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Mécanique des fluides Rappels Jean-Martial Cohard [email protected] ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Plan du cours I- GENERALITE II- RAPPEL DE STATIQUE 1- Principe fondamentale de la statique 2- efforts sur les parois immergées III- RAPPEL D’HYDRODYNAMIQUE 1- notion de flux – conservation de la masse 2- équations intrinsèques 3- Relation de Bernoulli 4- Théorème des quantités de mouvement 5- Cas des fluides réelles 6- Notion d’Analyse dimensionnelle IV- ECOULEMENT A SURFACE LIBRE – REGIME PERMANENT 1- Introduction 2- Géométrie 3- Formule de Chezy, … V- ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE 1- Charge spécifique 2- Ligne d’eau 3- Le ressaut hydraulique 4- Passage d’obstacle VI- INTRODUCTION AUX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX 1- Loi de Darcy ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Généralités Qu’est ce qu’un fluide les gaz : Molécules libres (mouvement brownien) les solides : Agencement cristalin des molécules les fluides : État intermédiaire ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Mécanique des fluides : Introduction Particule fluide Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules Suffisamment petit pour qu’on ne puisse distinguer des hétérogénéités. ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

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Mécanique des fluidesRappels

Jean-Martial Cohard

[email protected]

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Mécanique des fluides :Plan du cours

I- GENERALITE

II- RAPPEL DE STATIQUE1- Principe fondamentale de la statique2- efforts sur les parois immergées

III- RAPPEL D’HYDRODYNAMIQUE1- notion de flux – conservation de la masse2- équations intrinsèques3- Relation de Bernoulli4- Théorème des quantités de mouvement5- Cas des fluides réelles6- Notion d’Analyse dimensionnelle

IV- ECOULEMENT A SURFACE LIBRE – REGIME PERMANENT1- Introduction2- Géométrie3- Formule de Chezy, …

V- ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE1- Charge spécifique2- Ligne d’eau3- Le ressaut hydraulique4- Passage d’obstacle

VI- INTRODUCTION AUX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX1- Loi de Darcy

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Mécanique des fluides :Généralités

Qu’est ce qu’un fluide

les gaz :Molécules libres

(mouvement brownien)

les solides : Agencement cristalin des

molécules

les fluides :État intermédiaire

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Mécanique des fluides :Introduction

Particule fluide

Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de moléculesSuffisamment petit pour qu’on ne puisse distinguer des hétérogénéités.

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Mécanique des fluides :Généralités

Effort sur une particule fluide

S

∂SS : domaine matériel de masse m∂S : surface qui délimite S

F = m f; avec f : densité massique d’effortT = S t ; avec t : densité surfacique d’effort

F

T

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Mécanique des fluides :Généralités

Force de pesanteur

S

P

P = m . gf = g

L’énergie potentielle massique associée ep est tel que :

dep = -g dl = -g dz ez = g dzSoit :ep = g.z + cte

Réciproquement :g = -grad ep = -grad(g.z)

ez

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Mécanique des fluides :Généralités

Vecteur contrainte

AdA

M

endF

dMTorseur des actions exercées sur A :{dF; dM}

On défini le vecteur contrainte :t (M, en) = dF/dA

Contrainte normale :σn = t . en

Contrainte tangentielle :σt et = t - σn en dA

M

σn.endFen

σt.et

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Mécanique des fluides :Généralités

Qu’est ce qu’un fluide

Déformation + état d’équilibre

Application d’une force de cisaillement

Comportement des solides Comportement des liquides

Déformation …

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Mécanique des fluides :Généralités

Fluide newtonien

Fluide épaississant

Fluide solidifiant stablePlastique

Plastique de Binghamτxy

τ0

pente = μ

dU/dy

Qu’est ce qu’un fluideComportement des fluides et autres ….

