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ecanique des fluides : Statique et cin´ ematique - version 1.2 - Janvier 2008

M´ecanique des fluides : Statique et cin´ematique · Chapitre 1 Outils math´ematiques de la th´eorie des champs 1.1 Op´erateur gradient D´efinition 1. A tout champ scalaire

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Mecanique des fluides :Statique et cinematique

- version 1.2 -

Janvier 2008

Table des matieres

1 Outils mathematiques de la theorie des champs 4

1.1 Operateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Expressions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Gradient d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Operateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Expressions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Operateur Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Expressions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Operateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Expression analytique du Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Operateur symbolique nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Formulaire ralatif aux operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Generalites sur les fluides 8

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Fluides compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Statique des fluides 10

3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Formulation d’un probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 Equations generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Statique des fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Exemples : fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Statique des fluides compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 Exemples : fluides compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Theoreme d’Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1 Etude de l’equilibre d’un solide immerge soumis a l’apesanteur . . 16

4 Cinematique d’un milieu continu 17

4.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Definition du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.2 Definition Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.3 Definition Eulerienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.4 Relation entre les deux descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.5 Derivee particulaire d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.6 Trajectoires, lignes, surfaces et tubes de courant . . . . . . . . . . 19

4.2.7 Derivee particulaire d’une integrale de volume . . . . . . . . . . . 19

2

4.2.8 Derivee particulaire de la circulation d’un vecteur le long d’une

courbe fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.9 Conservation de la masse et des quantites de mouvement . . . . . 21

4.2.10 Theoreme de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 Champ a potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Ecoulements potentiel stationnaire autour d’un obstacle . . . . . . . . . . 23

4.4.1 Le paradoxe d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.2 Les ecoulement irrotationnels avec circulation en 2 dimensions . . 24

3

Chapitre 1

Outils mathematiques de la theorie

des champs

1.1 Operateur gradient

Definition 1. A tout champ scalaire f(M), on associe un champ vectoriel−−→grad(f) tel que :

df(M) =−−→grad(f).d

−−→OM

Proposition 1. La circulation d’un gradient est independante du chemin suivi. En particulier sur une courbefermee, la circulation du gradient est nulle.

Proposition 2. Le gradient est perpendiculaire aux surfaces equi-f.

Proposition 3.−−→grad(f) indique le sens des f croissant.

1.1.1 Expressions analytiques

En coordonnees cartesiennes

On a en coordonnees cartesiennes dans la base (e1, e2, e3) pour une fonction scalaire f = f(x1, x2, x3) :

(−−→grad(f))i =

∂f

∂xi

En coordonnees cylindrique

On a dans la base (er, eθ, ez) :

−−→grad(f) =

∂f

∂rer +

1

r

∂f

∂θeθ +

∂f

∂zez

En coordonnees spheriques

On a dans la base (er, eθ, eφ) :

−−→grad(f) =

∂f

∂rer +

1

r

∂f

∂θeθ +

1

rsin(θ)

∂f

∂φeφ

1.1.2 Gradient d’un vecteur

On peut definir le gradient d’un vecteur−→V de taille n. C’est une matrice de taille n × n et on a :

(grad(−→V ))i,j =

∂Vi

∂xj

4

1.2 Operateur divergence

Definition 2. Soit un champ vectoriel−→V et soit dτ un element de volume entourant un point M de l’espace.

On definit div(−→V ) = dΦ

dτou dΦ est le flux elementaire sortant du champ

−→V a travers la surface fermee delimitant

dτ .

M

−→V (M)

−→dS

−→n

div(−→V ) represente le flux volumique en M . L’operateur divergence construit un champ de scalaire a partir

d’un champ de vecteurs.

Theoreme 1. (Theoreme de Green-Ostrogradski) Soit Σ la surface fermee delimitant le volume V,−→dS le

vecteur de surface elementaire sortant du volume. On a alors pour tout champ de vecteur−→V :

Z Z

Σ

−→V .

−→dS =

Z Z Z

V

div(−→V )dτ

1.2.1 Expressions analytiques

En coordonnees cartesiennes

On a :

div(−→V ) =

∂Vx

∂x+

Vy

∂y+

Vz

∂z

En coordonnees cylindrique

On a :

div(−→A) =

1

r

∂r(rAr) +

1

r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z

1.3 Operateur Rotationnel

Definition 3. Soit un champ vectoriel−→V et soit

−→dS un element de surface en un point M de l’espace. En notant

dC le contour elementaire oriente associe a−→dS selon la regle de Stockes, on definit le rotationnel de

−→V en M ,

par :

dC =

Z

dC

−→V .

−→dl =

−→rot

−→V .

−→dS

MdC

−→n

−→dS

L’operateur rotationnel construit un champ de vecteurs a partir d’un champ de vecteurs.

1.3.1 Expressions analytiques

En coordonnees cartesienne

On a :−→rot

−→A = (

∂A3

∂x2− ∂A2

∂x3)e1 + (

∂A1

∂x3− ∂A3

∂x1)e2 + (

∂A2

∂x1− ∂A1

∂x2)e3

5

En coordonnees cylindrique

On a ;−→rot

−→A = [

1

r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z]er + [

∂Ar

∂z− ∂Az

∂r]eθ +

1

r[∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ]ez

Theoreme 2. (Theoreme de Stockes) Transforme ue integrale curviligne en integrale de volume. On integresur une surface S orientee quelconque qui s’appuie sur le contour ferme C oriente par la regle de stockes et onobtient :

Z

C

−→V .

−→dl =

Z Z

S

−→rot

−→V .

−→dS

b

b

b

bb

bb

b b b b b b b bb b b b b

bb

b

b

b

b

−→dS

C

le resultat est independant de la forme de S s’appuyant sur C.

