Mécanique des ﬂuides - … · est celui de la détermination du débit d’un écoulement ... des approfondissements dans les chapitres ... relève aussi de la thermodynamique

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Mécanique des fluidespar Jean GOSSE

Docteur ès SciencesProfesseur Honoraire au Conservatoire National des Arts et Métiers

es bases de la mécanique des fluides sont résumées en insistant sur l’aspecténergétique, car l’ingénieur doit le plus souvent considérer des écoulements

de fluides non isothermes. On s’est efforcé de présenter clairement l’unité desconcepts qui concernent tous les fluides et dont l’application porte ici uniquementsur les fluides monophasiques newtoniens.

Il est essentiel que l’ingénieur garde toujours un regard critique sur les hypo-thèses qu’il introduit pour faciliter ses calculs, ou sur l’adéquation de la formulequ’il emploie dans le cas particulier étudié ; la mécanique des fluides est undomaine où le bon sens peut facilement tromper. On doit vérifier le bien-fondéd’une hypothèse après avoir obtenu la solution du problème. Un exemple banalest celui de la détermination du débit d’un écoulement que l’on suppose turbulentpour commencer les calculs ; l’est-il réellement ? Il faut s’assurer, par la valeurdu nombre de Reynolds, que l’opportunité d’un écoulement laminaire est exclue.

Des logiciels actuellement commercialisés permettent de résoudre leséquations de problèmes techniques complexes. Leur conception a nécessité lerespect des bases théoriques mais a introduit des hypothèses et des formulesempiriques qui ont leurs limites de validité tout comme les algorithmes derésolution. L’emploi des logiciels requiert la vigilance de l’ingénieur nonspécialiste de la mécanique des fluides. Le texte qui suit est composé pour offrirdes repères et des moyens de calcul simple permettant une évaluation rapidevalable au premier ordre.

Les applications données sont limitées aux cas les plus usuels et le lecteurest évidemment invité à rechercher des approfondissements dans les chapitressignalés dans l’Index Alphabétique Général aux mots clés suivants : acoustique,aviation, aéroacoustique, aérodynamique, aéroréfrigérant, air, caloporteur,canaux, chaleur, climatisation, compressibilité, échangeur de chaleur, écoule-ments, éjecteurs, fluide, gaz, houle, hydraulique, lubrification, magnétohydro-dynamique, thermodynamique, sans oublier le domaine des mesures.

1. Généralités................................................................................................. A 1 870 - 2

2. Statique ...................................................................................................... — 5

3. Cinématique .............................................................................................. — 8

4. Dynamique................................................................................................. — 11

5. Similitude................................................................................................... — 15

6. Écoulements laminaires et écoulements turbulents ..................... — 18

7. Couche limite............................................................................................ — 20

8. Forces exercées sur les obstacles par un fluide en mouvement — 29

9. Écoulements permanents monodimensionnelsen mécanique interne ............................................................................. — 33

10. Écoulements non permanents monodimensionnelsen mécanique interne ............................................................................. — 45

11. Écoulements à surface libre ................................................................. — 48

Références bibliographiques ......................................................................... — 57

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 1 870 − 1

MÉCANIQUE DES FLUIDES _______________________________________________________________________________________________________________

1. GénéralitésPar opposition au solide, le fluide liquide ou gazeux est aisément

déformable, sans qu’il soit nécessaire de lui appliquer de grandescontraintes sur son contour. Une même matière peut passer de l’étatdu solide à celui du fluide (liquide puis gaz) sous l’effet d’un accrois-sement de température à pression constante. En mécanique desmilieux déformables, le fluide est décrit par une équation decomportement qui lie la contrainte locale au taux (ou à la vitesse)de déformation, alors que pour le solide intervient une relation entrecontrainte et déformation.

La relation de comportement est d’ordre mécanique. La descrip-tion du fluide relève aussi de la thermodynamique à travers l’équa-tion d’état, qui exprime la relation entre la masse volumique, lapression et la température dans le cas de l’équilibre thermo-dynamique.

1.1 Continuité du fluide. Particules

Pour résoudre un problème de mécanique des fluides, on recourtà des équations de bilan sur la masse, sur la quantité de mouvementet sur l’énergie.

L’ensemble des cinq équations repose sur un concept fonda-mental, celui de la continuité. Un milieu matériel est dit continu dansun domaine D si ses propriétés varient d’une façon continue, pro-priétés considérées comme caractéristiques non d’un point sansvolume mais au contraire d’une particule, volume de fluide extrême-ment petit autour d’un point géométrique P. Par exemple, on affecteà chaque point P, pour chaque instant t, une masse volumique ρreprésentative de la population des molécules intérieures au volumedτ de la particule ; la masse m du fluide contenue dans un domaineD est alors :

On voit que le volume macroscopique D de fluide est considérécomme un ensemble de volumes élémentaires dτ de particulescontiguës. Dans chacune de celles-ci, toute grandeur thermophysi-que ou mécanique possède une valeur représentative de la popu-lation de molécules momentanément prisonnières dans dτ.

La taille de chaque particule est la plus petite possible autour deson point P, mais pas trop petite pour que les molécules intérieuressoient suffisamment nombreuses pour définir valablement lesgrandeurs locales. La notion de continuité repose sur celle de lacompacité du réseau moléculaire intrinsèquement lacunaire : il n’ya aucune difficulté pour l’appliquer aux liquides ou aux gaz denses(à pression supérieure à la pression critique). Un problème apparaîtpour les gaz à basse pression ; on sait que les molécules sont agitéesde mouvements chaotiques incessants avec chocs entre elles. Lathéorie cinétique des gaz considère le libre parcours moyen quiest la distance moyenne que parcourt une molécule entre deux chocssuccessifs avec des molécules voisines : est inversement propor-tionnel à la pression. On peut dire, pour fixer les idées, que si ladimension linéaire de la particule est trois fois le libre parcours

moyen, soit , la population dans dτ est proche de 106

molécules, ce qui autorise la définition d’une grandeur thermophy-sique locale. En outre la particule doit avoir une dimension linéairepetite par rapport à une longueur de référence L caractéristique del’écoulement considéré : soit le diamètre d’un tube (s’il s’agit d’unfluide s’écoulant dans un tube), soit le diamètre d’un orifice (éjectiond’un fluide), soit la longueur de la corde d’un profil d’aile, etc.

Un nombre sans dimension utile dans cette discussion est lenombre de Knudsen Kn, rapport du libre parcours moyen à la lon-gueur . À partir de résultats expérimentaux, il apparaîtque si :

Kn < 0,02

le fluide est un milieu continu pour lequel toute grandeur du fluideest continue ainsi que toutes ses dérivées spatiales et temporelles.C’est ce domaine qui nous intéresse ici.

1.2 Viscosité et conductivité thermique

Dans leur mouvement désordonné, les molécules sont soumisesà des forces de répulsion et d’attraction décrites par le potentiel deLennard-Jones. Il en résulte globalement un effet de cohésion bienque le fluide soit facilement déformable. L’agitation des moléculesest responsable d’un transfert microscopique de quantité de mou-vement d’une particule à sa voisine, s’il existe entre elles une dif-férence de vitesse, et d’un transfert de chaleur, s’il y a différence detempérature.

Le transfert moléculaire de quantité de mouvement est traduit parla propriété appelée viscosité, laquelle est pour le fluide le plussimple, dit fluide newtonien, indépendante du mouvement relatifdes particules. On reviendra plus loin sur le comportement desfluides newtoniens qui sont les seuls considérés dans cettemonographie.

Le transfert de chaleur est décrit par l’intermédiaire de la conduc-tivité thermique λ. Énonçant la loi de Fourier (1807) sous la formetensorielle, la densité de flux de chaleur qi qui traverse la frontière(fictive) entre deux particules contiguës est proportionnelle augradient de température T,i existant en cette frontière :

qi = – λT,i (1)

La conductivité thermique λ est positive et le signe moins traduitle passage de la chaleur des zones chaudes vers les zones moinschaudes.

1.3 Équation d’état

L’équilibre thermodynamique d’une masse macroscopique defluide monophasique est décrit par une équation d’état f (p, ρ, T ) = 0dans laquelle la pression, la masse volumique et la température sontuniformes. Dans un fluide en mouvement, ces trois grandeurs nesont pas uniformes et l’équilibre thermodynamique n’est réalisé quelocalement, à l’échelle de la particule. Il faut avoir recours à l’équationdifférentielle d’état :

(2)

qui peut être transformée en faisant apparaître deux paramètres :— le coefficient de compressibilité isotherme :

— le coefficient de dilatation thermique à pression constante :

L’équation (2) devient :

dρ = ρχ dp – ρβ dT (3)

Un troisième coefficient, celui d’accroissement de pression sousun effet de température à masse volumique constante :

lié aux précédents par κ = β/pχ, n’est pas utile ici puisque ρ estvariable.

m D

ρdτ=

dτ 3( )3≈

L : Kn L⁄=

dρ ∂ρ∂p--------

Tdp ∂ρ

∂T--------

pdT+=

χ 1ρ---- ∂ρ

∂p--------

T=

β 1 ρ ----– ∂ρ

∂ T

-------- p =

κ 1p---- ∂p

∂T--------

ρ=

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.A 1 870 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales

_______________________________________________________________________________________________________________ MÉCANIQUE DES FLUIDES

Le mouvement crée dans le fluide des champs de pression, detempérature et donc de masse volumique et, bien qu’il y ait un équi-libre thermodynamique en tout point, l’écoulement du fluide estintrinsèquement irréversible dans sa globalité, car il est impossiblede définir un état thermodynamique moyen. Cet aspect est éludédans les traités qui exposent l’autre irréversibilité liée à la dissipationpartielle de l’énergie potentielle mécanique du fluide sous l’actionde la viscosité. L’ingénieur peut être confronté à des problèmes defluide quelconque dont la masse volumique varie autant sous l’effetde la pression que de la température ; c’est pourquoi le traitementcorrect de l’équation d’état (3) est nécessaire.

Dans les

équations de bilan local d’énergie

interviennent les varia-tions élémentaires des grandeurs thermodynamiques. Le tableau

1

permet le calcul d’une dérivée quelconque en appliquant uneméthode préconisée par Bridgman, et qui utilise les jacobiens desfonctions ; ce qui conduit à :

(4)

Par exemple

, pour la différentielle de l’énergie interne expriméeen fonction des accroissements élémentaires d

ρ

et d

p

:

on calcule :

Alors :

On tire des relations générales de la thermodynamique : entre les

capacités thermiques massiques

:

c

p

–

c

V

=

T

β

2

/

ρχ

(5)

et, pour la célérité du son

a

:

(6)

Cette dernière relation permet, s’il en est besoin, de faire apparaîtrela célérité du son dans le tableau

1

, à la place de

χ

.

1.3.1 État tangent

Très généralement, l’écoulement du fluide se réalise dans desconditions telles que la pression et la température varient de façonmodérée ; l’état thermodynamique dans toute la masse du fluide enmouvement s’écarte donc peu de ce qu’on pourrait appeler un pointde fonctionnement sur le diagramme tridimensionnel (

p

,

ρ

,

T

). En

première approximation, on peut supposer constantes les propriétésthermodynamiques

χ

,

β

,

c

p

et

c

V

, qui sont à la base de l’estimationdes fonctions d’état. Toutefois, si le fluide s’écartait fortement de sonétat initial, parce que la température ou la vitesse subit une variationimportante, il y aurait lieu de faire une analyse soigneuse, de façonà vérifier qu’on ne s’écarte pas trop de la réalité en conservant leshypothèses simplificatrices.

(0)

On appelle état tangent, l’état thermodynamique du fluide aurepos représentable par la loi d’état

f

(

p

,

ρ

,

T

) dans la plage de varia-tion imposée par les conditions de fonctionnement. Si l’évolutiondu fluide est isentropique, l’état tangent se réduit à un seul point,mais dans le cas général, il s’agit d’une surface de petite étenduedans l’espace (

p

,

ρ

,

T ). Cet état tangent doit respecter un certainnombre de relations différentielles sur les variations de χ, β. On nepeut entrer dans les détails de calcul ; on se contente de dire queχ et β et leurs dérivées premières étant connus dans ce domaineélémentaire, il s’agit de savoir comment cp et cV varient.

Pour estimer les diverses dérivées avec ξ et η

indifféremment p, ρ ou T, il faut utiliser l’équation (5) ainsi que larègle de continuité dans les calculs des dérivées secondes et les rela-tions thermodynamiques fondamentales réécrites ici :

(7)

À partir de ces relations, toutes les autres dérivées premières decp et cV sont calculables. La notion d’état tangent généralise cellede l’état générateur (§ 4.5.2.2) défini par une évolution isentropiqueavec propriétés thermodynamiques constantes.

Il est possible d’échapper à un traitement compliqué des pro-blèmes dans trois cas de fluides particuliers.

∂f∂g--------

ϕ

∂f( )ϕ

∂g( )ϕ-----------------=

de ∂e∂ ρ--------

pdρ ∂e

∂ p--------ρ dp+=

∂e∂ρ--------

p

∂e( )p

∂ρ( )p----------------

ρcp pβ–

ρ2β-------------------------= =

∂e∂p--------

ρ

∂e( )ρ∂p( )ρ

----------------cVχ

β-----------= =

deρcp pβ–

ρ2β-------------------------dρ

cVχβ

-----------dp+=

a2 ∂p∂ρ---------

s

γ ρχ⁄= =

Tableau 1 – Application de la méthode de Bridgman (1)

(∂T )p = – (∂p )T = 1

(∂ρ)p = – (∂p)ρ = – ρβ

(∂s)p = – (∂p)s = cp /T

(∂e)p = – (∂p)e = cp – (pβ /ρ)

(∂h)p = – (∂p)h = cp

(∂ρ)T = – (∂T )ρ = – ρχ

(∂s)T = – (∂T )s = β /ρ

(∂e)T = – (∂T )e = (βT – pχ )/ρ

(∂h)T = – (∂T )h = (βT – 1)/ρ

(∂s )ρ = – (∂ρ)s = ρcV χ /T

(∂e )ρ = – (∂ρ)e = ρcV χ

(∂h)ρ = – (∂ρ)h = ρcV χ + β

(∂e)s = – (∂s)e = – cVpχ /(ρT )

(∂h)s = – (∂s)h = – cp /(ρT )

(1) On peut faire apparaître la célérité du son a dans ce tableau cara2 = γ /χρ ; par exemple :

On rappelle que : e est l’énergie interne, h l’enthalpie et s l’entropiemassiques.

∂h( )e ∂ e ( ) h – 1 ρ ---- c V p χ p β

ρ ----- c p –+ = =

∂h∂s---------ρ

∂h( )ρ∂s( )ρ

-----------------cV ρχ β+( )cV ρχ T⁄

-------------------------------- T 1 βa2

cp-----------+ = = =

∂cp

∂ξ-----------

ηet ∂cV

∂ξ---------- η

cp ∂h∂T---------p

;= ∂cp

∂p-----------

T

Tρ---- ∂β

∂T--------

p

β2+=

cV ∂e∂T--------

ρ;= ∂cV

∂ρ-----------

T T ρ ----– ∂

∂ T

--------- βχ -----

ρ

=



1.3.2 Fluides isovolumes

Dans de nombreux écoulements de liquides ou de gaz sans trans-fert de chaleur, la pression et la température varient si faiblementque la masse volumique peut être considérée comme constante. Leséquations de la mécanique sont alors considérablement simplifiées.Dans une habitude fâcheuse, on dit qu’il s’agit d’un fluide incompre-ssible (ou isochore). De fait il n’y a aucune référence à faire à lathermodynamique. Il est préférable de donner au fluide le qualificatifisovolume, comme proposé par E. Brun.

Pratiquement, les liquides qui ne sont pas chauffés (ou refroidis)fortement sont isovolumes. Pour un gaz en écoulement à pressionmodérée, sans transfert de chaleur, la vitesse doit rester limitée àune valeur raisonnable qui sera précisée plus loin (par exemple, pourl’air, 100 m/s).

1.3.3 Fluides incompressibles et dilatables

Il s’agit des liquides à des températures très inférieures à la tempé-rature critique thermodynamique (χ ≈ 0), mais qui subissent, aucours du mouvement, des variations de température telles que ladilatation les éloignent de la condition de fluides isovolumes. L’équa-tion d’état est :

dρ = – ρ0 β dT

ou ρ = ρ0 [1 – β (T – T0)]

ρ0 étant la masse volumique à la température T0 .

La variation de température n’entraîne généralement pas de varia-tion forte de la masse volumique et des paramètres thermo-dynamiques : en première approximation, ceux-ci sont considéréscomme constants. Les équations (5) et (6) ne doivent pas être prisesen compte car χ ≈ 0.

On doit évoquer ici l’hypothèse de Boussinesq qui concerne cesfluides. Boussinesq a été le premier à en utiliser l’équation d’étatpour traiter des problèmes de convection naturelle. Toutefois, dansle calcul analytique, il supposait le fluide isovolume, sans aucunejustification car cela n’était qu’une commodité pour surmonter desdifficultés mathématiques. On comprend que l’hypothèse ne peuts’appliquer qu’à des liquides à température basse par rapport à latempérature critique et subissant une variation maximale δT detempérature telle que . Il faut donc être très vigilantlorsque l’on étudie la convection naturelle dans les gaz en supposantle fluide isovolume.

1.3.4 Gaz parfaits

Un gaz quelconque se comporte comme un gaz parfait si sa pres-sion est modérée et sa température assez élevée. En prenant pourréférence l’état critique thermodynamique où la pression est pc etla température Tc , on peut admettre que le gaz est parfait si :

Alors l’équation d’état est :

p = ρrT

où r est une constante caractéristique du gaz, liée à la constantemolaire des gaz R (= 8,314 J/mol · K) par r = R/M, M étant la massemolaire du gaz considéré exprimée en kg/mol. La pression estexprimée en pascals (Pa), la masse volumique en kg/m3.

Les coefficients χ et β prennent des valeurs très simples, soitrespectivement (1/p ) et (1/T ). Des relations classiques sont rappeléesici :

cp – cV = r

a2 = γp/ρ = γ rT (γ = cp /cV )

[Les capacités thermiques sont comptées en J/(kg · K) et la céléritéen m/s.]

de = cV dT dh = cpdT

et, en supposant les capacités thermiques constantes, l’énergieinterne et l’enthalpie nulles au zéro absolu :

e = cVT h = cpT

Entre deux états d’indices 0 et 1 :

(8)

Dans un écoulement isentropique :

p1/p0 = (ρ1/ρ0)γ

T1/T0 = (ρ1 /ρ0)γ – 1 = (p1 /p0)(γ –1)/γ (9)

Remarques sur le fluide barotrope : pour des commodités de calcul a été introduite, dansle passé, la notion de fluide barotrope. Celui-ci serait tel que la masse volumique nedépendrait que de la pression. On comprend que, dans la réalité, cela ne correspond qu’àla seule hypothèse possible d’un fluide en équilibre isentropique, le cas d’une températureuniforme étant exceptionnel.

1.4 Forces de surface. Forces de volume

Imaginons une surface fermée Σ fictive qui, au sein du fluide,emprisonne un ensemble de particules. Ces particules enclosesexercent les unes sur les autres des forces intérieures qui constituentun torseur équivalent à zéro.

Les particules qui se trouvent à l’extérieur, mais contiguës à Σ,agissent sur les particules internes qui les touchent. Ce sont desactions à courte distance proportionnelles à l’aire de contact et onles appelle forces de surface.

De plus, les particules intérieures à Σ sont soumises à des forcesà longue distance induites par des champs de forces, le plus banalétant le champ de pesanteur. On dit qu’il s’agit de forces de volume,car elles sont proportionnelles au volume des particules (et donc auvolume intérieur à Σ).

Il est raisonnable de dire qu’un fluide est isovolume si au cours de son mouvement.

Par exemple, on obtient pour l’enthalpie h (T, p ) :

ou

Et pour l’entropie s (T,p ) :

ou

dρ ρ⁄ 4 %

dh cpdT 1ρ0------- 1 βT0–( )dp+=

h cp T T0–( ) 1ρ0------- 1 βT0–( ) p p0–( )+=

ds cpdTT

---------- βρ0-------dp–=

s s0– cp ln TT0------

βρ0------- p p0–( )–=

β δT( ) 4 %

p/pc( ) 0,3 T/Tc( ) 0,2–

p1 p0⁄ ρ1 ρ0⁄( ) exp γ 1–( ) s s0–( ) r⁄[ ]=

s1 s0– rγ

γ 1–------------ ln

T1

T0------

lnp1

p0------

–=

r 1γ 1–------------ ln

T1

T0------

lnρ1

ρ0------

–=



1.5 Contraintes sur un élémentde surface. Tenseur des contraintes

Les forces de surface qui agissent sur un élément de surface d’aire

d

A

constituent un torseur équivalent à une force en un point

de d

A

et à un couple de moment est considéré comme

un infiniment petit du même ordre que d

A

, est un infiniment

petit d’ordre supérieur ; il en résulte que le vecteur tend

vers une limite appelée

contrainte

, alors que tend vers

zéro. En notation tensorielle, la composante générale de est

θ

i

(

i

= 1, 2, 3) sur chacun des trois axes orthonormés du repère

cartésien.

Considérons une particule tétraédrique dont les faces issues dumême sommet sont parallèles à celles du repère cartésien et dont

la base opposée au sommet a pour normale unitaire extérieureau volume. Toute longueur des arêtes est un infiniment petit dupremier ordre et, de ce fait, les surfaces et le volume sont respec-tivement du second et du troisième ordres. Dans l’application duthéorème de l’équilibre des forces, il faut compter, outre la force depesanteur, celle d’inertie correspondant à l’accélération de la par-ticule dans son mouvement ; ces deux forces sont de volume, doncnégligeables par rapport aux forces de surface qui sont seules à

s’équilibrer. On déduit aisément que la contrainte de composante

θ

i

est telle que :

θ

i

=

σ

ij

n

j

où

σ

ij

est la composante générale d’un tenseur du second ordreappelé

tenseur des contraintes

au point considéré. La connaissancede ce tenseur détermine la contrainte sur une surface d’orientationquelconque autour de ce point, surface repérée en position par sa

normale .

L’application du théorème de la quantité de mouvement à la parti-cule montre que, si le moment des forces extérieures ne concerneque la pesanteur et la contrainte sur la surface,

à l’exclusion d’unchamp de moment, le tenseur des contraintes est symétrique

:

σ

ij

=

σ

ji

. Il n’en est pas de même s’il existe un champ de moment.

2. Statique

2.1 Pression

Toutes les particules du fluide sont immobiles ; les forces desurface qui s’exercent sur le contour du tétraèdre élémentaire (§ 1.5)traduisent les forces de cohésion sans un mouvement qui solliciteraitla déformation du tétraèdre. Il résulte de cela que, quelle que soit

l’orientation de la base autour d’un point fixe, la tension garde

un module constant

p

et est opposée à la normale extérieure :

θ

i

= –

pn

i

expression qui implique que le tenseur

σ

ij

des tensions est un tenseursphérique

σ ij = – p δ ij

Le scalaire

p

s’identifie à la

pression thermodynamique

, laquelleconcerne strictement un fluide au repos ; on dit parfois

pressionhydrostatique

pour appuyer sur la propriété d’isotropie. Le symbole

δ

ij

de Kronecker est défini dans le tableau des Notations et Symboles.

2.2 Relation fondamentale

On considère une surface fermée fictive

Σ

à l’intérieur de la massefluide au repos ; elle enferme un volume fini

Λ

. La force de volume

, par unité de masse, a pour composante

f

i

, et l’équilibre de cetteforce avec celle de surface s’exprime par :

avec d

τ

volume élémentaire.

En transformant l’intégrale de surface en intégrale de volume parapplication du

théorème flux-divergence

(ou d’

Ostrogradski

), onobtient :

sans qu’on ait jamais précisé quel était

Λ

; la relation est indé-pendante de

Λ

et donc :

(10)

relation vectorielle fondamentale de la statique des fluides.

Si le champ de force est donné, le problème général concernetrois inconnues (

ρ

,

p

,

T

) et nécessite le traitement de trois équations :l’équation (10) à laquelle on ajoute l’équation d’état et la conditionqui favorise l’équilibre.

2.3 Fluide isovolume au reposdans le champ de pesanteur

La masse volumique est constante ; le problème est très simplifié :il n’y a qu’une seule inconnue, la pression. Le champ de pesanteurdérive d’un potentiel :

U

= –

gz

où

g

est l’accélération due à la pesanteur et

z

l’altitude de la particulecomptée à partir d’un plan arbitraire horizontal de référence. Ainsi :

f

i

= –

gz

,i

si le repère orthonormé est orienté de façon quelconque. Par suite,on intègre aisément l’équation fondamentale (10) pour obtenirl’

équation de l’hydrostatique

:

p

+

ρ

gz

=

Cte

la constante étant unique dans toute la masse fluide.

Le point

b)

est à la base de la mesure de la différence de pressionentre deux gaz à l’aide du manomètre à tube en U. Il suffit de mesurerla différence de niveau du liquide dans les deux branches et de

dF

d · d F

d

d F dA⁄θ d dA⁄

θxi

n

θ

n

θ

n

On en déduit les conclusions suivantes :a) la pression est constante dans un plan horizontal quel-

conque (z = Cte ) ;b) la surface de séparation de deux fluides isovolumes non

miscibles est horizontale. En particulier, la surface libre d’unliquide surmonté d’un gaz (éventuellement l’atmosphère) aurepos est horizontale ;

c) lorsque l’on augmente la pression en un point du fluideisovolume emprisonné dans un espace clos, cette augmentationse communique intégralement en tout point du fluide (principede Pascal et de la presse hydraulique).

F

Λ

ρfi dτ Σ

– pni dA 0=

Λ

ρfi p,i–( )dτ 0=

ρfi p,i– 0= ou ρ F grad p– 0=

F



connaître la masse volumique de ce liquide ; de même, pour lebaromètre (à mercure) dont l’extrémité fermée du tube vertical està la pression de vapeur saturante du liquide, l’autre extrémité étantouverte sur l’atmosphère.

Remarque : l’accélération g de la pesanteur est uniforme dans un lieu géographique rela-tivement étendu, mais varie entre 9,78 à l’équateur et 9,83 m · s–2 aux pôles ; en France, onprend 9,81 ou, pour un ordre de grandeur suffisant, 10 m · s–2 (2 % d’erreur).

2.3.1 Poussée sur une paroi

Un élément de surface dA solide contigu extérieurement à uneparticule exerce sur celle-ci la force – pni dA (§ 2.1) ; l’équilibre del’action et de la réaction fait que la paroi reçoit une poussée élémen-taire pni dA. Sur une paroi de forme quelconque gauche, le systèmedes poussées élémentaires constitue un torseur. Celui-ci n’est équi-valent à une force unique appliquée au centre de poussée que dansdes cas particuliers tels que surface plane et surface fermée.

2.3.1.1 Paroi plane

Les poussées élémentaires sont des vecteurs parallèles qui secomposent en une résultante normale à la surface ; son intensité est :

où S est l’aire de la paroi.

Si zG désigne l’altitude du centre de gravité G de la paroi :

et P = (p0 + ρgzG) S

Le module de la résultante est égal au produit de l’aire par la pres-sion au centre de gravité de la paroi.

Le centre de poussée sur lequel s’exerce se détermine enécrivant que le moment résultant des moments élémentaires parrapport à un point d’intersection de la paroi avec la surface libre est

égal au moment de . On constate que le centre de poussée estsitué plus bas que le centre de gravité G sans être nécessairementdans le plan vertical de G.

2.3.1.2 Paroi gauche

Dans le cas d’une paroi gauche, on définit la poussée dans unedirection donnée comme la somme des poussées élémentairesprojetées dans cette direction.

a) La poussée élémentaire verticale dPz est équivalente au poidsde la colonne verticale de fluide qui surmonterait dA jusqu’au plande pression nulle et s’appuyant sur le contour de dA. La ligne d’actionde la résultante Pz passe par le centre de gravité Gz de la colonnefluide s’appuyant sur le contour de la paroi S :

en désignant par h la hauteur de la colonne élémentaire de liquide

et par α l’angle que font les vecteurs . Ce résultat a été

appelé le paradoxe hydrostatique : la poussée verticale sur le fondd’un récipient est indépendante de la forme de la paroi à l’intérieurde son contour qui est supposé fixé.

b) De même, la poussée Px dans une direction horizontale est la résultante des poussées élémentaires suivant cette direction :

Remarque: si la surface S est une portion de cylindre à génératrices horizontales, leproblème se simplifie. La poussée dans la direction des génératrices est nulle. Il existe uncentre de poussée sur la paroi et la résultante est dans un plan perpendiculaire auxgénératrices.

2.3.2 Poussée sur un corps immergé

Il résulte de ce qui précède que la poussée n’a pas de composantehorizontale puisqu’elle s’exerce sur une surface fermée et que lacomposante verticale est égale et opposée au poids du fluide déplacépar le corps (principe d’Archimède) ; le centre de poussée est lecentre de gravité du volume du fluide déplacé par le corps. Si celui-ciest complètement immergé et qu’il n’a pas une masse volumiquehomogène, son centre de gravité est différent du centre de poussée.

Dans le cas d’un corps flottant, on appelle déplacement Pz lemodule du poids du liquide déplacé ; soit :

où est le volume déplacé.

Sur cette formule est basée la détermination de la masse volu-mique d’un liquide à l’aide d’un aéromètre ou d’un densimètre, maisaussi l’analyse de la stabilité des navires, sujet trop spécifique (etnéanmoins vaste) pour être résumé ici.

2.4 Équilibre d’un liquidedans un récipient soumisà une accélération permanente

Si au champ de pesanteur s’ajoute un champ d’inertie permanent,le liquide dans un récipient est en équilibre relatif par rapport à cerécipient. Supposons que le champ d’accélération dérive d’un poten-

tiel : .

Le champ d’inertie, opposé en signe, se compose avec celui depesanteur et la relation fondamentale devient :

ou, puisque ρ est constant :

l’intégration donne :

la constante est uniforme dans tout le fluide.

2.4.1 Mouvement de translationuniformément accéléré

L’accélération γ est colinéaire à (repère orthonormé fixé aurécipient) : A = γx.

p = – ρ (γ x + gz ) + p0

avec p0 pression en x = z = 0.

Les isobares sont les plans inclinés d’un angle α sur l’horizontale(tan α = γ /g ), d’autant plus inclinés que γ est grand.

P S

p0 ρgz+( )dA p0S ρgS

zdA+= =

zG S

z dA=

P

P

Pz S

p cosαdA( ) S

pdAz ρg S

h dAz= = =

n et dPz

Ox

Px S

p sinαdA( ) ρgS

hdAx= =

Pz ρg=

Γ grad A=

ρ F Γ–( ) grad p– 0=

grad ρ gz A+( ) p+[ ] 0=

A gz pρ-----+ + Cte=

Ox



2.4.2 Liquide en rotation uniformeautour d’un axe vertical

Un réservoir à base circulaire tourne autour de l’axe vertical avec une vitesse angulaire ω constante. En un point à la distance rde l’axe, la force d’inertie est centrifuge et d’intensité ω2r.

Par suite A = – ω2r 2/2

et

avec p0 pression au point r = z = 0

Les surfaces isobares sont des paraboloïdes concaves d’axe ,ce qui est le cas de la surface libre à la pression atmosphérique.

2.5 Statique d’un fluide compressibleet dilatable

Il a été dit plus haut (§ 2.2) que l’équation d’état du fluide doit êtreassociée à la relation fondamentale de la statique et que la conditionqui favorise l’équilibre doit être précisée ;

par exemple, T uniforme dans tout le fluide

ou ϕ (T,p ) = 0 pour l’équilibre isentropique,

ou ψ (T,z ) = 0 pour fixer la répartition de tempé-rature selon l’altitude.

Si les forces de volume se réduisent à celle de pesanteur, l’équationfondamentale (10) s’écrit :

ρgdz + dp = 0 (11)

On voit que dz = 0 entraîne dp = 0 : une couche horizontale du

fluide est isobare. Entre deux couches contiguës en tout

point et donc ρ est uniforme.

Ainsi, à altitude constante, le fluide est isobare (p = Cte ), isochore(ρ = Cte ). Il en résulte en particulier que la surface de séparation dedeux liquides non miscibles au repos est horizontale.

2.5.1 Liquide compressible isotherme

La condition T = Cte dans tout le volume du fluide simplifiel’équation d’état (3) dans laquelle on suppose χ constant :

dρ = ρχdp

Il s’agit ici d’un liquide à grande profondeur : on convient de nepas considérer l’altitude z mais la profondeur z ’ = – z à partir du plande la surface libre : à z ’ = 0, p = p0 et ρ = ρ0 .

L’équation (11) conduit à :

La solution du problème est très élémentaire :

Comme ρ0g χz ’ << 1, on peut simplifier en :

Remarque : si l’équation d’état avait était écrite :

dρ = ρ0χdp

on aurait obtenu

La différence entre les deux solutions est négligeable.

2.5.2 Gaz parfait dans le champ de pesanteur

La loi des gaz parfaits peut être écrite :

p/ρg = (r /g )T

où chaque membre de l’équation est homogène à une longueur.

2.5.2.1 Gaz à température constante

La pression p à l’altitude z au-dessus du plan horizontal de cotez0 où la masse volumique est ρ0 et la pression p0 est donnée par :

relation où hT correspond à la température T constante.

La loi de variation de la masse volumique est donnée par :

Concernant l’atmosphère terrestre, on peut appliquer ces formulespour z – z0 < 500 m, sans commettre une trop grossièreapproximation.

2.5.2.2 Gaz dont la température varielinéairement avec l’altitude

Si T = T0 [1 – B (z – z0)]

avec B coefficient de variation linéaire, la pression est donnée par :

et la masse volumique varie suivant :

2.5.2.3 Atmosphère type

On a défini internationalement une atmosphère de référence quireprésente de façon approchée l’atmosphère réelle soumise auxvariations météorologiques.

Oz

p ρ ω2r2

2-------------- gz–

p0+=

Oz

dpdz--------- Cte=

dpρ

--------- gdz ′=

p p0– 1 χ ---- ln 1 ρ 0 g χ z ′ – ( ) –=

Par exemple

, dans le cas de l’eau à une profondeur de 4 000 m, enprenant

χ

= 5

×

10

–10

m

2

/ N et

ρ

0

= 1 000 kg/m

3

à la pression

1,013

×

10

5

Pa, le terme correctif dans la parenthèse est égal à 0,01.

Exemple :

dans le

système d’unités légal

,

p

/

ρ

g

=

h

T

est comptéen mètres et

pour l’air sec

: [

r

=

R

/

M

= 8,314/(29

×

10

–3

)

≈

286,7 J/K] :

p

/

ρ

g

=

h

T

=

29,3

T

et à

T

= 273 K :

h

= 7 998 m

≈

8 000 m.

p p0– ρ0gz ′ 1 12----χρ0gz ′–

=

p p0– ρ0gz ′ 1 12----χρ0gz ′+ =

p p0 z z

0 – h

T ----------------–

exp =

ρ ρ0exp z z

0 –

h

T ----------------–

=

p p0 1 B z z0–( )–[ ]1 Bh0⁄

=

ρ ρ0 T T0⁄( )

1Bh0------------ 1–

=



Dans l’atmosphère type, on suppose que l’accélération de lapesanteur est constante et que l’air est sec. L’air atmosphérique estvalablement assimilé à un gaz parfait. À l’altitude zéro, la tempé-rature est de 15 oC, la pression de 1,013 × 105 Pa et la masse volu-mique est donc de 1,225 kg/m3.

Entre zéro et 11 000 m (troposphère), la température décroîtlinéairement : entre 288 K et :

T = 288 (1 – 22,6 × 10–6 z ) (z en m, T en K)

Au-dessus de 11 000 m (stratosphère), la température estconstante, égale à 216,5 K (– 56,5 oC).

