Maîtrise de Génie Mécanique UFR Sciences et Technologies

Université d’Evry Val d’Essonne

MECANIQUE DES FLUIDES

Olivier DAUBE

Bibliographie

– Mécanique des Fluides, éléments d’un premier parcours, P. Chassaing, Cépéuadès Editions

– Mécanique des Fluides, S. Candel, Dunod

– Hydrodynamique Physique, E. Guyon, J.P. Hulin, L. Petit, EDP Sciences/CNRS Editions

– Introduction à la dynamique des Fluides, M. Rieutord, Masson

– Introduction à la Mécanique des Milieux Continus, D. Desjardins et M. Touzet-Cortina,

Dunod

– Introduction à la Mécanique des Milieux Continus et déformables, O. Thual, Cépéuadès

Editions

1

INTRODUCTION

2

Chapitre 1

La Mécanique des Fluides

Nous allons tenter de définir les deux ingrédients de l’intitulé de ce cours :

La Mécanique

Les Fluides

1.1 Qu’est ce que la Mécanique ?

C’est la science des mouvements et des déformations des systèmes matériels.

On se limite à la mécanique classique ou mécanique newtonienne, c’est à dire à l’étude de

systèmes dans lesquels les vitesses considérées sont très inférieures à la vitesse de la lumière

1.2 Les principes fondamentaux de la Mécanique

La mécanique dite classsique repose sur :

– Le postulat de conservation de la masse :

La masse contenue dans un volume donné se conserve au cours du temps et peut être

décrite par une grandeur scalaire, positive et additive

– le Principe fondamental de la Dynamique (PFD) qui s’énonce :

Il existe au moins une façon de mesurer le temps (chronologie galiléenne) et un référentiel

d’espace (référentiel galiléen) tel que l’on ait pour tout sytème matériel, égalité entre

le torseur dynamique [D] et le torseur des efforts extérieurs [Fe]

1.3 Les classifications traditionnelles

1.3.1 La mécanique du point matériel

Le système étudié est constitué d’un nombre fini d’objets de dimensions suffisamment faibles

vis-à-vis de l’observateur pour qu’ils puissent être considérés comme des points. Chacun de ces

3

points possède une masse m et est soumis à une force−→f . Le PFD se réduit alors à une égalité

vectorielle du type∑−→

f =∑

m−→a où −→a désigne l’accélération d’un point matériel. ( voir le

cours de Mécanique du point de DEUG 1)

1.3.2 La mécanique des solides indéformables

C’est la mécanique des systèmes matériels constitués d’un ensemble discret ou continu de

points matériels dont les distances réciproques restent invariantes dans le temps. Le PFD se

traduit alors par deux équations vectorielles ( une pour la résultante des forces appliquéées,

l’autre pour le moment résultant), c’est à dire par 6 équations scalaires. ( voir le cours de

Mécanique Générale de DEUG 2)

1.3.3 La Mécanique des Milieux Continus

Elle traite du mouvement et des déformations des sytèmes matériels que l’on peut considérer

comme continu à l’échelle de l’observateur. C’est l’application des principes fondamentaux

rappelés plus haut, en conjonction avec les premier et second principe de la thermodynamique,

qui permettra d’établir les équations régissant ces mouvements et ces déformations. C’est

l’objet de la suite · · ·

1.4 Qu’est ce qu’un fluide ?

– Intuitivement, un fluide est un milieu matériel qui peut se déformer de façon importante,

s’écouler en tendant à occuper le maximum de la place disponible, alors qu’au solide, on

attache plutôt une idée d’indéformabilité.

– Pour un physicien, le fluide est un état de la matière où l’on rencontre ni l’organisation

spatiale périodique des atomes, organisation caractéristique d’un cristal, ni l’agitation

libre des molécules dans un gaz sous faible pression.

– Pour un mécanicien, la distiction entre fluide et solide se fera en termes de réponse du

milieu à des efforts appliqués. Très sommairement, on peut dire :

– le milieu sera un solide s’il ne subit pas de déforamtions tant que les efforts appliqués

ne dépassent pas un certain seuil d’intensité,

– le milieu sera un fluide s’il a la faculté de se déformer dès que l’on applique des efforts de

cisaillement, la déformation étant d’autant plus importante que la vitesse d’application

de ces efforts est grande.

1.5 Description d’un fluide

Deux descriptions sont possibles :

4

– microscopique : on cherchera à suivre les molécules pour connaître à l’aide d’outils sta-

tistiques leur mouvement d’ensemble. On sait le faire pour des gaz mono ou diatomiques

dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. C’est une description en géénrale trop fine,

trop lourde par rapport aux besoins.

– macroscopique : On adoptera une telle approche au travers de la notion de milieu

continu. Dans cete approche développée dans le chapître suivant, on considère que la

matière est continument répartie, ce qui permet de définir des valeurs macroscopiques

locales – en un point – , des fonctions de l’écoulement

5

Chapitre 2

Notions de Milieu Continu

On ne considère pas le caractère discontinu de la matière au niveau des atomes. Ainsi, les

mouvements individuels des molécules seront ignorés. On considérera des volumes, dits volumes

élémentaires représentatifs (VER) dont les dimensions linéaires seront :

– grandes par rapport au libre parcours moyen des molécules, de façon à ce que le VER

contienne un très grand nombre de celles-ci, et que des moyennes effectuées sur lui aient

statistiquement un sens,

– petites devant les dimensions caractéristiques de l’observateur, si bien que du point de

vue de celui-ci, le VER sera vu comme un point.

A titre indicatif, le libre parcours moyen dans l’air aux conditions standard (1 atm, 25C)

est de 10−4mm. D’autre part, un cube de 2 microns de côté contient de 2 108 à 2 1011 molécules

selon qu’il s’agit d’un gaz ou d’un liquide. Par contre, à l’altitude où évoluent les satellites,

le libre parcours moyen dans l’atmosphère raréfiée peut devenir de l’ordre de grandeur de la

dimension du satellite.

Nous allons formaliser ces considérations.

2.1 Hypothèse du Continu

2.1.1 Grandeurs physiques extensives

Soit Ω un domaine occupé par un milieu matériel et soit P(Ω) l’ensemble de ses parties, ou

sous-domaines. On appelle grandeur physique extensive F une fonction réelle, additive, définie

sur P(Ω) :

F : P(Ω) → R

D 7→ F(D)

telle que si les sous-domaines D1 et D2 sont d’intersection vide, on ait :

F(D1 ∪D2) = F(D1) + F(D2)

6

Le volume, la masse, la quantité de mouvement, l’énergie interne sont des grandeurs extensives.

2.1.2 Séparation d’échelles

Pour arriver à la notion de continu, on considère un point M0 arbitraire de Ω et une suite

de sous-domaines emboîtés Dh de volume V(Dh) = O(h3) contenant le point M0 ( typiquement

des cubes d’arête h, des sphères de rayon h,. . .) .

Definition 1 Une grandeur physique extensive F est dite vérifier l’hypothèse du continu sur

Ω si il existe deux échelles de longueurs distinctes hmic et hmac telles que ∀M0 ∈ Ω et pour

toute suite de volumes emboîtés précédemment définis, on a :

F(Dh) ∝ V(Dh) ∀h hmic ≤ h ≤ hmac

Pour h < hmic, les fluctuations moléculaires deviennent visibles.

Pour h > hmac, ce sont les fluctuations à grande échelle qui empêchent la proportionnalité.

Definition 2 On dira que le milieu étudié est un milieu continu pour le champ physique ex-

tensif considéré, si il existe une séparation franche entre les deux échelles hmic et hmac. Cette

séparation est caractérisée par le nombre sans dimension Kn, appelé nombre de Knudsen, défini

par :

Kn =hmic

hmac

Le milieu sera un milieu continu si Kn ¿ 1.

Pour l’air dans les conditions standard, ce nombre vaut environ 10−4. Par contre dans les

hautes couches de l’atmosphère, il devient de l’ordre de 1.

2.1.3 Concept de particule

Une particule sera un volume de taille suffisamment grande pour que ses propriétés soient

insensibles aux fluctuations moléculaires, et suffisamment petite pour qu’elles soient insensibles

aux fluctuations macroscopiques. Elle contient un très grand nombre de molécules.

Attention Une particule ne correspond pas à un ensemble donné de molécules. Celles-ci

s’échangent au cours du temps entre particules, ce qui est à l’origine du phénomène de diffu-

sion moléculaire de grandeurs physiques telles que la quantité de mouvement, la température,

· · ·

2.2 Description macroscopique d’un écoulement

A l’échelle du milieu continu, l’état d’une particule fluide se trouvant au point M à

l’instant t, est caractérisé par un certain nombre de champs scalaires ou vectoriels, définis à

partir de grandeurs extensives ou non.

7

2.2.1 Densité volumique

Soit un milieu matériel occupant un domaine Ω. Ce milieu est supposé continu pour une

grandeur extensive F. La définition précédente implique que pour tout point M0, il existe un

réel noté f(M0) tel que quelquesoit le sous-domaine Dh de dimension linéaire comprise entre

hmic et hmac, l’on ait :

F(Dh) = f(M0)V(Dh)

Definition 3 la quantité f(M0) est la densité volumique au point M0 de la grandeur extensive

F.

La conséquence de cette existence d’une densité volumique, est que pour tout ssus-domaine D

de dimension linéaire > hmic, on a la relation :

F(D) =

∫∫∫

D

f(M0) dV(M0)

Avec la définition de cette densité, on peut considérer des domaines de volume infiniment

petit sans tenir compte des fluctuations à l’échelle moléculaire, et utiliser tout les outils ma-

thématiques en calcul différentiel et/ou intégral, comme si le milieu était réellement un milieu

continu. Si ∆V est un tel volume infinitésimal centré sur le point M0, et si ∆F est la grandeur

extensive correspondante (petite en raison de la définition), on a la relation :

∆F = f(M0)∆V

Remarquons qu’en terme dimensionnels, on a :

[f ] = [F]m−3

2.2.2 Masse volumique

Un cas particulier extrèmement important concerne la grandeur extensive "masse". La

densité volumique correspondante s’appelle la masse volumique et est notée ρ.

