Mécanique Des Structures

Mécanique des structures et Résistance des Matériaux

Résumé du cours

Par Jonathan Verlant-Chenet Version 1.1 (5 janvier 2006)

Table des matières

C H A P I T R E 1 . INTRODUCTION .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. A PROPOS DU COURS ............................................................................................... 1 2. RAPPELS .............................................................................................................. 1

2.1. Contraintes .......................................................................................................... 1 2.2. Déformations évanouissantes ............................................................................... 1 2.3. Loi de Hooke (comportement élastique linéaire).................................................... 1

3. SECURITE STRUCTURALE ........................................................................................... 1 3.1. Approche déterministe ......................................................................................... 2 3.2. Approche semi probabiliste .................................................................................. 2 3.3. Types d’actions .................................................................................................... 3

4. SCHEMA STATIQUE.................................................................................................. 3 4.1. Appuis ................................................................................................................. 3 4.2. Réactions de liaison.............................................................................................. 3 4.3. Eléments structuraux............................................................................................ 3

5. DIAGRAMMES MNT ................................................................................................ 4 5.1. Forces internes..................................................................................................... 4 5.2. Déformée des poutres planes ............................................................................... 4 5.3. Relation M-T ........................................................................................................ 5 5.4. Cas de sollicitation (calculs élastiques des poutres) .............................................. 5

C H A P I T R E 2 . TRACTION/COMPRESSION N .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. INTRODUCTION...................................................................................................... 6 2. SECURITE DES PIECES TENDUES.................................................................................... 6

2.1. Modules de résistance et de rigidité...................................................................... 6 2.2. Prise en compte du poids propre .......................................................................... 6 2.3. Poutre composée de deux matériaux .................................................................... 7 2.4. Effets thermiques ................................................................................................. 8

3. TUBES ET ANNEAUX................................................................................................. 9 4. TREILLIS ARTICULES ................................................................................................ 9

C H A P I T R E 3 . FLEXION .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. FLEXION PURE : MZ ............................................................................................... 10 1.1. Définition ........................................................................................................... 10 1.2. MNT et contraintes ............................................................................................. 10 1.3. Sécurité des pièces fléchies ................................................................................ 11 1.4. Poutres composées de deux matériaux ............................................................... 11

2. FLEXION SIMPLE (CISAILLEMENT) : TY ET MZ .................................................................. 12 2.1. Définition ........................................................................................................... 12 2.2. Théorie de Jourawski .......................................................................................... 12 2.3. Moments statiques ............................................................................................. 13 2.4. Parois minces ..................................................................................................... 13

2.5. Déformation due au cisaillement ........................................................................ 13 2.6. Calcul des assemblages ...................................................................................... 14

3. FLEXION OBLIQUE (GAUCHE) : TY, TZ, MY ET MZ ............................................................. 14 3.1. Définition ........................................................................................................... 14 3.2. Calcul des contraintes ........................................................................................ 14

4. FLEXION COMPOSEE : N, TY ET MZ ............................................................................. 14 4.1. Définition ........................................................................................................... 14 4.2. Position de l’axe neutre et noyau central ............................................................ 15 4.3. Flexion composée oblique .................................................................................. 15

C H A P I T R E 4 . TORSION UNIFORME MX .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. DEFINITION ........................................................................................................ 16 2. ESSAI DE TORSION ................................................................................................ 16 3. SECURITE STRUCTURALE DES PIECES TORDUES ................................................................ 17 4. ANALOGIE DE L’HYDRODYNAMIQUE ............................................................................ 17 5. PAROIS MINCES.................................................................................................... 17

5.1. Section ouverte .................................................................................................. 17 5.2. Section fermée ................................................................................................... 17

C H A P I T R E 5 . CALCUL DES DEPLACEMENTS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. MOTIVATION ...................................................................................................... 18 2. DEFORMEE DUE A LA FLEXION ................................................................................... 18

2.1. Equation différentielle et CL ............................................................................... 18 2.2. Intégration directe.............................................................................................. 18

3. THEOREMES DES TRAVAUX VIRTUELS ET INTEGRALES DE MOHR ............................................ 18 4. EFFET DE L’EFFORT TRANCHANT................................................................................ 19

C H A P I T R E 6 . PROPRIETES MECANIQUES DES MATERIAUX.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. ESSAIS .............................................................................................................. 20 1.1. Essai de traction/compression ............................................................................ 20 1.2. Essai de fatigue .................................................................................................. 21

2. EFFETS DE LA TEMPERATURE..................................................................................... 21 3. EFFETS DIFFERES .................................................................................................. 21 4. MODELES CONSTITUTIFS ......................................................................................... 21

C H A P I T R E 7 . CALCULS PLASTIQUES .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1. TRACTION PLASTIQUE ............................................................................................ 22 1.1. Calcul de la charge ultime et du gain .................................................................. 22 1.2. Contraintes résiduelles ....................................................................................... 22

2. FLEXION PLASTIQUE PLANE ...................................................................................... 22

C H A P I T R E 8 . INSTABILITES .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. TYPES D’INSTABILITES ............................................................................................ 23 2. FLAMBEMENT ELASTIQUE ......................................................................................... 23

2.1. Causes de flambement ....................................................................................... 23 2.2. Calcul de la charge critique eulérienne ............................................................... 23

3. IMPERFECTIONS INDUSTRIELLES ................................................................................. 24

Résistance des matériaux | Chapitre 1 : Introduction

1

C H A P I T R E 1 . Introduction

1. A propos du cours

L’objectif de ce cours est l’étude de la résistance (contraintes), de la rigidité (déformations) et des instabilités d’une structure à l’aide des lois de la mécanique et de la caractérisation expérimentale des matériaux. Par étude, on entend la vérification des structures (on connaît les actions, les dimensions et les matériaux, et on veut connaître les forces internes, les déplacements, ...) ou le dimensionnement des structures (on connaît les actions et le degré de sécurité à atteindre, et on détermine les dimensions et matériaux optimales).

2. Rappels

2.1. Contraintes

Pour une direction n, les contraintes sont modélisées par un

vecteur contraintes ( )( )n

n

dA 0

dFT limdA→

=

Pour une facette, on utilise le tenseur des contraintes : ( )ni ij jT n= τ

2.2. Déformations évanouissantes

Les déformations sont évanouissantes lorsqu’elles sont lentes et petites : le

tenseur des déformations peut alors être linéarisé : jiij

j i

uu1a2 x x⎛ ⎞∂∂

= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠. Pour

l’exemple ci-contre, on définit l’allongement relatif dû à la traction :

xdx dx

dx

∗ −ε = , et par effet Poisson il y a également un allongement selon z : zε .

2.3. Loi de Hooke (comportement élastique linéaire)

La loi de Hooke est un lien linéaire entre les contraintes et l’allongement relatif : x xEσ = ε où E

est le module de Young. On peut définir les allongements dus à l’effet Poisson comme ceci : y x

z x

ε = −νε⎧⎪⎨ε = −νε⎪⎩

(où ν est le coefficient de Poisson)

3. Sécurité structurale

Toute structure doit être conçue de manière à résister, avec une marge appropriée, à l’ensemble des sollicitations prévues durant les périodes de montage et d’exploitation. On parle alors du concept de durée de vie qui est influencée par la sécurité structurale. Pour quantifier cette notion de sécurité, on utilise des coefficients de sécurité qui modélisent une marge de réserve et des incertitudes. Ils prennent en compte :


2

• L’intensité, la durée, la nature (statique ou dynamique) et le point d’application des forces extérieures

• La dispersion des propriétés mécaniques (défauts, contraintes internes, etc) et leur modification dues au vieillissement, à la corrosion, etc.