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Mécanique des fluides :Généralités

Compressibilité

Variables : ρ, P, T

Pour un gaz : Loi des gaz parfaits :

p/ ρ = R.T/M ; avec R = 8,32 J.K-1.kg –1

Ou équation de Van der Waals : p.M/(ρ.R.T) = 1+ ρ.C(T) + ρ 2.D(T) + …

L’air est en général considéré comme un gaz parfait incompressible si U ≤ 100 m.s-1

ρ = cte

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Mécanique des fluides :Généralités

Compressibilité

Pour un liquide :

(ρ - ρ 0)/ ρ 0 = - β.(T-T0) + χ.(p - p0)

Avec β est le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de compressibilité

- χ dp = dρ/ ρ0 ≈ 0

Pour l’eau : β = 1/5000 °K-1; χ = 1/22400 bar –1 (5. 10-10 Pa-1)

Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, chant des baleines …) à la vitesse c tel que :

c2 = (∂p/ ∂ρ)T=cte

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Mécanique des fluides :Généralités

Compressibilité

Coef. De compressibilité

Célérité du sonc (m/s)

Air 1,00E-05 330

eau 5E-10 1420

Nombre de Mach : Ma = U/cFluide incompressible pour Ma << 1

Dans le cadre de ce cours on supposera l’eau et l’air comme des fluides incompressibles :

ρair = 1,3 kg/m3

ρeau = 103 kg/m3

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Mécanique des fluides :Généralités

Notion de Pression

Contrainte normale résultant des chocs des molécules sur les parois. L’intensité de cette contrainte est caractérisée parun scalaire : la pression

- Défini en chaque point du fluide- C’est une grandeur locale- Fluide en mouvement ou pas- Besoin d’une surface pour être révélée

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Mécanique des fluides :Généralités

AdA

M

en

dF

dM

dF = - p en dAσn = - p

en est la normale sortante

La pression s’exprime en N. m -2 = kg.s-2.m –1

F = ∫A - p en dA

P

Force de Pression

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Mécanique des fluides :Généralités

Pa bar mm CE mm Hg atm

Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06

bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01

mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 9,68E-05

mmHg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03

Atmosphère 1,01E+05 1,01E+00 1,033.104 7,60E+02 1,00E+00

Conversion des unités de Pression

Pabs est la pression absoluePeff est la pression effective mesurée par rapport à la pression atmosphérique (Patm)

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Mécanique des fluides :Généralités

Viscosité

z

Pour un fluide réel en mouvement, il y a glissement et frottement entre le fluide et les parois solides mais également glissement et frottement entre les couches de fluide

u(z)z

u(z)

Fluide parfait Fluide réel

≠ de gaz parfait

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Mécanique des fluides :Généralités

u0

h

F = μ u0/hParoi fixe

Viscosité

Paroi mobilez

Pour maintenir la vitesse u0, il faut exercer sur la paroi mobile une force F tel que

μ est la viscosité dynamiqueElle s’exprime kg.m-1.s-1, l’unité SI est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s

F

Le travail F*Δl fourni est dissipé en chaleur

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Mécanique des fluides :Généralités

Viscosité; fluide Newtonienz

u + duu

x

dAdF

dF

Le fluide est soumis à une contrainte de cisaillement

σt et = dF / dA

σt = μ ∂u/∂y

Les fluides qui vérifient cette relation linéaire entre la contrainte et le gradient de vitesse sont des fluides newtonien

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Mécanique des fluides :Généralités

Viscosité

On définit également la viscosité cinématique ν = μ / ρ [poise]

Masse volumique (kg/m3)

Viscositédynamique (kg/(m.s))

Viscositédynamique (m2/s)

Air 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05

eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06

Ordre de grandeur

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Equation fondamentale de la statique

Etude des fluides au repos;pas de mouvement relatif entre les particules fluide

σt = 0

ρfz.dV

(p+dp).dx.dy

p.dx.dyy

z

x

dxdy

dz

p.dx.dy - (p + dp).dx.dy + ρ.fz.dx.dy.dz = 0dp/dz - ρ.fz = 0

∂p/∂z - ρ.fz = 0

De même dans les autres directions, il vient

grad p - ρ.f = 0

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Propriété du PFS

rot grad p - rot ρ.f = 0 = rot f

Si il y a équilibre alors :

Alors il existe une fonction ep tel que :

- grad ep = f

ep est l’énergie potentielle

grad p + ρ.grad ep = 0

Les équipotentielles et les isobares sont confonduesLes isobares sont des surfaces d’égale masse volumiqueLes isobares sont aussi des surfaces isothermes

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Cas de la pesanteur : loi de l’hydrostatique

Le fluide a une masse volumique uniformeLe seul champ de force est le champ de pesanteur

f = g = - grad(g.z)

