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8/10/2019 mecanique des fluides.pdf
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Mcanique des fluides et agitation
Dominique ALONSO
16 juin 2004
8/10/2019 mecanique des fluides.pdf
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Table des matires
1 Introduction - Notions de Base 5
1.1 Questions prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Quest ce quun fluide ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Quelles sont les diffrences entre un fluide et un solide ? . . . . . . . . . 5
1.1.3 Quelles sont les diffrences entre un gaz et un liquide ? . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Quest-ce que la mcanique des fluides ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 A quoi sert la mcanique des fluides ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Quelques proprits des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.1 Dfinition Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1.2 Densit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1.3 Notion de fluide compressible/incompressible . . . . . . . . . 10
1.2.2 Notion de Dbit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.1 Dfinitions Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.2 Relation entre dbit massique et dbit volumique. . . . . . . . 13
1.2.2.3 Relation entre dbit et vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 mesure des proprits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Bilans de matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Quest-ce quun bilan de matire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Comment crire un bilan de matire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2.1 Bilan de matire sur une conduite . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2.2 Bilan de matire sur un embranchement . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2.3 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Exercices complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Le fluide au repos Statique des fluides 25
2.1 Quest-ce que la pression ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
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TABLE DES MATIRES 2
2.1.1 Pression et Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Pression et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Units de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.4 Notions de pressions absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Comment volue la pression au sein dun fluide au repos ? . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Quelques observations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1.1 Exprience du crve-tonneau de PASCAL . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1.2 Variation sur lexprience de TORRICELLI . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Lquation de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2.1 Formulations mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2.2 Approximation dans le cas des gaz . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2.3 Interface entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3 Applications pratiques de la loi de lhydrostatique. . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Comportement des flotteurs Pousse dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Pousse dArchimde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Un cas particulier de flottaison : les liquides non-miscibles . . . . . . . . 38
2.3.3 Exemple dapplication pratique des flotteurs. . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Exercices complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Le fluide en mouvement Dynamique des fluides 42
3.1 nergie dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Quest-ce que lnergie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 Notion dnergie volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Les diffrentes formes dnergies dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3.1 Lnergie de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3.2 Lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3.3 lnergie potentielle de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.4 Lnergie totale et lnergie volumique totale . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5 Dbit dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.5.1 Dfinition et unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.5.2 Relation entre dbit dnergie et dbit volumique. . . . . . . . 48
3.1.6 La charge totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Comment volue lnergie totale dans un fluide qui scoule?. . . . . . . . . . . 49
3.2.1 La conservation de lnergie - Bilan dnergie. . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Cas dun coulement sans apport ni perte dnergie . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Cas dun coulement avec apport dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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TABLE DES MATIRES 3
3.2.4 Cas dun coulement avec perte dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4.1 Cas o lnergie est cde une machine . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4.2 Cas o lnergie est dissipe par frottement. . . . . . . . . . . 563.3 Exercices complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Calcul des pertes de charge 63
4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Origine des frottements Viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Remarques gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2.1 Dfinition et unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2.2 Influence de la temprature et de la pression . . . . . . . . . . 654.2.2.3 Viscosit cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Rgime dcoulement Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 Exprience de REYNOLDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2 Rgime dcoulement et perte de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.3 Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.4 Conduites non-cylindriques Diamtre hydraulique . . . . . . . . . . . 69
4.4 Comment calculer les pertes de charges dun rseau ? . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.1 Pertes de charge rgulires et singulires . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.2 Perte de charge totale dun rseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Calcul des pertes de charge rgulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3.1 Coefficient de perte de charge rgulire . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3.2 Utilisation du diagramme de MOODY. . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.4 Pertes de charge singulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.4.1 Coefficient de perte de charge singulire . . . . . . . . . . . . 74
4.4.4.2 Notion de longueur droite quivalente . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.5 Circuits drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Exercices complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Pompes et rseaux 84
5.1 Rseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.1 Perte de charge dun rseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2 Bilan dnergie et hauteur gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.3 Courbe de rseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.4 Association de rseaux en srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
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TABLE DES MATIRES 4
5.1.5 Association de rseaux en parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.6 Diamtre optimal de conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2 Pompes centrifuges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Courbe caractristique dune pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.4 Pompe au sein dun rseau - Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . 96
5.2.5 Puissance et rendement dune pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.6 Phnomne de cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.7 NPSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.8 tude dune courbe de pompe commerciale . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.9 Couplage de pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.10 Pompes volumtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Exercices complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Mtrologie en mcanique des fluides 116
6.1 Mesure des masses volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.1 Mthode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.2 Utilisation dun flotteur - Densimtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Mesure de la viscosit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.1 coulement travers un orifice calibr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2 Viscosimtre chute de bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.3 Viscosimtre de COUETTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1 Prises de pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.2 Manomtres colonne liquide - tubes manomtriques. . . . . . . . . . . 120
6.3.3 Manomtres dispositif mcanique lastique . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4 Mesure des dbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.1 Orifices dprimognes - Venturis, Diaphragmes et Tuyres . . . . . . . . 1236.4.2 Dbitmtres lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.3 Dbitmtres turbine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.4 Dbitmtres massiques forces de CORIOLIS . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.5 Dbitmtres flotteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
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Chapitre 1
Introduction - Notions de Base
1.1 Questions prliminaires
1.1.1 Quest ce quun fluide ?
On peut rencontrer la matire sous trois formes principales 1 :
ltat solide;
ltat liquide;
ltat gazeux.
Unfluideest unliquide ou un gaz.
1.1.2 Quelles sont les diffrences entre un fluide et un solide ?
La matire est constitue de particules de trs petite taille qui sont des atomes, des molcules
ou des ions. Dans un solide, ces particules sont fortement lies entre elles par des forces lectro-
statiques et occupent ainsi des positions fixes dans lespace. Par consquent, un solide possde
une forme bien dtermine. Pour le dformer, il faut lui appliquer une contrainte mcanique
suffisante pour contrer les forces qui existent entre les particules qui le constituent.
Dans le cas des fluides, ces forces sont moins intenses, si bien que les particules sont mobilesdans lespace. Par consquent, le fluidepeut se dformer spontanment et ne possde pas de
forme propre.
1Il existe dautres tats de la matire comme ltat supercritique ou les plasmas, mais ceux-ci se rencontrent pour
des conditions de temprature et de pression extrmes.
5
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 6
1.1.3 Quelles sont les diffrences entre un gaz et un liquide ?
La principale diffrence entre un gaz et un liquide est que les particules constituant un liquide
sont jointives alors que dans le cas dun gaz ces particules sont beaucoup plus espaces les unesdes autres. Cette diffrence a les deux consquences suivantes :
Il est possible de rduire le volume quoccupe un gaz en le comprimant (en effet, les
particules qui le constituent peuvent se rapprocher puisquelles ne sont pas jointives) alors
que cest impossible avec un liquide (les particules sont dj jointives, il est impossible de
plus les rapprocher) ;
Un gaz va occuper tout le volume qui lui est offert alors quun liquide va pouser la forme
du rcipient qui le contient en laissant une surface libre (voir figure 1.1).
LIQUIDE
GAZ
Surface libre
FIG . 1.1 Diffrence de comportement dun gaz et dun liquide dans un rcipient
1.1.4 Quest-ce que la mcanique des fluides ?
La mcanique des fluides est la branche de la physique qui sintresse ltude des forces et
des nergies mises en jeu dans les fluides ainsi quaux caractristiques des coulements
1.1.5 A quoi sert la mcanique des fluides ?
Le champ dapplication de la mcanique des fluides est extrmement large et vari. En effet,
ds quon se trouve en prsence dun fluide en coulement et que lon veut comprendre ou prvoir
son comportement, il faut faire appel la mcanique des fluides. On peut ainsi citer les domaines
dapplication suivants qui dmontrent cette grande varit :
lcoulement du sang lintrieur des veines et artres ;
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 7
les prvisions mtorologiques qui doivent tenir compte de la circulation des masses dair ;
ltude arodynamique des vhicules et de lcoulement de lair ou de leau autour de
ceux-ci ; le dimensionnement dun rseau deau urbaine ;
. . .
En gnie chimique-gnie des procds, les fluides en circulation sont omniprsents. Il est
donc ncessaire de comprendre ce qui se passe lors de leur coulement afin de concevoir, di-
mensionner et choisir convenablement les rseaux dans lesquels ils circulent. La mcanique des
fluides permettra ainsi :
de dterminer le diamtre optimal dune conduite ;
de choisir la pompe qui permettra de satisfaire aux conditions requises pour la circulation
dun fluide dans un rseau donn ; de prvoir la consommation dnergie dun appareil utilis pour la circulation dun fluide
(pompe, compresseur ou ventilateur) ;
de mieux comprendre le fonctionnement des appareils de mesure et de rgulation ;
. . .
1.2 Quelques proprits des fluides
1.2.1 Masse volumique
1.2.1.1 Dfinition Units
Les fluides (liquide ou gaz) sont pesants. Cela signifie quun volume donn de fluide (par
exmple 1 m3) reprsente une masse une bien dfinie. Toutefois cette masse sera diffrente pour
chaque fluide. Ainsi, 1 m3 deau possdera une masse de 1000 kg, alors qu1 m3 de mercure
possdera une masse de 13600 kg. On peut ainsi dfinir pour chaque fluide une grandeur appele
masse volumique qui est le rapport de la masse mde fluide et du volume V quoccupe cette
masse (voir quation1.1). On utilisera le symbole (la lettre grecque rho) pour dsigner lamasse volumique.