Si∆V est un volume infinitésimal centré sur le pointM0, la masse élémentaire ∆M contenue

dans ∆V sera :

∆M = ρ(M0)∆V

Si M est la masse contenue dans un domaine D, on a la relation :

M(D) =

∫∫∫

D

ρ(M0) dV(M0)

8

2.2.3 Champs continus intensifs/Quantités spécifiques

A partir d’une grandeur extensive F pour lesquelles le milieu peut être considéré comme

un milieu continu, il est possible de définir une grandeur intensive φ par

f(M0) = ρ(M0)φ(M0) ∀M0 ∈ Ω, ce qui implique :

F(D) =

∫∫∫

D

f(M0) dV(M0) =

∫∫∫

D

ρ(M0)φ(M0) dV(M0)

Remarquons qu’en terme dimensionnels, on a :

[φ] = [F]m−3

2.2.4 Vitesse d’une particule

Soit P une particule au point M. Elle correspond à un volume infinitésimal∆V de dimension

linéaire h ∈ [hmic, hmac], contenant des molécules k de masse mk et animées d’une vitesse−→v k. La quantité de mouvement

−→Q (∆V) de ce système matériel est une grandeur vectorielle

additive. Elle permet donc de définir une grandeur vectorielle intensive, appelée la vitesse de

la particule P. Cette vitesse,−→V (P), est donc définie par :

−→V (M) =

1∑k mk

∑

k

mk−→v k

Si D est un domaine dans Ω, la quantité de mouvement−→Q associée à ce domaine sera alors :

−→Q (D) =

∫∫∫

D

ρ(M)−→V (M) dV(M)

2.3 Propriétés physiques macroscopiques d’un fluide

2.3.1 Viscosité

La viscosité d’un fluide caractérise la résistance qu’il oppose à la déformation (mouvement)

engendrée par l’application d’une contrainte (Force/surface). Pour cela, on réalise l’expérience

suivante :

La paroi supérieure est animée d’une vitesse uniforme U0 dans la direction x. On note F la

force appliquée sur la surface A pour maintrenir cette vitesse. Pour un fluide comme l’eau ou

l’air, On constate que l’écoulement est quasiment unidimensionnel, que le profil de vitesse est

linéaire et que la contrainte appliquée est directement proportionnelle au gradient de vitesse,

c’est à dire :

τ =F

A∝U0H

9

U0

Fig. 2.1 – écoulement de Couette

Le coefficient de proportionnalité est noté µ et est appelé le coefficient de viscosité dynamique

du fluide :

τ =F

A= µ

U0H

Ses dimensions dans le système international sont :

[µ] = Pa.s = (N/m2).s

– En général, le coefficient µ est fonction de la température T et dans une moindre mesure

de la pression p :

µ = µ(T, p)

– Le comportement linéaire décrit précédemment est caratéristique des fluides que l’on

qualifiera plus tard de newtonien. Cependant, il existe bien d’autre comportements qui

a contrario seront qualifiés de non newtoniens.

Viscosité cinématique

Pour un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ, le coefficient de viscosité

cinématique ν est défini par :

ν =µ

ρ

ν est un coefficient de diffusion et a pour dimensions : [ν] = m2s−1.

2.3.2 Transfert de chaleur

Il existe essentiellement deux modes de transfert de chaleur

– radiatif : électromagnétique

– conductif : transfert de proche en proche par agitation moléculaire.

Pour les domaines qui nous intéressent, on ne considèrera que les transferts conductifs, ce qui

correspond à des variations de température pas trop importantes.

Il existe également une expérience simple avec une couche fluide comme dans la figure

précédente mais immobile, d’épaisseur H, chauffée en bas à une température T0 et en haut à

10

une température T1 peu différente de T0. On constate alors que la température (établie) varie

linéairement au travers de la couche :

T (y)− T0 =y

H(T1 − T0)

La quantité de chaleur Q traversant la surface A par unité de temps (flux de chaleur) vérifie :

|Q|

A∝|T1 − T0|

H

La quantité φ = Q/A est appelée densité de flux de chaleur et on pose :

φ =Q

A= −λ

T1 − T0H

Le nombre positif λ est appelé le coefficient de conductivité thermique. Il s’exprime en

J/m/K/s

Le signe − dans la relation précédente provient du fait que la chaleur va de la source chaude

à la source froide.

Ce coefficient pemet de définir le vecteur densité de flux de chaleur −→q par la loi de

Fourier :−→q = −λ gradT

La quantité de chaleur ∆Q traversant un élément de surface de normale −→n dans la direction

de cette normale, pendant un intervalle (petit) de temps ∆t est alors :

∆Q

∆t= −−→q · −→n ∆S

diffusivité thermique

Le coefficient de diffusivité thermique a est défini par :

a =λ

ρCp

où Cp est la chaleur spécifique à pression constante du fluide.

2.3.3 Nombre de Prandtl

Le nombre de Prandtl Pr est défini par le rapport :

Pr =ν

a=µCp

λ

– Pour favoriser le transfert de chaleur en minimisant les pertes par frottement, on utilisera

plutôt un fluide à faible nombre de Prandtl,

– Pour réduire le transfert de chaleur, p.ex. en lubrification, on utilisera des fluides à grand

nombre de Prandtl, comme les huiles siliconées

11

2.3.4 Compressibilité

Pour caractériser la compressibilité d’un fluide, c’est à dire sa faculté à subir des variations

significatives de masse volumique lorsqu’on applique un échelon de pression ∆p ou un écart de

température ∆T , on utilise deux coefficients de compressiblité :

– Le coefficient de compressibilité isotherme :

κT =1

ρ

(∂ρ

∂p

)

T

Ce coefficient vaut 10−5 pour l’air et 5 10−10 pour l’eau,

– Le coefficient de dilation thermique ( à pression constante)

β = −1

ρ

(∂ρ

∂T

)

p

Ainsi une variation (à température constante) de pression ∆p entrainera une variation relative

de masse volumique : ∆ρ/ρ = κT∆p.

Si ∆p = 105Pa, la variation relative sera de 1 pour l’air et 5 10−5 pour l’eau. Pour

cette raison, l’eau dans les conditions standard de pression et de température sera qualifiée

d’incompressible.

2.3.5 Quelques ordres de grandeur

ρ ( kg/m3) µ ν λ a Pr

air 1.29 1.85 10−5 1.43 10−5 2.6 10−2 2.24 10−5 0.71

eau 1000 10−3 10−6 0.59 10−7 6

pour p = 1 atmosphère et T = 25oC

12

Première partie

CINEMATIQUE

13

Chapitre 3

Cinématique des Fluides

De façon générale, La cinématique est l’étude des mouvements d’un sytème matériel, indé-

pendemmant de leur cause. On va s’intéresser dans ce chapître aux mouvements d’ensembles

de particules fluides, le fluide étant considéré comme un milieu continu.

Deux représentations différentes sont utilisées pour décrire le mouvement d’un ensemble

de particules fluides (plus généralement d’un ensemble de particules d’un milieu continu) : la

représentation lagrangienne et la représentation eulérienne.

3.1 Notations

Soit un point M de l’espace. Ces coordonnées dans un référentiel cartésien sont x1, x2 et

x3, ou x, y et z. On notera x le triplet :

x = (x1, x2, x3) = (x, y, z)

Si ces coordonnée sont fonction du temps t, on notera

dx

dt= (

dx1dt

,dx2dt

,dx3dt) = (

dx

dt,dy

dt,dz

dt)

3.2 Description lagrangienne

Supposons qu’à l’instant t0, on puisse marquer la position M0 = x(t0) = x0 d’une particule

P. On cherchera ensuite , en appliquant les lois fondamentales de la physique, à déterminer à

tout instant t > t0 la position x(t) = Φ(x0, t) de cette particule. La vitesse de la particule à

l’instant t est alors−→V (x0, t) =

∂Φ

∂t(x0, t) =

−→U

et sa position M = x est donnée par :

−−−→M0M =

∫ t

t0

−→V (x0, τ) dτ

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On dit que dans cette représentation, on suit les particules dans leur mouvement et les quatre

variables indépendantes (x(t0), y(t0), z(t0), t) constituent les variables de Lagrange.

3.3 Description eulérienne

Soit Ω la partie de l’espace où a lieu l’écoulement. Les variables d’Euler sont alors le

quadruplet (x, y, z, t) où (x, y, z) sont les coordonnées du point courant M de Ω. Le vecteur−→V (M, t) sera alors la vitesse de la particule P qui se trouve au point M à l’instant t. On dit

que l’on regarde passer les particules. De même pour toute quantité f (température, énergie,

pression, masse volumique, · · · ) attachée à une particule, la fonction scalaire f(M, t) désignera

la valeur correspondante à la particule fluide se trouvant au point M à l’instant t.

Attention : deux particules différentes se trouvent nécessairement en deux positions différentes

à un même instant t. Par contre, elles peuvent occuper la même position M, mais en deux

instnats différents.

3.4 Relations entre les deux descriptions

3.4.1 eulérien =⇒ lagrangien

Si l’on connait le champ de vitesse eulérien−→V (M, t) de l’écoulement, les positions succes-

sives des particules s’obtiennent en intégrant le système différentiel :

dx

dt=−→V (M, t)

x(t0) = x0

3.4.2 lagrangien =⇒ eulérien

Si l’on connait la représentation lagrangienne x = Φ(x0, t), le champ de vitesse eulérien est

donné par :−→V (M, t) =

∂Φ

∂t(Φ−1(x0, t), t)

3.5 Lignes particulières d’un écoulement

Dans cette section, on va s’intéresser à des courbes particulières pour un écoulement dans

un domaine Ω, donné par son champ de vitesse eulérienne−→V (M, t).