Léquation de la statique devientgrad(p + ρ.g.z) = 0

L’équation de l’hydrostatique s’écrit

p + ρ.g.z = cte = pg

pg est la pression motrice

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

loi de l’hydrostatique

p + ρ.g.z = cte = pg

* La différence de pression Δp entre 2 points A et B ne dépend que de la différence d’altitude Δz = zB – zA

Δp = - ρ.g. Δz

A

B

zzA

zB

* Principe de Pascal : les fluides transmettent la pressionzB = zA pB = pA

F/S = f/s

A BzA zB

F fS

s

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

loi de l’hydrostatique

p + ρ.g.z = cte = pg

* La pression augmente linéairement avec l’altitude

Patm

P(z)

z

* Pour une surface libre p = patm .C’est une surface isobare ⊥ à g et plus généralement ⊥ à l’accélération locale

Fluide au repos

Patm

g

Fluide en écoulement : U = cte

Patm

gaU

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Force de pression

dF = - p en dAavec p(zA) + ρ.g.zA = patm +ρ.g.zh

p(zA) = patm +ρ.g.(zh – zA) = cte

F = ∫A - p en dA = - p (zA) z ∫A dA= - p (zA) z A

Patm

P(z)

z

FAzA

z=0

zh

Patm

P(z)

z

FAzA

z=0

zB

dF = - p en dAavec p(z) + ρ.g.z = patm ; vrai pour z <0

p(z) = patm - ρ.g. z

F = ∫A - p en dA = - x ∫A p (z) dA= - (A.patm – 0,5.ρ.g.l.(zA

2-zB2)).x

x

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Pression effective

On défini la pression effective : peff = p – patmElle est plus simple à mesurer

On peut quasiment toujours travailler avec la pression effective plutôt qu’avec la pression réelle p car la pression

atmosphérique est quasiment toujours présente

Patm

z

dF due à patmAz=0

x

dF due à peff

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Mécanique des fluides :Statique des fluides

Centre de poussée

Patm

P(z)

z

FAzA

z=0

zB

x

Mc = ∫A CM ^ dF = 0

Mc = ∫A CM ^ - p en dA = 0

CM ^ dF = (z-zC) z ^ -p.x.dA = -p.(z-zC).y.dA

peff(z) = - ρ.g.z

Mc = ∫A -(-ρ.g. z ).(z-zC).y.dA = 0

∫z (z2- z.zC).dz = 0[z3/3 – zc.z2/2]AB = 0zC = zA+2.(zB- zA)/3

CzC

Le centre de poussé est le point C tel que le moment des forces de pression en C est nul

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Notion de flux

A

dA

Men

u

La quantité B convectée pendant dt par l’écoulement à travers la surface dA est contenue dans un cylindre dV de base dA et de hauteur :

u.dt.cos(u.en) = u.en dt

Soit dV = u.en dt.dA

La quantité transportée par unité de temps est appelée flux de B à travers dA

dΦB = ρ.b. u.en dt.dA

où b est la densité massique de B

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Notion de flux

A

dA

Men

u

Débit masse : b = 1

dqm = ρ. u.en.dA

Si u = cte sur A et ⊥ à A alors qm = ρ. U.A

Flux de quantité de mouvementb = u

dΦqdm = ρ.u. u.en.dA= u.dqm

dΦqdm s’exprime en N/m2

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Vitesse particulaire

u u+du

u u+dut+dt

t

ds = u.dt

M N

u

u+du

u

u+dut+dt

t

ds = u.dt

M N

Ecoulement permanent non-uniforme :accélération convective

Ecoulement uniforme non-permanent : accélération locale

du = ∂u/∂t. dt + ∂u/∂s. ds

as = du/dt = ∂u/∂t + ∂u/∂s.ds/dt = ∂u/∂t + u.∂u/∂s

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Conservation de la masse

ρ.dV

u(x)

yz

x

dxdy

dz u(x+dx)

dqm(x) = ρ. u(x).dy.dzdqm(x+dx) = ρ. u(x+dx).dy.dz

Dans la direction x la variation de masse pendant le temps dt est :

∂m/∂t = ∂(ρ.dV)/∂t =dV. ∂ρ/∂t = - ∂(ρ.u )/∂x.dx.dy.dz= - ∂(ρ.u)/∂x .dV

De même dans les autres directions

∂ρ/∂t = - div (ρ.u)

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Conservation de la masse

Pour un écoulement permanent :∂ρ/∂t = 0 = div (ρ.u)