=m
V (1.1)
Lunit de lamasse volumiquedans le systme dunit international (S.I.) est le kilogramme
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 8
par mtre cube, abrg kg/m3. On veillera donc exprimerla masse en kgetle volume en m3.
Exemple 1 : On a vu prcdemment qu1 m3 deau reprsentait une masse de 1000 kg. La masse
volumique de leau sera donc :
eau=1000
1 =1000kg/m3
Pour le mercure, nous avons vu qu1 m3 avait un masse de 13600 kg. Par cons-
quent, il vient :
mercure=13600
1 =13600kg/m3
On trouvera dans la table1.1,les masses volumiques de divers fluides usuels. On peut consta-ter ici que les masses volumiques des liquides sont beaucoup plus grandes que celles des gaz
(environ 1000 fois). Ce phnomne sexplique par le fait que les particules constituant un liquide
sont jointives. Aussi, lensemble des particules est plus compact et un volume plus rduit contient
donc une plus grande masse.
TAB . 1.1 Masses volumiques de fluides usuels
Fluide Masse volumique (kg/m3)
Eau ( temprature ambiante) 1000
Eau de mer 10201030
Mercure 13600
Air ( 20 C et pression atmosphrique) 1,2
Vapeur deau ( 100 C et pression atmosphrique) 0,6
Ethanol (alcool thylique) 789
Huile vgtale 910940
Huile minrale (lubrifiants) 880940
Essence 700750Krosne 780820
Ptrole 870
Nous avons vu que lunit de la masse volumique dans le systme international (SI) dunits
tait le kg/m3. Il existe toutefois dautres units rassembles dans le tableau 1.2. On y trouve
aussi lquivalence avec lunit SI.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 9
TAB . 1.2 Units de masse volumique
Unit Equivalence en kg/m3
g/cm3 1 g/cm3=1000 kg/m3
kg/L 1 kg/L=1000 kg/m3
g/L 1 g/L=1 kg/m3
lb/ft3 (livres par pieds au cube) 1 lb/ft3=16,01846 kg/m3
1.2.1.2 Densit
Afin dviter les problmes dunits lorsquon donne la valeur de la masse volumique dunefluide, on a introduit la notion de densit. La densit dun fluide est dfinie comme le rapport de
la masse volumique de ce fluide (exprime dans une unit quelconque) sur la masse volumique
de leau (exprime dans la mme unit). Lquation 1.2permet de calculer la densit que lon
notera par la lettre d.
df luide=f luideeau
(1.2)
Il estimpratif dexprimer la masse volumique du fluide et celle de leau dans la mme unit.
La densit est donc une grandeur qui na donc pas dunit (on dit quelle est sans dimension). Savaleur ne dpend pas du systme dunit utilis.
Exemple 2 : On a vu que la masse volumique du mercure tait de 13600 kg/m3 et celle de leau
de 1000 kg/m3. En lb/ft3 (unit anglo-saxonne), on aura :
eau=62,43lb/f t3
mercure=849,02lb/f t3
On peut calculer la densit partir de ces deux systmes dunits :
dmercure=13600
1000 =13,6
dmercure=849,02
62.43 =13,6
On voit bien sur cette exemple que la densit ne dpend pas du systme dunits employ.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 10
1.2.1.3 Notion de fluide compressible/incompressible
Nous avons vu prcdemment (voir 1.1.3) quil tait possible de comprimer un gaz, cest
dire de rduire le volume occup par une masse donne de ce gaz. Par exemple, si lon empri-sonne de lair dans une seringue, on peut faire varier le volume occup par cette masse dair en
exerant une pression sur le piston. La mme opration est impossible avec un liquide. On dit
que les gaz sont compressiblesalors que les liquides sont incompressibles.
Cette proprit des gaz a par consquent une influence sur leur masse volumique. Reprenons
lexemple de la seringue :
Exemple 3 : Remplissons dair une seringue de volume V1=20 mL (soit 20106 m3). Dans
les conditions atmosphriques cette seringue contiendra alors une masse dair
m1=24103 g (soit 24106 kg). La masse volumique 1 de lair contenu initia-
lement sera donc :
1=m1
V1=
24 106
20 106=1,206kg/m3
Comprimons, laide du piston, cette masse dair jusqu un volume V2=10 mL.
La masse dair contenue dans la seringue est toujours la mme, cest dire m1. La
masse volumique2de lair comprim est alors :
2= m1V2
=24 10610 106
=1,412kg/m3
On peut ainsi constater quen comprimant le gaz, on a augment sa masse volu-
mique.
En fait, en comprimant le gaz, nous avons augment sa pression (voir 2.1du chapitre2).
Ainsi, on pourra dire que la masse volumique dun gaz dpend de la pression de celui-ci. De
plus,la masse volumique des gaz dpend aussi fortement de la temprature. Cest pourquoi dans
le tableau1.1donnant les masses volumiques de certains fluides usuels, nous avons pris soin de
donner pour les gaz les valeurs de la pression et de la temprature auxquelles ont t mesuresces masses volumiques.
Lquation1.3suivante permet de calculer la masse volumique dun gaz en fonction des
conditions de pression et de temprature :
gaz= 0,001 P M
R (273,15 + T) (1.3)
avecPla pression du gaz exprime en Pascal (Pa), Tla temprature du gaz exprime en C,Rla
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 11
constante des gaz parfaits qui vaut 8,314 J/mol.C etMla masse molaire 2 du gaz exprime en
g/mol.
Nous avons dit prcdemment que les liquides taient, contrairement aux gaz, incompres-sibles. Ceci implique que la masse volumique des liquides ne varie pas. En ralit, on observe
que la masse volumique des liquides varie trs faiblementavec la temprature et encore plus
faiblement avec la pression. Ainsi, la masse volumique de leau 0 vaut 1000 kg/m3 alors qu
100 elle vaut 959 kg/m3. Une telle prcision nest en gnral ncessaire que pour des calculs
trs prcis. On peut alors trouver la masse volumique des liquides en fonctions de la temprature
dans des tables.
1.2.2 Notion de Dbit
1.2.2.1 Dfinitions Units
En gnie chimique-gnie des procds, il est essentiel de pouvoir connatre la quantit de
matire qui circule lintrieur des diffrents lments du procd (conduites, pompes, rac-
teurs,. . .). Par consquent, il est ncessaire de dfinir la notion de dbit.
Considrons, par exemple, une conduite (voir figure1.2) dans laquelle circule un fluide. On
appellera section de passage la surface travers laquelle scoule le fluide (hachure sur la fi-
gure). Le dbit scoulant travers cette section de passage reprsentera alors la quantit de
matire (exprime par une masse ou un volume) qui passe chaque unit de temps (cest direchaque seconde, chaque minute, chaque heure,. . . selon lunit de temps choisie) travers cette
section. Si on choisi dexprimer la quantit de matire, alors on parlera de dbit massique. Si on
choisi dutiliser un volume on parlera dedbit volumique. On noteraQmle dbit massique etQVle dbit volumique.
Section de
passage
Qm
QV
FIG . 1.2 Fluide en coulement dans une conduite
Par consquent si une masse mde fluide traverse la section de passage pendant un intervalle
2La masse molaire est une caractristique propre chaque gaz. Elle ne dpend que de la composition du gaz et
peut tre trouve dans des tables.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 12
de tempst, on pourra calculer le dbit massiqueQmde la manire suivante :
Qm=
m
t (1.4)De mme, si un volumeVfranchit la section de passage pendant lintervalle de temps t, on
calculera le dbit volumiqueQVde la manire suivante :
QV=V
t(1.5)
Les units du systme international pour la masse tant le kg, pour le volume le m3 et pour
le temps la seconde (s), lunit du systme international pour le dbit massique sera le kg/s et
pour le dbit volumique le m3/s. Il est bien sr possible dexprimer masse, volume et temps dans
dautres units. Par exemple, si on choisi le gramme (g) comme unit de masse et la minute (min)comme unit de temps, le dbit massique sera donn en g/min. De mme, si on choisit le litre
(L) comme unit de volume et lheure (h) comme unit de temps, les dbits volumiques seront
exprims en L/h.
Exemple 4 : Dbit deau dans une installation sanitaire
On prlve pendant 1 minutes et 17 secondes de leau un robinet deau sanitaire
laide dun rcipient. On a ainsi prlev une masse de 12,33 kg. On a donc :
m=12,33 kg
t=1 min 17s=77 s
On peut par consquent calculer le dbit massique deau Qmdisponible sur ce ro-
binet :
Qm=m
t =
12,3377
=0,16 kg/s
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 13
Exemple 5 : Dans une unit de fabrication de benzne (qui est un hydrocarbure liquide temp-
rature ambiante) on stocke le produit final dans plusieurs cuves. Ces cuves parall-
lpipdiques ont pour dimensions : Longueur L=10 m
Largeur l=4 m
Hauteur h=2,5 m
Il faut une heure,12 minutes et 37 secondes pour remplir une cuve.
Il est ainsi possible de dterminer le dbit volumiqueQV Benzenede benzne produit.