Proposition 4. Si un champ de vecteur−→W est a flux conservatif (i.e. si div(

−→W = 0) alors il existe un champ

de vecteur−→V tel que

−→W =

−→rot

−→V

1.4 Operateur Laplacien

Definition 4. (Laplacien d’un champ scalaire) Transforme un champ scalaire en champ scalaire :

∆f = div(−−→gradf)

1.4.1 Expression analytique du Laplacien scalaire

En coordonnees cartesiennes

On a :

∆f =nX

i=1

∂2f

∂x2i

En coordonnees cylindrique

∆U =1

r

∂r(r

∂U

∂r) +

1

r2

∂2U

∂θ2+

∂2U

∂z2

En coordonnees spherique

∆U =1

r

∂2

∂r2(rU) +

1

r2sinθ

∂θ(sinθ

∂U

∂θ) +

1

r2sin2θ

∂2U

∂φ2

Definition 5. (Laplacien d’un champ vectoriel) Transforme un champ vectoriel en champ vectoriel :

−→∆−→V =

−−→grad(div(

−→V )) −−→

rot−→rot

−→V

Expression analytique du Laplacien vectoriel

En coordonnees cartesiennes on a :−→∆−→V =

nX

i=1

∆Vxiei

6

1.5 Operateur symbolique nabla

C’est un operateur de derivation vectoriel. Ses composantes en coordonnees cartesiennes sont :

(−→∇)i =

∂xi

On peut ecrire le gradient, la divergence et le rotationnel grace a cet operateur symbolique :

−−→gradf =

−→∇f

−→rot

−→V =

−→∇ ∧ −→V

div(−→V ) =

−→∇.−→V

∆f =−→V

2f

−→∆−→V =

−→V

2−→V

1.6 Formulaire ralatif aux operateurs

Soit f un champ scalaire et−→A et

−→B deux champs vectoriels.

La divergence d’un gradient est egale au Laplacien

div(−−→gradf) = ∆f

Le rotationnel d’un gradient est nul

−→rot(

−−→gradf) =

−→0

La divergence d’un rotationnel est nulle

div(−→rot

−→A )

Quelques formules supplementaires

– −→rot(

−→rot

−→A ) =

−−→grad(div(

−→A)) − ∆

−→A

– −−→grad(fg) = f

−−→gradg + g

−−→gradf

–div(f

−→A ) = fdiv(

−→A ) +

−→A.

−−→gradf

– −→rot(f

−→A ) = f

−→rot

−→A +

−−→gradf ∧ −→

A

–div(

−→A ∧ −→

B ) =−→B.

−→rot

−→A −−→

A.−→rot

−→B

– −→∇ ∧ (−→A ∧ −→

B ) = (−→∇.

−→A )

−→A − (

−→∇ .−→A )

−→B + (

−→B.

−→∇)−→A − (

−→A.

−→∇)−→B

1.7 Connexite

Definition 6. (Domaine connexe) Un domaine D est dit connexe si deux points quelconque de D peuventetre reunis par un arc continu entierement dans D (En maths : c’est un connexe par arc).

Definition 7. Une courbe fermee est dite reductible dans un domaine donne lorsqu’on peut la reduire a un pointpar une deformation continu sans sortir du domaine. Dans le cas contraire la courbe est dite irreductible.

Definition 8. (Domaine simplement connexe) Un domaine dans lequel toutes les courbes fermes sontreductibles est dit simplement connexe. S’il existe des courbes irreductibles, il est dit multiconnexe.

7

Chapitre 2

Generalites sur les fluides

2.1 Introduction

Un fluide est soit un liquide soit un gaz, et n’a pas de forme propre.

Pour un liquide :– Il prend la forme du recipient qui le contient– Il est inexpansible : il n’occupe pas tout le volume qui lui est offert.– Si on le comprime, il conserve environ son volume initial : un liquide est pratiquement incompressible.Pour un gaz :– Il se repand.– Il est expansible et occupe tout l’espace qui lui est offert.– Il est compressible.Un fluide est un milieu isotrope : proprietes du fluide les meme dans toutes les directions de l’espace qu’il

occupe.

Il existe deux grandes classes de fluides :– Les fluides compressible.– Les fluides incompressible.

2.1.1 Fluides compressibles

Definition 9. Un milieu continu est un fluide compressible si le tenseur des contraintes de Cauchy σ est unefonction isotrope de la masse volumique ρ et du tenseur des vitesses de deformation D. On a donc :

σ = f(D)

avec f une fonction isotrope et D le tenseur des vitesses de deformation :

Di,j =1

2(∂vi

∂xj

+∂vj

∂xi

)

vi(x, t) composante du vecteur vitesse d’une particule du fluide.

Theoreme 3. Dans un fluide compressible, la relation entre σ, ρ et D est de la forme :

σ = f0(ρ,D1, D2, D3)I + f1(ρ, D1, D2, D3)D + f2(ρ,D1, D2, D3)D2

ou D1, D2 et D3 sont les invariants principaux de D : D1 = tr(D) = div(v), D2 = tr(D2) et D3 = det(D).

Definition 10. 1. Un fluide compressible est dit parfait si σ est independant de D. σ est alors de la forme−pI avec p = p(ρ). Dans le cas contraire le fluide est dit visqueux.

2. Un fluide compressible est dit Newtonien si σ est une fonction affine de D. σ est alors de la forme suivente :

σ = −pI + 2µD + 2λD1I

avecp = p(ρ) la pression, λ = λ(ρ) et µ = µ(ρ) les coefficients de viscosite.

8

2.1.2 Fluides incompressibles

Definition 11. Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique reste constante au cours du mouvement :

ρ = ρ0(x)

x : position du point materiel a l’instant initial.

Proposition 5. Dans un milieu incompressible en mouvement on a :

tr(D) = div(v) = 0

Definition 12. Un milieu continu est dit incompressible si le tenseur des contraintes de Cauchy σ est unefonction isotrope du tenseur des vitesses de deformation D

Theoreme 4. Dans un fluide incompressible, la relation entre σ et D est de la forme :

σ = f0(D2, D3)I + f1(D2, D3)D + f2(D2, D3)D2

ou D2 et D3 sont les invariants principaux de D : D2 = tr(D2) et D3 = det(D).

Definition 13. 1. Un fluide incompressible est dit parfait si σ est independant de D. σ est alors de la forme−pI avec p = p(ρ). Dans le cas contraire le fluide est dit visqueux.

