MECANIQUE MPSI

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Lyce technique Mohamed V Centre des classes prparatoires Bni Mellal

M.P.S.I

Mcanique-M.P.S.I

CPGE/B.Mellal

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-SAID EL FILALI-

Table des matires1 Description du mouvement dun point matriel 1.1 Repres despace et du temps. Rfrentiel . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Reprage dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Reprage dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Rfrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cinmatique du point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dnition du point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Vecteurs position,vitesse et acclration . . . . . . . . . 1.2.3 Exemples de bases de projection . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1.1 Vecteur dplacement lmentaire . . . 1.2.3.1.2 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1.3 Vecteur acclration . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2.2 Vecteur dplacement lmentaire . . . 1.2.3.2.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2.4 Vecteur acclration . . . . . . . . . . . 1.2.3.3 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3.2 Vecteur dplacement lmentaire . . . 1.2.3.3.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4 Coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4.2 Expression du rayon de courbure . . . 1.2.4 Exemples de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 Mouvement rectiligne acclration constante 1.2.4.2 Mouvement rectiligne sinusoidal . . . . . . . . 1.2.4.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.4 Mouvement helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.5 Mouvement cycloide . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 13 14 14 14 14 16 18 18 18 20 20 21 23 23 23 23 23 24 24 24 28

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2 Dynamique du point matriel dans un rfrentiel galilen 2.1 Notion de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Principe dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 La relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . 2.2.3 Principe des actions rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Applications (noncs voir TD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 tude dun projectile avec et sans frottement . . . . . . . . . 2.3.2 Particule soumise un frottement uide de type :f = k.V 2 3

TABLE DES MATIRES

Mcanique-M.P.S.I 28 30 33 37 37 37 37 38 39 39 39 40 40 40 40 41 41 41 42 43 43 43 43 45 45 46 46 47 47 48 48 49 50 50 51 51 52 52 53 53 53 54 54 55

2.3.3 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Le pendule lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Mouvement dune particule charg dans un champ uniforme . 3 Puissance et travail dune force. Thorme de lnergie cintique 3.1 Puissance et travail dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 nergie cintique. Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . 3.3 Force conservatives. nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Thorme de lnergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Applications :quilibre dun point matriel dans un champ de forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Barrire dnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Cuvette dnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Cas de loscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Exemple gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 quilibre dun point matriel soumis laction des forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5.1 Condition dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5.2 Condition de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5.3 Critre de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Oscillateur linaire un degr de libert 4.1 Rappel sur loscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 rgime libre dun oscillateur linaire amorti . . . . . . . . . . . 4.2.1 Forme canonique de lquation diffrentielle . . . . . . . 4.2.2 Diffrents rgimes libres amortis . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Rgime apriodique . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.2 Rgime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.3 Rgime pseudo-priodique . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Decrement logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Interprtation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.1 Facteur de qualit . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.2 Temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Oscillations forces -Rsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Dtermination de lamplitude X et la phase = x F 4.3.2 tude de la rsonance damplitude : . . . . . . . . . . . 4.3.3 Calcul nergtique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3.1 nergie perdue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3.2 nergie gagne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Rsonance de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Analogie :Electrique/Mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . CPGE/B.Mellal Page-4

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TABLE DES MATIRES

Mcanique-M.P.S.I 59 59 59 59 60 60 60

5 Thorme du moment cintique 5.1 Le moment cintique ,moment dune force 5.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Thorme du moment cintique . . 5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 pendule simple . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Pendule de HOLWECK LEIAY . . .

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6 Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives, mouvement newtonien 63 6.1 Gnralits sur les forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.2 Moment cintique, Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1.2.1 Conservation du moment cintique . . . . . . . . . . . 64 6.1.2.2 Planit de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1.2.3 Vitesse arolaire , Loi des aires . . . . . . . . . . . . . 64 6.1.3 Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3 Cas du champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.1 Lapproche nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.2 Lquation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3.2.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . 69 6.3.2.2 Vecteur Range-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3.2.3 Ltude de quelques trajectoires . . . . . . . . . . . . . 72 6.3.2.3.1 Trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3.2.3.2 Trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3.2.3.3 Vitesse de liberation . . . . . . . . . . . . . . 73 6.3.2.3.4 Rayon de la trajectoire circulaire dun satellite gostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7 Mcanique dans un rfrentiel non galilen 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ltude cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Axe instantan de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.1 Ltude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.2 Relation fondamentale de la drivation vectorielle 7.2.2 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Composition des acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Dynamique dans un rfrentiel non galilen . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 RFD dans un rfrentiel non galilen : forces dinertie . . . 7.3.2 Lnergie potentielle dentrainemment . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.1 Prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.2 Dnition du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.3 Effet de mare statique . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.3.1 Expression analytique . . . . . . . . . . . 7.3.3.3.2 La mare ocanique . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.4 Dviation vers lest . . . . . . . . . . . . . . . . . . CPGE/B.Mellal Page-5 75 75 76 76 76 77 77 79 80 80 81 82 82 82 84 84 85 87

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TABLE DES MATIRES

Mcanique-M.P.S.I 89 89 89 90 90 90 91 91 91 91 91 92 92 92 92 93 93 93 94 94 94 95 95 95 95 96 96

8 Systme de deux points matriels 8.1 Grandeurs cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Barycentre du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Repre Barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3.1 Dans le repre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3.2 Dans le repre R ;,masse rduite . . . . . . . . . . . 8.2 Grandeurs cintiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Le moment cintique du systme . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1.1 Dans le repre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1.2 Dans le repre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Lnergie cintique du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2.1 Dans le repre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2.2 Dans le repre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Dynamique du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Thorme du moment cintique dans un rfrentiel galilen 8.3.2.1 Moment des forces en un point O xe dans R. . . . 8.3.2.2 Moment des forces en G barycentre . . . . . . . . . . 8.3.2.3 Thorme du moment cintique barycentrique . . . 8.3.3 Puissance des forces intrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Thorme de lnergie cintique dans un rfrentiel galilen 8.3.5 Lnergie potentielle dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Cas dun systme isol de deux points matriels . . . . . . . . . . 8.4.1 Consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Rduction canonique :Mobile rduit quivalent . . . . . . . .

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Chapitre 1 Description du mouvement dun point matrielLa mcanique est la partie de la physique qui tudie les mouvement des corps en tenant compte des causes. Dans notre programme on sinteresse la mcanique classique ( ou Newtonnienne ) qui sinteresse aux mouvements des corps ayant une vitesse trs faible devant celle de la lumire . On postule que : Le temps est absolu : cest dire que le temps ne dpend pas du rfrentiel Lexistence des rfrentiels galilens. La trajectoire est dterministe.

1.1

Repres despace et du temps. Rfrentiel

1.1.1 Reprage dans lespacePour se reprer dans lespace ,il faut choisir un corps solide de rfrence S auquel on attache des axes de coordonnes Ox, Oy, Oz ;O tant lorigine des axes. Lensemble de tous les systmes daxes de coordonnes lies un mme solide de rfrence constitue le repre li S. Remarque- 1 : Dans notre cours de mcanique ,on utilise toujours des repres orthonorms z

O x

y

7

1.1. REPRES DESPACE ET DU TEMPS. RFRENTIEL

Mcanique-M.P.S.I

= = =1 ex ey ez . = . = . = 0 ex ey ex ez ey ez Rest direct, en effet : = ex ey ez ; = ey ez ex ; = ez ex ey

1.1.2 Reprage dans le temps La mesure du temps suppose une orientation conventionnel du temps : du pass vers le futur , du lirrversibilit de lvolution. Le temps se mesure laide dune horloge, son unit est la seconde depuis 1967. Le repre du temps est constitu dun instant considr comme origine des dates et une unit des temps (la seconde)

1.1.3 RfrentielLensemble dun repre spatial li un solide de rfrence S et dun repre de temps constituent un rfrentiel R. Exemple : Rfrentiel de Coprnic RC :centr au centre du systme solaire et les trois axes se dirigent vers des toiles xes. Rfrentiel Gocentrique RG :centr au centre de la terre G le plan Gxy forment lquateur et laxe Gz se dirige vers nord gographique. Rfrentiel terrestre R :centr au point O quelconque et les trois axes se dirigent vers trois directions . E3

RC Oc RT N.G E2

GT RG

E1 CPGE/B.Mellal

plan quatorial Page-8 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

1.2

Cinmatique du point matriel

La cinmatique est la partie de la mcanique qui sinteresse aux mouvements des corps sans tenir compte des causes (Forces)

1.2.1 Dnition du point matrielOn appelle point matriel tout corps solide de dimension ngligeable devant une distance caractristique (longueur dun pendule ; distance terre-soleil,.....)

