Mecanique des Milieux Continus´ - kacemsai.weebly.comkacemsai.weebly.com/uploads/7/5/5/8/7558905/mmc_2018.pdf · L’hypoth`ese fondamentale pour mettre en place les ´equations

Ministere de l’enseignement superieur, de la recherche scientifiqueUniversite de Sfax

Ecole Nationale d’Ingenieurs de SfaxDepartement de Genie des Materiaux

Mecanique des Milieux Continus

Kacem Saı

ENIS Sfax, le 27 aout 2018

Table des matieres

1 Quelques elements mathematiques 4

1.1 Notations indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Calcul tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Tenseur du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Tenseur du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Contraction : produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Operateurs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Operateurs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Operateurs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Introduction 11

2.1 Solides indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Solides deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Structure des materiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Sollicitations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.3 Introduction a la mecanique des milieux deformables . . . . . . . . 14

3 Modelisation des milieux continus 16

3.1 Grande deformation vs Petite deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Referentiels–reperes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Description Eulerienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Deformations d’un milieu continu 19

4.1 Tenseur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.1 Interpretation geometrique des tenseurs de Cauchy–Green . . . . . 214.1.2 Base principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 Tenseurs des deformations linearises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Mesure de deformation, jauges de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Equations locales d’equilibre 27

5.1 Theorie du premier gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Equations d’equilibre locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Kacem Saı Mecanique des Milieux Continus 3

5.3 Vecteur contrainte - Condition limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Tenseur des contraintes de Cauchy 30

6.1 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Directions principales des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Invariants des contraintes par changement de base . . . . . . . . . . . . . . 326.4 Contrainte normale et contrainte tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5 Tri cercle de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.6 Criteres de limite elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6.1 aspects experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6.2 Exemples de criteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Comportement elastique lineaire 39

7.1 Convention d’ecriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Materiau orthotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.3 Materiau isotrope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.4 Materiau isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Equations supplementaires en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.6 Elasticite Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Problemes 44

8.1 Etat de deformation homogene triaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Cisaillement en grandes deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3 Cisaillement en petites deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5 Etude d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.6 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.7 Reservoir spherique sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ENIS Departement de Genie des Materiaux 2017-2018

Chapitre 1

Quelques elements mathematiques

1.1 Notations indicielles

Indice franc - indice muet

Notations

(O,−→e 1,−→e 2,

−→e 3) repere cartesien.(x1, x2, x3) corrdonnees d’un point.

(V1, V2, V3) les composantes d’un vecteur−→V .

Indice franc

Vi designe la ieme composante de−→V . i a une valeur quelconque 1, 2 ou 3, c’est un indice

franc.Indice muet

Dans le cas d’un produit scalaire de deux vecteurs :

−→U .

−→V = U1V1 + U2V2 + U3V3 =

i=3∑

i=1

UiVi

l’indice i prend successivement les valeurs 1, 2 ou 3. C’est un indice muet. On ecrit toutsimplement : −→

U .−→V = UiVi

Symbole de Kronecker C’est le symbole defini par :

δij =

1 si i = j0 si i 6=

Derivation partielle

Soit une fonction scalaire f(xi, t) ou une fonction vectorielle−→V (xi, t). On note :

∂f

∂xi

= f,i∂2f

∂xi∂xj

= f,ij∂Vi

∂xj

= Vi,j∂2Vi

∂xj∂xk

= Vi,jk

4


1.2 Calcul tensoriel

Soient deux bases orthonormees (R) : O, [−→x ,−→y ,−→z ] et (R’) : O, [−→x ′,−→y ′,−→z ′] Pour lacomodite des calcul, on pose −→x = −→x 1

−→x ′ = −→x ′1−→y = −→x 2

−→y ′ = −→x ′2−→z = −→x 3

−→z ′ = −→x ′3

Le reperage de la base (R’) par rapport a la base (R) s’effectue a l’aide des cosinusdirecteurs des vecteurs unitaires :

−→x ′1= α11

−→x 1 + α21−→x 2 + α31

−→x 3−→x ′2= α12

−→x 1 + α22−→x 2 + α32

−→x 3−→x ′3= α13

−→x 1 + α23−→x 2 + α33

−→x 3

ce qui peut s’ecrire sous forme indicielle

−→x ′i = αki

−→x k

ou sous forme matricielle[x′

1, x′2, x

′3] = [x1, x2, x3] [P ]

ou [P ] = [αij] est la matrice des 9 cosinus directeurs.

1.2.1 Tenseur du 1er ordre

Soit−→V un vecteur dont les composantes sont [X1, X2, X3] dans (R) et [X ′

1, X′2, X

′3]

dans (R’).−→V peut s’ecrire sous forme vectorielle :

−→V = X1

−→x 1 +X2−→x 2 +X3

−→x 3−→V = X ′

1

−→x ′1+X ′

2

−→x ′2+X ′

3

−→x ′3

ou sous forme indicielle

−→V =

3∑

σ=1

Xσ−→x σ

−→V =

3∑

σ=1

X ′σ−→x ′

σ

En utilisant la convention de l’indice muet :

−→V = Xσ

−→x σ−→V = X ′

σ−→x ′

σ

En utilisant la matrice de passage [P ] orthogonale (inversible et son inverse et egale a satransposee), on a sous forme indicielle :

Xi = αiσX′σ X ′

i = ασiXσ

On appelle tenseur d’ordre 1 un ensemble de n nombres qui lors d’un changement de basese tranforme selon :

Ti = αiσT′σ



1.2.2 Tenseur du second ordre

Soient deux vecteurs−→X et

−→Y de R3 :

−→X = [X1, X2, X3]

−→Y = [Y1, Y2, Y3]

On peut associer deux par deux les composantes de−→X et

−→Y pour former les elements

Tij = XiYj. On appelle produit tensoriel des deux vecteurs l’ensemble des 9 nombres Tij .On note :

T∼=

−→X ⊗−→

Y

L’ensemble des 9 nombres peut etre represente sous forme d’un tableau appele matricedu produit tensoriel :

[T ] =

X1Y1 X1Y2 X1Y3

X2Y1 X2Y2 X2Y3

X3Y1 X3Y2 X3Y3

Le produit tensoriel effectue dans (R) peut, de la meme facon s’effectuer dans (R’) T ′ij =

X ′iY

′j . On peut passer facilement passer des Tij vers les T

′ij et reciproquement, soit :

Tij =

3∑

σ=1

3∑

τ=1

αiσαjτT′στ Tij = αiσαjτT

′στ

T ′ij =

3∑

σ=1

3∑

τ=1

ασiατjTστ T ′ij = ασiατjTστ

On appelle tenseur du second ordre un ensemble de 9 quantites scalaires Tij telles qu’unchangement de corrdonnees orthogonales dont les cosinus directeurs sont definis par lamatrice [P ] substitue a ces 9 quantites 9 autres quantites T ′

ij liees aux Tij par les 9relations :

Tij = αiσαjτT′στ

Les 9 composantes de T∼forment une matrice 3x3 [T ] :

[T ] =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

1.2.3 Contraction : produit contracte

Lorsqu’on fait le produit de deux tenseurs, on obtient un ensemble qui est un ten-seur. On peut obtenir un nouvel ensemble egalant deux indices appartenant a chacun deselements. On dit que l’on a effectue une contraction. Toutes contatraction diminue dedeux l’ordre du tenseur de depart.



1.3 Operateurs en coordonnees cartesiennes

Soit :(O,

−→i ,

−→j ,

−→k ) repere cartesien, ϕ(M) une fonction scalaire,−−→

OM = x1

−→i + x2

−→j + x3

−→k ,

−→V = u(M)

−→i + v(M)

−→j + w(M)

−→k .

L’operateur gradient de ϕ(M) s’exprime en coordonnees cartesiennes par :

Grad(ϕ) = ∂ϕ/∂x−→i + ∂ϕ/∂y

−→j + ∂ϕ/∂z

−→k

L’operateur gradient d’un vecteur s’exprime en coordonnees cartesiennes par :

Grad(−→V ) =

∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z

On appelle divergence de−→V , la trace de l’operateur gradient :

div−→V = ∂u/∂x+ ∂v/∂y + ∂w/∂z

La divergence d’un tenseur σ∼est donnee par :

div σ∼=

∂σ11

∂x1

+ ∂σ12

∂x2

+ ∂σ13

∂x3

∂σ21

∂x1

+ ∂σ22

∂x2

+ ∂σ23

∂x3

∂σ31

∂x1

+ ∂σ32

∂x2

+ ∂σ33

∂x3

Le Laplacien de ϕ est defini par :

∆ϕ = div(Gradϕ) =∂2ϕ

∂x2+

∂2ϕ

∂y2+

∂2ϕ

∂z2

Le rotationnel de−→V (M) s’exprime par :

Rot−→V =

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)−→i +

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)−→j +

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)−→k

On demontre que

Rot(Grad) =−→0 et div(Rot

−→A ) = 0

1.4 Operateurs en coordonnees cylindriques

−→e r = cos θ−→e x + sin θ−→e y−→e θ = − sin θ−→e x + cos θ−→e y−→e z



Figure 1.1 – Repere en coordonnees cylindriques

Scalaire f(M) = f(r, θ, z)

Vecteur−→U = Ur(r, θ, z)

−→e r + Uθ(r, θ, z)−→e θ + Uz(r, θ, z)

−→e z

Tenseur :σ∼=

σrr σrθ σrz

σθr σθθ σθz

σzr σzθ σzz

−→e r ,−→e θ,

−→e z

Les differents operateurs s’ecrivent :

Grad(f) =∂f

∂r−→e r +

1

r

∂f

∂θ−→e θ +

∂f

∂z−→e z

Grad(−→U ) =

∂Ur∂r

1r∂Ur∂θ

− Uθr

∂Ur∂z

∂Uθ∂r

1r∂Uθ∂θ

+ Urr

∂Uθ∂z

∂Uz∂r

1r∂Uz∂θ

∂Uz∂z

−→rot

−→U =

1

r

(∂Uz

∂θ− ∂

∂z(rUθ)