2. Un fluide compressible est dit Newtonien si σ est une fonction affine de D. σ est alors de la forme suivente :

σ = −pI + 2µD

avecp = p(ρ) la pression, µ = µ(ρ) un coefficient de viscosite du fluide.

Remarque : Dans un fluide compressible ρ st une inconnue du probleme alors qu’elle est connue dans unfluide incompressible.

9

Chapitre 3

Statique des fluides

3.1 Generalites

On suppose que le fluide est fixee dans le referentiel choisi. On a donc v = 0 et D = 0 avec D = ∇v+∇tv

2.On

a aussi l’acceleration γ nulle.

La loi de comportement s’ecrit alors :

σ = −p(ρ)IOn sait que le fluide n’a pas de forme propre : le domaine occupe par le fluide est une inconnue du probleme.

3.1.1 Formulation d’un probleme

Soit un recipient D contenant un fluide de masse volumique ρ et de masse M . Le fluide est en contact avecune atmosphere de pression pa. Le tout soumis a une force volumique f . Le probleme consiste a trouver lapression p dans le fluide, la masse volumique (s’il est compressible) et le domaine qu’il occupe.

3.1.2 Equations generales

A l’equilibre on a la formule suivante :

div(σ) + f = 0 [Ω]

avec Ω inconnue.En effet, considerons un sous-domaine Ω′ de Ω. Il est alors soumis aux efforts lies a la force volumique f et

a la densite surfacique σ−→n appliquee a δΩ′.

Ω

−→f

Ω′

σ−→n

A l’equilibre on ecrit que la resultante des efforts exterieurs est nulle :

Z

δΩ′

σ−→n dS +

Z

Ω′

−→f dV =

−→0 ∀Ω′ ⊂ Ω

ce qui donne :Z

Ω′

div(σ)dV +

Z

Ω′

−→f dV =

−→0 ∀Ω′ ⊂ Ω

10

et finalement on a :Z

Ω′

(div(σ) +−→f )dV =

−→0 ∀Ω′ ⊂ Ω

ce qui donne :div(σ) + f = 0 [Ω]

avec la loi de comportement σ = −pI on a :

−∇p +−→f =

−→0

Ensuite pour les conditions aux limites on a sur la surface libre :

p = pa

Le domaine Ω est donnee par la description suivante :

Ω = (x, y, z)|p(x, y, z) ≥ pa

Remarque : Dans le cas de plusieurs fluides non miscible il faut rajouter des conditions d’interfaces :

[σ]Γn = 0 i.e. [p] = 0

Proposition 6. Un fluide ne peut etre en equilibre que si les forces volumiques derivent d’un potentiel, i.e. si :

−→f = ∇V

V : potentiel des forces de volume.

Preuve :On a a l’equilibre : −→

f = ∇p = ∇Vce qui donne le resultat.

Dans ce cas la pression dans le fluide est donnee par :

p(x, y, z) = V(x, y, z) + cte

Corollaire 1. – La surface libre s’il y en a une est une equipotentielle, i.e. une surface tel que V(x) = cte =V0.

– Dans le cas de fluides non miscibles, les interfaces sont des surfaces de continuite des potentiels.

3.2 Statique des fluides incompressibles

Le but dans un probleme de statique des fluides incompressible est de trouver la pression p dans tout lefluide et la forme Ω occupee par le fluide. Voyons quelques exemples de resolution.

3.2.1 Exemples : fluides incompressibles

Dans un cube

Soit un fluide de masse M dans une enceinte parallelipipedique a section carre de cote a. Le fluide est supposeincompressible et soumis a la pesanteur −→g = −g−→e3 . Voici la representation graphique du probleme :

−→gh

a

−→e3

air fluide

11

Passons a la resolution en coordonnees cartesiennes : on cherche la pression p et le domaine occupe par lefluide. On ecrit alors l’equation d’equilibre associee a la loi de comportement :

−∇p +−→f =

−→0

Ici les forces volumiques se reduisent a la force de pesanteur−→f = −ρg−→e3 donc on a :

−∇p − ρg−→e3 =−→0

Ce qui donne en projetant sur −→e1 ,−→e1 et −→e1 le fait que p = p(z) et que :

∂p

∂z= −ρg

ce qui donne :p = −ρgz + C

On remarque que lorsque p est constant alors z est constant et inversement ce qui signifie que les equipotentiellesde pression sont situees sur des hauteurs constantes et sont representees par des surfaces planes horizontales dehauteur que l’on peut noter H .

Sachant que sur la surface libre z = H la pression vaut pa (pression de l’air) et que la pression est unegrandeur continue alors on peut dire que :

p(H) = pa = −ρgH + C

d’ou la valeure de C :C = pa + ρgH

ce qui donne :p(x, y, z) = p(z) = ρg(H − z) + pa

Cherchons maintenant la forme du domaine Ω occupe par le fluide. On utilise la conservation de la masse :

M =

Z

Ω

dm =

Z

Ω

ρdV = ρaH2

d’ou H :

H =M

ρa2

Ainsi on a Ω :Ω = (x, y, z) ∈ Cube ∩ F luide|p ≥ pa

Ω = (x, y, z) ∈ Cube ∩ F luide|0 < z <M

ρa2

Ω = (x, y, z)|(x, y) ∈]0, a[2, 0 < z <M

ρa2

Autour de la terre

Soit un fluide de masse M incompressible de masse volumique ρ0, place autour de la terre spherique de rayonR. On veut mesurer le domaine Ω occupe par le fluide ainsi que la pression p dans le fluide. Voici un schemarepreentant la terre entouree par le fluide :

Terre

O

Fluide

R

M

−→er

−→eθ

Ω

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Soit−→f la force de volume exercee par la planete sur le fluide. Elle s’ecrit :

−→f = −ρ0g

R2

r2−→er

dirigee selon −→er

On se place depuis le debut en coordonnees spherique et on ecrit l’equation de l’equilibre associee a la loi decomportement ce qui donne :

−∇p +−→f =

−→0

En projetant sur les vecteurs de base −→er , −→eθ et −→eφ on obtient que p = p(r) et que :

∂p

∂r= −ρ0g

R2

r2

donc :

p = ρ0gR2

r+ C

On determine la constante C en faisant tendre r vers l’infini nous donnant une pression nulle : donc C = 0. Onremarque que les equipotentielle de pression sont les surfaces donnees par r constant : ce sont des spheres derayon r.