3. Cinématique

On a vu que la notion de continuité mathématique repose sur leconcept de particules. Celles-ci servent à décrire le mouvement dela masse du fluide selon deux points de vue, celui de Lagrange (§ 3.1)et celui d’Euler (§ 3.2).

3.1 Description du mouvementselon Lagrange

On suit le mouvement de chaque particule P repérée à l’instantt0 au point de coordonnées ξi (i = 1, 2, 3) dans un système fixe ortho-

normé . La particule P, affectée de son identité (ξi , t0) se trouveà l’instant t en un point de l’espace dont les coordonnées sontxj (j = 1, 2, 3). Fondamentalement, on suppose la continuité,c’est-à-dire qu’une particule n’occupe qu’un seul point de l’espaceà l’instant t (il n’y a ni ubiquité, ni fusion de particules, ni vide enparticules). Le mouvement sur la trajectoire de P est décrit par lestrois fonctions xj = xj (ξi , t ) étendues à l’ensemble des particules Pdans la masse du fluide à l’instant t0 . Les variables de Lagrange sontξi et t. Connaissant les fonctions xj , on peut théoriquement inverserpour obtenir ξi = ξi (xj , t ).

Les composantes vi de la vitesse et γi de l’accélération de P, àl’instant t, sont évidemment :

La description selon Lagrange se heurte à une complexité mathé-matique dans le cas d’un mouvement quelconque ; il faut dire aussique, du fait de l’agitation moléculaire à l’intérieur de la particule Pnon étanche, la durée de vie de la particule, c’est-à-dire la conser-vation de son identité, est limitée, bien que plus longue dans lesliquides que dans les gaz. (Pour guider l’esprit on rattachera ce modede description à la technique de la bouteille à la mer.)

3.2 Description selon Euler

On utilise préférentiellement le mode de description suivant : enchaque point M(xi ) de l’espace repéré par rapport à un système fixe,on observe le passage des particules au cours du temps. On nes’intéresse pas aux identités changeantes des particules, mais à la

vitesse que possède la particule qui y passe à l’instant t : vi =vi (xj , t ). Les variables d’Euler sont xj et t.

Si en un point I de l’espace, on marque toutes les particules quiy défilent au cours du temps (par exemple à l’aide d’un colorant),ces particules dessinent à l’époque t une courbe appelée ligned’émission ; cette trace instantanée est l’ensemble des particules quisont passées au point I aux époques antérieures à t.

On appelle ligne de courant à l’époque t la courbe qui est tangenteen chacun de ses points au vecteur vitesse ; elle correspond à :

soit deux équations à trois variables xi . Dans le cas général, le champdes vitesses change avec le temps et les lignes de courant ne sontpas fixes (pas stationnaires) : elles diffèrent des lignes d’émission.

La trajectoire d’une particule est telle que, dans tout intervalle detemps élémentaire dt :

3.3 Écoulement permanent(ou stationnaire)

Un écoulement est dit permanent lorsque toutes les grandeurscaractéristiques du mouvement sont invariables dans le temps :vitesse, masse volumique, pression, température, etc. Sur le plande la cinématique, le champ de vitesse étant stationnaire, ligned’émission, ligne de courant et trajectoire passant par un même pointde l’espace sont confondues sur toute leur étendue ; il n’en est pasainsi pour un écoulement variable dans le temps.

Dans un écoulement permanent, la notion de tube de courant estparticulièrement intéressante. On considère l’ensemble des lignesde courant qui s’appuient sur une courbe fermée fixe ; on obtientainsi une surface de courant stationnaire qui constitue la surface laté-rale du tube de courant. Toutes les particules intérieures à ce tubeà une certaine époque y resteront toujours intérieures, du fait queleurs trajectoires stationnaires ne peuvent à aucun moment percerla surface de courant.

3.4 Dérivée particulaire d’une grandeur

C’est la dérivée par rapport au temps d’une grandeur appartenantà la particule suivie dans son déplacement. Soit G la grandeurscalaire ; sa dérivée particulaire est :

soit

S’il s’agit d’une grandeur tensorielle, sa dérivée particulaire est

un tenseur du même ordre. Ainsi le vecteur accélération (ordreun) est la dérivée particulaire du vecteur vitesse et :

Exemple : les formules écrites ci-dessus sont applicables, avec :B = 22,6 × 10–6 m–1 et (Bh0)–1 = 5,255 pour la troposphèreet hT = 6 330 m pour la stratosphère.

xi

vi∂xi

∂t----------

ξ

et γ i∂2xi

∂t2-------------

ξ==

V t( )

dx1

v1-----------

dx2

v2-----------

dx3

v3----------- à t fixé= =

dx1

v1-----------

dx2

v2-----------

dx3

v3----------- dt= = =

DGDt

-----------∂G∂t

---------- xi,t( )∂xj

∂t---------

ξ

∂G∂xj---------- xi,t( ) avec j 1= , 2, 3+=

DGDt

----------- ∂G∂t

---------- vj+∂G∂xj---------- ou DG

Dt----------- ∂G

∂t---------- vj+ Gi,j==

γ

γ iDvi

Dt-----------

∂vi

∂t--------- vjvi,j+= =



3.4.1 Dérivée particulaired’une intégrale de volume

Considérons un volume Λ de fluide intérieur à la surface ferméeΣ contenant les mêmes particules au cours du mouvement ; soit Gla grandeur relative aux particules, G (xi , t ) étant un scalaire ou untenseur volumique (c’est-à-dire rapporté à l’unité de volume). Ondémontre que (si dτ est le volume élémentaire défini auparagraphe 1.1) :

(12)

où vini est le produit scalaire et donc où vi ni dA est le débit-volume de fluide sortant du volume Λ à travers la surface élémen-taire dA.

Numériquement, si le scalaire vini = Vn est positif, il y a effecti-vement sortie de fluide ou, s’il est négatif, il y a entrée de fluide.Au second membre, l’intégrale de surface est donc le débit de Gsortant du volume Λ par Σ, tandis que l’intégrale de volume estl’accroissement de G dans le volume Λ pendant l’unité de temps.

On a insisté sur la signification de cette formule parce qu’elle estla base des bilans qui seront présentés plus loin (§ 4.1).

3.4.2 Conservation de la masse

Dans un fluide monophasique, la masse se conserve, même aucours d’une réaction chimique.

Il en résulte :

L’application de la formule (12) et la transformation de l’intégralede surface en intégrale de volume conduisent à :

cela, sans avoir à préciser l’étendue du domaine Λ. Par conséquent,

(13)

et, en effectuant l’opération divergence sur ρvi :

(14)

Cette équation est habituellement appelée équation de continuité ;on a vu à quoi s’attache l’idée de continuité et il ne s’agit ici quede la conservation de la masse :

— si le fluide est isovolume : vi,i = 0 ;— si le mouvement d’un fluide quelconque est permanent :

(ρvi ),i = 0.

Conséquence des équations (12) et (14) :

(15)

Cette égalité utilisée par la suite, P étant une grandeur quelconque,est appelée théorème du transport.

3.5 Étude locale du champ de vitesse

On considère à l’instant t un point M(xi ) où la vitesse est et un point infiniment voisin de coordonnées (xi + dxi ) où la vitesse

est . On a, au premier ordre :

Le tenseur du second ordre vi,j peut être considéré comme la

somme d’un tenseur symétrique de composante générale :

et d’un tenseur antisymétrique de composante :

La signification de ces deux tenseurs apparaît lorsque l’on suit,pendant le pas de temps dt, le déplacement de deux points M et Nextrêmement voisins où les vitesses sont respectivement vi et

a pour composantes . Au temps (t + dt ), ces points M

et N se placent en M’ et N’ et pour composante :

soit

Compte tenu de ce qui précède :

se déduit de par une translation pure (premier termeau second membre), par une déformation (second terme) et par une

rotation (dernier terme). Cela s’éclaire en prenant disposéparallèlement à chacun des axes du repère orthonormé : par

exemple, représente le taux d’allongement suivant

représente le taux de glissement (ou taux de déformation angulaire)

dans le plan , etc. Le tenseur est appelé tenseur des taux

de déformation. En particulier, par définition de ce tenseur,

est le taux de dilatation en volume. On comprend donc pourquoivi,i = 0 pour un fluide isovolume.

En ce qui concerne le terme , on peut le considérer comme

la composante générale du produit vectoriel dans lequel

, appelé vecteur tourbillon ou taux de rotation, repré-

sente la vitesse angulaire locale.

DDt--------

ΛGdτ

Λ

∂G∂t

----------dτ Σ

GvinidA+=

V n⋅

DDt--------

Λρdτ 0=

Λ

∂ρ∂t

-------- ρvi( ),i+ dτ 0=

∂ρ∂t

-------- ρvi( ),i+ 0=

DρDt

---------- ρvi,i+ 0=

DDt--------

Λρ Pdτ

Λρ DP

Dt--------- dτ=

V vi( )

V ′ v ′i( )

v ′i vi vi ,j dxj+= vi,j∂vi

∂xj---------=

D⇒

ij12----- v i,j v j,i + ( ) =

Ω⇒

ωij12---- vi,j vj,i–( )=

v ′i ; MN i

M ′N ′ a ′i

M ′N ′ MN NN ′ MM ′–+=

′i i v ′i vi–( ) dt+=

′i i ijjdt ωijjdt+ +=

M ′N ′ MN

MN

11 x1 ; 12

x1,x2( ) D⇒

ii vi,i=

ωij j

ω MN∧

ω 12----- rot V =



3.6 Types particuliers d’écoulements

On a défini l’écoulement permanent (§ 3.3). Dans la plupart desécoulements réels, on constate qu’en un point fixe la vitesse, la pres-sion et la température varient chacune plus ou moins faiblement aucours du temps, autour d’une valeur moyenne qui, elle, est perma-nente. On peut trouver la moyenne pour chaque grandeur, sur unebase de temps suffisamment longue pour concerner une popu-lation représentative de particules défilant au point considéré ; parexemple pour la vitesse moyenne :

et de même pour les autres grandeurs.

La moyenne est indépendante de l’instant initial

t

. On dit que

l’écoulement est permanent en moyenne

.

On appelle

écoulement plan

un écoulement tel que le vecteurvitesse serait en tout point du fluide et en tout instant parallèle à unplan fixe. Cette circonstance de gradients parallèles à ce plan n’estrencontrée que pour des écoulements considérés loin de zones àperturbation tridimensionnelle (par exemple, celles autour du bordde fuite d’une aile d’avion). L’écoulement plan est bidimensionnel.

Si un

écoulement

accepte un plan de symétrie, il est

bidimen-sionnel

dans ce plan mais, pour qu’il soit assimilable à un écoule-ment plan dans cette région de part et d’autre de ce plan, il faut queles dérivées des grandeurs caractéristiques soient nulles ou trèsfaibles dans la direction normale à tout plan parallèle au plan desymétrie.

Un

écoulement monodimensionnel

peut être rapporté à uneabscisse curviligne le long de laquelle se fait l’écoulement. Il supposeque les composantes de la vitesse dans le plan orthogonal à cetteabscisse soient très faibles. Le tube de courant, à section graduel-lement variable, n’a pas nécessairement un axe rectiligne.

Un

écoulement unidirectionnel

est tel que la vitesse est en toutpoint parallèle à une direction unique fixe. C’est un écoulementmonodimensionnel rectiligne.

Un

écoulement axial

est tel que le champ des vitesses admet, àtout instant, une symétrie autour d’un axe fixe. Il suffit donc d’étudierle mouvement dans un plan de symétrie.

3.6.1 Écoulement irrotationnel

Un écoulement est dit irrotationnel si en tout point dufluide. Toute particule se déforme autour d’un déplacement élémen-taire de translation.

Lorsque cette circonstance est vérifiée,

le champ de vitesse dérived’un potentiel

scalaire

Φ

(

x

i

,

t

) c’est-à-dire

v

i

=

Φ

,i

.

Il en résulte que le vecteur vitesse est en tout point perpendiculaireà la surface équipotentielle en ce point et que les lignes de courantsont orthogonales aux surfaces équipotentielles qu’elles traversent.Enfin la circulation est nulle le long d’une courbe fermée C, soit

est le vecteur élémentaire de C.

Si le fluide est isovolume (§ 3.4.2),

v

i,i

= 0, ce qui entraîne ici

Φ

,ii

c’est-à-dire que le potentiel des vitesses est solution de

l’équationde Laplace

; explicitement :

3.6.1.1 Écoulement plan permanent d’un fluide isovolume

Dans ce cas, la notion de ligne de courant introduite auparagraphe 3.1 s’exprime par une forme analytique simple en intro-duisant

ψ

,

fonction de courant de Lagrange

. Les composantes

u

et

v

de la vitesse sont :

La fonction ψ est constante sur une ligne de courant et le vecteur

vitesse est orthogonal à . Il résulte de ces deux propriétésque le débit-volume de fluide entre deux lignes de courant ψ1 et ψ2est, par unité de longueur transversale (perpendiculaire au plan),égal à ψ2 – ψ1 .

Les lignes équipotentielles (Φ = Cte ) et les lignes de courant(ψ = Cte ) sont orthogonales ; leur réseau peut être tracé graphique-ment (méthode de Prasil) ou bien déterminé en exploitant les pro-priétés des fonctions analytiques.

3.6.1.2 Écoulement plan permanent d’un fluide quelconque

Il est possible de respecter l’équation de conservation de la masseen posant vi = (1/ρ ) Φ,i . On transpose alors les solutions du casisovolume permanent en remplaçant les débits-volume par desdébits masse. Toutefois les solutions ne sont qu’approchées pour

un écoulement irrotationnel : en effet est nul mais Γ

(§ 3.6.1) ne l’est pas rigoureusement.

3.6.2 Écoulement rotationnel

L’écoulement pour lequel il existe un champ de vecteur tourbillonassocié au champ de vitesse est dit rotationnel.

On appelle ligne tourbillon, une ligne tangente en chacun de sespoints au vecteur tourbillon. L’ensemble des lignes tourbillons,s’appuyant sur une courbe fermée, définit un tube tourbillon et, sila section droite de ce tube est très petite, on obtient un filettourbillon ; le flux de rotationnel est le même à travers toute sectiondroite d’un même filet tourbillon et on le désigne par intensité dufilet tourbillon.

3.6.3 Écoulement à potentiel de vitesseavec circulation

Certains problèmes de mécanique ont été, dans le passé, traitésen considérant que l’écoulement est irrotationnel dans sa masse saufen quelques points singuliers où se forment des filets tourbillons :l’écoulement est dit à potentiel de vitesse avec circulation.

Pratiquement, il faut retenir que le domaine irrotationnel corres-pond à celui où le fluide subit des gradients de vitesse si modérésque la viscosité joue un rôle négligeable. Par contre, l’écoulementrotationnel est l’image de l’écoulement au voisinage immédiat dessurfaces solides, là où les gradients sont les plus élevés et où laviscosité joue un rôle important (cf. couches limites, § 7).

Remarque : le traitement mathématique des écoulements par la condition d’irrotation-nalité ou de rotationnalité constituait il y a quelques dizaines d’années un grand chapitrede la mécanique. Aujourd’hui son importance a disparu car les moyens de calcul surordinateur permettent d’obtenir des solutions jugées autrefois inaccessibles.

t

vi1t----

t

t t+

vi dt=

rot V 0=

Γ C

vidi 0= = où di

∂2Φ∂x1

2------------ ∂ 2Φ

∂x22

------------ ∂2Φ∂x3

2------------+ + 0=

u ∂ Ψ ∂ y ----------–= v

∂

Ψ ∂ x ----------=

V gradΨ

C

ρvi di



4. Dynamique

La dynamique des fluides est établie à partir des théorèmes géné-raux de la mécanique des systèmes matériels et des principes dela thermodynamique. L’analyse peut être conduite à deux échellesdifférentes : l’une, relative à un volume macroscopique de fluide,appelé volume de contrôle , convient à l’ingénieur qui recherche unesolution globale et approchée ; l’autre analyse, qui s’applique à unvolume élémentaire de fluide à l’intérieur du volume de contrôle,conduit à des équations aux dérivées partielles qui ne peuvent êtregénéralement intégrées que par un recours à des méthodesnumériques. Les champs des grandeurs caractéristiques du fluidesont alors connus dans le volume de contrôle. La première approcheest particulièrement intéressante dans le cas des écoulementspermanents.

4.1 Équations générales de bilan

Les équations de bilan reposent toutes sur l’équation (12) : levolume de contrôle

Λ

(figure

1

) est délimité par la surface fermée

Σ

qui comprend une surface solide S imperméable au fluide

( est nul en tous ses points) et des surfaces

A

traversées

par le fluide : aux entrées

V

n

est négatif tandis qu’aux sorties

V

n

estpositif. S’il n’y a qu’une entrée et plusieurs sorties, le volume repré-sente un

distributeur

et, s’il y a plusieurs entrées et une seule sortie,il s’agit d’un

collecteur

. Le fluide peut se réchauffer ou se refroidirà l’intérieur du volume de contrôle par contact avec la surface S ouavec celle d’un corps d’échangeur de chaleur qu’il traverse.

Une autre configuration de

Λ

est celle d’un circuit ouvert, ou cana-lisation, avec une seule entrée et une seule sortie ; au cours de saprogression, le fluide se comprime (ou se détend) en recevant (ouen perdant) de l’énergie mécanique, se réchauffe ou se refroidit parcontact avec une surface à température différente de la sienne.

4.2 Théorème de la quantitéde mouvement

La dérivée particulaire de la résultante des quantités de mouve-ment élémentaires, appelée résultante cinétique du système consi-

déré, est égale (à chaque instant) à la résultante des forcesextérieures :

(16)

où concerne les forces de volume et celles de surface (§ 1.4),c’est-à-dire pratiquement forces de volume et contraintes.

L’application à (16) de la formule (12) fournit le

théorème de laquantité de mouvement

:

(17)

expression dans laquelle l’intégrale de surface est le débit de quantitéde mouvement sortant (algébriquement) de

Σ

par les ouvertures

A

,comme cela a été expliqué (§ 4.1).

Si le mouvement est

permanent

:

(18)

le débit de quantité de mouvement sortant est égal à la résultantedes forces extérieures

.

Équation du mouvement

On peut obtenir aussi une forme différentielle pour un volume élé-

mentaire de fluide en explicitant dans les deux types de forcesextérieures (§ 1.4), soit pour la composante générale :

Cette expression est portée dans l’expression équivalente à (16)

L’intégrale de surface est transformée en intégrale de volume pourregrouper tous les termes sous une seule intégrale de volume,laquelle est nulle quelle que soit l’étendue du volume considéré etdonc :

(19)

On obtient ainsi

l’équation générale du mouvement

d’un fluidequelconque. Il est nécessaire de préciser le lien entre le champ destensions et celui des déformations par l’équation de comportement.

4.3 Équation de comportementdu fluide newtonien

On décompose le tenseur des contraintes

σ

ij

(§ 1.5) en deux termesde façon à faire apparaître la pression :

σ

ij

= –

p

δ

ij

+

τ

ij

(20)

τ

ij

représente les contraintes relatives à la déformation locale dufluide en mouvement.

Les fluides réels à petites molécules, lorsqu’ils sont soumis à lacontrainte générale

τ

ij

, accusent des déformations instantanées (pasd’effet d’inertie) et

l’équation de comportement

liant le tenseur destaux de déformation

ε

ij

au tenseur des contraintes visqueuses

τ

ij

estlinéaire :

(21)

équation qui caractérise une classe dite de fluides newtoniens,avec µ coefficient de viscosité dynamique,

µ’ second coefficient de viscosité,

tous deux fonction uniquement de la température et de la pression.

Avec les liquides incompressibles et peu dilatables (vk,k ≈ 0), lecoefficient µ’ n’intervient pratiquement pas. Ainsi est éludé le pro-blème, non encore résolu, de la valeur µ’ pour les liquides.

Vn V n⋅=

F ext

DDt--------

Λρ V dτ F ext=

F ext

Λ

∂∂t------ ρ V( )dτ

Σρ V Vn dA+ F ext=

Σ

ρ V VndA F ext=

Figure 1 – Volume de contrôle

F ext

Λ

ρfi dτ Σ

σijnjdA+

Λ

ρ DVDt

------------dτ F ext=

ρDvi

Dt----------- ρfi σij,j+=

τij 2µij µ′vk,kδij+=



Pour les gaz monoatomiques, µ et µ’ sont liés par la relation deStokes :

3µ’ + 2µ = 0

et donc

Pour les gaz quelconques, Busemann a suggéré la relationµ’ = (1 – γ )µ où γ est le rapport des capacités thermiques cp /cV dugaz considéré.

Le tenseur τij est symétrique comme σij . Lorsqu’il est possible denégliger l’effet de la viscosité, σij se réduit à – pδij et l’on retrouveles conditions de contrainte dans un fluide au repos (§ 2.1).

4.4 Équation du mouvementd’un fluide newtonien

En reportant les relations (20) et (21) dans l’équation du mouve-ment (19), celle-ci devient

(22)

en rappelant ici que fi est la composante de la force de volume parunité de masse ce qui, pour la pesanteur, est (g z ), i et, plus géné-ralement ψ, i si fi dérive d’un gradient d’un potentiel ψ.

D’autre part µ et µ’ ne sont uniformes dans l’espace que s’il existeun champ de température uniforme, la pression ayant une influencefaible. Considérons deux cas de simplification.

4.4.1 Fluide sans viscosité

Un fluide dont on néglige la viscosité est parfois appelé fluideparfait, ce qui prête à confusion avec le gaz parfait de la thermo-dynamique. En l’absence d’un mot spécifique (inviscid, en anglais),dire fluide non visqueux.

L’équation (22) prend la forme simple :

(23)

appelée équation d’Euler, utilisable en première approximation pourun fluide réel lorsque les gradients de vitesse sont faibles, c’est-à-direloin des parois.

4.4.2 Fluide isovolume à viscosité constante

L’équation (22) s’écrit alors (puisque vk,k = 0) :

(24)

relation appelée équation de Navier-Stokes et dans laquelle on

retrouve le terme , déjà rencontré au paragraphe 2.3,qui joue ici le rôle d’un potentiel moteur du mouvement et qui estappelé pression motrice.

Si, en plus des hypothèses ρ = Cte et µ = Cte, on ajoute celle d’unécoulement irrotationnel, on obtient vi,jj = 0 et l’équation (24) s’iden-tifie avec l’équation d’Euler (23) dans laquelle ρ = Cte. Ainsi, ce fluidenewtonien en écoulement irrotationnel se comporte comme unfluide non visqueux. Cela explique que l’on opère sur le plan théo-rique comme il a été dit au paragraphe 3.6.3.

Dans le cas d’un écoulement unidirectionnel, la vitesse est, en tout

point du fluide isovolume, colinéaire à un vecteur fixe , suivantlequel on place l’axe Ox1 . La vitesse n’a qu’une seule composantev1 ; la condition de conservation de la masse se réduit à v1,1 = 0. Il

en résulte que l’accélération est forcément colinéaire à

et il en est de même pour le gradient de (p + ρg z ) : par conséquent,(p + ρgz ) est constant dans un plan quelconque perpendiculaire àla trajectoire et ne peut qu’être fonction de x1 .

L’équation vectorielle (24) se réduit à la seule projection sur Ox1 :

Si de plus l’écoulement est permanent, et :

Cette dernière équation n’est possible que si chacun des membresest égal à une même constante numérique b et :

On verra plus loin que b < 0 (§ 9).

4.5 Bilans d’énergie

La méthode générale du bilan s’applique à toutes les formesd’énergie : énergie cinétique seule, énergie interne, enthalpie, éner-gie totale. Dans chacun des objectifs, on peut recourir au bilan globalsur un volume fini Λ ou au bilan différentiel conduisant à une équa-tion aux dérivées partielles.

4.5.1 Définitions de l’énergie totale et de la charge

L’énergie totale rapportée à l’unité de masse de fluide est la sommede l’énergie interne massique e et de toutes les énergies mécaniquespotentielles dont la somme est la charge (massique) du fluide en (J/kg), laquelle est égale à :

(25)

où le premier terme représente l’énergie potentielle de pression (déjàrencontrée au paragraphe 2.4), le second l’énergie cinétique et letroisième l’énergie potentielle de pesanteur (§ 2.3).

Ainsi, l’énergie totale massique est égale à :

(26)

où la dernière expression fait apparaître l’enthalpie massique :

µ′ 23 ---- µ –=

ρDvi

Dt----------- ρfi p,i– µ′vk,k( ),i 2 µij( ),j+ +=

ρDvi

Dt----------- ρfi p,i–=

ρDvi

Dt----------- p ρ gz + ( ) , i – µ v i,jj +=

p ρgz+( ) p=^

s

∂v1

∂t----------- s

ρ∂ v1

∂t----------- ∂

∂ x 1

---------- p ρ gz + ( ) – µ ∂

2

v

1

∂

x

22 -------------

∂

2

v

1

∂

x

32 -------------+ +=

∂v1

∂t---------- 0=

∂∂x1---------- p ρgz+( ) µ ∂ 2v1

∂x22

------------∂ 2v1

∂x 32

------------+ =

ddx1---------- p ρgz+( ) b=

µ ∂2v1

∂x22

------------∂ 2v1

∂x32

------------+ b=

pρ----- V 2

2------- gz+ +=

pρ----- V 2

2------- gz e+ + + e+ h V 2

2------- gz+ += =

h e pρ-----+=



Il faut préciser ici que gz est le plus souvent négligeable devantles autres termes et peut être omis. On le prend en compte dansle cas des liquides qui circulent dans des canalisations à fortesdénivelées.

D’autre part en toutes circonstances.

Dans le cas d’un fluide isovolume, il est usuel de compter la chargeen terme de pression pour un gaz, ou de hauteur piézométrique enhydraulique : si la perte de charge est , on dira que la perte depression du gaz est et, pour le liquide (eau), la perte estde (en mètres de liquide).

4.5.2 Bilan global de l’énergie totale

Il s’explique par le premier principe de la thermodynamique appli-qué à un volume fini de fluide, en faisant apparaître l’enthalpie :

(27)

Le premier membre exploite la formule (12). Au second membre,le premier terme représente le flux de chaleur entrant par Σ, en appli-cation de la loi de Fourier (1), et dans le second terme (en W/m3)

représente une éventuelle source de chaleur volumique corres-pondant à une combustion ; le dernier terme exprime un apport

(algébrique) d’énergie mécanique par déplacement de parois d’unemachine intérieure à Λ (pompe, compresseur, ventilateur, turbine).

4.5.2.1 Dégradation de l’énergie mécanique

Le fluide étant toujours visqueux, le mouvement est à l’origined’une dégradation d’énergie mécanique qui est directement sensiblesi la paroi est adiabatique et s’il n’y a pas de source volumique dechaleur ainsi qu’un apport . Le bilan (27) en régime permanentpeut s’écrire alors en faisant apparaître la charge :

La dégradation de la charge entre entrée(s) et sortie(s), ou pertede charge, provoque simultanément un accroissement de l’énergieinterne.

Au cours d’un apport ou d’un retrait de chaleur à travers Σ, il ya partage de l’effet entre charge et énergie interne et la perte decharge due à la viscosité n’est pas toujours sensible.

4.5.2.2 État générateur. Conditions génératrices

Il est avantageux, dans les calculs, de rapporter l’énergie totaleau cas du fluide considéré comme amené fictivement au repos parune évolution isentropique : ainsi les énergies cinétique et depesanteur sont converties en enthalpie. Cet état de référence (V = 0et z = 0) est appelé état générateur et les conditions génératricesqui le caractérisent sont indicées par un astérisque : p*, ρ*, T*, h*,e* pour pression, masse volumique, température génératrices,enthalpie et énergie interne massiques génératrices. Par hypothèses = s*. Cet état générateur est référentiel dans les diagrammesthermodynamiques.

Attention, il n’y a pas de charge génératrice. L’état générateur estmodifié, au long du parcours du fluide, et le bilan (27) s’écrit :

(28)

Cette expression est avantageuse pour traiter les problèmes.

4.5.3 Bilans locaux d’énergie

On peut établir plusieurs équations aux dérivées partielles suivantqu’on s’intéresse à telle ou telle énergie.

L’équation générale du mouvement (19), couplée à l’équation (20)conduit à :

(29)

et, après avoir supposé le fluide newtonien, on obtient (22).

On ne formule aucune hypothèse sur la loi de comportement pourécrire les équations d’énergies.

Tout d’abord, pour l’énergie cinétique on multiplie scalairementtous les membres de (29) par vi (avec V 2 = vivi ) :

(30)

Pour l’énergie interne massique :

(31)

Pour l’énergie potentielle de pression, en tenant compte de (14) :

(32)

∂∂t------- gz( ) 0=

∆∆p ρ∆=

∆ g⁄

Λ

∂∂t------ ρ h V 2

2------- gz+ + dτ

Σρ h V 2

2------- gz+ + VndA+

Σ

λT,inidA Λ

ϖrdτ e Λ

∂p∂t--------dτ

Στijvinj dA+ + + +=

ϖr

e

e

Σ

ρ e+( )VndA 0=

Exemple : pour un liquide incompressible et dilatable (§ 1.3.3) :

Pour un gaz parfait (§ 1.3.4), on a avec gz ≈ 0 :

h* h V 2

2------- gz+ +=

T* T βTcp------- V

2

2------- gz++=

p*

p ρ0 V 2

2------- gz+ +=

h* h V 2

2-------+=

h* h– V 2

2------- Cp T* T–( )= =

cpγ 1–rγ

-------------= et r RM-------=

T* Tγ 1–

2rγ-------------V 2

+=

p* p 1γ 1–2rγ

------------- V 2

T -------+

γγ

1

–

------------

=

ρ

*

p

*

rT

*⁄=

Λ

ρ ∂h*∂t

-----------dτ Σ

ρh* Vn dA+ Σ

λT,ini dA Λ

ϖr dτ e++=

ρDvi

Dt----------- ρfi p,i τij,j+–=

ρ DDt-------- V

2

2------- ρfivi p,ivi τij,jvi+–=

ρ DeDt

---------- λT,i( ),i pvi,i τijvi,j ϖr++–=

ρ DDt-------- p

ρ----- Dp

Dt---------- pvi,i+=



Pour l’enthalpie massique, on additionne membre à membre (31)et (32)

(33)

De même, par addition de (32) et (30), on obtient ce qui représentel’énergie totale d’un gaz (gz ≈ 0) ; sans approximation, le biland’énergie totale est :

(34)

Dans le cas d’un fluide newtonien qui aurait ses deux coefficientsde viscosité constants :

où Φµ fonction de dissipation par viscosité, toujours positive,représente une source d’irréversibilité thermodynamiquequi résulte de la dégradation de l’énergie potentielle méca-nique en chaleur du fait de la viscosité.

D’autre part :

On porte, dans les équations (31) et (34), les expressions del’énergie interne et de l’enthalpie tirées du tableau 1. En choisissantles variables température et pression déjà apparentes dans ceséquations :

Par suite :

pour un gaz parfait βT = pχ = 1 et le bilan enthalpique s’écrit ainsi(cp = Cte ) :

(35)

4.5.4 Mouvement permanentd’un fluide non visqueux

L’écoulement est suivi loin des zones de forts gradients de vitessepour pouvoir négliger l’effet de la viscosité. La particule suit sa lignede courant stable et on utilise la dérivée particulaire mais celle-ci

est tronquée du terme . Le mouvement est décrit par l’équation

d’Euler (23), et l’équation de l’énergie cinétique (30) se simplifie, carτij = 0. La force de volume est celle de pesanteur. Après quelquesmanipulations, l’équation de l’énergie cinétique s’écrit :

(36)

On peut en déduire plusieurs résultats intéressants.

4.5.4.1 Fluide isovolume

Le mouvement étant permanent, on suppose que le fluide est nonseulement non visqueux mais qu’il est aussi isovolume (ρ = Cte etdonc vi,i = 0) :

Cela signifie que la charge est invariable ; entre deux points surla même ligne de courant :

(37)

C’est l’équation ou théorème de Bernoulli.

4.5.4.2 Écoulement isentropiqueet masse volumique variable

Dans l’équation (36) le terme pvi,i n’est pas nul ; il est lié, pour unécoulement isentropique (adiabatique et réversible thermodyna-miquement), à l’énergie interne par :

et donc (36) devient .

On voit qu’il y a conversion réversible de la charge en puissancemécanique avec changement de masse volumique. Par conséquentne jamais parler de perte de charge pour un tel fluide.

Considérons un gaz non visqueux en mouvement isentropiquepermanent ; en faisant apparaître l’enthalpie :

soit (38)

avec, par utilisation du tableau 1,

entre deux points 1 et 2 de la même ligne de courant.

L’expression (38) trouve une illustration classique dans le cas d’ungaz parfait (cp = Cte et βT = 1) ; la constante de (38) se détermine enprenant référence à l’état générateur :

or :

Ainsi :

(39)

Ce sont les relations de Barré de Saint-Venant, pour un gaz parfaiten écoulement permanent isentropique.

ρ DhDt

---------- λT,i( ),iDpDt

---------- τijvi,j ϖr++ +=

ρ DDt-------- h V 2

2------- gz + + ρ Dh*

Dt------------- λT,i( ),i

∂p∂t-------- τijvi( ),j ϖr+ + +=≡

τijvi,j µ vi,j vj,i+( )vi,jµ′µ------ vk,k( )2

+ Φµ==

τijvi( ),j Φµ µvi vi,jj 1 µ′µ------+

vk,ki++=

de cp pβρ-----– dT 1

ρ---- βT pχ–( ) Dp

Dt----------–=

dh cpdT 1ρ---- βT 1–( )dp+=

ρ DeDt

---------- ρcp βp–( ) DTDt

---------- βT pχ–( ) DpDt

----------–=

ρ DhDt

---------- ρcpDTDt

---------- βT 1–( )–DpDt

----------=

ρcpDTDt

---------- λT,i( ),i βT DpDt

---------- τijvi,j ϖr+ + +=

∂∂t--------

ρ DDt-------- p

ρ----- V 2

2------- gz+ + pvi,i+ 0=

DDt-------- p

ρ----- V 2

2------- gz+ + Dp Cte=

Dt-------------------------- 0=≡

ρ Cte=

p1

ρ--------

V12

2-------- gz1+ +

p2

ρ--------

V22

2-------- gz2+ +=≡

pvi,i ρ D

e

s Cte

= D

t -----------------------–=

DDt-------- es Cte=+( ) 0=

DDt---------- p

ρ----- es Cte=+ V 2

2-------+ D

Dt--------- hs Cte=

V 2

2-------+ 0=≡

hs Cte=V 2

2-------+ Cte=

hs Cte= p1

p2 dpρ

-------- T1

T2 cp

βT--------- dT= =

h h*–( )s Cte=V 2

2-------+ 0=

h h*–( )s Cte= cp T T*–( )s Cte= et TT*-------

ρρ*--------

γ 1–

pp*--------

γ 1–γ

-------------

= ==

V 2 2 γ

γ 1 –

------------- p * ρ * ------- 1

ρρ

* -------

γ

1

– –=

V

2

2 γγ

1 –

------------- p * ρ

* ------- 1

ρρ

*

-------

γ

1

–

γ

------------

–=



4.5.4.3 Écoulement adiabatiqueet masse volumique variable

L’équation de Bernoulli et les relations de Barré de Saint-Venantsont déduites de l’équation d’Euler. On considère maintenantl’équation (34) de l’énergie totale, laquelle est le reflet du premierprincipe de la thermodynamique et donc ne fait aucune hypothèsesur la réversibilité. Il se rencontre dans la pratique des écoulementsadiabatiques de gaz pour lesquels

l’effet de la viscosité est négli-geable

mais qui subissent localement un désordre irréversible parune onde de choc : ces écoulements ne sont pas isentropiques à latraversée de l’onde de choc. L’équation (34) se réduit à

l’équationde Thomson

:

(40)

sur toute la ligne de courant ; l’enthalpie génératrice reste inchangéeà la traversée de l’irréversibilité. Par contre le couple températureet pression génératrices est modifié dans cette traversée : il enrésulte que les formules de Barré de Saint-Venant peuvent êtreécrites de chaque côté de l’irréversibilité, mais avec des conditionsgénératrices différentes en ce qui concerne la pression et latempérature.

