MécaniqueSolides dChapitre 15

7/25/2019 McaniqueSolides dChapitre 15

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Partie IV

Cintique des Solides

La cinmatique des solides s'est intresse au mouvement des solidessans se proccuper des masses dplacer. Or il est plus facile dedplacer une vitesse donne un solide de faible masse quun solidede masse leve. Il est donc ncessaire d'introduire des concepts quiassocient mouvement des solides et masse des solides. Ces conceptssont bass sur l'introduction des notions de torseur cintique, torseurdynamique et nergie cintique.


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CHAPITRE 15

L'oprateur d'inertie

La notion d'oprateur d'inertie que nous tudions dans ce chapitre, permettrad'exprimer simplement les divers torseurs (Chapitre 16) ncessaires l'tude de ladynamique des solides.

15.1 INTRODUCTION DE L'OPRATEUR D'INERTIE

15.1.1 Oprateur associ un produit vectoriel

Considrons deux vecteurs a

et V

, dont les composantes dans la base (b) =

( ), ,i j k

sont:

, .x y za a i a j a k V X i Y j Z k = + + = + +

(15.1)

Le produit vectoriel des deux vecteurs s'crit:

( ) ( ) ( )y z z x x ya V a Z a Y i a X a Z j a Y a X k = + +

. (15.2)

Si le vecteur a

est un vecteur donn, nous constatons, que quel que soit le vecteur

V

, nous passons de V

au vecteur a V

par une opration linaire. En effet, nousavons:

( ) ( )

( )

3

31 2 1 2 1 2

et , ,

, , .

V a V a V

V V a V V a V a V

=

+ = +

(15.3)

Il revient alors au mme de dire que l'on passe du vecteur V

au vecteur a V

, en

faisant agir sur V

un oprateur linaire Aet d'crire que:

.a V V =

A (15.4)

Sous forme matricielle, l'expression (15.2) du produit vectoriel s'crit dans la


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228 Chapitre 15 L'oprateur d'inertie

base ( ), ,i j k

:

0

00

y z z y

z x z x

x y y x

a Z a Y a a X X

a X a Z a a Y Y a Y a X a a Z Z

= =

A , (15.5)

en introduisant la matrice antisymtrique:0

0

0

z y

z x

y x

a a

a a

a a

=

A . (15.6)

Aest la matrice qui reprsentel'oprateur A(ou le produit vectoriel a ), dans la

base (b) = ( ), ,i j k

.

Lorsqu'il n'y a qu'une base en jeu, la notation An'est pas ambigu. Par contre,s'il y a plusieurs bases, il sera ncessaire de prciser la notation, en crivant parexemple: A(b), matrice reprsentantl'oprateur Adans la base(b).

15.1.2 Extension du rsultat prcdent

Nous cherchons dterminer maintenant le double produit vectoriel( )a a V

. D'aprs le paragraphe prcdent, nous pouvons crire:

( ) ( ) 2a a V a V V V = = =

A AA A . (15.7)

Le nouvel oprateur 2A ainsi introduit est un oprateur linaire. Il est repr-

sentpar la matrice A2dans la base ( ), ,i j k

:

( )

( )

( )

2 2

2 2 2

2 2

y z x y x z

x y x z y z

x z y z x y

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

+ = + +

A . (15.8)

La matrice A2est une matrice symtrique.De mme, nous pouvons crire:

( ) ( ) 2a V a a a V V V = = =

A B , (15.9)

o l'oprateur 2= B A est reprsent par la matrice 2= B A :

2 2

2 2

2 2

y z x y x z

x y x z y z

x z y z x y

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

+

= +

+

B . (15.10)


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15.1 Introduction de l'oprateur d'inertie 229

FIGURE15.1. Solide.

15.1.3 Oprateur d'inertie

Dans l'valuation (Chapitre 16) des torseurs utiliss en dynamique, nous aurons exprimer des vecteurs de la forme:

( )( )

1 d ( )S

W OM V OM m M =

, (15.11)

( )[ ]( )

2 d ( )S

W OM V V OM m M =

. (15.12)

Les intgrales sont calcules sur le solide (S) (linique, surfacique ouvolumique). Le pointM(figure 15.1) est un point variable de (S), et d ( )m M est lamasse de l'lment de (S) entourant le point M. Le point O est un point de

rfrence du solide (S). Le vecteur V

est indpendant du pointM.D'aprs les rsultats tablis au paragraphe prcdent, nous pouvons crire:

( )1 OW S V=

I , (15.13)

en introduisant l'oprateur ( )O SI , appel oprateur d'inertie en O du solide (S).

