Mecanique Des Structures 1

7/24/2019 Mecanique Des Structures 1

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1

MECANIQUE DES STRUCTURESPREMIERE PARTIE

J-M FranssenNotes en collaboration avec Prof R Ma!"oi # J-P Jas$art



%

1 INTR&DUCTI&N

D'finition(

M'cani!"e )es str"ct"res *+ ,'to)es ).anal/se 0lobale )es str"ct"res barres $ris,ati!"es 2 a3e rectili0ne4

x

⇒ Efforts int'rie"rs( M/5 M65 N5 7/5 765 T⇒ D'$lace,ents( "5v5859



:

1 INTR&DUCTI&N

Str"ct"re isostati!"e( l.anal/se 0lobale $e"t ;tre ,en'e $ar les '!"ations)e la stati!"e 'l',entaire '!"ilibre4

Str"ct"re /$erstati!"e( a<o"ter le conce$t )e co,$atibilit' )es

)'$lace,ents



=

1 INTR&DUCTI&N

*

Mo)e ).action )es forces s"r laconfi0"ration non )'for,'e

Mo)e ).action )es forces s"r laconfi0"ration )'for,'e

*+ Anal/se 0lobale a" $re,ier or)re



>

1 INTR&DUCTI&N

?

Mo)e ).action )es forces s"r laconfi0"ration non )'for,'e

Mo)e ).action )es forces s"r laconfi0"ration )'for,'e

*+ Anal/se 0lobale a" secon) or)re it'rative4



@

1 INTR&DUCTI&N

ε

σ

Anal/se 0lobale 'lasti!"e

ε

σ

Anal/se 0lobale $lasti!"e

&

? &



B

% TE&REMES F&NDAMENTAUPlan )e l.e3$os'

T'or,e )es trava"3 virt"els( δ * G

T )es )'$l virt"els( δ * δU T )es forces virt"elles( δH * δUH

cor$s in)'for,ablescor$s )'for,ables

Str"ct"res for,'es )e barres

δU * N )δ"4 δUH * δN )"

δ * P δ) δH * δP )

Mat'ria" lin'aire 'lasti!"e

*

*T'or,e )e ,a38ell

T )" )'$l "nit'( P * 9 T )e la force "nit'( ) * 9



% TE&REMES F&NDAMENTAU

D'finition( 0ran)e"r virt"elle * 0ran)e"r arbitraire i,a0inaire45 trs $etite,ais non n"lle

E3e,$le 1( )'$lace,ent virt"el cin',ati!"e,ent a),issible * contin" etres$ectant les liaisons )" cor$s avec le ,on)e e3t'rie"r4

A !"oi a sertK La bo"le est-elle en $osition stable )ans les % e3e,$lesci-)esso"sK Un )'$lace,ent virt"el cin',ati!"e,ent a),issible4 )onnei,,')iate,ent la r'$onse



% TE&REMES F&NDAMENTAU

T'or,e )es trava"3 virt"els cor$s in)'for,ables4

Po"r to"t cor$s

in)'for,able5en '!"ilibre so"s )es actions e3t'rie"res5

le travail virtuel des forces extérieures δ W est

nul

pour tout déplacement virtuel C.A.



1G

A L

ad δ

P



11

Po"r to"t cor$s

)'for,able5en '!"ilibre so"s )es actions e3t'rie"res5

le travail virtuel des forces extérieures δ West égal au travail virtuel intérieur de déformation de ce corps δ U,

pour tout déplacement virtuel C.A.

Princi$e ).'!"ilibre *+ '!"ations ).'!"ilibre

% TE&REMES F&NDAMENTAU%1 T'or,e )es )'$lace,ents virt"els

T'or,e )es )'$lace,ents virt"els cor$s )'for,ables4



1%

E3$ression )" travail virt"el e3t'rie"r )ans "ne str"ct"re so",ise2 )es car0es concentr'es vraies P et Me3t52 )es car0es r'$arties vraies $52 )es r'actions ).a$$"i vraies R5

avec "n ca,$ )e )'$lace,ents virt"els CA)'$laant P et $ )e O))'$laant M )e OΦ )'$laant R )e Or




1:

Cas $artic"lier )" travail virt"el int'rie"r )e )'for,ation )ans "ne str"ct"refor,'e )e barres so",ises

2 )es sollicitations vraies M5 N5 7 2 0a"ce52 )es sollicitations vraies M)M5 N)N5 7)7 2 )roite5

2 )es )'$lace,ents )iff'rentiels vrais )5 )"5 )v5avec "n ca,$ )e )'$lace,ents virt"els CA O5 O"5 Ov




1=

Si str"ct"re for,'e )e barres et ,at'ria" 'lasti!"e(




1>

Si str"ct"re for,'e )e barres et ,at'ria" 'lasti!"e(For,e cin',ati!"e )" t'or,e )es )'$lace,ents virt"els

For,e ,'cani!"e )" t'or,e )es )'$lace,ents virt"els




1@

T'or,e )" )'$lace,ent "nit' * cas $artic"lier )" t'or,e )es)'$lace,ents virt"els4

Soit "ne str"ct"re )'for,'e "5 5 v4 $ar l.action )e forces a$$li!"'es

&n $e"t tro"ver la force P a$$li!"'e en "n $oint )e la str"ct"re!"i ass"re son '!"ilibre

$ar "n ca,$ )e )'$lace,ent virt"el CA )ont les )'$lace,ents sont("nitaire en P et )ans la )irection )e P5n"ls $o"r les a"tres forces a$$li!"'es




1B

$

A CL L

Q"elle est la vale"r )e RC K

Ca,$ )e )'$lace,ents r'els il fa"t le connatre4

Ca,$ )e )'$lace,ents virt"els on $e"t le coisir4

1

1

²

²

xv

Lδ =

( )1"

28

pL L xv

EI

−=

x



1

1

1

²

²

xv

Lδ =

( )1"

28

pL L xv

EI

−=

x A C



1

1

²

²

xv

Lδ =

( )1"

28

pL L xv

EI

−=



%G

E3ercice r'sol"($ren)re co,,e )'for,'e virt"elle la fonction 3nLn

( )1

" 28

pL L x

v EI

−

= ( )

2

1 " 1

n

n

x

v n n Lδ

−

= −



%1

E3ercice non r'sol"(Pren)re co,,e )'for,'e virt"elle "ne fonction sin"so)ale

( )1

" 28

pL L x

v EI

−

= 1 "vδ = ggg



%%

% TE&REMES F&NDAMENTAU%1 T'or,e )es forces virt"elles

&n re$ren) to"t )e$"is le )'b"t

T'or,e )es trava"3 virt"elscor$s in)'for,ables4

T'or,e )es )'$lace,ents virt"elscor$s )'for,ables4

T'or,e )es forces virt"ellescor$s )'for,ables4

E3e,$le %( forces virt"elles stati!"e,ent a),issible * res$ectant les'!"ations fon)a,entales ).'!"ilibre4



%:

T'or,e )es forces virt"elles cor$s )'for,ables4

Po"r to"t cor$s

)'for,able5so",is 2 )es forces e3t'rie"res5

le travail virtuel complémentaire des forces extérieures δ W*,

est égal au travail virtuel complémentaire de déformation d UH pour tout système de forces virtuelles S.A.