Le volumeVde la cuve est :
V=L l h=10 4 2,5=100m3
Le temps de remplissage t vaut :
t=1 h 12 min 37 s=1 3600 + 12 60 + 37=4357 s
On peut alors dterminerQV Benzene:
QV Benzene=V
t =
1004357
=0,023m3/s
1.2.2.2 Relation entre dbit massique et dbit volumique
Nous avons vu quil existe une relation entre masse et volume (quation1.1) :
=m
V
Par consquent, on peut crire :m=V (1.6)
Or nous avons vu prcdemment que :
Qm=m
t
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 14
En remplaantmdans lexpression prcdente par la relation1.6,on obtient :
Qm= V
t
=V
t
(1.7)
Par consquent, on peut crire la relation suivante entre dbit massique et dbit volumique :
Qm=QV (1.8)
Ou encore :
QV=Qm
(1.9)
Exemple 6 : Si nous reprenons lexemple4,nous avions un dbit massique Qmde 0,16 kg/s. Il
est alors possible de calculer le dbit volumique. En effet, la masse volumique de
leau vaut :eau=1000kg/m
3
Il vient donc :
QV= Qm
eau=
0,161000
=0,16 103 m3/s
On peut exprimer ce dbit volumique dans une unit plus adapte, par exemple le
L/min. En effet :
1m3/s=1000L/s=60 1000=60000L/min
On a donc :
QV=0,16 103 60000=9,6L/min
1.2.2.3 Relation entre dbit et vitesse
Lorsquun fluide scoule, les particules qui le composent sont animes dune certaine vi-
tesse. Reprenons lexemple de lcoulement dun fluide au sein dune conduite, en supposant
que toutes les particules se trouvant dans la section de passage (hachure sur la figure 1.3(a))au tempst=0 sont animes de la vitesse 3 moyenne umoy. Aprs un intervalle de temps t, ces
particules vont se retrouver dans une section distante dune longueur l de la section initiale (voir
figure1.3(b)). On peut alors calculer cette longueurl :
l= umoy t (1.10)
La surface de la section de passage tantS, on peut alors calculer le volumeVde fluide qui est
3En mcanique des fluides, les vitesses sont en gnral notesuet nonv, pour viter la confusion avec le volume.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 15
umoy
S
(a) temps t=0
l
umoy
(b) temps t
FIG . 1.3 coulement dans une conduite au cours de lintervalle de temps t
pass travers la section de passage pendant lintervalle de temps t:
V=l S=umoy tS (1.11)
On peut donc aisment calculer le dbit volumique scoulant travers notre section de passage :
QV=V
t =
umoy tS
t =umoy S (1.12)
On a donc les relations suivantes entre dbit volumique et vitesse et entre dbit massique et
vitesse :
QV=umoy S (1.13)
Qm=umoy S (1.14)
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 16
Exemple 7 : Considrons une gaine de ventilation dans laquelle circule de lair. Cette gaine est
de section rectangulaire (largeur l=30 cm, hauteur h=50 cm). Le dbit volumique
dair circul est de 5400 m3/h. On dsire connatre la vitesse moyenne de lair dansla conduite.
h
l
S
QV
Il faut tout dabord calculer la section de passageSde lair :
S=l h=0,3 0,5=0,15m2
On peut maintenant calculer la vitesse du fluide sachant que QV=u S.
u=QV
S
=5400/3600
0,15
=10m/s
.
1.2.3 mesure des proprits
Les mthodes de mesures des diffrentes grandeurs vues prcdemment ncessitent, pour tre
comprises, dautres notions de mcanique des fluides. Par consquent, le chapitre6sera consacr
la mtrologie en mcanique des fluides.
1.3 Bilans de matire
1.3.1 Quest-ce quun bilan de matire ?
Au sein dun procd, on rencontre de nombreux organes dans lesquels circulent des fluides.
Ces organes peuvent comporter plusieurs entres et plusieurs sorties. Il est trs souvent nces-
saire dtablir des relations entre les quantits de matire sortantes et entrantes, cest dire plus
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 17
prcisment entre les dbits entrants et sortants. Effectuer un bilan de matireconsistera alors
recenser les diffrents flux de matire et en tablir une sorte de comptabilit. Les relations ainsi
tablies entre les diffrents dbits permettront alors dtablir des relations entre les diffrentesvitesses.
1.3.2 Comment crire un bilan de matire ?
1.3.2.1 Bilan de matire sur une conduite
Reprenons toujours lexemple dun conduite. Toutefois, celle-ci peut ne pas avoir une section
constante (voir figure1.4).
S1
S2
QV 1
Qm 1
u1
QV 2Q
m 2
u2
FIG . 1.4 Conduite avec changement de section
Si lon considre que lcoulement est bien tabli, cest dire quil a eu le temps de se
stabiliser, les dbits, les vitesses et les diffrentes proprits du fluide dans les diffrentes partiesde la conduite seront par consquent constants. On dit que le rgime permanentest tabli.
Considrons maintenant la masse m1de fluide traversant la section S1(petite section de la
conduite) pendant lintervalle de temps t. On souhaite dterminer la masse m2de fluide traversant
la sectionS2pendant ce mme intervalle de temps t. La masse de fluide compris entre les sections
S1etS2devra rester constante puisque le rgime permanent est tabli. Par consquent, si pendant
le tempstil rentre dans cette partie de la conduite une masse m1, il faut que la mme masse en
sorte pendant le mme temps. Si cette condition ntait pas vrifie, il y aurait une augmentation
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 18
ou une diminution de la masse de fluide contenu entre les deux sections. On a donc m1=m2. On
peut alors tablir la relation suivante entre les dbits :
Qm 1= m1t
= m2t
=Qm 2 (1.15)
On a donc la conservation du dbit massique quon crit :
Qm 1=Qm 2 (1.16)
Il parait maintenant lgitime de se poser la question de savoir si le dbit volumique se
conserve aussi. La relation1.6liant dbit massique et volumique, nous permet alors dcrire :
1 QV1=2 QV2 (1.17)
o1et 2sont les masses volumique dans les sections S1et S2de la conduite.
Dans le cas des fluides incompressibles, cest dire les liquides, la masse volumique reste
constante. Par consquent, on aura 1=2, et donc :
QV1=QV2 (1.18)
On peut donc dire quepour les liquides le dbit volumique se conserve.
Dans le cas des fluides compressibles, cest dire les gaz, il se peut que la pression et la
temprature du fluide soient diffrentes dans les sections S1 et S2 de la conduite. Or la masse
volumique dun gaz dpend de ces deux paramtres. On aura donc1=2, et par consquent :
QV1=QV2 (1.19)
On peut maintenant sinterroger sur la vitesse moyenne du fluide dans les sections 1 et 2. En
utilisant lquation1.14, on a :
1 u1 S1=2 u2 S2 (1.20)
Ce qui nous donne pour u2la vitesse dans la section S2:
u2=12
S1
S2u1 (1.21)
On voit alors bien que si les sectionsS1et S2sont diffrentes, ou si la masse volumique du fluide
varie, la vitesse dans les 2 sections seront diffrentes. Un cas particulier trs important est celui
desfluides incompressiblespour lesquels1=2. On a alors :
u2=S1
S2u1 (1.22)
La variation de vitesse est alors uniquement fonction du rapport des sections de passageS1etS2.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 20
1.3.2.2 Bilan de matire sur un embranchement
Considrons maintenant le cas dun embranchement sur une conduite (voir figure1.5). Deux
flux de matire traversent les sections S1et S2avec des dbits massiques respectifs Qm1et Qm2.Il se mlangent pour donner naissance au troisime flux qui traverse la section S3avec un dbit
massiqueQm 3.
Qm 1
Qm 2
Qm 3
S1
S2
S3
FIG . 1.5 Embranchement sur une conduite
En considrant toujours lcoulement en rgime permanent, on peut reproduire le raisonne-
ment prcdemment tabli pour la conduite. La quantit de matire comprise entre les sections
S1, S2et S3doit rester constante. Par consquent, pendant un mme intervalle de temps il doit
rentrer autant de matire dans cette zone (entre les trois surfaces) quil doit en sortir. Le dbit
massique net de matire entrant sera donc la somme des dbits entrant Qm 1et Qm2. On pourra
alors crire le bilan de matire suivant :
Qm 1+ Qm2= Qm 3 (1.23)De plus, sile fluide est incompressible, cest dire sil est un liquide, alors on pourra gale-
ment crire la conservation du dbit volumique :
QV1+ QV2=QV3 (1.24)
On pourra aussi tablir une relation entre les vitesses :
1 u1 S1+2 u2 S2=3 u3 S3 (1.25)
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 21
Et si on est en prsence dun liquide, ce qui implique que 1=2=3, alors on pourra crire :
u1 S1+ u2 S2= u3 S3 (1.26)
Exemple 9 : Considrons une conduite principale dans laquelle circule de lessence de densit
dessence=0,72. Le dbit massiqueQm 1dessence entrant dans la conduite est de 3
tonnes par heures. On ralise un piquage sur la conduite principale pour alimenter
une conduite secondaire cylindrique de 18 mm de diamtre. On sait que la vitesse
moyenne u2du fluide dans cette conduite secondaire est de 0,9 m/s. On souhaite
connatre le dbit volumiqueQV3sortant de la conduite principale.
Conduite principale
Piquage
Qm 1
S1
S2
S3
D2= 18 mm
u2
QV 3
Lessence tant un fluide incompressible, le bilan de matire revient crire laconservation du dbit volumique :
QV1=QV2+ QV3
Do :
QV3=QV1 QV2
On peut alors calculerQV1et QV2:
QV1= Qm 11
=3 1000/36000,72 1000
=1,16 103 m3/s
QV2= S2 u2= 0,0182
4 0,9=2,29 104 m3/s
On peut alors calculerQV3:
QV3=QV1 QV2=1,16 103 2,29 104 =9,28 104 m3/s
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 22
1.3.2.3 Cas gnralEn reprenant le raisonnement suivi pour les deux cas prcdemment tudis, on peut com-
prendre comment crire un bilan de matire sur tout systme fonctionnant en rgime permanent.