Cet oprateur est reprsent dans une base (b) lie au solide par une matrice( )( )bO SI , appele matrice d'inertie en O et dans la base (b), du solide (S). Nous

l'crivons suivant l'une des formes:

( )( )

Ox Oxy Oxz b

O Oxy Oy Oyz

Oxz Oyz Oz

A F E I P P

S F B D P I P

E D C P P I

= =

I . (15.14)

Si (x,y,z) sont les coordonnes cartsiennes du pointMdans le tridre ( )/O b = (Oxyz), nous avons:

y

z

x

O

dm(M)

M

k

(S)

j

i


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OM x i y j z k = + +

, (15.15)

et l'expression (15.10) nous permet d'crire :

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

d ( ), d ( ),

d ( ), d ( ),

d ( ), d ( ).

Ox OxyS S

Oy Oxz S S

Oz Oyz S S

I y z m M P xy m M

I x z m M P xz m M

I x y m M P yz m M

= + =

= + =

= + =

(15.16)

Les grandeurs IOx,IOyetIOzsont appeles les moments d'inertiedu solide (S)

par rapport aux axes , , ,Ox Oy Oz

respectivement. Les grandeurs POxy,POyz et

POxzsont lesproduits d'inertie du solide (S) par rapport aux plans (Oxy), (Oyz) et

(Oxz), respectivement.Si (X, Y, Z) sont les composantes du vecteur V

dans la base (b), les compo-

santes (X1, Y1,Z1) du vecteur 1W

dans la base (b) se dterminent d'aprs (15.13)par la relation matricielle:

( )

( )

( )

1

1

1

b b

bO

X X

Y Y

Z Z

=

I . (15.17)

Soit:

( ) ( ) ( )1W AX FY EZ i FX BY DZ j EX DY CZ k = + + + + +

.

Le vecteur 2W

(15.12) s'exprime de mme sous la forme:

( )2 OW V S V =

I (15.18)

Remarque. ( )O S V

I reprsente le vecteur obtenu partir du vecteur V

en faisant

agir l'oprateur ( )O SI . L'criture ( )O S V

I doit donc tre lue "l'oprateur ( )O SI agissantsurV

".Cettecritureestcomparable l'criture ( ),f x o ( )f x reprsente

la valeur obtenue partir dexpar la fonctionf.

15.2 CHANGEMENT DE REPRE

Le changement de repre peut s'effectuer soit par le changement de son origine,soit par le changement de sa base.

15.2.1 Changement d'origine

Nous cherchons l'influence d'un changement d'origine (figure 15.2). Soit (xO',yO', zO') les coordonnes cartsiennes de la nouvelle origine O' par rapport au


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15.2 Changement de repre 231

tridre (Oxyz). L'oprateur d'inertie en O'du solide (S) est reprsent dans la base

(b) = ( ), ,i j k

par la matrice d'inertie en O':

( )( )O x O xy O xz

bO xy O y O yz O

O xz O yz O z

I P PS P I P

P P I

=

I . (15.19)

Les lments de cette matrice sont obtenus en remplaant, dans les rsultats

introduits au paragraphe 15.1.3, le vecteur OM

par le vecteur:

( ) ( ) ( )O O OO M OM OO x x i y y j z z k = = + +

. (15.20)

Par exemple, nous avons:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

d ( )

d ( ) d ( ) d ( )

2 d ( ) 2 d ( ).

O x O OS

O OS S S

O OS S

I y y z z m M

y z m M y m M z m M

y y m M z z m M

= +

= + + +

Soit en introduisant la masse m du solide et les coordonnes cartsiennes(xG,yG,zG) du centre de masse Gdu solide, exprimes en (12.34):

( )2 2 2 2O x Ox O O O G O GI I m y z y y z z = + + .(15.21)

Les expressions de IO'yet IO'zs'en dduisent par permutation. De mme noustrouvons:

( )O xy Oxy O G O G O OP P m x x y y x y = + , (15.22)

et des relations analogues pourPO'xz etPO'yz .

FIGURE15.2. Changement d'origine du repre.

y

z

x

O

(S)y

z

x

O'


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15.2.2 Relations de Huyghens

Dans le cas o le point O'concide avec le centre de masse Gdu solide, les

relations (15.21) et (15.22) se simplifient et la matrice d'inertie en Gdans la base(b) peut s'crire sous la forme:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )b b bG O OGS S S= I I D , (15.23)

avec

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

G G G G G G

bOG G G G G G G

G G G G G G

m y z mx y mx z

S mx y m x z my z

mx z my z m x y

+ = +

+

D . (15.24)

L'expression (15.23) permet ainsi d'exprimer la matrice d'inertie en O en

fonction de la matrice d'inertie en G, gnralement plus facile calculer:( )( ) ( )( ) ( ) ( )b b bO G OGS S S= +I I D . (15.25)

Cette expression conduit aux six relations de Huyghensentre les moments etproduits d'inertie:

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

, ,

, ,

, .

