Mécanique Des Roches 2

Université KASDI MERBAH Ouargla

Faculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matière

Département d’Hydrocarbures et Chimie

Module : La mécanique des roches (cours)

Niveau : 1ère

année mastère – Forage

Enseignante : HADJADJ SOUAD

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4. La dualité Contraintes-Déformations : la loi de comportement

Il y a dualité entre les contraintes et les déformations, précisément entre la

schématisation des efforts intérieurs et la description cinématique.

4.1. Définition : la loi de comportement est l'expression mathématique de la dualité

entre les contraintes et les déformations. Les lois de comportement élémentaires

sont l'élasticité et la plasticité.

4.2. La loi de Hooke généralisée

Un schéma élastique classique est linéaire, isotrope, homogène et isotherme (la

température n'intervient pas)

kliijklij exC ; i,j,k,l = 1,2,3 est la loi de Hooke généralisée

Dont : C est une fonction de vecteur position, elle représente des coefficients

Linéarité :

Les variations des composantes du tenseur de contraintes entre l'état initial et actuel,

sont des fonctions linéaires des composantes du tenseur de déformations

infinitésimales, à partir de l'état initial. Le tenseur d'élasticité est du 4ème

ordre.

klijklijij eC 0 3,2,1,,, lkji la loi de Hooke généralisée

ijklC ne dépend que des propriétés du milieu

12

13

23

33

22

11

121212131223123312221211

131213131323133313221311

231223132323233323222311

331233133323333333223311

221222132223223322222211

111211131123113311221111

12

13

23

33

22

11

e

e

e

e

e

e

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC





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Remarque :

[σ] est symétrique → 06 composantes indépendantes au lieu de 09, on peut donc le

présenter sous forme d’un vecteur de 06 composantes

Isotropie

Le tenseur d'élasticité ne dépend que des propriétés du milieu, les propriétés mécaniques

sont identiques dans toutes les directions.

jkiljlikklijijklC

ijijeijij e 20

, : coefficients d'élasticité de Lamé

Exps :

21111111111111111C

1212121222111122C

1212221112121212C

01213231113121213 C

Homogénéité

Le milieu peut être décomposé en sous domaines homogènes sur lesquels , sont les

mêmes en tout points.

ijijij 2 (Équation fondamentale de constitution)

L’élasticité :

Le retour à la configuration de référence (initiale), dont le milieu revient à cette

configuration dés que les contraintes auxquelles il a été soumis sont annulées

A 3 dimensions, la relation entre le tenseur des contraintes et celui des déformations :

12

13

23

33

22

11

12

13

23

33

22

11

1

01

001

0001

0001

0001

G

G

G

E

EE

EEE

e

ee

e

e

e

Dont :





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E est le module de Young

Υ est le coefficient de Poisson

G est le module de Cisaillement

23E le module de Young en fonction des coefficients de Lamé

Le module de Young (E) [bar] : ou le module d’élasticité longitudinale, il représente la

rigidité ou l’aptitude du milieu à résister à la déformation

2 le coefficient de Poisson en fonction des coefficients de Lamé

le coefficient de Poisson (υ) : représente la compressibilité du milieu, la dilatation sera

nulle à 5.0 , qui caractérise le milieu solide élastique et incompressible.

Il existe un coefficient de proportionnalité entre les contraintes de cisaillement

( 121323 ,, ) est les déformations angulaires ( ),, 121323 eee appelée distorsion ou

glissement, c’est le coefficient d’élasticité transversale ou le module de

cisaillement

12

EG . Depuis ce dernier on détermine un autre coefficient de

proportionnalité entre la contrainte isotrope appliquée σ et la déformation élastique

volumique d’un échantillon 213

E

K .

La plasticité :

C'est le non retour à la configuration initiale → déformation résiduelle. La loi de Hooke

n'est pas valable dans ce domaine.





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Anisotropie

(Contraire d'isotropie) la propriété mécanique est dépendante de la direction. Quelque

chose d'anisotrope pourra présenter différentes caractéristiques selon son orientation.

Orthotrope

La dépendance des propriétés mécaniques suivant deux composantes principales

perpendiculaires. C'est un cas particulier d'anisotropie.





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5. Le comportement mécanique des roches

Les propriétés mécaniques des roches sont :

La résistance à des efforts mécaniques (traction, compression, etc), en

définissant les seuils de rupture

Les déformabilités sous l'effet des efforts mécaniques (modules instantanés ou

différés)

5.1. Les difficultés représentées par les échantillons des roches Les échantillons des roches étudiés au laboratoire représentent quelques difficultés telles

que :

Absence des certaines fractures -présentes sur site- dans les échantillons prélevés,

vu leurs dimensions très grandes (cas des discontinuités majeures : fractures

régionales, failles, …) par rapport aux dimensions des carottes (échelle

centimétrique à décimétrique), dont elles échappent de l'analyse.