)−→e r +(∂Ur

∂z− ∂Uz

∂r

)−→e θ +1

r

( ∂

∂r(rUθ)−

∂Ur

∂θ

)−→e z

div−→U =

∂Ur

∂r+

Ur

r+

1

r

∂Uθ

θ+

∂Uz

∂z

∆f =∂2f

∂z2∂2f

∂r2+

1

r

∂f

∂r+

1

r2∂2f

∂θ2



Figure 1.2 – Repere en coordonnees cylindriques

div σ∼=(∂σrr

∂r+

1

r

∂σrθ

∂θ+

∂σrz

∂z+

σrr − σθθ

r

)−→e r

+(∂σθr

∂r+

1

r

∂σθθ

∂θ+

∂σθz

∂z+

2σθr

r

)−→e θ

+(∂σzr

∂r+

1

r

∂σzθ

∂θ+

∂σzz

∂z+

σzr

r

)−→e z

1.5 Operateurs en coordonnees spheriques

−→e r = sin θ cosϕ−→e x + sin θ sinϕ−→e y + cos θ−→e z−→e θ = cos θ cosϕ−→e x + cos θ sinϕ−→e y − sin θ−→e z−→e ϕ = − sinϕ−→e x + cosϕ−→e y

Scalaire f(M) = f(r, θ, ϕ)

Vecteur−→U = Ur(r, θ, ϕ)

−→e r + Uθ(r, θ, ϕ)−→e θ + Uϕ(r, θ, ϕ)

−→e ϕ

Tenseur : σ∼=

σrr σrθ σrϕ

σθr σθθ σθϕ

σϕr σϕθ σϕϕ

−→e r,−→e θ ,

−→e ϕ



Les differents operateurs s’ecrivent :

Grad(f) =∂f

∂r−→e r +

1

r

∂f

∂θ−→e θ +

1

r sin θ

∂f

∂ϕ−→e ϕ

Grad(−→U ) =

∂Ur∂r

1r∂Ur∂θ

− Uθr

1r sin θ

∂Ur∂ϕ

− Uϕr

∂Uθ∂r

1r∂Uθ∂θ

+ Urr

1r sin θ

∂Uϕ

∂ϕ− Uϕ

r cot θ

∂Uϕ

∂r1r∂Uϕ

∂θ1

r sin θ∂Uϕ

∂ϕ+ Ur

r + Uθr cot θ

div−→U =

∂Ur

∂r+ 2

Ur

r+

1

r

∂Uθ

∂θ+

1

r sin θ

∂Uϕ

∂ϕ+

Uθ

rcot θ

−→rot

−→U =

( ∂

∂θ(Uϕr sin θ)−

∂

∂ϕ(rUθ)

) −→e r

r2 sin θ

+(∂Ur

∂ϕ− ∂

∂r(Uϕr sin θ)

) −→e θ

r sin θ+( ∂

∂r(rUθ)−

Ur

θ

)−→e ϕ

r

∆f =1

r2∂

∂r

(

r2∂f

∂r

)

+1

r sin θ

∂

∂θ

(sin θ

r

∂f

∂θ

)

+1

r sin θ

∂

∂ϕ

( 1

r sin θ

∂f

∂ϕ

)

div σ∼=(∂σrr

∂r+

1

r

∂σrθ

∂θ+

1

r sin θ

∂σrϕ

∂ϕ+

1

r(2σrr − σθθ − σϕϕ + σrθ cot θ)

)−→e r

+(∂σrθ

∂r+

1

r

∂σθθ

∂θ+

1

r sin θ

∂σϕθ

∂ϕ+

1

r((σθθ − σϕϕ) cot θ + 3σrθ)

)−→e θ

+(∂σrϕ

∂r+

1

r

∂σϕθ

∂θ+

1

r sin θ

∂σϕϕ

∂ϕ+

1

r(3σrϕ + 2σϕθ cot θ)

)−→e ϕ


Chapitre 2

Introduction

Dans la mecanique des solides indeformables, on se focalise sur l’etude des corps rigidespour lequel la distance entre deux points reste constante au cours du temps. Dans ce cours,les corps etudies sont plus ou moins souples, plus ou moins rigide, plus ou moins resistants,plus ou moins visqueux.

2.1 Solides indeformables

Pour un solide S un deformable, La variation des vitesses−→V (M/R) existant entre deux

points est issue d’un champ de moment de torseur, a savoir :

−→V (P/R) =

−→V (M/R) +

−→Ω(S/R) ∧ −−→

MP

2.2 Solides deformables

Pour un solide deformable la variation des vitesses entre deux points infiniment voisinsne peut plus etre decrite par la relation precedente. Elle s’obtient par la differentielle

d−→V (M/R) qu’on notera egalement d

−→V . Cette variation de vitesse s’obtient simplement :

d−→V (M/R) = Grad

−→V .d

−→M

Si on note par (x1, x2, x2) les coordonnees cartesienne du point M dans une base ortho-normee, les composantes du vecteur

dV1 =∂V1

∂x1

dx1 +∂V1

∂x2

dx2 +∂V1

∂x3

dx3

dV2 =∂V2

∂x1

dx1 +∂V2

∂x2

dx2 +∂V2

∂x3

dx3

dV3 =∂V3

∂x1

dx1 +∂V3

∂x2

dx2 +∂V3

∂x3

dx3

L’expression du gradient de vitesses dans la base orthonormee est donc :

Grad−→V =

∂V1/∂x1 ∂V1/∂x2 ∂V1/∂x3

∂V2/∂x1 ∂V2/∂x2 ∂V2/∂x3

∂V3/∂x1 ∂V3/∂x2 ∂V3/∂x3

11


Le gradient de vitesse au point M se decompose en deux tenseurs : D∼

symetrique et Ω∼

antisymetrique :

Grad−→V = D

∼+Ω

∼

D∼=

1

2

[

Grad−→V +

(

Grad−→V)T ]

et Ω∼=

1

2

[

Grad−→V −

(

Grad−→V)T ]

Par definition de l’operateur rotationnel, on a :

Grad−→V .

−−→dM −Grad

−→V T .

−−→dM =

−−−→Rot

−→V ∧ −−→

dM

On en deduit :

Ω∼.−−→dM =

−→Ω ∧ −−→

dM avec−→Ω =

1

2

−−−→Rot

−→V

Il apparaıt donc que la partie antisymetrique du gradient de vitesse a pour effet de faire

tourner le vecteur−−→dM sans introduire de distorsion locale de la matiere. Ω

∼est appele

taux de rotation et si on condiere deux points M et P voisins, on a :

−→V (P/R) =

−→V (M/R) +

−→Ω(M) ∧ −−→

MP +D∼.−−→MP

Le terme D∼.−−→MP caracterise la vitesse de deformation locale au voisinage du point M. On

demontre que dans le cas d’un materiau incompressible (ρ=constante) : trace D∼= 0.

−→V (P/R) =

−→V (M/R) +

−→Ω(M) ∧ −−→

MP +D∼.−−→MP

−→V (M/R) +

−→Ω(M) ∧ −−→

MP

Mouvement de solide rigide

D∼

−−→MP

Terme du a la deformation

2.3 Structure des materiaux

Tous les materiaux sont constitues d’atomes (compose lui meme de nucleons etelectrons). La nature des liaisons determine en grande partie les proprietes des phasesliquides ou solides. On distingue quatre types de liaisons : covalente, ionique et metalliquepour les liaisons fortes, la liaison de Van der Walls en ce qui concerne les liaisons faibles.La classification des materiaux peut se faire d’apres leur type de liaison. L’etat physiqued’une substance (solide, liquide ou gaz) est determine par la balance entre son energie



de cohesion qui rapproche les atomes et son energie thermique qui tend a les separer.L’energie thermique est proportionnelle a la temperature, tandis que l’energie de cohesionest peu dependante de celle-ci. Cette situation explique la transition des etats de la matiereavec la temperature. Dans un solide l’arrangement des atomes peut prendre un caractereordonne ou desordonne et conduire a deux types de structures :

— La structure amorphe, peu ordonne et qui est analogue a celle des liquides. Cettestructure amorphe se rencontre dans certaines ceramiques (verres mineraux) etdans un grand nombre de polymeres organiques (verres organiques, caoutchouc).

— La structure cristalline caracterisee par une distribution periodique d’atomes or-donnes a grande distance. L’ensemble des materiaux metallique, une partie impor-tante des ceramiques et un certain nombre de polymeres organiques, se presententsous la forme d’un assemblage de microcristaux (grains).

2.4 Sollicitations simples

2.4.1 Traction

Notations

— ε : la deformation longitudinale (sans unite).— σ : Contrainte longitudinale a laquelle est soumis le reseau (N/m2).— ℓ longueur initiale— ∆ℓ allongement— E : module d’elasticite longitudinale (module d’Young).— S section du reseau perpendiculaire a l’axe de traction.— N effort normal.

Si on considere un arrangement atomique regulier (cristal) sollicite suivant un de ces axesprincipaux, on fait apparaıtre une sollicitation appele traction. Dans le cas ou l’effort Nest negatif, il s’agit de compression. L’allongement relatif du cristal vaut :

ε =∆ℓ

ℓ

On comprend aussi que les dimensions du cristal, perpendiculairement a l’axe de latraction interviennent. Si le comportement du reseau est dans sa phase elastique, onobserve que la deformation est proportionnelle au rapport :

σ =N

S

La relation de proportionnalite est appelee loi de Hooke. Elle s’ecrit :

σ = Eε ou bien∆ℓ

ℓ=

N

ES

le coefficient E depend du materiau et on le determine a l’aide d’essais de traction.



Figure 2.1 – Dislocation coin dans un reseau cristallin

2.4.2 Cisaillement

Notations

— γ : deformation angulaire.— τ : Scissions du materiau (contrainte tangentielle).— S : aire de la paroi superieure du reseau.— G : module d’elasticite en cisaillement.— T : effort tangentiel

Si le meme reseau atomique est soumis a des efforts tangentiels T sur des parois superieureet inferieure, la sollicitation est appelee cisaillement. Un reseau d’une hauteur h se trouvedistordu. La paroi superieure s’est translate d’une distance ∆ℓ par rapport a la paroiinferieure. Le rapport :

γ = tan γ =∆ℓ

h

est l ’angle de distorsion du reseau. On l’appelle aussi deformation angulaire (sans unite).Cette deformation est proportionnelle a l’effort tangentiel dans la phase elastique dumateriau. La deformation angulaire est proportionnelle a l’effort tangentiel dans la phaseelastique du materiau.

τ = Gγ ou bien∆ℓ

h=

T

GS

Des essais de torsion permettent de determiner le module de cisaillement G. Si le materiauest isotrope E et G ne sont pas independants.