Princi$e )e co,$atibilit' *+ '!"ations )e co,$atibilit'

% TE&REMES F&NDAMENTAU%% T'or,e )es forces virt"elles



%=

E3$ression )" travail virt"el e3t'rie"r co,$l',entaire )ans "ne str"ct"reso",ise

2 "n ca,$ )e forces virt"elles OP5 OMe3t5 O$ et OR5 li's 2 )es )'$lace,ents vrais )5 et r5




%>

Cas $artic"lier )" travail virt"el int'rie"r co,$l',entaire )e )'for,ation)ans "ne str"ct"re for,'e )e barres so",ises

2 )es )'$lace,ents )iff'rentiels vrais )5 )"5 )v5avec )es forces virt"elles OM5 ON5 O7




%@

Si str"ct"re for,'e )e barres et ,at'ria" 'lasti!"ei)e, !"e )ans le %14(




%B

Si str"ct"re for,'e )e barres et ,at'ria" 'lasti!"e(




%

T'or,e )e la force "nit' * cas $artic"lier )" t'or,e )es forcesvirt"elles4

Soit "ne str"ct"re avec "ne )istrib"tion ).efforts int'rie"rs M5 N5 74 so"sl.action )e forces a$$li!"'es

&n $e"t tro"ver le )'$lace,ent ) so"s l.'tat )e sollicitation vraie

$ar "n ca,$ )e forces virt"elles("nitaire en ) et )ans la )irection )5n"lles aille"rs




%

A CL a

Q"elle est la vale"r )e la flce en K

D

P

Distrib"tion )e M et 7 r'elle il fa"t la connatre4

P

M * -$a

M * $a%

P

7 * P

7 * -:Pa%L

M34 * Pa% 1-:3L4

Q ll l l ) l fl K



:G

A CL a

Q"elle est la vale"r )e la flce en K

D

P

Distrib"tion )e M et 7 virt"elle SA on $e"t la coisir4

1

M1 * -L%

171 * 1

3

M134 * 3-L%



:1



:%

E3ercice non r'sol"( $ren)re co,,e str"ct"re SG "ne $o"tresi,$le,ent a$$"/'e en A et en C

Q ll t l. l ) t ti C K



::

A CL a

Q"elle est l.an0le )e rotation en C K

D

P

Distrib"tion )e M et 7 r'elle il fa"t la connatre4

P

M * -$a

M * $a%

P

7 * P

7 * -:Pa%L

M34 * Pa% 1-:3L4

Q ll t l. l ) t ti C K



:=

A CL a

D

P

Distrib"tion )e M et 7 virt"elle SA on $e"t la coisir4

1

M1 * -1

71 * G

3

Q"elle est l.an0le )e rotation en C K

1



:>



:@

E3ercice non r'sol"( $ren)re co,,e str"ct"re SG "ne $o"tresi,$le,ent a$$"/'e en A et en C



:B

: VENERALITES

Anal/se 0lobale'lasti!"ea" $re,ier or)re

*+ Princi$e )e s"$er$osition

M(P1,P2) = M(P1) + M(P2)

N(P1,P2) = N(P1) + N(P2)

V(P1,P2) = M(P1) + V(P2)

u(P1,P2) = u(P1) + u(P2)

v(P1,P2) = v(P1) + v(P2)ϕ(P1,P2) = ϕ(P1) + ϕ(P2)



:

: VENERALITES

NW")( $oint )e rencontre 0'o,'tri!"e )es a3es )es barres



:

: VENERALITES




=G

: VENERALITES

NW")( $oint )e rencontre 0'o,'tri!"e )es a3es )es barres&n $e"t en a<o"ter



=1

: VENERALITES



=%

= MET&DE DES F&RCES

Si str"ct"re isostati!"e5

'!"ilibre ).ense,ble *+ r'actions ).a$$"is car0es e3t'rie"res *+ M5N57

Si str"ct"re /$erstati!"e5N '!"ations ).'!"ilibre N h inconn"es

*+ h inconn"es /$erstati!"es



=:

= MET&DE DES F&RCES

h inconn"es /$erstati!"es

&n $o"rrait ren)re la str"ct"re isostati!"een effect"ant h co"$"res5ca!"e co"$"re lib'rant "ne inconn"e



==

= MET&DE DES F&RCES

h inconn"es /$erstati!"es




=>

= MET&DE DES F&RCES


,ais on n.a $l"s le ,;,e co,$orte,ent



=@

= MET&DE DES F&RCES

&n $e"t retro"ver le ,;,e co,$orte,enten a$$li!"ant )es efforts <

!"i refer,ent la co"$"re

Mais on ne connat $as la 0ran)e"r )e <

< <

<

<



=B

= MET&DE DES F&RCES

Str"ct"re ren)"e isostati!"e * str"ct"re )e r'f'rence5 SG

Il / a $l"sie"rs ,anires $ossibles )e co"$er

l faut !ue S" soit un système sta#le $$$

& S & C S



=

= MET&DE DES F&RCES=1 D'ter,ination )" )e0r' )./$erstaticit' h

&n $e"t faire )es co"$"ressoit a"3 liaisons avec le ,on)e e3t'rie"r a$$"is4

A$$"i 2 ro"lea"( 1 force inconn"e X 2 la fon)ation

3 <

= MET&DE DES F&RCES



=



A$$"i 2 rot"le( % forces inconn"es )e )irection !"elcon!"e

3 <

= MET&DE DES F&RCES



>G



Encastre,ent( % forces inconn"es )e )irection !"elcon!"e 1 ,o,ent * : inconn"es

3 <

= MET&DE DES F&RCES



>1


&n $e"t faire )es co"$"ressoit a"3 liaisons avec le ,on)e e3t'rie"r a$$"is4soit 2 l.int'rie"r )e la str"ct"re

arre )e treillis( 1 $aire )e forces inconn"e

<

= MET&DE DES F&RCES



>%



arre )e t/$e $o"tre( 1 $aire )e forces inconn"e si co"$"res"r "ne se"le sollicitation

N

M

7

= MET&DE DES F&RCES



>:



arre )e t/$e $o"tre( : $aires ).inconn"e si co"$"re totale

N5 M5 7

= MET&DE DES F&RCES



>=


:

::

:

:

::

:

:

::

:

::

* 1= 3 : * =%

= MET&DE DES F&RCES



>>

= MET&DE DES F&RCES=% E!"ation 0'n'rale



>@

F%PF1P

F%1

F11

1 1

F%%

F1% 1



>B

F%PF1P

F%1

F11

1 1

F%%

F1% 1

"1 * F11 1 F1% % F1P * G"% * F%1 1 F%% % F%P * G

[ ] { } { } F X A=

= MET&DE DES F&RCES



>

= MET&DE DES F&RCES=: D'ter,ination )es coefficients )e fle3ibilit' Fi< et )es Fi$

Fi< et Fi$ * )'$lace,ents en "n $oint

*+ T'or,e )e la force "nit'

Soit "ne str"ct"re avec "ne )istrib"tion ).efforts int'rie"rs M5 N5 74 so"s

l.action )e forces a$$li!"'es


$ar "n ca,$ )e forces virt"elles(

"nitaire en ) et )ans la )irection )5n"lles aille"rs

= MET&DE DES F&RCES



>







F1P

1 1

= MET&DE DES F&RCES



@G







F1%

1 1 F% * 1



@1

= MET&DE DES F&RCES



@%

= MET&DE DES F&RCES== Tables $o"r les coefficients )e fle3ibilit' Fi< et )es Fi$

=> Distrib"tion )es efforts int'rie"rs

"1 * F11 1 F1% % F1P * G"% * F1% 1 F%% % F%P * G

M34 * M134 1 M%34 % MP34N34 * N134 1 N%34 % NP34734 * 7134 1 7%34 % 7P34 Y )ans SG

= MET&DE DES F&RCES



@:

= MET&DE DES F&RCES=@ Coi3 )es co"$"res

7 * G M5N * G

= MET&DE DES F&RCES



@=

= MET&DE DES F&RCES=@ Coi3 )es co"$"res

> MET&DE DES DEPLACEMENTS



@>

> MET&DE DES DEPLACEMENTS>G Princi$e 0'n'ral

Note( le $rinci$e 0'n'ral est ).abor) e3$li!"' )ans le ca)rerestreint )."ne str"ct"re(

$lane5for,'e )e barres )e t/$e $o"tres M5N5745car0'e )ans son $lan

&n 0'n'ralisera $ar la s"ite

F$FN

FN

FFFFM'to)e )es forces M'to)e )es )'$lace,ents



@@

F$FN

FN

F$FN

FN

Ren)re le s/st,e isostati!"e lo!"er les noe")s

F$FN FN F$F

N FN

FFFFForces D'$lace,ents



@B

F$FN

FN

F$FN

FN


F$FN FN F$F

N FN




@

e ) e e s/st e sostat !"e !

F$FN

FN

F$FN

FN

I)entifier $"is tro"verles efforts /$erstati!"es

1

I)entifier $"is tro"verles , )'$lace,ents blo!"'s

D15D%5D:D=5D>5D@

DB5D



@

I)entifier $"is tro"verles efforts /$erstati!"es

1

I)entifier $"is tro"verles , )'$lace,ents blo!"'s

D15D%5D:D=5D>5D@

DB5D

Po"r ca!"e barre(i< * R'action en i cr''e $ar

"n )'$lace,ent "nitaire en <iP * R'action en i cr''e $ar

les forces PCoefficients de rigidité

Po"r la str"ct"re(Fi< * D'$lace,ent en i cr'' $ar

"ne force "nitaire en <FiP * D'$lace,ent en i cr'' $ar

les forces PCoefficients de flexibilité

D15D%5D:D D D



BG

1

D=5D>5D@

DB5D

Po"r ca!"e barre(i< * R'action en i cr''e $ar

"n )'$lace,ent "nitaire en <iP * R'action en i cr''e $ar

les forces PCoefficients de rigidité

Po"r la str"ct"re(Fi< * D'$lace,ent en i cr'' $ar

"ne force "nitaire en <FiP * D'$lace,ent en i cr'' $ar

les forces PCoefficients de flexibilité

Les lvres )es co"$"res nesZ'cartent $as*+ Po"r ca!"e co"$"re i

Il / a '!"ilibre )es efforts 2ca!"e nW")*+ Po"r ca!"e )'$lace,ent i

Les l res )es co $ res ne Il a '! ilibre )es efforts 2



B1

Les lvres )es co"$"res nese )'$lacent $as

*+ Po"r ca!"e co"$"re i

Il / a '!"ilibre )es efforts 2ca!"e nW")

*+ Po"r ca!"e )'$lace,ent i

&n )'ter,ine les % & &n )'ter,ine les ' &

∑

∑

∑

=

=

=

+=

+=

+=

h

i i i

h

i i i

h

i i i

( x ) * % ( x ) * ( x ) *

( x ) N % ( x ) N ( x ) N

( x ) + % ( x ) + ( x ) +

1

G

1

G

1

G

Dans la str"ct"re )e r'f'rence SG Dans ca!"e barre

∑= +=

m

& i & i& i - '- . 1

Les lvres )es co"$"res ne Il / a '!"ilibre )es efforts 2



B%

Les lvres )es co"$"res nese )'$lacent $as

*+ Po"r ca!"e co"$"re i

Il / a '!"ilibre )es efforts 2ca!"e nW")

*+ Po"r ca!"e )'$lace,ent i

Co,,ent )'ter,iner les i& o" les / i& K

T'or,e )e la force "nit')ans la str"ct"re SG

T'or,e )" )'$lace,ent "nit')ans ca!"e barre




B:


> MET&DE DES DEPLACEMENTS>G Princi$e 0'n'ral




B=


>G Princi$e 0'n'ral




B>


&n $e"t en a<o"ter

>G Princi$e 0'n'ral




B@

>G Princi$e 0'n'ral

&n $e"t traiter les efforts int'rie"rs in)'$en)a,,ent

si centre )e 0ravit' * centre )e torsion

arre :D( % a3es )e s/,'trie )ans la sectionarre %D( 1 a3e )e s/,'trie )ans le $lan )e l.'t")e

& :D et %D & %D ? &




BB

>1 S/st,es ).a3es et si0nes

S/st,e 0lobal(

"ni!"e5 arbitraire5 )ans le!"el la str"ct"re est $ositionn'e5cart'sien )e3trors",

[

\ [

S/st,e local("n s/st,e $o"r ca!"e barre5en 0'n'ral5 x s"ivant lZa3e )e la barre

3/

3

/

3

/

6




B

>1 S/st,es ).a3es et si0nes

[

\

" v

8

θ3

θ/

θ6

/

"

v

8

θ3

θ/

θ6

[ 8

"

v

θ 6

θ 3

θ /

3 8

"

v

θ 3

6

θ 3

θ /

]" A5v A58 A5 θA5 θ[A5 θ\A5 "5v585 θ5 θ[5 θ\Y

6




B

>G Princi$e 0'n'ral

Q"els )e0r's )e libert' sont actifs5 s"ivant le t/$e )e str"ct"reK

Po"tre contin"e %D sans car0e a3iale4% )'$lace,ents $ar noe")( 8 et θ6

*+ % forces $ar noe")s% efforts int'rie"rs( 7 et M

[




G

>G Princi$e 0'n'ral


Treillis $lan% )'$lace,ents $ar noe")( " et v*+ % forces $ar noe")s

1 effort int'rie"r( N

[

A

0 C ' 1

2 /

3

4

5




1

>G Princi$e 0'n'ral


Str"ct"re $lane car0'e )ans son $lan: )'$lace,ents $ar noe")( "5 v et θ6

*+ : forces $ar noe")s: efforts int'rie"rs( M5 N5 7

[




%

>G Princi$e 0'n'ral


Str"ct"re $lane car0'e $er$en)ic"laire,ent 2 son $lan$as )e force )ans le $lan4: )'$lace,ents $ar noe")( 85 θ3 et θ/

*+ : forces $ar noe")s: efforts int'rie"rs( M5 75 T

\

c( Structure plane chargée transversalement 6 son plan

[




:

>G Princi$e 0'n'ral


Treillis s$atial: )'$lace,ents $ar noe")( "5 v et 8*+ : forces $ar noe")s

1 effort int'rie"r( N

\

[




=

>G Princi$e 0'n'ral


Str"ct"re s$atiale@ )'$lace,ents $ar noe")( "5 v5 85 θ35 θ/ et θ6

*+ @ forces $ar noe")s@ efforts int'rie"rs( N5 7/5 765 T5 M/5 M6

[

\




>

>% Matrice )e ri0i)it'

x

y

7

'8

'9

':';

'<

'=

'> '?

'@

'8"

'88

'89

Cas le $l"s 0'n'ral( barre :D ( % 3 @ * 1% DDL

Po"r ca!"e DDL & !"i a "n )'$lace,ent "nitaire5il / a 1% r'actions / i& .

