Mecanique Des Structures 1DLppt

7/24/2019 Mecanique Des Structures 1DLppt

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écanique des structures IAlain BLAISE 27/10

MécaniqueMécanique desdes Structures IStructures IApprendre à analyser et

Dimensionner efficacementPont de Tacoma

Par Alain BLAISE [email protected]

27/10/2006Alain BLAISE ...Mécanique des structures I 2

Plan du coursPlan du cours

Vibrations des systèmes réductibles à 1D.L.Vibrations des systèmes réductibles à 1D.L. Vibrations des systèmes réductibles à 2D.L. Vibrations des systèmes réductibles à N D.L. :

généralisation Méthodes d’approximations




27/10/2006Alain BLAISE ...Mécanique des structures I3

Vibrations des systèmes réductibles àVibrations des systèmes réductibles à

1D.L. amortis1D.L. amortis Introduction

Vibrations libres ou naturelles

Vibrations forcées ou entretenues

Mesures et études expérimentales

Conclusions

Méthode de Rayleigh


INTRODUCTIONINTRODUCTION

Étude •Compréhension des phénomènes physique

•Observer •Modéliser

•Données – Inconnues ?





Système mécaniqueSystème mécanique ::

ensemble isolé de sonensemble isolé de son

environnementenvironnement

Réductible à …Simplifications du systèmeQuelque en soit sa complexité

1 D.L.système élémentaire

Irréductible

Non amorti :Conservatif, pas de dissipationd’énergie

Amorti :Dissipatif perte d’énergie

conséquences ?conséquences ?

Réactions de liaisonsRéactions de liaisonsInconnuesInconnues


Modèle élémentaire :Modèle élémentaire : schématisationschématisation

Cinématique du mouvement :Cinématique du mouvement :

Translationou

Rotation

Hypothèses relatives auHypothèses relatives aumodèle:modèle:

Masse ou inertie indéformable

Liaison élastique et dissipativesans masse ou inertie

Comportements linéaires :F KF K λλλλλλλλ

Sollicitations :M MM M (t) N.m

Sollicitations :F FF F (t) N

Amortisseur :N.m/rad/s

Amortisseur :N/m/s

Raideur K Nm/radRaideur : K N/m

Inertie : I kg.m2Masse : M kg

RotationTranslation

CinCinéématiquematique dudu mouvementmouvement ::

K

λλλλ

MG

X(t)

X0

F(t)





Différents états :Différents états :

G

X0

ÉÉtat Initialtat Initial ::à vide ou sans charge

A0

A1

g

G

Xsta

ÉÉtat Statiquetat Statique ::sous charges statiques

M

K

G

g

ÉÉtat dynamiquetat dynamique :sous charges statiques

et dynamiques

M F(t)

Xsta

G x(t)

X(t)


Mise en équation : Théorèmes générauxMise en équation : Théorèmes généraux

État Statique :

État Dynamique :

2

02

( ). . ( ) . . ( )

d X t M K X t M g K X F t

dt + = + +

0

2

02.

( ). . ( ) .( ( ) )

ext x

d X t M M g F t K X t X

dt F = = + − −∑

00.

0 . .( )staext

x

M g K X X F = = − −∑

0. / sta X M g K X = +

Équation du mouvement en paramétrage absolu :

Équation différentielle linéaire à coefficients constantsAvec second Membre

Sollicitations statiques

Sollicitations dynamiques





2

02

( ). . ( ) . ( ) .( )

sta

d x t M K x t M g F t K X X

dt + = + − −

Statique = 0

2

2

( ). . ( ) ( )

d x t M K x t F t

dt + =

( ) ( )sta X t X x t = +

Équation du mouvement en paramétrage relatif dynamique :

Changement de variable :

paramétrage absolu paramétrage relatifFonction de t

Par rapport à

dynamique

Position d’équilibrestatique

DéfinitionDéfinition :Vibrations = Oscillations au voisinage d’une position

d’équilibre STATIQUE STABLEou d’une « trajectoire moyenne »


Définition :Définition : Vibrations libres

Vibrations forcées

Remarque 1 :Remarque 1 : paramètres vibratoires sont définis par rapportà cette situation de référence

Remarque 2 :Remarque 2 : Les actions et paramètres définissant cetteréférence n’interviennent plus

Remarque 3 :Remarque 3 :Pour un problème de dimensionnement il faut

tenir compte des deux états statique etdynamique en terme de contraintes

. M g

(t)= ( )total sta vib t σ σ σ +

( ) 0si F t =

( ) 0si F t ≠

0.( )sta

K X X −





Mise en équation : formulation de LagrangeMise en équation : formulation de Lagrange

1 D.L. 1 Équation du Mouvement1 Équation du Mouvement

X(t)

paramètre absoluparamètre absolu , 1

DL

j j i

N

iF C i X W X Q q Qδ δ δ Σ =

= =∑

DL pour i=1,Nc c

i i

i

E E d

d qQ

t q

∂ ∂− =

∂ ∂ ɺ

3 : Calcul de l’énergie cinétique3 : Calcul de l’énergie cinétique

1 : Bilan des actions extérieures au système1 : Bilan des actions extérieures au système

2 : Calcul des actions généralisées2 : Calcul des actions généralisées

4 : Calcul des équations de Lagrange4 : Calcul des équations de Lagrange


1 : Bilan des actions extérieures au système1 : Bilan des actions extérieures au système

3 : Calcul de l’énergie cinétique3 : Calcul de l’énergie cinétique

2 : Calcul des actions généralisées2 : Calcul des actions généralisées

. en G M g x

Re Ressort ssort W U δ δ = −

b est extérieur ausystème

a intérieur ausystème

Re /1 1

Re / 0 0

en A

en A

ssort

ssort

F x

F x

2Re Re 0 0

1 ( ) ( )2ssort déf ssort

W U K X X K X X X δ δ δ δ = − = − − = − −

( )0 00. . G = . . . . .