Appliquons la conservation de la masse pour connaıtre le domaine Ω :

M =

Z

Ω

ρ0dV = ρ04

3π(H3 − R

3)

d’ou H .Ainsi le domaine Ω est donne par :

Ω = r ∈]R, H [|p(r) > 0 = V |r ∈]R, H [

Terre

O

Fluide

R

Ω

H

3.3 Statique des fluides compressibles

Dans le cas compressible ρ n’est pas constante et p depent de ρ. On distingue deux cas importants :– Fluide en equilibre isotherme : p = kρ, ρ > 0.– Fluide en equilibre adiabatique : p = kργ , ρ > 0 avec γ indice adiabatique. γ ≈ 1, 4 pour l’air.

3.3.1 Exemples : fluides compressibles

Le cube

Soit un fluide de masse M dans une enceinte parallelepipedique de section carre de cote a. On neglige lapression et la masse volumique de l’air et on prend comme fonction d’etat p = kρ, k ≥ 0. On cherche ρ quin’est pas constant ici, p la pression et Ω le domaine occupe par le fluide. On a donc avec toujours les memesequations :

−∇p + ρ−→g =−→O

dans le fluide de domaine Ω.En coordonnees cartesiennes on obtient que p = p(x3) et que :

∂p

∂x3= −ρg

13

ce qui donne avec p = kρ :

ρ′(x3) =

−ρg

k

donc :ρ(x3) = Ae

−gk

x3

et donc la pression s’ecrit :

p(x3) = kAe−

gk

x3

Pour determiner la constante A on utilise la conservation de la masse.

M =

Z

Ω

ρ(x3)dV =

Z

Ω

Ae−

gx3

K dx1dx2dx3 =a2Ak

g

d’ou la constante A. Et on a donc finalement :

p(x3) =Mg

a2e−

gx3

k

Le domaine occupe par le fluide est alors de la forme :

Ω = (x, y, z) ∈ S × I |S =] − a

2,a

2[×] − a

2,a

2[, I =]0,∞[

Le cylindre

Soit un cylindre de hauteur H et de section disque S de rayon R. Le cylindre tourne autour de son axe avecune vitesse angulaire uniforme ω. Il contient un fluide compressible. On neglige l’effet de l’apesanteur. Voici unschema representatif de la situation :

−→ω

−→er

R

H

Le but est de trouver ρ et Ω. Considerons deux cas : le premier concerne un fluide compessible en equilibreisotherme et le second un fluide compressible en equilibre adiabatique. Voyons le premier cas : on a alors p = kρ.Et l’ecriture de l’equilibre nous donne :

−∇p +−−−−−−−→fcentrifuge

ce qui donne :−∇p + ρω

2r−→er =

−→0

en projection dans la base des coordonnees cylindriques on a p = p(r) et l’equation suivante :

−∂p

∂r+ ρω

2r = 0

ce qui donne avec p = kρ :

−∂ρ

∂r+ ρω

2r = 0

en resolvant :

ρ = Aeω2r2

2k

et la pression p est donnee par :

p = kAeω2r2

2k

La constante A va etre donnee par la conservation de la masse :

M =

Z

Ω

ρdV =

Z

Ω

ρrdrdθdz = 2πHAk

ω2

eR2ω2

2k − 1

«

d’ou la valeur de A. Le fluide occupe tout le cylindre ce qui donne Ω.

14

Passons au second cas : p = kργ avec γ 6= 1. Montrons que si ω > ωc alors un vide apparaıt au centre ducylindre.

On resout de la meme facon et on obtient l’equation suivante a resoudre :

kγργ−1 ∂ρ

∂r= ρω

2r

ce qui s’ecrit :d(ργ − 1)

γ − 1=

ω2

2kγd(r2)

donc :

ργ−1 kγ

γ − 1=

ω2

2(r2 + C)

C constante sur laquelle on va discuter :Si C > 0 alors ρ > 0 ∀r et donc le fluide occupe tout le cylindre.Si C < 0 alors on a ρ < 0 si r2 < −C. Posons R0 =

√−C alors pour r < R0 un vide se cree.

Ecrivons la conservation de la masse dans le cas C > 0

M =

Z

Ω

ρdV =

Z R

0

ρrdr2πH

d’ou :

M

2πH=

»

(γ − 1)ω2

2kγ

–1

γ−1Z R

0

`

r2 + C

´1

γ−1 rdr

on a M = M(C) et dMdC

> 0 d’ou M fonction croissante de C et a un M correspond un et un seul C etinversement. On a :

M(C) > M(0) = M0(ω)

Aucun vide ne se cree, la masse est positive forcement.Dans le cas C < 0 on a un vide qui se cree si r < R0 et on a :

M

2πH=

»

(γ − 1)ω2

2kγ

–1

γ−1Z R

R0

`

r2 − R

20

´1

γ−1 rdr

On a que M est une fonction decroissante de R0 : M = M(R0). On a de plus que M(r) = 0 donc si R0 > r M

est negative et un vide se cree. Pour chaque M j’ai un R0 et un seul (ou un C) donc si M < M0(ω) il existe unR0 > 0 donc un vide se cree. La condition M < M0(ω) se transforme en :

ω2

>

πH(γ − 1)R2γ

γ−1

!γ−1„

2kγ

γ1

«

= ω2c

donc si ω2 > ω2c un vide se cree.

3.4 Theoreme d’Archimede

Theoreme 5. On considere un solide immerge dans un fluide parfait (l’ensemble etant soumis a l’apesanteur).Alors toutes les forces pressantes admettent une resultante donnee par le theoreme d’Archimede :

Un solide plonge completement ou partiellemnt dans un fluide au repos subit de la part du fluide une pousseeverticale dirigee vers le haut egale au poids du fluide deplace et appliquee au centre de gravite geometrique dusolide de la partie immergee.

Validite du theoreme :Le theoreme d’archimede n’est valable que si le fluide entoure completement le solide. Ainsi, sur le schme

suivant on observe que le solide est plaque au fond du recipient : le theoreme ne s’applique pas.

