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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS SOLIDES EXERCICES · PDF fileMÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS SOLIDES EXERCICES ECPM année 2012-2013 Christophe Fond Université de Strasbourg [email protected]

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  • MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS SOLIDESEXERCICES

    ECPM anne 2012-2013

    Christophe FondUniversit de Strasbourg

    [email protected]

    Rsum

    Quelques exercices de M. M. C. "concrets", de difficults trs variables, lim-its aux hypothses des petites perturbations, i. e. lasticit linaire et petitsdplacements. Lobjectif est dillustrer des notions utiles pour la caractri-sation mcanique. Pour finir, un peu de thermomcanique du collage autravers dun exercice plus difficile.

    Mots clefs: solides dformables - mcanique des milieux continus -contraintes - dformations - dilatation thermique - thermomcanique -caractrisation mcanique - lasticit linaire isotrope - petitesdformations - cinmatique

    ICube 23 janvier 2013

  • Table des matires

    1 Dplacements et dformations 31.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Mesure de la dformation en traction uniaxiale 42.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3 Essai de traction uniaxiale 53.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    4 Cisaillement, distorsion, modules dlasticit 74.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    5 A propos de lessai de compression 85.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    6 Dilatations diffrentielles 106.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Rponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2

  • 1. Dplacements et dformations

    1.1. QuestionsOn considre un champ de dplacements dfini le dans le repre cartsien

    (x , y , z ) par les composantes U = (ux, uy, uz). Les dplacements sonttels que : ux = ax + cy, uy = ay cx et uz = az + b, o a, b et c sontdes constantes. On rappelle que le calcul des dformations est donn par

    = (1/2)(gradU + gradT U )

    1 - Dcomposer ce champ en translation, rotation et dformation.2 - Calculer les contraintes lies aux dformations en lasticit linaire

    isotrope. De quelle type de sollicitation sagit-il ?

    1.2. Rponses1 - Ce champ de dplacements contient une translation de solide rigide

    selon z damplitude b, i. e. U0 = (0, 0, b). Il contient aussi une rotation selonz damplitude c dfinie par le pseudo vecteur = (0, 0, c) de sorte que (x, y, z) = (cy, cx, 0). Ce pseudo vecteur est quivalent la matrice[]

    xyz

    = cycx

    0

    = [] xy

    z

    = 0 c 0c 0 0

    0 0 0

    xyz

    Enfin, la dformation obtenue en calculant le gradient du vecteur dplace-ment.

    = 12

    [ 2ux/x uy/x + ux/y uz/x + ux/zuy/x + ux/y 2uy/y uy/z + uz/yuz/x + ux/z uy/z + uz/y 2uz/z

    ]=

    [a 0 00 a 00 0 a

    ]

    Finalement la dcomposition en translation + rotation + dformation donnerespectivement

    uxuyuz

    = 00

    b

    + cycx

    0

    + axay

    az

    3

  • L0

    L0

    Figure 1: Strictions et ruptures en traction uniaxiale - schma de lprouvette de traction.

    2 - En lasticit linaire isotrope la loi de comportement peut scrire

    =

    [2xx + (xx + yy + zz) 2xy 2xz2xy 2yy + (xx + yy + zz) 2yz2xz 2yz 2zz + (xx + yy + zz)

    ]

    do

    = a

    [2 + (1 2) 0 00 2 + (1 2) 00 0 2 + (1 2)

    ]=

    [0 0 00 0 00 0 Ea

    ]

    car = E(1+)(12) et =E

    2(1+) .

    2. Mesure de la dformation en traction uniaxiale

    2.1. QuestionsSupposons que lon mesure, en traction uniaxiale, un allongement L

    pour une longueur initiale L0. Cet allongement seffectue dans la premiredirection principale puisque cela correspond la plus grande dformation,i. e. 1. Nous noterons x1 cette direction et u1(x1) les dplacements danscette direction. On pose u1(0) = 0.

    1 - Comment sexprime le dplacement en x1 = L0 partir de 1 si 1est uniforme ?

    2 - Comment sexprime le dplacement en x1 partir de 1 si 1 nestpas uniforme ? Que peut-on en dduire concernant la mesure L/L0 ?

    3 - Peut-on mesurer convenablement la dformation laide du dplace-ment de la traverse de la machine de traction ?

    2.2. Rponses1 - 1 = u1/x1 et dans ce cas u1/x1 = L/L0 partout donc

    u1(L0) = L = 1L02 - u1(x1)

    x10 (u1(l)/l) dl donc u1(x1) =

    x10 1(l) dl. Il vient L = LO

    0 1(l)dl puis L/L0 = (1/L0) LO

    0 1(l)dl. En dautre termes, L/L0 estla moyenne de la dformation 1 calcule entre 0 et L0, i. e. L/L0 =< 1 >.

