MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES ANNALESmms2.ensmp.fr/mms_paris/annales/f_Annales.pdf · 2014. 1. 14. · MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES ANNALES. 77 ENSMP 1ère année, Mécanique

76

MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES

ANNALES

77ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides,23 juin 1997

Exercice :

On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles auxaxes x1, x2, x3 d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dansla direction x1, tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que lesfaces en direction x3 restent bloquées.1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du

tenseur des déformations dans le repère (x1,x2,x3), et écrire les relationscontrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope,avec un module d’Young E et un coefficient de Poissonν.

On est en déformations planes selon l’axex3, si bien que lescomposantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi queles termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale àl’axe x2 est libre, les composantes 12, 22, 23 du tenseur de contrainte sontnulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison desymétrie. Ceci conduit aux formes simples :

σ∼

=

σ11 0 00 0 00 0 σ33

ε∼

=

ε11 0 00 ε22 00 0 0

Les relations contrainte–déformation sont :

Eε11 = σ11−νσ33Eε22 =−νσ11−νσ33Eε33 =−νσ11+σ33

La conditionε33 = 0 permet d’écrire :

σ33 = νσ11

2. Définir la valeur de la contrainteσ11 pour laquelle le matériauatteindra la limite du domaine d’élasticité, pour chacun des cas suivants :– critère de Tresca, f(σ

∼) = maxi(σi)−minj(σ j)−σy

– critère de von Mises, f(σ∼) = J−σy

– critère de Drucker–Prager, f(σ∼) = J+(σy−αI1)/(1−α), en distinguant

ici le cas où la contrainteσ11 est en traction ou en compression.On rappelle que I1 désigne la trace du tenseur de contraintes, et que,si s

∼est le déviateur associé au tenseur de contrainte, J est défini par

J = ((3/2) s∼

: s∼)0.5

Les trois contraintes principales sontσ3 = 0 < σ2 = νσ11 < σ1 = σ11.La trace du tenseur de contrainte, son déviateur et le deuxième invariant decelui-ci s’écrivent respectivement

I1 = σ11+σ22+σ33 = (1+ν)σ11

s∼

= σ− I13

I∼

=σ113

2−ν 0 00 −1−ν 00 0 2ν−1

J =

√32

s∼

: s∼

= |σ11|√

1−ν+ν2

Ceci conduit aux résultats suivants :– pour le critère de Tresca :

f (σ∼) = |σ11|−σy σ11 =±σy

– pour le critère de von Mises :

f (σ∼) = |σ11|

√1−ν+ν2−σy σ11 =±

σy√1−ν+ν2

78– pour le critère de Drucker–Prager :

f (σ∼) = (1−α)J−αI1−σy

donc :(1−α)|σ11|

√1−ν+ν2 +ασ11(1+ν) = σy

σ11 =σy

(1−α)√

1−ν+ν2±α(1+ν)Dans cette dernière expression le signe(+) correspond à la traction, lesigne(−) à la compression.

3. On suppose que le matériau suit une loi de comportementviscoplastique à seuil, qui s’écrit sous chargement uniaxial de tractionsimple, en introduisant deux coefficients supplémentaires K et n pourcaractériser la viscosité du matériau, et en posant< x >= max(x,0) :

ε̇vp =〈

σ−σyK

〉nOn généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant lecritère de Tresca. On effectue une mise en charge rapide au cours de

laquelle la déformation viscoplastique est négligeable, jusqu’à un étatde contrainte tel queσ11 > σy. Quelle est la direction de l’écoulementviscoplastique ?

L’existence du potentiel viscoplastique fournit l’équation :

ε̇∼

vp =∂Φ∂ f

∂ f∂σ∼

qu’il faut appliquer avec le critère de Tresca :f (σ) = maxi, j |σi −σ j | et la

forme :Φ =K

n+1

(fK

)n+1d’où il vient :

ε̇∼

vp =(

fK

)n ∂ f∂σ∼

On a donc :

∂∂σ∼

=∂

∂σ1

1 0 00 0 00 0 0

+ ∂∂σ2

0 0 00 1 00 0 0

+ ∂∂σ3

0 0 00 0 00 0 1

En posant :σ1 > σ2 > σ3 le critère prendra la forme :f (σ∼) = |σ1−σ3|d’où :

ε̇∼

vp =(

f (σ∼)

K

)n1 0 00 0 00 0 −1

4. Calculer alors l’évolution du système (contrainte, déformation,déformation viscoplastique) dans les deux cas suivants :– on bloque la contrainteσ11 à la valeur maximale atteinteσm ;– on bloque la déformation totaleε11 à la valeur maximale atteinteεm.

On a :ε̇∼11 = ε̇∼

e11+ ε̇∼

vp11

0 = ε̇∼

e33+ ε̇∼

vp33

ε̇∼11 =

1E

σ̇∼11

− νE

σ̇∼33

+(

σ11−σyK

)n0 =

1E

σ̇33−νE

σ̇11−(

σ11−σyK

)ndonc :

ε̇11 =1−ν2

Eσ̇11+(1−ν)

(σ11−σy

K

)nOn suppose que la mise encharge est instantanée, si bien que, àt = 0 :

εs =1−ν

Eσs

79- si on bloque la contrainte à la valeurσm, on aσs = σm, et σ̇∼11 = 0 :

ε11 = εs+(1−ν)Z t

0

(σm−σy

K

)ndt

=1−ν

Eσm+(1−ν)

(σm−σy

K

)nt

Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec letemps.- si on bloque la déformation à la valeurεm, on aεs = εm, et ε̇11 = 0, si bienque :

σ̇11+1

1+ν

(σ11−σy

K

)n+0

L’exposantn est en général plus grand que 1. L’évolution deσ11 est doncdécrite par une fonction puissance :

σ11 = σy +K(

(σs−σy

K)1−n +

E(n−1)(1+ν)K

t

) 11−n

Avec :

σs =E

1−νεm

5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Misespour effectuer l’extension tridimensionnelle du modèle viscoplastique,et en supposant toujours que l’on effectue une mise en charge rapide,la contrainte atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domained’élasticité :– donner l’expression du tenseur vitesse de déformation viscoplastique à lafin de la mise en charge,– en supposant que la contrainteσ11 est maintenue constante, montrerque la contrainteσ33 tend asymptotiquement vers une limite que l’oncalculera. Quelles sont alors les composantes de la vitesse de déformationviscoplastique ?

Dans ce cas on a :

J(σ∼) =

√σ211+σ233−σ11σ33

2

∂J(σ∼)

∂σ∼

=3s∼

2J(σ∼)

=

=1√

2(σ211+σ233−σ11σ33)

2σ11−σ33 0 00 −σ11−σ33 00 0 2σ33−σ11

Les vitesses des déformations viscoplastiques :

ε̇vp11 =

√

σ211+σ233−σ11σ33

2 −σyK

n 2σ11−σ33√2(σ211+σ233−σ11σ33)

ε̇vp33 =

√

σ211+σ233−σ11σ33

2 −σyK

n 2σ33−σ11√2(σ211+σ233−σ11σ33)

La contrainteσ11 reste constante, donċσ11 = 0. La déformation dans ladirection 3 reste bloquée, on a :

ε̇33 = ε̇e33+ ε̇vp33 = 0

0 =1E

σ̇33+

√

σ211+σ233−σ11σ33

2 −σyK

n 2σ33−σ11√2(σ211+σ233−σ11σ33)

On remarque que, hors de la zone élastique :√

σ211+σ233−σ11σ33

2 −σyK

n 1√2(σ211+σ233−σ11σ33)

> 0 ∀σ33

80On suppose queσ33 a une valeur assymtotique, la condition nécessaire estdoncσ̇33 = 0. On obtient donc :

2σ33−σ11 = 0

ou :σ33 =

σ112

=σm2

Il est simple de vérifier que siσ33 = σm2 , on a σ̇33 = 0. Si σ33 <σm2 ,

on obtient σ̇33 > 0, ceci montre queσ33 augmente jusqu’à la valeurassymtotiqueiσ33 = σm2 . Cette valeur est ensuite impossible d’augmenter(carσ̇33 = 0), ni diminuer (car siσ33 diminue, on obtient à nouveauσ̇33 > 0,ceci est impossible).

81Cylindre en torsion

On considère un barreau prismatique d’axex3, de section circulaire(rayon R), et de longueurL dans le repère orthonormé (x1,x2,x3). Il est“suffisamment long” pour que les contraintes et les déformations soientindépendantes dex3.

Résolution en élasticitéLe matériau est supposé élastique isotrope, de module d’YoungE et decoefficient de Poissonν. Le barreau est encastré dans sa partie inférieure(plan (x3 = 0)), et il subit un champ de déplacementu, pour lequel lacomposante selon 3 est nulle, et :

u1 =−αx2x3 ; u2 = αx1x3

1. Calculer les composantes du tenseur de déformation.

ε13 =12(u1′3 +u3′1) =−

αx22

ε23 =12(u2′3 +u3′2) =

αx12

Les autres composantes du tenseur de déformation sont nulles.

2. Calculer les composantes du tenseur des contraintes.

σ13 = 2µε13 =−µαx2σ23 = 2µε23 = µαx1

Les autres composantes du tenseur de contraintes sont nulles.

3. Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées, en l’absence deforces de volume ; calculer le vecteur contrainte sur un point courant de lasection latérale, et sur un point courant de la section supérieure.

Les équations d’équilibre sont bien vérifiées, en l’absence de forces devolumes.Sur un point courant de la section latérale, le vecteur contrainte reste uneseule composante de cisaillement :

τ =√

σ213+σ223 = µα√

x21 +x22 = µαr

Le problème est indépendent selonx3, le vecteur contrainte de la sectionsupérieure reste inchangé par rapport à celui d’une section latérale.

4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que lemomentM autour de l’axe x3. En déduire que les champs obtenus sontbien la solution d’un problème de torsion autour de l’axe x3. Quelle est lasignification physique deα ?

La force résultante sur la section supérieure est alors un moment detorsion qui vaut :

M =Z

S(x1σ23−x2σ13)dS= 2π

Z R0

τr2dr =12

πµR4α

α représente l’angle de torsion unitaire, c’est-à-dire, pour une longueurd’unité, la section supérieure tourne d’un angleα par rapport à la sectioninférieure.

Résolution en plasticitéOn suppose que le matériau est élastique–parfaitement plastique, avec unelimite d’élasticité en traction simpleσy.

1. En supposant queσ13 et σ23 sont les deux seules composantes nonnulles du tenseur de contraintes, montrer que, pour le critère de von Misescomme pour celui de Tresca, on aura en régime plastique :

σ213+σ223 = τ

2y

82τy étant la limite d’élasticité en cisaillement pur.Exprimer pour chacun des deux critèresτy en fonction deσy.

