE LIMITE

L*écoulement d'un fluide est complètement défini non seule-

ment par le système d'équations aux dérivées partielles (conservation

de la masse, équation de la dynamique et conservation de l'énergie)

qui le régit, mais aussi par les conditions aux limites. Or,» le nombre

de conditions aux frontières a introduire dépend de l'ordre des équa-

tions aux dérivées partielles qui déterminent le'phénomène ; du premier

ordre pour les fluides parfaits* elles sont du deuxième ordre pour les

fluides visqueux. On voit donc que mathématiquement le problème du flui-

de non visqueux diffère profondément de celui du fluide visqueux.

En fluide parfait, la seule condition imposée au contact d'un fluide

et d'une paroi, est que la vitesse relative du fluide soit tangente

à la frontière solide ; en fluide visqueuxf la valeur de cette vitesse


Vî -16

doit être précisée : la condition d'adhérence généralement admise

impose que cette vitesse soit nulle*

Des solutions rigoureuses des équations de fluide visqueux

n'ont encore pu être obtenues que dans un nombre limité de cas parti-

culiers et uniquement en écoulement laminaire ; aucune solution n'a

pu être donnée dans le cas d'un fluide compressible.

Deux exemples de solutions exactes ont été donnés dans un

précédent chapitre, à propos d*écoulements laminaires permanents de

fluide incompressible pour lesquels les équations de continuité et de

quantité de mouvement, forment un système découplé de l'équation de

l'énergie.( écoulement de Couette et écoulement de Poîseuille)«

Les équations du mouvement d'un fluide visqueux n'étant pas

linéaires, on peut alors penser les résoudre en négligeant certains

termes.

Dans tout ce qui suit, nous nous placerons dans le cas d'un

écoulement permanent de fluide incompressible défini par les quatre

relations déterminées par les équations de continuité et de Navier

Stokes.

9u.

^ =0 (6.1)

3u. j g

Uj 357 '- p àf. + VAui (6.2)

, 6*2.1. .EcjçKjjjsmj ^

Pour les faibles valeurs du nombre de Reynolds, les termes

de viscosité sont prépondérants devant les termes d'inertie et on peut

essayer de négliger ces derniers.

a-_p3 * P A Ui

ou encore grad p - yAtf (6,3)

En prenant la divergence des deux membres de cette équation»

et en remarquant «|ue'l*on peut permuter les operateurs div. et A, on


VI -17

montre, compte tenu de lféquation (6.1) que la pression p est une

fonction harmonique des coordonnéees x^*

âp « 0

C'est là cas notamment des écoulements d'huile dans les pa-

liers (voir exercice)« Ces équations ont été également utilisées par

Stokes dans le cas d'un écoulement infiniment lent d*un fluide visqueux

autour d'une sphère. On obtient ainsi par un calcul relativement simple

les trois composantes de la vitesse dis fluide et la pression p en un

point quelconque de l'écoulement.

tr [ 3 Rx2 [R2 , 1 I R L R21 A ,u = v" L1 "7 17 J" * 7 L3 7J !.

17 3 5*Z FR* il

*-'.T ~i [7-'J

-v.i *$ [4-,]r IT J

3 Vœ Rxp * p^ . T p __

l'écoulement à l'infini étant parallèle à Ox? R étant le rayon de la•r~Y~~~~~Y~^m~~^~2~'

sphère e t r « y x * y •»• z «

Par intégration des forces de pression et de frottement visqueux s'exer-

çant sur la sphère, .Stokes a pu déterminer la traînée de celle-ci

T « 6ir y R Vœ

Cette formule est en bonne concordance avec l'expérience pour des nombres

de Reynolds (rapporte au diamètre de la sphère) inférieurs a l'unité.

6.2.2. ££n££££__ ^

Un autre cas extrême est celui où les forces d'inertie sont

prépondérantes devant celles de viscosité. Dans de tels écoulements,

nombre de solutions théoriques obtenues à partir des hypothèses de

fluide parfait sont en bon accord avec les données expérimentales, si


VI -18

on considère les zones éloignées des obstacles, mais ne le sont plus

dans leur voisinage immédiat. Il existe donc au voisinage de frontières

solides une région où 1*écoulement change de caractère.

Afin de mieux comprendre les limites du schéma des fluides

parfaits, reprenons les équations du mouvement écrites sous forme

réduiteg :

«rt-8-r -0 (6.4)

-jfe * i. --fe ATi < 6 - 5 >— u" _ x°

obtenues en posant u."*-— , x. « 7- et "p~« —s-1 V^ X L pV2co

On remarque que si les forces visqueuses sont grandes devant

les forces d'inertie (écoulement à faible Re) , on peut négliger ces

dernières, mais l'inverse n'est pas vrai.

À titre d'exemple, considérons le cas d'un écoulement bidimensionnel.

En éliminant la pression dans le système (7.3) et en introduisant la

fonction de courant 4* t on obtient :

-21 -L.(V2W . 3JL ± (V2^) - u V1* * (6.6)3y 3x- • 3x 9y

équation différentielle partielle du 4e ordre en 4> avec à droite les

termes visqueux et à gauche les termes d'inertie. Si les forces visqueu-

ses l'emportent sur les forces d'inertie V1*^ « 0» équation linéaire

se prêtant à une solution» l'ordre de l'équation (6.6) n'est pas abais-

sé, et l'on peut satisfaire toutes les conditions aux limites. Ce n'est

plus le cas si les forces d'inertie sont prépondérantes, l'ordre de

l'équation est abaissé et l'on ne peut plus satisfaire a toutes les

conditions aux limites. Le système s'identifie alors, à celui que -l'on

obtient pour un fluide parfait (Euler) ; le champ des vitesses trouvé

Satisfait seulement à la condition de glissement le long d'une paroi ;

cette solution ne peut représenter la solution des équations de Navier

StokeS au voisinage-de la paroi (conditions d'adhérence du fluide).


Vï -19

Dans ce cas, 1*espace peut être partage en deux domaines s

- l'un Appelé "couche limite", attenant à la paroi où les ef-

fets de la viscosité sont prépondérants

- l'autre ', situé à l'extérieur du premier qu'on appelle

"fluide libre", et pour lequel on peut appliquer les équations d'Euler,

Ce concept de couche limite introduit par Prandtl (1904) con-

siste donc a admettre que les effets de viscosité ne sont sensibles

qu'au voisinage d'une frontière solide et qu'ils peuvent être négligés

dans l'écoulement extérieur. La vitesse du fluidef nulle à la paroi,

augmente très rapidement au sein de cette couche limite de faible épais-

seur jusqu'à la vitesse Ve de l'écoulement extérieur*

Comme le gradient de vitesse y est très élevé, deux couches

de fluide très voisines ont des vitesses très différentes» par suite»

la couche limite est le siège-de frottements intenses*

De nombreuses études expérimentales, notamment à .l'aide de

l'anémomètre à fil chaud, ont apporté des précisions fondamentales sur

la constitution de la couche limite «

A partir du bord d'at-

taque d'un profil, et jusqu'à un

point T, l'écoulement dans la

couche limite est laminaire ;

le profil des vitesses 0 est

constant.

Au delà d'un point T',

l'écoulement est turbulent ; le

profil des vitesses est diffé-

rent : la vitesse augmente très vite au voisinage de la paroi (on re-

présente souvent son profil par une droite), puis tend de plus en plus

lentement vers la vitesse extérieure Ve»

La région entre T et T'

où le profil passe progressivement

de la forme ® à (2), constitue

la zone de transition. La posi-

tion du point T appelé point de

transition correspond à un nombre


Vî -19

Dans ce cas, 1*espace peut être partagé en deux domaines %

— l'un appelé "couche limite"9 attenant à l& psroi où les ef-

fets de la viscosité sont prépondérants

— l'autre $ situé à l'extérieur du premier qufon appelle

"fluide libre", et pour lequel on peut appliquer les équations d'Eyler.

Ce concept de couche limite introduit par Fraadtl (Î904) con-

siste donc a admettre que les effets de viscosité ne sont sensibles

qu'au voisinage d'une frontière solide et qu'ils peuvent itre négligés

dans l'écoulement extérieur. La vitesse du fluide, nulle à la paroif

augmente très rapidement au sein de cette couche limite de faible épais-

seur jusqu'à la vitesse Vg de écoulement extérieur*

Comme le gradient de vitesse y est très élevés deux couches

de fluide très voisines ont des vitesses très différentes^ par soite,

la couche limite est le siège de frottements intenses*

De nombreuses études expérimentales, notamment à lfside de

l'anémomètre à fil chaud, ont apporté des précisions fondamentales sur

la constitution de la couche limite,

A partir du bord d'at-

taque d'un profil et jusqu'à un

point T, l'écoulement dans la

couche limite est laminaire ;

le profil des vitesses (?) est

constant.

Au delà d'un point T's

l'écoulement est turbulent ; le

profil des vitesses est diffé-

rent : la vitesse augmente très vite au voisinage de là paroi (on re-

présente souvent son profil par une droite), puis tend de plus en plus

lentement vers la vitesse extérieure V .

La région entre T et Tf

où le profil passe progressivemeni

de la forme (?) a @, constitue

la zone de transition. La posi-

tion du point T appelé point des

transition correspond à un nombre


VI -20

de Reynolds (rapporté à. la vitesse extérieure ¥e et 1 lsabscisse x

le long du profil à partir du bord d'attaque) de l'ordre de

5.105. Cette valeur ea réalité de la turbulence extérieure et

de la rugosité de la paroi, À partir de ce point T, la couche limite

toujours une laminaire êous couche laminaire) , la

turbulence apparaissant la ou les. mouvements transversaux

ae plus gênés par la présence de la paroi.

§ s 2 • 3 * Fj[Cjjjt| in-

£Om££££ W£

On caractérise la couche limite un certain nombre de pa-

ramètres»

a) EpaïsseuT 6

C*est par définition la distance

de la paroi à laquelle est atteinte une. .

fraction donnée de la vitesse extérieure

(0,99 % en gênerai)

b) Epaisseur de déplacement 6 j

6

6 - [ ( i -H ) dy:£ [ <l -£) dy1 J o e J o e

Cette grandeur mesure la

perte de débit relative due à la

couche limite : cfest là quantité

dont il faudrait déplacer en cha-

que point la paroi pour maintenir

le débit inchangé en fluide par-

fait.

c) Epaisseur de quantité de mouvement

>, •r*."-ï.>**iN. "-v*o


VI . -21

d) Epaisseur de force vive

« 3- f f («-£> dy =# |% <"4>'y• ' o e V •* o e Ve e

e) Frottement à la paroi

On désignera par T la valeur de la force de frottement

exercée par le fluide sur là paroi «

On introduit souvent le coefficient de frottement pariétal :

Cf ' \ I î ' Çe

f) Facteur de forme

C ?est par définition le rapport :

«i— " S52

6.2.4. E£UjiHLpjt£j3 ^

sible en écoulement i piilanT lâguê|iiii[i l.anie|

Le choix de ce type particulier d'écoulement tient au fait

que d'une part une solution exacte de la couche limité peut être ob-

tenue et que d'autre part cette solution constitue une première ap-

proximation pour les écoulements autour d'obstacles élancésf habituel-

lement étudiés en aérodynamique*

Nous supposerons l'écoulement permanent , le fluide incompres-

sible, à viscosité constante et les forces extérieures nulles.

Les équations de continuité et de Navier , écrites sous for-

me réduites sont ;

^ +2Z - 0 (6.7)3x 3y


VI -22

^ * 7 ^ * - ^ + i < ^ *.!fl) (6.8)3x 3y 8x Re 8x2 By2

iriï + 75Z ..S * I <2!ï ^ a f v } ( 6 > 9 )3x 3y 37 e 3x2 33F2

x", ys ^9 'v, "p grandeurs adimensionnalisées à l*aide de L, V , pV

V Ls « eKe ——

u

On admet que dans ce type dfécoulement, l'encombrement trans-

versal est petit devant le développement longitudinal (longueur carac-

téristique L) .

6 - e L

l'équation de continuité impose que

—— et — soient du mime ordre de grandeur, de l'ordre î.3x 3j

v est donc au ordre de grandeur que y soit 0(e)

Considérons là première équation de Navier (6.8)

- lorsque y varie de 0 à 6 (y varie de 0 à e)

ïï varie de 0 à î

donc î

2| **I « I3y 6y e

„ au . -v_ ^ î

. au . .UW ^ !

- quand y varie de 0 à e

|~ varie de î/e à 0


VI -23

d'où :

6 Uï

3y2 S^ £2

32rrOn admettra que — * l

3 x2

Pour que les termes de viscosité ne disparaissent pas9 R.

doit être de l'ordre de 1/e2 . On en déduit que l*épaisseur 61 de la

couche limite varie comme 1?inverse de la racine carrée du nombre de

Reynolds»

Les ordres de grandeur de chacun des termes de l'équation

(6.9.) sont

3v 3"v _— *v* .e u — ^ ,£ car u > 13ic 3x

3 v , 3 v— *v» 1 v •-— a- e car v a» e3y 3y

2!i . e et l!ï ^ 1/e3i2 3y2

Comme R est de 1*ordre de 1/e2 9 on en déduit :

-»••En reportant ces valeurs dans les équations (6.7), (6.8) et (6.9), on

obtient les.équations de la couche limite, dites équations de Prandtl

qui s'écrivent en variables non adimensionnelîes :

"~ •-——-—----—-—^ __™_~_~™___|du 3v ô

3x 3y u

(6^10)3u ^ 3u î dp ^ 32u

•U ^ 4, y «._ 8 «- _ ™H + y _

3x 3y p dx 3y2

Remarquons que, compte tenu des approximations faites, la

pression est constante dans une section droite normale à 1?écoulement*

La valeur de dp/dx nous est donnée par l'évolution de la pression dans

l'écoulement extérieur , soit

£ . extérieur _ .. 0 ve 1 (6. „,


VI -24

6*2.5, JlaHJ!iJ£ILiLi

iÎ2Îi£.