1.2.2 Vecteurs position,vitesse et acclration Soit un rfrentiel R(O, , , ) un rfrentiel et M un point matriel se dplaex ey ez ant dans R z

O

M (t + dt) MM M (t) y

x

On appelle : OM : vecteur position dOM = lim M M = lim (OM OM )M M M M

vecteur dplacement lmentaire dOM /R V (M/R) = dt vitesse du point M dans le rfrentiel R (driver dOM dans R par rapport au temps en considrant les vecteurs de bases de R comme des vecteurs constants 2 (M/R) = d V (M/R) = d OM a dt dt2 /R /R acclration du point M dans le rfrentiel R CPGE/B.Mellal Page-9 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

1.2.3 Exemples de bases de projection1.2.3.1 Coordonnes cartsiennes z

ez O ex x ey

M

y H

1.2.3.1.1 Vecteur dplacement lmentaire On a : OM = OH + HM =

:

OM = x + y + z ex ey ez (x, y, z) reprsentent les coordonnes cartsiennes du point M dans le rfrentiel R. Donc le vecteur dplacement lmentaire dOM scrit : dOM = dx + dy + dz ex ey ez 1.2.3.1.2 Vecteur vitesse : dx + dy + dz ex ey ez On a dOM = dx + dy + dz = V (M/R) = ex ey ez dt dt dt On pose : dx = Vx = x : composante de la vitesse sur laxe des x dt dy = Vy = y : composante de la vitesse sur laxe des y dt dz = Vz = z : composante de la vitesse sur laxe des z dt V (M/R) = Vx + Vy + Vz = x + y + z ex ey ez ex ey ez 1.2.3.1.3 Vecteur acclration : On a : V (M/R) = x + y + z donc ex ey ez (M/R) = a + a + a = x + y + z ex ey ez a z ez y ey x ex Avec : CPGE/B.Mellal Page-10 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

d2 x = ax = x : composante de lacclration sur laxe des x dt2 2 dy = ay = y : composante de lacclration sur laxe des y dt2 2 dz = az = z : composante de lacclration sur laxe des z dt2

1.2.3.2 Coordonnes cylindriques 1.2.3.2.1 Dnitions : z

O ex x

M

O M

ez

ey e H er y

r

z R :la cte du point M . (r, , z) : sont les coordonnes cylindriques. On dnit le vecteur par : er = OH = cos + sin (Oxy) ex ey er r = 1 = est un vecteur unitaire,on tire donc que = r et par cons er er OH er quent : OM = r + z er ez On dnit le vecteur par rotation de de dans le sens de cest dire : e er = cos( + /2) + sin( + /2) = sin + cos 2 e e e e e x y x y

Les coordonnes cylindriques sont : r = OH r 0 = ( , OH) [0, 2] ex

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1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I y

e

ey

er

ex

x

Drivons par rapport dans le repre R : er d er : cest dire driver en considrant les vecteurs de bases de R( , , ) er ex ey ez d /R comme des vecteurs constants. d er = sin + cos = ex ey e d /R d er = e d /R ; d e = er d /R ; d er = e dt /R ; d e = er dt /R

Remarque- 2 : Driver un vecteur de module constant dans le repre par rapport langle de rotation revient le faire tourner de dans le mme sens que 2 En effet : soit A un vecteur dont le module est constant cet dire A = cte = A . A = cste. dA dA Drivons par rapport ; on trouve A . = 0 cest dire A et sont perpendid d culaire. La base( , , ) est dite base locale en coordonnes cylindriques . er e ez , , ) est un tridre direct (e e er z

1.2.3.2.2 Vecteur dplacement lmentaire : On a :OM = r + z = dOM /R = dr + rd + dz er ez er er ez = d donc Or d er e dOM = dr + rd + dz er e ez Formule connatre Remarque- 3 : Si z = cte(= 0) le mouvement est plan (r, ) : dites coordonnes polaires 1.2.3.2.3 Vecteur vitesse : d dOM = V (M/R) = (dr + rd + dz ) er e ez On a : V (M/R) = dt /R dt /R V (M/R) = r + r + z er e ez Remarque- 4 : Il faut bien faire la diffrence entre le repre dtude et celui de projection. CPGE/B.Mellal Page-12 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

1.2.3.2.4 Vecteur acclration : (M/R) = d V (M/R) donc : On a a dt /R (M/R) = ( r2 ) + (r + 2r) + z a r er e ez On pose : ar = r r2 : acclration radiale. + 2r : acclration orthoradiale. at = r Remarque- 5 : On peut crire lacclration orthoradiale at comme at = r + 2r = 1.2.3.3 Coordonnes sphriques 1.2.3.3.1 Dnitions : z 1 d(r2 ) r dt

er M ez O ex x H ey e e y

azimut ; [0, 2]. (r, , ) :coordonnes sphriques .

Les coordonnes sphriques sont : r = OM r 0 :rayon vecteur e = ( , OM ) [0, ] :colatitudez

On dnit le vecteur par : er

x = r sin cos y = r sin sin z = r cos

= OM = sin cos + sin sin + cos er ex ey ez r CPGE/B.Mellal Page-13 -SAID EL FILALI-

r

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

= 1 = est un vecteur unitaire,on tire donc que er er OM = r er = OM et se dduit de par simple rotation de dans le plan meri On a : er e er r 2 dian (OMH). = er e = cos cos + cos sin sin ex ey ez /R On dnit = = sin ( sin + cos ) e er e ex ey On conclut que = e er 1 = sin + cos (Oxy) ex ey sin /R

( , , ) :tridre local en coordonnes sphriques . er e e 1.2.3.3.2 Vecteur dplacement lmentaire : On a :OM = r = dOM /R = d(r )/R = dr + rd er er er er = (, ), donc : Or er er = er d + er d = d + sin d e e d er dOM /R = dr + rd + r sin er e e Formule connatre 1.2.3.3.3 Vecteur vitesse : On a :dOM /R = dr + rd + r sin = er e e V (M/R) = r + r + r sin er e e

1.2.3.4 Coordonnes curvilignes 1.2.3.4.1 Dnitions : Soit (C) une courbe dorigine A et M (C). CPGE/B.Mellal Page-14 -SAID EL FILALI-

z1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I T

A ex x

ez O

N ey

M y

On appelle coordonnes curviligne la mesure algbrique de larc AM ;on la note S(M ) = AM R Pour un dplacement lmentaire on a : dOM = ds T (M ) avec :ds = dx2 + dy 2 + dz 2 ; et T (M ) :le vecteur unitaire tangent (C) au point M ; Puisque : dOM = |ds| T (M ) = T (M ) = 1 ds dOM T (M ) = On a : V (M/R) = dt /R dt V (M/R) = v T (M ) ce qui en dduit que : dOM V (M/R) = T (M ) = v ds (M/R) = d V (M/R) = d(v T (M )) = (M/R) = dv (M ) + v T (M ) a T a dt dt dt dt /R d T (M ) ds d T (M ) = Or : dt /R ds /R dt Comme : ds v= dt d T d 1 d T (M ) = N. = et : ds /R d ds c avec : N :vecteur unitaire qui se dduit de T par rotation de qui se toujours vers 2 la concavit de la trajectoire si c > 0 :rayon de courbure au point M .Do :2 (M/R) = dv (M ) + v N a T dt c

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Page-15

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1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

Le plan ( T , N ) : plan osculateur . On pose : B (M ) = T N : La binormale . (M, T , N , B ) :La base intrinsque ou base de Frenet. On pose : dv (M ) : acclration tangentielle . = aT T dt /R 2 v = N (M ) : acclration normale aN c Remarque- 6 : 1-Le repre de Frenet est un repre de projection et non pas un repre dtude. dT N = 2ds c 1.2.3.4.2 Expression du rayon de courbure : Sachant que : B (M ) = T N , le produit vectoriel permet dtablir lexv a pression gnrale de c : 3 2 = v ( dv (M ) + v ) = v N B T v a T dt c c c = v3 v a

Exemple :de calcul de c Considrons une ellipse droite , situ dans le plan xOy, dquations paramtriques : x = a cos t, y = b sin t ; a et b le grand et petit axe et la pulsation . x = a sin t = x = a 2 cos t y = b cos t = y = b 2 sin t C = b2 a (a2 sin2 t + b2 cos2 t)3/2 (x2 + y 2 )3/2 = |x xy| y ab a2 [au point B(t = )] b 2

RA =

[au point A(t = 0)], RB =

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1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

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1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

1.2.4 Exemples de mouvement1.2.4.1 Mouvement rectiligne acclration constante Un point matriel M se dplace sur un axe ox avec une acclration (M ) = a a ex avec a > 0 . 1- Dterminer le vecteur vitesse V (M ) sachant que V (t = 0) = Vo > 0. 2- Dterminer le vecteur position OM sachant que x(t = 0) = xo 3- Montrer que :V 2 Vo2 = 2a(x xo )(Relation indpendante du temps) 4- Quelle est la condition que doit vrier . V pour que le mouvement soit unifora mment accler ?retard ?