• Les imprécisions sur les dimensions (tolérances) • Les incertitudes sur la modélisation que l’on a utilisée pour calculer toutes les propriétés du

matériau (hypothèses simplificatrices, calculs approchés) • Les malfaçons diverses

3.1. Approche déterministe

On pose un coefficient de sécurité global γ (négligeant les détails locaux des incertitudes), et on utilise la méthode des contraintes admissibles :

( ) ( )ruine

ruine admmax en service max en serviceσ

γ σ = σ ⇒ σ ≤ = σγ

Ci-contre, un exemple de résolution par la méthode des contraintes admissibles.

3.2. Approche semi probabiliste

On tient ici compte des incertitudes de manière probabiliste. On définit des états limites, c’est-à-dire des états dans lesquels la structure ne peut être utilisable. Il en existe 2 :

• Etat Limite Ultime (ELU) : état dans lequel la structure est en ruine, à cause de : o Rupture par contrainte excessive, matériau déficient, par fatigue (sollicitations

répétées),... o Le système est instable (flambement : voir chapitre correspondant) ou en déséquilibre

global (glissement ou renversement) o Déplacements excessifs (comme un toit trop flexible soumis au poids important de l’eau)

• Etat Limite de Service (ELS) : état dans lequel la structure est inutilisable mais récupérable, à cause de : o Structure trop déformée bloquant les mécanismes (comme les portes qui ne peuvent plus

s’ouvrir ou se fermer) ou faisant perdre de la précision o Déplacements localement excessifs (exemple : rupture des joints d’étanchéité par effet

thermique) o Fissures ou vibrations exagérées (exemple : bâtiment oscillant) o Dégradations (corrosion, détérioration, rouille, éclatement « givré », ...)

Le principe est qu’on veut maintenir la probabilité d’atteindre un état limite inférieure à une certaine valeur (sauf en montage où on s’en fout de l’état limite de service, vu qu’on est en train de monter la structure). Ces états limites sont représentés par différentes valeurs :

• Valeurs caractéristiques (notées avec un indice k). Il existe une probabilité déterminée pour que les résistances effectives soient supérieures aux résistances caractéristiques et que les actions effectives soient inférieures aux actions caractéristiques.

• Valeurs de calcul (ou de dimensionnement, notées avec un indice dim ou d) : ce sont les valeurs caractéristiques modifiées par un coefficient de pondération modélisant les incertitudes. La condition de sécurité est d dimS R≤

Ci-contre, un exemple de conception à l’ELU.


3

3.3. Types d’actions

Différentes actions (forces extérieures) peuvent jouer sur la sécurité structurale :

• Effets statiques (comme le vent) et dynamiques (comme l’excitation de la fréquence propre d’une structure

• Charges permanentes (poids propre, ...) • Charges d’exploitation (foule, neige, vent, ...) • Actions indirectes (effets thermiques, ...) • Actions exceptionnelles (séismes, ...)

4. Schéma statique

4.1. Appuis

• Rouleau : bloque 1 translation, 2 degrés de liberté, 1 réaction de liaison • Articulation : bloque 2 translations, 1 degré de liberté, 2 réactions de liaison • Encastrement : bloque 2 translations et rotation, 0 degré de liberté, 3 réactions de liaison

4.2. Réactions de liaison

4.2.1 Calcul

On calcule les réactions de liaison à partir des équations d’équilibre :

• Equilibre de translation : x

y

F 0F 0

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

∑∑

• Equilibre de rotation (au point A) : AM 0=∑

4.2.2 Isostatique vs Hyperstatique

Un système est isostatique lorsqu’il y a autant d’équations que d’inconnues (toutes les réactions de liaison peuvent être déterminées). Il est hyperstatique lorsqu’il y a trop d’inconnues par rapport aux équations. S’il manque n équations pour déterminer n inconnues « de trop », alors on dit que le système est n fois hyperstatique. Un système peut également être intérieurement hyperstatique sans l’être extérieurement. Des exemples sont donnés ci-contre. On voit que la deuxième structure, par exemple, est intérieurement hyperstatique : si on fait une coupe verticale en plein milieu, six inconnues sont libérées (3 en haut et 3 en bas).

4.3. Eléments structuraux

Il y a différents types d’éléments structuraux :

• Solide 3D : toutes les dimensions sont du même ordre de grandeur, et il n’y a pas de simplification possible.

• Plaque et coque : une dimension (l’épaisseur) est plus petite que les deux autres o La structure est plane et il n’y a pas d’effort dans le plan : plaque (flexion et cisaillement) o La structure est plane et il y a des efforts uniquement dans le plan : état plan (tension)


4

o La structure est plane et il y a des efforts partout : coque plane (tension, flexion et cisaillement)

o La structure est courbe : coque (tension, flexion et cisaillement) • Poutre et arc : une dimension (la longueur) est plus grande que les deux autres

o La structure est rectiligne et il y a des efforts hors axe : poutre (effort normal, flexion et cisaillement). On dit qu’une poutre est prismatique lorsque son axe est droit (cet axe est en général x).

o La structure est rectiligne et il y a des efforts uniquement dans l’axe : barre (effort normal) o La structure est rectiligne, il y a des efforts uniquement dans l’axe mais aucune résistance

à la compression : câble (effort normal > 0) o La structure est courbe : arc (effort normal, flexion et cisaillement)

NB : une tension est comme une traction sauf qu’il n’y a une force que d’un côté et pas deux de chaque côté.

5. Diagrammes MNT

5.1. Forces internes

Les différentes forces internes sont représentées ci-contre en 2D puis en 3D.

• Effort normal N o Valeur : xA

N dA= σ∫

o Convention de signe : traction N>0 et compression N<0

• Effort tranchant T o Valeur : y xyA

T dA= τ∫

o Convention de signe : T>0 si la partie de droite descend

• Moment fléchissant M o Valeur : z xA

M ydA= σ∫

o Convention de signe : M>0 si les fibres du bas sont tendues. En 3D, on ajoute un moment fléchissant selon y : y xA

M zdA= σ∫ , un moment de torsion selon

x : ( )x xz xyAM y z dA= τ − τ∫ , et un effort tranchant selon z : z xzA

T dA= τ∫

La réalisation des diagrammes MNT se fait selon toutes ces notions. Mais avant de les appliquer, il faut toujours calculer les réactions de liaison !