PW M g x O M g x X x M g X δ δ δ δ = =

[ ]Re 0( ) ( )Total déf ssort P F

W W W U Mg F t K X X X δ δ δ δ δ = + − = + − −

/0 /0

201 1

2 2

i i ii

t

Gc i i E M V I = + Ω Ω

1/ 0 0Ω =

00

1 ( )d OG

V X t x

dt

= =

ɺ

( ) en GF t x

Structure élastique ouStructure élastique ouressortressort

00( ) . G ( ).

F W F t x O F t X δ δ δ = =





4 : Calcul des équations de Lagrange4 : Calcul des équations de Lagrange

c

X

c E E d dt X X

Q∂ ∂ − = ∂ ∂ ɺ

O

0

2

2. ( ) .( (

))

(. ) M g F t K X t X

d X t M

dt + − −=

2

02

( ). . ( ) . ( ) .( )sta

d x t M K x t M g F t K X X dt + = + − −

Statique = 0

2

2

( ). . ( ) ( )

d x t M K x t F t

dt + =

( ) ( )sta X t X x t = +Changement de variable :Changement de variable :


Limites de modèle :Limites de modèle :

Poutre encastrée libre

Linéarités ,éléments élastiques d’énergie cinétiquenégligée

Poutre mince homogène à sectiondroite constante : S1

Disque mince homogène : S2

X (U(x,y,t))

Y (V(x,y,t))

Y

K1 = ?

G2

V(x=L1,t)M2

Modèles plus fin Techniques de Rayleigh

Éléments Finis

Modélisation

1 2C C C E E E ≈ +

1 2 2C C C C E E E E = + ≈










Conclusions



Vibrations Libres non amortiesVibrations Libres non amorties

Équation du modèle à 1D.L

2

2

0 0

( ). . ( ) 0

( 0) ( 0)

d x t M K x t

dt

avec

dx x t x t x

dt

+ =

= = = =

ɺ

.( ) . r t x t A e=

2. 0 M r K + =

Équation aux fréquences

1.2

K r j

M = ±

Si K>0 et M>0

1 2. .1 2( ) . .r t r t

x t A e A e= +2 1

10

K MLT LT

M M ω

− −

−= → =

Pulsation de résonance

Conditions Initiales :Calculer A

1et A

2

Solution générale





3

2

1

0

-1

-2

-3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t en s

Solution : C.I.Solution : C.I. 0 0( 0) et ( 0) x t x x t x= = = =ɺ ɺ

X

K

G

MX(t)

T = 0.5 s1.0ɺ

0

1

2

K f

M π =0

K

M ω = 0

0 0

1 2T

f

π

ω = =rad/s 1/s ou Hertz s

x0

0 x


Vibrations Libres amortiesVibrations Libres amorties

•Dissipation d’énergie

•Causes ?

•Modéliser

11-- Contact entre solides avec ouContact entre solides avec ousans interface fluidesans interface fluide

22-- Actions d’un fluideActions d’un fluidevisqueuxvisqueux

33-- Loi de comportementLoi de comportementdes matériauxdes matériaux

Solide 1

Solide 2Aire =Énergie dissipée

Déplacement

Force dissipéeS1 S2

Animation Flash





11-- Contact entre solides avec ouContact entre solides avec ousans interface fluidesans interface fluide

22-- Actions d’un fluideActions d’un fluidevisqueuxvisqueux

33-- Loi de comportementLoi de comportementdes matériauxdes matériaux

1/ 2 2 /1. 0V T <

1/ 2 1/ 2. N T µ =

1/ 2 2 /1.V F λ

= −

Effort normal

Effort tangentiel Coefficient de frottementdynamique

Modèle de Coulomb pour desModèle de Coulomb pour des

Modèles plus finsModèles plus finscf cf ... Rhéologie... Rhéologie

Facteur d’amortissementvisqueux

[ ].C σ ε =

11 (1 . )C E j η = +

* (1 . ). / TC

K E j S Lη = +

Facteur de perte oustructural

La réalité c’est la somme de ces effetsavec dans certains cas l’un qui prédomine

par rapport aux autres

Effort de réactionde 2/1 Vitesse relative

de 2/1

déformationsContraintes

Coefficients d’élasticié

Poutre droite à sectionConstante en TC

Raideur complexe


Équation du modèle à 1D.L à amortissement visqueux

0 0

. ( ) . ( ) . ( ) 0

( 0) ( 0)

M x t x t K x t

avec

x t x x t x

λ + + = = = = =

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

.( ) . r t x t A e=

/c

ε λ λ =

Équation aux fréquences

' 2 20 (1 )δ ω ε = − −

1 2. .( ) . .r t r t x t A e B e= +

Pulsation de résonance

Conditions Initiales :Calculer A et B

Solution générale

1ε >

.( ) ( . )r t x t e A t B= +

1 2. .( ) . .r t r t x t A e B e= +

Cas 1 :Cas 1 :

1ε =Cas 2 :Cas 2 :

1ε <Cas 3 :Cas 3 :

21.2 0 ( 1)r ω ε ε = − ± −

0 .r ω ε = −

21.2 0 ( . 1 )r jω ε ε = − ± −

Non oscillant

Oscillant2

0 (1 )aω ω ε = −

2. . 0 M r r K λ + + =2 / . / 0r M r K M λ + + =

2 20 02. . 0r r ε ω ω + + =

Taux d’amortissement

Amortissement critique

2. .c K M λ =





X

K

G

X(t)M

λλλλ

3

2

1

0

-1

-2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t en s

ε=0%

ε=10%

ε=20%

0. . .( ) .( . . )a at j t j t x t e A e B e

ε ω ω ω − −= +1ε <Cas 3 :Cas 3 :

21.(1 )

2a

K f

M ε

π = −

20 1a

ω ω ε = −

1 2a

a a

T f

π

ω = =

rad/s

1/s ouHertz

20 02. (1 . 1 ) ( . )a A X j X jε ε ω = − − + ɺ

20 02. (1 . 1 ) ( . )

a B X j X jε ε ω = + − − ɺ

1aT 2aT

3äT

3äT

1aT

2aT s3 2 1a a aT T T > >

1 2 3ε ε ε < <

01 2 3a a aω ω ω ω = > > Majorant de la réalité

Décroissance temporelle



1D.L. amortis1D.L. amortis

Introduction




Conclusions






Origine des sollicitations ?Origine des sollicitations ?Vibrations forcées amortiesVibrations forcées amorties

Nature des sollicitations ?Nature des sollicitations ?