En régime plastique, pour notre cas de cisaillement pur, on aura :

τ = τy

On obtient donc :σ213+σ

223 = τ

2y

Pour le critère de von Mises :

τy =σy√

3

Pour le critère de Tresca :τy =

σy2

2. Pour quelle valeurMe du momentM une zone plastique apparaît-elle dans la structure pour le critère de von Mises ? Quelle est salocalisation ?

La plasticité apparaît en premier sur le rayon extérieur, lorsqueµαR=

σy/√

3. On a donc à ce moment un angleβe =σyL√3µR

, un momentMe =

σy2√

3πR3.

3. Montrer que le problème d’obtention des contraintes dans la zoneplastique eststatiquement déterminé, c’est-à-dire que l’on peut obtenir lescontraintes dans la structure sans référence à la déformation.

En plasticité parfaite, la déformation ainsi que la contrainte sontimposées par le «noyau» qui reste élastique, elles sont toujours linéairesen fonction du rayon. A la frontière entre les zones élastique et plastique,le critère de plasticité est vérifié, on a donc :

τ = σθz =σy√

3

Dans la zone plastique, la contrainte reste constante :

τ =σy√

3

Le problème est doncstatiquement déterminé

4. Donner la forme du tenseur de vitesse de déformation plastique dansla zone plastique. Montrer, pour un point du barreau qui est d’abord enélasticité, puis en plasticité, que le trajet de déformation dans le planε13–ε23 est un segment de droite dont la pente reste inchangée lors du passageen plasticité.

On a le tenseur des contraintes :

σ∼

=

0 0 σ130 0 σ23σ13 σ23 0

Tenseur de direction d’écoulement :

n∼

=32

0 0 σ13/σy0 0 σ23/σyσ13/σy σ23/σy 0

Les champs de vitesse de déformation plastique :

ε̇p13 =3σ132σy

ṗ

ε̇p23 =3σ232σy

ṗ

Les champs de déformation totale s’écrivent :

ε13 =σ132µ

+3σ132σy

p

83

ε23 =σ232µ

+3σ232σy

p

Dans le planε13− ε23 pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité,nous avons toujours :

ε13ε23

=σ13σ23

=−x2x1

Cette dernière équation représente que le trajet de déformation est unsegment droite qui reste inchangée pour un point.

5. En déduire que le champ de déplacement utilisé en élasticité restevalide en élasto–plasticité, ce qui justifie en même temps l’hypothèseque seulesσ13 et σ23 sont non nulles. On a donc trouvé une solutionplastiquement admissible, compatible avec les conditions statiques etcinématiques imposées à la structure.

Avec un rapport constantε13/ε23 = −x2x1 pour un point qui passe del’élasticité en plasticité, le champ de déplacement utilisé reste encore valideen élasto-plasticité.

6. Calculer, pour une valeur donnée deα, la valeur c du rayon où setrouve la frontière entre la zone élastique et la zone plastique. Calculer lavaleur du moment obtenue en fonction de c.

A la frontière entre les zones élastique et plastique, le critère deplasticité est vérifié, on a donc :

τ = µαc =σy√

3

c =σy

µα√

3

On obtient le moment par intégration, soit :

M = 2πZ R

0τr2dr

=2πσy√

3

(Z c0

r3

cdr +

Z Rc

r2dr

)=

23

πσy√

3

(R3− c

3

4

)

7. Quelle est la valeur maximale théoriqueMM du moment que peutsupporter le barreau ?

La valeur limiteMM est obtenue pourc = 0 :

MM =23

πσy√

3R3 =

43

Me

8. On suppose qu’on effectue un chargement jusqu’à un momentMm,tel queMe < Mm < MM, puis que l’on ramène le moment à zéro. Tracer lavariation deτ (tel queτ2 = σ213+σ223) le long du rayon r (0 < r < R) pourle moment maximum et après retour à zéro. Risque-t-on de rencontrer denouveau le domaine plastique lors de la décharge ?

On suppose que la décharge s’effectue en élasticité et on le vérifieraaprès. Le résultat du problème est alors la superposition des deux cas : lechargement élastoplastique jusqu’àMm et la décharge élastique deMm àzéro.On obtient alors :

- si r = 0 τ = 0

- si r = c τ =σy√

3− 2cMm

πR4

- si r = R τ =σy√

3− 2Mm

πR3

84Notons que l’hypothèse de décharge élastique est vérifiée car :

τ(R) =σy√

3− 2Mm

πR3<

σy√3−

4σy3√

3=−

σy3√

3

On ne pourra pas rencontrer de nouveau la plasticité lors de la décharge.

9. Le type de préchargement décrit dans la question précédenteest utilisé industriel- lement pour traiter par exemple les arbres detransmission. Quel intérêt voyez-vous à un tel traitement en vue d’une

utilisation ultérieure ? Montrer qu’il est fondamental de mémoriser le sensde rotation lors de la précharge, faute de quoi on détériore la valeur dumoment élastique apparent au lieu de l’améliorer.

Après la décharge, si l’on continue un chargement dans le même sensavec le préchargement, le trajet reste encore en élasticité jusqu’àM = Mm >Me. Nous avons alors une valeur du moment élastique plus grande.Si l’on effectue le chargement dans le sens inverse avec celui dupréchargement, le trajet reste encore en élasticité jusqu’àM = Mm−πR3σy√

3< Me


Etude de la localisation dans une plaque

tn

x

x

1

2

Φx3

On applique sur un parallélipipède dont les arêtes sont respectivementparallèles aux axesx1, x2 et x3 de vecteurs directeurs (e1, e2, e3) un effortcaractérisé dans ce repère par un tenseur dont les seules composantes nonnulles sontσ11, σ22 et σ33.

On veut caractériser la direction des faces selon lesquelles risque des’établir une instabilité conduisant à la ruine par déformation excessive. Onsuppose que le matériau est rigide-plastique (pas de déformation élastique,limite d’élasticitéσ0), et qu’il obéit au critère de von Mises.

On suppose également que la plaque est entièrement plastifiée. Ladirection de la face recherchée est définie par le vecteurn, qui est situédans le plan (x1, x2), et qui fait un angleΦ avece2. Elle contient doncles vecteurst et e3, le repère (t,n) étant direct. Le problème se résumeà démontrer qu’il peut exister une discontinuité du champ de contraintelorsqu’on traverse une ligne définie par la directiont, c’est-à-dire que,connaissant complètement la solution d’un côté de la ligne définie part,il peut être impossible de déterminer complètement la solution de l’autrecôté.

1. Indiquer la forme du tenseur des contraintes dans le repère (t, n, e3).Ecrire les équations d’équilibre dans ce repère. (On introduira les notationsσnn, σtt , σnt et les dérivées partielles∂./∂n = .,n et ∂./∂t = .,t).

Dans le repère indiqué, les composantes du tenseur de contrainte sont :σtt σnt 0σnt σnn 00 0 σ33

avec, en notantc = cosΦ ets= sinΦ :

σtt = σ11c2 +σ22s2 σnn = σ11s2 +σ22c2 σnt = (σ11−σ22)cs

Les équations d’équilibre s’expriment alors :

σtt,t +σnt,n = 0 et σnt,t +σnn,n = 0

2. Indiquer quelles sont les dérivées partielles des composantes dutenseur des contraintes qui sont connues en un point de la face définie par(t, e3), et dire pourquoi on ne peut pas déterminerσtt,n = ∂σtt/∂n.

On peut suivre dans chaque matériau des lignes parallèles àt,donc définir les dérivées partielles par rapport àt. Grâce aux équationsprécédentes, la donnée deσtt,t et σnt,t permet de définirσnt,n et σnn,n aupassage de la frontière. Il n’y a par contre pas d’information particulièrepour connaîtreσtt,n.

3. En désignant par f la fonction qui définit le critère de von Mises, lacondition de plastification de l’ensemble de la plaque impose l’équation

86supplémentaire :∂ f/∂n = 0. Exprimer cette condition en fonction des

composantes du tenseur des contraintes dans (t,n), et montrer qu’ellepermet en général de déterminer la dérivée partielle manquante∂σtt/∂n, cequi clôt alors le problème (on suppose pour cela connus l’état de contrainted’un côté de la ligne t, et les dérivées partielles de la question (2)).

L’expression de l’invariant de von Mises dans le repère (t, n, e3) est :

J =(

12

[(σnn−σtt)2 +(σtt −σ33)2 +(σ33−σnn)2

]+3σ2nt +3σ

2t3 +3σ

23n

)1/2En annulant la dérivée partielle def par rapport àn, il vient :

f,n = (2σnn−σtt −σ33)σnn,n +(−σnn+2σtt −σ33)σtt,n +3σntσnt,n = 0

Cette équation permet de déterminerσtt,n, pourvu que le terme(−σnn +2σtt −σ33) soit non nul.

4. Il existe cependant des anglesΦ pour lesquels cette déterminationest impossible (le terme en facteur de∂σtt/∂n est nul), ce qui définitune direction npour laquelle une discontinuité est susceptible de prendrenaissance. Chercher l’angleΦ dans les conditions suivantes :

a. état de traction simple, seule contrainte non nulleσ11 ;

b. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement de type cisaillementσ11 =−σ22 ;

c. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement biaxialσ11 = σ22 ;a. Commeσtt = σ11c2 et σnn = σ11s2, la condition de la question

précédente s’écrit ici :2σ11c2−σ11s2 = 0

L’angle Φ vaut donc :

Φ = atan(√

2)≈ 54,73◦

b. Commeσtt = σ11(c2−s2) et σnn = σ11(s2−c2) il vient :

3σ11(c2−s2) = 0

L’angle Φ vaut donc 45◦.c. Commeσtt = σnn = σ11 il vient :

σ11 = 0

Il n’y a pas de localisation dans ce cas.

5. On suppose maintenant que l’on se trouve en déformation plane(ε33 = 0). Trouver dans ce cas l’expression deσ33 en fonction deσ11 etσ22. Trouver l’angleΦ dans les trois cas suivants :

a. état de traction plane,σ22 reste nulle,σ11 non nulle ;

b. chargement de type cisaillementσ11 =−σ22 ;

c. chargement biaxialσ11 = σ22 ;

Comme le matériau est rigide-plastique, la condition de déformationplane impose que la composante 33 de la vitesse de déformation plastiquesoit nulle. Elle est proportionnelle à la composante correspondante dudéviateur, soit à(2σ33−σtt −σnn). On a doncσ33 = (σtt +σnn)/2.Le terme à annuler devient alors simplement(3σtt−3σnn), on cherche doncà réaliserσtt = σnn.a. En traction plane,σ22 restant nulle, il faut assurerσ11s2 = σ11c2, ontrouve doncΦ = 45◦b. En cisaillement, il faut assurerσ11(s2− c2) = σ11(c2− s2), on trouvedonc de nouveauΦ = 45◦.c. Sous chargement biaxial, on aσnn = σtt = σ11, toutes les directions sont

87susceptibles de voir apparaître une localisation.