5.2. Déformée des poutres planes

Pour mieux se représenter ce qui se passe lors de la déformation de poutres planes, on exagère le déplacement (cf ci-contre) en respectant les règles suivantes :

• Lorsqu’il y a une rotule (articulation représentée par un rond) : M=0 • Les angles sont conservés aux nœuds rigides • Respecter les conditions cinématiques (il ne peut y avoir déplacement dans un encastrement) • La portée d’une poutre est invariable


5

5.3. Relation M-T

Ces relations se trouvent à partir du schéma ci-contre :

• Equilibre de translation vertical :

( ) ( ) ( ) ( )force force descendantemontante

dT0 T q x dx T dT q x dx dT q xdx

= − + + + = + ⇒ = −

• Equilibre de rotation autour de C :

( ) ( ) ( ) ( )2

on substitue les forces répartie parune force dT située au milieu de AC

q xdx0 M Tdx q x dx M dM Tdx dx2 2

= + − − + = −dMdM Tdx

− ⇒ =

5.4. Cas de sollicitation (calculs élastiques des poutres)

N Ty Tz Mx My Mz

Traction simple x

Flexion pure (M constant)

x

Flexion simple (M variable)

x x

Flexion composée x x x

Flexion oblique x x x x

Torsion x

Résistance des matériaux | Chapitre 2 : Traction/compression N

6

C H A P I T R E 2 . Traction/compression N

1. Introduction

On parlera ici de traction/compression simples. En postulant un tenseur des contraintes

ij0

0 0σ⎛ ⎞

τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, on peut vérifier si les équations d’équilibre et de compatibilité sont respectées :

• Equation d’équilibre en volume ?

j ij if 0∂ τ + = : oui si if 0=

• Equations d’équilibre en surface ?

x x1 A N1σ = : oui si il y a équilibre avec N, c’est-à-dire si NA

σ =

• Equations de compatibilité ?

ijk pqr jq kra 0δ δ ∂ = : oui car steij

/E 0 0a 0 /E 0 c

0 0 /E

σ⎛ ⎞⎜ ⎟= −νσ =⎜ ⎟⎜ ⎟−νσ⎝ ⎠

2. Sécurité des pièces tendues

2.1. Modules de résistance et de rigidité

• On définit A en tant que module de résistance en traction/compression : NA

σ =

• On définit EA en tant que module de rigidité en traction/compression : Hooke

allongement allongementrelatif

NL NLu L L uE EA EAσ

= ε = = ⇒ =

2.2. Prise en compte du poids propre

Si on ajoute le poids propre, les valeurs de sécurité en sont modifiées. Soit une poutre soumise à une force P, et de poids mg gV= ρ , et donc de poids linéique

gVp gAL

ρ= = ρ . L’effort normal total vaut donc : x

N P pxN P pxA A

+= + ⇒ σ = = , et si

on utilise la méthode des contraintes admissibles :

( )x L

x adm adm adm admadm

P px PP gAL A P A gL AA gL

=+σ ≤ σ ⇒ ≤ σ ⇒ + ρ ≤ σ ⇒ ≤ σ − ρ ⇒ ≤

σ − ρ

Si on prend en compte le poids propre pour une poutre (ou un câble : imaginons que ce soit un très lourd et long cable), quel devrait être la variation de la section pour que la contrainte soit identique dans toute la longueur de la poutre ? Pour ça, on utilise le schéma ci-contre où : ( )

traction poids qui se rajoutetraction N en N en A entre A et A+dAA dA

A dA A gAdx A

+

σ + = σ + ρ ⇒ σ dA A+ σ = σ

gL0

0

gAdx

dA g A gdx ln L A A eA A

ρσ

+ ρ

ρ ρ⇒ = ⇒ = ⇒ =

σ σ


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2.3. Poutre composée de deux matériaux

2.3.1 Equations générales

Lorsqu’une poutre est composée de deux matériaux, on a les équations : 1 2 1 1 2 2

1 2

N N N A A= + = σ + σ⎧⎨ ε = ε⎩

On pose ici l’hypothèse que l’allongement des deux matériaux sera le même si ils sont suffisamment bien attachés ensemble. Ceci permet de lever l’hyperstaticité interne. La deuxième équation se développe comme ceci :

1 2

1 1 1 11 1N N N

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 21 2 1 21 2

1 2 1 1 2 2 2 2 2 22 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

N N N A E1 1 NN N NA E A E A E A E A E A E A EN N

E E A E A E N N N A E1 1 NN N NA E A E A E A E A E A E A E

= +

⎧ ⎛ ⎞−= ⇒ + = ⇒ =⎪ ⎜ ⎟

+σ σ ⎪ ⎝ ⎠ε = ε ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎨⎛ ⎞−⎪ = ⇒ + = ⇒ =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩

Et aussi : 1 1

11 1 2 2 1 1 2 21 2

1 22 21 1 2 2 1 1 2 2

21 1 2 2 1 1 2 2

A E u 1N N NA E A E L A E A EN Nu u NLu

A E u 1L L A E A E A E A EN N NA E A E L A E A E

⎧ = ⇒ =⎪ + +⎪ε = ε = ⇒ = = ⇒ ⇒ =⎨+⎪ = ⇒ =

⎪ + +⎩

Principes qui se généralisent à toute poutre composée de n matériaux : i i

ij j j j

AE NLN N et uA E A E

= =∑ ∑

Appliquons ce principe, par exemple, au duo acier-béton. On pose le coefficient d’équivalence

(rapporté à l’acier) : a a b a aa b a b b b

b a b b

E En nE E E E n

σ σ σ= ⇒ ε = ε ⇒ = ⇒ σ = σ = σ ⇒ σ =

On a donc l’effort normal :

a

a ba a b b a a b a a

A

AN A A A A An nσ ⎛ ⎞= σ + σ = σ + = σ +⎜ ⎟

⎝ ⎠, ce qui donne :

aa

a a

NA

NLuE A

⎧σ =⎪

⎪⎨⎪ =⎪⎩

avec ba a

AA An

= + nommée la section homogénéisée.

NB : n est souvent pris comme étant le rapport du module de Young le plus grand sur le module de Young le plus petit (n est donc >1)

2.3.2 Principe de Saint-Venant

Saint-Venant a observé que : « à une distance de l’extrémité égale à la plus grande dimension transversale de la pièce, la répartition des contraintes normales sur une section droite est pratiquement uniforme ». On énonce le principe de Saint-Venant comme ceci : « dans une section d’une poutre, la distribution des contraintes (dues à des forces appliquées plus loin) ne change pas si les remplace par un autre système de forces dont les efforts internes sont les mêmes ». Ceci n’et valable que pour les poutres massives (donc pas aux parois minces ou aux treillis).

2.3.3 Précontrainte

La précontrainte consiste à utiliser deux matériaux pour une construction, dans l’unique but que si le premier matériau atteint sa limite de résistance, le deuxième « continue à résister » pour lui. Il existe deux types de précontraintes : la pré- et la post-tension.


8

• La prétension, décrite ci-contre, se modélise comme ceci : o A l’étape 2, on tend le fil et on le met donc en traction

P : ( ) ( )

( ) ( )

2 2a b2 2

a a b

N P N 0P/A 0

⎧ = =⎪⎨σ = σ =⎪⎩

o A l’étape 3, on coule du béton o A l’étape 4, on relâche le fil et ce dernier a tendance à

revenir à son état initial : il effectue donc une compression –P sur le béton par frottement (on applique les équations d’une poutre composée de 2 matériaux) :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 4a a b ba b

a a b b a a b b4 4 4 4

a a a a b a

E A E AN P N PE A E A E A E A

N /A P/A /n

⎧ = − = −⎪ + +⎨⎪ σ = = − σ = σ⎩

o Superposition des deux :

( ) ( )

( ) ( )

2 40 a a b ba a a

0 0a a b b a a b ba b

2 40 b bb b b

a a b b

E A E AN N N P 1 PE A E A E A E A N N 0E AN N N P

E A E A

⎧ ⎛ ⎞= + = − =⎪ ⎜ ⎟

+ +⎪ ⎝ ⎠ ⇒ + =⎨⎪ = + = −⎪ +⎩

On est donc dans un état d’autocontrainte, puisque les forces internes sont auto-équilibrées.