Classement et tri des sollicitations :Classement et tri des sollicitations :Critères ?Critères ?

•Déterministes

•Non déterministes : aléatoires

•Mécaniques •Aérohydrodynamiques

•Acoustiques

•Électriques •Chimiques


Sollicitations étudiéesSollicitations étudiées

Harmoniques :Harmoniques : 0( ) ( ). j t F t F e ω ω =

Périodiques :Périodiques :

Déterministes àDéterministes àdurée finie :durée finie : 1

1

si 0 : ( ) 0

( ) : si 0 : ( ) 0

si : ( ) 0

t F t

F t t t F t

t t F t

< =

≤ ≤ ≠

≤ < ∞ =

( ) telle que : F(t+T)=F(t)F t





Sollicitations HarmoniquesSollicitations Harmoniques. .

0

0 0

. ( ) . ( ) . ( ) ( )

( 0) ( 0)

j t M x t x t K x t F e

avec

x t x x t x

ω λ ω + + =

= = = =

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ1 1 1

1 0 1 0

. ( ) . ( ) . ( ) 0

( 0) ( 0)

M x t x t K x t

avec

x t x x t x

λ + + = = = = =

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

0. .1

.

( ) .( .

. )

a

a

t j t

j t

x t e A e

B e

ε ω ω

ω

−

−

= +

Solution généraleSolution générale

Solution générale de :Solution générale de :

Solution particulière de :Solution particulière de :

Régime transitoire :

. .2 2 2 0. ( ) . ( ) . ( ) ( ) j t

M x t x t K x t F e ω λ ω + + =ɺɺ ɺ

. .2 2( ) ( ) j t

x t x e ω ω =

02 2

0 0

( )( ) .

(1 2. . . )

F x B a

K j

ω ω ω ω

ε ω ω

= =

− +

. .1 0 2( ) ( ) ( ) j t x t x x e ω ω ω = +

02

0

2.( )

1 ( )tg

εω ω ϕ

ω ω =

−Régime permanentRégime permanent


Solution temporelle :Solution temporelle :

[ ]0( ) sin( ) cos( )

sin( ) cos( )

t

a a x t e A t B t

C t D t

εω ω ω

ω ω

−= +

+ +

50

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

t en s

D é p l a c e m e n t x ( t )

α=1 (Résonance)

α=0.5

α=2.0

ε= 0.05

TransitoireTransitoire

permanentpermanent





0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

t en s

D é p l a c e m e n t ( x )

Grandeamplitude

( )0 0

2

0

2sin

2(1 / )

F t

K

ω ω

ω ω

− −

Phénomène de battement et modulationd’amplitude pour εεεε très petit et pour

0ω ω ≈

Tmod

( ) ( )mod

0 0

2 2

/ 2 / 2batt T π π

ω ω ω ω = > =

− +

Tbatt


Spectre d’amplitude en moduleSpectre d’amplitude en module ( )a a ω =

0( / )

en dB

a a ω ω =

0ω ω

Solution frSolution frééquentielle :quentielle :

( ) en dB0a ω ω

0 0.5 1 1.5 2

-20

-10

0

10

20

30

40

ε =0.01

ε =0.1

ε =0.3

ε =0.5

ε =1

Résonance d’amplitude

0ra raα ω ω =

Kεεεε

M

Justification de l’étudevibratoire

B.P. à -3 dB

0ω ω ∆





Résonance d’amplitude aRésonance d’amplitude a

charge constantecharge constante0( / )α α ω ω

=

2

20

( ) . 1

(1 2. . . )

x K a

F j

ω

α ε α = =

− +

2

2 2 20

10

(1 ) (2 )α α α εα

= = ⇒ − +

x K d d

d F d

0 0( )F F ω =

2max 1 2 1 1/ 2α ε ε = − < ⇒ <

2 max

20 max

( ) 1

2 1

α

ε ε

=

−

x K

F


0 0.2 0.4 0.6 0.80

5

10

15

20

25

30

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α αα α max

2

0

(dB) x K

F

•• Influence de l’amortissement surInfluence de l’amortissement surle max de réponse vibratoirele max de réponse vibratoire

• Influence de l’amortissement surInfluence de l’amortissement surLa fréquence de résonance d’amplitudeLa fréquence de résonance d’amplitude

εεεε

2 2ε ≤

0raω ω ≤

0 s i 1r a

ω ω ε ≈ ≪

2

0

1 si 1

2

x K

F ε

ε ≈ ≪

εεεε





Spectre de phase : sollicitationSpectre de phase : sollicitation--réponseréponse

0( / )ϕ ϕ ω ω =

0( / )ϕ ϕ ω ω =

0 r ϕ ω ω ε = ∀

Résonance de phase

0 / ω ω

0 ω ω < 0ω ω >

Rotation de phase de 180 °

Déphasage Force déplacement de translation

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ε =0.01

ε =0.1

ε =0.3

ε =0.5

ε =1

En phaseEn phase

En opposition de phaseEn opposition de phase

En quadrature de phaseEn quadrature de phase

Identification expérimentaledes résonances


Identification des paramètres et conséquences :Identification des paramètres et conséquences :

Comportement en vibrations forcées harmoniques:

0 ω ω ≪

3 zones fréquentielles de comportement :

Zone 1 : gouvernée par la raideur du systèmegouvernée par la raideur du système

Zone 2 : gouvernée par la résonance et l’amortissement du systèmegouvernée par la résonance et l’amortissement du système

Zone 3 : gouvernée par la masse du systèmegouvernée par la masse du système

0 ω ω ≈

0 ω ω ≫

20 0 x F K →

20 0 0( . ) x F λ ω →

220 0 ( . ) x F M ω →

Quasi Statique

Résonance d’amplitude

Conséquences : Moyens de réduction des niveaux vibratoires

Toujours se préoccuper des sollicitations en premiersi cela est possible ………. Exemples …………..