Rponses 1- Le vecteur vitesse V (M ) = (at + Vo ) ex 1 2 ex 2- Le vecteur position OM = ( at + Vo t + xo ) 2 3- Montrer que :V 2 Vo2 = 2a(x xo )(Relation indpendante du temps) 1 V Vo 2 V Vo V Vo = xxo = a( ) +Vo ( ) aprs simplication on obtient On a t = a 2 a a le rsultat. Remarque : Cette relation valable uniquement lorsque le mouvement est rectiligne avec a = cte 4- Le mouvement est uniformment : acclr si V . > 0 a retard si V . < 0 a 1.2.4.2 Mouvement rectiligne sinusoidal Lquation horaire du mouvement dun point matriel sur un axe ox scrit sous la forme : X(t) = Xo + Xm cos(t + ) 1-Donner linterpretation de chaque termes. 2- On pose x = X Xo que reprsente x 3- Si on appelle T la priode du mouvement , montrer que T = 2 4-, Dterminer les composantes du vecteur vitesse et acclration du point M 5- Tracer dans le mme graphes les courbes reprsentatives de llongation x(t) , vitesse vx (t) et acclration ax (t) dans le cas ou > 1 ;conclure. 6- Dterminer lquation entre x(t) et vx (t) indpendante du temps et la reprsenter dans le plan (x, v)( une telle courbe sappelle trajectoire de phase)

Rponses1-Linterpretation de chaque termes. X(t) : llongation Xo : Labscisse de la position dquilibre Xm : Lamplitude (>0) : pulsation t + : La phase : la phase lorigine 2- x = X Xo reprsente llongation du point M repr partir de la position dquilibre 3- T est la priode du mouvement donc x = Xm cos(t + T + ) = Xm cos(t + + 2) CPGE/B.Mellal Page-18 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL

Mcanique-M.P.S.I

Donc T = 2 cest dire 2 T

= 2f =

4-, Les composantes du vecteur vitesse et acclration du point M x(t) = Xm cos(t + ) Vx = x = Xm sin(t + ) ax = x = 2 Xm cos(t + ) 5- Les courbes reprsentatives de llongation x(t) , vitesse vx (t) et acclration ax (t) dans le cas ou = 2 > 1 et Xm = 1

ax = x

Vx = x x t

6- Lquation entre x(t) et vx (t) indpendante du temps x2 x2 + =1 2 Xm (Xm )2 Cest lquation dun ellipse. Reprsentation dans le plan (x, v) : CPGE/B.Mellal Page-19 -SAID EL FILALI-

1.2. CINMATIQUE DU POINT MATRIEL4

Mcanique-M.P.S.I Vx = x

Vx = x 3

2

1

0

x

x

-1

-2

-3

>1-4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 = y < Vo2 g 2 x 2g 2Vo2

y Vo2 2g Les points non accessibles

Les points accessibles

0

Vo2 g

x

5- Le sol fait un angle o < avec lhorizontale Ox. Dtermination de pour que la porte soit maximale. y

Vo

I

O

o

x

On a p = OI et on I y = x tan o =

g x2 + tan x donc : cos2 g 2Vo 2 x2 + tan x Vo tan o cos t = 0 = t = (sin tan o cos ) 2Vo cos2 g 2Vo2 Page-26 -SAID EL FILALI-

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2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

Or p =

2V 2 cos2 x = p = o (tan tan o ) cos o g cos o p= 2Vo2 tan tan o g cos o 1 + tan2 = 2Vo2 u uo g cos o 1 + u2

avec u = tan et uo = tan o Cette porte est maximale si

u2 2uuo 1 dp = 0 = = 0 cest dire u2 2uuo 1 du (1 + u2 )2 u = tan = uo + A.N = 70o = pmax = 8, 96 m La valeur de la porte pour o = 50o . = 70o = pmax = 8, 96 m 6-Dans cette partie , on suppose que la rsistance de lair est modlisable par une force de type f = k V 6-1- Les composantes du vecteur vitesse V (M ) La relation fondamentale de la dynamique donne : m + k x = 0 x (A) m + k y + mg = 0 y (B) Par intgration on obtient Vx = x = Vo cos e m t ainsik g g Vy = y = + (Vo sin + )e m t k k k

dp dp = 0 ou bien =0. d du

1 + u2 o

Remarque- 8 : Lorsque t les composantes du vecteur vitesse ,tend vers des valeurs limites Vxlimite = Vo cos Vylimite = Vo sin 6-2- Les composantes du vecteur position OM Par intgration on obtient : x(t) =k mVo cos (1 e m t ) k

Par un DL au voisinage de k = 0 on trouve x(t) = Vo cos t y(t) = CPGE/B.Mellalk k m + (kVo sin e m t + mge m t + gkt Vo k sin gm) 2 k

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2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

Une particule matrielle est lche sans vitesse initiale en un lieu ou rgne un champ de pesanteur uniforme. La particule est soumise, en plus de la pesanteur, une force de frottement de lair proportionnelle au carre de sa vitesse, dintensit f = kV 2 ( k > 0 ) et de sens oppos au mouvement. Le rfrentiel dtude est un rfrentiel terrestre considr galilen. Le mouvement de la particule est repr sur un axe Oz descendant, dorigine O ( position initiale de la particule ) et de vecteur unitaire . ez 1- crire lquation du mouvement de chute. Quelle est la vitesse limite V atteinte par la particule ? 2- Exprimer la vitesse de la particule linstant t, en fonction de t, V et g. 3- Quelle est lexpression de la distance parcourue linstant t en fonction de g ,V et V 1 1 2a = + On rappelle que : 2 2 a x ax a+x

2.3.2 Particule soumise un frottement uide de type :f = k.V 2

Rponses

1 Lquation du mouvement de chute. m dV = mg kV 2 dt

La vitesse limite V atteinte par la particule V = mg k

2- LExpression de la vitesse de la particule linstant t, en fonction de t, V et g. m dV k dV 2 On a : = dt = V V 2 = 2 2 k dt V V m Par dcomposition en lments simples et sachant que V (0) = 0 on obtient V (t) = V e e2kV t m 2kV t m

1 +1

= V tanh

2kV t m

3-Lexpression de la distance parcourue linstant t en fonction de g ,V et V 2kV dz = V tanh t et sachant que z(t = 0) = 0) alors On a : V = dt m2 m 2kV t V V z= ln cosh ln = 2k m 2g V V

2.3.3 Le pendule simpleOn considre le mouvement dun pendule simple qui oscille dans un milieu o les forces de frottement sont inexistantes.Le pendule est constitu dun objet ponctuel M de masse m , accroch par lintermdiaire dun l rigide un point O xe . CPGE/B.Mellal Page-28 -SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

On suppose le l rigide sans masse ,Sa longueur est = 1m ,On note langle du l OM avec la verticale . Lensemble est situ dans le champ de pesanteur terrestre considr comme uniforme. g O y x M g

On carte le pendule de sa position dquilibre dun angle (t = 0) = o et le lche sans vitesse initiale. 1- En utilisant la R.F.D tablir : 1-1- Lquation diffrentielle du mouvement 1-2- Lexpression de la tension T du l 1-3-Lexpression de la pulsation propre o du mouvement 2- Rsoudre lquation diffrentielle du mouvement 3- tablir et tracer lquation de la trajectoire de phase dans le plan (, u = ),puis o conclure 4-On a mesur pour 20 priodes une dure de 40,12s , Dduire de cette exprience une valeur de g

Rponses1 m a m2 er e m mg cos er P mg sin e (1) (2) T er T 0 e

1-1- Lquation diffrentielle du mouvement :(1)= g + =0 1-2- Lexpression de la tension du l :(2)= T = mg cos + m2 1-3- Lexpression de la pulsation propre : = 1-4-Rsolution de lquation diffrentielle : (t) = o cos(t) CPGE/B.Mellal Page-29 -SAID EL FILALIg

m = mg sin m2 = T + mg cos

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

2- Lquation de la trajectoire de phase2 2 + u2 = o

Trajectoire de phase est une courbe ferme(cercle) : mouvement priodique (Oscillateur harmonique ) u O

3- La valeur de g : g = 4 2 ( 20 2 ) = g = 9, 81m.s2 t

2.3.4 Le pendule lastiqueOn considre une masse M homogne de masse volumique et de volume V , plonge dans leau (masse volumique e ). Cette masse est suspendue a un ressort de raideur k et de longueur vide lo , accroch en un point A . Soit (Oz) un axe vertical oriente vers le bas, le point A est xe la cote zA = 0. On sinteresse au mouvement suivant (Oz) de la masse et on note z la cote du centre de gravite G de la masse. A lquilibre la masse est situe en z = h. On ngligera la hauteur de la masse M devant h. Soit Rle rfrentiel terrestre suppose galilen. A zA = 0

M

z

1- crire la condition dquilibre de la masse M dans R. 2- En dduire lquation diffrentielle du mouvement de loscillation de M. On crira une quation reliant z et ses drives, M , k et h. Donner la pulsation propre o de cet oscillateur. On ngligera les frottements dans cette question. 3- Commenter le fait que o ne dpende pas de lintensit de la pousse dArchimde. Y a-t-il un terme de lquation diffrentielle prcdente qui en dpende ? 4- On tient compte dune force de frottement visqueux, colinaire la vitesse et CPGE/B.Mellal Page-30 -SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

dintensit F = V (identique dans tous les rfrentiels) de leau sur la masse M . Donner la nouvelle quation diffrentielle vrie par z. En se plaant dans le cas dun amortissement faible, donner sans calcul lallure de la fonction z(t) avec les conditions initiales suivantes : t = 0, z = h1 > h et la vitesse initiale est nulle. 5- A laide dun piston, on impose lextremite A du ressort, un mouvement vertical sinusoidal damplitude zAm ; donc zA (t) = zAm cos(t). crire dans le rfrentiel R , lie A, lquation diffrentielle vrie par z cote de G dans R. 6- Calculer lamplitude des oscillations de la masse M dans R . On utilisera la noM tation complexe et on fera apparatre les constantes o , = et la variable x = o 7- Dans ce dispositif, lintrt du ressort est de permettre dobtenir des oscillations de la masse damplitude suprieure celle de lexcitation. Chercher un intervalle de pulsations pour lequel cette condition est vrie. Vous montrerez que cet intervalle existe si la masse M est suprieure une certaine valeur que vous prciserez. 8-Si la condition prcdente est vrie, pour quelle pulsation lamplitude doscillation de la masse M est-elle maximale ? O A zA