Ox Gx G G Oxy Gxy G G

Oy Gy G G Oxz Gxz G G

Oz Gz G G Oyz Gyz G G

I I m y z P P mx y

I I m x z P P mx z

I I m x y P P my z

= + + = +

= + + = +

= + + = +

(15.26)

15.2.3 Diagonalisation de la matrice d'inertie

On dduit des proprits des oprateurs linaires symtriques les rsultatsfondamentaux suivants.

L'oprateur d'inertie ( )O SI possde au moins une base orthonorme de

vecteurs propres ( )1 2 3, ,u u u

appele base principale d'inertie en O.

Les axes ( ), iO u

sont appels axes principaux d'inertie en O, et le repre

( )1 2 3/ , ,O u u u

est le repre principal d'inertie en O.Dans la base ( )1 2 3, ,u u u

, la matrice d'inertie en O est une matrice diagonale,

appele matrice principale d'inertie en O. Ses termes non nuls sont les momentsprincipaux d'inertie en O.

Dans la base principale (p), la matrice d'inertie s'crit donc:

( )( )

1

2

3

0 0

0 0

0 0

pO

I

S I

I

=

I , (15.27)

oI1,I2etI3 sont les moments principaux d'inertie en O. Nous en dduisons:


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15.2 Changement de repre 233

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , .O O OS u I u S u I u S u I u= = =

I I I (15.28)

Les moments principaux d'inertie Ii(i= 1, 2, 3) peuvent donc tre recherchs enexprimant les relations (15.28) sous la forme:

( ) O i i iS u I u=

I . (15.29)

Dans la base (b) non principale, cette relation s'crit:

i i

i i i

i i

A F E u u

F B D v I v

E D C w w

=

, (15.30)

en introduisant les composantes (ui, vi, wi) dans la base (b) du vecteur propre iu

.L'expression prcdente s'crit:

00

0

i i

i i

i i

A I F E u

F B I D v

E D C I w

=

. (15.31)

Les vecteurs iu

tant diffrents du vecteur nul, ce systme admet des solutions si:

det 0i

i

i

A I F E

F B I D

E D C I

=

. (15.32)

Cette quation permet de dterminer les moments principaux I1,I2 et I3. Lesdirections principales sont ensuite dtermines en reportant I1,I2 et I3 dans larelation (15.30).

15.2.4 Changement de base

Soit deux bases ( ) ( )1 1 1 1, ,b i j k =

et ( ) ( )2 2 2 2, ,b i j k =

lies par le changement

de base:

2 1

2 1

2 1

i i

j j

k k

=

A

, (15.33)

o Aest la matrice de changement de base. Les expressions des matrices d'inertie

permettent d'tablir la relation qui exprime la matrice d'inertie ( )( )2bO SI en Odans

la base (b2) en fonction de la matrice d'inertie dans la base (b1). Cette relations'crit sous la forme:

( )( ) ( )( )2 1 tb bO OS S=I A I A , (15.34)

o Atest la matrice transpose de la matrice A.


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15.3 MOMENTS D'INERTIE PAR RAPPORT UNPOINT, UN AXE, UN PLAN

15.3.1 Dfinitions

On appelle moment d'inertie d'un solide (S) par rapport un point (par

rapport un axe ou par rapport un plan) l'intgrale :

( )

2d ( ),S

l m M (15.35)o lest la distance (par exemple figure 15.3) du point Mvariable du solide (S)aupoint ( l'axe ou au plan).

Si (x, y, z) sont les coordonnes du point M dans un tridre d'origine O, lesexpressions des mouvements d'inertie du solide (S) sont d'aprs (15.35):

1. Moment d'inertie par rapport au point O:

( ) ( )( )

2 2 2 d ( )OS

I S x y z m M= + + . (15.36)2. Moments d'inertie par rapport aux axes , , ,Ox Oy Oz

(dj exprims en

15.16):

( )( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

d ( ),

d ( ),

d ( ).

OxS

OyS

OzS

I y z m M

I x z m M

I x y m M

= +

= +

= +

(15.37)

FIGURE15.3. Distances par rapport un point, un axe, un plan.

y

z

xO

M

l

y

z

xO

M

l

y

z

x

O

M

l


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15.3 Moments d'inertie par rapport un point, un axe, un plan 235

3. Moments d'inertie par rapport aux plans (Oxy), (Oyz), (Oxz):

( )

( )

( )

2

2

2

d ( ),

d ( ),

d ( ).