Représentation dans le plan complexeReprésentation dans le plan complexe

cas quelconqueω

Re

Im

cos( )Kx t ω ϕ −

A

B

C

D

E

Kx

xλω 2

M xω

0F

0F

C

BA2

( )K M xω −

ϕ

ϕ

t ω ϕ −t ω


0cas ω ω ≈

2ϕ π =Re

Im

KxA

B

CD

B

xλω

20 M xω

0F

La force extérieure sert à entretenir le mouvement etLa force extérieure sert à entretenir le mouvement etvaincre les efforts de frottementvaincre les efforts de frottement

Elle n’est donc pas nécessairement importanteElle n’est donc pas nécessairement importantepour mettre une structure en résonancepour mettre une structure en résonance





SollicitationsSollicitations Périodiques :Périodiques :

0 0

. ( ) . ( ) . ( ) ( )

( 0) ( 0)

M x t x t K x t F t

avec

x t x x t x

λ + + =

= = = =

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

( ) ( )

: période de la sollicitation f

f

F t T F t

avec T

+ =

F1

-F1

ππππ 2π2π2π2π 3π3π3π3π

ωωωωf t0

F2

F(t)


ωωωωf t0000

Solution générale

1 0 2( ) ( ) ( ) x t x x t ω = +

0. . .1( ) .( . . )a at j t j t

x t e A e B eε ω ω ω − −

= +

Régime transitoire :

Régime permanent

. .2 2( ) f

n j n t

n

n

x t x e ω

=+∞

=−∞

= ∑

Décomposition en série de Fourier


Résolution en régime permanent :Résolution en régime permanent :

. .2 2 2

. .n

0

. ( ) . ( ) . ( )

1 F ( )

f

f

f

n j n t

n

n

T

j n t

f

M x t x t K x t F e

avec F t e dt T

ω

ω

λ =+∞

=−∞

−

+ + =

=

∑

∫

ɺɺ ɺ

. .2 2( ) f

n j n t

n

n

x t x e ω

=+∞

=−∞

= ∑

2 22( ( . ) ). f f n nn M j n K x F ω ω λ − + + = 2 2

0 0

( . )( . ) .

. .(1 2. . . )

n f

f n n

f f

F n x n B a

n nK j

ω ω

ω ω ε

ω ω

= =

− +

. .2 2

0 0

( . )( )

. .(1 2. . . )

f

n j n t n f

n f f

F n x t e

n nK j

ω ω

ω ω ε

ω ω

=+∞

=−∞

=

− +

∑

Décomposition en série de Fourier

??Même solution que pour l’excitation harmonique

. f nω ω →





Exemple :Exemple :


ωωωωf t0000

F11

0 0

si 0 t / 2( )

0 si / 2 t = = 0.5 1 2ω ω

≤ ≤=

≤ ≤

f

f f

f f

F T F t

T T

avec T T

10

FF

2=

1

n

pour n=1,...,

j.F n=2.p+1

F .0 n=2.p

sin

si

π

∞

=

1

2(2 1) 2

0 0

pour p=0,..., j.F

.

(2 1). (2 1).(1 2. . . )

p

f f

n x p p

K j

π

ω ω ε

ω ω

+

∞

=

+ +− +

120 2

F x

K =

Phénomène de Gibbs :fonctions continues par morceaux


Réponses temporelles : sollicitation asymétriqueRéponses temporelles : sollicitation asymétrique

01 : 0.5 f ω ω =

02 : 2 f ω ω =

120 / 2

F x

K

0.05ε =

. f t ω Position d’équilibrePosition d’équilibre

statiquestatique

Nouvelle PositionNouvelle Positiond’équilibre statiqued’équilibre statique





0 1 f

ω ω =

120 / 2

F x

K 0.05ε =

. f t ω


12 /

2n

F x

K

0 / ω ω

01 : 0.5 f ω ω =

02 : 1 f ω ω =

03 : 2 f

ω ω =

0.05ε =

Spectre discret d’amplitudes des harmoniquesSpectre discret d’amplitudes des harmoniques

Résonance

Réponses fréquentiellesRéponses fréquentielles





12 /

2n

F x

K

0 / ω ω

01 : 0.5 f

ω ω =

02 : 1 f ω ω =

0.05ε =

Spectre discret de phase des harmoniquesSpectre discret de phase des harmoniques

Rotation de phase


ATTENTION :

Sollicitations Périodiques

Sollicitations Multi fréquentielles

Charge statique additionnelle :terme a0 ou c0

Marges de manœuvre réduites en terme deMarges de manœuvre réduites en terme de

solutions de réduction des niveaux vibratoiressolutions de réduction des niveaux vibratoiresIdentiques à celles obtenues pour uneIdentiques à celles obtenues pour uneexcitation harmoniqueexcitation harmonique

Modification de la position d’équilibreModification de la position d’équilibrestatiquestatique

Vérification de la stabilitéVérification de la stabilité





Sollicitations à durée finieSollicitations à durée finie

0 0

. ( ) . ( ) . ( ) ( )

( 0) ( 0)

M x t x t K x t F t

avec

x t x x t x

λ + + = = = = =

ɺɺ ɺ

ɺ ɺ

1

1 2

2

0 si t t

( ) ( ) si t t t

0 si t t

F t F t

≤

= ≤ ≤ ≥

Excitations à durée finieExcitations à durée finieOuOu

Observation finieObservation finie

• Chocs

• Explosions

• Séismes• Écoulements

• ………….

Deux techniques deDeux techniques de

RésolutionsRésolutions

Différences FiniesDifférences Finies ::méthodes Pas à Pas

Transformées deTransformées de Fourierou Laplace

• Mouvements


. .F( ) ( ) j t F t e dt ω ω

+∞

−

−∞

= ∫

. .( ) F( ) j t F t e d ω ω ω +∞

−∞

= ∫

.