*+ 1% 3 1% * 1==

Ma38ell( / i& / &i

Il fa"t lZ'tablir $o"r ca!"e barre5)Zabor) en a3es loca"3



@

T'or,e )" )'$lace,ent "nit' * cas $artic"lier )" t'or,e )es)'$lace,ents virt"els4

Soit "ne str"ct"re )'for,'e "5 5 v4 $ar l.action )e forces a$$li!"'es

&n $e"t tro"ver la force P a$$li!"'e en "n $oint )e la str"ct"re

!"i ass"re son '!"ilibre$ar "n ca,$ )e )'$lace,ent virt"el CA )ont les )'$lace,ents sont(

"nitaire en P et )ans la )irection )e P5n"ls $o"r les a"tres forces a$$li!"'es




B


x

y

- > ,8

- 8,8

7 '8 * 1

L

L

Calc"l )e / i8

Ca,$ )e )'$lace,ents vrai( " * 1-3L ^ v * G ^ 8 * G





x

y

- > ,8

- 8,8

7 '8 * 1

L

L

Calc"l )e / i8

Ca,$ )e )'$lace,ents vrai( " * 1-3L ̂ v * G ^ 8 * G

"Z * -1L ^ vZ * G ^ 8Z * G11 ( ca,$ virt"el * ca,$ vrai

2

11

0

1 L

EA K EA dx

L L

− = = ÷ ∫





x

y

- > ,8

- 8,8

7 '8 * 1

L

L

Calc"l )e / i8

Ca,$ )e )'$lace,ents vrai( " * 1-3L ̂ v * G ^ 8 * G

"Z * -1L ^ vZ * G ^ 8Z * GB1 ( ca,$ virt"el " * 3L ̂ v * G ̂ 8 * G"Z * 1L ^ vZ * G ^ 8Z * G

71

0

1 1 L

EA K EA dx

L L L

− −= =

∫




G

>% Matrice )e ri0i)it'( B1

71

0

1 1 L

EA K EA dx

L L L

− −= =∫

Ca,$ vrai

Ca,$ virt"el

" v 8

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> % M t i ) i i)it'



1

>% Matrice )e ri0i)it'( %1

Ca,$ vrai

Ca,$ virt"el

" v 8

%1 * G




%

>% Matrice )e ri0i)it'( >1

Ca,$ vrai

Ca,$ virt"el

" v 8

>1 * G




:

x

y

- ?,9

- =,9

- 89,9

- 9,9

'9 8

7

L

>% Matrice )e ri0i)it'( %i

Ca,$ )e )'$lace,ent vrai

v * % xB34_ - : xB34` 1

v * @3`4% xB3-14




=

>% Matrice )e ri0i)it'( %%

Ca,$ )e )'$lace,ent vrai

v * % xB34_ - : xB34` 1

v * @3`4% xB3-14

Ca,$ )e )'$lace,ent virt"el * ca,$ )e )'$lace,ent vrai

22

22 3

0

6 21 12

²

L x EI

K EI dx

L L L

= − = ÷ ÷ ∫

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> : M t i ) i i)it'



>

>: Matrices )e ri0i)it' i$

x

y

- < - 9

- :

- =

6

P

L

a b

Soit t'or,e )" )'$lace,ent "nit'5soit RDM

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> > C l l )Z t t



@

>> Calc"l )Z"ne str"ct"re

Princi$e( A ca!"e DDL )e ca!"e noe")5

les efforts !"i viennent )es barres'!"ilibrent

les efforts e3t'rie"rs no)a"3

( ), , ,

1 1

1,...,m b

ij s j ip j N i

j j

k D k F i M

= =

+ = =∑ ∑

[ ] { } { } { } N p K D P k = −

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> > Calc l )Z ne str ct re



B

>> Calc"l )Z"ne str"ct"re

A4 Constr"ction )e la ,atrice )e ri0i)it' )e la str"ct"re

Asse,bla0e )es ,atrices )e ri0i)it' )e ca!"e 'l',ent

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> > Calc"l )Z"ne str"ct"re



>> Calc"l )Z"ne str"ct"reD15D%5D:

D=5D>5D@

DB5D

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

=

arre 1

1

1 1 1 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

=




>> Calc"l )Z"ne str"ct"reD15D%5D:

D=5D>5D@

DB5Darre 1

1

1 1 1 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

=

arre %

%

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 2 0 02 2 2 2 2 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

+ + + + + + + + + =




1GG

>> Calc"l ) "ne str"ct"reD15D%5D:

D=5D>5D@

DB5Darre 1

1

arre %

%

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 2 0 02 2 2 2 2 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

+ + + + + + + + + =

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 01 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0

2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3

2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 32 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3

0 0 0 3 3 3 3 3

0 0 0 3 3 3 3 3

K

+ + + + + + + + +

+ + + =

+ + + + + +

arre :

:




1G1

>> Calc"l ) "ne str"ct"re

4 Rotation )es ,atrices )Z'l',ent )ans les a3es 0loba"3)e la str"ct"re

N( Il fa"t effect"er cette o$'ration avant celle )" $oint A5cZest-2-)ire avant lZasse,bla0e




1G%


[

\

/

3

6

Matrice )e rotation R )e :3:

Ri5<4 * $ro<ection )e lZa3e i s"r lZa3e J

E3( R1514 * - A4 LR15%4 * [-[ A4 L




1G:


Transfor,er "ne ,atrice M )e :3: )Z"n s/st,e locala" s/st,e 0lobal(

M0 * RT ML R

Transfor,er "n vecte"r 7 )e :31 )Z"n s/st,e locala" s/st,e 0lobal(

70 * RT 7L




1G=


Dans "ne barre )e lZes$ace5 travailler $ar blocs )e :3:

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×




1G>


Dans "ne barre $lane5 travailler $ar blocs )e%3%o" vecte"rs )e %31

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

× × × × × × × × × × × × × × × × × ×

× × × × × ×

× × × × × × × × × × × ×

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> = Relations forces-)'$lace,ents )Z"ne barre



1G@

>= Relations forces-)'$lace,ents ) "ne barre

RDM( Dans "ne barre52 $artir )es car0es a$$li!"'es s"r la barre5)es )'$lace,ents )es e3tr',it's5

)'ter,iner(

les )'$lace,ents en to"te abscisse x 5les efforts int'rie"rs en to"te abscisse x

Il fa"t obtenir les efforts a"3 e3tr',it's )e ca!"e barre

> MET&DE DES DEPLACEMENTS> = Relations forces-)'$lace,ents )Z"ne barre



1GB

>= Relations forces-)'$lace,ents ) "ne barre

Princi$e )e s"$er$osition a$$li!"' barre $ar barre

1

m

i ij j ip

j

F k D k =

= +∑

{ } [ ] { } { }b b b p F K D K = +

De"3 $ossibilit's $o"r le s/st,e )Za3es 2 "tiliser( D et en 0loba"3 *+ F en 0loba"35 2 transfor,er en F loca"3

Transfor,er D en loca"3 *+ D et loca"3 )onnent F loca"3

@ MET&DE DES R&TATI&NS@ 1 /$otses )e base



1G

@1 /$otses )e base

D'for,ations so"s N et 7 )'for,ations so"s M

& $o"r barres )e t/$e $o"tre non sensible 2 75 str"ct"res2 ,aille rectan0"laire car0'e )ans le"r $lan