Karman a établi une relation entre différentes grandeurs

caractéristiques de la couche limite, épaisseur de déplacement» de

quantité de mouvements gradient de pression et contrainte tangestielle

à la paroi®

£n posant T « v ~ (régime laminaire)f Véquation (6.10)

peut s^écrire :

uiE + VM . .1 JE * I iL / A O N3x 3y p 3x p 3y (6.12)

En intégrant cette relation entre y ^ Q e t y ^ S s ô t compte tenu

de (6.11), et de Inéquation de continuité,6 6

- — - f J^{u(¥e-u)}*^- ( i¥e~u)dyp av dx

J0 '

J°

ou encore : «

%'•& f " 2 (^»-^» d^ + Ve ( 1-^ ) < i yJ0 )o

soit Inéquation de Karman

II. d (Ve26 ) + 6 Ve^ (6.13)

p dx 2 1 dx

ou sa forme équivalente en faisant apparaître le coefficient de frot-

tement pariétal C,.

^--K-Â g"|

Cette relation permet de prévoir le comportement d'une couche limite

en fonction du gradient de pression longitudinal.


VI -25

- si -jjj- « 0 là couche limite s'épaissit an fonction de x

- si --=— > 0 (écoulement extc leur accéléré^ le de• siom négatif ra% .. it 1 é^'ution de la lia:

dVe- si -—- < © (écoulement extérieur ralenti) ce accëlèn

au contraire son, accroissement*

Si le gradient de pression défavorable (positif) est suffi

sanment intense, la vitesse des particules fluides peut, au voisinai

de la paroif s'annuler et changer de signe ; cfest le phénomène de

décollement au cours duqel la couche limite se sépare de la paroi

pour se développer à distance de celle-ci.

6 .2*6» Ji£H£È£«JLiE^^tUjj^ (plaque plane)

l£lHî£S«ê2ê£lê«.^ê«-MâSiHS

Les équations de la couche limite se réduisent alors à :-

.?£* il.. 03x 9y

8u ^ 3u oûu U + v a 7 ° v y

auxquelles il faut adjoindre les conditions aux limites

pour y ^ O u ^ v ^ G

pour y « 6 u * Ve

La méthode générale consiste à rechercher des solutions

affines-, c'est-à-dire de la forme :

£ . f I ) pOSons _Zj. . n

3u v 6? df-r— « - Ve n -r- -r-3x ' 6 dn

d'après lféquation de continuité, on a :

v - - 6 f^dn « Ve 6f f n f dn1 3x;o ;o

rnen posant far] K F il vient :

ô


VI -26

v « Ve 6' <F fTr F) '

-^*_ê n ~ F"3x ^ê n 6

1H . ve 1 al - F"3y dn dy 6

iJL . ÏS. F'"ay2 62

L'équation initiale sfécrit :

F"'(n) +2~ '(n) F"(n) - 0

F(n) nfest fonction que de et 6 n?est fonction que de x9 il faut

donc obligatoirement que

Ve_6_ d£ m m

' v " dx

On a donc 6 « V 2 a V S - en admettant que pour x ^ O o n a Ô ^ O ,

Blasius a fait le calcul en prenant a ~ 1/2.

2 F"f 4- F"F - 0

II n'existe pas de solution explicite* On détermine la fonction F en -

intégrant cette équation au moyen de séries de la formeA à2 2 3 3

F(n) - AQ + Ajn + yr n + 37 n *....

en utilisant le procédé classique d f identif ication. Nous ne ferons

pas le détail de ce calcul en principe très siînples mais nous donne-

rons quelques valeurs numériques de F f ( n ) qui représente la valeur

u/Ve.

n * £ 0 i 2 3 4 5 6 7ô

~--F f(Ti) 0 0,329 0,619 0,846 09955 0,9910,9990,999

On remarque que Ff(n) tend vers i très rapidement.

La connaissance de la fonction F et de ses dérivées conduit

aux caractéristiques locales de la couche limite.


(Extrait de Grenzschicht - Théorie de Schlichting.)

La composante normale de la vitesse s'obtient par

v « Ve 5 f ( x ) (F'n- F)

2 v /~~~"soit F 'n - F ** ~~- VRx

^BTTjiTp^" r >» m l K i j . r r j

, IlS^ZIIÎIllIIu? ^ 3 4 5 ^

•7-y]

(Extrait de Grenzschicht - Théorie de Schlichting.)

Il y a donc à travers la frontière de la couche limite un

débit non nul.


Vï -28

BaiSS£H£»âS«iE»£2u£!}£»Ii5 te

On convient dfadopter pour épaisseur l'ordonnée y « 6

correspondant à la valeur u/Ve • 0§99 œ Ff(n)

Four cette valeur de F*(r}) on trouve n « 4,92

et 6 •4'92 fLa frontière de la couche limite a donc une forme paraboli-

que avec une tangente verticale ay bord d§attaque de la plaque. En

cet endroit9 les équations de la couche limite représentent mal les

phénomènes» son épaisseur n8étant plus négligeable devant la longueur

intéressée de plaque*

lEâ^ §J!lH! f!ê~âiBlacë5eBJ=

\~ T(î '£> dy=jlF ("o-F'OOldnj o y JG

Le calcul nous donne

'.-'•72^~-''"3=

£2Ê^fi£^êBt«,^ê™fr2tte2ê2£ f

Comme on suppose que dans la couche limite les vitesses

sont peu inclinées sur la tangente à la paroi, la forcé de frottement

par unité de surface est s

,8uvT° - y ^Vo

g-^F-Cn) avec 6 - ^[f

0ô^F"(0) F"(0) K° ' 3 3 2

rvTTO - y . 0,332 . V e l «

_lL— £L£É*.^ I p v / • v^


V 1-29

Les expériences confirment bien cette loi»

Egaisseurjde 2uaiîtité_de_mouvement

% - [ " & < ' - £ > *Ô

Or d'après l f équa t îon de2 d62,-0 . p v

z -£e dx

d6 TQ _

-^ - —r • F|I(O) terdx Pvcr Vve x

62 * O f 664 & « 0,664 —£—

VRe7

?B£â2i£rS-î-.f2ïSê

Le paramètre de forme du profil de Blasius a pour valeur

6,H « -F- « 2,5962

£ 9 2 « 7 « gouche 1Limite_ turbu 1 en te

L'étude de là couche limite turbulente consiste essentielle-

ment à examiner le comportement de l'écoulement inoyens c'est-à-dire

les composantes moyennes de la vitesse. Théoriquement, il n?est pas

possible de déterminer les caractéristiques représentant un bilan de

ce comportement moyen sans hypothèses concernant les fluctuations et

on doit se contenter de résultats semi-empiriques.

Le frottement exerce au sein de la coucha limite est la som-

me d'un terme laminaire du à la viscosité et d'un terme turbulent pro-

venant du mouvement d'agitation.

T (x,y) * y •— - p IPv u * û" * u*

Dans la sous-couche laminaire, les vitesses transversales

instantanées peuvent être négligées et on a un écoulement analogue à

un écoulement visqueux. Si l'on suppose que la contrainte de frottement

T est constante dans toute l'épaisseur de cette sous-couche, et égale


VI -30

à la valeur TQ à la paro!9 on en déduit que le profil des vitesses

est linéaire. En introduisant la vitesse de frottement définie par

* r ô"u m u— , il vient

7-^-fL'expérience confirme l'existence de cette loi jusqu'à des

de Reynolds R de l'ordre de 5, ce qui permet de donner une

valeur I l'épaisseur du film laminaire»

Remarquons que lfépaisseur de cette sous-couche et la

vitesse atteinte à cette frontière sont définies par le raccordement

du profil linéaire de vitesse à la loi d'évolution du profil en écou-

lement turbulent®

Dans la partie extérieure du film laminaire et à de faibles

distances de la paroi, l'écoulement turbulent dépend des conditions

à la paroi (essentiellement du frottement) ; la vitesse suit une loi

indépendante des conditions externes de la couche limite : c'est la

"loi de paroi".

Dans cette région^ le terme de frottement turbulent est pré-

pondérant devant le terme de viscosité»

T(x*y) * Tturb. " " p<ÏÏVr

Le concept de longueur de mélange de Prandtl permet de re-

lier 1?agitâtion turbulente aux gradients de vitesse moyenne

T « p I (~) £ longueur de mélangeàj

Pour déterminer le profil des vitesses de la loi de paroi,

Prandtl suppose qu'au voisinage de la paroi la longueur de mélange

est proportionnelle à la distance y et que le frottement ne peut

s^écarter notablement du frottement à la paroi ;

£ « k y T - TO

., - , 2 2 ,3u.2d'où T0 - P k y (—)


VI -31

.r- *8u uSOlt _ = _3y ky

équation qui conduit à la forme logarithmique de la loi de paroi

4-A + î In <LZ.u* k v

A étant déterminé à partir de la vitesse à la frontière du film lami-

naire» k constante universelle de Prandtl - 0,4.

Les résultats expérimentaux confirment bien cette loi.

A partir d'une certaine distance y doit se produire un

raccordement à 1 Ecoulement extérieur ; la vitesse suit une loi por-

tant sur la différence Va~u, d'où une loi dite "loi de vitesse défier

taire"Ve-u_-B-^nK

L'expérience montre que cette loi recouvre très largement

la loi de paroi et qu'elle est valable dans la quasi totalité de la

couche limite. La figure ci-dessous montre des résultats obtenus par

Nikuradse et Reichardt à la paroi d'une conduite où les phénomènes

sont de même nature qu'au voisinage d'une plaque.


CHAPITRE 7

'ECOULEMENT STATIONNAIRE EN CONDUITE DE SECTION

CONSTANTE D*UN FLUIDE VISQUEUX ÎSOCHORE (P = este)

PERTES DE CHARGE


VII.3

ECOULEMENT STATIONNAIRE EN CONDUITE DE SECTION CONSTANTE

D'UN FLUIDE VISQUEUX ISOCHORE (p = este) - PERTES DE CHARGE

L'étude des écoulements stationnaires en conduite de sectionconstante d'un fluide visqueux de masse volumique supposé invariable re-vient, essentiellement, à la détermination des deux éléments les plus ca-ractéristiques , le profil des vitesses et la perte de charge.

Ce sont des grandeurs directement liées à la viscosité du fluide,laquelle, en présence de paroi, introduit un gradient de vitesse, donc descontraintes de frottement entre les couches fluides.

Pour un nombre de Reynolds suffisant, ces mêmes gradients de vi-tesse conduisent au développement de la turbulence.

Comme ces phénomènes, contraintes de frottement et turbulence,dissipent de l'énergie mécanique du fluide, ils ont comme conséquence di-recte une diminution, de l'amont à l'aval, de la charge moyenne dans chaquesection droite de conduite.

1 . RELATION ENTRE PERTES DE CliARGES EJ^gNTjAjyjTj_j^NGENTIELLE DE FROTTE-MENT

1 . 1 . Généralités

Pertes de charge et contrainte de frottement étant deux aspectsd'un même problème, l'on peut aisément exprimer l'un en fonction de l'au-tre.

En effet, lsanalyse dimensionnelle permet d'écrire, pour uneconduite horizontale de diamètre D :

tf=*M)^ <»^Âsf E AT Puisclue z et U sont constantes)

T0. Cf (Re, §) M! (2)r ni

avec U vitesse moyenne de débit jU ~ -5-I et où TO et C, sont respectivement

la contrainte tangentielle de frottement à la paroi et C le coefficient de

frottement pariétal.


VII.A

A noter que, si l'écoulement est turbulent ou si la conduiten'est pas rigoureusement de section circulaire, on considérera respective-ment les valeurs moyennes des paramètres sur t et un diamètre moyen D ap-

Hpelé diamètre hydraulique et tel que

D -^DH X

où x est le périmètre de la conduite de section S.

Enfin,, si la conduite est inclinée^ il suffit simplement de rem-

placer dans (î) la pression p par la pression motrice p = p + pgz.

Lfapplication du théorème des quantités de mouvement à la surfacede contrôle indiquée ci-contreconduits en projection sur OX, à larelation :

PS - (p * Ap) S - ~ A£ X T0 ^*«**^^^

_£_•.' '<4r**9 î,, ^ ~ Ap S ' "~~~7; ' -* LdSOU ïn = TT • — <£-• '-£-*> K

0 A£ X : Et

A noter qu'avec la conven- '............ _.j vtion de signe choisie, Tp, qui re- * ^~~" ' Jlg~ ^ 'n-$,'présente l'action de la paroi sur le ^ • a>»

fluide et -T*~ la variation de pression

par unité de longueur^ sont des quantités négatives»

Dans ce qui suitj tout comme cela a été fait implicitement dansles relations (I) et (2), nous considérons essentiellement non pas la va-leur algébrique de ces quantités, mais leur module? que nous noterons

'0-h.|.t£-|!f. r;,,..

Compte tenu de ces remarques, on déduit? en notant que — = D (ou

X , \ ,D Ap •/ ' '

T _ := —- —-£_0 4 A£

et , en reportant dans (I) et ( 2 ) , on tire î

A « 4 C^ et ^ » A ï£î p o

Coïïime ~™"- est homogène au carré d'une vitesses on pose souvent

I/* • -' ")

quantité appelée vitesse de frottement,


VII. 5

ce qui entraîne la relation

F = v/î «>

1.2. Variation de la contrainte de frottement locale T en fonction dela distance à \a_ paroi

Par un raisonnement analogue au précédent appliqué à une surface decontrôle cylindrique de rayon r, on a (voir figure ci-contre),

AP = 11 'A£ r

et, comme on a également

A£ = 2TQA£ a

où a est le rayon de la conduite a = -^ .