2.4.3 Introduction a la mecanique des milieux deformables

Le cours de resistance des materiaux se limite au cas d’une structure presentant unedirection privilegiee (axe de revolution de cylindre). Les grandeurs qui apparaissent sont



donc liees a cette direction (par exemple 1). Les deformations sont donc notees ε1 etγ1 et les contraintes sont notees σ1 et τ1. Si on s’interesse maintenant a une structuretridimensionnelle, on est amene a considerer les contraintes et les deformations liees auxdirections 2 et 3. Il apparaıt alors les deformations ε2, γ2, ε3, γ3 ainsi que les contraintesσ2, τ2, σ3, τ3. Ces termes sont ranges respectivement dans une matrice symetrique noteeε∼pour les deformations et une matrice symetrique notee σ

∼pour les contraintes :

ε∼=

ε1 γ1/2 γ2/2γ1/2 ε2 γ3/2γ2/2 γ3/2 ε3

σ∼=

σ1 τ1 τ2τ1 σ2 τ3τ2 τ3 σ3

La presence du coefficient 1/2 devant certains termes de la matrice des deformationspermet de simplifier l’ecriture de la loi de comportement qu’on verra par la suite.


Chapitre 3

Modelisation des milieux continus

3.1 Grande deformation vs Petite deformation

Avant d’aborder les deux types de description utilisee, on considere l’exemple clas-sique d’une poutre en flexion. La courbure γ en un point est proportionnelle au moment

y

x

z

Mfy

Mfz

y

z

x

flechissant Mf , et inversement proportionnelle a la rigidite de la poutre. Cette rigiditedepend du materiau, par le module de Young E, et du profil de la section droite, par lemoment quadratique IGZ :

γ =Mf

EIGZ

Geometriquement, la courbure γ peut etre exprimee en fonction de la deformee commesuit :

γ =1

ρ=

u”y(x)

(1 + u′2

y (x))3/2

L’expression exacte du moment flechissant est donc :

Mf = EIGZ

u”

y(x)(1 + u′2

y (x))3/2

16


En petites deformations, on peut faire l’hypothese que :

γ ≃ u”

y(x)

Si la poutre est de section constante et de materiau homogene, alors le terme EIGZ est uneconstante et l’on obtient la deformee en integrant simplement deux fois Mf par rapporta x, en tenant compte des conditions aux limites :

Mf = EIGZu”

y(x)

Par contre, en “grandes deformations” l’equation differentielle est plus difficile a resoudre.

3.2 Referentiels–reperes

Pour reperer les positions spatiales des particules d’un systeme dans un referentiel R,on utilise un repere R orthonorme d’origine O. Le referentiel R est lie a l’observateur. Ilrepresente l’ensemble des points animes d’un mouvement de corps rigide de l’observateur.Il est a noter qu’on peut :

— associer plusieurs reperes a un meme referentiel,— proceder a un changement d’observateur se qui se traduit par un changement de

referentiel.

3.3 Description Eulerienne

Soit un repere orthonorme R(

O,−→E 1,

−→E 2,

−→E 3

)

associe a un referentiel R. La position

du point materiel M a un instant t=0 (configuration de reference C0) est defini dans le

repere R par le point M0 :−−→OM0 =

−→X = Xi

−→E i = X1

−→E 1 + X2

−→E 2 + X3

−→E 3 Pour definir

le mouvement d’un corps deformable, il convient de donner la loi d’evolution au coursdu temps des positions du point materiel Mt, qui represente a l’instant t (configurationactuelle Ct) la position du point materiel M :

−−→OM t =

−→x = xi−→E i = x1

−→E 1 + x2

−→E 2 + x3

−→E 3

Il faut donc definir les coordonnees x1, x2, x3 en fonction des coordonnees X1, X2, X3

x1 = Φ1(X1, X2, X3, t) x2 = Φ2(X1, X2, X3, t) x3 = Φ3(X1, X2, X3, t)

On dit que l’on se donne ainsi une description Eulerienne du mouvement du corpsdeformable. Les variables independantes x1, x2, x3 et t sont dites variables d’Euler. Φ1,Φ2

et Φ3 represente la description Euleurienne du mouvement.



−→X −→x

−→E 2

−→E 3

−→E 1

O

M0

Mt

3.4 Description Lagrangienne

La description dite lagrangienne consiste a considerer les variables X1, X2, X3 et tpour definir le vecteur position M . Pour que cette description represente effectivementun mouvement d’un milieu continu, on impose aux fonctions Φ d’etre bijective. Il existedonc des relations inverses entre les variables de position de reference et les variables deposition actuelle : X1 = Ψ1(x1, x2, x3, t) X2 = Ψ2(x1, x2, x3, t) X3 = Ψ3(x1, x2, x3, t)Dans l’exemple de la poutre soumise a la flexion enonce ci-dessus. La premiere configura-tion correspond a une description Lagrangienne alors que la deuxieme suit une descriptionEulerienne.


Chapitre 4

Deformations d’un milieu continu

4.1 Tenseur gradient

On considere un solide S deformable. Pour materialiser la deformation, on etudie latransformation d’un vecteur materiel (son origine et son extremite sont confondus avec

des points materiels) :d−→X → d−→x . En simplifiant la notation des expressions reliant (x1,

x2, x3) a (X1, X2, X3), on peut ecrire :

x1 = x1(X1, X2, X3, t) x2 = x2(X1, X2, X3, t) x3 = x3(X1, X2, X3, t)X1 = X1(x1, x2, x3, t) X2 = X2(x1, x2, x3, t) X3 = X3(x1, x2, x3, t)

Par differentiation, on obtient (en utilisant la convention d’Einstein sur les indicesrepetes) :

dxi =∂xi

∂XjdXj et dXi =

∂Xi

∂xjdxj

Ce qui met en evidence les composantes d’un tenseur

Fij =∂xi

∂Xj

De facon explicite, on ecrit :

dx1 =∂x1

∂X1

dX1 +∂x1

∂X2

dX2 +∂x1

∂X3

dX3

dx2 =∂x2

∂X1

dX1 +∂x2

∂X2

dX2 +∂x2

∂X3

dX3

dx3 =∂x3

∂X1

dX1 +∂x3

∂X2

dX2 +∂x3

∂X3

dX3

Les relations precedentes se mettent sous forme matricielle :

dx1

dx2

dx3

=

F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33

dX1

dX2

dX3

19


Le tenseur F∼

(de composantes Fij) est appele tenseur gradient ou encore applicationlineaire tangente et permet de caracteriser les differentes transformations. Les compo-santes Fij peuvent etre calculees a partir du champ de deplacement

−→u =−−→OM −−−→

OM0 =−→x −−→

X

En utilisant le symbole de Kronecker δij, on obtient :

Fij =∂xj

∂Xj= δij +

∂ui

∂Xj

Le tenseur F n’est pas suffisant pour representer l’etat de deformation d’un domainemateriel. Pour caracteriser les deformations d’un domaine materiel, il faut considerer lesvariations angulaires de deux vecteurs materiels. L’idee est basee sur le fait qu’un produitscalaire est invariant quelques soient les deux vecteurs consideres. On definit ainsi leschangements de formes.

Soient deux vecteurs materiels d−→X et d

−→X ′ qui conduisent apres transformation aux deux

vecteurs d−→x et d−→x ′ :

−→ud−→X

d−→X ′

d−→x

d−→x ′

d−→x = F∼d−→X et d−→x ′ = F

∼d−→X ′

En utilisant les notations indicielles, le produit scalaire s’ecrit :

d−→x d−→x ′ = dxidx′i = (FijdXj)(FikdX

′k) = (FijFik)dXjdX

′k = CjkdXjdX

′k

Ce tenseur C∼(Cjk = FijFik) definit la deformation locale :

d−→x d−→x ′ = d−→XC

∼d−→X ′ avec C

∼= F

∼

T ⊗ F∼

C∼est un tenseur symetrique d’ordre deux (representable par une matrice 3x3) appele

tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit. C∼

est un tenseur Lagrangien



et peut etre defini a partir du champ de deplacement :

C∼= F

∼

T ⊗ F∼= (I

∼+Grad−→u )

T ⊗ (I∼+Grad−→u )

C∼= I

∼+ (Grad−→u )

T+Grad−→u + (Grad−→u )

T ⊗Grad−→u

d’ou :

d−→x d−→x ′ − d−→Xd

−→X ′ = d

−→X (C

∼− I

∼) d

−→X ′ = d

−→X[

(Grad−→u )T+Grad−→u + (Grad−→u )

T ⊗Grad−→u]

d−→X ′

d−→x d−→x ′ − d−→Xd

−→X ′ = 2d

−→XE

∼d−→X ′

On definit ainsi le tenseur des deformations de Green–Lagrange E∼:

E∼=

1

2(C

∼− I

∼) =

1

2

[

Grad−→u + (Grad−→u )T+ (Grad−→u )

T ⊗Grad−→u]

E∼est un tenseur symetrique. Il est nul dans le cas particulier d’un mouvement de solide

rigide. Les composantes de ce tenseur sont :

Eij =1

2(FkiFkj − δij) =

1

2

(∂ui

∂Xj+

∂uj

∂Xi+

∂uk

∂Xi

∂uk

∂Xj

)

On peut, d’une facon symetrique, definir le produit scalaire d−→Xd

−→X ′ en fonction du produit

scalaire d−→x d−→x ′ :

d−→Xd

−→X ′ = d−→xB

∼

−1d−→x ′ B∼= F

∼⊗ F

∼

T

d−→x d−→x ′ − d−→Xd

−→X ′ = 2d−→xA

∼d−→x ′ A

∼= 1

2(I∼−B

∼

−1)

B∼

est appele le tenseur de Cauchy–Green gauche, A∼

est le tenseur des deformationsd’Euler–Almansi, tout deux symetriques. Par ailleurs, le tenseur des deformations d’Euler–Almansi est lie au tenseur des deformations de Green-Lagrange par

A∼=(F∼

−1)T ⊗E

∼⊗ F

∼

−1, Aij = F−1

ki F−1

lj Ekl

4.1.1 Interpretation geometrique des tenseurs de Cauchy–

Green

On considere deux direction materielles d−→X 1 et d

−→X 2. Elles se transforment respecti-

vement en d−→x 1 et d−→x 2

d−→x 1 = F∼d−→X 1 et d−→x 2 = F

∼d−→X 2

On obtient donc

d−→x 1.d−→x 2 =

(

F∼d−→X 1

)

.(

F∼d−→X 2

)

= d−→X 1F

∼

TF∼d−→X 2 = d

−→X 1C

∼d−→X 2

Ce qui permet de mesurer la variation de longueur comme suit

|d−→x |2 − |d−→X |2 = d−→X. (C

∼− 1

∼) .d

−→X



On utilise un vecteur directeur norme−→M

d−→X = |d−→X |−→M

Le rapport d’allongement est alors

λ(−→M) =

|d−→x ||d−→X |

=

√−→MC

∼

−→M

Si par exemple−→M =

−→E 1

|d−→x ||d−→X |

=√

C11

C11 est alors le carre de l’allongement du premier vecteur de base.On peut de la meme facon suivre la variation angulaire entre la configuration de referenceet la configuration actuelle :

d−→X 1 = |d−→X 1|

−→M 1 d

−→X 2 = |d−→X 2|

−→M2

d−→x 1 = |d−→x 1|−→m1 d−→x 2 = |d−→x 2|−→m2

cosΘ =−→M 1.