OxyS

OyzS

OxzS

I z m M

I x m M

I y m M

=

=

=

(15.38)

15.3.2 Relations entre les moments d'inertie

Par addition des intgrales (15.36) (15.38), nous obtenons les proprits

suivantes:1. La somme des moments d'inertie d'un solide par rapport trois axestrirectangulaires issu d'un mme point est gale au double du moment d'inertie dusolide par rapport ce point:

2Ox Oy Oz OI I I I+ + = . (15.39)

2. La somme des moments d'inertie d'un solide par rapport deux plansperpendiculaires est gale au moment d'inertie du solide par rapport l'axeintersection de ces deux plans:

,

,

.

Oxy Oxz Ox

Oxy Oyz Oy

Oxz Oyz Oz

I I I

I I I

I I I

+ =

+ =

+ =

(15.40)

15.3.3 Cas d'un solide plan

Dans le cas d'un solide plan, de plan (Oxy) (figure 15.4), le pointMdu solide apour coordonnes (x, y, 0) et les moments d'inertie se rduisent :

( )( )

( )

( )

( )( )

2 2

2

2

2 2

d ( ),

d ( ),

d ( ),

d ( ).

OS

OxS

OyS

OzS

I x y m M

I y m M

I x m M

I x y m M

= +

=

=

= +

(15.41)

Entre les moments d'inertie, nous avons la relation:

Oz O Ox OyI I I I= = + . (15.42)


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FIGURE15.4. Solide plan.

15.3.4 Moment d'inertie par rapport un axe quelconque

Exprimons le moment d'inertie du solide (S) par rapport un axe () de vecteurdirecteur unitaire u

et passant par le point O(figure 15.5). Soit d'aprs (15.35):

( )

2d ( )S

I HM m M= , (15.43)oHest la projection orthogonale du pointMsur l'axe (). Nous avons donc:

HM u OM=

. (15.44)D'o:

( ) ( ) ( )22 22HM z y x z y x = + + , (15.45)

en introduisant les composantes (, , ) du vecteur u

et les coordonnes (x, y, z)du point M. Les composantes (, , ) du vecteur directeur unitaire de l'axe ()sont galement appeles les cosinus directeursde l'axe. En reportant la relation

FIGURE15.5. Moment d'inertie par rapport un axe quelconque.

y

z

x

OM(S)

y

z

x

O

(S)

()

M


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15.4 Dtermination des matrices d'inertie 237

(15.45) dans l'expression (15.43), nous obtenons:

2 2 2 2 2 2Ox Oy Oz Oxy Oyz Oxz I I I I P P P = + + . (15.46)

Cette relation peut galement s'exprimer, en introduisant l'oprateur d'inertie enO, sous la forme:

( )OI u S u= I , (15.47)

ou sous la forme matricielle:

[ ]Ox Oxy Oxz

Oxy Oy Oyz

Oxz Oyz Oz

I P P

I P I P

P P I

=

. (15.48)

Dans le cas o l'oprateur d'inertie est rapport ses axes principaux, la

relation (15.46) se rduit :2 2 21 1 2 2 3 3I I I I = + + , (15.49)

o (1, 2, 3) sont les cosinus directeurs de l'axe () par rapport aux axesprincipaux au point O.

15.4 DTERMINATION DES MATRICES D'INERTIE

15.4.1 Solides symtries matrielles

Dans le cas o les solides possdent des symtries matrielles, ces symtriesfacilitent la recherche des repres principaux d'inertie. Il en rsulte une simpli-fication du calcul de la matrice d'inertie.

15.4.1.1 Plan de symtrie

Supposons que le solide (S) possde un plan de symtrie matrielle, parexemple le plan (Oxy) (figure 15.6a). Il en rsulte que les produits d'inertie:

( )( )

d ( ) et d ( )Oxz Oyz S SP xz m M P yz m M= = sont nuls, puisque l'on peut associer deux deux les lments qui ont mmevaleur dex(ou dey) et des valeurs opposes dez(figure 15.6a). Il en rsulte que :

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 1

Ox Oxy

Oxy Oy Oz

Oz Oz

I P

P I I

I I

= =

, (15.50)

ou

( ) O OzS k I k =

I . (15.51)


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FIGURE15.6. Symtries matrielles.

Il en rsulte que l'axe Oz

est axe principal d'inertie. D'o le rsultat:

Tout axe orthogonal un plan de symtrie matrielle est axe principal d'inertieen chacun des points du plan.

15.4.1.2 Axe de symtrie

Supposons que le solide (S) possde un axe de symtrie matrielle, par

exemple l'axe Oz

(figure 15.6b). Il en rsulte que les produits d'inertie:

( )( )

d ( ) et d ( )Oxz Oyz S S

P xz m M P yz m M= = sont nuls, puisque l'on peut associer deux deux les lments qui ont mmevaleur dezet des valeurs opposes dex(ou dey) (figure 15.6b). Comme dans le

paragraphe prcdent, l'axe Oz

est axe principal d'inertie. D'o le rsultat

:Tout axe de symtrie matrielle est axe principal d'inertie en chacun des points

de l'axe.