6. Apporter un commentaire sur les possibilités de trouver des facettessusceptibles de présenter le phénomène de localisation pour des directions

de nqui ne seraient pas dans le plan (e1,e2).

88Description du phénomène d’endommagement en fluage

Sous contrainte constante, lors d’un chargement de fluage, lesmatériaux se dégradent. Ainsi des cavités croissent aux joints de grain ou àl’intérieur des grains pour les matériaux métalliques, ce qui a un effet surles propriétés mécaniques. On cherche ici à étudier un modèle élémentairequi représente cet endommagement sous la forme d’une variable scalaire,D, qui évolue à partir de O, dans l’état initial libre de défauts, jusqu’à 1lorsque le matériau se rompt.

Étude en traction uniaxiale :1. On suppose que l’évolution de l’endommagement est donnée parl’équation différentielle suivante, où̇D désigne la dérivée temporelle et oùA et r sont des coefficients dépendants du matériau :

Ḋ =(

σA(1−D)

)rIntégrer cette équation entre le temps t= 0 et un instant courant t, pourlequel l’endommagement prend la valeur D, la valeur initiale étant D= 0.La période de mise en charge est considérée comme négligeable, si bien queσ = σ0 pour t > 0. En déduire l’expression du temps à rupture tt , lorsqueD = 1. Donner l’expression de la variation de D en fonction du rapportt/tt .

L’équation se met sous la forme :

(1−D)rdD =(σ0

A

)rdt

Pour un instant courant, en tenant compte des conditions initiales, il vient :

1r +1

(1− (1−D)r+1

)=(σ0

A

)rt

PourD = 1, on obtient le temps à rupture,tt , dans l’équation précédente :

tt =1

r +1

(σ0A

)−r

On obtient ainsi l’expression demandée pourD :

D = 1−(

1− ttt

)1/(r+1)

2. L’endommagement augmente la vitesse de déformation viscoplas-tique. Ainsi un modèle de Norton est-il classiquement modifié de la façonsuivante pour tenir compte de la présence d’endommagement (on prendraK > 0, n> 1, r > 1) :

ε̇p =(

σK(1−D)

)nK et n étant les coefficients matériau caractérisant la viscosité. Enremplaçant l’endommagement par son expression dans la questionprécédente, calculer l’évolution de la déformation viscoplastique enfonction du temps. Montrer que l’on peut avec ce modèle représenter lefluage tertiaire, au cours duquel la vitesse de déformation viscoplastiqueaugmente au cours du temps. Comment varie la valeur de la déformationviscoplastique à rupture en fonction de la charge appliquée ? Discuter savaleur en fonction des valeurs respectives des exposants n et r.

Le terme (1 − D) situé au dénominateur diminue au cours duchargement, si bien que la vitesse de déformation augmente, représentantainsi du fluage tertiaire. La déformation viscoplastique s’obtient commesolution de l’équation :

dεp =(σ0

K

)n(1− t

tt

)−n/(r+1)dt

89L’intégration de cette équation présente un cas particulier sin= r +1. Dansce cas, il vient :

εp =1

r +1

(σ0K

)n(σ0A

)−rLn

(1

1− t/tt

)Dans les autres cas, l’intégration donne :

εp =1

r +1−n

(σ0K

)n(σ0A

)−r [1−(

(1− ttt

))(r+1−n)/(r+1)]

La déformation à ruptureεpR s’obtient en faisantt = tt dans la formuleprécédente :

εpR =Ar

Knσn−r0

r +n−1On distingue alors les cas suivants :

– si r 6 n−1, la déformation à rupture théorique est infinie ;– si n−1 < r < n, la déformation à rupture théorique diminue avec le

niveau de contrainte ;– si r = n, la déformation à rupture théorique vautAr/Kn quel que soit

le niveau de contrainte ;– si n < r, la déformation à rupture théorique augmente avec le niveau

de contrainte.

3. On effectue maintenant un chargement à deux niveaux : premierniveau à une contrainteσ1 pendant un temps t1, puis second niveau à unecontrainteσ2 pendant un temps t2. En appelant respectivement tc1 et tc2 lestemps à rupture sous une contrainteσ1 et σ2, trouver la valeur de la duréede vie résiduelle t2 en fonction de t1, tc1 et tc2, la variable D étant continuelors du changement de niveau de chargement.

A la fin du premier chargement, l’état d’endommagement est tel que :

1− (1−D1)r+1 =t1tc1

En appelantτ le temps passé au second niveau, une intégration à partir deD1 fournit la valeur de l’endommagement au second niveau :

(1−D1)r+1− (1−D)r+1 =τ

tc2

Pour obtenir la relation demandée, il suffit alors d’affecter la valeur 1

à l’endommagementD, et d’ajouter membre à membre les expressions

caractéristiques de chaque niveau. On trouve la classique relation de cumullinéaire des endommagements au deux niveaux :

t1tc1

+t2tc2

= 1

Étude en multiaxial

4. En fonction du matériau que l’on considère, la variable critique pourgénéraliser aux chargements tridimensionnels le modèle précédent peutêtre le critère de von Mises (ou Tresca), la contrainte normale principale,ou une combinaison de ces variables avec la pression hydrostatique.Comparer ces différentes hypothèses en traçant les courbes qui donneraientalors un endommagement équivalent dans le plan (σ11–σ22), en supposantque toutes les autres composantes sont nulles, avec les valeurs équivalentessuivantes :

a. critère de von Mises ;b. critère de Tresca ;c. plus grande contrainte normale principale,σP1 ;d. le premier invariant du tenseur de contrainte, I1 = traceσ∼ .

90

σ11

σ22

� σyσy

σy

� σy

σ11

σ22

σy

σy

von Mises et Tresca σP1 et I1

5. Ces variables sont-elles indépendantes ? On choisit commecontrainte équivalente en 3D la forme suivante, où k est un paramètrematériau (avec0 6 k < 1/2) :

σeq = (1−k)J(σ∼)+k I1et où J(σ

∼) désigne l’invariant de von Mises. L’endommagement, qui est

toujours considéré comme scalaire, évolue maintenant en tridimensionnelselon (A>0) :

Ḋ =(

σeqA(1−D)

)rDéterminer en fonction de la valeur choisie pour k les valeurs descontraintes qui produisent le même endommagement qu’une contrainteσ0 en traction simple, dans le cas de :

a. cisaillement purσ12 = τ ;b. compression simpleσ11 = σc < 0.Les valeurs précédentes ne sont pas indépendantes. En se limitant àJ

et I1, on obtient les valeurs équivalentes suivantes :– en torsion pure (I1=0 ; J = τ

√3 ; σeq = τ

√3, donc la valeur deτ

cherchée vaut :τ = σ0/√

3– en compression simple (I1 = σ ; J = |σ| = −σ, σeq = −σ(1− 2k),

d’où : σc =−σ0/(1−2k)

6. On effectue un chargement de fluage cyclique uniaxial, au coursduquel la contrainte passe en un temps négligeable de la valeurσ0 àla valeur −σ0. Indiquer ce qui se passe qualitativement au cours descycles successifs. Comparer l’expression de l’évolution de la déformationviscoplastique pendant un temps t0 à σ0 et pendant le même temps à−σ0pour un état initial identique, et en tirer une valeur approchée de l’évolutionde la déformation viscoplastique au cours de l’essai. Quelle la valeur dutemps à rupture ?

On introduit la notion de cycle, période de tempsT = 2t0correspondant au chargement défini ci-dessus. En négligeant l’évolutionde l’endommagement au cours du cycle, on peut facilement évaluerl’évolution de la déformation viscoplastique au cours d’un cycle, pour unevaleurD = DN, en ajoutant la contribution (positive) du tempst0 passé àσ0et celle (négative) du tempst0 passé à−σ0 :

∆εpN = t0(

σ0K(1−DN)

))n(1− (1−2k)n)

Il est par ailleurs possible d’évaluer la valeur deDN au cycleN à partir dela valeurDN−1 atteinte au cycleN−1 en cumulant, au cours d’un cycle,les contributions de chaque période de chargement. L’endommagementévolue alors entreDN−1 et DN, selon la formule suivante, dans laquelleon a introduittt , temps à rupture en fluage pur sous la contrainteσ0, et tc,temps à rupture en fluage pur sous la contrainte−σ0. On a :

(1−DN−1)r+1− (1−DN)r+1 =t0tt

+t0tc

En sommant maintenant le résultat de tous les cycles précédant le cycleN,il vient :

(1−DN)r+1 = 1−Nt0tr

avec1tr

=1tt

+1tc

L’incrément de déformation plastique par cycle varie donc en fonction du

nombre de cycles, en suivant l’expression :

91∆εpN∆N

= t0(σ0

K

)n(1− (1−2k)n)

(1− Nt0

tr

)−n/(r+1)Après intégration en termes de cycles, on trouve une formule tout à faitsemblable à la formule obtenue sous charge constante :

εpN = tr(σ0

K

)n(1− (1−2k)n)

(1− Nt0

tr

)1−n/(r +1)

Il y a donc une dérive vers les déformations positives dès lors que lecoefficientk est positif (il doit aussi rester inférieur à 0.5).

Étude en relaxation uniaxiale

En relaxation, on complète les équations qui définissent le modèle parla relation de décomposition de la déformation :

ε =σ

E(1−D)+ εp

et l’on écrit que la déformation totale est maintenue constante à une valeur

ε0, avec comme conditions initialesσ = σ0 = Eε0, D = 0 et εp0 = 0.

7. Quelle est l’évolution de la déformation plastique pendant larelaxation ? Quelle est la valeur limite ? Même question pour la contrainte.

Pendant la relaxation, la déformation plastique augmente et lacontrainte diminue. Comme il n’y a pas de seuil dans la loi decomportement, la valeur asymptotique de la contrainte est 0, et celle dela déformation viscoplastiqueε0.