−→M 2 cos θ = −→m1.

−→m2 =

−→M 1.C

∼.−→M 2

λ(−→M1)λ(

−→M2)

Soit γ la difference angulaire recherchee (γ = Θ− θ). Dans le cas particulier ou−→M 1 =

−→E 1

et−→M 2 =

−→E 2 la configuration de reference et la configuration actuelle :

sin γ =C12

√

C11C22

4.1.2 Base principale

Comme le tenseur de Cauchy-Green droit C∼

est un tenseur symetrique, sarepresentation matricielle est symetrique dans tout repere. Il existe alors une base(−→E 1,

−→E 2,

−→E 3

)

dans laquelle la representation matricielle de l’application est une matrice

diagonale

C∼=

CI 0 00 CII 00 0 CIII

On dit que l’on a la base propre ou base principale. Les vecteurs de cette base sont appelesles vecteurs propres de l’application. On parle tout simplement de directions principales.

4.1.3 Tenseurs des deformations linearises

Dans les tenseurs precedemment definis, une non linearite est induite par le terme(Grad−→u )

T ⊗ Grad−→u . Une simplification peut etre effectuee en considerant l’hypothesedes petites perturbations (transformations infinitesimales). Dans cette hypothese, les



deplacements sont suffisament petits pour pouvoir confondre l’etat de reference avec l’etatactuel. De plus, les termes du tenseur gradient de deformation sont negligeables devantl’unite. Ainsi, les differents tenseurs deviennent :

C∼= F

∼

T ⊗ F∼= I

∼+ (Grad−→u )

T+Grad−→u Cauchy–Green droit

E∼= 1

2(C

∼− I

∼) = 1

2

[

Grad−→u + (Grad−→u )T]

Green–Lagrange

B∼= F

∼⊗ F

∼

T = C∼

Cauchy–Green gauche

A∼= 1

2(I∼−B

∼

−1) = 1

2

[


= E∼

Euler–Almansi

Dans ce cas, les descriptions lagrangienne et eulerienne sont identiques. Dans le cas d’unmouvement de solide rigide, les tenseurs deformation de Green-Lagrange et d’Euler-Almansi sont nuls, alors que les tenseurs de deformation de Cauchy-Green sont egauxa l’identite. L’etat de deformation est dont materialise par le tenseur des deformationlinearise ε

∼defini par :

ε∼=

1

2

[


= E∼= A

∼

εij =1

2

(

∂ui∂Xj

+∂uj

∂Xi

)

=1

2

(

∂ui∂xj

+∂uj

∂xi

)

En pratique l’hypothese de petites deformations peut etre envisagee tant que les termesdu tenseur ε

∼restent inferieurs a 5.10−2. En coordonnees cartesiennes, le tenseur des

deformations s’ecrit dans une base orthonormee :

ε∼(M) =

∂u1/∂x1 (∂u1/∂x2 + ∂u2/∂x1) /2 (∂u1/∂x3 + ∂u3/∂x1) /2(∂u1/∂x2 + ∂u2/∂x1) /2 ∂u2/∂x2 (∂u2/∂x3 + ∂u3/∂x2) /2(∂u1/∂x3 + ∂u3/∂x1) /2 (∂u2/∂x3 + ∂u3/∂x2) /2 ∂u3/∂x3

En utilisant les notations indicielles :

εij =1

2(ui,j + uj,i)

Les termes diagonaux ε11, ε22 et ε33 representent respectivement des allongements relatifsdans les directions −→e1 , −→e2 et −→e3 . Les termes non diagonaux ε12, ε13 et ε23 represententrespectivement des demi variations d’angle (distorsion angulaire) droit entre −→e1 et −→e2 ; −→e1et −→e3 ; −→e2 et −→e3 .Il est utile d’expliciter ce que deviennent les variations de longueurs et d’angles dans lecontexte infinitesimal. Le rapport d’allongement devient devient

λ(−→M) =

√−→MC

∼

−→M ≃

√

1 + 2−→Mε

∼

−→M ≃ 1 +

−→Mε

∼

−→M

L’allongement relatif d’un vecteur materiel est alors

|d−→x | − |d−→X ||d−→X |

=−→Mε

∼

−→M



Si−→M = −→e 1, l’allongement de ce vecteur au cours de la deformation est alors

δ ≃ ε11

Pour l’angle de glissement γ

cosΘ =−→M 1.

−→M 2 cos θ =

−→M1 (2ε

∼+ I

∼)−→M 2

(

1 +−→M1ε

∼

−→M 1

)(

1 +−→M 2ε

∼

−→M 2

)

Ce qui conduit a

cosΘ ≃ cos θ(

1 +−→M 1ε

∼

−→M 1 +

−→M 2ε

∼

−→M 2

)

− 2−→M1ε

∼

−→M 2

orcos θ = cos(Θ− γ) ≃ cosΘ + γ sinΘ

Si l’on choisit−→M1 =

−→e 1 et−→M 2 =

−→e 2, on obtient

γ ≃ 2ε12

Tenseur vitesses de deformation :On suppose que le solide s’ecarte peu de sa configuration de reference. Les deplacementset les gradients de deplacement sont lies par :

−→u (M) =

∫ t

0

−→V (M)dt ou −→u (M) =

−→V (M)

De meme le tenseur des petites deformations ε∼

est lie au tenseur des vitesses desdeformations par :

ε∼(M) =

∫ t

0

D∼(M)dt ou ε

∼(M) = D

∼(M)

L’hypothese des petites perturbations permet de confondre variables de Lagrange et va-riables d’Euler. La derivee particulaire est donc une simple derivee partielle ce qui permetd’echanger les operateurs gradient et integrale. D’ou :

ε∼(M) =

∫ t

0

1

2

[

Grad−−−→V (M)+

(

Grad−−−→V (M)

)T ]

dt =1

2

(

Grad

∫ t

0

−−−→V (M)dt+

(

Grad

∫ t

0

−−−→V (M)dt

)T)

ε∼(M) =

1

2

(

Grad−→u (M) + + (Grad−→u (M))T)

Directions principales

On appelle directions principales de deformations, les trois directions orthogonales−→ki de

l’espace E3 pour lesquelles le glissement (ou la distorsion angulaire) est nul. Pour cesdirections la deformation est purement un allongement relatif. Chaque dilatation lineique



εi associee a la direction−→ki s’appelle une deformation principale. L’obtention des εi et

des directions principales−→ki , il faut resoudre :

ε∼(M).

−→ki = εi.

−→ki et det | ε

∼(M)− εi1

∼|= 0

Conditions de compatibilite

Connaissant le champ de deplacement −→u (M), on en deduit le champ de deformationsε∼(M) par simple derivation. Inversement, connaissant les 6 composantes εij(M), peut-ondeterminer les 3 composantes ui(M) du champ de deplacement ? Si les εij(M) sont arbi-traires, la reponse est manifestement negative car on a un systeme de 6 equations a 3 in-connues, il s’agit donc de trouver des “conditions de comptabilite” entre les deformations.Dans un systeme de coordonnees cartesiennes

εij =1

2(ui,j + uj,i)

ωij =1

2(ui,j − uj,i)

Par derivation, on obtient

ωij,k =1

2(ui,jk − uj,ik)

ωij,k =1

2(ui,jk + uk,ji − uk,ji − uj,ik)

ωij,k =1

2

(

(ui,k + uk,i),j − (uk,j + uj,k),i

)

ωij,k = εik,j − εkj,i

Le rotationnel du vecteur gradient ωij doit etre nul :

(ωij,k),l − (ωij,l),k = 0 = ωij,kl − ωij,lk

Exprimees en fonction des composantes du tenseur de deformations ces conditions nousdonnent un systeme de six equations :

εik,lj − εkj,li − εil,kj + εlj,ki

Soit sous forme developpee :

ε11,22 + ε22,11 − 2ε12,12 = 0 ε22,33 + ε33,22 − 2ε23,23 = 0

ε33,11 + ε11,33 − 2ε13,13 = 0 ε11,23 + ε23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0

ε22,13 + ε13,22 − ε23,12 − ε12,32 = 0 ε33,12 + ε12,33 − ε13,23 − ε23,13 = 0

Remarques

• Les composantes diagonales du tenseur des deformations, possedant donc deuxindices identiques, et notees ε11, ε22 et ε33 representent physiquement des allonge-ments relatifs de la matiere respectivement selon les axes −→e 1,

−→e 2 et −→e 3



• Les composantes non diagonales du tenseur des deformations, possedant deux in-dices differents, et notees ε12, ε13 et ε23 representent physiquement des variationsangulaires, respectivement dans les plans (−→e 1,

−→e 2), (−→e 1,

−→e 3) et (−→e 2,

−→e 3). On lesappelle cisaillements.

• La deformation est sans unite (m/m). mais on peut l’exprimer en % ou en µε = 10−6

m/m• Le premier invariant, c.a.d. la trace du tenseur des deformations represente lavariation relative du volume :

trace(ε∼) = ε11 + ε22 + ε33 =

∆V

V0

=V − V0

V0

4.2 Mesure de deformation, jauges de deformation

Lors de l’etude du comportement des pieces aux sollicitations mecaniques, le problemese pose pour la mesure des deformations engendrees. L’emploi des jauges de deformationsest le moyen le plus usuel pour fournir ces renseignements locaux.Pour effectuer des mesures simultanees, en un meme point dans differentes directions onpeut utiliser des ”rosettes” constituees de 3 jauges fixees sur un meme support a 45˚lesunes des autres. On se propose d’etudier les deformations mesurees au points M a l’aide

d’une rosette a 45˚de direction −→a ,−→b et −→c . Par ailleurs, on considere que le champ des

deformations est de la forme :

ε∼(M) =

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 0

On rappelle que l’allongement relatif dans une direction −→x est defini par −→x ε∼

−→x et que

les directions −→a ,−→b et −→c font respectivement des angles (0˚, 45˚et 90˚) avec −→e 1 dans

le plan (−→e 1,−→e 2). La valeur des allongements relatifs εa, εb et εc dans les directions

respectives −→a ,−→b et −→c est :

εa = ε11

εb = ε12 + (ε11 + ε22)/2

εc = ε22

On peut en deduire par inversion des relations ε11, ε12 et ε22 en fonction de εa, εb et εc.