M

z

Rponses1- La condition dquilibre de la masse M dans R. M g = FA + k(h lo ) 2- Lquation diffrentielle du mouvement de loscillation de M. On projette la RFD sur laxe Oz on obtient : M z = M g z FA k(z lo ) = M g z FA k(z h) k(h lo ) La condition dquilibre donne M z + z + k(z h) = 0 k . M 3- o ne dpend que des paramtres intrinsque du systme Le terme de lquation diffrentielle prcdente qui en dpend est h la position dquilibre En gnral toute forces constantes napparaissent pas dans lquation La pulsation propre o = CPGE/B.Mellal Page-31 -SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

diffrentielle, son rle est de modier la position dquilibre 4- La nouvelle quation diffrentielle vrie par z.2 M z + z + k(z h) = 0 = z + 2z + o (z h) = 0

Avec = o amortissement faible 2M dans ce cas la solution est de la forme : z(t) = h + Aet cos(t + ) = A et deux constantes dintgration dterminer par les C.I. Comme o = o ainsi : z(t = 0) = h1 = h1 = h + A cos z(t = 0) = 0 = tan = 0 cest dire 0 On en dduit que o z(t) = h + (h1 h)et cos o t Reprsentation graphique de z(t) pour h = 5 ,h1 = 6 , = 0.2 et o = 10z2 o 2

h

t

5- Lquation diffrentielle. M z + z + k(z h) = kzA En posant y = z h on obtient 1 2 2 y + y + o y = o ZAM cos t 6- On cherche une solution qui dcrit le rgime permanent sous la forme y(t) = Ym cos(t + ) et en notation complexe on trouve Ym = ZAM (1 x2 )2 + x2 2 2 o

La reprsentation graphique de XM en fonction de la pulsation rduite x CPGE/B.Mellal Page-32 -SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )Ym

Mcanique-M.P.S.I

ZAM x 1 x

7- L intervalle de pulsations est [0, 1 = x1 o ]. telle que ZAM = YM cest dire x1 solution de x2 (1 x2 )2 + 2 2 = 1 o La solution est x2 = 2 1 Si 2 1 2 > 0 = M > = Mc alors 2 2 o 2k 1 = o 2 1 2 2 o dYM =0 dx 12 2 o

8-Lamplitude doscillation de la masse M est maximale si 1 2 2 2 o

R = o

1+

2.3.5 Mouvement dune particule charg dans un champ uniformeUne particule lectrique ponctuelle M de masse m et portant une charge q > 0 mobile dans une rgion despace o rgne un champ : lectrique uniforme E = E , E > 0 ey Magntique uniforme B = B , B > 0 ez La charge est mise sans vitesse initiale au point O t = 0. 11-1/ Par application de la RFD trouver un systme de trois quations diffrentielles scalaires vries par x, y et z. qB 1-2/ Rsoudre ce systme et en dduire x(t), y(t) et z(t) on posera : = m CPGE/B.Mellal Page-33 -SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

1-3/ Reprsenter la trajectoire . 1-4/ En dduire le rayon de courbure en fonction des donnes. ex 2- On suppose maintenant que la particule possde une vitesse initiale : V o = Vo 2-1/ Retrouver :x(t), y(t) . 2-2/ Pour quelle valeur particulire voc de vo , la charge dcrit un mouvement rectiligne confondu avec Ox. Exprimer voc en fonction de E et B. 2-3/ Que peut-on dire dans ce cas sur la force exerce sur la charge. 2-4/ Reprsenter la trajectoire de la particule dans le cas ou vo = 2voc

Rponses x m = q yB (M ) = q( + ) = m = q(E xB) y 1-1- m a E Vi B m = 0 z 1-2-Par intgration on trouve : x= E (t sin t) B E (1 cos t) B mouvement plan E = 1) B 1- : (1) (2) (3)

y= z=0

1-3- Representation graphique (on prendy

x

1-4- Le rayon de courbure est c = 2- : ex 2-1- V i = vo 2-1-1x= E vo (t sin t) + sin(t) B 1 E vo ) (1 cos t) B Page-34 -SAID EL FILALI4E t | sin( )| B 2

y=( CPGE/B.Mellal

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

2-1-2- Le mouvement est rectiligne confondu avec ox :t = voc = E B

2-1-3- F = q( E + V i B ) = 0 la force magntique compense la force lectrique 2-1-4- Representation graphique avec v = 2voc x = E (t + sin t) B On rappelle que dans ce cas , on a : y = E (1 cos t) By x

CPGE/B.Mellal

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-SAID EL FILALI-

2.3. APPLICATIONS (NONCS VOIR TD )

Mcanique-M.P.S.I

CPGE/B.Mellal

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-SAID EL FILALI-

Chapitre 3 Puissance et travail dune force. Thorme de lnergie cintique3.1 Puissance et travail dune force

3.1.1 Dnitions On appelle la puissance dune force F applique sur un point matriel M de masse m et de vitesse V (M/R) par rapport un rfrentiel Rla quantit : P = F . V (M/R) (watt)

Lorsque le point M effectue un dplacement lmentaire dOM pendant lins tant dt sous laction dune force F , on dnit le travail lmentaire par : W = F .dOM On remarque que : W =P dt (Joule)

3.1.2 Exemples Travail du poids ( vers le haut) ezAB

W ( P ) = mg(zB zA )

Travail de la tension dun ressort 1 2 2 W ( T ) = k[(lB lo ) (lA lo ) ] 2 AB Travail de la force de Lorentz F = q V BAB

W (F ) = 0 37

3.2. NERGIE CINTIQUE. THORME DE LNERGIE CINTIQUE Mcanique-M.P.S.I

3.2

nergie cintique. Thorme de lnergie cintique

d V (M/R) ; et comme :P = Dans un rfrentiel galilen Ron a : F = m dt /R F . V (M/R) alors : d 1 d V (M/R) = P = ( m V 2 ) P = m V (M/R). dt dt 2 /R On appelle lnergie cintique dun point matriel quon note Ec la quantit positive : 1 Ec = m V 2 2 On a :P = W dEc = donc : dt dt Ec = W ( F )AB

T.E.C NONC :Dans un rfrentiel galilen , la variation de lnergie cintique dun point matriel entre deux instants est gale au travail entre ces instants des forces qui lui sont appliques . Application : :pendule simple O y x M g

1 1 2 On a : dEc = W = Ec = m2 2 m2 0 = W( P ) + W( T ) 2 2 W( P ) = mgh = mg(cos 0 cos ) W( T ) = 0 , T e Par galit on tire que : g 2 = 2 (cos cos 0 ) (E)

Par simple drivation temporelle de (E) on obtient : ( + g sin ) = 0 Puisque = 0 (car sinon alors pas de mouvement )on aura : + g sin = 0 Remarque- 9 : : Dans le cas dune charge ponctuelle soumise seulement a une force magntique dEc F m = q V B alors : = F m . V = 0 Ce qui justie que :Ec = cte = V = cte = V0 dt CPGE/B.Mellal Page-38 -SAID EL FILALI-

3.3. FORCE CONSERVATIVES. NERGIE POTENTIELLE

Mcanique-M.P.S.I

3.3

Force conservatives. nergie potentielle

3.3.1 Dnition Une force F est dite conservative si on peut crire W = F .dOM = dEp Ep est appele nergie potentielle. cest dire que son travail ne dpend pas du chemin suivi, et par consquent Ep = W ( F )AB

3.3.2 Exemples nergie potentielle lastique dun ressort : On rappelle que : T = k OM , avec O position dquilibre . Si on pose :OM = ( 0 ) = x ex ex 1 alors : T .dOM = kx .x = T .dOM = d( kx2 + cte) ex ex 2 do : 1 1 Epe = kx2 + cte = k( 0 )2 + cte 2 2 On conclut que la tension dun ressort est une force conservative. nergie potentielle newtonienne GmA mB = avec ( < 0). On rappelle que : F = er er 2 r r2 dr er er e e En coordonnes sphriques on a : F .dOM = 2 .(dr + rd + r sin d ) = 2 r r Do : Epp = + cte r On conclut que la force de Newton est une force conservative. Remarque- 10 : De la mme faon on montre que la force coulombienne : F = une force conservative 1 q1 q2 = est er er 40 r2 r2

nergie potentielle de pesanteur On rappelle que : : P = m = mg g ez = cte ; cest dire est uniforme,on obtient : Dans le cas o g g .(dx + dy + dz ) = mgdz P .dOM = mg ez ex ey ez Epp = mgz + cte On conclut que si est uniforme alors le poids P est conservative. g CPGE/B.Mellal Page-39 -SAID EL FILALI-