( ) ( )

( ) ( )

2 40a a a

a a

2 40b b b

a

P PA A

PA n

⎧ σ = σ + σ = −⎪⎪⎨⎪ σ = σ + σ = −⎪⎩

o Ainsi, si on applique maintenant une force extérieure Q : a

a a a

ba a

P P QA A A

P QA n A n

⎧ σ = − +⎪⎪⎨⎪ σ = − +⎪⎩

et comme a aa a aa a a

1 1 P Q P P QA AA A AA A A

−⇒ ⇒ ⇒ , la force

extérieure modifie peu la précontrainte (mais il y a perte de stabilité dans le temps).

• La post-tension est décrite ci-contre. On tend ici le fil après le coulage du béton. Ceci se modélise comme ceci :

o A l’étape 2 : ( ) ( )

( ) ( )

2 2a b2 2

a a b b

N P N PP/A P/A

⎧ = = −⎪⎨σ = σ = −⎪⎩

o Ainsi, si on applique maintenant une force extérieure Q :

aa a

bb a

P QA A

P QA A n

⎧ σ = +⎪⎪⎨⎪ σ = − +⎪⎩

et on obtient le même résultat qu’au-

dessus : Q est négligeable

2.4. Effets thermiques

La dilatation thermique s’exprime par th coefficient de élévation uniforme

dilatation thermique de température

Tε = α ∆

Si la structure est libre de se dilater (isostatique), aucune contrainte n’apparaît.


9

Mais si la dilatation est empêchée (hyperstatique), la structure va vouloir se dilater d’un coefficient thε , mais il va apparaître des contraintes réactionσ qui vont

entièrement contrer cette dilatation en provoquant une compression de coefficient réactionσ . Ainsi, la poutre ne bougera pas et il y aura équilibre :

réaction réactionth réaction th réaction réaction0 T E T

E Eσ σ

ε + ε = ⇒ ε = −ε = − ⇒ α∆ = − ⇒ σ = − α∆

3. Tubes et anneaux

• Modélisation générale : écrivons l’équation d’équilibre pour le schéma ci-contre : /2 /2

0 01

0 2N 2 qrsin d 2N 2qr sin d N qrπ π

= − + α α = − + α α ⇒ =∫ ∫

De plus, comme la section est beaucoup plus grande que l’épaisseur, on peut supposer que

l’allongement est identique partout, et donc :

te

2

N qrcA Aqr qru r

E EA EA

θ

θθ θ

⎧ σ ≈ = =⎪⎪⎨

σ⎪ ε = = ⇒ = ε =⎪⎩

• Tubes libres de se déformer longitudinalement

o si r prt10 tθ≤ ⇒ σ =

o Par effet Poisson : z z zpr prLu L

E Et Etθ

θ

σε = −νε = −ν = −ν ⇒ = ε = −ν

• Récipient sous pression

On a toujours prtθσ = , mais en z :

2fond

zcirculaire circulaire

pAF p r prA A 2 rt 2t 2

θσπσ = = = = =

π

• Tubes longitudinalement indéformables

On a toujours prtθσ = mais la déformation longitudinale est nulle z 0ε = (on se trouve dans un

état plan de déformation). De plus, si le matériau est élastique et isotrope : z θσ = νσ

4. Treillis articulés

Un treillis articulé est un ensemble de barres assemblées les unes aux autres à leurs extrémités articulées (aux nœuds). Rappelons que la présence de articulations annule la présence de moments, et fait bien d’un treillis une structure qui ne comporte que des efforts normaux N. La cellule de base d’un treillis est le triangle (le carré est instable, voir ci-contre). Pour qu’un treillis soit isostatique, il faut que arres éactions oeudsb r 2n+ =

Ensuite, pour déterminer les équilibres aux nœuds, il faut isoler chaque nœud, y indiquer les efforts normaux (et efforts extérieurs), puis écrire les équations d’équilibre. [ ... Coupe de Ritter ?! ... ]

Résistance des matériaux | Chapitre 3 : Flexion

10

C H A P I T R E 3 . Flexion

1. Flexion pure : Mz

1.1. Définition

Une flexion pure est une poutre soumise à un M constant, sans aucun effet

tranchant dM T 0dx

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

. On va utiliser l’hypothèse de Bernoulli qui consiste à poser

que les sections planes restent planes et perpendiculaires (la flexion se fait dans le plan). Mettons cette hypothèse en équation en se basant sur le schéma ci-contre. Les deux triangles étant semblables, leur rapport base/hauteur sont identiques :

xdss

x xy y y y

ds s ds y y Eyy R s R R R

ε =−

= ⇒ = ⇒ ε = − ⇒ σ = −−

où yR est le rayon de

courbure. On peut vérifier que la flexion pure (d’un matériau élastique linéaire)

respecte les équations constitutives. Si on pose yij

Ey/R 00 0

−⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠, on a :

?

j ij i i

?

ijk pqr jq kr ij

f 0 respecté si f 0

a 0 respecté car linéaire

⎧ ∂ τ + = =⎪⎨⎪ δ δ ∂ = τ⎩

1.2. MNT et contraintes

• Effort normal : G

x GA Aon est en flexiony

y A pure, il n'y pas de N

EN dA ydA 0 y 0R

= σ = − = ⇒ =∫ ∫

yG étant la distance entre le centre de gravité de A et le centre de gravité global du matériau, on peut dire que l’on se trouve dans les axes principaux d’inertie. Il n’y a donc pas de τ

• Effort tranchant :

y xy xyAon est en flexion

pure, il n'y pas de T

z xz xzAon est en flexion

pure, il n'y pas de T

T dA 0 0

T dA 0 0

⎧ = τ = ⇒ τ =⎪⎪⎨

= τ = ⇒ τ =⎪⎪⎩

∫

∫

• Moment fléchissant :

2 z zz x zA A

y y y

y x yzA Ay y

EI EIEM ydA y dA MR R R

E EM zdA yzdA IR R

= σ = − = − ⇒ = −

= −σ = =

∫ ∫

∫ ∫car axes

principaux

x xz

0

M

=

= τ xyy − τ( )Az dA 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

=⎪⎩ ∫

• Contraintes : z z zx z x x

y y z z

EI M M yEy et M EyR R EI I

σ = − = − ⇒ σ = ⇒ σ =


11

1.3. Sécurité des pièces fléchies

Pour des calculs de sécurité, il faudra connaître la contrainte maximale. Comme zx

z

M yI

σ = ,

celle-ci est simplement la contrainte lorsque y est maximal : x z sup/inf zM y /Iσ =

1.3.1 Modules de résistance et de rigidité

• On définit z

sup/inf

Iy

en tant que module de résistance en flexion : xz sup/inf

MI /y

σ =

• On définit zEI en tant que module de rigidité en flexion : y z

1 MR EI

= −

1.3.2 Moment d’inertie

• Pour un rectangle : 3 3

x,base x,centrebh bhI I3 12

= =

• Formule de Steiner : C

C

C C

2x x

2y y

xy x y

I I b A

I I a AI I abA

⎧ = +⎪⎪ = +⎨⎪ = +⎪⎩

• Calcul par décomposition : ( )Ci

2x x i iI I b A= +∑

• Aux axes principaux : les moments xI et yI sont maximaux, xyI 0=

1.3.3 Rendement géométrique

Pour diminuer les contraintes xz z

My MI I /y

σ = = , on doit augmenter zIy

, mais en augmentant

2z AI y dA= ∫ , on augmente y. On va donc tenter de trouver un juste milieu à l’aide du

rendement géométrique, comparant notre géométrie à la situation idéale. Ce

profil idéal est celui où

2G

2

2 2th

thsup/inf th

aire y

hAIA h h h2I 2 A Ah2 2 2 y 22

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = ⇒ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On définit alors le rendement géométrique comme

ceci : ( )

sup/infe

sup/inf th

I/yI/y

η = et on remarque que le profil en I

possède le meilleur rendement.