Ce systme peut tre un lment dun procd ou mme le procd dans son ensemble.
PROC D
Qm e 1
Qm e 2
Qm e n
...
...
...
Qm s 1
Qm s 2
Qm s n
...
...
...
FIG . 1.6 Bilan de matire sur un procd
Sur la figure1.6,on voit un procd reprsent par une botedans laquelle entrent et sortent
des flux de matire auxquels sont associs des dbits massiques (Qme pour les dbits entrants
et Qmspour les dbits sortants). Le bilan de matire consistera alors crire que la somme des
dbits massiques entrants est gale la somme des dbits massiques sortants :
Qme1+ Qme2+ + Qmen= Qms1+ Qms2+ + Qmsn (1.27)
De plus pour les liquides on pourra crire la conservation du dbit volumique puisque la
masse volumique dun liquide est constante :
QVe1+ QVe2+ + QVen= QV s1+ QV s2+ + QV sn (1.28)
1.4 Exercices complmentairesExercice 1 :
Un ptrolier possde une capacit de transport de 340000 tonnes de ptrole brut. Quelle volume
de ptrole peut donc contenir ce bateau ?
Donnes : dptrole=0,87
Exercice 2 :
Un plongeur remplit sa bouteille dun volume de 10 L avec de lair comprim 1,5 106 Pascal
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 23
(cest dire 15 bar). La temprature ambiante est de 20 C. Quelle masse dair a-t-il introduit
dans la bouteille ?
Donnes :Masse molaire de lairMair=29 g/molExercice 3 :
Un petit cours deau dans sa partie canalise possde une largeur de 3 m et une profondeur de
1,5 m. On mesure sa vitesse moyenne dcoulement um=0,1 m/s. Donnez le dbit volumique de
ce cours deau exprim en m3/h.
h=1,5 m
l=3 m
um
=0,1 m/s
Exercice 4 :
On rencontre le rseau de conduites dhuile suivant au sein dune usine.
1
2
3
4
5
On dsire connatre le dbit massique, le dbit volumique ainsi que la vitesse moyenne du fluide
en chaque point du rseau (les diamtresDde la conduite aux diffrents points sont donns).
Donnes :
dhuile=0,91 D1=40mm
Qm1=1kg/s D2=32mm
QV2 =7,2m3/h D3=50mm
Qm5=15 tonne/h D4=25mm
D5=50mm
Exercice 5 :
Une lance incendie a un dbit de 30 m3/h avec une conduite 18-65 (18 reprsente en mm le
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION - NOTIONS DE BASE 24
diamtre de lextrmit conique, cest--dire le diamtre de sortie de la lance et 65 reprsente en
mm, le diamtre du tuyau avant le rtrcissement). Calculez la vitesse de leau en sortie et en
entre de la lance.
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Chapitre 2
Le fluide au repos Statique des fluides
2.1 Quest-ce que la pression ?
2.1.1 Pression et Force
Les particules qui forment un fluide ne sont pas immobiles les unes par rapport aux autres.
Elles sont agites de faon dsordonne ce qui provoque de nombreux chocs entre elles et avec
les parois. Par ces chocs, le fluide applique une force sur les parois. Ces forces sont appeles
forces de pression.
S
F
FIG . 2.1 Force de pression applique sur une paroi
Considrons la figure2.1reprsentant une enceinte contenant un fluide. Ce fluide exerce donc
des forces sur chacune des parois. Ces forces sont diriges vers lextrieur de lenceinte et sont
perpendiculaires aux parois. Si on considre la face hachure de surface S, le fluide lui applique
une forceF. On peut ainsi dfinir la pression Pdu fluide comme le rapport de cette force Fet de
25
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 26
la surfaceS:
P=
F
S (2.1)Rciproquement, si on connat la pression du fluide, on peut calculer la force quil exerce sur
une paroi de la manire suivante :
F= P S (2.2)
La pression reprsente donc la force qui sexerce sur chaque unit de surface.
2.1.2 Pression et nergie
On a vu au paragraphe prcdent que la pression tait lexpression dune force exerce par
le fluide. Si le fluide est capable dexercer une force, cest quil possde une certaine nergie.
Si on appelleEprlnergie dun volumeVde fluide dont la pression estP, on a alors la relation
suivante :
Epr= P V (2.3)
La pression P reprsente donc aussi la quantit dnergie contenue dans chaque unit de
volume de fluide. On dit que cest unenergie volumique. On a bien pris soin de prciser lindice
prpour lnergie pour signifier quil sagit ici dune nergie de pression. On rencontrera par
la suite dautres types dnergies, comme par exemple lnergie cintique que le fluide acquiert
lorsque sa vitesse augmente.
2.1.3 Units de pression
Nous venons de voir quil tait possible de voir la pression comme une force par unit de
surface, et la fois comme une nergie par unit de volume. On pourra ainsi exprimer son unit
de deux manires diffrentes qui sont toutefois quivalentes.
Dans le systme international, lunit pour la force est le Newton, not N, et lunit de lasurface le mtre carr (m2). Par consquent lunit dans le systme international pour la pression
sera le N/m2. Lunit international dnergie est le Joules, not J, et celle pour le volume le mtre
cube (m3). On pourra donc aussi utiliser le J/m3 comme unit internationale de pression. En fait,
le N/m2 et le J/m3 sont une seule et mme unit, et sont par consquent quivalentes. Une unit
a donc t invente pour la pression : Cest le Pascal, not Pa. On a par consquent lquivalence
suivante :
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 27
1Pa=1N/m2 =1J/m3 (2.4)
Il existe de nombreuses autres units de pression couramment employes dans lindustrie. Letableau2.1en dresse une liste non-exhaustive.
TAB . 2.1 Units de pression usuelles
Unit Correspondance avec le Pa
bar 1 b=105 Pa
Atmosphre (atm) 1 atm=101325 Pa
Millimtre de mercure (mmHg) ou torr 1 mmHg=133,32 Pa
Centimtre de colonne deau (cmCE) 1 cmCE=98,06 Pa
Psi (Livres par pouce au carr) 1 Psi=6894,7 Pa
2.1.4 Notions de pressions absolue et relative
Nous vivons dans un monde qui est baign au sein dun fluide :lair. On dsigne parpression
atmosphriquela valeur de la pression de lair ambiant. On note la pression atmosphrique Patm.
Cette valeur (que lon mesure laide dun baromtre) fluctue en fonction des conditions mto-
rologiques et de la zone gographique. Toutefois, la valeur de la pression atmosphrique oscille
autour dune valeur moyenne quon appelle pression atmosphrique normale qui vaut 101325 Pa.
Lorsque la pression dun fluide est suprieure la pression atmosphrique on dit que ce
fluide estsous pression. Lorsque la pression du fluide est infrieure la pression atmosphrique,
on dit que le fluide est sous vide. Une pression nulle (P=0 Pa) correspond un vide parfait qui
correspond en fait une absence totale de particules (atomes ou molcules).
Comme nous le verrons plus loin, on fait souvent apparatre dans les calculs la diffrence
entre la pression Pdu fluide et la pression atmosphrique Patm. On dfinit ainsi une grandeurquon appellepression relative, que lon noteP, par :
P =PPatm (2.5)
Pour bien diffrencier Pet P, on appellera Pla pression absolue. Pet P sont toutes deux des
pressions et ont par consquent la mme unit. On trouve parfois la mention absou a cot de
lunit de pression pour signaler quil sagit dune pression absolue.
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 29
2.2.1.2 Variation sur lexprience de TORRICELLI
Lexprience de TORRICELLI (16081647) consiste en fait tudier linfluence qua la
hauteur dun orifice dans un rservoir sur la vitesse de vidange. Dans notre cas (voir figure2.3),on considre trois reservoirs identiques, dans lesquels la hauteur deau est la mme. On perce un
orifice de mme diamtre dans chacun des reservoir, mais des hauteurs diffrentes. On constate
que plus la hauteur de liquide au-dessus de lorifice est grande, plus le jet de liquide va loin. Par
consquent, plus la hauteur de liquide au-dessus de lorifice est grande, plus lnergie, donc la
pression, est importante. Ceci rejoint les constatations de lexprience du crve tonneau .
FIG . 2.3 Vidange dun rservoir travers un orifice de hauteur variable
2.2.2 Lquation de lhydrostatique2.2.2.1 Formulations mathmatiques
Nous avons vu que la pression variait avec la hauteur dans le liquide. Un point du fluide sera
donc reprsent par sonaltitudenotez. Laltitude est la coordonne du point sur un axe vertical
et dirig vers le haut. On fixera de manire arbitraire laltitude 0 (lorigine) sur cet axe. On
veillera tout de mme choisir une origine pratique comme par exemple le fond dun reservoir,
le centre dune pompe,...
Pour exprimer laide dune relation mathmatique lvolution de la pression au sein dun
fluide au repos, il convient de respecter scrupuleusement les hypothses suivantes : Le fluide doit tre aurepos. Un fluide en mouvement obit dautres lois que nous verrons
au chapitre3 ;
Le fluide doit tre homogne. On ne peut crire de relation quau sein dun seul et mme
liquide.