8. Caractériser l’évolution de l’endommagement. La rupture peut-ellese produire pendant la relaxation ? Discuter.

92

ENSMP, 1èreannée, Mécanique des matériaux solides, 15 juin 1999

Plasticité biaxiale

On étudie l’influence du trajet de chargement sur la déformationd’une plaque, dont le plan est normal à l’axe 3. La plaque est constituéed’un matériau élastique-parfaitement plastique, de limite d’élasticitéσy,et de caractéristiques élastiquesE (module de Young) etν (coefficientde Poisson). Le critère de plasticité est celui de von Mises, défini par lafonction de chargef (σ

∼) = J(σ

∼)−σy, avecJ(σ∼) = (1.5s∼ : s∼)

0.5, s∼

désignantle déviateur deσ

∼. Dans un premier temps, on appliquera une traction simple

dans la direction 1, puis, à partir de l’état obtenu, on appliquera une tractionbiaxiale, à la fois en direction 1 et 2. Le résultat obtenu sera comparé avecle résultat d’un chargement qui amène directement au même état final.Dans l’ensemble du problème, tous les cisaillements sont supposés nuls, demême que la contrainteσ33. On notera simplementσ1 et σ2 les contraintesprincipales en direction 1 et 2,ε1 et ε2 les déformations correspondantes.Pour les applications numériques, on choisira les valeurs suivantes :

E = 100000 MPa ; ν = 0,3 ; σy = 500 MPa

1. On effectue d’abord une traction simple à déformation imposée dansla direction 1, la déformationε1 variant de 0 à 0.02. On suppose que lacontrainteσ2 reste nulle. Tracer dans ce cas :- la courbe de traction donnantσ1 fonction deε1 ;- la courbe définissantε2 en fonction deε1, en distinguant bien la partieélastique et la partie plastique ; quelle est la valeur deε2 en fin de traction ?- la forme de la surface de charge dans le planσ1−σ2, en positionnant lepoint représentatif du régime plastique observé en traction simple.

La courbe de traction donnantσ1 fonction deε1 :

0

100

200

300

400

500

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

cont

rain

te

deformation

sig11

La courbe définissantε2 en fonction deε1 :

-0.01

-0.009

-0.008

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02

defo

rmat

ion

e22

deformation e11

e22

A la plasticité commençante, on a :

εe11 =σ11E

=500

100000= 0.005

εe22 =−νε11 =−0.0015

Tenseur déviatorique :

s∼

=σ3

2 0 00 −1 00 0 −1

93Tenseur de direction d’écoulement :

n∼

=12

2 0 00 −1 00 0 −1

On trouve ainsi :

εp22 =−12

εp11 =−0.0075

En fin de traction, on a donc :

ε22 =−0.0015−0.0075=−0.009

Dans le planσ1 − σ2, la surface de charge du critère von Mises sereprésente :

σy

σy

σ

σ

y

y

2

1

−σ

−σ

Dont le point représentatif du régime plastique observé en traction simpleest (σy,0).

2. A partir de l’état de fin de traction simple, on effectue maintenantun trajet de chargement dans lequel les deux déformationsε1 et ε2 sontimposées, la contrainteσ3 restant nulle. On suppose dans les questions

suivantes que l’écoulement plastique n’est pas stoppé lors du changement

de trajet de chargement. Ecrire alors le déviateur de contraintes, puis lescomposantes n1 et n2 de la normale à la surface de charge, définie parn∼

= ∂ f/∂σ∼.

Tenseur de contrainte :

σ∼

=

σ11 0 00 σ22 00 0 0

Déviateur de contraintes :

s∼

=13

2σ11−σ22 0 00 2σ22−σ11 00 0 −σ11−σ22

J(σ) =

√σ211+σ222−σ11σ22 = σy

n1 =2σ11−σ22

2√

σ211+σ222−σ11σ22=

2σ11−σ222σy

n2 =2σ22−σ11

2√

σ211+σ222−σ11σ22=

2σ22−σ112σy

3. Ecrire la vitesse de déformation élastique. Exprimer alors la vitessede déformation totale en fonction des vitesses de contraintes, de n1 et n2, etdu multiplicateur plastiquėλ.

Vitesse de déformation élastique :

ε̇e11 =σ̇11E− ν

Eσ̇22

ε̇e22 =σ̇22E− ν

Eσ̇11

94Vitesse de déformation totale :

ε̇11 =σ̇11E− ν

Eσ̇22+n1λ̇

ε̇22 =σ̇22E− ν

Eσ̇11+n2λ̇

4 Ecrire la condition de cohérence, montrer qu’elle impose la directionde la vitesse de contrainte. Comparer les orientations de la vitesse decontrainte et de la vitesse de déformation plastique, commenter.

Condition de cohérencėf = 0 s’écrit :

2σ̇11σ11+2σ̇22σ22− σ̇11σ22− σ̇22σ11 = 0

Cette dernière équation nous donne :

σ̇11σ̇22

=2σ11−σ222σ22−σ11

ou :σ̇11σ̇22

=ε̇p11ε̇p22

5. On choisit d’appliquer la même vitesse de déformation sur les deuxcomposantes 1 et 2 :ε̇1 = ε̇2 = ε̇. Montrer en combinant les équations endéformation totale de la question 3 que l’on peut faire apparaître deuxéquations faisant intervenir respectivement le multiplicateur plastique, lasomme et la différence des contraintesσ1 et σ2 et de leurs dérivées.

En combinant les équations en déformation totale de la question 3, onobtient :

1+νE

(σ̇11− σ̇22)+3λ̇2σy

(σ11−σ22) = 0

1−νE

(σ̇11+ σ̇22)+λ̇σy

(σ11+σ22) = 2ε̇

6. Montrer que l’on peut exprimer les contraintes admissibles au coursde l’écoulement sous forme paramétrique, en introduisant l’angleφ, telque :

σ1 +σ2 = 2σycosφ ; σ2−σ1 = (2/√

3)σysinφ

A quels états de contrainte particuliers correspondent les points obtenusrespectivement pourφ =−π/3, φ =−π/6, φ = 0?

On a le critère de von Mises :√σ211+σ222−σ11σ22 = σy

Où l’on peut réécrire sous forme :

(σ11+σ22)2

4σ2y+

3(σ11−σ22)2

4σ2y= 1

Il est donc possible de paramétrer l’écoulement en introduisant l’angleφ,tel que :

sinφ =σ22−σ11(2/

√3)σy

cosφ =σ11+σ22

2σyPourφ = π/3, on obtient :σ22 = σy, σ11 = 0, c’est le cas traction simpledans la direction 2.Pour φ = π/6, on obtient : σ22 = 2σ11 = 2/

√3σy, c’est le cas de

cisaillement pur.Pourφ = 0, on obtient :σ22 = σ11 = σy, c’est le cas traction biaxiale.

7. Ecrire l’équation différentielle reliantφ et le multiplicateurplastique

(on utilisera les résultats de I.6). En utilisant le fait que le multiplicateur

95plastique est égal à la vitesse de déformation plastique cumulée, exprimerl’évolution de cette dernière sur le trajet de chargementε̇1 = ε̇2 = ε̇.Trouver la valeur deφ lorsque la déformation cumulée est égale à 0.01.En déduire que le point représentatif du chargement devient rapidementstationaire. Où se situe ce point dans le plan des contraintesσ1−σ2 ?

Nous avons :σ2−σ1 = (2/

√3)σysinφ

σ̇2− σ̇1 = (2/√

3)σycosφφ̇

En les remplaçant dans la première équation de la question 5 et en utilisantle fait queλ̇ = ṗ, on obtient :

ṗ =−2(1+ν)σy

3Ecosφsinφ

φ̇

p =−2(1+ν)σy

3Eln| sinφ

sin(π/3)|

En appliquant les valeurs numériques, on obtient :

φ = 0.086

Ce dernier nous donne : sinφ = 0.086 et cosφ = 0.996 Et :

σ22−σ11 = 0.099σy

σ22+σ11 = 1.992σyOn obtient donc :σ22= 1.045σy = 522.5 etσ11= 0.947σy = 473.5 Le pointreprésentatif du chargement devient rapidement stable au point (σy,σy), cequi corresponde àφ = 0.

8. En utilisant le point précédent, qui définit donc l’état de contrainte,donner l’expression des composantes 1 et 2 du tenseur de déformationplastique en fonction de la déformation courante au cours du trajet dechargement biaxial. Quelle est la valeur obtenue pourε1 = 0,029;ε2 = 0(ce résultat n’est qu’approché car l’état de contrainte utilisé n’est en faitatteint qu’asymptotiquement) ?

On a approxivement :σ1 = σ2 = σy et :

εp1−0.015= ε1−0.02+νσyE

εp2 +0.0075= ε2 +0.009−σyE

Pourε1 = 0,029;ε2 = 0, on obtient :

εp1 = 0.0255

εp2 =−0.0035

9. On s’intéresse maintenant à l’état final obtenu dans un trajet dechargement "direct", à déformation imposée, la valeur finale étantε1 =0.029;ε2 = 0, en conservant toujoursσ3 = 0. Quel est le point représentatifsur la surface de charge ? En déduire la valeur des déformationsplastiques atteintes en fin de chargement (la question I.9 peut être traitéeindépendamment du reste du problème, même remarque qu’en I.8).

96II. Estimation de la zone plastique en pointe de fissure

Le champ de contrainte calculé en élasticité présente une singularitéen pointe de fissure, caractérisée par exemple par les équations deWestergaard. Il est donc vraisemblable que le matériau à proximité de lapointe se plastifie. On étudie ici quelques cas très simples, qui pemettentde se faire une idée de la forme des zones plastiques qui se développent.On utilisera les équations correspondant au mode I, données en page34 du polycopié. On suppose par ailleurs que le matériau est élastique-parfaitement plastique, et qu’il obéit au critère de Tresca.

II.1 Exprimer les valeurs deσ11, σ22 et σ12 pour des anglesθ de0 etπ/2. Les équations pour le mode I sont les suivantes :

σ11 =KI√2πr

cosθ2

(1−sinθ

2sin

3θ2

)

σ22 =KI√2πr

cosθ2

(1+sin

θ2

sin3θ2

)σ12 =

KI√2πr

cosθ2

sinθ2

cos3θ2

Les valeurs deσ11, σ22 et σ12 pour les anglesθ = 0 etθ = π/2 sont :

θ = 0−→ σ11 =KI√2πr

, σ22 =KI√2πr

, σ12 = 0

θ =π2−→ σ11 =

KI4√

πr, σ22 =

34

KI√πr

, σ12 =−KI

4√

πr

II.2 Pour un chargement extérieur donné, caractérisé par KI , définir ladistance r(θ) pour laquelle la valeur de la limite d’élasticité est atteinte,pour les deux valeurs de la question précédente, dans le cas où l’on esten contrainte plane. Cela donne une approximation de la forme de la zoneplastique. Pourquoi cette méthode n’est elle qu’approchée ?

La taille de la zone plastique est souvent approchée par la condition :σ22 = σY, donc, dans le cas oùθ = 0 :

KI√2πr

= σY

si bien que :

ρT = r =12π

(KIσY

)2Pourθ = π/2 il vient alors :

34

KI√πr

= σY =⇒ ρT =9

16π

(KIσY

)2Cette approche souffre d’un double défaut. Avant tout, on écrit unecondition de plasticité unidimensionnelle alors que l’état de contrainte estmultiaxial. En second lieu, en présence d’un comportement parfaitementplastique, il faut prendre en compte la majoration de la contrainte parσy dans la zone plastique, qui rend la solution élastique caduque. Uneredistribution de contrainte est alors nécessaire pour préserver l’équilibredans la section.