Pas & )ans treillis5 arcs s"rbaiss's5 tirants5 a"bans5 9

Utile $o"r calc"ls 2 la ,ain



1G

Str"ct"res 2 nW")s fi3es(

To"s les nW")s sont fi3esIls ne $e"vent se )'$lacer5 se"le,ent s"bir "ne rotation

Str"ct"res 2 nW")s ,obiles( A" ,oins "n nW") ,obile

Il $e"t se )'$lacer

D

Princi$e )" nW") fi3e



11G

A

C

%

D'$lace,ent )e A $ossible se"le,ent si A o" AC varient(a4 Racco"rcisse,ent )e la cor)e so"s Mb4 Racco"rcisse,ent )e la cor)e so"s 7c4 Racco"rcisse,ent )e la cor)e so"s N

b4 et c4 sont n'0li0's $ar /$otsea4 c4

A$$lication r'c"rrente )" $rinci$e )" nW") fi3e



111

A$$lication r'c"rrente )" $rinci$e )" nW") fi3e



11%

De0r' )e ,obilit' )Z"ne str"ct"re



11:

D'f( No,bre )e bloca0es si,$les 2 a<o"ter 2 "nestr"ct"re $o"r la ren)re fi3e

Proc')"re( ,ettre "ne rot"le 2 ca!"e nW")

Str"ct"re s/,'tri!"e



11=

/ !

M'to)e )es Rotations a$$li!"'e a"3 str"ct"res $lanes2 nW")s fi3es en translation



11>

2 nW")s fi3es en translation

Inconn"es cin',ati!"e( 1 rotations 2 ca!"e nW")

Cette rotation est $er$en)ic"laire a" $lan )e la str"ct"re

*+ 1 se"l s/st,e )Za3e en ce !"i concerne les rotations

%

D

E %

D

A

0

'8 φ A

'9 φ0

y

x

%

D

A

0

'8 * φ A

y

x

θ

v θ /

D

0

'9 φ0

y

x



11@

- i,8

- i,9 - i,: - i,; - i,< - i,= - i,> - i ,? - i,@ - i,8" - i,88 - i,89

3

1A G G G G G

3

1A− G G G G G

G :

1%

3

1 7 G G G

F 3

1 7 @ :

1%

3

1 7 − G G G

F 3

1 7 @

G G :

1%

3

1 y G

%

@

3

1 y − G G G :

1%

3

1 y − G

%

@

3

1 y − G

G G G 3

54 G G G G G

3

54 G G

G G %

@

3

1 y − G

3

1 y = G G G

%

@

3

1 y G

3

1 y % G

G %

@

3

1 7 G G G 3

1 7 =

G %

@

3

1 7 − G G G 3

1 7 %

- d 3

1A−

G G G G G 3

1A G G G G G

G :

1%

3

1 7 − G G G %

@

3

1 7 − G :

1%

3

1 7 G G G %

@

3

1 7 −

G G :

1%

3

1 y − G %

@

3

1 y G G G

:

1%

3

1 y G

%

@

3

1 y G

G G G

3

54 − G G G G G

3

54 G G

G G %

@

3

1 y − G 3

1 y % G G G

%

@

3

1 y G

3

1 y =

G

G %

@

3

1 7 G G G 3

1 7 %

G %

@

3

1 7 − G G G 3

1 7 =

[ 8 "

v

θ 6

θ 3

θ / [ 8 "

θ 3

6

θ 3

%

A

'8 φ A

[ ]

=

=

%1

1%

%1

1%%G

3

1 -

%

D

A

0

'8 * φ A

y

x

[ ]%

:: G

3

1 - ==

NW") i avec ! barres encastr'es et ! barres artic"l'es



11B

i

NW") i avec !1 barres encastr'es et !% barres artic"l'es

1 2

1 2

,

1 1

,

,

1

4 3

20

2

q q

k k k k ii structure ii

barres k k k k

ij structure ij

q q j j

ij structure

j j j

E I E I k k L L

EI k k ou

L

E I k

L

= =

+

=

= = +

= = ÷

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑> i& ii - -

7ecte"rs )es car0es e3t'rie"res( ne contiennent !"e lester,es associ'es a"3 rotations * ,o,ents )Zencastre,ent



11

$arfait4

Relations forces )'$lace,ent )es barres

0

A

0

A

0

A

-

-

'

'G

+

+ +

==

%1

1%

D'ter,ination )es efforts internes

()x

+x3

+()+−



11

( x ) 3

+ +

( x ) H

( x ) 3

x +

3

x 3+ ( x ) +

0 A

0 A

τ++

=

µ++−=

3

/

T A T

M A

M

A

T A T

M A

M

A 3

/

a( +éthode des 'éplacements )Gotations( #( +écani!ue des +atériaux

Eforts nor,a"3 $ar '!"ilibre )e translation a"3 nW")ssi nbarre % nnoe")s4

M'to)e )es Rotations a$$li!"'e a"3 str"ct"res $lanes 2nW")s ,obiles et 2 ,ailles rectan0"laires



1%G

0

Inconn"es cin',ati!"es rotation en ca!"e nW") 1@4^ )'$lace,ent ori6ontal )eca!"e $lancer =4^

)'$lace,ent vertical 'vent"el4)es files )e colonne 14

D



1%1

#( 0locages des noeuds en rotation

c( 0locages des déplacements hori7ontaux d( 0locages des déplacements verticaux

a( Structure 6 noeuds mo#iles et

6 mailles rectangulaires

%

θ

v θ /

1 :



1%%

- i,8

- i,9 - i,: - i,; - i,< - i,= - i,> - i ,? - i,@ - i,8" - i,88 - i,89

3

1A G G G G G

3

1A− G G G G G

G :

1%

3

1 7

G G G F 3

1 7 @ :

1%

3

1 7

− G G G F 3

1 7 @

G G :

1%

3

1 y G

%

@

3

1 y − G G G :

1%

3

1 y − G

%

@

3

1 y − G

G G G 3

54 G G G G G

3

54 G G

G G %

@

3

1 y − G

3

1 y = G G G

%

@

3

1 y G

3

1 y % G

G %

@

3

1 7 G G G 3

1 7 =

G

%

@

3

1 7 − G G G 3

1 7 %

- d 3

1A−

G G G G G 3

1A G G G G G

G :

1%

3

1 7

− G G G

%

@

3

1 7

− G

:

1%

3

1 7

G G G

%

@

3

1 7

−

G G :

1%

3

1 y − G %

@

3

1 y G G G

:

1%

3

1 y G

%

@

3

1 y G

G G G

3

54 − G G G G G

3

54 G G

G G %

@

3

1 y − G 3

1 y % G G G

%

@

3

1 y G

3

1 y =

G

G %

@

3

1 7 G G G 3

1 7 %

G %

@

3

1 7 − G G G 3

1 7 =

[ 8 "

v

θ 6

θ 3

θ / [ 8 "

θ 3

6

θ 3

[ ]

−

−−−−

−

=

F 33F 33

33

F 33F 33

33

I 3

1 -

%::

:@:@

:%:

:@:@

%

% =

:=



1%:

[ ]

−

−−−

−

−

=

F 33F 33

33

F 33F 33

33

I 3

1 -

%::

:@:@

:%:

:@:@

%

1 :

% =

[ ]

−

−

−

−−

=

F 2 2 F 2 2

2 2

F 2 2 F 2 2

2 2

I 2

1 -

%::

:@:@

:%:

:@:@

%

1

:

%

=



1%=

[ ]

−

−−−

−

−

=

F 33F 33

33

F 33F 33

33

I 3

1 -

%::

:@:@

:%:

:@:@

%

1 :

% = 3

'' 1: −

=ψ

:=



1%>

[ ]

−

−

−

−−

=

F 2 2 F 2 2

2 2

F 2 2 F 2 2

2 2

I 2

1 -

%::

:@:@

:%:

:@:@

%

1

:

%

=

2

'' :1 −=ψ

(2 3 ) A A A B M M φ φ ψ = + − +



1%@

( 2 3 )

3( 2 )

3( 2 )

B B A B

A A B A

B A B B

M M

! !

