Mécanique Probabiliste

Dimensionnement fiabiliste de la structure

d’un étage supérieur de lanceur

P. WILLAUME * – G. DEFAUX *V. TAPONIER **

M. PENDOLA * / ***

* PHIMECA Engineering S.A.Centre d’Affaires du Zénith, 34 rue de Sarliève, F-63800, Cournon d’[email protected] ; [email protected]** CNES, Direction Des LanceursRond Point de l’Espace, F-91023 Courcouronnes Evry [email protected]*** Clermont Université, IFMA, EA 3867, Laboratoire de Mécanique et Ingénieries BP 10448, F-63000 [email protected]

mailto:[email protected]




WILLAUME – DEFAUX – TAPONIER – PENDOLAJN Fiab 2010

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Plan

Introduction - Description de la problématique

Conclusions et perspectives

Analyse de la fiabilité de l’étage

Caractérisation de l’aléa de l’admissible Φouter


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Les modèles de simulation

Pour concevoir des structures toujours plus performantes, l’ingénieur

construit des modèles.

Principes

Les modèles sont des représentations abstraites de la réalité, incluant :

- une description mathématique des phénomènes physiques

considérés;

- une implémentation numérique de ces équations et des solveurs

adaptés.

FinalitésA partir des prédictions des modèles, l’ingénieur peut :

optimiser la structure vis-à-vis de contraintes de performance ;

justifier le dimensionnement par rapport à des règles codifiées.


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Cependant …

Les structures peuvent s’avérer défaillantes, notamment parce que :

- le modèle utilisé pour leur conception ne représente pas

fidèlement la physique sous-jacente ;

- les valeurs des paramètres introduits dans le modèle sont

inadaptées.

La prise en compte rigoureuse et cohérente des incertitudes

dans le processus de conception et dans la simulation numérique

est aujourd’hui indispensable pour la réalisation de

systèmes performants et optimisés.


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Méthodologie générale

Étape A

Modèle(s)

Critère(s)

Modèle mécaniqueVariables

aléatoires

Étape B

Quantification

des sources d’incertitudes

Étape C’

Hiérarchisation

des incertitudes

Étape C

Propagation

des incertitudes

Densité de proba.

Moments

Prob. de défaillance

Uncertainty in industrial practice – A guide to quantitative uncertainty management,E. de Rocquigny, N. Devictor, S. Tarantola (Eds.), John Wiley, 2008


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Contexte

• L’étage de stockage du propergol est

soumis à d’importantes contraintes

lors de la phase de lancement d’un

lanceur spatial.

• Les zones de jonctions des panneaux

(en rouge) peuvent entrainer la

défaillance de la structure par rupture

en cisaillement.

• Méconnaissance de la variabilité de

l’admissible à rupture en cisaillement

du composite au niveau des jonctions

Problématique générale


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Problématique générale

Fiabilité de la structure d’un étage supérieur de lanceur

• Étude d’une évolution de définition destinée àune version de croissance

• Mode de défaillance de la jonction panneau composite / bride aluminium sur une ligne de rivets

• Formulation mathématique d’un critère / mode de défaillance définition de l’effort admissibleà rupture en cisaillement (Φouter)

• En déterministe, marge de sécurité importante

Variabilité de l’admissible ?

Fiabilité de l’étage ?

Apport de la démarche fiabiliste ?


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Problématique « locale »

Quantification de la variabilité de l’admissible à rupture en cisaillement

• Campagne d’essais sur une structure représentant la

liaison présente dans la structure dispersion de

l’admissible

• Une alternative :

postuler une forme de distribution et caler les

paramètres grâce aux essais

Facile mais l’aléa du modèle est « diluée » dans

l’admissible

partir d’aléa « local » et déterminer un méta

modèle de calcul de l’admissible

Coûteux en calcul mais meilleure compréhension

de la variabilité de l’admissible


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Plan






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Description du modèle local

Particularités :- 118 rivets- dissymétrie

Matériaux :- Aluminium (ferrures),- Acier (rivets, boulons),- Composite (plaque sandwich)

Chargement :Effort de traction vertical ascendant

Caractéristique étudiée :Charge de rupture du premier pli

Dissymétrie du système

Plaque sandwich

Effort

Structure :Plaque de matériau composite (sandwich) dans un système de traction (moyen d’essai)

Généralités


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Description du modèle localModélisation

Petit côté

Grand côté

• Modèle hybride :

Coque (ferrures + peaux composite)

Volume (nida)

Poutre + éléments rigides (rivets)

• Peaux composite collées sur le nida

Assemblage parfait : Pas de délaminage


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Calcul déterministe

Activation ducritère d’Hoffman

222 2Hoffman critère ltSStlxytyylxxtylx FFFFFF τσσσσσσ +++++=

Flexion de laplaque composite

« Rupture » au niveau de la dernière

rangée de rivets en partie basse du

système


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Étude de l’admissibleAnalyse de sensibilité par cumul quadratique – Objectifs