Pression du fluide planquant le solide au fond

Fluide

15

3.4.1 Etude de l’equilibre d’un solide immerge soumis a l’apesanteur

On va etudier l’equilibre d’un solide (S) partiellement immerge dans un fluide quelconque. On ecrit le principefondamental de la statique applique au solide (S), l’equation de la resultante donne :

−→P +

−→F =

−→0

Et l’equation des moments en O donne avec G centre de gravite du solide de masse M et C centre de gravitegeometrique de la partie immergee du solide :

−−→OG ∧ −→

P +−−→OC ∧ −→

F

ce qui donne : −→P ∧ (

−−→OG −−−→

OC) =−→P ∧ −−→

CG =−→0

d’ou : −−→CG ‖ −→

P

Donc pour qu’un solide partiellement immerge dans un fluide soit en equilibre il faut que le centre de gravitegeometrique C de la partie immergee soit sur la vertical du centre de gravite G du solide (S) :

G

C

C etG alignés sur la verticale : équilibre

G

C

C etG non alignés sur la verticale : pas équilibre

16

Chapitre 4

Cinematique d’un milieu continu

4.1 Generalites

Definition 14. Un milieu continu solide ou fluide est un milieu ou a tout point et a chaque instant, on peutdefinir des fonctions de champ (M −→ f(M), M un point du milieu) telles que la masse volumique ρ, latemperature T , la vitesse v et la pression p.

Definition 15. Un point materiel est definit par la donnee d’une masse elementaire dm et d’un volumeelementaire dV . Si ρ est la masse volumique alors au point M on a : dm = ρdV .

4.2 Cinematique

4.2.1 Definition du mouvement

La mecanique des milieux continus traite des systemes qui peuvent au cours du temps changer de forme.C’est un systeme complexe de meme particule qui change de forme dans le temps.

Soit R un referentiel : un repere muni d’une echelle de temps. Le schema suivant explique le passage d’uneconfiguration a une autre entre les dates t′ et t :

Position de la particule

M t′

M t

Ωt′ Ωt

Soit (x1, x2, x3) la position de M t de la particule M a t. Et soit (x′1, x

′2, x

′3) la position de M t′ de la particule

M a t′.Considerons l’application Φ : Ωt′ −→ Ωt tel que :

Φ : x′ −→ x

On a :x = Φ(x′

, t′, t)

Φ donne a l’instant t la position M t de M . C’est une fonction reguliere de x′ (variable d’espace) et elle verifieles proprietes suivantes :

– Φ(x, t, t) = x

– Φ(x′, t′, t) = Φ(Φ(x′, t′, t′′), t′′, t) (transitivite)– Φ(x, t, t′) = x′ (transformation inverse)

L’application Φ est une bijection de Ωt′ −→ Ωt. On note Ψ = Φ−1 sa reciproque.

17

4.2.2 Definition Lagrangienne

Cette description consiste a :– Identifier les particules du systeme S par leur position dans la configuration initiale (t = 0). La position

de la particule a l’instant t s’ecrit :

x = Φ(X, t)

ou x est la position de M a t et X la position de M a t = 0. On nomme X = (X1, X2, X3) position deLagrange.

– Exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configuration actuelle en fonction des variables deLagrange : B = B(X, t) ou B est une grandeur physique attachee a la particule M : la pression p, vitessev, masse volumique ρ.

En d’autres termes, la description lagrangienne consiste a suivre les particules dans leur mouvement.

4.2.3 Definition Eulerienne

Cette description definit le mouvement du systeme materiel (S) par la donnee a chaque instant de la vitesse−→v (parfois notee v) de la particule situee au point geometrique M dans la configuration actuelle Ωt.

On a :∀t,∀M ∈ Ωt,

−→v = −→v (M, t)

avec M = M(x1, x2, x3), xi variables d’Euler. Ainsi toute grandeur physique b est donc un champ de la forme :

b = b(x, t)

avec x point occupe par differentes particules a des valeurs differentes du temps.A chaque instant, il passe une particule au point x, jamais la meme, de vitesse v de masse volumique ρ de

pression p.

4.2.4 Relation entre les deux descriptions

Φ et Ψ sont bijectives, on peut les inverser :

x = Φ(X, t),X = Ψ(x, t)

Ainsi pour passer de Euler a Lagrange : ∀t,∀X ∈ Ω0,∀x ∈ Ωt on doit resoudre le systeme differentiel suivant :

d−→xdt

= −→v (x, t)x(t = 0) = X

On obtient x = Φ(X, t). On note :

−→v (x, t) = −→v (Φ(X, t), t) =−→V (X, t)

et pour toute grandeur physique b :

b(x, t) = b(Φ(X, t), t) = B(X, t)

Pour passer de Lagrange a Euler :

x = Φ(X, t) −→ X = Ψ(x, t)

d’ou : −→V (X, t) =

−→V (Ψ(x, t), t) = −→v (x, t)

et de meme avec une grandeur physique b quelconque :

B(X, t) = B(Ψ(x, t), t) = b(x, t)

18

4.2.5 Derivee particulaire d’une fonction

On considere une particule en mouvement. M designe sa position a l’instant t, M(x1, x2, x3). Soit f(x1, x2, x3, t)une fonction definie lorsqu’on suit la particule dans son mouvement. On appelle derivee particulaire de f la deriveede f par rapport au temp lorsqu’on suit la particule dans son mouvement. On note alors la derivee particulaireainsi :

Df

Dt

En representation Lagrangienne :

DB

Dt=

DB

Dt(X, t) =

∂B

∂t

En representation Eulerienne :b = b(x, t)

Db

Dt=

D

Dt(b(Φ(X, t), t)) =

∂b

∂t(Φ(X, t), t) +

∂b

∂x

∂Φ

∂t

donc :

b =Db

Dt=

∂b

∂t(x, t) + ∇x(b)v(x, t)

Calcul de l’acceleration en Lagrange :

−→γ (X, t) =D−→V

Dt=

∂t

∂Φ

∂t(X, t) =

∂2Φ(X, t)

∂t

En Euler :

−→γ (x, t) =D−−−−→v(x, t)

Dt=

∂−−−−→v(x, t)

∂t+ ∇x

−→v .−→v

Le terme ∇x(v) est une matrice carre donc les composantes sont donnees dans les rappels mathematiquesde la theorie des champs : voir le gradient d’un vecteur.