Si maintenant, on considre au sein de ce fluide homogne (voir figure2.4) et au repos, deux
points distincts 1 et 2, daltitudes respectives z1 et z2, alors on peut crire la relation suivante
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 30
1
2
z
z2
z1
z=0
FIG . 2.4 Points au sein dun fluide homogne et au repos
entre les pressionsP1et P2:
P1+f luid e g z1=P2+f luid e g z2 (2.6)
ogest lacclration de la pesanteur qui vaut 9,81 m/s2.
La relation2.6est appele quation de lhydrostatique. On peut aussi lcrire de la faon
suivante :
P2= P1+f luid e g (z1 z2) (2.7)Cette formulation permet de mieux comprendre le phnomne puisquen fait la pression au point
2 est gale la pression au point 1 plus le poids de la colonne de fluide se trouvant entre les
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 32
partout la mme.
Exemple 2 : Au sol la pression atmosphrique est de 101325 Pa. On considre que latmosphre
a une masse volumique constante gale 1,2 kg/m3. On souhaite connatre la pres-sion 1 km daltitude.
AppelonsA le point au sol et B le point a 1 km daltitude. On choisit logiquement
lorigine des altitudes au niveau du sol. On aura donc :
PA=101325Pa
zA=0m
zB=1km=1000m
En appliquant la loi de lhydrostatique, on aura :
PB= PA+airg (zA zB) =101325 + 1,2 9,81 (01000) =89553 Pa
La diminution de pression une altitude de 1 km est donc relativement faible. Or
en gnie des procds, les installations ne dpassent jamais quelques dizaines de
mtres de hauteur. La variation de pression due laltitude dans les gaz sera donc
ngligeable.
2.2.2.3 Interface entre deux fluides
Il est trs courant de rencontrer deux fluides en contact comme un gaz au-dessus dun liquide
(de lair au dessus de leau par exemple) ou un liquide lger surnageant sur un liquide plus lourd
avec lequel il nest pas miscible (du ptrole sur de leau de mer ou de leau sur du mercure
par exemple). Cette surface de contact est, pour un liquide au repos, plane et horizontale. On
lappelle aussiinterface.
On aura alors la proprit suivante :la pression est identique de part et dautre de linterface.
En effet, lorsque lon traverse linterface, on observe pas de discontinuit brutale de la pression.Ainsi, par exemple, la pression dun liquide sa surface ouverte latmosphre est la pression
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 33
atmosphrique.
Exemple 3 :
FLUIDE 1
FLUIDE 2
Interface A
B
C
zA
zB
zC
Si on considre la figure suivante, on peut voir linterface entre le fluide 1 et lefluide 2. Le point A est situ linterface des deux fluides. Par consquent, le point
A appartient la fois au fluide 1 et au fluide 2. La pressionPAest donc la mme que
lon considre que le point A fasse partie du fluide 1 ou du fluide 2. On peut ainsi
appliquer lquation de lhydrostatique au sein du fluide 1 entre les points A et B,
et aussi sur le fluide 2 entre les points A et C :
PA= PB+1 g (zB zA)
PA= PC+2 g (zCzA)
Par consquent, on aura la relation suivante entre PBet PC:
PB= PC+2 g (zCzA)1 g (zB zA)
On notera enfin la remarque suivante qui est trs importante : on ne peut pas crire
directement lquation de lhydrostatique entre les points B et C car ils appar-
tiennent des fluides diffrents. On nest donc pas en prsence dun fluide homo-
gne. Il ne faut surtout jamais crire la chose suivante :
PB+1 g zB= PC+2 g zC FAUX
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 34
2.2.3 Applications pratiques de la loi de lhydrostatique
Nous allons voir maintenant travers divers exemples quelques applications pratiques de
lquation de lhydrostatique.On appelle tube manomtrique un tube de faible diamtre rempli dun liquide et raccord
une conduite ou un reservoir. Il est possible de relier la hauteur du liquide dans le tube la
pression rgnant dans la conduite ou le reservoir. Ces tubes servent donc mesurer des pressions
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 35
(un manomtre est un appareil servant mesurer des pressions).
Exemple 4 :
zA
zB
A
B
Patm
P
On fixe une tube de faible diamtre ouvert latmosphre sur une conduite dans
laquelle circule un liquide de masse volumique
. Le liquide se stabilise au niveau
du point B dans le tube. On souhaite connatre la pressionPdu fluide circulant dans
la conduite.
Le point A est la limite entre la conduite et le tube, on a donc :
PA=P
De plus le point B est linterface entre latmosphre et le liquide, donc :
PB= Patm
Le liquide se trouvant dans le tube est homogne et au repos (contrairement au
liquide scoulant dans la conduite). Par consquent, on peut crire :
PA+g zA=PA+g zA
Do :
P=Patm+g (zB zA)
Plus la pression P est forte dans la conduite, plus la dnivellation (zBzA) est
grande, cest dire plus le liquide monte haut dans le tube. Linconvnient ma-jeur de ce genre de systme de mesure est quil ncessite souvent des tubes trs
hauts (il faut un tube de 10 m de haut pour mesurer une pression de 2 bar avec de
leau ! ! !). De plus, pour connatre exactementPA, il faut aussi connatre la pression
atmosphrique (elle se mesure avec un manomtre spcial appel baromtre).
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 36
Exemple 5 : Entre deux points dun procd, un mme fluide peut voir sa pression varier pour
diverses raisons (frottements, prsence dun pompe ou dune vanne,. . .). On cherchedonc couramment mesurer des diffrences de pression entre deux points dun
circuit.
mercure
eau
A
B
C
D
z
P1
P2
Un moyen simple est dutiliser untube en U. Dans cet exemple le tube est raccord
en deux points de la conduite, et est rempli de mercure, qui est un fluide plus dense
et qui ne se mlange pas leau. On cherche dterminer la diffrence P1 P2. On
pourra tout dabord crire :
P1 P2=PA PC
Puis on appliquera lquation de lhydrostatique sur les diffrentes parties du tube
en U : sur leau entre A et B, sur le mercure (not par son symbole chimique Hg)
entre B et D et sur leau entre D et C. On aura les relations suivantes :
PA= PB+eau g (zB zA)
PB=PD+Hg g (zD zB)
PD= PC+eau g (zCzD)
En regroupant ces trois relations on obtient :
PA=PC+eau g (zB zA) +Hg g (zD zB) +eau g (zCzD)
OrzA=zC, donc :
P1 P2=PA PC= (Hg eau) g (zD zB)
Ce type de systme est appel manomtre diffrentiel puisquil permet de mesurerune diffrence de pression.
Enfin, on notera quon ne peut crire directement lquation de lhydrostatique entre
A et C, puisque dans la conduite le fluide nest pas au repos et que dans le mano-
mtre il nest pas homogne (on a une alternance de plusieurs fluides).
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 38
donc :
mf lott eurg=liquide g Vimm. (2.9)
En remplaantmf lott eurpar f lott eurVf lott eur, on obtient :
f lott eurg Vf lott eur=liquide g Vimm. (2.10)
Le volume immerg Vimm. est toujours plus petit que le volume total du flotteur Vf lott eur. Par
consquent, pour que la prcdente relation soit satisfaite et que le flotteur flotte, il faut que la
masse volumique du liquide soit plus faible que celle du liquide.
f lott eur
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 39
EAU LIQUIDE
Vimm. 1
Vimm. 2
FIG . 2.6 Mesure de la masse volumique dun liquide laide dun flotteur
On constate que le flotteur de volume Vfet de masse volumiquefsenfonce dans leau dunvolumeVimm.1alors quil senfonce dun volumeVimm.2dans un liquide dont on dsire mesurer
la masse volumiqueliq .
Dans chacun des cas on peut crire la condition dquilibre du flotteur laide de lquation
2.10. On obtient ainsi :
eau g Vimm1=f g Vf
liq g Vimm2=f g Vf
On a donc :
eau g Vimm1=liq g Vimm2
Do :
liq =eau Vimm1
Vimm2
La masse volumique de leau tant connue, il suffit alors de mesurer les deux volumes immergs
pour connatre la masse volumique du liquide.
2.4 Exercices complmentaires
Exercice 1 :
Suite au naufrage dun ptrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lpave et reprer
dventuelles fuites. Lpave repose par 3000 m de fond.
1. Calculez la pression de leau cette profondeur.
2. Les hublots circulaires du sous-marin ont un diamtre de 20 cm. Quelle force de pression
exerce leau sur le hublot ?
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 40
3. Si un objet devait appliquer par son poids une telle force, quelle serait sa masse ?
Donnes : Patm=1 bar ;dmer=1,025
Exercice 2 :
Afin de mesurer la pression atmosphrique, on utilise un baromtre mercure. Celui-ci est consti-
tu dun tube en U partiellement rempli de mercure. Une des branches du U est ouverte lat-
mosphre. Lautre est ferme, et au-dessus du mercure on a ralis un vide parfait.
Mercure
Vide
parfait
Patm
h
On observe une diffrence de hauteurh=747 mm entre les deux branches du baromtre. Calculez
la pression atmosphrique.
Exercice 3 :
EAU AIR
h
1
2
Sur une conduite verticale transportant de leau, on fixe deux prises de pression relies un tube
en U renvers. Le haut du tube contient de lair. On observe une dnivellation h=20 cm entre
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CHAPITRE 2. LE FLUIDE AU REPOS STATIQUE DES FLUIDES 41
les deux branches. Calculez la diffrence de pression entre les sections 1 et 2 de la conduite. On
notera que le poitn 2 est situ 1 m au-dessus du point 1.