15.4.1.3 Consquences

1. Tout tridre trirectangle, dont deux de ses plans sont plans de symtriematrielle d'un solide, est tridre principal d'inertie du solide.

2. Tout tridre trirectangle, dont deux de ses axes sont axes de symtriematrielle d'un solide, est tridre principal d'inertie du solide.

axe de symtrie

y

z

x

O

M

M'

(b)

(a)

y

z

x

O

M

M'(a)


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15.4.2 Solide ayant une symtrie de rvolution

15.4.2.1 Proprits gnrales

Dans le cas d'un solide (cylindre, cne, disque, etc.) possdant un axe dervolution, par exemple l'axe Oz

, les plans Oxz et Oyz sont plans de symtrie

matrielle et le tridre (Oxyz) est un tridre principal d'inertie (quels que soient lesaxes Ox

et Oy

). La matrice s'crit:

( )( )

0 0

0 0

0 0

Oxb

O Oy

Oz

I

S I

I

=

I , (15.52)

avec Ox OyI I= du fait de la symtrie de rvolution. Par ailleurs, il est gnra-lement plus facile de calculer le moment d'inertie IOzpar rapport l'axe Oz

, puis

d'introduire le moment d'inertie IOxypar rapport au plan (Oxy). En effet d'aprs(15.40) nous avons:

2Oz Oxz Oyz Ox Oy OxyI I I I I I= + = + , (15.53)

soit:12Ox Oy Oxy Oz

I I I I= = + . (15.54)

Dans le cas d'un solide plan de rvolution, cette relation se rduit d'aprs

(15.42) la relation:12Ox Oy Oz

I I I= = . (15.55)

15.4.2.2 Matrice d'inertie d'un disque

Nous dterminons la matrice d'inertie d'un disque de rayon a et de masse m

(figure 15.7a). Le moment d'inertie par rapport l'axe Oz

s'crit:

( )( )

( )( )

2 2 2 2d ( ) d ( )Oz sS S

I x y m M x y S M= + = +

, (15.56)

o sest la masse surfacique du disque et d ( )S M l'aire d'un lment de surface.

Le calcul de l'intgrale est facilit en introduisant les coordonnes polaires (r, )du pointM(figure 15.7a). L'lment de surface est obtenu en faisant crotre rdedret et de d (figure 15.7b), et l'intgrale (15.56) s'crit, dans le cas d'undisque homogne (s indpendant du pointM):

23

0 0d d

a

Oz sr

I r r

= =

= . (15.57)Soit:


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FIGURE15.7. Disque.

4 2

2 2Oz sa a

I m = = , (15.58)

en introduisant la masse mdu disque. La matrice d'inertie s'crit donc:

( )( )

2

2

2

0 04

0 04

0 0 2

bO

am

aS m

a

m

=

I . (15.59)

15.4.2.3 Matrice d'inertie d'un cylindre

Soit calculer la matrice d'inertie d'un cylindre de rayon a, de hauteur het demasse m (figure 15.8a). Le moment d'inertie par rapport l'axe Oz

s'exprime

suivant:

( )( )

( )( )

2 2 2 2d ( ) d ( )OzS S

I x y m M x y V M= + = + , (15.60)o est la masse volumique du cylindre et d ( )V M le volume d'un lment devolume. Le calcul deIOz se simplifie en introduisant les coordonnes cylindriques(r, , z) du point M (figure 15.8a). L'lment de volume est obtenu en faisantcrotre respectivement de dr, d et dz les coordonnes cylindriques (figure15.8b). L'intgrale (15.60) s'crit alors dans le cas d'un cylindre homogne:

23

0 0 0d d d

a h

Ozr z

I r r z

= = =

= . (15.61)Soit:

4 2

2 2Oza a

I h m= = , (15.62)

(b)

y

z

x

O

M

dS(M)

a

(a)

r

x

y

O

d

dS(M) = rddr

r rr+dr


17/30


dr

FIGURE15.8. Cylindre.

en introduisant la masse mdu cylindre.Le moment d'inertie par rapport au plan Oxys'crit:

2 22

0 0 0d d d

3

a h

Oxyr z

hI z r r z m

= = =

= = . (15.63)

Nous en dduisons, d'aprs (15.54)

: 2 2

4 3Ox Oya h

I I m

= = +

. (15.64)

15.4.3 Solide ayant une symtrie sphrique

15.4.3.1 Proprits gnrales

Dans le cas d'un solide symtrie sphrique (sphre pleine, sphre creuse, etc.)