3.4. NERGIE MCANIQUE

Mcanique-M.P.S.I

3.4

nergie mcanique

On appelle nergie mcanique dun point matriel M (m) la somme de son nergie cintique et son nergie potentielle. Em = Ec + Ep

3.4.1 Thorme de lnergie mcanique On pose : F = F c + F nc avec : - F c : la rsultante des forces conservatives. - F nc : la rsultante des forces non conservatives. Thorme de lnergie cintique donne : Ec = W( F c ) + W( F nc ) = (Ec + Ep) = W( F nc ) On tire le thorme de lnergie mcanique : Em = W( F nc ) NONC :Dans un rfrentiel galilen , la variation de lnergie mcanique dun point matriel dans un champ de forces conservatives entre deux instants est gale au travail entre ces instants des forces non conservatives qui lui sont appliques

3.4.2 Cas particulier important Si W( F nc ) = 0 alors Em = 0 Donc lnergie mcanique est constante cest dire que lnergie mcanique se conserve :lnergie cintique se transforme en nergie potentielle et vice versa ;cest lintgrale premire de lnergie. Remarque- 11 : 1. On a Em = Ec + Ep et comme Ec 0 alors Em Ep

2. Le premier principe de la thermodynamique : U + Em = W + Q = U + W( F N C ) = W + Q

3.5

Applications :quilibre dun point matriel dans un champ de forces conservatives-SAID EL FILALI-

Hypothse de travail : systme unidimensionnel :Ep(M ) = Ep(x). CPGE/B.Mellal Page-40

3.5. APPLICATIONS :QUILIBRE DUN POINT MATRIEL DANS UN CHAMP DE FORCES CONSERVATIVES Mcanique-M.P.S.I

3.5.1 Barrire dnergie potentielleOn a : Em = Ep + Ec 1 et comme Ec = m V 2 0,alors : 2 Em = Ep + Ec Ep

Ep

Em

x1

x2

x

Domaine permis la particule : x x1 ou x x2 Si t = 0, x0 < x1 :le point matriel ne peut franchir la barrire potentielle. Si t = 0, x0 > x2 :le point matriel peut sloigner linni , on dit quon a un tat de diffusion.

3.5.2 Cuvette dnergie potentielle

Ep

Em

x1

x2

x

Domaine permis est [x1 , x2 ] ; on dit que la particule est dans un tat li :La particule effectue un mouvement priodique

3.5.3 Cas de loscillateur harmonique1 Ep(x) = kx2 + c,on prend la position dquilibre comme origine des nergie 2 potentielle CPGE/B.Mellal Page-41 -SAID EL FILALI-

3.5. APPLICATIONS :QUILIBRE DUN POINT MATRIEL DANS UN CHAMP DE FORCES CONSERVATIVES Mcanique-M.P.S.I

E Em Ec

Ep

x

3.5.4 Exemple gnralSoit un point matriel qui se dplace dans un champ de forces conservatives dont lnergie potentielle lallure suivante.

Ep

E4

E3 x3 x1 x2 x4 x5 x6 x

E2 E1

Suivant les conditions initiales on peut avoir : Em = E1 mouvement impossible (Ec < 0) Em = E2 = x [x3 , x4 ] : tat li ; on a un mouvement elliptique (par consquent priodique) ,la trajectoire de phase est une courbe ferm. Em = E3 = x [x2 , x5 ] [x6 , ] : Si : x [x2 , x5 ] tat li ; on a un mouvement elliptique ,la trajectoire de phase est une courbe ferm. x [x6 , ] tat de diffusion ; on a un mouvement rectiligne ou parabolique ou hyperbolique ,la trajectoire de phase est une courbe ouverte. Em = E4 = x [x1 , ] : tat de diffusion ; on a un mouvement rectiligne ou parabolique ou hyperbolique ,la trajectoire de phase est une courbe ouverte. CPGE/B.Mellal Page-42 -SAID EL FILALI-

3.5. APPLICATIONS :QUILIBRE DUN POINT MATRIEL DANS UN CHAMP DE FORCES CONSERVATIVES Mcanique-M.P.S.I

3.5.5 quilibre dun point matriel soumis laction des forces conservatives3.5.5.1 Condition dquilibre On a : F = F c + F nc = F c ainsi W = dEp = F (x)dx = F (x) = lquilibre en x = xe , F = 0 = F (xe ) = 0 Soit : dEp ( )x=xe = 0 dx condition ncessaire mais insufsante,(ajouter V 0 = 0 ) Conclusion : : lquilibre ,lnergie potentielle est extrmale dEp dx

3.5.5.2 Condition de stabilit Si xe est une position dquilibre stable alors si on carte M de sa position ,la force tend le faire revenir sa position dquilibre stable ;autrement dit ( F .dOM )x=xe < 0 On dit que F est une force de rappel Si xe est une position dquilibre instable alors si on carte M de sa position dquilibre ,la force tend le faire diverg de sa position dquilibre ;autrement dit ( F .dOM )x=xe > 0 3.5.5.3 Critre de stabilit On fait un DL de Ep au voisinage de la position dquilibre xe .2 1 dEp 2 d Ep )x + (x xe ) ( )x + .... Ep(x) Ep(xe ) + (x xe )( dx e 2 dx2 e dEp )x=xe = 0 xe est une position dquilibre alors ( dx Par consquent : d2 Ep 1 )x + .... Ep(x) Ep(xe ) + (x xe )2 ( 2 dx2 e do : d2 Ep dEp = (x xe ) F (x) = dx dx2

Si

d2 Ep > 0,xe est un minimum : dx2 Page-43 -SAID EL FILALI-

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3.5. APPLICATIONS :QUILIBRE DUN POINT MATRIEL DANS UN CHAMP DE FORCES CONSERVATIVES Mcanique-M.P.S.I

x > xe = F (x) < 0 x < xe = F (x) > 0

xe est une position d equilibre stable

quilibre stable= Ep minimaleRemarque- 12 : :On a F = m (M ) = F (x) = m a x d2 Ep = m(x xe ) = (x xe )( )x=xe dx2 1 d2 Ep )x=xe X = 0 = X + ( m dx2 cest lquation diffrentielle de loscillateur harmonique avec : 2 = 1 d2 Ep 1 d2 Ep ( )x=xe = ( )X=0 m dx2 m dX 2

Si

d2 Ep < 0,xe est un maximum de Ep : dx2 x > xe = F (x) > 0 x < xe = F (x) < 0 xe est une position d equilibre instable

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Page-44

-SAID EL FILALI-

Chapitre 4 Oscillateur linaire un degr de libert4.1 Rappel sur loscillateur harmonique

Lquation diffrentielle dun oscillateur harmonique au voisinage dune position dquilibre stable est aX + bX = c avec (a, b) R2 et c R Quon peut crire + c aX + b(X ) = 0 b On pose x=X c b c b ;2 o =

b a

x : llongation repr partir de la position dquilibre stable (xe = 0 = Xe = o =

2 pulsation propre . Ce qui permet dcrire la forme canonique de To loscillateur 2 x + o x = 0 La solution de cette quation donne : x(t) = Xm cos(o t + ) = x = Xm o sin(o t + ) 2 Dans le cas de loscillateur harmonique k = mo on obtient pour : 1 1 2 Ep = kx2 (+cte = 0) = Ep = kXm cos2 (o t + ) 2 2 1 1 1 2 2 2 Ec = mx2 = Ec = mo Xm sin2 (o t + ) = kXm sin2 (o t + ) 2 2 2 1 2 Em = Ec + Ep = kXm = cte caractristique dun systme conservatif. 2 Calculons la valeur moyenne des nergies sur une priode T ; On rappelle que < cos2 x >=< sin2 x >= 45 1 2

4.2. RGIME LIBRE DUN OSCILLATEUR LINAIRE AMORTI

Mcanique-M.P.S.I

< Ep >=

1 T

T 0

Ep dt 1 2 < Ep >= kXm 4

< Ec >=

1 T

T 0

Ec dt 1 2 < Ec >= kXm 4

< Em >=

1 T

T 0

Em dt 1 2 < Em >= kXm 2

On retient que < Ec >=< Ep >= < Em > 2

Ainsi la trajectoire de phase est une ellipse dans le plan (x, x) ou un cercle dans le x plan (x, ) o

4.2

rgime libre dun oscillateur linaire amorti

4.2.1 Forme canonique de lquation diffrentielleOn sinteresse un oscillateur linaire amorti par un frottement uide visqueux (du laction dun uide et proportionnel la vitesse ). Lquation diffrentielle dun tel oscillateur scrit : aX + hX + bX = c avec (a, h, b) R3 et c R. + On pose dans la suite : o = b a -SAID EL FILALI-

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Page-46

4.2. RGIME LIBRE DUN OSCILLATEUR LINAIRE AMORTI

Mcanique-M.P.S.I

La pulsation propre de loscillateur

h o 1 = 2 = = a Q : la constante damortissement . : le temps de relaxation (cest le temps ncessaire pour que lamplitude se divise par e . Q : le facteur de qualit . x=X c b

llongation repr partir de la position dquilibre La forme canonique de lquation diffrentielle dun oscillateur linaire amorti par un frottement uide visqueux scrit donc :2 x + 2x + o x = 0

Remarque- 13 : Dans ce cas lnergie mcanique est fonction dcroissante du temps, en effet dEm = P( F f ) = h V 2 < 0 dt