4.6 Utilisation des bilans globaux simplifiés

Les bilans globaux permettent d’atteindre une solution approchéequi suffit à l’ingénieur et sans recours à des calculs compliqués.L’avantage principal de cette approche est dans le fait que l’on neformule que des hypothèses sur le contour du volume de contrôlesans se préoccuper de ce qui se passe à l’intérieur. On approche dessimplifications :

1) l’écoulement est permanent,

2) l’écoulement est par tranche

(

ou piston

)

aux sections d’entréeet de sortie

: les vitesses y sont parallèles à la paroi du conduit et

leur module est uniforme, ainsi que toutes les propriétésdu fluide dans chacune de ces sections.

Puisque

V

est uniforme dans la section d’aire

A

,

V

n’est autre que

la

vitesse débitante

: le débit-masse (en kg/s) est et l’éner-

gie cinétique

V

2

/2 est uniforme dans la section. Cette approximationest d’autant plus acceptable que l’écoulement réel est turbulent(voir § 9.1), mais elle n’apporte pas une grave distorsion sur les résul-tats, car l’énergie cinétique est généralement modérée en compa-raison de l’énergie de pression

p

/

ρ

.

3) L’apport (ou le retrait) l’énergie mécanique

par une machine

est localisé à celle-ci

qui est considérée comme une

boîte noire

donton connaît les caractéristiques de fonctionnement. Dans l’analysesimplifiée du bilan, on suppose qu’il y a un brusque changementdes propriétés du fluide dans une section droite du circuit, en tenantcompte des performances de la machine.

4) L’apport (ou le retrait) d’énergie thermique

Q

est réparti surune certaine étendue du volume de contrôle

et on peut, selon leproblème posé, être obligé de fractionner ce volume en zonesélémentaires et considérer une incrémentation des propriétés dufluide dans le sens du parcours.

Pour résoudre le problème du régime permanent, on dispose deséquations suivantes :

— équation d’état du fluide ;— conservation de la masse :

— quantité de mouvement :

— énergie totale :

La solution étant obtenue, on peut évaluer les débits de chargeet d’entropie aux sections d’entrée et de sortie ; si on le désire, onpeut aussi s’intéresser aux débits d’exergie, celle-ci étant définie par :

ex

=

h

* –

T

ext

s

*

T

ext

étant la température ambiante extérieure.

4.7 Traitement des équationsde bilan local

Il s’agit de déterminer, à partir des équations aux dérivéespartielles écrites plus haut, les champs de vitesse (3 composantes),de masse volumique, de pression et de température. On procèdepar intégration numérique d’équations en nombre nécessaire et suf-fisant, soit, outre l’équation d’état :

— l’équation de bilan de masse ;— l’équation du mouvement (en fait 3 équations par projection

sur les axes du repère) ;— l’équation du bilan d’énergie interne ou, préférentiellement,

d’enthalpie.

On doit préciser les conditions aux limites sur le contour d’inté-gration ainsi que la condition initiale si le régime n’est pas per-manent. Les champs étant connus, il est possible de répondre à toutequestion sur les autres grandeurs caractéristiques de l’écoulement.

Les calculs sont actuellement facilités par l’emploi de logiciels plusou moins performants, disponibles sur le marché informatique.

5. Similitude

Depuis Newton, Fourier, Ampère et beaucoup d’autres, la questiondes dimensions des entités du monde physique a été âprementdébattue : une entité a-t-elle une dimension intrinsèque ? On saitaujourd’hui que c’est la nature de l’entité qui est intrinsèque et quela dimension est variable selon le système d’unités choisi en réfé-rence pour la décrire. La convention internationale a fixé le systèmeinternational d’unités SI mais, pour traiter de la similitude, il fautoccasionnellement s’affranchir de cette obligation.

La similitude a pris une grande importance lorsqu’en 1883O. Reynolds a trouvé expérimentalement qu’un écoulement d’eaudans un tuyau change de structure lorsqu’un groupement sansdimension de grandeurs physiques, appelé depuis nombre deReynolds, prend une certaine valeur critique. Et au début du XX

e

siècle, l’école allemande de mécanique des fluides a développé lareprésentation des phénomènes à travers des groupements sansdimension.

Les concepts de l’analyse dimensionnelle ont été clarifiés et lesdeux voies pratiques qui se sont développées sont résumées ici :tout d’abord la réduction des équations à une forme adimensionnelleet ensuite les essais sur maquettes.

h* h V 2

2-------+ Cte=≡

V V=

M ρAV=

e

Σ M( )sorties Σ M( )entrées– 0=

Σ MV( )sorties Σ MV( )entrées– F ext=

Σ Mh*( )sorties Σ Mh*( )entrées– Q e+=



5.1 Système auxiliaire d’unités

Une équation quelconque est dimensionnellement homogène,c’est-à-dire que tous ses monômes ont la même dimension. Pourmettre cette équation sous une forme adimensionnelle, on définit,à partir de grandeurs physiques, un système auxiliaire d’unités quidoit être cohérent par rapport au système fondamental longueur L,masse M, temps et température T du système légal (l’ampèren’intervenant pas ici).

Soit Gi (i = 1, 2, 3, 4) les quatre grandeurs physiques auxiliaireschoisies. On connaît les dimensions de Gi par rapport aux unitésprimaires L, M, , T :

et on peut dresser le tableau carré 4 × 4 de correspondance des Gipar rapport aux unités primaires :

Pour que le système auxiliaire Gi soit cohérent, il faut et il suffitque les quatre Gi soient dimensionnellement indépendants,c’est-à-dire que le déterminant du tableau carré soit différent dezéro. S’il en est ainsi, toute grandeur physique P de dimension :

dans le système primaire, a une dimension unique dans le systèmeauxiliaire des Gi :

avec les αi solutions du système linéaire d’équations :

5.2 Équations écritessous la forme adimensionnelle

On considère le système auxiliaire L0 , V0 , ρ0 , T0 de l’exempleprécédent (§ 5.1). Dans l’équation (14) de conservation de masseréécrite ici :

les deux monômes ont pour dimension ρ0V0 /L0 . On divise chacund’eux par ρ0V0 /L0 pour obtenir une équation adimensionnée ; onobtient alors :

Ainsi apparaissent les variables sans dimension :

ρ+ = ρ/ρ0 , v+i = vi /V0 , t+ = tV0 /L0 et x+i = xi /L0

L’équation réduite s’écrit :

On opère de la même façon pour l’équation du mouvement (22)

qui, dans le système auxiliaire, a la dimension :

Les deux coefficients de viscosité µ et µ’ ne varient pratiquementque par rapport à la température réduite T+ = T/T0 :

µ = µ0ϕ (T+)

et

où ϕ et ϕ’ sont sans dimension.

Divisons chaque monôme par pour réduire l’équation

du mouvement. Sans entrer dans les détails, on obtient :

On voit apparaître, outre , trois groupementsadimensionnels :

(lié à g ) nombre de Froude ;

Re = ρ0V0L0 /µ0 (lié à µ0) nombre de Reynolds ;(lié à ) second nombre de Reynolds,

qui n’est pas indépendant de Re, car est proportionnel à µ0 .

L’équation réduite du mouvement s’écrit :

Exemple : si les grandeurs physiques auxiliaires sont : une longueurL0 caractérisant une dimension du volume, V0 une vitesse en un pointparticulier, ρ0 et T0 une masse volumique et une température en cepoint, on trouvera par cette méthode que, dans le système auxiliaire, la

pression a la dimension de , le temps, la dimension de (V0/L0)–1 ;

la viscosité µ a la dimension de ρ0V0L0 et la capacité thermique

massique celle de .

Autrement dit le groupements :

sont adimensionnels.La réduction des équations et les essais sur maquette relèvent de ces

considérations très élémentaires.

t

t

Gi[ ] LaiM

bitciT

di=

G1 G2 G3 G4 Pi...

L a1 a2 a3 a4 x

M b1 b2 b3 b4 y

t c1 c2 c3 c4 z

T d1 d2 d3 d4 w

Pi[ ] LxMyt zT w=

Pi[ ] G1α1G2

α2G3α3G4

α4=

a1α1 a2α2 a 3α3 a4α4+ + + x=

b1α1 ................... b4α4+ + y=

c1α1 .................... c4α4+ + z=

d1α1 .................... d4α4+ + w=

ρ0V 02

V02 T0⁄

p

ρ0V02

--------------- ,tV0

L0---------- , µ

ρ0V0L0--------------------- et

cpT0

V02

------------

DρDt--------- ρ

∂vi

∂xi---------+ 0=

D ρ ρ0⁄( )D tV0 L0⁄( )------------------------------ ρ

ρ0------

∂ vi V0⁄( )∂ xi L0⁄( )

----------------------------+ 0=

Dρ+

Dt+----------- ρ+ ∂v+i

∂x+i------------ + 0=

V02ρ0 L0⁄

ρDvi

Dt----------- ρ g ∂ z ∂

x i ---------– ∂ p

∂

x

i --------- ∂

∂ x

i

--------- µ ′ v k,k ( ) 2 ∂∂

x

j --------- µ ij ( ) ++–=

µ′ µ′0 ϕ′ T+( )=

V02ρ0 L0⁄

ρ+Dv+i

Dt+--------------

gL

0 V

02 ----------- – ρ +

∂

z

+ ∂ x

+

i

------------ µ

′

0 ρ

0

V

0

L

0 --------------------- ∂

∂ x

+

i

------------ ϕ ′ v + k , k ( ) +=

∂

p

ρ

0 V

02

⁄( )

∂ x

+i ---------------------------------– 2

µ

0 ρ 0

V

0

L

0

--------------------- ∂∂ x

+

j

------------- ϕ + ij ( ) +

p+ p ρ0V 02⁄=

Fr V0 gL0( )12----

⁄=

Re ′ ρ0V0L0 µ′0⁄= µ′0µ′0

ρ+DV+i

Dt+--------------

1 Fr

2 ----------– ρ +

∂

z

+ ∂ x

+

i

------------- ∂

p

+ ∂

x

+

i ------------

1 Re ′ ---------- ∂

∂ x +

i

------------ ϕ ′ v + k , k ( ) +–=

+ 2

Re

-------- ∂∂ x

+

j ------------- ϕ + ij ( )



En ce qui concerne l’équation de l’enthalpie massique (35) dont

la dimension est , on suppose qu’il n’y pas de source interne

d’énergie

ϖ

r

. Deux nouveaux groupements adimensionnelsapparaissent :

nombre de Prandtl

nombre d’Eckert

En posant et

λ

=

λ

0

ξ

(

T

+

) :

Si

c

p

et

λ

sont constants,

Ψ

=

ξ

= 1 et, s’il s’agit d’un gaz parfait,

β

T

= 1.

On appelle

nombre de Péclet

Pe

le produit

Re Pr

.

L’équation d’état, les conditions aux limites et la condition initialesont réduites sans peine. On retrouve ainsi, sous forme adimen-sionnelle, le système d’équations qui définit le problème (§ 4.6). Larésolution ne peut qu’être numérique car il y a des couplages entreles équations ; elle donne les champs suivants :

Ces champs sont fonction des variables réduites

x

+

i

,

t

+

et des

para-mètres de similitude

(

Fr

,

Re, Pr, Ec ), auxquels on a donné des valeursnumériques particulières pour conduire les calculs. La solutionobtenue est valable quelles que soient les circonstances décrites parles valeurs particulières de L0 , ρ0 , V0 , T0 tant que les paramètresde similitude gardent les valeurs fixées. Bien entendu, les géométriesdoivent rester en similitude exacte puisqu’on ne s’est donné qu’uneseule échelle L0 de longueur.

Convection thermique

Lorsque les propriétés thermophysiques du fluide sont constantes(c’est-à-dire indépendantes de la température), on préfère consi-dérer, à la place de T0 , un écart de température ∆T0 entre deux pointsparticuliers, l’un pris sur une surface solide et l’autre dans le fluide.Le nombre d’Eckert devient :

et la température réduite :

θ+ = (T – T0)/∆T0

On change aussi de système auxiliaire en prenant L0 , ρ0 , ∆T0 etµ0 ; alors, on fait apparaître des nouveaux paramètres de similitudecomme le nombre de Grashof :

Ce paramètre peut être exprimé comme une combinaison d’autresnombres :

Gr = Re2 (β∆T0)/Fr 2

Il en est ainsi chaque fois qu’on change de système auxiliaire :des groupements apparaissent mais ils n’apportent pas une infor-mation nouvelle : c’est l’éclairage qui est modifié.

L’avantage du système L0 , ρ0 , ∆T0 , µ0 est de faire apparaîtrel’influence du champ de température sur le mouvement du fluide.C’est le domaine de la convection thermique, partagé en troisrégions :

— convection forcée, si l’effet des forces d’Archimède estnégligeable ;

— convection mixte, si cet effet est comparable à celui des forcesd’inertie ;

— convection naturelle, si les vitesses sont très faibles ou si lefluide se déplace dans un espace clos.

Un groupement sans dimension apparaît : c’est le nombre deNusselt, qui est lié à la densité de flux thermique :

Il n’est pas un paramètre de similitude car il varie dans l’espaceet dans le temps.

Enfin, si ∆T0 /T0 reste toujours très petit, le fluide peut être consi-déré comme isovolume et le champ des vitesses se détermine indé-pendamment de celui des températures (convection forcée).

5.3 Expérimentation sur maquette

On a considéré la réduction d’un problème mis en équations,opération avantageuse dans le calcul numérique. L’autre aspect quia fait le succès de la similitude est la possibilité d’atteindre, par voieexpérimentale, la solution approchée d’un problème physique degrande ampleur par le nombre des paramètres en jeu. Un résultatest obtenu sans que la théorie ait été formulée exactement. Lespremières démonstrations pratiques ont été faites dans les souf-fleries aérodynamiques, les bassins de carène et les installationspilotes du génie chimique.

L’idée générale est illustrée ainsi : une loi est supposée relier ngrandeurs physiques différentes :

ϕ (G1 , G2 , G3 , G4 , ..., Gi , ..., Gn ) = 0

On met aux quatre premiers rangs les grandeurs dont l’inter-vention est certaine et/ou dont la variation serait coûteuse ou difficileà réaliser (par exemple L0 , g ). Pi est la grandeur qui est reliée explici-tement aux autres grandeurs. À partir du système auxiliaire d’unitésG1 , G2 , G3 , G4 , on construit les groupements sans dimension πi ,

relatifs aux autres grandeurs (§ 5.1) soit .

Puisque les Gi ont des significations physiques différentes, les π i sontdifférents eux aussi. La loi est alors une relation entre n – 4 grou-pements π :

π5 = f (π6 , π7 , ..., πi , ..., πn ) (41)

Cela suppose que le déterminant du tableau dimensionnel 4 × 4(§ 5.1)) n’est pas nul. Si l’on ne peut trouver que 3 grandeurs dimen-sionnellement indépendantes parmi les n grandeurs, la loi réduiteconcerne n – 3 groupements πi .

Il est particulièrement avantageux de diminuer de quatre unitésle nombre de degrés de liberté. L’expérimentation est conduite pourdéterminer l’influence isolée de chaque groupement πi , les autresétant alors maintenus constants pendant que πi varie. Il est ainsipossible de déceler les groupements les plus actifs.

Supposons que l’expression (41) concerne la loi sur le modèle (lamaquette) ; la loi sur le prototype s’écrit avec la même fonctionnelle :

(42)

On peut calculer les valeurs numériques des au second

membre de (42), car les sont des données, mais on ne connaît

pas la fonctionnelle f. Le principe des essais sur modèle est lesuivant : on donne à chaque paramètre πi du second membre

de (41) la valeur qu’a son homologue dans le prototype. Il en

résulte évidemment . La mesure de sur la maquette

conduit à l’évaluation de inconnue.

ρ0V 03 L0⁄

Pr cp0µ0 λ0⁄=

Ec V 02 cp0

T0⁄=

cp cp0Ψ T+( )=

ρ+ΨDT+

Dt+------------ 1

RePr--------------- ∂

∂ x

+

i ------------ ξ

∂

T

+ ∂ x

+

i

------------ β T ( ) Ec D

p

+

D

t

+ ------------ Ec

Re -------- Φ µ + +=

v+i viV0= ρ+ ρρ0= p+ pρ0V02

= T+ TT0=

Ec V 02 cp 0

∆T0⁄=

Gr gL03 β∆T0 µ0 ρ0⁄( )2⁄=

Nu∂T+

∂n+-----------

qL0

λ ∆T0---------------=≡

πi Pi G1α1,G2

α2,G3α3,G4

α4( )⁄=

π′5 f π′6 ,π′7 ,...,π′i ,...,π′n( )=

π′iG ′i

π′iπ5 π′5= P ′5

P ′5



Pour illustration, revenons à l’exemple du paragraphe 5.2 pour nes’intéresser qu’à la pression en un point de l’écoulement supposéisovolume et en régime permanent (

P

5

=

p

) :

Pour établir la similitude, on choisit l’échelle de la maquette et lefluide. On réalise

Fr

=

Fr

’,

Re

=

Re

’,

Pr = Pr ’, Ec = Ec ’. Il en résulte :

et donc

On imagine aisément qu’on ne pourra pas vraiment réaliser simul-tanément la similitude sur les quatre couples de paramètres : oneffectue alors une similitude approchée en ne considérant que lesparamètres les plus actifs et en négligeant ceux qui interviennentavec moins d’importance. Pour fixer les ordres de grandeur relatifs,on peut procéder à une recherche expérimentale méthodique surmaquette (ce qui revient à préciser la fonctionnelle f ) ou bien faireintervenir, si on le peut, une logique basée sur une longue pratiquede la mécanique des fluides.

L’analyse de la similitude s’appuie sur des idées très simples, maisson application expérimentale nécessite beaucoup de savoir-faire.

6. Écoulements laminaireset écoulements turbulents

Quelques mois après que Reynolds eut découvert l’apparitionsoudaine d’un changement de la structure de l’écoulement perma-nent dans un tube lorsque la vitesse était augmentée, Couette fit uneconstatation du même genre pour un fluide contenu entre deuxcylindres concentriques dont l’un tourne à vitesse constante. Et parla suite, l’observation de l’existence de deux régimes a été faite surtoute circonstance d’écoulement. Le régime à vitesse modérée estdit laminaire tandis que l’autre est dit turbulent, pour marquer lefait d’un brassage du fluide qui se superpose au mouvementprincipal. Cela s’observe très bien à l’échelle météorologique : unegirouette marquant une direction à peu près constante dans le temps,avec oscillations autour de la moyenne. L’intensité du vent est elle-même variable dans le temps avec un module de vitesse constanten moyenne. Enfin le brassage est lui-même observable par le mou-vement complexe des nuages.

En l’absence de conditions variables imposées au fluide, le régimeturbulent est un régime permanent en moyenne, comme énoncé auparagraphe 3.6. Le brassage du fluide s’opère à différentes échelles :par exemple pendant que des nuages se bousculent dans leurmouvement, il y a interpénétration des masses à l’intérieur d’unnuage. Toutefois la plus petite échelle de la turbulence est très grandevis-à-vis du libre parcours moyen de l’agitation moléculaire.

6.1 Modélisation statistiquede la turbulence

Le régime laminaire obéit sans aucune restriction aux équationsécrites précédemment tandis que le régime turbulent n’obéitqu’instantanément et pas du tout sur un laps de temps que l’onchoisit suffisamment grand pour couvrir toutes les échelles del’agitation turbulente. On définit alors la valeur instantanée d’unegrandeur quelconque (vitesse, masse volumique, température, etc.)par la somme :

(43)

dans laquelle est la valeur moyenne définie par (§ 3.6) :

G ’(t ) est la fluctuation dont la valeur moyenne estnulle.

Lois de probabilité appliquées à la turbulence

Si l’on réalise N expériences sur la même installation avec desconditions permanentes identiques, les écoulements turbulents nesont identiques que par leurs moyennes, définies localement en tousles points, en faisant la moyenne arithmétique de mesures effectuéesdans les N expériences. Si N est suffisamment grand, en un mêmepoint, cette moyenne est égale à la moyenne dans la durée de temps

suffisamment longue.

D’après ce qui vient d’être dit, un écoulement turbulent est statis-tiquement défini et l’on peut associer une loi de probabilité à toutegrandeur. Considérons la fluctuation de vitesse en un point M

fixe. Ayant effectué N mesures, on constate qu’il y a n mesures dontles résultats sont à l’intérieur d’un intervalle donné

et par définition :

où p est ici la densité de probabilité de .

Connaissant , on peut calculer la probabilité pour qu’une

mesure donne un résultat inférieur ou égal à une valeur donnée ;

cette probabilité :

est appelée fonction de distribution de ; évidemment F(+ ∞) = 1.

On peut calculer aussi la variance de :

qui n’est pas nulle et est la valeur quadratique moyenne de .

Plus généralement, on peut effectuer, pour un même écoulement,des couples simultanés de mesures sur deux fluctuations degrandeurs ξ et η en deux points différents A et B. Sur les N couplesde mesures, il y a n couples dont les résultats sont à l’intérieur dedeux intervalles donnés ; la

densité de probabilité liée des variations aléatoires est

telle que :

Connaissant , on peut calculer le moment du secondordre :

Les fluctuations sont de natures différentes entre vitesse, pression,température, masse volumique, ou peuvent être de même nature ;

par exemple , pour deux composantes de la fluctuation ,

est un tenseur du second ordre. Au moment du second ordre, onassocie un coefficient d’intercorrélation :

dont la valeur est une mesure de la cohérence de l’écoulement entreA et B.

π5 p ρ0V02⁄ f Fr,Re,Pr,Ec( )= =

p ρ0V02⁄ p ′ ρ′0 V ′

02⁄=

p ′ ρ′0 ρ0⁄( ) V ′0 V0⁄( )2p=

t

G G G ′ t( )+=

G

G 1t-----

t

t t+

Gdt=

t

v ′i

v ′i ,v ′i dv ′i+[ ]

n N⁄ p v ′i( )dv ′i=

v ′ip v ′i( )

v ′i

F v ′i( ) – ∞

v ′ip v ′i( )dv ′i=

v ′iv ′i

v ′i2

– ∞

+∞

v′i2p v ′i( )dv ′i=

v ′i2 v ′i

ξ′A

,ξ′A d+ ξ′A[ ] et η′B ,η′B d+ η′B[ ]

ξ′A et η′B

n N⁄ p ξ′A ,η′B( )dξ′A dη′B=

p ξ′A ,η′B( )

ξ ′A η ′B – ∞

+∞– ∞

+∞

ξ′A η′B( )pdξ′Adη′B=

v ′1 v ′2 v ′i

RξAηBξ′A η′B ξ′

A2 η′

B2⋅ =



Les mesures d’intercorrélation ont surtout porté sur les vitesses.Lorsque A restant fixe, on éloigne B, les coefficients de corrélation

tendent tous vers zéro et si, pour , toutes les corré-

lations sont nulles, on dit que L est la macroéchelle de la turbulenceen A. Si, au contraire, on rapproche B de A, on constate que les

tendent vers 1 et, lorsqu’ils sont tous égaux à 1 (par exemple

à 1 % près) pour , on dit que λ est la microéchelle de la

turbulence. On se limite ici à l’exploitation physique, mais il faut pré-ciser que L et λ ont des définitions mathématiques intrinsèquesstrictes.

On peut effectuer une étude statistique en mesurant en un seulpoint P l’évolution de la fluctuation ξP et considérer tous les couplesde mesures décalés d’un intervalle de temps t ; on définit le coef-ficient d’autocorrélation :

et une macroéchelle des temps ainsi qu’une microéchelle des tempsau point P. Le laps de temps dont il a été question plus haut estévidemment supérieur à la macroéchelle des temps.

Il est enfin possible d’envisager des mesures de corrélation spatio-temporelle, c’est-à-dire des couples de fluctuations en deux pointsdifférents à des instants décalés. Cette idée contient des informationssupplémentaires intéressantes si l’on opère sur une ligne moyennede courant : la valeur du coefficient de corrélation renseigne sur laperte d’identité d’un volume du fluide au cours du mouvement.

L’analyse statistique de la turbulence a été possible grâce àl’anémométrie à fils chauds et au traitement analogique des signauxde l’anémomètre. En plus des coefficients de corrélation, on évaluel’énergie cinétique (massique) de turbulence :

et l’intensité globale de turbulence (ou taux global de turbulence)

L’anisotropie de la turbulence est caractérisée par les trois inten-

sités qui peuvent différer de 20

à 30 % dans les régions de fluide proches d’une paroi.

6.2 Équation de bilanaux valeurs moyennes

On étend la décomposition (43) à tous les termes des équationsde bilan total et l’on applique la règle de la moyenne ; l’écoulementest supposé permanent en moyenne :

Ainsi, pour le bilan de masse, conduit à :

Si le fluide est isovolume, on a deux relations :

dont seule la première est exploitable avec les autres bilans.

Dans le bilan de quantité de mouvement, on suppose que le fluideest isovolume et que la viscosité est constante (24).

La moyenne de la dérivée particulaire conduit à :

qui s’écrit en écriture allégée utilisée dans ce paragraphe :

et l’équation aux moyennes est :

avec tenseur des contraintes moyennes de viscosité (21),

tenseur de Reynolds qui fait intervenir les fluctuationsde vitesse.

L’équation du bilan enthalpique (35) peut être traitée de la mêmefaçon. Dans les cas fréquents où il n’y a pas de source interne répartiedans le volume et où le terme βT est petit devant la fonction dedissipation visqueuse Φµ , on obtient :

avec am = λ/ρcp diffusivité thermique moléculaire du fluide.

Cette méthode d’approche par les moyennes déplace les difficultéspremières, car elle fait apparaître, dans chaque équation, un nouveauterme qui est une inconnue. On est obligé de formuler une hypothèsedite de fermeture pour lever le déficit d’équations par rapport aunombre d’inconnues.

6.2.1 Hypothèses de fermeture

Les premiers essais ont consisté à relier, par des formules empi-riques, les corrélations inconnues à l’écoulement moyen. Boussi-nesq (1877) a utilisé :

avec νt coefficient de viscosité cinématique turbulente, supposé uni-forme dans tout le fluide. C. Béguier, dans de nombreuses expé-riences a montré la défaillance de cette relation dans les écoulementsplans dissymétriques. Prandtl (1925) a introduit la notion de longueurde mélange pour des écoulements moyens plans : il a écrit :

la direction Ox1 étant celle de l’écoulement principal et Ox2 la direc-tion orthogonale. Encore faut-il préciser analytiquement la loi devariation spatiale de .

Une autre hypothèse dite de Prandtl-Kolmogorov (1945) est desupposer νt proportionnel à la racine carrée de l’énergie cinétique

de turbulence, , la longueur étant proportionnelle à la

macroéchelle locale.

Rvi Avj BAB L>

Rvi Avj B

AB λ

RξP t( ) ξ ′P

t0( )ξ ′P t0 t+( ) ξ′P2=

t

k 12----v ′i v ′i=

It2kV

----------- 2kvi vi

----------12----

= =

v ′12( )

12----

v1⁄ , v ′22( )

12----

v2⁄ et v ′32( )

12----

v3⁄

∂ξ′∂t-------- ∂ξ′

∂t---------- 0= =

∂ ξ′η′( )∂t

------------------- 0=

ξ,i( ) ∂ξ∂xi-------- ∂ ξ

∂xi--------- ξ( ),i= = =

ξη( ),i ∂ ξη( )∂xi

---------------- ξ η( ),i ξ′η′( ),i+=

ρvi( ),i[ ] 0=

ρ vi( ),i ρ′v ′i( ),i+ 0=

vi( ),i 0 et v ′i( ),i 0==

vjvi,j( ) vj vi( ),j υ′j v ′i( ),j+=

vj vi,j vj vi,j v ′j v ′i,j+=

ρvj vi,j p , i – τ ij ρ v ′ i v ′ j – ( ) , j += ^

τ ij

ρv ′i v ′j

vi T ,i am T ,i v ′i T ′–[ ],iΦµρcp-----------+=

v ′ i v ′ j – ν t v i,j v j,i + ( ) =

νt 2 v 1,2=

νt k12----

=



En ce qui concerne le terme on introduit la diffu-

sivité thermique

a

t

; l’hypothèse la plus simple est d’admettre qu’elleest proportionnelle à

ν

t

. Le rapport

ν

t

/

a

t

est appelé nombre de

Prandtl turbulent Prt = νt /at . On s’accorde a peu près avec l’expé-rience pour les valeurs de Prt entre 0,9 et 1, sauf pour les jets oùPrt est à 0,5 (jets plans) et 0,7 (jets axisymétriques).

Les équations simplifiées à résoudre sont alors les suivantes :

Sur la paroi lisse νt = 0 et, en zone turbulente, νt >> am .

La modélisation des écoulements turbulents est ainsi simplifiéeà l’extrême, mais elle peut suffire à des études d’ingénieur.

6.2.2 Modèle à deux équations supplémentaires

Depuis l’apparition des ordinateurs dont les moyens de calcul sontde plus en plus puissants, on essaie de modéliser les écoulementsturbulents, non seulement pour obtenir les champs des grandeursmoyennes mais aussi ceux des corrélations. Pour cela, on utilise deséquations supplémentaires. Le modèle le plus répandu actuellementest le modèle k – ε ; il constitue un moyen terme acceptable entretemps de calcul et richesse d’information. On écrit sur k, énergiecinétique de turbulence, une équation de bilan dans laquelle apparaîtun nouveau terme :

appelé dissipation (de l’énergie cinétique de turbulence). On établitune autre équation de bilan sur ε avec des simplifications pour faci-liter l’exploitation. Ces deux équations à deux nouvelles inconnuesk et ε permettent, par une formule empirique, l’estimation de :

où Cµ est une des constantes du modèle.

Ce modèle k – ε permet une représentation acceptable des écoule-ments turbulents dans des configurations spécifiques en le raccor-dant à une loi de paroi (§ 7.2) qui rattache le modèle à l’écoulementle long des parois solides. Le modèle contient un jeu de constantessélectionnées par comparaison des résultats du calcul avec ceux desmesures expérimentales. Ce jeu de constantes devant être légè-rement modifié d’une configuration à une autre, on conclut que lemodèle k – ε n’est pas universel malgré son degré de sophistication.Beaucoup d’études sont conduites pour le rendre plus performant,toutefois le modèle k – ε est accessible actuellement dans les logi-ciels commercialisés.

6.2.3 Estimation de la moyenne selon A. Favre

Pour aborder les écoulements de fluides compressibles, Favre autilisé la décomposition d’une grandeur volumique instantanéeselon seulement deux termes :

tout en conservant

La pseudofluctuation a une moyenne non nulle car

La modélisation basée sur cette décomposition un peu artificiellea conduit à des résultats numériques qui s’approchent assez biende la réalité.

Nous ne pouvons terminer ce paragraphe sans évoquer les pointssuivants.

Tous les laboratoires universitaires et les centres de rechercheappliquée disposent de nombreux modèles qui diffèrent les uns desautres par les hypothèses de fermeture qui peuvent être variées àl’infini. Les simplifications empiriques introduites sont plus ou moinsacceptables dans le cadre de l’objectif poursuivi et des moyens decalcul disponibles.

Actuellement, on commence à traiter numériquement lesécoulements turbulents à faible nombre de Reynolds sans qu’il soitnécessaire de recourir à des hypothèses de fermeture associées auxéquations de Navier-Stokes et de l’énergie. Il est envisagé de reculerles limites en nombre de Reynolds grâce aux moyens de calcul deplus en plus puissants à long terme. Mais on peut penser que, si satis-faction est obtenue un jour dans une telle approche, les bureauxd’études garderont néanmoins avantage, dans les applications pra-tiques, à utiliser une modélisation approchée, concise et adaptée autype de problème étudié.

7. Couche limiteLorsqu’un fluide se déplace en contournant un obstacle fixe, les

champs de vitesse et de pression sont perturbés par ce dernier. Sila vitesse au loin est petite, l’effet de la viscosité, qui est l’adhérencedu fluide sur la surface, se traduit par des faibles gradients pariétauxde la vitesse et ces gradients se font sentir légèrement mais très loinde l’obstacle. Si au contraire la vitesse est grande, le freinage à laparoi est intense et les gradients pariétaux élevés, mais la viscositécontribue à leur décroissance rapide avec la distance à la surface.Dans ce dernier cas, il existe une zone de fluide contiguë appeléecouche limite dynamique, dans laquelle se produit l’accommodationentre la nullité de la vitesse (sur la paroi) et la pleine vitesse localedu fluide libre, là où les gradients de vitesse sont si modérés quele fluide peut être considéré, en première approximation, commesans viscosité (§ 4.4.1). La couche limite dynamique est une zonedans laquelle la rotationnalité est très forte à la paroi et s’estompeà la frontière ; on schématise en parlant d’une frontière et d’uneépaisseur de couche limite dynamique, bien que cela ne soit qu’unecaricature de la réalité, afin de faciliter les calculs. L’expérimentationmontre toutefois que les phénomènes sont bien représentés.

Si l’obstacle n’a pas la même température que le fluide, il existeaussi une couche limite thermique dans laquelle la température variedepuis la température de la surface jusqu’à la température du fluidelibre. L’épaisseur de cette couche limite thermique n’est pas cellede la couche dynamique : elle peut être plus grande (métaux liquides)ou plus petite (liquides en général) et à peu près égale pour les gazà pression ordinaire. On évoque l’aspect thermique pour bienmontrer que la physionomie de l’écoulement général est condi-tionné, par ce qui se passe au voisinage immédiat de l’obstacle etaussi que le traitement mathématique de la couche limite dynamiquene peut être isolé de celui de la couche limite thermique que parl’hypothèse d’une viscosité indépendante de la température, hypo-thèse à justifier. Il ne sera question dans la suite que de la couchelimite dynamique (donc µ = Cte ).

7.1 Épaisseurs de la couche limite bidimensionnelle

Pour étudier l’écoulement dans la couche limite (dynamique), onutilise le système de coordonnées curvilignes qui suit le périmètrede la section droite d’un obstacle cylindrique. La position d’un point

v ′i T ′,i at T ,i=

vj v i,j p ,i – ρ ⁄ ν ν t + ( ) v i,j v j,i + ( )[ ] , j += ^

v

i

T

,

i

a

m

ν

t

Pr

t

-------

T

,

i

+

,

i

=

k –

ε νv ′i,j v ′i,j=

νt Cµk 2ε=

ρξ ρξ ρξ~

+= avec ρξ~

0=

ρ ρ ρ′ ρ ′ 0=( )+=

ξ~

ξ~ ξ

ρξρ

--------–=



M dans la couche limite est définie par son ordonnée

y

comptée surla normale PM à la paroi (figure

2

) et par l’abscisse curviligne

x

dupoint P, comptée suivant le périmètre à partir du point O. La vitesseen M a pour seules composantes

u

et

v

. Sur la surface en

y

= 0,

u

=

v

= 0 et, par convention, on définit l’

épaisseur de couche limite

δ

comme correspondant à une composante

u

égale à 0,99

U

,

U

étantla composante de la vitesse du fluide libre à l’aplomb de P. Pour laclarté de la figure

2

, on dilate l’épaisseur

δ

, mais en fait elle n’estqu’une longueur très petite devant les dimensions de l’obstacle etdevant le rayon de courbure de la surface en P ; on admet que lacomposante v est partout petite devant u et que les dérivées parrapport à

x

sont petites devant celles par rapport à

y

:

ce sont les

hypothèses de couche limite

.