1.4. Poutres composées de deux matériaux

Comme pour le cas de la traction/compression où on avait posé une section de référence b

a aAA An

= + (homogénéisation), on va ici poser un moment d’inertie de référence : ba a

II In

= +


12

2. Flexion simple (cisaillement) : Ty et Mz

2.1. Définition

On a ici la présence d’un moment zM variable (donné par x zMy/Iσ = , puisque T n’influence que peu xσ ) et donc d’un effort tranchant Ty, donné par y xyA

contraintes de cisaillement

T dA= τ∫ . Remarquons que

Ty n’intervient pas dans xz

MyI

σ = , car il ne perturbe que peu les contraintes normales, de

même pour la courbure.

Si on compare les figures ci-contre, on trouve pour 1/2 : 4 3

zz

max

Ia aI 2 ; 212 y 6

= = et

pour 3 : ( ) ( )3 2z z maxI a 2a /12 ; I /y 2a 2a /6= = , donc 3 est 4x plus rigide et 2x plus

résistant.

2.2. Théorie de Jourawski

On va ici déterminer les contraintes rasantes yxτ ,

présentes à l’intérieur de la poutre fléchie (voir ci-contre), et on trouvera ensuite les contraintes de cisaillement car xy yxτ = τ . Pour ce faire, utilisons l’équation d’équilibre j ij if 0∂ τ + = :

( )n

ij i ij i ij iV V S VT

f 0 dV fdV 0 ndS fdV 0∇τ + = ⇒ ∇τ + = ⇒ τ + =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ . Cette équation,

portée en x, où il n’existe aucune force de volume (le poids est en y), donne : ( )nx xS V

T dS f dV+∫∫ ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )latérale

n x x n nx x x x xS coupe AA 'B 'B S

0 T dS T dS T dS T dS T dS 0−

′Σ Σ= ⇒ = + + + =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

(NB : ici T n’est pas l’effort tranchant mais bien le tenseur des contraintes projeté selon une direction précisée en exposant) On va supposer ici qu’il n’y a pas de force tangentielle en surface (on s’en occupera par après), et que la poutre est prismatique ( )′Σ = Σ :

( ) ( ) ( ) ( )latérale

x x n nx x x xcoupe AA 'B 'B S

T T dS T dS T dS−

Σ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫∫ ( ) ( )x x nxcoupe AA 'B 'B

pas de force tangentielle en surface

indépendantx x x

nx nx nxcoupe AA 'B 'B AB ABde x

0 x dx x dS d dx 0

dxdS d dx 0 dS d 0 d dSx x x

Σ

Σ Σ Σ

⎡ ⎤= ⇒ σ + − σ + τ =⎣ ⎦

∂σ ∂σ ∂σ⇒ + τ = ⇒ + τ = ⇒ τ = −

∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫Mettons maintenant l’hypothèse de Bernoulli :

( )

yz x zx y nx yAB

z z z z zS

TM y M y y yT d T dS ydSI x x I I I IΣ Σ

Σ

∂σ ∂σ = ⇒ = = ⇒ τ = − = −

∂ ∂ ∫ ∫∫ ∫∫ où ( )S Σ est le moment

statique de Σ . Afin de résoudre l’intégrale du membre de gauche, on va prendre ici la valeur

moyenne (constante) de ( ) ( )y ynx nx nx nx nxAB AB AB

z z

T T Sd d d S

I IΣ

τ ⇒ τ ≈ τ = τ = − Σ ⇒ τ = −∫ ∫ ∫

Dans le cas particulier où AB est parallèle à Oz : ( ) ( )n y

ynx yx xy xy

z

T SSTIB

I b=− Σ

τ = − τ = −τ ⇒ τ =


13

2.3. Moments statiques

Le moment statique défini au point précédent est un moment géométrique par rapport au

centre. En effet, les coordonnées du centre géométrique sont : yAc

A

xdA Sx

AdA= =∫∫

A xc c

A

ydA Sy S A yAdA

= = ⇒ =∫∫

Le moment statique d’une surface d’aire Σ est égal au produit de l’aire Σ par la distance de son centre géométrique à l’axe. Si cet axe passe par le centre géométrique, alors le moment statique est forcément nul. Ainsi, pour la section ci-contre, on aura deux choix de calcul :

• Méthode standard : ( )2b h/2 h/22 2

y0 y

b b hS dx ydy y y2 2 4

⎡ ⎤⎡ ⎤Σ = = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∫ ∫

• Méthode simplifiée : ( )Gy

h/2 y hS b y2 2

Σ

+ ⎛ ⎞Σ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

On obtient alors les contraintes avec la formule de Jourawski : ( ) 2y y 2

xyz z

T TS 1 h yI b I 2 4

Σ ⎡ ⎤τ = = −⎢ ⎥

⎣ ⎦ qui

est une parabole valant 0 en h/2± et qui est maximum au centre : 2

y???

ymaxxy

z

?T Th 3I 8 2 A

τ ==

2.4. Parois minces

La formule de Jourawski donne une bonne précision pour les parois minces : ( )y

xn xnz

T SI t

Στ ≈ τ = − . La structure comporte un flux de cisaillement donné par

( )tet c sy y y

xn 0z z zA

T T Tt S ydA ytds

I I I=

τ = − Σ = − = −∫∫ ∫ . Ce flux se conserve à travers les parois

comme le ferait un courant électrique ou un débit (loi des nœuds).

• Pour les parois minces ouvertes, c’est-à-dire les parois pour lesquelles il n’existe pas de

chemin fermé parcourant toute la section, ( )yxn

z

T SI t

Στ = − (qui est maximum en ( )maxS Σ ). Par

contre, tout changement brutal induit des concentrations (et donc des discontinuités) de contraintes, ce qui est, selon Saint-Venant, mal interprété par les formules de Jourawski. On va donc y rajouter des facteurs de concentration de contraintes.

o Sous effort normal : max t nominale t 24K K Pd

σ = σ =π

o Sous effort fléchissant : max t nominale t 332K K Md

σ = σ =π

• Pour les parois minces fermées (comme les poutres tubulaires), on a difficile à appliquer Jourawski car il n’existe plus d’endroit où le flux f de cisaillement est connu à priori.

2.5. Déformation due au cisaillement

Selon la loi de Hooke, on a xy xyGτ = γ . Seulement xyτ n’est pas uniforme et donc xyγ

(déformations) non plus. De ce fait, les sections vont gauchir (= être déformées) et l’hypothèse de Bernoulli n’est plus rigoureusement satisfaite. Seulement, dans le cas où h << L, cet effet de gauchissement est négligeable et on peut donc dire qu’à ce moment là, Bernoulli est applicable : c’est la généralisation de l’hypothèse de Bernoulli.