3.5.1 Lignes de courant à l’instant t

Definition 4 Une ligne (courbe) L dans Ω est à l’instant t une ligne de courant de l’écou-

lement si elle est tangente en chacun de ses points au champ de vitesse de l’écoulement.

15

c’est à dire ∀M ∈ L ;−→V (M, t) tangent à L

Definition 5 Une surface de courant est l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur

un arc de courbe Γ. Si Γ est fermé, la surface de courant est un tube de courant.

Remarques :

1. En général, les lignes de courant changent au cours du temps,

2. à l’instant t, le fluide ne traverse pas une surface de courant,

3. Si (u1, u2, u3) sont les composantes dans un référentiel cartésien (x1, x2, x3) du champ de

vitesse eulérien, les lignes de courant à l’instant t sont les lignes intégrales de l’équation

différentielle :dx1

u1(x1, x2, x3, t)=

dx2u2(x1, x2, x3, t)

=dx3

u3(x1, x2, x3, t)

3.5.2 Trajectoires

Definition 6 La trajectoire d’une particule fluide P est la courbe, ensemble des positions

occupées au cours du temps par cette particule.

La trajectoire de la particule P qui se trouvait à l’instant t0 en la position x0 est décrite par

la solution du système différentiel :

dx

dt=−→V (M, t)

x(t0) = x0

Remarque :

– En un point M et à l’instant t, la trajectoire est tangente à la ligne de courant passant

par ce point M.

– En général, les lignes de courant et les trajectoires sont des lignes distinctes

3.5.3 Ligne d’émission issue d’un point A

Definition 7 La ligne d’émission issue du point A à l’instant t est la courbe, ensemble des

positions occupées par les particules étant passées par le point A en un instant antérieur τ < t

.

3.6 Ecoulement stationnaire

Definition 8 L’écoulement sera dit stationnaire si en tout point M de Ω, le champ de vitesse

eulérien est indépendant du temps.−→V (M, t) =

−→V (M) ∀M ∈ Ω

Il est facile de vérifier que dans le cas d’un écoulement stationnaires, les trajectoires sont

aussi des lignes de courant et des lignes d’émission.

16

3.7 Ecoulement plan

Un écoulement donné par son champ de vitesse eulérien−→V (M, t) de composantes carté-

siennes (u, v, w) sera dit plan (dans le plan xOy) si :

u = u(x, y, t)

v = v(x, y, t)

w = 0

3.8 Notions de débit, de flux

On connait tous la notion de débit d’un fleuve, exprimé en m−3/s qui donne le volume

d’eau traversant une section de la rivière, par seconde. Nous allons préciser cette notion et

la généraliser à d’autres quantités que le volume. Pour celà, nous considérons un élément de

surface (∆S,n) placé dans un écoulement donné par sa représentation eulérienne V (M, t).

n

V

∆S

3.8.1 Débit volumique

Le volume ∆V de fluide traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t

est :

∆V = V (M) · n∆S∆t

et le débit volumique Q traversant une surface Σ est :

Q =

∫

Σ

V (M) · n dS(M)

Il représente le volume de fluide traversant la surface Σ par unité de temps.

17

3.8.2 Débit massique

La masse ∆M de fluide traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t

est :

∆V = ρ(M)V (M) · n∆S∆t

et le débit massique m = Qm traversant une surface Σ est :

m = Qm =

∫

Σ

ρ(M)V (M) · n dS(M)

Il représente la masse de fluide traversant la surface Σ par unité de temps.

3.8.3 Flux d’une quantité extensive

Soit une grandeur extensive (énergie, masse, . . .) F transportée par l’écoulement et soient

f sa densité volumique et φ sa densité massique ( grandeur spécifique ). La quantité ∆F de

cette grandeur traversant l’élément de surface pendant un intervalle de temps ∆t est :

∆F =

∫

Σ

ρ(M)φ(M)V (M) · n dS(M)

Définitions

• ρφV · n est le flux de F.

• f =

∫

Σ

ρ(M)φ(M)V (M) ·n dS(M) est le débit de F à travers la surface Σ, et représente

la "quantité de F" traversant la surface Σ par unité de temps.

18

Chapitre 4

Rappels d’analyse Vectorielle

Avant de passer à la suite, il est utile de faire quelques rappels d’analyse vectorielle. C’est

l’objet de ce chapitre

On considère dans ce chapitre, des fonctions scalaires f ainsi que des champs vectoriels V ,

de composantes cartésiennes ui (i = 1, 2, 3), qui sont supposés posséder toutes les régularités

nécessaires.

4.1 Gradient d’une fonction scalaire

Par définition, le gradient de la fonction scalaire f est le vecteur grad f défini par :

df = grad f · dOM

dont les composantes cartésiennes s’écrivent :

(grad f)i =∂f

∂xi

4.2 Gradient d’un champ de vecteurs

Par définition, le gradient du champ V est le tenseur d’ordre 2, grad V , défini par :

dV = grad V · dOM

Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :

(grad V )ij =∂ui

∂xj

19

4.3 Rappels sur le théorème d’Ostrogradski

Soit V un volume délimité par une surface S. On note n de composantes (n1, n2, n3), la

normale à S orientée vers l’extérieur du volume V . Le théorème d’Ostrogradski, ou théorème

de la divergence, s’énonce :

∫∫∫

V

divV dV =

∫∫

S

V · n dS (4.1)∫∫∫

V

∂ui

∂xi

dV =

∫∫

S

uini dS (4.2)

Soit un tenseur d’ordre 2, σ, de composantes σij ; i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3. Par définition, la

divergence de σ est le vecteur de composantes cartésiennes :

(divσ)i =∂σij

∂xj

En appliquant le théorème d’Ostrogradski à chacune des composantes cartésiennes de divσ,

on obtient le théorème suivant :∫∫∫

V

divσ dV =

∫∫

S

σ · n dS (4.3)∫∫∫

V

∂σij

∂xj

dV =

∫∫

S

σijnj dS ; i = 1, 2, 3 (4.4)

4.3.1 Autre résultat

Soit σ un tenseur d’ordre 2 symétrique, c’est à dire qui vérifie σij = σji ∀i, j. Alors

quelque soient les champs vectoriels V et W , on a :

(σ ·W ) · V = (σ · V ) ·W

Cela se voit tout de suite en coordonnées cartésiennes :

(σijwj)ui = (σjiui)wj = (σijui)wj

où l’on a utilisé le fait que le tenseur σ est symétrique.

20

4.4 Rotationnel d’un champ de vecteurs

Le rotationnel d’un champ vectoriel V est le champ vectoriel Ω = rotV dont les compo-

santes cartésiennes sont :

Ωi = εijk∂uj

∂xk

ou

Ω1 =∂u2∂x3−∂u3∂x2

Ω2 =∂u3∂x1−∂u1∂x3

Ω3 =∂u1∂x2−∂u2∂x1

où les εijk sont les composantes du tenseur alterné d’ordre 3 :

εijk =

0 si deux indices sont égaux

+1 si (i, j, k) est une permutation paire de (1, 2, 3)

−1 si (i, j, k) est une permutation impaire de (1, 2, 3)

4.5 Théorème de Stokes

Soit un contour Γ sur lequel s’appuie une surface S de normale n. Alors, la circulation du

champ V le long de Γ est égale au flux du rotationnel à travers la surface S, le contour Γ étant

parcouru dans le sens direct par rapport à la normale n.∮

Γ

V · s dl =

∫∫

S

rotV · n dS

s étant le vecteur tangent unitaire orienté à Γ et dl l’élément d’abscisse curviligne le long de

Γ.

4.6 Relations usuelles

– ∀ la fonction scalaire f , on a : rot (grad f) = 0 ,

– ∀V champ vectoriel, on a : div(rotV ) = 0 ,

– ∀ la fonction scalaire f , div(grad f) = ∇2f ,

– ∀ la fonction scalaire f et ∀V champ vectoriel, on a :

div(f V ) = f divV + V · grad f

4.7 Décomposition du tenseur gradient

Comme tout tenseur d’ordre 2, le tenseur gradient d’un vecteur se décompose en la somme

d’un tenseur symétrique D et d’un tenseur antisymétrique R :

grad V =D +R

21

avec

D =1

2((grad V ) + (grad V )t)

dij =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)

et

R =1

2((grad V )− (grad V )t)

rij =1

2

(∂ui

∂xj

−∂uj

∂xi

)

– le tenseur symétrique D est appelé le tenseur des taux de déformation, ou tenseur

des vitesses de déformation.

– le tenseur antisymétrique R est lié au rotationnel Ω = rotV du champ V par :

R ·W =1

2Ω×W ; ∀W

Rappel :

– la trace du tenseur gradient de vitesse est égale à la trace de sa partie symétrique D et

il est immédiat de vérifier que :

tr(grad V ) = tr((D)) = vii = divV

– La trace d’un tenseur d’ordre 2 est un invariant par changement de base. Il en résulte

que l’on peut définir un tenseur S à trace nulle, appelé partie sphérique de D, par :

S =D −divV

3I

où I le tenseur identité dont les composantes sont δij, symbole de Kronecker. Les com-

posantes sij de la partie sphérique sont :

sij = dij −vii3δij et on vérifie bien sii = tr(S) = 0

Le tenseur divV

3I est appelé le déviateur de D

22

Chapitre 5

Cinématique des petits déplacements

Dans ce chapitre, nous allons caractériser en fonction de la représentation eulérienne d’un

écoulement, les déformations instantanées d’un petit volume de fluide. Attention, petit si-

gnifie ici petit devant la taille caractéristique de l’observateur, mais grand devant la taille

caractéristique d’une particule fluide.