σ

Y

ρ ρT I

σ

ρT

97L’hypothèse choisie pour effectuer la redistribution consiste simple-

ment à translater selonX la courbe deσ22 déterminée en élasticité.ρTZ0

(KI√2πx

−σY)

dx=

ρT+XZρT

(σY−

KI√2πx

)dx+

∞ZρT

(KI√

2π(x+X)− KI√

2πx

)dx

On obtient successivement :

X =12π

(KIσY

)2= ρT

et le rayon de la zone plastique :

ρI =1π

(KIσY

)2

II.3 Dans le cas où la structure est en déformation plane selon ladirection 3, donner la forme de la contrainteσ33 en fonction deσ11 et σ22.En déduire les valeurs r(θ) pour les deux angles précédents. Expliquerqualitativement pourquoi il est normal de trouver une taille de zoneplastique plus petite dans ce dernier cas.

Dans un chargement de type déformation plane, la composanteσ33 peutêtre déterminée par :

σ33 = ν(σ11+σ22)

σ33(0) = ν√

2KI√πr

; σ33(π

2

)= ν

KI√πr

II.4 En se replaçant maintenant en contrainte plane, on imaginequ’après avoir chargé jusqu’à une valeur KI , on relâche le chargementjusqu’en 0. Montrer que dans ce cas il existe une zone plastique derecompression au voisinage de la pointe, dont la taille est environ le quartde la zone plastique de traction.

Lors du déchargement, on applique un champ élastique tel que la forcerésultante finale corresponde au nouveau chargement. Après une phasepurement élastique, on observe de l’écoulement plastique de compressiondans une petite zone au voisinage de la pointe de fissure.

A’ B’

E

CD

A B

Stre

ss

Displacement

Yealdstress

0

Cet écoulement plastique en compression est présent dans la zone pourlaquelle la décharge dépasse−2σy. On peut l’évaluer à partir des valeursrespectives des facteurs d’intensité de contrainte min et max. Dans le casprésent, la contrainte min est nulle, si bien que∆σ = σM. La taille de lazone plastique est obtenue par :

σ22 = 2σyKI√2πr

= 2σY

d’où :

r =18π

(KIσY

)2= ρcomp ρcomp=

ρT4


Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure

��

��

��

�

��

On considère une fissure de longueur2a située en−a≤ x1 ≤ a sur l’axex1 dans une plaque carrée comprise entre±b en x1 et x2, avec a� b. Onapplique une contrainte normaleσM en x2 = ±b. Dans ces conditions, lefacteur d’intensité de contrainte de la fissure (mode I) est KI = σM

√πa. La

structure étant symétrique par rapport aux axes, on étudiera la pointe defissure située en x1 = a.

1. On rappelle que dans ce cas, le champ de contrainteσ22 au voisinagede la pointe de fissure est équivalent à KI/

√2πr, r étant la distance à la

pointe. Commenter.

L’analyse du champ de contrainte en pointe de fissure conduit àl’écriture d’un champ biaxial comportant trois composantesσ11, σ22, σ12dans le cas d’une plaque, que l’on supposera donc chargée en contraintesplanes. On traitera le problème de la zone plastique en réduisant leproblème à un problème unidimensionnel sur la composanteσ22, sur l’axe

x2. Dans ce cas, l’expression générale

σ22 =KI√2πr

cosθ2

(1+sin

θ2

sin3θ2

)devient(θ = 0) :

σ22 =KI√2πr

2. Une pratique classique pour évaluer la taille de la zone plastique enpointe consiste à comparer l’expression précédente àσY, en supposant lematériau élastique–parfaitement plastique. Quelle valeur obtient-on pourρT , rayon de zone plastique pour une contrainte appliquéeσM ?

Dans le cas d’un modèle parfaitement plastique, il vient :

σ22 = σY

avec :

σ22 =KI√2πr

si bien que :

r = ρT =12π

(KIσY

)2

3. Si on ramène le chargement extérieur à zéro, il se développe auvoisinage de la pointe une zone où l’on replastifieen compression. Indiqueren suivant toujours la même approche simplifiée la dimensionρC de cettezone en fonction deρT .

Lors du déchargement, on suit le trajet indiqué sur la figure ci-dessous,et on atteint la plasticité en compression lorsque la variation de la contraintelocale est de 2σy.

99

A’ B’

E

CD

A B

Stre

ss

Displacement

Yealdstress

0

La zone plastique correspondante est donc définie par :

KI√2πρC

= 2σY

soit :

r =18π

(KIσY

)2= ρcomp

et :ρC =

ρT4

4. La méthode précédente ne conserve pas la résultante selon x2. Lavéritable zone plastique en traction a donc une tailleρI plus grande queρT . On reprend donc la question 2, en utilisant maintenant un autre modèleapproché (Irwin), qui consiste à compenser la troncature de la distributionélastique en supposant que le niveau de contrainte entreρT etρI est encore

σY, et que le champ élastique est reporté au-delà deρI (figure ci-dessous).

Montrer que l’on trouve alors :

ρI =1π

(KIσY

)2

��

��

��

� ��

�� !"��$#�%'&(��)*!"�

En plus de ne considérer que l’aspect unixial, la méthode précédentedétruit l’équilibre, au sens où elle se contente de tronquer un champ obtenuen élasticité. Il est posible d’améliorer l’évaluation en distribuant la forceainsi négligée en avant de la pointe de la fissure. Cette force correspond à lapartie deσ22 qui dépasseσy pourx 6 ρT . La construction d’Irwin consisteà former alors un profil de contrainte modifié, suivant la figure ci-dessus,dans lequel la taille de la zone plastique est maintenantρI . On suppose alors

100que la distribution élastique deσ22 est translaté d’une quantitéX selonx1,et que l’aire au dessus deσy est compensée par celle qui sépare le nouveauprofil de la courbe originale. On écrit donc :ρTR0

(KI√2πx−σY

)dx =

ρT+XRρT

(σY− KI√2πx

)dx +

∞RρT

(KI√

2π(x+X)− KI√

2πx

)dx

D’où on tire :

X =12π

(KIσY

)2= ρT

La nouvelle évaluation de la zone plastique est donc :

ρI =1π

(KIσY

)2

5. Indiquer les faiblesses des méthodes précédentes.

Comme indiqué précédemment, la faiblesse principale est le traitementuniaxial du problème.

6. On veut maintenant étudier la propagation de fissure en fatigue, avecun chargement extérieur appliqué entre 0 etσM. On suppose que la loi depropagation définit la vitesse d’avancée de fissure par cycle par :

dadN

= C(KI −KS)η

où KI = σM√

πa, KS = kσY√πρ (0 < k < 1) et oùρ est la tailleactuellede

la zone plastique (définition de Irwin). Simplifier l’expression précédenteen introduisant a,σM et σY.

L’expression de la vitesse de propagation en chargement cyclique est :

dadN

= C(KI −KS)η

En tenant compte du fait queKI = σM√

πa, KS = kσY√πρ etρ = 1π

(KIσY

)2,

il vient :

KS = kσY

√π

1π

(KIσY

)2= kKI

dadN

= C(KI (1−k))η = C(σM√

πa(1−k))η

7. Pour une longueur de fissure telle que x1 = a1, on effectue unesurcharge àσ∗M, avecσM < σ∗M < σY. Donner la nouvelle valeur de lazone plastique en a1, que l’on noteraρ∗.

Pour une longueur de fissurea1 et une contrainte appliquée deσ∗M, lenouveau facteur d’intensité de contrainte estK∗I et la nouvelle taille de zoneplastiqueρ∗, tels que :

K∗I = σ∗M√

πa1

ρ∗ =1π

(K∗IσY

)2

8. On reprend ensuite le chargement initial entre 0 etσM. Montrer que,si la surcharge a été suffisamment élevée, la fissure ne progresse plus.

La nouvelle loi de propagation fait intervenir un nouveau seuilK∗Scalculé à partir deρ∗ :

dadN

= C(KI −K∗S)η

avec :K∗s = kσy

√πρ∗ = kσ∗M

√a1

Il n’y a pas de propagation de fissure ena = a1 si KI 6 K∗S, soit :

KI = σM√

πa1 6 K∗S = kσ∗M√

a1

soit :σM 6 kσ∗M

101

9. Indiquer pourquoi la propagation est ralentie dans tous les autrescas. Indiquer la longueur de fissure a2 pour laquelle la fissure retrouverasa vitesse initiale, et la loi de propagation entre a1 et a2. Dessiner l’allurede la courbe a(N).

La vitesse de progression de fissure est définie par :

dadN

= C(σM√

πa−kσ∗M√

πa1)

Elle est donc plus faible que la vitesse de référence pour une longueura > a1 donnée. Un modèle raisonnable consiste à supposer que la zone

plastique reste à la dimension créée par la surcharge, tant que la zone

plastique «normale» attachée au chargement courant n’a pas atteint cettevaleur. La fissure traverse donc à petite vitesse la zone plastique élargie. Onretouve laš vitesse de progression normale pour une longueur de fissurea2telle que :

σM√

πa2−kσ∗M√

πa1 = σM(1−k)√

πa2

soit :

a2 = a1σ∗MσM

102Contraintes développées lors de l’oxydation

nickel

oxyde naissant

x1

x2

x3

On cherche à caractériser l’état de contrainte qui se développe dans unecouche d’oxyde de nickel (NiO) en formation sur un substrat de nickel (Ni).Cette couche se forme par diffusion de nickel, l’oxyde se formant sur lasurface extérieure. L’oxyde apparaît sous forme d’îlots, qui se rassemblentensuite pour former une couche de plus en plus compacte.On choisit pour modéliser ce système très complexe une représentation trèssimplifiée constituée de 2 couchesindépendantessans contact en directionx3.La coucheS(substrat) est élastoviscoplastique, on note respectivementσ

∼S,

ε∼

S, ε∼

vS les tenseurs des contraintes, des déformations et des déformationsviscoplastiques.La couchenaissante Nest constituée de vide et deNiO. On considérerason comportementhomogénéisé, caractérisé par une fraction volumiquez de NiO, qui permettra de définir les propriétés mécaniques (élasticité,viscoplasticité).On y note respectivementσ

∼N, ε

∼N, ε

∼vN les tenseurs des contraintes, des

déformations et des déformations viscoplastiques.Par ailleurs, lors de la transformation de nickel en oxyde, il apparaît unchangement de volume, représenté par un tenseurε

∼cp dans la coucheN.