ε11 = εa

ε12 = εb − (εa + εc)/2

ε22 = εc = 0


Chapitre 5

Equations locales d’equilibre

5.1 Theorie du premier gradient

L’hypothese fondamentale pour mettre en place les equations de la MMC consiste adire que l’etat de sollicitation en un point M n’influe que sur le voisinage de ce point. Onpeut donc se contenter de la premiere derivee du champ de vitesses virtuelles pour expri-mer le Principe des Puissances Virtuelles (P.P.V.) : c’est la theorie du premier gradient.

On calcule les differentes puissances virtuelles a partir du champ−→V ∗(M) et d

−→V ∗(M).

Or d−→V ∗(M) se decompose en deux operateurs : D

∼

∗(M) et Ω∼

∗(M). La puissance virtuelle

est donc une forme scalaire des 3 quantites−→V ∗(M), D

∼

∗(M) et Ω∼

∗(M).La puissance virtuelle P ∗

i (Ω) s’ecrit :

P ∗i (Ω) = −

∫

Ω

[−→T (M).

−→V ∗(M) + σ

∼(M) : D

∼

∗(M) +Π∼(M) : Ω

∼

∗(M)]

dV (M)

D’apres l’axiome de l’objectivite si le champ des vitesses est rigidifiant alors la puissancevirtuelle des interefforts est nulle.Par ailleurs,

−→V ∗(M) est une translation

−→V ∗(M, t)=

−→V ∗(t) alors D

∼

∗(M)=Ω∼

∗(M)=0, ce quiimplique :

P ∗i (Ω) = −

∫

Ω

−→T (M).

−→V ∗(M)dV (M) = 0 ∀Ω

∼et ∀−→V ∗(M) ⇒ −→

T (M) = 0

De meme, si on considere un mouvement de rotation Ω∼

∗(M, t) = Ω∼

∗(t) alors Ω∼

∗ 6= 0 etD∼= 0, ce qui implique :

P ∗i (Ω) = −

∫

Ω

Π∼(M) : Ω

∼

∗(M)dV (M) = 0 ∀Ω∼

et ∀−→V ∗(M) ⇒ Π∼(M) = 0

La puissance virtuelle des interefforts s’exprime par :

P ∗i (Ω) = −

∫

Ω

σ∼(M) : D

∼

∗(M)dV (M)

27


Puisque dans le produit contracte de σ∼et D

∼

∗ seule la partie symetrique de σ∼intervient,

on choisit un tenseur σ∼symetrique.

La puissance virtuelle P ∗e (Ω) s’ecrit :

P ∗e (Ω → Ω/Rg) =

∫

Ω

−→f (M).

−→V ∗(M)dV (M) +

∫

∂Ω

−→F (M).

−→V ∗(M)dS(M)

Ω : domaine considere.∂Ω : la frontere du domaine Ω.−→f : forces volumiques a distance.−→F : densite de forces de contact.La puissance virtuelle P ∗

a (Ω) s’ecrit :

P ∗a (Ω/Rg) =

∫

Ω

ρ−→Γ (M).

−→V ∗(M)dV (M)

Le P.P.V. pour le domaine Ω s’ecrit :

P ∗a (Ω/Rg) = P ∗

e (Ω) + P ∗i (Ω)

En utilisant les notations indicielles et apres quelques transformations, le P.P.V. se metsous la forme :

∫

Ω

ρΓiV∗i dV =

∫

Ω

fiV∗i dV +

∫

∂Ω

FiV∗i dS −

∫

∂Ω

σijV∗i njdS +

∫

Ω

σij,jV∗i dV

5.2 Equations d’equilibre locales

Si on choisit un champ de vitesses virtuelles nul en tout point de la frontiere ∂Ω etquelconque a l’interieur de Ω, le P.P.V permet de trouver :

∫

Ω

ρΓidV =

∫

Ω

fidV +

∫

Ω

σij,jdV

Cette expression est valable quelque soit le domaine Ω que l’on considere. On obtient doncl’equation d’equilibre locale des milieux continus.

σij,j + fi = ρΓi

5.3 Vecteur contrainte - Condition limite

Si on considere un champ de vitesses virtuelles non nul en tout point de la frontiere∂Ω et nul a l’interieur de Ω, le P.P.V. permet de trouver :

Fi = σijnj

Fi se note souvent Ti et s’appelle vecteur contrainte :

Ti = σijnj



Ti depend du point M mais aussi de l’orientation −→n choisie pour la normale exterieure ala surface de Ω.Si Ω est la structure totale,

−→F apparaıt comme un vecteur force surfacique exterieur

applique au point M :Fi = σijnj

La composante σij du tenseur des contraintes dit de Cauchy represente la composanteselon la direction ”i” du vecteur contrainte sur la facette de normale ”j”.

x1

x2

x3

σ13

σ23

σ33 −→T

x2

x3

x1

σ33

σ23σ13

σ22

σ12

σ32

σ21

σ11

σ31

Le vecteur contrainte peut etre analyse de deux facons differentes :— s’il s’agit d’une facette tangente au contour, le vecteur contrainte est la densite

surfacique des efforts exterieurs appliques en ce point ;— s’il s’agit d’une facette en un point interieur du volume, le vecteur contrainte se

refere aux efforts interieurs.


Chapitre 6

Tenseur des contraintes de Cauchy

6.1 Tenseur des contraintes

Une contrainte est homogene a une force par unite de surface donc a une pression.L’unite habituellement utilisee est le MPa (N/mm2). On considere l’equilibre d’un petitelement de volume dx1dx2dx3 autour de M .

x2

x3

x1

x3 = 1

x2 = 1

x1 = 1

30


face x1=1 x1=0 x2=1 x2=0 x3=1 x3=0aire dx2dx3 dx2dx3 dx1dx3 dx1dx3 dx1dx2 dx1dx2

contrainte selon x1 σ11 +∂σ11

∂x1

dx1 −σ11 σ12 +∂σ12

∂x2

dx2 −σ12 σ13 +∂σ13

∂x3

dx3 −σ13


∂x1

dx1 −σ21 σ22 +∂σ22

∂x2

dx2 −σ22 σ23 +∂σ23

∂x3

dx3 −σ23


∂x1

dx1 −σ31 σ32 +∂σ32

∂x2

dx2 −σ32 σ33 +∂σ33

∂x3

dx3 −σ33

L’equilibre des moment permet de consolider la symetrie du tenseur des contraintes.Par exemple :

−σ12dx1dx2dx3 + σ21dx1dx2dx3 = 0 ⇒ σ12 = σ21

Le tenseur des contrainte est ainsi note par :

σ∼=

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

L’equilibre des forces en projection sur les trois axes donne, en tenant compte des forces

de volume ρ−→f dx1dx2dx3 et des forces d’inertie ρ−→γ dx1dx2dx3

∂σ11

∂x1

+∂σ12

∂x2

+∂σ13

∂x3

+ f1 = ργ1

∂σ12

∂x1

+∂σ22

∂x2

+∂σ23

∂x3

+ f2 = ργ2

∂σ13

∂x1

+∂σ23

∂x2

+∂σ33

∂x3

+ f3 = ργ3

On retrouve ainsi les equations d’equilibre etablies au chapitre precedent.En calculant les vecteurs contraintes relatifs aux trois directions de la base orthonorme(−→e 1,

−→e 2,−→e 3) :−→

T (M,−→e 1) = σ11−→e 1 + σ12

−→e 2 + σ13−→e 3−→

T (M,−→e 2) = σ12−→e 1 + σ22

−→e 2 + σ23−→e 3−→

T (M,−→e 3) = σ13−→e 1 + σ23

−→e 2 + σ33−→e 3

On constate que σij est la projection de−→T (M,−→e j) sur la direction −→e i.

Les composantes diagonales σ11, σ22 et σ33 sont les contraintes normales, tandis que lescomposantes non diagonales σ12, σ13 et σ23 sont les contraintes de cisaillement.

6.2 Directions principales des contraintes

Le tenseur des contraintes est symetrique et donc diagonalisable. Il existe trois di-rections principales orthogonales −→n 1,

−→n 2 et −→n 3, vecteurs propres de σ∼associees a trois

valeurs propres σ1, σ2 et σ3, appelees ”contraintes principales”.

σ∼=

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

−→n 1,−→n 2,

−→n 3



On supposera que :σ3 ≤ σ2 ≤ σ1

6.3 Invariants des contraintes par changement de

base

On appelle invariants des contraintes des fonctions a valeurs reelles des composantesdu tenseur des contraintes qui ne dependent pas du choix de la base. Les expressionsclassiquement utilisees pour les invariants principaux sont :

I1 = σ1 + σ2 + σ3 = trace σ∼

I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 =1

2((trace σ

∼)2 − trace σ

∼

2)I3 = σ1σ2σ3 = detσ

∼= 1

6((trace σ

∼)3 − (trace σ

∼)(trace σ

∼

2) + 2(trace σ∼

3))

6.4 Contrainte normale et contrainte tangentielle

On decompose maintenant le vecteur–contrainte−→T = σ

∼

−→n s’appliquant sur une facettede normale −→n en une composante normale σn et une composante tangentielle −→τ contenuedans le plan de la facette de norme τ appelee contrainte tangentielle ou de cisaillementou cission −→

T = σn−→n + τ

−→t

avec σn = −→n σ∼

−→net τ 2 =

−→T .

−→T − σ2

n

Lorsque la facette est normale a une direction principale des contraintes −→n = −→n i, lacomposante tangentielle −→τ est nulle et σn est egale a la contrainte principale σi.