14

2.6. Calcul des assemblages

Il existe trois types d’assemblages : longitudinaux, transversaux (joints) et les nœuds.

L’analyse des assemblages est assez complexe donc on préfère faire des tests ELU en laboratoire (principalement des cisaillements directs et des ruptures d’assemblages).

• Cisaillement direct L’assemblage de deux poutres par un rivet ci-contre ne peut être modélisé par une poutre en traction N. En effet, le rivet génère des contraintes responsables de discontinuités qui ne plaisant pas vraiment à Saint-Venant. De plus, le cisaillement n’est pas pur. En pratique, on calcule comme ceci : m adm

déterminé par des essais

FA

τ = ≤ τ

• Assemblages longitudinaux Il est possible de résoudre analytiquement les assemblages longitudinaux... [???]

3. Flexion oblique (gauche) : Ty, Tz, My et Mz

3.1. Définition

La flexion oblique apparaît lorsque les sollicitations ne sont pas portées par les axes principaux mais selon des axes quelconques de direction α Du coup, on aura des moments fléchissant (pouvant être variables) selon deux directions :

y

z

M McosM Msin

= − α⎧⎪⎨

= α⎪⎩ où les M et les T respectent toujours les mêmes conventions de signes.

3.2. Calcul des contraintes

• L’effet de ces deux moments se superpose donc dans le calcul de la contrainte normale : yz

xz y

M zM yI I

σ = + . On trouve ainsi l’axe neutre (axe où les contraintes sont nulles x 0σ = )

comme ceci : y y yzx

z y z y z z

M z I IM y Msin y Mcos z sin y0 0 z y tanI I I I I cos I

α α ασ = + = ⇒ − = ⇒ = = α

α

• Pour le calcul des contraintes tangentielles, on utilise le théorème de Jourawski généralisé : ( ) ( )y z

nxz y

T S ,z S ,yTI I

Σ Στ = − −

4. Flexion composée : N, Ty et Mz

4.1. Définition

La flexion composée apparaît dès qu’il existe une force qui n’est ni perpendiculaire, ni parallèle à la poutre considérée (exemple ci-contre). M, N et T sont ainsi présents. Pour une flexion composée ci-contre, on a z

x N Mz

M yNA I

σ = σ + σ = +

On voit sur le schéma que la superposition des deux effets peut donner trois solutions différentes : soit xσ est positif partout, soit

il est positif partout mais s’annule à l’extrémité supérieure, soit il est positif et négatif.


15

4.2. Position de l’axe neutre et noyau central

Dans chacun des trois cas sur les schémas précédents, on définit un y0 qui est la distance entre la force appliquée et l’annulation de xσ . Il s’agit donc de y0 tel que

z 0 z 0 z0

z z z

M y M y IN N N0 yA I I A M A+ = ⇒ = − ⇒ = −

On peut décrire cette double sollicitation M+N comme étant équivalente à la même force N excentrée en un point E d’une distance e (voir ci-contre). A ce moment là, on a que zM Ne= et l’axe neutre devient alors z z

0z

I INyM A eA

= − = −

On définit le noyau central comme étant la zone de la section telle que, si E s’y trouve, xσ ne

change pas de signe sur toute la section (deux premiers cas dans le schéma précédent).

4.3. Flexion composée oblique

Si on a une flexion composée oblique, on a y yz zx

z y z y

M z e yM y e zN 1NA I I A I I

⎛ ⎞σ = + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pour trouver la distance entre l’axe neutre ( )x 0σ = et le point d’application E de la force :

( )y zx 2

z y y z

z y

1e y e z1 AN 0 d distance E,axe neutre

A I I e eI I

⎛ ⎞σ = + + = ⇒ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Résistance des matériaux | Chapitre 4 : Torsion uniforme Mx

16

C H A P I T R E 4 . Torsion uniforme Mx

1. Définition

Définissons la torsion à partir de l’exemple d’un arbre cylindrique ci-contre. Il s’agit d’une sollicitation où seul un moment Mx selon l’axe longitudinal x apparaît. Dans l’exemple, ces moments sont notés T et sont appelés moments de torsion. Ils vont donc faire subir des rotations de sens opposé de part et d’autre du centre O. Remarquons que l’arbre cylindrique n’est attaché nulle part : on ne considère dans ce chapitre que des gauchissements libres. En effet, c’est le seul cas qui ne fait apparaître que Mx, et donc xy xzetτ τ .

Saint-Venant fait ici l’hypothèse que, en vue de toutes les symétries, chaque section droite doit tourner dans son plan autour de son centre O, comme un disque rigide. Ainsi, les sections planes restent planes et les angles au centre sont conservés.

• Les génératrices (« hauteur » du cylindre) vont donc se courber et devenir hélicoïdales, formant un angle α . On fait l’hypothèse que cet angle est très petit, de sorte que

dxcos 1 dx dxcos

′α ≈ ⇒ = ≈α

(dx’ étant l’élément dx de la génératrice

déformée). On voit donc qu’au niveau longitudinal, les longueurs se

conservent et il n’y a pas de contraintes qui apparaissent : x

x

00

ε ≈⎧⎨ σ ≈⎩

• Par contre, au niveau de la section, il va y avoir des déformations. A une abscisse x, il y aura une rotation xθ et à une abscisse x+dx plus loin, la rotation est plus importante : x xdθ + θ . Le fait que cette rotation soit plus

importante en dx génère une déformation du rectangle abcd représenté dans le schéma ci-contre : il va devenir un parallélogramme abc’d’. Seulement, seuls les angles changent : les cotés restent identiques : x

x rdcc' dd' rd dx rdxθ

θ= = θ = γ ⇒ γ =

Comme on a du cisaillement pur, on applique la loi de Hooke : xr r

dG Grdxθ θ

θτ = γ = qui se généralise

en xx

dM G Jdxθ

= (où J est la constante de torsion)

Pour Les poutres à section circulaire, J n’est rien d’autre que l’inertie polaire :

p

2x xx rA A A

I

d dM rdA Gr rdA G r dAdx dxθ

θ θ= τ = =∫∫ ∫∫ ∫∫ avec

4

pRI2π

=

2. Essai de torsion

Il est possible de déterminer G par des essais de torsion. Ces essais nous fournissent l’angle de

torsion total

4x

x pd RM G J J Idx 2

x x x xx 4 4

x

d M M 2LM2L L L Gdx G J G R R

θ π= = =θ

θ = = = ⇒ =π θ π

Or, on sait aussi que ( )G E/2 1= + ν , donc on trouve ν (coefficient de Poisson) grâce à ces essais.

Résistance des matériaux | Chapitre 4 : Torsion uniforme Mx

17

3. Sécurité structurale des pièces tordues

Selon le matériau utilisé, un type de critère est à appliquer :

• Matériaux ductiles Le critère de von Mises stipule que e

e 3σ

τ = , ce qui donne :

o Critère déterministe : admadm 3

στ ≤ τ =

o Critère semi-probabiliste : x,d x,dimM M≤

• Matériaux fragiles o Critère déterministe : u

admτ

τ ≤ τ =γ

o Critère semi-probabiliste : x,d x,dimM M≤

4. Analogie de l’hydrodynamique

Pour les sections qui ne sont pas circulaires, il n’existe pas de solution analytique : on doit trouver une solution approchée. Pour imaginer ce qu’il se passe au niveau du flux des contraintes de cisaillement dans les autres sections, on fait une analogie avec l’hydrodynamique. Par exemple, pour la section rectangulaire ci-contre, on imagine qu’il s’agit de la section du fond d’un bac d’eau que l’on fait tourner (effet de la torsion). L’eau va tourner autour du centre du bassin, et il va se développer un profil de vitesse. On va, dans notre analogie, dire que ce profil de vitesse est identique à celui des contraintes de cisaillement.