L’élasticité est supposée isotrope dans chaque couche, les modules deYoung et coefficients de Poisson valant respectivement (ES, νS), et (EN,νN). Les lois viscoplastiques s’écrivent :

ε̇∼

vI =(

J(σI∼

)−σYIKI

)nI ∂J(σI∼

)∂σI

∼

en introduisant les six coefficients dépendant du matériauσYI, KI , nI ,avecI = N,S, J(σI

∼) étant formé à partir du déviateurs

∼I de σ

∼I , suivant :

J(σI∼

) =√

(3/2)s∼

I : s∼

I . On définit par ailleurs la forme deε∼

cp par la

diagonale(zεt ,zεt ,zεz).1. On suppose que les tenseursε

∼S et ε

∼N sont diagonaux, que leurs

composantes 11 et 22 sont égales, et que leurs composantes 33 sontlibres. Justifier ce choix, et montrer alors que le tenseur de contrainteest biaxial dans chaque matériau. Ecrire dans chaque couche l’expressionde la composante 11 de la déformation en fonction des contraintes, de ladéformation viscoplastique et de la dilatation de changement de phase dansla couche N.

Le problème est symétrique dans les sens 11 et 22, donc sescomposantes sont égales. Les termes 12 n’interviennent pas car il n’y a pasde cisaillement entre ces deux directions. La couche d’oxydation est trèsmince, il est donc raisonnable d’enlever les composantes de cisaillement13 et 23. Tenseur de déformation de la coucheN :

ε∼

N =

εN11 0 00 εN11 00 0 εN33

Tenseur de contrainte de la coucheN :

σ∼

N =

σN11 0 00 σN11 00 0 0

103

εN11 =1−νEN

σN11+zεt + εvN11

ou :

ε̇N11 =1−νEN

σ̇N11+ ε̇vN11

2. L’épaisseur de la couche N, eN, est très inférieure à celle du substrat,eS (par exemple eN/eS < 10−4). Montrer que, dans ce cas, le niveau decontrainte dans le substrat va rester très faible, et que les déformationslatéralesε11 et ε22 sont également négligeables.

Dans le cas où la couche de dépôt est très mince par rapport à cellede substrat, la couche de substrat devient très "rigide". Les déformationslatérales sont donc considérées négligeables.

ε11 = ε22 = 0

3. On s’intéresse maintenant à la couche N. On note respectivementpar (Eo,νo) et (Ko,noσo) les coefficients élastiques et viscoplastiques dumatériau massif (z= 1). On suppose que la couche se met en placeinstantanément. Evaluer le niveau de contrainte résultant en appliquantla déformation de transformationεt dans le plan (x1,x2).

Dans ce cas la déformation viscoplastique est négligée car la coucheNse met en place instantanément. On a :

εN11 =1−νEN

σN11+zεt = 0

σN11 = σs =−zεtEN

1−ν=−εt E

N

1−ν

4. Le développement de la déformation viscoplastique permet ensuitela relaxation des contraintes. Donner l’expression de l’évolution obtenueen fonction du temps, et préciser la valeur asymptotique.

En prenant la déformation viscoplastique, on a :

ε̇N11 =1−νEN

σ̇N11+ ε̇vN11

Tenseur de contrainte de la coucheN :

σ∼

N =

σN11 0 00 σN11 00 0 0

On a doncσ1 = σN11, σ2 = σ

N11, σ3 = 0, et :

J(σ∼) =

|σN11|√2

∂J(σ∼)

∂σ∼

=3s∼

2J(σ∼)=

σN11√2|σN11|

1 0 00 1 00 0 −2

= signe(σN11)√2|

1 0 00 1 00 0 −2

Donc :

ε̇vN11 =

|σN11|√2 −σyNKN

nN signe(σN11)Nous avons donc :

1−νEN

σ̇N11+

|σN11|√2 −σyNKN

nN signe(σN11) = 0si n = 1 :

(1−ν)KN√

2EN

(ln||σ11|−

√2σy√

2KN|− ln|

|σs|−√

2σy√2KN

|

)= t

104

|σ11|=√

2σy +(|σs|−√

2σy)exp(−tEN

(1−ν)KN√

2)

|σ11|=√

2σy +(|εt |EN

1−ν−√

2σy)exp(−tEN

(1−ν)KN√

2)

si n > 1 :

−(1−ν)KN√

2EN(n−1)

1( |σ11|−

√2σy√

2KN)n−1

− 1

( |σs|−√

2σy√2KN

)n−1

= t

|σ11|=√

2σy +√

2KN

((

√2KN

|σs|−√

2σy)n−1− EN(n−1)

(1−ν)√

2KNt

)− 1n−1La valeur asymtotique obtenue quandt → ∞, on a donc :

|σ11|=√

2σy

Dans ce cas les paramètres sont constants :EN = Eo, KN = Ko.

5. Les états de contraintes résultant de l’approche précédenten’étant pas réalistes, on cherche maintenant à représenter plus finementles phénomènes, en suivant l’évolution des contraintes au cours de laconstruction de la couche. On suppose pour cela que les différentscoefficients varient de la manière suivante :

Si z<12

: EN = 0 , KN = 0 (contrainte nulle)

Si z≥ 12

: EN = Eo(2z−1) , KN = Ko(2z−1)

Dont z est une fonction du temps t : z= z(t). On considérera par ailleurs

que le coefficient de Poisson vaut toujoursνo, et queσY est nul. Ecriredans ce cas les expressions définissant l’évolution de la contrainte pendantle développement de la couche. Caractériser la valeur maximale atteinte etla valeur asymptotique.

Dans ce cas, on examine pourz> 1/2. On a donc :

1−νEo(2z−1)

σ̇N11+

|σN11|√2 −σyNKo(2z−1)

nN signe(σN11) = 0. Si n = 1, on obtient le résultat :

|σ11|=√

2σy−√

2σyexp(−tEo

(1−ν)Ko√

2)

La contrainte augmente à la valeur asymtotique|σ11|=√

2σy.Si n > 1 :

1−νEo

σ̇N11+1

(2z−1)nN−1

|σN11|√2 −σyNKo

nN signe(σN11) = 0

−(1−ν)Ko√

2Eo(n−1)

1( |σ11|−

√2σy√

2Ko)n−1

− 1

(−√

2σy√2Ko

)n−1

= Z dt(2z(t)−1)nN−1

|σ11|=√

2σy+√

2Ko

((√

2Ko−√

2σy)n−1− Eo(n−1)

(1−ν)√

2Ko

Zdt

(2z(t)−1)nN−1

)− 1n−1


Les trois exercices proposés ci-dessous sont parfaitement indépendants. A l’intérieur de chacun, certaines questions sont également indépendantes.Tous les documents sont autorisés.

Mécanique de la rupture

Une fissure de surface de profondeur 3 mm a été détectée (au niveau dupoint sur la coupe ci–jointe) dans un rail de chemin de fer, de hauteur totale20 cm. Elle s’est amorcée sous l’action de la corrosion, et croît lentementpar fatigue sous l’effet des chargements cycliques provoqués par le passagedes trains. Les calculs indiquent que le passage d’une roue produit unecharge dans l’axe du rail, donc normale à la fissure, variant entre -20 MPaet +107 MPa.

Des spécimens de laboratoire sont chargés entreKmin = 0 et Kmax.Les vitesses de propagation sont respectivement de 10−3mm/cycle et10−2mm/cycle pour des valeurs deKmax de 20 et 35 MPa

√m. La rupture

brutale intervient pour une valeurKmax=45 MPa√

m.

1. Trouver les valeurs des coefficients C et m de la loi de Paris.

La loi de Paris s’écrit :

dadN

= C(∆K)m

avec∆K = Kmax−Kmin

Les données précédentes permettent donc d’écrire :{C×20m = 10−6C×35m = 10−5

ce qui donne (unités : m, MPa) :

m≈ 4.11 , C≈ 4.510−12

2. On néglige le caractère tridimensionnel de la fissure, ce qui permetde supposer que le facteur d’intensité de contrainte en mode I est donné enfonction de la profondeur de fissure a et de la contrainte axiale dans le railσ par K = 1.12σ

√πa. Donner la vitesse de propagation pour la longueur

de fissure initiale, et la longueur de fissure qui provoque la rupture brutale.

On évalue la vitesse de propagation de fissure à partir du facteurd’intensité de contrainte

∆K = 1.12∆σ√

πa

106

avec :

∆σ = σmax−σmin = 107− (−20) = 127 MPa , eta = a0 = 0.003 m

En remplaçant les paramètresm etC de la loi de Paris par leur valeur :

dadN

= C(∆K)m≈ 0.22·10−6m/cycle

La rupture brutale est obtenue en comparant le facteur d’intensité decontrainte critique au facteur d’intensité de contrainte obtenue avec lacontrainte maximale (et non∆σ) :

acrit =1π

(Kcrit

1.12σmax

)2≈ 44.88 mm

3. Ecrire l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles–longueur de fissure) entre la valeur initiale a0 = 3mm et une valeurcourante a.

Ce résultat provient directement de l’application de la loi de Paris :

dadN

= C(Y∆σ√

πa)m

avec Y=1.12, ce qui correspond au cas d’une demi-plaque infinie portant

une fissure perpendiculaire à la surface extérieure.La relation entre le nombre de cycles(N) et la longueur de fissure(a) estalors :

CYm(∆σ)mπm/2NZ

0

dN =aZ

a0

da

am/2

d’où :

N =2

(m−2)CYm(∆σ)mπm/2

{1

(a0)(m−2)/2− 1

a(m−2)/2

}

4. Indiquer le nombre de passages de trains pour lequel on aura unerupture brutale. On indiquera clairement les hypothèses ou approximationsqui sont faites pour arriver à cette prévision.

On calcule alors un nombre de cycles deNf = 12281. Si on prendl’exemple d’un TGV 10 voitures (plus deux motrices), il faut compter 48cycles par passage. Ceci ramène donc le nombre de passages à 255 !

107Contraintes thermiques en plasticité

On considère un prisme d’axex1 dont le déplacement axial estbloqué. Ses faces latérales sont libres, et on étudie le comportementdans une section courante, en négligeant l’effet des encastrements. L’étatde contrainte est donc supposé uniaxial en directionx1. Le chargementextérieur appliqué est dû uniquement à la température, la déformationtotale restant nulle. On notera respectivementσ, ε, εe, εp, εth, la contrainte,la déformation totale, la déformation élastique, la déformation plastiqueet la dilatation thermique. On notera parT la variation de températurepar rapport à l’état de référence à contrainte et déformation nulles. Enintroduisant le coefficient de dilatation thermique linéaireα, on a doncεth = αT.Ecrouissage isotropeOn suppose que le matériau est élastoplastique, et qu’il obéit à unerègle d’écrouissage isotrope linéaire. Le module de Young,E, le moduleplastique,H i (on suppose queH < E), et la limite d’élasticité initialeσysont supposés indépendants de la température.R dépend donc uniquementde la déformation plastique cumulée,p, nulle à l’origine, et définie parṗ = |ε̇p| :

σ = Eεe

f (σ,R) = |σ|−σy−R R(p) = H p

1. Définir l’augmentation de température Te pour laquelle on atteint la

limite d’élasticité du matériau.

