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MECANIQUE DES MILIEUX´ CONTINUS ELASTICIT´ E´ - fortunier/cours/Continuum_Mechanics/poly.pdf · PDF fileMECANIQUE DES MILIEUX ... A.3 Op´erations sur les tenseurs ... (g´en´eralisation

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  • MECANIQUE DES MILIEUXCONTINUS

    ELASTICITE

    Roland FORTUNIERENSM-SE, centre SMS

    158, cours Fauriel42023 Saint-Etienne cedex 02

    20 fevrier 2004

  • 2

  • Table des matieres

    INTRODUCTION 9

    1 CINEMATIQUE 13

    1.1 Equilibre et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.1.1 Equilibre dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.1.2 Continuite de la matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2 Transformation dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.1 Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.2 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.2.3 Description eulerienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3 Equations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3.1 Tenseur gradient dune transformation . . . . . . . . . 19

    1.3.2 Transport de quantites elementaires . . . . . . . . . . . 20

    1.4 Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.4.1 Notion de derivee particulaire . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.4.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2 DEFORMATIONS 27

    2.1 Formulation eulerienne en vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3

  • 2.1.1 Tenseur gradient des vitesses de deplacement . . . . . . 27

    2.1.2 Tenseur des taux de deformation et de rotation . . . . 28

    2.1.3 Integration dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2 Formulation en deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.1 Tenseur des dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.2 Tenseurs des deformations . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.3 Hypothese des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.3.1 Tenseur gradient des deplacements . . . . . . . . . . . 32

    2.3.2 Deformations et de rotation de corps solide . . . . . . . 33

    2.3.3 Dilatation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.3.4 Equations de compatibilite . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3.5 Mesures des deformations . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3.6 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3 CONTRAINTES 41

    3.1 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.1.1 Hypotheses de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.1.2 Theoreme de laction et de la reaction . . . . . . . . . 42

    3.1.3 Signification physique du vecteur contrainte . . . . . . 43

    3.1.4 Les autres tenseurs de contraintes . . . . . . . . . . . . 44

    3.2 Signification physique des contraintes . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.2.1 Contraintes normale et tangentielle . . . . . . . . . . . 46

    3.2.2 Conditions aux limites en pression . . . . . . . . . . . . 47

    3.2.3 Contraintes dans un repere orthonorme . . . . . . . . . 47

    3.3 Equations dequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4

  • 3.3.1 Description globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.3.2 Equilibre des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.3.3 Equilibre des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.4 Utilisation du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.4.1 Contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.4.2 Contrainte moyenne et deviateur . . . . . . . . . . . . 50

    3.4.3 Contraintes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4 ELASTICITE 55

    4.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.1.1 Resistance des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.1.2 Relation contrainte-deformation . . . . . . . . . . . . . 56

    4.2 Lessai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.2.1 Courbe force-allongement . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.2.2 Courbe contrainte-deformation . . . . . . . . . . . . . 57

    4.2.3 Domaine delasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.3 Loi de comportement elastique lineaire . . . . . . . . . . . . . 61

    4.3.1 Loi de Hooke generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.3.2 Energie de deformation elastique . . . . . . . . . . . . 63

    4.3.3 Relations de symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.3.4 Thermo-elasticite lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5 METHODES SEMI-INVERSES 71

    5.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5

  • 5.1.1 Nombre dinconnues, nombre dequations . . . . . . . . 71

    5.1.2 Methodes de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.2 Resolution en deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.2.1 Equations de Lame-Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . 72

    5.2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.3 Resolution en contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.3.1 Equations de Beltrami-Michell . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.3.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    6 METHODES ENERGETIQUES 83

    6.1 Cadre general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    6.1.1 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . 83

    6.1.2 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    6.2.1 Approche en deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    6.2.2 Approche en contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6.2.3 Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    7 APPLICATION AUX POUTRES 93

    7.1 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    7.1.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    7.1.2 Hypothese de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    7.2 Contraintes et deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    7.2.1 Torseur des deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    7.2.2 Torseur des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6

  • 7.2.3 Energie de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    7.3 Elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    7.3.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    7.3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    7.4 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    7.4.1 Calcul des efforts internes . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    7.4.2 Calcul des deplacements et des rotations . . . . . . . . 106

    7.4.3 Poutre a plan moyen chargee dans son plan . . . . . . 106

    7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    ANNEXES 115

    A ALGEBRE TENSORIELLE 115

    A.1 Composantes dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    A.2 Composantes dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    A.3 Operations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    B GEOMETRIE DIFFERENTIELLE 121

    B.1 Repere naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    B.2 Operateurs differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    C OPERATEURS DIFFERENTIELS 127

    C.1 Coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    C.2 Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    C.3 Coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    7

  • 8

  • INTRODUCTION

    La mecanique des milieux continus est letude du comportement de solidesdeformables soumis a des sollicitations exterieures. Cette discipline scienti-fique est relativement ancienne, et a permis la realisation douvrages impor-tants pour notre vie de tous les jours. Les exemples les plus impressionnantsse trouvent dans le domaine du genie civil. En effet, pour fabriquer des ou-vrages dart tels que les viaducs et les ponts, il fallait tout dabord etudierleur resistance mecanique. Ces ouvrages devaient tout dabord resister a unesollicitation volumique liee a leur propre poids. Ensuite, ils devaient resistera differentes sollicitations telles que le vent, le poids des vehicules ou desobjets qui les traversent, . . . .

    Fig. 1 Vue densemble du viaduc du Viaur

    La figure 1 illustre la construction dun viaduc permettant au chemin de ferdenjamber le Viaur a lendroit ou il separe les departements du Tarn et delAveyron. La figure 2 illustre les etapes de construction de ce viaduc. Il estevident que le cahier des charges dune telle construction ne comporte pasuniquement des criteres mecaniques. Par exemple, la tenue a la corrosion est

    9

  • Fig. 2 Construction du viaduc du Viaur

    un facteur important. Toutefois, nous nous limitons dans ce document auxaspects mecaniques.

    Dans le premier chapitre, nous introduisons la cinematique des milieux conti-nus deformables, qui sert a decrire mathematiquement leur transformationsous leffet dune sollicitation mecanique. Ensuite, les chapitres deux e

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