0

F(s) ( ) s t F t e dt

+∞

−= ∫

.

0

( ) F(s) s t F t e ds

+∞

= ∫

F( ) . . ( )T F F t ω =

1( ) . . F( )F t T F ω −=

Directe

Inverse

F(s) ( ) L F t =

Directe

1( ) . F(s)F t L−

=

Inverse

FOURIERFOURIER LAPLACELAPLACE

Utilisation en techniques expérimentalesFast Fourier Transform

Utilisation en techniques numériqueset analytiques

Transformée deTransformée de





DémarcheDémarche• Transformée de Laplace directe de l’équation du mouvement

• Résolution dans l’espace de Laplace :

F(s) . ( ) L F t = X(s) . ( ) L X t =

. ( ) =s.X(s)-X(0) L X t ɺ 2. ( ) =s .X(s)-s.X(0)-.X(0) L X t ɺɺ ɺ

2( . . ) ( ) ( ) . (0) s.MX(0)+MX(0) M s s K x s F s X λ λ + + = + + ɺ

2 20 0 0

( )( 2. . ). ( ) 2. (0) s.X(0)+X(0)

F ss s x s X

M εω ω εω + + = + + ɺ

02 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

(2. )( ) X(0)( ) (0)

( 2. . ) ( 2. . ) ( 2. . )

sF s x s X

M s s s s s s

εω

εω ω εω ω εω ω

+= + +

+ + + + + +

ɺTerme forcé

C.I. position

C.I. vitesse


• Transformée de Laplace inverse de la solution en s

1 2( ) ( ). ( ) x s F s F s=

1 11 2 1 2

0

( ) . ( ) . ( ). ( ) ( ). ( )t

x t L x s L F s F s F F t dt τ τ − −= = = −∫

Produit de convolutionProduit de convolution

( )F s ( )F s( )F t ( )F t

( )t δ

cos( . )t ω sin( . )t ω ( )2 2s s ω + ( )2 2sω ω +

2 2

2.

( 2. . )

s

s s

εω

εω ω

+

+ +2 2

1

( 2. . )εω ω + +s s

. .sin( . )t

a ae t

ε ω ω ω −

. cos( . )t

ae t

ε ω ω −

2

.sin( . )

1a

t ε ω

ε +

−

2

1aω ω ε = −

Quelques transformées utilesQuelques transformées utiles

1





Intégrale de DuhamelIntégrale de Duhamel

0 ( )1

0

1( ) ( ) sin( ( ))t

t a

a

x t F e t d M

εω τ τ ω τ τ ω

− −= −∫

0.(0).sin( . )t

a

a

X e t

ε ω ω ω

−+

ɺ

0.

2

sin( . )(0) cos( . )

1

t aa

t X e t

ε ω ε ω ω

ε

−+ +

−

Terme forcé : effet mémoire entreLe début de la mise en charge etl’instant d’observation

Termes de Conditions Initialesinclus dans le calcul de la réponse

Cas des chocs :

( )0( )F t F t δ =0

0

1( ) sin( )

t

a

a x t F e t M

εω

ω ω

−

=

le système à 1DL est toujours excité sur sa résonance

Il faut donc les éviter : réduction à la source ….Il faut donc les éviter : réduction à la source ….ou dissiper l’énergie au plus viteou dissiper l’énergie au plus vite


01 / 2r

t ω π − =

02 r t ω π − =

03 2r t ω π − =

Si Ta> tr le max de réponse est observé pendant la phase libre

r t t

1( ). x t K F

phase librephase forcée

Exemple :Exemple :

1111

t/tr0000

F1 1 si 0 t( )

0 si t R

R

F T F t

T

≤ ≤=

≤





01 3r

t ω π − =

02 4r

t ω π − =

Si Ta< tr le max de réponse est observé pendant la phase forcée

r t t

1( ). x t K F

phase librephase forcée


Cas des chocs :SollicitationsCas des chocs :Sollicitations impulsionnellesimpulsionnelles

impulsion = ( )

( ) ( ) ( ) (N s)

ˆˆ 2

2

F t dt F t

I F t dt F t dt

F F

τ ε

τ ε

ε

ε

ε

+ ∞

− −∞

= ∆

= = ⋅

= =

∫

∫ ∫

F (t )

ˆ

2F

ε

τ +ετ -ε

Aire

τ

t

F (t )

t

Impulsionséquivalentes

“fonction” deDirac( ) 0,

ˆ( )

ˆsi 1

c'est la "fonction" de Dirac (t)

F t t

F t dt F

F

τ τ

τ

δ

∞

−∞

− = ≠

− =

=

∫





Hypothèses : durant la phase d’impulsion la position du système n’évolue paschoc conservatif

Impulsion=variation de quantitéde mouvement

0 0ˆ [ ( ) ( )]F F t MV M V t V t + −

= ∆ = ∆ = −

Vitesse avant

choc

Vitesse après

choc

M

K

x(t)

λ λλ λ

F

0( ) sin( )t

a

a

F x t e t M

εω ω ω

−=

0 0

ˆˆ F F t

F MV V M M

∆= ⇒ = =


RéponseRéponse impulsionnelleimpulsionnelle

0

Fonction de réponse impulsionnelleou fonction de transfertImpulse esponse uncR F tion

ˆ( ) ( ), ou ( ) sint

a

a

e x t Fh t h t t

M

εω

ω ω

−

= =

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

t

h ( t )





Décalage temporel 0 ( )

0

( )

sin ( )

t

a

a

t

h t et t M

εω τ

τ

τ

ω τ τ ω

− −

<

− = − >

0 10 20 30 40-1

0

1

h 1

0 10 20 30 40-1

0

1

h 2

1

0 10 20 30 40-1

0

h 1 + h 2

ττττ=0

ττττ=10


Mouvements imposes :Mouvements imposes :

•• Problème important en isolation vibratoire :Problème important en isolation vibratoire :

confort dans les véhiculesconfort dans les véhicules

Déploiement des satellitesDéploiement des satellites

Lecteurs CD ……….Lecteurs CD ……….