−→T

σn−→n

−→t



6.5 Tri cercle de Mohr des contraintes

La representation de Mohr est une representation dans le plan : contrainte normale enabscisse et module de la contrainte tangentielle en ordonnee. On pose :

−→OP =

−→T (M,−→n ) = σn

−→n + τ−→t

et l’on se propose de trouver le lieu des points P quand −→n varie. Pour cela, on utilisel’expression du vecteur contrainte dans la base principale. On note −→n = (n1, n2, n3).

| −→n |= 1 n2

1+ n2

2+ n2

3= 1

σn =−→T (M,−→n ).−→n n2

1σ1 + n2

2σ2 + n2

3σ3 = σn

| −→T (M,−→n ) |2= σ2 + τ 2 n21σ

21 + n2

2σ22 + n2

3σ23 = σ2

n + τ 2

On obtient ainsi un systeme lineaire en n21, n

22 et n2

3 dont la solution est :

n2

1=

τ 2 + (σn − σ2)(σn − σ3)(σ1 − σ2)(σ1 − σ3)

n2

2 =τ 2 + (σn − σ1)(σn − σ3)

(σ2 − σ3)(σ2 − σ1)

n2

3=

τ 2 + (σn − σ1)(σn − σ2)(σ3 − σ1)(σ3 − σ2)

La positivite des ni implique les inegalites suivante sur σn et τ :

τ 2 + (σn − σ2)(σn − σ3) ≥ 0τ 2 + (σn − σ3)(σn − σ1) ≤ 0τ 2 + (σn − σ1)(σn − σ2) ≥ 0

que l’on peut mettre sous la forme

(

σn − σ2 + σ3

2

)2

+ τ 2 ≥(σ2 − σ3

2

)2

(

σn − σ3 + σ1

2

)2

+ τ 2 ≤(σ3 − σ1

2

)2

(

σn − σ1 + σ2

2

)2

+ τ 2 ≥(σ1 − σ2

2

)2

On trouve finalement que, quand −→n varie, P est a l’interieur d’un domaine defini par trois

demi cercle (dits tri-crecle de Mohr) de centres (σ1 + σ2

2 , 0), (σ2 + σ3

2 , 0), (σ3 + σ1

2 , 0) et

de rayons σ1 − σ2

2 , σ2 − σ3

2 , σ3 − σ1

2 . Si −→n appartient a l’un des plans principaux (n2

1=0

ou n2

2=0 ou n2

3=0) alors P est sur l’un des cercles de Mohr. Le maximum du module dela contrainte de cisaillement quand −→n varie, est egal au rayon du grand cercle.

τmax = max︸︷︷︸

i,j

σi − σj

2



σ3 σ2 σ1

τ

σn

τmax



6.6 Criteres de limite elastique

6.6.1 aspects experimentaux

L’experience met en evidence l’existence d’un domaine d’elasticite a l’interieur duquelles deformations sont reversibles Le critere de plasticite est exprime a l’aide d’une fonction

Figure 6.1 – Surface de charge : chargement monotone axial, (Rousset, 1985)

Figure 6.2 – Surface de charge : traction–torsion, (Rousset, 1985)



scalaire appele fonction de charge. La theorie d’elasticite conduit a des resultats qui nesont valables qui si la “contraint” ne depasse pas le seuil de limite d’elasticite.

— si f(σ∼) < 0 l’etat actuel se trouve a l’interieur du domaine d’elasticite

— si f(σ∼) = 0 l’etat actuel se situe sur la frontiere du domaine

Pour caracteriser un materiau isotrope, la fonction de charge est exprimee en fonction :— Invariants du tenseur de contraintes

— I1 = Tr σ∼= σii

— I2 = (1/2)Trσ∼

2 = (1/2)σijσji

— I3 = (1/3)Trσ∼

3 = (1/3)σijσjkσki

— Invariants du deviateur (s∼= σ

∼− (I1/3)I

∼)

— J1 = Tr s∼= 0

— J2 = (1/2)Tr s∼

2 = (1/2)sijsji— J3 = (1/3)Tr s

∼

3 = (1/3)sijsjkski— Afin de comparer plus facilement les modeles aux resultats experimentaux, il est

plus commode d’utiliserJ =

√

3J2

• dans le cas unidimensionnel (traction), il suffit de s’assurer que | σ |≤ σe ou σe

designe la limite elastique en traction.• dans le cas tridimensionnel, il faut verifier un critere de limite delasticite qui secrit :f(σ

∼) ≤ σe ou f est une fonction reelle (scalaire).

6.6.2 Exemples de criteres

• Critere de contrainte normale maximale

Les materiaux fragiles rompent generalement lorsque la contrainte normale σn at-teint une valeur critique (par exemple, la limite d’elasticite en traction Re). Lafonction critere correspondante s’ecrit

f(σ∼) =

Sup︸︷︷︸

||−→n ||=1

σn

Le critere de rupture stipule que le materiau reste sain tant que

f(σ∼) < Re

Ce critere peut aussi s’ecrire

f(σ∼) = max(σ1, σ2, σ3) < Re

La rupture s’effectue souvent dans le plan normale a la direction principale −→n1

associee a la contrainte principale maximale σ1. Dans les alliages metalliques, larupture fragile est souvent caracteristique du comportement a froid.



• critere de Tresca

Le critere de Tresca fait intervenir les cisaillements maximums dans chaque planprincipal. Il s’applique aux materiaux ductiles (alliages cuivreux ou d’aluminium,aciers doux, ...) et suppose que le seuil de limite elastique est atteint quand lecisaillement devient egal a une valeur limite τe :

f(σ∼) = Sup

︸︷︷︸

i,j

| σi − σj |2

≤ τe

Pour le critere de Tresca, le seuil de plasticite n’est pas lie a l’energie elastique decisaillement mais a la contrainte de cisaillement. D’apres les essais experimentaux,τe vaut σe/2 d’ou :

Sup︸︷︷︸

i,j

| σi − σj |≤ σe

La surface de charge n’est pas reguliere en general (discontinuite de la normale auxpoints anguleux).

• Critere de von Mises

Por le critere de von Mises, le seuil de plasticite est lie a l’energie elastique decisaillement. Ce critere s’applique egalement aux materiaux ductiles. Il repose surla constatation qu’un metal resiste a des compressions hydrostatiques tres grandes.On enleve alors dans le critere, la contribution de la partie spherique du tenseurdes contraintes. Le critere de von Mises est couramment utilise dans dans les si-mulations numeriques de la reponse de structures elastoplastiques, Il fait appel aune fonction quadratique des differences entre les contraintes principales. Ce criteres’exprime :soit en fonction des contraintes principales :

f(σ∼) =

√

1

2

[

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2]

≤ Re

soit en fonction des composantes du tenseur des contraintes :

f(σ∼) =

√

1

2

[

(σ11 − σ22)2 + (σ22 − σ33)2 + (σ11 − σ33)2 + 6(σ212 + σ2

13 + σ223)]

≤ Re

• Comparaison des criteres de von Mises et de Tresca

En traction-cisaillement :von Mises : f(σ, τ) =

√σ2 + 3τ 2 ≤ Re

Tresca : f =√σ2 + 4τ 2 ≤ Re

Plan des contraines principalevon Mises : f(σ1, σ2) =

√

σ21 + σ2

2 − σ1σ2 ≤ Re Tresca :

f(σ1, σ2) = σ2 − σy si 0 ≤ σ1 ≤ σ2

f(σ1, σ2) = σ1 − σy si 0 ≤ σ2 ≤ σ1

f(σ1, σ2) = σ1 − σ2 − σy si 0 ≤ σ2 ≤ σ1



−100

0

100

−100 0 100

σ22(M

Pa)

σ11 (MPa)

Trescavon Mises

Surface de charge : chargement monotone axial, Tresca/Mises 11-22

−100

0

100

−100 0 100

σ12(M

Pa)

σ11 (MPa)

Trescavon Mises

Surface de charge : chargement monotone axial, Tresca/Mises 11-12


Chapitre 7

Comportement elastique lineaire

Le probleme en mecanique des milieux continus consiste a determiner en tout point

M de la structure le couple (σ∼,−→U ) qui doit satisfaire en tout point M et a tout instant :

divσ∼+−→f =

−→0 → 3 equations

ε∼= 1

2(grad−→U + gradT

−→U ) → 6 equations

Soient 9 equations a 15 inconnues. Les 6 equations manquantes sont fournies par le com-portement du materiau. Cette loi est de la forme

σ∼= F (ε

∼) ⇔ σij = f(εkl)

Cette loi de comportement est determinee experimentalement a partir d’essais. Le compor-tement d’un materiau est generalement elastique tant que la contrainte σ reste inferieure aune limite σe. C’est a dire que si l’on relache l’effort exerce, la materiau retrouve sa formeinitiale. Au dela de la limite σe on observe des deformations permanentes (plasticite).Si on suppose que d’une part l’etat initial est naturel, et que d’autre part le materiaua un comportement elastique lineaire c’est a dire que les relations entre l’etat decontrainte et l’etat de deformation sont des fonctions lineaire, on peut ecrire :

σij = Λijklεkl

Le tenseur du quatrieme ordre Λ∼∼

represente le tenseur de raideur. Compte tenu de lasymetrie des tenseurs contrainte et deformation,Λ

∼∼

est represente par 36 termes. Le nombrede parametres independants n’est que de 21 a cause des 15 conditions d’integrabilite deCauchy pour la forme differentielle de l’energie de deformation :

∂σij

∂εkl=

∂σkl

∂εij

L’identification de ces coefficients elastiques repose sur l’evaluation de la raideur dans desessais statiques (traction-compression, torsion ...), dans des essais de vibrations ou dansdes essais de propagation d’ondes.

39


7.1 Convention d’ecriture

Le tenseur de raideur est un tenseur d’ordre 4. Il est delicat a expliciter. Il convientdonc de trouver une methode qui permette une simplification d’ecriture. La solution resideen des applications lineaires. L’une permet de passer de l’espace vectoriel de dimension 2associe aux tenseurs d’ordre 2 vers un espace vectoriel de dimension 1 auquel on associerades tenseurs d’ordre 1. Pour le tenseur des contraintes, cette application se presente sousla forme suivante :

σ∼=

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

→ σ =

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

Pour le tenseur des deformations, on peut utiliser l’application donnee par :

ε∼=

ε11 ε12 ε13ε12 ε22 ε23ε13 ε23 ε33

→ ε =

ε11ε22ε33γ23 = 2ε23γ13 = 2ε13γ12 = 2ε12

La nouvelle forme du tenseur de raideur permet alors de lui associer une matrice carree(6,6) :

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

ε11ε22ε33γ23γ13γ12

Compte tenu des conditions d’integrabilite de Cauchy sur le travail de deformation, nousavons les relations suivantes :

C12 = C21 C14 = 2C41 C24 = 2C42 C34 = 2C43 C45 = C54

C13 = C31 C15 = 2C51 C25 = 2C52 C35 = 2C53 C46 = C64

C23 = C32 C16 = 2C61 C26 = 2C62 C36 = 2C63 C56 = C65

Ces relations etant au nombre de 15, nous nous retrouvons bien avec 21 coefficientsindependants.

