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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
DEFORMATIONS
Cadre général
Tenseur gradient des vitesses de déplacement
Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations
Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange
Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
Hypothèse des petites perturbations
Tenseur gradient des déplacements
Déformation et rotation de corps solide
Dilatation volumique
Équations de compatibilité
Mesure des déformations
Résumé
Bilan
Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
Angle entre deux directions
Conditions aux limites
DEFORMATIONS
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Il faut utiliser :
Comment décrire la transformation de ce solide ?
- une déformation- un déplacement de corps solide
- une rotation
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Tenseur des dilatations
Dilatation dans une direction
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Tenseur des déformations de Green-Lagrange
Formulation eulérienne en vitesses
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vitesse d'un point : v( x , t)
vP
x
C(t)
P
X
C0
vitesse autour du point P : dv = gradX(v).dX = gradX(v).F-1.dx = F.F-1.dx
v+dv
.
Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F-1.
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Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
Tenseur des déformations de Green-Lagrange
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Hypothèse des petites perturbations
Tenseur gradient des déplacements
Déformation et rotation de corps solide
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Équations de compatibilité
Mesure des déformations
Résumé
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
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Tenseur gradient des vitesses de déplacement
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Tenseur « taux de déformation »
D = ½ (L+Lt)
Tenseur « taux de rotation »
ΩΩΩΩ = ½ (L-Lt)
L = D+ΩΩΩΩ
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Tenseur des déformations de Green-Lagrange
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Formulation en déplacements
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Déformation et rotation de corps solide
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Mesure des déformations
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
Angle entre deux directions
Conditions aux limites
Tenseurs taux de déformation et de rotation
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?
C0C(∆∆∆∆t)
C(2∆∆∆∆t)etc…
La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps
Configuration « lagrangienne réactualisée »
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C : tenseur des dilatations
P
C0
P
C(t)
dxdy
dX
dY
dx . dy = dX . Ft.F . dY
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Tenseur des dilatations
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P
C0
P
C(t)
dx
dXNX
λ(NX) = ||dx|| / ||dX|| = NX.C.NX
Dilatation λ (ou changement de longueur) dans la direction NX :
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P
C0
P
C(t)
dxdy
dX
dY
NX
NY
Glissement (ou changement d’angle α) entre les directions NX et NY :
cos(α(NX, Ny)) = dx . dy / ||dx|| ||dy|| = NX.C.NY / λ(NX) λ(NY)
α ?
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Angle entre deux directions
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tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (FtF-I)
P
C0
P
C(t)
dxdy
dX
dY
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C-1) = ½ (I-F-tF-1)
P
C0
P
C(t)
dxdy
dX
dY
dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy
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Tenseur des déformations d’Euler-Almansi
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
évolution de la composante ui du déplacement le long de la direction xj de l ’espace
a1
a2
état initial
d = gradX(u) ou dij = ui,jL = gradX(v)
identification de C0 et C(t) : F ≈ gradX(v).
faibles changements de forme : F-1 ≈ I – grad(u)F = I + grad(u)
état courant
d11 = 0
d12 > 0
d21 = 0
d22 = 0
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Tenseur gradient des déplacements
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- symétrique- diagonaldans le repère
- antisymétrique- « rotation »des axes
a1
a2
état initial
état courant
d = εεεε + ωωωω avec ε = ½ (d+dt) : tenseur des déformations
ω = ½ (d-dt) : tenseur des rotations
Tenseur desdéformations
Tenseur desrotations
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Déformation et rotation de corps solide
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
F = I+d
dv = det(F)dV = det(I+d)dV ≈ (1+tr(ε))dV
En tout point du solide, la variation de volume est donnéepar la trace du tenseur des déformation
dv
P
x
C(t)
dVP
X
C0
d = grad( u )DEFORMATIONS
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ε (symétrique) donné est-il toujours le tenseurde déformation d’une ou de plusieurs transformations ?
d ε ω
Une transformation est caractérisée par
un tenseur gradient des déplacements d = ε + ω
εε ε ε
6 équations de compatibilité
doit être tel que : d.dX = duoù du est une différentielletotale
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Conditions aux limites
Équations de compatibilité
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
différents points de mesure
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Tenseur des dilatations
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Tenseurs taux de déformation et de rotation
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Tenseur gradient des déplacements
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Ω
tous les déplacementssont imposés nuls surcette ligne
le vecteur déplacementest imposé ici (chargementde la structure)
∂Ωu
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Mesure des déformations
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Angle entre deux directions
Conditions aux limitesConditions aux limites
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
DéformationsHypothèse des petites
perturbations
équations de compatibilité
εki,jl + εlj,ik = εkj,il + εli;jk
vecteur déplacement : u( X ,t)
conditions aux limites :
u = U sur ∂Ωu
tenseur des déformations :
ε = ½ (grad(u) + grad(u)t)
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Intégration dans le temps
Tenseur des dilatations
Dilatation dans une direction
Tenseurs taux de déformation et de rotation
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Formulation eulérienne en vitesses
Formulation en déplacements
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Tenseur gradient des déplacements
Déformation et rotation de corps solide
Dilatation volumique
Équations de compatibilité
Mesure des déformations
Résumé
Bilan
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Angle entre deux directions
Conditions aux limites
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