4.2.2 Diffrents rgimes libres amortisOn a : 2 lquation diffrentielle : x + 2x + o x = 0 2 Le polynme caractristique : r2 + 2r + o = 0 Le discriminant :2 2 = 2 o = ( + o )( o ) = o (

1 1) 4Q2

4.2.2.1 Rgime apriodique 1 2 Deux racines relles distinctes : > 0 = > o = Q < x(t) = Aer+ t

r = t

2 2 o

+ Be

r t

= x(t) = e

2 2 2 o t 2 o t + Be ] [Ae

Lorsque t , et lemporte ;do x 0 sans osciller :Cest le rgime apriodique. Representation graphique CPGE/B.Mellal Page-47 -SAID EL FILALI-

4.2. RGIME LIBRE DUN OSCILLATEUR LINAIRE AMORTI

Mcanique-M.P.S.I

Representation temporelle

Le portrait de phase du rgime apriodique

x x

vrgime apriodique : trajectoire dans le plan de phase est ouverte 4.2.2.2 Rgime critique 1 = 0 = = o = Q = 2 Deux racines relles confondues :

r+ = r =

x = (Ac + Bc t)et Quand t , x 0 rapidement sans osciller : Cest le rgime critique. Representation graphique Representation temporelle Le portrait de phase du rgime critique

x

x

v vrgime critique : trajectoire dans le plan de phase est ouverte 4.2.2.3 Rgime pseudo-priodique < 0 = < o = Q >2 = 2 o = i2 2

1 2 2 avec :2 = o 2 Page-48 -SAID EL FILALI-

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4.2. RGIME LIBRE DUN OSCILLATEUR LINAIRE AMORTI

Mcanique-M.P.S.I

Deux racines complexes conjugues : r1 = + i scrit :

et r2 = i donc la solution

x(t) = et (A cos t + B sin t) = xo et cos(t + ) Cest une fonction pseudo-priodique damplitude Xm = xo et variable en fonction du temps Xm t + 0 Representation graphique Representation graphique Representation temporelle Le portrait de phase du rgime pseudopriodiquev

x

vx

Le point O attire toutes les trajectoires dans le plan de phase qui correspond la position dquilibre stable La pseudo-priode est : T = 2 = To 1( 2 ) o = To 1 1 4Q2

4.2.3 Decrement logarithmiqueon dnit le dcrement logarithmique par = T cfcient sans unit On a : x(t) = Aet cos(t + ) x(t + nT ) = Ae(t+nT ) cos(t + nT + ) = enT x(t) Do : x(t) x(t) = enT = nT = ln x(t + nT ) x(t + nT ) CPGE/B.Mellal Page-49 -SAID EL FILALI-

4.2. RGIME LIBRE DUN OSCILLATEUR LINAIRE AMORTI

Mcanique-M.P.S.I

On en dduit que = T = Si n = 1 alors : = T = ln x(t) x(t + T ) 1 x(t) ln n x(t + nT )

4.2.4 Interprtation physique4.2.4.1 Facteur de qualit Hypothse :Lamortissement trs faible ( 0 = Q 1 = o ) x(t) = Aet cos(t + ) 1 = o 1 o 4Q2 T = To Do :x(t) = Aet cos(o t + ) 1 1 Ep = kx2 = kA2 e2t cos2 (o t + ) 2 2 1 1 2 Ec = mx = A2 m[o et sin(o t + ) et cos(o t + )]2 2 2 Or les fonctions cos et sin sont bornes ainsi o donc : 1 2 Ec mA2 o e2t sin2 (o t + ) 2 1 Em = kA2 e2t 2 Question :Que vaut la diminution relative de lnergie mcanique au cours dune Em (t) Em (t + T ) pseudo-priode ,cest dire : ? Em (t) 1 1 Em (t) = kA2 e2t Em (t + T ) = kA2 e2(t+T ) 2 2 Em (t) Em (t + T ) = 1 e2To Em (t) Or Do : T 2 = To 1 = 1 e2To 2To o 22 2 Em (t) Em (t + T ) 2To = = Em (t) o Q Em (t) Em (t) Em (t + T )

Donc : Q = 2 cest dire : Q = 2 nergie deloscillateur nergie perdue pendant une pseudo-priode Page-50 -SAID EL FILALI-

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4.3. OSCILLATIONS FORCES -RSONANCE

Mcanique-M.P.S.I

4.2.4.2 Temps de relaxation (nonc voir TD) Un point matriel M de masse m est mobile sur un axe horizontal Ox , et il est soumis une force de frottement visqueux de type : R = x . ce point est reli par lintermdiaire dun ressort de raideur k un point A dabscisse xA . on pose k et = , et on supposera 0 0 = m 2m 1. a quoi correspond cette hypothse ? 2. le point A tant suppos xe, on carte M de sa position dquilibre, et on labandonne sans vitesse initiale. Calculer lintervalle de temps au bout duquel lamplitude du mouvement est divise par e = 2,718.

Rponses2 1. On a : x + 2x + o x = 0. isochrones (T=cte).

o (amortissement trop faible :oscillations

2. v(0) = 0 2 On a :x = xo cos(t + ) avec = o 2 o Donc : x = xo cos(o t + ) t = 0 on a Xm = xo cos . x = xo et [ cos(o t + ) o sin(o t + )] v(0) = 0 = tan = 1 = 0 o 0 = xo = Xm On conclut que : Xm (t) = xo et = Xm (t + ) = xo e et xo et Si le rapport des amplitudes est e alors : t = e alors : xo e e = 1

Dnition : Le temps damortissement correspond au temps ncessaire pour que lamplitude se divise par e

4.3

Oscillations forces -Rsonance

Pour maintenir lamplitude des oscillations constante,il faut fournir une nergie gale celle perdue par les frottements laide dune force excitatrice qui impose une frquence do la naissance des oscillations forces. prenons lexemple (masse-ressort) Appliquons la R.F.D F (t) + f + P + T = m (M ) a avec : P + T = kx ex donc : kx x + F (t) = m x = m + x + kx = F (t) x 1 2 lquation canonique est : x + 2x + o x = F (t) m avec : CPGE/B.Mellal Page-51 -SAID EL FILALI-

4.3. OSCILLATIONS FORCES -RSONANCE

Mcanique-M.P.S.I

o 1 = = : constante damortissement m Q k o = : la pulsation propre m La solution de cette quation diffrentielle est la somme de deux fonctions : solution de lquation homogne xt (t) qui dcrit le rgime transitoire ( disparat aprs quelques ). solution particulire xp (t) qui dcrit le rgime permanent . donc x(t) = xt (t) + xp (t) avec : xt (t) dpend du signe de xp (t) = X cos(p t + p ) Si F (t) = Fo cos(t + F ) alors la solution est en rgime permanent est : x(t) = X cos(t + x ) 2 =

Pour x = X cos(t + ) on associe x(t) = Xei(t+) = Xeit avec X = Xei Pour F = Fo cos(t + F ) on associe F = F o eit F (t) F (t) 2 2 on associe x + 2x + o x = Pour x + 2x + o x = m m Fo 2 2 Ce qui donne : X + 2iX + o X = m X = Xeix = Fo eiF /m = f () 2 (o 2 ) + 2i

4.3.1 Dtermination de lamplitude X et la phase = x F

Donc : X reprsente le module de f () ;X =| f () | x reprsente largument de f () X= Fo m 12 (o

2 )2

+ 42 2 2 2

tan = tan(x F ) =

2 o

4.3.2 tude de la rsonance damplitude :On pose : > 0 = = ro r= o Fo Xo = m On en dduit que : X=2 o

Xo (1 r2 )2 + Page-52 r Q22

= X(r)

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-SAID EL FILALI-

4.3. OSCILLATIONS FORCES -RSONANCE

Mcanique-M.P.S.I

2 1 Si 1 0 = Q : pas de rsonance damplitude 2 2Q 2 2 1 > 0 = Q > : on a rsonance damplitude Si 1 2 2Q 2 Representation graphique de la fonction X(r) pour quelques valeurs de Q

Q=5>

2 2 2 2 2 2

Q=

Q = 0.4 0 Do : Wg = |Wp | CPGE/B.Mellal Page-53 -SAID EL FILALIX 2 2 T = X 2 < 0 2

4.3. OSCILLATIONS FORCES -RSONANCE

Mcanique-M.P.S.I

ce qui montre que lnergie perdue par frottement et totalement fournie par la force excitatrice F (t).