La déformation totale reste nulle durant la variation de température :

σE

+αT = 0

ce qui fournit la valeur de température demandée, pourσ = σy :

Te =σyEα

2. On suppose que T passe de 0 à Tm (avec Tm > Te). Exprimer le faitque le critère de plasticité f reste nul pendant l’écoulement plastique, etdéfinir les valeurs de contrainteσm et de déformation plastiqueεpm à la finde la montée en température.

La déformation totale comporte maintenant un terme de déformationplastique, si bien que :

σE

+ εp +αT = 0

Comme l’écoulement plastique s’effectue en compression, on aεp = −p,si bien que le fait que le critère reste nul s’écrit :

σ =−σy +Hεp

La résolution de ce petit système fournit alors :

εpm =−Eα(Tm−Te)

H +E

σm =−EH

H +E(σy +HαTm)

3. On ramène maintenant T à zéro. Exprimer la conditioncorrespondante en déformation. En supposant dans un premier temps quele matériau reste élastique pendant la décharge, indiquer quelle sont alorsles valeurs de la déformation plastique et de la contrainte lors du retourà T = 0? Indiquer à quelle condition le matériau reste effectivementélastique en fin de refroidissement.

Il faut simplement annuler la déformation thermique. Si le matériaureste élastique, la déformation plastique est inchangée, et la contrainte en

108fin de refroidissement estσr est telle queεpm+ σr/E = 0. La comparaisonavec l’expression de la question précédente donne immédiatement :

σr = σm+EαTm =EH

H +E(EαTm−σy) =

E2αH +E

(Tm−Te)

Cette expression sera valide tant que la contrainte obtenue reste inférieure àla limite d’élasticité actuelle, qui, après le premier chargement, vaut−σm ;il faut donc assurer :

EHH +E

(EαTm−σy) <EH

H +E(σy +HαTm)

Cette condition sera vérifiée si la temperature ne dépasse pas un certainseuil lors du premier chauffage :

Tm <2σy

α(E−H)

4. Calculer la déformation plastique et la contrainte à T= 0 pour lecas où il y a replastification à la décharge.

Si le seuil précédent est dépassé, on repart deεpm en déformationplastique, avec un seuil actuel à−σm, et le matériau subit un incrémentde déformationδp positif tel que :

pr =−εpm+δεp εpr = εpm+δεp

A la fin du refroidissement, il faut vérifier les deux égalités suivantes,correspondant respectivement à la loi de comportement (déformation nulle,déformation thermique nulle) et à la condition de plasticité :

σ =−Eεpm−Eδεp

σ = σy−Hεpm+Hδεp

On trouve :

δεp =((E−H)αTm−2σy)E

(E +H)2

εpr =−2EHαTm+(E−H)σy

(E +H)2

La contrainte vient ensuite simplement :

σr =−Eεpr =E

(E +H)2(2EHαTm+(E−H)σy)

5. En supposant que l’on applique un grand nombre de cyclesde température entre 0 et Tm, décrire qualitativement l’évolution del’écoulement plastique et définir l’état final du matériau, en se plaçant dansle plan (déformation mécanique–contrainte).

La déformation mécanique que subit le prisme varie entre 0 et−αTmau cours des cycles. Les deux courbes limites sur lesquelles se retrouventles points représentatifs au chauffage et au refroidissement sont doncrespectivementσ = −Eεp−EαTm et σ = −Eεp. Au cours des cycles, lalimite d’élasticité augmente peu à peu. L’état limite correspond au momentoù la taille du domaine d’élasticité (deux fois la limite élastique) sera égaleà 2EαTm. Une illustration de cette évolution est donnée sur la simulationci-dessous, réalisée avecE = 10000 MPa,α = 10−5, Tm = 1000◦C . Onvérifie bien qu’à l’état asymptotique la taille du domaine élastique est de2000 MPa.

109

� ��

��

�

� ��

��

� � ��

σ

εp

σ �� Eεp � EαTmσ �� Eεp��! �"

6. En faisant H= 0 dans les équations précédentes, commenter le cas

d’un comportementélastique parfaitement plastique.

Le raisonnement de la question précédente ne tient plus siH = 0. Dansce cas, il n’u a pas d’évolution de la taille du domaine d’élasticité, etl’état asymptotique, atteint dès le deuxième cycle, est caractérisé par descontraintes variant entre±σy. Le cycle reste ouvert au lieu qu’il soit réduità une ligne comme dans le cas précédent.

Ecrouissage cinématiqueReprendre les questions 3, 4, 5 de lasection précédente en supposant maintenant que le matériau obéit à unerègle d’écrouissage cinématique linéaire :

f (σ,X) = |σ−X|−σy X = Hεp

...

110Etude d’une plaque composite

��

��

��

��

��

��

x

x

1

2

a/2

a/2

b

Une plaque composite est formée des matériauxA etB. Le plan de la plaqueest parallèle à (x1,x2). L’intérieur de la plaque est constitué par le matériauB (épaisseurb selonx3), qui est enserré par deux plaques du matériauA,chacune d’épaisseura/2. On suppose que les dimensions de la plaque dansle plan (x1,x2) sont grandes devant l’épaisseur. Les fractions volumiques deA et B sont respectivementCA etCB (avecCA +CB = 1). Dans l’ensembledu problème, on supposera que les champs de contrainte et de déformationsont uniformes dans chaque matériau. On notera respectivementσ

∼Aetσ

∼Ble

tenseur des contraintes dansA etB, etε∼A

et ε∼B

les tenseurs de déformation.

Comportement élastiqueOn cherche, à caractériser, pour certaines sollicitations particulières, le

comportementhomogène équivalentqu’il faudrait affecter à un matériauunique pour qu’il reproduise le comportement global de la plaque. Onsuppose que les deux matériaux ont un comportement élastique isotrope,caractérisé par les modules de compressibilité (resp.KA et KB) et lesmodules de cisaillement (resp.µA etµB).1. Indiquer ce que sont les bornes de Voigt et de Reuss, et écrire les

valeurs extrêmes correspondantesque peuvent prendre le module de

compressibilité (resp. KV et KR) et le module de cisaillement (resp. µV etµR) du matériau homogène équivalent, en fonction des coefficients KA, KB,µA et µB.

Les bornes de Voigt et Reuss sont :

∀E∼

E∼

: (C∼∼−< c

∼∼>) : E

∼≤ 0

∀Σ∼

Σ : (S∼∼−< s

∼∼>) : Σ≤ 0

Dans le cas de l’élasticité isotrope, les équations précédentes deviennentsimplement :

1KR

=CAKA

+CBKB

KV = CAKA +CBKB

1µR

=CAµA

+CBµB

µV = CAµn +CBµB

2. On suppose que les matériaux A et B ont même coefficient dePoisson,ν, et que leurs modules de Young sont respectivement EA etEB. Donner dans ces conditions un encadrement du module de Young dumatériau homogène équivalent (resp. EV et ER). On rappelle que :

E = 2µ(1+ν) = 3K(1−2ν) 3E

=1µ

+1

3K

Indiquer, sans faire le calcul, ce que deviendrait ce résultat si lescoefficients de Poisson étaient différents dans chaque matériau.

La relation linéaire entreE et K permet d’appliquer àE la relationconcernant la loi de Reuss connue pourK. Celle qui existe entre les inverses

111deE, K etmupermet d’appliquer àE celles qui concernent la loi de Voigt.Il vient donc :

ER =EAEB

CAEB +CBEAEV = CAEA +CBEB

3. On effectue une traction équibiaxiale à déplacement imposé dansle plan (x1,x2) sur un carré de matière (ε11 = ε22 = ε). On suppose queles seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont11 et22. Justifier. Ecrire la loi de Hooke dans chaque matériau. Exprimer lavaleur de la contrainte moyenneσ = CAσA11 +CBσB11 = CAσB22 +CBσB22en fonction deε, et en déduire la valeur du module de Young apparent dumatériau homogène équivalent selon les composantes11et22.

Les composantesσ13, σ23, σ33 sont nulles sur la surface libre dedirectionx3. En raison de la symétrie du chargement, il n’y a pas non plusde cisaillementσ12. Le tenseur de contrainte s’écrit donc :

σ =

σ11 0 00 σ22 00 0 0

L’application de la loi de Hooke, pour les materiauxA et B donnesuccessivement :

EA ε = σA11−νσA22 EA ε = σA22−νσA11EB ε = σB11−νσB22 EB ε = σB22−νσB11

D’où :

σA11 = σA22 =εEA1−ν

et σB11 = σB22 =εEB1−ν

La valeur moyenne de la contrainte dans la plaque composite s’écrit ainsi :

σ =CAEAε1−ν

+CBεEBε1−ν

=CAEA +CBEB

1−νε

d’où :Ehom= CAEA +CBEB

4. En suivant une procédure identique, donner la valeur du module deYoung équivalent pour une traction selon l’axe x3.

La déformation de la plaque selon la composante 33 est la moyennedes valeurs obtenues dans chaque matériau. Par ailleurs, la contrainte detractionσ est la même dans les deux matériaux, si bien que :

ε33 = CAσEA

+CBσEB

La moyenneEhom est alors telle que :

1Ehom

=CAEA

+CBEB

5. Effectuer la même détermination en cisaillement :- dans le cas d’un cisaillement12;- dans le cas d’un cisaillement13.

- Pour le cas du cisaillement 12, dans le plan de la plaque, ce sont lesdéformations qui sont égales dans chaque matériau. On obtient :

µ= CAµA +CBµB

- Pour le cas du cisaillement 13, ce sont les contraintes qui sont égales danschaque matériau. On retrouve le cas de la question 4 :

1µ

=1

CAµA +

1CB

µB

1126. Comparer les résultats obtenus avec les bornes des questions 1 et 2.

Commenter.

Selon la direction considérée, les valeurs obtenues avec nos solutionsapprochées réalisent l’une ou l’autre borne.

Comportement viscoélastiqueCette partie est indépendante de la partie précédente

On suppose maintenant que le matériau B est viscoélastique. La vitessede déformation peut se décomposer en une partie élastique (idem sectionprécédente) et une partie purement visqueuse, dépendante du déviateur decontrainte, s

∼, où s’introduit le coefficient de viscositéη :

ε̇∼

= ε̇∼

e+ ε̇∼

v avecε̇∼

v =32

s∼

η

7. On étudie d’abord le matériau Bisolé. On suppose que l’on applique

très rapidement un chargement équibiaxial à contrainte imposée sur cematériau (σ11 = σ22 = σ0). Donner l’expression de la réponse, supposéeélastique, à la mise en charge, et celle de la déformation différée en fluagebiaxial à la contrainteσ0, en fonction du temps depuis la mise en charge,t.