On en déduit

JL_ - LTO ~ a

ou encore en posant y = a - r

J_ = 1 - ZTO a

ce qui montre que la contrainte diminue linéairement de la paroi au centrede la conduite (y = a) où elle est nulle.

2. REGIME LAMINAIRE

Les équations de NAVIER-STOKES fournissent immédiatement leséléments caractéristiques de l'écoulement, à savoir :

- un profil des vitesses paraboliques

—H-. , _4 avec u - 2 H fu - |)u a^ max SImax v J

- un coefficient de pertes de charge X proportionnel au nombre deReynolds Re, donc une perte de charge croissant linéairement avec la vitesseet la viscosité du fluide.

*=H -cRe-f (5)

II en est de même pour le coefficient de frottement C^ s —


VII. 6

3. REGIME__TUiRÛIJENT

Pour les écoulements en conduite et comme on l ?a déjà vu, le ré-gime laminaire ne se maintient pas, sauf précaution spéciale, à des nom-bres de Reynolds supérieurs a 2000, ce qui correspond, par exemple pour uneconduite de D ~ 0,10 .m où circule de l'eau (v = 10-*& m2/s), à une vitesselimite d'environ 2 cm/s (environ 20 cm/s avec de l'air). Une telle vitessene correspond pas à la pratique industrielle courante où les vitesses sont,pour l'eau, de l'ordre de I à 2 m/s (réseau d'adduction d'eau par exemple).

On peut également noter que, si le régime laminaire se mainte-nait à grande vitesse, les écoulements naturels dans les fleuves et riviè-res aurait des vitesses énormes. Un calcul simple montre que, par exemple,

le Rhône, à la traversée de Lyon dont la pente moyenne du lit est de l'ordrede 6«ÎO~"L% aurait en régime permanent (pente du lit égale à celle de la li-gne d'eau) une vitesse supérieure à 1000 m/s, ce qui est absurde. Dans laréalitës la vitesse est environ 2 m/s.

La turbulence augmente donc considérablement la dissipationdsénergie et des recherches ont, été entreprises dans le but d'en retarder etlimiter le développements afin de réduire de façon sensible les pertes decharges *

Certains produits (gomme de Guar, polyoxyde d'éthylène) constituésde macromolécules ont ainsi été mis au point et commencent à être utiliséscomme additif dans I5eau employée pour la lutte contre les incendies, ceciafin d'augmenter la portée des jets.

3 • 1 • j jLl2£Lïj ^

La viscosité drun fluide résulte essentiellement de l'échange, auniveau moléculaire, de quantités en mouvement entre les différentes couchesfluides* Elle est donc directement liée à l'agitation moléculaire

*-fïT <-°'8'HO 1TOJ

En écoulement turbulent, il se superpose à l'agitation molécu-laire une agitation macroscopique résultant de la formation, dans le flui-

de, de domaines de dimensions finies {"balle fluide" selon la terminologiede PRANDTL) en perpétuel renouvellement et dont les différents éléments, quiont une vitesse sensiblement identique, assurent entre les différentes cou-ches fluides un important transport de quantité de mouvement (ainsi que dechaleur), dsoù il découle une contrainte de frottement très supérieure àcelle du régime laminaire^ où seule intervient l'agitation moléculaire.

On peut calculer connue suit la contrainte de frottement ainsiinduite,

Considérons, pour cela9 un écoulement où la vitesse moyenne dufluide a une seule composante u.


VII.7

Soit, dans le domaineI, une "balle fluide" dont lescomposantes de la vitesse sont,à un instant donné,

u = u + u1

v = v?

L'effort exercé locale-ment lorsque la "balle fluide" demasse Am passe du domaine I audomaine II peut être déterminé àpartir du théorème des quantitésde mouvement.

Pour cela, si l'on exprime Am à partir du débit massique q àm

travers l'élément de surface AS, on a :

Am = q At = pv! AS . At

d'où, dans un système d'axes liés à la vitesse moyenne u des milieux I etII, la composante suivant OX du débit de quantité de mouvement à travers AS :

uf q ~ "- p u'v1 AS

(le signe - résulte de l'orientation de la normale extérieure)

Comme le débit de quantité de mouvement = force extérieure appli-quée, on a :

Af * - p usv? AS

En passant à la limite, on a ainsi pour la contrainte instantanée résultant

de ce transfert ~— = lim -r— exercée par le milieu I sur le milieu IIds AS+O As

df , ,_— p u V

La valeur moyenne T de cette contrainte sur un intervalle de

temps T est telle que, pour p = este,

ft'fTTT - - | j u'v' dt

soit T - - p u'v1T

a. Tenseur des contraintes de REYNOLDS

Le résultat ci-dessus^généralise en considérant toutes les compo-santes uï des fluctuations de vitesses. La contrainte locale est alors


VII. 8

représentée non pas par le seul produit - p u'v', mais par l'ensemble desproduits - p u. u. qui constituent alors ce que l'on appelle le tenseur des

contraintes turbulentes de REYNOLDS i

T . . = - p U ! U !1J 1 J

b. Théorie de PRANDTL

PRANDTL a supposé que, près de la paroi, on avait :

iFH/îf .où 1 est une longueur caractéristique de la distance moyenne parcourue parles balles fluides ayant une vitesse de fluctuation uf ,vf et qu'il appellelongueur de mélange (Mischungsweg).

On déduit de cette hypothèse que :

•'. -i2(f)2

et, en introduisant le coefficient de corrélation C défini par :

C = U 'V 'Jïï lW

-T-T i2fdu1 2u!v * c x yEn conduite, C est une quantité négative dont la valeur est de

l'ordre de - 0,4.

En reportant cette valeur de u'v1 dans l'expression de T ci-

dessus, il vient :

'*—"•(!)'On peut alors définir avec Boussinesq, la contrainte de frottement globale Tcomme la somme de 2 termes,l'un correspondant à une contrainte visqueuse calculéà partir du gradient 'de vitesse moyenne, l'autre résultant de la turbulence del'écoulement,

dû r T2fdu12

T - y - P C 1 [J

Comme, d'une manière assez générale, on a, dans de tels écoulements à

gradient de vitesse moyenne, un produit C -~ <0S on peut écrire,

i-vf * |C|1* jf f (6)


VII. 9

c'est-à-dire - « (v + v1) ~ (7)P ciy

en posant v' - |c| l2 |-~p

Sous cette forme, on voit apparaître, à côté de la viscosité ciné-

matique classique v = —, un terme complémentaire v? appelé par BOUSSINESQ

viscosité cinématique turbulente et dont la valeur est, en régime turbulentnormal, plus de mille fois supérieure à v, si bien que lfon pourra, dans lescalculs en régime turbulent, négliger les contraintes liées à la viscositécinématique v du fluide.

3.2. Profil des vitesses et pertes de charges en régime turbulent

3.2.1. Conduite! lisses

Du point de vue duprofil des vitesses., trois do-maines sont à considérer :

a. au voisinage immé-diat de la paroi, une zoned'écoulement 1cuni.nai.Te de trèsfaible épaisseur avec des gra-dients de vitesse très impor-tants. Cette zone est dénomméefilm ou sous-couche limite la-minaire.

b. au-delà de cettezone pariétale? la turbulence peut se développer et l'on observe alors undomaine d'écoulement turbulent où les gradients de vitesse moyenne sont en-core très importants. Cette zone est la couche limite turbulente.

c. enfin, au-delà d'une distance telle que ~ 0?2, on a la zone

centrale avec des gradients de vitesse moyenne u relativement faible (pro-fil des vitesses presque plat).

3 .2. î . 1 . Sous-couche limite laminaire

On a donc près de la paroi un écoulement laminaire avec, un profildes vitesses linéaire.

On constate que cela reste strictement vrai jusqu'à une distanceu*yy de la paroi telle que le groupement —z-, appelé nombre de REYNOLDS de

frottement et noté Re , atteigne une valeur de 5 environ.


¥11»10

Puis9 au-delàj le profil des vitesses a une pente qui, commeindiqué sur la figure, diminue à me-sure que la turbulence peut se déve-lopper.

Dans la zone d'écoulementlaminaire, on a évidemment :

L .ÊHp dy

dfoù, en introduisant la vitesse de

frottement u et en supposant né-gligeable la variation de lacontrainte de frottement (T = TQ)

11*2u - *- + C

v

mais u ~ Q si y ~ 0, donc C = 0,c'est-à-dire

^ = Re* (8)U

équation du profil des vitesses dans la sous-couche limite laminaire.

Comme déjà indiqué, l'expérience montre que cette relation est

bien vérifiée jusqu'à une valeur de Re environ de 5.

3.2.1.2. Gouc he 1 jjpjite_ turbulente

La couche limite commence à devenir turbulente à partir de He 5.Au-delà, on a pour la contrainte de frottement une loi de la forme

,2 H2T ^ P i yComme on peut supposer que la longueur de mélange croît linéairement avecla distance à la paroi, on peut écrire :

1 =K y ( K 0,if)

d'où si l'on admet, toujours avec Prandtl, que - -^- = u ,

* , du du * î dy „ jtlu ^ 1 -T— K y -r— —>• u ^ "udy J dy K y

d'où — ^ — In y + cju* K

d'où, en logarithme décimal,


VII. 1 I

"_ * i .los y + C l# K log e M

avec K = 0,4 et log e = 0,432. . .

il vient -H- - Q l Q 43Jog10 y * Clu

-— = 5,75 Iog10 y + G!u

Afin d'introduire le nombre de Reynolds Re, on peut ajouter la«

constante 5,75 logj0 —, d'où :

* r * i—• = 5,75 Iog10 y + c2 + 5,75 Iog10 •—- Re = ™- |u i J

—• = 5,75 Iog10 R + c2u e

, H_ = R e«U

2 Transition laminaire-turbulent

3 —- =5,75 loglo Re + 5,5u

4 IL. = 8,74 Reï/7 (loi deu Blasius)

5 - 11,5 R*1/'»U

log10 Re*

Lois de répartition des vitesses dans la couche limite en tube lisse.

La figure ci-dessus montre que les points expérimentaux obtenuspar Nikuradse se placent effectivement bien sur une droite de pente 5,75coupant l'axe des ordonnées (Re* = 1) au point 5,5, ce qui fixe à ce chiffrela valeur de c2 et conduit à la relation :

-~ = 5,75 logiQ R? + 5,5 (9)u


Dans cette zone, l'influence de la paroi tend à s'estomper et l'onutilise,, pour représenter le profil des vitesses, aussi bien en conduite lisseque rugueuse, une relation exprimant la différence entre la vitesse réduite

umax . - -, •,_ - -, T u

maximale ——*— et la vitesse réduite réelle —.u ' "

Cette relation, dite loi de vitesse déficitaire, peut s'exprimer àpartir d'expressions de la forme :

u - u { \L™ « g m* ë iaju ^ '

fvlParmi les diverses formulations de g » on peut citer celle de Von

Karman :

•-îH'-f f-l} oo)

qui donne une bonne représentation du profil des vitesses avec K = 0,36.

VII. 12

Le point d'intersection des graphes de

~- = Re et JL. . 5^75 log Re* + 5j5u u

donne la valeur classique du nombre de Reynolds de transition Re = 1 1 , 6

la zone de transition s'étendant jusqu'à une valeur de Re ^ 70 .

3.2.1.3. Région centrale

C'est la zone telle que,, sensiblement, > 0,2.


VII.13

On a également la formulation approchée de Darcy

M f vl3/2

*(ij = 5-08 [' -ïj (1I)

valable pour > 0S3

ou encore la relation parabolique

•(ïl-'M2 (!2)

Remarque

Si nous appliquions laloi logarithmique sur toutes lasection de la conduite :

^ = 5,75 loglo y + Cu

-~ = 5,75 loglo a + Cu

d'où la relation de Prandtl :

u - umax r -,<- -, Yj— = » 5,75 Iog10 £

u

On constate que, d'une part, ^ ^cette loi est acceptable jusqu'à (V) Relation de Prandtl

l = 1 et, d'autre part, qu'elle Q Relation de Von Karman

est également vérifiée par cer- ^ ^tains types de conduite à rugosité (5) Relation de Darcyhomogène. On obtient donc ainsi leprofil universel des vitesses re-présenté sur la figure ci-contre (courbe î).

- Relation entre la vitesse maximale u et la vitesse, , , , ,—,———, , —maxmoyenne de débit U

De la relation

v> ,..


V I I . 1 4

on dédui t aisément le rapport —.u

ra' 2îT ru dr

En e f f e t : U - S * JL._ = -^ [ ur drS TT a- a2 J Q

et coimoe r « a - yet à r = 0 —»• y - a

dr - - d y

il vient

•a /-a • ra •

"7 * ^7 -~ (a - y) dy = -^2- ~ In y (a - y) 'dy + p- c (a - y) dy

J0U J Q ^ 0

ce qui , après intégrâtion, donne

J L . l ( l n a . | ) + cU V '

Par ailleurs, puisque

U 3max i ,_ = — In a - c* KU

il vient

!E££lZ 1.a» 2Ku

avec K « 0,4 on obtient3 pour ce groupements la valeur de 3,75 alorsque, expérimentalement, Nikuradse a trouvé 4,07.

En résume on a_ :

~ - 5,75 log R? -f 5,5u

u «

- - 5,75 log Sïï- * 5,5

I L . 5 , 7 5 1 o g a u : + I > 7 5 ( 1 , 7 5 - 5 . 5 - 3 . 7 5 )

u v


V I I . 15

- Pertes de charge

• eD_^2n£l^2H_ËÊ_I§_YiiË§âe_Ëê_Ê2t£ê!BêBl

* r~Comme on l'a vu au début, — = |/~, d'où immédiatementu yb

1 5,75 , au* 1,75— = —-— log + _-2_/X S* V /8

soit — = 2,035 log — + 0,62 (13)

Expérimentalement, Nikuradse a trouvé, pour la constante, la valeurde 0,7.