Theoreme 6. L’acceleration Eulerienne s’ecrit :

−→γ =∂−→v∂t

+ ∇(v2

2) +

−→rot(−→v ) ∧ −→v

4.2.6 Trajectoires, lignes, surfaces et tubes de courant

Definition 16. (Lignes de courant) Les lignes de courant sont definies a un t fixe. Ce sont a cet instant leslignes qui en chacun de leur point ont une tangente parallele au vecteur vitesse.

Ces lignes sont les integrales du systeme differentiel suivant :

dx1

v1(x1, x2, x3, t)=

dx2

v2(x1, x2, x3, t)=

dx3

v3(x1, x2, x3, t)

Definition 17. (Trajectoires) La trajectoire de la particule M est le lieu des points dans R des position deM t quand t varie.

Definition 18. (Mouvement Stationnaire) Un mouvement est dit stationnaire (ou permanent) dans unreferentiel R si dans sa description eulerienne, v(x, t) est independant du temps t i.e. v = v(x). Donc si on amouvement stationnaire, les lignes de courant sont confondues avec les trajectoires (reciproque fausse).

Definition 19. (Surfaces et tubes de courant) Soit C une courbe geometrique au sens d’un ecoulement. Lasurface engendree par les lignes de courant s’appuyant sur la courbe C definie une surface de courant.

Si C est ferme, la surface de courant correspondante definit un tube de courant.Remarquons que le fluide ne peut traverser une surface ou un tube de courant (en particulier une paroie solide

constitue une surface ou un tube de courant).

4.2.7 Derivee particulaire d’une integrale de volume

Soit un fluide en mouvement et soit Ω(t) le domaine occupe par le fluide a t. On pose :

K(t) =

Z Z Z

Ω(t)

f(x1, x2, x3, t)dV

19

La fonction f(x1, x2, x3, t) est definie lorsqu’on suit la particule dans son mouvement. Un cas particulier estf = 1 : K(t) est alors le volume de Ω(t). Ainsi :

vol(Ω(t)) =

Z Z Z

Ω(t)

dx1dx2dx3 =

Z Z Z

Ω(0)

JdX1dX2dX3

avec :J = det(∇xΦ)

ou ∇xΦ est le tenseur gradient de deformation a t fixe avec :

(∇xΦ)(i,j) =∂xi

∂Xj

Donc si on derive le volume, fonction du temps on a :

dvol(Ω(t))

dt=

Z Z Z

Ω(0)

∂J

∂tdX1dX2dX3 =

Z Z Z

Ω(t)

1

J

∂J

∂tdx1dx2dx3

et le resultat qui en decoule est le suivant :

Proposition 7. Derivee particulaire d’une integrale de volume :

D

Dtvol(Ω(t)) =

Z Z Z

Ω(t)

div(v(x, t))dV =

Z Z

∂Ω(t)

−→v .−→n dS

avec −→v .−→n dS le flux elementaire sortant a travers l’aire dS et div(−→v ) le taux de dilatation volumique du milieuen mouvement.

Proposition 8. Reprennons le cas general pour la forme de f : f 6= 1 a priori. Et prenons le cas d’un fluideincompressible ce qui donne : div(v) = 0. On a alors pour f champ scalaire la derivee particulaire de l’integralede volume suivante :

dK

dt=

Z Z Z

Ω(t)

∂φ

∂tdx1dx2dx3 +

Z Z Z

∂Ω(t)

φ−→v .−→n dS

et lorsque φ est un vecteur :

d−→K

dt=

Z Z Z

Ω(t)

∂−→φ

∂tdx1dx2dx3 +

Z Z Z

∂Ω(t)

−→φ−→v .−→n dS

4.2.8 Derivee particulaire de la circulation d’un vecteur le long d’une courbe

fermee

Soit C une courbe fermee. On calcul la circulation d’un vecteur−→A le long de cette courbe par :

Γ =

Z

C

−→A−→dl =

Z

C

−→A−→τ dl

avec τ vecteur tangent unitaire a la courbe C et dl longueur elementaire de la courbe.

Theoreme 7. La derivee particulaire de la circulation Γ est donnee par l’une des expressions suivantes :

dt=

Z

C

(d−→A

dt+

−→A∇v).−→τ dl

dt=

Z

C

(d−→A

dt+

−→rot

−→A ∧ −→v )−→τ dl

Cas particulier :−→A = −→v alors :

Γ =

Z

C

−→v −→dl

et donc :dΓ

dt=

Z

C

−→A−→dl

20

4.2.9 Conservation de la masse et des quantites de mouvement

Conservation de la masse

La masse d’un domaine fluide est conservee dans son mouvement. Ainsi ∀t,∀Ω(t) :

D

Dt

Z Z Z

Ω(t)

ρ(x1, x2, x3, t)dx1dx2dx3 = 0

on en deduit la conservation de la masse :

∂ρ

∂t+ grad(ρ)−→v + ρdiv(−→v ) = 0

ou encore :Dρ

Dt+ ρdiv(−→v ) = 0 ∀Ω(t)

Si le milieu est incompressible on a :Dρ

Dt= 0

la masse volumique d’une particule que l’on suit dans son mouvement reste constante.