Dans les calculs, il est commode d’introduire deux autresépaisseurs :

appelée

épaisseur de déplacement

, et :

appelé

épaisseur de quantité de mouvement

.

On définit le

rapport de forme

:

H

=

δ

1

/

δ

2

qui a des valeurs différentes suivant que la couche limite est lami-naire ou turbulente.

7.2 Couches limites laminaireet turbulente

Comme tout écoulement libre, les couches limites n’échappent pasà la distinction entre laminaire et turbulent. Une même couche limitepeut posséder successivement les deux structures : laminaire à sanaissance (à

x

= 0), elle devient le siège d’instabilités après unecertaine longueur de parcours suivant

x

, ces instabilités, de plus enplus nombreuses, s’organisent en une structure globalement stable,de couche limite turbulente.

À partir des observations expérimentales de celle-ci, on distinguetrois sous-couches à l’intérieur de

δ

, qui correspondent à des loisde variation différentes de la composante

u

en fonction de

y

:— une

sous-couche visqueuse

, dans laquelle existe un gradientmoyen de vitesse avec fluctuations mais où l’effet de la viscositéest total ;

— une

couche interne

, dans laquelle l’effet de la turbulence joueun rôle de plus en plus fort quand la distance à la paroi augmente(on l’appelle aussi

zone logarithmique

) ;— enfin, la

couche externe

, qui couvre 80 % de l’épaisseur

δ

et

dans laquelle le gradient est faible parce que la turbulence joue

pleinement son rôle qui est d’uniformiser la quantité de mouvementmoyen.

La loi de variation de

u

en fonction de

y

, pour la sous-couchevisqueuse et la sous-couche intermédiaire, est appelée

loi de paroi

,cela pour marquer la différence avec la

loi de vitesse déficitaire

quicorrespond à la sous-couche externe, zone d’accommodation entrela loi de paroi et les équations du fluide libre.

Dans les problèmes classiques connus, l’écoulement libre possèdeune direction principale fixe par rapport à l’obstacle. L’épaisseur

δ

(

x

)est en rapport avec la longueur de ce dernier mais elle reste faible :pour un navire de 100 m de longueur,

δ

est de l’ordre du mètre.

Il faut évoquer la couche limite de l’atmosphère planétairesupposée sans perturbations thermiques, qui a une physionomieparticulière du fait de la rotation de la Terre. La loi de paroi estidentique à celle des problèmes classiques et la direction du venty varie peu avec l’altitude : la hauteur de la couche interne estinférieure à 100 m. La couche externe est spécifique car elle est lesiège du raccordement, en module et en direction, entre le vent àla frontière de la couche interne et celui de l’écoulement libre soumisà la force de Coriolis. Cette couche externe est dite

spirale

pourmarquer la rotation progressive du vent avec l’altitude, et on prenden considération une loi particulière de vitesse déficitaire. La hauteurtotale de la couche limite est de l’ordre de 1 000 m, valeur qui restemodérée par rapport à la hauteur de la troposphère (11 km) et aurayon de la Terre.

7.3 Équations de la couche limite bidimensionnelle

7.3.1 Couche limite laminaire

À partir des hypothèses de couche limite, Prandtl a discuté del’ordre relatif des grandeurs des termes de l’

équation de Navier-Stokes

près de la paroi (§ 4.4.2) ; il a proposé

(44)

(45)

avec

(46)

δ1 0

∞

1 uU-----– dy

0

δ

1 uU-----– dy≈=

δ2 0

∞uU----- 1 u

U----- – dy

0

δuU----- 1 u

U-----– dy≈=

∂u∂y---------

Figure 2 – Schéma pour fixer les conventionsde notation de la couche limite

ρ u ∂u∂x--------- v ∂u

∂y---------+ ∂ p

∂ x --------– µ ∂

2

u ∂

y

2

------------+= ^

∂ p∂ y-------- 0=^

∂u∂x--------- ∂v

∂y--------+ 0 ρ Cte=( )=



D’après l’équation (45), la pression motrice est constante dansl’épaisseur δ et par conséquent la pression motrice est celle dufluide libre à la frontière de la couche limite :

(47)

et ne varie qu’en fonction de x dans la couche limite, en s’identi-

fiant à à la frontière de celle-ci. On voit ici la justification d’uneméthode qui consiste à déterminer, à partir de l’équation d’Euler(§ 4.4.1) les champs de vitesse et de pression du fluide libre non vis-queux (donc avec glissement sur les parois), puis de se servir desrésultats obtenus sur la paroi pour calculer la couche limite à partirdes équations (44) et (46) avec les conditions :

u = v = 0 à y = 0

Il faut noter que la composante v n’est pas rigoureusement nulleà la frontière de la couche limite, car la présence de la paroi créeune faible déflexion de la vitesse.

Équation de Karman

On peut obtenir une équation très pratique pour la couche limitelaminaire, par intégration selon y entre zéro et ∆ (distance à la paroisupérieure à δ ) de tous les termes de l’équation (44) qui est écrite

en posant :

Puisque à y = δ, on a τδ = 0 et, à y = 0,

En tenant compte des définitions des épaisseurs de déplacementδ1 et de quantité de mouvement δ2 (§ 7.1) :

(48)

qui est l’équation de Karman.

7.3.2 Couche limite turbulente

On transforme l’équation (44) par application de la méthode desmoyennes (§ 6.2) :

(49)

avec .

Il faut adjoindre :

On utilise généralement l’hypothèse de fermeture de Boussinesq(§ 6.2.1) écrite ici :

bien que la structure de la couche limite pose la question sur la notionde viscosité turbulente. Si l’on accepte cette hypothèse, on constate

que est alors nul à la frontière de la couche limite et l’adaptationde l’intégration de Karman entre zéro et ∆ conduit à :

(50)

car sur la paroi lisse.

On retrouve l’équation de Karman (48) écrite sur les valeursmoyennes. Mais on est en droit de modifier cette équation dans lecas d’une surface rugueuse en ajoutant au second membre de (50)

le terme .

7.4 Solutions affines.Polynôme de Polhausen

On a été amené, à la suite de Blasius (§ 7.5.1), à résoudre les équa-tions de la couche limite en supposant une solution affine pour lacomposante\break u (x, y ) de la vitesse : on écrit u /U = f [y /δ (x )] etl’on admet que la variable adimensionnée y + = y /δ ne dépend pasde x. Pour qu’une telle solution existe, il faut que la loi de variationde U soit de la forme U = a (x + x0)m avec a et m constantes. La fonc-tionnelle f est déterminée en portant ces hypothèses dans leséquations (44) et (46).

Polhausen s’est donné la fonctionnelle f sous la forme d’un poly-nôme du quatrième degré :

avec les coefficients a0 , a1 , ..., a4 déterminés par les conditions auxfrontières de la couche limite :

on obtient :

(51)

en posant .

Ce polynôme est ensuite exploité pour résoudre l’équation dekarman (48).

On constate que l’hypothèse de solution affine s’appuie sur celled’un écoulement laminaire ; il n’est pas raisonnable de l’appliquersans aménagement au cas des écoulements turbulents.

7.5 Couche limite sur plaque plane,à pression uniforme

7.5.1 Dans l’épaisseur de la couche laminaire

Blasius a été le premier à résoudre les équations (44), (45) et (46)dans le cas d’un écoulement libre qui balaie à vitesse U uniformeun plan disposé parallèlement à l’écoulement au loin. Il n’y a pas

de gradient de pression puisque .

p^

∂p∂x--------- ρ – U d U

d

x ----------=

^

p^

p^

u U et ∂p∂x-------- connus à y δ= x( )=^

τ µ ∂u∂y---------=

ρ u ∂u∂x--------- v ∂u

∂y---------+ ∂ p

∂ x --------– ∂τ

∂

y ---------+=

^

∂u∂y--------- 0= τ0 µ ∂u

∂y---------

y 0=

=

dδ2

dx----------- 2 H+( )

δ2

U-------

d

U d x ----------+

τ

0 ρ

U

2 ------------=

ρ u ∂u∂x--------- v ∂u

∂y---------+ ∂ p ∂

x --------– ∂

∂ y

------ τ ρ u ′ v ′ – ( ) += ^

τ µ ∂ u∂y--------=

∂ u∂x--------- ∂ v

∂y---------+ 0=

u ′v ′ νt∂ u∂y---------=

u ′v ′

dδ2

dx----------- 2 H+( )

δ2

U-------

d

U d x ----------+

τ

0 ρ

U

2 -------------=

u ′v ′ 0=

u ′ v ′( ) 0 U 2

⁄ –

uU----- f y+( ) a0 a1y+ a2y+2

a3y+3

a4y+4

+ + +=≡

y+ 0=

u 0=

v 0=

∂ 2u

∂y2-----------

y 0=

U ν -----– d U

d x ----------=

y

+

1

=

u U

=

∂

u

∂

y

---------

0

=

∂ 2 u

∂

y

2

-----------

0 =

uU---- 2 Λ

6------+ y+ Λ

2------y+2

– 2 Λ2------– y+3

1 Λ6------– y+4

+–=

Λ δ2

ν------ dU

dx----------=

dUdx

---------- 0=



Afin de vérifier l’équation (46), on écrit que la vitesse dérive du

potentiel

Ψ

; et l’équation (44) (avec )

exige que :

L’analyse dimensionnelle suggère :

On constate qu’on tombe dans le schéma d’une solution affine

et l’équation en

Ψ

ci-dessus devient

l’équation de

Blasius

FF

’’ + 2

F ’’’ = 0 (52)

les lettres accentuées désignant les dérivées de F par rapport à η.Les conditions associées sont F (0) = 0, F ’(0) = 0 et F ’(∞) = 1.L’équation (52) est résolue numériquement et l’on connaît alors F,F ’, F ’’ en fonction de η (tableau 2). On peut déduire l’épaisseur δde la couche limite pour laquelle u /U = 0,99, soit à très peu près pour

η = 5, et avec Rex = Ux /ν, nombre de Reynolds local.

(0)

La frontière de la couche limite a une allure parabolique ; plus lefluide est visqueux, plus la couche de freinage est épaisse, et plusU est grand, plus l’épaisseur de la couche est faible. Les mesuresexpérimentales montrent que cette couche limite laminaire n’existeque pour les distances limitées, comptées à partir du bord d’attaquede la plaque (figure 3), tant que Rex reste inférieur à une valeurcritique Rec qui dépend de la rugosité de la surface de la plaque etde la turbulence de l’écoulement libre. Pour une plaque parfaitementlisse et une turbulence quasi nulle, Rec peut atteindre 3 × 106, maisdans la pratique usuelle on admet 3,5 × 105.

La couche limite laminaire est suivie d’une zone de transition quicorrespond à une réorganisation de l’écoulement pariétal et, en avalde cette transition, la couche limite a une structure turbulente quipeut s’étudier moyennant d’autres hypothèses.

Pour clore cette étude analytique, il faut rappeler que l’hypothèsefondamentale est ; or cette clause ne peut être réalisée au bordd’attaque. La solution de Blasius n’est valable qu’au-delà d’une trèscourte distance de ce point.

Connaissant la solution F, on peut estimer :

et

Le facteur de forme H est égal à 2,6.

En ce qui concerne la tension à la paroi :

où Cf est appelé coefficient local de frottement.

Les formules données ici permettent d’évaluer les ordres degrandeur et l’influence des paramètres pour Rex < 3,5 × 105.

7.5.2 Dans l’épaisseur de la couche turbulente

Lorsque la couche limite turbulente est établie, on exploite

l’équation (49) avec ; on ajoute l’hypothèse difficilement

justifiable mathématiquement mais très commode, selon laquelle lepremier membre de (49) est nul en tout point de la couche limite.

L’intégration est immédiate ; on obtient :

(53)

où la constante est

Pour obtenir la loi de paroi, il faut admettre une loi de variation

de en fonction de y ; les résultats expérimentaux concernant

la variation de dans la couche interne conduisent à poser :

avec

où K est la constante de Karman (K = 0,4),

a le facteur correctif fonction de y.

L’équation (53) est alors écrite sous forme adimensionnelle en

introduisant la vitesse de frottement , la variable réduite

ξ = uτy /ν et la vitesse réduite :

équation dont on ne doit considérer que la racine positive qui peuts’écrire :

Tableau 2 – Solution de l’équation de Blasius

F F ’ F ’’

0 0 0 0,332 06

1 0,165 57 0,329 79 0,323 01

2 0,650 03 0,629 77 0,266 75

3 1,396 82 0,846 05 0,161 36

4 2,305 76 0,955 52 0,064 24

5 3,283 29 0,991 55 0,015 91

6 4,279 64 0,998 98 0,002 40

7 5,279 26 0,999 92 0,000 22

8 6,279 23 ≈ 1,0 0,000 01

u ∂Ψ∂y--------- et v ∂ Ψ ∂

x ---------–== ∂ p

∂x-------- 0=^

∂ Ψ∂ y--------- ∂ 2Ψ

∂x ∂y----------------

∂ Ψ∂x--------- ∂

2 Ψ ∂ y

2 -------------– ν ∂

3

Ψ ∂

y

3

------------=

Ψ νUx F η( ) avec η y xνU

-------==

u U⁄ dFdη---------=

δ x⁄ 5Rex

12---–

=

η y xνU

-------⁄=

u v

δ1x 1,72Rex

12----–

=

Figure 3 – Différents domaines de la couche limite

δ2x 0,664 Rex

12----–

=

τ0 ρU 2 12----Cf 0,332 Rex

12----–

= =

∂p∂x------- 0=

–

τ ρu ′v ′– Cte=

τ0 µ ∂u∂y---------

y 0=

=

ρu ′v ′

u

u ′v ′ νt∂ u∂y---------=

νt K 2y 2a2 ∂ u∂y---------=

uτ τ0 ρ⁄=

u+ u uτ⁄=

K 2ξ2a2 du+

dξ-----------

2 du+

dξ----------- 1–+ 0=

du+

dξ----------- 2

1 1 4K 2a2ξ2

++

------------------------------------------------=



expression intégrable numériquement une fois précisé le facteur a ;Van Driest a proposé :

a = 1 – exp(– ξ /25)

ce qui revient à dire que νt est proportionnel à y 4 très près de la paroi.

Dans la sous-couche visqueuse :

et donc ; cette expression est valable tant que

Dans la sous-couche interne :

— lorsque , on a , forme faci-

lement intégrable (K = 0,4) qui donne avec une constante déterminéeempiriquement :

(54)

forme utilisable jusqu’à ξ ≈ 500 soit y /δ ≈ 0,25,

— pour 3 < ξ < 30, le profil de est obtenu par l’intégrationnumérique évoquée plus haut.

L’avantage de cette approche est de représenter, dans la même

loi de paroi, la variation de de façon continue dans la sous-couchevisqueuse et dans la sous-couche interne. Cette loi de paroi a uncaractère quasi universel, parce qu’elle se retrouve dans toutes lescouches limites turbulentes.

La figure 4 montre l’accord des expériences avec la loi de paroijusqu’à ξ ≈ 500 pour un fluide isovolume. Au-delà de cette valeur,les points correspondent à la sous-couche externe.

Dans la sous-couche externe, il est généralement admis que lavariation de obéit à une loi de vitesse déficitaire ;

mais aucun modèle n’est proposé ; par ailleurs, les raccordementstrès empiriques entre la sous-couche interne et la frontière del’écoulement libre sont incomplets et approximatifs. On propose icil’idée d’un ajustement de la quantité de mouvement par la turbulencedue aux gros tourbillons selon :

(55)

νt variant entre νt 0,25 à y + = y /δ = 0,25, considéré comme frontière dela sous-couche interne, et à y /δ = 1, frontière de l’écoulementlibre.

La loi de vitesse est sous l’influence des conditions de turbulencede l’écoulement libre et peut varier d’un écoulement à l’autre selonles caractéristiques de la turbulence libre. De toute façon les fluc-tuations de vitesse s’atténuent quand on se rapproche de l’écoule-ment libre, et le niveau de turbulence libre agit sur l’épaisseur dela sous-couche externe.

Pour simplifier, on admet ici que la turbulence libre est parfaite-ment nulle ou presque, donc , et que la variation de νt est

linéaire en fonction de y dans la sous-couche externe, entre νt 0,25et zéro ; on peut calculer νt 0,25 à partir de l’analyse de la sous-couche

interne, soit (avec a = 1), νt 0,25 = 0,1 uτ δ. Ainsi νt = 0,437uτ δ (1 – y+)

pour expression qui est reportée dans l’équation (55) quel’on intègre aisément :

(56)

Dans cette relation, la valeur de est connue par l’équation

(54) ; en admettant ξ = 500 à y + = 0,25, on obtient :

En outre U /uτ est donné par une formule empirique (suggérée parl’expérimentation) :

(57)

qui associée à (54) fournit une autre expression de la loi logari-thmique, là où celle-ci est valable :

(58)

Ainsi, par l’équation (58), avec y + = 0,25 et , on

obtient U /uτ = 26,7. On trouve évidemment le même résultat avec

(57), en remarquant que le calcul de conduit à uτ δ /ν = 2 000.

Revenant à (56), on obtient :

relation qui convient très bien pour représenter les résultats expéri-mentaux (figure 5). De fait, la valeur 11,9 n’est pas rigoureusementconstante quand x varie, car le point de raccordement à ξ = 500correspond à une valeur glissante de y+ au voisinage de 0,25.

7.5.3 Évolution de la couche limite dans le sensde l’écoulement

Ayant trouvé le profil de u dans l’épaisseur de la couche limite,on devrait atteindre les valeurs des épaisseurs δ, δ1 , δ2 et celle ducoefficient local de frottement Cf défini par :

4K 2a2ξ21 entraîne du+

dξ----------- 1=

u uτ⁄ uτy ν⁄=

uτy ν⁄ 3

ξ 30 4K 2a2ξ21 et du+

dξ------------ 1

Kξ----------=

u uτ⁄ 2,5lnξ 5+=

u

u

u

U u–( )uτ f y δ⁄( )=

uτ U u–( ) νt∂u∂y---------=

νt1

νt10=

y + 0,25

U u–uτ

---------------- Uuτ------ u0,25

+– 1 y+

–0,75

----------------2,29

=

Figure 4 – Représentation de la loi de paroi(points expérimentaux de divers auteurs)

u0,25+

u0,25+ u

uτ------ 20,53= =

U uτ⁄ 2,5lnuτδ

ν----------- 7,7+=

U uτ–

uτ----------------- 2,5 – ln y

+ +2,7 =

u0,25+ 20,53=

u0,25+

U u–uτ

--------------- 11,9 1 y+–( )2,29

pour y+ 0,25=

12----C f τ0 ρU 2 uτ U( )2

= =



en utilisant l’équation de Karman qui s’écrit ici :

L’entreprise est très lourde en calculs et on utilise des voiesempiriques.

En admettant que , forme inacceptable à

y

= 0 etapprochée car elle suppose une affinité, on trouve

δ

1

/

δ

= 1/8,

δ

2

/

δ

= 7 / 72, valeurs à comparer à celles qui correspondent à lacouche limite laminaire. Si, de plus, on fait l’hypothèse simple :

C

f

/2 = 0,029 6 (

U

δ

/

ν

)

–0,2

l’équation de Karman donne :

(7 / 72) δ 0,2 d δ = 0,029 6 ( U / ν ) –0,2 d x

En intégrant entre le point de transition d’abscisse

x

T

et

x

:

avec

Re

x

=

Ux

/

ν

.

Au point de transition, il n’y a pas de discontinuité de

δ

2

et, parconséquent, δ2T à la transition possède la valeur calculée pour lafin de la couche limite laminaire connaissant :

Par des artifices, comme un bord d’attaque rugueux, on peutdéclencher la couche l imite turbulente à x = 0 et alors

: la couche limite grossit plus vite dans le sens

de x que si elle était laminaire.

S’appuyant sur les données expérimentales pour évaluer le coef-ficient local de frottement, l’expression (57) conduit à :

formule exploitable à partir de la donnée de Uδ /ν, sans hypothèsesur la valeur de xT . On dispose aussi de la formule de Schultz-Grunow :

Cf /2 = 1,596 (lnRex)– 2,584

qui suppose la naissance de la couche limite turbulente au bordd’attaque.

La force de frottement totale qui s’exerce sur une bande de plaquede largeur unitaire et de longueur L est :

F = CfmLρU 2/2

ce qui définit le coefficient de frottement moyen sur la longueur L ;on peut écrire :

Une formule de Prandtl-Schlichting permet d’obtenir C fm pour unelongueur L > xT qui couvre totalement la couche limite laminaire etune couche turbulente en aval :

La valeur de A dépend de xT où se produit la transition : (0)

Il est constaté que la région laminaire n’affecte pas la valeur deC fm quand ReL est au moins dix fois plus grand que .

7.5.4 Influence de la rugosité de la surface

On comprend bien que la rugosité de la paroi est sans influencesur l’écoulement lorsque la hauteur des aspérités est inférieure ouégale à l’épaisseur de la sous-couche visqueuse ; cela est vérifiéexpérimentalement ; si k est la hauteur d’aspérité, on distingue troisconditions :

surface aérodynamiquement lisse ;ξk > 70 surface aérodynamiquement rugueuse ;

3 < ξk < 70 surface semi-rugueuse.

Il est tout d’abord intéressant de disposer d’un critère permettantde dire qu’une surface est aérodynamiquement lisse : il fautUk /ν < 120.

Dans le cas d’une plaque rugueuse, la loi de variation de et le coefficient de frottement ne dépendent pas de la viscosité dufluide et ne sont fonction que de la rugosité de la plaque. D’aprèsSchlichting,

où x est compté à partir du bord d’attaque, et :

pour 102 < L /k < 106.

Pour une paroi semi-rugueuse, la sous-couche visqueuse n’existepas, le frottement est accru par la rugosité. Dans la sous-coucheinterne, on constate une loi logarithmique mais la droite représen-tative du profil des vitesses (figure 4) subit une translation commesi ξ était diminué fictivement de ∆ξ dans la formule (54), avec :

Cette analyse de la rugosité est valable même lorsque la vitessede l’écoulement libre varie longitudinalement (§ 7.6).

Figure 5 – Représentation de la loi de vitesse déficitairedans la couche externe (points expérimentaux de divers auteurs)

dδ2

dx----------- uτ

U------

2=

u U y+( )

17----

=

772( ) δ1,2 δT1,2

–( ) 0,029 6 Re x – 0,2

x 1,2 Re x

T

– 0,2 x T1,2

– =

RexT

δ21,2 δxT

1,2– 0,029 6 Re x

– 0,2 x

1,2 Re x T

– 0,2 x T

1,2 – =

δ x⁄ 0,38Rex– 0,2

=

1 Cf 1,56 ln Uδ ν⁄( ) 2,07+=

10

5

3

×

10

5

5

×

10

5

10

6

3

×

10

6

A

150 525 850 1 650 4 350

Cfm1L----

0

L

Cf dx=

Cfm 2⁄ 0,227

lgReL( )2,58------------------------------- A

ReL-----------–=

RexT

RexT

ξk kuτν 3=

u y( )

C f 2,87 1,58lg xk-----+

2,5–=

C fm 1,89 1,62lg Lk-----+

2,5–=

∆ξ 0,9 ξk0,5 ξk exp ξk– 6( )–[ ]=



7.6 Couche limite laminaireavec gradient longitudinal de pression

On suppose que la vitesse de l’écoulement à la frontière de la

couche limite varie dans le sens longitudinal. Si et

le paramètre

Λ

de l’équation (51) est positif (les signes sont contraires

pour ), on constate que la couche limite est plus mince que

lorsque la vitesse est invariable. Au contraire, s’il y a décélération,la couche limite est plus épaisse et on voit apparaître dans certainesconditions le phénomène de décollement de la couche limite. L’évo-lution longitudinale peut être étudiée à l’aide de l’équation deKarman (48) associée au polynôme de Polhausen (51). En appliquantles définitions de

δ

1

et

δ

2

, on a :

δ

1

/

δ

= 0,3 – 8,33

×

10

–3

Λ

δ

2

/

δ

= 0,117 5 – 1,06

×

10

–3

Λ

– 1,1

×

10

–4

Λ2

d’où le facteur de forme H = (δ1 /δ )/(δ2 /δ ).

D’autre part .

La figure 6 représente la déformation du profil des vitesses rédui-tes selon les valeurs du paramètre Λ. Les courbes particulières cotées7,052 et – 12 seront commentées plus loin ; on notera que – 12 cor-respond à la nullité de τ0 . Le polynôme de Polhausen est une des-cription approchée du profil de vitesse, mais il présente une grandeflexibilité avec l’unique paramètre Λ et permet d’obtenir des solu-tions dont la précision suffit en pratique.

On introduit

et

Puisque δ2 /δ est une fonction de Λ, il y a une correspondance biuni-voque entre Λ et Λ2 . On constate que l’équation (59) peut s’écrire :

(59)

avec Φ(Λ2) fonction explicite de Λ2 (ou de Λ).

La connaissance de l’écoulement libre implique celle de U (x ) etde ses dérivées. Ainsi la seule inconnue du problème est Z (x ) qui,une fois déterminée en x, fournit la valeur de Λ2 (donc de Λ), parlaquelle on atteindra les valeurs de tous les paramètres.

Une première procédure de calcul est la méthode pas à pas enpartant du point x = 0, point d’arrêt de l’écoulement en lequel U = 0

et où naît la couche limite. En ce point, Z et ont des valeurs

finies comme . Il en résulte :

Φ (Λ2) = 0 d’où Λ2 = 0,077 et Λ = 7,052

La figure 6 représente le profil réduit de la vitesse au point d’arrêt.Ainsi :

et levant une indétermination par la règle de l’Hôpital :

Cela suppose que le problème de l’écoulement libre a été résolumathématiquement pour connaître les deux premières dérivées deU à x = 0. À partir du point d’arrêt, on avance pas à pas suivant Ox :

Waltz a proposé une méthode élégante basée sur le constat d’unerelation presque linéaire entre Φ et Λ2 . Il pose Φ (Λ2) = A – BΛ2 , oùA et B sont des constantes positives connues. L’équation (59) prendla forme simple d’une équation différentielle en Z :

dans laquelle les coefficients sont des fonctions de x connues.

Par intégration :

(60)

la singularité à x = 0 se résolvant en tenant compte de l’initialisationde la méthode pas à pas, mais on suppose généralement δ2(0) = 0.Il est recommandé de prendre A = 0,45 et B = 6.

La figure 7 schématise, dans l’évolution de la couche limite lami-naire, la forme successive des profils de vitesse en accord avec lafigure 6. Lorsque l’écoulement libre est décéléré, le gradient de pres-

sion est dit défavorable, car la couche limite s’épaissit pro-

gressivement en même temps que τ0 diminue. Les profils présententun point d’inflexion et τ0 prend des valeurs de plus en plus faibles,

jusqu’à atteindre la valeur qui correspond à τ0 = 0, soit .

En ce point de décollement naissent des courants de retour (oude recirculation) qui contrarient l’écoulement libre ; les hypothèsesfondamentales simplificatrices de la couche limite ne sont plus vala-bles. Les calculs sont impérativement arrêtés en ce point qui, selonla description de Polhausen, devrait apparaître à Λ = – 12 (figure 6),soit à Λ2 = – 0,157.

dUdx

---------- 0, dpdx--------- 0<>

^

dUdx-------- 0<

τ0 2 Λ6------+

µU δ⁄=

Z δ2( )2 ν⁄=

Λ2 Z dUdx-------- δ2

δ-----

2

Λ= =

U dZdx-------- Φ Λ2( )=

dZdx--------

dUdx--------

Z x 0=( ) 0,077 dUdx

----------x 0=

=

dZdx---------

x 0= – 0,065 2 d

2

U 0 ( ) d

x

2 ----------------------- d U 0 ( ) d

x

------------------- 2

=

Figure 6 – Déformation du profil réduit de vitesse selon la valeur

Zi 1+ Zi dZdx---------

idxi+=

Λ2( )i 1+ Zi 1+ dUdx

----------i 1+=

dZdx--------- i 1+

Φ Λ2i 1+( )Ui 1+=

dZdx--------- B

U------- d U

d x ---------- Z + A

U ----=

δ2( )2

ν--------------

A

U B----------

0

x

UB 1– dx δ2( )2

ν--------------

x 0=

+=

dpdx------- 0> ^

dudy--------- 0=



De fait, le point de décollement apparaît pour

Λ

2

compris entre– 0,068 et – 0,117 suivant les conditions d’expérience, car la couchelimite devient instable.

Ce constat a amené

Thwaites

à éviter le recours à

Λ

, à ne consi-dérer que

Λ

2

, à utiliser la méthode de Waltz et à retoucher lacorrespondance entre les valeurs de

Λ

2

,

Φ

,

H

et

δ

2

τ

0

/(

µ

U

) pour déve-lopper un calcul plus réaliste. Le tableau

3

reproduit les valeursdonnées par Thwaites. Par la méthode de celui-ci, on ne peutatteindre la connaissance de

δ

, mais cet inconvénient est très secon-daire. On connaît l’épaisseur de quantité de mouvement à mieuxde 2 % partout, sauf au point d’arrêt où l’erreur est maximale, del’ordre de 5 %, ce qui reste très acceptable.

Un point délicat est la détermination de l’apparition de la transi-tion, c’est-à-dire de la fin de la couche limite laminaire. Il n’y a pasde problème majeur lorsque l’écoulement libre est accéléré, maispour

Λ

2

< 0, il faut veiller à ce que le groupement ne

dépasse pas la valeur critique proposée par la formule

indicative :

Si la valeur critique est atteinte, le calcul doit être poursuivi dansles conditions de couche limite turbulente à partir du point de tran-sition d’abscisse

x

T .

7.7 Couche limite turbulenteavec gradient longitudinal de pression

On considère une méthode qui permet de calculer, avec uneprécision raisonnable, les caractéristiques principales de la couchelimite turbulente δ1 , δ2 , τ0 pour une répartition quelconque depression donnée sur la surface de l’obstacle. Elle repose sur l’hypo-

thèse d’un profil de vitesse où n n’est pas fixe maisa une valeur variable entre 5 et 10, de telle sorte que le facteur deforme H varie de 1,2 à 2,6 au point de décollement. Comme il a étédit au paragraphe 7.5.3, ce type analytique de profil ne peut pas êtreutilisé pour calculer τ0 ; on utilise donc une formule empirique :

(61)

dans laquelle G (H ) est un facteur d’ajustement dont la valeur dépendde H (tableau 4). On résume ici une méthode préconisée par N. Curleet H.J. Davies. (0)(0)

En posant :

(62)

on constate, sur la base d’une analyse de faits expérimentaux, quel’équation de Karman (50) peut être considérablement simplifiée :

Cette équation s’intègre aisément :

(63)

Si la couche limite turbulente naît dès x = 0, on prend x0 = 0 et

; si elle succède à une couche limite laminaire, x0 = xT ,

et est donné par les conditions de la couche laminaire à xT .

Pour atteindre les valeurs de δ1 = Hδ2 et de τ0 , il reste à connaîtrela valeur de H. Des considérations basées sur la distribution de τdans la couche limite turbulente conduisent à :

(64)

la constante (d’intégration) ayant la valeur du groupement dupremier membre de l’équation pour x = x0 .

En résumé, θ (x ) est calculé à l’aide de (63), puis δ2 par (62) ;ensuite les valeurs de U (x ) et de θ (x ) sont portées dans (64) pourobtenir H (x ), dont la valeur conduit à la connaissance de δ1 (x ) etde τ0 (x ) par (61) à l’aide du tableau 4, les calculs étant arrêtéslorsque τ0 = 0, au point de décollement.

Figure 7 – Évolution longitudinale du profil de vitesse

Reδ1Uδ1 ν⁄=

Reδ1( )

c

ln Reδ1( )

c6,47 42,6Λ2 244Λ2

2+ +=

u U⁄ y+( )

1n----

=

τ0 ρU 2 Reδ2( ) 0,2– G H( )=

θ δ2 Reδ2( )0,2

=

Tableau 3 – Valeurs recommandées

de , H et ( )

H H

– 0,090 3,55 0 – 0,056 2,94 0,122

– 0,088 3,49 0,015 – 0,048 2,87 0,138

– 0,086 3,44 0,027 – 0,032 2,75 0,168

– 0,084 3,39 0,038 – 0,016 2,67 0,195

– 0,080 3,30 0,056 0 2,61 0,220

– 0,076 3,22 0,072 + 0,016 2,55 0,244

– 0,072 3,15 0,085 + 0,032 2,49 0,268

– 0,068 3,09 0,095 + 0,048 2,44 0,291

– 0,064 3,04 0,104 + 0,064 2,39 0,313

– 0,060 2,99 0,113 + 0,075 2,36 0,327

Tableau 4 – Valeurs de G (H )

H G (H ) H G (H ) H G (H )

1,2 0,010 8 1,7 0,004 8 2,2 0,001 7

1,3 0,009 2 1,8 0,004 0 2,3 0,001 2

1,4 0,007 9 1,9 0,003 3 2,4 0,000 8

1,5 0,006 7 2,0 0,002 7 2,5 0,000 4

1,6 0,005 7 2,1 0,002 2 2,6 0

2 2 0U

2 2 0/U 2 20 U⁄

dθdx--------- 0,010 6 4 1

U ------ d U

d x ---------- θ –=

θ 0,010 6 U 4

– x

0

x

U 4 dx θ x x

0 = +=

θx x0= 0=

θx xT=

U 2 1H 1–--------------- 4,762– 0,003 07

x

0

x

U

2

θ ---------- d x Cte +=



7.8 Couche limite bidimensionnellesur un obstacle de révolution

Ce qui a été écrit depuis le paragraphe 7.3 concerne une couchelimite bidimensionnelle sur un obstacle cylindrique, dont toutesection droite dans le plan Oxy est contournée par un écoulementplan. On considère ici un obstacle de révolution autour d’un axe ∆(figure 8) balayé par un fluide animé à l’infini en amont d’une vitesseuniforme parallèle à ∆. Les champs des vitesses et de pressionprésentent une symétrie de révolution autour de ∆ : il suffit deconsidérer l’écoulement dans un plan méridien.

La transformation de Mangler donne une correspondance entrece problème méridien et le problème plan déjà analysé. Ici lesvariables sont notées x, y, u, v, et x– , y– , u– et v– dans l’écoulementplan homologue de l’écoulement de révolution. La transformationest définie par :

y– = (R /L )y

u– = u (d’où U– = U )

avec R rayon du cercle parallèle relatif à x (figure 8),

L longueur caractéristique qui disparaît dans les calculs.

Le fluide isovolume garde ses propriétés ρ et µ. Les équations dela couche limite sont identiques dans les deux problèmes. On vérifieque :

δ/δ– = δ1/δ1– = δ2/δ2– = L /Rτ0– = τ0L /R

et Cf– /Cf = L /R

Pour résoudre le problème méridien, il suffit de connaître R (x ) ;on calcule les transpositions et l’on applique les méthodes vues pourle problème cylindrique.

Toutefois l’équation de Karman est légèrement modifiée etl’équation 60, pour la couche laminaire, doit être remplacée par :

(65)

avec A = 0,45 et B = 6.

De même l’équation (63) relative à la couche limite turbulentedoit être remplacée par :

(66)

7.9 Remarques

7.9.1 Couche limite tridimensionnelle

Lorsque l’obstacle n’a aucune symétrie par rapport à la directionde la vitesse à l’infini en amont ou lorsque l’obstacle représenté surla figure 8 est attaqué par un écoulement non uniforme en amontou dont la direction générale fait un angle avec l’axe ∆, la couchelimite est tridimensionnelle. Non seulement le calcul de l’écoulementlibre s’effectue sur ordinateur mais celui de la couche limite aussi.Celle-ci étant de faible épaisseur et gardant la même description ana-lytique avec v << u, la pression motrice est constante dans l’épais-seur et égale à la pression motrice dans le fluide libre. On nedéveloppera pas l’analyse du problème.