• êD™2B£ii22_ËH~™2™k£ê_ËË_5ËXB2!Ë§

*En écrivant le terme sous la forme,v

au* = U£ ' J_ IL.v v * 2 U

«de façon à faire apparaître le nombre de Reynolds Re et le rapport •—, ilvient U

au* ! /A"V * Re ' IV8

ce qui, toutes simplifications faites, conduit à la relation classique dePrandtl-Nikuradse pour la perte de charge des conduites lisses en régimeturbulent

— = 2,035 log Re A" - 0S8/X

ou encore,

-i- = 2,035 log 5f-j£ (14)/À 2'5Î

Relations de Blasius

Une hypothèse parfois admise pour le profil des vitesses est laloi de puissance :

u - M1/7

"rnax W


3.2.2. ££ndui^££_mrugueu£e£

On a vu que dans une conduite lisse, la couche limite laminairea une épaisseur 6 telle que R«| 5« On en déduit pour ô une valeur delf ordre de 5 ~ et l?on admet, l'expérience le confirmant, que si la

u*hauteur k des rugosités est infériure à 6, la conduite peut être considéréecomme lisse. .

On justifie cela en disant que les apérités sont alors noyées danscette couche d'écoulement laminaire. Pour l?écoulement extérieur, la conduitese comporte comme si elle était lisse.

VII.16

Comme les pertes de charge sont directement liées au profil des vitesses, onen déduit aisément la formule de Blasius,

A = 0,3164 Re"1/4 (15)

valable pour 3000 < Re < 105.

La figure ci-dessous montre la très bonne concordance entre lesrésultats expérimentaux dbtenus par divers chercheurs et les relations

précitées»-


¥11.17

De cette observation on déduit du point de vue de la mécaniquedes fluides, les critères suivants de rugosité dfune conduite vis à vis del'écoulement dont elle est le sièges

u*kî. Conduite hydraulïquement lïsse : -—• < 5———————————»*•—•——•—'——•*•——.«—••..——«—.— — •y

Les rugosités sont noyées dans lasous-couche limite laminaire et le profil desvitesse n'est fonction que du nombre de

Reynolds étoile R , c'est-à-dire :

i- - f ! tlx® i vu ^ ' •

2. Aspérités dans la zone de transïtïon î 5 < -^—-— < 70——_—.______.._«.______.._.„—„-.__,_,—_ v

La turbulence se développe par en-droits et l'on a un profil des vitesses fonc-tion à la fois de R| et de la hauteur des ru-gosités, c'est-à-dire

u _ fu y u kl~ï • fe v • —Hu *• '

u* k' ™2™^l^ê S iS ' Ë É-.-IT â HfË : — > 70

La couche limite est ici entièrement tur-bulente, le film laminaire,tout comme la viscositépropre du fluide, n'intervient plus directement, ket par suite y, étant très supérieur à v. le profil

\$>des vitesses est uniquement fonction de la hauteurdes rugosités et l'on a une relation de la forme:

*.-«.(*]u • ^ }

3.2.2.1. Rugosités homogènes - Etudes de Nijku_radse_.

Nikurades a étudié l'influence de la rugosité de la paroi pourdes rugosités homogènes qu'il obtenait en collant de petits grains de sablesphériques à l'intérieur de tubes en verre de différents diamètre intérieurs.Les grains de sable étant choisis de même diamètre la hauteur k et la formedes rugosités étaient très homogène. Ce sont les résultats concernant cetype de conduite rugueuse que nous allons d'abord considérer.


VII.18

" prQfi^- des vitesses en conduites hydrauliquement rugueuses

Si l'on admet que, près de la paroi, l'on a toujours1 = icy 0,4 y et, si l'on applique le raisonnement fait précédemment pourles conduites lisses, on est conduit à la même forme de relation

^ - 5,75 log y + Cu

mais ici C dépend de la hauteur des rugosités.

Pour déterminer C, nous pouvons écrire qu'à une distance d de laparoij la vitesse est nulle. Si l'on suppose cette distance proportionnelleà la hauteur des rugosités, c'est-à-dire

d « yk

il vient ™ = 0 = 5,75 log d + Cu

d'où l'on déduit C = - 5,75 log d

ce qui conduit à la relation

V 5.75 log $U

ou encore, puisque d = yk

—• = 5,75 log | - 5,75 log yu

Comme le montrela figure ci-contre,Nikuradse a trouvé

qu'en portant — enu

fonction de log *~, les

points expérimentauxs'alignaient bien surune droite coupant l'axedes ordonnées en

Y-'.5.u

II en a donc déduitla relation

~ = 5,75 log £ + 8,5u

correspondant à une valeur de y = 0,03


VII.19

- Coefficient de perte de charge

u _ yOn a vu que -—— ^ 3,75. Comme de la relation précédente, on

utire, pour y = a

J2ï- 5,75 logf +8,5U

on en déduit

™ = 5,75 log ~ -»- A,75 (8,5 - 3,75)u

Comme d'autre part

u Iu* V A

U vient I_ . iili logl + 4,75

/À /8 /8

soit — = 2,035 log + l,68/X k

En fait, expérimentalement, Nikuradse a obtenu une valeur légère-ment supérieure de la constante, d'où la relation classique :

J~ = 2,03 ôg f- -«- 1 ,74/À k

ou encore en introduisant le diamètre D = 2a

i- - 2,03 log £ + 1,14 (16)/À k

Les résultats expérimentaux de Nikuradse sur les conduites de ru-gosité homogène sont résumés par l'ensemble de courbes de la figure ci-après dénommé habituellement "harpe de Nikuradse".


64î) Droite de Poiseuille : X ~ — (laminaire) * ~"'

Ke

2) Courbe de Karman-Prandtl : — * 2 log10(Re/X) - 0,8 (turbulent lisse)/X

3) Droite de Blasius : X = Q,3î&4 Re"1^ (turbulent lisse)

4) Droites de Nikuradse : — = 2,03 log r~ + 1,74 (turbulent rugueux)/X k

~ jjlgg_HÎ2B.J EJiYfZEËli6-. de rugos ité de Prandtl

Pour une conduite lisses nous avons d'après la relation (13)

i_ . 2;6log £ _ + o,7

en prenant pour la constante la valeur expérimentale de 0,7. On en déduit

— ~ 2,03 log | = 2/îlog -^ 4- 0,7

La quantité au premier membre constitue ce que l'on appelle lafonction universelle de rugosité de Prandtl.

Pour une conduite rugueuse, la relation de Nikuradse

J~~ = 2,03 log f + 1S74/X k

permet d'écrire : 2,03 log — = 1 ,74/\


VI1.21

La fonction universelle de rugosité de Prandtl est donc, dans cecas, une constante.

Si l'on remplace a par -y et u par sa valeur en fonction de U et

que l'on regroupe les paramètres de façon à faire apparaître le nombre de

Reynolds — et la rugosité relative —.

fe!ji -UD u* k - p.J1 k]( v " ~ • TT • D " R t-V8 ' Dj

on obtient, pour la fonction universelle de rugosité,, la forme équivalente

— - 2 log ~ - 2 log — " °'8 (conduite lisse)/À" -

k

et -—- - 2 log — = 1 , 1 4 (1,74 - 2 log 2) (conduite rugueuse)/A k

Le graphe ci-dessous représente ces fonctions et les points expé-rimentaux obtenus par Nikuradse.


VII.22

3.2.2.2. Rugosité hétérogène - Conduite industrielle

Les conduites industrielles ont habituellement une rugosité nonhomogène distribuée de façon aléatoire. Les points expérimentaux correspon-dants de la fonction universelle de rugosité se placent comme indiqué ci-dessus en prenant pour k une hauteur moyenne e des rugosités»

Colbrook a constaté que ces points se plaçaient bien sur la courbed'équation

( 2,51 £J- - 2,03 log | - - 2 log j-jj- * —-£/A k [J>/l Re /5T

qui, comme on peut le constater, est asymptote à la courbe représentativede la conduite hydrauliquement lisse lorsque k -> 0 et à celle de la condui-te rugueuse lorsque Re -» °°.

On en déduit immédiatement la relation de Colbrook des pertes decharges avec k = £,

^ L - - 2 1 o g j^*^ d7)/À 3'71 Re/T

Cette formule correspond sensiblement pour les écoulements turbu-lents aux données de l'abaque de Moody ci-après.

Sur cet abaque, la courbe séparant les domaines relatifs à laconduite hydrauliquement lisse et à la conduite hydrauliquement rugueusecorrespond à la relation

Hli=70

u e .[T _ eou encore, puisque =y-g- Re ~

/X Re I <v 200 (18)

- Formulations explicites de A

Le caractère implicite des formules de Prandtl-Nikuradse (14) et deColbrook (17) rend leur utilisation peu pratique. Cela a amené un certainnombre de mécaniciens des fluides à proposer des formules explicites etl'on peut, à cet égard, citer, pour la relation 4e :

a) Prandtl-Nikuradse (14) des conduites lisses, la relation ap-prochée :


VII.23

— - 1,8 log - (19)

proposée par Colbrook lui-même ; lsécart entre les deux relation est del'ordre de 1 % pour 5.103 < Re < ÎO8.

b) Colbrook (Î5) des conduites rugueuses, la relation approchéede S.E. Haaland :

! 6 o f )i,lin-•- l,81og^+ j j (20)

Cette relation, pour n « 1, conduit à la formule de Colbrook,avec une erreur maximale de l'ordre i î,5 %.

Avec n = 3, la formule donnerait, selon certains auteurs, demeilleurs résultats que celle de Colbrook pour -les conduites quasi lissesde grand diamètre, c'est-à-dire pour les conduites dont la rugosité rela-tive e/D (gazoduc par exemple).



CHAPITRE 8

CALCUL DES RESEAUX HYDRAULIQUES (OU AERAULIQUES)

EN REGIME PERMANENT ET FLUIDE INCOMPRESSIBLE


VIII.3

CALCUL DES RESEAUX HYDRAULIQUES (OU ÂERAULIQUES)

EN REGIME PERMANENT ET FLUIDE INCOMPRESSIBLE

L'étude de l'écoulement permanent dans un réseau constitué de

conduites et d'éléments de connection (coudes, branchements, „..) ou

d'alimentation (pompes, ventilateurs, .„„) est habituellement menée en dé-

composant le réseau en tronçons élémentaires. Pour chacun de ces tronçons,

la différence de charge entre les extrémités peut alors être estimée en

fonction du débit qui le traverse» Lorsqu'il s'agit de conduites rectilignes

de section constante, on applique les résultats obtenus au chapitre 7 précé-

dent. Par contre, lorsque le tronçon considéré comporte des singularités,

telles que coudes, changements de section, ..., il convient également de

prendre en compte les pertes de charges singulières introduites par ces

éléments. Enfin, le calcul des réseaux suppose que soit connue la charge

fournie ou absorbée par les machines génératrices (pompes, ventilateurs, ...)

ou réceptrices (turbines, ...) placées sur ce réseau.

Pour les organes passifs (conduites, coudes, ...)» la différence

de charge AH - H - H entre l'entrée et la sortie est exprimée sous la

forme générale

AH - Kq|q|

où K est un coefficient caractéristique fonction de la géométrie de l'élé-

ment considéré, du débit, de la viscosité et de la compressibilité du fluide

qui y circule (à travers souvent les nombres de Reynolds et de Mach), etc.

Pour une conduite simple, K = A Re, — i _ •>, où Du est le diamètrel DJDH

hydraulique, S la section, L la longueur et A le coefficient de perte de

charge.


VIII.4

Par convention, on considère q comme positif lorsque l'écoulement

se fait dans un sens préalablement choisi pour 1*élément considéré habituel-

lement de lfentrée vers la sortie, la définition de ces termes étant

dfailleurs souvent, arbitraire.

Pour une machine hydrauliques la différence de charge

AH * H - H entre l'entrée et la sortie est une relation relativementra m nie s

complexe fonctionf outre du débit, de la vitesse de rotation. Avec la

convention choisie (q positif si l'écoulement de l'entrée vers la sortie),

elle est positive pour une machine réceptrice (turbine) et négative pour une

machine génératrice (pompes ventilateur).

~ Pz^tes de charge singulières

Avant dfaborder les méthodes de calcul des réseaux, nous donnons

ci-après quelques indications sur l'estimation des pertes de charge intro-

duites par les singularités du réseau telles que coudes,, convergents, diver-

gents, rétrécissements brusques, vannes, clapets, etc.

Pour ces éléments, lfanalyse dimensionnelle montre que la perte

de charge singulière qu'ils occasionnent peut être exprimée sous la forme :

V2AH = ç ~s 2g

où V est une vitesse moyenne caractéristique et ç un coefficient qui, pour

un type dfêlërnent donne, dépend de nombreux paramètres tels que nombre de

Reynolds et de Mach, état de surface, géométrie et, parfois même, de la

position sur le circuit.

ExempJ._e ? coude circulaire

Pour un nombre de Reynolds —- > 10 **, on a

aoproximativement,

c- o o. )3'5'

En général, les formules permettant le calcul du coefficient de

perte de charge singulière ç sont; empiriques, étant la traduction de résul-

tats expérimentaux et ce n'est que dans certains cas très particuliers

(élargissement brusque par exemple) qu'il est possible, à partir d'un calcul

théorique, d'estimer la valeur de ç.


VIII.5

Etant donné le nombre extrêmement élevé de singularités pouvant

être rencontre sur un réseau? il n'est pas possible ici de reproduire les

inombrables formules ou abaques permettant de calculer les pertes de charge

singulières correspondantes et nous renvoyons, pour cela, aux ouvrages

spécialisés, tels que le "Mémento des pertes de charge", de I.E. IDEL'CIK,

Eyrolles.