L

! !

L

φ φ ψ

φ φ ψ

φ φ ψ

= + − +

= + − +

= − + − +

7. Méthode de Cross



1%B

Cross * ,'to)e ,an"elle $o"r a$$li!"er la ,'to)e )esrotations ici5 )ans les str"ct"res 2 nW")s fi3es4

M'to)es it'ratives(

A$$ro3i,ations s"ccessives

Rela3ations Cross4

M'to)e )es )'$lace,ents

Calc"ler les ,atrices )e ri0i)it' locales )es 'l',ents



1%

Calc"ler les ,atrices )e ri0i)it' locales )es 'l',ents Les a,ener )ans les a3es 0loba"3 )e la str"ct"re Asse,bler la ,atrice 0'n'rale d

Calc"ler les vecte"rs $ s"r les 'l',ents Les a,ener )ans les a3es 0loba"3 )e la str"ct"re Asse,bler le vecte"r 0'n'ral ]$Y R'so")re le s/st,e 0'n'ral d ]DY * ]$Y Ra,ener les D en a3es loca"3

Calc"ler les efforts a"3 nW")s

M'to)e )e Cross

Calc"ler les ,atrices )e ri0i)it' locales )es barres Calc"ler )es ra$$orts scalaires entre elles Calc"ler les vecte"rs $ R'so")re $ar it'rations s"ccessives les efforts a"3 nW")s

Po"r a$$li!"er Cross5 % r0les $rinci$ales



1%

1 La r0le )e trans,ission )Z"n ,o,ent a$$li!"' 2 "ne

e3tr',it' )Z"ne barre vers lZa"tre e3tr',it'

% La r0le )e r'$artition )Z"n ,o,ent no)al entre lesbarres abo"tissant 2 ce nW")

1 La r0le )e trans,ission )Z"n ,o,ent a$$li!"' 2 "nee3tr',it' )Z"ne barre vers lZa"tre e3tr',it'



1:G

+ A+ 0 K

A 0

a(

(2 3 )

( 2 3 )

A A A B

B B A B

M M

M M

φ φ ψ

φ φ ψ

= + − +

= + − +

2 A A

B A

M

M

φ

φ

=

= A0 + + %

1

=




1:1

M A A

Soit5

"n nW") A5n1 barres encastr'es5n% barres artic"l'es5"n ,o,ent no)al M A5

Co,,ent M A se r'$artit-il entre les n1n% barresK




1:%

M A A, AA structure A AP Ak k P φ + =

, AA structure A Ak M φ =

1 2

, ,

1 1 1

4 3n nnk k k k

AA structure AA barre k

k k k k k

E I E I k k

L L= = =

= = +

∑ ∑ ∑

,

1

A A n

AA barre k

k

M

k

φ

=

=

∑,

,

,

1

AA barre k

Ak AA barre k A A n

AA barre k

k

k M k M

k

φ

=

= =

∑




1::

M A A

1 2

1 2

1 1

1 1

4

4 3

3

4 3

k k

k Ak A n n

i i i i

i ii i

k k

k

Ak A n ni i i i

i ii i

E I

L M M

E I E I

L L

ou

E I

L

M M E I E I

L L

= =

= =

=

+

= +

∑ ∑

∑ ∑

Mise en W"vre )e Cross( voir e3e,$lePL

8−PL

8−

P



1:=

PL

8

L

pL

24

2 pL

12−

L

p

5PL

32

3PL

16−

L

P

pL

16

2 pL

8−

L

p

2 pL

12−

A

L * @51G EI * G5B: L * 5G EI * G5B:



1:>

A C

D

E L

*

> 5 :

G

E I * %

1 %

L

*

M 5 :

G

E I *

G 5 @

1

A * = 3 GB: @1G * G=BC * = 3 GB: G * G::%

D * : 3 G@1 :G * G1BCE * = 3 %1% >:G * 1@GG

A



1:@

A C

D

E

A * = 3 GB: @1G * G=BC * = 3 GB: G * G::%

D * : 3 G@1 :G * G1BCE * = 3 %1% >:G * 1@GG

NW") ( gii * 1GGηA * G=B 1GG * G=B>ηC * G::% 1GG * G:%

ηD * G1B 1GG * G1>

NW") C( gii * 1:%ηC * G::% 1:% * G1B%ηCE * 1@GG 1:% * G%

NW") ( gi * 1GGηA * G=B 1GG * G=B>ηC * G::% 1GG * G::G

ηD * G1B 1GG * G1>

NW") C( gCi * 1:%ηC * G::% 1:% * G1B%ηCE * 1@GG 1:% * G%

$ * :%%>

A



1:B

A C

D

E

NW") ( gii * 1GGηA * G=B 1GG * G=B>ηC * G::% 1GG * G::G

ηD * G1B 1GG * G1>

NW") C( gii * 1:%ηC * G::% 1:% * G1B%ηCE * 1@GG 1:% * G%

M A * -:%%> 3 @1` 1% * - 1GGGM * :%%> 3 @1` 1% * 1GGG

G1B%1GGG

G::GG=B>-1GGG



1:

A C

D

ENW") ( gii * 1GGηA * G=B 1GG * G=B>

ηC * G::% 1GG * G::GηD * G1B 1GG * G1>

NW") C( gii * 1:%

ηC * G::% 1:% * G1B%

M A * :%%> 3 @1` 1% * 1GGG

M * -:%% > 3 @ 1` 1% * -1GGG

G%

G1>

G1B%1GGG

G::G::G

G=B>-1GGG

=B>



1:

A C

D

E

G%

G1>

1>

G1B%1@>1GGG

%:

G::G::G

G=B>-1GGG

=B>



1=G

A C

D

E

G%

G1>

1>

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

G=B>-1GGG

=B>



1=1

A C

D

E

G%-1:B

G1>

1>

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>



1=%

A C

D

E

G%-1:B

G1>

1>

-@

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>



1=:

A C

D

E

G%-1:B

=B

G1>

1>:

-@

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>



1==

A C

D

E

G%-1:B

%: =B

G1>

1>:

-@

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>



1=>

A C

D

E

G%-1:B

-%

%

G

: =B

G1>

1>:

-@

G1B%1@>

-%

1GGG

%:

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>



1=@

A C

D

E

G%-1:B

-%

%

G

: =B

G1>

1>:

-@-1

G1B%1@>

-%

G::G::G

-1=

G=B>-1GGG

=B>

1GGG

%:



1=B

A C

D

E-@

-1

-69

G%-1:B

-%

-139

%

G

139

=

320

B

-518

:

1241

G1>

1>:

198

Calc"l )es rotations a"3 nW")s



1=

- #arre,ii

,e-

- #arre,ii

é!uil ,e-

i ,- -

+

-

+

=

∆

=φ∑

7'rification )es r's"ltats



1=

7'rification )es r's"ltats

1 Stati!"e( 2 ca!"e nW")5 g Mbarres * Me3t

% Cin',ati!"e( 2 ca!"e nW")5Φ est le ,;,e )ans to"tes les barres

8. !"#$$#% &$'(%



1>G

Diff'rence en ter,es ).efforts intérieurs entre

Str"ct"re 2 $o"tres ET Treillis

+, N, N

I)'alisation ha#ituelle )."n treillis

h Constit"ants ( barres rectilignes 2 section constante. h Liaisons ( artic"lations a"3 e3tr',it's nJuds4 )es barres

a3es conco"rants4 h Car0es e3t'rie"res )irecte,ent a$$li!"'es ( a0issant

se"le,ent a"3 nW")s

Pr'-re!"is $o"r $o"voir a),ettre l.e3istence )e se"lsefforts nor,a"3 )ans les barres

8. !"#$$#% &$'(%



1>1

IS&STATICITE et [PERSTATICITE

Isostaticit' ETERIEURE h R'actions ).a$$"i )'ter,inables $ar les

se"les '!"ations )e l.'!"ilibre stati!"e

treillis * $atate j li'e a" ,on)ee3t'rie"r4

Isostaticit' INTERIEURE h To"s les efforts int'rie"rs N 4 )ans les

barres )'ter,inables )s lors !"e lesr'actions sont conn"es

8.1 reillis )l*n isost*ti+,e

éterin*tion des efforts intérie,rs



1>%

Treillis isostati!ue est isostati!"e intérieurement ET

extérieurement.

M'to)es )e )'ter,ination )es efforts int'rie"rs N h M'to)e )e l.'!"ilibre )es nW")s CULMANN4 h M'to)e )es co"$es RITTER4

h M'to)e 0ra$ostati!"e CREM&NA45 to,b'e en )'s"'t")e h Lo0iciels ).anal/se initiation 2 &SSA%D4

M'to)es a$$licables !"e les car0es soient fi3es o",obiles

Utilit' )es li0nes ).infl"ence lors!"e les car0es sont,obiles


éterin*tion des dé)l*ceents des noe,ds



1>:

En raison )e la )'finition )."n treillis5 la confi0"ration

)'for,'e est définie complètement par la positiondéformée de tous les noeuds

Travail int'rie"r )e )'for,ation int'rie"r constit"' )esseules contri#utions de type effort normal N.

D'$lace,ent )."n nW") & )ans la )irection ∆ & so"s "ncar0e,ent )onn' $ar a$$lication )" principe de la

force unité ( ni , i ,

& i i i i

N N d 3

1 A=

=

∑1

1

N i, effort )ans barre i ).aire Ai et )e lon0"e"r 3i 4 so"s

N i,8 effort )ans barre i so"s * 1 a$$li!"' en & )ans )irection ∆ &

Direction )" )'$lace,ent )."n nW") en 0'n'ral INC&NNUE





1>=

D'$lace,ent )."n nJud & so"s "n chargement donné

h A$$li!"er 2 H * 1 selon lZ&RI\&NTALE).ok d *

h A$$li!"er * H * 1 selon la 7ERTICALE ).ok d 2

hCo,$oser vectorielle,ent les )e"3 )'$lace,ents

).ok vale"r )" )'$lace,ent et orientation )")'$lace,ent

2 d d d = +

H * 1

2 H * 1





1>>

D'$lace,ent relatif entre deux nJuds A et 0 )."ne

,;,e str"ct"re so"s "n chargement donné, $ara$$lication s"ccessive )" cas $r'c')ent (

h A$$li!"er * * 1 )ans )irection )e A vers ).ok d A .

h A$$li!"er * * 1 )ans )irection )e vers A ).ok d 0 .

h Calc"ler d A d A K d 0.

&n $e"t obtenir directement ce r's"ltat en a$$li!"ant

simultanément "ne paire de forces opposées * * 1 )e A vers 0 et * * 1 )e 0 vers A.


"xe)le de c*lc,l de dé)l*ceent rel*tif



1>@

A

P1

P%

P:

P=

1

1

A

K


!e*r+,e s,r les dé)l*ceents des noe,ds



1>B

/$otse i,$licite !".il n./ a pas de &eu )ans les

asse,bla0es /$otse asse7 réaliste si asse,bla0es soudés ,ais

peu réaliste si asse,bla0es #oulonnés

N'cessit' ).'val"er a"ssi correcte,ent !"e $ossible (

7'rification a"3 ELS Prise en co,$te )" <e" )ans les asse,bla0es(

h Calc"l complexe ok les <e"35 s"$$os's conn"s envale"rs et )istrib"tion5 sont ,o)'lis's

h A$$roce plutLt grossière mais souvent suffisante (r')"ire le ,o)"le ).'lasticit' )" ,at'ria" 2 "ne vale"rfictive5 )e l.or)re )e 1G inf'rie"re 2 la vale"r r'elle

8.2 reillis )l*n h/)erst*ti+,e

/)erst*ticité



1>

/$erstaticit' ETERIEURE* No,bre )e r'actions e3c')entaires

eto"

/$erstaticit' INTERIEURE

* No,bre )e barres e3c')entaires

/$erstaticit' T&TALE * INTERIEURE ETERIEURE

h * hi he


éterin*tion des efforts intérie,rs



1>

Utilisation )."ne ,'to)e ).anal/se /$erstati!"e( ici ona)o$te la +éthode des orces.

E3a,en s"ccessive,ent )e (

h Treillis extérieurement /$erstati!"e

h Treillis intérieurement /$erstati!"e


reillis extérieurement h/)erst*ti+,e he 1



1@G

P1

P%

D'finition )" système de référence isostati!ue S"

P1

P%

1

G1111 =+ f % f

i

n

i i

9

i,83

1A

N f ∑

=

=1

11

i

n

i i

pi,,i

, 31A

N N f ∑

=

=1

1

1

11

11

f f % 2 −==

1,i ,i i 2N N N +=

n * >

n * >

co,$atibilit'


reillis intérieurement h/)erst*ti+,e hi 1



1@1

D'finition )" système de référence isostati!ue S"

G1111 =+ f % f

i

n

i i

9

i,83

1A

N f ∑

=

=1

11

i

n

i i

pi,,i

, 31A

N N f ∑

=

=1

1

1

f . % f = = − 1

1

11

i i , i ,N N .N = + 1

P1

P%

A P1

P%

A

n * @

n * @mais N

i,A0 * G

co,$atibilit'


Co)*r*ison des de,x treillis similaires



1@%

, ,f f <11 11

P1

P%

1*

G1111 =+ f % f

i

n

i i

9

i,83

1A

N f ∑

=

=1

11

i

n

i i

pi,,i

, 31A

N N f ∑

=

=1

1

1

2 . >

> N i,8 ≠ G

> N i, ≠ G

P1

P%

*F*F A

@ N i,8 ≠ G

> N i, ≠ G

, ,f f =1 1

f % ) 2,. (

f = = − 1

1

11




1@:

M'to)e )'crite reste ).a$$lication si les actions ne

sont $as )es forces e3t'rie"res )irecte,enta$$li!"'es ,ais r's"ltent )e déplacements

imposés tels !"e ( Effets ter,i!"es

Tasse,ents ).a$$"is ri)a0es )e ,onta0e

Il s"ffit ).a)o$ter les !"antit's a$$ro$ri'es $o"r lester,es in)'$en)ants )es '!"ations )e

co,$atibilit' voir trava"3 $rati!"es4


reillis h/)erst*ti+,e de degré h quelconque

'f 'f' S



1@=

(h,i ) f f % h

&

,i i& & 1G

1

==+∑=

-

n

- - -

&8-,i8-,

i& 3

A1

N N f ∑

=

=1

-

n

- - -

p-,i ,-

,i 3 A1

N N f ∑

=

=1

1

1

1

& ,-

h

&

& ,- - N % N N ∑=

+=

& % ) & ,h(= 1

D'finition )" s/st,e )e r'f'rence isostati!"e S"

Nbre ).'!"ations *Nbre )e co"$"res si,$les *

Nbre ).inconn"es * h

Nbre )e barres * n





1@>

i

n

i i i

,i ,i

& 3 A1 N N d ∑

=

=1

1

Une )es )istrib"tions N i, o" N i,8 peut ;tre)'ter,in'e )ans "ne str"ct"re ren)"eisostati!"e

L.a"tre )istrib"tion doit ;tre )'ter,in'e )ans la

str"ct"re /$erstati!"e

9. $#("% #($"(C"



1@@

Dia0ra,,e )e ,o,ent )e fle3ion so"s "n car0e,ent

Li0ne )Zinfl"ence )" ,o,ent en m

m

3M34

La a"te"r )e la li0ne )Zinfl"ence 2 "n en)roit 3 )onne le ,o,ent !"i serait 0'n'r' en m



1@B

Li0ne )Zinfl"ence )" ,o,ent

en m

m

)onne le ,o,ent !"i serait 0'n'r' en m $ar "ne force "nitaire a$$li!"'e en 3

3

1

Mm4

A !"oi a sertK



1@

m

14 Tro"ver la $osition la $l"s )'favorable )Z"nconvoi )e car0es ,obiles

Et5 en $l"s5 avoir )irecte,ent la vale"r )e lZeffet $o"rcette $osition

i i

n

i

y () 1 ∑=

=α1

∫ ∑ +=α=

#

a

i i

n

i

dx ( x ) y ( x ) py () 1 1

/

A !"oi a sertK



1@

$%$1

m

%4 Tro"ver les 6ones 2 car0er $ar "ne car0e)istrib"'e $o"r avoir lZeffet ,a3i,",

Et5 en $l"s5 avoir )irecte,ent la vale"r )e lZeffet $o"r cecar0e,ent2

1 0

( ) ( )i"

i

i

E p Li t dt α =

= ∑ ∫

/

l1 l%

m

Li Mm4



1BG

m

m

Li 7m4

m

Li )m4

mLi m4

m

Li Rm4

Effets,'cani!"es

Effets0'o,'tri!"es

Co,,ent on les calc"leK

14 Par calc"ls 'l',entaires s"ccessifs



1B1

m

m

M34

Li Mm4

1

Note( $ar cette tecni!"e5 on $e"t constr"ire $l"sie"rsli0nes )Zinfl"ence en ,;,e te,$s


%4 Directe,ent5 $ar les t'or,es )e Lan)



1B%

Li effet ,'cani!"e4 )ans "ne str"ct"re isostati!"e

1 Co"$"re si,$le relative 2 lZeffet% D'$lace,ent )es lvres )e la co"$"re

: D'for,'e )e la str"ct"re co"$"r'e * Li

A

Li R A4

1

E3e,$le(LiR A4





1B:

Li effet ,'cani!"e4 )ans "ne str"ct"re /$erstati!"e

1 Co"$"re si,$le relative 2 lZeffet% D'$lace,ent )es lvres )e la co"$"re

: D'for,'e )e la str"ct"re co"$"r'e * Li,ais cZest $l"s )ifficile4

A

Li R A4

1E3e,$le(LiR A4

P*1

Li 14 so"s car0es verticales KKK

D',onstration $ar "n e3e,$le



1B=

1

%

)%%

%

%.

1. 1

)1%

P*1

Etat A

Co"$"re ori6ontale en 1

So"s lZeffet )e P*1 a$$li!"' en % )ans la str"ct"re co"$"r'e5le $oint 1 se )'$lace )e )1%

)%%

%

%.

1. 1

)1%

P*1



1B>

1 1Etat A

So"s lZeffet )e a$$li!"' en 1 )ans la str"ct"re co"$"r'e5

le $oint 1 se )'$lace )e )11

%

%..

1..1

)11

Etat

)%1

Dans la vraie str"ct"re5 cr'' $ar P*1 est )onn' $ar G111%

=+ d d

%1%11% 1d d d 2 ==

T'or,e )e r'ci$rocit' )e Ma38ell

) l t t '

So"s lZeffet )e P*1 a$$li!"' en % )ans la str"ct"re co"$"r'e5le $oint 1 se )'$lace )e )1%

)%%

%

%.

)1%

P*1



1B@

1. 1Etat A

%

%..

1..1

)11

Etat

)%1

est )onn' $ar G111%

=+ d d

%1%11% 1d d d 2 ==T'or,e )e r'ci$rocit' )e Ma38ell

11 211 # d d − =uur uuur r uur

11

%11

d

d 2 −=

11

%1

d

d 2 −= CQFD si d 88 * 1

1

%1

E3a,$le s"r "ne str"ct"re )e $o"tre



1BB

7

1)1%

)%%

7

)11 )%1

21

11

d !

d = −

%1

7 1



1B

)11 )%1

21

11

d !

d = −

7 est a)i,ensionnel

)11 ne )'$en) $as )e la $osition )e la car0e P )11 )onne lZ'celle )e la Li

Ce t'or,e $er,et )e tro"ver5 )e ,anire int"itive5lZall"re 0'n'rale )Z"ne Li

1 "

C



1B

)%1

1 "3"Mφ11

D

Unit' )e ,es"re )ans le cas )."ne li0ne ).infl"ence )."n,o,ent )e fle3ion a$$li!"er "ne $aire )e ,o,ents"nitaires4U

, est )istant )" $oint 1 )Z"ne lon0"e"r U

3 !"i est lZ'celle

)" )essin





1G

Li effet 0'o,'tri!"e4

1 %

a4

Li)14 KKK



11

%)1% )%%

#4 Etat A

1 )11 )%1

c 4 Etat

P*1

%11% 11 d d ⋅=⋅T'or,e )e r'ci$rocit' )e Ma38ell

%11% d d =*+

M * 1



1%

Li 4 KKK

D'riv'es )es li0nes )Zinfl"ence



1:

Li * fm534 avec m $osition )e la section et3 $osition )e la car0e "nitaire P

( )( 1)

Li Li M

x

∂= =

∂

dx

d+ H = α

=d

(+ 3i ) d H 3i

F d

(v 3i F) d 1 + 3i

α−=

F dx

v d 1 +

%

−=

*+

*+

Li0nes )Zinfl"ences $ri,aires et secon)aires



Dans "ne str"ct"re h fois /$erstati!"e5 il s"ffit )e)'ter,iner h Li5 )ites $ri,aires5 $o"r tro"ver to"tes lesa"tres Li5 )ites secon)aires5 $ar '!"ilibre

&n fait coi3 )e h 0ran)e"rs /$erstati!"es in)'$en)antesefforts int'rie"rs4 )ont les li0nes ).infl"ence sont 'tablies $ara$$lication )" $re,ier t'or,e )e Lan) li0nes ).infl"ence$ri,aires4 ^

& )') it l t li ).i fl li ).i fl

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Mecanique Des Structures 1