5. Parois minces

5.1. Section ouverte

Dans le cas de parois minces, on a une épaisseur t beaucoup plus petite que la longueur b. On peut alors se permettre de dire que le profil des contraintes est linéaire, s’annulant au centre de l’épaisseur. Il faut remarquer que dans ce genre de configuration, il apparaît de forces contraintes dans les angles entrants (à la jonction des rectangles), que cette théorie ignore. On contre cet effet en rajoutant des congés de raccordement qui augmentent J.

5.2. Section fermée

Si on veut comparer une section fermée (prenons la section tubulaire ci-contre) à une section ouverte, on utilise l’analogie de l’hydrodynamique. Dans le cas ouvert, « l’eau » va percuter les bords et va faire demi-tour. De ce fait, il y aura un flux dans les deux sens. Au contraire, dans le cas fermé, on a un flux qui ne va que dans un seul sens. De ce fait, ces contraintes peuvent développer un moment de torsion bien plus élevé : fermé ouvert

x xM M . Ainsi, la section fermée est beaucoup plus

résistante à la torsion que la section ouverte. Attention cependant aux instabilités (voir ci-contre).

Résistance des matériaux | Chapitre 4 : Calcul des déplacements

18

C H A P I T R E 5 . Calcul des déplacements

1. Motivation

On utilise le calcul des déplacements pour déterminer les états limites de service point de vue rigidité (souvent plus exigeant que la résistance).

2. Déformée due à la flexion

Soit la poutre rectiligne ci-contre, soumise à des actions perpendiculaires à son axe, provoquant un déplacement. Si ce déplacement est petit, on pourra utiliser le tenseur des déformations évanouissantes. Cherchons donc l’équation de la déformée de l’axe (ou de la ligne élastique) à l’aide de cette hypothèse.

2.1. Equation différentielle et CL

Comme les déplacements sont petits, la courbure est définie comme étant :

( )3/22y

1 y yR 1 y

′′′′= ≈

′+. Ainsi, on assimile la déformée (normalement étant parabolique) comme

étant un cercle. Comme on a

( ) ( )

dM dTT qdx dx 4 4

z z zy z z

1 M qy EI y M EI y T EI y q yR EI EI

= =−

′′ ′′ ′′′= − = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

Cette équation se combine avec quatre conditions aux limites :

• Conditions sur y (position) : fixé par les appuis • Conditions sur y’ (rotation) : fixé par les appuis • Conditions sur y’’ (moment fléchissant M) • Conditions sur y’’’ (effort tranchant T)

Certains exemples de conditions aux limites sont représentés ci-contre. Souvent, pour y et y’, on utilise les conditions de continuités (voir ci-contre).

2.2. Intégration directe

Il est possible d’intégrer directement l’équation du quatrième ordre et de trouver ainsi y pour tout point x. Le problème c’est qu’on a besoin de y et θ en quelques points seulement (en général, les points où la flèche est maximale). Il faut donc trouver une autre méthode : c’est la méthode des travaux virtuels.

3. Théorèmes des travaux virtuels et intégrales de Mohr

Il existe deux types de théorèmes pour les travaux virtuels : soit on a des forces réelles et on fait apparaître des déplacements virtuels, soit on a des déplacements réels et on fait apparaître des forces virtuelles. L’idée de Mohr a été de considérer ce dernier cas en plaçant une force unitaire

Résistance des matériaux | Chapitre 4 : Calcul des déplacements

19

dans le sens du déplacement cherché. Ainsi, on obtient comme équation d’équilibre de rotation : ( )n

i i i i ij ijV S V forcetenseur des tenseur destravail dû aux travail dû aux ucontraintes déformationsforces virtuelles de forces virtuelles deévanouissantesvolume surface

f u dV T u dS a dV 1′ ′ ′+ = τ =∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫déplacement

nitaire recherché

. δ

Si on admet que M, N et T ne s’influencent pas, on peut dissocier leurs effets :

• Pour M : 2 2ij ij 2 2V V V A

M y My MM MM MMa dV dV y dV dx y dA dxI EI EI EI EI′ ′ ′ ′

′τ = = = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫

• Pour N : ij ij 2 2V V V A

N N NN NN NNa dV dV dV dx dA dxA EA EA EA EA′ ′ ′ ′

′τ = = = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫

• Pour T : 2 2

ij ij 2 2 2 2V V V A

T S TS TT A S TT A S TTa dV dV dV dx dA dxIb GIb GA I b GA I b GA

χ

′ ′ ′ ′′τ = = = = χ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Et donc : MM NN TTdx dx dxEI EA GA

′ ′ ′δ = + + χ∫ ∫ ∫

Il y a aussi des effets dus à la température. Pour une élévation uniforme de température x Tε = α∆ ,

et pour un gradient thermique xTT yh′∆′∆ ⇒ ε = α . On a donc :

• Pour l’élévation de température T∆ : ij ijV V A

N Na dV TdV Tdx dA N TdxA A′ ′

′ ′τ = α∆ = α∆ = α∆∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫

• Pour le gradient thermique T′∆ : 2ij ijV V A

M y T M T M Ta dV y dV dx y dA dxI h hI h′ ′ ′ ′ ′ ′∆ ∆ ∆′τ = α = α = α∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Et donc : MM NN TT M Tdx dx dx N Tdx dxEI EA GA h

′ ′ ′ ′ ′∆′δ = + + χ + α∆ + α∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Souvent, les différents effets sont négligeables devant celui de M et MM dxEI′

δ ≈ ∫

Les valeurs de ces intégrales, appelées intégrales de Mohr, sont tabulées selon la situation.

4. Effet de l’effort tranchant

L’effort tranchant implique un

gauchissement AB

T TGA GB

=χ

γ = χ = où B est

l’aire réduite (différents exemples

d’aires réduites sont ci-contre). Ainsi, on a dT qdxT q M qy y y

GB GB EI GB

=−

′ ′′ ′′= ⇒ = − ⇒ = − −

Résistance des matériaux | Chapitre 5 : Propriétés mécaniques des matériaux

20

C H A P I T R E 6 . Propriétés mécaniques des

matériaux

1. Essais

Les propriétés mécaniques des matériaux sont des propriétés macroscopiques qui décrivent le comportement microscopique. Certaines de ces propriétés nécessitent des essais en laboratoires pour être connues.

1.1. Essai de traction/compression

Ces essais sont purement unidimensionnels et les résultats sont également valables pour la flexion des poutres. Il existe des matériaux ductiles et des matériaux fragiles.