Remarque

Lorsque les singularités ont une certaine longueur développée le,

les formules empiriques qui sont données dans la littérature distinguent

parfois la perte de charge régulière correspondant à cette longueur de la

perte de charge singulière proprement dite :

V2 £AH . = A -— ~ + AH .

total 2g D sing

C'est le cas, en particulier pour certains coudes, diffuseurs ou

convergents de grande longueur.

A. RESEAU "SERIE"

II s'agit du cas simple où tous les éléments sont placés en série,

donc parcourus dans le même sens par un même débit q«

Entre la charge H à l'entrée et celle Hc à la sortie du réseau,il D

on a, en admettant le principe de 1fadditiy ité des pertes (ou gain) de

charge, la relation suivante i

HE '«S * ?Kiq2 + ? AHsj + l AHn,k <8'!>1 j K.perte de charge perte de charge pertes (ou gain) de chargerégulière singulière dus aux machines (pompe,(conduite, ...) (coude, ...) turbine, .„.)

En séparant la charge I AH fournie ou absorbée par les élémentsin

actifs de celle résultant de la présence des éléments purement passifs, on

peut écrire :

- l AHmk • HS - «E + Z Ki"2 + ? AHsj (8.2)k i j

Si, sur un même graphique, l'on représente séparément, en fonction

du débit q le premier et le second membres de cette expression correspondant

respectivement à la caractéristique "motrice" et à la caractéristique "ré-

sistante" du réseau, le point d'intersection des deux graphes ainsi obtenus


Sur cette installations

I AH , correspond à la somme des pertes de charge singulières dues à la

crépine dfentrée, aux trois coudes et à l'élargissement brusque en

sortie,

H - H » AZ correspond à la différence de cote des deux plans d'eau.

- I, AH = H représente la courbe caractéristique.hauteur manométrique-k mjç- m /

débit, de la pompe

B. RESEAU RAMIFIE

Un tel réseau a la structure indi-

quée ci-contre, c'est-à-dire un ensemble de

conduites ne formant pas de boucle fermée.

Le problème qui se pose ici est la

déterminâtion des débits et, éventuellement,

des charges pour chaque tronçon de conduite.

Pour cela, on est amené à résoudre un systè-

me de relations obtenues en écrivant :

VIII.6

permet de déterminer le point de fonctionnement du réseau considéré, point qui

est caractérisé ici par la valeur du débit q.

ExempJL^ : installation de pompage


VIII.7

- que la somme des débits en chaque noeud du réseau est nulle p. ex.

I qN . - 0 au noeud N.i '

- que, le long de chaque ensemble de conduites placées en série,

ÂBCD par exemple, une relation du type de celles vues pour les réseaux série

(8.1 ou 8.2) est satisfaite.

On obtient ainsi un système d!équations qui, compte tenu des

conditions aux frontières du réseau (points A, J, D, K, . ..) où les débits

(ou charges) sont supposés connus, permet de résoudre le problème, la seule

difficulté étant que certaines de ces relations sont, en écoulement turbu-

lent, non linéaires»

On peut alors, soit procéder numériquement par approximations

successives, soit, dans les cas très simples comme celui de l'exemple ci-

dessous, graphiquement.

Exemple : Reseau_ramifie_à_trois c2B^HÎ^ê£™Ë^_E^££EY2ir

Le seul noeud du réseau est ici le point M. Le principe de la

construction consiste à représenter la charge IL au point M en fonction des

débits qj, q2? qs en fonction des débits qui parcourent les conduites î, 2

et 3.

Dans ce problème, la solution

est facilitée par le fait que l"on

connaît a priori le .sens du débit dans

les conduites qui, à partir du point M?

mènent respectivement aux réservoirs le

plus haut i et le plus bas 2. Par

contre, le débit dans la conduite 3

s'écoulera dans un sens ou dans lfautre

selon le signe de IL - E%.

Si le point A dfintersection entre

les caractéristiques (T) et (T) se trouvent au-dessus de la cote h3, il

est évident que le réservoir 3 sera alimenté par le réseau. On aura alors


VIII.8

entre les trois débits la relation :

q2 = qi + q3 ,

d'où la construction (a) ou F représente le point de fonctionnement cherché.

Dans le cas contraire, on a :

qi = q2 + q3

et c'est la construction (b) qui doit être considérée.


VIII.9

C. RESEAU MAILLE

Dans un tel réseau, les tron-

çons de conduite forment, comme indique

sur l'exemple ci-contre, des boucles

fermées appelées mailles.

Sur cet exemple, les flèches j

figurent les "débits en route11 qui cor-

respondent à l'alimentation de certai-

nes zones, telles que, par exemple,

immeubles, bouches d?incendie, etc. Ces

débits sont supposes connus.

Le problème qui se pose ici

est la détermination des débits q. dans

chacun des T tronçons de conduite, les charges s'en déduisant immédiatement

Pour le cas représenté ci-dessus, on a T = 12 tronçons, donc douze débits

inconnus. On dispose entre ces dêbitsaautant de relations linéaires simples

2 qt = o

que le réseau comporte de noeuds, soit N (ici N = 6).

Il faut donc, pour résoudre le problème, disposer de T - (N - 1)

relations complémentaires, car, parmi les N relations aux noeuds, N - I

seulement sont indépendantes.

Ces relations complémentaires sont obtenues en écrivant que :

- pour chaque maille fermée, la somme des différences de charge,

sur les tronçons d*une même maille, est nulle, ce qui fournit M relations

supplémentaires (ici M - 4) i

I AH. = 0

- pour les parties ramifiées du réseau, les R relations de la

forme :

AH = AH(q)

entre les charges extérieures (ici réservoir) et celles au noeud frontière

du réseau où ces conduites sont raccordées (ici R = 3).

Finalement, on a autant de relations (N+M+R-1) que d'inconnues

(T) et le problème peut, du moins théoriquement, être résolu.


VIII.10

Toutefois, lorsque le nombre de mailles est élevé et c'est, par

exemple, le cas des réseaux de distribution dfeau d'une ville, la résolution

du système d'équations peut s'avérer très complexe et l'on utilise alors des

méthodes d'approximations successives telles que celles proposées par

HARDY-CROSS pour la résolution des systèmes hyperstatiques en résistance des

matériaux.

- Méthode de HARDI-CROSS

Le principe de la méthode est le suivant. On se donne a priori les

débits dans chaque tronçon tout en respectant l'équilibre des débits au

noeud. Si l'on a, pour N noeuds, soit N-î relations indépendantes, M mailles,

cela revient à se donner, pour la partie maillée du réseau, M-N+1 débits ar-

bitraires auxquels il convient d'ajouter éventuellement ceux aboutissant aux

noeuds frontières lorsqu'ils ne sont pas connus.

Sis après s'être fixé pour chaque maille arbitrairement un sens

positif de parcours, on considère une maille I quelconque, on a en général,

U ;1 T. AH. 0 ,I-i '

puisque les débits imposés ne correspondent pas nécessairement à la réalité.

Si l'on désigne par dq. l'écart entre le débit exact q. et le1 iex

débit q. choisi :

<*q; = q: - q- »1 iex i

on peut écrire, en appliquant à chaque différence de charge AH., aux bornes

d'un tronçon de conduite, un développement limité au premier ordre :

d[AH.)AH. = AH. + -_L_-il dq. ,

iex i dq.. 4i

où AH. représente la perte de charge dans le tronçon i pour le débit exactxex

cherche,

La relation des pertes de charge pour une maille s'écrit alors :

d(AH.)Z AH. = Z AH. + Z \ dq. .

-r • IPX -r • i dq. iI,i ex 1,1 Mi

Or, par hypothèse, Z AH. 5 0.xex


VIII.11

Par ailleurs, la maille I étant supposée isolée et les débits

extérieurs étant imposés, comme les débits q. respectent les équations des

débits aux noeuds, la correction dq. doit être la même pour tous les tron-

çons formant la maille I. On peut donc mettre dq. * dqT en facteur dans

l'équation des pertes de charge

d(AH.)F AH. = - dqT l ——i-I 1 qi j. dq.

soit I AH.

I *dqi = - "ITÂHTy JL_

dq.

représentant la correction dq à apporter aux débits q. pour approcher un

peu mieux les débits exacts q. . Il faut remarquer que, dans cette rela-

tion, les termes du numérateur, ainsi que dq ont un signe qui est défini

par rapport au sens de rotation qui a été choisi pour la maille, alors que

le dénominateur est toujours positif.

Si la perte de charge prend simplement la forme AH. = K, q.lq., la

relation précédente s'écrit :

l K. q.|q.i 4i|Mi

^—i—L 2E K. q.

I L X

On obtient ainsi de nouvelles valeurs des débits dans les condui-

tes de la maille I. Le calcul se poursuit alors en reprenant le même rai-

sonnement que celui qui précède pour la maille II et ainsi de suite,

A chaque étape évidemment, on tient compte des corrections appor-

tées au débit dans chacune des conduites» L'ensemble des résultats obtenus

pour toutes les mailles constitue une première itération qu'il conviendra

d'affiner de nouveau pour obtenir une meilleure précision.

Remarquons qu'afin que le calcul converge rapidement , c'est-à-

dire que tous les dq tendent rapidement vers 0, on a intérêt à conanencer

par la maille la plus "déséquilibrée", c'est-à-dire pour laquelle E AH est

le plus éloigné de zéro. Cette méthode de calcul est en tout point sembla-

ble à celle que le même auteur a donné pour le calcul des poutres hypersta-

tiques en résistance des matériaux.


VIII. 12

Actuellement, les calculs se font très facilement sur ordinateurs

et de nombreux programmes existent.

EXEMPLE ÂPPLICATION DE LAJffiTHOD j_*jiARDY CROSS

On considérera, à titre dfexemples un réseau maillé extrêmement

simple comportant deux mailles et quatre noeuds représentés sur la figure

ci-après. Les différences de charge Ah sont données en m de colonne d'eau

et les débits en 1/sec. Avec ces unités, les coefficients k. représentent,

exprimés en m/(l/sec)2, la résistance hydraulique de chaque élément de

conduite.

ki = 1.10~z

k2 = 2.10-1

k3 = 3.10"2-

U = 4.10-2

k5 = 5.10-1

Réseau comportant 2 mailles et 4 noeuds.

Il faut donc se donner 2 débits arbitraires.

On a les relations :

' q5 * q3 « 100

q3 - q2 + qk = 60

qi + q2 = Ô

On se donne par exemple

q! = 30 et q5 = 60

-*• q2 ~ 10 ; q3 = 40 ; qi+ = 30

i) On calcule la perte de charge dans la première maille

Ahi * Z qi qi k£

Ahl = k3 q? ~ ku q? - k5 q?

Ah! = ~ 168


VIII.13

On calcule maintenant Ah2

Ah2 = q^ k2 - qf kj + q? k^

Ah2 = 29

On corrige la maille la plus déséquilibrée, c'est-à-dire la première.

d qi - LL__ « _____JAJ____^_ _ 35 S541 ITT^TkT 2 (k3 q 3 + k, q, + k5 q 5 ) " I 5» 3 5

d'où les nouveaux débits

qj = 30 ; q2 = 10 ; q3 = 55S55 ; q^ « Î4S55 ; q5 = 44S45

2) On recommencera le calcul des pertes de charge

Ahj = - 14,56 -* d qj = î ,63

Ah2 = 1,352

qi = 30 ; q? = 10 ; q3 - 57S18 ; q^ = Î2S82 ; q5 = 42,82

3) Ahj = -0,1651

Ah2 = - QS428 -> d q2 = 0,21

qi * 29,79 ; q2 = 10,21 ; q3 = 57,18 ; q^-* Î3S03 ; q5 - 42,82

4) Ah! = - 0,3822 -> d ql = 0,043

Ah2 -. J,6.1Q-3

qi = 29,79 ; q2 - 10,21 : q3 « 57,23 ; qk = 12,98 ; q5 = 42,77

On arrête les calculs lorsqu'on a obtenu un d q. suffisamment faible compte-

tenu du problème considéré.


CHAPITRE 9

ECOULEMENT NON STATIQNNAIRE, EN CONDUITE,

DE FLUIDE COMPRESSIBLE


- IX.1 -

ECOULEMENT NON STATIONNAI RE, EN CONDUITE, DE FLUIDE COMPRESSIBLE

Lorsque, dans un réseau de canalisations véhiculant un fluide, onmodifie localement les conditions d'écoulement (mise en route ou arrêtd'une pompe, manoeuvre d'une vanne, etc.), on introduit dans le fluide unediscontinuité portant sur les paramètres eux-mêmes (pression, vitesse) ou

sur leurs dérivées (-r£, - , etc.)- En raison de l'élasticité du milieudt ox

(fluide+conduite , cette discontinuité se propage de proche en proche avecune célérité souvent élevée, affectant ainsi rapidement une zone étendue del'écoulement considéré.

Cette perturbation, dont l'amplitude peut être importante et quise propage, est communément appelée onde» En hydraulique, c'est souventsous le vocable de coup de bélier que l'on regroupe l'ensemble de ces phé-nomènes, cette désignation ayant pour origine les variations de pressionextrêmement brutales qui sont souvent observées.

De par leur nature, et hormis les cas particuliers de résonance,les phénomènes liés à l'élasticité du milieu s'amortissent rapidement(quelques aller et retour d'onde), conduisant soit à un nouveau régime per-manent, soit, en présence de surface déformable (surface libre par exemple)ou encore de volume, de grandes dimensions (réservoir d'air comprimé, ...) àdes mouvements d'ensemble le plus souvent de caractère oscillatoire quel'on peut analyser directement en faisant abstraction de lfélasticité dumilieu.