Exercice 4 :
M
d2=1,2
d1=1,6
h2
h1
h'R
Soit un rcipient contenant un mlange de liquides immiscibles constitu dun solvant chlor
de densit d1= 1,6 et dune solution dacide chlorhydrique de densit d2= 1,2. Le rcipient
communique au point M avec un tube indicateur de niveau par lintermdiaire dun robinet. Lors
dun premier remplissage du rcipient, le robinet tait ferm et le tube vide. Au bout dun certain
temps, le mlange a dcant : le solvant chlor se trouve dans la couche infrieure dpaisseur
h1=35 cm (compte partir de M). La solution chlorhydrique se trouve dans la couche suprieure
spaisseurh2=95 cm.
On ouvre le robinet R. Du solvant chlor monte dans le tube indicateur de niveau et se stabi-lise. Sa hauteur dans le tube (compte partir de M) est h.
Calculerh en fonction deh1et h2. Que peut-on conclure ?
Exercice 5 :
Un ptissier pointilleux souhaite raliser une le flottante parfaite . Selon lui, ce dessert est
bien russi lorsque la moiti seulement du volume des ufs la neige est immerg dans la crme
anglaise. Sachant que la densit des ufs la neige est de 0,63, quelle devra tre la densit de la
crme anglaise prpare par notre chef ?
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 43
Lunit dans le systme international pour lnergie volumique est par consquent le J/m3.
Nous avons toutefois vu au chapitre prcdent que cette unit tait quivalente au Pascal. En
effet, la pression est une nergie volumique particulire.
3.1.3 Les diffrentes formes dnergies dun fluide
Nous avons dj vu que la pression tait une forme dnergie volumique. Toutefois, le fluide
peut possder de lnergie autre que lnergie de pression.
3.1.3.1 Lnergie de pression
On rappellera que le fluide possde une certaine nergie de pression cause de lexistence
du mouvements dsordonns des particules qui le constitue et qui sentrechoquent et frappent les
parois de trs nombreuses fois chaque seconde.
Lnergie volumique de pression eprest la pression Pelle-mme. On aura donc la relation
suivante pour un volumeVde fluide :
epr= P=Epr
V (3.3)
Exemple 1 : Calculons lnergie de pressionEprdun volumeV=12 L dun fluide soumis une
pressionP=4,3 bar :
Epr=4,3 105 12 103 =5160J
3.1.3.2 Lnergie cintique
Considrons les observations exprimentales suivantes :
Un homme marche lentement et vient heurter une porte ferme. Cette dernire ne bouge
pas. Toutefois, sil court, la porte cde sous le choc. Ceci prouve quavec une grande vitesseson corps possde lnergie suffisante pour briser la porte, ce qui nest pas le cas si sa
vitesse est faible. Il existe donc une forme dnergie lie la vitesse dun corps. Cette
nergie est appele nergie cintique. On la notera Ec. Elle augmente lorsque la vitesse
augmente.
On lance avec une vitesse donne un gravillon sur une vitre. Celle-ci reste intacte. Si main-
tenant on lance avec la mme vitesse une brique sur la vitre, cette dernire va se briser. On
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 44
voit donc que lnergie cintique du projectile dpend de sa masse. Plus la masse est im-
portante, plus lnergie cintique est grande.
La physique montre quil existe la relation suivante entre lnergie cintique Ecdun corpsavec sa vitesseuet sa massem:
Ec=12m u2 (3.4)
Il est possible de dfinir une nergie cintique volumique, noteec, de la mme manire que
nous lavons fait pour lnergie de pression. Ainsi, si une masse moccupe un volume Vet est
anime dune vitesseu, alors on aura :
ec=Ec
V =
12m u
2
V =
12
m
V u2 (3.5)
Or, on sait que = m/V, donc :ec=
12u2 (3.6)
Exemple 2 : Une goutte deau de 0,5 mL chute une vitesse de 2 m/s. Ainsi, lnergie cintique
volumique ecde leau de la goutte sera :
ec=12eau u
2 =12 1000 22 =2000J/m3 =2000Pa
Et lnergie cintique de la goutte sera :
Ec=ec V=2000 0,5 106 =0,001J
3.1.3.3 lnergie potentielle de pesanteur
Soulevons un corps de massemjusqu une altitudez. Si on lche ce corps, il va se mettre en
mouvement et chuter. Toutefois, un corps ne peut bouger que sil possde une certaine nergie.
Par consquent, en levant le corps jusqu laltitudeznous lui avons fourni une certaine quantit
dnergie. Cette nergie est en fait due la force dattraction gravitationnelle (tout simplement lepoids). On appelle cette nergie : nergie potentielle de pesanteur(mais aussi nergie gravifique).
On la noteraEpet on noteraepsont nergie volumique associe.
Cette nergie dpendra donc de la masse m du corps, mais aussi de son altitudez. Lexpression
deEpest alors :
Ep= m g z (3.7)
On constate donc que plus la masse et laltitude sont importantes, plus lnergie potentielle
de pesanteur est grande.
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 45
On pourra alors trouver lexpression de eplnergie volumique de pesanteur :
ep=Ep/V=m g z
V (3.8)
Or, on rappelle que = m/V, donc :
ep=g z (3.9)
Il subsiste toutefois une ambigut dans la dfinition de lnergie potentielle de pesanteur. En
effet, dans lexpression deEpintervient laltitudez. Ainsi, deux personnes choisissant une origine
diffrente des altitudes (cest dire le point daltitude 0), calculeraient des valeurs diffrentes de
Eppour un corps dans la mme position.
Exemple 3 : Deux mcaniciens des fluides, mais aussi alpinistes, se retrouvent au sommet du
Mont-Blanc. Ils se demandent quelle est lnergie potentielle de leau qui se trouve
dans leur gourde. Ils savent que cette gourde contient 1 kg deau.
Le premier mcanicien des fluides dcide de choisir le sommet du Mont-blanc
comme origine des altitudes. Par consquent, pour lui laltitude de leau de la
gourde vaut 0 m. Ainsi, lnergie potentielle de pesanteur de leau vaut :
Ep= m g z=1 9,81 0=0J
Pour le second, lorigine se situe au niveau de la mer. Par consquent laltitude dela gourde est 4807 m. Ainsi lnergie potentielle de pesanteur de leau de la gourde
vaut :
Ep=m g z=1 9,81 4807=47157J
En fait, le choix de lorigine des altitudes importe peu. En effet, en mcanique des fluides, les
calculs que lon mne font toujours apparatre des diffrences dnergie potentielle. Toutefois, il
faudra toujours veiller garder, au cours des calculs la mme origine des altitudes. Si on cherche
par exemple, la diffrence dnergie potentielle Ep1 Ep2dune masse m entre les altitudesz1etz2, on aura :
Ep1 Ep2=m g z1 m g z2= m g (z1 z2) (3.10)
On voit bien ici que dans Ep1Ep2apparat z1z2, qui est la diffrence de hauteur entre
deux points, et qui donc ne dpend pas du choix de lorigine des altitudes.
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 46
3.1.4 Lnergie totale et lnergie volumique totale
Nous venons de voir quun fluide pouvait possder plusieurs sortes dnergies : de pression,
cintique et potentielle de pesanteur. On peut par consquent dfinir lnergie totale, note Et,qui sera la somme des trois nergies prcdentes :
Et=Epr+Ec+Ep (3.11)
On aura ainsi pour un volume Vdun fluide, de masse volumique , anim dune vitesse u,
sous une pressionPet situ une altitudez, lexpression suivante pour lnergie totaleEt:
Et=P V+12V u2 +V g z (3.12)
On pourra aussi dfinir une nergie totale volumique etde la faon suivante :
et=Et
V =
Epr+Ec+EpV
=epr+ ec+ ep (3.13)
On aura alors lexpression deeten fonction des proprits du fluide :
et= P +12 u2 + g z (3.14)
Lnergie totale volumique sexprime en J/m3 qui est quivalente au Pascal. Par consquent,
lnergie totale volumique sexprime dans la mme unit quune pression. Cest pour cela quon
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 47
appelle aussi lnergie totale volumique du fluide pression totale, que lon notePt.
Exemple 4 : Considrons un fluide de densit 0,92 circulant dans une conduite cylindrique de
diamtreD=32 mm, avec un dbit de 3 t/h. La conduite se trouve dans un atelier 10 m de hauteur. Lorigine des altitudes est choisie au niveau du sol. La pressionre-
lativedans la conduite est de 12 bar. On souhaite calculer lnergie totale volumique
et(ou pression totale) du fluide. La pression atmosphrique est de 100000 Pa.
Rappelons que :
et=P +12u2 +g z
On peut dfinir les diffrents termes :
P=Patm+ P =100000 + 12 105 =13 105 bar
z=10m
= deau=0,92 1000=920kg/m3
S=D2
4 =
0,0122
4 =1,13 104 m2
QV=Qm
=
3 1000/3600920
=9,06 104 m3/s
u= QVS
=9,06 10
4
1,13 104 =8,02m/s
On aura alors :
et=13 105 +
12 920 8,022 + 920 9,81 10=1,42 106 J/m3 (Pa)
3.1.5 Dbit dnergie
3.1.5.1 Dfinition et unit
Nous avons pu dfinir au chapitre 1 la notion de dbit. La matire traversant une section de
passage donne reprsente une certaine masse ce qui permet de dfinir le dbit massique. De
mme, la matire possde un certain volume, ce qui permet de dfinir le dbit volumique.