M(t)

M'(t+ ∆t)

N(t)N'(t+ ∆t)

On va considérer deux petits déplacements :

– l’un à t bloqué :

d−−→OM =

−−→MN

23

– l’autre le long d’une trajectoire :

d−−→OM =

−−−→MM ′

Considérer des petits déplacements signifie que toute variation d’une fonction de l’écoulement

lors de ce déplacement, peut être approchée par le terme au premier ordre en fonction du

déplacement. Ainsi le champ de vitesse au point N s’écrira :

V (N) = V (M) + grad V · V

En utilisant la décomposition du tenseur gradient, cette relation s’écrit :

V (N) = V (M) +1

2rotV ×MN + S ·MN +

divV

3·MN

5.1 Analyse des déformations

Nous allons dans cette section analyser la éformation subie par un petit volume de fluide

dans son mouvement pendant un intervalle de temps ∆t. Afin de "simplifier" les calculs,

nous raisonnerons dans le cadre d’un écoulement plan donné par sa représentation eulérienne

V (M, t) de composantes cartésiennes vii=1,2.

Soit donc un petit rectangle ABCD de côtés ∆x et ∆y (voir figure). Après un intervalle de

temps ∆t, il est devenu le quadrilatère A’B’C’D’ représenté sur la figure dont les sommets sont

donnés par :

−−→AA′ =

−→V (A)∆t=

−→V (A)∆t

−−→BB′ =

−→V (B)∆t=

−→V (A)∆t+ grad V ·

−→AB∆t

−−→CC ′ =

−→V (C)∆t=

−→V (A)∆t+ grad V ·

−→AC∆t

−−→DD′ =

−→V (D)∆t=

−→V (A)∆t+ grad V ·

−−→AD∆t

On en déduit que :

−−→A′B′ =

−→AB +

−−→BB′ −

−−→AA′=

−→AB + grad V ·

−→AB∆t

−−→A′C ′ =

−→AC +

−−→CC ′ −

−−→AA′=

−→AB + grad V ·

−→AC∆t

En utilisant la décomposition du tenseur gradient, on obtient :

−−→A′B′ =

−→AB +

1

2rot−→V ×

−→AB∆t+D ·

−→AB∆t (5.1)

−−→A′C ′ =

−→AC +

1

2rot−→V ×

−→AC∆t+D ·

−→AC∆t (5.2)

(5.3)

24

Dans ces égalités, le premier terme de droite correspond à la translation amenant le point

A en le point A’ , le second à une rotation autour de A’ d’angle 1/2|−→Ω |∆t. Ces deux termes

n’engendrent donc aucune déformation.

On va s’intéresser à la variation de l’aire du quadrilatère qui est donnée par la norme du

produit vectoriel des vecteurs côtés. Ainsi, en négligeant les termes d’ordre supérieur, on a :

−−→A′B′ ×

−−→A′C ′ =

−→AB ×

−→AC +∆t

(grad V ·

−→AB ×

−→AC +

−→AB × grad V ·

−→AC

)

25

Bilans Généraux du Mouvement d’un

Fluide

26

Chapitre 6

Dérivées particulaires

On considére dans ce chapitre un volume matériel Vm(t), c’est à dire un volume constitué

de particules que l’on suit dans leur mouvement. On notera Sm(t) la surface délimitant ce

volume. Notez que le volume Vm(t) et la surface Sm(t) dépendent du temps et qu’il ne sort ni

ne rentre dans Vm(t) aucune particule.

L’ensemble des particules fluides contenues dans ce volume matériel constituent un système

matériel auquel nous allons appliquer les principes fondamentaux de la physique rappelés dans

l’introduction de ce cours :

– Conservation de la masse

– Principe fondamental de la dynamique

– Premier principe de la thermodynamique

La mise en œuvre de ces principes nécessitent de savoir calculer la dérivée par rapport au

temps d’intégrales sur le volume Vm(t), c’est à dire des expressions du genre :

d

dt

∫∫∫

Vm(t)

f dV

dans lequelles, l’intégrant f et le domaine d’inégration Vm dépendent du temps. C’est l’objet

de ce chapître.

Soit donc V , de composantes cartésiennes (u1, u2, u3), le champ de vitesse (eulérien) d’un

écoulement. Pour toutes les relations qui sont données, on trouvera d’abord l’écriture vectorielle

puis l’écriture en coordonnées cartésiennes obtenues en respectant la convention des indices

muets.

Dérivée particulaire d’une fonction scalaire

Soit f(x1, x2, x3, t) une fonction scalaire. On a :

27

df

dt=

∂f

∂t+ V · grad f (6.1)

df

dt=

∂f

∂t+ uj

∂f

∂xj

(6.2)

Dérivée particulaire d’un champ vectoriel

Soit B(x1, x2, x3, t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1, b2, b3). On a :

dB

dt=

∂B

∂t+ grad B · V (6.3)

dbidt

=∂bi∂t

+ uj

∂bi∂xj

; i = 1, 2, 3 (6.4)

Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (I)

Fonction scalaire

Soit f(x1, x2, x3, t) une fonction scalaire. On a :

d

dt

∫∫∫

Vm

f dV =

∫∫∫

Vm

[∂f

∂t+ div(fV )

]dV (6.5)

d

dt

∫∫∫

Vm

f dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Vm

[∂f

∂t+∂(fuj)

∂xj

]dx1dx2dx3 (6.6)

Par application du théorème d’Ostrogradski, les relations précédentes s’écrivent aussi :

d

dt

∫∫∫

Vm

f dV =

∫∫∫

Vm

∂f

∂tdV +

∫∫

Sm

f V · n dS (6.7)

d

dt

∫∫∫

Vm

f dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Vm

∂f

∂tdx1dx2dx3 +

∫∫

Sm

fujnj dS (6.8)

Champ vectoriel

Soit B(x1, x2, x3, t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1, b2, b3). On a :

d

dt

∫∫∫

Vm

B dV =

∫∫∫

Vm

[∂B

∂t+ div(B ⊗ V )

]dV (6.9)

d

dt

∫∫∫

Vm

bi dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Vm

[∂bi∂t

+∂(biuj)

∂xj

]dx1dx2dx3 i = 1, 2, 3 (6.10)

28

où le produit tensoriel des deux vecteurs B et V est le tenseur d’ordre 2, B ⊗ V , défini par :(B ⊗ V

)ij= biuj

Par application du théorème d’Ostrogradski, les relations précédentes s’écrivent aussi :

d

dt

∫∫∫

Vm

B dV =

∫∫∫

Vm

∂B

∂tdV +

∫∫

Sm

B (V · n) dS (6.11)

d

dt

∫∫∫

Vm

bi dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Vm

∂bi∂t

dx1dx2dx3 +

∫∫

Sm

bi(ujnj) dS i = 1, 2, 3 (6.12)

Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (II)

On considére dans cette section un volume arbitraire Va(t), c’est à dire un volume quel-

conque dont la forme peut varier au cours du temps. On notera Sa(t) la surface délimitant ce

volume. Cette surface est animée d’une vitesse W qui est peut être différente de la vitesse du

fluide V . En particulier, si W = 0, le volume est fixe dans le temps. On peut montrer que l’on

obtient des relations similaires à celles obtenues pour un volume matériel.

Pour éviter les ambiguités sur le type de volumes, on notera δ/δt la dérivée totale, c’est à dire

le taux de variation temporelle de la quantité∫∫∫

Va(t)f dV :

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

f dV = limδt−→0

1

δt

(∫∫∫

Va(t+δt)

f(M ′, t+ δt) dV(M ′)−

∫∫∫

Va(t)

f(M, t) dV(M)

)

Fonction scalaire

Soit f(x1, x2, x3, t) une fonction scalaire. On a :

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

f dV =

∫∫∫

Va(t)

∂f

∂tdV +

∫∫

Sa(t)

fW · n dS (6.13)

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

f dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Va(t)

∂f

∂tdx1dx2dx3 +

∫∫

Sa(t)

fwjnj dS (6.14)

Champ vectoriel

Soit B(x1, x2, x3, t) un champ vectoriel de composantes cartésiennes (b1, b2, b3). On a :

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

B dV =

∫∫∫

Va(t)

∂B

∂tdV +

∫∫

Sa(t)

B (W · n) dS (6.15)

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

bi dx1dx2dx3 =

∫∫∫

Va(t)

∂bi∂t

dx1dx2dx3 +

∫∫

Sa(t)

bi(wjnj) dS i = 1, 2, 3 (6.16)

29

Cas particulier d’un volume fixe

Si le volume arbitraire Va est fixe dans le temps, cela signifie W = 0. On a alors :

δ

δt

∫∫∫

Va

B dV =

∫∫∫

Va

∂B

∂tdV et

δ

δt

∫∫∫

Va

f dV =

∫∫∫

Va

∂f

∂tdV

30

Chapitre 7

Bilans de masse, de quantité de

mouvement, d’énergie

7.1 Généralités

– On considère ici un écoulement de fluide défini par son champ de vitesse eulérien V ,

de composantes cartésiennes (u1, u2, u3). Pour toutes les relations qui seront établies, on

donnera d’abord l’écriture vectorielle puis l’écriture en coordonnées cartésiennes obtenues

en respectant la convention des indices muets.

– On considérera dans ce chapitre un volume matériel Vm, c’est à dire un volume constitué

de particules que l’on suit dans leur mouvement. On notera Sm la surface délimitant ce

volume.

7.2 Bilan de masse

La masse M(t) contenue à l’instant t dans le volume Vm est :

M(t) =

∫∫∫

Vm

ρdV

Le principe de conservation de la masse d’un système matériel ( car nous sommes en

mécanique newtonienne ) implique :d

dtM(t) = 0

ce qui donne, d’après les théorèmes généraux sur les dérivées particulaires :

d

dtM(t) =

d

dt

∫∫∫

Vm

ρdV =

∫∫∫

Vm

(∂ρ

∂t+ div(ρV )

)dV = 0

Cette égalité devant être vraie quelque soit le volume matériel Vm, on en conclut que :

31

∂ρ

∂t+ div(ρV ) = 0 (7.1)

∂ρ

∂t+ ρ

∂uj

∂xj

= 0 (7.2)

Les relations (7.1) ou (7.2) constituent la forme locale du bilan de masse. Elles sont connues

sous le nom d’équation de continuité.