7.2 Materiau orthotrope

Un milieu est dit orthotrope pour une propriete donnee si cette propriete est invariantepar changement de direction obtenue par symetrie relative a deux plans orthogonaux. On



remarque qu’alors la symetrie par rapport au troisieme plan orthogonal est automatique-ment acquise. Ce mode de comportement est relativement bien realise pour le bois (danscertains cas), les composites unidirectionnels et les produits metalliques lamines.Dans ce cas, on obtient les conditions

C12 = C24 = C34 = C64 = C15 = C25 = C35 = C65 = 0

Le tenseur de raideur n’a plus que 13 coefficients independants. La condition de symetriepar rapport a un plan orthogonal conduit a restreindre le nombre de coefficientsindependants a 9

ε11ε22ε33γ23γ13γ12

=

1/E1 −ν12/E1 −ν13/E1 0 0 0−ν21/E2 1/E2 −ν23/E2 0 0 0−ν31/E3 −ν32/E3 1/E3 0 0 0

0 0 0 1/G23 0 00 0 0 0 1/G31 00 0 0 0 0 1/G12

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

Les conditions de symetrie se traduisent par :

ν12E1

=ν21E2

ν13E1

=ν31E3

ν23E2

=ν32E3

Le materiau est donc caracterise par 9 coefficients independants, a savoir 3 modulesd’elasticite longitudianle E1, E2, E3, 3 modules de cisaillement G12, G23, G31 et 3 co-efficients de contraction ν12, ν23, ν31.

7.3 Materiau isotrope transverse

Un milieu est dit isotrope transverse pour une propriete donnee si cette propriete estinvariante par changement de direction obtenue par rotation autour d’un axe privilegie.Dans ce cas, tout plan passant par l’axe privilegie est un plan de symetrie. Le milieu estainsi deja orthotrope. On demontre qu’il ne subsiste que 5 coefficients independants et lesequations deviennent :

ε11ε22ε33γ23γ13γ12

=

1/E1 −ν12/E1 −ν13/E1 0 0 0−ν12/E1 1/E1 −ν13/E1 0 0 0−ν13/E1 −ν13/E1 1/E3 0 0 0

0 0 0 2(1 + ν12)/E1 0 00 0 0 0 1/G13 00 0 0 0 0 1/G13

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

7.4 Materiau isotrope

L’hypothese d’isotropie impose que la loi de comportement soit independante du reperechoisi pour l’exprimer. En d’autre terme, le tenseur de raideur doit etre invariant pour



tout changement de base. On peut alors demontrer que la seule forme possible de cetenseur est

Λijkl = λδijδkl + µ (δikδjl + δilδjk)

On obtient ainsi la loi de comportement faisant apparaıtre les coefficients de Lame (λ etµ)

σij = 2µεij + λεkkδij

Si le materiau est homogene, isotrope, si la transformation est continue, infinitesimale etreversible, la loi de comportement s’ecrit sous forme tensorielle :

σ∼= 2µε

∼+ λtrace(ε

∼)1∼

ε∼= 1 + ν

Eσ∼− ν

Etrace(σ

∼)1∼

avec

µ = E2(1 + ν)

= G premier coefficient de Lame, module de Coulomb

λ = νE(1 + ν)(1− 2ν)

deuxieme coefficient de Lame

E =µ(3λ+ 2µ)

λ+ µmodule d’Young

ν = λ2(λ+ µ)

coefficient de Poisson

7.5 Equations supplementaires en elasticite

Munis de ces 6 relations de comportement, le probleme elastique est a 15 inconnues a

15 equations differentielles ou non. Un probleme delasticite consiste donc a trouver (σ∼,−→U )

verifiantdivσ

∼+−→f =

−→0 sur Ω

ε∼= 1

2(grad−→U + gradT

−→U )

ε∼= 1 + ν

E σ∼− ν

E trace(σ∼)1∼

sur Ω

Auxquelles on rajoute les conditions limites pour trouver les constantes d’integration :−→U =

−→U d sur ∂1Ω ; ∂1Ω est le lieu de ∂Ω ou l’on impose les deplacements.

σ∼

−→n =−→F sur ∂2Ω est le lieu de ∂Ω ou l’on impose les efforts.

Enfin selon que l’on utilise une forme de champ de deplacement ou de contrainte on utiliserles deux methodes de resolution suivantes :

• Methode des deplacements (equation de Navier)L’utilisation de la loi de comportement et de la relation cinematique (deplacement-deformation) permet d’aboutir a l’equation de Navier qui traduit en deplacementles equations locales d’equilibre :

(λ+ µ)grad (div U) + µ∆ U +−→f =

−→0



qui peut etre mise sous la forme

(λ+ 2µ)grad(div U)− µ rot rot U +−→f =

−→0

• Equations de compatibilite de Beltrami Les equations de Beltrami consiste a trans-former les memes equations en fonction des contraintes :

∆σ∼+

ν

1− νdiv

−→f 1

∼+

1

1 + νgrad(grad(tr(σ

∼))) + grad

−→f + gradT

−→f = 0

∼

7.6 Elasticite Plane

Un champ de deformation ou de contrainte est dit plan si l’une de ses valeurs propresest nulle. On parle alors respectivement de deformations planes ou de contraintes planes.

• Contraintes planes : C’est le cas ou la structure est de type plaque chargee dansson plan moyen, on peut supposer que les contraintes sont planes :

σ∼=

σ11 σ12 0σ12 σ22 00 0 0

Dans ce cas la relation de comportement de Lame permet d’avoir :

ε∼=

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 ε33

avec

ε33 = − λ

λ+ 2µ(ε11 + ε22)

• Deformations planes : Dans le cas de pieces de grandes epaisseurs, le chargementengendre des deformation du type :

ε∼=

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 0

Ici encore, la relation de comportement permet de montrer que le champ descontraintes est de la forme :

σ∼=

σ11 σ12 0σ12 σ22 00 0 σ33

avec σ33 = ν(σ11 + σ22)


Chapitre 8

Problemes

8.1 Etat de deformation homogene triaxiale

Enonce

On considere une deformation homogene triaxiale definie par les relations

x1 = λ1X1

x2 = λ2X2

x3 = λ3X3

1. Determiner les composantes, dans la base orthonormee directe(−→E 1,

−→E 2,

−→E 3

)

des tenseurs suivants :— Tenseur gradient— Tenseur de Cauchy Green droit— Tenseur des deformations de Green Lagrange— Tenseur de Cauchy Green gauche— Tenseur des deformations d’Euler Almansi

2. Simplifier l’expression F∼

−1T ⊗ E∼⊗ F

∼

−1

Corrige

1. — Tenseur gradient F∼

Fij =∂xi

∂Xj⇒ F

∼=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

44


— Tenseur de Cauchy Green droit C∼= F

∼

TF∼

C∼=

λ2

10 0

0 λ2

2 00 0 λ2

3

— Tenseur des deformations de Green Lagrange E∼= (1/2)(C

∼− 1

∼)

E∼=

1

2

λ2

1− 1 0 0

0 λ2

2− 1 0

0 0 λ2

3− 1

— Tenseur de Cauchy Green gauche B∼= F

∼F∼

T

B∼=

λ21 0 0

0 λ2

20

0 0 λ2

3

— Tenseur des deformations d’Euler Almansi A∼= (1/2)(1

∼−B

∼

−1)

A∼=

1

2

1− 1/λ2

10 0

0 1− 1/λ2

20

0 0 1− 1/λ23

2. Apres simplification, il vient : F∼

−1T ⊗ E∼⊗ F

∼

−1 = A∼

8.2 Cisaillement en grandes deformations

Enonce

On considere, dans l’hypothese des grandes deformations, le champ des deplacementssuivant :

−→u

kX2

00

1. Determiner les composantes, dans la base orthonormee directe(−→E 1,

−→E 2,

−→E 3

)

des tenseurs suivants :— Tenseur gradient— Tenseur de Cauchy Green Droit— Tenseur des deformations de Green Lagrange— Tenseur de Cauchy Green Gauche



(a) Calculer la dilatation lineaire dans les directions−→E 1,

−→E 2,

−→E 1+

−→E 2 et

−→E 1+−→

E 2 +−→E 3

(b) Calculer les distorsions angulaires γ(−→E 1,

−→E 2) et γ(

−→E 1,

−→E 1 +

−→E 2)

Corrige

1. — Tenseur gradient

Fij = δij +∂ui

∂Xj

⇒ F∼=

1 k 00 1 00 0 1

— Tenseur de Cauchy Green droit C∼= F

∼

TF∼

C∼=

1 k 0k 1 + k2 00 0 1

— Tenseur des deformations de Green Lagrange E∼= (1/2)(C

∼− 1

∼)

E∼=

1

2

0 k 0k k2 00 0 0

— Tenseur de Cauchy Green gauche B∼= F

∼F∼

T

B∼=

1 + k2 k 0k 1 00 0 1

(a) dilatations lineaires :

λ(−→E 1) =

√

C11 = 1

λ(−→E 2) =

√

C22 =√1 + k2

λ(−→E 1 +

−→E 2) =

√

(−→E 1 +

−→E 2)/

√2.C

∼.(−→E 1 +

−→E 2)/

√2 =

√

1 + k + k2/2

λ(−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3) =

√

(−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3.C

∼.(−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3 =

√

1 + 2k/3 + k2/3



(b) Distorsions angulaires :

sin γ(−→E 1,

−→E 2) =

C12√C11C22

=k√

1 + k2

cosΘ =−→E 1.(

−→E 1 +

−→E 2)/

√2 = 1/

√2

cos θ =

−→E 1.C

∼.(−→E 1 +

−→E 2)

λ(−→E 1)λ(

−→E 1 +

−→E 2)

=1 + k√

2 + 2k + k2

γ(−→E 1,

−→E 1 +

−→E 2) = Θ− θ

8.3 Cisaillement en petites deformations

Enonce

On considere, dans le cadre des petites deformations, le champ des deplacementssuivant :

−→u

kX2

00

1. Calculer le tenseur des deformations linearise

2. Calculer la dilatation lineaire en ce point de−→E 1,

−→E 2 et

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3

3. Calculer les distorsions angulaires γ(−→E 1,

−→E 2

)

et γ(−→E 1,

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3

)

Corrige

1. Tenseur des deformations linearise

εij =1

2(ui,j + uj,i) ⇒ ε

∼(M) =

0 k/2 0k/2 0 00 0 0

2. Dilatations lineaires :

δ(−→E 1) = ε11 = 0 δ(

−→E 2) = ε22 = 0

δ(−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3) = (

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3.ε

∼.(−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3 = k/3



3. Distorsions angulaires

γ(−→E 1,

−→E 2

)