7.9.2 Influence de la compressibilité

Si la vitesse U à la frontière de la couche limite d’un gaz est élevée,la variation de vitesse étant très grande dans l’épaisseur de la couche,la compressibilité doit être prise en compte. Cela est fait dans le casdes écoulements supersoniques externes et dans les turbomachinesmais, pour les applications industrielles usuelles, on peut négligerl’influence de la compressibilité induite par la vitesse.

7.9.3 Maîtrise de la couche limite

On a insisté sur l’importance de la couche limite, car celle-ciconditionne les qualités aéro (ou hydro) dynamiques de l’obstacle.C’est ainsi qu’une balle de golf a une surface grêlée pour diminuerla résistance à l’avancement et donc pour aller plus loin qu’une ballelisse de même diamètre : cela parce que, pour cette surface grêlée,la couche limite étant turbulente dès le point d’arrêt, à vitesse égalela ligne de séparation est reculée, ce qui est une circonstance favo-rable. On notera aussi une sentence des marins bretons : un bonbateau ne fait pas de remous et laisse un sillage qui dure longtemps ;cela signifie qu’il n’y a pas de décollement de couche limite. Lesexemples peuvent être multipliés pour démontrer l’importance denombreux paramètres, le premier étant la forme de l’obstacle.

Si la forme est fixée, on peut modifier le comportement de lacouche limite en ayant recours à quelques procédés. Il s’agit laplupart du temps d’éviter le décollement, de maintenir le plus long-temps possible la couche limite laminaire ou de déclencher volon-tairement la transition entre laminaire et turbulent. La technique dela paroi poreuse (percée de microtrous ou munie de fentes) à traverslaquelle le fluide est aspiré permet le recollement de la couche limiteet la prolongation de la structure laminaire. Prandtl avait démontréen 1904 l’efficacité de cette technique. Aujourd’hui, on maîtrise bienles conditions opératoires. Pour fixer les ordres de grandeur, ondésigne par Q0 = – v0S le débit-volume de fluide aspiré (– v0 ,composante v à la paroi, S aire de la paroi poreuse) et on définitle coefficient cQ par Q = cQ SU ; ainsi cQ = – v0 /U est compris entre10–4 et 10–2. Le problème est abordable analytiquement.

Il faut signaler aussi que la technique de soufflage à travers uneparoi est utilisée pour faire une protection thermique entre l’écoule-ment libre très chaud et la paroi qui ne peut supporter une tempé-rature élevée.Figure 8 – Obstacle de révolution : conventions de notation

x–1

L2-------

0

xR 2dx=

v–LR---- v u y

R----

d

R d x

--------+ =

δ2( )2

ν--------------

A

R 2UB----------------

0

x

R 2U B 1– dx δ2( )2

ν--------------

x 0=

+=

θ 0,010 6 U 4

– R 10

–

9

⁄

x

0

x

U 4 R

10 9

⁄ d x θ x x 0

= +=



7.10 Jets et sillages. Turbulence libre. Facteur d’intermittence

Derrière un obstacle immobile, le fluide a une vitesse plus faibleque dans l’écoulement libre, c’est le sillage. Celui-ci disparaît pro-gressivement, sur des distances plus ou moins longues, par le faitdu caractère visqueux du fluide qui favorise l’uniformisation de laquantité de mouvement. Le phénomène est identique dans le casd’un jet, issu d’un orifice, qui s’étend dans un fluide de même nature,au repos ou en mouvement uniforme plus lent que le jet.

Il faut aussi évoquer les panaches qui se forment sous l’action desforces d’Archimède, au voisinage d’un corps qui n’a pas la mêmetempérature que le fluide environnant. Dans ces types d’écoulement,lorsqu’il y a turbulence, les mécanismes en jeu sont les mêmes quedans la sous-couche externe de la couche limite turbulente d’uneparoi, mais l’absence d’une loi de paroi explique que l’on parle alorsde

turbulence libre

.

La frange de fluide qui sépare, à chaque instant, la zone de sillage(ou de jet) de l’environnement est très changeante comme une vaguemarine (figure

9

) et emprisonne des masses de fluide dont l’identitéest particulière.

Selon

Townsend

, on peut imaginer une structure de grands tour-billons, contenant une faible énergie de turbulence, qui convecte lefluide en larges bouffées, et une autre structure de plus petiteéchelle contenant plus d’énergie de turbulence. En un point fixe, lefluide qui y passe appartient tantôt à une structure, tantôt à l’autre,et l’on peut mesurer le

facteur d’intermittence

γ

qui est la fractionde temps pendant laquelle l’écoulement est turbulent .Lorsque ce point d’observation est écarté de l’axe du jet ou dus i l lage dans la d i rec t ion perpendicu la i re à ce l le del’écoulement,

γ

passe progressivement de l’unité sur l’axe à zérodans l’écoulement libre, en gardant une valeur très proche de l’unitédans un tiers de largeur du jet ou du sillage, puis en décroissanttrès rapidement.

Il a été traité le cas de différentes configurations, par voie de calculà partir des équations de Navier-Stokes sur les vitesses moyenneset à partir de l’hypothèse de viscosité turbulente. Cela reste une étudeacadémique. Sous un angle plus pratique, le modèle

k –

ε

(§ 6.2.2)ne rend compte qu’imparfaitement de la réalité des choses, proba-blement parce qu’il néglige l’existence de l’intermittence.

8. Forces exercéessur les obstaclespar un fluide en mouvement

Il est équivalent de considérer un obstacle immobile placé dansun fluide en mouvement ou l’obstacle mobile dans un fluide aurepos, tant que la loi de mouvement relatif est respectée. Cette équi-valence est exploitée dans les souffleries aérodynamiques qui sontétudiées pour qu’il n’y ait pas de distorsion fâcheuse due à laprésence des parois. Nous nous limitons au cas d’obstacles animés

de mouvements de translation uniforme de vitesse

V

dans un fluideimmobile qui emplit un domaine très étendu par rapport à la plusgrande dimension de l’obstacle.

Sur chaque élément de surface de l’obstacle, s’exerce une force

(§ 1.5) qui peut être théoriquement connue à partir du tenseurdes contraintes

σ

i j

, lequel traduit l’action de la pression et celle dela déformation locale du fluide (§ 4.3). Le torseur de l’ensemble des

forces élémentaires est équivalent à une résultante générale età un couple. On se limitera à ne donner que les résultats des étudesexpérimentales, les approches théoriques nécessitent de longsdéveloppements mathématiques.

8.1 Traînée, portance.Coefficients de traînée, de portance

La résultante peut être décomposée en deux vecteurs, l’un ,appelé

traînée

, dans la direction

Ox

vers l’arrière de l’obstacle et

opposée à la vitesse de translation, l’autre appelé

portance

, dansla direction orthogonale

Oz

. La traînée traduit la résistancequ’oppose le fluide à l’avancement de l’obstacle, tandis que laportance traduit un effet sustentateur, recherché dans l’aile d’unavion.

Si

A

désigne une surface caractéristique de l’obstacle, le plus géné-ralement l’aire du maître-couple (section droite maximale normaleà

Ox

),

ρ

la masse volumique du fluide, on exploite les lois de simi-litude en faisant intervenir les

coefficients de traînée

C

x

et

de por-tance

C

z

:

(67)

(68)

Pour les fluides isovolumes,

C

x

et

C

z

sont fonction du nombre deReynolds

Re

=

VL

/

ν

(

L

, longueur caractéristique), de la forme, ducalage de l’obstacle par rapport à

Ox

, et de la rugosité éventuellede la surface. Pour un gaz qui est compressible,

ρ

dans lesformules (67) et (68) est relatif au fluide loin de l’obstacle, là où lacélérité du son est

a

; les coefficients

C

x

et

C

z

sont alors fonctionen plus du nombre de Reynolds, de ceux de Prandtl et d’Eckert (§ 5.3).Le nombre de Froude n’intervient pas puisqu’il s’agit d’un gaz. Onpeut remplacer le nombre d’Eckert par le

nombre de Mach

:

M

=

V

/

a

En effet, si le gaz est supposé parfait, il existe la relation :

V 2/cpT = (γ – 1)V 2/a2

soit Ec = (γ – 1)M 2.

Mais il faut en outre que le rapport des capacités thermiques γ soitfixé.

Aux nombres de Reynolds extrêmement petits, quelle que soit laforme de l’obstacle, il n’y a pas de couche limite (§ 7), il n’y a pasde sillage et la traînée est uniquement due aux forces élémentairesde viscosité ; le coefficient est alors inversement proportionnel aunombre de Reynolds. Lorsque celui-ci augmente, le champ depression contribue plus ou moins fortement et cela est apparent dansl’aspect du sillage derrière l’obstacle :

— si le sillage a une section droite comparable à celle du maître-couple, l’obstacle est dit non profilé ;

— si le sillage possède une section droite extrêmement réduitepar rapport à celle du maître-couple, l’obstacle est profilé.

Figure 9 – Sillage turbulent

0 γ 1 ( )

d F

R

R T

P

T 12----Cx ρAV 2=

P 12----Cz ρAV 2=



8.2 Résistance des obstacles non profilés

8.2.1 Généralités

On considère des fluides isovolumes. Lorsque le nombre deReynolds croît, la couche limite s’organise progressivement et pourune certaine valeur de Re, apparaît le décollement qui sépare deuxrégions très différenciées : la région amont avec couche limite et larégion aval balayée par le sillage.

Dans la zone amont, la répartition de pression sur l’obstacle estcelle calculable en supposant le fluide sans viscosité. La pressionqui est p + ρ(V 2/2) au point d’arrêt, varie dans le sens de l’écoulementet la résultante partielle, sur la face amont, de l’effet de la pressionest dans le sens Ox :

A[p + kρ(V2/2)]

avec A aire du maître-couple,

k, facteur de surpression ne dépendant que de la forme del’obstacle et du nombre de Reynolds lequel détermine laposition de la ligne de décollement sur l’obstacle.

Sur la face aval de l’obstacle, la pression moyenne est inférieure(dépression) à la pression p au loin ; la résultante partielle est, dansle sens contraire à Ox :

A[p + k ’ρ(V 2/2)]

avec k ’ facteur sensible aux mêmes paramètres que k.

À l’action de la pression, il faut ajouter la résultante des forcesélémentaires de frottement, projetée suivant Ox, soit ACxf ρ(V 2/2) oùCx f est un coefficient de frottement dépendant du nombre deReynolds.

La traînée totale s’exprime par (67) en faisant apparaître le coef-ficient de traînée Cx comme la somme de deux termes :

Cx = Cxf + Cxp

dont Cxp = k + k ’ est le coefficient de pression.

Lorsque Re augmente, Cx décroît (mais T augmente) et lorsqueRe atteint une valeur critique liée à la forme de l’obstacle, Cx chutebrutalement. Au-delà de cette valeur critique, Cxp est très grand parrapport à Cxf , la position de la ligne de séparation reste fixée et Cxest pratiquement indépendant de Re : la traînée est alors propor-tionnelle au carré de la vitesse V.

La phase ultime d’un coefficient Cx constant correspond à undécollement de couche limite turbulente : régime supercritique. Maisil y a, avant la chute brutale de Cx , une certaine étendue de variationdu nombre de Reynolds pour laquelle s’effectue un décollement decouche limite laminaire, lequel accompagne une valeur de Cxpresque constante, mais plus élevée : c’est le régime subcritique.Les deux régimes s’observent bien sur la courbe IV de la figure 10 :il s’agit de la sphère dont le nombre de Reynolds critiqueRec ≈ 3,9 × 105 sépare les régimes. La courbe I correspond à undisque faisant face à l’écoulement ; la séparation se réalise sur l’arêtevive du disque, ne change pas de place et il y a une simple défor-mation de la surface de séparation entre écoulement libre et sillage.De ce fait, il n’y a pas une chute brutale du Cx mais on décèle bienle régime subcritique pour 60 < Re < 300 et le supercritique pourRe > 103. On remarquera que dans ce cas de disque, Cxf est toujoursnul car la projection des forces de frottement conduit à une résultantenulle : il n’y a qu’une traînée de forme :

T = CxpρA(V 2/2)

avec A = πD 2/4.

Le tableau 5 donne la valeur du coefficient de traînée pour desobstacles cylindriques infiniment longs, les génératrices étant per-pendiculaires à Ox. Une comparaison des actions des sectionselliptiques montre que la section allongée dans le sens de l’écoule-

ment x /D = 8 a une traînée moitié du cas x /D = 2, la différence pro-venant principalement de la traînée de forme : le premier cylindreest plus profilé.

La traînée des automobiles fait toujours l’objet d’études trèssoignées en soufflerie : actuellement les Cx sont de l’ordre de 0,3alors qu’en 1945 ils variaient entre 0,45 et 0,6. (0)

Figure 10 – Coefficient de traînée en fonctiondu nombre de Reynolds pour quelques obstacles de révolution

Tableau 5 – Coefficient de traînée pour des cylindres infiniment longs, le plan de l’écoulement

étant normal aux génératrices

Obstacle Forme Re Cx

Cylindre circulaire105 1,20

> 5 × 105 0,33

Cylindre elliptique

x /D = 2 4 × 104 0,60105 0,46

x /D = 8 2,5 × 104 0,292 × 105 0,20

Plaque > 103 1,90

Cylindre à base carrée3,5 × 104 2,003,5 × 104 1,60

Cylindre à base triangulaire105 2,00

105 1,55

Demi-cylindre circulaire

Plein 105 1,16

Creux 105 1,20

Creux 105 2,30

A 90°=^



L’influence du vent sur les bâtiments est elle aussi analysée ensoufflerie mais il est nécessaire de reproduire avec soin les implan-tations des bâtiments voisins et les conditions de couche limite avecrelief du sol.

Le tableau 6 donne des valeurs de Cx pour quelques formesd’obstacles en précisant les valeurs des nombres de Reynolds (subet super) critiques. Il attire l’attention sur deux phénomènes : l’inter-action et l’effet de bout. (0)

Lorsque deux corps sont rapprochés, il se produit un phénomèned’influence mutuelle, une interaction qui est la conséquence de ladéformation du champ de l’écoulement autour d’un corps du fait dela présence de l’autre. Si les obstacles sont placés l’un derrière l’autre(en ligne), la traînée du second obstacle est plus faible que s’il étaitseul : c’est l’effet d’écran. Le tableau 6 donne les valeurs de Cx super-critique pour l’ensemble de deux disques en ligne : Cx varie de 1,17

à 2,2 lorsque x /D passe de 1 à 5. Il est évident que lorsque les deuxdisques sont éloignés (x /D > 7) l’ interaction est nulle etCx = 1,17 × 2 = 2,34 ; pour le disque en aval, Cx varie de zéro à 1,17quand x /D passe de zéro à l’infini, en prenant des valeurs négativespour 0 < x /D < 2,3, ce qui traduit un effet d’entraînement vers l’avant(penser au coureur cycliste derrière une moto).

Le tableau 6 attire l’attention sur l’influence des extrémités. Ilmontre que, pour une plaque faisant face à l’écoulement, le Cx estd’autant plus faible que l’envergure L est petite. Il en est de mêmepour un cylindre de section circulaire d’axe perpendiculaire àl’écoulement. On explique ce fait en remarquant que le sillage d’uncylindre allongé est en dépression par rapport à l’amont, il y a alorspassage de fluide par les extrémités (ce qui diminue la dépression),circonstance favorable à la diminution de Cx et la variation relativede Cx est d’autant plus marquée que le cylindre est court. Pratique-ment, pour éliminer le contournement aux extrémités, on colle àchacune d’elles une plaque perpendiculaire à l’axe du cylindre : onpeut alors évaluer le Cx du cylindre infiniment long en faisant desmesures avec des distances variées entre plaques. L’effet de boutest d’autant plus marqué que la résistance de forme de l’obstacleest grande.

8.2.2 Non-permanence du sillage

Aux grands nombres de Reynolds, le sillage d’un obstacle nonprofilé subit des déformations périodiques autour d’un état moyen,même si les conditions de l’écoulement en amont de l’obstacle sontparfaitement permanentes. La ligne de décollement oscille autourde sa position moyenne ce qui se répercute évidemment sur la struc-ture de la couche limite en amont. Ce phénomène a été très bienanalysé pour les cylindres en attaque frontale. Lorsque le nombrede Reynolds est de l’ordre de 10, deux tourbillons symétriques sontattachés à la face arrière du cylindre ; si Re > 40, les tourbillons sedétachent alternativement en haut et en bas, de façon parfaitementpériodique (tourbillon de Bénard-Karman). Quand Re continued’augmenter les tourbillons alternés subsistent mais de façon moinspure et lorsque, Re > 103, la fréquence f est liée au diamètre D et àla vitesse V dans un nombre de Strouhal qui est constant :Sr = fD/V = 0,215. La portance du cylindre est nulle en moyenne,mais elle est tantôt positive tantôt négative chaque fois que les tour-billons se détachent du cylindre et les valeurs de Cx données précé-demment sont des valeurs moyennes.

8.2.3 Influence de la rugosité de la surfaceet de la turbulence de l’écoulement libre

On a précédemment évoqué (§ 7.9.3) l’influence de la rugosité surla constitution de la couche limite, à propos de la balle de golf. Ona précisé (§ 8.2.1) que le nombre de Reynolds critique d’une sphèrelisse, 3,9 × 105, correspond au décollement de la couche limiteturbulente qui succède à la couche limite laminaire ; si la couchelaminaire est raccourcie, le régime critique apparaît à un nombrede Reynolds plus faible et, si la couche limite turbulente est artificiel-lement créée dès le point d’arrêt, le nombre de Reynolds critiquepeut être abaissé jusqu’à 1,2 × 105. On peut atteindre ce résultat pardeux moyens équivalents : rendre rugueuse la surface ou bienaccentuer l’état turbulent du fluide en amont de la sphère. Toutefois,ces actions sont inopérantes dans les cas de nombre de Reynoldsinférieur à 105, c’est-à-dire d’une structure stable de couche limite.

8.3 Portance et traînée des profils d’aile

Pour les obstacles profilés, la traînée de forme est faible ; le Cxglobal peut être estimé en appliquant un calcul de couche limitecomme indiqué au paragraphe 7. Nous considérons ici des corps

Tableau 6 – Coefficient de traînéepour des obstacles de forme géométrique simple

Forme de l’obstacleL/Dx/D

Re= VD/ν Cx

Disque circulaire > 103 1,17

2 disquesl’un derrière l’autre

0

> 103

1,171 0,972 1,093 1,605 2,20

Plaque rectangulaire 1

> 103

1,16de longueur L 5 1,20et de largeur D 20 1,50

∞ 1,90

Cylindre circulairede longueur L, de diamètre D

0

> 103

1,121 0,91

— d’axe parallèle à l’écoulement 2 0,854 0,877 0,99

1 0,635 105 0,74

20 0,90— d’axe perpendiculaire à l’écoulement ∞ 1,20

1> 5 × 105

0,145 0,25∞ 0,33

Hémisphère plein :

>103— base plane vers l’amont 1,17

— base plane vers l’aval 0,42

Hémisphère creux :

> 103— concavité vers l’amont 1,43

— concavité vers l’aval 0,38

Sphère 105 0,50> 3 × 105 0,20

Ellipsoïde (rapport des axes 1/2)avec grand axe parallèle à l’écoulement

> 2 × 105 0,07

Dirigeable (pour mémoire) > 2 × 105 0,05



profilés particuliers dont on recherche des formes qui assurent unetraînée très faible et une portance élevée : il s’agit des ailes d’avion,des pales d’hélice et des aubages de turbomachine. La qualitéaérodynamique de l’aile est apparente dans le rapport f = Cz /Cxappelé finesse.

L’aile cylindrique d’allongement L est représentée par sa sectiondroite ou profil (figure 11) : le bord amont A est appelé bordd’attaque, l’extrémité B, bord de fuite, et le segment AB est la corde

de référence dont la longueur est appelée profondeur du profil.L’arc inférieur du profil entre A et B est l’intrados et l’arc supérieurl’extrados. L’épaisseur maximale e entre intrados et extrados est

l’épaisseur du profil . Enfin le calage du profil par rapportà la vitesse du fluide en amont est défini par l’angle d’incidence i.

Les coefficients Cx et Cz sont, pour un fluide isovolume, fonctionde la forme du profil, de l’incidence et du nombre de Reynolds :

L étant l’envergure, c’est-à-dire la longueur du profil perpendicu-lairement à la corde.

Le centre de poussée C est le point d’intersection du support de

la résistance avec la corde de référence. On définit ainsi lecoefficient de moment de tangage Cm par :

où est le moment de R par rapport au bord d’attaque.

Pratiquement, les forces de frottement n’interviennent que dansla traînée et il est possible de considérer la portance comme n’étantque la projection sur Oz des forces élémentaires de pression sur intra-dos et extrados. En première approximation, on peut calculer cetteportance en supposant le fluide sans viscosité : le théorème de Kuttaet Joukovsky exprime que pour un tel fluide la portance est liée àla circulation Γ du vecteur vitesse le long d’un contour entourantune seule fois le profil d’aile :

P = ρΓVL (T = 0)

et donc

Variations de Cx et Cz avec l’incidence

Pour un fluide isovolume et un profil donné, les coefficients Cxet Cz sont fonction de l’incidence et du nombre de Reynolds. Lafigure 12 donne un exemple de variation de Cx et Cz en fonction del’incidence i, laquelle ne varie pratiquement que d’une dizaine dedegrés de part et d’autre de zéro.

Polaire d’aile

Il existe une grande variété de formes de profils qui portent desnoms génériques tels que NACA (ex-NASA), Clark, Göttingen selonle lieu où ils ont été créés et le nom est suivi d’un numéro codé(NACA 4415 ) qui définit leurs caractéristiques : celles-ci peuvent êtrerésumées par une courbe appelée polaire d’aile qui est la représen-tation paramétrée en valeurs d’incidence, de Cx en abscisses et deCz en ordonnées, comme illustrée par la courbe I de la figure 13.La finesse f de l’aile apparaît comme la pente de la droite OM ; elleest maximale pour des faibles valeurs de l’incidence mais la portancen’est pas grande.

La vitesse du fluide croît le long de l’extrados puis diminue.Lorsque l’incidence augmente, le point où débute la décroissancede vitesse se rapproche du bord d’attaque et simultanément legradient longitudinal de vitesse est de plus en plus accusé, d’oùl’apparition du décollement de la couche limite pour une certaineincidence critique ic (10o sur la figure 12) ; au-delà de cette incidenceic , on constate une baisse de Cz et un accroissement de Cx . Laviolence du phénomène varie selon que le décollement est relatif

à une couche limite laminaire ou turbulente. La polaire de l’aile cessed’être une courbe croissante et tandis que Cz plafonne, Cm augmente,d’où une cassure qui apparaît pour ic ≈ 15o dans le tracé de la courbeII de la figure 13. L’incidence critique et la portance maximale varienten fonction du nombre de Reynolds et de la turbulence de l’écoule-ment libre, pour un même profil.

e 0,15 ≈ ( )

T Cx L ρ V 2 2⁄( )=

P Cz L ρ V 2 2⁄( )=

R

Cm L ρ V 2 2⁄( )=

Cz 2Γ V⁄=

Figure 11 – Schéma d’un profil d’aile

Figure 12 – Coefficients de traînée et de portance,en fonction de l’incidence

i

, du profil de la figure 11

Figure 13 – Polaire d’aile



8.4 Influence de la compressibilitédu fluide sur la résistancedes obstacles

On a vu (§ 8.1) que

C

x

et

C

z

sont fonction du nombre de Reynoldset du nombre de Mach

M

lorsque

γ

et le nombre de Prandtl sontfixés, c’est-à-dire pour un gaz donné. Les courbes de la figure

14

donnent les variations de

C

x

en fonction de

M

pour quelques formesd’obstacles.

Pour les faibles valeurs de

M

,

C

x

est constant par rapport à

M

etdonc ne dépend que du nombre de Reynolds. Dès que

M

atteint lavaleur considérée comme limite du fluide isovolume (

M

≈

0,3),

C

x

croît lentement, puis lorsque

M

= 1,

C

x

varie très fortement. Enfin

C

x

passe par un maximum pour un nombre de Mach d’autant plusfaible que le nez de l’obstacle est effilé ; la croissance de

C

x

est dueà la présence d’une onde de choc favorisée par la forme bulbeusedu nez de l’obstacle.

9. Écoulements permanents monodimensionnelsen mécanique interne

Les paragraphes 7 et 8 concernent un fluide qui s’étend à grandedistance de l’obstacle sur lequel se développe une couche limitedynamique dont le comportement conditionne les qualitésaérodynamiques de l’obstacle. On considère, dans ce paragraphe,l’écoulement d’un fluide à l’intérieur d’une canalisation ; il s’agitd’une mécanique des fluides interne pour laquelle l’influence du frot-tement pariétal se fait sentir dans toute la section droite de la cana-lisation, sauf dans la région proche de l’entrée.

Les écoulements turbulents sont supposés permanents enmoyenne ; par rapport à l’écoulement laminaire permanent, l’effetde la turbulence est de modifier le profil de vitesse avec accrois-sement du frottement pariétal et de la perte d’énergie mécaniquepar dissipation visqueuse.

Le problème de l’écoulement qui est strictement tridimensionnel(3 D) est ramené, pour simplification, à un problème monodimen-sionnel selon l’abscisse

x

, en rapportant en chaque

x

des grandeursmoyennes dans la section droite d’abscisse

x

. Pour bien peser cetteapproximation très usuelle, il est nécessaire d’en faire l’analyse.

9.1 Représentation monodimensionnelle de l’écoulement 3 D

Dans la transformation du problème 3 D en un problème mono-dimensionnel, on supposera que l’écoulement n’est pas permanentet que le fluide possède une masse volumique variable. On appliqueles trois bilans globaux de matière, de quantité de mouvement etd’énergie à un volume de contrôle d

Λ

=

A

d

x

, avec

A

(

x

) aire de lasection droite du tube dont la paroi est supposée solide et imper-méable au fluide.

L’équation (12) donne :

en désignant par , la composante de la vitesse selon ,normale à la section droite, dirigée dans le sens des

x

croissants.

Le bilan de matière (§ 3.4.2) s’exprime par :

(69)

avec débit-masse :

masse volumique moyenne dans la section :

Dans le cas d’un mouvement non permanent, sontfonction de

t

et

x

.

L’équation de la quantité de mouvement (17) conduit à :

(70)

en posant vitesse débitante ; périmètre de la section droite ;

τ

0

tension de frottement pariétal, supposée uniformesur le périmètre (s’il n’en est pas ainsi, onremplace

τ

0

par la valeur moyenne sur ) ;

p

pression uniforme dans

A

, l’écoulement étant uni-directionnel ; si le fluide est un liquide isovolume,il s’agira de la pression motrice ;

,

coefficient (de répartition)

de quantité de mouvement

.

Il faut rappeler que

τ

0

(

t

,

x

) s’oppose à l’avancement du fluide ;

on a ,

y

étant la distance à la paroi ou, s’il s’agit

d’un tube à section circulaire, avec

r

distance au

centre et

R

rayon du tube.

Figure 14 – Coefficient de traînée en fonction du nombre de Mach

DDt--------

dΛGdτ dx ∂

∂ t

------- A

G d A d x ∂∂

x --------

A Gu d A +=

u V n⋅= n

∂∂t------- A ρ ( ) ∂ M

˙

∂

x -----------+ 0 = ~

M M A

ρudA=

ρ~

ρ 1A------

AρdA=~

M et ρ~

∂M∂t

-----------∂

∂x-------- χ1MV( )+ – ∂

∂ x -------- Ap ( ) τ 0 +=

~

V M Aρ⁄=~ ~

p p ρgz+=( )^

χ1 A ρu2dA MV⁄=~

τ0 µ ∂u∂y---------

y 0=

=

τ0 – µ ∂

u ∂ r ---------

r R

= =



Le bilan d’énergie totale s’obtient à partir de l’équation (27). Onsupposera qu’il n’y a pas de source de chaleur volumique (

ϖ

r

= 0), nid’apport d’énergie mécanique , et que l’énergie depesanteur est négligeable :

(71)

avec , enthalpie moyenne dans la section,

q

0 densité de flux thermique pariétal, supposée uniforme sur (ou moyenne sur ),

χ2 , coeffic ient (de répart i t ion)

d’enthalpie,

χ3 , coefficient (de répart it ion)

d’énergie cinétique.

9.1.1 Simplification du problème unidirectionnel

Les équations (69), (70) et (71) introduisent les coefficients χ1 , χ2 ,χ3 qui sont fonction de (t, x ) et donc les difficultés subsistent carla connaissance de ces coefficients exige la résolution du problème3 D. Le traitement direct du problème unidirectionnel n’est possiblequ’à travers quelques simplifications.

Écoulement permanent : l’équation (69) a son premier terme nul

et on conclut que le débit-masse est constant sur toute la longueur

de la canalisation. Les termes dans les équations (70) et (71)

disparaissent, les coefficients χ1 , χ 2 et χ 3 ne sont variables qu’enfonction de x.

Fluide isovolume : le débit masse se conserve et donc

est indépendant de x.

Écoulement établi : on désigne par cette expression le cas où lefluide s’écoule à l’intérieur d’un tube long à section constante. Lacouche limite qui se forme sur la paroi interne dès l’entrée du tubes’épaissit progressivement quand x croît selon le processus décrit

précédemment (§ 7), sans décollement car . Au-delà d’une

certaine longueur d’entrée, appelée longueur d’établissement, lacouche limite remplit toute la section du tube et le profil de vitesseu est alors inchangé : il en résulte des valeurs constantes de χ1 , χ2et χ3 . L’écoulement est dit établi. C’est souvent par référence à cetype de condition qu’on traite les problèmes pratiques.

Écoulement par tranche (ou piston) : la simplification a déjà étéévoquée (§ 4.6). On suppose que la composante u est uniforme dansla section droite du tube quel que soit x ; cela est acceptable enpremière approximation si l’on fait abstraction de la zone de trèsgrand gradient de vitesse près de la paroi. Cette hypothèse est rece-vable pour des tubes courts, c’est-à-dire pour lesquels les coucheslimites sont de faible épaisseur en comparaison du rayon du tube,dans la zone d’entrée : il en résulte χ1 = χ2 = χ3 = 1.

Pour un tube long, l’hypothèse d’écoulement par tranche est plusapprochée mais d’autant plus acceptable que l’écoulement estfortement turbulent ; en effet le cœur turbulent à faible gradient devitesse dans la section droite correspond à environ 70 % de l’airetotale.

Tout se passe comme si la tension τ0(x ) était reportée de la paroi,à la frontière du cœur turbulent (voir loi de paroi § 7.7). Dans ceschéma, on peut parler de l’écoulement par tranche d’un fluidevisqueux (§ 9.5.4). Toutes les grandeurs sont quasi uniformes dansla section et on peut alors supprimer les tildes qui marquent lesgrandeurs moyennes, les coefficients χ étant égaux à l’unité. On peutécrire les équations (69), (70) et (71) sous une forme simplifiée pourl’écoulement permanent :

(72)

(73)

(74)

9.1.2 Charge moyenne dans la section du tube.Pertes de charge régulières et singulières.Équation généralisée de Bernoulli

La charge en un point du fluide a été définie (§ 4.5.1) comme lasomme des énergies mécaniques potentielles de pression, de pesan-teur et cinétique en ce point. L’équation de Bernoulli (37) indique quepour un fluide isovolume, sans viscosité, en régime permanent, lacharge est constante sur une ligne de courant.

Dans le cas d’une canalisation, la charge moyenne dans la sectionse détermine facilement en remarquant que l’aire de la section variegraduellement en fonction de x, l’écoulement est parallèle, enpremière approximation, et que la pression motrice est constantedans la section ; par suite la charge moyenne du fluide isovolumeest :

En régime permanent, le débit de charge reste constant tout lelong de la canalisation si le fluide isovolume n’est pas visqueux :

.

Le fluide étant visqueux, il y a une perte de charge moyenne quiest égale à l’énergie mécanique dégradée ; l’équation (70) conduit

à :

et par intégration sur une longueur L à partir de x1 où le régime

est établi (A, , τ0 constants) :

(75)

La perte de charge est proportionnelle à la longueur de canali-sation dans un régime établi : on dit que la perte est régulière, paropposition à une perte de charge localisée à un endroit où l’écoule-ment subit une perturbation du fait d’une modification du dessin dela canalisation (coude, changement de section, etc.) : alors la pertede charge est dite singulière.

Revenant à la formule (75) et adaptant la représentation de τ0utilisée pour la couche limite (§ 7.6) :

alors

e 0=( )

∂∂t------- χ 2 A ρ h χ 1 + M ˙ V

2 2 --------- ∂

∂

x -------- M h χ 3 M ˙ V

2 2 ---------+ + q 0 = ~

~~ ~ ~

h~ A

ρhudA M⁄=

AρhdA Aρh⁄=

~~

Aρu3dA MV 2⁄=

~

M∂∂t-------

ρ ρ=( )~

AV~

∂p∂x--------- 0<

M ρAV≡ Cte=

ρAV ∂ V ∂ x --------- – A ∂ p ∂

x --------- τ 0 +=

ρAV ∂∂ x -------- h V

2

2

---------+ q 0 =

ρ Cte=pρ------ χ3 V

2 2 ---------+=

^

~

M ρ Cte= Cte=

M ρAV=( )~

ρA ∂ ∂ x --------- τ 0 + 0 =

V~

∆ 1 2–τ0

ρ-------

A ------ L = =

τ0 ρ⁄ u *2 1

2----- C f V 2 = =

~

∆ Cf A ------ V

2 2 --------- L =



et si on définit le diamètre hydraulique et 4

C

f

=

Λ

,

coefficient de perte de charge régulière

:

(76)

Dans cette formule,

Λ

dépend principalement du nombre de

Reynolds , de la forme de la section et, puisque l’écou-lement est turbulent, de la qualité de surface de la paroi (laquelleest plus ou moins rugueuse).

En ce qui concerne les pertes de charge singulières, la descriptionprécédente n’est pas valide car l’effet de frottement sur la paroi estsecondaire par rapport au brassage de la masse fluide du fait de laréorganisation de l’écoulement qui est turbulent et plus ou moinsstable. On convient d’écrire :

(77)

avec

ζ

coefficient de perte de charge singulière

connu pour quel-ques configurations qui seront considérées plus loin.

Une canalisation est une succession de tronçons rectilignes àsection constante, de changements brusques de section, de coudes,d’étranglements par vannes, etc. Chaque circonstance est la caused’une perte de charge ; dans l’estimation de la perte de chargeglobale pour la canalisation entière

on convient de majorer

enadmettant que les pertes sont additives comme s’il n’y avait pasd’interaction favorable entre deux causes successives. Ainsi, pourla longueur totale du conduit :

(78)

C’est l’

équation de Bernoulli généralisée

.

Il faut, s’il en est besoin, tenir compte de l’énergie mécaniqueéventuellement fournie au fluide par des surfaces solides mobilessituées à l’intérieur de la canalisation considérée ; auquel cas,puisque l’équation est écrite en termes de perte de charge, la pertede charge globale est diminuée d’autant (si de l’énergie mécaniqueest enlevée au fluide, la perte de charge est accrue).

L’équation est applicable à un fluide quelconque. Si le fluide estun liquide incompressible mais dilatable, on considère la pression

motrice et si le fluide est gazeux, la pesanteur n’intervient pas.On traitera plus loin de l’exploitation de cette équation après avoirexaminé les principales circonstances de perte de charge.