Dès lors, l'étude des régimes transitoires peut être traitée :

- soit de façon générale avec prise en compte de l'élasticité dumilieu, ce qui conduit à une évaluation précise des paramètres (pression,vitesse, etc.) en chaque point du fluide et quel que soit l'instant consi-déré,

- soit de façon simplifiée en supposant le fluide incompressibleet la conduite indéformable, d'où une estimation de valeurs moyennes,concernant les mouvements dfensemble des domaines fluides considérés.

Dans le présent chapitre, nous traiterons principalement du casgénéral et des méthodes de résolution associées. Le cas particulier dufluide incompressible correspondant au "mouvement en masse" ne sera exami-né que brièvement à propos de quelques exemples classiques.


- IX.2 -

9.1. EQUATIONS DE BASE

Lfétude des écoulements non permanents en conduite de fluidecompressible est très complexe.

On simplifiera considérablement le problème si l'on peut considé-rer 1*écoulement comme unidimensionnel.

Cela sera possible en première approximation si :

- la conduite a une section lentement variable,

- les rayons de courbure sont grands par rapport aux diamètres,

- la déformation de la paroi reste de très faible amplitude.

Dans ces conditions, on a un écoulement à direction sensiblementpermanente et les paramètres caractéristiques peuvent être représentés àchaque instant t par leur valeur moyenne dans une section normale aux li-gnes de courant.

1 ff . ~ 1 f ->Par exemple, p = — pds pu - — pu as

S "S b JS

La section considérée qui, en raison du caractère quasi unidirec-tionnel de l'écoulement, est presque plane, sera repérée par son abscissecurviligne prise sur l'axe de la conduite (par exemple centre de gravité dela section).

Les valeurs moyennes des paramètres considérés seront alors desfonctions de x et de t seulement.

9.1.1. Equation de conservation

- Masse

En désignant par p(x , t ) la valeur moyenne de la masse volumiquedans une section d'abscisse x au temps t, la conservation de la massecontenue entre deux sections d'abscisse x et x+Ax s'exprime par la rela-tion :

d [ -T; , fSpS 9puSl ,~ PS dx - [— + —Jdx = 0

' Ax JAx

et, ceci étant vrai quel que soit Ax, on a, dans chaque section S,

•f-f1-0 <»-'>Si l'écoulement est permanent, il vient,


- IX.3 -

puS « m « este ,

traduisant la constance du débit massique m quelle que soit la section.

- Quantité de mouvement (en projection sur l'axe de la conduite)

Comme pour l'équation de continuité, les valeurs considérées sontdes valeurs moyennes. Dans ces conditions, l'équation intégrée sur unetranche d'épaisseur Ax représentant un petit domaine AD permet d'écrire enprojection sur ox (= oxj pour les composantes du tenseur des contraintes).

L >£ s d x = j A-^s d x +l **•"*/, Fsd*Ax Ax JAD 3 ;Ax

où f est la valeur moyenne de la composante sur x des forces de volume «

f ^T i ' ! I fOr, -—J- di =. j T, . n. ds « I T- . n. ds + T. . n. ds

9>V !J J 1J J lj JJàD J ;S 'S ÂS,

n L

TJ. n. ds ?M 0 car, pour les faces normales à la direction de

k J J

l'écoulement, les contraintes de viscosité ont une composante sur ox négli-

geable (TU ~ (A + 2p) -r—^ négligeable devant p et il en est de même pour

la résultante des contraintes tangentielles si les sections sont peu in-curvées.

Sur la paroi, la composante de la contrainte dans le systèmed'ânes représenté ci-contre est :

n-^.,1^

TJ « T*2 - l (* + 2y) - 0

T5 = T^2 - 0

l'axe ex] étant orienté selon une génératricede la conduite et 0x2 suivant la normale à laparoi.

Finalement, le terme visqueux se réduit à la composante tangen-

tielle T] = y ——f (on retrouve la loi de Newton).dX2


- IX.4 -

En projection sur ox, on a alors

Tf . d$L cos a « ïf x dx

où T est une valeur moyenne de Tj sur le périmètre x«

Dfoù la relation i

L s f£d*--IJ s a*-L'«"" • L t s d *et si Ax -* 0

- du SP Tf Xp_.-.JU_ + f

ou encore en introduisant le diamètre hydraulique D = —

*3?--s*^* ™H.

Nous avons vu que T- est de la forme T = - C .y p|u|u où C est le coeffi-

cient de frottement à la paroi, fonction essentiellement du nombre de

Reynolds — et de la rugosité relative de la paroi —.

En écoulement turbulent, la valeur de C est prise habituellementégale à celle du régime permanent.

En écoulement laminaire, il est par contre possible, selon uneméthode proposée par ZIELKE^), d'exprimer C en fonction du profil desvitesses réel.

- Energie

II convient ici de choisir la variable thermodynamique s, h ou e lamieux adaptée à la nature de l'écoulement considéré (isentropique, isenthal-pique, ...).

a. Formulation à partir de l'énergie interne

On considère la relation générale :

d(e + | u.u)

p -_ « Q _ div(q -f pu - T.U) -s- î,u

(1) ZIELKE W. : Frequency dépendent friction in transient pipe flow,A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, mars 1968, pp. 109-115.


- IX.5 -

que l'on intègre sur une tranche de fluide d?épalsseur Ax après transforma-tion de certaines intégrales de volume en intégrale de surface, ce qui don-ne :

r_ d(e + ~ u2) , r ^ f -* + f « -> f -> +pg _ Q g^x _ q.nds - pu.nos + T.unds + f.u ai

dt v js Js js JDJ Ax Âx

Pour les intégrales du second membre, on a, en les explicitant àpartir des valeurs moyennes des paramètres sur une tranche Ax :

*/ EHif!-!ïEï££..aEE2E££e_.0H._Ëïî-'-eYi:e 5U iHlê S2HS £2rî£ thermique

- par transfert à la paroi

4-Si 1 on néglige les transferts par conduction sur les faces d'en-

trée et de sortie du fluide (gradient thermique longitudinal et conductivi-té faible^ ne considérant que les transferts à la paroi AS , on a :

- q.n ds - - q.n ds = q dxJS 'ASL JAX C

où q est une quantité de chaleur apportée ou enlevée par conduction a la

paroi par unité de longueur et de temps.

- par apport (ou enlèvement) thermique au sein du fluide

(Réaction chimique, changement de phase, rayonnement, dissocia-tion, ...).

On pose q - Q S quantité de chaleur moyenne produite (ou enlevée

si q < 0) au sein du fluide par unité de longueur et de temps.

Dans ces conditions, l'apport thermique total sera par unité delongueur et de temps q « q^ + q^ et l'apport total sur la tranche d'écou-

lement Ax

f q dx; Ax

* A noter que, si l'on veut tenir compte de ce type de transfert, il suff i td'ajouter au terme en q des équations ci-dessous un terme en 9q/8x où qreprésente le flux de cnaleur lié au gradient longitudinal de température.


- IX.6 -

• par di-ssïpCLt-ipn visqueuse

( r . u ) . n dsJ S

• _Ë.U£. ie^. i.a£e . lL°£PlL^s_a_^J_®£9Hl^JË:n.£.

La seule composante de T qui intervienne est TJI qui, commenous l'avons vu, est très faible. Sa contribution peut donc être négligée.

• JLHE ia_P .r°. _™ £ i3^0®.11 .11^

u ?M 0 à la paroi, la seule composante.non nulle^de la vitesse,résultant du déplacement de la paroi. Toutefois, la contrainte visqueusequi lui est associée étant très faible, sa contribution est négligeable et

l'on a pratiquement (i.u).nds - 0.JS

2/ Puissance résultant_des forces_de pression

\ + +, fspus as),j .nas ,, j j_E_ + p _jdx

le terme en p — correspondant au déplacement de la paroi.ot

Finalement, lféquation de l'énergie peut s'écrire :

r

» -[v-| ( -fj- 4'.-.•'A •'A •'Ax

Cette relation étant vraie quel que soit Ax, il vient :

d(e + - u2)

P»—âf- -.-^-Pf-x-

où f représente la composante des forces de volume dans la direction del1écoulement.

Si ces forces dérivent d'un potentiel tel que :

? »-p grad V (pour la pesanteur, V « gz)

f.u «-pu — —p — (V étant supposé indépendant de t),


- IX.7 -

on a la relation :

d(e +. — u2 + V)DS 2 }__ Jpus 3SPS dt = «t " "tr " P 3F ( 9~3)

b) en fonction de l'enthalpie

_ 8puS 3uS _ 3pComme —*— = p --— -f uS T^3x 3x dx

et que, d'après l 'équation de continuité s

3uS _ _§_ _dp _ 3S8x ~ ~ p dt 3t '

il vient :

d !3uS p 3S

P 1F ' + Spp -âT - p

et en reportant dans (9-3), compte tenu du fait que :

d Ide p = dh j. dpdt P dt dt ~ p dt

d(h 4- }u2 + V) qp__^__^,|£. (9.4)

A noter qu'en régime permanent, on a simplement :

pSu -^ (h + |u2 -f V) - qt

. „ 1 oEn notant q = pSu et h - h + y uz + V, il vient la relation

classique :

fVx;xx

ht " ht = m •X2 xi

exprimant que la variation dfenthalpie entre deux sections xj et X2 estégale à la chaleur reçue par unité de débit massique.


- IX.8 -

k* ÏSI Hi EiS11»! P2EB.il™!6 l£™r°Eê

En utilisant la relation (4.51) exprimant la conservation del'énergie en termes dêntropie. on a, par intégration sur un domaine AD,compte-tenu que 4>} = T : grad u, la relation

pT ~ dT = )QvdT - q.n ds + TÎ grad u di (9-5)•'AD •'AD h •'AD

et en introduisant des valeurs moyennes sur la section, compte-tenu de laforme ci-dessus donnée aux termes correspondant à l'apport thermique

[ pi S dx - | qt dx + f T !£ d.J Ax J Ax 'AD J j

Or, le dernier terme peut s'écrire i

f 9u. r ST. . u. • r 9i. .i j i ] 3 - j " iJ j

T. . "T—— QT = ——T**— ÛT - U, ——-*• dT

JAD XJ 3xj J A D 8xj J A D x 3xj

Sij dans cette expression, on admet que

r 9t.. u.~ pour la raison déjà invoquée J dT - 0

JAD 3xj

- les composantes normales (112,1*3) de la vitesse sont négli-geables

- les gradients de vitesses sont très faibles en-dehors du voisi-nage immédiat de la paroi et que seules leurs composantes normales à l'écou-lement ont une valeur appréciable. Alors, on peut écrire, compte-tenu de(4.18) et (4.19)

f ^T ' * f ^Tl • f fui dT " ui dT - u* ^1 j nj dT M "i Tf x

•'AD J •'AD J •'s ^s

et finalement l'expression (9-5) s*écrit :

f ^T S dx = f q dx - f ïï T X dx

ÂX dt JAX l JAX f

soit sous forme différentielle,

«i-V^


- IX.9 -

Si l'on note que Tf est de la forme T- * - Cf.y P|Û|Û, on voit

que le terme correspondant du second membre de cette expression est tou-jours positif.

9.1.2» Equations de comportement

- Fluide

On a p = p(s9p), mais, comme on supposera négligeables les phéno-mènes thermiques liés à la dissipation mécanique ou aux échanges avec l'ex-térieur (s = este), il vient simplement :

f-£dp. (9-7)

où K est le module d'élasticité volumique du fluide à entropie constante,coefficient qui, pour l'eau, est pratiquement identique au module isothermeKÛ (Y ^ 1)» soit environ 2,1.109 Pa.0

Pour un gaz, le caractère isentropique supposé pour les transfor-mations conduit à :

K = Y? ,

avec y = 1»^ pour les gaz diatomiques usuels (air, N£S 02, ...).

~ Conduite

La conduite est supposée élastique et se déformer comme si elleétait constituée dfanneaux indépendants.

En supposant par ailleurs son épaisseur suffisamment faible pouradmettre que la contrainte est uniforme sur l'épaisseur, la loi de compor-tement à considérer se réduit à la loi de Hooke a = Ee, où e est la varia-

D — T)tion relative du périmètre £ = -—~—% D le diamètre, a la contrainte nor-

D0mâle et E le module d'Young»

Comme on sait que, dans une conduite de faible épaisseur et desection circulaire, la contrainte a, pour une différence de pression p en-tre l'extérieur et l'intérieur, peut être prise de la forme :

a - f (9-8)

où e est l'épaisseur de la conduite.

On en déduit immédiatement :

D - D° _ PD ( 9 9 )D0 ~ 2eE ' (9 9J


- IX.10 -

c'est-à-dire: f „ f£

7TD2

d'où, en introduisant la section S = , ,

d S = M E (9-10)S eE

9,2. METHODE DE RESOLUTION

En considérant les relations de conservation sous la forme deséquations (9-1), (9-2), (9-4) et (9-7), le système à résoudre est le suivant :

IPS + iPSu m3t 3x

ATdu dp 3z f

n -r— + T = - DR +M dt dx M6 3x D

dp 1— = — dp•p K

dS^ = dp_ DS E * e

En introduisant, dans l'équation de continuité, les relationsliant p et S à p, ce système se réduit à :

£ + » £ + " 2 £ - ° (9-u)

4T9u 9u 3p 3z f /n i o \p - â t + pu -sr+ -^ = - p g t r+ "T (9"12)

avec a2 = i et ^L = dp

pfl.i] K PM [K Eej

Dans le cas des gaz où le terme en — est négligeable devant —,il vient, Le K

a2 = - = ï - = yrT ,P P

ceci pour un gaz supposé parfait (p/P = rT) et compte tenu d'une évolution

isentropique (p/p = este) .