4.3.4 Rsonance de vitesseEn rgime tabli (permanent) on pose v(t) = Vm cos(t + v ) Avec Vm = X = Xo r/o (1 r2 )2 r2 + 2 Q

dVm = 0 = r = 1 dr Reprsentation graphiqueV m Q=5

Q=4

Q=3

Q=2

Q=1

Q=0,707

Q=0,5

r

4.3.5 Bande passantenonc voir TD2 xA = a cos t,lquation diffrentielle sera donc : + 2x + o x = x

La solution du rgime permanent scrit :x = A cos(t + ) 2 En notation complexe :( 2 + o ) + 2io = a/m 1 a/m a avec Q = o /2 A= = 2 2 2 )2 + 42 2 mo (o r2 (1 r2 )2 + 2 Q o = Q donc a 1 A= : la rsonance aura lieu pour r = 1 et par consquent : 2 mo r2 (1 r2 )2 + 2 Q a ao a = Am = Q= Am = 2 2 mo 2mo 2mo CPGE/B.Mellal Page-54 -SAID EL FILALI-

a cos t m

4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MCANIQUE

Mcanique-M.P.S.I

A2 Am La bande passante [1 , 2 ] est telle que :A > = A2 > m 2 2 2 4 2 4 2 2 (o 22 ) + o 82 o = 0 2 = 42 o 1 2 2 2 2 = (o 22 ) 2o o 2o = o (1 ) Q 1 1/2 1 2 = o (1 + ) = o (1 + ) Q 2Q 1 1 1 = o (1 )1/2 = o (1 ) Q 2Q o 2 = = 2 = Q Donc le rsultat fondamental . = 2

Q=

o

4.4

Analogie :Electrique/McaniqueGrandeur lectrique 1 L + Rq + q = e(t) q C L C q i e(t) 1 2 Li 2 1 2 q 2C 1 o = LC 1 L Q= R C Grandeur mcanique m + x + kx = F (t) x m R 1/k x v F (t) 1 m x2 2 1 2 kx 2

k m km Q= o =

Application : :Le pendule lastique On considre une masse M homogne de masse volumique et de volume V , plonge dans leau (masse volumique e ). Cette masse est suspendue a un ressort de raideur k et de longueur vide lo , accroch en un point A . Soit (Oz) un axe vertical oriente vers le bas, le point A est xe la cote zA = 0. On sinteresse au mouvement suivant (Oz) de la masse et on note z la cote du centre de gravite G de la masse. A lquilibre la masse est situe en z = h. On ngligera la hauteur de la masse M devant h. Soit Rle rfrentiel terrestre suppose galilen. CPGE/B.Mellal Page-55 -SAID EL FILALI-

4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MCANIQUE

Mcanique-M.P.S.I

A

zA = 0

M

z

1- crire la condition dquilibre de la masse M dans R. 2- En dduire lquation diffrentielle du mouvement de loscillation de M. On crira une quation reliant z et ses drives, M , k et h. Donner la pulsation propre o de cet oscillateur. On ngligera les frottements dans cette question. 3- Commenter le fait que o ne dpende pas de lintensit de la pousse dArchimde. Y a-t-il un terme de lquation diffrentielle prcdente qui en dpende ? 4- On tient compte dune force de frottement visqueux, colinaire la vitesse et dintensit F = V (identique dans tous les rfrentiels) de leau sur la masse M . Donner la nouvelle quation diffrentielle vrie par z. En se plaant dans le cas dun amortissement faible, donner sans calcul lallure de la fonction z(t) avec les conditions initiales suivantes : t = 0, z = h1 > h et la vitesse initiale est nulle. 5- A laide dun piston, on impose lextremite A du ressort, un mouvement vertical sinusoidal damplitude zAm ; donc zA (t) = zAm cos(t). crire dans le rfrentiel R , lie A, lquation diffrentielle vrie par z cote de G dans R. 6- Calculer lamplitude des oscillations de la masse M dans R . On utilisera la noM tation complexe et on fera apparatre les constantes o , = et la variable x = o 7- Dans ce dispositif, lintrt du ressort est de permettre dobtenir des oscillations de la masse damplitude suprieure celle de lexcitation. Chercher un intervalle de pulsations pour lequel cette condition est vrie. Vous montrerez que cet intervalle existe si la masse M est suprieure une certaine valeur que vous prciserez. 8-Si la condition prcdente est vrie, pour quelle pulsation lamplitude doscillation de la masse M est-elle maximale ? O A zA

M

z

RponsesCPGE/B.Mellal Page-56 -SAID EL FILALI-

4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MCANIQUE

Mcanique-M.P.S.I

1- La condition dquilibre de la masse M dans R. M g = FA + k(h lo ) 2- Lquation diffrentielle du mouvement de loscillation de M. On projette la RFD sur laxe Oz on obtient : La condition dquilibre donne M z = M g z FA k(z lo ) = M g z FA k(z h) k(h lo ) M z + z + k(z h) = 0 k . M 3- o ne dpend que des paramtres intrinsque du systme Le terme de lquation diffrentielle prcdente qui en dpend est h la position dquilibre En gnral toute forces constantes napparaissent pas dans lquation diffrentielle, son rle est de modier la position dquilibre 4- La nouvelle quation diffrentielle vrie par z. La pulsation propre o =2 M z + z + k(z h) = 0 = z + 2z + o (z h) = 0

o amortissement faible Avec = 2M dans ce cas la solution est de la forme : z(t) = h + Aet cos(t + ) = A et deux constantes dintgration dterminer par les C.I. Comme o = o ainsi : z(t = 0) = h1 = h1 = h + A cos z(t = 0) = 0 = tan = 0 cest dire 0 On en dduit que o z(t) = h + (h1 h)et cos o t Reprsentation graphique de z(t) pour h = 5 ,h1 = 6 , = 0.2 et o = 10z2 o 2

h

t

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Page-57

-SAID EL FILALI-

4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MCANIQUE

Mcanique-M.P.S.I

5- Lquation diffrentielle. M z + z + k(z h) = kzA En posant y = z h on obtient 1 2 2 y + y + o y = o ZAM cos t 6- On cherche une solution qui dcrit le rgime permanent sous la forme y(t) = Ym cos(t + ) et en notation complexe on trouve Ym = ZAM (1 x2 )2 + x2 2 2 o

La reprsentation graphique de XM en fonction de la pulsation rduite xYm

ZAM x 1 x

7- L intervalle de pulsations est [0, 1 = x1 o ]. telle que ZAM = YM cest dire x1 solution de x2 (1 x2 )2 + 2 2 = 1 o La solution est x2 = 2 1 Si 2 2 1 > 0 = M > = Mc alors 2 2 o 2k 1 = o 2 12 2 o

1 2 2 o

8-Lamplitude doscillation de la masse M est maximale si 1 2 2 2 o

dYM =0 dx

R = o

1+

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-SAID EL FILALI-

Chapitre 5 Thorme du moment cintique5.1 Le moment cintique ,moment dune force

5.1.1 Dnition On appelle moment cintique en un point O,par rapport un rfrentiel Rdun point matriel M le vecteur : (M/R) = = m (M ) o L O OM V (kg.m2 /s)

On appelle moment dune force en un point O,par rapport un rfrentiel Rdune force F appliqu en un point M le vecteur : Mo = OM F (m.N )

5.1.2 Thorme du moment cintiqueSoit O un point xe dun rfrentiel R. Calculons la drive temporaire par rapport au rfrentiel Rdu moment cintique. dOM d V (M ) do (M/R) = m V (M ) + OM m dt dt /R dt /R /R do (M/R) = = OM m (M ) a dt /R do (M/R) = = OM F dt /R do (M/R) = Mo ( F ) = dt /R do (M/R) = Mo ( F ) dt /R cest le thorme du moment cintique avec O un point xe 59

5.2. APPLICATIONS

Mcanique-M.P.S.I

5.2

Applications

5.2.1 pendule simpleO y x M g

On a : OM = l = V (M/R) = l er e (M/R) = m (M/R) = (M/R) = ml2 donc o OM V o ez do (M/R) = ml2 ez dt /R Mo ( T ) = 0 Mo ( P ) = mgl sin ez On tire donc que l + g sin = 0

5.2.2 Pendule de HOLWECK LEIAYUne masse ponctuelle m est place lextrmit A dune tige de masse ngligeable, de longueur = OA, articule en un point xe O et mobile dans un plan vertical ; un ressort spiral exerce sur cette tige un couple de rappel C, o dsigne langle que fait la tige avec la verticale ascendante Oz. On dsigne par g lintensit du champ de pesanteur.

1- Le systme tant conservatif et un degr de libert , former lexpression de lnergie mcanique totale du systme. Lexpression prcdente est une constante du mouvement ou intgrale premire. 2- En dduire lquation du mouvement. 3- En considrant comme petit, quelle condition la position = 0 correspond elle un quilibre stable dun oscillateur harmonique ? CPGE/B.Mellal Page-60 -SAID EL FILALI-

5.2. APPLICATIONS

Mcanique-M.P.S.I

4- Cette condition tant suppose ralise, calculer la priode T des petites oscillations que lon crira sous la forme T = 2 en donnant lexpression de A. Ag

T correspondant une petite va5- Calculer la variation relative de la priode T riation g de lintensit du champ de pesanteur. Montrer que cet appareil peut tre T0 la prcision sur rendu plus sensible quun pendule simple, dont on appellera T0 la mesure de la priode T0 des petites oscillations.