Nous avons vu prcdemment que les fluides possdaient aussi une certaine nergie totale
(compose de diffrents termes). Par consquent, lorsquun fluide scoule travers une section
de passage, chaque instant, une certaine quantit dnergie traverse cette section. On peut ainsi
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 48
dfinir la notion dedbit dnergie, que lon noteraQE. Le dbit dnergie sera donc la quantit
dnergie totale traversant une section donne pendant une unit de temps. Aussi, si la quantit
dnergieEtpasse travers cette section pendant lintervalle de temps t, on aura :
QE=Et
t (3.15)
Lunit dans le systme international pour le dbit dnergie sera par consquent le joule par
secondenot J/s. Le joule par seconde est aussi trs connu sous le nom de watt, not W. On a
1 W=1 J/s. On notera aussi que dans la vie courante le watt est utilis comme unit de puissance
(ampoules, chaudires,...). En ralit, le dbit dnergie est une puissance. En utilisant, le mot
dbit, nous insistons sur le fait que lon a de lnergie qui traverse une section donne.
3.1.5.2 Relation entre dbit dnergie et dbit volumique
Lquation3.15est toutefois peu pratique pour calculer le dbit dnergie scoulant travers
une section. En effet, la quantit dnergie Etest difficile dterminer. Cest pourquoi nous
cherchons une relation avec dautres grandeurs comme le dbit volumique.
Le volume Vpassant travers une section de passage donne pendant un intervalle de temps
tpeut tre dduit du dbit volumique de la manire suivante :
V=QV t (3.16)
Or, ce volume Vde fluide possde une nergie totale Etque lon peut calculer partir de
lnergie volumiqueet:
Et= V et= QV t et (3.17)
Le dbit dnergie totaleQEsexprimera alors de la manire suivante :
QE=QV t et
t =QV et (3.18)
Exemple 5 : On pourra dterminer le dbit dnergie totale passant travers la section de
lexemple4.On avait :et=1,42 10
6 Pa
QV=9,06 104 m3/s
Par consquent le dbit dnergie totale passant travers la section sera :
QE= QV et=9,06 104 1,42 106 =1286,5 W
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 49
3.1.6 La charge totale
Il est parfois pratique, comme nous le verrons au chapitre5,dexprimer lnergie volumique
totale du fluide sous une forme un peu diffrente. On dfinit pour cela une grandeur que lonappelle la charge totale du fluide. On la notera ht. Elle sobtient en divisant lnergie totale
volumique etdu fluide par le produitg:
ht= et
g (3.19)
On pourra alors exprimer la charge totalehten fonction des proprits du fluide de la manire
suivante :
ht= P
g+
u2
2 g+z (3.20)
La charge totale sera donc la somme de trois termes. Chacun deux sera reprsentatif dune
forme dnergie du fluide. On appellera alorscharge de pressionle termeP/g,charge cintique
le termeu2/2get charge gravitaire le terme z.
Lunit dans le systme international pour la charge sera le mtre (m). Pour prciser quil
sagit bien dun charge (et non simplement dune longueur), on prcise toujours quil sagit de
mtres de colonne liquide, abrgs mCL. Si on a affaire de leau (cas frquent) on parlera de
mtres de colonne deau, nots mCE.
Exemple 6 : Calculons la charge totale htdu fluide de lexemple4:
ht= P
g+
u2
2 g+z
ht= 13 105
920 9,81+
8,022
2 9,81+ 10=157,3mCL
3.2 Comment volue lnergie totale dans un fluide qui scoule ?3.2.1 La conservation de lnergie - Bilan dnergie
Lnergie totale dun fluide, de mme que sa masse, sont des grandeurs quon dit conserva-
tives, cest dire quelles ne peuvent ni apparatre ni disparatre de faon spontane.
Par consquent, lorsque le rgime permanent est tabli, la quantit dnergie totale contenue
lintrieur dune zone prcise dun procd reste constante. Dans cette zone (voir figure3.1)
peuvent arriver et repartir diffrents flux de matire. Cette matire contenant de lnergie, au sein
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 50
de la zone considre, on aura les dbits dnergie totale entrants QE e et sortants QE s. Il est
de plus possible de fournir de lnergie au fluide de cette zone laide dappareils comme des
pompes ou des compresseurs. On notera QE f ourni le dbit dnergie totale fourni au fluide parlappareil. Inversement, Le fluide de la zone peut fournir de lnergie un appareil comme une
turbine. On noteraQE cedele dbit dnergie totale cd par le fluide lappareil. Enfin, les frot-
tements subis par le fluide au cours de son coulement peuvent lui faire perdre de lnergie (cest
ce que lon appelle les pertes de charge. Voir chapitre4). Cette nergie dissipe par frottement
ne disparat pas, elle est transforme en nergie thermique, cest dire en chaleur. On appellera
QE f rott.ce dbit dnergie dissipe par frottement.
PROCDOU
PARTIE D'UNPROC D
QE e 1
QE e 2
QE e n
.. .
.. .
.. .
QE s 1
QE s 2
QE s n
.. .
.. .
.. .
QE cd
QE frott.
E fourni
FIG . 3.1 Bilan dnergie sur un procd
Pour que lnergie totale contenue dans cette zone reste constante, il faudra donc que la
somme des dbits dnergie entrants soit gale la somme des dbits dnergie sortants . Le
bilan dnergie totale sur cette zone scrira alors :
QE e1+ QE e2+ + QE e n+ QE f ourni=QE s 1+ QE s 2+ + QE s n+ QE cede+ QE f rott. (3.21)
Cette relation est toutefois trs gnrale. Dans de trs nombreux problmes, nous nous int-
resserons des systmes avec une seule entre et une seule sortie. Nous allons voir maintenant
diffrents cas importants.
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 51
3.2.2 Cas dun coulement sans apport ni perte dnergie
Dans de nombreux cas, on rencontre des systmes dans lesquels il ny a ni pompes, ni com-
presseurs, ni turbines, et o les frottements sont peu importants et peuvent donc tre ngligs.Cest le cas par exemple de conduites ou les vitesses de fluide sont faibles.
u1
u2
S1
S2
z
z1
z2
FIG . 3.2 Bilan dnergie entre 2 points dune conduite
Considrons la conduite de la figure3.2.Entre les sections 1 et 2, il ny a ni pompe ni turbine,
et on suppose que les frottements sont ngligeables. Le rgime permanent est suppos tre tabli.
Le bilan dnergie sur le volume compris entre ces deux sections pourra alors scrire :
QE1 =QE2 (3.22)
La quantit dnergie entrante est gale la quantit dnergie sortante. On peut dvelopper
les expressions des dbits dnergie de la manire suivante :
QV1 (P1+121 u1
2 +1 g z1) =QV2 (P2+122 u2
2 +2 g z2) (3.23)
Si nous avons affaire unfluide incompressible, alors sa masse volumique ne varie pas entre
les sections 1 et 2. Par consquent, on a 1= 2. De plus, on a la conservation du dbit volumique,
doncQV1 =QV2 . Le bilan dnergie scrit alors :
P1+12u1
2 +g z1=P2+12 u2
2 +g z2 (3.24)
On remarque ainsi que dans ce cas lnergie totale volumique du fluide se conserve. On a :
et1 =et2 (3.25)
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 52
La relation3.24est gnralement appele quation de Bernoulli. Elle ne sapplique quen
rgime permanentpour unfluide incompressible en labsence de pompe, de turbine et de frotte-
ments.Si on divise la relation3.24par le produitg, on obtient :
P1
g+
u12
2 g+z1=
P2
g+
u22
2 g+z2 (3.26)
On a donc conservation de la charge totale dans ce cas :
ht1 =ht2 (3.27)
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 53
Les relations3.24et3.26sont quivalentes et peuvent tre utilises indiffremment.
Exemple 7 : Considrons une conduite cylindrique horizontale avec un changement de section.
La section dentre a un diamtre D1=12 mm et la section de sortie un diamtreD2=32 mm. Le dbit volumique deau entrant QV1 vaut 1 m3/h etP1=4 bar.
D1
D2
z
z2=z
1
On souhaite dterminer la vitesse u2et la pressionP2de leau en sortie. On suppo-
sera que le rgime permanent est tabli et quil ny a pas de frottements.
Leau tant un fluide incompressible, on peut crire la conservation du dbit volu-
mique entre les sections 1 et 2 :
QV1 = QV2
OrQV2 =u2 S2, on a donc :
u2=QV1
S2=
QV1
D22/4
= 1/3600 0,0322/4
=0,345m/s
Pour comparaison, u1 = QV1/S1 =2,45 m/s. On voit ici que laugmentation de
section a entran une baisse de la vitesse du fluide, donc de son nergie cintique.
On peut crire la conservation de lnergie totale volumique (on aurait aussi pu
crire la conservation de la charge totale ht) :
et1=et2
P1+g z1+12u1
2 =P2+g z2+12u2
2
Or la conduite est horizontale, donc z1= z2. Par consquent, on peut crire :
P2= P1 +12 (u1
2u22) = 4105 +
12 (2,4520,3452) = 4,03105 Pa = 4,03 bar
La pression a donc augmente dans la section 2. Lnergie volumique de pression a
donc augment alors lnergie cintique a diminu. On a une conversion dnergiecintique en nergie de pression, mais lnergie totale du fluide reste constante.
