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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites DEFORMATIONS

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  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    DEFORMATIONS

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Il faut utiliser :

    Comment dcrire la transformation de ce solide ?

    - une dformation- un dplacement de corps solide

    - une rotation

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Cadre gnral

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    vitesse d'un point : v( x , t)

    vP

    x

    C(t)

    P

    X

    C0

    vitesse autour du point P : dv = gradX(v).dX = gradX(v).F-1.dx = F.F-1.dx

    v+dv

    .

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement : L = F.F-1.

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Tenseur taux de dformation

    D = (L+Lt)

    Tenseur taux de rotation

    = (L-Lt)

    L = D+

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Comment intgrer dans le temps les tenseurs taux de dformation et de rotation ?

    C0C(t)

    C(2t)etc

    La configuration est actualise la fin de chaque incrment de temps

    Configuration lagrangienne ractualise

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Intgration dans le temps

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    C : tenseur des dilatations

    P

    C0

    P

    C(t)

    dxdy

    dX

    dY

    dx . dy = dX . Ft.F . dY

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseur des dilatations

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    P

    C0

    P

    C(t)

    dx

    dXNX

    (NX) = ||dx|| / ||dX|| = NX.C.NX

    Dilatation (ou changement de longueur) dans la direction NX :

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Dilatation dans une direction

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    P

    C0

    P

    C(t)

    dxdy

    dX

    dY

    NX

    NY

    Glissement (ou changement dangle ) entre les directions NX et NY :

    cos((NX, Ny)) = dx . dy / ||dx|| ||dy|| = NX.C.NY / (NX) (NY)

    ?

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Angle entre deux directions

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    tenseur de Green-Lagrange : E = (C-I) = (FtF-I)

    P

    C0

    P

    C(t)

    dxdy

    dX

    dY

    dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    tenseur dEuler-Almansi : e = (I-C-1) = (I-F-tF-1)

    P

    C0

    P

    C(t)

    dxdy

    dX

    dY

    dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    volution de la composante ui du dplacement le long de la direction xj de l espace

    a1

    a2

    tat initial

    d = gradX(u) ou dij = ui,jL = gradX(v)

    identification de C0 et C(t) : F gradX(v).

    faibles changements de forme : F-1 I grad(u)F = I + grad(u)

    tat courant

    d11 = 0

    d12 > 0

    d21 = 0

    d22 = 0

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Tenseur gradient des dplacements

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    - symtrique- diagonaldans le repre

    - antisymtrique- rotation des axes

    a1

    a2

    tat initial

    tat courant

    d = + avec = (d+dt) : tenseur des dformations = (d-dt) : tenseur des rotations

    Tenseur desdformations

    Tenseur desrotations

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Dformation et rotation de corps solide

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    F = I+d

    dv = det(F)dV = det(I+d)dV (1+tr())dV

    En tout point du solide, la variation de volume est donnepar la trace du tenseur des dformation

    dv

    P

    x

    C(t)

    dVP

    X

    C0

    d = grad( u )DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Dilatation volumique

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    (symtrique) donn est-il toujours le tenseurde dformation dune ou de plusieurs transformations ?

    d

    Une transformation est caractrise par

    un tenseur gradient des dplacements d = +

    6 quations de compatibilit

    doit tre tel que : d.dX = duo du est une diffrentielletotale

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    quations de compatibilit

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    diffrents points de mesure

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Mesure des dformations

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    tous les dplacementssont imposs nuls surcette ligne

    le vecteur dplacementest impos ici (chargementde la structure)

    u

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

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    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limitesConditions aux limites

  • MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    DformationsHypothse des petites

    perturbations

    quations de compatibilit

    ki,jl + lj,ik = kj,il + li;jk

    vecteur dplacement : u( X ,t)

    conditions aux limites :

    u = U sur u

    tenseur des dformations :

    = (grad(u) + grad(u)t)

    DEFORMATIONS

    Cadre gnral

    Tenseur gradient des vitesses de dplacement

    Intgration dans le temps

    Tenseur des dilatations

    Dilatation dans une direction

    Tenseurs taux de dformation et de rotation

    Tenseur des dformations de Green-Lagrange

    Formulation eulrienne en vitesses

    Formulation en dplacements

    Hypothse des petites perturbations

    Tenseur gradient des dplacements

    Dformation et rotation de corps solide

    Dilatation volumique

    quations de compatibilit

    Mesure des dformations

    Rsum

    Bilan

    Tenseur des dformations dEuler-Almansi

    Angle entre deux directions

    Conditions aux limites

    Rsum