7.2.1 Corollaire (théorème de Reynolds)

Soit f(x1, x2, x3, t) une fonction scalaire. On déduit du résultat précédent et de l’expression

de la dérivée particulaire d’une intégrale triple, le théorème de Reynolds :

d

dt

∫∫∫

Vm

ρ f dV =

∫∫∫

Vm

ρdf

dtdV (7.3)

En effet, d’après les théorèmes généraux sur les dérivées particulaires, on a :

d

dt

∫∫∫

Vm

ρ f dV =

∫∫

Vm

[∂(ρf)

∂t+ div(ρf V )

]dV

or ( dérivée d’un produit ! ) :

∂(ρf)

∂t+ div(ρf V ) = ρ

(∂f

∂t+ grad · V

)+ f

(∂ρ

∂t+ div(ρV )

)

ce qui compte-tenu de l’équation de continuité donne :

∂(ρf)

∂t+ div(ρf V ) = ρ

(∂f

∂t+ grad · V

)

ainsi que le résultat annoncé.

32

7.3 Bilan de quantité de mouvement

On va appliquer dans ce chapitre, la partie "résultante" du PFD au système matériel consti-

tué des particules fluides contenues dans Vm. Pour cela, il nous faut d’abord faire l’inventaire

des efforts extérieurs appliqués à Vm.

7.3.1 Efforts extérieurs

Ces efforts sont de deux types :

1. les forces de volume, c’est à dire les forces d’interaction à longue distance ( gravité, forces

électromagnétiques, etc. . . ). Dans le cadre de la MMC, ces forces sont définies par une

densité massique f , ce qui signifie que la force ∆F exercée sur un petit volume ∆V s’écrit

∆F = ρf∆V et que la force F exercée sur un volume V s’écrit F =∫∫∫

Vρf dV .

Dans toute la suite, on se limitera aux seules forces de gravitation. Dans ces

conditions, le vecteur f est le vecteur g, vecteur accélération de la gravité et la force de

volume est le poids.

2. Les forces d’interaction moléculaire, à très courte distance d’action, de l’ordre du libre

parcours moyen, c’est à dire une distance nulle du point de vue de la MMC. Ces forces ne

concerneront donc que les molécules de Vm situées "sur la face intérieure" de Sm qui ne

seront influencées que par les molécules extérieures à Vm situées "sur la face extérieure" de

Sm. L’action de ces molécules extérieures sera alors modélisée par une action de surface.

Soit donc un élément de surface défini par son aire ∆S et par sa normale extérieure n.

La force de contact ∆F S exercée sur cet élément de surface s’écrira :

∆F S = T∆S

où le vecteur T est le vecteur contrainte et représente une densité surfacique de forces.

Il a donc les dimensions d’une pression. On suppose en outre qu’il ne dépend que de la

normale n :

T = T (n)

Dans ces conditions, les actions de contact extérieures F S exercées sur Vm s’écrivent :

F S =

∫∫

Sm

T (n) dS

7.3.2 Tenseur des contraintes

On montre en appliquant la partie résultante du PFD à un petit volume, que la contrainte

T est une fonction linéaire de la normale n. Il existe donc un tenseur d’ordre 2, σ, appelé

tenseur des contraintes, tel que :

33

T (n) = σ · n (7.4)

Ti = σijnj (7.5)

7.3.3 Propriétés du tenseur des contraintes

On montre en utilisant la partie moment du PFD appliquéeà un petit volume, que le tenseur

des contraintes σ est symétrique.

σij = σji ; ∀i, j

7.3.4 Equation de quantité de mouvement

L’application du PFD au volume matériel Vm donne alors :

d

dt

∫∫∫

Vm

ρV dV =

∫∫∫

Vm

ρg dV +

∫∫

Sm

σ · n dS (7.6)

où σ est le tenseur des contraintes et g l’accélération de la gravité. En appliquant le théorème

de la divergence à l’intégrale de surface du membre de droite et le théorème de Reynolds à

l’intégrale triple du membe de gauche, on obtient :

∫∫∫

Vm

ρdV

dtdV =

∫∫∫

Vm

(ρg + divσ) dV (7.7)

∫∫∫

Vm

ρdui

dtdV =

∫∫∫

Vm

(ρgi +∂(σij)

∂xj

) dV ; i = 1, 2, 3 (7.8)

Ces relations constituent la forme intégrale du bilan de quantité de mouvement. Comme elles

doivent être vérifiées quelqusoit le volume matériel Vm, on en déduit une forme locale, dite

équation de quantité de mouvement qui s’écrit :

ρdV

dt= ρ

[∂V

∂t+ grad V · V

]= ρg + divσ (7.9)

ρdui

dt= ρ

[∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

]= ρgi +

∂σij

∂xj

; i = 1, 2, 3 (7.10)

34

7.4 Bilan d’énergie totale (1er principe)

Soient E, e et Ec les énergies spécifiques ( c.a.d. rapportées à l’unité de masse ) totale,

interne et cinétique. On rappelle que l’on a : E = e+ Ec = e+1

2V 2 . Le premier principe de

la thermodynamique — que l’on supposera pouvoir appliquer au système matériel composé

des particules de Vm — stipule que :

d

dt

∫∫∫

Vm

ρ(e+

1

2V2)dV = Pe + Qe

– Pe est la puissance des efforts extérieurs appliqués au système. Elle est égale à :

Pe =

∫∫∫

Vm

ρg · V dV +

∫∫

Sm

(σ · n) · V dS

ce qui, compte–tenu de la symétrie du tenseur σ ( cf paragraphe de rappels sur Ostro-

gradski ), se transforme en :

Pe =

∫∫∫

Vm

(ρg · V + div(σ · V )

)dV =

∫∫∫

Vm

(ρuigi +

∂

∂xi

(σijuj)

)dV

– Qe est la puissance calorifique échangée avec l’extérieur dont on supposera qu’elle résulte

exclusivement du transfert de chaleur au travers de la surface Sm. Afin d’évaluer Qe, on

introduit la puissance calorifique q échangée à travers Sm, rapportée à l’unité de surface

( noter que q s’exprime en W/m2). En supposant que cette quantité n’est fonction que

de la normale n à la surface Sm, on montre qu’elle est une fonction linéaire de n et qu’il

existe donc un vecteur q, appelé vecteur flux de chaleur, satisfaisant :

q = −q · n

la puissance calorifique Qe échangée avec l’extérieur à travers Sm est alors :

Qe = −

∫∫

Sm

q · n = −

∫∫∫

Vm

div q dV

En regroupant le tout, on obtient la forme intégrale du bilan d’énergie pour le volume Vm :

d

dt

∫∫∫

Vm

ρ(e+

1

2V2)dV =

∫∫∫

Vm

[ρV · g + div(σ · V )− div q

]dV (7.11)

De façon maintenant habituelle, ces relations étant vraies quelque soit le volume matériel Vm,

on obtient les formes locales du premier principe :

ρd

dt

(e+

1

2V2)

= ρV · g + div(σ · V )− div q (7.12)

ρd

dt

(e+

uiui

2

)= ρuigi +

∂

∂xi

(σijuj)−∂qj∂xj

(7.13)

35

7.5 Bilan d’énergie cinétique

Ce bilan s’écrit en faisant le produit scalaire de l’équation de quantité de mouvement (7.9)

ou (7.10) par le vecteur vitesse V .

ρV ·dV

dt= ρg · V + V · divσ (7.14)

ρui

dui

dt= ρ

d

dt(uiui

2) = ρuigi + ui

∂σij

∂xj

(7.15)

7.6 Bilan d’énergie interne

En soustrayant ces équations de leurs analogues (7.12) et (7.13) pour le bilan d’énergie

totale, on obtient une forme locale de l’équation pour l’énergie interne spécifique e :

ρde

dt= div(σ · V )− V · divσ − div q (7.16)

ρde

dt=

∂(σijuj)

∂xi

− ui

∂σij

∂xj

−∂uj

∂xj

(7.17)

On va maintenant écrire différemment cette équation. pour cela, on remarque que ( dérivation

d’un produit ) :∂(σijuj)

∂xi

− ui

∂σij

∂xj

= σij

∂ui

∂xj

Ces quantités sont des scalaires et la symétrie du tenseur des contraintes nous permet d’écrire

( convention des indices muets ) :

σij

∂ui

∂xj

= σji

∂uj

∂xij= σij

∂uj

∂xi

= σij1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)

L’équation de bilan pour l’énergie interne spécifique prend alors la forme :

ρde

dt= σ :D − div q

ρde

dt= σijdij −

∂uj

∂xj

où D est le tenseur des taux de déformation et où σ : D représente le produit doublement

contracté du tenseur des contraintes et du tenseur des taux de déformation.

7.6.1 Loi de Fourier

En ce qui concerne le flux de chaleur q, on admettra qu’il suit la loi de Fourier, c’est à dire :

q = −k gradT

où T est la température et k le coefficient de conductivité thermique du fluide. ( En général,

on a k = k(T ) ). On en déduit la forme de l’équation de l’énergie interne :

36

ρde

dt= σ :D + div(k gradT ) (7.18)

ρde

dt= σijdij +

∂

∂xj

(k∂T

∂xj

) (7.19)

On verra plus loin qu’en général le terme σijdij est positif et qu’il correspond à une dégradation

d’énergie cinétique en énergie calorifique (augmentation de de/dt).