Hétérogénéités de certains massifs rocheux, c.-à-d. formés d'éléments de propriétés

mécaniques différentes

Variabilités des propriétés mécaniques au sein du massif rocheux, qui nécessite la

représentativité correcte d'échantillonnage

Effet d'échelle qui manifeste par le fait que les propriétés mécaniques mesurées

sont en fonction des dimensions de l'éprouvette.

5.2. Les essais de base

Les essais de base à étudier sont :

- la traction indirecte : essai brésilien

- compression uni-axiale (mono-axiale ou simple)

- compression triaxiale (isotrope et déviatorique)

5.3. Essai de traction indirecte (brésilien)

La résistance à la traction est calculée par : DL

Pt

2

Dont :

t : résistance à la traction ; P : effort à la rupture appliqué sur l’éprouvette

D : diamètre de l'éprouvette ; L : longueur de l'éprouvette

Cet essai est destiné aux matériaux fragiles tels que les roches, le béton et le verre. La

rupture doit impérativement se produire à partir du centre, sous forme d'une fracture

unique verticale. Il présente des difficultés pour les roches fortement anisotropes et pour

les roches ductiles (sel, argile).

Inconvénient → collage des tètes d'éprouvette sur le dispositif intermédiaire de la

machine d'essai.





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Il existe un essai de traction directe, dont la résistance de la roche à la traction, en

moyenne est voisine à Rc/10

Cette grandeur est très influencée par la fissuration des roches

5.4. Essai de compression uni-axiale

Il s'effectue sur éprouvettes cylindrique, d'élancement L/D (hauteur/diamètre).

Inconvénient → frettage : existence des contraintes non homogènes dues au frottement

engendré par l'opposition de déformabilité entre la roche et le plateau de la presse, en

forme de cône. Il augmente artificiellement la résistance de la roche à la compression.

On peut diminuer ce phénomène en jouant sur l'élancement.

- 1/ DL → les 2 cônes s'interprètent → la résistance est surévaluée

- 2/ DL → les cônes sont séparés → distribution des contraintes au centre de

l'éprouvette n'est plus perturbée

- 3/ DL → les cônes sont bien éloignés → risque de compression excentrée de

l'éprouvette, si les faces ne sont rigoureusement parallèles





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C est la résistance à la compression, c'est la contrainte maximale supporté par

l'échantillon, elle est très utile et parfois suffisante pour identifier les performances

mécaniques de la roches.

La résistance en compression : 2R

FC

Dont : F est l’effort maximal appliqué sur la roche par la presse

R est le rayon de l’éprouvette

Elle est comprise entre 1 et 200 MPa.

MPaC 5 → roches qualifiées (très tendres)

MPaC 200 → roches très résistantes

Le rapport entre la résistance à la compression uni-axiale et la résistance à la

traction donne un indice de fragilité, qui est une caractéristique importante de

comportement de la roche. Il varie entre 3 (roche peu fragile) et 30 (roches très

fragile)

5.5. Essai de compression triaxiale

Il est identique à la compression uni-axiale, le dispositif expérimental limite

l'élancement à 2. il s'agit d'un essai triaxiale de révolution où CP 32 (pression

de confinement)

Remarque :

Sur la base des 3 résistances (traction, uni-axiale et triaxiale) on peut déterminer le

critère de rupture.

5.6. Essais de compressibilité (compression isotrope)

Cet essai nous indique l'isotropie de la roche ainsi que l'existence des microfissurations

naturelles.





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5.6.1. Si la roche est sans microfissure, homogène, élastique et isotrope, la déformation

est la réponse à l'effort hydrostatique (sphérique), elle sera :

- identique dans toutes les directions de l'espace

- linéaire en fonction de la contrainte CP 321

E

PC

21

E le module de Young ou le module d'élasticité longitudinale

le coefficient de Poisson

Remarque :

Durant cet essai on peut constater l'isotropie, dont 321 , courbe (a).

L'isotropie transverse, dont 321 , la courbe (b)

L'orthotrope, dont 321 (→ 321 ,, SSS sont orthogonales), la courbe (c)

5.6.2. Si la roche est munie de microfissure naturelle, la charge normale diminue

l'ouverture de fissure schématisée sous forme d'un ellipsoïde (2c de longueur et

2a d'ouverture, 310ca ) jusqu'à ce que les lèvres de la fissure se touchent.

Si les microfissures sont de ce type, réparties aléatoirement. La déformation sous l'effet

de cet essai est unique 321 .

La fermeture progressive des microfissures (en commençant par les fissures des a/c plus

petits) présente sur le graphe une concavité vers le bas.

A une pression fP , dite pression de fermeture qui correspond à la fermeture de toutes les

microfissures, la courbe reprendre une droite se qui traduit le comportement élastique de

la roche.





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5.6.3. Cas des roches très poreuses : la réaction des matériaux poreux se comportent

particulièrement avec cet essai, car ils présentent :

- Une linéarisation élastique dés l'origine.

- A partir d'une certaine pression nommée "pression d'effondrement des pores" colP ,

dont la variation de volume sera plus importante que dans la partie précédente, où la

microstructure commence à évoluer et les joints de grains s'effondrent, pour réduire la

porosité.