Pour un fluide incompressible :ρ = cte

div u = 0

Cas d’un tube de courant

∫A1 ρ.u1.e1 dA = ∫A2 ρ.u2.e2 dA = cte

x

z

A1

u1

u2

A2

e2

e1

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Dynamique des fluides parfaits

Pas de viscositéν = μ = 0

zu(z)

zu(z)

Fluide parfait Fluide réel

C’est une bonne approximation tant que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe à proximité d’une paroi, d’un sillage,

d’une zone de mélange …

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Équation d’Euler

Le principe fondamentale de la dynamique pour un fluide parfait s’écrit :

ρ du/dt = - grad p + ρ.f

ρ (∂u/∂t + u.grad u) = - grad p + ρ.f

Pour f = - grad (gz)

ρ du/dt = - grad pg

ρfz.dV

(p+dp).dx.dy

p.dx.dyy

z

x

dxdy

dzux(t)

L’équation d'Euler est une équation différentielle du premier ordre une seule condition à la limite est nécessaire : la condition d’imperméabilitéaux frontières de l’écoulement.

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Equations dynamiques intrinsèques

s0

sen

eteb

R : rayon de courbure C : centre de courbure

trajectoire

u = u etet

du/dt = du/dt et + u2/R en= -ρ-1 grad pg

= ∂u/∂t + u.grad u

Il vient∂u/∂t + u. ∂u/∂s = -ρ-1 ∂ pg /∂s équation tangentielle

u2/R = -ρ-1 ∂ pg /∂r équation normale

u(s)

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Conséquence de l’équation normale

ρ.u2/R = - ∂ pg /∂r

u(s)

Rpg

rivière

pg

- - -

+ + +

arrachement , creusement

R = ∝

∂ pg /∂r = 0pas de variation de pression

patm

patm

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Relation de Bernoulli

u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂zu.grad u = u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z = grad(u2/2) – (rot u)^u

u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z

ρ (∂u/∂t + grad(u2/2) – (rot u)^u) + grad (p + ρ.g.z) = 0

Pour un écoulement irrotationnel : rot u = 0

Sur une ligne de courant : (rot u)^u).ds = (u^ds).rot u = 0

Il vient alors :

ρ.∂u/∂t + grad(ρ u2/2 + p + ρ.g.z) = 0

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Relation de Bernoulli

Pour un écoulement permanent : ∂u/∂t = 0

En intégrant l’équation précédente :

ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte

Ec + Ep = Et = Cte

Conservation de l’énergie totale

Ec EpM1

M2

ρ u12/2 + p1 + ρ.g.z1 =

ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Hypothèse de la relation de Bernoulli

ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte

Fluide parfaitFluide incompressibleécoulement permanentÉcoulement irrotationnel ou sur une ligne de courantÉcoulement dans le champs de pesanteur f = ρ.g

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Ligne de charge, ligne piezométrique

Hz

Ligne piézométriquep/ρ.g

U2/2.g

Plan de charge

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Cas des écoulements en conduite de fluides réellesEcoulement laminaire

r

u(r)D=2R

Ud2Ud4Ud

- Les lignes de courant sont rectilignes- Vitesse relative nulle à la paroi- u ne dépend que de r- u(r) = 2.Ud.(1-(r/R)2)- Q = ∫Su.en.dS - Ud = Q/S = Q/πR2

- Ud est la vitesse débitante- Umax = 2.Ud

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Cas des écoulements en conduite de fluides réellesEcoulement turbulent

r

umoy(r) D=2R

Ud

- Les lignes de courant se mélangent- Vitesse relative nulle à la paroi- Ud = Q/S = Q/πR2

- Ud est la vitesse débitante- Umax = α.Ud ; avec α ≈ 1,05- En pratique, les écoulements en conduite sont turbulents, on prendra α = 1

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Que devient la relation de Bernoulli

ρ grad(u2/2) = - grad p + ρ.f + force de frottement

viscositéProfil de vitesse

non uniforme dans la section

ρ.α.u2/2 + p + ρ.g.z + Δpperte = Cte

S1

S2

Pour un écoulement turbulent :ρ u1

2/2 + p1 + ρ.g.z1 = ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2 + Δpperte

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Convection Thermique

Nombre de REYNOLDS

μρ D V Re ××=

Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement :Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante

ρ : masse volumique du fluide [kg/m3],v : vitesse moyenne du fluide [m/s],D : plus petite dimension géométrique du problème [m],μ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].