= 2ε12 = k

γ(−→E 1,

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3

)

:

cosΘ =−→E 1.(

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3 = 1/

√3

cos θ =

−→E 1.(2ε

∼+ I

∼).(

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)/

√3

λ(−→E 1)λ(

−→E 1 +

−→E 2 +

−→E 3)

=k + 1√

3(k/3 + 1)

8.4 Cylindre en torsion

Enonce

On considere une piece cylindrique de hauteur h, de rayon R, realisee avec un materiauelastique isotrope et homogene. On soumet cette piece, encastree au sol, a un coupleC sur la face superieure. On constate que le barreau se deforme comme un empilagede disques, c’est-a-dire que la hauteur h reste constante et que chaque section droitetourne sans se gauchir d’un angle proportionnel a la cote de la section droite. Ondemontre dans ces conditions que le champ de deplacement −→u (M) s’ecrit relativementa la base cartesienne (−→e 1,

−→e 2,−→e 3)

−→u (M)

−Kx2x3

Kx1x3

0

1. Ecrire toutes les conditions aux limites du probleme

2. Donner l’expression du tenseur des deformations en tout point de la piece

3. Calculer les deformations principales et les directions principales

4. Determiner le tenseur des contraintes

5. Determiner la constante K

6. Calculer les contraintes principales

7. Tracer le tri-cercle de Mohr

Corrige

1. z = 0 ⇒t −→u = (0, 0, 0) z = h ⇒ C =∫τρds



2. Tenseur des deformations deduit a partir du champ des deplacement

ε∼(M) =

0 0 −Kx2/20 0 Kx1/2

−Kx2/2 Kx1/2 0

3. Deformations principales :det(ε

∼−λ1

∼) = 0 ⇒ λ1 = 0 λ2 = −(K/2)

√

x21 + x2

2 λ3 = (K/2)√

x21 + x2

2

Directions principales :

−→V 1 =

x1/√

x21 + x2

2

x2/√

x21+ x2

2

0

−→V 2 =

x2/(√2√

x21 + x2

2)

−x1/(√2√

x21+ x2

2)

1/√2

−→V 3 =

−x2/(√2√

x21 + x2

2)

x1/(√2√

x21+ x2

2)

−1/√2

4. en applicant la loi de Hooke (elasticite isotrope lineaire) σ∼= 2µε

∼+ λtrace(ε

∼)1∼

on obtient le tenseur des contraintes :

σ∼(M) =

0 0 −Kµx2

0 0 Kµx1

−Kµx2 Kµx1 0

5. D’apres la question precedente, τ = µK√

x21+ x2

2= µKρ. En remplacant cette

expression dans la formule du couple, il vient :C =

∫τρds = µK

∫ρ2ds = Kµ2πR4/4 ⇒ K = 2C/(µπR4)

6. Contraintes principales :det(σ

∼− λ1

∼) = 0 ⇒

σI = 0 σII = −µK√

x21+ x2

2= −µKρ σIII = µK

√

x21+ x2

2= µKρ

7. Tri-cercle de Mohr



−µKρ 0 µKρ

τ

σn

µKρ

8.5 Etude d’un barrage

Enonce

On considere un barrage de section traingulaire OAB encastre au sol sur la face ABet soumis sur la face OA a la pression hydrostatique de l’eau. ρ et ρe sont les massesvolumiques du materiau constituant le barrage et celui de l’eau. g est l’accelerationde la pesanteur. On suppose que le tenseur des contraintes en tout point du barrage

est defini dans le repere (−→i ,

−→j ,

−→k ) par

σ∼=

σ11 σ12 0σ12 σ22 00 0 σ33

σ11 = ax+ by, σ22 = cx+ dy, σ12 = ex+ fy

1. Ecrire les equations d’equilibre

2. Ecrire les conditions aux limites sur OA et OB

3. Determiner les constantes du probleme



O

i

j

A B

eau

h

Corrige

1. Equations d’equilibre

σ11,1 + σ12,2 + ρg = 0 a+ f + ρg = 0

σ12,1 + σ22,2 = 0 e+ d = 0

2. sur OA (−→n = (0,−1, 0), y = 0,−→T = (0, ρegx, 0))

d’ou e = 0, c = −ρeg, d = 0

sur OB (−→n = (− sinα, cosα, 0), y = x tanα,−→T = (0, 0, 0))

−σ11 sinα + σ12 cosα = −(ax+ bx tanα) sinα+ (fx tanα) cosα = 0

−σ12 sinα + σ22 cosα = −(fx tanα) sinα + (cx) cosα = 0

On en deduit f = c/ tan2 α = −ρeg/ tan2 α, a = ρeg/ tan

2 α− ρgb = ρg/ tanα− 2ρeg/ tan

3 α

3. a = ρeg/ tan2 α − ρg, b = ρg/ tanα − 2ρeg/ tan

3 α, c = −ρeg, d = 0, e = 0,f = c/ tan2 α = −ρeg/ tan

2 α

8.6 Cylindre sous pression

Enonce



Determiner l’expression des champs de deplacement, de deformations et descontraintes d’un cylindre creux soumis a une pression P1 au niveau de son rayonexterieur R1 et une pression P2 au niveau de son rayon interieur R2. Le cylindre estde hauteur h. Il est fixe a sa base selon la direction z et soumis a une pression P sursa face superieur.

Corrige

Vue la symetrie du probleme,−→U = (Ur(r), 0, Uz(z)).

Le champ des deformations est par consequent :

ε∼=

∂Ur∂r

0 0

0 Urr 0

0 0 ∂Uz∂z

La loi de comportement donne :

σ∼=

(λ+ 2µ)∂Ur∂r

+ λ(Urr + ∂Uz

∂z) 0 0

0 (λ+ 2µ)Urr + λ(∂Ur

∂r+ ∂Uz

∂z) 0

0 0 (λ+ 2µ)∂Uz∂z

+ λ(Urr + ∂Ur

∂r)

On ecrit les equations d’equilibre

∂σrr

∂r+

σrr − σθθ

r= 0

∂σzz

∂z= 0

Ceci donne lieu aux equations differentielles :

∂2Ur

∂r2+

∂

∂r(Ur/r) = 0

∂2Uz

∂z2= 0

Ce qui donne pour le champ des deplacements

Ur = Ar/2 +B Uz = Cz

On en deduit

σrr = (λ+ µ)A− 2µB/r2 + λC

σθθ = (λ+ µ)A+ 2µB/r2 + λC

σzz = (λ+ 2µ)C + λA

Determination des constantes A, B et C



— pour r = R1,−→n = −−→e r et

−→T = P1

−→e r soit (λ+ µ)A− 2µB/R2

1 + λC = −P1

— pour r = R2,−→n = −→e r et

−→T = −P2

−→e r soit (λ+ µ)A− 2µB/R2

2+ λC = −P2

— pour z = H , −→n = −→z et−→T = P−→z soit (λ+ 2µ)C + A = P

8.7 Reservoir spherique sous pression

Enonce

Determiner l’expression des champs de deplacement, de deformations et descontraintes d’une enceinte spherique soumise a une pression P1 au niveau du rayonexterieur R1 et une pression P2 au niveau du rayon interieur R2.

Corrige

Vue la symetrie du probleme,−→U = (U(r), 0, 0).

Le champ des deformations est par consequent :

ε∼=

∂U∂r

0 0

0 Ur 0

0 0 Ur

La loi de comportement donne :

σ∼=

(λ+ 2µ)∂U∂r

+ 2λUr 0 0

0 λ∂U∂r

+ 2(µ+ λ)Ur 0

0 0 λ∂U∂r

+ 2(µ+ λ)Ur

Les equations d’equilibre donnent lieu a l’equation differentielle :

∂2U

∂r2+

2

r

∂U

∂r− 2

r2U = 0

Le champ des deplacements et des contraintes sont de la forme :

U = Ar/3 +B/r2

σrr = (3λ+ 2µ)A/3− 4µB/r3

σθθ = σϕϕ = (3λ+ 2µ)A/3 + 2µB/r3

Determination des constantes A et B— pour r = R1,

−→n = −−→e r et−→T = P1

−→e r soit (3λ+ 2µ)A/3− 4µB/R3

1= −P1

— pour r = R2,−→n =

−→U r et

−→T = −P2

−→e r soit (3λ+ 2µ)A/3− 4µB/R3

2= −P2



8.8 Exercices

Exercice 1

On considere une deformation definie par les relations

x1 = X1 +X3/3x2 = X2

x3 = X3

Calculer :

1. le tenseur gradient de la transformation

2. le tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit

3. l’allongement relatif selon les trois axes X1, X2, X3

4. l’angle entre les axes 1 et 2 apres transformation

5. le tenseur des deformations de Green-Lagrange

6. le tenseur petites deformations

7. la deformation selon les trois axes

Exercice 2

Dans le cadre des petites deformations, on definit le champ des deplacements reignantdans un cylindre en coordonnees cartesiennes :

−→u (x, y, z) =C

µJ(xy−→e z − xz−→e y + ϕ(y, z)−→e x) +

F

ES(x−→e x − ν(y−→e y + z−→e z))

ou F est la force axiale, C le couple, E le module d’young, ν le coefficient de poisson, Sla section, µ le module de cisaillement et J le moment quadratique sont des constantesconnues

1. Donner l’expression du tenseur des deformations linearise

2. Que devient ce tenseur si ϕ(y, z) = yz. Quelle est la nature des deformations.

3. Que devient ce tenseur si ϕ(y, z) = −yz. Quelle est la nature des deformations.

4. Donner l’expression des deformations principales pour ϕ(y, z) = yz.

5. Donner l’expression des deformations principales et des directions principales pourϕ(y, z) = −yz et F=0.

Exercice 3

On donne le tenseur des deformations suivant

ε∼(M) =

A

Ey

1 0 00 −ν 00 0 −ν

1. De quel genre de deformation s’agit-il ?

2. Ce champ est-il compatible ?

3. Determiner le champ des deplacements


Bibliographie

Rousset, M. (1985). Surface seuil de plasticite : determination automatique et

modelisation. These de doctorat, Universite Paris 6, Cachan.

55

Documents

Mecanique des Milieux Continus´ - kacemsai.weebly.comkacemsai.weebly.com/uploads/7/5/5/8/7558905/mmc_2018.pdf · L’hypoth`ese fondamentale pour mettre en place les ´equations