37

7.7 Loi de comportement d’un fluide

Faisons maintenant le compte du nombre d’inconnues et du nombre d’équations dont nous

disposons :

Inconnues

– La vitesse, soit 3 inconnues scalaires,

– La masse volumique,

– L’énergie interne,

– La température,

– Le tenseur des contraintes qui est symétrique, soit 6 inconnues scalaires.

C’est à dire 12 inconnues scalaires.

Equations

– L’équation de continuité, soit 1 équation scalaire,

– L’équation de quantité de mouvement, soit 3 équations scalaires,

– L’équation de l’énergie interne, soit une équation scalaire,

– une équation d’état e = e(ρ, T ) (on supposera le fluide divariant),

Soit en tout 6 équations. Il est donc clair qu’il faut fermer le système. Ceci se fait pen intro-

duisant des lois de comportement qui vont spécifier la forme du tenseur des contraintes en

fonction du champ de vitesse eulérien et des varaibles thermodynamiques. On ramène ainsi le

système précédent à un système de 6 équations à 6 inconnues.

7.7.1 Forme générale du tenseur des contraintes

Dans un fluide au repos, les contraintes sont purement normales et données par la pression :

T = −pn . Dès que des contraintes de cisaillement sont appliquées, elles entraînent l’apparition

d’un écoulement. On posera alors :

σ = −pI + τ

Le tenseur τ est appelé le tenseur des contraintes visqueuses. Pour un fluide, on admettra

(ou on prendra comme définition du fluide) que le tenseur τ ne dépend que du tenseur des

taux de déformation D et des variables thermodynamiques T, p, ρ, etc. . .

τ = τ (D, variables thermodynamiques)

où on rappelle que le tenseur des taux de déformation D de composantes dij est défini par :

dij =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)

38

et que sa trace est égale à la divergence du champ de vitesses :

tr(D) = dii =∂ui

∂xi

= divV

7.7.2 Fluide newtonien

Un fluide newtonien est un fluide pour lequel la dépendance précédente est linéaire et

isotrope. Pour un grand nombre de fluides usuels, on peut montrer que le tenseur des contraintes

visqueuses s’écrit :

τ = 2µ

(D −

divV

3I

)(7.20)

Le coefficient µ est appelé le coefficient de viscosité dynamique et s’exprime en Pa.s . En

général, ce coefficient dépend essentiellement de la température et dans une moindre mesure

de la pression.

39

7.8 Le modèle général de Navier–Stokes pour un fluide

newtonien

On va écrire ici les équations générales en tenant compte de la forme générale du tenseur

des contraintes pour un fluide newtonien :

σ = −pI + 2µ

(D −

divV

3I

)

7.8.1 Equation de continuité

∂ρ

∂t+ div(ρV ) = 0 (7.21)

∂ρ

∂t+ ρ

∂uj

∂xj

= 0 (7.22)

7.8.2 Equation de quantité de mouvement

ρdV

dt= ρ

[∂V

∂t+ grad V · V

]= ρg − grad p+ div(2µD)−

2

3grad(µ divV ) (7.23)

ρdui

dt= ρ

[∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

]= ρgi −

∂p

∂xi

+ 2∂

∂xj

(µdij)−2

3

∂

∂xi

(µ∂ul

∂xl

)(7.24)

; i = 1, 2, 3

7.8.3 Equation de l’énergie

Dans l’équation (7.18) apparait le terme σ :D qui s’écrit en tenant compte de la forme du

tenseur des contraintes pour un fluide newtonien :

σ :D = σijdij = −pδijdij + 2µdijdij −2

3(divV )δijdij

où δij est le symbole de Kronecker. On a donc :

δijdij = dii = divV

Dans ces conditions, l’équation de l’énergie s’écrit :

ρde

dt= −

[p+ 2µ

(divV )

3

]divV + 2µD :D + div(k gradT ) (7.25)

ρde

dt= −

[p+ 2µ

(divV )2

3

]∂ui

∂xi

+ 2µdijdij +∂

∂xj

(k∂T

∂xj

)(7.26)

40

7.8.4 Cas des gaz parfaits

De façon générale, les équations précédentes ne constituent pas un système fermé. Elles

doivent être complétées par une loi d’état thermique p = p(ρ, T ) ou calorique e = e(ρ, T ). On

s’intéressera uniquement au gaz parfaits pour lesquels la loi d’état thermique s’écrit :

p = ρ r T (7.27)

où r est une constante qui dépend du gaz et T est la température absolue. La thermodynamique

nous enseigne également que l’on a :∂e

∂T= Cv

où Cv est la chaleur spécifique à volume constant que l’on supposera indépendante de la

température T . Dans ces conditions, l’équation de l’énergie s’écrit :

ρCv

dT

dt= ρCv

(∂T

∂t+ V · gradT

)

= −p divV + 2µ

(D :D −

(divV )2

3

)+ div(k gradT )

(7.28)

ρCv

dT

dt= ρCv

(∂T

∂t+ ui

∂T

∂xi

)

= −p∂ui

∂xi

+ 2µ

(dijdij −

(divV )2

3

)+

∂

∂xj

(k∂T

∂xj

) (7.29)

7.9 Cas des écoulements isothermes et incompressibles

– L’incompressibilité implique que ρ est constante dans le temps et dans l’espace. En

utilisant l’équation de continuité (7.1), on obtient la relation :

divV = 0

– l’écoulement étant isotherme, le coefficient de viscosité dynamique µ est constant et de

plus l’équation de l’énergie n’a plus lieu d’être utilisée.

Les équations se réduisent alors à :

divV = 0 (7.30)

ρ

[∂V

∂t+ grad · V

]= − grad p+ 2µ divD = − grad p+ µ∇

2V + ρ g (7.31)

ou ρ

[∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

]= −

∂p

∂xi

+ µ∂2ui

∂xj∂xj

+ ρgi ; i = 1, 2, 3 (7.32)

41

7.10 Conditions aux limites et conditions initiales

Pour compléter les équations précédentes, il est nécessaire de :

– spécifier des conditions initiales en vitesse, température, pression et/ou masse volumique

on s’intéresse à un problème instationnaire.

– spécifier le comportement de certaines inconnues sur les frontières ( à distance finie ou

infinie ) du domaine dans lequel a lieu l’écoulement.

7.10.1 Conditions aux limites

– sur des parois solides

– Sur la vitesse

Soit une paroi solide, de normale n, animée d’une vitesse W . Le fait que le fluide ne

traverse pas la paroi impose :

V · n =W · n

De plus, l’expérience montre que pour un fluide réel, les particules fluides en contact

avec la paroi ont une vitesse égale à celle de celle-ci. Dans ce cas, on aura

V =W sur la paroi

– En température

Les conditions les plus couramment utilisées sont soit T imposé ( condition de Diri-

chlet ), soit le chauffage imposé, c’est à dire le flux de chaleur, donc ∂T/∂n imposé.

– à l’infini

– En vitesse

Dans le cas d’écoulement dans des domaines non bornés (aérodynamique par exemple),

on spécifie un comportement pour la vitesse quand on s’éloigne. Par exemple, on pourra

imposer un écoulement uniforme de module U0 dans la direction i de la façon suivante :

V ' U0i quand r −→∞

– En température

En général, on spécifie une température , une pression et une masse volumique constante

à l’infini.

42

Deuxième partie

Bilans Macroscopiques

43

Introduction

On va dans cette partie s’intéresser à des systèmes industriels utilisant des écoulements

de fluide pour, par exemple, propulser, produire de l’énergie, mélanger, etc. . .De tels systèmes

comportent en général des sections d’entrée et des sections de sortie du fluide. L’idée est

d’essayer, moyennant quelques hypothèses limitées, de déterminer un certain nombre de carac-

téristiques du système – performances, consommation énergétique, charges supportées, etc. . .–

en n’ayant à sa disposition que des informations sur l’écoulement dans les sections d’entrée et

de sortie.

Pour établir l’essentiel des résultats, nous serons amenés à faire une utilisation intensive

des théorèmes de transport, c’est à dire des théorèmes sur les dérivées particulaires. Rappelons

d’abord le cadre général :

– On considère un écoulement de fluide défini par son champ de vitesse eulérien V , de

composantes cartésiennes (u1, u2, u3).

– On considérera dans ce chapitre :

– soit un volume matériel Vm(t), c’est à dire un volume constitué de particules que l’on

suit dans leur mouvement. On notera Sm la surface délimitant ce volume. Rappelons

qu’alors les points de Sm étant des particules fluides, ont la vitesse V .

– soit un volume arbitraire Va(t) dont on notera Sa la surface le délimitant. Cette surface

est animée d’une vitesse W qui peut être différente de la vitesse V du fluide.

Soit f(x1, x2, x3, t) une fonction scalaire définie en tout point de l’écoulement. Nous avons

établi dans le chapitre sur les dérivées particulaires les deux résultats suivants :

d

dt

∫∫∫

Vm(t)

f dV =

∫∫∫

Vm(t)

∂f

∂tdV +

∫∫

Sm(t)

f V · n dS

δ

δt

∫∫∫

Va(t)

f dV =

∫∫∫

Va(t)

∂f

∂tdV +

∫∫

Sa(t)

fW · n dS

En soustrayant ces deux relations, on obtient la relation suivante :

d

dt

∫∫∫

Vm(t)

f dV =δ

δt

∫∫∫

Va(t)

f dV +

∫∫

Sa(t)

f (V −W ) · n dS (7.33)

On a naturellement ( en raisonnant composante cartésienne par composante cartésienne ) des

résultats analogues pour un champ vectoriel B.

44

d

dt

∫∫∫

Vm(t)

B dV =δ

δt

∫∫∫

Va(t)

B dV +

∫∫

Sa(t)

B((V −W ) · n

)dS (7.34)

45

Chapitre 8

Bilan Macroscopique de Quantité de

Mouvement

On va dans ce chapître appliquer les résultats précédentsà la quantité de mouvement ρV .

Soit un volume V supposé fixe. Cela correspond au cas d’un volume arbitraire avec W = 0 .