Système à 2DL avec conditionsde mouvement imposées

Système à 1DL avecsollicitations imposées

++ + = Mx x Kx y Kyλ λ ɺɺ ɺ ɺ

M

(x y)λ −ɺ ɺ( )K x y−

x(t) Équation de Lagrangeà développer

M

k

x(t)

λ λλ λ

base y(t)

F(t)





Quelques éléments de suspensions:Quelques éléments de suspensions:

Avec Contrôle Actif


Transmissibilité cinématique :Transmissibilité cinématique :

Solution particulière :

. .0. ( ) . ( ) . ( ( )) j t M x t x t K x t eF

ω λ ω + + =ɺɺ ɺ

. .0( ) ( ) j t y t y e ω ω =

0 0( ) ( . . + )F j K yω ω λ = −

0

0 ( )02

(2 . . +

2. . ) 1

1 . x y

j jω α ω ω

α ε α ε α = =+

−

−

0

0

2( )

2 2 2

1 (2 )

(1 ) (2 ) Rd

xT y

ω εα

α εα

+= =

− +

Coefficient de transmissibilité en déplacements: TRd





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-10

0

10

20

30

40

α αα α

x o

/ y 0

( d B )

ε=0.01

ε =0.1

ε =0.3

ε =0.72

0 0

/ avec de x y ε ց ր

0 0 / avec de x y ε ր ր

Transmissibilité cinématique :Transmissibilité cinématique :


Transmissibilité mécanique : Efforts FTransmissibilité mécanique : Efforts FTT

( ) ( )T K x y x y MxF λ = − + − = −ɺ ɺ ɺɺ

2 20 0T

M xF K xω α = =

Solution particulière : régime permanant

0( ) i t y t y e

ω =

20 2

2 . . . + 1

(1 2. . . )T

jK yF

j

ε α λ α

α ε α

−=

− +

22

2 2 20

1 (2 )

(1 ) (2 )T

Rf T

K y

F εα α

α εα

+= =

− +

Coefficient de transmissibilitéen déplacements: TRd

M

k

x(t)

λ λλ λ

base y(t)

F(t)

M x(t)

F T

( )K x y−

(x y)λ −ɺ ɺ





Transmissibilité mécanique : EffortsTransmissibilité mécanique : Efforts TTRfRf

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-10

0

10

20

30

40

αααα

F / K Y ( d B )

ε =0.01

ε =0.1

ε =0.3

ε =0.7

2

avec de Rf

T ε ր ր

avec de Rf T ε ց ր


K

λ λλ λ

e

ω ωω ω t

Machine de masse totale Mincluant m

Déséquilibrages des machines tournantesDéséquilibrages des machines tournantes

me ω ωω ω 2 sin( ω ωω ω t)

K

λ λλ λ

x(t)

M

Équation de Lagrangeà développer

( )

2

22 2(1 ) 2

me X

M

α

α αε =

− +





0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

30

40

e = 0.01e = 0.05

e = 0.1

e = 0.2

e = 0.5

0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

30

40

ε = 0.01

ε = 0.05

ε = 0.1

ε = 0.2

ε = 0.5

/ en dBme

X M

0α ω ω =




Introduction




Conclusions






Méthode de RayleighMéthode de Rayleigh

Objectif :Objectif : Trouver une meilleure approximation d’unefréquence de résonance sans modifier le

nombre de DL du modèle

Moyens :Moyens : Théorème de l’énergie cinétique :système conservatif

Approximations de la déformée du ou deséléments déformables

&


Trouver la fréquence deTrouver la fréquence de résonancerésonance

21( )

2c E Mx t = ɺ 21( )

2déf U Kx t =

Théorème de l’énergie cinétique :Théorème de l’énergie cinétique :système conservatif système conservatif

tc déf E U Cte+ = ∀

0 tdéf c dU dE

dt dt + = ∀

00( ) j t

x t x e ω

=

0 020 0 0

j t j t x Me Kx e

ω ω ω − = −

max max= tc déf c déf

E U E U + = ∀

( 0) 0 ( 0) 0 x t x t = = = ≠ɺ

( 0) 0 ( 0) 0 x t x t = ≠ = =ɺ

20 0 0 x M Kxω =

20

K M

ω =max max=

c déf E U

Conséquence :Conséquence : Trouver uneTrouver une approximation de l’énergieapproximation de l’énergie

cinétique du SYSTEMEcinétique du SYSTEME





Poutre encastrée libre en Traction CompressionPoutre encastrée libre en Traction CompressionU(x=L1,t)U(x=L1,t)

Poutre mince homogène à sectiondroite constante : S1

Disque mince homogène : S2

X (U(x,y,t))

Y (V(x,y,t))

Modélisation

U(x=L1,t)

Y

K = ?

M=?

Charge imposant laTraction compression

Configuration d’étude :

1 1 2 2

1 2

E S E S

L L≪

S2 IndéformableS1 déformable 1DLU(x=L1,t)

1 Résonance1 1

11

E S K K

L≈ = 1 1 2 M M M M ≤ ≤ +

Raideur et Masse de S1+S2


max max=c déf E U

1 2

2 21 1 2 2 2

1 1( , ) ( , )

2 2

c c c E E E

U N t dv M U G t ρ

= +

≈ +∫∫∫ ɺ ɺ

1 2 2( , ) ( ( , ))U x t fonction U G t =

CinématiqueCinématique

Respect de conditionsRespect de conditionsphysiques :physiques :

1 Cinématiquement Admissible

2 - Mécaniques :contraintes mécaniques

1 - Cinématiques : mouvements

1 & 2 Statiquement Admissible

Élasticité R.d.M.Élasticité R.d.M.