Conservation de la quantite de mouvement

Soit R un repere suppose absolu et S milieu continu en mouvement. Ω(t) est le domaine occupe par le fluidea la date t :−→

f densite volumique de forces exterieures.−→F densite de forces de contact exercee sur la partie Ω′(t). La

conservation de la quantite de mouvement s’ecrit :

D

Dt

Z Z Z

Ω′(t)

−→v (x, t)ρdV =

Z Z Z

Ω′(t)

−→f (M, t) +

Z Z

∂Ω′

−→F (M, t)dS

et a l’aide du theoreme de la derivee particulaire d’un integrale de volume et de la conservation de masse onobtient l’equation d’Euler :

ρ−→γ = div(σ(M, t)) +−→f (M, t)

avec σ tenseur de contact.Cas particulier pour un fluide parfait : sans effet dissipatif, sans viscosite on a :

σ = −pI

donc :σ−→n =

−→F = −p−→n

et si les forces de volumes derivent d’un potentiel l’equation d’Euler s’ecrit :

ρ−→γ = −−−→gradp −∇U [fluide]

4.2.10 Theoreme de Bernouilli

Theoreme 8. (Thm 1 de Bernouilli) Hypotheses :– Fluide parfait– Les forces volumiques derivent d’un potentiel– Fluide incompressible– Ecoulement stationnaire

Alors on a le long d’une ligne de courant :

v2

2+

p

ρ+

= cte

21

4.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits

Definition 20. Un fluide est dit en ecoulement irrotationnel dans un domainde D lorsque en tout point de Don a :

−→rot(−→v ) =

−→0

Theoreme 9. (Theoreme de Kelvin) Hypotheses :– Fluide parfait incompressible– Les forces volumiquent derivent d’un potentiel– Ecoulement regulier (v fonction reguliere)

Alors la circulation est constante (dans le temps) pour tout chemin materiel ferme.

Theoreme 10. (Theoreme de Lagrange) Hypotheses :– Fluide parfait incompressible– Forces volumiquent derivant d’un potentiel– Ecoulement regulier– Ecoulement irrotationnel a l’instant t

Alors l’ecoulement est irrotationnel pour tout t.

Definition 21. Un ecoulement est dit potentiel si il existe Φ tel que v = grad(Φ)

Remarque 1. Si v = grad(Φ) alors−→rot(−→v ) =

−→0 . La reciproque n’est vrai que sous certaines conditions.

4.3.1 Champ a potentiel

Proposition 9. Considerons un champ de vecteur vitesse −→v (M) defini dans un domaine D tel que Γ =R

C

−→v .−→dl = 0 pour toute courbe ferme C ⊂ D alors la circulation le long d’un arc de courbe joignant deux

points de D est independante de l’arc choisi.

De plus −→v est donc a ecoulement potentiel (i.e. −→v =−−→gradf)

Proposition 10. Supposons le domaine simplement connexe et−→rot−→v =

−→0 dans tout le domaine. Alors :

Z

C

−→v .−→dl = 0 ∀C ⊂ D

En effet lorsque le domaine est simplement connexe, si on considere une courbe fermee , il est toujourspossible de construire une portion de surface S qui se trouve entierement dans D et qui s’appuie sur C. Cettehypothese supplementaire sur le domaine permet d’utiliser le theoreme de Stockes.

On peut resumer les differents resultats dans le schema suivant :

Si D simplement connexe

−→rot−→v =

−→0

∀M ∈ D

R

C

−→v .−→dl = 0

∀C ⊂ D

−→v =−−→gradΦ

∀M ∈ D

Donc un ecoulement est dit potentiel lorsque soit :–

−→rot−→v =

−→0 , et D simplement connexe

– Γ = 0 ∀C ⊂ D

Theoreme 11. (2eme Theoreme de Bernouilli) Hypotheses :– Fluide parfait– Ecoulement potentiel– Forces volumiques derivant d’un potentiel U– Fluide compressible

22

Alors la quantite K(t) suivante est constante dans le fluide :

K(t) =∂Φ

∂t+

v2

2+ U +

p

ρ

Si l’ecoulement est stationnaire on a la quantite suivante constante :

K =v2

2+ U +

p

ρ

4.4 Ecoulements potentiel stationnaire autour d’un obstacle

On se place en ecoulement stationnaire, sans forces de volumes.On se place en 2 dimensions et un considere un obstacle pris dans un fluide venant de l’infini et allant a

l’infini. On cherche alors −→v et p dans le fluide :

−→V ∞ = V0e1

−→V ∞ = V0e1

Fluide venant de l’infini Fluide allant à l’infiniObstacle fixe :Θ

Chercher la vitesse et la pression equivaut a chercher le potentiel des vitesses et la pression.Φ est le potentiel des vitesses donc v = grad(Φ) et comme le fluide est incompressible on a div(v) = 0 donc

dans le fluide on a :∆Φ = 0 [R2 − Θ]

Voyons les conditions aux limites sur ∂Θ :on a sur les vitesse normales :

vn,fluide = vn,obstacle

ce qui donne :−→v fluide.

−→n = −→v obs.−→n

d’ou :

grad(Φ).−→n =−→0 =

∂Φ

∂n

donc l’equation verifiee sur le bord est :∂Φ

∂n= 0

Donc Φ est solution du probleme suivant :

8

<

:

∆Φ = 0∂Φ∂n

= 0∇Φ −→ V0

−→e1

La pression est obtenue a partir de :

p = −ρ1

2∇Φ∇Φ + cte

Ecoulement autour d’un disque

Voici une representation du probleme, ou l’on cherche le potentiel des vitesse Φ et la pression :

M

O

ΘθFluide

23

Θ represente le disque, fixe dans le repere R :

Θ = x ∈ R2, ‖x‖ < R

On pose−−→OM = r−→er = r(cosθ−→e1 + sinθ−→e2)

On cherche Φ sous la forme : Φ(r, θ) = f(r)cos(θ).L’equation ∆Φ = 0 nous donne en posant f sous la forme rα :

f(r) =A

r+ Br

La condition limite de Neumann ∂Φ∂n

= 0 donne−−→∇Φ.−→n = 0 ce qui donne pour −→n = −→er :

B =A

R2

La derniere condition en l’infini nous donne :

V0 =A

R2

ce qui donne :

Φ = V0(1 − R2

r2)sinθ

et on en deduit la pression a une constante pres :

p = −ρ

2V

20 (1 +

R4

r4− 2

R2

r2cos(2θ)) + cte

On calcul maintenant les efforts resultants sur l’obstacle :

−→F =

Z

−pdl

et on trouve que : −→F =

−→0

ce qui constitut le paradoxe d’Alembert. De meme si on calcul le moment resultant en O :

−−−−→M(O) =

Z 2π

0

−−→OM ∧ (−p−→n )Rdθ =

−→0

Donc l’obstacle ne bouge pas et ne tourne pas sous l’effet du fluide : car le fluide a ete suppose parfait. Dans larealite le fluide n’est pas parfait, il est visqueux.