Le critère de von Mises pour le chargement biaxial indiqué vautσO.On a vu précédemment les relations en elasticité. L’expression de la vitessede déformation totale et de la déformation totale en fluage sont doncrespectivement :

ε̇ =1−ν

Eσ̇+

σ2η

et :

ε =1−ν

Eσ0 +

σ02η

t

8. On considère maintenant de nouveau le cas de la plaque, eton suppose que l’on applique le même chargement biaxial à contrainte

moyenne imposée, les déformationsε11 et ε22 restant identiques danschaque matériau. Définir l’état de contrainte dans chaque couche à la finde la mise en charge élastique. Ecrire les relations de comportement danschaque couche (on poseraε = ε11 = ε22, identique pour les deux matériaux,σA = σA11 = σA22 dans le matériau A etσB = σB11 = σB22 dans le matériauB, avecσ0 = CAσA +CBσB).

A la fin de la mise en charge, supposée très rapide, on a :

σA =EA

1−νε =

EA1−ν

1−νE

σ0

Soit :

σA =EAE

σ0 σB =EBE

σ0

La loi de comportement n’est pas la même dans chaque matériau :

ε̇A =1−νEA

σ̇A ε̇B =1−νEB

σ̇B +σB2η

9. Donner sans calcul les valeurs asymptotiques deσA, σB. Intégrerles équations différentielles et donner les évolutions deσA, σB, et ε. Quelmodule élastique équivalent voit-on apparaître dans la constante de tempsdu fluage ? A quel modèle rhéologique se retrouve-t-on ramené dans cetteconfiguration ?

Dans le matériau viscoélastique, la contrainte va chuter au cours dela déformation, pour atteindre 0 à l’état stabilisé, car il n’y a pas de seuild’écoulement. A ce moment, l’effort extérieur sera tout entier supporté parle matériau élastique. On trouve donc :

σA =σ0CA

σB = 0

113En remplaçantσA par son expression en fonction deσ et deσB dans saloi de comportement, on peut exprimer la vitesse de déformation totale dedeux manières :

ε̇ = ε̇A =1−νEACA

(σ̇−CBσ̇B)

ε̇ = ε̇B =1−νEB

σ̇B +σB2η

L’évolution deσB est donc gouvernée par l’équation :

CAEAEBσB2η

+(1−ν)(EACA +EBCB)σ̇B = (1−ν)EBσ̇

En fluage, il faut faireσ̇ = 0 dans l’équation précédente, ce qui conduitaprès intégration à :

σB =EBE

σ0exp(−t/τ) avecτ = 2η(1−ν)CB(

1EACA

+1

EBCB

)Les caractéristiques du présent système sont celles d’un modèle de Kelvin-Voigt.

Etude de la rupture différée

10. Le critère de rupture du matériau A prévoit que le matériau serompt lorsque la contrainte normale principale atteint une valeur limite

σu. Décrire les différents régimes de «fonctionnement» possibles de la

plaque composite, en indiquant dans quels cas elle peut (i) se rompre à lamise en charge, (ii) présenter une rupture différée, (iii) résister à la chargeappliquée.

On distingue les cas suivants :– Il y a rupture à la mise en charge si la contrainte atteinte en élasticité

dans le matériauA dépasse la limite de rupture ;– le matériau resistera à la charge si la contrainte asymptotique dansA

reste inférieure à la contrainte à rupture ;– dans le cas intermédiaire, la contrainte dans le matériauA augmante

au cours du fluage, et le matériau rompt lorsqueσA atteint la limitede rupture.

On établit alors le tableau suivant :

σ0 < σuCAEA +CBEB

EA: pas de rupture à la mise en charge

σ0 < σuCA : pas de rupture

σuCA < σ0 < σuCAEA +CBEB

EA: rupture différée

Le temps pour lequel on a une rupture différée est tel que

σB = (σ0−CAσA)/CB = σu

.

114ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides,26 mai 2003

Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice

On cherche à caractériser le comportement équivalent en tractionsimple d’un composite à fibres longues. On considère pour cela une celluleélémentaire cylindrique, d’axez. En coordonnées cylindriques, la fibre,de section circulaire (diamètre 2a), occupe l’espacer < a, et la matricel’espacea < r < b. Le cylindre est «suffisamment» allongé en directionz(longueurh) ; on suppose donc que la déformation axiale est uniforme, etque les composantes enrr etθθ des tenseurs de contraintes et déformationssont indépendantes dez. La fraction volumique de fibre estf = (a/b)2. Ledéplacement est libre dans le planr-θ sur les sections extrêmes du cylindre.On bloque en directionz la section inférieure (enz=0), et on applique undéplacementUz uniforme sur la surface supérieure (enz= h). La surfacelatérale du cylindre est une surface libre.

Géométrie et sollicitations extérieures étant axisymétriques, lesrelations déformation–déplacement se réduisent àεrr = ur,r , εθθ = ur/r etεzz= uz,z. On admettra le résultat classique définissant la forme des champsde déplacement radial et de déplacement axial :

ur = Ar +Br

uz = Cz

Les constantesA etB sont bien entendu différentes dans la fibre et dansla matrice, elles dépendent des conditions aux limites. Dans la suite del’exercice, on évalue ces constantes, ainsi que l’expression des contraintes,pour en déduire l’expression deEz, module de Young équivalent endirectionz et deνzr, coefficient de Poisson.

1. En considérant l’expression générale du déplacement, calculer lescomposantes du tenseur de déformation.

εrr = A−Br2

εθθ = A+Br2

εzz= C

2. On rappelle queλ =Eν

(1+ν)(1−2ν), et 2µ = E1+ν . Montrer que les

composantes du tenseur de contrainte se mettent sous la forme :

σrr = H(

A+νC− (1−2ν) Br2

)σθθ = H

(A+νC+(1−2ν) B

r2

)σzz= H (2νA+(1−ν)C) avec H=

E(1+ν)(1−2ν)

.

Ceci provient de l’application directe des équations de Hooke,valides en coordonnées cylindriques, dans lesquelles la trace du tenseurde contrainteσll vaut simplement(2A + C), et où i et j prennentsuccessivement les valeursr, θ, etz :

σi j = λσll +2µσi j

On note que le repère(r,θ,z) est le repère principal. Tous les cisaillementssont donc nuls.

3. Justifier le fait que C est le même dans la fibre et dans la matrice.Quelle est l’expression de C en fonction de la déformation axialeε ?

La déformation axiale est supposée uniforme. On a bienε = εzz= C.

4. Justifier le fait que B est nul pour la fibre. Quelle particularité peut-on en déduire pour les champs de contrainte et de déformation dans lafibre ? On posera dans la suite :

fibre : ur = Af r matrice : ur = Amr +Bmr

115On appellera respectivement Ef et Em les modules de Young de la fibre et

de la matrice,ν f et νm les coefficients de Poisson.Si le paramètreB n’était pas nul dans la fibre, les déformations et

les contraintes seraient infinies sur l’axe, enr = 0. On est donc amené àprendreB = 0 dans la fibre, ce qui implique alors que les déformationsradiales et circonférentielles sont uniformes. Comme la déformation axialeest uniforme, les contraintes le sont également :

εrr = εθθ = A σrr = σθθ = H(A+νC)

5. Ecrire les deux conditions de continuité à l’interface fibre–matrice(en r= a).

Il doit y avoir continuité de la composante radiale du déplacement, etde la composanterr de la contrainte, ce qui fournit respectivement les deuxconditions suivantes :

Af a = Ama+Bma

H f (Af +ν fC) = Hm(

Am+νmC− (1−2νm)Bma2

)

6. Ecrire la condition à la frontière r= b.En r = b, on a une surface libre, la contrainteσrr est donc nulle.

Am+νmC− (1−2νm)Bmb2

= 0

7. En utilisant les trois conditions précédentes, trouver Af , Am, Bm.

Après quelques manipulations, il vient :

Am =−(1−2νm)(H f ν f −Hmνm)+(Hmνm(1−2νm)+H f )

b2

a2

(1−2νm)(H f −Hm)+(Hm(1−2νm)+H f )b2

a2

On en tire égalementAf etBm.

8. Calculer la résultante des effortsF sur la surface supérieure ducylindre, en introduisant la fraction volumique de fibre, et en déduire Ez,module de Young équivalent en direction z.

La composante axiale du tenseur de contrainte est uniforme parmorceau. On noteS= πb2 la section de la cellule élémentaire. On obtienttout simplementF en sommant les contributions dans la fibre (contrainteσ fzz, sectionπa2) et dans la matrice (contrainteσmzz, sectionπ(b2−a2)) :

F = πa2H f (2ν f Af +(1−ν f )C)+π(b2−a2)Hm(2νmAm+(1−νm)C)

Le module d’Young apparentE de l’ensemble est tel queσ = Eε, avecσ = F /Set ε = C. On peut ainsi calculerE.

9. Evaluer également le coefficient de Poisson apparentνzr pour unetraction selon z.

Le déplacement enr = b définit la contraction radiale associée à unetraction selonz. On obtient alors le coefficient de Poisson demandé à partirdeνrz =−Eεθθ/σ, avecεθθ(b) = ur(b)/b :

νrz =−Eσ

ur(b)b

=− 1C

(Am+

Bmb2

)

10. Comparer les valeurs obtenues avec celles que fournit uneévaluation de type «groupement» parallèle, ne tenant pas compte deschamps triaxiaux :

Ez = f Ef +(1− f )Em νzr = f ν f +(1− f )νm

Commenter.

116Critères de Tresca et von Mises

On considère un matériau isotrope dont la limité d’élasticité entraction estσy.

1. Indiquer les valeurs de la limité d’élasticité en cisaillement pur, (i)si le matériau vérifie le critère de von Mises, (ii ) si le matériau vérifie lecritère de Tresca.

La limite d’élasticité en cisaillement pur est donnée parτm = σy/√

3si le matériau vérifie le critère de von Mises, et parτt = σy/2 s’il obéit aucritère de Tresca.

2. Tracer la frontière du domaine d’élasticité, pour Tresca et von Mises,dans le plan (σ11–σ12), en supposant que toutes les autres composantes dutenseur de contrainte sont nulles.

σ11

σ1

Documents

MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES ANNALESmms2.ensmp.fr/mms_paris/annales/f_Annales.pdf · 2014. 1. 14. · MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES ANNALES. 77 ENSMP 1ère année, Mécanique