laminaire critique laminaireturbulent

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Conservation de la quantité de mouvement

D

∂D end(m.u)/dt = d (∫D ρ.u.dv) /dt

= (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫D ρ.u.grad u .dv

= (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫∂D ρ.u.u.en.ds

= Σ Fext→D

Pour un écoulement permanent :

∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D

∫∂D ρ.u.u.en.ds est le flux de quantité de mouvement à travers dD

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Conservation de la quantité de mouvementEx : écoulement à débit constant dans un tuyau horizontal

ud

Q = ud.S

S De2e1

e3

ud

∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D

P2P1

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Analyse dimensionnelle

Soit un système physique Φ décrit par n paramètres physique gidimensionnels (grandeurs physiques)

Φ(g1, g2 ,.... , gn) = 0Soit p le nombre de grandeurs fondamentales (m, t, T°, L)

Alors le problème peut s’exprimer en fonction de n-p variables sans dimension Gj de la forme :

F(G1, G2 ,.... , Gn-p)avec

Gj = g1α1. g2

α2 ..... gnαn

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Analyse dimensionnelleEx : traînée d’une pile de pont

DU F

F = g( 0 = Φ (F, n = p =

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Mécanique des fluides :Hydrodynamique

Cf = f(Re)

U = 1m/s; D = 2m; μ = 10-3 Pl Re = Cf = F=

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Définition

P

Écoulement en chargeLa section de l’écoulement

est celle de la conduite

Patm

Écoulement à surface libreIl existe une surface de

séparation entre le liquide et l’air

La section de passage dépend du débit

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

exemples

doc.Ph.Bois

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Distribution des vitesses

zu(z)

yu(y)

yu(y)zFrottement à la surface

Frottement au fond du canal

Frottement sur les parois

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Géométrie

Section mouillée S : section de l’écoulement moyen limitée par les parois et la surface libre

Périmètre mouillé χ :Contour mouillé (sans la surface libre) ; zone de frottement solide

Rayon hydraulique :

RH = section mouillée / périmètre mouillé = S/χ

DH = 4 * RH

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Géométrie cas du canal rectangulaire

y

b

y

S = Χ =RH =DH =

Que devient RH si y << b

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Géométrie

zu(z)

θ

Pente de fond : i = sinθ ≈ θ

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Nombre de FroudeParamètre adimensionnel caractéristique des écoulement à surface libre

Fr = U/√(gh)

Rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle

Si Fr > 1 Ec > Ep Régime torentiel

Si Fr < 1 Ec < Ep Régime fluvial

Si Fr = 1 Régime critique

Ec / Ep = 0,5*m*U2 / ∫ρgz dv

= 0,5.ρ.V.U2/0,5.ρ.g.h2.S = Fr2

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Propagation des ondes

X0

V=0

-C = - gh+C = + ghLes ronds dans l’eau

0V = V < gh

point d’impact

V

Les ondes peuvent remonter le courant

V > gh

Vpoint d’impact

Les ondes ne peuvent pas remonter le courant

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Ecoulement Uniforme et permanent

Ecoulement uniforme : la section mouillée reste constante le long de l’écoulement.Ecoulement permanent : ∂./∂t = 0.

Exemple : pour un canal prismatique de grande longueur.S(x) = Cte h = Cte

zu(z)

θ

La surface libre est alors un plan parallèle au fond de pente i,

U = Cte la ligne de charge // au fond

Ligne de charge

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Formule de CHEZY (1775)y

U

θ

y

b

S

g

g.sinθ

τparoi

τair

Force motrice : ρ.V.g.sinθ = ρ.l.S.g.sinθForce résistante : - τparoi .χ.l = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l

(frottement) - τair .b.l = 0,5.ρ.C’f.U2.b.l

l

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Formule de CHEZY

U = Cte ΣF = 0

ρ.l.S.g.sinθ = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l + 0,5.ρ.C’f.U2.b.l

U2 = 2.g/(Cf+C’f.b/χ).S/χ.i

On appelle C, coefficient de Chezy :

f f

2gC =C + C' b χ

Alors : HU = C R i

[C] = m1/2.T-1

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Formule de CHEZY

HU = C R i

En général C’f.b/χ << Cff

2gC =C

30 < C < 100 (MKS)

Cf grand frottement grandC petit

Cf grand frottement petitC grand

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Débitance d’un canal

HU = C R i

( ) i=H HQ = U.S = S.C R i S.C R

Par définition la débitance K d’un canal est :K = S.C.√RH

Alors : Q = K. √i

K dépend de la géométrie par S et RH et par la nature des parois par CfK ne dépend pas de la profondeur d’eau !!!