9.2 Exemples d’écoulementsdans des canalisations

Il a été dit qu’on ne peut approcher les valeurs des coefficientsde répartition

χ

qu’à partir de la résolution du problème analytique.On examine ici quelques cas classiques d’écoulements établis.

9.2.1 Écoulement laminaire établidans un tube droit à section circulaire

Le tube est de grande longueur et on maintient constante une dif-férence de pression entre les deux extrémités. Le fluide est iso-volume et isotherme. L’écoulement est toujours laminaire si

Re = VD / ν < 2 000 avec V , vitesse débitante (on supprime dorénavantle symbole tilde).

Après une distance parcourue , longueur d’établissement, telleque le profil des vitesses est inchangé. L’équation deconservation de la masse implique que la composante

v

normaleà la paroi est nulle non seulement sur celle-ci, mais dans toute lasection droite. La vitesse

u

à la distance

r

de l’axe ne dépend quede

r

; l’intégration de l’équation de Navier-Stockes (24) donne :

expression dans laquelle le terme est positif et constant

tout le long de l’écoulement. La répartition de

u

dans la section étantconnue, une intégration dans l’aire complète de la section conduit à :

Le débit de fluide est proportionnel au gradient de pression longi-tudinal et à la puissance quatrième du diamètre : c’est la

loi dePoiseuille

.

Sur une longueur de parcours

L

, la perte de charge n’est autre

que , comptée en terme de pression : en effet l’écou-lement étant établi, l’énergie cinétique moyenne reste constanteselon

x

. On tire de la dernière formule :

ce qui entraîne pour le coefficient de perte de charge :

Λ

= 64/

Re

(79)

On peut évaluer les coefficients :

χ

1

= 4/3 pour la répartition de quantité de mouvement ;

χ

3

= 2 pour l’énergie cinétique.

9.2.2 Écoulement laminaire établientre deux plans parallèles

Il est l’image d’un écoulement établi dans un conduit de sectionrectangulaire très allongée, l’effet des petits côtés étant négligeabledans l’ensemble.

On désigne par

e

l’écartement des plans et l’origine des

y

est prise

à la mi-distance . Tout ce qui a été précédemment

écrit (§ 9.2.1) est transposable. La vitesse est donnée par :

avec

η

= 2y /e

et la vitesse débitante par :V = ae2/12 µ

La perte de charge relative à une longueur L est :

Ainsi, la formule (76) est applicable avec la convention du diamètrehydraulique Dh = 2e en prenant :

Λ = 96/ReDh et ReDh = V (2e)/ν (80)

Les coefficients χ1 et χ2 sont respectivement égaux à 1,2 et 1,54 ;ces valeurs montrent par comparaison avec le cas du tube à sectioncirculaire que les profils de vitesse, de quantité de mouvement etd’énergie cinétique sont relativement plus plats.

Dh 4A ⁄=

∆ Λ V 2

2 --------- L

D

h ---------=

~

Re VDh ν⁄=~

∆ ζ V 2

2 ---------= ~

∆ Σ Λ V 2

2 --------- L

D

h --------- Σ ζ V

2 2 --------- +=

~

p^

D⁄ 0,06Re

u a 4µ⁄[ ]D2

4--------- r 2– =

a – d p d x ---------= ^

M πaD4

128ν----------------= et V aD2

32µ------------=

∆p aL=^ ρ∆( )

∆p 32µVL D2⁄=^

– e2 ----- y e

2 -----

u ae2

8µ----------- 1 η 2 – =

∆p 12µVL e2⁄=^



9.2.3 Remarques sur le diamètre hydrauliqueet la forme des sections droites

L’avantage de la formule (76) est de ne pas privilégier une dimen-sion particulière de la section droite en introduisant le diamètrehydraulique. D’autre part, on peut se tirer d’affaire, dans l’ignorancede la formule exacte donnant

Λ

, en adaptant la formule (79) de lasection circulaire avec Λ = 64 /ReDh . En l’appliquant à une sectionrectangulaire 1 × 3 : l’erreur commise est de 8 % par excès. L’erreurn’est que 3 % par défaut pour une section 1 × 2 et 12 % par excèspour une section carrée.

La sensibilité de Λ à la forme de la section droite s’efface dansle cas des écoulements turbulents.

Le lecteur peut vérifier la sensibilité de Λ, χ1 et χ 3 à la déformationd’une section droite elliptique dont les demi-axes sont Y et Z. Ondonne le profil de vitesse établie en régime laminaire :

où y et z sont les coordonnées orthogonales du point en lequel lavitesse est u.

En faisant varier Z, on peut représenter le cas du cercle (Z = Y )et, à l’extrême, le cas des deux plans (Z infini).

9.2.4 Écoulement turbulent établidans un tube droit de section circulaire

L’écoulement turbulent que l’on observe pour Re > 3 000 est iden-tique à celui d’une couche limite qui remplit toute la section duconduit. Les formules écrites pour la couche limite turbulente (§ 7.7)sont transposables en remplaçant l’épaisseur δ par le rayon R dutube et la vitesse U à la distance δ par la vitesse umax sur l’axe du tube.

On distingue la loi de vitesse déficitaire :

(umax – u )/uτ = 7,35(r /R)2

depuis le centre de la section (r = 0) jusqu’à r /R ≈ 83 %, puis la loide paroi au-delà en se rapprochant de la paroi. Le gradient longi-tudinal de pression négatif qui traduit la perte de charge fige laconfiguration de cette couche limite particulière.

La faible place occupée par la sous-couche interne a pourconséquence des coefficients χ1 et χ 3 très proches de l’unité, d’autantplus proches que le nombre de Reynolds Re = VD /ν atteint desvaleurs élevées. On peut prendre pratiquement les valeursmoyennes : χ1 = 1,02 et χ3 = 1,06.

La formule (57) dont la constante est retouchée pour tenir comptede la différence entre umax et la vitesse débitante V, s’écrit :

V /uτ = 2,5ln(uτR /ν) + 2,04

On peut y faire apparaître Λ = 8(uτ /V )2 défini au paragraphe 9.1.2et, prenant les logarithmes décimaux :

Cette formule de Karman-Nikuradze a le désavantage de néces-siter des itérations pour obtenir Λ, Re étant connu. Elle est valablepour Re > 105.

On peut initialiser les itérations en prenant :

Λ = 0,316Re–1/4

formule de Blasius valable pour Re < 105.

Paroi rugueuse : dans les conduites industrielles les aspéritésnaturelles des parois favorisent un écoulement turbulent sans sous-couche laminaire et donc avec des coefficients χ1 et χ3 encore plusproches de l’unité que dans le cas des conduites lisses. Colebrook a

trouvé expérimentalement que si le nombre de Reynolds est assezélevé, le coefficient de perte de charge Λ devient indépendant dunombre de Reynolds. La mesure de la perte de charge permet d’attri-buer une hauteur pratique d’aspérités ε pour les parois usuelles :

cuivre, plomb plastique ................................................ ε = 0,0015 mmacier, fer ordinaire .................................................... 0,045 mmfer ou acier galvanisé............................................... 0,15 mmfonte ........................................................................... 0,25 mmplanche en bois......................................................... 0,20 à 0,9 mmfibre de verre (tube rigide) ...................................... 0,9 mmbéton .......................................................................... 0,3 à 3 mm

Le coefficient Λ est fonction du nombre de Reynolds et de la rugo-sité relative ε /D. Colebrook a proposé la formule suivante :

qui présente l’inconnue Λ dans les deux membres de l’équation.J. Nackab (La Houille Blanche, no 1, 1988, p. 61) a éludé la difficultéen proposant :

(81)

Cette approche lève la difficulté de la formule de Karman-Nikuradze pour un tube lisse :

(82)

On retiendra que le coefficient Λ varie en fonction de Re d’unefaçon beaucoup plus complexe que dans le cas de l’écoulement lami-naire établi.

Il faut noter que les conduits industriels sont des tronçons recti-lignes raccordés par des brides. Chaque raccordement introduit unesingularité qui ajoute une perte de charge proportionnelle au carréde la vitesse et pratiquement indépendante du nombre de Reynolds.D’autre part, le fluide en circulation peut soit attaquer la paroi, soitprovoquer des dépôts ; la conséquence est la modification, dans letemps, de l’état de surface et donc du coefficient de perte de charge.

9.2.5 Écoulement turbulent établidans une conduite droite quelconque

Quelle que soit la forme de la section, la sous-couche interne gardela même structure ; le cœur de l’écoulement est modifié d’une formeà l’autre mais cela concerne une zone de faible gradient transversalde vitesse. Il en résulte que le coefficient de perte de charge Λs’exprime pratiquement de la même façon que pour une sectioncirculaire en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité rela-tive en utilisant le diamètre hydraulique Dh dans les deux paramètresRe = VDh /ν et ε /Dh .

Pour justifier cette approche on peut prendre le cas de l’écoule-ment établi entre deux plans parallèles comparé à celui dans lasection circulaire : l’application de la formule (82) conduit à uneerreur sur Λ proche de 7 %, pour Re = 106, ce qui est faible pour deuxgéométries aussi dissemblables (voir la discussion relative auxécoulements laminaires : § 9.2.3).

9.2.5.1 Cas de l’espace annulaire entre tubes concentriques

Lorsque le fluide circule dans l’espace annulaire entre deux tubesconcentriques de diamètre respectif D1 et D2 (D1 < D2), le diamètrehydraulique est Dh = D2 – D1 . Ce seul paramètre n’est pas suffisantpour estimer Λ. Il faut en effet retoucher la formule (75) enremarquant qu’il y a cette fois deux périmètres auxquels

u a2µ--------- Y

2

Z

2

Y 2

Z

2 +

( ) --------------------------- 1 y

2

Y

2

---------– z

2

Z

2 --------– =

1 Λ⁄ 2lg Re Λ( ) 0,8–=

1 Λ⁄ – 2lg 0,27 ε D ------ 2,51

Re

Λ -------------------+ =

Λ 2lg 0,27 ε D ------ 2,51

Re

0,4

Re

– 0,3

0,005 3 + ( ) 1 2 / --------------------------------------------------------------------------+

–2

=

Λ 2lg 2,51Re–1 0,4Re– 0,3 0,005 3 + ( ) 1 2 /–

–2

=

1 et 2



correspondent les coefficients de frottement

C

f

1

et

C

f

2

; on peuttrouver simplement, en introduisant

ω

=

D

1

/

D

2

, que :

Λ

= 4(

ω

C

f

1

+

C

f 2

)/(1 +

ω

)

Cela montre que

Λ

dépend du nombre de Reynolds à travers

C

f

1

et

C

f

2

, et de

ω

. Pour des parois lisses, l’utilisation de

D

h

atténuel’influence de

ω

qui est pratiquement nulle pour

Re

> 2

×

10

5

et quise traduit, pour

Re

= 2

×

104, par 6 % de croissance entre ω = 0,02et ω = 0,1 avec aucun effet si ω > 0,1 (Rehme, 1974).

9.2.5.2 Longueur d’établissementdes écoulements turbulents

Dans le cas des écoulements turbulents, le régime permanentétabli s’obtient sur des longueurs d’entrée beaucoup plus faibles quedans le cas du régime laminaire. On peut se baser sur la formulesuivante relative au tube de section circulaire : .

9.3 Pertes de charge singulières

On peut dire que les pertes de charge régulières relatives auxconduits de grande longueur, parce qu’elles sont dues au frottementdu fluide sur les parois, sont fonction du nombre de Reynolds et dela rugosité des parois. Par contre, pour les singularités que nousallons étudier, il s’agit d’accidents de parcours provoqués par deschangements plus ou moins brusques dans la géométrie de laconduite ; la perte de charge est due au brassage du fluide, à laréorganisation de l’écoulement et elle s’exprime sans référence aunombre de Reynolds ou à la rugosité de la paroi.

Bien que la singularité géométrique soit parfois très localiséecomme par exemple un élargissement brusque de section, la réor-ganisation de l’écoulement se fait sur une longueur de l’ordre d’unedizaine du diamètre en aval. Cela pose une convention à définir dansl’évaluation de la perte de charge par voie expérimentale pouratteindre une approche correcte du coefficient de perte de chargeζ telle que la perte de charge en termes d’énergie massiques’exprime (§ 9.1.2) par (77) ;

9.3.1 Changement de sectionsans changement de direction

La formule (77) n’est pas appropriée au cas du changement desection car la vitesse V (et donc ζ) dépend de la section prise enréférence, celle de l’amont ou celle de l’aval. Il est plus avantageuxde réécrire (77) en faisant apparaître le débit-masse qui seconserve dans la traversée de la singularité. Ainsi, en terme d’énergiemassique :

et en terme de pression :

(83)

avec Z = ζ /2ρA2.

On verra plus loin (§ 9.4) l’avantage de l’introduction de dansl’expression des pertes de charge pour les réseaux de canalisations.

9.3.1.1 Élargissement brusque

Un conduit cylindrique droit de section A1 est prolongé par unautre de section A2 (figure 15). La perte de charge, entre l’abscissex où change la section et l’abscisse x + L où l’écoulement est réor-ganisé, se calcule par application simplifiée du bilan de quantité demouvement (§ 4.5) en négligeant le frottement sur la paroi ; onobtient, en terme de pression, la formule de Borda-Carnot :

avec V1 et V2 vitesses débitantes dans les sections A1 et A2 .

Malgré les simplifications, cette formule est bien vérifiée parl’expérience.

En référence à la formule (83), on a ici :

(84)

Cas particulier : pour un conduit cylindrique de section Adébouchant dans un grand réservoir à l’aval (A2 infiniment grand etV2 = 0) : 1,06 < ζ < 1,1 (au lieu de ζ = 1).

9.3.1.2 Rétrécissement brusque

Un tube long de diamètre D est prolongé par un autre de diamètreD2 < D. On constate que la perte de charge naît en aval d’une zonede striction des lignes de courant, par effet d’élargissement à l’inté-rieur du tube de diamètre D2 . La veine fluide est contractée car descourants de recirculation sont formés à l’entrée de ce tube. Laformule (84) est valide en prenant pour A1 l’aire de la veinecontractée ; si on définit le coefficient de contraction C c parCc = A1 /A2 , on a :

Le coefficient Cc dépend du rapport D2/D des diamètres des canali-sations. (0)

Cas particulier : dans le cas d’un tube cylindrique raccordé à ungrand réservoir situé à l’amont ;

— si le bord du tube affleure la paroi du réservoir :

ζ = 0,5 (ou Cc ≈ 0,59)

— si le tube pénètre à l’intérieur du réservoir (orifice rentrant ) :

ζ = 1 (ou Cc ≈ 0,50)

— si le bord du tube affleure la paroi du réservoir, mais avecl’entrée du tube profilée en quart de cercle (figure 16), la contractionde la veine à l’engouffrement s’accompagne d’une perte de chargenégligeable (ζ ≈ 0,02).

D⁄ 4Re0,2=

∆ ζ V 2

2 ---------=

M

∆ ζ

2ρ2A2-------------------M=

∆p ρ∆≡ ZM2=

M

D

2

/

D

0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9

C c

0,57 0,6 0,61 0,65 0,72 0,79

ζ

0,55 0,47 0,4 0,3 0,15 0,007 5

Figure 15 – Élargissement brusque

∆p ρ∆≡ ρ V1 V2–( )2 2⁄=

Z 12ρ--------- 1

A

1 -------- 1

A

2 --------–

2 =

Z 1

2ρA22

---------------- 1 C

c -------- 1 –

2 =



9.3.1.3 Diaphragme mince dans un tube

Un diaphragme à bord mince (biseauté) obture partiellement untube de diamètre

D

(figure

17

). L’écoulement est étranglé et onobserve une contraction de veine puis un élargissement jusqu’aurecollement de l’écoulement monodimensionnel à la paroi. La pertede charge est exactement du même type que celle d’un rétrécis-sement brusque (§ 9.3.1.2).

Si

d

désigne le diamètre de l’orifice du diaphragme et

C

c le coef-ficient de contraction rapporté à l’aire de cet orifice, la perte decharge est caractérisée par :

avec

avec V vitesse débitante dans le tube de section A = πD 2/4.

Le coefficient de contraction C c est fonction du nombre deReynolds au diaphragme et du rapport d /D ; la figure 18 montrecomment varie Cc en fonction de d /D pour Re > 105.

9.3.1.4 Diaphragme à l’extrémité d’un tube

On est dans le cas d’un fluide débouchant dans un grand réservoirpar un orifice restreint. Il y a, comme précédemment, contractionde la veine en aval du diaphragme (figure 19). Le débit s’exprimepar :

en désignant par V et U la vitesse débitante dans le tube et celledans la veine contractée dont les aires respectives sont A et σ.

Puisqu’il n’y a pas de perte de charge en amont de la contraction :

où est la différence entre la pression motrice dans le

tube juste en amont du diaphragme et la pression motrice dans leréservoir.

L’aire de la veine contractée s’évalue par référence à l’aire del’orifice du diaphragme πd 2/4 en introduisant un coefficient de débitCq qui n’est autre que le coefficient de contraction considéré précé-demment : σ = Cq(πd 2/4).

Ce coefficient dépend du nombre de Reynolds au diaphragme etdu rapport d /D. La figure 20 montre, dans le cas d’un diaphragmetrès étroit, comment influe le nombre de Reynolds au diaphragmeet lorsque celui-ci est supérieur à 105 on peut se reporter à lafigure 18.

La perte de charge à l’élargissement est (§ 9.3.1.1) :

La charge en amont du diaphragme est supérieure à la charge dansle réservoir, d’une quantité ρU 2 laquelle est nécessaire pour assurerle débouché du fluide dans le réservoir.

9.3.1.5 Divergent ou diffuseur

On a vu que pour une entrée profilée (§ 9.3.1.2) la perte de chargeest faible ou négligeable. Par contre, pour les divergents la perte decharge est d’autant plus élevée que l’angle du divergent est ouvert,le cas extrême étant l’élargissement brusque. La figure 21 repré-sente un divergent conique reliant un tube de diamètre D1 à un autrede diamètre D2 . Si L est la longueur du divergent, le demi-angle θest tel que tan θ = (D 2 – D1)/ 2L. Si le nombre de Reynolds est

Figure 16 – Convergent quart de cercle

Z ∆p

M---------=

∆pρV 2

2------------

D

2 C

c d 2 --------------- 1 –

2

=

M ρAV ρσU= =

U 2 δ ρ⁄( )=

δ p* p0–= ^

Figure 17 – Diaphragme mince dans un tube

Figure 18 – Coefficient de contraction pour

Re

> 10

5

Figure 19 – Diaphragme en extrémité de tube

Figure 20 – Coefficient de débit en fonction du nombre de Reynolds (cas de la figure 19)

∆p ρU2 2⁄= soit ∆p 8M2 π2ρC q2d4⁄=



supérieur à 10

5

,

ζ

n’est fonction que de

θ

; la courbe de la figure

22

montre que

ζ

, minimal pour 2

θ

< 7

o

, croît rapidement et prend lavaleur unité pour 2

θ

≈

90

o

; la perte de charge est due au dévelop-pement de courants de recirculation (décollement de couche limite)au voisinage des parois et donc au phénomène d’élargissement dela veine en aval. La valeur de

ζ

dépend fortement de l’épaisseur dela sous-couche interne à l’entrée du divergent : elle est plus faiblesi la sous-couche interne est mince.

Pratiquement, si la nécessité contraint à réaliser un divergent degrand angle, on a intérêt à placer, à l’intérieur, des cloisons diver-gentes qui guident le fluide dans son expansion avec dans chaquecanal un angle le plus proche possible de 7

o

.

9.3.2 Changement de direction

On ne peut ici évoquer toutes les géométries utilisables dans lapratique et on se bornera à considérer les situations principales.

9.3.2.1 Coude arrondi

Le tube à section constante est cintré et la direction de sortie està angle droit avec celle d’arrivée (figure

23

). Un écoulementsecondaire est induit par les forces d’inertie avec symétrie parrapport au plan contenant l’axe du tube. Si

r

est le rayon de cintrageet

D

le diamètre du tube le coefficient de perte de charge

ζ

est d’autantplus fort que

r

est petit : (0)

9.3.2.2 Coude à angle vif

(figure

24

)

La désorganisation de l’écoulement est plus marquée que dansle cas précédent : pour une déviation de 90

o

la perte de charge està peu près les quatre tiers de l’énergie cinétique du fluide. (0)

9.3.2.3 Bifurcations

Un écoulement dans un tube dont l’aire de la section droite est

A

se partage en deux écoulements dans des tubes de section d’aire

A

/2 ; l’énergie cinétique reste pratiquement égale après le partageà ce qu’elle est dans le tube d’alimentation, c’est-à-dire que la chargeserait inchangée pour un fluide sans viscosité. Ici la perte de chargeest caractérisée par le coefficient

ζ

qui est la fraction de la mêmeénergie dans les trois branches.

Bifurcation arrondie

(figure

25

) : le diamètre de sortie est

D

et lerayon de cintrage

r

: (0)

Bifurcation à bords vifs

(figure

26

) : (0)

9.3.3 Autres causes de perte de charge.Influence de la température

Il existe de nombreuses autres causes de perte de charge quecelles examinées ici. Parmi elles, il faut considérer les vannes qui,par leur dessin particulier et par leur degré d’ouverture progressive,ont des coefficients de perte de charge précisés par les constructeurs.

r

/

D

0,5 0,75 1 1,5 2 3 4

ζ

1,2 0,60 0,40 0,32 0,27 0,22 0,20

Si l’angle de sortie est différent de π /2, on peut approcher lavaleur de

ζ

en supposant qu’elle est proportionnelle à lalongueur de l’arc de rayon

r

parcouru. Par exemple, si le change-ment de direction

α

, avec cintrage

r

/

D

= 1, correspond à

π

/3 (aulieu de

π

/2) on prendra

ζ

= 0,4

×

(2/3)

≈

0,27.

α

(

o

) 15 30 45 60 90

ζ

0,1 0,2 0,5 0,7 1,3

r

/

D

0,5 0,75 1 1,5 2,0

ζ

1,2 0,6 0,4 0,25 0,2

Figure 21 – Divergent conique

Figure 22 – Coefficient moyen de perte de chargeen fonction de l’angle au sommet 2 d’un divergent conique

Figure 23 – Coude arrondi

Figure 24 – Coude à angle vif

α

(

o

) 15 30 45 60 90

ζ

0,1 0,3 0,7 1,0 1,4



L’influence de la température sur les pertes de charge singulièresest nulle ou négligeable quant à l’intensité de la perte de charge ;elle peut se faire sentir sur la longueur de canalisation au bout delaquelle l’écoulement redevient organisé, longueur plus grande pourun liquide dont la température est accrue, donc de viscosité moindre.

Par contre la température joue un rôle sensible dans lespertes de charge régulières car Λ est fonction du nombre deReynolds qui s’écrit dans le cas d’une section quelconque

. Le débit-masse se conserve tout le long

d’une section sans bifurcation et, le périmètre étant constant, onvoit que le nombre de Reynolds est inversement proportionnel à laviscosité dynamique. En conséquence, l’équation de Bernoulligénéralisée (76) s’applique comme il a été dit (§ 9.1.2) à un liquideincompressible dilatable, c’est-à-dire à température variable longi-tudinalement, mais à condition de considérer des subdivisions enligne, telles qu’en chacune d’elle la masse volumique ne varie pasplus de 5 %, la viscosité étant calculée pour la températuremoyenne correspondante. Il en sera de même pour un gaz.

9.4 Réseaux de canalisations

On considère un réseau maillé de plusieurs canalisations avecraccordement par bifurcations ou confluents. Il s’agit d’étudier lesconditions d’écoulement d’un fluide dans ce réseau avec des spéci-fications formulées à l’avance : débit imposé dans toutes les bran-ches du réseau ou dans quelques-unes, caractéristiques imposéessur le dessin des branches, charge du fluide imposée en certainspoints du réseau par utilisation de pompes ou de ventilateurs, etc.

Les circonstances les plus simples sont rencontrées lorsque l’écou-lement est soit laminaire, soit turbulent dans l’ensemble du réseau.Le cas le plus fréquent dans l’industrie est celui d’un écoulementturbulent. Les pertes de charge régulières et singulières sont toutesproportionnelles au carré de la vitesse débitante, c’est-à-dire du débitmassique (83) ; l’équation (78) pour une canalisation danslaquelle le débit est constant, s’écrit en terme de pression :

(85)

en notant, pour les pertes régulières (indice « f » comme frottement) :

et pour les pertes singulières (indice « m » comme mélange) :

Zm = ζ /2ρA2

Si les charges sont imposées aux extrémités de la canalisation,le débit est évidemment :

9.4.1 Canalisations en parallèle

Soit plusieurs canalisations branchées à leurs extrémités à unecanalisation principale qui les alimente. L’analogie électriquesuggère la règle de répartition des débits dans les conduits enparallèle :

en posant, selon (85), débit-masse distribué dans les branches.

Par suite : .

Pour obtenir ce résultat on a évidemment exploité la règle de laconservation du débit-masse aux nœuds du réseau.

9.4.2 Réseau maillé

Dans le problème des canalisations en parallèle (§ 9.4.1) entredeux nœuds, il n’y a pas d’ambiguïté sur la circulation du fluide quiest dans le même sens dans les branches. Il n’en est pas de mêmedans le cas d’une maille quelconque d’un réseau et pour pouvoircalquer les méthodes algébriques des réseaux électriques, ilconvient d’écrire :

afin de donner une forme exploitable algébriquement ; on choisitconventionnellement un sens positif sur la canalisation depuis lenœud A jusqu’au nœud suivant B : si le débit va dans le sens AB,il est dit positif et donc la perte de charge est positive (la chargeen A est supérieure à celle en B ).

Comme en électricité, on raisonne en termes de nœuds et demailles avec :

— à un nœud, conservation du débit-masse : ;— dans le circuit fermé d’une maille :

Si le réseau possède n nœuds et b branches (canalisationscomprises entre deux nœuds), il suffit de considérer m = b – (n – 1)mailles indépendantes et donc équations indépendantes de derniertype.

Figure 25 – Bifurcation arrondie (angle droit)

Figure 26 – Bifurcation à bords vifs

Re VDh ν⁄ 4M µ⁄= =

M

∆p ρ ∆≡ ΣZf ΣZm+( )M2=

Z f12----- Λ L

ρ 2 D

h

A

2

-------------------------=

M ∆p ΣZf ΣZm+( )⁄ 1 2⁄=

∆pM1

1 Z1

--------------------M2

1 Z2

-------------------- … Mi

1 Zi

------------------- … M

1 Zi ∑-------------------------------= = = = = =

M

Mk M Zk 1 Zi ∑=

∆p Z M M×=

M 0=∑

∆p ΣZ M M 0= =



9.5 Écoulements permanentsdes gaz parfaits dans les conduits

On considère quelques applications des équations (72), (73) et (74)au cas d’un fluide compressible assimilable à un gaz parfait. Il a étédit que l’établissement de ces équations suppose un écoulement par

tranche pour lequel l’influence de la viscosité est confinée à la régionpariétale tandis que le cœur du fluide avance avec une vitesseuniforme dans la section droite, hypothèse d’autant plus acceptableque l’écoulement est accéléré (cas d’un convergent en subsonique)et/ou que la canalisation est de longueur égale à quelques diamètres(zone d’entrée).

On rappelle ici deux équations qui ont été écrites pour une lignede courant d’un écoulement permanent et qui s’accordent avec leséquations (72), (73) et (74) qui, elles, sont relatives à un tube de cou-rant de section A(x ). La loi A(x ) étant donnée, on connaît la loi devariation des paramètres le long de la ligne de courant.

Équation de Thomson pour un écoulement permanentadiabatique :

[cf. relation (40)].

On reconnaît l’équation (74) intégrée avec .

Si l’hypothèse du gaz parfait est ajoutée :

on obtient :

(86)

Équation de Barré de Saint-Venant si l’écoulement est permanentisentropique ( , gaz parfait) :

[cf. relation (39)].

9.5.1 Écoulement isentropique d’un gaz.Relation d’Hugoniot

On considère un gaz quelconque sans viscosité, en écoulementpermanent, sans aucune manifestation d’irréversibilité comme une

Exemple

Le réseau simple schématisé sur la figure 27 possède n = 4 nœudset b = 5 branches ; on considère m = 5 – (4 – 1) = 2 maillesindépendantes : la maille I joignant les nœuds abd et la maille II joignantbcd.

Sur cet exemple on constate que 8 débits sont en jeu ; il est néces-saire de disposer de deux données afin que le problème puisse êtrerésolu, données qui concernent les branches ouvertes Aa, Bb, Cc. Onapporte deux informations sur le débit ou sur la charge. La donnée d’undébit est facile à exploiter dans les équations écrites pour les nœuds.La donnée de la charge en A est exploitée dans une équation écrite pourune maille, par exemple, dans le parcours AabB avec les conventionsalgébriques :

∆pA → a + ∆pa → b + ∆pb → B = pA – pB

La recherche de la solution se fait par itération en partant d’unedistribution des débits la plus plausible possible afin de réduire lenombre d’itérations. On choisit un sens positif pour chaque maille (lechoix est libre) pour écrire les équations pour les mailles. Cross (1936)a proposé une méthode des essais corrigés (trial and error ) avec un typede correction qui assure une convergence rapide par un calcul surordinateur.

La méthode de Cross est la suivante : appelons le débitsupposé initialement dans la conduite d’indice i ; pour une maille I,l’équation écrite conduit à :

Il s’agit de se rapprocher de la solution à trouver, ; on corrige les

de la maille I en leur ajoutant le même incrément , de telle

sorte qu’on puisse obtenir :

Comme il ne s’agit que d’une correction itérable, on prend à sonpremier ordre :

et on corrige tous les débits de la maille I avec cet incrément commun.On opère de même dans toutes les familles II, III,... avec des

... Ainsi le calcul est repris avec les débits corrigés et on

calcule les ...

Si une canalisation appartient à deux boucles I et II, le débit retenupour l’itération suivante sera la moyenne des débits corrigés (cas de bddans la figure 27).

Lorsque la convergence est jugée satisfaisante, on vérifie que les Zfides canalisations sont compatibles avec les valeurs finales des nombresde Reynolds.

La méthode est évidemment transposable au cas du régime laminairedans le réseau pour lequel la perte de charge régulière est proportion-nelle au débit-masse. Cette fois, la correction itérée s’écrit :

M i0( )

ΣZi M i0( )

M i0( )

0≠

Mi

M i0( )

∆ I0( )

ΣZi M i0( )

∆ I0( )+ M i

0( )∆ I

0( )+ 0=

∆I0( )

Σ

Z

i

M

˙

i

0

( )

M

˙

i

0

( )

2

Σ

Z

i

M

˙

i

0

( ) ---------------------------------------------- –=

∆II0( ), ∆III

0( )

∆ I1( ), ∆ II

2( )

∆ Σ Z i M ˙ i ( ) Σ Z i ( ) –=

Figure 27 – Schéma de réseau maillé

h* h V 2

2---------+ Cte= =

q0 0=

h cpTγ

γ 1–--------------

p ρ -----= =

V 2 2γγ 1–--------------

p

* ρ * -------

p ρ -----– 2

γγ

1

–-------------- r T * T – ( ) = =

q0 τ0 0= =

V 2 2γγ 1–--------------

p

* ρ * ------- 1 ρ

ρ

* -------

γ

1

–

–=

2

γγ

1

–--------------

p

* ρ

* ------- 1 p

p

*

-------- γ

1

–

γ --------------

–=



onde de choc. Les équations (72) et (73) peuvent être écrites sousla forme :

On introduit la célérité du son et le nombre de Mach

M

=

V

/

a

pour obtenir

la relation d’Hugoniot

:

Cette relation est obtenue sans hypothèse particulière sur la naturethermodynamique du fluide. Elle montre que :

— si

M < 1 (écoulement subsonique), dA et dV sont de signescontraires : lorsque la section croît, la vitesse diminue etinversement ;

— si M > 1 (écoulement supersonique), dA et dV ont le mêmesigne ; la vitesse et la section croissent ou décroissent simulta-nément ;

— la vitesse ne peut être égale à la célérité du son qu’en unesection d’aire minimale (le conduit a un col ou étranglement). Étantdonné que dV /V reste fini lorsque M = 1, on a dA = 0 et cette conditionn’est à retenir que pour un minimum de A. S’il s’agissait d’un maxi-mum de A, on aurait dV = 0 et M soit supérieur, soit inférieur à l’unitéde part et d’autre de l’aire maximale (conséquence des cas M < 1et M > 1).

Le passage du subsonique au supersonique par voie isentropique(ou du supersonique au subsonique) ne peut se faire qu’au col, maisil n’y a pas obligation d’un changement de régime au col.

9.5.2 Débit-masse d’un gaz parfaiten écoulement isentropique

La vitesse étant donnée par l’équation (39), le débit-masse dansle conduit est :

(87)

en posant :

On maintient les conditions génératrices constantes (celles d’ungrand réservoir à pression et température constantes qui alimentele conduit) ; quand p diminue à partir de p* , Y passe par un maximumpour :

p/p* = [2/(γ + 1)]γ /(γ – 1)

La figure 28 représente la variation de Y dans le cas de l’air.

Supposons que le conduit soit un convergent et qu’on

impose une pression pa < p* en aval du conduit. La conservation dudébit veut que AY soit constant et donc que Y croisse dans le sens

de l’écoulement , la pression diminue , ainsi que

la masse volumique tandis que la vitesse augmente : ce sont lescaractéristiques d’une détente subsonique et le point figuratif de Yse déplace de N vers C. Si pa est suffisamment bas, le régime

d’écoulement sonique apparaît au point C pour lequel on désignepar pc , ρc , Tc , Vc les grandeurs caractéristiques, l’aire de la sectionétant Ac . On a les relations :

La vitesse Vc est égale à la célérité du son pour la températureTc qui est liée à la température génératrice.

Pour que le débit-masse soit maximal, il faut que dans la sectiond’aire minimale Ac la vitesse du fluide soit égale à la célérité du son,déterminée par les conditions génératrices. Le débit maximal a alorsune valeur bien déterminée et si la pression pa est abaisséeau-dessous de celle qui a provoqué le régime sonique, le débit maxi-mal reste inchangé :

Cas d’une tuyère convergente-divergente de Laval

Une tuyère convergente-divergente dite de Laval fait commu-niquer une région subsonique en amont, de conditions génératricesp* , T* (ρ* n’est pas indépendant), avec une région en aval où lapression est pa . On vient de voir que si pa est abaissé modérémentl’écoulement est subsonique jusqu’au col où la vitesse est maximalemais avec M < 1. L’élargissement de la tuyère pour x > xc provoqueune recompression. L’ensemble de l’écoulement est subsoniqueavec détente suivie d’une compression : courbes I de la figure 29.

Si la vitesse au col est sonique, il peut y avoir en aval retour àun régime subsonique de recompression (courbes II), mais si la pres-sion pa est suffisamment basse, un écoulement supersonique sedéveloppe au-delà du col (courbes III). La détente est alors monotonedans toute la tuyère avec passage du régime subsonique au régimesupersonique.

La pression finale de sortie de la tuyère est pour la courbeII et pour la courbe III. Entre ces deux valeurs, il ne peut y avoirde pression finale de sortie obtenue par voie isentropique ; on verraplus loin que cette circonstance s’accompagne de laformation d’une onde de choc, phénomène irréversible.

dρρ

--------- dAA

---------- dVV

----------+ + 0=

VdV 1ρ----- d p + 0 =

a 2 dpdρ---------=

dAA

---------- M2 1–( ) d VV

----------=

M Aρ* pp*--------

1 γ⁄ 2γγ 1–--------------

p

* ρ * ------- 1 p

p

* --------

γ

1

–

γ --------------

–

1 2

/

=

A

ρ

*

2

h

*

Y

=

Y pp*--------

1 γ⁄1 p

p*--------

γ 1–γ

--------------–=

dAdx---------- 0<

dYdx---------- 0> dY

dp---------- 0<

Figure 28 – Variation de

Y

en fonction de

p

/

p

*

pc p* 2γ 1+--------------

γ γ 1–( )⁄=

Tc2

γ 1+--------------T*=

Vc ac γ pc ρc⁄= = ac γ 1–γ

--------------h* =

M

Mmax Ac ρ* 2h* Yc=

pF2

pF3

pF3pF pF2

< <( )


Si les conditions génératrices en amont correspondent à un régimesupersonique, l’écoulement est supersonique dans toute la tuyère(courbes
IV

).