( ) ( ) ( )0

0 0,1

M

i ii i x x

MM x M x x xx= =

∂≈ + −

∂∑

• Hypothèse sur les moments des variables d’entrée mais pas sur leur forme

• Résultat attendus : facteurs d’importance

• Approximation en tendance centrale discutable

• 109 variables aléatoires modélisant les incertitudes sur :la géométrieles matériaux

Réduction de la dimension du problème


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Résultats

Étude de l’admissible

Facteurs d’importance : contribution de chacune des variables aléatoires d’entrée dans la variabilité de la réponse étudiée en sortie du modèle, ici la charge de rupture du premier pli.

Il ressort 6 variables influentes :• désalignement vertical de la première ligne de rivets en partie basse

situé “grand côté” (rivets 8 à 13),• désalignement vertical de la dernière ligne de rivets en partie haute

situé “grand côté” (rivets 14 à 19),• épaisseur du premier pli du composite situé “grand côté”,• épaisseur du dernier pli du composite situé “grand côté”,• module d’Young longitudinal du carbone,• module d’Young transversal du carbone.

Réduction de la dimension du problème :

passage de 109 variables potentielles à 6 variables aléatoires


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( )ωS

Développement sur le chaos polynomial – Objectifs

Le but de cette méthode stochastique est de construire une représentation

analytique approchée (ou méta-modèle) d’un système complexe soumis à des

entrées aléatoires -> ne plus utiliser le modèle de calcul complexe pour

évaluer la réponse du système.

≈

( )XS~

Aléa en entrée Aléa en sortie

( ) { }( ) { }( ) ( )1 10 0

pn n

j j j jk kj j

S s s Sω ξ ξ ω+∞

= == =

= Ψ ≈ Ψ =∑ ∑



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Calcul


• Chaos polynomial d’Hermite

• 6 variables d’entrée

• Développement à l’ordre 3

84 coefficients à identifier par régression

• 250 points d’apprentissage dans le plan d’expérience

Couplage mécano-fiabiliste entre Phimeca Soft v2.7 / NX Ideas / NX Nastran

• Coût de calcul unitaire : environ 1h

Lignes de rivets probabilisées


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Résultats


( ) { }( )83

61 1 1

0st st j j k k

j

S S sω ξ=

=

≈ = Ψ∑• Méta-modèle de calcul de la charge de rupture du premier pli

• Simulations de Monte Carlo « gratuites » sur le méta modèle

DistributionDistributionempiriqueempirique

Idéalisation mathématique


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Résultats


• Indices de Sobol’ : Hiérarchisation des variables d’entrée dans la variabilitéde la variable étudiée

I est une liste d’indices correspondants aux polynômesΨj de la base tronquée faisant intervenir Xi

Variables aléatoires Indices de SobolEpaisseur de pli du composite n°1 8,49%Epaisseur de pli du composite n°13 7,65%Désalignement vertical des rivets - ligne des rivets 8 à 13 4,73%Désalignement vertical des rivets - ligne des rivets 14 à 19 72,15%Module d'Young longitudinal [E l] 3,72%Module d'Young transversal [E t] 3,26%

22

1i j

j IS s

σ ∈

= ∑


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Recalage par rapport aux données d’essais


Hypothèse :

Conservation de la hiérarchie d’influence des variables d’entrée obtenue pour

la variable « charge de rupture du 1er pli » (indices de Sobol’) pour la variable « admissible Φouter ».

Résultats :

Développement sur le chaos polynomial de l’admissible Φouter :

( ) { }( )1 1 2 11

pn

outer outer st j j k kj

k k sω μ ξ=

=

Φ ≈ Φ = + Ψ∑


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Plan






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Description du modèle global

Chargement : accélération maximale du lanceur en phase atmosphérique

Modélisation : hybride coque, poutres et éléments rigides

Modélisation physique


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Description du modèle globalModélisation probabiliste

• Variables aléatoires globales : chargement (2 variables indépendantes)

• Variables aléatoires relatives à l’admissible (méta-modèle) :

désalignement des rivets (deux variables).

• Variables aléatoires intervenant dans toute la chaine :

• les module d’Young du carbone (2 variables : module

longitudinal et module tangentiel),

• les épaisseurs de plis du stratifié (deux variables).

Au total, le modèle compte 8 variables aléatoires

suivant toutes des lois normales indépendantes.