- IX.11 -

9.2.1. Méthode des caractéristiques

Le système d'équations ci-dessus est un système d'équations auxdérivées partielles de type hyperbolique dont les directions caractéristi-ques peuvent être obtenues en considérant les dérivées des fonctions p, ule long des courbes du plan x, t où ces dérivées sont indéterminées.

On a ainsi pour les courbesC(A) du plan (x, t) définiesparamétri-quement par les coordonnées x = x(A), t « t(A) de chacun de leurs points :

ES. _ lE É* 9p j_tdA " 8x dA 3t dA

_du _ jh£ dx 9u dtdA 9x dA 3t dA

Ces deux relations associées aux relations (9-11) et (9-12) ci-

dessus constituent un système qui peut s'écrire, en posant t^ = — et x^ = - -,

'i u o Pa2] |E] f o

d L

„ 3p 3z 4Tf0 1 P pu ^ - pg — + -jj-

n n 9u dP

*X XX ° ° 3l dA

_ n 8u du0 ° CX XX j 3ïJ t dl

On en déduit la solution pour les dérivées partielles

12-^L iE.^L3t A ' 3x A * "

A, Ap , Ap ... sont les déterminants habituels.

Courbes et directions caractéris igjje

Dans le cas particulier où les courbes C(A) correspondent à des va-

leurs de — et — telles que A = 0, il n'y aura de solution finie que

si, simultanément, les numérateurs Ap s Ap , Au , Au sont nuls.

Les courbes C(A) où la relation A = 0 est vérifiée sont appeléescourbes caractéristiques et la condition A = 0, qui définit en chaque point(x, t) la pente de ces courbes, conditions de direction.


- IX.12 -

De façon analogue, les conditions Ap , Ap , Au , Au = 0 néces-

saires pour obtenir une solution éventuellement finie sont appelées condi-tions de compatibilité.

Dans le cas présent, on a les deux directions caractéristiquescorrespondant à A • 0,

dx , . dt dx , . dtdl = (u + a) dl et dl = (u ' a) dî

ou simplement, puisque u et a sont finis

É* . u ± a (9-13)dt

Dans ces deux directions caractéristiques, les conditions decompatibilité Ap , Ap , Au , Au = 0 conduisent aux deux relations diffé-F Fx* Ft x' trentielles ordinaires

ATdp . du . 8z dt - f dt _ n ,Q ...^± Païïl± pag-ÏÏI+-F-^- « - 0 (9-14)

le long respectivement des courbes caractéristiques C (A) de pente u + a etC (A) de pente u - a.

Physiquement, les courbes C(A), où la solution du système linéai-re est indéterminée» correspondent aux points (x, t) où les fonctions p etu peuvent éventuellement avoir leurs dérivées discontinues. On peut doncinterpréter les courbes caractéristiques comme le lieu possible (et le seul)du plan (x, t) correspondant à des discontinuités pour les dérivées, c'est-à-dire des surfaces d'onde ordinaire existant éventuellement dans le fluide.

Les équations u ± a qui corres-pondent en chaque point x,t à la pentelocale des deux caractéristiques qui s'ycroissent représentent respectivement lavitesse locale de propagation d'ondesdont la célérité (vitesse par rapport aufluide) serait ± a.

Dans le cas de conduites par-faitement rigides, on retrouve bien poura, compte tenu de sa définition, la vi-tesse de propagation du son dans lefluide considéré.

a ) £2?fli2H£

Dans le cas particulier des liquides et, notamment, de l'eau, on a

- u « a, d'où en première approximation

£-*•


« IX.13 -

— p, a - este, d'où, en posant p + pgz = p , la forme réduite desrelations de compatibilité

* 4T—£— + pa T-T - —r— ~rr -a , le long des caractéristiques de pente > 0

—jj-r— pa -rr- - - —r— — a le long des caractéristiques de pente < 0QA 0 A J J u A f

Si l'on se limite au cas de l'hydraulique et que l'on introduit,«

au lieu de la pression motrice p , la hauteur piézométrique h = ^-—s les re-UJ

lations ci-dessus s'écrivent en passant à la forme di f férent ie l le

dh ± ^ du ± A a ^dt = 0g 2gD

en notant pour dh et du des accroissements pris dans les directions

•j— = ± a et en remplaçant T par sa valeur- P|U|U

Si enfins au lieu de la vitesse u, on choisit comme inconnue ledébit q, on obtient

- le long de C+ de pente ~| = + a : dh + ~ dq + X j-| dt = 0

- le long de G" de pente —• =* - a : dh--|dq-X j^^ dt = 0.

Comme a est supposé constant, les courbes caractéristiques C etC du plan x, t sont des droites de pente ± a le long desquelles on a, enintégrant

h 4- mq + K q|q| dt = este

h - mq - K q|q| dt = este

où l*on a posé :

m = — et K * •«s 2gS2D


- IX.14 -

En_considérant des points suffisamment voisins i, i-1 sur C, eti, i + 1 sur C, , on peut admettre que le terme sous le signe somme varie peusur l'intervalle considéré et écrire

h. -h.., + m [„. -Vj] + K q . _ , q._, [t. -t.^j-O (9-15)

hi - hi+1 - » (li - <ïi+1) - K «>i+1 |li+1 (S - ti+|) = 0 (9-16)

Ces relations permettent le calcul des valeurs de h et q en i àun instant t à partir des valeurs supposées connues en un point i + 1 eti - i à un instant t - At antérieur (At = t. - t. t).

i i±I

A noter que, si l'on néglige les pertes de charges, les relationsci-dessus forment, dans le plan h,q, un réseau de droites qui est à la basede la méthode graphique de BERGERON (cf. f'Du coup de bélier en Hydrauliqueau coup de foudre en électricité", Ed. Dunod).

- Application aux réseaux hydrauliques

Tout réseau hydraulique peutêtre décomposé en un certain nombre detronçons de conduite, par exemple ABj,B2Ci, C2D, C3E pour l'installation ci-contre.

Le but étant de connaître àchaque instant t la pression, c'est-à-dire h et le débit q en tout point duréseau, on est conduit à résoudre numé-riquement et simultanément les relationsci-dessus pour chacun des tronçons deconduite.

Résolution pour un tronçon de conduite AB

On utilise le maillage régulier formédans le plan x, t par les courbes caractéristi-ques obtenues à partir d'une division de laconduite en n tronçons Ax égaux. Cela conduit à

des intervalles de temps At = — également

égaux.

Lorsque le réseau comporte plusieursconduites de sections ou de natures différen-tes, donc où la vitesse de "propagation a estdifférente, il est intéressant de conserver,pour tout le réseau, un même intervalle de temps At, d'où des tronçons Ax.

Ax.de longueurs différentes de façon que —- « At.


- IX.15 -

La dimension des mailles est choisie en fonction de la longueurde la conduite, du taux de variation des paramètres aux extrémités et de laprécision du calcul souhaité.

Dans la pratique, le programme de calcul se développe ainsi :

1. partage de la conduiteen n (pair) tronçons égaux,

2. affectation des valeursde h et q en chaque points impairs (hq1,h3,q3 ... à t = 0, où elles sontsupposées connues.

3. calcul des points pairscourants 2, 4, 6, ..., n au tempsAt, en résolvant le système des équa-tions (9-12) et (9-13), pour calculerpar exemple q^, puis h.,

4. calcul des points d'extrémité £4 E

On suppose connues les conditions aux limites données par les ca-ractéristiques de l'appareil qui s'y trouve, par exemple :

- réservoir : h = este

- vanne, pompe, etc. : h = f(q, t)

- embranchement à p direction : qj + q2 + • « • q = 0

hi = h2 ... - h

La relation (9-15) ou (9-16), associée à cette condition aux li-mites, permet de calculer le point correspondant.

5. calcul des points impairs oourant ( 3,5,..) au temps 2At

6. retour à l'étape 3 du programme et nouveau calcul des pointspairs au temps 3At, etc...

Remarque

Dans le cas d'un liquide, il peut se faire que la pression attei-gne, en certains points, la valeur p de la pression de vapeur saturante dufluide. Dans ce cas, il y a formation locale de bulles de vapeur (et de gazdissous) limitant à p la valeur minimale de la pression.

Si, de part et d'autre de ces points dits de cavitation, le flui-de a des vitesses telles que leurs différences soient négatives, il y aformation de poches de cavitation que l'on traite habituellement comme denouvelles conditions aux limites correspondant à une hauteur piëzométrique

Pvconstante (h - -1—).


- IX.16 -

b) Aéraul-ique

Le fait que le fluide soit un gaz ne modifie théoriquement pas leprocessus de résolution du système d'équations qui reste inchangé.

Toutefois, il sera souvent possible de négliger les forces de pe-santeur (p* - p) et de frottement devant celles de pression.

Par contre, la masse volumique, de même que la vitesse de propa-gation des perturbations, ne pourront plus en général être considéréescomme des constantes. De même, les phénomènes thermodynamiques, liés auxalternances de compression et de détente, devront, le plus souvent, êtrepris en compte.

A cet effet, il est habituel de distinguer le cas des détentesrapides où l'on considère habituellement les phénomènes comme adiabatiquesou même isentropiques, si le frottement peut être négligé, du cas des écou-lements de gaz en conduite de grande longueur (gazoduc), avec des varia-tions lentes des paramètres conduisant à considérer l'écoulement commeisotherme.

- Détente (°u_£ompression) isentropique d'un gaz parfait

Les relations (9-Î.5) et (9-16) ci-dessus s'écrivent simplement ennégligeante JLe_fro-ttement—et-J,es—forées—de—pesaatéuï -:

•— = u ± a et dp ± padu = 0 . (9-17)

P o PComme -~- = este et a = y —-, il est possible d'exprimer p et a enpf p

fonction de p seulement et d f intëgrer la relation de compatibilité sous laforme :

.Z±JL±_LJJL 2Y „ cste m (9_18)ao Y-- HPOJ

La non linéarité de cette expression fait qu'il est plus usueld'utiliser la vitesse du son comme variable thermodynamique, ce qui conduità la relation classique :

^±7^r^ = cste' (9-'9)

correspondant, dans le plan u,a, à un réseau de droites de pente ± r-.

Ce réseau peut être utilisé pour une résolution graphique de façon analogueà celle proposée par BERGERON dans le plan h,q. Ici, toutefois, lesdirections caractéristiques ne sont plus, dans le plan x,t, des droites etleur trace doit être mené par petits tronçons Ax et At à partir desconditions initiales.

Supposant les phénomènes isentropiques, il a été, ci-dessus, né-gligé tout effet lié à la viscosité du fluide. L'expérience confirme bienla validité de cette approximation dans le cas de conduits dont le rapportlongueur-diamètre reste faible.


- IX.17 -

Dans le cas contraire, la viscosité du fluide doit être prise encompte, ce qui, comme dans le cas de lfhydraulique, ne pose pas de problèmeau niveau de 1*équation de la dynamique,, Toutefois, dans le cas des gaz,l'énergie ainsi dissipée peut avoir une incidence non négligeable sur leplan thermodynamique et il convient alors de considérer également l*équa-tion de l'énergie que l'on exprime habituellement en fonction de lfentropieselon la relation (9-2).

Cela conduit alors, par un raisonnement analogue à celui dévelop-pé ci-dessus, à la prise en considération d'une troisième direction carac-téristique :

dxdF= U *

avec, comme relation de compatibilité correspondante, lséquation de l'éner-gie (9- ), qui est déjà sous forme caractéristique,

ds qt 4uTf .dt ~ JST ~ ÏTD~ (9"20>

H

La méthode de résolution reste sensiblement la même, à cela prèsque l'on doit prendre en compte, en sus des relations (9-13), (9-14), unetroisième relation telle que :

A. fSi Sim pST pTDH (9-21)1111 im

Les valeurs des paramètres en i sont obtenues par interpolation linéaire à partir de cel-les en i-1 et i+1, le point i pouvant être déter-miné en menant, à partir du point i (obtenu par intersection des caractéristiques de pente u+u etu-a), la droite de pente u. Par itération, il estensuite possible d'améliorer la détermination descoordonnées de i et de i , ainsi que les valeursdes paramètres u, p, ... en ces points.

- Ecoulement a variations Isntes^des^garametres

De tels écoulements se rencontrent dans les gazoducs où les fluc-tuations des paramètres sont relativement lentes.

De ce fait, il est possible, compte tenu également de la faiblemasse volumique du fluide, de négliger les termes d'inertie et d'obtenirdes solutions approchées relativement simples (voir, par exemple, PASCAL"Ecoulement non permanent dans les gazoducs", Ed. Technip).

Actuellement, compte tenu des développements des moyens de cal-cul actuels, il est tout aussi aisé de résoudre directement le système

d'équations original (consulter à. ce sujet l'ouvrage de E.B. WYLIE etV.L. STREETER : "Fluid Transients", Me Graw-Hill.


- ÏX.18 -

En effet, les variations des paramètres étant relativement len-tes, les transformations qui leur sont associées s'effectuent à températuresensiblement constante et l'expérience montre que la vitesse de propagationa des perturbations correspondant également à une évolution isotherme. Pour

un gaz parfait tel que = ZrT, a = /ZrT.

Dans ces conditions, le calcul est tout à fait analogue à celuide l'hydraulique et l'on a simplement à traiter, comme ci-dessus, les rela-tions (9-13) et (9-14).

On choisit habituellement comme variable la pression et le débitmassique m = pSu, S étant constant pour une conduite donnée.