9.5.3 Onde de choc normale

On ne peut décrire ici le mécanisme de la formation d’une ondede choc normale au sens de l’écoulement (on dit aussi

droite

). Consé-quence d’un écoulement par tranche et d’une accumulation d’ondesplanes de compression élémentaires, c’est un mécanisme fonda-mentalement irréversible, alors que l’onde élémentaire est isen-tropique. L’irréversibilité est limitée à l’onde de choc elle-même quia une épaisseur de l’ordre du libre parcours moyen des molécules.On a déjà évoqué l’applicabilité de l’équation de Thomson (86) avecmême enthalpie génératrice de part et d’autre de cette onde(§ 4.5.4.3), alors que l’équation de Saint-Venant (39) n’est applicablequ’entre deux points où l’écoulement est isentropique, c’est-à-diresoit en amont, soit en aval de l’onde de choc.

On affecte les indices 1 et 2 aux grandeurs respectivement enamont et en aval de l’onde. Les équations (72), (73) et (74) consi-dérées pour un volume de fluide contenant l’onde de choc supposéefixe, conduisent à une nouvelle relation :

qui est la

relation de Prandtl

: la vitesse du fluide par rapport à l’ondeétant supersonique à l’amont de l’onde de choc (

V

1

>

a

c

) estsubsonique à l’aval (

V

2

<

a

c

).

Le rapport des pressions

X

=

p

2

/

p

1

, supérieur à l’unité, caractérisel’intensité de l’onde de choc. Si on pose

m

2

= (

γ

+ 1)/(

γ

– 1), l’

équationd’Hugoniot

, de l’adiabatique dynamique, donne le rapport desmasses volumiques

ρ

2

/

ρ

1

en fonction de

X

, soit :

(expression à comparer avec l’

équation de Laplace pour unecompression isentropique ρ2/ρ1 = X 1/γ ).

Le rapport ρ2/ρ1 , toujours supérieur à l’unité, tend vers la limitem 2 quand X augmente indéfiniment.

Le rapport des vitesses est toujours inférieur à l’unité :

et le rapport des températures est supérieur à l’unité, donc aussi lerapport des enthalpies massiques :

On peut enfin exprimer les nombres de Mach en fonction de X :

et remplacer X par dans les expressions précédentes.

Le caractère irréversible de l’onde de choc s’apprécie par la valeurde l’accroissement de l’entropie massique à la traversée de l’onde :

∆s = r ln(p*1/p*2) = cV (γ – 1)ln(ρ*1/ρ*2)

Puisque ∆s > 0, on a (p*1/p*2) et (ρ*1/ρ*2) supérieurs à l’unité.

9.5.3.1 Écoulement adiabatique irréversibledans le divergent de la tuyère de Laval

On complète l’information sur la condition d’écoulement dans latuyère de Laval (§ 9.5.2) lorsque la pression de sortie est compriseentre les deux valeurs de régime isentropique. La

figure 28 porte les deux points de fonctionnement à la sortie de latuyère F2 et F3 . Lorsque l’onde de choc droite se forme à une certainedistance en aval du col, le point figurant la fin de détente isentropiqueest placé entre F3 et C : le débit-masse reste fixé par les conditionssoniques au col.

Si l’onde de choc se forme juste à la sortie de la tuyère, on saitcalculer le rapport X = p2 /p1 , avec . Lorsque la pression

à la sortie de la tuyère se rapproche de , l’onde de choc remonte

progressivement vers le col en même temps que l’intensité X del’onde diminue.

9.5.3.2 Loi des aires pour un écoulement isentropiquedans la tuyère

Remarquons enfin que l’équation (87) permet de déterminer la loide variation A(X ) pour une distribution p (X ) donnée, afin que l’écou-lement soit isentropique dans toute la longueur de la tuyère :

Figure 29 – Types d’écoulements dans une tuyère de Laval

V1V2 ac2

=

ρ2

ρ1------- 1 m2X+

m2 X+------------------------=

V2

V1--------

ρ1

ρ2------- m2 X+

1 m2X+------------------------= =

T2

T1--------

p2ρ1

p1ρ2-------------- m2 X+

m2 1X( )+----------------------------------= =

M 12 γ 1–

2γ-------------- 1 m 2 X + ( ) = M 2

2 γ

1 – 2

γ

-------------- 1 m

2

X -------- +=

M 12

pF2et pF3

p1 pF3=

pF2

AAc-------- 2

γ 1+--------------

1 γ 1–( )⁄

γ 1–γ 1+--------------

1 2⁄

p*

p-------- 1 p

p*--------

γ 1 γ⁄–

– 1 2⁄

=



Cette équation permet de déterminer la section à la sortie pourune pression imposée, Ac étant fixé par un débit imposé.

9.5.4 Écoulement avec frottement pariétalet transfert de chaleur

On a considéré jusqu’ici que le gaz était sans viscosité et quel’écoulement était sans transfert de chaleur. Ces restrictions sontlevées et on exploite les équations (73) et (74) avec τ0 et q0 non nuls.Un calcul élémentaire à partir des équations écrites sous formedifférentielle et de l’introduction de la célérité du son conduit à :

Cette relation montre que la convergence du conduit (dA < 0), lefrottement pariétal (τ0 < 0) et le chauffage du fluide (q0 > 0) ont toustrois l’effet d’accélérer un écoulement subsonique et de décélérerun écoulement supersonique.

Dans l’équation précédente :

où dT* est la différentielle de la température génératrice. On constateque l’apport de chaleur augmente la température génératrice T* ,alors que le frottement pariétal est une irréversibilité qui ne modifiepas T* (équation de Thomson).

On fait apparaître le coefficient de frottement dans

le terme :

alors

Les équations différentielles caractéristiques de l’écoulement avecfrottement et transfert de chaleur peuvent être mises sous la formegénérale :

à laquelle on associe le tableau 7 qui précise les coefficients α, α ’et α ’’ pour différents dZ.

Ce tableau permet de dégager l’influence des paramètres ; parexemple, un apport de chaleur et le frottement jouent dans le sensd’une diminution de la pression génératrice et, évidemment, del’augmentation de l’entropie.

Une circonstance appelée blocage de l’écoulement supersoniquecorrespond à l’apparition d’une onde de choc droite. Elle peut seréaliser si (M2 – 1)(dM /M < 0, c’est-à-dire dans le cas du frottementou d’une diminution d’aire ou d’un apport de chaleur, car le nombrede Mach diminue et tend vers l’unité, ce qui favorise la formationde l’onde de choc. Le frottement pariétal étant inexorable, on peutcontrarier le blocage, s’il y a apport de chaleur, en imposant unaccroissement d’aire (dA > 0).

(0)

On comprend le phénomène de blocage en considérant la

charge du fluide. Par définition , soit à partir du

tableau :

Pour l’écoulement subsonique, (M 2 – 1) < 0, ou supersonique,(M 2 – 1) > 0, le frottement est la cause d’une perte fatale de charge.

Dans le cas subsonique, la charge diminue réversiblement si l’airede la section augmente (dA > 0) et /ou si on enlève de la chaleur aufluide (dT* < 0). Dans le cas supersonique, l’abaissement réversiblede la charge est favorisé par une diminution de section et /ou unréchauffement du fluide : on retrouve là les éléments favorables aublocage.

9.5.5 Liaison entre et q0

On a précisé avec quelles hypothèses un écoulement pouvait êtredécrit sous une forme monodimensionnelle et commentapparaissaient la tension pariétale de frottement τ0 et la densité deflux thermique pariétal q 0 . Ces deux paramètres ne sont pasindépendants.

Avant de préciser cela, il convient d’attirer l’attention sur le nombrede Prandtl Pr = cp µ /λ (§ 5.2) qui apparaît lorsqu’on réduit l’équationde Navier-Stokes (24). Ce groupement caractérise le fluide dans sonrôle caloporteur. Mettant à part la capacité thermique cp , il estévident qu’un fluide caloporteur est d’autant plus efficace qu’ilpossède une viscosité dynamique µ faible et une conductivité ther-mique λ grande. La discussion pourrait être poussée plus loin, maison se contente ici de signaler que le nombre de Prandtl (sans dimen-sion), fonction de la température, est de l’ordre de quelquescentaines pour les liquides organiques, de l’unité pour les gaz et l’eauchaude et de quelques centièmes pour les métaux liquides. Danscette dernière catégorie de fluide, Pr est petit non pas à cause d’une

pF3

dVV

----------1

M 2 1–------------------- d A

A ----------

q

0

d

x

M

˙

c

p

T

--------------------- γ τ

0

d

x

ρ

Aa

2

------------------------+– =

q0dx

M cpT---------------------

dT*

T------------=

12----- C f

τ 0

ρ

V

2 -------------=

τ0dxρA

-------------------- 2C fV2 d x

D ---------=

γ τ0dx

ρAa2------------------------ 2γC f

M

2 D ---------- d x =

dZ α dAA

---------- α′ dT*

T------------ α ″ 2γ C f

M

2 D ---------- d x + +=

d d pρ----- V 2

2---------+ =

M 2 1–( ) dV 2

γ--------- dA

A----------

1M2----------

d

T

* T ------------ 2 γ C f

M

2 D ---------- d x –– =

Tableau 7 – Coefficients en fonction de d

Z

d

Z

1 – 1 – 1

–

γ

M

2

γ

M

2

1 + (

γ

– 1)

M

2

–

M

2

1 1

– (

γ

– 1)

M

2

γ

M

2

– 1 (

γ

– 1)

M

2

d

p

*

/

p

*

0 – 1

d

s

/

c

p

0 1 (

γ

– 1)/

γ

Concernant le frottement, on a utilisé le coefficient

C

f

pourrappeler qu’il s’agit d’un écoulement de type non établi dans untube relativement court. Ce coefficient

C

f

qui se rapporte à unecouche limite est fonction du nombre de Reynolds

Re

=

VD

/

ν

lequel peut s’écrire ; la viscosité du gaz est

proportionnelle à

T

m

(

m

≈

0,6 pour l’air) et comme

C

f

est propor-

tionnel à

Re

–

n

, avec

n

proche de 0,20, on voit que

C

f

, propor-

tionnel à

T

+

mn

, variera peu en suivant l’écoulement, dans le casd’un transfert de chaleur ;

C

f

pourra être considéré pratiquementcomme indépendant de la température et même constant surtoute la longueur du tube.

, ′ et ″

′ ″

M 2 1–( ) d VV --------

M 2 1–( ) d pp --------

M 2 1–( ) d ρ

ρ --------

M 2 1–( ) d TT --------

M 2 1–( ) d MM ---------- 1 1

2---- γ 1 – ( ) M 2 + 1

2 ----– 1 γ M 2 + ( ) 1 1

2 ---- γ 1 – ( ) M 2 +–

γ M

2

2 1 12

---- γ 1 – ( ) M 2 +

---------------------------------------------------–

Re 4M πDµ⁄=

0



viscosité minime mais parce que le mécanisme de conduction ther-mique est amplifié par la présence d’électrons libres.

Venons-en à la liaison entre

q

0

et

τ

0

: le transfert de chaleur pariétals’effectue à travers une couche limite collée à la paroi lorsqu’elleest organisée. Il arrive que la couche limite décolle sous l’effet decourant de recirculation ou qu’elle change complètement de struc-ture lorsque la surface est rugueuse ; dans ces deux cas le transfertthermique se fait par brassage du fluide. Il faut voir ici un parallèleavec la traînée d’un obstacle (§ 8.1 et 8.2) ; dans le cas général, latraînée est la composition d’un terme de frottement en couche limiteorganisée, prépondérant pour les obstacles profilés, et d’un termede traînée de forme (ou de pression) d’autant plus marqué quel’obstacle n’est pas aérodynamique.

Dans le cas de l’écoulement dans un tube court (zone d’établis-sement) ou long (écoulement établi), il y a analogie entre transfertde chaleur et transfert de quantité de mouvement, c’est-à-dire entre

q

0

et

τ

0

, tant que la perte de charge est régulière (couche limite orga-nisée). Reynolds a formulé la double hypothèse d’une turbulencequi se fait sentir jusqu’à la paroi et d’une similitude des profils devitesse et de température, il en résulte une formule trop approchée(sauf pour

Pr

≈

1) :

où

V

vitesse débitante,

θ

0

écart (en valeur absolue) entre la température moyenne dufluide et celle de la paroi.

Cette formule a toutefois l’avantage de faire apparaître, outre le

coefficient de frottement , un

coefficient de transfert

d’enthalpie

:

C

E

=

q

0

/

ρ

c

p

V

θ

0

appelé aussi

nombre de Stanton

ou nombre de Margoulis. L’analogieélémentaire de Reynolds s’exprime alors par :

C

E

= (1/2)

C

f

Prandtl a amélioré sensiblement l’analogie en tenant compte dela présence de la sous-couche visqueuse, puis Ribaud et Brun ontapporté une retouche supplémentaire en supposant qu’il existe unesous-couche laminaire thermique dont l’épaisseur est différente decelle de la sous-couche visqueuse ; ils proposent une formule quirecouvre celle de Reynolds (

Pr

= 1) :

et qui correspond bien au cas

des surfaces lisses et des nombresde Prandtl supérieurs à l’unité

.

On peut encore utiliser dans la pratique , la relation empi-rique de Colburn pour les écoulements dynamiquement établis enremarquant (§ 9.1.2) que (1/2)

C

f

=

Λ

/8 :

C

E

= (

Λ

/8)

Pr

–2/3

où

Λ

est donné par la formule (82).

L’analyse qui précède suppose que les vitesses sont modérées etque les propriétés thermophysiques du fluide peuvent être consi-dérées comme constantes. Si l’écart de température entre la paroiet le cœur de l’écoulement est important, pour un même écart

θ

0

,la densité de flux

q 0 ne sera pas la même selon que la paroi estplus chaude ou plus froide que le cœur.

Aux très grandes vitesses d’un gaz, il est nécessaire de tenircompte de la conversion d’énergie cinétique en énergie thermiquedans la couche limite et aussi de la grande variation des propriétésthermophysiques du gaz (Eckert 1956).

Enfin, en ce qui concerne les surfaces rugueuses, on ne peutprésenter ici les nombreuses formules empiriques relatives à destubes intérieurement cannelés, corrugués ou ailetés suivant desdessins qui ont parfois donné lieu à des brevets. On attire simple-ment l’attention sur le fait que les analogies de Ribaud-Brun ou deColburn ne sont plus valables : pour un fluide donné, il n’y a plusproportionnalité entre le coefficient de transfert d’enthalpie et celuide perte de charge, ce dernier croissant plus vite que le premierquand la vitesse augmente.

10. Écoulementsnon permanents monodimensionnelsen mécanique interne

10.1 Circulation naturellepar thermosiphon

Une circulation de fluide peut être assurée par le seul effet duchamp de pesanteur si la température du fluide n’est pas uniforme.Les forces d’Archimède agissent différentiellement sur les massesfluides dont les plus chaudes (les moins denses) sont sollicitées versle haut pendant que les plus froides descendent. Si le fluide estcontenu dans une boucle avec un réchauffage en position basse,point A de la figure 30 et un refroidissement en position haute (pointB), le fluide circule sous l’action motrice de la pesanteur.

Les premières installations de chauffage central ont exploité cemode de mouvement mais les instabilités créées par la fermetureou ouverture de quelques radiateurs ont rapidement fait préférer lacirculation forcée par pompe. Toutefois le mouvement par gravitéest considéré dans les études de sûreté pour certains équipements,lorsque la circulation forcée s’arrête intempestivement tandis queles sources de chaleur continuent de fonctionner. Il est nécessairede s’assurer, dès la phase de conception, que le dessin du réseaude canalisations plus ou moins complexe est compatible avec descirculations naturelles qui favorisent les clauses de sûreté.

En tout état de cause, il n’est pas correct de supposer qu’unfluide puisse être le siège d’un transfert de chaleur sans êtresoumis à l’effet de la viscosité : pas de q0 sans τ0 .

q0

τ0-------

cp θ0

V--------------=

12----- C f τ 0 ρ V 2 =

CE1 2⁄( )C f

1 0,75 Pr 2 3⁄ 1–( )+-----------------------------------------------------=

Pr 1( )

Figure 30 – Principe du thermosiphon



La circulation étant lente, il peut arriver que l’énergie cinétiquesoit négligeable. Les équations de bilan en régime variable (69), (70)et (71) sont traitées en les simplifiant avec

A

=

Cte

,

χ

1

,

χ

2

et

χ

3

supposés égaux à l’unité ; on dispose de l’équation d’état d’unliquide incompressible et dilatable (§ 1.3.3) :

ρ

=

ρ

0

[1 –

β

(

T

–

T

0

)]

et des trois bilans suivants :

(88)

(89)

(90)

avec (§ 1.3.3) :

α

est l’angle d’inclinaison locale de l’axe de la conduite par rapportà la verticale ascendante.

10.2 Établissement de l’écoulementd’un fluide isovolumedans un conduit cylindrique long

L’entrée E d’un conduit à section constante est raccordée à unréservoir de grande dimension dont la surface libre est à la hauteurconstante

Z

par rapport à la section de sortie S qui est munie d’unevanne ; celle-ci fermée initialement est ouverte à l’instant

t

= 0 pourlaisser passer une veine liquide de section constante

σ

.

Pour résoudre le problème de l’établissement d’un régimepermanent, on utilise l’équation (89). Le liquide subit un mouvementen masse et l’intégration entre E et S distants de la longueur

L

, donne

en plaçant au second membre :

(91)

p

*E

et

p

*S

étant les pressions génératrices

en E et S.

Or si

p

0

,

z

0

désignent la pression atmosphérique et la cote duniveau libre :

p

*E

=

p

0

+

ρ

gz

0

avec

z

0

–

z

s

=

Z

v

, vitesse de sortie à la section d’aire

σ

.

L’équation (91) devient :

en introduisant le coefficient de perte de charge

Λ

, lequel serasupposé constant (surface rugueuse) pour simplifier l’intégration àpartir de

t

= 0,

V

= 0. On trouve :

en posant

et , la constante de temps qui montre que le régimeétabli est atteint d’autant plus rapidement que le tube est court, quela dénivellation

Z

est grande ainsi que

a

.

10.3 Oscillations en massede l’eau dans une canalisationavec cheminée d’équilibre

La figure

31

schématise une canalisation à trois branchesalimentée par un réservoir à niveau constant ; la canalisation,pratiquement horizontale, de longueur et de section

A

déboucheau pied d’une cheminée de grande section

A

ch

et en aval est laconduite qui, par gravité, fournit l’eau à une turbine située en contre-bas. Le rôle de la cheminée est d’amortir les brusques changementsdans la manœuvre du distributeur de la turbine.

On ne discutera pas en détail les mouvements de l’eau dans lacheminée et dans la galerie, en fonction des différents paramètres.L’intérêt de la présentation est de montrer comment se fait la miseen équation. Il s’agit de mouvements en masse car le fluide estisovolume. L’équation (91) est appliquée à la galerie et à lacheminée :

p

*E

est la pression génératrice à l’entrée de la galerietandis que

p

*B

est la pression génératrice à la base de la cheminée.

On pose :

p

0

pression atmosphérique ;

V

vitesse débitante dans la galerie ;

v

vitesse débitante dans la cheminée ;

h

’ hauteur de la surface libre du réservoir par rapport à la galerie ;

z

cote du niveau variable de l’eau dans la cheminée.

Avec ces notations, l’équation (91) donne pour la galerie :

et pour la cheminée, en négligeant la perte de charge (

v

très faible) :

Quand le fluide est isovolume, l’équation (88) montre que

V

estuniforme dans toute la masse du fluide qui est en mouvementvariable dans le temps.

∂ρ∂t

--------∂

∂x-------- ρ V ( ) + 0 =

ρ D V D t ---------- ∂ p ∂

x --------– ρ g α cos

τ

0

A ------------+–=

ρ DD

t -------- h gz V

2

2

---------+ + q

0

A

-----------=

h cp T T0–( ) 1ρ0------- 1 β T 0 – ( ) p p 0 – ( ) +=

ρV ∂ V ∂ x ---------

ρL d

V d t ---------- p *E p *S – τ 0

LA ----------+=

p* p ρgz ρ V 2

2 --------- + +=

p*S p0 ρgzs ρ v 2

2 ---------+ +=

v Aσ------ V =

Figure 31 – Cheminée d’équilibre

L d V d t ---------- gZ A σ ------

2 Λ L

D -----+ V

2 2 ---------–=

v 2gZa

------------- exp t t ⁄( ) 1 – exp

t

t

⁄( )

1

+

-------------------------------------=

a Aσ------

2Λ L

D -----+=

t L 2gaZ⁄=

ρ d V d t ---------- p *E p *S τ 0

A ----------+–=

ρ h ′ z+( ) d v d t --------- p *B p 0 ρ g h ′ z + ( ) + [ ] –=



On élimine les pressions motrices entre ces deux équations entenant compte des relations :

p

*E

=

p

0

+

ρ

gh

’

et l’on obtient :

(92)

Il faut ajouter la condition de conservation de la masse :

(93)

où est le débit-masse dans la conduite d’alimentation de laturbine.

Dans l’équation (93), si bien que le terme

est toujours négligeable.

Pour illustrer simplement l’exploitation des équations (92) et (93),on suppose que l’énergie cinétique et la perte de charge sont négli-geables dans la galerie :

On étudie la variation de

z

(

t

) lorsque qui était constant prend

brusquement une autre valeur constante (variation échelon de ).

De part et d’autre du front de l’échelon et par conséquentl’équation (93) conduit à :

or .

L’équation différentielle à résoudre s’écrit :

La condition initiale est

z

= 0 pour

t

= 0 et l’intégrale est la fonctionpériodique :

en posant .

La périodique

T

est d’autant plus grande que l’aire de la sectionde la cheminée et la longueur de la galerie sont grandes. D’autrepart l’amplitude de l’oscillation est :

en désignant par le saut de débit-masse dans le conduit d’ali-

mentation de la turbine.

Si la période est bien représentée, par contre,

z

max

subit uneatténuation dans le temps du fait de la viscosité qui a été négligée.

10.4 Écoulement variable. Compressibilité. Caractéristiques

Riemann a été le premier (1859) à étudier les ondes planes dansl’air (gaz parfait), mais l’étude peut être élargie sans faire d’hypot-hèses sur l’état du fluide simplement supposé compressible. Onconsidère les équations (88), (89) et (90)

sans référence à l’équationd’état

:— conservation de la masse :

(94)

— conservation de la quantité de mouvement :

(95)

— conservation de l’énergie :

(96)

On se limite au cas d’un écoulement isentropique (

τ

0

=

q

0

= 0).L’équation (96) n’apporte rien par rapport à (95) comme cela a étéexposé dans le paragraphe 4.5.4.2.

Un potentiel de pression :

(où

a

est la célérité du son) est introduit dans les équations (94) et (95)qui s’écrivent alors :

(97)

On développe les dérivées particulaires , on

additionne d’une part et on soustrait d’autre part ces équations pourobtenir deux autres équivalentes, soit :

(98)

On constate, en généralisant la notion de dérivée particulaire, quela première équation signifie la conservation sans perte de (

V

+

W

)dans un suivi à la vitesse (

V

+

a

) dans le sens de l’écoulement (

propa-gation d’une onde progressive

) :

De même, une

propagation régressive

(sens des

x

négatifs) :

On appelle

lignes caractéristiques

les lignes (

V

+

W

) =

Cte

et(

V

–

W

) =

Cte

qui constituent un réseau orthogonal de deux famillesdans le plan (

V

,

W

), et qui peuvent aussi être tracées dans le plan(

V

,

a

) d’état des caractéristiques.

p*S p*B ρ V 2

2 ---------+=

d

V d t

---------- V

2

2

--------- h ′ z + ( ) d v d t

--------- gz τ

0 ρ -------

A ----------–+ + + 0 =

VA vAch mc˙+=

mc˙

h ′ z+( )> et dVdt

---------- dvdt

--------->

h ′ z+( ) d v d t

---------

d V d t ---------- gz + 0 =

mc˙

mc˙

mc˙ Cte=

A d V d t ---------- A ch d v

d t ---------=

v dzdt--------=

d2zdt 2-----------

gAAch-------------- z + 0 =

z zmax 2π tT ----- sin =

T 2π Ach gA⁄=

zmaxA

gAch--------------- ∆mc

˙=

∆mc˙

1ρ-----

D ρ D t

---------- ∂

V ∂ x

---------+ 0 =

ρ D V D t ---------- ∂ p

∂ x ---------–

τ

0

A

------------+=

ρ DD

t -------- h V

2

2

---------+ q

0

A

-------------=

W dpρa---------=

DWDt

------------ a ∂ V ∂ x ---------+ 0 =

D

V

D

t

----------

a ∂ W ∂ x -----------+ 0 =

DWDt

------------ et DVDt

----------

∂∂t------- V W + ( ) V a + ( ) ∂

∂ x -------- V W + ( ) + 0 =

∂∂

t

------- V W – ( ) V a – ( ) ∂∂

x -------- V W – ( ) + 0 =

ddt-------- V W + ( ) 0 = sur les courbes + d ′ équation d

x

d

t

--------- V a +=

ddt-------- V W – ( ) 0 = sur les courbes – d ′ équation d

x

d t --------- V a –=



La méthode de traitement de ces phénomènes simultanés depropagation est appelée

méthode des caractéristiques

. Leséquations (98) sont générales pour un fluide compressible quel-conque. La célérité du son est connue à partir de la formule (6) :

Pour les liquides, on peut prendre

a

constant même pour de fortesvariations de pression de vapeur saturante. Il en résulte :

avec

ρ

≈

Cte

.

Dans le cas des gaz, hors de l’hypothèse restrictive du gaz parfait,on peut en première approximation, supposer que, dans l’évolutionisentropique, la relation entre pression et masse volumiques’exprime par

p

/

ρ

n

=

Cte

, dans le domaine considéré,

n

étantconstant. Par suite,

et la célérité du son dépend de l’état local du gaz.

Le potentiel

W

devient, par référence à l’état générateur :

Pour un gaz parfait, on prend

n

=

γ.

Équations d’ondes acoustiques

: la plupart du temps, on estconduit à étudier des cas où la célérité du son peut être considéréecomme constante et où l’écoulement unidirectionnel est subsonique.Les équations (97), où

a

est une constante égale à

a

0

, sont linéarisées

et après dérivation par rapport à

x

et

t

pour obtenir quatre

équations, on élimine les dérivées secondes ; on

obtient :

qui sont les équations d’ondes acoustiques à partir desquelles onpeut traiter les problèmes acoustiques d’ondes sinusoïdales.

Vitesse d’une onde dans un tube élastique

: il a été questionjusqu’ici de la célérité d’une onde sans interaction avec les parois dutube. En réalité la variation de pression qui peut être un saut intensede pression au passage de l’onde a pour effet de faire varier l’aire

A

de la section droite du tube, cela de façon élastique. L’équation deconservation de la masse doit être corrigée, en linéarisant la dérivée

soit :

L’équation linéarisée de quantité de mouvement est inchangée.Un traitement mathématique simple conduit à la valeur de la vitesseréelle de l’onde dans le tube :

avec

E

module d’élasticité du tube,

f

=

D

/

e

pour un tube mince de diamètre

D

et d’épaisseur e,

f si D1 et D2 diamètres extérieur et intérieur,

f = 2 pour un tunnel (D1 infini).

On voit que a ’ est toujours inférieur à a : les sauts de pressionW et de vitesse V se propagent vers l’amont (onde régressive) etvers l’aval (onde progressive) avec une vitesse fatalement inférieureà la célérité du son. Ce résultat est à la base de l’étude des coupsde bélier dans les canalisations hydrauliques.

11. Écoulementsà surface libre

On considère un écoulement de liquide (eau) dans un canal degrande longueur devant les dimensions transversales de la sectiondroite prismatique et dont les parois sont de même nature sur lalongueur. La pression est uniforme sur la surface libre (pressionatmosphérique). L’écoulement peut être varié dans le sens del’écoulement et on supposera qu’il est toujours turbulent. Dans unécoulement réel, les parois ne sont pas planes et leurs irrégularitésà grande échelle induisent alors des faibles courants secondairessuperposés à l’écoulement principal qui sera l’écoulement débitantdu mouvement unidirectionnel pris en compte. On admettra, enpremière approximation, que la vitesse est uniforme dans une mêmesection et égale à la vitesse débitante : la figure 32 donne la répar-tition de la vitesse dans la section droite (courbes isovitesses) et dansle plan vertical de symétrie : lorsque le canal est large, le point devitesse maximale est situé plus près de la surface que si le canalest étroit.

a2 ∂p∂ρ---------s

γρχ--------= =

Wp

ρa---------=

a2 n p ρ -----=

W2a*

n 1–--------------

ρρ * -------

n

1

–

( )

2

⁄

2

a

* n 1

–

-------------- pp

* --------

n

1

–

( )

2

⁄ = =

V a ( )∂ 2V∂x ∂t-------------- et ∂ 2W

∂x ∂t--------------

∂ 2V∂t 2

------------ a02 ∂

2

V ∂

x 2 ------------= ∂

2

W ∂

t

2

-------------- a 02 ∂

2

W ∂ x 2 --------------=

DρDt

----------

1ρ----- ∂

ρ∂

t -------- ∂ V

∂

x --------- 1

A ------ ∂ A

∂ t ---------+ + 0 =

a ′ a 1 f γ χE+=

2 D

12

D

22

+

D

12

D

22

–

------------------------=

Figure 32 – Section mouillée du canal et isovitesses : variationsde

V/ V

max

en fonction de la profondeur pour deux exemples (

a

) et (

b

)



11.1 Définitions

Pour définir le nombre de Reynolds de l’écoulement, on utilise le

rayon hydraulique du canal

qui est le rapport de l’aire de la sectiondroite

A

par le

périmètre mouillé

; celui-ci est le périmètre total

de la section droite dont on déduit le côté correspondant à la surfacelibre (cela revient à négliger le frottement au contact de l’air encomparaison avec l’effet des parois) :

avec

V

vitesse débitante.

Un écoulement uniforme est tel que le champ des vitesses nechange pas d’une section à une autre. Les vitesses sont parallèlesentre elles et donc la répartition de pression est hydrostatique danstoute section. En un point

M

(figure

33

) la pression est :

p

=

p

0

+

ρ

gy

cos

α

avec

p

0

pression atmosphérique,

y

distance à la surface libre dans le plan de la sectiondroite,

tan

α

pente du canal.

Comme tan

α

est de l’ordre de 10

– 3

à 10

– 4

, cos

α

est proche de1 et l’on peut écrire :

p

=

p

0

+

ρ

gy

La pression atmosphérique étant uniforme, on ne la prend pas encompte et le plan de la surface libre est le

plan piézométrique

(parceque

α

est très petit). Pour obtenir le

plan de charge

, on porteau-dessus de

A

, sur la verticale, une hauteur égale à

V

2

/2

g

corres-pondant à l’énergie cinétique. Il en résulte que pour un écoulementuniforme le plan de charge est parallèle à celui de la surface libre,donc incliné de l’angle

α

sur l’horizontale ; cette inclinaison traduitla compensation de la perte de charge par l’effet moteur de la gravité.

11.2 Écoulement uniforme.Formule de Chézy

Si on appelle

i

= tan

α

la pente du canal, qui est toujours très faible(

i

≈

α

), l’application du théorème des quantités de mouvement enprojection sur la direction de l’écoulement établi (uniforme) donne(94), (95) et (96) :

L’écoulement étant turbulent

τ

0

est proportionnel à

ρ

V

2

et l’onobtient la

formule de Chézy

:

dans laquelle le coefficient

C

de Chézy qui a une dimension dépenddes conditions d’écoulement de l’eau.

Bazin a proposé le premier une formule donnant

C

en fonctionde la nature de la surface du canal en négligeant l’influence dunombre de Reynolds. Il est préférable aujourd’hui d’utiliser la

formule de Manning donnant C (m 1/2 s

–1 ) en fonction de la rugositérelative

ε

/

R

H

:

C

= 20,4 (

R

H

/

ε

)

1/6

La rugosité

ε

(en mètres) varie de 10

– 3

pour du ciment à 0,3 pourdu gravier avec végétation et 1 pour des rochers.

Si la paroi était parfaitement lisse

C

serait proportionnel à

Re

1/10

,ce qui montre la faible influence du nombre de Reynolds dans lecas général.

Meilleure forme de la section droite

: pratiquement le débit est fixéavec l’ordre de grandeur de la vitesse qui ne doit pas être trop grandepour éviter l’érosion des parois et une perte de charge excessive.Ainsi l’aire

A

de la section droite est fixée. Le débit-masse est propor-

tionnel à , or les équations (94), (95) et (96) montrent que

i

est proportionnel à pour

A

et

τ

0

donnés (

τ

0

étant fixé par

V

et la

nature de la surface) ; il en résulte que la meilleure forme est celle quipour

A

donnée correspond à minimal (ou

R

H

maximal). De fait,

la forme de la section est prédéterminée, il s’agit de connaîtrel’optimum de la profondeur d’eau, laquelle est la distance verticale

y

entre la surface libre et le fond ou

radier

.

La section occupée par le liquide étant explicitée analytiquementen fonction de la profondeur

y

et d’un autre paramètre de longueur

b

(y) qui est la largeur de la surface libre d’une rive à l’autre ; onannule les deux différentielles d

A

et pour obtenir deux expres-

sions de qui, lorsqu’on les égale, donne la relation cherchée

entre

y

et

b

à l’optimum. On calcule alors

A

et et l’on constate

que, pour une forme de section semi-circulaire, ou rectangulaire outrapézoïdale évasée vers le haut, la profondeur optimale est égaleà deux fois le rayon hydraulique. Cela peut servir de guide enpremière approximation, pour une section quelconque.

11.3 Écoulements graduellement variés

11.3.1 Généralités

L’écoulement uniforme précédemment considéré ne s’observeque dans des canaux longs (plus de 100 fois la profondeur d’eau)et assez loin des extrémités. Dans les canaux courts à section deforme prismatique, ou dans les canaux dont la rugosité des paroischange dans le sens du courant, la vitesse débitante varie enconséquence. On dit que

l’écoulement est varié

, par opposition àuniforme.

Dans de nombreux cas pratiques, les variations sont si faiblementprogressives que la déformation de la surface libre est très petiteet qu’on peut admettre que les vitesses restent parallèles entre elleset perpendiculaires à la section droite : l’

écoulement

est dit

Le rayon hydraulique

R

H

est différent de la moitié du diamètrehydraulique défini pour les pertes de charge dans lestubes (§ 9.1.2).

m

RH A m⁄= Re VRH /ν=

ρgAi τ0 m=

V C RHi=

Figure 33 – Plan de charge et plan piézométrique

R H2 3⁄ i 1 2⁄

m

m

dm

dbdy---------

m



graduellement varié. Pour un tel écoulement la vitesse est uniforme,égale à la vitesse débitante V, et la répartition des pressions esthydrostatique.

11.3.2 Position et forme de la surface libre

Le problème qui se pose pour un écoulement graduellement variéest de déterminer la position et la forme de la surface libre pour undébit donné.