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Coefficient de frottement

yu(y)

En général Re est grand régime turbulent rugueuxCf = Cte

Profil externe : U = yα

Profil logarythmique : U = a.lny + ba ≈ 1/κ ≈ 2,5; b ≈ 5

Sous couche visqueuse,Profil linéaire : U = y.τparoi/μ

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Bazin, Manning, …

Dans la littérature les formules empiriques abondent …

Formule de Bazinγ H

87C =1+ R

γ caractérise la nature des parois (cf table)

Formule de Manning (Strickler)

η ou Ks caractérise la nature des parois (cf table)

η1/6 1/6

H s H1C = R = K R

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Exemple : canal trapézoïdal

l

h 45°

l = 4mBerge revétu de bétonPente de fond : i = 0,3m/kmh = 1,6 m

Calculer la débitance du canal, la vitesse et le débit pour un écoulement uniforme

S = χ =RH =Bazin : γ = 0,16 C =K =Q = U =

Tracer la courbe de tarage Q(h) de ce canal

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Exemple : canal trapézoïdal

0,005,00

10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00h (m)

Q m

3/s

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Ecoulement graduellement varié

Hypothèses : les lignes de courant sont rectilignes (localement)la hauteur d’eau n’est pas constanterépartition hydrostatique de la pression dans une sectionles profils de vitesse sont identique à ceux de l’écoulement

uniforme

x

y

U

θ

P(y)

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Ligne de charge, ligne d’eau, …

y

U

θ = i

Ligne de charge

j

En x la charge est définie par : H = p/ρg + z + U2/2g= h(x) + z(x) + U2/2g

z(x)

h(x)

U2/2gPatm = 0

dh/dx = ?

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Charge Spécifique

La cote du fond étant donnée, il est plus simple d’étudier la charge comptée à partir du fond, c’est ce qu’on appelle la charge spécifique Hs:

H = Hs + zHs = h(x) + U2/2g = h(x) + Q2/(2gS2)

dHs/dh = 1 + d(Q2/(2gS2) )/dh= 1 - Q2/(gS3) dS/dh= 1 - Fr2

Ep Ec

h

Hs

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Charge SpécifiquedHs/dh = 0

= 1 + Q2/(gS3) dS/dh

hm = S/LdS = L.dh

Q2L/(gS3) = U2/ghc = Fr2 = 1

Hs(h) atteint un minimum pour h = hchc est appelée hauteur critique

h

Hs

hc

Hc

SL

h = hm

hc = [Q2/(gL2)]1/3

Hs(hc) = 3.hc/2

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Fonction du débit, de la section

Hs = h(x) + Q2/(2gS2)

h

Hs

hc

Hc

h

Hs

hc

Hc

Q L

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Exemple : Passage d’un seuil

h

Hs

hc

Hc

hnQ Hs + zf = H0 = Cte

zf Hs

A Bhn

Q hc

Régime fluvial : h diminue

A

B

C D

hnQ

hc

Régime torrentiel : h augmente

C

D

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Fonction du débit, de la section

Hs = h(x) + Q2/(2gS2) Q = S.[2.g.(Hs - h(x))]1/2

hHs

hc = 3Hs/2

Hc

QQmax

Régime fluvial

Régime torrentiel

Pour une section donnée, le débit est maximum pour h = hc

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eauy

U

i

Ligne de charge

j

z(x)

y(x)

U2/2g

Pente de fond : i = - dz/dx

Perte de charge : j = - dH/dx

H = z + p/ρg + U2/2g

= z(x) + h(x) + U2/2gOn à donc entre 2 sections :

dH/dx = dz/dx + dy/dx + d(U2/2g)/dx

-j = -i + dHs/dx

Or dHs/dx = dHs/dh . dh/dx

= (1 - Fr2).dh/dx

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

Profil de vitesse identique à ceux de l’écoulement uniforme j = Q2/(S2.C2.RH) = Q2/(S2.Ks

2.RH4/3)

dh/dx = (i - Q2/(S2.Ks2.RH

4/3))/(1 - Fr2)