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 54
3.2.3 Cas dun coulement avec apport dnergiePrenons maintenant le cas o entre deux sections 1 et 2 (voir figure 3.3) se trouve une machine
(une pompe par exemple) qui fournit un dbit dnergie QE f ourni au fluide. Ce dbit dnergie
reprsente la quantit dnergie (exprime en joules par exemple) fournie au fluide par la machine
chaque unit de temps ( chaque seconde par exemple). Ce dbit dnergie est aussi appele
puissance hydrauliqueet est note Ph
MACHINE
1 2
QV 2
, u2, P
2, z
2Q
V 1, u
1, P
1, z
1
QE fourni
FIG . 3.3 Bilan dnergie avec apport dnergie
Le systme tant en rgime permanent, on peut crire le bilan dnergie de la manire sui-vante :
QE1+ QE f ourni=QE2 (3.28)
On aura par consquent :
QV1 et1+ QE f ourni=QV2 et2 (3.29)
Dans le cas desfluides incompressibles, on auraQV1 = QV2 et 1=2. Par consquent, on
pourra crire :
et1+
QE f ourni
QV =et2 (3.30)Le terme QE f ourni/QVest particulirement important. Il reprsente la quantit dnergie four-
nie par la machine chaque unit de volume de fluide (chaque m 3 par exemple) passant entre
les sections 1 et 2. Cette grandeur a la mme unit que lnergie volumique, cest dire dans
le systme international le J/m3, en dautres termes le pascal (Pa). On appellera cette grandeur
diffrence de pression de la machineet on la notera Pmach.. On aura donc :
Pmach.=QE f ourni
QVou QE f ourni= Pmach. QV (3.31)
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 55
Si on dveloppe lquation3.30, on obtient alors :
P1+ g z1+
1
2u12
+
Pmach.= P2+g z2+
1
2u22
(3.32)
Cette formule nest toujours valable que pourun fluide incompressible en rgime stationnaire
et en labsence de frottement.
Il est aussi trs pratique dexprimer le bilan dnergie laide des charges totales ht. On
rappelle queht=et/g. Par consquent, lquation3.30scrira :
ht1+Pmach.
g =ht2 (3.33)
Le terme Pmach.
/ gest appelhauteur manomtrique totale de la machineet noteHMT.
Son unit est celle de la charge, cest dire le mtre de colonne liquide (mCL). Le bilan dnergie
pourra alors scrire de la manire suivante :
ht1+HMT=ht2 (3.34)
On crira trs souvent cette relation lorsque nous effectuerons des bilans sur des rseaux
munis dune pompe dans lesquels circulent des liquides. Lutilisation de la hauteur manomtrique
totale (HMT) peut paratre un choix curieux pour reprsenter lnergie fournie par une pompe.
Nous verrons en fait que ce choix est trs pratique et que les constructeurs caractrisent leur
pompe par leurH MT.
3.2.4 Cas dun coulement avec perte dnergie
Dans le cas prsent, cest le fluide qui va cder de lnergie. Soit cette nergie va tre cde
une machine (une turbine), soit cette nergie va tre dissipe cause des frottements et va tre
transforme en chaleur. On noteraQE cedele dbit dnergie cd la machine etQE f rott.le dbit
dnergie perdu par frottement.
3.2.4.1 Cas o lnergie est cde une machine
Sur la figure3.4,on voit un rseau avec une machine laquelle le fluide cde de lnergie.
On supposera quil ny a pas de frottements.
Le bilan dnergie en rgime permanent entre les section 1 et 2 scrira alors :
QE1= QE2+ QE cede (3.35)
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 56
MACHINE
1 2
QV 2
, u2, P
2, z
2Q
V 1, u
1, P
1, z
1
QE cd
FIG . 3.4 Bilan dnergie avec cession dnergie une machine
De mme que pour le cas dune machine apportant de lnergie au fluide, pour un liquide
incompressible on pourra dfinir une diffrence de pression de la machine Pmach.de la manire
suivante :
Pmach.=QE cede
QV(3.36)
On pourra alors rcrire le bilan dnergie de la manire suivante :
et1 =et2+Pmach. (3.37)
Si on dveloppe lexpression prcdente, on obtient alors :
P1+ g z1+12u1
2 =P2+g z2+12u2
2 +Pmach. (3.38)
On pourra aussi crire le bilan en terme de charge totale. On dfinira alors la charge absorbe
par la machine, que lon noteraHabs., de la manire suivante :
Habs.=Pmach.
g (3.39)
Le bilan de charge scrira alors :
ht1=ht2+Habs. (3.40)
3.2.4.2 Cas o lnergie est dissipe par frottement
Dans ce cas (voir figure3.5), on supposera quil ny a aucune machine sur le rseau, mais
quun dbit dnergieQE f rott.est perdu par le fluide cause des frottements.
Le bilan dnergie en rgime permanent entre les section 1 et 2 scrira alors :
QE1= QE2+ QE f rott. (3.41)
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 57
QV 2
, u2, P
2, z
2Q
V 1, u
1, P
1, z
1
QE frott.
FIG . 3.5 Bilan dnergie avec perte dnergie par frottement
Dans le cas des fluides incompressibles, on aura QV1 =QV2 . Le bilan dnergie scrira
alors :
et1= et2+
QE f rott.
QV (3.42)
On appellera perte de pression par frottementle rapport QE f rott./QV. Ce terme reprsente
en fait la quantit dnergie totale perdue cause des frottements par chaque unit de volume de
fluide (chaque m3) passant entre les sections 1 et 2. On notera cette grandeur Pf. On aura alors :
et1 =et2+Pf (3.43)
On peut rcrire ce bilan laide des charges totales :
ht1= ht2+P
fg (3.44)
Le terme Pf/ gest appel perte de charge du rseau et sera not J. Cette grandeur est
trs frquemment employe pour caractriser les pertes dnergies au sein des rseaux. La perte
de charge sexprime dans la mme unit que la charge totale, cest dire en mtre de colonne
liquide (mCL). Lcriture du bilan dnergie totale entre les sections 1 et 2 pourra alors scrire :
ht1 =ht2+J (3.45)
On se souviendra que ceci nest vrai que pour un fluide incompressible lorsque le rgime per-manent est tabli.Bien sr, la partie de rseau sur laquelle on applique ce bilan ne doit comporter
ni pompe ni turbine. On peut comprendre lquation3.45de la manire suivante : chaque m3 de
fluide entrant entre les sections 1 et 2 possde la charge ht1. Chaque m3 perd la charge Jentre
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 58
les sections 1 et 2. Il ressort de cette zone avec la chargeht2 =ht1 J.
Exemple 8 : Un bac de trs grande dimensions rempli deau et situ en altitude, alimente un
atelier 12 m en dessous du niveau du bac. Le bac est ouvert latmosphre. Alentre de latelier, on relve une pression relativede 0,7 bar dans la conduite. Le
dbit est de 6 m3/h. Le diamtre de la conduite est de 32 mm. On souhaite connatre
la perte de pression par frottement, la perte de charge et le dbit dnergie perdue
par frottement entre le bac et latelier. On supposera que le niveau du bac reste
constant.z
1
2
z1=10 m
z2=0 m
Patm
On a un fluide incompressible ; on suppose le rgime permanent tabli et il ny a
aucune machine sur le rseau compris entre les points 1 et 2. On peut donc crire
les bilans dnergie ou de charge de la manire suivante :
et1= et2+Pf ou Pf=et1 et2
ht1=ht2+J ou J= ht1 ht2
Pour calculer Jet Pf, il nous faut connatre P1, P2, z1, z2, u1 , u2 et . Le bac
tant ouvert latmosphre, on aP1=Patm. On connat la pression relative au point
2, par consquent P2= P2+ Patm. On choisit lorigine des altitudes au niveau de
latelier. Par consquent, z2=0 m et z1=1 m. On a suppos que la niveau du bac
restait constant ( cause de sa grande taille). Par consquent sa surface suprieure
ne bouge pas. On a doncu1=0 m/s. On calculeu2 partir du dbit volumique :
u2=QV2
S2=
QV2
D22/4
= 6/3600 0,032/4
=2,07m/s
on aura donc :
Pf= P1P2 + g(z1z2)+12 (u1
2u22) = Patm(P
2Patm)+ g(z1z2)
12 u2
Pf=0,7 105 + 1000 9,81 (100)
12 1000 2,072 =25958Pa(J/m3)
J=P1 P2
g +z1 z2+
u12 u2
2
2 g =
P2
g+z1 z2
u22
2 g
J= 0,7 105
1000 9,81+ 100
2.072
2 9,81=2,64mCL
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CHAPITRE 3. LE FLUIDE EN MOUVEMENT DYNAMIQUE DES FLUIDES 59
3.3 Exercices complmentaires
Exercice 1 :
Patm
h
On ralise la clbre exprience de TORRICELLI. Un rservoir de grande dimension est rempli
dun liquide de densitd=0,85. On perce un trou dans la paroi du rservoir une hauteur h=1 m
sous la surface suprieure du liquide. Le rservoir est tout dabord ouvert latmosphre dans sapartie suprieure.
1. crivez le bilan de charge totale entre la surface du liquide et lorifice de vidange.
2. Calculez la vitesse du liquide au niveau de cet orifice.
3. Le diamtre du trou est de 5 mm. Calculez les dbits volumique et massique de la fuite.
4. On ferme maintenant le haut du reservoir. On maintient la pression de lair au dessus du
liquide une pression de 2 bar. Recalculez la vitesse au niveau du trou.
Exercice 2 :
Le jet deau situ sur le lac de Genve peut monter jusqu une hauteur de 140 m. A sa base,le jet possde un diamtre de 110 mm. On supposera quil ny a pas de frottements entre le jet