1 2

211 11 1 2 2

1 1( , )

2 2

déf déf déf U U U

dv K U G t σ ε

= +

≈ =∫∫∫





1 Cinématiquement Admissible

Respect des Conditions aux Limites Cinématiques , des liaisons, de la continuité,de la déformabilité ..

1( , ) ( , ))U x t fonction x t =

1

1 1

1

( , ) ?

( , ) ( , ) ?

( , ) ?

U M t

U M t V M t

W M t

=

= = =

Champ de déplacements

Modélisation

Traction - Compression

1

1 1

1

( , )

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

U x t

U M t V M t

W M t

= = =

Conditions aux Limites Cinématiques : Poutre encastrée - Libre

1(0, , , ) 0

,

U y z t

y z

=

∀

1 1( , ) 0U L t ≠

1(0, , , ) 0U y z t =

1 1( , ) 0U L t ≠

Choix parmi lesparmi les

FonctionsFonctions continuescontinues :

TrigonométriquesTrigonométriquesPolynomialesPolynomiales………………………………..

Pas de solutionunique


1( , ) ( ).sin( . )U x t a t xα ϕ = +

Choix parmi les Fonctions continues :La plus régulière

aa --TrigonométriqueTrigonométrique

1 (0 , , , ) 0U y z t =

1 1( , ) 0U L t ≠

JUSTIFICATION ?

1(0, ) 0 .sin( )U t a ϕ = =

1 1 2 2( , ) ( , ) 0U L t U G t = ≠

1(0, ) 0 ( ).sin( )U t a t ϕ = =

1 2 2( ).sin( . ) ( , )a t L U G t α ϕ + =

0 .k ϕ π = +

2 2 1( ) ( , ) sin( . )a t U G t Lα =

10 2 Lα π < ≤

1 2 21

sin( . )( , ) ( , )sin( . )

xU x t U G t L

α α

=

10 2 Lα π < ≤

2 2 21 1 2 2 2 2 2

1 1 1( , ) ( , ) ( , )

2 2 2c eq E U N t dv M U G t M U G t ρ ≈ + =∫∫∫ ɺ ɺ ɺ

1

1

2

21 2 2 20

1

1 sin( . )( ) ( , )

2 sin( . )

L

cS

x E dsdx M U G t

L

α ρ

α

≈ +

∫ ∫∫ ɺ

12 Lα π =

2 1 1 10

11 22

a

éq

K E S

M M L M

ω ≈ =

+





bb -- PolynomialePolynomiale2

1 0 1 21 1 1

( , ) ....i

i

x x xU x t a a a a

L L L

= + + + +

1 0 11

0(0, ) 0U t a a L

= = +

10 1 2 2

1

( , ) 0 L

a a U G t L

+ = ≠1 2 2

1

( , ) ( , ) x

U x t U G t L

=

2 2 21 1 2 2 2 2 2

1 1 1( , ) ( , ) ( , )

2 2 2c eq E U N t dv M U G t M U G t ρ ≈ + =∫∫∫ ɺ ɺ ɺ

1

1

2

21 2 2 20

1

1( ) ( , )

2

L

cS

x E dsd x M U G t

L ρ

≈ +

∫ ∫∫ ɺ

2 1 1 10

11 23

b

éq

K E S M M

L M

ω ≈ =

+


1 & 2 Statiquement Admissible1- Respect des Conditions aux Limites Cinématiques , des liaisons, de lacontinuité, de la déformabilité ..

2- Respect des Conditions aux Limites Mécaniques et des équationsd’équilibres

1

1 1

1

( , ) ?

( , ) ( , ) ?

( , ) ?

U M t

U M t V M t

W M t

=

= = =

Champ de déplacements

Modélisation

Traction - Compression

1

1 1

1

( , )

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

U x t

U M t V M t

W M t

= = =

Champ de déformations 1( , ) ( )2

jiij

j i

dudu M t

dx dxε = + 1

111

( , ) du M t

dxε =

Loi de comportement du matériau :Homogène isotrope 11 11( , ) . ( , ) M t E M t σ ε =

Équation d’équilibre statique : R.d.M. ou élasticité

Théorèmes généraux Formulation énergétique





A B

A R

F

A M

1 x

Équilibre global :Poutre isolée

0 A R F + =

A N

A R

N

A M

1 x

Équilibre local :

A X F = −

0 A M =

0 A

X N + =

A xx

S

N X dsσ = − = ∫

1

1 1

1

( , )

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

U x t

U M t V M t

W M t

= =

=

Champ de déplacements :Traction compression

Champ de déformations

1( , ) xx

U x t

xε

∂=

∂

Loi de comportement:

1( , ) xx xx

U x t E E

xσ ε

∂= =

∂

11 1

( , ) A xx

S

U x t X ds E S

xσ

∂− = =

∂∫

11 1

( , ) /

A

U x t X E S

x

∂− =

∂1 1 1( , ) . / U x t F x E S c= +

Encastrement en x=0 0c = 1 1 1 1 1( , ) . / U L t F L E S =

1 1 1 1( , ) ( , ) / U x t U L t x L=


12 Lα π =

2 1 1 10

11 22

a

é q

K E S

M M L M

ω ≈ =

+

2 1 1 10

11 23

b

éq

K E S

M M L M

ω ≈ =

+

2 1 1 10

2 1 2

K E S

M L M ω ≈ =

Modèle le plus simple :

1 2 2c c c c E E E E = + ≈

Modèles plus évolués :

1 2 1 2c c c c c E E E E E = + ≈ +

Modèle non cinématiquementadmissible :

2 1 10

1 1 2( )

E S

L M M ω ≈

+

1 2 2( , ) ( , )U x t U G t =

MAJORANT

MINORANT

Remarque : 1ère Résonance d’une poutre entraction compression encastrée libre

2 1 12 0

11

0

3

E S si M

M L

ω = ≈










Conclusions



Mesures et études expérimentales I

•OBJECTIFS

•Identifications :

•Validations

•Diagnostics

•Qualités

Modélisation quantification des paramètresModélisation quantification des paramètres

M I . .K ..ε F M

Hypothèses approximations : Linéarité …Hypothèses approximations : Linéarité …Recalage de modèles Maquette prototypeRecalage de modèles Maquette prototype

Systèmes existantsSystèmes existantsSurveillance vibratoireSurveillance vibratoire





Mesures de l’amortissement :Mesures de l’amortissement :

•Deux techniques

Méthode du lâcherVibrations libres

Méthode de la bandepassante

Vibrations forcées

Recalage de modèles

VisqueuxFrottement sec………..