Dans une section droite, la trace de la surface libre est horizontale.Ce qui est intéressant n’est pas la cote de cette horizontale au-dessusd’un plan de référence, mais plutôt sa position par rapport à un pointrepéré de la section (pour évaluer les risques de débordement) ; cepoint sera par exemple au fond du canal, donc le point le plus basde la section. Si la forme de la section est un trapèze à base hori-zontale, la ligne repère de profondeur tout le long du canal a unepente appelée pente du radier du canal désignée par i.

11.3.2.1 Charge spécifique

Si y est la profondeur d’eau au-dessus du radier, on appelle chargespécifique :

(99)

le terme spécifique introduit par Bakhmeteff (1911) voulant signifierrelative au radier et négligeant la charge due à la pression atmos-phérique qui est constante.

11.3.2.2 Variation du débit en fonction de la profondeurd’eau pour une charge spécifique donnée

Soit Hs la valeur donnée de la charge spécifique, V la vitesse

débitante, le débit-volume et A l’aire de la section mouillée,

correspondant à la profondeur d’eau y. Dans la définition (99) de lacharge spécifique, on fait apparaître le débit-volume :

(100)

et alors :

(101)

le débit s’annule pour y = 0 (A = 0) et y = Hs (figure 34).

La dérivée du débit par rapport à y s’écrit :

en remarquant que dA = bdy, b étant la largeur en surface libre. Cettedérivée s’annule pour une valeur yc de la profondeur appelée pro-fondeur critique qui est racine de l’équation :

2(Hs – y) – (A /b) = 0

Pour y < yc la dérivée est positive tandis qu’elle est

négative pour y > yc ; ainsi donc lorsque y croît de zéro à yc , le

débit croît jusqu’à , puis il décroît jusqu’à zéro pour y = Hs .

11.3.2.2.1 Profondeur critique. Débit critique.Vitesse débitante critique

Affectons de l’indice « c » les grandeurs lorsqu’elles corres-pondent à la profondeur yc critique, ainsi :

2(Hs – yc) – (Ac /bc) = 0

La vitesse débitante critique Vc représente la célérité d’une ondede gravité élémentaire dans le canal de profondeur yc (§ 11.5). Onconstate que :

(102)

Si le débit-volume est donné, le régime critique est déterminé enréalisant cette condition, b et A étant fonction de y, c’est-à-dire en

recherchant y tel que .

Dans un canal rectangulaire, la largeur b est constante ; l’appli-cation des formules avec A /b = y conduit à :

et

11.3.2.2.2 Régime torrentiel et régime fluvial

La figure 34 illustre la variation de y en fonction de , confor-

mément à (101). Le point C correspond au régime critique. À

correspondent deux valeurs de y soit y1 et y2 . Puisque y1 < y2 , la

formule (100) montre que . Ainsi pour tout régime cor-respondent à un point sur l’arc OC, le débit est plus grand que lerégime critique pour une profondeur plus faible : l’arc OC correspondau régime torrentiel. Par contre pour tout point sur l’arc BC, le débitest plus faible que le régime critique alors que la profondeur est plusgrande que yc : c’est le régime fluvial.

11.3.2.3 Variation de la charge spécifiquepour un débit donné

Dans l’expression (100), est fixé et, lorsque y croît depuis zéro,A croît depuis zéro de façon monotone. Il en résulte que Hs qui estinfini pour y = 0, va tout d’abord décroître sous l’influence del’accroissement de A, puis augmenter par l’effet de y croissant. Ilexiste donc une valeur minimale de Hs calculable par la condition

, soit :

Or dA = bdy ; le minimum Hsc correspond à :

Hs y V 2

2g---------+=

qv˙

Hs y q v2

2gA2⁄( )+=

qv˙ A 2g Hs y–( )=

dqv˙

dy------------

gb 2 Hs y–( ) A b⁄( )–[ ]

2g Hs y–( )----------------------------------------------------------------=

dqv˙ dy

qvc˙

qvc˙ Ac 2g Hs yc–( ) Ac g Ac bc⁄( )= =

Vc qvc Ac⁄ g Ac bc⁄( )= =

Figure 34 – Débit-volume en fonction de la profondeur d’eau

q vc2

bc gAc3⁄ 1=

b A3⁄ q v2

g⁄=

yc23----- H s =

V

c

gy

c

2 3

⁄( )

gH

s

= =

qvc˙ b gy c

3 1 2⁄=

qv˙

qv˙ qvc

˙<

q v1 q v2>

q v

dHs

dy------------ 0=

1q v

2

gA3------------- d A

d y ----------– 0 =

q v2b gA3⁄ 1=



qui s’identifie à (102) et donc la valeur de

y

correspondant à ce mini-

mum n’est autre que

y

c

pour le donné. Il résulte de cela que la

branche pour laquelle

y

>

y

c

est relative au régime fluvial, alors quela branche pour laquelle

y

<

y

c

caractérise le régime torrentiel. Lafigure

35

représente la variation de

H

s

en fonction de

y

; la courbepossède deux asymptotes : l’une

y

= 0, l’autre

H

s

=

y

. On remarquera

que le segment M

n

est la figuration de

V

2

/2

g

.

Le graphe à donné permet de résoudre tous les problèmesde canaux,

qu’il y ait ou non pertes de charge régulières ou singu-lières

. Mais avant de donner quelques exemples on va considérerles ondes de surface pour interpréter la vitesse critique

V

c

.

11.4 Ondes de surface.Mouvements non permanents

Une perturbation qui se propage dans le liquide par une variationde niveau de la surface libre constitue une onde de surface. Le retourà l’équilibre de la surface libre se fait sous l’action de la gravité etde la tension superficielle (ou interfaciale) si la courbure de l’interfaceest forte. Si l’intervention de la gravité est dominante, les ondes desurface sont appelées

ondes de gravité

, par opposition aux

ondescapillaires

pour lesquelles la tension superficielle joue le rôleprincipal.

Parmi les ondes de gravité, on distingue les

ondes de translation

et

la houle

qui est une oscillation périodique du niveau de la surfacelibre.

11.4.1 Ondes de translation

Un liquide (eau) coule en régime uniforme dans un canal rectan-gulaire avec la vitesse

V

dans la section droite de profondeur

h

. Onprovoque artificiellement une légère variation de vitesse d

V

à unecertaine section droite qui s’accompagne d’une variation de niveaud

h

faible. La perturbation transversale par rapport au sens de l’écou-lement se déplace avec la célérité

c

et l’on peut montrer, par appli-cation du théorème de quantité de mouvement, que :

g

d

h

=

c

d

V

et

c

2 = gh

Ces relations doivent être rapprochées de celles relatives à uneonde plane élémentaire isentropique dans un gaz :

dp = ρa dV

avec a célérité du son définie par :

Il y a une similitude entre ρ et h d’une part et entre gh dh et dpd’autre part. Tout se passe comme si la progression de l’ondeélémentaire de translation était assimilable à celle d’une onde sonoredans un gaz parfait qui aurait un rapport de capacité thermique γ

égal à 2. En effet, pour un tel gaz on aurait entre p

et ρ la même relation qu’entre leurs homologues pour le liquide gh2

et h.

On appelle onde de surélévation une onde telle que la profondeuren arrière de l’onde est plus grande que celle en avant (si l’ondeest stationnaire, l’arrière de l’onde est en aval du sens de l’écoule-ment du liquide) : c’est l’équivalent d’une onde de compression pourun gaz. Une onde d’abaissement de niveau a pour homologue l’ondede détente.

Supposons qu’une onde de surélévation élémentaire suive, àdistance, une onde du même type déjà formée. Sa célérité est légè-rement plus grande puisqu’elle se déplace dans une zone surélevéepar celle qui précède : il y aura donc rattrapage. On voit ici le méca-nisme de rattrapage des ondes élémentaires de compression(§ 9.5.3) pour former l’onde de choc. Par contre, des ondes détachéesd’abaissement élémentaires s’écartent de plus en plus comme desondes de détente.

Dans les laboratoires, on visualise les écoulements supersoniquesen utilisant l’analogie hydraulique pour dégager les caractèresmarquants du déplacement du gaz.

11.4.2 Houle

On donne le nom de houle à des vagues périodiques bidimen-sionnelles de longueur d’onde λ qui se propagent à la surface(figure 36). La célérité de propagation est donnée par :

Si λ est très grand devant h, et on retrouve.

Les particules liquides ont un déplacement décrit par des courbesfermées qui sont des ellipses dans le plan vertical, de plus en pluspetites quand on s’approche du fond. En eau profonde, les courbessont circulaires tandis qu’en eau peu profonde les ellipses, qui ontleur grand axe horizontal, s’applatissent loin de la surface.

qv˙

q v

a2 dpdρ---------s

=

dpp

--------- 2 d ρρ --------- =

Figure 35 – Charge spécifique en fonctionde la profondeur d’eau pour un débit donné

Figure 36 – Houle

c gλ2π--------- th 2 π h

λ -------------

1 2

⁄ =

th 2πhλ

------------- 2πhλ

-------------≈c gh=



11.4.3 Ondes ou rides capillaires

Les ondes périodiques de très courte longueur d’onde sontappelées rides capillaires car c’est la tension superficielle du liquidequi intervient. La célérité de propagation des rides de longueurd’onde λ très faible est donnée par :

en désignant par σ la tension superficielle.

Lorsque la longueur d’onde est telle que les deux mécanismesjouent en même temps :

Cette célérité est minimale pour , valeur qui séparedeux domaines :

— si (λ /λc) < 1, la tension superficielle est prépondérante ;— si (λ /λc) > 1, on est dans le domaine des ondes de gravité.

11.5 Onde élémentaire et distinctionentre rivière et torrent

Une onde élémentaire de surélévation dans un canal, où la vitesseuniforme du liquide est V, se déplace par rapport au liquide avec

la célérité ; par rapport au sol on peut avoir deux typesd’onde ayant les vitesses :

Il faut considérer deux cas.

a) Si , la vitesse du fluide étant inférieure à une ondese propage vers l’aval avec la vitesse c1 tandis qu’une onde sedéplace vers l’amont avec la vitesse c 2 . Le régime d’écoulement duliquide est fluvial ou subcritique, comparable à l’écoulementsubsonique.

b) Si , c1 et c 2 sont du signe de V ; les ondes ne sepropagent que vers l’aval et l’écoulement est torrentiel ou super-critique, comparable à l’écoulement supersonique.

La vitesse est la vitesse critique qui permet la distinctionentre les deux régimes. Il est facile à présent d’interpréter le régimecritique d’écoulement dans un canal (§ 11.3.2.2.1) et d’autre part laformule :

qui n’est autre que la généralisation de l’expression de la céléritéde l’onde élémentaire dans un canal quelconque.

11.6 Forme de la surface libredans le cas général. Courbe de remous

Il s’agit de déterminer le profil longitudinal de la surface libre pourun débit donné, dans un canal de géométrie fixée, avec des paroisconnues.

On fait l’hypothèse que la perte de charge est localement la mêmeque pour un écoulement uniforme avec la même vitesse débitanteV et le même rayon hydraulique RH ; la pente i = tanα de la lignede charge (figure 33) est donnée par la formule :

i = V 2/(C2RH)

tirée de la formule de Chézy, le coefficient C étant donné par laformule de Manning (§ 11.2).

À la section d’abscisse x, la variation de perte de charge est :

avec un signe moins pour marquer la décroissance dans le sens del’écoulement et la charge absolue (à la pression atmosphériqueconstante près) :

H = zr + y + (V 2/2g) (103)

zr étant la cote locale du radier par rapport à un plan horizontal deréférence. Par suite :

en posant (la pente est positive quand le radier s’abaisse,

).

Si l’on fait apparaître le débit-volume :

(104)

Cette équation où C, RH et A sont des fonctions connues de x etde y, et où ir est une fonction connue de x, est une équation différen-tielle du premier ordre qui permet la détermination de y (x ) quand

on se donne et la profondeur y1 à la section d’abscisse x1 .

11.6.1 Cas d’un canal prismatique

La forme de section droite est identique tout le long du canal et

donc C, A et R H sont des fonctions de y seul :

et l’équation (104) donne :

(105)

Dans cette expression C 2A2RH est une fonction croissante de y ;pour i r donné, il existe une valeur de y = y0 appelée profondeurnormale pour laquelle :

(106)

et donc pour laquelle l’écoulement est uniforme .

La surface libre est parallèle aux génératrices du canal. On posepour cette situation :

(107)

Considérons le dénominateur de (105) ; on a vu (§ 11.3.2.2.1) qu’ilexiste une profondeur critique yc pour laquelle (102) :

condition qui entraîne une valeur infiniment grande pour .

c 2πσ λ ρ⁄=

c gλ2π--------- 2πσ

λρ-------------+ th

2 π

h λ ------------- 1 2

⁄

≈

λc 2π σ ρg⁄=

c gh=

c1 V c+ V gh+= = et c2 V c– V gh–= =

V gh< gh

V gh>

V gh=

Vc g Ac bc⁄( )=

dHdx---------- V

2

C

2 R

H ----------------–=

dHdx---------- i r – d y

d

x --------- d

d

x ---------

q

˙

v2

2

gA

2 ----------------- + +=

i r – d

z

r

d

x ----------=

dzr

dx---------- 0<

V qv˙ A⁄=

q v2 –

C

2

A

2

R

H

------------------------- i r – d

y

d

x --------- d

d

x ---------

q

˙

v2

2

gA

2 ----------------- + +=

q v

dAdy---------- b=

ddx--------- q

˙

v2

2

gA

2 ----------------- q

˙

v2

gA

3

------------- – d A d

x ----------

q ˙

v2

b

gA

3 ------------- d y

d x ---------–= =

dydx--------- ir

1

q

˙

v2

C

2

A

2

R

H

i

r ⁄( )

–

1

q

˙

v2

b gA

3 ⁄( )

–-----------------------------------------------------=

C2A2RHir q v2

=

dydx--------- 0=

C 02 A0

2RH0i r q v

2=

q v2b gA3⁄ 1=

dydx---------



Il existe une situation particulière pour laquelle la profondeurcritique

y

c

satisfait non seulement (102) mais aussi (106), la pentedu radier étant dite

pente critique

i

c

: la profondeur critique est enmême temps profondeur normale :

(108)

Le débit étant fixé, l’égalisation des relations (107) et (108) conduità :

Or comme

C

2

A

2

R

H

est une fonction croissante de

y

:— pente faible,

i

r

<

i

c

,

y

c

<

y

0

;— pente forte,

i

r

> ic , yc > y0 .

Il est alors possible de préciser le sens de variation de entransformant l’expression (105) :

(0)

(0)

Bakhmeteff [1] a développé une méthode de calcul de ladéformation longitudinale de la surface libre en introduisant lanotion de débitance :

qui peut s’exprimer simplement en fonction de la profondeur y parune loi-puissance :

K = Ayn /2

avec A constante,

n exposant dont la valeur dépend de la forme de la sectiondroite du canal.

Il considère d’autre part un paramètre qui varie très peu avec y :

β = ir/icy

où icy = gA /bC 2RH = gA3/bK 2 est la pente critique pour la profon-deur y.

Il obtient enfin pour (104) une forme plus propre à l’intégrationen posant η = y /y0 :

et entre deux sections d’abscisse x1 et x2 :

(109)

Bakhmeteff a donné des tables numériques de la fonction :

ce qui n’offre aucune difficulté aujourd’hui en suivant les voies ducalcul par ordinateur.

11.6.2 Canal de largeur constanteavec absence de frottement

Par hypothèse et Vy = Cte. La différentiation de la

définition (103) de la charge conduit à :

avec Fr nombre de Froude.

Cette relation est à rapprocher de celle de Hugoniot (§ 9.5.1)relative à l’écoulement isentropique d’un gaz :

Le nombre de Froude Fr est l’homologue de celui de Mach M etl’on constate la similitude entre :

Fr < 1 avec dV > 0 et M < 1 avec dV > 0

situations qui conduisent respectivement à :

dzr > 0 : le fond remonte et dA < 0 : le conduit est convergent

De même, pour Fr > 1 avec dV > 0 et M > 1 avec dV > 0 quis’accompagnent de dzr < 0 et dA > 0. On retrouve l’analogie entrerégime torrentiel et régime supersonique.

Pour un mouvement subsonique, le passage au mouvementsupersonique se fait sans singularité ; il en est de même pour lepassage du régime fluvial au régime torrentiel. Par contre, toutcomme la compression d’un gaz en mouvement supersoniques’accompagne d’une onde de choc, le passage du régime torrentielau régime fluvial se fait par un ressaut.

11.7 Ressaut dans un écoulement rapidement varié

On appelle ressaut une élévation brusque du niveau d’eau en avalde l’écoulement avec passage rapide de l’écoulement torrentiel àl’écoulement fluvial. Le ressaut n’est autre qu’une onde d’amplitudefinie fixe par rapport aux parois du canal. De fait le front de l’onden’est pas vertical car la crête est le siège d’un courant de recirculationcomme le schématise la figure 37.

ir < ic y yc y0 ∞

(> 0) + ∞ – ∞ (< 0) 0 (> 0) 1

ir > ic y y0 yc ∞

(> 0) 0 (< 0) – ∞ + ∞ (> 0) 1

C c2Ac

2RHcic q v

2=

iric------

C c2Ac

2RH c

C 02A0

2RH 0

--------------------------=

dydx---------

dydx--------- ir

1

C

02

A

02

R

H

0

C

2

A

2

R

H

--------------------------–

1

q

˙

v2 b gA

3

⁄( )

–

------------------------------------------=

1ir----- d y

d x ---------

1ir----- d

y d

x ---------

K CA RH=

dη 1 β–( ) d η

η

n

1

–-----------------+

i

r y

0

------- d x =

x2 x1–y0

i r------- η 2 η 1 – ( ) 1 β – ( ) +

η

1

η

2

d η

η

n

1

–-----------------=

Figure 37 – Ressaut

B 0

η

– d ηη n

1

–-----------------=

dHdx---------- 0=

d

z

r y ----------– d V

V ---------- 1 Fr 2 – ( ) + 0 =

V gh⁄=

dAA

----------dVV

---------- 1 M 2 – ( ) + 0 =



Considérons l’onde fixe : les vitesses sont

V

1

et

V

2

respectivementen amont et en aval de l’onde, à une distance suffisante du ressautpour que les pressions puissent être considérées comme hydros-tatiques (écoulements parallèles). On applique le théorème desquantités de mouvement (18) entre les deux sections

A

1

et

A

2

oùles centres d’inertie G

1

et G

2

des sections sont à des distances de la surface libre. On obtient :

(110)

Dans chaque section A et hG sont connus en fonction de la pro-fondeur y et donc on peut calculer y2 connaissant y1 , le débit étantdonné.

Cas du canal rectangulaire : la largeur du canal b est indépendantede y. L’équation (110) prend une forme simple en posant :

(111)

C’est l’équation du ressaut.

Puisque y2 > y1 , ce qui signifie que le régime est

torrentiel en amont du ressaut et par conséquent fluvial en aval

.

Faisant référence à la profondeur critique yc calculable par

, on obtient :

On a supposé qu’il s’agissait d’une onde fixe par rapport à la rivedu canal. Supposons qu’il s’agisse d’une onde de surélévation quise propage à la vitesse w dans un liquide au repos. L’équation (111)est transposée en faisant w = – V1 (la vitesse du fluide après lepassage de l’onde est ∆V = V2 – V1).

La vitesse de l’onde est donnée par :

On rattache à ce problème les circonstances du mascaret qui appa-raît pendant le reflux de la marée à l’embouchure de quelques grandsfleuves (Seine et Gironde en particulier). Le mascaret peut se pro-pager vers l’intérieur, loin du littoral comme le montre la figure 38.

Précisons enfin que le ressaut est un phénomène irréversiblec’est-à-dire que la charge H2 est inférieure à la charge H1 , les chargesétant définies par (103). On peut démontrer que :

et donc H1 > H2 puisque y2 > y1 .

On retrouve l’analogie avec l’onde de choc droite pour un gazcompressible qui est associée à une augmentation d’entropie.

11.8 Quelques exemplesd’écoulements variés

Ayant présenté les idées fondamentales sur l’écoulement à surfacelibre, on examine quelques cas pour illustration.

11.8.1 Effet d’un seuil

Supposons que la pente du radier soit faible et considérons ladéformation de la surface libre produite par la surélévation horizon-tale brusque du radier d’un canal à section rectangulaire. Puisqu’ily a surélévation, z r est augmenté alors que la charge H donnéepar (103) reste constante, donc la charge spécifique Hs = H – z rdiminue de la valeur ∆zr . La figure 39 représente le profil longitu-dinal du radier avec report de la courbe de la figure 34 tracée icideux fois avec même axe des ordonnées y mais en faisant glisserles ordonnées de la valeur ∆zr : la courbe I correspond à l’amontdu seuil et la courbe II, au seuil, est intérieure à I.

Supposons que le régime à l’amont soit fluvial et que la pro-fondeur y1 correspondant au débit soit repérée par lepoint M1 sur la courbe I. Le niveau de la surface libre au-dessus duseuil est fixé par la position du point , à la verticale de M1sur la courbe II. L’écoulement sur le seuil reste fluvial (§ 11.6.2) etdonc le point est exclu. On a .

Supposons maintenant que le régime en amont soit torrentielpour un débit égal au précédent représenté par M2sur la courbe I. Sur le seuil, la profondeur est correspondant à

et à un régime torrentiel (avec dV < 0 selon (§ 11.6.2), étantsupérieur à y2 .

Figure 38 – Le mascaret vu loin du littoral en Gironde

hG1et hG2

q v A1V1 A2V2= =

q v 1A1-------- 1

A2--------– g A1hG1

A2hG2–=

q Vy V1y1 V2y2= = =

q2

g-------- y1 y2+

2--------------------y1y2=

V1 gy1>

V2 gy2<

yc q2

g⁄( )1 3⁄

=

y c3 y1 y2+

2--------------------y1y2=

w 2 g y1 y2+

2--------------------

y

2 y

1 -------=

Figure 39 – Effet de seuil

H1 H2–y2 y1–( )3

4y1 y2---------------------------=

qb V1y1=

y ′1 M ′1

M ′2 V ′1 V1>

qb qb V2y2=y ′2

M ′2 y ′2



On constate que lorsque le régime est fluvial, le seuil a pour effetd’abaisser la surface libre alors que celle-ci s’élève en régimetorrentiel.

11.8.2 Seuil épais en aval d’un réservoir

Il s’agit d’un seuil qui retient l’eau d’un réservoir et ne laisse passerque le trop-plein. Le débit est libre à partir d’une vitesse nulle dansle réservoir loin en amont. S’il y avait possibilité de stopper le débit,la surface libre serait à la profondeur

y

0

par rapport au sommet duseuil ;

y

0

est la charge spécifique. Le débit se fixe librement à sonmaximum à partir de la valeur nulle et donc la profondeur au seuilest la profondeur critique

y

c

= (2 /3)

y

0

; il en résulte un débit critiquepar unité de largeur égal à :

Si la paroi du seuil est dessinée en aval avec un pente harmo-nieusement graduelle en forme de déversoir, le courant est torrentieldans cette région. Mais le régime torrentiel existe aussi si le seuillaisse l’eau tomber en chute libre en aval ; dans ce dernier cas laprofondeur décroît graduellement depuis la valeur critique

y

c

atteinteavant la chute à une longueur horizontale égale à 3 ou 4

y

c

.

11.8.3 Abaissement du radier

Le radier qui a tout d’abord une faible pente (

i

<

i

c

) est brusque-ment abaissé par une pente

i

>

i

c

(figure

40

). En amont de la rupturede pente (point B) le régime est fluvial, c’est-à-dire que la profon-deur

y

est supérieure à la profondeur critique

y

c

correspondant audébit de l’écoulement uniforme. À une certaine longueur en aval dupoint B, le régime redevient uniforme avec un régime torrentiel. Lepassage d’un régime à l’autre se fait de façon progressive et laforme de la surface libre est calculable par la méthode deBakhmeteff (§ 11.6.1) : on a

y

=

y

c

en amont du changement depente.

11.8.4 Relèvement du radier. Ressaut

On considère cette fois le cas d’un écoulement torrentiel sur uneforte pente (figure

41

). Au point B il y a changement de pente parrelèvement du radier de telle sorte que

i

<

i

c . En aval du point B,

l’écoulement uniforme ne peut qu’être fluvial et cette situation estprécédée d’un ressaut. Là encore, la méthode de Bakhmeteff permetde calculer la variation progressive de la profondeur

y

.

11.9 Analogie entre les écoulementssans frottement dans un canalet dans une tuyère pour un gaz

On a déjà évoqué l’analogie entre les célérités de l’onde de gravitéet de l’onde acoustique dans un gaz (§ 11.4.1) en concluant qu’elleserait respectée si le gaz parfait avait un coefficient

γ

égal à 2. Onpeut revenir à la discussion de l’analogie maintenant que l’on s’estfamiliarisé avec l’écoulement en canal.

On suppose cette fois que le canal est à section rectangulaire maisavec une largeur

b

variable. La conservation de la masse s’exprimepar :

En l’absence de frottement, l’équation d’énergie peut s’écrireavec la notation déjà utilisée pour la cote du radier

z

r

:

Les deux équations donnent, en éliminant et en faisantapparaître le nombre de Froude :

(112)

Cette équation doit être rapprochée de celle qui peut être extraitedu tableau

7

dans le cas d’un gaz sans viscosité :

(113)

La température génératrice

T

*

ne change que si le gaz est soumisà un transfert de chaleur.

Par comparaison entre les équations (112) et (113), on constateune correspondance formelle qui est évidente entre

Fr

et

M

,

b

et

A

,

y

et

ρ

. De même à la cote locale du radier correspond la tempé-rature génératrice

T

*

: un radier horizontal a pour homologue une

adiabaticité de l’écoulement gazeux : or l’adiabaticité ajoutée àl’absence de viscosité n’est autre que l’isentropie, laquelle pour le

gaz parfait suppose ; .

Ainsi

ρ

étant l’homologue de

y

,

p

est l’homologue de et

le liquide est identifiable à un gaz parfait avec

γ

= 2. Cela a déjà étédit à propos de l’onde de gravité dans un milieu sans frontièrelatérale ; on voit que l’analogie est valable dans le cas d’un canalà section rectangulaire avec largeur variable, le liquide (comme legaz) étant sans viscosité, le fond du canal étant horizontal (écoule-ment gazeux isentropique).

L’analogie parfaite s’arrête là. Dans le cas général d’un radier àpente variable et d’un gaz soumis à un transfert de chaleur, il faudraitlier

y

à

ρ

et à

p

, ce qui n’est pas compatible avec un chauffage ouun refroidissement quelconque du gaz. On sait, par ailleurs, qu’iln’est pas exact de supposer l’existence d’un gaz sans viscositépouvant recevoir ou perdre de la chaleur (§ 9.5.5). Toutefois, on tireun renseignement sur le sens de l’effet du relèvement du radiercomparé à celui du chauffage du gaz.

(0)

q b g 23----- y 0

3 =

dbb

--------- dyy

--------- dVV

----------+ + 0=

Figure 40 – Abaissement du radier

Figure 41 – Relèvement du radier

dz r

y---------- dy

y--------- VdV

gy--------------+ + 0=

VdVgy

--------------

Fr 2 1–( ) d y

y ---------

d

z

r y

---------- Fr 2 d

bb ---------–=

M 2 1–( ) d ρ

ρ ---------

d

T

* T

------------ M 2 d

AA

----------–=

dpp

--------- γ d ρ

ρ ---------– 0 =

12----- gy



Principales notations

Symbole Désignation

a célérité du son

am diffusivité thermique moléculaire

at diffusivité thermique turbulente

cp capacité thermique massique à pression constante

cV capacité thermique massique à volume constant

e énergie interne massique

g accélération due à la pesanteur

h enthalpie massique

k énergie cinétique de turbulence

normale unitaire orientée de composante ni

p pression

pression motrice dans un fluide isovolume

q densité de flux

q0 densité de flux de chaleur à la paroi

débit-volume

s entropie massique

t temps

vi composante de la vitesse correspondantà xi (i = 1, 2, 3)

xi coordonnée dans le repère orthonormé(i = 1, 2, 3)

z altitude

A aire de la section de passage

charge (massique) locale du fluide

C f coefficient de frottement local

Cx coefficient de traînée

Cz coefficient de portance

C fm coefficient moyen de frottement global

Dh diamètre hydraulique d’un tube

Ec nombre d’Eckert

force

Fr nombre de Froude

Gr nombre de Grashof

H rapport de forme

K coefficient de Karman

L longueur caractéristique

M nombre de Mach

débit-masse

Nu nombre de Nusselt

P portance d’un obstacle

Indices

* indique la condition génératrice~ indique la moyenne dans une section droite– indique la moyenne dans le temps

n

p^

q v

F

M

périmètre de la section d’une conduite

périmètre mouillé d’un canal

Pe nombre de Péclet

Pr nombre de Prandtl

Prt nombre de Prandtl turbulent

RH rayon hydraulique d’un canal

Re nombre de Reynolds

Sr nombre de Strouhal

S aire de la paroi

T température absolue

T traînée d’un obstacle

U vitesse à la frontière de la couche limite

vitesse locale de composante générale vi

V module de la vitesse (V 2 = vi vi )

β coefficient de dilatation thermique à pression constante

γ rapport des capacités thermiques massiques (cp /cV)

δij tenseur de Kronecker

δ épaisseur de couche limite

δ1 épaisseur de déplacement

δ2 épaisseur de quantité de mouvement

ε coefficient de dissipation

εij tenseur des taux de déformation

εii taux de dilatation en volume

ς coefficient de perte de charge singulière

contrainte, tension

λ conductivité thermique

Λ coefficient de perte de charge régulière

µ coefficient de viscosité dynamique

ν coefficient de viscosité cinématique moléculaire

νt coefficient de viscosité turbulente

ρ masse volumique

σij tenseur des contraintes

dτ volume élémentaire

τ0 contrainte visqueuse à la paroi

τij tenseur de contraintes visqueuses

χ coefficient de compressibilité isotherme

vecteur tourbillon

Principales notations

Symbole Désignation

Indices

* indique la condition génératrice~ indique la moyenne dans une section droite– indique la moyenne dans le temps

m

V

V

θ

ω



Conventions de notation

En thermodynamique, les propriétés du fluide dépendent dedeux variables (ou fonctions d’état) indépendantes, à choisir selonles circonstances. Pour la clarté, on est amené à exprimer toutedérivation en précisant, par un indice, quelle est la variable ou la

fonction d’état qui est maintenue constante : ainsi, signifie

que ξ étant constant, on prend la dérivée de ψ par rapport à η. Par

exemple, dans une compression, on distinguera ,

la première dérivée étant relative à l’opération isotherme et laseconde à l’isentropique.

Dans l’exposé des concepts fondamentaux et des équationsgénérales qui en découlent (§ 1, 2, 3 et 4), on utilise la notationtensorielle maintenant très courante. Toutefois, pour simplification,l’espace est rapporté à un repère orthonormé, ce qui élude la notionde covariance et contravariance des tenseurs relatifs à un repèrenon orthonormé.

On trouve dans cette notation l’avantage d’une concision dansl’écriture des équations et, avec une pratique rapidement acquise,celui d’une vue plus claire de l’algèbre vectorielle et de sagénéralisation aux tenseurs quelconques.

On rappelle qu’un scalaire est un tenseur d’ordre zéro et qu’un

vecteur désigné par sa composante vi sur l’axe des xi , aveci = 1, 2, 3 est un tenseur du premier ordre (trois composantes). Demême un tenseur d’ordre deux σij a neuf composantes obtenuesen faisant indépendamment i et j = 1, 2, 3 ; etc.

L’opération de dérivation d’un tenseur par rapport au temps nechange pas l’ordre du tenseur : par exemple, la dérivation duvecteur vitesse par rapport au temps donne le vecteur accélération.

La dérivation par rapport à une variable d’espace augmente

d’une unité l’ordre du tenseur ; ainsi est la composante géné-

rale d’un tenseur du second ordre et pour marquer l’accroissementd’ordre on écrit vi,j avec une virgule en indice pour signifier l’opéra-tion de dérivation.

On utilise la notation dite d’Einstein pour laquelle les indicesdoublés indiquent implicitement une sommation qui réduite dedeux unités l’ordre du tenseur. Par exemple, le produit tensoriel

de deux vecteurs s’exprime par viwj , composantegénérale d’un tenseur du second ordre ; mais viwi représente le

produit scalaire , soit :

v1w1 + v2w2 + v3w3

qui est bien un scalaire ou tenseur d’ordre zéro.De même :

vi,i = v1,1 + v2,2 + v3,3

est le scalaire divergence de .Ou bien encore vi ,jj est un tenseur d’ordre 3 – 2 = 1, c’est-à-dire

un vecteur appelé laplacien de dont la première des troiscomposantes est :

(de même sur v2 et v3).On introduit le tenseur particulier de Kronecker δi j du second

ordre, dont les composantes non nulles sont δ11 = δ22 = δ33 = 1 etpour les six autres δi j = 0 avec i ≠ j. Il en résulte par exemple quevi δi j est un tenseur d’ordre 1 donc un vecteur qui n’est autre que

de composante vi , puisque :

v1δ11 + v2δ21 + v3δ31 = v1

(de même pour v2 et v3 ).Si p est la pression (un scalaire), – p δ i j est la représentation du

tenseur σi j des pressions en hydrostatique, le signe moins résultantd’une convention sur le sens de l’action de la pression sur unesurface.

On rappelle enfin que, dans une équation, tous les monômes sontles composantes de tenseurs du même ordre et qu’il suffit d’écrireune seule équation pour résumer l’ensemble des équations, soittrois pour une équation vectorielle ou neuf pour une équationattachée à des tenseurs d’ordre deux, etc.

∂ψ∂η---------

ξ

∂ρ∂p--------T

et ∂ρ∂p--------s

V

∂vi

∂xj----------

V et W

V W⋅

V

V

∂2v1

∂x 12

--------------∂2v1

∂x 22

--------------∂2v1

∂x 32

--------------+ +

V

Références bibliographiques

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[2] BRADSHAW (P.), CEBETI (T.) et WITHELAW(J.H.). – Engineering calculation methods forturbulent flows. Academic Press (1981).

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[4] CANDEL (S.) coord. – Cours de mécaniquedes fluides. Dunod, 2e édit. 1995 ; Problèmesrésolus de mécanique des fluides, Dunod(1995).

[5] CEBETI (T.) et BRADSHAW (P.). – Physical andComputational Aspect of Convective HeatTransfer. Springer-Verlag (1984).

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[7] FAVRE (A.), KOVASNAY (L.), DUMAS (R.),CAVIGLIO (J.) et COANTIC (H.). – La turbulenceen mécanique des fluides. Gauthier-Villars(1976).

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[10] GERMAIN (P.). – Mécanique. Coll. École Poly-technique, Ellipses (1968).

[11] IDEL’CIK (I.E.). – Mémento des pertes decharge. Eyrolles (1986).

[12] LEFEBVRE (J.). – Mesure des débits et desvitesses des fluides. Masson (1985).

[13] MIDOUX (N.). – Mécanique et rhéologie desfluides en génie chimique. Tec. et Doc. Lavoi-sier (1985).

[14] SACADURA (J.-F.) coord. – Initiation auxtransferts thermiques. Tec. et Doc. Lavoisier(1978).

[15] SCHIESTEL (R.). – Modélisation et simulationdes écoulements turbulents. Hermès (1993).

[16] SCHLICHTING (H.). – Boundary layer theory.McGraw-Hill (1968).

[17] TENNEKES (H.) et LUMLEY (J.L.). – A firstcourse in turbulence. MIT Press (1983).


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Mécanique des ﬂuides - … · est celui de la détermination du débit d’un écoulement ... des approfondissements dans les chapitres ... relève aussi de la thermodynamique