4.4.1 Le paradoxe d’Alembert

Cas general : ecoulement 2 dimensions ou 3 dimensions avec un obstacle de forme quelconque.

Theoreme 12. Le tenseur des efforts de pression exercees par un fluide parfait incompressible en ecoulementpotentiel stationnaire sur un obstacle bornee fixe est nul.

4.4.2 Les ecoulement irrotationnels avec circulation en 2 dimensions

Le probleme (P) est le suivant : Il s’agit de trouver v et p tel que :

–−→rot−→v =

−→0 dans R

2−– div(−→v ) = 0 dans R

2−– −→v .−→n = 0 sur ∂Θ– −→v −→ V0

−→e1 a l’infiniLe domaine n’etant pas simplement connexe, le fait d’avoir le rotationnel nul ne donne pas un ecoulement

potentiel.

Etude de la circulation le long de courbes fermees

On envisage de type de courbes fermees :– Les courbes n’entourant pas l’obstacle : On a donc :

Z

C

−→v .−→dl =

Z

Σ

−→rot−→v −→n dS =

−→0

24

– Les courbes entourant l’obstacle : Stockes nous dit que :

−→0 =

Z

Σ

−→rot−→v −→n dS =

Z

C

−→v .−→dl −

Z

∂Θ

−→v .−→dl

d’ou :Z

C

−→v .−→dl =

Z

∂Θ

−→v .−→dl = cte

Donc la circulation est independante de la courbe choisie (a condition qu’elle entoure l’obstacle). C’est unecaracteristique de l’ecoulement. On la note :

Γ =

Z

∂Θ

−→v .−→dl

On va l’inclure comme donnee supplementaire au probleme.Question : Existe t’il une et une seule solution au probleme ?Introduisons le champ de vitesse suivant :

−→ω =Γ

2πr−→eθ

alors on a−→rot−→ω =

−→0 , div(−→ω ) = 0 et −→ω −→ −→

0 en l’infini.La circulation de −→ω sur le cercle de centre O de rayon r (Cr) vaut :

Z

Cr

−→ω −→dl = Γ

Stockes nous donne de plus :Z

Σ

−→rot−→ω .−→n dS =

Z

∂Θ

−→ω−→dl −

Z

Cr

−→ω −→dl =

−→0

On pose alors :−→v = −→u + −→ω

ou −→u est maintenant notre nouvelle inconnue. Regardons les equations verifiees par −→u :–

−→rot−→u =

−→0

– div(−→u ) = 0– −→u .−→n = −−→ω .−→n sur ∂Θ–

Z

∂Θ

−→u .−→dl = 0

– −→u −→ V0−→e1 a l’infini.

ce qui nous donne :−→u =

−→∇Φ

donc ecoulement potentiel pour −→u . Et Φ doit verifier (Pu)– ∆Φ = 0 dans R

2 − Θ–

−→∇Φ.−→n = −−→ω .−→n sur ∂Θ–

−→∇Φ −→ V0−→e1 a l’infini.

Si ce probleme (Pu) admet une unique solution alors le probleme de depart (P) aussi avec la relation−→v = −→u + −→ω .

Regardons l’existence pour le probleme (Pu) :Soit Sr la sphere de rayon r et Θ l’obstacle contenu dans cette sphere. On note V le volume contenu entre

la shere et l’obstacle et ∂V = ∂Θ ∪ ∂Sr

Il y a existence pourvu que la condition de compatibilite soit verifiee :Z

∂V

∂Φ

∂ndl = 0

ce qui est le cas ici d’ou l’existence d’une solution Φ de (Pu).Regardons l’unicite :

Φ est determine a une constante pres mais v =−→∇Φ est unique.

Le champ de pression p se deduit de l’equation suivante :

p(x) = p0 − 1

2ρ0v(x)v(x)

avec p0 determine a partir de la donee de la pression a l’infini.

25

Application : Ecoulement avec circulation autour d’un obstacle disque : Effet Magnus

On veut trouver v tel que :–

−→rot−→v =

−→0 dans R

2 − Θ– div(−→v ) = 0– −→v .−→n = 0 sur ∂Θ–

Z

∂Θ

−→v .−→dl = Γ

– −→v −→ V0−→e1 a l’infini.

On pose donc −→v = −→u + −→ω avec −→ω = Γ2πr

−→eθ et −→u solution de :

–−→rot−→u =

−→0

– div(−→u ) = 0– −→u .−→n = −−→ω .−→n sur ∂Θ–

Z

∂Θ

−→u .−→dl = 0

– −→u −→ V0−→e1 a l’infini.

Pour le cercle on connaıt −→n : −→n = −→er . Donc on a −→ω .−→n = 0

On a −→u =−→∇Φ avec Φ solution du probleme :

– ∆Φ = 0 dans R2 − Θ

–−→∇Φ.−→n = 0 sur ∂Θ

–−→∇Φ −→ V0

−→e1 a l’infini.Ce champ Φ nous donne −→u :

−→u (x) =Γ

2πr−→eθ + V0(1 − R2

r2cos(θ))−→er − V0(1 +

R2

r2)sinθ−→eθ

Calculons p(x) :

p(x) = p0 1

2

ρp2

4πr2− ρ

2−→u .−→u +

ρ0ΓV0sinθ

2π(1 +

R2

r2)

Le calcul des efforts resultants du fluide sur l’obstacle donne :

−→F = −ρΓV0

−→e2

et pour le moment resultant en O :

−−−→M(0) = −Z

∂Θ

p(θ)−→x ∧ −→n dl =−→0

car−−→OM ‖ −→n Donc le disque ne tourne pas, et est soumis a une force selon ±−→e2 . Cela se nomme l’effet Magnus.

Representons nous le probleme par le jeu du ping pong. L’effet coupe donne une circulation Γ < 0 donc−→F

est selon −→e2 : la balle a tendance a flotter dans l’air. L’effet lifte donne le resultat contraire : la balle a tendancea plonger vers le sol.

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