    4

  • 3 - Lidal est de placer un extensomtre ou une jauge de dformationdans la zone o la dformation est uniforme, i. e. non perturbe par lesbords. Toutefois, lorsquune striction apparat dans la zone de mesure, lavaleur mesure nest plus convenable et constitue une moyenne. Si lon nedispose que de la mesure du dplacement de la traverse, le dplacementL va intgrer des dformations plus petites correspondant aux zones olprouvette est plus large. La contrainte moyenne de traction selon x1 vautF/S, i. e. < 1(x1) >= F/S(x1) o la moyenne est cette fois calcule sur Sen intgrant sur x2 et x3. On remarque que F ne dpend pas de x1 puisquelquilibre doit tre assur partout. Prs des mors lprouvette est plus largequen son centre donc S plus grand quen son centre. La contrainte moyennede traction y est donc plus petite et la dformation 1 est donc aussi pluspetite. Pour mieux estimer la dformation au centre, il convient donc dediviser par une longueur L0 plus petite que la distance initiale entre nusdes mors. Il nest pas possible davoir une bonne estimation quelle que soitle comportement du matriau. Il faut garder lesprit que cette faon decalculer la dformation sans extensomtre constitue une estimation.

    La Fig. 2 illustre la rpartition de la dformation longitudinale au voisi-nage des mordaches de la machine de traction pour une prouvette de trac-tion uniaxiale classique dont les bords insrer dans les mordaches sontlargis. On constate effectivement un effet de bord et il faut sen loignertypiquement dune largeur dprouvette pour rencontrer un champ quasi-ment uniforme (de couleur jaune sur la figure).

    Les bords largis permettent dviter une rupture prmature au bordde la zone de fixation puisque dans cette zone la matire est tire dans unedirection et crase dans une autre direction perpendiculaire.

    3. Essai de traction uniaxiale

    3.1. QuestionsLa Fig. 3 dcrit un essai de traction uniaxiale selon z . La surface de la

    section sur laquelle la force F est applique vaut S0.1 - dfinir le tenseur des contraintes dans le repre (x , y , z )2 - calculer le vecteur contrainte

    T pour les directions n = (0, 1/

    2, 1/

    2)

    et t = (0, 1/

    2, 1/

    2).3 - calculer le tenseur des dformations en lasticit linaire isotrope.

    3.2. Rponses1 - lanalyse des sollicitation sur chaque face donne

    =

    0 0 00 0 00 0 F/S0

    5

  • Figure 2: Rpartition de la dformation longitudinale en traction uniaxiale. Modle encontraintes planes par lments finis en lasticit linaire isotrope. Seul un quart de lprou-vette est reprsente pour raison de symtrie.

    Figure 3: Traction uniaxiale et rappel des notations.

    2 -T n = n donc

    T n = (0, 0, 1/

    2 zz) = F/S0(0, 0, 1/

    2).

    T

    t= t donc T

    t= (0, 0, 1/

    2 zz) = F/S0(0, 0, 1/

    2).

    3 - la loi de comportement scrit

    =

    [xx/E (yy + zz)/E (1 + )xy/E (1 + )xz/E

    (1 + )xy/E yy/E (xx + zz)/E (1 + )yz/E(1 + )xz/E (1 + )yz/E zz/E (xx + yy)/E

    ]do

    =

    F/ES0 0 00 F/ES0 00 0 F/ES0

    6

  • 4. Cisaillement, distorsion, modules dlasticit

    4.1. QuestionsLa Fig. 4 dcrit un cisaillement pur dans le plan (x , y ).1 - quilibrer le coin en haut droite,2 - en dduire quil sagit dune superposition de traction et compression

    45 de mme intensit,3 - dduire de cette superposition que cette sollicitation conserve le vol-

    ume dans le cas de llasticit linaire isotrope,4 - relier la dformation de distorsion xy aux allongement et raccour-

    cissement 45,5 - en dduire la relation entre le module de cisaillement et les modules

    dYoung et coefficient de Poisson,

    4.2. Rponses1 - supposons un lment de volume carr de cts dl et dpaisseur 1

    comme reprsent sur la Fig. 4. Les longueurs des segments du coin valentdl, dl et

    2dl. Les forces agissant sur les faces sont :

    pour n = x : xydlypour n = y : xydlxpour n = 1/

    2x 1/

    2y : Tx

    2dlx + Ty

    2dly

    Lquilibre impose que la somme des forces soit gale au vecteur nul, i. e.que la somme des composantes selon x soit nulle et que la somme descomposantes selon y soit nulle (il ny a pas de composante selon z dansce cas particulier) :

    xydl + Tx

    2dl = 0xydl + Ty

    2dl = 0

    On en dduit que Tx = xy/

    2 et que Ty = xy/

    2. La composantenormale de cette contrainte sobtient en faisant le produit scalaire avec ladirection normale la facette, i. e. avec n = 1/

    2x 1/

    2y et la

    composante tangentielle dans le plan (x , y ) en faisant le produit scalaireavec la direction parallle la facette t = 1/

    2x 1/

    2y .

    - composante normale sur la facette dfinie par n :

    nn =T n n i. e. nn = xy

    - composante normale sur la facette dfinie par t :

    nt =T n

    t i. e. nt = 0

    7

  • 2 - en prenant (n = 1/

    2x + 1/

    2y on montre que pour le coininfrieur droit la situation est la mme au signe prs. Si xy est positif, alorsla diagonale incline 45 est en traction et la

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