de centre O, tout tridre (Oxyz) est tridre principal d'inertie, et les momentsd'inertie par rapport aux axes sont gaux. Il est alors plus commode de calculer lemoment d'inertie IOpar rapport au point Oet d'exprimer les moments en tenantcompte de la relation (15.39), soit:

23Ox Oy Oz O

I I I I= = = . (15.65)

15.4.3.2 Matrice d'inertie d'une boule

Soit dterminer la matrice d'inertie d'une boule de masse m et de rayon a(figure 15.9a). Le calcul du moment d'inertie par rapport au point Ose simplifie

(a)

y

z

x

O

r

Mz

(b)

x

yO

d

dV(M) = rddrdz

z

r

dr


18/30


FIGURE15.9 Boule.

L'lment de volume est obtenu par accroissement des coordonnes sphriques dedR , d et d respectivement. Soit

2d ( ) cos d d dV M R R = . (15.66)

Le moment d'inertie par rapport au point Os'exprime alors suivant:

22 4

0 0 2

cos d d da

O

R

I R R

= = =

=

. (15.67)

Dans le cas d'une sphre homogne, nous obtenons:

5 24 35 5O

I a ma = = , (15.68)

en introduisant la masse mde la boule. Nous en dduisons les moments d'inertiepar rapport aux axes:

225Ox Oy Oz

I I I ma= = = . (15.69)

15.4.4 Associativit

Dans le cas o un solide (S) est constitu de la runion de plusieurs solides (Si),la matrice d'inertie en un point est la somme des matrices d'inertie de chaquesolide (Si) en ce mme point. Cette proprit est une consquence de la dfinitiondes moments et produits d'inertie (proprit d'intgration sur un domaine) et

permet de dcomposer le calcul dans le cas de solides complexes. Nous avonsdonc la relation:

( )( ) ( )( )1

nb b

O O i

i

S S

=

= I I . (15.70)

(a) (b)

z

y

M

O

R

x

x

yO

d

dV( ) =R

2cos dddR

z

R

dRcos

Rcos d


19/30


FIGURE15.10. Cylindre vid.

Un exemple d'application est celui du calcul de la matrice d'inertie d'uncylindre vid (figure 15.10). Le cylindre plein (S1) peut tre considr comme larunion du cylindre (S) vid et du cylindre (S2) qui a t enlev. La propritd'associativit s'crit:

( )

( )

( )( ) ( )

( )1 2b b b

O O OS S S= +I I I .D'o la matrice d'inertie du cylindre vid:

( )( ) ( )( ) ( )

( )1 2b b b

O O OS S S= I I I . (15.71)

La matrice d'inertie du cylindre (S1) de masse m1 est d'aprs les expressions(15.62) et (15.64):

( )( )

2 2

12 2

1 12

1

0 04 3

0 04 3

0 0 2

bO

a hm

a hS m

am

+

= +

I . (15.72)

La matrice d'inertie du cylindre (S2) de masse m2 qui a t enlev, s'exprimed'aprs (15.25):

( )( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 222

2 22

0 0 0 016 3 4 4

0 0 016 3 4 4

00 04 48

bO

a h a hm m

a h h ahS m m m

ah aam mm

+ + = + +

I

(15.73)

h

a

O

x

y

z


20/30


Par ailleurs, les masses des cylindres sont lies la masse mdu cylindre vid parles relations:

1 24 ,5 5

mm m m= = . (15.74)

D'o la matrice du cylindre vid:

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2

11 3 0 020 4

150 320 4 20

020 4

bO

ma h

m mS a h ah

m aah m

+ = +

I . (15.75)

15.5 MATRICES D'INERTIE DE SOLIDESHOMOGNES

Nous rassemblons dans ce paragraphe les matrices d'inertie de divers solides

homognes. Les matrices d'inertie sont donnes dans la base (b) = ( ), ,i j k

asso-

cie pour chaque solide au repre choisi, gnralement repre principal d'inertie.

15.5.1 Solides liniques

15.5.1.1 Segment de droite (figure 15.11)

La longueur du segment de droite estAB= l. Le centre de masse est donn par:

2l

AG i=

.

La matrice d'inertie au pointAest:

( )( ) 2

2

0 0 0

0 03

0 03

bA

lS m

lm

=

I . (15.76)

FIGURE15.11. Segment de droite.

z

A BG

y

x


21/30

15.5 Matrices d'inertie de solides homognes 245

FIGURE15.12. Arc de cercle.