Remarque :

Cette pression joue un grand rôle dans la compaction

des réservoirs pétroliers. Sa valeur dépend de la

nature des joins de grains et de la porosité de la

roche.

Porosité ↑ colP ↓

- Au-delà d'une pression tP le gradient de volume

s'inverse et l'effondrement de la microstructure

poreuse tend à se stabiliser.

Remarque : durant les essais précédents, on calcule les coefficients de Poisson , le

module de Young E, le module de compressibilité K et le coefficient d'élasticité G,

selon les critères isotropiques des roches (donc selon l'orientation des contraintes)

5.7. Paramètres de déformabilité

La mesure des déformations lors d’une compression uni-axiale permet de déterminer les

paramètres élastiques de déformabilité de la roche: module d’Young (pente de la courbe

de déformation longitudinale) et coefficient de Poisson (rapport de la déformation

transversale à la déformation longitudinale). Le module d’Young est typiquement

compris entre 8 et 80 GPa. Le coefficient de Poisson se situe entre 0,1 et 0,4.

5.7.1. Abrasivité L’abrasivité caractérise la capacité d’une roche à provoquer l’usure de l’outil de forage ;

cette propriété est importante pour les travaux d’exploitation les formations rocheuses

traversées en souterrain. Elle dépend à la fois de la teneur en minéraux durs (quartz

notamment) et de la résistance de l’assemblage des grains (cohésion de la roche).

Pour estimer l’abrasivité d’un matériau, on peut utiliser l’abrasimètre LCPC, constitué

d’un pot métallique que l’on remplit de granulats 4/6,3 mm, tournant à grande vitesse

une palette métallique. La perte de poids subie par la palette après 5 min de rotation,

exprimée en mg d’acier, est divisée par la masse en kg de granulats traités : on obtient

ainsi l’indice ABR de la roche. On estime en général que des valeurs supérieures à

1 500 peuvent conduire à de fortes usures d’outils.





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5.7.2. Forabilité

La forabilité d’une roche exprime la facilité avec laquelle un outil de forage pénètre

dans la roche. Elle dépend d’un certain nombre de paramètres, en particulier de la

résistance, dureté et texture de la matrice rocheuse et de son abrasivité, ainsi de la

densité des discontinuités in-situ. Certains essais, généralement utilisés dans les pays

anglo-saxon pour quantifier la forabilité.

5.8. Classification des comportements

Le comportement mécanique se classifie selon la réversibilité de la relation contrainte-

déformation, dont on devait réaliser un cycle de chargement–déchargement, pour

l'effectuer.

Le comportement élastique → réversibilité (élasticité linéaire et non linéaire)

Le comportement élasto-plastique (phase plastique) → apparition des

irréversibilités à la fin de linéarité des déformations suivant un des axes (exp :

linéarité de déformation axiale)

L'élasto-plasticité est parfaite :

→ La limite élastique ne dépend pas de l'historique des contraintes et des déformations

→ La courbe contrainte-déformation axiale présente un plateau

- si cette pente > 0 → comportement de durcissement ou d'écrouissage positif

- si cette pente < 0 → comportement de radoucissement ou d'écrouissage négatif

Le comportement différé → Lorsque il y a dépendance du comportement avec le

temps on l'appelle aussi le comportement visqueux (un comportement

viscoélastique ou viscoélasto-plastique) dans ce cas on ne parle pas que des

contraintes et déformations mais on doit intervenir leurs dérivées par rapport au

temps.





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5.9. Effet d'échelle

Le passage de l'échelle laboratoire vers l'échelle réel pose les problèmes à :

- Effet de volume : la décroissance de résistance avec les dimensions de l'éprouvette

- Effet de surface : l'augmentation de résistance avec le volume de l'éprouvette

- Effet de surface à tendance à dominer pour des petites dimensions d'échantillons : la

croissance puis décroissance de la résistance

- Transition fragile – ductile : changement ou disparition des résultats

Exp :

o Un calcaire dur MPaC 50 est élastique fragile en compression simple, il devient

élastoplastique en un essai triaxial sous une pression de confinement de 30 Mpa,

puis ductile sous pression de confinement de 500 Mpa

o Un massive rocheux formé de roche fragile a un comportement élasto-fragile à

l'échelle de décamètre, et relativement ductile à l'échelle kilométrique

6. La rupture

Le mode de rupture dépend de l'état et l'histoire des contraintes et de la température, il

existe deux modes de rupture :

Mode ductile : la roche se rompe progressivement par écoulement, en présentant

de grandes déformations avant la rupture, exp : les craies

Mode fragile : la rupture se manifeste brutalement, sous forme de microfissures

qui se propagent sur des distances plus au moins longues, exp : roches de faible porosité

comme les grés.

L'application des contraintes : le type d'essai (traction, compression) et de chargement

(le chargement monotone uni-axial, sous confinement ou cyclique) influent aussi sur le

mode de rupture.

Traction simple : la roche se rompe suivant un plan de rupture unique (et non par

réduction en poudre)

Dissymétrie traction-compression en mécanique de roche (diffère de matériaux

métallique)

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