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Calcul probabiliste

État limite ( )4 zonesminG MoS=

• Si min(MoS) > 0 sûreté• Si min(MoS) ≤ 0 défaillance

Analyse de fiabilité

• Méthode d’approximation FORM

P*

Domaine dedéfaillance

Cercle tangent

Hyperplan tangent

G(ui) = 0

*2u

*1u

u2

u1

Espace normé

β

{ }( )2min 0ii

u H uβ⎛ ⎞

= ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Calcul

• Couplage mécano fiabiliste entre Phimeca Soft v2.7 / Routine Python (pour

le calcul de l’admissible) / NX Nastran

• 40 itérations avant convergence

• 1h30 de calcul


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Résultats probabilistes

Probabilité de défaillance

Pf ≈ 10-10

Localisation de l’élément au cours du calcul FORM

Structure très fiable

Pas de « déplacement » de P* au cours du calcul

( )f fFORMP P β≈ = Φ −


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Facteurs d’importance

Variables aléatoires Facteur d'importanceEpaisseur de pli du composite n°1 [ep01 ] 0,6%Epaisseur de pli du composite n°13 [ep13 ] 5,8%Désalignement vertical des rivets par rapport à la cote moyenne - ligne des rivets 8 à 13 0,2%Désalignement vertical des rivets par rapport à la cote moyenne - ligne des rivets 14 à 19 19,1%Module d'Young longitudinal [E l] 69,8%Module d'Young transversal [E t] 3,3%Chargement statique [ustat ] 0,0%Chargement dynamique [udyna ] 1,2%


{ }( ){ }( ){ }

{ }*

ii

u

H u

H uα

∇=

∇


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Facteurs d’importance


• Hiérarchisation des variables au point de défaillance :

1. Module d’Young longitudinal

Intervient dans le calcul de l’admissible et dans la structure

2. Désalignement des rivets

Pilote la variabilité de l’admissible

3. Épaisseur de pli du composite (pli 13)

Intervient dans le calcul de l’admissible et dans la structure

4. Chargement dynamique

Grande variabilité (cv = 25%)

• Dissymétrie dans la contribution de propriétés matériaux et des épaisseurs


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Plan






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• Mise en œuvre d’une démarche permettant la détermination rapide des contributeurs dans la variabilité (centrale) de l’admissible

permet d’identifier les variables ne jouant pas ou peu sur la réponse étudiée ;

pas besoin de caractériser (et faire des mesures) sur des variables n’ayant pas d’impact sur la problématique étudiée ;

• Caractérisation de l’admissible avec décomposition et hiérarchisation des variables pilotant sa variabilité

permet de mieux comprendre la variabilité constatée par essais et d’associer un sens « physique » en plus de l’aléa statistique constaté

ConclusionsAspect Méthodologique

Méthode utile pour mieux comprendre la contribution à la

défaillance en décomposant une variable aléatoire majeure non

modélisée dans la modélisation utilisée


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Conclusions

• Imbrication d’un résultat probabiliste dans l’étude de fiabilité d’une structure

Détermination des variables locales (intervenant dans l’admissible mais non modélisée physiquement) pilotant la fiabilité

• Démonstration de la faisabilité d’introduction de variabilité géométrique :

•nécessite des efforts pour piloter les outils et regénérer ainsi les différents maillages servant aux calculs (ici, le pilotage automatique du logiciel I-DEAS)

Aspect Méthodologique


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ConclusionsAspect qualitatif des résultats

• Grande fiabilité de la structure car marge déterministe importante

• Fiabilité conditionnelle à de multiples hypothèses (adéquation des modèles choisis avec la réalité, hypothèses choisies pour les analyses probabilistes, etc.).

• Fiabilité pilotée par l’admissible Φouter

estimation et mesure de l’importance des variables d’entrée du méta-modèle dans la fiabilité. En utilisant une variable Φouter globale le niveau de fiabilité et la hiérarchisation des variables auraient été différents et donc la compréhension de la problématique moindre

• Identification des paramètres stochastiques influents dans la fiabilité

• Fiabilité sensible à l’écart type des variables Importance du contrôle des matières ou de la fabrication


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Conclusions

• Résultats liés à l’hypothèse d’extrapolation de la distribution de l’admissible Φouter à partir de la charge de rupture du 1er pli

• Sens « physique » des résultats à lier à cette hypothèse

• « couplage » physique au niveau de la démarche mise en œuvre, avec des variables jouant à la fois dans la modélisation numérique (modèle EF) et dans le méta-modèle relatif à l’admissible

Plus difficile d’avoir une vision de la physique des choses, i.e. comment une augmentation d’un paramètre va piloter les MoS puisque ce paramètre contribue àtous les acteurs du MoS

Aspect quantitatif des résultats


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Conclusions

• Etude motivant un approfondissement de l’activité exploratoire

• Déploiement potentiel des approches stochastiques en contexte industriel chez CNES :

En conception pour justifier la tenue de nouvelles structures,

En dérogation pour justifier la tenue de structures déjà existantes.

Perspectives

Documents

Mécanique Probabiliste