( )ln

( )a

x t

x t T δ =

+

0

0 ( )

sin( )ln

sin( ) )

t

a

t T

a a a

Ae t

Ae t T

εω

εω

ω φ δ

ω ω φ

−

− +

+=

+ +

2

2. .

1

π ε δ

ε =

−

0t e

εω −

0t

e εω −

−

/ 2T a a

ω

0 t ω

0t ω

SiSi εεεεεεεε petitpetit0

0 ( )

sin( )ln

sin( . . ) )

t

an t T

a a a

Ae t

Ae t n T

εω

εω

ω φ δ

ω ω φ

−

− +

+=

+ +

.n

nδ δ =

22. 1 ( 2. )

n

nn n

δ ε

π δ π =

+

METODE DU LACHERMETODE DU LACHER





METODE DE LA BANDE PASSANTE AMETODE DE LA BANDE PASSANTE A –– 3dB3dB

0

si 1 2 Ra

ω ω ε ε

ω ω

∆ ∆≈ ≈≪

i

x( )x( )=

2

Raω

ω 2

11 02 22 2 1 (1 2. . . ) i i

j

i i

α ω ω ε ε α ε α

=− − +

=

4 2 2 2 22 (1 2 ) 8 (1 ) 0i iα α ε ε ε − − − − =

' 2 24 (1 ) 0δ ε ε = − >

2 1

Ra Ra Ra

f

f f

α α ω

ω

−∆ ∆= =

si 1 développement en série

de selon besoin Ra

ε

ω

ω

<

∆


Modèle d’amortissement structuralModèle d’amortissement structural

Modèle d’amortissement visqueuxModèle d’amortissement visqueux

METODE DE LA BANDE PASSANTE AMETODE DE LA BANDE PASSANTE A –– 3dB3dB





MatérielsMatériels d’essaisd’essais

Systèmes d’excitation parSystèmes d’excitation par ::

Pot vibrantPot vibrant

Marteau à chocMarteau à choc


Capteurs :Capteurs :Accéléromètre:Accéléromètre:

De force:De force:

Tête d’impédance:Tête d’impédance:

VibromètreVibromètre laser:laser:





0.1 - 0.3 pC/ms-2

Masse: 0.5 - 3 g

1 - 10 pC/ms-2

Masse: 10-50 gramAcceleration

Fréquence

ms-2

250,000

20,000-100,000

0.003-0.010.0001-0.001

~0.1 ~ 1 5-12k 15-30k Hz

Choix d’un accéléromètreChoix d’un accéléromètre


SensibilitépC/ms-2

31.6

1

0.004

13 42 180 kHz

Sensibilité des accéléromètres en fonction de la fréquenceSensibilité des accéléromètres en fonction de la fréquence





Input

OutputDomaine temporelDomaine fréquentiel

FrequencyResponse H1(Response,Excitation)-Input(Magnitude)

Working:Input: Input:FFT Analyzer

0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

100m

10

[Hz]

[(m/s²)/N]FrequencyResponse H1(Response,Excitation)-Input(Magnitude)


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

100m

10

[Hz]

[(m/s²)/N]

Autospectrum(Excitation)- Input

Working:Input: Input:FFTAnalyzer

0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

100u

1m

10m

100m

1

[Hz]

[N] Autospectrum(Excitation)- Input

Working:Input: Input:FFTAnalyzer

0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

100u

1m

10m

100m

1

[Hz]

[N]

Autospectrum(Response)- Input


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

1m

10m

100m

1

10

[Hz]

[m/s²] Autospectrum(Response)-Input


0 200 400 600 800 1k 1,2k 1,4k 1 ,6k

1m

10m

100m

1

10

[Hz]

[m/s²]

Time(Excitation)- Input

Working : Input : Input : FFT Analyzer

0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-200

-100

0

100

200

[s]

[N] Time(Excitation)- Input

Working : Input : Input : FFT Analyzer

0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-200

-100

0

100

200

[s]

[N]

Time(Response) - Input

Working: Input : Input : FFTAnalyzer

0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-80

-40

0

40

80

[s]

[m/s²] Time(Response) - Input

Working: Input : Input : FFTAnalyzer

0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-80

-40

0

40

80

[s]

[m/s²]

FFT

FFT

Impulse Response h1(Response,Excitation)-Input (RealPart)


0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-2k

-1k

0

1k

2k

[s]

[(m/s²)/N/s]Impulse Response h1(Response,Excitation)-Input(Real Part)


0 40m 80m 120m 160m 200m 240m

-2k

-1k

0

1k

2k

[s]

[(m/s²)/N/s]

InverseFFT

⇒

Excitation

Réponse

Force

Vibration

Input

OutputH(ω) = = =

FrequencyResponseFunction

ImpulseResponseFunction


Sur site

– Contrôle de sensibilité

En laboratoire

– Réponse fréquentielle

– Calibration de la sensibilité

Fréquence = 159.2 Hzω = 1000 rad/sec

Accélération = 10 ms-2

Analyseur enfréquences

Excitateur de calibration avec accéléromètreIntégré ou externe de référence

Calibration d’accéléromètre





Système d’analyse vibratoire : pulseSystème d’analyse vibratoire : pulse






VibromètreVibromètre laser:laser:




Introduction




Conclusions






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STACK:

(Mecanique des Structures 1DLppt)/Title()

/Subject(D:20061027092802)/ModDate()/Keywords(PDFCreator Version 0.8.0)/Creator(D:20061027092802)/CreationDate(Administrateur)/Author-mark-

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Mecanique Des Structures 1DLppt