CPGE/B.Mellal

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-SAID EL FILALI-

5.2. APPLICATIONS

Mcanique-M.P.S.I

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-SAID EL FILALI-

Chapitre 6 Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives, mouvement newtonien6.1 Gnralits sur les forces centrales

6.1.1 Dnition On appelle force centrale une force F dont la direction passe toujours par un point xe O. Exemple : Tension du ressort. GmM er Force gravitationnelle : F = 2 r 1 q1 q2 er Force coulombienne : F = 2 4o r La tension du l dans le pendule simple. avec = OM Son expression en coordonnes sphriques scrit F = F (r, , ) er er r z

F M ey y

ez O ex x

63

6.1. GNRALITS SUR LES FORCES CENTRALES

Mcanique-M.P.S.I

6.1.2 Moment cintique, Loi des aires6.1.2.1 Conservation du moment cintique Appliquons le TMC en O point xe dans Rsuppos galilen do (M/R) = Mo ( F ) = dt /R do (M/R) = OM F dt /R do (M/R) = r F er er = dt /R (M/R) do = =O dt /R

(M/R) = o cte On conclut que le moment cintique dune force centrale est conservatif 6.1.2.2 Planit de la trajectoire On a o (M/R) = OM m V (M/R) = cte donc le mouvement est plan : Cest la premire loi de Kepler On choisit les coordonnes cylindriques avec (M/R) = o o ez Par consquent : Le vecteur position :OM = r er + r La vitesse : V (M/R) = r er e (M/R) = ( r2 ) + (2r + r2 ) Lacclration : a r er e (M/R) = OM m V (M/R) = (M/R) = mr2 Le moment cintique : o o ez Do o = mr2 = mC Avec C = r2 = o m

Constante des aires Remarque- 14 : Si o (M/R) = 0 = = 0 cest dire que le mouvement se fait dans la direction : Cest un mouvement rectiligne de er 6.1.2.3 Vitesse arolaire , Loi des aires Dterminons dA laire (surface) lmentaire balaye par le vecteur OM entre les instants t et t + dt CPGE/B.Mellal Page-64 -SAID EL FILALI-

6.1. GNRALITS SUR LES FORCES CENTRALES

Mcanique-M.P.S.I

y

M (t + dt)

ey

dA M (t)

ex On a : 1 dA = 2

x

1 OM dOM = dA = 2

r (dr + rd ) er er e 1 dA = r2 d 2

dA On dnit la vitesse arolaire comme la surface balaye par le vecteur OM dt pendant lunit de temps 1 C o dA = r2 = = = cte dt 2 2 2m Conclusion : :Loi des aires (deuxime loi de Kepler) Le vecteur OM balaye des surfaces gales pendant des intervalles de temps gaux.

6.1.3 Formules de BinetOn a : V (M/R) = r + r = V 2 = r2 + r2 2 . er e 1 dr 1 On pose :u = = = 2 r du u dr dr du d du r= = ( )( )( ) = r2 dt du d dt d du dr = C dt d Donc V 2 = C 2 [( du 2 ) + u2 ] d

Cest la premire loi de Binet CPGE/B.Mellal Page-65 -SAID EL FILALI-

6.2. FORCES CENTRALES CONSERVATIVES

Mcanique-M.P.S.I

De mme on a : (M/R) = ( r2 ) + (2r + r2 ) a r er e Or :2 1 d(r ) = 1 dC = 0 a = 2r + r2 = r dt r dt

r=

d du d du d d2 u [C ] = C ( ) = C 2 u2 2 dt d d d dt d C2 2 3 r2 = r 4 = C u r (M/R) = C 2 u2 ( d u + u) a er d2 Cest la deuxime loi de Binet2

Application : : Dterminer la lois de forces centrales F (r) lorsque : r = k exp r = k

6.2

Forces centrales conservatives

On suppose que la force centrale F est conservative cest dire quil existe une nergie potentielle Ep tel que dEp = F .dOM = dEp = Fr dr On en dduit que lnergie potentielle ne dpend que de la distance r elle ne dpend ni de ni de Ep(r) = F (r)dr + cte

1 1 Par consquent : Em = Ec + Ep = Em = mr2 + mr2 2 + Ep(r) 2 2 o = C par consquent : Or : = m r22 o 1 1 2 + Ep(r) Em = mr + 2 2m r2

On pose :

1 Ecr = mr2 : lnergie cintique radiale. 2 2 1 Epef f (r) = o 2 + Ep(r) : lnergie potentielle effective (ou efcace). 2m r Puisque le systme est conservatif alors : 2 1 1 Em = cte = mr2 + o 2 + Ep(r) = E o 2 2m r Cest lintgrale premire de lnergie

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6.3. CAS DU CHAMP NEWTONIEN

Mcanique-M.P.S.I

Remarque- 15 : 1. 1 Ecr = mr2 2 0 = Em Epef f

1 2. Ecr = mr2 = 0 = r = 0 cest dire que r est extremum. 2 Pour une trajectoire circulaire r = R = Ecr = 0 cest dire Em (circulaire) = Epef f = E o Pour une trajectoire elliptique avec origine au foyer3

2

VP M

1

r0

P

A-1

F

F

-2

VA

-3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

On a au points : P appel prige (le point le plus proche au foyer origine) : rP = rmin = rP = 0 A appel apoge (le point le plus loign du foyer origine : rA = rmax = rA = 0 Comme V = r + r alors er e VA = rA A Relation entre VA et VP Comme C = r2 = r(r) alors rA VA = rP VP ; VP = rP P

6.3

Cas du champ newtonien

6.3.1 Lapproche nergtiqueOn suppose que la force est newtonnienne cest dire : F = 2 er r CPGE/B.Mellal Page-67 -SAID EL FILALI-

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Si F est attractive (interactions gravitationnelle ou coulombienne entre deux charges de signe contraire) alors > 0 Si F est repulsive (interactions coulombienne entre deux charges de mme signe ) alors < 0 Lnergie potentielle est donc avec rfrence linni F = 2 = Ep(r) = er r r Remarque- 16 : Le signe de lnergie potentielle : Si F est attractive alors Ep(r) < 0 Si F est repulsive alors Ep(r) > 0 = Epef f > 0

Reprsentation de lnergie potentielle effective Cas ou F est repulsive Epef f

Em

rd

r

r Cas ou F est attractiveEpef f

rd = tat de diffusion

EoB r2 r1 EoB

r [r1 , [ :tat de diffusion trajectoire :parabole ou hyperbole r0 r3

r [r2 , r3 ] tat li cercle ou ellipse

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Epef f = 0 = r =

2 o m 2 2 dEpef f o m = 0 = r = dr 2 2 3o m d Epef f = 0 = r = dr2 2

6.3.2 Lquation de la trajectoire6.3.2.1 Relation fondamentale de la dynamique On a : F = m (M ) or : a avec R. F = 2 er r < 0 = repulsion (q1 .q2 > 0) > 0 = attraction :soit (q1 .q2 < 0) soit gravitation. 2 o ainsi : (M ) = C 2 u2 ( d u + u) On sait que : C = r2 = a er m d2 d2 u donc : mC 2 u2 ( 2 + u) = 2 = u2 d r d2 u m +u=+ = 2 2 2 d mC o La solution de cette quation est : m avec A et o sont des constantes dtermines par les u = A cos( o ) + 2 o conditions initiales. Cette solution peut scrire :2 1 m A0 = u = 2 (1 + cos( o )) r 0 m

On pose : p=|2 0 | m

e=|

2 A0 | m

Cest lquation dune conique avec : p b = ap c = ea a= 2| |1 e 6.3.2.2 Vecteur Range-Lenz On dnit le vecteur de Range-Lenz par pour une force centrale de forme F = 2 par r 1 o er A = ( V (M/R)) dA : Montrons que ce vecteur est constant au cours du temps ,pour cela calculons dt dA 1 = [ o (M/R)] a e dt CPGE/B.Mellal Page-69 -SAID EL FILALI-

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dA 1 C = = [ 2 mC ] 2 er ez e dt mr r dA C C = = 2 2 = 0 e e dt r r 1 A = ( V (M/R)) = cte o er La constante est dtermine par les conditions initiales ou des conditions particulires. Sachant que : V = r + r et o (M/R) = mC alors er e ez mC 2 mC r = A=( 1) er cte e r Remarque- 17 : les conditions particulires Si r = 0 cest dire r est extrmale alors A// er On pose e= A Donc calculons e2 au lieu de e : mC 2 mC 2 e2 = ( 1)2 + ( r) r 2mC 2 1 2 mC 2 [ mr + ]+1 = e2 = 2 2 2r2 r 2 1 2 mC Or Em = mr + 2 2r2 r on tire que : e2 1 = 2mC 2 2 m2 2 Em = Em = (e2 1) = (e 1) 2 2 2mC 2 2o 0

Calculons la quantit A.OM = A. : r 2 mC 2 mC 1)r = er cos = r = + er cos A.OM = ( r mC 2 r= 1 + e cos Cest lquation dune conique de paramtre mC 2 p= || Et dexcentricit e= A Page-70 -SAID EL FILALI-

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Discussion Si e = 0 = A = cte = 0 = Em < 0 : trajectoire circulaire Si 0 < e < 1 = Em < 0 : trajectoire elliptique Si e = 1 = Em = 0 : trajectoire parabolique Si e > 1 = Em > 0 : trajectoire hyperbolique

Remarque- 18 : Pour une trajectoire elliptique y M rmax F O b F c a r rmin P x

A

En coordonnes cartsiennes son quation (avec ) est : x2 y 2 + 2 =1 a2 b Avec si a > b : c 2 = a2 b2 ; c = ea ; p= b2 = b = ap a

En coordonnes polaire s son quation avec origine au foyer Fest : r= Avec 0