15.5.1.2 Arc de cercle (figure 15.12)

L'arc de cercle est caractris par son rayon aet son angle 2. La position du

centre de masse et la matrice d'inertie sont exprimes par:sin

OG a i

=

, (15.77)

( )( )

( )

( )

2

2

2

sin21 0 02 2

sin20 1 02 2

0 0

bO

am

aS m

ma

= +

I . (15.78)

Cas particuliers

Demi-cercle:2

=

( )( )

2

2

2

0 02

2 , 0 02

0 0

bO

am

a aOG i S m

ma

= =

I

. (15.79)

Cercle(cas du cerceau): = Le centre de masse est en Oet la matrice d'inertie en Oest la mme que dans

le cas du demi-cercle.

15.5.2 Solides surfaciques

15.5.2.1 Secteur circulaire(figure 15.13)

Comme l'arc de cercle, le secteur circulaire est caractris par son rayon et sonangle2.La position du centredemasseetlamatriced'inertiesont exprimes par:

a

xG

z

y

O


22/30


FIGURE15.13. Secteur circulaire.

2 sin

3

OG a i

=

, (15.80)

( )( )

( )

( )

2

2

2

sin21 0 04 2

sin20 1 04 2

0 02

bO

am

aS m

am

= +

I . (15.81)

Cas particuliers

Demi-disque: 2

=

( )( )

2

2

2

0 04

4 , 0 03 4

0 02

bO

am

a aOG i S m

am

= =

I

. (15.82)

Disque: = Le centre de masse est en Oet la matrice d'inertie en Oa la mme expression

que celle d'un demi-disque. Couronnelimite par deux cercles concentriques de rayon a1et a2.

La matrice d'inertie se dduit de la proprit d'associativit:

( )( )

( )

( )

( )

2 21 2

2 21 2

2 21 2

0 04

0 04

0 02

bO

ma a

mS a a

ma a

+ = +

+

I . (15.83)

a

G

x

y

z

O


23/30


FIGURE15.14. Segment circulaire.

15.5.2.2 Segment circulaire (figure 15.14)

Le segment circulaire est dfini par son rayon aet son angle 2. La position du

centre de masse est donne par:32 sin

3 sin cosOG a i

=

. (15.84)

Le tridre (Oxyz) est tridre principal d'inertie en O. Les moments d'inertieprincipaux sont:

2

2

2

2 1sin 2 sin 43 6 ,

4 sin cos

1 sin4

2 ,4 sin cos

1 1sin 2 sin 43 6 .

2 sin cos

Ox

Oy

Oz

aI m

aI m

aI m

+=

=

=

(15.85)

15.5.2.3 Rectangle (figure 15.15)

Le centre de masse est au centre Odu rectangle. La matrice d'inertie est:

( )( )

( )

2

2

2 2

0 0

120 0

12

0 012

bO

mb

mS a

ma b

=

+

I . (15.86)

15.5.2.4 Triangle (figure 15.16)

Le triangle est dfini par:

, , .OA a i OB b i OC hj= = =

(15.87)

a

G

x

y

z

O


24/30


FIGURE15.15. Rectangle.

La position du centre de masse est donne par:

3 3b a h

OG i j= +

. (15.88)

Les matrices d'inertie au point Oet au centre de masse s'expriment suivant:

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2 2

06 12

012 6

0 0 6

bO

m mh h b a

m mS h b a a ab b

m

a ab b h

= +

+ +

I , (15.89)

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2 2

018 36

036 18

0 018

bG

m mh h b a

m mS h b a a ab b

ma ab b h

= + +

+ + +

I . (15.90)

FIGURE15.16. Triangle.

x

a

y

z

Ob

Ax

y

z

O B

C

G


25/30


Cas particuliers Triangle isocle: a=b

( )( )

( )

2

2

2 2

0 06

, 0 03 6

0 06

bO

m

hh m

OG j S a

ma h

= =

+

I

. (15.91)

Triangle rectangle: a=0

( )( )

( )

2

2

2 2

06 12

, 03 3 12 6

0 06

bO

m mh hb

b h m mOG i j S hb b

mb h

= + =

+

I

. (15.92)

15.5.2.4 Ellipse (figure 15.17)

Le centre de masse est au centre de l'ellipse, et la matrice d'inertie en son centreest exprime par:

( )( )

( )

2

2

2 2

0 04

0 04

0 04

b

O

mb

m

S a

ma b

=

+

I . (15.93)

15.5.3 Solides volumiques

15.5.3.1 Calotte sphrique (figure 15.18)

La calotte se situe sur la sphre de centre Cet est dfinie par sa hauteur het le

FIGURE15.17. Ellipse.

y

z

Oa

b


26/30


FIGURE15.18. Calotte sphrique.

rayon ade la sphre de base. Son volume est:

( )2 33

V h a h= , (15.94)

et son centre de masse est dfini par:

( )23 24 3

a hCG a k

a h

=

. (15.95)

Le tridre (Oxyz) est tridre principal d'inertie et les moments d'inertie sont:

( )

22

2 2

,3 4 20

2 3 3 .3 4 20

Ox Oy

Oz

m h ah hI I a

a h

hI m a ah h

a h

= = +

= +

(15.96)

Cas particuliers

Demi-bouleLes points Cet Osont confondus et le rayon du cercle de base est le rayon de

la demi-boule.