• Matériaux ductiles Toutes les déformations vont apparaître sous forme d’une variation de section (voir ci-contre). S’il y a rupture, elle aura lieu à cet endroit. Lors d’un essai de traction, le matériau va suivre plusieurs phases dans le plan des contraintes en fonction de l’allongement.

o La première phase est la phase linéaire élastique Eσ = ε o La deuxième est le palier d’étirement (allongement sans variation de

contrainte). Lorsque l’on traverse ce palier, il apparaît des bandes de Lüders (plans atomiques qui glissent successivement par cisaillement, voir ci-contre). Ces paliers disparaissent à la troisième phase et le matériau redevient mat.

o La troisième est l’écrouissage : le matériau est en phase plastique et sa contrainte continue d’augmenter avec la déformation.

o Si on stoppe cette déformation plastique, le matériau va suivre la courbe 4 dite de déchargement élastique

o La cinquième phase est la striction : la contrainte est de moins en moins forte et le matériau finit par rompre en 6

• Matériaux fragiles Ces matériaux se rompent dès que la limite élastique est dépassée (le matériau ne peut être rendu plastique). On les caractérise par une limite de rupture en traction et une limite de rupture en compression (souvent plus importante). Les essais de compressions sont difficiles sur les matériaux fragiles : ils se fissurent (voir ci-contre) juste avant la rupture mais on a pas le temps de voir apparaître ces fissures. On procède donc à des essais en traction nommés essais brésiliens (deuxième photo ci-contre). On trouve comme cela l’élongation axiale qui nous permet de trouver les autres élongations.

Résistance des matériaux | Chapitre 5 : Propriétés mécaniques des matériaux

21

1.2. Essai de fatigue

La fatigue est la diminution de la résistance à cause d’actions répétitives. Elle est d’autant plus forte si ces actions sont cycliques. Les résultats de ces essais se décrivent sur les courbes de Wöhler, assez difficiles et longues à réaliser. On sait qu’il existe toujours une contrainte fatσ au-dessous de laquelle le matériau ne se rompt jamais. Pour les métaux, on a que fat t0,37 77MPaσ = σ +

2. Effets de la température

La température joue sur deux choses :

• La fragilité du matériau : si un matériau ductile possède un défaut, qu’il est sollicité dynamiquement par traction et qu’il est à basse température, il peut se rompre comme un matériau fragile. On détecte la température en réalisant un teste de résilience (résistance aux chocs), en calculant à chaque fois l’énergie utile à la rupture

( )0W mg h h= − pour une certaine température. On repère donc facilement la température

de transition TTDF. • La variation des propriétés mécaniques : la norme définit pour chaque matériau une résistance

au feu RF.

3. Effets différés

• Fluage : il s’agit de l’accroissement de ε dans le temps lors d’un σ constant. Si la contrainte est élevée, on a le graphe ci-contre de ( )tε . Par contre, si la contrainte est modérée (celle de l’état de service), alors ε se stabilise à une valeur ∞ε

• Relaxation : il s’agit de la diminution de σ dans une pièce soumise à un ε constant (premier schéma ci-contre).

• Recouvrance : récupération, après fluage, des propriétés initiales (deuxième schéma ci-contre).

4. Modèles constitutifs

• Modèle élastique : ce modèle est régi par la loi de Hooke : Eσ = ε en linéaire et ( )fσ = ε en non linéaire. Il est caractérisé par le fait que le

chemin de charge est le chemin de décharge (les déformations sont réversibles).

• Modèles élastoplastiques

o Parfaitement plastiques : le palier plastique est ici important (comme pour l’acier). On se sert de ces modèles pour faire des calculs plastiques. Ci-contre, un exemple de modèle élastique parfaitement

plastique et un exemple de modèle rigide parfaitement plastique.

o Avec écrouissage : on a ici une zone d’écrouissage et non plus une zone de palier.

Résistance des matériaux | Chapitre 6 : Calculs plastiques

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C H A P I T R E 7 . Calculs plastiques

1. Traction plastique

1.1. Calcul de la charge ultime et du gain

On applique ici le modèle élastoplastique parfaitement plastique, et non plus le modèle élastique étant donné que la loi de Hooke ne prend pas en compte la placticité.

• Pour une pièce homogène, on a : pl e eN N A= = σ

• Pour une pièce composée de deux matériaux, on a la condition 1 2ε = ε qui donne les valeurs

2e 1 e1 1 1

AN A avec A An

= σ = + et pl 1 e1 2 e2N A A= σ + σ

La plasticité offre un plus donné par le gain pl

e

NGain

N=

1.2. Contraintes résiduelles

Une des propriétés intéressantes de la traction plastique sont les

contraintes résiduelles. Elles sont définies par :

plrés 1 e1

1

plrés 2 e2

1

NANnA

⎧σ = σ −⎪

⎪⎨⎪ σ = σ −⎪⎩

. De

ce fait, on est dans état d’autocontraintes : 1 rés1 2 rés 2A A 0σ + σ = . On voit sur le diagramme ci-

contre que le matériau 2 ne peut reprendre sa forme initiale à cause de ses déformations permanentes (il empêche donc l’autre de revenir à sa configuration initiale). Une structure ne se comporte plastiquement qu’à sa première mise en charge, après quoi elle se comporte élastiquement grâce aux contraintes résiduelles produites par la déformation plastique initiale.

2. Flexion plastique plane

[???]

Résistance des matériaux | Chapitre 7 : Flambement

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C H A P I T R E 8 . Instabilités

1. Types d’instabilités

Il peut y avoir des instabilités dans toute structure en compression :

• Flambement par compression pure • Déversement par flexion • Voilement par torsion

Les phénomènes d’instabilités sont soit locaux, soit globaux.

2. Flambement élastique

Le flambement apparaît par divergence : la poutre se dérobe à l’effort normal de compression en fléchissant transversalement. L’étude de ce phénomène doit prendre en compte le fait que les déplacements sont importants (on dira qu’ils le sont mais que les rotations sont modérées) et qu’il y a des non-linéarité matérielles (que l’on ne considérera pas). On dit qu’un flambement est stable si la poutre reprend sa forme initiale lorsqu’on supprime la force de compression.

2.1. Causes de flambement

Le flambement apparaît si :

• Il existe déjà une courbure initiale : en compression, la courbure augmente et donc M augmente

• Il y a excentrement de la charge de compression : un moment

force de distancecompression d'excentricité

M F e= se rajoute et donc le moment sur ′Ω devient

( )M F e y= +

• Il existe des charges axiales transversales : un moment QxM2

= se

rajoute et donc le moment sur ′Ω devient QxM Fy2

= +

2.2. Calcul de la charge critique eulérienne

Puisque les rotations sont modérées, on a 1 M My yR EI EI

′′ ′′= = − ⇒ = − où M est une fonction de F,

de y, ... Dans le cas de la poutre comprimée excentriquement : on a trouvé

( ) ( )FM F e y y e yEI

′′= + ⇒ = − + , ce qui amène à trouver que 2

cr 2EIFLπ

= . Ainsi, la charge critique

est indépendante de l’excentricité e. Cette charge existe toujours, même si la poutre est parfaite et parfaitement sollicitée (compression non excentrée). Dans le cas parfait, on parle

Résistance des matériaux | Chapitre 7 : Flambement

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de flambement eulérien et on trouve une charge

critique eulérienne : 2

cr 2k

EIFLπ

= où Lk est la longueur

de flambement (exemples ci-contre), et I est pris comme le plus faible de la section (l’axe de ce I est l’axe de flambement).

Cette théorie d’Euler est valable uniquement si crcr p

FA

σ = ≤ σ

3. Imperfections industrielles

Les pièces industrielles ont des imperfections inévitables, aussi bien géométriques (forces toujours excentrées, dimensions réelles différentes des dimensions nominales) que matérielles (contraintes résiduelles, matériau non homogène).

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Mécanique Des Structures