Pour la section rectangulaire :

dh/dx = (i - Q2/(L2.h2.Ks2.h4/3))/(1 - Fr2)

Équation différentielle en h

S

hLS

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Profondeur normale, pente critique, …

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

Si h=cte = hn dh/dx = 0 i = j(hn est la profondeur normale)

on retrouve le cas de l’écoulement uniforme

i = Q2/(S2.Ks2.RH

4/3)

Pente critique ic: i tel que h = hc

ic = Q2/(S2.Ks2.RH

4/3)Fr2 = 1 = Q2L/(gS3)

ic = gS/(L.Ks2.RH

4/3)

i < ic (hn > hc) : canal de pente faible

y

U

i

Ligne de charge

h(x)hc

y

U

i

Ligne de charge

h(x)hc

i > ic (hn < hc) : canal de pente forte

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

Il faut traiter les cas Fr < 1 et Fr > 1

Cas fluvial et torrentiel

y

U

i

Ligne de chargej

z(x)

h(x) hc

y

U

i

Ligne de chargej

z(x)

h(x) hc

y

U

i

Ligne de chargej

z(x)

h(x)hc

Cas fluvial Cas torrentiel

Mais aussi i < j et i > j y

U

i

Ligne de chargej

z(x)

h(x)

hc

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau : canal de faible pente

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

hn > hch 0 hc hn ∝

i - j - - 0 + i

1 - F2 - 0 + + 1

dh/dx + ∝ - 0 + i

y

Q

θ = ihc

hn

M1

M2M3

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau : canal de faible pente

Exemplesy

Q

θ = i

hc

hn

y

Q

θ = i

hc

hn

M1

M2

M3S2 h’n

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau : canal de forte pente

dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)

hn < hc

y

Q

θ = ihn

hc

S1

S2

S3

h 0 hn hc ∝

i - j - 0 + + i

1 - F2 - - 0 + 1

dh/dx + 0 - ∝ + i

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

ligne d’eau : canal de forte pente

Exemples

y

Q

θ = i

hn

hc

S1

S2

y

Qθ = i

hn

hc

S3

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Le ressaut

Le régime fluvial ou torrentiel ne dépend que d’une seule condition à la limite (éq. diff. Du 1er ordre). Si au 2 extrémités d’un canal les conditions sont incompatibles alors il y aura un changement de régime.

h

Hs

hc

Hc

AB

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Le ressaut : passage fluvial torrentiel

Exemple : cas d’un changement de pente

La profondeur h(x) diminue. L’écoulement étant convergent, il n’y à pas de perte de charge.

Qhc

hnM2 S2

h’nB

A

h

Hs

hc

Hc

AB

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Le ressaut : passage torrentiel fluvial

La profondeur h(x) augmente. L’écoulement diverge, apparition d’une très grande de perte de charge.

Le ressaut est un écoulement très fortement varié

h

Hs

hc

Hc

ABΔH Q hc

h’n

M3

hnA

B

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Equation du ressaut

Q hc

h’n

M3

hn

S1 S2

Application de la conservation de la quantité de mouvemententre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeableshypothèse de fluide parfait (frottements au fond négligés)

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Equation du ressaut

Q hc

h’n

M3

hn

S1 S2

ρ.Q.Q/S2 - ρ.Q.Q/S1 = ρ.g.h1.S1/2 - ρ.g.h2.S2/2

pour une section rectangulaire S = L.hQ2/g.L2 (h2

-1 – h1-1) = 0,5.(h1 – h2)

Après calcul, en notant que hc3 = Q2/g.L2 :

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Perte de charge du ressaut

Q hc

h’n

M3

hn

S1 S2

Application de la conservation de l’énergie (relation de bernoulli)entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeablesprise en compte d’une perte de charge singulièrepas de perte de charge régulièrepente de fond négligeable entre S1 et S2

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Perte de charge du ressaut

Q hc

h’n

M3

hn

S1 S2

ρ.g.h1+ 0,5.ρ.(Q/S1)2 = ρ.g.h2 + 0,5.ρ.(Q/S2)2 + ΔH

pour une section rectangulaire S = L.hΔH = (h1 – h2).[1 – (Q2/2.g.L2).(h2 + h1).(h1.h2)-2]

Après calcul, en notant que 2.hc3 = h1.h2.(h1+h2) :

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Localisation du ressaut

Q

hc

h’n

M3

hn

S1 S2

Conjuguée de la torrentielle

Conjuguée de la fluviale

Le ressaut se fixe de telle sorte que h1 (amont) et h2 (aval) soient conjuguées, c.a.d. qu’ils vérifient tous les deux l’équation du ressaut.