On sait qu’alors :δ

δt

∫∫∫

V

ρV dV =

∫∫∫

V

∂

∂t(ρV )dV

On va supposer en outre que l’écoulement est stationnaire. Alors l’intégrale précédente est

nulle.

Soit Vm(t) le volume matériel coïncidant à l’instant t avec le volume fixe V . La relation (7.34)

donne :d

dt

∫∫∫

Vm(t)

ρV dV =

∫∫

S

ρV (V · n) dS

Or le membre de gauche de cette égalité est égale ( PFD oblige ) à la résultante F e des efforts

extérieurs appliqués à l’instant t sur le volume Vm donc sur le volume de fluide V :

∫∫

Sa(t)

ρV (V · n) dS = F e =

∫∫∫

Va(t)

ρg dV +

∫∫

Sa(t)

σ · n dS (8.1)

ATTENTION : Si on s’intéresse aux efforts R(Sa) exercés par le fluide intérieur à Va sur

la surface Sa, on a :

R(Sa) = −

∫∫

Sa(t)

σ · n dS =

∫∫∫

Va(t)

ρg dV −

∫∫

Sa(t)

ρV (V · n) dS (8.2)

8.1 Application :

Soit un écoulement stationnaire dans un "tuyau" fixe comme celui de la figure 8.1 ci–

dessous.

46

Qv

Qv

SS

Σ

Fig. 8.1 – tuyau fixe

Nous allons appliquer les résultats précédents au calcul de la résultante R(Σ) des efforts

exercés par le fluide sur la paroi Σ du tuyau. Le volume de contrôle fixe V est délimité par la

paroi Σ ainsi que par une section d’entrée S1 et une section de sortie S2 ( S = Σ ∪ S1 ∪ S2 ).

Sur Σ, le glissement du fluide ( conditions aux limites ) impose que : V · n = 0.

Dans ces conditions, l’intégrale de surface du membre de droite de l’équation (8.2) s’écrit :∫∫

S1

ρV (V · n) dS +

∫∫

S2

ρV (V · n) dS

D’autre part la résultante des efforts R(S) exercés par le fluide sur S s’écrit :

R(S) = R(Σ) +R(S1) +R(S2)

R(S) = −

∫∫

Σ

σ · n dS −

∫∫

S1

σ · n dS −

∫∫

S2

σ · n dS

avec la convention habituelle de la normale n orientée vers l’extérieur du volume V . Les diffé-

rents termes R() représentent les efforts surfaciques sur les différentes surfaces constituant Σ.

Dans de nombreux systèmes usuels, l’écoulement en entrée et en sortie est pratiquement normal

aux sections considérées, c’est à dire que l’on peut écrire :

V = V1n1 sur S1

V = V2n2 sur S2

où cette fois-ci ( voir figure au dessus) les normales n1 et n2 sont orientées dans le sens de

l’écoulement. En particulier on a n1 = −n sur S1 et n2 = n sur S2.

En outre l’écoulement ne varie en général pas rapidement à la traversée de S1 et de S2, ce

qui permet d’écrire :

σ · n ' −pn sur S1 et sur S2

En combinant ces relations avec la relation(8.2), on obtient le résultat suivant :

R(Σ) = P +

∫∫

S1

(pn1 + ρV1V

)dS −

∫∫

S2

(pn2 + ρV2V

)dS (8.3)

où P est le poids du volume fluide contenu dans V .

47

8.2 Cas de l’approximation unidimensionnelle

Dans de nombreuses configurations d’intérêt pratique, on peut considérer qu’en entrée et

en sortie, l’écoulement est unidimensionnel, c’est à dire que la vitesse, la pression et la masse

volumique peuvent être supposés constantes dans chacune de ces sections :

V = V1n1

p = p1

ρ = ρ1

sur S1

V = V2n2

p = p2

ρ = ρ2

sur S2

Dans ces conditions, l’équation (8.3) s’écrit :

R(Σ) = P +(p1 + ρV21

)A1n1 −

(p2 + ρV22

)A2n2 (8.4)

où A1 et A2 sont les aires des sections S1 et S2.

Dans de nombreux cas pratiques (hormis les conduites forcées d’eau), le poids du fluide

contenu dans le tuyau peut être négligé devant les autres efforts. Si de plus la paroi extérieure

se trouve à pression constante pa (pression atmosphérique, par exemple) alors les efforts globaux

subis par Σ sont donnés par :

R(Σ) =((p1 − pa) + ρV21

)A1n1 −

((p2 − pa) + ρV22

)A2n2 (8.5)

48

Chapitre 9

Bilan d’énergie mécanique pour un

écoulement de fluide incompressible dans

le champ de gravité terrestre

9.1 Equation de bilan local pour l’énergie cinétique

On reprend ici qui avait été établi lors de l’étude du bilan d’énergie dans les chapitres

précédents. Soit Ec l’énergie cinétique spécifique (c.a.d par unité de masse) :

Ec =1

2V2

En multpliant scalairement l’équation de quantité de mouvement par la vitesse V , on obtient

l’équation de bilan local pour Ec :

ρdV

dt· V = ρ

d

dt(V2

2) = ρ

dEc

dt= −V · grad p+ V · (div τ ) + ρg · V

Trois remarques :

– Le champ de forces volumiques g dérive d’un potentiel scalaire, c’est à dire qu’il s’écrit :

g = − gradϕ = − div(ϕI) avec ϕ(z) = gz où g est l’accélération de la gravité.

– l’écoulement étant incompressible, la relation divV = 0 implique :

−V · grad p = div(−pV ) et −V · gradϕ = div(−ϕV )

– V · (div τ ) = vi∂τij∂xj

=∂

∂xj

(viτij)− τij∂vi∂xj

= div(τ · V )− τ : grad V

Examinons le dernier terme τ : grad V = τij∂vi∂xj

. C’est le produit doublement contracté

du tenseur des contraintes visqueuses et du tenseur gradient de vitesse. C’est donc un

scalaire et de par la convention des indices muets, ce terme s écrit :

τij∂vi∂xj

= τji∂vj∂xi

49

en utilisant le fait que le tenseur des contraintes est symétrique, on obtient :

τij∂vi∂xj

= τij∂vj∂xi

= τij1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)= τ :D

où D est le tenseur des taux de déformations. Pour un écoulement incompressible de

fluide newtonien, on a : τ = 2µD , ce qui entraîne :

τ :D = 2µdijdij ≥ 0

L’équation locale de bilan pour Ec s’écrit alors :

ρdEc

dt= div(−pV + τ · V − ρϕV )− Φ

où le terme Φ = τ : D est appelé la dissipation visqueuse. On le retrouve avec un signe +

dans l’équation locale pour l’énergie interne. Il correspond donc à une dissipation d’énergie

cinétique sous forme d’énergie calorifique.

9.2 Forme intégrale du bilan d’énergie cinétique

On va maintenant intégrer cette équation locale sur un volume arbitraire Va(t). La surface

Sa(t) qui délimite le volume est animée d’une vitesse W qui peut être différente de la vitesse

V des particules se trouvant à l’instant considéré sur la surface. On obtient ainsi :

∫∫∫

Va

ρdEc

dtdV =

∫∫∫

Va

(div(−pV + τ · V − ρϕV )− Φ

)dV

Soit maintenant le volume matériel Vm(t) coïncidant avec Va(t) à l’instant considéré. Compte-

tenu des identités établies précédemment pour les dérivées particulaires et du théorème de

Reynolds, on a :

δ

δt

∫∫∫

Va

ρEc dV =d

dt

∫∫∫

Vm

ρEc dV −

∫∫

S

ρEc(V −W ) · n dS

=

∫∫∫

Vm

ρdEc

dtdV −

∫∫

S

ρEc(V −W ) · n dS

A partir de maintenant, on supposera que l’énergie cinétique contenue dans le volume Va est

constante dans le temps et donc que son taux de variation est nul. Le rapprochement des

deux relations précédentes permet alors d’écrire :

∫∫

Sa

ρEc(V −W ) · n dS =

∫∫

Sa

(−pV + τ · V − ρϕV ) · n dS −

∫∫∫

Va

Φ dV

50

Enfin, compte-tenu du fait que le tenseur −pI + τ − ρϕI est symétrique, on obtient :

∫∫

Sa

ρEc(V − W ) · n dS =

∫∫

Sa

(−pn + τ · n − ρϕn) · V dS −

∫∫∫

Va

Φ dV (9.1)

Notons que les intégrales apparaissant dans le membre de droite de l’égalité ci-dessus repré-

sentent des puissances. La surface Sa est constituée de :

– des sections d’entrée (ou de sortie) Se sur lesquelles W = 0 et en général V 6= 0.

– des parois solides fixes Sf sur lesquelles W · n = V · n = 0.

– des parois solides mobiles Sd sur lesquelles V · n =W · n.

Si l’on note σ = −pI + τ le tenseur complet des contraintes, la relation 9.1 s’écrit alors∫∫

Se

ρEcV · n dS =

∫∫

Se

(σ · n) · V dS puissance des forces exercées

en entrée et en sortie du système

−

∫∫

Se

ρϕn · V dS idem pour les forces volumiques

+

∫∫

Sd

(σ · n) · V dS puissance fournie (ou extraite)

au (du) fluide par les parois mobiles

−

∫∫

Sd

ρϕn · V dS idem pour les forces volumiques

−

∫∫∫

Va

Φ dV puissance dissipée dans le fluide

Dans les configurations pratiques, la vitesse est en générale normale aux sections d’entrée et

de sortie et sur celles-ci on a :

(σ · n) · V ' −pn · V

Dans ces conditions, le bilan précédent s’écrit :∫∫

Se

ρEcV · n dS = −

∫∫

Se

(p+ ρϕ)V · n dS + P− EV

∫∫

Se

(1

2ρV

2+ p+ ρϕ

)V · n dS = P− EV

où P est la puissance fournie (y compris par les forces volumiques) au fluide par les parois

mobiles et EV représente la puissance dissipée en raison des pertes dues aux effets visqueux.