S±t de plus, on admet que le terme de frottement peut s'identi-fier à la perte de charge en régime permanent, il vient, puisque G£ = A/4t

m A p i l «, A m mTf = - g § U . | u | , S0lt Vf-^ '

Comme le fluide a une vitesse habituellement faible devant cellede propagation des perturbations, on a :

-~ = ± a avec ici a = \l^- (= este)dt y p

et comme relation de compatibilité correspondante :

dp ± dm ± £& |5- dt ± \ iMsi dt = 0 , (9-22)S 3 3X 2pDS2

puisque p = —a2

En remplaçant dans cette expression dt par — et en intégrant, ilvient immédiatement : a

p ± | m ± k -|i + X a 2 m lm l ]dx = este . (9-23)S [a2 9x 2pDS2 J

Si l'on remarque qu'en écoulement permanent (dm = 0) , la relation(9-22) s'intégre explicitement entre deux points i-1 et i d'abscisse x—Axet x sous la forme :

2 ? A a ^ l m ! . e - 1 , 8 ,rt nl.p i = pi-i - —~rAx ~~r~/e (9'24)

avec : B . l^x |z

a2 3x


- IX.19 -

on peut chercher une formulation de lfintégrale de (9-22), telle que, lors-que m -* este, on retrouve l'expression (9-24), traduisant la chute de pres-sion, entre deux sections, en régime permanent.

On obtient ainsi, pour les relations de compatibilité,

, , , dx. le long de -r- = + a :

PI - P t - i + f K - -t-i)+ pj+XJ6" - ''

+ __ia!Ax__ . « - 1 -j * "i-1 . mi Vi-1 1 . Q (9-25)

•(-i + Pi-l)M2 0 2 J

i l , d x. le long de — = ~ a

£af }

Pi+l f 3 ,]PI - PI+I - s K - "i+ij - p . + P l + / e - V

•v 2, 3 . m. + m. . m. + m, ,^2^ . ±_^_L x 1*1 . -i—111 . 0 (9-26)

(Pi*Pi+l)Ds2 '

Remarque

Dans la plupart des cas pratiques, les variations de pression etde débit s'étalent sur des périodes relativement longues (plusieurs heu-res). Dans ces conditions, compte tenu de la valeur élevée de a, le temps

( Axl= — étanta 1

Pour pallier cet inconvénient, YOW propose d ' a f f ec t e r , dans

l'équation de la dynamique, le terme d'inertie (p •—•) d ' u n coefficient

a2 » 1, ce qui n'entraîne, lorsque les variations sont très lentes, qu 'uneerreur négligeable, mais permet de diviser par a le temps de calcul.

En ef fe t , il vient alors ~r~ = ± ~ et, dans les relations dedt acompatibilité (9-Z2), les termes en dp et dm sont, respectivement, multi-pliés par a et a2.

Dans les expressions (9-25) et (9-26), seuls les termes en

—(m - m.+1) sont affectés du coefficient a.

* YOW : Analysis and control of transient flow in naturel gas riping sys-tems, Ph. D. Dissertation, University of Michigan, Ann. Arbor, 1971.


- IX.20 -

~ î?Ë!l!î2lËJiîL3££I??!::Même dans le cas des liquides, la méthode des caractéristiques,

telle qu'elle a été exposé ci-dessus, peut s'avérer d'un emploi mal aisé,notamment en présence de réseau de conduites ayant des caractéristiquestrès différentes. L'obligation d'avoir des noeuds de maillage aux diversembranchements du réseau peut alors conduire à des pas de temps extrêmementfaibles, d'où des temps de calcul exagérés.

Il est alors intéressantd'utiliser, comme l?a proposé HARTREE, unmaillage régulier, à pas de temps et d'es-pace constant, comme indiqué ci-contre, etde calculer les paramètres en chaque noeudi, i+1, ..., et à chaque pas de temps j,n, n+i, ... à partir des valeurs connuesdes paramètres aux points M9 N et P où lescaractéristiques passant par i, au tempsnAt coupent la droite de temps constant(n-l)At.

La condition de COURANT impose, comme dans le cas des différen-Ax

ces finies classiques, que At T~~~p—T* c'est-à-dire que les points M, N

et P soient compris entre i+1 et i-1.

9.3.1. Méthode générale de résolution

Si, dans les liquides, en-dehors des zones où il y a cavitation,le fluide peut toujours être considéré comme continu, il n'en est pas demême dans les gaz où, en présence d'onde de recompression (ligne caracté-ristique d'une même famille convergente), il y a formation d'ondes de choc,c'est-à-dire de discontinuité des paramètres.

La méthode des caractéristiques se prête alors mal au traitementnumérique du problème, car il y a une sorte de dégénérescence du réseaumaillé, du fait que les lignes caractéristiques d'une même famille peuventse couper.

Dans ces conditions» il est préférabled'utiliser une méthode de différences finiesclassique, malgré les "effets secondaires" qu'in-troduisent les discrétisations et qui se tradui-sent par un étalement des fronts d'onde et/ou par laprésence d'oscillations parasites, comme indiquésur la figure ci-contre.

Les équations de la mécanique desfluides étant des équations de conservation, onmontre (voir ROACHE i "Computational fluid dynamics - Hermosa Publishers)qu'il est avantageux de garder cette forme lors de l'écriture et, par làmême, de la discrétisation de ces équations.


- IX.21 -

Dans le cas qui nous concerne, la forme conservâtive pure serait :

IMK* (9-">--> -+

avec des vecteurs F et G tels que :

PS °

-> -*- 3n 3VF P S U G _ s ^ £ _ p S . _ _ + T f X

PSE ' ô ',^Su «

I 8x F 8t 4t

o ù E = e + y u 2 + V e

Ici, toutefois, G fait intervenir des dérivées et l 'on utiliseraplutôt une écriture de la forme suivante, dite également conservative :

3Fi 9F2

ir + ibr = « (9-28)

avec :

pS pSu 0

Fi PSu F2 PSu2 * P H -pgssin a + Tfx

PSE - P 4- pS pSEu 4 pSu q

où l'on a posé :

P = J Sdp

V = gz (force de pesanteur seulement)

sin a = -g— (définit l'inclinaison locale de la conduite par rap-port à l*horizontale).

9.4. CAS PARTICULIER DES MOUVEMENTS D'ENSEMBLE ; OSCILLATION, MASSE

Ainsi qu'il est indiqué au début de ce chapitre, les perturba-tions de caractère ondulatoire, engendrées à la suite d'une modificationdes conditions aux limites, s'amortissent relativement vite, laissant placesoit à un nouveau régime permanent, soit, dans certaines configurations, àun régime oscillatoire dont les caractéristiques sont directement fonctionde la structure du réseau.

Lorsque les constantes de temps du système liées à l'inertie dufluide sont importantes devant les temps d'aller et retour d'ondes, il estpossible de calculer directement la phase transitoire de l'écoulement ennégligeant la compressibilité du fluide.


- IX.22 -

Pour cela, on utilise habituellement la relation de BERNOULLIsous la forme donnée au paragraphe 4.1.2.2, c'est-à-dire, pour une conduitede section constante :

— £ + H !=—|H + H2 + AHp (9-29)g dt i g dt ^ r

où, , EI et H2 sont les charges instantanées dans les sections d Abs-cisses curvilignes sj et 5.2 t

. AHp est la perte de charge entre ces deux sections.

Nous avons donné, au paragraphe précité, un exemple d'applicationde cette relation au calcul de l'établissement de l'écoulement dans uneconduite après

Nous considérerons ci-après deux exemples classiques de régimestransitoires pouvant être traités, en première approximation, à partir dela relation précitée,

- Installation de pompage avec cheminée d*équilibre

Afin d'assurer la protection contre le phénomène de coup de bé-lier dans le cas notamment où l'installation comporte au refoulement unevanne (ou un clapet de retenue) pouvant être fermée rapidement, on place,comme indiqué sur la figure, soit un réservoir avec de l'air comprimé,soit, lorsque la hauteur de refoulement n'est pas trop élevée, une cheminéed'équilibre

• Equations de l'écoulement

si et , d0niaPPll2Uî U 5elatl°n (9~29> ci-dessus entre les deux abscissessi et S2 de la conduite où la perte de charge AHp est telle que -

A H p -AHML


- IX,23 -

Gela conduit à :

81 du „ S2 du „ , u |u | LTâ? + H ' - T d T + H2 + x 2ToComme ici 82 - s j *= L et H2 - H j » - z ,

ceci en supposant qu'au débouche dans le réservoir l'énergie cinétiqueu2/2g du fluide est entièrement perdue et que la cheminée se comporte commeun tube piézométrique. En fait, on observe, en régime permanent, une fluc-tuation de niveau dans la cheminée d'équilibre de l'ordre de cette pressiondynamique u2/2g, dont la valeur est habituellement négligeable. On endéduit :

L du x ujjul L (9_30)

g dt ~ Z * 2g D

relation à laquelle il convient d'adjoindre l'équation de continuité :

q = su + sv ,

où q est le débit dans la conduiteet v la vitesse dans la cheminée d'équilibre de section S.

. Application au cas d'une variation brusque du débit, dans l'hy-pothèse où l'on néglige les pertes de charge.

Supposons qu'au temps t = 0, le débit passe brusquement de q àqb, c'est-à-dire t « 0 - e , q = qa

a

t - 0 + e , q - q b .

Pour t > 0, on a alors :

q, « su + sv ,

,, „ du S dv S d2z . dzd ou -r- « - — -r— = — , puisgue v = -r~ ,dt s dt s - 2 dt

d'où, en portant ces valeurs de —, dans l'équation (8.1), il vient :

iiâ!i.+ ,.08 s dt?

d'où + w2z = 0 en posant a) « • — .dt2 L S

La solution est immédiate :

z « A sin(o)t + <J>)


- IX.24 -

A t = Q , z = 0 , d 'où = 0 .

D ! autre part , à t = 0 + e, l 'équation de continuité donne :

qb - sua + SV0

d 'où su = su + SVQ

qaen posant, u = •—* ' a s

qbUb =T"

et VQ la vitesse dans la cheminée au temps t ~ 0 + e.

On en déduit :

v» = f (ub ' V

et — = Au) cos wt = TT(U, - u )td tJt=0+ E t=0+e S b a

d ' où Ao) = — (u, - u )S b a

p- »,2 • fvë ( ub-V s i n ?!'

fr—~»

s in 11 •?— t .\J

Remarques

a) Pour une variation donnée Au = u, - u de vitesse dans laconduite, lîamplitude varie comme :

—, donc inversement proportionnel à la racine carrée de la sec-Js tion de la cheminée,

/sL, donc proportionnel à la racine carrée du volume de laconduite.

b) La période du phénomène est très grande, par exemple, pourL = 10 km et un rapport de section S/s = 10. On a T = 10 mn 28 s, alorsque, du point de vue coup de bélier, le temps de base (aller et retourd'onde) serait de l'ordre de 20 s.


- IX.25 »

c) Si l'on avait tenu compte des pertes de charges, on aurait ob-tenu un mouvement oscillatoire amorti,,

" Installation de ventiTtâew^volume

Considérons l'installation représentéeci-contre comprenant successivement un ventila- .——teur, une conduite de longueur L, un réservoir et Hrune vanne de réglage du débit, "" S I"""™ ZSE

Nous négligerons toutes les pertes decharge sauf celles localisées à la vanne de ré-glage du débit.

De même la compressibilité du fluidene sera prise en compte que dans le réservoir d'un volume supposé très supé-rieur à celui du reste de l'installation.

En appliquant, comme ci-dessus, le théorème .de BERNOULLI entreles extrémités 1 et 2 de la conduite de longueur L, on a :

^|H+H2.Hl = o .

Ici H2 est sensiblement égal à la charge dans le réservoir H età l'entrée de la vanne 113.

En introduisant le débit volumique q - qi ~ qa dans la conduite,on a :

T d(î2— ~r— * Ho - HT = 0 .gs dt z A

Par ailleurs, l'équation de continuité appliquée entre l'entrée 2et la sortie 3 du réservoir nous donne :

p(q2 „ qs) = -JL_

où V est le volume du réservoir. En supposant le gaz parfait (— = rT), la

compression isentropique (— = este) et en posant a2 = yrT (a représente laPY

vitesse du son).

Il vient :

V dp V dpq2 - qs • dT

= — dT 'H paz

Comme p - PgH, si la vitesse est faible dans le réservoir et pcorrespondant au p moyen considéré dans le reste de l'installation, on peutécrire :


-IIX.26 -

V£ d H2i z - q s - ^ ^ .

Si l'on admet qu'au voisinage du pointde fonctionnement M les courbes caractéristiquesdu ventilateur et de la vanne peuvent être appro-ximëes par leur tangente, il vient :

HI - "M - a(qi ' V

pour la caractéristique du ventilateur

H3 ~ HM - 6(q3 - qM)

pour la caractéristique de la vanne9

d'où : H3 - HI = 3qs - aq£ - ($ - a)qM

et le système d'équations devient,, avec H3/vH2 î

L dq2__. + 3q>3 . aq2 « (g _ a)qM

Yg 0 dq3

q2 . q3 , _^ B

az

En éliminant q2, on obtient Inéquation du second ordre :

^ » -V + £[> -^ - * f « - -> <« - %,> ' » . <»-3"a dt ( a L

qui correspond à un mouvement oscillatoire autour de la valeur q et depériode :

T = 2J_L!^L_]'/2 ,h e - «J

qui est d 'autant plus grande que les valeurs de L et V sont importantes etla compressibilitê du fluide (a2) , ainsi que la section S faibles. Cetteoscillation sera amortie et l 'écoulement stable si le coefficient du termeen dq3 /d t est positif, c'est-à-dire si :

V e2S_S_Ë. ctg < i.a2L

Vg2SDeux cas sont à considérer puisque —fi— est toujours positif :

a2L


- IX.27 -

1) a < Q

'• P-te ^^rca^cê-^^^^^/^g^^correspon^,,, au cag clflssique ^

2) a > 0

^ ««'-.^îtS^jr^.6^- de ^nsueur et section données,

V < L a2

s • ~7~- »g2a3

c""""'"'"1-1——«--««.-.-.«.^1M...


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MECANIQUE DES FLUIDES - INSA Lyon