23 2, .8 5Ox Oy Oz

OG ak I I I ma= = = =

(15.97)

BouleLa matrice d'inertie a t dtermine au paragraphe 15.4.3.2. Son expression

est identique celle de la demi-boule.

15.5.3.2 Cne (figure 15.19)

Le cne est dfini par sa hauteur het le rayon adu cercle de base. Le centre demasse et la matrice d'inertie sont donns par:

34

OG hk =

. (15.98)

h

a

z

G

y

x

O

C


27/30


FIGURE15.19. Cne.

( )( )

( )

( )

2 2

2 2

2

3 4 0 020

30 4 020

30 020

bO

m a h

S m a h

ma

+

= +

I . (15.99)

15.5.3.3 Cylindre (figure 15.20)

Le centre de masse est au centre du cylindre et la matrice d'inertie est

:

( )( )

2 2

2 2

2

0 04 3

, 0 02 4 3

0 02

bO

a hm

h a hOG k S m

am

+

= = +

I

(15.100)

FIGURE15.20. Cylindre.

h

a

y

x

z

O

G

h

y

x

z

O

a

G


28/30


15.5.3.4 Paralllpipde rectangle (figure 15.21)

Le centre de masse est au centre du paralllpipde:

2 2 2a b c

OG i j k = + + , (15.101)

et la matrice d'inertie au centre de masse est :

( )( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

0 012

0 012

0 012

bG

mb c

mS a c

ma b

+ = +

+

I . (15.102)

La matrice d'inertie au point O, un des sommets du paralllpipde, se dduitde la matrice au centre de masse en appliquant les relations d'Huyghens. Nousobtenons:

( )( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

3 4 4

4 3 4

4 4 3

bO

m m mb c ab ac

m m mS ab a c bc

m m mac bc a b

+ = +

+

I . (15.103)

FIGURE15.21 Paralllpipde rectangle.

c

y

x

z

O

G

a

b


29/30

Exercices 253

EXERCICES

15.1 Dterminer la matrice d'inertie principale au centre d'une plaque rectan-gulaire de faible paisseur (figure 15.22). En dduire le moment d'inertie parrapport un axe () contenu dans le plan de la plaque et faisant un angle avecl'axe Ox

.

15.2 Exprimer la matrice d'inertie d'un quart de disque. tudier la variation dumoment d'inertie par rapport un axe contenu dans le plan du disque.

15.3 Dterminer la matrice d'inertie d'un cylindre homogne creux, de rayonintrieur a1, de rayon extrieur a2et de hauteur h.

15.4 Dterminer la matrice d'inertie d'un solide (figure 15.24) constitue d'uncylindre de hauteur het d'une demi-boule de rayon a.

FIGURE15.22. Plaque rectangulaire.

FIGURE15.23. Association d'un cylindre

et d'une demi-boule.

y

x

a

bO

()

(S1)

z

h

a

O

(S2)

y

x


30/30


15.5 Dterminer la matrice d'inertie d'un paralllpipde non homogne (figure15.25) constitu de quatre paralllpipdes de cts 2a, b, c, et de massesrespectives m1et m2. En dduire le moment d'inertie par rapport une diagonale.

15.6 Exprimer la matrice d'inertie d'une boule avec un trou sphrique de rayonmoiti, passant par le centre de la sphre.

15.7 Dterminer la matrice d'inertie d'une plaque rectangulaire homogne delongueur aet largeur b, perce en son centre d'un trou de rayon c( c< b/2 ).

FIGURE15.24. Paralllpipde rectangle non homogne.

COMMENTAIRES

L'oprateur d'inertie intervient dans les expressions du torseur cintiqueet du torseur dynamique qui seront introduits dans le chapitre suivant.L'utilisation de l'oprateur d'inertie est particulirement importante. Cetoprateur est reprsent dans une base donne lie au solide considr par

la matrice d'inertie symtrique 3 3, dont les termes diagonaux sont lesmoments d'inertie et les autres termes sont les produits d'inertie du solide

par rapport trois axes trirectangles. Le lecteur devra matriser parfai-tement tous les concepts introduits dans le prsent chapitre.

2c

y

x

z

2a

2b

Om1

m1m2

m2

Documents

MécaniqueSolides dChapitre 15