Si on suppose que le ressaut a une longueur nulle (idéal), alors il se place à l’intersection de :

- la courbe fluviale et de la conjuguée torrentielle- la courbe torrentielle et de la conjuguée fluviale

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Le ressaut

le jet du robinet dans l'évierdivergent: le débit par u. de largeur diminue

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Transition réservoir canal

A

hHs

hc = 3Hs/2

Hc

QQmax

Régime fluvial

Régime torrentiel

Régime permanentA

B

B’

CQhc

hnB

AHs

Qhc

hn

B’

AHs

S2

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Transition réservoir canal

Qhc

hn

Hs M1

M2

Qhc

hn

Hs

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Franchissement d’un ouvrage : section contractée

QB

A

h

Hs

hc

Hc

Section contractée

Section naturelle

ABB’

A’En régime fluvial- abaissement de la ligne d’eau entre A et B- accélération- érosion !

En régime torentiel- élèvation de la ligne d’eau entre A et B

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Franchissement d’un ouvrage : section contractée

Q

Il faut prendre en charge les pertes de charge singulières

( )

( )

2

2

02

12

con amconvergent con con

con avdivergent div div

V VH K K

g

V VH K K

g

−Δ = ≈

−Δ = ≈

Au niveau du convergent :(en C)

Au niveau du divergent :(en D)

C D

h

Hs

hc

Hc

Section contractée

Section naturelle

ABB’

A’

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Franchissement d’un ouvrage : section contractée, endiguement

Q

h

Hs

hc

Hc Section naturelle

hc hnh’c

Tracer les position relative de h’n et h’c

Placer les points A, B, C, D sur le graphe Hs, h et tracer les lignes de remous

A

BC

B’C’

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Franchissement d’un ouvrage : section contractée, étranglement

Q

h

Hs

hc

Hc Section naturelle

hc hnh’c

A

B C

B’

C’M3

D

D

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Les seuils ou déversoir

Bassin

CanalQ

H

h= hc= 2/3 H

Les seuils servent à mesurer ou à réguler le débit ou encore à contrôler les niveaux d’eau

Le débit dépend de l’excès de hauteur par rapport au niveau du seuil H

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Les seuils ou déversoir

En régime dénoyé : Hh= hc= 2/3 H

Q

23

cc

c

Q ghBh

h H

α=

=

HQ( )

( ) ( )

2

2

2

12

noyé amont aval

noyé

amont aval

amont seuil

VH y y Kg

Qy y K

g B y yα

Δ ≅ − =

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟−⎝ ⎠

En régime noyé :

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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Les seuils ou déversoir

En régime dénoyé :

En régime noyé :

( )( )

( )

322

0,4 0,05

0,2

dénoyé amont seuil

amont seuil

seuil

amont seuil

s s

s

s

Q K L g h h

h hK

h

L L h h

= −

−= +

= − −

( )( )1

22noyé amont seuil amont avals sQ K L g y y y y= − −

Pour un déversoir triangulaire à 90° :

( )2,52,50

dénoyé amont seuilQ h h= −

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h

Hs

hc

Hc

A Bhn

Q hc

A

B

Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre

Les seuils ou déversoir

1 - Calculer la hauteur de seuil maximal Zfmax en dessous de laquelle on retrouvera un écoulement fluvial à la sortie du seuil.2 - Que se passe t’il si Zfmax est supérieur à H0-Hs(hc) ? montrer que l’écoulement passe d’un régime fluvial à un régime torrentiel en dérivant 2 fois H0 par rapport à x.3 - Le canal précédent rencontre un seuil de hauteur 0,5 m. Calculer la hauteur h0 nécessaire à l’amont pour que l’écoulement franchissent le seuil ainsi que la hauteur h1 à la sortie du seuil. 4 - La pente du canal étant identique à l’amont et àl’aval l’écoulement va donc retrouver la hauteur hn = 2 m. Pour cela un ressaut hydraulique va apparaître en aval du ressaut. Faire un schéma représentant la ligne d’eau de cet écoulement au passage du seuil et du ressaut. 5 - Calculer la perte de charge au passage du ressaut.

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