– Si P est > 0, on apporte de l’énergie au fluide et la machine concernée est une pompe.

– Si P est < 0, on extrait de l’energie du fluide et la machine concernée est une turbine.

L’intérêt de cette relation réside dans le fait qu’elle permet d’écrire un bilan énergétique,

tout en n’ayant des informations sur l’écoulement qu’en entrée et en sortie du système et

51

donc sans avoir besoin de connaître les détails de l’écoulement à l’intérieur. En particulier,

elle permet de connaître la puissance à installer pour des conditions de pression et de débit

données en entrée et en sortie. Pour préciser cela, distinguons les sections d’entrée S1 et les

sections de sortie S∈. On va supposer en outre que si n1 ( resp n2 ) est la normale orientée

dans le sens de l’écoulement à S1 ( resp S2 ), on a sur toute la section d’entrée V ·n1 > 0

(resp de sortie V ·n2 > 0). En outre, l’écoulement étant incompressible, les débits volumiques

en entrée et en sortie sont égaux, c’est à dire :

∫∫

S1

V · n1 dS =

∫∫

S2

V · n2 dS = Qv

Dans ces conditions, et en tenant compte du fait que la masse volumique ρ est constante, En

introduisant la moyenne (pondérée par le flux massique) d’une quantité f sur par exemple la

section S1 de la façon suivante :

< f >1=

∫∫S1

ρ f V · n1 dS∫∫S1

ρV · n1 dS

la relation précédente s’écrit :

Qm

(1

2< V2 >2 + <

p

ρ>2 + < ϕ >2

)= Qm

(1

2< V2 >1 + <

p

ρ>1 + < ϕ >1

)(9.2)

+ P− Ev

où Qm = ρQv est le débit massique qui est, rappelons le, le même en entrée et en sortie. Cette

relation exprime que la puissance mécanique (somme des puissances potentielle, cinétique et de

pression) en sortie est égale à ce qu’elle était en entrée, augmentée de la puissance P transmise

( algébriquement ) au fluide et diminuée de la puissance Ev dissipée par viscosité.

Dans la pratique, on utilise la relation (9.2) divisée par le débit massique Qm. On obtient

ainsi une relarion entre "puissances spécifiques" ou densités massiques de puissance :

(1

2< V2 >2 + <

p

ρ>2 + < ϕ >2

)=

(1

2< V2 >1 + <

p

ρ>1 + < ϕ >1

)(9.3)

+ w − ev

Dans ce cadre, ev = Ev/Qm représente les pertes d’énergie par unité de masse et constitue

ce que l’on appelle la perte de charge au travers du sytème considéré. w = P/Qm représente

la puissance spécifique fournie au fluide par l’intermédiaire de machines. Ces deux quantités,

ev et w ont pour dimension des J/kg.

52

9.3 Cas particulier des écoulements unidimensionnels en

entrée et en sortie

Soient p1 et V1 les pression et vitesse uniformes sur la section d’entrée S1 d’aire A1.

Soient p2 et V2 les pression et vitesse uniformes sur la section de sortie S2 d’aire A2.

La relation 9.3 s’écrit alors :(1

2V2 +

p

ρ+ ϕ

)

2

=

(1

2V2 +

p

ρ+ ϕ

)

1

+P

Qm

− ev (9.4)

Dans les problèmes d’hydraulique, on utilise aussi la quantité h = ev/g qui est homogène

à une longueur et qui représente la dénivellation d’eau correspondant à l’énergie potentielle

égale à la perte de charge.

53

Chapitre 10

Analyse d’un sytème de canalisations

10.1 Introduction

De très nombreux systèmes "réels" fluide sont constitués :

– de canalisations de longueur grande devant leur diamètre qui peuvent présenter des

coudes, des rétrecissements, des élargissements, . . ., être munies de valves, être lisses,

rugueuses, etc. . .

– de machines qui peuvent être :

– génératrices : elles fournissent de l’énergie au fluide. Ce sont des pompes,

– réceptrices : elles récupèrent de l’énergie du fluide. Ce sont des turbines,

La conception d’un tel système nécessite d’une part de faire un bilan des efforts exercés sur

les différents constituants et d’autre part de faire un bilan global d’énergie mécanique afin en

particulier de déterminer les débits circulant dans l’installation et les puissances installées ou

délivrées par les différentes machines.

L’objet de cette partie est de montrer comment on peut, moyennant certaines hypothèses,

parvenir à une telle estimation à partir de la seule connaissance des caratéristiques de l’écoule-

ment en entrée et en sortie du système. Les hypothèses sous lesquelles nous travaillerons sont

celles d’unidimensionnalité de l’écoulement aux entrées et aux sorties du système :

– pression et vitesse uniformes, p1 et V1 , sur la section d’entrée S1 d’aire A1,

– pression et vitesse uniformes, p2 et V2, sur la section de sortie S2 d’aire A2.

Rappelons que le bilan d’énergie mécanique entre lessections d’entrée et les sections de

sortie du système( relation (9.4) du chapitre précédent) s’écrit

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

2

=

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

1

+P

Qm

− ev (10.1)

où Qm est le débit massique en entrée du système (égal à celui en sortie), P est la puissance al-

gébrique transmise au fluide, ev l’énergie spécifique dissippée par viscosité et g z est le potentiel

dont dérive les forces de pesanteur.

54

QQ

S S

L

D

Fig. 10.1 – Schéma d’une canalisation circulaire rectiligne

10.2 Ecoulement unidimensionnel dans une canalisation

sans machine

On considère à titre d’exemple une portion de canalisation rectiligne, horizontale, sans

machine, et de section constante A dans laquelle s’écoule un fluide incompressible de masse

volumique ρ avec un débit volumique Qv. On suppose qu’en entrée et en sortie, l’écoulement

est unidimensionnel. Notons que dans ce cas, les vitesse V1 et V2 sont égales et valent Qv/A.

En raison de l’horizontalité de la canalisation et de l’égalité des vitesses en entrée et en

sortie, la relation (10.1) se réduit à :

p1 − p2ρ

= ev (10.2)

Les pertes, qui dans ce cas très simple se réduisent à la puissance dissipée par frottement sur

les parois de la canalisation, se traduisent donc par une chute de pression.

10.3 Notions de pertes de charge

Comme il avait été indiqué dans le chapitre "Bilans macroscopiques", la quantité ev qui est

la puissance dissipée par viscosité, est appelée perte de charge. C’est une énergie dissipée

par unité de masse, et elle s’exprime donc en J/kg.

10.3.1 Classification des pertes de charge

On distingue deux types de pertes de charge :

1. pertes de charge régulières : Ce sont les pertes, notées ef , dues au frottement du fluide

sur les parois solides du systèmes, et en particulier sur les parois des canalisations.

55

2. pertes de charge singulières : Ce sont les pertes, notées es, dues à la présence de singu-

larités géométriques dans le système, singularités engendrant des zones très fortement

tourbillonnaires, sièges d’une dissipation importante d’énergie. Ces singularits peuvent

être des coudes, des rétrecissements, des élargissements, des embranchements, des valves,

etc. . .

10.3.2 Evaluation des pertes de charge

Pertes de charge régulières

dans le cas d’une conduite cylindrique droite de longueur L et de diamètre D ( voir figure

(10.1) ), parcourue avec un débit volumique Qv par un fluide de masse volumique ρ et de

viscosité dynamique µ, ces pertes sont estimées sous la forme :

ef = fL

D

v2m2

(10.3)

où ef est la perte de charge régulière

vm est la vitesse débitante = Qv/A

f est le coefficient de perte de charge régulière, nombre sans dimensions

Le coefficient f est fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité relative ε/D des

parois de la conduite, ε étant la taille caractéristique des rugosités pariétales.

f = f(Re, ε/D)

Re =ρvmD

µ

Il existe des abaques et des formules analytiques permettant de connaître la valeur de ce

coefficient f pour le problème étudié.

Pertes de charge singulières

Il a été constaté expérimentalement que la perte de charge es, due à une singularité, peut

être estimée par :

es = kv2m2

(10.4)

où vm est la vitesse dans la section en amont ou en aval de la singularité qui a la plus petite aire,

comme indiqué dans la figure 10.2. Les valeurs du coefficient sans dimensions k ne dépendent

en première approximation que de la nature de la singularité et peuvent être trouvées dans des

tables.

56

vvv

v v

Fig. 10.2 – Vitesse à prendre en compte pour les pertes de charge singulière

10.3.3 Ecriture du bilan énergétique pour une canalisation compor-

tant une machine

Considérons une canalisation ( voir figure 10.3) comportant une machine transmettant

au fluide une puissance P et dans laquelle circule avec un débit volumique Qv, un fluide

incompressible de masse volumique ρ.

Qv

Qv

SS

Fig. 10.3 – Schéma d’une canalisation comportant une machine

Si ef et es sont les pertes de charge régulière et singulières existant dans la canalisation, le

bilan d’énergie mécanique enre l’entrée S∞ et la sortie S∈ s’écrit :

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

2

=

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

1

+ w′ − ef − es (10.5)

57

où w′ =P

ρQv

est l’énergie spécifique transmise au fluide.

Dans la pratique, les machines ont un rendement η et ce qui est donné est la puissance fournie

à la machine dans le cas d’une pompe et la puissance récupérée dans le cas d’une turbine. On

aura donc :

– Pour une turbine : le travail récupéré w est égal à η w′, ce qui permet d’écrire :

w = η

[(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

2

−

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

1

+ ef + es

]

– Pour une pompe le travail fourni w par l’utilisateur à la pompe est égal àw′

η, ce qui

permet d’écrire :

w =1

η

[(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

2

−

(1

2V2 +

p

ρ+ gz

)

1

+ ef + es

](10.6)

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